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Transferencia de Masa

1649-2

2013-VIII-08 2ª

08/VIII/2013

Contenido

Objetivo del curso;

Medio continuo;

Similitud de las propiedades conservativas;

Transporte por convección;

Transporte por difusión molecular;

Balance general de una propiedad conservativa.

Referencia principal. Brodkey, Capítulos 2 y 3.

A

AB A A A

CD C vC R 0

t

En relación con los procesos de transformación que comúnmente

ocupan a los Ingenieros Químicos, tres de los principales objetivos del

curso de Transferencia de Masa son:

i) Aprender a conformar el balance de masa, con un enfoque de

Ingeniería de Procesos;

ii) Conocer el significado de los términos que constituyen la ecuación

de conservación de la masa (balance de masa);

iii) Resolver balances de masa de procesos de transformación típicos

de Ingeniería Química.

Condiciones límite, (de frontera y/o iniciales)

Fenómenos de Transporte

Transferencia de Masa

MODELO MATEMATICO DE

PROCESOS DE TRANSPORTE

PROPIEDADES Y LEYES

DE LA MATERIA

POSTULADO DE

CONTINUIDAD

PRINCIPIO DE

CONSERVACION

PROCESO REAL

MATEMATICAS

EXPERIENCIA

Notas:

# Obtener y utilizar modelos matemáticos que permitan la descripción

de procesos que implican el transporte de momentum, energía y/o

masa, asumiendo que la materia se comporta como un medio continuo.

# El comportamiento de la materia resulta de su composición y de las

fuerzas inter- e intra-moleculares que actúa sobre ella.

# En el estudio de los fenómenos de transporte se asume que las

características de la materia de estudio pueden representarse mediante

el valor promedio que tiene cada una de ellas en el espacio que ocupa la

materia… característica( r , t) … lo cual implica reconocer que

materia esta constituida por partículas discretas, pero que puede

asumirse que en la región de estudio la materia es continua

# Consecuentemente, el estudio de los fenómenos de transporte de las

propiedades conservativas no está exento de cierta cantidad de

empirismo, pero en mucho menor cantidad que el enfoque con el cual

se estudian las Operaciones Unitarias.

# Asumiendo que la materia se comporta como un medio continuo, es

decir, que el sistema (elemento de control) no hay discontinuidades, se

puede hacer un análisis diferencial de los procesos de transporte que

ocurren en él, utilizando para ello ecuaciones diferenciales.

# Asumiendo que la materia se comporta como un medio continuo, es

decir, que el sistema (elemento de control) no hay discontinuidades, se

puede hacer un análisis diferencial de los procesos de transporte que

ocurren en él, utilizando para ello ecuaciones diferenciales.

Transporte de momentum por convección

Flujo de momentum en la dirección x: fx

Flux de Momentum en la dirección x: τX

τ = ρv v

Tensor

3

x 3 x3

m L 1 1f L v L

t t tL

x

momentum en xf

t

x 3

3

3x 3

Lm

1 L 1 L 1 1tf mv m m L

t t t t t

L

tLL

3

x x x2x

1 1 1 Lv L v L v

t tL t

x x xv v vv

xx 2 2

fflujo de momentum en x

L L

x concentracion de momentum (velocidad)

Transporte de energía térmica (calor) por convección

Flujo de calor: C

CalorQ

t C

caloriasQ

t

Flux de calor: C

C 2 2 2

Q flujo de calor 1 calorias 1q

t tL L L

3

3C 2 3

calorias 1 caloria Lq

t tL L

L

L

Cq concentracion de calor (velocidad)

Pero, no hay aparatos que midan calorias directamente

0

C 3 0 3 0

0caloria L m caloria Lq C

t tL L

m C

m C m C

C P Pq ρ C T v C T v

Cq concentracion de calor (velocidad)

Cq expresada en cantidades medibles

qC= (ρCPT) v

Vector

Transporte de masa (moles) por convección

Flujo molar de A, jA:

Sistema:

1) Dos componentes: A y B;

2) A se transporta en el seno de B, (B está quieta… no se transporta).

Flux molar de A, nA:

nA = v CA

Vector

A An C v

AA 2 2

j moles de A 1n

tL L

A 2

3

33

moles A 1 moles A Ln

t L L

L

tL

A

moles A j

t

An concentracion molar de A (velocidad)

Similitud en el transporte por convección de momentum, energía o masa

v v

3 3

masa velocidad L momentum L

t tL L

C pq C T v 3C

calorias Lq

tL

A An C v3

A

moles A Ln

tL

Flux convectivo de Concentración de velocidad

3 Concentración de

L

v

Sea una propiedad conservativa

Transporte de momentum por difusión molecular

Sistema: Una tabla esta en el fondo de un estanque y se mueve con una velocidad

constante v0

Sea A la superficie de la tabla; en ella se aplica la fuerza F, para moverla a una

velocidad constante v0

Sea y la dirección en la que se mueve la tabla; sea x la dirección en la cual se

transporta el momentum entre dos capas de fluidos adyacentes una de la otra.

Sea τxy el esfuerzo que se debe ejercer sobre la tabla para moverla en la dirección ,y

consecuentemente, trasportar momentum en la dirección x.

xy

F

A

x

v

y2

vy

1

x2 x

1

xy

F

A

x

v

y2

vy

1

x2 x

1

v ... tensor

como : v

y2

vy

1

y x2 x

1 v 0 0 ... no hay esfuerzos negativos

2 2 2 2

masa aceleraciónfuerza L 1 L 1 1masa masa

A t tL t L L

2

1 1masa velocidad

t L

2

momentumflux de momentum difusivo ... unidades del flux convetivo

t L

2

2 3

3

3

1L

t

momentum momentum

t LL L

L

L

v

Algunas unidades

2

1 1momentum

t L

2

3

2 11

L

t

L momentumconcentracion de momemtum

t L LL

3

2 2 2 2

3

1 1 1momentum mL L L L

t t t tL

asav v v

L LLL

2

Si cons taL

tet

n v

2

3

m mv v

tL

L

t L

m

como : ... unidades de vis cos idadtL

v ... Newton

1: como gradiente

L

2

2

L

t

momentumconcentracion de momemtum

tL

2

2 3

3

3

1:

momentum momentumComo

tL L

L L

tL L

Transporte por difusión molecular de energía térmica (calor)

C

caloriasFlujo de calor : Q

t

2 2

1 : C

flujo de calor caloriasFlux de calor q

tL L

2 1

2 1

z

p p

C p

C T C Tq C T

z z

2 2

0

0C

mol C L

mo

cal

l L

calq

tL CtL

Asumiendo que C

p es independiente de la temperatura T

2 1 2 1 : tan Como además T T en to que z z

2 1

2 1

p p

p p zC z

C T C Tq C T C T

z z

022

3 0

1

1C p

L mol calq C C T

t L L mol LC

L

t

Transporte molecular de masa (moles de A)

A

moles de AFlujo molar de A : j

t

2 2

1 : A

flujo molar de A moles AFlux molar de A n

tL L

2 1

2 1

A A

A AzAB

C Cn C

z zD

2

2

22

2 3

1 1A

moles A L Lmoles AC

t Lt L tL

L

LL

2 12 1 : tan A AComo además C C en to que z z

2 1

2 1

0 z

A A

A AB AB A

C Cn D D C no hay flux negativo

z z

2 1

2 1

A A

A AB AB z A

C Cn D D C

z z

Transporte de masa (moles de A)

: A AB ALey de Fick n D C

:

flux molar de

Coeficiente de difusión molecular de en

Gradiente de la concentración molar de

A

AB

A

Ley de Fick

n A

D A B

C A

Similitud en el transporte por difusión de momentum, energía o masa

2

C p

L

tq C T

2

tv

L

2

gradiente de la concentraciónL

tde momentum

Cuando es cons tante : - v ... Newton

2

Cq gradiente de la concentracióL

n de c lt

a or

PCuando C es cons tante : q k T ... Fourier

2

AA

L

tn C

2

An gradiente de la concentración molar AL

tde

AB AAn D C ... Fick

Transporte de una propiedad conservativa φ por difusión molecular

Flux de φ por difusión molecular: Ψ

δ: coeficiente de la difusión molecular de φ

: gradiente de

ψ: concentración de φ

Concentración de

Flux de : v

Transporte por convección y por difusión molecular de una

propiedad conservativa φ .

Flux de : v

No se requiere definir a priori un Sistema Coordenado;

Postulados:

* Conservación: Las propiedades de interés son conservativas, lo cual

implica que no se crean ni se destruyen solo se transforman;

* Continuidad: Las propiedades conservativas son continuas en el

elemento de control.

Balance General de una Propiedad Conservativa ψ.

Enfoque Vectorial

Considere un elemento diferencial de control está fijo ↔ w = 0

dV

Principio de Conservación a la PC de interés en el EC:

Acumulación de PC

Rapidez entrada de por Difusión Rapidez salida de por Difusión PC PC

Rapidez entrada de por Convección Rapidez salida de por Convección PC PC

Rapidez de Transformación de PC

Acumulación de

Rapidez neta de transporte de por Difusión

Rapidez neta de transporte de por Convección

Rapidez de Transformación de

PC

PC

PC

PC

Balance General de una Propiedad Conservativa PC

en el elemento de control EC dV

Transporte por Difusión molecular

Flujo = (Flux)(Area Transversal)

Flux diferencial por difusión molecular:

Flujo diferencial por difusión: ndA

Flujo diferencial de entrada por difusión: ndA

Flux positivo

n y v tienen dirección diferente

Flujo diferencial de salida por difusión: ndA

n y v tienen la misma dirección

Area transversal de flujo : ndA

Flujo = rapidez entrada (o salida)

Difusión Molecular

Flujo total de entrada =

ENA

ndA

=

ENA

ndA =

ENA

n dA

Flujo total de salida =

SAA

ndA =

SAA

n dA

Flujo Neto total = Flujo total de entrada – Flujo total de salida

Flujo Neto total =

EN SAA A

n ndA dA

Flujo Neto total =

EN SAA A

n ndA dA

dV

Difusión Molecular

Área total del Elemento de Control = AEC = AEN+ASA

Flujo Neto total =

EN SAA A

n ndA dA

=

EN SAA A

n dA

Flujo Neto total por Difusión = ECA

n dA

flux pc

tiempo area

flujo flux area pc

tiempo rapidez

Rapidez Neta de Transporte por Difusión = ECA

n dA

RNTD = ECA

n dA

Transporte por Convección

Flujo = (Flux)(Area Transversal)

Flux por Convección = v

Flujo diferencial por Convección =v ndA

Flujo diferencial de Entrada por Convección n v dAv ndA

n y v tienen dirección diferente

n y v tienen la misma dirección

Area transversal de flujo : ndA

Flujo = rapidez entrada (o salida)

Flujo diferencial de Salida por Convección n v dAv ndA

Flujo diferencial Neto por Convección EN SAn v dA n v dA

dV

Convección

Flujo diferencial por Convección EN SAneto n v dA n v dA

Flujo total por Convección EN SA

EN SA

A A

neto n v dA n v dA

dV

Área total del Elemento de Control = AEC = AEN+ASA

Flujo total por Conveción = ECA

neto n v dA

flux pc

tiempo area Rapidez Neta de transporte por Convección =

ECA

n v dA

RNTC = ECA

n v dA

flujo flux area pc

tiempo rapidez

Acumulación

EC está fijo … v = v … w = 0

dV Acumulación es por definición :

d

dt

Acumulación de pc en un elemento diferencial: d

dVdt

concentracion de la propiedad conservativa

pc

L3

Cantidad de pc que tiene un elemento diferencial: dV

Acumulación de pc en todo el VC es:

C CV V

d d

dt dtdV dV

De acuerdo con el Teorema de Transporte, la Acumulación es:

( )

C C CV V A

ddV dV n w dA

dt t

Como el EC esta fijo (w = 0), la acumulación de la PC en todo el VC es:

Acumulación A

CV

dVt

dV

Hasta ahora, la acumulación en todo el es: CV

dEC

dtdV

Rapidez de Transformacion diferencialG

dV

Rapidez de Transformacion total ... [RT]

C

G

V

dV

Rapidez de Transformación de la pc

Rapidez de Transformacion

Volumen G

EC está fijo … v = v … w = 0

dV

Al sustituir la expresión matemática de [A], [RND], [RNC], [RT] en la

ecuación de conservación de ψ se tiene la expresión matemática

correspondiente:

C C C C

G

V A A V

dV ndA v ndA dVt

[RT] ...

C

G

V

dV

RNTD ... CA

ndA

[RNTC] ... CA

v ndA

[ [ [ [A] RNTD] RNTC] RT]

... [A]

CV

dVt

Como:

C C C C

G

V A A V

dV ndA v ndA dVt

Para tener la misma variable se aplica el Teorema de Divergencia:

C CA V

ndA dV

C CA V

v ndA v dV

Por lo tanto, la ecuación de transporte o balance de ψ queda:

tVC

dV VC

dV VC

vdV G

VC

dV

t v G

dV 0

VC

t v G

dV 0

VC

Esta ecuación se obtuvo considerando un elemento de control de

volumen finito, es decir que dV ≠ 0 ; por lo tanto, dicha igualdad se

cumple si y solo si:

Ecuación de transporte (balance) en términos de ψ

t v G

0

Acumulación

Transporte por Difusión Molecular

Transporte por Convección Transformación

Expresión diferencial (balance diferencial) del transporte de una

propiedad conservativa φ en términos de la concentración de dicha

propiedad ψ

Transferencia de Masa

Fin de 2013-VIII-08 2ª