1.3- equilibrio de nash-3

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TEORÍA DE JUEGOS(III)

CONCEPTOS DE SOLUCIÓN (2º)

EQUILIBRIO DE NASH(EN ESTRATEGIAS PURAS)



ESQUEMA DEL BLOQUE 3º

- EQUILIBRIO DE NASH:

CONCEPTO- EQUILIBRIO DE NASH:

EJEMPLOS

- UNA APLICACIÓN CONOCIDA: ELMODELO DE DUOPOLIO DECOURNOT



• Fuentes de las diapositivas:

Elaboración propia;

Frank (2005): “Microeconomía y Conducta”,McGrawHill;

Kreps (1995): “Curso de Teoría Microeco-nómica”, McGraw-Hill.

Nicholson (2004): “Teoría Microeconómica”,

Thomsom; yPindyck y Rubinfeld (2001):“Microeconomía”, Prentice-Hall, 2001.



Contribuciones más destacadas de JohnNash

• Modelo y concepto de solución para

problemas de negociación y solución dearbitraje.– „The Bargaining Problem‟, Econometrica, (18:

155-62), 1950.

• Concepto de equilibrio para juegos no-cooperativos.– „Equilibrium Points in n-Person Games‟,

Pproceedings Nat. Academy Sciences USA (36:48-49), 1950.

– „Noncooperative games‟, Annals of Mathematics, (54: 289-395), 1951 (Tesis

Doctoral).



1) EQUILIBRIO DE NASH:

INTRODUCCIÓN ALCONCEPTO

(Pindyck y Rubinfeld)



El equilibrio de Nash:

Preliminares• Estrategias dominantes:

– “Elijo mi mejor estrategia posible,independientemente de lo que túhagas”.

– “Eliges tu mejor estrategia posible,

independientemente de lo que yo haga”.



El equilibrio de Nash:

Preliminares• Equilibrio de Nash:

– “Elijo mi mejor estrategia posible, a lavista de lo que tú haces”.

– “Eliges tu mejor estategia posible,teniendo en cuenta lo que yo he

elegido”.



El problema de la elección deun producto

Empresa 1

Crujiente Dulce

Crujiente

Dulce

Empresa 2

-5, -5 10, 10

-5, -510, 10



Las estrategias maximin

Empresa 1

No invertir InvertirEmpresa 2

0, 0 -10, 10

20, 10-100, 0

No invertir

Invertir



El juego de la localización enuna playa

• Caso práctico:– Dos competidores, L y C , están

planeando vender bebidas en la

playa.– La playa tiene una longitud de 200metros.

– Los bañistas están repartidos por

igual a lo largo de toda la playa.– El precio de L es igual al precio de C. – El comprador irá a comprar un

refresco al puesto más cercano.



El juego de la localización en unaplaya

¿Dónde deben situarse los

competidores? ¿Dónde seencuentra el equilibrio de Nash?

Mar

0 B Playa A 200 metros

C L




CONCEPTOpara juegos bipersonales

(Nicholson)



Nash Equilibrium in Games

• At market equilibrium, no participanthas an incentive to change hisbehavior

• In games, a pair of strategies(a*,b*) is defined to be a Nashequilibrium if a* is player A‟s best

strategy when player B plays b*, andb* is player B‟s best strategy whenplayer A plays a*



Nash Equilibrium in Games

• A pair of strategies (a*,b*) is definedto be a Nash equilibrium if

U A(a*,b*) U A(a’ ,b*) for all a’ S A

U B(a*,b*) U b(a*,b’ ) for all b’ SB




CONCEPTOGENERAL



Equilibrio de Nash: versiónintuitiva

Una combinación de estrategias(s1 , s2 ,..,si ,.., sn)

es un equilibrio de Nash,siempre y cuando,

la estrategia jugada por cada jugador(según esa combinación) sea sumejor respuesta a las estrategias

jugadas por los demás(según esa combinación).



CONCEPTO DE EQUILIBRIO DENASH

Una combinación de estrategias(s1 , s2 ,..,si ,.., sn)

es un equilibrio de Nash,

siempre y cuando,para todo jugador i ,

ui

(s1 , s

2 ,..,s

i

,.., sn

)ui

(s1 , s

2 ,..,s’

i

,.., sn

),

para toda (s1 , s2 ,..,s’ i ,.., sn) tal ques’ i si , y sh sh , siendo h i.



• If one of the players reveals theequilibrium strategy he will use,

the other player cannot benefit– this is not the case withnonequilibrium strategies

Fuente: Nicholson (2004)



IMPORTANTE• Nótese que es una propiedad para

seleccionar aquellas combinacionesde estrategias que la cumplen.

• No incluye ninguna hipótesis sobrecómo hacen sus conjeturas los

jugadores acerca de las decisionesque vayan a tomar los demás.



Información de dominio público (1)

• Para que un jugador A elija su

estrategia de equilibrio es necesarioque conozca las estrategias deequilibrio de los demás.

• Para ello debe suponer que losdemás eligen racionalmente (en elmarco de ese juego).

• Pero como los demás necesitanidentificar la estrategia de equilibriode A, deben suponer que A actúaracionalmente (en el marco de ese

juego).

I f ió d d i i úbli (1)



Información de dominio público (1)

• Luego cualquier jugador supone que:

– todos los demás jugadores actúanracionalmente,– y suponen que él y todos los demás

• actúan racionalmente,• y suponen que todos los demás actúan

racionalmente.

• y debe conocer la estructura del juego– (al menos, (1) el conjunto de jugadores, (2)

las estrategias disponibles para cada jugador,y (3) los pagos que recibe cada jugador concada combinación de estrategias.

– (Cuando este requisito se cumple, decimos queel juego es de información completa).



CONOCIMIENTO COMÚN O DE DOMINIO PÚBLICO (ILUSTRACIÓN)

Sea un juego de dos jugadores, A y B, con un equilibrio de Nash (s, t).

¿Por qué juega A la estrategia s?(1) Porque es racional, y además(1) -está seguro de que B va a jugar t.¿Por qué piensa A que B va a jugar t?

(2) -Porque A piensa que (2.1) B es racional, y que (2.2) B piensa que Ava a jugar s.

¿Por qué piensa A que B piensa que A va a jugar s?(3) - Porque A piensa que B piensa que (3.1) A es racional y que (3.2

A piensa que B va a jugar t.¿Por qué piensa A que B piensa que A piensa que B va a jugar t?

(4) Porque A piensa que B piensa que A piensa que (4.1) B esracional y que (4.2) B piensa que A va a jugar s.

¿Por qué piensa A que B piensa que A piensa que B piensa que Ava a jugar s?

(5) - Porque A piensa que B piensa que A piensa que B piensa qu(5.1) A es racional y que (5.2) A piensa que B va a jugar t.

Y así sucesivamente ad infinitum.



En resumen:

(1)A es racional,y (2) piensa que B es racional y que

(3) B piensa que A es racional y(4) que A piensa que B es racional y que

(5) B piensa que A es racional, etc.

Luego todos los jugadores, además de ser racionales,piensan que todos los demás son

(1.1) racionales y (1.2) piensan que los demás(2.1) son racionales y (2.2) piensan que los demás(3.1) son racionales y (4.2) piensan que los demás(4.1) son racionales y (4.2) piensan que los demás

(5.1) son racionales y piensan (5.2)…….




EJEMPLOS



Ejemplos de equilibrios de Nash (1)

1º\2º t1 t

2 t3

s1 4, 3 2, 7 0, 4

s2 5, 5 5, -1 -4, -2



1º\2º t1 t2 t3 s

1 4, 10 3, 0 1, 3

s2 0, 0 2, 10 10, 3




1º\2º t1 t2 t3 t4 s

1 5, 8 3, 6 5, 7 4, 3

s2 3,10 4, 8 7, 1 6, 2

s3 4, 3 5, 2 3, 3 7, 1




1º\2º t1 t2 t3 s

1 10, 0 5, 1 4, - 20

s2 10, 100 5, 0 0, -10




1º\2º t1 t2 s

1 0, 0 20, 40

s2 40, 20 0, 0




1º\2º t1 t2 s

1 0, 0 20, 40

s2 60, 25 0, 0




t1 t

2 t

3 t

4

s1 200; 6 3; 5 4; 3 0; -1.000

s2 0; -10.000 5; -1.000 6;3 3; 20




1º\2º t1 t

2

s1 10, 10 0, 0

s2 0, 0 1, 1




t1 t2 t3 t4 s1 0, 0 0, 0 100, 100 0, 0

s2 0, 0 0, 0 0, 0 99, 99

s3

100, 100 0, 0 0, 0 0, 0 s

4 0, 0 100, 100 0, 0 0, 0




A Two-Period DormitoryGame (Example 10)

A

L

S

A chooses loud (L) or soft (S )

B

B

L

S

L

S

B makes a similarchoice knowing

A’s choice

7,5

5,4

6,4

6,3

Thus, we shouldput B ’s strategies

in a form that takesthe information onA’s choice into account



A Two-Period DormitoryGame

B’s Strategies

L,L L,S S ,L S ,S

A’sStrategies

L 7,5 7,5 5,4 5,4

S 6,4 6,3 6,4 6,3

• Each strategy is stated as a pair of actions showing what B will dodepending on A‟s actions

É



MINI-CIEMPIÉS (Ejemplo 11)

B/1ºA/1º A/2º B/2º A/3º B/3º

1

1

0

3

2

2

1

4

3

3

2

5

4, 4

ESTRATEGIAS DE LOS JUGADORES

EN EL JUEGO DEL MINI-CIEMPIÉS

Conj. Inform. 1º Conj. Inform. 2º Conj. Inform. 3º

Horizontal H H

H H Vertical

H V H H V V

V H H

V H V

V V H

V V V



FORMA NORMAL Y EQUILIBRIOS DE NASH EN EL JUEGO DEL MINI-CIEMPIÉS.

A\B

*4, 4 2, 5* 1, 4 1, 4 0, 3 0, 3 0, 3 0, 3

3, 3 *3, 3 1, 4* 1, 4* 0, 3 0, 3 0, 3 0, 3 2, 2 2, 2 *2, 2 *2, 2 0, 3* 0, 3* 0, 3* 0, 3* 2, 2 2, 2 *2, 2 *2, 2 0, 3* 0, 3* 0, 3* 0, 3* 1, 1* 1, 1* 1, 1* 1, 1* *1, 1* *1, 1* *1, 1* *1, 1* 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 *1, 1* *1, 1* *1, 1* *1, 1* 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 *1, 1* *1, 1* *1, 1* *1, 1* 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 *1, 1* *1, 1* *1, 1* *1, 1*

J d l d d



Juego de la verdad(Ejemplo 12)

• El jugador 2 recibe 1 euro si acierta,y 0 euros si no acierta.

• El jugador 1 recibe dos euros si el jugador 1 dice , y cero si dice .

• Además, el jugador 1 recibe un eurosi dice la verdad, y cero si miente.



1

1

{.2}

{.8}

B

A

a

b

a

b

1, 1

3, 0

0, 1

2, 0

0, 0

2, 1

1, 0

3, 1

N

2

2

2

2

JUEGO DE LA VERDAD



ESTRATEGIAS EN EL JUEGO DE LA VERDAD

I) Estrategias del jugador 1• Dos nodos de decisión: Naturaleza A, Naturaleza B.

• Dos acciones: a y b.

• Estrategias: 2x2=4: (a-a), (a-b), (b-a), (b-b).

II) Estrategias del jugador 2Dos nodos de decisión: (A;B;a)-(A;B;b)

• Dos acciones: y .• Estrategias: 2x2= 4:(-), (-), (-), (-).



5) EQUILIBRIO DE NASH:UNA APLICACIÓN

CONOCIDA: EL MODELODE COURNOT



• El equilibrio de Nash:– Cada empresa obtiene el mejor

resultado posible dados los resultados

de las competidoras.

Oligopolio

Fuente: Pindyck y Rubinfeld (2001)



• El modelo de Cournot:– El duopolio:

• Dos empresas que compiten entre sí.

• Bien homogéneo.

• Las empresas consideran fijo el nivel deproducción de su competidora.

Oligopolio



• Un ejemplo de equilibrio de Cournot:– Duopolio:

• La demanda de mercado es P = 30 - Q,donde Q = Q1 + Q2

• CM1 = CM2 = 0

Una curva de demanda lineal

Oligopolio



• Las curvas de reacción:– El nivel de producción que maximiza los

beneficios de una empresa es una

función decreciente de la cantidad quepiense que producirá la Empresa 2.

Oligopolio



• Un ejemplo de equilibrio de Cournot:

1 2

2 1

2 1 1

2 1 15

2 1 15

0

2 30

Q Q

Q Q

CM 1 IM 1

Q Q Q IM 1

- =

- =

= =

- - = D D I 1=

Curva de reacción de la Empresa 2:

Curva de reacción de la Empresa 1:

OligopolioUna curva de demanda lineal



El ejemplo del duopolioQ1

Q2

Curva dereacción de la Empresa 2

30

15

Curva dereacción de la Empresa 1

15

30

10

10

Equilibrio de Cournot

La curva de demanda es P = 30 - Q ylas dos empresas tienen un coste marginal nulo.



• Un ejemplo de equilibrio de Cournot:

10 30 20

10 ) 2 1 15 ( 2 1 15

2 1

1

1

= - = = + =

= - - =

Q P Q Q Q

Q Q Q 2 Equilibrio de Cournot =

OligopolioUna curva de demanda lineal

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