EELASTICIDAD

TEMA ITEMA I

Mgr. Iván Ruiz U.Mgr. Iván Ruiz U.

ELASTICIDADEstudia la deformación de los cuerpos, cambiode su forma y sus dimensiones, cuando estosexperimentan fuerzas externas.

El grado de deformación de un sólido rígido esmuy pequeño comparado con las dimensionesdel solido.del solido.Ejemplo: alambre de aluminio de 1 m y 1 mm2 de áreatransversal,quesoportaunafuerzade100N, seestira1,4 mm.transversal,quesoportaunafuerzade100N, seestira1,4 mm.

La elasticidad estudia la deformación de los cuerpos enequilibrio,esdecir,lasfuerzadeformadorascumplen:equilibrio,esdecir,lasfuerzadeformadorascumplen:

i) Equilibrio parala traslación: 0ii

F =∑�

i) Equilibrio parala traslación:

ii) Equilibrio para la rotación:

Se tiene cuatro tipos de deformacionesbásicas: Deformación

i

0ii

τ =∑�

I. Ruiz

Se tiene cuatro tipos de deformacionesbásicas: Deformaciónlongitudinal, cizalladura, torsión, y presión hidrostática

DEFORMACIÓN LONGITUDINAL POR TENSIÓNEs la deformación que experimenta unabarra de longitudL y área de seccióntransversalA, que soporta dos fuerzas deigual magnitud perodireccionescontrariasyigual magnitud perodireccionescontrariasysalen perpendicularmente de dos carastransversalesopuestas.transversalesopuestas.En esta deformación, la barra aumenta su longitud en∆L ydisminuyenlasaristastransversalesen- ∆H y - ∆W.disminuyenlasaristastransversalesen- ∆H y - ∆W.

Experimentalmente se encuentra:

i) El incremento de la barra∆L es directamente proporcionalal incremento de la longitud de la barra L0, es decir:

∆ ∝0

ii) El incremento de la barra∆L es directamente proporcionalal incrementodela magnituddela fuerzaF.

0L L∆ ∝

I. Ruiz

al incrementodela magnituddela fuerzaF.L F∆ ∝

DEFORMACIÓN LONGITUDINAL POR TENSIÓNiii ) El incremento de la barra ∆L es inversamenteiii ) El incremento de la barra ∆L es inversamenteproporcional al área de la sección transversal A.

1LA

∆ ∝A

De cuyos resultados experimentales, se concluye que:

01L L FA

∆ ∝ 0L L FA

∆ ∝

Esta proporcionalidad se convierte en igualdad,introduciendola constantedeproporcionalidad1/Y, esdecir:introduciendola constantedeproporcionalidad1/Y, esdecir:

01 1L L FY A

∆ = F LYA L

∆=

Donde, Y es el Módulo de Young que dependedel tipo deDonde, Y es el Módulo de Young que dependedel tipo dematerial, cuya unidad en el S.I. es el Pascal Pa.DefiniciónDefiniciónSe define el esfuerzo por tensión, a la magnitud de la fuerzatensoraF porunidaddeáreatransversalA.

I. Ruiz

tensoraF porunidaddeáreatransversalA.σ

FA

=

DEFORMACIÓN LONGITUDINAL POR TENSIÓNDefiniciónDefiniciónSe define como deformación unitariaɛ, alcambio de longitud∆L por unidad de longitudinicial dela barra.inicial dela barra.

LL

ε ∆=L

La ecuación de la deformación longitudinal por tensión sepuedeescribirenla forma:puedeescribirenla forma:

Yσ ε=Considerando,la relación experimentalσ = σ(ɛ) para elConsiderando,la relación experimentalσ = σ(ɛ) para elesfuerzo tensor, se tiene:

i) El punto A, llamado límite proporcional, representaeli) El punto A, llamado límite proporcional, representaelmáximo esfuerzo para el cual la ecuación es válida.Yσ ε=

I. Ruiz

ii) El punto B, llamado límite elástico.

DEFORMACIÓN LONGITUDINAL POR TENSIÓN

iii) La región OB, se llama zonaelástica. Aliii) La región OB, se llama zonaelástica. Alliberarlo del esfuerzo tensor, la barra recuperasutamañooriginal.sutamañooriginal.

iv) En la región AB, no es valida.

v) El puntoC, llamadopuntodefractura,dael

Yσ ε=

v) El puntoC, llamadopuntodefractura,daelesfuerzo máximo que fractura (rompe) la barra

vi) La región BC, se llama zona plástica. Al liberarlo delesfuerzo tensor, la barra no retorna a su tamaño original,quedaparcialmentedeformada.quedaparcialmentedeformada.

I. Ruiz

DEFORMACIÓN LONGITUDINAL POR COMPRESIÓNEs la deformación que experimentaunaEs la deformación que experimentaunabarra de longitudL y área de seccióntransversalA, que soporta dos fuerzas deigual magnitud perodireccionescontrariasyigual magnitud perodireccionescontrariasyentrando perpendicularmente a dos carastransversalesopuestas.transversalesopuestas.En esta deformación, la barra disminuye su longitud en -∆Ly aumentanlasaristastransversalesen∆H y ∆W.y aumentanlasaristastransversalesen∆H y ∆W.

Experimentalmente se encuentra:

i) El decremento de la barra -∆L es directamenteproporcional al incremento de la longitud de la barra L0, a la0

fuerza compresora e inversamente proporcional al áreatransversal, es decir:

1L L F∆ ∝I. Ruiz

01L L FA

∆ ∝

DEFORMACIÓN LONGITUDINAL POR COMPRESIÓNSi el materialde la barraes lineal, homogéneoe isotrópico,Si el materialde la barraes lineal, homogéneoe isotrópico,la constante de proporcionalidad Y, llamado módulo deYoung, tiene el mismo valor numéricopara el casode laYoung, tiene el mismo valor numéricopara el casode ladeformación longitudinal por tensión.

Como la longitud de la barradisminuye,se debeincluir elComo la longitud de la barradisminuye,se debeincluir elsigno negativo, por tanto, la ecuación de deformación porcompresiónestadadapor:

F L∆compresiónestadadapor:

0

FA

LYL∆= −

ii ) Las deformacionesunitarias transversales y son∆ii ) Las deformacionesunitarias transversales y sonproporcionales a la deformación unitaria longitudinal , sielmaterialeshomogéneoe isotrópico,setiene:

0

HH∆

0

WW∆

0

LL∆

materialeshomogéneoe isotrópico,setiene:

0

H L

H L

∆ ∆∝0

W L

W L

∆ ∆∝0

P

H L

H Lσ∆ ∆= −

0P

W L

W Lσ∆ ∆= −

I. Ruiz

0H L 0W L 0H L 0W L

“Se debe observar que Y yσσσσP tiene el mismo valor al caso de tensión”

DEFORMACIÓN LONGITUDINAL POR COMPRESIÓNiii ) Parala deformaciónpor compresión,sedefineel esfuerzoiii ) Parala deformaciónpor compresión,sedefineel esfuerzopor compresión y deformación unitaria por las expresiones:

σF= Lε ∆=

Por tanto la deformación por compresión también se escribeenla forma:

σFA

= LL

ε ∆=

enla forma:Yσ ε=

iv) La relación gráfica del esfuerzoiv) La relación gráfica del esfuerzocompresor versus deformación unitaria,presenta un límite proporcional, límitepresenta un límite proporcional, límiteelástico, punto de ruptura, una zona elásticay una zona plástica,que tienen la mismay una zona plástica,que tienen la mismainterpretación al caso de la deformaciónpor tensión,si el material de la barra es

I. Ruiz

por tensión,si el material de la barra eshomogéneo e isotrópico.

DEFORMACIÓN POR CIZALLADURA

Es la deformación que experimenta unEs la deformación que experimenta unparalelepípedo de aristas L, H y W, cuya fuerzadeformadoraactúa en dirección paralelaa ladeformadoraactúa en dirección paralelaa lacara de área A=L H, y el paralelepípedocambiadeformaaun romboideregular.cambiadeformaaun romboideregular.

Experimentalmente:i) La deformaciónlongitudinal∆L, esproporcionala la alturaH,i) La deformaciónlongitudinal∆L, esproporcionala la alturaH,a la magnitud de la fuerza F, e inversamente proporcional al áreaA, es decir: 1l H F∆ ∝

Introduciendo la constante de proporcionalidad M, llamadamodulo de rigidez que depende del tipo de material, la

1l H FA

∆ ∝

modulo de rigidez que depende del tipo de material, ladeformación por cizalladura esta dada por la expresión:

F L∆

I. Ruiz

F LMA H

∆=

DEFORMACIÓN POR CIZALLADURA

Por lo general , por tanto, θ es muyL H∆ �Por lo general , por tanto, θ es muypequeño, obteniéndose:

L H∆ �

Ltgθ ∆=Ltgθ θ ∆≈ ≈

Por tanto, la deformación por

LtgH

θ ∆=Ltg

Hθ θ ∆≈ ≈

F M θ=

cizalladura también se puede expresaren la forma:

ii) Para la deformación por cizalladura, se define el esfuerzodecizallay deformaciónunitariapor lasexpresiones:

F MA

θ=

decizallay deformaciónunitariapor lasexpresiones:

σFA

= LH

ε ∆=

Por tanto la deformación por cizalladura también se escribe enla forma:

A H

la forma:

I. Ruiz

Yσ ε=

DEFORMACIÓN POR CIZALLADURA

iv) La relación gráfica del esfuerzodeiv) La relación gráfica del esfuerzodecizalladura versus deformación unitaria,σ=f(ε) presentaun límite proporcional,σ=f(ε) presentaun límite proporcional,límite elástico, punto de ruptura, unazona elástica y una zona plástica, quezona elástica y una zona plástica, quetienen la misma interpretación al caso dela deformaciónpor tensión,si el materialla deformaciónpor tensión,si el materialde la barra es homogéneo e isotrópico.

I. Ruiz

DEFORMACIÓN POR TORSIÓN

Seaplicaa cilindrosmacizosy huecos.Seaplicaa cilindrosmacizosy huecos.

Considerando un cilindro hueco, delongitud L, radio interno a y radiolongitud L, radio interno a y radioexternob, fijo a una pared por una de susseccionestransversales,quedandolibre laseccionestransversales,quedandolibre laotra sección, este cilindro experimentaunadeformaciónpor torsión,si seaplicaunadeformaciónpor torsión,si seaplicaun par de torques (momento) a dospuntos lateralesdiametralmenteopuestopuntos lateralesdiametralmenteopuestoen el extremo libre.La deformación del cilindro es una torsión que seLa deformación del cilindro es una torsión que se

cuantifica por el ángulo transversal φ o el ángulo lateral θ.En este tipo de deformación los átomos que forman el

I. Ruiz

En este tipo de deformación los átomos que forman el

cilindro experimentan desplazamientos angulares.

DEFORMACIÓN POR TORSIÓN

Paracuantificarel gradodedeformaciónporParacuantificarel gradodedeformaciónportorsión, se considera un diferencial decilindro huecode longitud L, radio internocilindro huecode longitud L, radio internor y espesordr.

Al diferencial de cilindro se cortaAl diferencial de cilindro se cortalongitudinalmente y se desdobla.

Si el cilindro experimentauna deformaciónSi el cilindro experimentauna deformaciónpor torsión, el diferencial de cilindrodesdobladoexperimentauna deformacióndesdobladoexperimentauna deformacióndel tipo cizalla.

Seconsidera:Seconsidera:i) El diferencial de fuerza tangencialdeformador , estaaplicadoa la superficiedF

�

I. Ruiz

deformador , estaaplicadoa la superficietransversal de espesordr .

dF

DEFORMACIÓN POR TORSIÓN

ii ) El área del diferencial de superficieii ) El área del diferencial de superficietangente al diferencial de fuerza esta dadapor:

drrdA π2=por:

iii) El grado de deformación longitudinal∆L, utilizando la definición de ángulo en

drrdA π2=

∆L, utilizando la definición de ángulo enradianes esta dada por:

φθ rLL ==∆iv) Aplicando la deformación de cizalla:

φθ rLL ==∆

M rdF φ 22 M rπ φ2

M rdFrdr L

φπ =

22 M rdF dr

Lπ φ=

v) Aplicando la definición de torque, setiene: 2 Mπ φ

I. Ruiz

tiene:r Fτ = ×�� � 32 M

d r dF r drL

π φτ = =

DEFORMACIÓN POR TORSIÓN

Considerandola sumade diferencialesde torque de cadaConsiderandola sumade diferencialesde torque de cadadiferencial de cilindro, es decir, integrando la ecuaciónanterior,la deformaciónpor torsión parael cilindro huecoanterior,la deformaciónpor torsión parael cilindro huecoesta dada por:

2b Mτ π φ 4 4( )M b aπ −3

0

2b

r a

Md r dr

L

τ

τ

π φτ= =

=∫ ∫4 4( )

2M b a

Lπτ φ−=

Esta ecuación expresa la Ley de Hooke para rotaciones:

“La magnituddel torque esproporcionalal desplazamiento“La magnituddel torque esproporcionalal desplazamientoangular medido en la sección transversal del tubocilíndrico”.cilíndrico”.

I. Ruiz

DEFORMACIÓN VOLUMÉTRICAConsideraun cuerpo cubico de aristas L, cuya deformaciónConsideraun cuerpo cubico de aristas L, cuya deformaciónvolumétrica esta generada por seis fuerzas compresorasaplicadas a cada cara del cubo, en cuyo caso, el cuboexperimentaunadisminucióndesuvolumen- ∆V.experimentaunadisminucióndesuvolumen- ∆V.

Para que el cubo experimente seis fuerzas compresoras de igualmagnitud, se sumerge en un liquido incompresible contenidoenun recipiente provisto de un pistón de áreaApi sobre el cual seejerceuna fuerzaexternaF , el cual generaun incrementodeejerceuna fuerzaexternaFex, el cual generaun incrementodepresión en todos los puntos del fluido dada por: ex

pi

FP

A∆ =

piA

La fuerza queactúa sobre cadaactúa sobre cadacara del cubo, estadadapor:

I. Ruiz F P A= ∆

dadapor:

DEFORMACIÓN VOLUMÉTRICAExperimentalmenteseencuentraque:Experimentalmenteseencuentraque:

La disminución del volumen∆V, es directamente proporcional alincrementodesupresión∆P y al volumeninicial del cuboV0, esincrementodesupresión∆P y al volumeninicial del cuboV0, esdecir:

0V P V∆ ∝∆Introduciendola constantede proporcionalidad1/K, llamadoIntroduciendola constantede proporcionalidad1/K, llamadomodulo de compresibilidad que depende del tipo material, laecuacióndedeformaciónvolumétricaestadadapor la relación:ecuacióndedeformaciónvolumétricaestadadapor la relación:

0

VP KV∆∆ = −

0

El signo negativo, controla la disminución del volumen .

DefiniciónDefiniciónEl coeficiente de compresibilidad del material k, esta definidocomoel inversodemodulovolumétrico,esdecir:

I. Ruiz

comoel inversodemodulovolumétrico,esdecir:1kK

=