AYUDA DE INVOP Ejemplo Clsico de Transporte

El pur de tomate es uno de los productos ms importantes de la compaa PNP. Los tomates se preparan en tres conserveras, ubicadas en San Martn, Crdoba y San Rafael y despus se mandan por camin a cuatro almacenes de distribucin: Ciudad de Mendoza, San Juan, Santa Fe y Pergamino. Puesto que los costos de envo constituyen un gasto importante, la gerencia ha iniciado un estudio para reducirlos lo ms que se pueda. Se ha hecho una estimacin de la produccin de cada conservera para la prxima temporada y una estimacin de las ventas de cada almacn. En la siguiente tabla se proporciona esta informacin (en unidades de carga por camin), junto con el costo de transporte por camin cargado para cada combinacin de conservera-almacn. San Martn Crdoba San Rafael Ventas Mendoza 80 1400 500 80 San Juan 380 1200 820 65 Santa Fe 1600 800 2000 70 Pergamino 2000 800 2000 85 Produccin 75 125 100

Por ejemplo, enviar una carga de camin desde San Martn a Mendoza, cuesta $80. Como se ve, hay un total de 300 cargas de camin que se deben transportar. El problema es determinar la cantidad de cargas a enviar de cada conservera a cada almacn que minimice el costo total de transporte. La Solucin Al introducir los datos en Invop, la solucin que brinda es:

Es decir: enviar 10 cargas de San Martn a Mendoza, 65 de San Martn a San Juan; 70 de Crdoba a Santa Fe, 55 de Crdoba a Pergamino; 70 de San Rafael a Mendoza y 30 de San Rafael a Pergamino. Con un costo global de $220 500. Este costo global es la suma de los costos unitarios multiplicado por las cantidades que se envan, es decir $80 x 10 + $380 x 65 + $800 x 70+ $800 x 55 +$500 x 70 + $2000 x 30 = $220 500 El problema del envo de cargas de camiones puede formularse como un Modelo de Programacin Lineal. Para plantearlo, sea Xij el nmero de cargas enviadas desde la conservera i (1: San Martn; 2: Crdoba; 3: San Rafael) al almacn j (1: Mendoza; 2: San Juan; 3: Santa Fe; 4: Pergamino). As, X12 indica el nmero de cargas que se envan de San Martn a San Juan.

Obsrvese que existe una variable de decisin para cada uno de los arcos de la figura. Utilizando esta notacin, X12 = 40 implicara enviar 40 cargas de camin de San Martn a San Juan. La Funcin Objetivo Como el objetivo es minimizar el costo de transporte, se utilizan los datos de costos de la tabla anterior. Costo de transporte para las cargas que se envan desde San Martn: 80 X11 + 380 X12 + 1600 X13 + 2000 X14 Costo de transporte para las cargas que se envan desde Crdoba: 1400 X21 + 1200 X22+ 800 X23+ 800 X24 Costo de transporte para las cargas que se envan desde San Rafael: 500 X31 + 820 X32 + 2000 X33 + 2000 X34 El costo global de transporte (funcin objetivo) es la suma de las expresiones anteriores. Las Restricciones de Oferta

Como San Martn puede producir slo 75 cargas de camin, es evidente que no puede enviar ms de esa cantidad. Esta restriccin se expresa: X11 + X12 + X13 + X14 75 Idntico razonamiento vale para Crdoba y San Rafael: X21 + X22 + X23 + X24 125 X31 + X32 + X33 + X34 100 Obsrvese que hay una restriccin por cada conservera. Las Restricciones de Demanda Como debe satisfacerse la demanda de cada almacn, la suma de las cantidades que recibe cada uno debe ser igual a su demanda: Mendoza: San Juan: Santa F: Pergamino: X11 + X21 + X31 X12 + X22 + X32 X13 + X23 + X33 X14 + X24 + X34 = 80 = 65 = 70 = 85

Obsrvese que hay una restriccin por cada almacn. El Modelo Terminado Combinando la funcin objetivo y las restricciones en un solo modelo: Min 80 X11 + 380 X12 + 1600 X13 + 2000 X14 + 1400 X21 + 1200 X22+ 800 X23 + 800 X24 + 500 X31 + 820 X32 + 2000 X33 + 2000 X34 sujeto a X11 + X12 + X13 + X14 75 X21 + X22 + X23 + X24 125 X31 + X32 + X33 + X34 100 X11 + X21 + X31 = 80 X12 + X22 + X32 = 65 X13 + X23 + X33 = 70 X14 + X24 + X34 = 85 Xij 0; (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4 ) Las restricciones de no negatividad se deben a que no puede enviarse una cantidad negativa de cargas. El Problema de Transporte

El problema de transporte (en ingls: Transportation) se presenta con frecuencia cuando se plantea la distribucin (literal o figurativamente) de un bien o servicio, a partir de lugares de suministro, que llamaremos orgenes y hacia varios centros de abastecimientos, que llamaremos destinos. Cada origen tiene asociado una oferta, que es la cantidad de bienes disponibles en el origen, y cada destino tiene asociado una demanda, que es la cantidad de bienes que deber recibir el destino. El objetivo de un problema de transporte consiste en determinar cuntas unidades del producto deben enviarse de cada origen a cada destino, tal que se minimicen los costos totales de distribucin, no se exceda la capacidad de oferta de los orgenes y se satisfaga la demanda de los destinos. Un supuesto bsico del modelo es que el costo de transportar unidades desde el origen i al destino j es directamente proporcional al nmero de unidades, indicndose con Cij el costo de enviar desde i a j cada unidad. Tabla de Datos Igual que para el ejemplo clsico, los datos de entrada se pueden resumir en forma muy conveniente en una tabla de costos y requerimientos: Origen 1 Origen 2 Origen 3 Demandas Destino 1 C11 C21 C31 b1 Destino 2 C12 C22 C32 b2 Destino 3 C13 C23 C33 b3 Destino 4 C14 C24 C34 b4 Ofertas a1 a2 a3

En esta tabla se indica con ai a las ofertas, y con bj a las demandas. Modelo Matemtico de Transporte Sea: Xij la cantidad a enviar desde el origen i al destino j. Cij costo de enviar una unidad desde el origen i al destino j. ai la oferta del origen i. bj la demanda del destino j. Entonces, el modelo matemtico es:

Puede verse que el modelo tiene (n+m) restricciones, adems de las de no negatividad.

Comparando el modelo matemtico de Asignacin con el de Transporte, puede verse que el modelo de asignacin es un caso particular del modelo de transporte, donde los orgenes son los operarios y los destinos son las tareas. La demanda de cada origen y la oferta de cada destino es 1. Ntese que el modelo matemtico del problema de transporte es un modelo de Programacin Lineal, y an cuando puede resolverse con cualquier software que utilice el mtodo Simplex, tiene una estructura matemtica especial que ha permitido a los cientficos desarrollar un algoritmo especfico de solucin. Por lo general, los problemas de transporte que se encuentran en la prctica conducen a programas lineales muy grandes. No es raro encontrar problemas de transporte con 100 orgenes y 100 destinos. Un problema de este tipo implicara 10000 variables. Para problemas como ste, los procedimientos especiales de solucin son ms eficientes que los programas de propsito general de programacin lineal. Con algoritmos especficos, se pueden resolver problemas muy grandes sin necesidad de plantear el gran nmero de restricciones y variables que se requerira para el algoritmo simplex. Soluciones Enteras En algunas aplicaciones, se requiere que las cantidades transportadas sean nmeros enteros. Para nuestro ejemplo clsico, no tendra sentido una solucin que implique enviar un nmero fraccionario de camiones. Sin embargo, por la estructura del modelo matemtico, si las ofertas y las demandas son nmeros enteros, la solucin tambin toma valores enteros, por lo que no es necesario agregar al modelo la restriccin de enteros. Si una o ms oferta o demanda es fraccionaria, la solucin puede ser fraccionaria. Balanceo de Problemas El algoritmo de transporte requiere que la suma de las ofertas sea igual a la suma de las demandas, lo que se suele llamar un problema balanceado Con frecuencia, la demanda total no es igual a la oferta total. Si la oferta total excede a la demanda total, no es necesario hacer modificaciones al planteamiento de programacin lineal. La oferta excedente aparece como holgura en la solucin de programacin lineal. Puede interpretarse que la holgura para cualquier origen determinado es la oferta no utilizada, o la cantidad que no se enva desde el origen. Los costos de transporte por unidad desde un origen ficticio o hacia un destino ficticio son cero ya que esto equivale a no transportar desde el origen ficticio o a no recibir desde un destino ficticio. Fsicamente las cantidades enviadas desde un origen ficticio pueden interpretarse como escasez de la demanda, mientras que los asignados a un destino ficticio pueden interpretarse como capacidades no utilizadas en el origen. Ya que la oferta en un origen ficticio representa escasez en destinos, puede ser deseable asignar costos de penalizacin (en lugar de ceros) a las entradas de un origen ficticio para reflejar el fracaso del abastecedor para satisfacer las demandas requeridas. Una idea similar se aplica al caso de un destino ficticio. Rutas Prohibidas

Se observa tambin, que en los problemas de transporte puede no ser posible establecer una ruta desde cada uno de los orgenes hasta cada uno de los destinos. Es decir, algunas rutas pueden ser prohibidas. Para manejar esta situacin, en el modelo simplemente se elimina el arco correspondiente a la red y se elimina la correspondiente variable del planteo de programacin lineal. En el algoritmo, se le asigna un costo con un valor muy grande con respecto a los otros costos de envo. En Invop, se escribe una x (equis). Puede ocurrir, al introducir demasiadas rutas prohibidas, que el problema se vuelva infactible. En ese caso, se debe revisar el planteo. Maximizar un Problema de Transporte En algunos problemas de transporte, el objetivo es encontrar una solucin que maximice los ingresos o las utilidades. Utilizando los valores de utilidades, o ingresos, por unidad, como los coeficientes de la funcin objetivo, simplemente el modelo es de maximizacin, y no de minimizacin. Las restricciones no se ven afectadas por este cambio. Mnimos en Destinos En un problema que no est balanceado, alguno de las destinos no recibir la cantidad requerida, y si adems el problema requiere un mnimo en alguno de los destinos, se debe replantear el problema. Para salvar esta dificultad se introduce un origen ficticio para que el problema sea balanceado y al destino con requerimiento mnimo se lo considera como dos destinos, uno con la cantidad mnima requerida y otro con la diferencia entre la cantidad mxima y mnima solicitada; donde el costo de enviar una unidad del origen ficticio al destino con requerimiento mnimo sea muy alto (una ruta prohibida). Transporte y Asignacin Puede ocurrir en algunos casos, que queramos decidir un slo proveedor para cada destino, es decir las ofertas son indivisibles. En este caso, se trata de un Modelo de Asignacin, y no uno de transporte. El Problema de Trasbordo En un problema de transporte, pueden surgir situaciones donde no es econmico transportar directamente de orgenes a destinos. En lugar de esto, la mercanca puede pasar por otros orgenes y destinos antes de llegar a su destino ltimo. Este caso se conoce como el Problema de Transbordo. (En ingls: Transhipment) En el modelo de trasbordo cada origen o destino pueden tanto recibir como enviar la mercadera, con lo que todos los lugares son puntos potenciales de oferta y de demanda. La tabla de costos tendr tantas filas como orgenes reales y potenciales hayan, y tantas columnas como destinos reales o potenciales tenga el problema.

Uno de los supuestos de este problema, es que no hay costo por trasbordo: el costo de enviar por la ruta de A - B - C, es simplemente el costo de A - B ms el costo de B - C. En cualquier etapa de trasbordo, la oferta total puede concentrarse en cualquiera de los lugares (orgenes o destinos), para ser luego reexpedidos a otros lugares. Adems, cada lugar (origen o destino) puede recibir mercadera no slo para satisfacer su demanda, sino tambin para reexpedir la mercadera, y es posible que la demanda total se concentre en un lugar. Este problema se puede resolver como un problema de transporte, modificando ligeramente la tabla de datos. Ya que todas las demandas pueden concentrarse en cualquier lugar, se pueden suponer cantidades ficticias de oferta y demanda para cada uno de los lugares. Estas cantidades pueden suponerse como suministros de amortiguamiento, que permiten el trasbordo. Cada uno de estos suministros de amortiguamiento debern al menos, igualar la oferta y la demanda del problema original. Esto significa sumar a cada oferta y a cada demanda, una constante mayor o igual a la oferta total y a la demanda total. Al resolver, estas cantidades ficticias quedarn en sus lugares, sin reenviar.

Ejemplo ACME Argentina debe mandar cierto producto por avin desde las ciudades Mendoza y Crdoba a las ciudades Tucumn, Salta y San Luis. Los embarques se pueden mandar a travs de puntos intermedios a un costo igual a la suma de los costos de cada etapa. Las ofertas y demandas de cada lugar y las tarifas de carga areas entre estas ciudades, se dan en la siguiente tabla: (en caso de no existir este servicio, se indica con x): Mza Cr Tuc Sal S. Lu Demanda Mza 0 7 15 x 4 0 Cr 7 0 8 10 5 0 Tuc 15 8 0 2 10 40 Sal x 10 2 0 x 60 S. Lu Oferta 4 70 5 80 10 0 x 0 0 0 50

Obsrvese que en esta tabla se incluye el costo de envo de todos los lugares a todos los dems, ya que es posible que un origen o un destino enve o reciba mercadera de cualquier otro origen o destino. La cantidad mxima de unidades disponibles en los orgenes es 150. Por lo tanto, cualquiera de estas 150 unidades pueden tambin ser enviadas usando cualquiera de los orgenes o de los destinos. La demanda global es tambin de 150, por lo que sumaremos 150 a todas las ofertas y demandas, quedando la tabla: Mza Cr Tuc Sal S. Lu Oferta

Mza 07 Cr 70 Tuc 158 Sal x10 S. Lu 45 Demanda 150

15 8 0 2 10 150

x 10 2 0 x 190

4 5 10 x 0 210

220 230 150 150 150 200

Con esta tabla de datos, se resuelve como un problema de Transporte, quedando la solucin:

Obsrvese que las 150 unidades que hemos agregado a cada oferta y demanda, quedan en la diagonal, de Mendoza a Mendoza, de Crdoba a Crdoba, etc., que tienen un costo de envo cero, como es lgico. La solucin debe interpretarse:

Se envan desde Mendoza, 70 unidades a San Luis. Desde Crdoba, 80 unidades a Tucumn. Desde Tucumn, se reexpiden 60 unidades a Salta. Desde San Luis, se reexpiden 20 unidades a Tucumn. El costo total es 1240. Ejemplos 1. Caso de los Automviles Una firma dedicada al alquiler de automviles tiene escasez de coches en una serie de poblaciones ubicadas en el Nuevo Cuyo. Las ciudades de Mendoza, San Luis, San Juan y La Rioja disponen de 20, 35, 15 y 10 coches menos de los que se necesitan para los alquileres esperados. El director de la firma en San Juan se entera de que en Buenos Aires, Santa Fe y La Pampa tienen 40, 25 y 30 coches de ms respectivamente. El costo en pesos del transporte de un coche entre las distintas ciudades queda reflejado en la tabla adjunta: Bs. As. Santa Fe La Pampa MendozaSan Luis 22 18 18 San Juan 20 15 15 23 19 22 La Rioja 24 20 30

El problema consiste en tratar de minimizar el costo total de transporte para solucionar el problema de escasez. 2. Caso de la Aerolnea Una aerolnea regional puede comprar su combustible para jet a cualquiera de tres proveedores. Las necesidades de la aerolnea para el prximo mes, en cada uno de los tres aeropuertos a los que da servicio, son 100 mil litros en el aeropuerto 1, 180 mil litros en el aeropuerto 2 y 350 mil litros en el aeropuerto 3. Cada proveedor puede suministrar combustible a cada aeropuerto a los precios (en centavos por litro) que se dan en el siguiente cuadro: Aeropuerto 1 Proveedor 1 92 Proveedor 2 91 Proveedor 3 87 Aeropuerto 2 89 91 90 Aeropuerto 3 90 95 92

Cada proveedor, sin embargo, tiene limitaciones en cuanto al nmero total de litros que puede proporcionar un mes dado. Estas capacidades son 320 mil para el proveedor 1, 270 mil para el proveedor 2 y 190 mil para el proveedor 3. Para determinar una poltica de compra que cubra los requerimientos de la aerolnea en cada aeropuerto a costo mnimo, se considera a este problema como uno de transporte donde los orgenes son los proveedores, los destinos los aeropuertos, los costos del origen i al destino j son los precios que cada proveedor fija y el objetivo es optimizar la poltica de compra minimizando el precio total. 3. Caso de la Papelera Paper Inc., tiene plantas productoras de papel ubicadas en Los rboles y en Los pinares. Los almacenes estn ubicados en Lann y en Lapacho. Los distribuidores se encuentran en Caaveral, Papiro y Resma. Las capacidades de las plantas y las demandas de los distribuidores para el siguiente mes son las siguientes: Planta Los rboles Los pinares Capacidad (unidades) 300 100 Distribuido Caaveral Papiros Resma Demanda (unidades) 150 100 150

A continuacin se muestran los costos unitarios de transporte para los envos que se hacen desde las dos plantas a los dos almacenes, y desde los dos almacenes a los tres distribuidores: Almacn de Lann Planta de Los rboles 7 Planta de Los Pinares 3 Almacn de Lapacho 5 4 Distr. de Papiro 5 6 Distr. de Resma 7 10

Distr. de Caaveral Almacn de Lann 8 Almacn de Lapacho 5

Se trata de determinar el programa de embarques de costo mnimo para el problema.

4. Caso de la Compaa Qumica Una compaa qumica estima la demanda para uno de sus fertilizantes (en toneladas), de la siguiente forma: octubre, 7.1; noviembre, 13.2; diciembre, 12.8; enero, 7.7; y febrero, 2.1. Durante los otros meses, la demanda es relativamente baja y la poltica de la compaa para cubrir estas demandas es tener, para fines de febrero, un inventario de 1 tonelada. Lleva cuatro semanas producir el fertilizante, as que no hay stock disponible durante el mes en que se produce. Una vez que el fertilizante est listo, sin embargo, se lo puede enviar de inmediato a los clientes o conservarlo en inventario a un costo de $10 mensuales por tonelada. Tradicionalmente, la compaa produce el fertilizante slo entre agosto y diciembre. El primero de septiembre se distribuye cualquier sobrante del ao anterior. El siguiente cuadro muestra la capacidad de produccin (en toneladas) y el costo mensual (en $ por tonelada): Capacidad Costo agosto 12.5 63 septiembre 11 68 octubrenoviembre diciembre 9.5 8.1 5.5 75 52 48

El problema consiste en determinar un programa de produccin que cubra toda la demanda a un costo mnimo total. Para poder considerar este problema dentro del marco del modelo de transporte, se debe reformular construyendo una tabla de costos y requerimientos apropiada, considerando que los orgenes son los meses en los cuales se produce el fertilizante y los destinos los meses en los cuales se enva a los clientes. Considerando que el fertilizante comienza a producirse el primero de cada mes y termina de producirse el ltimo da del mismo mes, y que se distribuye a los consumidores el primer da del mes, la tabla, donde los costos estn dados en $ por tonelada, y la oferta y la demanda en de toneladas, es la siguiente: Destinos Orgenes octubrenoviembre diciembre enero febrero marzo agosto 73 83 93 103 113 septiembre 68 78 88 98 108 octubre x 75 85 95 105 115 noviembre x x 52 62 72 diciembre x x x 48 58 DEMANDA 7.1 13.2 12.8 7.7 2.1 OFERTA 123 12.5 118 11 9.5 82 8.1 68 5.5 1

Donde por ejemplo para calcular el costo de producir una tonelada en el mes de septiembre y distribuirlo en el mes de febrero se obtiene de la siguiente manera: $68 de costo de produccin en el mes de septiembre ms $40 por conservarlo cuatro meses en inventario. 5. Caso de los autobuses Un fabricante recibe de una gran ciudad un pedido de seis autobuses de dos pisos, los cuales sern entregados por pares durante los prximos tres meses. Las caractersticas de produccin se muestran en la tabla.

mes 1 Capacidad normal de produccin (unidades) 1 Capacidad de produccin en tiempo extra (unidades) 2 Costo normal de produccin (miles de $ / unidad) 35 Costo de produccin en tiempo extra (miles de $ / unidad) 39

mes 2 2 2 42 47

mes 3 3 2 40 45

Para determinar un programa de produccin que cumpla las condiciones de la ciudad a un costo mnimo para el comerciante y poder considerar este problema como uno de transporte, se debe replantear el problema. En este caso los orgenes son los meses de produccin de las unidades, dividiendo cada mes en dos, uno que considere la produccin a costo normal y otro a costo con horas extras; y como destinos los meses a entregar las unidades. Teniendo en cuenta que es imposible, por ejemplo, fabricar una unidad en el mes 3 y entregarla en el mes 1. Por lo que la tabla adecuada es la siguiente: Destinos Orgenes mes 1 - normal mes 1-hs. extras mes 2 - normal mes 2-hs. extras mes 3 - normal mes 3-hs. extras DEMANDA mes 1 35 39 x x x x 2 mes 2 35 39 42 47 x x 2 mes 3 35 39 42 47 40 45 2 OFERTA 1 2 2 2 3 2

Casos especiales 1. Caso de las vacunas Dos compaas farmacuticas tiene inventarios de dosis de 1.1 y 0.9 millones de cierta vacuna contra la gripe y se considera inminente una epidemia de gripe en tres ciudades. Ya que la gripe podra ser fatal para los ciudadanos de edad avanzada, a ellos se les debe vacunar primero; a los dems se les vacunar, segn se presenten, mientras duren los suministros de vacuna. Las cantidades de dosis que cada ciudad estima debe administrar son: ciudad 1 A ancianos 325000 A otros 750000 ciudad 2 260000 800000 ciudad 3 195000 650000

Los costos de embarque (en centavos por dosis) entre las compaas farmacuticas y las ciudades son los siguientes: Compaa A Compaa B ciudad 1 3 1 ciudad 2 3 4 ciudad 3 6 7

Se quiere encontrar un programa de embarque de costo mnimo que provea a cada ciudad de vacuna suficiente para atender al menos a los ciudadanos de edad avanzada. Como se observa, este problema no es balanceado, por lo que hay que replantear los orgenes de tal manera que los ancianos no se queden sin vacunas. Se crea un origen ficticio para que el problema sea balanceado y se divide a cada ciudad como dos destinos distintos, uno donde se considere la poblacin de ancianos (Oa) y otro donde se considere a los dems destinatarios de las vacunas (Or); siendo el costo de enviar una dosis de vacuna del origen ficticio a las ciudades Oa muy alto, lo que en el modelo de transporte se traduce como una ruta prohibida. Por consiguiente la tabla de costos y requerimientos para el problema sera el siguiente.

Luego este problema es balanceado y con esta reformulacin se asegura que los ciudadanos de edad avanzada sern vacunados. 2. Caso del Agua El distrito Local es una dependencia que administra la distribucin de agua en una cierta regin geogrfica grande. La regin es bastante rida, por lo que el distrito debe comprar y traer agua desde fuera de ella. Las fuentes de esta agua importada son los ros Salado, Dulce y Sinsabor. El distrito revende agua a los usuarios de la regin. Sus clientes principales son los departamentos de aguas de las ciudades de San Carlos, Santa Rosa, San Juan y San Pedro. Es posible llevar agua a cualquiera de estas ciudades desde cualquiera de los tres ros, con la excepcin de que no hay forma de abastecer a San Pedro con agua del ro Sinsabor. Sin embargo, dada la distribucin geogrfica de los acueductos y las ciudades en la regin, lo que le cuesta al distrito el abastecimiento depende tanto de la fuente como de la unidad que abastece. En la siguiente tabla se muestran los costos por metro cbico de agua (en centavos) para cada combinacin ro-ciudad. A pesar de estas variaciones, el precio que el distrito cobra por metro cbico es independiente de la fuente y es el mismo para todas las ciudades. San Carlos Santa Rosa San Juan San Pedro Recursos

Ro Salado Ro Dulce Ro Sinsabor Pedido

16 14 19 50

13 13 20 70

22 19 23 30

17 15 x 60

50 60 50

La administracin del distrito tiene que resolver el problema de cmo asignar el agua disponible durante el prximo verano. En la tabla, del lado derecho se dan las cantidades disponibles en los tres ros, en metros cbicos por hora. Tambin se muestra las cantidades requeridas por las distintas ciudades. La administracin desea asignar toda el agua disponible de los tres ros de manera que se minimice el costo total y adems el distrito se compromete a proporcionar un mnimo de 30 metros cbicos de agua por hora a la ciudad de San Carlos para cumplir con una necesidad esencial de agua de esa ciudad. Se puede considerar que este es un problema de transporte, donde los ros son los orgenes y las ciudades los destinos, pero para poder asegurar la cantidad mnima de agua a la ciudad de San Carlos se debe replantear el problema. Es un problema que no est balanceado, por lo que alguna de las ciudades no recibir la cantidad de agua requerida, pero se debe asegurar que la ciudad de San Carlos reciba la cantidad mnima de agua. Para salvar esta dificultad se introduce un origen ficticio para que el problema sea balanceado y a la ciudad de San Carlos se la considera como dos destinos, uno con la cantidad mnima requerida (San Carlos 1) y otro con la diferencia entre la cantidad mxima y mnima solicitada (San Carlos 2); donde el costo de enviar un metro cbico de agua del origen ficticio a San Carlos 1 sea muy alto (una ruta prohibida), con lo que se asegurara que la ciudad de San Carlos reciba esa cantidad mnima de agua. Luego la tabla de costos y requerimientos para el problema sera el siguiente.

3. Caso de Maximizacin Una empresa que fabrica un solo producto tiene tres plantas y cuatro clientes. Las tres plantas podrn producir seis, ocho y cuatro unidades, respectivamente, durante el siguiente periodo.

La empresa se ha comprometido a vender cuatro unidades al cliente 1, seis unidades al cliente 2 y por lo menos dos unidades al cliente 3. Tanto el cliente 3 como el 4 desean comprar tantas unidades como sea posible de las restantes. La utilidad neta asociada con el embarque de una unidad de la planta i para venderla al cliente j est dada por la siguiente tabla: Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 4 Planta 1 6 3 2 4 Planta 2 7 5 4 6 Planta 3 9 8 6 3 El gerente desea saber cuntas unidades debe vender a los clientes 3 y 4, y cuntas unidades conviene mandar de cada planta a cada uno de los clientes, para maximizar las utilidades. 4. Caso de los aviones La compaa Cielos del Sur construye aviones comerciales para varias lneas areas en todo el mundo. La ltima etapa del proceso de produccin consiste en fabricar los motores de turbina e instalarlos (operacin sumamente rpida) en la estructura del avin terminado. La compaa tiene varios contratos de trabajo para entregar un gran nmero de aviones en el futuro cercano y en este momento debe programarse la produccin de los motores de turbina durante los prximos cuatro meses.

En la segunda columna de la tabla se indica la cantidad de motores que deben estar listos para su instalacin, a fin de cumplir con las fechas de entrega contratadas. As, el nmero acumulado de motores que deben producirse para fines de los meses 1, 2, 3 y 4 deben ser por lo menos 10, 25, 50 y 70, respectivamente. Las instalaciones disponibles para producir los motores vara de acuerdo con otros programas de produccin, mantenimiento y renovacin durante este periodo. Las diferencias mensuales que resultan en cuanto al nmero mximo que se pueden producir y el costo unitario de produccin (en millones de dlares) se dan en la tercera y cuarta columna de la tabla. Dadas las variaciones en los costos de produccin, podra valer la pena producir algunos motores un mes o dos antes de su fecha de instalacin y se est estudiando

esta posibilidad. El inconveniente es que esos motores debern almacenarse hasta que sean instalados (la estructura de los aviones no estar lista antes). El costo de almacenamiento es de $ 15000 por mes (se incluye el inters sobre el capital invertido) y para propsitos de clculo supngase que se incurre en este costo de almacenamiento al final del mes slo para aquellas unidades que se guardan todo el mes siguiente. El gerente de produccin desea la programacin del nmero de motores que se deben fabricar en cada uno de los cuatro meses de manera que se minimicen los costos totales de produccin y almacenamiento. Sea Xj (j=1, 2, 3, 4) el nmero de motores de turbina que se producen en el mes j; la formulacin del problema como un modelo de programacin lineal en trminos de estas variables de decisin es directa y no parece ser del tipo de un problema de transporte. Sin embargo, si se adopta un punto de vista diferente, se puede formular este problema como de transporte. Este punto de vista diferente describir el problema en trminos de orgenes y destinos y despus identificar las variables, los costos, las ofertas y las demandas. Origen i Destino j Xij Cij dj oi : produccin de motores turbina en el mes i (i = 1, 2, 3, 4) : instalacin del motor turbina en el mes j (j = 1, 2, 3, 4) : nmero de motores producidos en el i para instalarlos en el mes j : costo por unidad de produccin y almacenamiento si i>j : nmero de instalaciones programadas para el mes j : oferta mxima de produccin en el mes i

Por lo que la tabla completa de costos y requerimientos para Cielos del Sur es:

Donde la x indica que imposible producir motores en un mes determinado para instalarlo en algn mes anterior.

Un problema en idioma inglsA 3 warehouse, 4 customer transportation model: XWHC = amount shipped from warehouse to customer MIN 6 XWH1C1 + 2 XWH1C2 + 6 XWH1C3 + 7 XWH1C4 + 4 XWH2C1 + 9 XWH2C2 + 5 XWH2C3 + 3 XWH2C4 + 8 XWH3C1 + 8 XWH3C2 + XWH3C3 + 5 XWH3C4 SUBJECT TO Demand constraints: C1) C2) C3) C4) XWH1C1 + XWH2C1 + XWH3C1 >= XWH1C2 + XWH2C2 + XWH3C2 >= XWH1C3 + XWH2C3 + XWH3C3 >= XWH1C4 + XWH2C4 + XWH3C4 >= 15 17 22 12

Supply constraints: WH1) XWH1C1 + XWH1C2 + XWH1C3 + XWH1C4