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1. CLCULO MATRICIAL
1.1. Sistemas de equaes lineares
1.2. Operaes elementares de Gauss
1.3. Mtodo de Gauss-Jordan
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UATLA Matemtica GS + MCE 1. Clculo Matricial Sandra Flix / Antnio Figueiredo 2
Equao linear
bxaxaxa nn 2211
Se b for zero a equao diz-se homognea,
caso contrrio diz-se no-homognea.
zero. de diferente dos um menos Pelo
mente.respectiva ,tesindependen termosos e escoeficient
os so e constantes As .incgnitasou variveisas so
i
ii
a
bax
1.1. Sistemas de equaes lineares
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UATLA Matemtica GAT + MCE 1. Clculo Matricial a) Sandra Flix / Antnio Figueiredo 3
Exemplos
variveis / trshomognea-no1234
variveluma / homognea-no032
variveisduas / homognea-no253
variveisduas / homognea03
zyx
x
yx
yx
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UATLA Matemtica GAT + MCE 1. Clculo Matricial a) Sandra Flix / Antnio Figueiredo 4
Sistema de equaes lineares
So duas ou mais equaes lineares que, por
poderem em geral partilhar entre si variveis,
devem ser resolvidas em conjunto, de forma
consistente.
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UATLA Matemtica GAT + MCE 1. Clculo Matricial a) Sandra Flix / Antnio Figueiredo 5
Sistema de m equaes a nincgnitas
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
me
qu
a
es
n variveis
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UATLA Matemtica GAT + MCE 1. Clculo Matricial a) Sandra Flix / Antnio Figueiredo 6
Exemplo
Por 2 bilhetes de adulto e 1 bilhete de criana, um grupo
pagou 8,00. Outro grupo pagou 9,00 por 1 bilhete de adulto e 3 de criana.
Quanto custa cada um dos bilhetes?
93
82
yx
yx
x o preo de um bilhete de adulto e y o de um bilhete de criana.
Sistema de duas equaes a duas incgnitas.
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Soluo de um sistema de equaes lineares
um conjunto de valores, assumidos
pelas variveis, que satisfaz todas as
equaes do sistema.
Portanto, para estes valores das
variveis, todas as equaes so
proposies verdadeiras.
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Exemplo
O bilhete de adulto custa 3,00 e o bilhete de criana custa 2,00.
9233
8232
93
82
23
yxyx
yx
sistema. do soluo uma portanto 2
3
y
x
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Nmero de solues de um sistema de equaes lineares
Um sistema de equaes lineares pode
ter nenhuma, uma, ou infinitas
solues.
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Sistemas possveis e impossveis
Um sistema de equaes lineares possvel se tem, pelo
menos, uma soluo; caso contrrio impossvel.
Se um sistema for possvel, existem valores das
incgnitas que satisfazem todas as equaes do
sistema, de forma consistente.
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Exemplo
A mesma expresso, x + y, no pode assumir
dois valores diferentes, 1 e 2, quaisquer que
sejam os valores de x e y.
Portanto, este sistema impossvel.
2
1
yx
yx
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Resoluo grfica (m = 2, n = 2)
Cada uma das equaes lineares do sistema pode ser
representada como uma recta no plano.
Cada recta representa o conjunto dos pontos que satisfazem
a equao respectiva. Portanto, os pontos de interseco
das duas rectas correspondem a valores das variveis que
satisfazem, em simultneo, as duas equaes.
Um ponto de interseco das rectas
uma soluo do sistema!
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Exemplo
93
82
yx
yx
2.5 3 3.5 4
1
2
3
4
x
y 82 xy
33
1 xy
sistema. do soluo uma portanto 2
3
y
x
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Resoluo por substituio
Resolve-se uma equao em ordem a
uma varivel e substitui-se a expresso
obtida noutra equao.
Aplicando este processo as vezes
necessrias, obtm-se equaes que
dependem apenas de uma varivel, que
se pode ento determinar.
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Exemplo
1
1
1
54
515122
54
55432
54
532
54
532
45
x
y
x
xy
xx
xy
xx
xy
yx
xy
yx
yx
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Resoluo por adio de equaes
Equaes so expresses proposicionais nas quais
se afirma que um dos lados igual ao outro.
Se ambos os lados de uma equao forem multiplicados
por uma constante (no nula), a igualdade
preservada: a equao resultante ter o mesmo valor
lgico e a mesma soluo da equao original;
Adicionando duas equaes (lado a lado), a igualdade
mantm-se: a nova equao forma um sistema
consistente com qualquer uma das equaes
originais, com a mesma soluo.
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Exemplo
152
823
yx
yx
2104
3819
yx
x
.resultante equao pela delas
uma se-substituiu e equaes
duas as se-Somaram
simtrico.seu peloou outra, da de ecoeficient
pelo equao cada se-umultiplico eliminar Para
y
y
2104
401015
12522
85235
yx
yx
yx
yx
1
2
21024
2
2104
2
y
x
y
x
yx
x
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Sistemas equivalentes
Dois sistemas de equaes lineares
so equivalentes se admitem o mesmo
conjunto de solues.
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Operaes que produzem sistemas equivalentes
Troca de duas equaes.
Multiplicao de uma equao por uma
constante no nula.
Substituio de uma equao pela soma
dessa equao com outra equao.
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Independncia das equaes de um sistema
Quando um sistema de equaes lineares
tem soluo nica, as equaes so
independentes.
Se um sistema admitir infinitas solues,
as equaes so dependentes e o
sistema indeterminado.
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Exemplo
As equaes no so independentes: foi possvel transformar
uma na outra efectuando operaes de equivalncia.
Qualquer valor de x conduz a uma soluo do sistema
escolhendo y = 1 x. No existe uma soluo do sistema,
existem infinitas solues.
Portanto, este sistema indeterminado.
xyyx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
1
00
1
00
1
1
1
1
222
1
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1.2. Generalidades sobre Matrizes
So grelhas de nmeros, delimitadas por parntesis
rectos, formadas por linhas e colunas.
A matriz A tem 3 linhas e 3 colunas. A matriz B tem 2 linhas e 3 colunas.
1120
023
512
A
1002
311B
Coluna Linha
Matrizes
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Entradas de uma matriz
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
Uma matriz m por n, ou matriz de dimenso
m x n, tem m linhas e n colunas.
O nmero aij a entrada da matriz A que
est na posio ij, ou seja, na linha i e na
coluna j.
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Diagonal principal de uma matriz
A diagonal principal de uma matriz o
conjunto das entradas aii, ordenadas por
ordem crescente dos ndices.
1120
023
512
A
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Matrizes quadradas, rectangulares, coluna e linha
Uma matriz quadrada se tiver o
mesmo nmero de linhas e de colunas,
caso contrrio rectangular.
Uma matriz com apenas uma coluna
chama-se matriz coluna.
Uma matriz com apenas uma linha
chama-se matriz linha.
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Exemplos
1120
023
512
A
311C
241120
35023
71512
D
0
3
2
B
Matriz quadrada Matriz coluna
Matriz linha
Matriz rectangular
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Matrizes triangulares
Matriz triangular inferior
uma matriz quadrada
em todas as entradas
situadas acima da
diagonal principal so
iguais a 0.
Matriz triangular
superior uma matriz
quadrada em todas as
entradas situadas
abaixo da diagonal
principal so iguais a 0.
3201
012/32
0025/1
0001
A
5/200
010
432
B
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Matriz identidade
Matriz identidade n x n a matriz cujas
entradas so 1 ao longo da diagonal
principal e 0 fora dela.
100
010
001
I Matriz identidade 3 x 3
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Porque se usam matrizes para resolver sistemas de equaes?
Colocando os coeficientes das variveis
de um sistema de equaes em forma de
matriz torna-se mais simples trabalhar
com sistemas de muitas equaes e
muitas incgnitas, particularmente
quando se usam computadores.
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Matrizes associadas a um sistema de equaes lineares
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
21
222221
111211
Matriz aumentada
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
Matriz dos
coeficientes
mb
b
b
2
1
Matriz dos termos
independentes
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Resoluo de sistemas usando matrizes aumentadas
As operaes que se realizam sobre as
equaes de um sistema e produzem um
sistema equivalente podem ser realizadas,
de forma semelhante, sobre as linhas da
matriz aumentada que lhe corresponde.
A cada equao de um sistema est
associada uma linha da matriz aumentada
correspondente.
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Operaes que produzem matrizes aumentadas (sistemas) equivalentes
Troca de duas linhas.
Multiplicao de uma linha por uma
constante no nula.
Substituio de uma linha pela soma dessa
linha com outra linha.
1.3. Operaes Elementares de Gauss
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Objectivo da aplicao das operaes sobre linhas da matriz
Pretende-se obter do lado esquerdo da
matriz aumentada uma matriz o mais
parecida possvel com a matriz identidade,
ou seja, em que cada linha corresponda a
uma equao resolvida.
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Exemplo
10
01
y
x
yx
yx
10
01
-
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Exemplo
72
143
yx
yx
210
301
210
721
1 linha adio e 2por 2 linha da oMultiplica
210
721
20100
721
10
1por 2 linha da oMultiplica
20100
721
143
721
2 linha adio e 3-por 1 linha da oMultiplica
143
721
721
143
2 e 1 linhas das Troca
721
143
210
301
2
3
y
x
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1.4.Mtodo de Eliminao de Gauss-Jordan
Este mtodo permite, para qualquer
sistema mesmo de dimenso elevada,
obter de forma sistemtica uma matriz
aumentada que est numa forma reduzida,
a partir da qual o sistema se resolve com
facilidade.
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Matriz em forma reduzida
Uma matriz est em forma reduzida se:
1. As linhas que apenas tm zeros esto abaixo das
restantes;
2. Em cada linha, o elemento mais esquerda 1;
3. Na coluna de cada um destes 1 esquerda,
quer acima quer abaixo, apenas existem zeros;
4. O 1 esquerda de cada linha est direita do
1 esquerda da linha anterior.
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Exemplos
310
201
000
110
301
1000
0310
0401
Matrizes em forma reduzida
301
210
210
000
301
5100
3020
1301
Matrizes em forma no reduzida
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Passos do mtodo de eliminao de Gauss-Jordan
1. Escrever a matriz aumentada correspondente ao sistema.
2. Escolher a coluna no-nula mais esquerda e fazer operaes
sobre as linhas at ter 1 na linha mais alta dessa coluna.
3. Usar mltiplos da linha que contm o 1 do ponto 2. para anular
todos os outros elementos da coluna a que esse 1 pertence.
4. Repetir o ponto 2. ignorando mentalmente a linha usada no
ponto 3. e as linhas acima dela.
5. Repetir o passo 3. considerando a matriz toda, incluido a linha
anteriormente ignorada. Continuar o processo enquanto houver
linhas da matriz por tratar.
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Exemplo
0231
7113
3122
023
73
322
zyx
zyx
zyx
3122
7113
0231
3340
77100
0231
3340
7,07,010
0231
2,02,000
7,07,010
1,21,001
1100
7,07,010
1,21,001
1100
0010
2001
1
0
2
z
y
x
-
UATLA Matemtica GAT + MCE 1. Clculo Matricial a) Sandra Flix / Antnio Figueiredo 41
Exemplo
5342
2784
4142
5342
2784
442
zyx
zyx
zyx
5342
2784
25,021
1200
10500
25,021
1200
2100
25,021
5000
2100
3021
50 O sistema impossvel!
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UATLA Matemtica GAT + MCE 1. Clculo Matricial a) Sandra Flix / Antnio Figueiredo 42
0000
4210
5321
4210
0000
5321
6432
10642
5321
Exemplo
6432
10642
15963
6432
10642
15963
zyx
zyx
zyx
O sistema indeterminado.
Por cada valor de z h uma
soluo diferente.
0000
4210
3101
tz
ty
tx
zy
zx
42
3
00
42
3