Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II Prof. Jesús Calixto S.

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FUNCIONES Y RELACIONES

Recordemos que el producto cartesiano de dos conjuntos A y B ( A B “a cruz b”) es un conjunto de parejas en

el que los elementos tienen un elemento del primer conjunto y uno del segundo conjunto ,x y “x coma y” y

que lo podemos representar en el plano cartesiano.

Ejemplo 1.- Si 1,3,5A y 1,3,4B entonces

1, 1 , 1,3 , 1,4 ,

3, 1 , 3,3 , 3,4 ,

5, 1 , 5,3 , 5,4

A B

que en el plano

cartesiano queda:

Ejemplo 2.- Si 2A x x “números reales tales que son mayores o iguales a 2”

y 1 3B x x “números reales tales que están entre 1 y 3, pueden

ser 1 (1 x ), pero no pueden ser 3 ( 3x )” Graficando en el plano A B nos queda

RELACIÓNES

Una relación entre dos conjuntos C y D es un subconjunto del producto cartesiano C×D, es decir, R1 es una

relación entre C y D si 1R C D , gráficamente:

Solución A×B

Línea punteada pues y no puede ser 3

R1

C×D Recuerda: un conjunto A es subcon-junto de otro conjunto B ( ) si

éste (A) está dentro de B. www.calix

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Ejemplo 1.- Decir si 21 , ,R x y y x x es una relación en ( : números enteros)

Primero tenemos que graficar a en el plano cartesiano:

, ,x y x y “algunos” elementos de son:

1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 ...etc

0,1 , 0,2 , 0,3 ...etc

1,1 , 1,2 , 1,3 ...etc

Si los graficamos en el plano tenemos

Pero en realidad como los enteros “son muchos”, en total tendríamos

Ahora grafiquemos sobre este último plano cartesiano algunos

elementos de 21 , ,R x y y x x

2,4 , 1,1 , 0,0 , 1,1 , 2,4 , 3,9 ,etc.

Claramente los puntos 2,4 , 1,1 , 0,0 , 1,1 , 2,4 , 3,9 ,

que son de R1 caen dentro de ℤ×ℤ, es decir 1R , por tanto R1 si es relación en ℤ×ℤ

ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ

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FUNCIONES

Una función es una relación entre los elementos de dos conjuntos X e Y de tal manera que a cada elemento del conjunto X, le corresponde un ÚNICO elemento del conjunto Y, al primer conjunto se le llama DOMINIO y a el segundo conjunto se le llama imagen o recorrido.

X= {1,2,3,4 } dominio Y= {a,b,c,d } imagen

Retomemos la función 2 3f x x y completemos la siguiente tabla.

Algunos valores del dominio (valores que puede aceptar x) Algunos valores que toma la imagen (valores que toma y)

Puntos de la gráfica de la función 2 3f x x

x y f x ,x y

–3 12 (–3, 12)

–2 7 (–2, 7)

–1 4 (–1, 4)

0 3 (0, 3)

1 4 (1, 4)

2 7 (2, 7)

3 12 (3, 12)

Una función se denota como: “efe de equis”.

Una función puede ser representada por medio de una expresión algebraica, por ejemplo:

“efe de equis igual a equis cuadrada más tres”

En la función de arriba, tenemos , , , ,

Cálculos de algunos valores de la imagen

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Ahora si graficamos los puntos (x, y) en el plano cartesiano

tenemos, la gráfica de f x , ten en consideración que los

valores asignados a “x” sólo son algunos valores del dominio de la función, por lo que tendrás que dar más valores si es necesario para poder determinar de manera correcta el dominio de dicha función Ahora para determinar el dominio de la función (Df) tendrás que observar la gráfica de izquierda a derecha observando hacia la gráfica, lo cual podrás ver que su dominio es:

Df = ( , )

En todo momento observas la gráfica a través del eje “x”

Para determinar la imagen de la función (If) tendrás que girar tu cuaderno (tu gráfica) hacia la izquierda 90° y observar ahora la gráfica de abajo hacia arriba (derecha-izquierda) hacia la gráfica, lo cual podrás ver que su imagen es:

If = (3, )

Observa las flechas rojas, estas líneas NO observan gráfica a través

del eje “y”. Se observa gráfica a través del eje “y” desde 3

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Ejemplo 2.- Encuentra la gráfica, dominio e imagen de la función 13

f xx

Nuevamente tabulemos de –4 hasta 4 (recuerda que estos valores son como sugerencia)

x 13x

f x

–4 –0.1429

–3 –0.1667

–2 –0.2

–1 –0.25

0 –0.333

1 –0.5

2 –1

3 ERROR

4 1

Representamos nuestros puntos en el plano cartesiano:

En tu calculadora marca MATH ERROR Cuando esto sucede es porque habrá una asíntota horizontal. En éste caso está en x = 3

Una asíntota es una recta que la curva no cortará, pero que al graficar la función, ésta se le “pegará” lo suficiente como para pensar que la toca, aunque en realidad nunca la toca.

x = 3 es la ecuación de la asíntota, sólo se pone el valor dónde corta al eje.

Asíntota horizontal x = 3

Como los valores de nuestra función son muy pequeños, nuestra graduación del eje y es más amplia.

Las graduaciones de x son normales

los puntos que están a la izquierda de la asíntota sólo se juntan con los de su lado,

no con los de la derecha www.calix

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Como podrás estar de acuerdo, los puntos del lado izquierdo de la asíntota sí forman algo que puede uno graficar, pero del lado derecho de la asíntota sólo tenemos un punto, por tanto, sólo usaremos las fila marcadas con puntos extras para ver qué sucede en otros valores de x, por ejemplo, para el lado veamos que sucede si x=2.5 y para el lado derecho daremos x=3.5, x=5 y x=7.

x 13x

f x

–4 –0.1429

–3 –0.1667

–2 –0.2

–1 –0.25

0 –0.333

1 –0.5

2 –1

3 ERROR

4 1

PUNTOS EXTRAS

2.5 –2

3.5 2

5 0.5

7 0.25

Representando nuestros puntos nuevos tenemos que:

La gráfica no terminará o empezará en este punto, pues, por ejemplo, si x=–6 también hay gráfica.

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Finalmente, nuestra gráfica queda:

Dominio ,3 3, Imagen ,0 0,

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EJERCICIOS Obtén la gráfica, el dominio y la imagen de las siguientes funciones

(a) 1( )

1f x

x (b) ( ) 1f x x (c) ( )

2xf x

x

(d) 1( )3

f xx

(e) 2y x (f) 24y x

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(g) 23y x x (h) 3

4y

x (i)

2

11

yx

(j) 2 3y x (k) 1( ) 23

f xx

(l) 2

1( )f xx

(m) 1( )1

f xx

(n) 1f x x (o) 2f x x

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DOMINIO DE FUNCIONES SIN GRAFICAR

Ahora que ya sabes cuál es el dominio de una función (valores posibles para x), vamos a encontrar dicho dominio sin graficar la función.

Ejemplo 1: Encontrar el dominio de la función 13

f xx

Como podrás observar, la función es un quebrado, entonces la parte de abajo no podría tomar el valor de cero.

Entonces ¿Cuándo 3x vale cero? Veamos:

3 0x despejando a “x”

3x Es decir, cuando 3x la expresión 3x vale cero, entonces el valor que no puede tomar x es 3x , por lo tanto su dominio es:

Ejemplo 2: 2 1xf x

x

Ahora, al igual que en el ejemplo anterior, la parte de abajo .. no puede ser cero, entonces 2 1 0x

Despejando a x 2 1x

¿Qué número al cuadrado resulta 1? Pues parece que no es difícil ver que:

2

1 1 pero también 2

1 1

entonces los valores que x no podrá tomar son 1 y –1, ya que 2 1x vale cero en dichos valores. El dominio de

la función 2 1xf x

x

es:

Ejemplo 3: 2f x x

Bueno, ahora ya no tenemos un quebrado, pero aparece una raíz (radical) y, como ya sabemos, las raíces cuadradas de números negativos no existen.

Recuerda: La parte completa de abajo ( ) no debe ser cero, NO sólo el valor de x.

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Entonces lo que tenemos dentro del radical 2x deberá ser cero o positivo, recuerda toda la expresión dentro del radical 2x deberá ser mayor o igual a cero NO el valor de x. Veamos entonces ¿Dónde 2 0x ? Despejando: 2x

como sí se puede tomar el valor de –2 se pone corchete “ [ ”, si no se pudiera tomar el valor de x, como en los ejemplos anteriores que x no podía ser uno por ejemplo, se pone paréntesis “ ( ”.

Ejemplo 4: 1

1f x

x

Esta función tiene tanto un quebrado como un radical, es decir, lo de abajo no debe ser cero y, lo que está

adentro del radical 1x debe ser mayor o igual a cero, o sea:

1 0x

como 1x se encuentra debajo de la función, x no puede ser +1, ya que 1–1=0, es decir: 1 0x “ 1x ” estrictamente mayor de cero.

despejando x: 1x

Ejercicios: Encuentra el dominio de las funciones

a) 14

f xx

b) 12

f xx

c) 3f x x

Recuerda: en la raíz cúbica , sí hay raíces

de números negativos.

porque

porque

números mayores o iguales a –2

mayor que –2

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d) 2

xf xx

e) 2

14

f xx

f) 2 4f x x

g) 2 9f x x h) 2

13

f xx

i) 1f xx

j) 5f x x k) 1

3f x

x

l) 2

3 1f x

x

m) 2 3

xf xx

n) 14 5xf xx

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TIPOS DE FUNCIONES

FUNCIÓN INYECTIVA Una función es inyectiva si a cada par de elementos diferentes del dominio le corresponden dos elementos diferentes de la imagen.

Para determinar si una función es inyectiva, traza su gráfica y si al poner rectas horizontales sobre dicha gráfica es cortada más de una ocasión entonces la función NO es inyectiva, en caso contrario lo será.

FUNCIÓN SUPRAYECTIVA Una función es suprayectiva (sobreyectiva) si el contradominio de ésta es igual a su imagen.

Recuerda que todas las funciones consideradas tienen como contradominio a los números reales ℝ, es decir una función va a ser suprayectiva si su imagen son los números reales.

FUNCIÓN BIYECTIVA Una función es biyectiva si inyectiva y suprayectiva a la vez.

www.ca

lixto.

com.m

x

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como y es positiva “+4y”, la dejamos ahí, del lado derecho de la igualdad y quitamos el –3

FUNCIÓN INVERSA

Dada una función f x , la función inversa de ésta se obtiene de la siguiente manera:

Encontrar la función inversa de 4 3f x x

Primero, si nos dan la función como f x , la cambiamos por y, es decir, en nuestro caso:

4 3

4 3

f x x

y x

Ahora lo que hacemos es cambiar a las x por y y a las y por x

4 3

4 3

y x

x y

En seguida despejamos a y y este despeje representa la función inversa de la función dada.

4 3

3 4

x y

x y

Ahora sólo falta quitarle a y el 4 que está multiplicando con ella

34

x y

Para representar la función inversa de una función f se utiliza la notación 1f (f menos uno de x), es decir:

1

34

34

x y

x f x

La función inversa de 4 3f x x es:

1 34

xf x

Ejemplo 1.- Encontrar la función inversa de 1xf xx

Tomamos la función 1xf xx

que es igual a 1xyx

, ahora hacemos el cambio de las x por y y las

y por x ( x y )

1

1

xyx

yx

y

Despejando a y tenemos

1y

xy

primero tratamos de que no haya quebrados

1 1 11 1

y

y

y y yx xxy y y

como ahora nuestra ecuación tiene el mismo denominador (y) lo omitimos y sólo nos quedamos con la parte de arriba como ya sabes

1xy y

es lo mismo

cambio de

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como y es negativa (–2y) la mandamos a la izquierda de la igualdad, y a x que está a la izquierda la quitamos.

recuerda que cuando tenemos que despejar una variable que aparece varias veces, hay que “pasar” los términos que tienen dicha variable a un mismo lado de la igualdad

1

1

xy y

xy y

factorizando a y

1 1

11

y x

yx

Ejemplo 2.- Encontrar la función inversa de 3 2y x

En este caso nos dan la función con y y no con f x , entonces empezamos con el cambio de x y

3 2

3 2

y x

x y

despejando a y, elevamos al cuadrado para quitar la raíz cuadrada

22

2

2

3 2

3 2

2 3

x y

x y

y x

finalmente, quitándole el 2 a y

2

21

32

32

xy

xf x

Ejercicios.- Encontrar la función inversa de las siguientes funciones:

a) 1 4f x x b) 35

xf x

c)

12

xyx

d) 2 1f x x

función inversa buscada

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e) 2 1xf x

x f)

2 15 3

xyx

g) 3 12

xf x h) 1xyx

i)

53xy

x j) 2 3f x x

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