antenas elementales

ANTENAS

ANTENAS ELEMENTALES

1

Dipolo elementalUn dipolo elemental es un elemento de corriente de longitud h, recorrido por una corriente uniforme, cuyas dimensiones son pequeas comparadas con la longitud de onda. La mayor parte de las antenas a frecuencias inferiores a 1 MHz se comportan como dipolos elementales, dado que a esa frecuencia la longitud de onda es de 300 m.

Cargas y corrientesLa distribucin de cargas en un dipolo se pueden obtener a partir de la ecuacin de continuidad. r J + jwr = 0 La ecuacin de continuidad en forma integral, aplicando el teorema de la divergencia es

s'

r r Jds ' + j w r(r ')dv ' = 0v'

Aplicando dicha ecuacin a un elemento de corriente se observa que para cualquier punto del dipolo la corriente que entra en un volumen infinitesimal es igual a la corriente que sale, por la tanto la carga acumulada es cero, a excepcin de los extremos superior e inferior, donde vale. I + j wQ = 0 Q =I I =j jw w

Las cargas varan sinusoidalmente, estando desfasadas 90 grados con respecto a la corriente. En la antena se producen oscilaciones de corrientes positivas y negativas, con acumulacin de carga en los extremos. Para que se pueda producir dicha acumulacin es necesario que exista algn elemento capacitivo (esfera, placa metlica, etc). Hertz utiliz en sus primeros experimentos un dipolo con placas cuadradas en los extremos.

Miguel Ferrando, Alejandro Valero. Dep. Comunicaciones. Universidad Politcnica de Valencia

ANTENAS

ANTENAS ELEMENTALES

2

Potencial vector

El potencial vector de un hilo de corriente se puede calcular de forma exacta como r r r e- jkR A = m J (r ') dv ' v' 4pR r e- jkR A = z m I (z ') dz ' z' 4pR Si se cumple que la distancia R es mucho mayor que las dimensiones del dipolo R>>h, se pueden utilizar las aproximaciones a grandes distancias R;r r R ; r - r z ' = r - z 'cos q El potencial vector es paralelo a la direccin de las corrientes y se puede escribir como el producto de una onda esfrica por el vector de radiacin del dipolo elemental me - jkr I ( z ')e jk z 'dz ' 4pr z ' me - jkr me - jkr Az = Ih = N 4pr 4pr z Az =z

Para un dipolo elemental de dimensiones muy pequeas comparadas con la longitud de onda, los desfases son prcticamente despreciables, y el vector de radiacin es el producto de la corriente por la dimensin r N = zIh


ANTENAS

ANTENAS ELEMENTALES

3

Campos del dipolo elementalPara el clculo de los campos radiados es conveniente obtener previamente las componentes del vector de radiacin. r N r = N r = N z cos q r N q = N q = -N z sin q r Nf = N f = 0 El potencial vector se puede expresar en coordenadas esfricas como r me -jkr A= ( N rr + N qq + N ff ) 4pr Los campos magnticos del dipolo elemental, vlidos a distancia r>>h se pueden calcular a partir de la definicin del potencial vector. r r 1 H = A m Realizando los clculos en coordenadas esfricas, teniendo en cuenta la simetra de revolucin del problema ,se obtiene el campo magntico, que tiene tan slo una componente. H f = Ih e -jkr jk 1 ( + 2 )sin q 4pr r r

Para calcular el campo elctrico se puede utilizar la Ley de Ampre en el espacio libre, donde las corrientes son cero. r r r 1 E = ( H - J ) jwe Los campos elctricos del dipolo elemental tienen dos componentes e - jkr 2h 2 ( 2 + )cos q 4p r j wer 3 me- jkr j wm h 1 E q = Ih ( + 2 + )sin q 4p r r j wer 3 Er = Ih


ANTENAS

ANTENAS ELEMENTALES

4

Campos inducidos por el dipolo elementalLos campos magnticos inducidos son los que tienen una variacin inversamente proporcional al cuadrado de la distanciai H f = Ih

e -jkr sin q 4pr 2

La anterior expresin se puede identificar con la Ley de Biot y Savart para un elemento de corriente I de longitud h, con un trmino de desfase adicional Los campos elctricos inducidos son los mismos que los producidos por un dipolo elctrico de carga Q y momento dipolar Qh. Al variar las cargas con el tiempo aparece un trmino de desfase. Ih 2cos q - jkr 2cos q - jkr = Qh e 3 e 4p j wer 4per 3 Ih sin q - jkr sin q - jkr Eri = = Qh e 3 e 4p j wer 4per 3 Eri =

Campos radiadosLos campos radiados por el dipolo elemental son los que decrecen proporcionalmente a la distancia, como r-1. me - jkr Ih sin q 4pr e - jkr H f = jk Ih sin q 4pr Eq = j w Las expresiones completas de los campos incluyen trminos que varan como 1/r, 1/r2, 1/r3. Los trminos que varan como 1/r2 hay que tenerlos en cuenta en la regin de transicin entre los campos inducidos y los campos radiados.


ANTENAS

ANTENAS ELEMENTALES

5

Los campos radiados se hubieran podido obtener de una forma mucho ms simple utilizando las expresiones aproximadas. El potencial vector se obtendra de forma similar me - jkr Az = Ih 4pr Aq = -Az sin q Los campos radiados se obtienen a partir E q = - j wAq Hf = Eq h

Densidad de potencia radiadaLa densidad de potencia radiada se calcula a partir de los campos elctricos y magnticos radiados. r r Ih 2 P = Re(E H *) = r wmk sin 2 q 4pr El diagrama de radiacin es proporcional a90 120 0.8 150 0.6 0.4 P( ) 0.2 180 0 0 0 30 60

( )

1

210

330

240 270

300

P = P0 sin2 q El diagrama es omnidireccional en el plano XY, y tiene un nulo en la direccin del eje z,


ANTENAS

ANTENAS ELEMENTALES

6

Diagramas de campoEl campo elctrico radiado est polarizado linealmente, la orientacin del vector es segn q , si encerramos al dipolo en una esfera, suponiendo orientacin, z el campo seguira los meridianos.

El plano E es el definido por la direccin de mxima radiacin y el campo elctrico en dicha direccin. La normal a dicho plano es qr Por lo tanto el plano E es cualquier plano que contiene al eje z, por ejemplo el XZ o el YZ. En ste caso la definicin del plano E n o es nica, ya que el problema tiene simetra de revolucin. Cualquier corte f = cte se podra definir como plano E. Los cortes en la esfera seran planos que incluyesen a los dos polos. El plano H es el definido por la direccin de mxima radiacin y el campo magntico en dicha direccin. Para el dipolo elemental es el plano XY. En la esfera sera el plano ecuatorial. El diagrama de campo es similar al de potencia, pero la variacin es proporcional a


ANTENAS

ANTENAS ELEMENTALES90 120 0.8 150 0.6 0.4 0.2 E ( ) 180 0 0 0 30 60

7

1

210

330

240 270

300

E = E0 sin q

La potencia total radiada por el dipolo se puede obtener integrando la densidad de potencia radiada en una superficie que encierre al dipolo elemental.p r uv u Ih 2 2 2p P ds ' = wmk r d f sin2 q sin qd q S ' 0 0 4pr h h 2 p 3 h h 24 Wt = I 2p sin qd q =I 2p 2 l 0 2 l 3

Wt =

( )

( )

( )

Resistencia de radiacinLa resistencia de radiacin se puede calcular a partir de la potencia total radiada y la corriente en la entrada Rr = Wt 2 h 2 = 80 p I l

( )W2

Un hilo de corriente uniforme de 1 m de longitud tendra una resistencia de radiacin de 7,89 W a 30 MHz y 789 W a 300 MHz. Miguel Ferrando, Alejandro Valero. Dep. Comunicaciones. Universidad Politcnica de Valencia

ANTENAS

ANTENAS ELEMENTALES

8

Los valores obtenidos justifican la necesidad de trabajar con cables coaxiales a partir de unos pocos MHz.

DirectividadLa directividad se calcula como la relacin entre la densidad de potencia radiada en la direccin del mximo y la densidad de potencia que radiara una antena isotrpica con la misma potencia total radiada. D= Pmax = Wt 4pr 2 4p = P dW s ' Pmax

s'

sin3 qd qd f

4p

= 1.5

Longitud efectivaLa longitud efectiva de un dipolo elemental se define la corriente que tendra un hilo uniforme, perpendicular a la direccin de propagacin de las ondas, que cumpliese la condicin r r r 1 1 r l = ( r ( r N )) = ( N - ( N r )r ) I I En general, la expresin es: r 1 l = ( N q q + N ff ) = - ( h sin q ) q I La longitud efectiva mxima es r p lm = - h sin q = hz 2

(

)


ANTENAS

ANTENAS ELEMENTALES

9

Espira elementalSe denomina espira elemental a un conductor de forma arbitraria que se cierra sobre s mismo y por el que circula una corriente uniforme. Las dimensiones deben ser pequeas en trminos de la longitud de onda.

Vector de radiacinEl vector de radiacin de una espira elemental circular, situada en el plano XY, por el que circula una corriente uniforme I, se puede calcular a partir de la expresin. r N =

El desfase con respecto al origen de coordenadas se puede calcular a partirde las expresiones de los dos vectores en coordenadas cartesianas, particularizadas en q = p /2 y r = a r r r ' = a sin q cos(f - f ') Los campos radiados se pueden obtener a partir de las componentes del vector de radiacin en coordenadas esfricas. r Nq = N q r Nf = N f Realizando los productos vectoriales indicados, se obtienen las expresiones integrales siguientes N q = aI cos q 2p 0 2p

2p 0

I f ' e jkrr 'adf '

r

N f = aI e jka sin q cos(f -f ') cos(f - f ')df ' Si la espira es pequea, las integrales se pueden simplificar, desarrollando el exponente en serie, como e jka sin q cos(f -f ') = 1 + jka sin q cos(f - f ')

0

e jka sin q cos(f -f ') sin(f - f ')d f '


ANTENAS

ANTENAS ELEMENTALES

10

La contribucin del primer trmino del desarrollo en serie a las integrales es nula. Calculando las integrales resulta Nq = 0 N f = jka 2I sin q 2p 0

cos 2 (f - f ')d f ' = jk pa 2I sin q

Campos radiados por una espira elementalLos campos se calculan a partir de las expresiones aproximadas E q = -j wAq = 0 Ef = - j wAf = - j w90 120 0.8 150 0.6 0.4 0.2 E ( ) 180 0 0 0 30 60

me- jkr jkI pa 2 sin q 4pr1

210

330

240 270

300

Los campos radiados tienen una componente, por lo que la polarizacin es lineal.


ANTENAS

ANTENAS ELEMENTALES

11

El diagrama es similar al del dipolo elemental, pero la polarizacin es ortogonal. Situando la espira en el plano ecuatorial de una esfera, el campo elctrico est orientado en la direccin de los paralelos.

Se produce un nulo de radiacin en la direccin perpendicular a la espira y el mximo est en el plano de la misma. Para una espira situada en el plano XY, el plano E es el mismo, y el plano H es cualquier plano que contenga al eje z.

Diagrama de radiacinEl diagrama de radiacin de potencia es proporcional a P = P0 sin2 q La potencia radiada se obtiene integrando la densidad de potencia en una superficie que encierre a la antena. Wt =

( Ef )h

2

s'

r 2 sin qd qd f =

ph ( ka )4 I 2 6


ANTENAS

ANTENAS ELEMENTALES

12

Resistencia de radiacinLa resistencia de radiacin resulta se proporcional a la cuarta potencia de las dimensiones de la espira. Wt 2 ( ka )4 W 2 = 20p I La espira es una radiador muy poco eficiente comparado con el dipolo, ya que ste ltimo tiene una resistencia de radiacin que es proporcional al cuadrado de sus dimensiones. Rr = Esta diferencia es debida a que en las espiras tienen forma de contorno cerrado y para cada elemento de corriente existe otro en sentido contrario. La radiacin se debe a las diferencias de fase de las ondas producidas por elementos de corriente opuestos.

DirectividadLa directividad coincide con la del dipolo elemental, ya que el diagrama de radiacin es idntico. 4p

D =

W

sin 3 qd qd f

= 1.5

rea efectivaEl rea efectiva de una espira se puede calcular a partir de la relacin con la Directividad Ae = D l2 3l 2 = 4p 8

Longitud efectivaAplicando la definicin r 1 l = ( N q q + N ff ) = ( jk pa 2 sin q ) f I


ANTENAS

ANTENAS ELEMENTALES

13

Dipolos y espiras elementales de formas arbitrariasLos campos de un dipolo de forma arbitraria puede analizarse a partir del potencial vector r e jkr r r r A= J (r ')e jkr r ' dv ' 4 r v' jkr r r e A= N 4 r r r r r N = J (r ')e jkrr ' dv 'v'

En el caso de dipolos y espiras elementales, sus dimensiones son pequeas comparadas con la longitud de onda y el trmino de fase de la integral se puede aproximar porr r e jkrr ' ; 1 + jkr r ' r r r r N ; J (r ') (1 + jkr r ') dv ' v'

En los dipolos elementales es suficiente con considerar el primer trmino de la serie, y el vector de radiacin es directamente la suma de las corrientes. En el caso de formas arbitrarias esto equivale a una corriente que una los extremos de la antena. r r r N ; J (r ')dv 'v'

En el caso de las espiras, al tratarse de formas cerradas la suma de las corrientes es cero y hay que tener en cuenta el siguiente trmino de la serie r r r r r r r N ; J (r ') (1 + jkr r ' ) dv ' = J (r ') jkr r ' dv 'v' v'

Se puede demostrar que dicha expresin es equivalente, en el caso de espiras planas a una expresin en funcin del momento dipolar magntico. r r N = jkm r r m = Ids 's'


ANTENAS

ANTENAS ELEMENTALES

14

Espiras con ncleo de ferritaPara calcular la tensin en circuito abierto en una espira se puede utilizar la Ley de Faraday r r E = -j wmH En forma integral

s

r r r r Edl = - j wm Hds s

r r r r Eds = -j wm Hdss

V

Calculando la circulacin del campo elctrico a lo largo de la espira se obtiene la tensin en circuito abierto, para una espira situada en el espacio libre V = -j wm0 HA Si la espira tiene N vueltas, el rea equivalente tambin se multiplica por N V = ( -j wm0HA ) N Si adems se incluye un ncleo de ferrita V = - jwm0m f HNA La longitud efectiva de una espira con ncleo de ferrita se multiplica por un factor m f N y la resistencia de Radiacin por ( mf N )2

La Directividad y rea efectiva no cambian con respecto a la espira de una vuelta. La eficiencia a 1MHz toma valores tpicos de 10-5 a 10-6


antenas elementales

Documents