1. clase introductoria
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Resistencia de Materiales
______________________________________________________________________________ Universidad de Ingeniería
Facultad de Ingeniería Civil
Departamento Académico de Estructuras
Semana 1 Introducción –
Tema 1 – Sólido elástico
Tema 2- Principios Generales de La Resistencia de Materiales
Tema 3 Propiedades de los Materiales
Tema 4 Constantes Elásticas
Tema 5 Conceptos de Tensión: Fuerzas internas
Tema 6 Conceptos de Coeficientes de Seguridad, de Tensión Admisible y de Carga Admisible
Tema 7 Esfuerzos Normales y Cortantes
Profesor: Ing. Jorge Luis Gallardo Tapia
La presentación se basa en los siguientes artículos:
Curso: Estabilidad II UNNE, Argentina
Resistencia de Materiales, Profesor Jaime Santo
Domingo Santillana
Resistencia de Materiales, Luis Ortiz Berrocal
Mecánica de Materiales, James Gere
Unidades
TABLA Nº 1. DIMENSIONES BÁSICAS EN EL SISTEMA SI Y EGU.
MAGNITUD SISTEMA
INTERNACIONAL (SI)
SISTEMA ANGLOSAJÓN
(EGU)
LONGITUD METRO (m) PIE (ft)
TIEMPO SEGUNDO (s) SEGUNDO (s)
FUERZA NEWTON (N) LIBRA (lbf)
MASA KILOGRAMO (kg) SLUG
TEMPERATURA KELVIN (K) ºF
Introducción
Concepto de Sólido Elástico
La mecánica teórica considera indeformables los cuerpos materiales, ya se
encuentren en estado de movimiento o de reposo. ???
En el estudio de la mecánica aplicada, se observa experimentalmente que las
fuerzas que actúan sobre determinado cuerpo, que posee unas características
físicas y geométricas propias, no pueden ser arbitrariamente grandes, pues el
cuerpo se deforma y se rompe.
Esta observación nos exige revisar el concepto de sólido que se admite en
mecánica.
Sólido rígido
Sólido elástico
Sólido verdadero
Sólido Rígido:
A B
P
C Al incrementar P siempre existirá un valor que
provoca la rotura de la viga, a pesar de que las
reacciones en los apoyos fuesen suficientes
para equilibrar la fuerza P.
Necesidad de estudiar: límites de las cargas,
ó, dimensionado que hay que darle para
soportar cierto esfuerzo con la condición
siempre de que no exista peligro de rotura.
(objeto de la Resistencia de Materiales)
Sólido Elástico:
Equilibrio entre fuerzas
exteriores e interiores,
pero está en estado de
deformación
P5
P4
P3
P2
P1
Propiedades:
• Material es isótropo, cuando sus
propiedades físicas no dependen de la
dirección en que se han medido en dicho
cuerpo. Equivale a admitir la propiedad de
igual elasticidad en todas las direcciones.
• Material homogéneo, equivale a considerar
que una parte arbitraria del mismo posee
idéntica composición y características que
otra cualquiera.
• La propiedad de continuidad, supone que
no existen huecos entre partículas ni, por
consiguiente, distancias intersticiales.
Sólido verdadero: Es aquel que resulta de considerarlo como deformable ante los esfuerzos a que está sometido y falto de
isotropía, homogeneidad y continuidad.
Se ocupa del estudio de los efectos causados por la acción de
cargas externas que actúan sobre un sistema deformable.
Calcula las deformaciones correspondientes y las relaciones que
existen entre la acción de las cargas externas y las fuerzas
internas inducidas.
En base al análisis, concluye si una pieza es capaz de resistir un
sistema de cargas propuesto.
Hipótesis Fundamentales
a) El material de la pieza es homogéneo (idénticas propiedades en todos los
puntos). El acero es un material altamente homogéneo; en cambio, la madera, el
hormigón y la piedra son bastante heterogéneos.
b) El material de la pieza es isótropo. Esto significa que admitimos que el material
mantiene idénticas propiedades en todas las direcciones.
c) El material se considera macizo (continuo). El comportamiento real de los
materiales cumple con esta hipótesis aún cuando pueda detectarse la presencia
de poros o se considere la discontinuidad de la estructura de la materia,
compuesta por átomos que no están en contacto rígido entre sí, ya que existen
espacios entre ellos y fuerzas que los mantienen vinculados, formando una red
ordenada. Esta hipótesis es la que permite considerar al material dentro del
campo de las funciones continuas.
Modelo Teórico de Sólido:
Prisma Mecánico
Desde el punto de vista físico posee las propiedades de isotropía, homogeneidad
y continuidad.
Tipos:
a) Barra. Prisma mecánico cuyas dimensiones de la sección transversal son
pequeñas, en comparación con la longitud de la línea media.
b) Placa, es un cuerpo limitado por dos planos, cuya distancia –el espesor- es
pequeña en comparación con las otras dos dimensiones.
c) Cáscara, es un cuerpo limitado por dos superficies no planas, a distancia
pequeña en comparación con las otras dos dimensiones.
Principios Generales de la Resistencia de Materiales
Principio de rigidez relativa de los sistemas elásticos.- según este principio
se admite que al aplicar el sistema exterior de fuerzas, la forma del sólido no varía
de forma significativa.
Si no existiese el principio: El principio de rigidez, dado las
pequeñas deformaciones, permite:
Principio de Superposición de Efectos
Expresa que el estado de equilibrio debido a varias acciones que actúan
simultáneamente sobre un prisma mecánico es igual a la superposición de las
soluciones que corresponden a cada uno de los estados de equilibrio si cada acción
exterior actuara independientemente. El principio es aplicable a sistemas elásticos
en los que las tensiones son proporcionales a las deformaciones, es decir, sistemas
en los que se verifica la ley de Hooke, y la solicitación que actúa sobre el sistema no
cambia significativamente su geometría original.
Principio de Saint - Venant
La distribución de tensiones y deformaciones es la misma a distancia suficiente
de los puntos de aplicación de las fuerzas exteriores. En vigas normales, esta
distancia suficiente suele ser del orden de las dimensiones de la sección
transversal.
Cuanto más próximas del punto de aplicación de la carga están las tensiones a
ser analizadas, menos uniforme tiende a ser su distribución en una determinada
sección transversal.
ESQUEMA DE CALCULO
Al escogerse el esquema de cálculo se introducen ciertas
simplificaciones en:
a) La geometría del objeto. Así un sólido muy alargado se puede
idealizar con una barra.
b) Los vínculos. Usualmente se consideran ideales.
c) Los sistemas de fuerzas aplicadas: es conocido por ejemplo, que
las cargas concentradas prácticamente no existen en la realidad,
sino que son las resultantes de fuertes presiones localizadas en
zonas pequeñas.
d) Las propiedades de los materiales.
Aún cuando a partir del encauzamiento del estudio por la vía de las operaciones
matemáticas pareciera que el trabajo ha concluido, debemos dejar bien en claro
que el cálculo no consiste solamente en el empleo de fórmulas. En efecto,
debemos tener muy presente que lo que se ha resuelto no es el sistema real
sino un modelo matemático. Esto significa que los resultados deben ser
adecuadamente interpretados, y eventualmente corregidos para acercarse lo más
próximo posible a la solución real.
Finalmente, y a título de resumen, podemos decir que el método de la
Resistencia de Materiales, que no es sino el de la Mecánica Aplicada puede
enunciarse de la siguiente manera:
1) Elección de un esquema de cálculo (elaboración de un modelo matemático).
2) Resolución matemática del problema.
3) Interpretación de los resultados en función del sistema físico real.
ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS MATERIALES
Elasticidad y Plasticidad
En el ejemplo de la barra traccionada, podemos ver que si la fuerza F
cesa, el alargamiento δ desaparece completa o parcialmente, es decir,
la barra tiende a recuperar su longitud original L. Esta propiedad que
posee un material de volver parcial o completamente a su forma inicial
una vez que desaparece la carga es lo que se llama “elasticidad”. La
“plasticidad” es una propiedad opuesta, un material es “perfectamente
plástico” cuando al dejar de actuar la carga que lo deforma mantiene su
configuración deformada. En la realidad ningún material resulta
perfectamente elástico o perfectamente plástico. Algunos materiales
como el acero, aluminio, goma e incluso la madera y el hormigón
pueden ser considerados como perfectamente elásticos dentro de
ciertos límites, es decir, si no están excesivamente cargados. Otros
materiales como la arcilla y la masilla pueden considerarse como
perfectamente plásticos.
Ley de Hooke
La denominada Ley de Hooke constituye la base de la Resistencia de
Materiales y es válida dentro de lo que se denomina régimen lineal
elástico. Esta ley establece que si la tensión normal σ se mantiene
por debajo de un cierto valor σp, llamado tensión de proporcionalidad,
las deformaciones específicas y las tensiones son directamente
proporcionales.
σ = E . ε
E: Recibe el nombre de Módulo de Elasticidad
Longitudinal, o módulo de Young. El valor de E
es una característica de cada material.
Diagrama tensión - deformación (σ - ε) del acero común
Para poder establecer la ley de Hooke se hace necesario conocer el
módulo E, el cual debe determinarse experimentalmente. Para
obtener los datos antes mencionados se pueden realizar distintos
tipos de ensayo, de los cuales uno muy difundido es el de tracción,
cuando una barra esta sometido a un esfuerzo axial P, aparecen
internamente tensiones normales σ calculables a través de la
siguiente expresión:
σ = PA
Fig.1 . Probeta para el ensayo a tracción
Diagrama tensión - deformación (σ - ε) del acero común
La curva se puede dividir en dos zonas:
Zona elástica
la deformación unitaria, ε, aumenta proporcionalmente con el
esfuerzo, 𝜎 , hasta llegar al limite de proporcionalidad 𝜎 p,
(figura 2). La ecuación que define esta proporcionalidad se
denomina ‘Ley de Hooke’: E es la pendiente de la recta en el
diagrama 𝜎 - ε y es una medida de la rigidez del material; un
mayor E implica mayor rigidez. A partir del límite de
proporcionalidad, la deformación no varía linealmente con el
esfuerzo; ambos siguen aumentando hasta que se alcanza el
limite elastico, 𝜎e, que es el máximo esfuerzo que se le puede
aplicar a la probeta sin que ocurran deformaciones
permanentes.
Zona Plástica
Alcanzado la resistencia del material a la fluencia, 𝜎y; en
este instante ocurren grandes deformaciones con pequeños
(o nulos) aumentos de la carga. A medida que los cristales del
material se deslizan, éstos van ocupando los vacíos que hay
en la red, haciendo el material más homogéneo y resistente.
Esta etapa es conocida como endurecimiento por
deformación (figura 2). Como el material se vuelve más
resistente, se requieren mayores cargas para seguir
deformando el material. El esfuerzo que soporta la pieza al
comienzo de la estricción es el máximo de la curva, esfuerzo
último o resistencia máxima a la tracción, 𝜎u. Finalmente
ocurre la falla súbita (frágil), esfuerzo de rotura, 𝜎R.
Algunos materiales, como los
aceros de alta resistencia y las
aleaciones de aluminio, tienen
curvas 𝜎 – ε un poco diferentes a
la del acero suave. Como en esta
curva no se aprecia claramente
un punto de fluencia, la
resistencia de fluencia se define
como el esfuerzo que producirá
una pequeña deformación
permanente, igual a 0.2% Fig.3.-Curvas 𝜎 − 𝜖 de un material dúctil
Otros materiales como el
hierro fundido gris, el vidrio
y el concreto (frágiles) no
poseen zona plástica (o es
pequeñísima); entonces,
poseen esfuerzos últimos,
mas no resistencias de
fluencia.
Fig.4 Curva 𝜎 − 𝜖 de un material frágil
hierro fundido gris
Materiales uniformes y no uniformes
Material uniforme
Un material es uniforme
cuando su resistencia a la
tracción es similar a aquella
a la compresión; la mayoría
de los materiales dúctiles
son uniformes. La figura
muestra la curva 𝜎-ε de un
material uniforme, como un
acero o una aleación de
aluminio o de cobre Fig.5
Material no uniforme
Generalmente los materiales frágiles
tienen resistencias a la compresión
mucho mayores que a la tracción. La
resistencia a la compresión, 𝜎uc, del
hierro fundido gris es mucho mayor
que su resistencia a la tracción, 𝜎u.
Otros ejemplos de materiales no
uniformes son el concreto, el cual es
más resistente a la compresión, y la
madera, que es más resistente a la
tracción. Fig.5(b)
Materiales dúctiles y frágiles
Ductilidad
Un material es dúctil cuando tiende a deformarse
‘significativamente’ antes de la fractura. Una forma de medir
la ductilidad se conoce como ‘alargamiento’ o ‘elongación’,
que es la deformación unitaria (de ingeniería) de la probeta
sometida a tracción, en el momento de la fractura. Como la
elongación de una probeta depende de su longitud inicial,
debe especificarse siempre dicha longitud, que es
usualmente de 2 in. Un material se considera dúctil si su
elongación es mayor que 5%.
Fragilidad
Fragilidad es lo opuesto de
ductilidad. Un material es frágil si
tiende a fracturarse sin deformación
significativa. Entonces, la
deformación total de un material
frágil al fracturarse en tracción es
pequeña comparada con aquella de
un dúctil. La medida de fragilidad es
la misma que la de ductilidad; un
material se considera frágil si su
elongación es menor que 5%. Curvas 𝜎 − 𝜖 de un material dúctil y uno frágil Fig.6
Diferencias entre materiales dúctiles y frágiles
- Los materiales dúctiles tienen una parte recta en el diagrama
𝜎-ε, mientras que los frágiles no tienen parte recta alguna.
- Los materiales dúctiles son normalmente uniformes, mientras
que los frágiles son no uniformes.
- A diferencia de los frágiles, los materiales dúctiles tienen
puntos definidos de proporcionalidad, elasticidad y fluencia.
- Los materiales dúctiles tienden a ser más tenaces que los
frágiles
- Los materiales forjados, laminados, trefilados y extruidos
tienden a ser dúctiles, a diferencia de los fundidos que tienden
a ser frágiles.
Tenacidad
Un material es más tenaz en la medida en que
necesite mayor energía para fracturarse. Dicha
energía por unidad de volumen es igual al área total
bajo la curva 𝜎-ε (áreas sombreadas de la figura 6).
Entonces, un material es más tenaz en la medida
en que sus resistencias de fluencia y máxima a
tracción sean mayores, y en que su elongación sea
mayor.
Dureza
La dureza es la resistencia que ejerce un material
a la penetración. Esta propiedad está íntimamente
ligada a la resistencia a la compresión del material.
Además, podría ser un indicador, aunque no es
garantía, de su resistencia al desgaste. La dureza
se puede medir en las escalas Brinell, Rockwell y
Vickers
Si al realizar el ensayo de un acero común, una
vez alcanzado un punto tal como M de la figura
7, se descarga la probeta, se llega a una tensión
nula a través de una recta paralela a la que
define el período elástico, quedando una
deformación remanente. Si la probeta vuelve a
cargarse retoma la curva en el punto N, pero con
un nuevo recorrido donde ya no existe el período
de fluencia. Así mismo, la zona recta se
prolonga hasta un valor σ'p > σp. El fenómeno
anterior se denomina endurecimiento mecánico
o por trabajo en frío, y también puede lograrse
por laminado en frío, trafilado o torsión. El
trafilado se utiliza para endurecer alambres o
barras circulares finas, y el torsionado
especialmente para barras redondas (en
general, con conformaciones superficiales), para
hormigón armado.
Fig.7. Endurecimiento mecánico del acero dulce
Diagrama tensión – deformación para otros materiales
Hay algunos materiales para los cuales se observa
que el diagrama σ - ε es una curva continua sin
tramos rectos, es decir, que prácticamente en ningún
momento verifican la ley Hooke. Un ejemplo clásico
es el hormigón, para el cual en general interesa su
curva σ - ε en compresión. En estos casos no puede
hablarse de un módulo de elasticidad único. Caben
distinguir tres valores del módulo de elasticidad:
a) Módulo al origen E= tg α
b) Módulo instantáneo o tangente. Su valor lo da la
pendiente a la curva σ - ε en cada punto:
E = 𝑑𝜎
𝑑𝜀 = tg α0
c) Módulo secante, el que viene dado por la tangente
trigonométrica del ángulo α1.
Fig.8: Módulos tangente y secante
CONSTANTES ELÁSTICAS El comportamiento lineal elástico de los sólidos, permite determinar valores
característicos o constantes elásticas, para cada material, agrupando entre ellos a
los llamados módulos de elasticidad.
Módulo de elasticidad longitudinal (E)
La relación ΔL/L, deformación especifica unitaria, la identificamos con ε.
Admitiendo para el material el cumplimiento de la ley de Hooke, la tensión
σ = 𝑃
𝐴 , será proporcional a la deformación ε.
La constante E, llamada módulo de elasticidad longitudinal, es
también conocida como módulo de Young.
A
Módulo de elasticidad transversal (G) La deformación que se produce, muy pequeña,
es una distorsión (deformación angular); al
ángulo lo llamamos 𝛾. La tensión (coincidente
con el plano de la sección) la designamos como
𝜏, siendo:
𝜏 = 𝑃
𝐴 𝜏= tensión tangencial o tensión de corte
Distorsión
Módulo de Elasticidad de Volumen (K)
Coeficiente de Poisson
Conceptos de Coeficientes de Seguridad, de Tensión Admisible
y de Carga Admisible
Al realizar el dimensionamiento debemos crear seguridad contra todas las clases
de falla posible, la cual puede producirse por coincidir varias circunstancias
desfavorables, por ejemplo, un crecimiento no previsto de las cargas que gravitan
en las secciones, cuya resistencia se ha debilitado por la existencia de vicios
ocultos.
La teoría de probabilidades nos enseña que no se puede lograr una seguridad
absoluta, lo único que puede hacerse es mantener reducidas las probabilidades
de falla.
La seguridad de una construcción siempre está amenazada por incertidumbres,
será satisfactoria cuando “las probabilidades de falla queden por debajo del
valor considerado como admisible”
Existen numerosas causas de incertidumbres:
Las hipótesis de cargas
Las hipótesis de cálculo
Los errores de cálculo
Defectos del material
Errores de las dimensiones
Errores de ejecución
El método de cálculo fundamental y más difundido de los Coeficientes de Seguridad es el
basado en las tensiones. Según este método, el cálculo de la resistencia se realiza controlando
el valor de la tensión máxima que se produce en cierto punto de una estructura. La tensión
máxima de trabajo no debe superar cierto valor.
𝜎𝑚á𝑥 ≤ 𝜎𝐿
ν
Ejemplo de cálculo de coeficiente de seguridad
Dimensionar las barras de la figura con
secciones circulares macizas de acero
común. Condición: A1 = A2.
𝛼1 = 45º
𝛼2 = 30º
P = 3 tn
Material: Acero σ𝐹𝑙 = 𝜎y = 2.4 t/cm2
ν = 1.71
A
A
A
A
A
2
CONCEPTOS DE TENSION Fuerzas Internas:
Fuerzas de interacción entre las partículas de materiales (átomos ó moléculas)
que constituyen el cuerpo.
Fuerzas Internas
Ejemplo F.I.1.- Indicar los esfuerzos a los que estarán sometidas A y B de la
barra indicada en la figura.
Ejemplo F.I.2.- Indicar los esfuerzos a los que estarán sometidas las
secciones A, B y C (secciones medias de los tramos FG, EF y OE
respectivamente) de la barra indicada en la figura.
Datos: OE = 2 m., EF = 1 m., FG = 1.5 m.
Esfuerzos Normales y Cortantes
Esfuerzo Normal (𝝈).-
El concepto de esfuerzo constituye la médula
en el estudio de la Mecánica de Materiales. Nos permite uniformizar
el criterio en cuanto a la apreciación de la magnitud de una carga
soportada por un elemento cualquiera. Supongamos que se nos
pregunta si una varilla de cobre puede soportar una carga de 1000
kg. Cuál sería nuestra respuesta?. Si la varilla tiene 10 cm2 de
sección transversal , es casi evidente que podrá resistir esa carga.
Ahora supongamos el caso en que la sección transversal sea de 1
cm2. Será capaz de resistirla?. Lo más probable es que no. Es por
esto que en el estudio de la Mecánica de Materiales, no podemos
hablar de fuerzas sin referirnos al tamaño de la sección que las
soportará, razón por la cual usaremos el concepto de esfuerzo.
A
Esfuerzo Cortante (𝜏).-
Analicemos el remache que une las placas mostradas:
La sección m-n es la que soporta la máxima carga. Condición principal de corte
(existe algo de flexión en el remache, para poder mantener equilibrio rotacional –
efecto secundario). La fuerza F interna tiende a trozarlo por dicha sección.
𝜏 =𝐹
𝐴𝑐
F: fuerza interna que tiende a “cortar” el remache.
Ac: área que la soporta.
Ac = 𝜋 𝑑²
4 : área transversal del remache
Para el caso:
𝜏 = 𝐹
𝐴𝑐 =
𝑄
2 𝐴𝑐
Ejemplo 1.- La estructura mostrada soporta una carga de 50,000 kg en el
nudo E. Calcule los esfuerzos normales inducidos en sus miembros AB y
BD, si estos tienen una sección transversal de 10 cm2.
Solución.-
Por estática: RA = RH = 𝑃
2 =
50000
2 = 25000 kg
Tg 𝜃= 8
6 → 𝜃 = 53°
𝐹𝑦 = 0: FAB sen 𝜃 + RA = 0
FAB = - 𝑅𝐴
𝑠𝑒𝑛 𝜃 = - 31250 kg
Corte r: 𝑀𝑐 = 0: 6 RA + 8 FBD = 0
FBD = - 18750 kg
∴ 𝜎AB = 𝐹𝐴𝐵
𝐴 = -
31250
10 = - 3125 kg/cm2 (c)
𝜎BD = 𝐹𝐵𝐷
𝐴 = -
18750
10 = - 1875 kg/cm2 (c)
Ejemplo 2.- Ejemplo 2.- Los ejes 1 y 2 se unen mediante el acoplamiento
mostrado, con la finalidad de transmitir un par torsional (T) de 100,000 kg-cm.
Calcular el esfuerzo cortante inducido en los pernos.
Para evaluar el esfuerzo cortante, es necesario conocer la fuerza interna mediante
un análisis estático de equilibrio:
T = 4 F x d = 32 F
Ac = 𝜋 𝑥 2²
4 = 𝜋 cm2
𝜏 = 𝐹
𝐴𝑐 =
𝑇
32 𝐴𝑐 =
100000
32 𝜋 = 1000 kg/cm2
Ejemplo 3.- El perno mostrado se usará para soportar una carga de 1000 kg.
Evalúe los esfuerzos normales y cortantes en las partes que puedan presentar
peligro de falla.
Los posibles modos de falla en el perno se determinan por observación:
1) Por tensión en la sección a-a:
𝜎t = 𝑃
𝐴 =
1000
𝜋/4 = 1270 kg/cm2
2) Por corte en la cabeza:
Ac = 2 𝜋 r t = 𝜋 t d = 𝜋 (1/2)(1) = 𝜋/2 cm2
𝜏 = 𝐹
𝐴𝑐 =
1000
𝜋/2 = 635 kg/cm2
3) Por aplastamiento (compresión) en la superficie de la
cabeza en contacto con la placa B:
𝜎a = 𝑃
𝐴𝑎
= 1000
(4 −𝜋
4) = 310 kg/cm2
COMPONENTE DEL ESFUERZO: NORMAL Y ESFUERZO CORTANTE
ESFUERZOS SOBRE SECCIONES INCLINADAS
Barra prismática en
tensión mostrando
los esfuerzos que
actúan sobre un
corte inclinado pq.
Barra prismática en tensión mostrando los
esfuerzos que actúan sobre una sección
inclinada pq.
Los esfuerzos son:
𝜎 = 𝑁
𝐴1
𝜏 = 𝑉
𝐴1
donde A1 = 𝐴
cos 𝜃
Los esfuerzos normales son positivos
cuando son de tensión, y los esfuerzos
cortantes son positivos cuando tienden a
producir rotación en el sentido contrario al
de las manecillas del reloj.
Esfuerzos normales y
cortantes que actúan
sobre elementos de
esfuerzo orientados a
𝜃 = 0° y 𝜃= 45° para
una barra en tensión
