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Estática Contenido temático y ejercicios prácticos

Centro de ingeniería y tecnología UABC valle de las palmas

Manual de estática

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Contenido temático

Acerca del manual ............................................................................................................. 3

Unidad I. Introducción a la mecánica clásica ...................................................................... 4

Competencia de unidad I ................................................................................................... 4

1.1 Resumen histórico y descripción .................................................................................. 4

1.2 Conceptos fundamentales: espacio, tiempo, masa y fuerza .......................................... 5

1.3 Leyes de Newton ................................................................................................... 6 y 7

1.4 Principios fundamentales de la mecánica ............................................................... 7 y 8

1.5 Ley de la gravitación universal ..................................................................................... 8

1.6 Sistemas de unidades................................................................................................... 9

Conversión de unidades .......................... 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23

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Estática Contenido temático y ejercicios prácticos

Acerca del manual

PROPÓSITO GENERAL DEL CURSO

El alumno al cursar esta materia será capaz de analizar y resolver problemas de mecánica vectorial

aplicadas a fenómenos de sistemas en equilibrio. La asignatura se imparte en la etapa básica y

corresponde al área de ciencias básicas, dicha materia establece las bases teóricas para la materia

de dinámica.

COMPETENCIA (S) DEL CURSO

Competencia Aplicar conceptos y principios de las fuerzas que actúan sobre partículas y

cuerpos rígidos, utilizando la metodología de la mecánica clásica, para resolver problemas de

fenómenos físicos, con una actitud crítica, reflexiva y responsable.

EVIDENCIA (S) DE DESEMPEÑO

Experimentación, discusión y elaboración de reportes de fenómenos de fuerzas actuando sobre partículas y cuerpos rígidos. El reporte debe incluir: objetivo, marco teórico, desarrollo y conclusiones.

Resolución de ejercicios y problemas en talleres, tareas y exámenes, siguiendo un formato de planteamiento, desarrollo, resultados e interpretación de los mismos.

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Unidad I. Introducción a la mecánica clásica

Competencia de unidad l

Aplicar los conceptos y principios de la estática, manejando los diferentes sistemas de unidades y sus conversiones, el análisis dimensional y los sistemas de coordenadas, para la resolución de problemas respecto a situaciones hipotéticas o reales, con objetividad y responsabilidad.

1.1 Resumen histórico y descripción

Mecánica. Ciencia que describe y predice las condiciones de reposo y movimiento de los

cuerpos bajo la acción de fuerzas.

El estudio de la mecánica se remonta a los tiempos de:

• Aristóteles (384 – 322 a.C.)

• Arquímedes (287 – 212 a.C.)

Isaac Newton (1642 –1727) fue el que encontró una formulación satisfactoria de sus principios

fundamentales.

La mecánica Newtoniana es la base de las actuales ciencias de la ingeniería.

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1.2 Conceptos fundamentales: espacio, tiempo, masa y fuerza

Espacio

• Se asocia con la noción de la posición de un punto P.

• La posición del punto P puede definirse por tres longitudes medidas desde cierto

punto de referencia, llamado origen.

• A estas longitudes se les conoce como coordenadas.

Tiempo

Para definir un evento, no es suficiente con indicar su posición en el espacio sino que debe

darse también el tiempo del evento.

Masa

• Tiene la función de caracterizar y comparar los cuerpos con base en ciertos

experimentos mecánicos.

• Ejemplo: dos cuerpos que tengan la misma masa serian atraídos por la Tierra de la

misma forma.

Fuerza

• Representa la acción de un cuerpo sobre otro y puede ejercerse por contacto real o a

distancia (fuerzas gravitacionales y magnéticas).

• Se caracteriza por su punto de aplicación, magnitud, y dirección y se representa por un

vector.

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1.3 Leyes de newton

1ª Ley. LEY DE LA INERCIA.

“Todo cuerpo permanece en reposo o en movimiento uniforme rectilíneo si no actúan fuerzas

sobre él”.

Para estudiar el movimiento se define primero un sistema de referencia. Un mismo

movimiento parece distinto si se observa desde distintos sistemas de referencia. Un sistema se

define como inercial si está en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme. Galileo demostró

que no podemos, mediante experiencias físicas mecánicas, saber si estamos en un sistema en

reposo o en uno en movimiento.

2ª ley.

Una fuerza aplicada sobre un cuerpo le comunica una aceleración. (F= m·a). Hasta Newton se

suponía que para que existiera movimiento se requería una fuerza (F velocidad), pero

después de enunciada la 1ª ley, entendemos que un cuerpo se puede mover indefinidamente

actuando sobre él una F = 0. (Nave en el espacio).

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3ª Ley de Newton.

PRINCIPIO DE ACCIÓN Y REACCIÓN. “Siempre que una partícula ejerza una fuerza (acción)

sobre otra partícula, ésta segunda responderá simultáneamente con otra fuerza (reacción)

igual en módulo y dirección pero sentido opuesto a la primera.”

Las fuerzas proceden de una interacción y siempre aparecen de dos en dos. Se aplica cada una

en uno de los cuerpos que interaccionan, (sí se aplicaran las dos en el mismo cuerpo

producirían reposo).

1.4 Principios y fundamentos de la mecánica

LEY DEL PARALELOGRAMO PARA LA ADICIÓN DE FUERZAS

Establece que dos fuerzas que actúan sobre una partícula pueden ser sustituidas por una

solo fuerza llamada resultante, que se obtiene al trazar la diagonal del paralelogramo que

tiene los lados iguales a las fuerzas dadas.

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PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD

Establece que las condiciones de equilibrio o de movimiento de un cuerpo rígido

permanecerán inalteradas si una fuerza que actúa en un punto del cuerpo rígido se

sustituye por una fuerza de la misma magnitud y la misma dirección pero que actúe en un

punto diferente, siempre que las dos fuerzas tengan la misma línea de acción.

1.5 Ley de la gravitación universal

Establece que dos partículas de masa M y m se atraen mutuamente con fuerzas iguales y

opuestas F y –F, de magnitud F dada por la fórmula

r= distancia entre las dos partículas G=constante universal de la Gravitación

2r

MmGF

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1.6 Sistema de unidades

Sistema Internacional de Unidades

El SI de medidas es reconocido y utilizado por la comunidad científica internacional como el

medio preciso (y exacto) a través del cual se dan a conocer los resultados de las

investigaciones realizadas en los distintos contextos de la ciencia.

Los múltiplos y submúltiplos de las unidades de longitud, masa y fuerza de mayor uso en la

ingeniería son: el kilómetro (km) y el milímetro (mm), la mega gramo (Mg) y el gramo (g) y el

kilo newton (kNw).

Nombre Longitud Tiempo Masa Fuerza

Sistema

Internacional de

Unidades (SI)

metro

(m)

segundo

(s)

kilogramo

(kg)

newton

(Nw)

Sistema de

Unidades

comunes en

Estados Unidos

pie

(ft)

segundo

(s)

Slug

(lb.s2/ft)

libra

(lb)

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Taller #1

1. Una cancha de tenis tiene 100m de largo y 80m de ancho. ¿Cuáles son la longitud y la

anchura de la cancha en pies? ¿Cuál es el área de la cancha en pulgadas?

2. Un cubo tiene 7 pulgadas por lado. ¿Cuál es el volumen del cubo en pies y en metros

cúbicos?

3. Un carro viaja a una velocidad de 87mi/h. ¿A cuánto equivale su rapidez en pies/s?

4. Convertir 25 m/s2 a ft./s

2

5. Convierta las cantidades 300 lb.s y 52 slug/ft3 a las unidades del SI apropiadas.

6. Un cohete tiene una masa de 250(103) slugs sobre la Tierra. Especifique (a) su masa en

unidades SI, y (b) su peso en unidades SI. Si el cohete está en la Luna, donde la

aceleración de la gravedad gm = 5.30 ft/s2, determine con tres cifras significativas (c) su

peso en unidades SI, y (d) su masa en unidades SI.

1.- 100m de largo a pies= 328.08 ft

80m de largo a pies= 262.46 ft y

El área en pulgadas= 12’399’975.2 pul.

2.- 343 a = 0.00562177

343 a = 0.198508827

3.- 87 millas/horas a pies/segundo = 127.63 pies/segundo

4.- 25 m/ a pies/ = 82.04 pies/

5.- 1334.46 N/s y 26798.04 kg/

6.-

a) 364’8250 kg

b) 35’789’332.5 N

c) 19.335 Mn

d) 3.6482 x Kg

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EJERCICIOS PROPUESTOS:

1. El agua tiene densidad de 1.94 slug/ft3. ¿Cuál es su densidad expresada en unidades SI? Exprese la respuesta con tres cifras significativas.

2. Si un objeto tiene una masa de 40 slugs, determine su masa en kilogramos.

3. ¿Cuál es el peso en newtons de un objeto que tiene una masa de: (a) 10 kg, (b) 0.5 g,

(c) 4.50 Mg? Exprese el resultado con tres cifras significativas. Use un prefijo apropiado.

4. Si un automóvil está viajando a 55 mi/h, determine su rapidez en km/h y en m/s.

5. La madera tiene una densidad de 4.70 slug/pie3. ¿Cuál es su densidad expresada en

unidades SI?

6. Represente cada una de las siguientes cantidades en la forma SI correcta usando un

prefijo apropiado: (a) 0.000431 kg, (b) 35.3(103) N, (c) 0.00532 km.

7. Un cohete tiene una masa de 250(103) slugs sobre la Tierra. Especifique (a) su masa en

unidades SI, y (b) su peso en unidades SI. Si el cohete está en la Luna, donde la

aceleración de la gravedad es gm = 5.30 pies/s2, determine con tres cifras significativas

(c) su peso en unidades SI, y (d) su masa en unidades SI.

8. Convierta cada una de las siguientes cantidades y exprese la respuesta usando un prefijo apropiado: (a) 175 Ib/pie3 a kN/m3, (b) 6 pies/h a mm/s, y (c) 835 lb·pie a kN·m.

9. Convierta cada una de las siguientes cantidades a cantidades con tres cifras significativas. (a) 20 lb · pie a N . m, (b) 450 Ib/pie3 a kN/m3, y (c) 15 pies/h a mm/s.

10. Evalúe cada una de las siguientes cantidades con tres cifras significativas y exprese cada respuesta en unidades SI usando un prefijo apropiado: (a) (0.631 Mm)/(8.60 kg)2, (b) (35 mm)2 (48 kg)3.

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Unidad II. Estática de partículas

Competencia de unidad I

Resolver problemas con fuerzas que actúan sobre las partículas en equilibrio en dos y tres

dimensiones, mediante la aplicación de la primera ley de Newton, que permitan explicar cómo

interactúan las fuerzas en situaciones hipotéticas o reales con objetividad y responsabilidad.

2.1.3 Descomposición de una fuerza en sus componentes.

Se ha visto que dos o más fuerzas que actúan sobre una partícula

pueden sustituirse por una sola fuerza que produce el mismo efecto

sobre la partícula.

De la misma manera, una sola fuerza F que actúa sobre una partícula

puede reemplazarse por dos o más fuerzas que produzcan juntas el

mismo efecto sobre la partícula.

Dos casos son de especial interés:

a) Una de las dos componentes P se conoce.

La segunda componente se obtiene aplicando la Ley del

Triángulo.

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b) Se conoce la línea de acción de cada una de las componentes.

La magnitud y el sentido de las componentes se obtiene al aplicar la Ley

del Paralelogramo y trazando líneas, por la punta de F, paralelas a la línea de

acción dadas.

2.1.4 Vectores unitarios

En tres dimensiones, el conjunto de vectores unitarios cartesianos i, j, k, se usa

para designar las direcciones de los ejes x, y, z

Como las tres componentes de A actúan en las

direcciones positivas i, j, k, podemos escribir A en

forma vectorial cartesiana como:

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Notación vectorial cartesiana

En dos dimensiones, los vectores unitarios i y j se usan para designar

direcciones de los ejes x y y, respectivamente

Esos vectores tienen una magnitud adimensional de la unidad y sus

sentidos serán descritos analíticamente por un signo mas o uno menos,

dependiendo si señalan a lo lardo de los ejes x o y , positivos o negativos

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2.1.6 Equilibrio de una partícula

Si la Resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula es

cero, la partícula se encuentra en equilibrio.

Una partícula a la acción de dos fuerzas estará en equilibrio si ambas

fuerzas tienen la misma magnitud, la misma línea de acción, pero

sentidos opuestos.

Esto es una consecuencia de la segunda Ley de movimiento de Newton,

la cual puede escribirse como:

En consecuencia, la partícula se mueve con velocidad constante o

permanece en reposo.

Otro caso de una partícula en equilibrio se muestra en la figura donde aparecen 4

fuerzas que actúan sobre A.

Para expresar en forma algebraica las condiciones del equilibrio de una partícula se

escribe:

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Descomponiendo cada fuerza F en sus componentes rectangulares, se

tiene:

Se concluye que las condiciones necesarias y suficientes para el

equilibrio de una partícula son:

2.1.7 Primera Ley del movimiento de Newton.

Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es cero, la partícula

permanecerá en reposo (si originalmente estaba en reposo) o se moverá con

velocidad constante en línea recta (si originalmente estaba en movimiento).

De esta Ley y de la definición de equilibrio se deduce que una partícula

en equilibrio puede estar en reposo o moviéndose en línea recta con velocidad

constante.

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2.1.7 Diagrama de cuerpo libre

Para aplicar la ecuación del equilibrio tenemos que tener e cuenta todas

las fuerzas conocidas y desconocidas (F) que actúan sobre la partícula.

La mejor manera de hacer esto es trazando el diagrama de cuerpo libre

de la partícula.

Este diagrama es simplemente un croquis que muestra la partícula “libre”

de su entorno con todas las fuerzas que actúan sobre ella.

Dos tipos de conexiones en equilibrio de partículas:

a) Resortes: Si un resorte elástico lineal se usa como soporte, su

longitud cambiara en proporción directa a la fuerza que actúe en el.

Una característica que define la “elasticidad” de un resorte es la

constante de resorte o rigidez, k.

La magnitud de la fuerza ejercida en el resorte elástico es:

18

Aquí s está determinada a partir de la diferencia de la longitud del

resorte deformado l y su longitud no deformada lo, es decir:

Si F es positiva “jala”, mientras que si es negativa F lo “empuja”.

b) Cables y Poleas: Un cable puede soportar solo una tensión o jalón,

y esta fuerza siempre actúa en la dirección del cable.

Procedimiento para trazar un Diagrama de Cuerpo Libre.

1) Trace la forma delineada:

Suponga que la partícula esta aislada de su entorno trazando su forma

delineada.

2) Muestre todas las fuerzas:

Indique sobre ese croquis todas las fuerzas que actúan sobre la

partícula.

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3) Identifique cada fuerza:

Las fuerzas que son conocidas deben ser rotuladas con sus propias

magnitudes y direcciones. Para representar las magnitudes y direcciones de las

fuerzas desconocidas se usan letras.

Ejercicios. Equilibrio de una Partícula.

Cuando una partícula esta en equilibrio, la resultante de todas las fuerzas que

actúan sobre la particula debe ser igual a cero.

Instrucciones: Resolver los siguientes problemas de Equilibrio de una

Partícula.

Pasos a seguir:

1. Trace un diagrama de cuerpo libre

2. Si solo están involucradas 3 fuerzas en el diagrama de cuerpo libre,

utilice la ley del triángulo.

3. Si están involucradas más de 3 fuerzas, descomponga las fuerzas en sus

componentes X y Y.

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Ejercicios Propuestos:

1. Si α= 50° y el aguilón AC ejerce sobre la articulación C una fuerza

dirigida a lo largo de la línea AC, determine a) la magnitud de la fuerza,

b) la tensión en el cable BC.

2. Las cuerdas AB y AC son lanzadas a una persona cuya lancha se ha

hundido. Si α= 25° y la magnitud de la fuerza FR ejercida por el río

sobre el lanchero es de 70 lb, determine la tensión en a) la cuerda AB,

b) la cuerda AC.

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3. Dos cables se amarran juntos en C y son cargados como indica la figura.

Si W= 190 lb, determine la tensión en a) el cable AC, b) el cable BC.

4. Un bloque de peso W está suspendido de una cuerda de 25 in. De largo

y de dos resortes cuyas longitudes sin estirar miden 22.5 in. Cada una. Si

las constantes de los resortes son KAB= 9 lb/in, y KAD= 3lb/in.,

determine a) la tensión en la cuerda, b) el peso del bloque.

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5. El aguilón AB está soportado por el cable BC y una bisagra colocada en

A. Si el aguilón ejerce sobre el punto B una fuerza dirigida a lo largo de

sí mismo y la tensión en la cuerda BD es de 310 N, determine a) el valor

de α para el que la tensión en el cable BC es mínima, b) el valor

correspondiente de la tensión.

6. El cincel ejerce una fuerza de 20 lb sobre la barra de madera que gira en

un torno. Resuelva esta fuerza en componentes que actúen (a) a lo largo

de los ejes n y t, Y (b) a lo largo de los ejes X y Y.

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7. Determine la magnitud y la dirección de la resultante FR = F1 + F2 + F3

de las tres fuerzas encontrando primero la resultante F’ = F2 + F3 , y

formando luego FR = F1 + F’.

8. La viga va a ser levantada usando dos cadenas. Si la fuerza resultante

debe ser de 600 N dirigida a lo largo del eje Y positivo, determine las

magnitudes de las fuerzas FA y FB sobre cada cadena y la orientación

de FB de manera que la magnitud de FB sea mínima. FA actúa a 30°

desde el eje Y como se muestra.

24

9. Determine las componentes X y Y de las fuerza de 800 lb.

10. Si ( ) = 60° y F= 20 kN, determine la magnitud de la fuerza

resultante y su dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj

desde el eje X positivo.

25

Taller # 2

7. Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho que se muestra en la

figura. Si P = 15 lb y Q = 25 lb, determine la magnitud y la dirección de su

resultante.

8. Dos fuerzas son aplicadas a una argolla sujeta a una viga. Determine la

magnitud y la dirección de su resultante.

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9. Dos esquiadores acuáticos están siendo jalados por un bote que provee una

fuerza neta de 500 lb (5.00 x 102) a lo largo del eje x en la figura. Esta

fuerza ocasiona una tensión en cada una de las cuerdas, la cual a su vez

jala al esquiador. Calcula la tensión en las cuerdas utilizando la ley de senos.

10. Un automóvil descompuesto es jalado por medio de cuerdas sujetadas a las

dos fuerzas que se muestran en la figura. Determine la magnitud y la

dirección de su resultante.

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11. La armella roscada que se ve en la figura está sometida a dos fuerzas F1

y F2. Determine la magnitud y la dirección de la resultante.

12. La fuerza de 500 lb que actúa sobre la estructura debe resolverse en dos

componentes actuando a lo largo de los ejes de las barras AB y AC. Si la

componente de la fuerza a lo largo de AC debe ser de 300 lb, dirigida de A

C, determine la magnitud de la fuerza que debe actuar a lo largo de AB y el

ángulo de la fuerza de 500

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Taller #3

1. La figura muestra tres fuerzas que actúan de forma concurrente en un plano en

un solo punto (un perno de armella en la caja de un camión). Determine la

fuerza Resultante que actúa sobre el perno.

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2. Dos varillas de control están unidas en A la palanca AB. Aplique trigonometría

y, sabiendo que la fuerza en la varilla de la izquierda F1 =30lb, determine:

a) La fuerza F2 requerida en la varilla derecha si la resultante R de las fuerzas

ejercidas por las varillas sobre la palanca vertical;

b) La magnitud de R.

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3. Cuatro fuerzas concurrentes actúan sobre el centro de masa de un avión que

está aterrizando, como se muestra en la figura. Calcule la fuerza Resultante y

el ángulo que forma con el eje horizontal.

2.00x103 lb cos90°=0lb

2.00x103 lb sen90°=2000lb

1.00 x103lb cos0°= 1000lb

1.00 x103lb sen0°=0lb

5.0 x102lb cos135°=-353.55lb

5.0 x102lb sen135°=353.55lb

2.00 x103lb sen30°=1000lb

2.00 x103lb cos30°=1732.05lb

√( ) ( )

R=1759.844lb

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4. El anillo mostrado en la figura está sometido a dos fuerzas, F1 y F2.Si se requiere

que la fuerza resultante tanga magnitud de 1KNw y está dirigida verticalmente hacia

abajo, determine:

a) Las magnitudes de F1 y F2 si Ѳ=30°;

b) Las magnitudes de F1 y F2 debe ser mínima.

32

( )( )

b) Ѳ=70°

( )( )

( )( )

b) Ѳ=90°

( )( )

( )( )

b) Ѳ=110°

( )( )

( )( )

33

Taller #4

1. Determine la fuerza resultante FR y su dirección, de los

siguientes ejercicios:

1. a)

Fuerza Magnitud X Y F1 600 N 424.26 424.26 F2 800N -692.82 400 F3 450N -434.66 -116.46

FRx=-702.72 Fry=707.8

√

34

√

Fuerza Magnitud X Y F1 250 lb 125 216.5 F2 375 lb. 265.16 -265.16

FRx=390 lb. Fry=-48.66 lb.

35

√ ( )

36

1. Determine el ángulo para conectar la barra A a la placa de manera que

la fuera resultante de FA y Fb este dirigida horizontalmente hacia la

derecha, cual es la magnitud de la fuerza resultante?

( )

( )

√

√ ( )

37

2. SI F1=F2=30lb, determine los ángulos de manera que la fuerza

resultante este dirigida a lo largo del eje X positivo y tenga una

magnitud FR=20lb.

( )

38

Unidad III. Cuerpos rígidos, sistemas de fuerzas equivalentes.

Competencia de unidad III

Resolver problemas de cuerpos rígidos, mediante la aplicación de los fundamentos de

sistemas de fuerzas equivalentes, para explicar fenómenos físicos en equilibrio bajo

diferentes condiciones, con creatividad, objetividad y responsabilidad.

3.1 Fuerzas externas e internas

Las fuerzas que actuan sobre los cuerpos rígidos se pueden dividir en 2 grupos 1)

fuerzas externas y 2) fuerzas internas .

Las fuerzas externas representan la accion que ejercen otros cuerpos sobre el

cuerpo rígido en consideracion. Ellas son las responsables del comportamiento

externo del cuerpo rígido. Las fuerzas externas causan que el cuerpo se mueva o

aseguran que este permanezca en reposo .

Las fuerzas internas son aquellas que mantienen unidas las particulas que

conforman al cuerpo rígido. Si este esta constituido en su estructura por varias partes,

las fuerzas que mantienen unidas a dichas partes

tambien se definen como fuerzas internas .

Ejemplo 1: Las fuerzas externas que actuan sobre un

camión descompuesto que es arrastrado hacia

adelante por varios hombres mediante cuerdas unidas

a la defensa delantera, son: la fuerza (F) que ejercen

los hombres al tirar de la cuerda, el peso (W), el suelo

se opone a la caida del camión por medio de las

reacciones (R1) Y (R2), estas fuerzas se ejercen por el

piso sobre el camión, como se observan en la figura 3.1

y 3.2.

Ejemplo 2: El diseño y análisis de cualquier

miembro estructural requieren conocer las

fuerzas internas que actúan en él. En la figura

39

3.3 se aprecia una viga de acero donde estan actuando las fuerzas externas F1 y F2, y

las reacciones de soporte Ax, Ay, y By, si se realiza una sección trasnversal en el

punto C, se distinguen las fuerzas internas momento Mc, fuerza de corte Fc y fuerza

axial Nc, según se

aprecia en la figura 3.4,

3.2 Principios de transmisibilidad de fuerzas equivalentes

El principio de transmisibilidad establece que las condiciones de

equilibrio o de movimiento de un cuerpo rígido permanecerán

inalteradas si una fuerza F que actúa en un punto dado de ese

cuerpo se reemplaza por una fuerza F' que tiene la misma

magnitud y dirección, pero que actúa en un punto distinto,

siempre y cuando las dos fuerzas tengan la misma línea de

acción (figura 3.5).

3.3 Momento de una fuerza alrededor de un punto

El momento de una fuerza con respecto a un punto o eje proporciona una medida de

la tendencia de la fuerza a ocasionar que un cuerpo gire alrededor del punto o eje.

Ejemplo: Considere la fuerza horizontal , que actua perpendicularmente al mango

de la llave y está localizado a una distancia del punto O, se observa en la figura 3.6

a, 3.6 b, 3.6 c, la fuerza tiende a girar el tubo alrededor del eje , entre mayor es la

fuerza o la distancia , mayor es el efecto de rotación, a esta tendencia a la rotación

causada por se le denomina momento de una fuerza o simplemente momento

( ) , de donde el eje Z es perpendicular al plano ( ).

Figura 3.5

Figura 3.4

Figura 3.6 a. Figura 3.6 b. Eje del

momento

Figura 3.6 c.

40

La magnitud de Mo es

, donde

d, brazo de momento o distancia perpendicular del eje en el punto O a la línea de

acción de la fuerza. Las unidades de la magnitud del momento son el producto de la

fuerza multiplicada por la distancia, N.m ó lb.pie.

3.3.1 Momento resultante de un sistema de fuerzas coplanares

Si un sistema de fuerzas se encuentra en un plano x-y, entonces el momento

producido por cada fuerza con respecto al punto O estará dirigido a lo largo del eje z,

el momento resultante del sistema puede ser determinado sumando simplemente

los momentos de todas las fuerzas algebraicamente, ∑

Ejercicio 1. Para cada caso ilustrado en las figuras determine el momento de la fuerza

con respecto al punto O.

Solución:

Ejemplo 2: Determine los momentos de la fuerza de 800N que actúa sobre

la estructura que aparece en la siguiente figura, con respecto a los puntos

A,B,C y D.

Solución:

Ejemplo 3: determine el

momento resultante de las

41

cuatro fuerzas que actúan sobre la barra mostrada con respecto al punto O.

Solución:

3.4 Teorema de Varignon y componentes rectangulares del momento de una

fuerza.

El principio de Varignon establece que el momento de una fuerza con respecto a un

punto es igual a la suma de los momentos de las componentes de la fuerza con

respecto al punto

Ejercicio 4: Una fuerza de 200 N actúa sobre la ménsula

mostrada. Determine el momento de la fuerza con respecto

al punto A.

Solución: La fuerza de 200 N puede ser resuelta en

componentes x y y, de acuerdo con el principio de

momentos. El momento de F calculado con respecto al punto

A es equivalente a la suma de los momentos producidos por

las dos fuerzas componentes, se aplica la ecuación:

3.5 Momento de un par de fuerzas

Un par se define como dos fuerzas paralelas que tienen la misma magnitud, con

direcciones opuestas, y están separadas por una distancia perpendicular d(figura pag

148). Como la fuerza resultante es cero, el único efecto de un par es producir una

rotación o tendencia a rotar en una dirección específica. El momento producido por un

par se denomina momento de par.

El momento de un par , de donde F es la magnitud de una de las fuerzas y d la

distancia perpendicular o brazo de momento entre las fuerzas, en todos los casos M,

actúa perpendicularmente al plano que contiene esas fuerzas.

3.5.1 Pares equivalentes

Dos pares son equivalentes si producen el mismo momento. Como el momento

producido por un par es siempre perpendicular al plano que contiene las fuerzas del

42

par, es necesario que las fuerzas de pares iguales se encuentren en el mismo plano o

en planos que sean paralelos entre sí. Los momentos par son vectores libres,

pueden aplicarse en cualquier punto P sobre un cuerpo y ser sumados vectorialmente.

(pagina 150 y 151).

Ejercicio 5: Un par actúa sobre los dientes del engrane como se muestra en la figura.

Reemplácelo por un par equivalente de un par de fuerzas que actúe a través de los

puntos A y B.

Solución:

El par tiene magnitud de M= Fd= 40(0.60)= 24 N.m y dirección

hacia fuera de la página ya que las fuerzas tienden a girar en

sentido contrario al de las manecillas del reloj. M es un vector

libre, por lo que puede colocarse en cualquier punto sobre el

engrane.

Para conservar la rotación de M en sentido contrario al de las

manecillas del reloj, fuerzas verticales actuando a través de los

puntos A y B deben dirigirse como se muestra en la figura.

La magnitud de cada fuerza es:

3.6 Sistemas equivalentes de fuerzas

Una fuerza tiene el efecto de trasladar y girar un cuerpo, y la medida en que lo hace

depende de dónde y cómo es aplicada la fuerza. Para simplificar un sistema de fuerza

y momentos de par que actúan sobre un cuerpo a una sola fuerza resultante y un

momento de par actuando en un punto específico O, es necesario que el sistema de

fuerza y el momento de par produzcan los mismos efectos “externos” de traslación y

rotación del cuerpo que sus resultantes, cuando esto ocurre, se dice que esos dos

conjuntos de cargas son equivalentes.

Cuando el punto sobre el cuerpo esté sobre la línea de acción de la fuerza,

simplemente transmita o deslice la fuerza a lo largo de su línea de acción al punto.

Cuando el punto no esté sobre la línea de acción de la fuerza, traslade la fuerza al

punto y sume un momento de par en cualquier lugar al cuerpo. Este momento de par

se encuentra tomando el momento de la fuerza con respecto al punto.

43

3.7 Reducción de un sistema de fuerzas y un par

Cuando un cuerpo rígido está sometido a un sistema de fuerzas y momentos de par, a

menudo es más sencillo estudiar los efectos externos sobre el cuerpo, reemplazando

el sistema por una sola fuerza resultante equivalente actuando en un punto específico

O y un momento de par resultante.

Simplificar cualquier sistema de fuerza y momento de par a una fuerza resultante que

actúe en el punto O y un momento de par resultante, puede ser generalizado y

representado mediante la aplicación de las dos ecuaciones siguientes:

∑ , ec. 3.7.1

∑ ∑ , ec. 3.7.2

La ecuación 3.7.1 establece que la fuerza resultante del sistema es equivalente a la

suma de todas las fuerzas.

La ecuación 3.7.2 establece que el momento de par resultante del sistema es

equivalente a la suma de todos los momentos de par ∑ , más los momentos con

respecto al punto O de todas las fuerzas ∑ .

Ejemplo: Si las dos fuerzas que actúan sobre la barra son reemplazadas por una

fuerza resultante

Considere los efectos sobre la mano cuando

una barra de peso insignificante soporta una

fuerza F en su extremo. Cuando la fuerza se

aplica horizontalmente, es percibida en el

mango, independientemente de dónde esté

aplicada a lo largo de su línea de acción. Esto

es una consecuencia del principio de

transmisibilidad.

Cuando la fuerza se aplica verticalmente,

ocasiona que se perciba una fuerza F hacia

abajo en el mango y un momento de par en el

sentido de las manecillas del reloj de M= Fd.

Esos mismos efectos son percibidos si F se

aplica en el mango y M en cualquier lugar sobre

la barra. En ambos casos los sistemas son

equivalentes.

Si las dos fuerzas que actúan sobre la barra (fig. a) son reemplazadas por una fuerza resultante y un momento de par

equivalentes en el punto A (fig. 2), o por la fuerza resultante y un momento de par equivalentes en el punto B (fig. 3),

entonces, en cada caso la mano debe proporcionar la misma resistencia a la traslación y la rotación para mantener la barra

en la posición horizontal. En otras palabras, los efectos externos sobra la barra son los mismos en cada caso.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

44

Ejercicio 5: Reemplace las fuerzas que actúan sobre la

pieza mostrada en la figura, por una fuerza resultante y un

momento de par equivalentes actuando en el punto A.

Solución: aplicando el principio de momentos,

Suma de momentos: el momento del par resultante se determina sumando los

momentos de los fuerzas con respecto al punto A.

3.8 Reducción adicional de un sistema de una fuerza y un par

Refiere a la simplificación a una sola fuerza resultante, partimos de que el sistema de

fuerzas y momentos de par que actúan sobre un cuerpo rígido, se reduce en un punto

determinado a una fuerza resultante ∑ y a un momento de par resultante

∑ , podemos simplificar aun más, desplazando a otro punto P, localizado

sobre o fuera del cuerpo de manera que ningún momento de par resultante tenga que

ser aplicado al cuerpo, es decir, solo la fuerza resultante tendrá que ser aplicada al

cuerpo.

Ejemplo: Las tres fuerzas paralelas que actúan sobre la barra pueden ser

reemplazadas por una sola fuerza

resultante actuando a una distancia d

del mango. Para que sean equivalentes, se

requiere que la fuerza resultante sea igual

a la suma de las fuerzas, ,

y para encontrar la distancia d, el momento

de la fuerza resultante son respecto al

mango debe ser igual al momento de todas las fuerzas con respecto al mango

.

Ejercicio 6: La viga AE que se muestra en la figura está sometida a un sistema de

fuerzas coplanares. Determine la magnitud, la dirección y la ubicación sobre la viga de

45

una fuerza resultante que sea equivalente al sistema dado de fuerzas medido desde E.

Solución: el origen de coordenadas se localiza en el punto E como se muestra en la

figura,

Suma de momentos. Los momentos se sumarán con respecto al punto E

Ejercicio 7: La grua mostrada en la figura, está sometida a tres

fuerzas coplanares. Reemplace esta carga por una fuerza

resultante equivalente y especifique en qué punto la línea de

acción de la resultante interseca la columna AB y el pescante

BC.

Solución: al resolver la fuerza de 250 lb en sus componentes x y

y, y sumar las componentes de fuerza, resulta

Suma de momentos: Los momentos

se suman respecto al punto A.

Suponiendo que la línea de acción de

interseca a AB, se requiere que el

momento de las componentes de

sea igual a los momentos del sistema

46

de fuerza presente con respecto al punto A

Ejercicios para resolver

1. Determine el momento con respecto al punto B de cada una de las tres fuerzas que actúan sobre la viga.

2. Si , determine el momento

resultante con respecto al perno localizado en A.

3. Determine el momento de cada una de las tres fuerzas con

respecto al punto A. Resuelva el problema usando primero cada fuerza como un todo, y luego aplique el principio de momentos.

4. Dos pares actuán sobre la viga. Determine la magnitud de F de modo que el momento del par resultante sea de 450 lb.pie en sentido contrario a l de las manecillas del reloj. ¿ en qué punto de la viga actúa el momento del par resultante?.

5. Los extremos de la placa triangular están sometidos a tres pares. Determine la dimensión d de la placa de

47

manera que le par resultante sea de 350 N.m en el sentido de las manecillas del reloj.pag 156

6. Dos pares actúan sobre la viga como se muestra. Determine la magnitud de F de manera que el momento de par resultante sea de 300 lb.pie en sentido contrario al de las manecillas del reloj. ¿dónde actúa el par resultante sobre la viga?.

7. Reemplace el sistema de fuerzas actuando sobre la viga por una fuerza y momento de un par equivalente en el punto B. pag 175

8. Reemplace la carga que actúa sobre la viga por una sola fuerza resultante. Especifique dónde actúa la fuerza, medida desde el extremo A. pag 176

Unidad IV. Equilibrio de cuerpos rígidos

Competencia de unidad IV.

Resolver problemas relacionados a sistemas de cuerpos rígidos sobre los cuales actúan fuerzas no concurrentes y concurrentes, mediante la aplicación de las condiciones de equilibrio estático, para comprobar el funcionamiento de maquinas y estructuras simples hipotéticas o reales, con creatividad, objetividad y responsabilidad.

4.1 Equilibrio en dos dimensiones

Las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo rígido pueden reducirse a un

sistema fuerza-par en un punto arbitrario O. Cuando la fuerza y el par son iguales a

cero, las fuerzas externas forman un sistema equivalente a cero y se dice que el

cuerpo rígido se encuentra en equilibrio. Para un cuerpo rígido en equilibrio el

48

sistema de fuerzas externas no le impartirá un movimiento traslacional o rotacional al

cuerpo en análisis.

Las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un cuerpo rígido se

pueden obtener igualando a cero:

∑ ∑ ∑( )

Si se descompone cada fuerza y cada momento en sus componentes rectangulares,

se pueden expresar las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un

cuerpo rígido por medio de las seis ecuaciones escalares siguientes:

∑ ∑ ∑ , ∑ ∑ ∑ , estas ecuaciones se pueden

emplear para determinar fuerzas desconocidas que están aplicadas sobre el cuerpo

rígido o reacciones desconocidas ejercidas sobre éste por sus puntos de apoyo. Las

mejor manera de tomar en cuenta esas fuerzas es trazando el diagrama de cuerpo

libre del cuerpo(DCL), que es un croquis del contorno del cuerpo, que lo representa

aislado o “libre” de su entorno, sobre este croquis, es necesario mostrar todas las

fuerzas y los momentos de par que el entorno ejerce sobre el cuerpo.

4.2 Reacciones en los apoyos y conexiones de una estructura bidimensional

Antes de trazar un DCL, primero se debe considerar los diversos tipos de reacciones

que ocurren en soportes y puntos de soporte entre cuerpos sometidos a sistemas

coplanares de fuerza. Como regla general, si un soporte previene las traslación de un

cuerpo en una dirección dada, entonces una fuerza es desarrollada sobre el cuerpo

en esa dirección, de igual manera, si una rotación es prevenida, sobre el cuerpo se

ejerce un momento de par. Por ejemplo, en la figura 4.2 se consideran tres maneras

en que un miembro horizontal, como una viga, está soportado en sus extremos:

Figura 4.2

49

4.3 Equilibrio de un cuerpo rígido en dos dimensiones

Las dos ecuaciones que son necesarias y suficientes para obtener el equilibrio de un

cuerpo rígido, es decir, ∑ ∑ . Cuando el cuerpo está sometido a un

sistema de fuerzas que se encuentran en el plano X-Y, es decir, en dos dimensiones,

las fuerzas pueden ser resueltas en sus componentes X y Y, las condiciones de

equilibrio en dos dimensiones son:

∑ , representa la sumatoria algebraica de las componentes X

∑ , representa la sumatoria algebraica de las componentes Y

∑ , representa la suma algebraica de los momentos de par y los momentos de

todas las componentes de fuerza con respecto a un eje perpendicular al plano X-Y.

Ejercicio 1: Una grúa fija tiene una masa de 1000 kg y se usa para

levantar una caja de 2400 kg. La grúa se mantiene en su lugar por

medio de un perno en A y un balancín en B. El centro de gravedad

de la grúa está ubicado en G. Determine las componentes de las

reacciones en A y B.

Solución: se dibuja un diagrama de cuerpo libre de la grúa. Si se

multiplica las masas de la grúa y de la caja por g= 9.81 m/s2 se

obtienen sus

respectivos pesos,

esto es, 9810 N ó

9.81 kN. La reacción

en el perno A es una fuerza con

dirección desconocida; ésta se

representa por sus componentes

y . La reacción en el balancín B es

perpendicular a su superficie; por

tanto, dicha reacción es horizontal.

50

Ejercicio 2: Se aplican tres cargas a una viga como se muestra

en la figura. La viga se apoya en un rodillo en A y en un perno

en B. Sin tomar en cuenta el peso de la viga, determine las

reacciones en A y B cuando P= 15 kips.

Solución: se realiza un diagrama de cuerpo libre, la reacción en A es vertical y se

representa con A. La reacción en B se representa con las componentes .

51

Ejercicios propuestos:

1. Al sostener la piedra de 5 lb en equilibrio, el húmero H,

supuesto liso, ejerce fuerzas normales sobre el

radio C y el cúbito A como se muestra. Determine esas

fuerzas y la fuerza que el bíceps B ejerce sobre el radio

por equilibrio. La piedra tiene su centro de masa en G.

Ignore el peso del brazo.

2. El hombre está jalando una crga de 8 lb con un brazo en la

posición mostrada. Determine la fuerza que la carga ejerce

sobre el húmero H, y la tensión desarrollada en el bíceps B.

Ignore el peso del brazo del hombre.

3. La plataforma tiene un peso de 250 lb y su centro de

gravedad en . Si se quiere soportar una carga máxima

de 400 lb colocada en el de la plataforma. Pag 223

4. El muro de contención AD está sometido a presiones de

agua y de tierra de relleno. Suponiendo que AD está

articulado en el terreno en A, determine las reacciones

horizontal y vertical en ese punto y también la tensión

requerida en le ancla BC necesaria por equilibrio. El muro

tiene una masa de 800 kg.

52

5. La grúa de tres partes con pesos

y centros de gravedad en

respectivamente. Ignorando el peso de la

pluma, determine las reacciones sobre cada uno de

los neumáticos si la carga es levantada con velocidad

constante y tiene un peso de 800 lb. Pag 227

6. Determine las reacciones en los soportes A y B del

marco.

53

Unidad V. Centro de gravedad y Momento de Inercia.

Competencia de la unidad V.

Resolver problemas de cuerpo rígido considerándolos como un conjunto de cuerpos independientes, aplicando el principio de primer momento de inercia, para calcular el centro de gravedad de cuerpos reales y ponerlos en condiciones de equilibrio optimizando las fuerzas aplicadas, con creatividad y responsabilidad.

5.1 Concepto de centro de gravedad.

El peso de un cuerpo está regido por la atracción de la gravedad terrestre

sobre el mismo, y la resultante de los pesos de todas las partículas que lo

componen pasa a través de un punto que se conoce como centro de gravedad.

Cuando hablamos del centro de gravedad de una figura plana, nos suponemos

que esta es una placa delgada con peso uniforme, por lo tanto podemos

determinar su centro de gravedad descomponiendo esta placa en áreas

pequeñas, geométricamente determinables, las que representaremos como

vectores. Sobre la línea que representa a la resultante de estos vectores se

localiza el centro de gravedad; posteriormente giramos a la figura x grados y

volvemos a realizar la misma operación y donde se crucen los dos resultantes

encontraremos el punto llamado centro de gravedad.

C.G. indica centro de gravedad, que también se conoce como centroide o

baricentro.

d.A. indica: diferencial de area.

Xc X´c indican: eje horizontal centroidal.

Yc Y´c indican: eje vertical centroidal.

También podemos definir como centro de gravedad de una superficie el punto

donde pasa por la resultante de todas la áreas, dA, infinitamente pequeñas y

encontramos sus momentos estáticos con respecto a un sistema de ejes

54

cartesianos, el centro de gravedad se localizará donde se crucen las

resultantes de las áreas con respecto al eje X y al eje Y; observando la figura

tenemos que:

Datos:

C.G. = Centro de gravedad.

A = Área total.

dA = Diferencial de área.

x = Abscisa de dA

y = Ordenada de dA

x = Abscisa del C.G.

y = Ordenada del C.G.

5.2 Calculo de centro de gravedad en figuras geométricas elementales.

5.2.1 Calculo de las coordenadas del centro de gravedad de un

cuadrado:

Calculo de la ordenada y :

y = ∫

= ∫

( )

= a(

) / a² =

obtener la abscisa x resulta en x =

55

resultados :

Centro de gravedad = C.G. (

)

5.2.2.- Calcular las coordenadas del centro de gravedad de un triangulo.

Calculo del área A:

Area elemental = dA = xdy

Area total = A = ∫

Por semejanza de triangulos:

=

( )

x = b -

Sustituimos el valor de X

A = ∫ (

)

A = ∫

∫

∫

∫

[ ]

[

]

A = bh -

A =

Momento estatico con respecto al eje XX´

Mx = ∫

∫ ∫ (

)

Mx = ∫

∫

∫

∫

Mx = b[

]

[

]

Mx =

Calculo de coordenadas x y y :

y =

56

y =

por simetría

x =

por lo tanto las coordenadas del centro de gravedad son: C.G. (

)

similar a estas determinaciones, se pueden obtener los centros de gravedad de

polígonos conocidos, a continuación un resumen de algunos de ellos:

Circulo

C.G. (0,0)

Media parabólica complementaria:

C.G. (

,

)

Semi circulo

C.G. (

)

Media parábola.

C.G. (

)

Triangulo isósceles

57

C.G. (

)

Un cuarto de circulo:

C.G. (

)

Sector circular

C.G. (

, 0 )

Triangulo.

C.G. (

)

Cuarto de elipse

C.G. (

)

58

5.2.3.- Calcular el área de un polígono irregular en base a figuras geométricas

elementales.

Ejemplo:

Calcular el centro de gravedad de la

siguiente figura.

Para la solución se propone

descomponer el polígono en 4 figuras

conocidas; 3 rectangulos y 1 triangulo

rectángulo. Evaluar entonces las

areas para cada figura, el area total

como sumatoria de todas las areas de

la figura y las distancias conocidas

hacia los centroides de cada figura.

Xi = Distancia sobre el eje

“x” al

centroide del poligono i

A1 : x1 = 1.5 cm A2 : x2 =

3.5 cm

A3 : x3 = 4.5 cm A4 : x4 =

cm

Donde:

xi = distancia sobre el eje “x” tomada desde el origen hasta el centroide para el Area Ai.

Ai = Area parcial tomada del area a la cual se le determina el centroide.

59

Ai = Areas conocidas.

A1 = 3 cm² A2 = 5 cm²

A3 = 6 cm² A4 = 3 cm²

A = Area total del poligono.

Area = suma de areas = 17

cm²

xiAi = sumatoria de cada área multiplicada por su distancia del origen al

centroide.

(1.5cm)(3cm²) + (3.5cm)(5cm²) + (4.5cm)(6cm²) + (16/3 cm)(3cm²)

xiAi = 65 cm³

xiAi / A = 65 cm³ / 17 cm² = 65/17 cm = X ≈ 3.82 cm

De la misma forma podemos calcular la distancia y :

Yi = Distancia sobre el eje “y” al centroide del poligono i

A1 : y1 = 0.5 cm A2 : y2 = 2.5 cm

A3 : y3 = 6 cm A4 : y4 = 4 cm

Ai = Area del polígono subdividido.

A1 = 3 cm² A2 = 5 cm²

A3 = 6 cm² A4 = 3 cm²

A = Area total del polígono.

Area = suma de aéreas = 17 cm²

yiAi = sumatoria de cada área multiplicada por su distancia al centroide.

(0.5cm)(3cm²) + (2.5cm)(5cm²) + (6cm)(6cm²) + (4 cm)(3cm²)

yiAi = 62 cm³

yiAi / A = 62 cm³ / 17 cm² = 62/17 cm = Y ≈ 3.65 cm

5.3 Momento de Inercia.

Sabemos que un momento de inercia es el producto de una área por una

distancia al cuadrado, si multiplicamos un diferencial del área por su distancia a

los dos ejes, es un momento de inercia igual a:

dIxy = xydA Ixy = ∫

60

Este valor (Ixy), se llama producto de inercia; como observamos, el producto de

inercia esta dado en cm4, m4, pies4, etc. según sea la unidad de medida

utilizada.

El producto de inercia puede ser positivo, negativo o nulo, ya que tanto x como

y aparecen a la primera potencia y pueden ser de cualquier signo. Si

obtenemos el producto de inercia con respecto a un sistema de ejes

coordenadas, basta que uno de ellos sea eje de simetría para que los

momentos estaticos de las areas de un lado se nulifiquen con los del otro lado

y originen con esto que el producto de inercia valga cero.

El teorema de los ejes paralelos, pueden utilizarse para el caso de productos

de inercia, referidos a un eje que no sea eje centroidal.

Figura V.1 Figura V.2

Solucion paso a paso:

a) Trazamos la figura V.2 que es la V.1 pero en un sistema de ejes de

coordenadas centroidales paralelos a los originales (XcX’c , YcY’c).

b) Llamamos x e y a las coordenadas entre ambos ejes (valores fijos) y x’ y’

a las coordenadas variables del área elemental dA, por lo que las

coordenadas entre el área dA y el sistema de ejes XX’ e YY’ serán:

( x + x’ ) y ( y + y’ )

c) Planteamos la ecuación del producto de inercia referido a los ejes XX’ y

YY’ , Ixy = ∫( )( ) .

d) Quitamos paréntesis y sacamos de las integrales las constantes:

Ixy = xy ∫ + x ∫ + y∫ + ∫ . Como sabemos que los

productos de inercia valen cero con respecto a los momentos de primer

orden, de superficies referidas a centroidales, tenemos que;

xy ∫ = Axy

x∫ = 0

y∫ = 0

∫ = Ix’y’

Por lo tanto:

Ixy = Ixy + Ax y

61

Tambien podemos formular el segundo momento de dA con respecto al polo o

eje z, a esto se le llama momento de inercia polar, Jc = r²dA. Aquí r es la

distancia perpendicular desde el polo (eje z) hasta el elemento dA. Para toda

el area, el momento de inercia polar es:

Jc = ∫

Ix + Iy

Ejemplo 1:

Determine el momento de inercia del área rectangular mostrada en la figura superior, con respecto a: (a) el eje centroidal x ', (b) el eje Xb que pasa por la base del

rectángulo, y (c) el polo o eje z ' perpendicular al plano x' - y' y que pasa a través del centroide C.

a) Se puede determinar gracias por 2 maneras:

a.1.)

Ix’ =

a.2.) Ix’ = ∑ ( ) = (

)² (

)( ) + (-

)² (

)( ) =

+

=

=

b) El momento de inercia con respecto a un eje que pase por la base del rectángulo

se puede obtener usando el resultado de la parte (a) y aplicando el teorema de los ejes paralelos:

Ixb = Ix’ + Ad²y (ecuación para la teoría de los ejes paralelos).

Ixb =

+ bh(

)² =

c ) Para obtener el momento de inercia polar con respecto al punto e, debemos

obtener primero Iy" la cual puede calcularse intercambiando las dimensiones b y

h en el resultado de la parte (a), es decir,

Iy’ =

Usando la ecuación Jc = Ix’ + Iy’ =

+

=

( h² + b² )

62

Ejemplo 2: Calcule el momento de inercia del área compuesta mostrada en la figura con respecto al eje x.

Para determinar el momento de Inercia, se puede dividir la figura en 2 figuras

conocidas:

Dado que es posible conocer el centroide y area de cada una de las figuras, y

al mismo tiempo la determinación del momento de inercia de la figura resultaría

como:

Círculo;

Ix = Ix’ + Ad²y = ¼ (25mm)4 + (25mm)²(75mm)² = 11.04(10)6

mm4

Rectángulo;

Ix = Ix’ + Ad²y =

(100)(150) + (100)(150)(75)² = 112.5(106) mm4

El momento de inercia del area compuesta es entonces la sumatoria de:

Ix = 112.5(106) mm4 – 11.4(106)mm4

Ix = 101 (106) mm4.

63

Unidad VI. Armaduras y máquinas simples

Competencia de unidad VI.

Resolver problemas de armaduras y maquinas simples utilizando los conocimientos

adquiridos en las unidades previas, para comprobar el funcionamiento de maquinas y

estructuras reales sometidos a los efectos de un sistema de fuerzas, con objetividad,

creatividad y actitud propositiva.

6.1 Concepto de armadura

Una armadura es una estructura compuesta de miembros esbeltos unidos entre sí en

sus puntos extremos. Los miembros usados comúnmente en construcción consisten

en puntales de madera o barras metálicas. Las conexiones en los nudos están

formadas usualmente por pernos o soldadura en los extremos de los miembros unidos

a una placa común.

6.2 Armaduras simples

Las armaduras planas se tienden en un solo plano y a menudo son usadas para

soportar techos y puentes.

Para diseñar los miembros y las conexiones de una armadura, es necesario

determinar primero la fuerza desarrollada en cada miembro cuando la armadura está

sometida a una carga dada, partiendo de:

a. Todas las cargas están aplicadas en los nudos.

b. Los miembros están unidos entre sí mediante pasadores lisos.

c. Cada miembro de armadura actúa como un miembro de dos

fuerzas, y por tanto, las fuerzas en los extremos del miembro

deben estar dirigidas a lo largo del eje del miembro. Si la fuerza

Conexiones en

los nodos

Armadura

64

tiende a alargar el miembro, es una fuerza de tensión (T), mientras si tiende a

cortarlo, es una fuerza de compresión (C).

d. Para prevenir el colapso, la forma de una armadura debe ser rígida. La forma

más sencilla que es rígida o estable es un triángulo.

6.3 Análisis de armaduras: método de nudos y método de secciones.

6.3.1 Método de nudos

Procedimiento de análisis:

1. Trace el diagrama de cuerpo libre de un nodo que tenga por lo menos una

fuerza conocida y cuando mucho dos fuerzas desconocidas.

2. Aplique las dos ecuaciones de equilibrio de fuerzas ∑ y ∑ .

Obtenga las dos fuerzas de miembro desconocidas y verifique su sentido

correcto.

3. Continuar con el análisis de cada uno de los otros nodos.

4. Una vez que se encuentra la fuerza en un miembro a partir del análisis de un

nodo en uno de sus extremos, el resultado puede usarse para analizar las

fuerzas que actúan sobre el nodo en su otro extremo.

Ejercicio 1: Determine la fuerza en cada miembro de la armadura

mostrada en la figura, indique si los miembros están en compresión o en

tensión.

Solución: Hay dos fuerzas de miembro desconocidas en el nudo B, dos

fuerzas de miembro desconocidas en los nudos A, B, y C. Como no se

debe tener más de dos incógnitas en un nudo, el análisis va empezar en el

nodo B.

65

Ejercicio 2: Determine las fuerzas que actúan en todos los miembros

de la armadura mostrada en la figura,

Solución: Hay más de dos incógnitas en cada nodo, las reacciones de

soporte en la armadura deben ser determinadas primero. El análisis

empezara por el nodo C, por solo tener dos

incógnitas,

Al resolver simultáneamente estas ecuaciones, se obtiene que ( ) ,

( )

Revisando el nodo D, tenemos que:

La fuerza BA en último miembro

puede obtenerse a partir del

nodo B o del nodo A, de donde, ( )

Ejercicio 3: Determine la fuerza en cada miembro de la

armadura mostrada en la figura. Indique si los miembros están

en tensión o compresión.

Solución: se determinan las reacciones en los soportes, y se

dibuja el diagrama de cuerpo libre

El análisis puede empezar ahora en cualquier de los nodos A o C. La selección es

arbitraria ya que hay una fuerza conocida y dos fuerzas de miembro

desconocidas actuando sobre el pasador en cada uno de esos

nodos.

66

Nodo A: Hay tres fuerzas que actúan

sobre el pasador ubicado en el nodo A,

Nodo D: El pasador ubicado en este nodo la fuerza en AD es conocida

y las fuerzas desconocidas en DB y DC pueden ser determinadas a

partir del diagrama de cuerpo libre siguiente:

Para determinar , se corrige el sentido de y luego aplicar ∑ , o aplicar

esta ecuación y retener el signo negativo para

,

Nodo C:

6.3.2 Método de secciones

Este método se usa para determinar las cargas que actúan dentro de un cuerpo. Este

método se basa en el principio de que si un cuerpo está en equilibrio, entonces

cualquier parte del cuerpo está también en equilibrio. El método de las secciones

puede usarse también para cortar o seccionar los miembros de toda una armadura,

cuando se traza el diagrama de cuerpo libre de cualquiera de sus dos partes, entonces

se puede aplicar las ecuaciones de equilibrio (∑ ∑ ∑ ) a esa

parte para determinar las fuerzas del miembro en la sección cortada.

Ejemplo: revisando la armadura definida por nodos ABCDEFG, si la fuerza en el

miembro GC debe ser determinada, la sección aa sería apropiada, los diagramas de

cuerpo libre de las dos partes que se generan, se muestran en la figura :

67

Las tres fuerzas de miembro desconocidas , se pueden obtener aplicando

las tres ecuaciones de equilibrio. Las tres reacciones de soporte , tendrán

que determinarse primero. En la solución, al aplicar las ecuaciones de equilibrio, se

debe considerar maneras de escribir las ecuaciones en forma tal que den una solución

directa para cada una de las incógnitas en vez de tener que resolver ecuaciones

simultáneas.

Procedimiento de análisis:

1. Determinar las reacciones externas de la armadura.

2. |Seccionar la armadura a través de los miembros cuyas fuerzas deben

determinarse

3. Trazar el diagrama de cuerpo libre de la parte seccionada de la armadura

sobre la que actúe el menor número de fuerzas.

Ejercicio 1: determine la fuerza en los miembros GE, GC, y BC de la

armadura mostrada en la figura siguiente. Indique si los miembros

están en tensión o en comprensión.

Solución: la sección que muestra la figura a-a, se propone porque

corta a través de los tres miembros cuyas fuerzas deben ser determinadas. En primer

lugar se debe determinar las reacciones externas en A o en D.

El diagrama de cuerpo libre de la porción izquierda de la armadura

seccionada se muestra en la figura

Ecuaciones de equilibrio. Sumando momentos

con respecto al punto G se eliminan y y

se obtiene una solución directa para .

De la misma manera, sumando momentos con

respecto al punto C, obtenemos una solución directa

para .

68

Como y no tienen componentes verticales,

sumando fuerzas en la dirección y obtenemos

directamente , esto es,

Ejercicio 2: Determine la fuerza presente en el miembro CF

de la armadura de puente mostrada en la figura que se

presenta. Indique si el miembro está en tensión o en

comprensión. Suponga que cada miembro está conectado

mediante pasadores.

Solución:

a. Determinación de las reacciones

b. Será usada la sección a-a que se muestra en la figura, ya

que es la que expondrá a la fuerza interna en el miembro

CF como externa en el diagrama de cuerpo libre de la

porción derecha o bien de la izquierda de la armadura

muestra tres incógnitas: . Aplicando la

ecuación de momento con respecto a O, que elimina dos

de las fuerzas desconocidas , tenemos que:

Ejemplo 3: Determine la fuerza en el miembro EB de la

armadura de techo mostrada en la figura. Indique si el miembro

está en tensión o en compresión.

Solución: Una manera de obtener EB es determinando primero

a partir de la sección aa, y luego usar est resultado en la

sección bb, . Aquí el sistema de fuerzas es concurrente y el

diagrama de cuerpo libre seccionado es el mismo que el

diagrama de cuerpo libre para el pasador ubicado en E(método

de nudos).

Ecuaciones de equilibrio: para determinar el momento de

con respecto al punto B, se resolverá la fuerza en sus

componentes rectangulares y, por el principio de

transmisibilidad, se extenderá hasta el punto C como se

muestra. Los momentos de 1000 N, ,

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son todos cero con respecto a B, por lo tanto,

Considerando ahora el diagrama de cuerpo libre en la sección

bb, se tiene:

Ejercicios propuestos

1. Determine la fuerza en cada miembro de la armadura y

establezca si los miembros están en tensión o en compresión.

Considere .

2. Determine la fuerza en cada miembro de la

armadura y establezca si los miembros están en

tensión o compresión.

3. Determine la fuerza en cada miembro de la armadura y

establezca si los miembros están en tensión o en

compresión. Considera .

4. Determine la fuerza en cada miembro de la armadura y

establezca si los miembros están en tensión o en compresión.

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5. Determine la fuerza en cada miembro de la armadura y establezca si los

miembros están en tensión o en compresión. Considere

.

6. Determine la fuerza en los miembros BC, HC, Y HG

de la armadura de puente, e indique si los miembros

están en tensión o en compresión. Utilice el método

de secciones.

7. Determine la fuerza en los miembros GF, CF y CD de la

armadura de puente, e indique si los miembros están en

tensión o en compresión. Utilice el método de secciones.

8. La armadura de techo soporta la carga vertical

mostrada. Determine la fuerza en los miembros BC,

CK y KJ, establezca si esos miembros están en

tensión o en compresión. Utilice el método de

secciones.

Bibliografía

1. Russel C. Hibbeler, Mecánica vectorial para ingenieros, Pearson Prentice Hall,

ISBN 970-26-0501-6.

2. Beer Ferdinand P; Johnston E. Russell, Mecánica vectorial para ingenieros, Mc

Graw Hill, ISBN 970104469-X.