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Matemáticas IV.- Álgebra 89
UNIDAD VI.-OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
Simplificación de Fracciones Algebraicas
Como podrás recordar, en fracciones numéricas para simplificarlas era muy sencillo, pues por
ejemplo para simplificar se tenía:
Es decir la simplificación de es (al mencionar mitad o tercera se refiere a ambas partes de la fracción,
numerador y denominador), esto lo realizamos en general muy fácil, pero veamos la razón formal del porque se puede realizar así la simplificación.
Si factorizamos a 12 y 18 tenemos:
o sea
Ahora si comencemos a simplificar una fracción algebraica.
Ejemplo 1. Simplificar
518,
53,
21
1812
12 6 218 9 3
mitad tercera
1812
32
1812
322
13612
332
13918
12 (2)(2)(3) ( 218 (2)(3)(3)
)(2)( 3 )
( 2 )( 323)(3)
22
22
2 yxyxyx
OJO: El tipo de simplificación antes hecha es posible gracias a la propiedad fundamental de los números racionales, es decir, porque en el numerador (arriba) y el denominador (abajo) hay productos (multiplicaciones). Recuerda que si no hubiera multiplicación, la simplificación no es posible:
Diferente, o sea, no es lo mismo
No es valida pues hay una suma
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90 Prof. Jesús Calixto Suárez
OBSERVACIÓN
pero queda 1 arriba
Ya que
Es decir:
Ejemplo 2. Simplificar
Ejemplo 3. Simplificar
22
22
2 yxyxyx
x yx y
10720
2
2
aaaa
32 222
axaa
Caso IV (diferencia de cuadrados)
Caso III ( T.C.P. )
Caso V
Caso V
Recuerda no se puede ya que el numerador (2a) si es un producto pero no es un producto. Siempre debe haber multiplicaciones arriba y abajo.
Esto ya es un producto
Factor común Esto ya es un producto
OJO:
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Matemáticas IV.- Álgebra 91
Ejercicios Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:
a) b) c)
d) e) f)
Suma y Resta de Fracciones Algebraicas Para empezar a sumar o restar fracciones algebraicas recordemos lo que se hacia en fracciones numéricas.
Realizar: , como podrás estar de acuerdo en la suma y resta de fracciones hay que tener el mismo
denominador (siempre es posible), en este caso hay que convertir a sextos.
Lo anterior también lo aplicamos a fracciones algebraicas.
Ejemplos:
a) = convertimos a sextos los denominadores
b) 232
5 25x
x x
En este caso es un poco más complicado tener el mismo denominador, sin embargo la regla o sugerencia para lograrlo será SIEMPRE, FACTORIZAR a los denominadores.
232
5 25x
x x
o sea
Factorizando Para que ambas fracciones tengan el mismo denominador hay que multiplicar (arriba y abajo) a la fracción
por )5( x
5 2 3 2 10 3 5 105 5 5 5 5 5 5 5
x x x x xx x x x x x x x
Esto es permitido, pues su valor es uno. No realices la multiplicación pues regresarías a lo anterior que tenías 2 25x
2 2 33
x xx
2
2 2
m nm n
2 2
3 3x yx y
3
3 28 1
8 4 2n
n n n
3 2
26
12 36x x
x x
2
26
15 2x xx x
61
32
65
61
64
61
3)2(2)2(
61
32
sextosasconvertimo
2)4(
3)2(
xx
6165
612342
6123
642
)3(2)3)(4(
3)2()2)(2(
xxxxxxx
)5)(5(3
52
xxx
x
52x
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Recuerda que una fracción se tiene que simplificar (factorizar arriba y abajo)
c)
Factorizando denominadores
Como podrás observar el común denominador será
Una vez que se obtiene el denominador común ya no se hace ninguna operación con este salvo al final se podrá simplificar algún factor con un factor igual del numerador.
OJO: NO queda
Observa las siguientes simplificaciones:
;
Ejercicios Realizar
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j)
)5)(5()2(5
)5)(5(105
253
52
2
xxx
xxx
xx
x
2
2 3 4 73 2 6
xx x x x
674
23
32
2
xxx
xx
)2)(3( xx)2)(3( xx
)2)(3()74()3(3)2(2
)2)(3(74
2)3(3)3(
3)2(2)2(
xxxxx
xxx
xxx
xxx
)2)(3(749342
)2)(3()74()3(3)2(2
xxxxx
xxxxx
2x
( 3) ( 2)x x
13x
3x
22
xx
21
2
xx
mmnmn 23
2 2
2
622
53
xx
xx
1
122
133
12
xxx
yxyx
yxyx
22
22
93
3 axxa
axax
22
22bababa
yyx
xxy
243
202
63
42
31
xxx
13
12
11
2
2
2
xx
xx
x
444
221
13
2
aa
aa
aa
Ojo son necesarios los paréntesis por el signo menos que aparece antes
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Matemáticas IV.- Álgebra 93
Multiplicación y División de Fracciones Algebraicas
Para multiplicar o dividir, fracciones algebraicas, es más sencillo que la suma y resta, pues sólo hay que factorizar a todos los numeradores y denominadores involucrados, aplicar la regla (multiplicación o división) y simplificar los factores en común del numerador y denominador del resultado.
Regla de la multiplicación Regla de la división
Ejemplo 1.Realizar
3 2 32 33
2 3 2 3
10 9 2 3 610 95 3 5 3
a x my a yx y a ya mmx mxm x m x
Observa:
En el ejemplo anterior no hay necesidad de factorizar a los numeradores y denominadores, ya que, ya eran multiplicaciones.
Ejemplo 2. Realizar
Ahora sí, factoricemos a todos los numeradores y denominadores
No se multiplica sólo se representa
Ejemplo 3. Realizar
Como tanto los numeradores como los denominadores involucrados ya son productos (multiplicaciones), apliquemos la regla de la división.
))(())((
dbca
dc
ba
))(())((
cbda
dc
ba
2 3
2 3
10 95 3
x y a mm x
2)5(
)2)(5(5
10
mmmm
mm 1
))(()(
2 xxxx
xxxx 1
))()(())((
3
2
22
2
2 nmn
nmnnm
))(()()( 2
22
2
2 nmnmn
nmnnm
nmn
nmnnm
))()(())(( 2
nmnmnmnnnm
2
2 2 2
( )m nm n nmn n m n
2(n )n ( ) ( )m n m n
2( )( )n
m nm n
4
4
3
2
1410
75
anm
nm
OJO:
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Observa que no se realiza (5)(14) = 70, sólo se expresa
Ejemplo 4. Realizar
Ahora en este caso si hay que factorizar a todos los numeradores y denominadores
Ya esta factorizado
Se aplica la regla de la división expresando las
multiplicaciones sin realizarlas
Ejercicios.
a) b) c)
d) e) f)
g) 245352
561556
2
2
2
2
aaaa
aaaa h) i)
j) k)
43
24
4
4
3
2
)10)(7()14)(5(
1410
75
mnmna
anm
nm
2243
24
22
)10)(7()14)(5(
mna
mna
mnmna
164
15153020
23
2
xx
xxxx
xx 3020 2 )32(2 x
)1()32(2
)1(15)32(10
164
15153020
223
2
xx
xxxx
xx
xxxx
23 1515 xx
)32)(2)(1(15)1)(32(10
164
15153020
223
2
xxxxxx
xx
xxxx
xxx 31
)2)()(3)(5()2)(5(
)2)((1510
501077
14255
xxx
10325
2
bb
aa
32
32
222
2
2
2
xxxx
xxx
3354
50222 2
2
aaa
aa 32
2
2
53 ba
xba
711
4912 2
2
3
xxx
xxx
56255
64125
2
23
2
3
xxxxx
xx
622
31
xx
22233
11
2
2
aaaa
aa
aa
45442
136
301178
2
2
2
2
2
2
aaaa
aa
aaaa
OJO:
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Matemáticas IV.- Álgebra 95
OPERACIONES MIXTAS CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y FRACCIONES COMPLEJAS
Ejercicios. Realiza las siguientes operaciones con fracciones algebraicas
a) b) c)
d) e)
f) g)
Simplifica las siguientes fracciones complejas:
a) b) c) d)
e) f) g) h)
Racionalización Cuando al dar un resultado en matemáticas y éste es una fracción, en el denominador (parte de abajo) NO debe haber radicales, para lograr esto veamos lo siguiente:
122 2 entonces
1 1 1 1 22 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2
y en general ; 0x x x x (x cero ó positivo), entonces si tenemos la expresión 35 , como es una fracción
podemos multiplicar al numerador y al denominador por una misma cantidad sin que se altere, claramente como queremos que no haya radicales en el denominador la multiplicamos por 5
3 5 3 555 5
Ahora consideremos una expresión un poco más complicada para racionalizarla, por ejemplo 31 2
, en este caso
para lograr que no haya radicales en el denominador no es tan fácil sólo multiplicar por 2 , ya que tendríamos:
3 2 3 21 2 2 2 2
1 1x xa x a
2
21ab ba a b a
2
1 1xx xx x
bab
babba 1
2
22233
11
2
2
aaaa
aa
aa
431
21
2xxx
5245
2056
4912 2
2
2
2
2
xxx
xxxx
xxx
yxx
yxx
ba
ba
1
1
yyx
xyx
yxyxyxyx
dc
ba
dc
ba
yxyx
yxyx
yxyx
yxyx
42
mnnm
mn
nm
ba
a
a
11
ya no hay radicales
aún hay radicales en el denominador
Recuerda: 2
2 1 2 2 2 2 2 2 www.calix
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Cuando en el denominador tenemos un binomio con radicales (1 2 ), no se multiplica simplemente por la raíz que contiene 2 , si no que se multiplica por el binomio conjugado que tenemos (del binomio 1 2 su conjugado es 1 2 ).
22
3 1 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 21 2 11 2 1 2 1 2
Ejemplos: 1. Racionalizar 2x
y
2xy
multiplicamos arriba y abajo por y
22 y x yxyy y
observa que lo importante de racionalizar es que no se tengan raíces en el denominador, no importando si las hay en el numerador.
2. Racionalizar 22 x
2 2 4 242 2
x xxx x
Ejercicios: Racionalizar
a) 11 3
b) 22
xx
c) 2 3
1 2
d) 4
3 1
e) 5 25 2
f) 7
3 g) 4 3
x h) 1
1 y
i) 31 2
j) 7 37 3
Recuerda: 1 2 1 2 es un producto de dos binomios conjugados y el resultado
es una diferencia de cuadrados, verifica el cuarto caso de factorización o el tercer caso de productos notables.
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Matemáticas IV.- Álgebra 97
Números complejos o imaginarios Hasta ahora conoces el conjunto de números llamado “números reales” que se denotan como ℝ, sin embargo existen más números que no se consideran reales, los cuales estudiaremos sólo en éste caso y posteriormente sólo trabajaremos con números reales, ya que el estudio completo de los números imaginarios o complejos forma parte de cursos estudiados a nivel Licenciatura.
Los números complejos o imaginarios surgieron de intentar resolver la ecuación 2 1 0x , pues si tú intentas resolver ésta ecuación, lo más seguro es que procederías de la siguiente manera:
2
2
1 01
1
xx
x
pero 1 no tiene un resultado real, pues no tenemos en los números reales un número que multiplicado por él mismo resulte -1.
Es decir no hay resultado real para 1 , pero en la antigüedad por tener un resultado para 1 se creó
(imaginó) una solución para 1 , que fue el número “imaginario” i, el cual entonces tiene que cumplir:
1 i , o sea 1i i pero por los conceptos que ya tenemos
2i i i Por lo tanto tenemos 2 relaciones importantes:
21 e 1i i Entonces ahora ya podemos hablar de la raíz cuadrada de números negativos:
2 24 2 ya que 2 2 4 pero 1 4 1 4i i i i i
2 29 3 ya que 3 3 9 pero 1 9 1 9i i i i i
Si la raíz de un número no es exacta, sólo se deja expresada, por ejemplo:
25 5 ya que 5 5 5 5 5 1 5i i i i
Todos los números que contengan a la unidad imaginaria i solamente, se llaman números imaginarios puros. En general un número imaginario o complejo tiene la forma #real #real i , por ejemplo 2 3i , 5 4i , 7 2i ,
312 4 i , 3i imaginario puro.
sacando raíz cuadrada en ambos lados
Recuerda: pues
Definición: Un número complejo o imaginario es un número que tiene la forma con e . A la parte a se le llama “parte real del número complejo” y a la parte bi se le llama “parte imaginaria”. www.ca
lixto.
com.m
x
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A los números complejos los denotamos con el símbolo ℂ y por la definición anterior podemos observar lo siguiente:
2 35 2
5 pues 5 5 02 pues 2 0 2
ii
ii i i
Si recordamos la clasificación de los números reales, ahora la situación queda de la siguiente manera:
Operaciones con números complejos Para realizar operaciones con números complejos sólo basta considerar a la unidad imaginaria i como si fuera una x o una y y proceder como si estuviéramos haciendo operaciones algebráicas.
Suma y resta de números complejos Consideremos a los números complejos 2 3i y 5 6i , al sumarlos tenemos:
2 3 5 6 2 5 3 6 3 3i i i i i como podrás observar, el resultado también es un número complejo con parte real y parte imaginaria. Ahora consideremos a 3 números complejos que denotaremos como 1 1 2Z i , 1
2 2Z i , 3 4 5Z i y encontremos: 1 2Z Z , 3 12Z Z y 2 34Z Z
a) 1 2
11 2 21 11 22 2
Z Z i i
i i i
b) 3 12 2 4 5 1 28 10 1 28 1 10 27 8
Z Z i ii i
i ii
imaginario puro
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Matemáticas IV.- Álgebra 99
c) 2 314 4 4 52
1 16 2021 16 202
31 192
Z Z i i
i i
i i
i
Multiplicación y División de números complejos
Sigamos considerando los 3 números imaginarios anteriores 1 1 2Z i , 12 2Z i , 3 4 5Z i y encontremos
a) 1 3Z Z 1 3
2
1 2 4 5
4 5 8 104 10 5 8
6 13
Z Z i i
i i ii i
i
b) 2 3Z Z
2 3
2
1 4 5252 4 52
52 5 42133 2
Z Z i i
i i i
i i
i
c) 2 32 3Z Z
2 3
2
12 3 2 3 4 521 2 12 15
12 15 24 3012 30 15 24
18 39
Z Z i i
i i
i i ii i
i
Finalmente realicemos las siguientes divisiones
d) 6 131 2
ii
para realizar la división, recuerda que 1i , entonces, en la división anterior es como si
se tuviera: 6 131 2 1
i
OJO:
se multiplican como expresiones algebráicas
RECUERDA: en una fracción NO debe haber radicales en el denominador y para lograr esto hay que racionalizar. www.ca
lixto.
com.m
x
100 Prof. Jesús Calixto Suárez
entonces, cuando se dividen 2 números complejos la sugerencia es multiplicar al numerador y denominador por el conjugado del denominador. 6 131 2
ii
1 2i
2
2 26 13 1 2 6 12 13 26 20 25 20 25 20 25 4 51 2 1 2 5 5 51 41 2
i i i i i i i i ii i i
e) 2 61 2
ii
su conjugado 1 2i
2
2 22 6 1 2 2 4 6 12 2 12 4 6 14 2 14 21 2 1 2 5 5 51 41 2
i i i i i i i i ii i i
Ejercicios Realiza las siguientes operaciones con números complejos
a) 3 4 3 2i i
b) 22 3 1i i
c) 2 233 2
ii
d) Si 1 2 33 2 , 4 y 2 3Z i Z i Z i , encuentra el valor de la operación 1 2 32 3Z Z Z e) Si 1 21 y 1Z i Z i , encontrar 2 2
1 2Z Z f) 7 12 62 4 7i i i g) 11 21 2012 13 12i i i h) 7 16 7 127 9 3i i i i i) 2 4 3 9
j) 2 16 3 25
k) 4 1 3 4
su conjugado es
multiplicación de complejos
diferencia de cuadrados
sólo se cambia el signo de en medio
Recuerda: , entonces
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