1649-2 2013-viii-27 5ª -...
TRANSCRIPT
.
Transferencia de Masa
1649-2
2013-VIII-27 5ª
2013-08-27
Contenido
Balance molar por componente;
Balance molar por componente, diferentes sistemas coordenados;
Nodo;
Tanque de mezclado perfecto.
Los días 20 y 22 de Agosto no hubo clase.
Balance molar por componente (A)
1. Hay transformación química;
2. Hay trasporte por difusión.
Entonces, la Propiedad Conservativa ψ se puede expresar como sigue:
Acumulación de A
Transporte de A por Difusión Molecular
Transporte de A por Convección
Rapidez de Reacción de A
3 3 ; A
A A
npcpc n C
L L
Como: 0Gvt
0A AB A A AC D C v C Rt
Balance molar por componente (A)
1. Hay transformación química;
2. Hay trasporte por difusión;
3. El coeficiente de difusión molecular DAB no es función de la
posición.
Acumulación de A
Transporte de A por Difusión Molecular
Transporte de A por Convección
Rapidez de Reacción de A
Como: 0A AB A A AC D C v C Rt
0A AB A A AC D C v C Rt
Balance molar por componente (A)
1.Hay transformación química;
2.Hay trasporte por difusión;
3.El coeficiente de difusión molecular DAB no es función de la posición;
4.El elemento de control intercambia materia a través de una interfase.
Intercambio vía interfase Acumulación de A
Transporte de A por Difusión Molecular
Transporte de A por Convección
Rapidez de Reacción de A
0A AB A A A AC D C v C Rt
S
Balance diferencial molar de A en términos de su concentración:
CA
tD
ABC
A vC
A R
A
0
Unidades
CA
t
1
seg
mol
L3
mol
seg L3
DAB
CA
1
L
1
L
L2
sec
mol
L3
mol
seg L3
vCA
1
L
L
seg
mol
L3
mol
seg L3
A A 3
molR ,S
seg L
Balance diferencial de energía “térmica”
En el balance general diferencial ψ, representa a la concentración de la
propiedad conservativa (propiedad/volumen); consecuentemente, las
unidades de la propiedad conservativa en el balance diferencial de
energía “térmica” deben ser: calorías/volumen:
Difusión Convección Generación, reacción
0
3 0 3 * p
mol cal calC T C
L mol C L
Entonces, la expresión del balance diferencial de energía térmica se
puede obtener modificando en el balance diferencial “general” con el
siguiente cambio de variable ψ = ρCpT, amén de considerar los
parámetros correspondientes a este caso:
p
p p R I
C TC T v C T q q 0
t
Acumulación
Intercambio alrededores
3
calq
L
Balance diferencial de energía térmica, unidades
CpT t
CpT v CpT q
0
CpT t
1
seg
cal
L3
cal
seg L3
CpT 1
L
1
L
L2
seg
cal
L3
cal
seg L3
v CpT 1
L
L
seg
cal
L3
cal
seg L3
3 ,
R I
calq q
seg L
¿Será posible obtener la ecuación de continuidad (balance total)
combinando los balances de A y B?... comentar el resultado.
kaA bB
Considere la reacción siguiente:
Plawsky, Figura 2.12a. Sistema coordenado: cartesiano
2 2 2
A A A A A A Ax y z AB A A2 2 2
C C C C C C Cv v v D R S
t x y z x y z
AyAxA AzA A
NNC NR S
t x y z
0A A AB A AAC v C D C Rt
S
Plawsky, Figuras 2.12b. Sistema coordenado: cilíndrico
AA AzAr A A
NC 1 1 Nr N R S
t r r r z
2 2
A A A A A A Ar z AB A A2 2 2
vC C C C 1 C 1 C Cv v D r R S
t r r z r r r r z
Coordenadas esféricas
2
sen
sen sen sen
A A A Ar
22 A A A
AB A A2 2 2 2
C C 1 C 1 Cv v v
t r r r
1 C 1 C 1 CD r R S
r r r r r
AA2A
Ar A A2
NN sinC 1 1 1r N R S
t r r r sin r sin
Balance de masa en un nodo
Sea un “nodo” con las siguientes características: tiene dos corrientes
de entrada y una de salida; las de entrada tienen composiciones
diferentes; los fluidos tienen densidad constante y son miscibles
entre sí; el sistema está en estado estacionario; y es isotérmico.
Obtener el modelo matemático de:
i) Balance global.
ii) Balance de un componente de interés: A.
Solución
1) Esquema
iAC concentración másica del componente A en las corrientes i 1, 2, 3
gramos de A masa de A
gramos de solución masa solución
ig gasto másico de las corrientes i 1, 2, 3
gramos solución masa solución
minuto tiempo
11 Ag ,C
22 Ag ,C33 Ag ,C
2) Preguntas: i) balance global; ii) balance de A.
3) Modelo (características o restricciones)
3.1- tiene dos corrientes de entrada y una de salida;
3.2- las corrientes de entrada tienen composiciones diferentes;
3.3- los fluidos tienen densidad constante y son miscibles entre sí;
3.4- el sistema está en estado estacionario;
3.5- el sistema opera en condiciones isotérmicas;
3.6- el nodo (elemento de control) que esta fijo: w = 0;
3.7- en el nodo, el mezclado es “perfecto e instantáneo”;
3.8- no hay reacción química.
Solución (formal, larga, repaso)
i) Modelo del balance diferencial
11 Ag ,C
22 Ag ,C 33 Ag ,C
Además: 0Gvt
masa solución
Como: gasto másico de las corrientes 1, 2, 3 ... tiempo
ig i
masaEn este caso: 0
volumenGv
t
De acuerdo con las restricciones de este caso, y el significado de cada
uno de los términos que constituyen la ecuación de conservación de
masa, ésta se simplifica de la siguiente manera:
Por lo tanto, para describir lo que ocurre en todo el nodo, es necesario
obtener una expresión que considere que en el volumen de control el
mezclado es “perfecto”… expresión integral del balance de masa
3.4 3.7 3.8
0Gvt
Por otro lado: ... A.3-20 BSLv v v
3.3 Densidad constante: constante 0 0v
0v
3.4 Estado estacionario: constante 0v v
La igualdad: 0 0 0 es cierta, pero no sirve para modelar el nodo...
Integrando esta expresión diferencial de la ecuación de conservación:
Partiendo del balance diferencial de masa: 0v
0
CV
v dV Por Gauss:
C CV A
vdV n vdA
0
CA
n vdA 1 2 1En este caso: C entrada entrada salidaA A A A
1 2 1
0
CA Ae Ae As
n vdA n vdA n vdA n vdA
2
3Como: flujo másico
M L Mn vdA L dg
L
1 2 1
0
e e sg g g
dg dg dg 1 2 1 0e e sg g g
1 2 1 "Lo que entra es igual a lo que sale"e e sg g g
Sol Sol
3 3
g g1 Lv
L seg L seg L
3Sol Sol
3
g gv dV L
seg L seg
ii) Modelo del Balance por componente
Ecuación de conservación de masa en términos del componente A
(concentración molar de A); por las restricciones del caso se tiene:
3.4 3.7 3.8
0AAB A A A
CD C vC R
t
0AvC
En el nodo: 0
C
A
V
C v dV Por Gauss:
C C
A A
V A
C vdV n C vdA
1 2 1También: C entrada entrada salidaA A A A
1 2 1
0
C
A A A A
A Ae Ae As
n C vdA n C vdA n C vdA n C vdA
2
3
masa de Ahora: flujo másico de A A
L A Mn vC dA L A G
L
1 2 1
0
Ae Ae As
A A A
G G G
dG dG dG 1 2 1 0Ae Ae AsG G G
1 2 1Como: 0Ae Ae AsG G G 1 2 1 Ae Ae AsG G G
Como: gasto másico de las corrientes 1, 2, 3ig i
Además, concentración másica de en las corrientes i 1, 2, 3AiC A
AiAi
i
GC
g ... = entradas y salidasAi i AiG g C i
1 1 2 2 1 1 ... también conocidae Ae e Ae s Asg C g C g C
eg
2sg
1sg
Otro nodo:
Forma ”rápida” de obtener el modelo correspondiente es aplicar
de memoria lo visto anteriormente (balance global) .
Ae As1 As2g g g
En este caso no tiene sentido considerar el balance por
componente…
¿Por qué?...
Correcto.
Balance molar integral del componente A en un CST
Este tipo de balance se utiliza cuando en el elemento de control se tiene
un “mezclado perfecto”… como el caso del nodo.
El balance integral se obtiene aplicando las restricciones del caso al
balance diferencial y luego integrarlo, como se indica a continuación
con el balance molar del componente A, para un sistema de dos
componentes: A y B.
Esquema Qe CAe
Qs CAs
CAs
Balance molar integral de A, en términos de la concentración molar CA
Desarrollo del modelo integral
Restricciones: Qe CAe
Qs CAs
CAs 1) Mezclado perfecto: 0AC
Análsis del término de acumulación: AC
t
2 0 ... análisis de cada términoAA AB A A
CvC D C R
t
El balance de masa esta expresado por unidad de volumen del EC; por
lo tanto, la acumulación en un elemento diferencial de volumen dV es:
ACdV
t
Acumulaciónen en el elemento de control :
C
A
V
CdV
t
2) El elemento de control no se mueve: 0EC w
3) No hay reacción química: 0AR
Por el Teorema de Transporte de Reynolds (ver clases anteriores):
Como: 2) el elemento de control EC no se esta moviendo: w = 0
( )
C C C
AA A
V V A
CdC dV dV C w n dA
dt t
C C
AA
V V
C ddV C dV
t dt
C C
A A A C
V V
d d dC dV C dV C V
dt dt dt
CA no es función de la posición (la solución perfectamente agitada:
acumulación:
C
CA AA C A C
V
dVC dCddV C V C V
t dt dt dt
Como :
C
A
V
CdV
t
Cuando VC no sea constante, se deberá tener de una función que sea
independiente al balance de masa y que describa la dependencia de VC
con respecto del tiempo (esa función afectará a la concentración de A, y
por lo tanto a la composición del sistema):
Acumulación en todo el :
C C
A C AA A C
V V
C d dV dCEC dV C dV C V
t dt dt dt
0CdV
dt
Por otro lado, en aquellos casos en los que se cumplan las restricciones
antes indicadas, pero además se cumpla que el gasto volumétrico sea
constante: Qe = Qs = constante… lo cual implica que VC se mantiene
constante, se tiene:
ACV tV C
Acumulación en todo el :
C
A AC
V
C dCEC dV V
t dt
Análisis del término convectivo (Ya se revisó… pero)
La convección en un elemento diferencial de volumen dV es:
La convección en todo el elemento de volumen de control VC es:
AvC
AvC dV
C
A
V
vC dV
Por el Teorema de Divergencia de Gauss:
C C
A A
V A
vC dV C v ndA
Esta ecuación representa el flujo neto de A a través de todas las áreas de
entrada y salida del elemento de control.
C C
A A
V A
vC dV C v ndA
Flujo neto de A a través de las áreas de entrada y salida del EC es:
Recoradr la convención de signos de las áreas de entrada (negativo) y
salida (positivo) . Considerando que en dichas áreas la concentración
de A es independiente de la posición, y que (v•n)dA = dQ = flujo
volumétrico, el flujo convectivo neto queda:
( ) ( )
C e s
A A A
A A A
C v ndA C v n dA C v n dA
C e s
A Ae As
A A A
C v ndA C v n dA C v n dA
Como: v ndA dQ
e s e S
Ae As Ae As
A A Q Q
C v n dA C v n dA C dQ C dQ
Por lo tanto, considerando que el EC tiene un área de entrada Ae y un
de salida As, el flujo neto de A en el EC se expresa como:
Flujo convectivo neto:
C C
A A s As e Ae
V A
vC dV C v ndA Q C Q C
Como:
e s e S
Ae As Ae As
A A Q Q
C v n dA C v n dA C dQ C dQ
además: y
e S
e s
Q Q
dQ Q dQ Q
Análisis del término de difusión:
Como en el EC no hay gradientes de posición (perfectamente agitado):
2
AB A AB AD C D C
2
AC 0
Consecuentemente, el equipo que esté “perfectamente agitado”, no
puede tener transporte por difusión (dispersión).
De acuerdo con las consideraciones anteriores, el balance de materia
para el CST antes descrito puede ser expresado en términos de la
concentración molar CA , mediante los términos siguientes:
Acumulación: AC
dCV
dtConvección: s As e AeQ C Q C
Difusión: no hay
Reacción: No hay
AsC s As e Ae
dCV Q C Q C 0
dt
El balance de A en un EC “perfectamente agitado”; en el cual NO hay
reacción; opera isotérmicamente y en estado no-estacionario es:
Este modelo implica una ecuación diferencial ordinaria, cuya variable
independiente es tiempo; consecuentemente, se requiere una condición
inicial para completar el modelo, como la siguiente:
Condición inicial: A Aot 0 C C
Qe CAe
Qs CAs
CAs
Balance molar integral del componente A en otro CST
CST que tiene dos entradas y una salida.
Esquema Qe1 CAe1
Qs CAs
CAs
Qe2 CAe2
AsC s As e1 Ae1 e2 Ae2
dCV Q C Q C Q C 0
dt
Condición inicial: A A0t 0 C C
Este balance también se obtiene aplicando la(s) restricción(es) propia(s)
del caso al balance diferencial molar del componente A:
Transferencia de Masa
Fin de 2013-VIII-26 5ª