1.6 Ecuaciones de rectas y planos.

De la siguiente figura

Observemos que la recta L que pasa por el punto ),,( 111 zyxP es paralela al

vector cbav ,,=→

, donde a éste vector se le llama vector de dirección ( o vector

director ) de la recta L y cba ,, son los números de dirección o números

directores. Así, la recta L contiene los puntos ),,( zyxQ para los cuales el vector →

PQ es paralelo a →v .

Esto significa que →

PQ es un múltiplo escalar de →v , de modo que

→→= vtPQ ,

donde t es un escalar.

Así, →→

==−−−= vtctbtatzzyyxxPQ ,,,, 111

Igualando las componentes correspondientes, se obtienen las ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio.

TEOREMA: Una recta L paralela al vector cbav ,,=→

y que pase por el punto

),,( 111 zyxP queda caracterizado por las ecuaciones paramétricas.

atxx += 1 , btyy += 1 , ctzz += 1

Forma canónica del plano

Si todos los números cba ,, son distintos de cero se puede eliminar el

parámetro t , con lo que se obtienen las ecuaciones simétricas de la recta.

c

zz

b

yy

a

xx 111 −=

−=

−

Consideremos ahora la siguiente figura

Consideremos los puntos ),,( 111 zyxP y ),,( zyxQ que se encuentran sobre el

plano y un vector normal no nulo cban ,,=→

al plano. Observemos que este

plano consta de todos los puntos ),,( zyxQ para los que el vector →

PQ es

perpendicular a →n . Por lo tanto, por un teorema, sabemos que

0,,.,,

0.

111 =−−−=

→→

zzyyxxcba

PQn

0)()()( 111 =−+−+− zzcyybxxa ⇐

Calculando las operaciones obtenemos

0=+++ DCzByAx Forma general del plano

TEOREMA: La ecuación canónica de un plano en el espacio que contiene el

punto ( )111 ,, zyx y tiene un vector normal cban ,,=→

puede representarse en

forma canónica por la ecuación

0)()()( 111 =−+−+− zzcyybxxa