118853900 estatica harry nara centroide y momentos de inercia
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B-6. Por integración directa, localizar el centroide de la superficie sombreada que se
ilustra en la figura.
Solución.
Ecuación de la semicircunferencia. Toomando solo la parte positiva de y en función
de x.
√
Ecuación de la semielipse. Análogo al caso de la semicircunferencia.
√
Elemento diferencial y Área de la superficie sombreada. Se toma un elemento
diferencial vertical.
El elemento diferencial vertical está dado por:
√
En efecto, el área de la superficie sombreada es:
∫
∫ √
* √ (
)+
*
+
Centroide. Según las relaciones:
∫
∫
∫
∫
Calculamos:
a.
∫
∫
√
(
) [
( )
⁄ ]
b.
∫
∫ (
√
√ )
√
∫ ( )
∫
*
+
*
+
Por lo tanto, el centroide es:
∫
∫
∫
∫
Respuesta: ( ) (
)
B-35. Calcular para la superficie plana que se muestra en la figura.
Solución.
Rectángulo [S1]. El rectángulo es una superficie trivial. Tomamos un elemento
diferencial cuadrado para hallar los momentos de inercia.
Área:
( )
Elemento diferencial:
:
∫ ∫ ∫
⁄
⁄
∫ (
)
⁄
⁄
(
)(
)
∫ ∫ ∫
⁄
⁄
∫
⁄
⁄
(
)
Segmento parabólico [S2]. Tomamos el mismo elemento diferencial que para el
rectángulo.
Elemento diferencial:
Área:
∫ ∫ ∫
⁄
⁄
∫ (
)
⁄
⁄
[
]
⁄
⁄
*
+
∫ ∫ ∫
⁄
⁄
∫ (
)
⁄
⁄
*
+
⁄
⁄
*
+
∫ ∫ ∫
⁄
⁄
∫ (
)
⁄
⁄
*
+
⁄
⁄
*
+
Área compuesta [S1+S2]. Para el área compuesta por las superficies S1 y S2,
tenemos que:
Respuesta: {
6.14. Usando el método de los nodos, hallar la fuerza en cada miembro de la armadura
que se muestra en la figura.
Solución.
1. Evaluando el equilibrio de todo el conjunto con respecto a A. D.C.L. de toda la
estructura.
𝑥
𝑦
Condición de equilibrio de rotación.
∑
( ) ( ) ( )
Condiciones de equilibrio de traslación.
∑
∑
2. Evaluando el equilibrio del elemento estructural ACE con respecto a A. Primero
planteamos la condición de equilibrio de rotación.
𝑥
𝑦
Condiciones de equilibrio elegidas en un orden conveniente.
∑
∑ ( ) ( ) ( )
∑
3. Análisis del nodo A.
∑ √
√
∑ √
( √ )
4. Análisis del nodo K.
∑ √
√
∑
5. Análisis del nodo B.
Es evidente que dado que
6. Análisis del nodo C.
∑ √
∑
7. Análisis del nodo L.
∑ √
∑ √
√
8. Análisis del nodo M.
∑ √
√
∑
9. Análisis del nodo D.
∑
10. Análisis del nodo E.
∑ √
√
∑
11. Análisis del nodo I.
∑ √
√
∑
12. Análisis del nodo R.
∑ √
√
∑
13. Análisis del nodo H.
∑
∑
14. Análisis del nodo G.
∑ √
∑
15. Análisis del nodo P.
∑ √
∑ √
√
16. Análisis del nodo F.
∑ √
17. Comprobación en el nodo N.
∑ √ √
∑
Respuestas: Problema 6.14.
a. Reacciones en los apoyos:
Apoyo articulado: {
Vectorialmente : * ( )
Reacción total en A:
Apoyo de rodillo:
Vectorialmente: ton.
b. Esfuerzos en los miembros de la armadura:
MIEMBRO
TIPO DE ESFUERZO VALOR
(ton)
AK compresión 37.123 ton
KL compresión 37.123 ton
LM compresión 37.123 ton
ME compresión 37.123 ton
PR compresión 33.588 ton
PN compresión 33.588 ton
IR compresión 33.588 ton
EN compresión 33.588 ton
GH compresión 25.000 ton
HI compresión 25.000 ton
CD tracción 2.500 ton
DE tracción 2.500 ton
AI tracción 23.750 ton
AB sin esfuerzo 0.000 ton
BK sin esfuerzo 0.000 ton
BL sin esfuerzo 0.000 ton
BC sin esfuerzo 0.000 ton
CL sin esfuerzo 0.000 ton
DL sin esfuerzo 0.000 ton
DM sin esfuerzo 0.000 ton
EF sin esfuerzo 0.000 ton
FN sin esfuerzo 0.000 ton
FP sin esfuerzo 0.000 ton
FG sin esfuerzo 0.000 ton
GP sin esfuerzo 0.000 ton
HP sin esfuerzo 0.000 ton
HR sin esfuerzo 0.000 ton