TRANSPORTE DE PARTÍCULAS

Héctor René Vega-Carrillo

Universidad Autónoma de Zacatecas

Apdo. Postal 336, 98000 Zacatecas, Zac. México

Buzón electrónico: fermineutron@yahoo.com

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Teoría de Blindajes y Laboratorio de Ing. Nuclear 2012

Contenido

• Origen • Transporte de radiación • Elementos de la ecuación de Transporte • Métodos de solución • Códigos • Métodos Monte Carlo • Componentes de una simulación MC • Números aleatorios • Experimentos

• En 1872 Boltzman, formuló la ecuación de Transporte con el fin de determinar el coeficiente de difusión de un gas.

• En la formulación supuso que las moléculas se comportaban como esferas elásticas.

Origen

La Ecuación de Transporte de la Radiación

• En el transporte de la radiación la densidad de flujo de partículas (flujo) es la función más importante.

• El número de partículas, por unidad de área y de tiempo, en el punto r, cuyas direcciones de viaje yacen en el espacio comprendido entre W y W + d W y que tienen energías entre E y E + dE.

dEdtEr WW ,,,

Sistema Espacio - Fase

• Las partículas cuya energía y dirección se encuentre entre E y E+dE y entre W y W +dW se pueden encontrar en el dV mediante los siguientes procesos,

Han “nacido” en dV

Han sido dispersadas hacia dV

Se encontraban en dV pero con E´ y W´, al sufrir una interacción entraron en fase.

• Las partículas cuya energía y dirección se encuentre entre E y E+dE y entre W y W +d W se pueden remover del dV mediante los siguientes procesos,

Son absorbidas

Han sido dispersadas fuera del dV

Se encontraban en fase dentro del dV, as sufrir una interacción cambiaron de fase:

E => E´

W => W´

Elementos de la Ecuación de Transporte

• En estado estacionario, las pérdidas son iguales a las ganancias.

• Fugas netas

• Pérdidas por absorción

• Término fuente

• Ganancias por dispersión

dEddVEr WWW ,,

dEddVErErt WW ,,´,

dEddVErS WW,,

dEddVErdEdEEpErS WWWWW ´´,,)´,´(´,

Haciendo el balance

Pérdidas = Ganancias

W

WWWWWWWW´ ´

,,´´´´,,´,´´,,,,,,E

St ErSdEdErEEpErErErEr

Ecuación integrodiferencial de Boltzman

Métodos de Solución de la Ecuación de Transporte

• Método de Armónicos Esféricos

• Método de las Ordenadas Discretas, Sn

• Método de Momentos

• Teoría de Difusión

• Monte Carlo

Método de los Armónicos Esféricos

• Los términos con dependencia angular se expresan como expansiones de armónicos esféricos como las funciones de Legendre.

• Se aplican en casos en Estado Estacionario, una velocidad, una dimension y medios homogéneos

-1 -0.5 0.5 1

z

-1

-0.5

0.5

1

Pn z

z

1

2

3z2

2

3z

2

5z3

2

3

8

15z2

4

35z4

8

15z

8

35z3

4

63z5

8

Polinomios de Legendre

• La ecuación se convierte en,

• En esta ecuación,

1

1

´),(´),(),(),(),( dxxSxxx

St

),( x

0

)()(),(j

jj Pxx

0

)()(),(j

jj PxSxS

es el coseno director respecto al eje x

es la Densidad de flujo angular, que junto con el término fuente, se expresa separando la parte espacial de la angular, y ésta se representa mediante los Polinomios de Legendre

)(ˆ Cosi W

Método de las Ordenadas Discretas (Método Sn)

• El nombre Sn se obtiene de la técnica básica que utiliza, donde el ángulo sólido se divide en n segmentos.

• Utiliza diferencias finitas, donde el espacio-fase se divide en un número finito de puntos discretos.

• La densidad de flujo en cada punto se relaciona con las densidades de flujo de los puntos adyacentes.

• La ecuación integrodiferencial de Boltzman se sustituye por un sistema simultáneo de ecuaciones en diferencias que se resuelve mediante iteraciones.

Método de Momentos

• Se basa en la definición formal de los momentos,

• Se aplica en problemas con medios homogéneos e infinitos con fuentes planas, líneas o puntuales.

,)(

b

a

n

n dxxfxM

• Los momentos se aplican a manera de una Transformada.

• Las funciones se separan en su parte angular y espacial.

• La parte angular se expresa en expansiones de polinomios Legendre.

Teoría de Difusión

• Es una aproximación al problema de transporte donde se desprecian los detalles de las direcciones de las partículas.

• Así, el balance de partículas, por unidad de volumen es,

trJtrtrStrnt

a ,,,,

n es la densidad de neutrones [cm-3], J es la densidad de corriente [cm-3 – seg-1]

• Mediante la Ley de Fick,

• En estado estacionario la ecuación de Difusión es,

• Esta se puede expresar y resolver para multigrupos de energía y multiregiones.

tr

D

rDrJ

3

1

),()(

02 SD a

Códigos

• MORSE

• ANISN/PC

• DORT-PC

• DOORS

• TDTORT

• DOMINO

• DO

• EXTREME

• DIF-3D

• PN

• QAD

• MOD-5

Algunos de los códigos que se utilizan para resolver la ecuación de transporte de neutrones son:

Método Monte Carlo • Consiste en construir un modelo matemático de un

problema físico y tomar muestras del modelo para obtener una respuesta aproximada del problema.

• Aún a pesar de que se han utilizado los métodos Monte Carlo por largo tiempo, su aplicación se volvió relevante durante la 2ª Guerra Mundial. – Capacidad de cómputo

– Necesidad de resolver problemas de difusión de neutrones

• El nombre del método proviene de la capital del principado de Mónaco.

• Los MMC son técnicas estocásticas.

• Se basan en el uso de número aleatorios y la probabilidad estadística para simular los problemas.

• Se necesita determinar la función acumulada de la densidad de probabilidad de un evento, ésta se muestrea mediante número aleatorios.

• Cada simulación es seguida y el resultado es contabilizado (tally, o estimado).

Componentes de una simulación Monte Carlo

• Funciones de Densidad de Probabilidad (fdp) – El sistema físico o el problema matemático debe describirse mediante un conjunto de fdp.

• Generador de números aleatorios – Una fuente de numeros aleatorios uniformemente distribuidos.

• Regla de muestreo – Se debe definir el cómo y sobre qué fdp se hará el muestreo.

• Contar (or tallying) – Las salidas, sobre las cantidades de interés, que se deben acumular.

• Estimación del Error – Se debe determinar un estimado del error estadístico (varianza) como una función del número de historias.

• Técnicas de Reducción de Varianza – En ciertos problemas el tiempo de cómputo suele ser muy largo, en tal caso se deben utilizar, cuidadosamente, técnicas de reducción de varianza.

• Vectorización y cómputo en paralelo – De ser posible utilizar algoritmos que permitan que los métodos Monte Carlo se utilicen en sistemas avanzados de cómputo.

Números Aleatorios

• Se pueden obtener de fenómenos físicos,

– Tiempos de decaimiento de material radiactivo.

– Ruido eléctrico de una resistencia o un semiconductor.

– Ruido acústico.

• Su obtención es lenta, por tanto su uso no es práctico.

Función Densidad de Probabilidad

• Una función (o distribución) de Densidad de Probabilidad es una función f que está definida en un intervalo (a, b) y tiene las siguientes propiedades:

Existen dos tipos de números aleatorios

• Pseudoaleatorios: Se comportan como aleatórios, pero se obtiene mediante técnicas deterministas.

– se repiten

– son predecibles

• Aleatorios: Se generan en forma no determinista.

– no se repiten

– no son predecibles

Números Pseudoaleatorios • Medianto algoritmos se pueden obtener una

buena cantidad de números cuyo comportamiento es tan bueno como los aleatorios.

• En 1939 Kendall y Babington-Smith utilizaron una máquina para generar 100,000 dígitos aleatorios.

• En 1955 la empresa RAND publicó una tabla con 1 000 000 de dígitos aleatorios.

• ERNIE es una máquina que genera números aleatorios cuyo uso es seleccionar los números ganadores de la lotería del Reino Unido.

Características deseables en los generadores de números aleatorios

• Uniformidad

– Muestras independientes

– Distribución contínua

• Que tengan un periodo largo

• Que no exista correlación seriada

• Que los genere en forma rápida

Características de los xs

• Su función de distribución es la función constante de amplitud unitaria.

• Para cada valor x, existe la misma probabilidad de seleccionar un número entre 0 y 1.

• Con el primer y segundo momento (Teorema del Valor Medio para distribuciones continuas) se determina el promedio y la varianza.

2

1)(

1

0

1

0

dx

dxxfx

x

12

1

)(

)(

1

0

1

0

2

2

dxxf

dxxfxx

4 6 8 10

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

100 200 300 400 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

500 1000 1500 2000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n = 10 n = 500

n = 2000 n = 10000

n = 50 000 n = 500 000

Generador lineal congruente

• Más utilizados

• Periódo máximo de 2n para números de n-bits

• Xn+1=( aXn + c ) mod m

• a, c, m son constantes

• X0 es la “semilla”

Portales sobre xs

• http://www.math.grin.edu/~stone/events/scheme-workshop/random.html

• http://www.mathcom.com/corpdir/techinfo.mdir/scifaq/q210.html

• Sitio con generadores de números aleatorios

http://www.agner.org/random/

Experimentos

• Forme dos equipos.

• Nombre un líder para cada equipo.

• Experimentos

– Sopa

– Palillos