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CONCEPTOS .

DE MATEMATICA.•■i

PARA EL MAESTRO

EL PROFESOR

!• CL ESTUDIANTE

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En este número:

La matemática contemporánea y su in­cidencia en las ciencias.

El sentido de los números.

Nuevos métodos para la enseñanza dela matemática.

Lenguaje y enseñanza de la matemática.La noción de función en la enseñanza .

elemental.

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EDITORIAL UNIVERSITARIA DE BUENOS AIRESMatemática moderna (t. I) - PapyMatemática moderna.(t. II) - Papy, de próxima aparición Matemática moderna (t. III) - Papy, en preparación Matemática moderna (t. VI) - Papy, en preparaciónEnseñanza de la matemática moderna (Primer curso) - C. A.

Trejo y J. E. Bosch (Para profesores)Enseñanza de la matemática moderna (Segundo curso) - C. A.

Trejo y J. E. Bosch (Para profesores)..Ciclo medio de matemática moderna (Primer curso) - C. A. Trejo

y J. E. BoschCiclo medio de matemática moderna (Segundo curso) - C. A.

Trejo y J. E. BoschCiclo medio de matemática moderna (Tercer curso) - C. A. Trejo

y J. E. Bosch,Estructuras matemáticas finitas - J. Kemeny - Mirkin - Snell -

ThompsonMatemática elemental moderna - César A. Trejo Geometrías no eudidianas - L. A. Santaló Geometría proyectiva - L. A. SantalóLas grandes corrientes del pensamiento matemático - F. Le

LionnaisIntroducción al álgebra. Nociones de álgebra lineal - M. Cotlar

y C. R. de SadoskyIntroducción a la topología combinatoria - M. Frechet y Ky Fan Nociones de espacios normados - M. Cotlar y R. Cignoli Introducción a la teoría de conjuntos - L. Oubiña Introducción al simbolismo lógico - J. Bosch La nueva matemática - Irving AdlerEcuaciones diferenciales ordinarias y teoría de control (t. I) -

E. O. RoxinVectores y tensores con sus aplicaciones - L. A. Santaló

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CONCEPTOSAl maestro con soluciones DE MATEMATICAGUIA PSICOPEDAGOGICA (la actualidad docente en siete tomos).Contenido: desarrollo de los programas de enseñanza del ciclo primario (primero a séptimo grado actual)con el desarrollo de:

AÑO III no. nJULIO - AGOSTO - SETIEMBRE 1969

CARTA AL LECTOR* Hemos recibido respuestas al cuestionario planteado en nuestro número anterior, algunas de las cuales consignamos por separado. Muchos lectores nos han expresado verbalmen­te sus opiniones las que, naturalmente, serán tenidas en cuen­ta. Pero esperamos más. Como no escapará a la compresión del amigo lector, el problema es de cierta hondura y si nos hemos decidido a pedirle su opinión, sabiendo como sabemos del poco tiempo de que dispone para atender preocupaciones ajenas a las que les proporciona su diario quehacer, es real­mente porque necesitamos conocer sus ideas y, en especial, si la revista llena realmente su cometido de información y de acercamiento entre los docentes de la especialidad. Por eso, limpiamente le pedimos que se haga un momento para satis­facer a nuestro requerimiento; especialmente se lo solicita­mos a nuestros lectores de las ciudades del interior para los cuales resulta tan difícil hallar la manera de resolver las in­quietudes que se le plantean en su labor cotidiana.

Aún cuando en estos días circulan toda clase de noticias acerca de los futuros planes de enseñanza, lo cierto es que todavía no conocemos ninguna determinación clara acerca de lo que ocurrirá en el futuro; ello provoca, por supuesto, cierto desaliento entre algunos docentes, pero no debemos dejarnos vencer por él. Creemos que las soluciones llegarán a breve plazo y que, con ello, ha de lograrse la tranquilidad necesaria para que el docente cumpla satisfactoriamente su proficua labor. En lo que a nuestra disciplina se refiere, sabe­mos que la Comisión Nacional para Ia Enseñanza de la Mate­mática ha estado trabajando, pero lamentablemente no se han dado a conocer los resultados obtenidas y, por lo tanto, no se ha producido ¡a discusión que siempre esclarece las ¡deas.

INICIACION ESTETICA Y LITERARIA Selección emotiva y psicológica.

MATEMATICA Números en color. Cuisenaire - Gattegno. Matemática tradicional con enfoque de teoría de conjuntos.

GRAMATICA Enfoque estructural y tradicional

CONCEPTOSDE MATEMATICA

PUBLICACION TRIMESTRAL Redacción y Administración:

Guamos 4629, Piso 8o, Dopto. B. Depósito:

Fomándox Blanco 2045 • Buenos AiresOtras colecciones:■PEDAGOGIA PRACTICA MODERNA -MODERNAS TECNICAS DE EVALUACION DEL RENDIMIENTO EN LA ESCUELA PRIMARIA Contiene pruebas objetivas para todos los niveles del ciclo primario.

Director - Editor- MEDIOS AUDIOVISUALES EN LA ESCUELA PRIMARIA- METODOLOGIA DEL TRABAJO POR EQUIPOS- EDUCACION PREESCOLARSe entrega con un disco fonográfico.

JOSÉ BANFI

OAsesores: José Babini, Juan I. Blaqulcr,

Frédériquo Papy, Goorgos Papy, Luis A. Santoló.

Solicite informes a: Rodacforos: Raúl A. Chioppa, Emilio Di Coceo, Juan C. Dolmasso, Haydéo Fer- néndoz, Afilio Piaña, Elsa SabbaTfiollo, Andrés Valciras y Cristina Verdaguer do Banfi.

Dibujarlo: Arquitecto Julio R. Juan.Suscripción snaol: Argentina m$n. 800;

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Edita: EDITORIAL CORDOBA SA.

Distribuye: EDICIONES TECNICAS ARGENTINAS S.R.L.

y ‘STB unEDITORIAL tugaros do vonta: En nuestra sede, For- nándoz Blanco 2045, Buenos Alros y on Libroría y Editorial Alslna, Perú 127; Librería y Editorial El Atonco. Florida 340; Librería del Colegio, Alslna y Bolívar; Libroría Gonoral do Tomás Pardo, Maipú Ó18; Libroría Rosio, Callao Ó21; Libroría Santa Fo, Santa Fo 2427, Buonos Airos; Librería dol Azul, San Martín 472, Azul; Ll- broría "Erasmo", San Martín 3330, Mar dol Plata; Libroría El Universi­tario, H. Yrigoycn y San Juan, Co­rrientes.

Para colaboraciones, númoros atrasados, suscripciones y avisos, diriglrso di- roctamonto al editor.

Roglstro do la Propiedad Intelectual: Ng 966.821.

LOS TEXTOS MAS ACTUALIZADOS DE LA MATERIA MODERNA PRESENTACION - IMPRESOS A DOS COLORES

IYA APARECIO!MATEMATICA MODERNA

PARA 4o AÑO DE LOS COLEGIOS NACIONALES Y LICEOS DE SEÑORITAS* Se ha anunciado que las autoridades educacionales harán

conocer a la brevedad sus disposiciones sobre la futura for­mación de profesores En lo que concierne a la matemática, no estaría demás que las mismas conocieran el artículo de! señor l/Viily Serváis, que se publica en este mismo número porque las recomendaciones de /a Conferencia Internacional de 1962 siguen siendo válidas para nuestro país, en el cuál se presenta ia curiosa circunstancia de que Ias nuevas creaciones de institutos de profesorado han pro!iterado por doquier, aun cuando infortunadamente ios planes y programas vigen­tes en ios mismos, por razones que sería muy largo y compli­cadoi cnumérar, siguen, infortunadamente, alejados en su yoría de io que aconsejan ios mejores matemáticos y pedago­gos de nuestro tiempo.

Los saluda atentamente

OEN PREPARACION PARA EL CURSO ESCOLAR DE 1970

MATEMATICA MODERNAPARA 50. AÑO DE LOS COLEGIOS NACIONALES y LICEOS DE SEÑORITAS

SU AUTOR: INGENIERO ANTONIO ROBERTO LOPEZ

Improso on COGTAL Rlvadavla 767, Capital

5\ PROXIMO NUME30:La noción de función en la ense­ñanza elemental. — La nueva ex­periencia de Sherbrooke^- Es­tructuras algebraicos. —'.Números entero8 y cálculo combinatorio.

PROFESOR EN: COLEGIO NACIONAL DEAN FUNES (1950-1956) COLEGIO NACIONAL MONSERRAT (desde 1052) - ESCUELA SUPERIOR DE COMERCIO MANUEL BELGRANO (desde 1953)COSMOGRAFIA (desde 1954) - FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO OE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE CORDOBA - CATEDRATICO VITALICIO ÉW l/-UNIVERSIDAD CATOLICA DE CORDOBA - DICTO CURSILLOS SOBRE TEMAS MATEMATICA MODERNA EN LOS AÑOS 1964-1965-1966 y 1967

INTERES 'GENERAL — Concesión Ng 8205

5 3 | FRANQUEO1 PAGADOjf < Concesión N9 269/

id ma-PROFESORADO DE MATEMATICA FISICA Y

EL DIRECTOR

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PROBLEMATICA DE HOY

La matemática

y su incidencia

i Hacia fines del siglo XIX, los matemáticos descubrieron cómo axiomatizar todas las ra­mas de la matemática, no sólo la geometría. Comenzaron a ver ciertos conceptos funda­mentales más generales, como los conjuntos y las relaciones, que estaban en la base de todas las distintas ramas. También advirtieron la in­utilidad de tratar de aprender toda la existente y creciente colección de conocimientos mate­máticos organizado en las ramas separadas. En la década del 30, el grupo de matemáticos co­nocido como Bourbaki, ayudado por otros matemáticos de Europa y América, reconstru­yó en forma integrada y unificada toda la ma­temática existente y la recientemente desarro­llada. Basándose sobre los conceptos de conjun­tos y relaciones, especialmente las relaciones de orden y las denorrinadas correspondencias o funciones, construyeron dos grandes estruc­turas, la algebraica y la topológica. En la alge­braica se ubican las estructuras básicas de gru­po, anillo y cuerpo; en la topológica están las estructuras espaciales, los espacios compactos, los espacios normados y los espacios métricos. Ambos, los espacios algebraicos y los topológi- cos están unidos en espacios vectoriales con su respectiva álgebra lineal. La estructura crece cada vez más y la nueva matemática encuentra su lugar en todo el campo unificado según el conjunto de sus elementos y la estructura lógi­ca ubicada sobre ellos.

De este modo, la matemática contemporá­nea se ha logrado por la integración de sus ramas tradicionales mediante el empleo de conceptos más generales y comunes. La mate­mática contemporánea, desde la más simple aritmética de los números naturales hasta la más avanzada álgebra abstracta de las catego­rías o la geometría de Banach de infinitas dimensiones, puede ser sucintamente descrita por el estudio de los pares ordenados

(Conjunto. Estructura)y todas las actividades que puedan surgir de este par ordenado. Por ejemplo, el álgebra ele­mental es el estudio del conjunto de los núme­ros reales para el cual son importantes los nú­meros naturales, los enteros y los racionales.La estructura de los números reales está dada por las relaciones de orden y de densidad, y las operaciones. La actividad consiste en ex­presiones derivadas de los reales, las funciones denominadas lineales, cuadráticas, polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas, trigo­nométricas e inversas, y la resolución de sen­

tencias denominadas ecuaciones e inecuacio­nes.

La geometría es un estudio del espacio -un conjunto de puntos— para el cual los subcon- juntos principales son los planos y las líneas. La estructura del espacio se describe mediante relaciones denominadas postulados, como los de incidencia, ordenación, separación, parale­lismo y perpendicularidad. La actividad consis­te en transformaciones o correspondencias de­nominadas rotaciones, reflexiones, traslaciones y dilataciones. Mediante la consideración de grupos de transformaciones sometidos a la operación de composición, se desarrollan iso- metrías, que conducen a la congruencia, y ho-

contemporánea

en ias cienciasHOWARD F. FEHR (Estados Unidos)

matemática fue enseñada a la manera clásica en todo el mundo, esto es, separando las dis­tintas ramas de la disciplina.

La matemática es la asignatura más antigua de los planes de estudio escolares. Durante más de dos mil años ha ocupado un lugar pre­dominante en la educación liberal del hombre y la mujer, y hoy su contribución a esta edu­cación es más valiosa que nunca. Además, la asignatura ha sido útil a todos en sus activida­des cotidianas; hoy, en la expansiva cultura científica de nuestro tiempo es más útil que nunca. Comenzó con la aritmética, rápida­mente agregó la geometría y el álgebra y lue­go, en el siglo XVII, una nueva rama denomi­nada análisis.

Matemática clásica:' un dibujo de S. Steimberg.

Matemática moderna: topología.

y*m motecias, que conducen a la semejanza. Por matemática contemporánea o moderna enten­demos esta organización estructural unificada de la disciplina. Observando a la vez la inter­pretación tradicional y la interpretación con­temporánea de la matemática, podemos ahora ver claramente la diferencia existente entre la modernización de un plan de estudios clásicos y la redacción completa de un plan de estu­dios moderno, unificado.

Todo problema de la integración de las di­versas ramas del estudio de la matemática como conjunto unificado, ha sido bien estable­cido por el académico A. Markuschewitsch, de la universidad de Moscú, y lo que dijo bien puede aplicarse a la integración de las otras ciencias. Expresó lo siguiente:

".. .El problema de adaptar las ¡deas de Bourbaki a la formulación de programas de matemática para las escuelas, requiere atención especial. .. Con seguridad, no existen dificulta­des fundamentales para la elaboración de un plan de estudios para algunos años de educa­ción matemática en las escuelas siguiendo sistema definido de conceptos fundamentales:

CUMatemática griega: los números triangulares.

La matemática clásica o tradicional estaba, pues, bien afianzada en el siglo XVII y se la concebía formada por cuatro ramas distintas y completamente separadas: aritmética, álgebra, geometría y análisis. Estas ramas continuaron desarrollándose, separada y paralelamente, co­mo campos de investigación enteramente ce­rrados. A mediados del siglo XIX, cada rama comprendía distintos capítulos, cada uno de los cuales estaba, en su mayor parte, separado de los capítulos de las otras ramas. Así, en aritmética, había tratados de análisis combina­torio. análisis diofántico, nomografía, análisis numérico, cálculo de probabilidades, estadísti­ca, teoría de números, trigonometría, teoría de la interpolación -y semejantemente ocurría con cada una de las otras ramas principales. Hasta hace muy poco, si se preguntaba a un matemático qué era lo que el mismo creía ser, |>udo responder teórico de números algebrista, o, acaso, analista. Hasta hace muy poco, la

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gráfica de estas-últimas (usualmente mediante coordenadas rectangulares) o sustituyendo en fórmulas para verificar expresiones dadas. Este uso de los números reales o los números racio-

más avanzadas estructuras matemáticas y nadie puede decir cuándo tales modelos pueden re­velar explicaciones nuevas y más satisfactorias. Ejemplo de esto son las ecuaciones en deriva­das parciales de Maxwell para explicar la es­tructura ondulatoria electromagnética, o el modelo de espacio relativfstico de Einstein, con materia y energía unidas en una explica­ción física simple de los conceptos físicos implicados.

En general, hay dos formas de enseñar ma­temática de manera que aporte su contribu­ción útil a las ciencias. El método tradicional consiste en aplicar una teoría matemática a una situación científica; el segundo método, de creciente popularidad, comienza con el es­tudio de una situación -como el movimiento rectilíneo acelerado- rica en contenido y en conceptos matemáticos, e intenta edificar o crear una teoría matemática para explicarlo. Durante las pasadas décadas, los maestros de la escuela elemental usaron este procedimiento para desarrollar los conceptos aritméticos y geométricos de su asignatura.

Los profesores de matemática deben conti­nuar desempeñando su función de preparar estudiantes para trabajar en las ciencias, esta preparación puede variar desde una introduc­ción ingenua, informal, hasta la abstracción altamente formal. Cada vez se reconoce e indi­ca más la importancia de la intervención de la matemática en otras ciencias; la responsabili­dad de los profesores de matemática en la pre­paración de sus alumnos en un lapso adecuado del curso escolar y con apropiado nivel de abs­tracción; todo esto quede bien aclarado. De esta manera, los estudiantes dispondrán de la matemática necesaria para estimular y apoyar sus ¡deas en las otras materias.

Los profesores de matemática continuarán interesándose por la educación general de sus alumnos y por las interrelaciones de la mate­mática con las otras disciplinas. Los objetivos de la misma matemática en la escuela secunda­ria estarán mejor servidos cuando cada tópico se vincule con ¡deas, principios y teorías que se encontrarán en las otras ciencias. Debemos cuidar, en nuestra propia enseñanza, que el equilibrio entre ilustración y motivación para servir a las demás ciencias y al aprendizaje de la misma matemática, opere siempre de modo de elevar la matemática hacia la cúspide. Por ello, a pesar de la abrumadora cantidad de in­formación que tenemos a mano, esperamos que los profesores de matemática comprendan,

(continúa en pág. 16)

Pero la matemática también interviene en las ciencias, y muchas veces en busca de situa­ciones científicas ricas en contenido y concep­tos matemáticos que puedan usarse para moti­var el estudio de la matemática. Pero, eso se puede hacer dentro de ciertos límites. Debe­mos recordar que cada una de las ciencias, la matemática incluida, ha crecido tan enorme­mente en las últimas décadas, tanto en hechos cuanto en complejidad de técnicas, que es irra­zonable pretender que los docentes secunda­rios sean eficientes en más de una disciplina. En particular, la matemática debe ser enseñada por sí misma para asegurar su validez y su significado, sea como estructura independiente, sea como herramienta útil de la explicación científica. La estrucutra matemática se cons­truye sobre sí misma, del todo independiente­mente de cualquier otra ciencia, y esto lleva a más matemática y a nueva matemática. De esta manera, la matemática aumenta constan­temente el tipo de estructuras que, eventual­mente, pueden ser muy provechosas para faci­litar el estudio y la investigación en otras acti­vidades.

conjuntos, relaciones (particularmente lo' con­ceptos de función y de transformación geomé­trica, relaciones de equivalencia y orden), ope­raciones algebraicas (vinculadas a los concep­tos de grupo y de cuerpo) y espacio (particu­larmente espacio métrico y lineal), los cuales pueden ser ricamente caracterizados y explica­dos con ejemplos. Sin duda, el desarrollo pro­gresivo de este plan de estudios -incluso todo el plan-, puede volverse interesante y concre­to para los estudiantes, aunque, no obstante, puede ocurrir que algunos de ellos consideren a muchos de los tópicos como mero entreteni­miento. Por último, un plan de estudios seme­jante, si incluye una cantidad suficientemente grande de cuestiones, práctica y ejercicios, puede ser la fuente de rico material para la educación y el desarrollo de las capacidades y los hábitos intelectuales que hoy se puede pre­tender de una persona de educación modera­da. También, como se puede ver, se pueden colmar de este modo los requerimientos de una educación general.

"La cuestión fundamental para nosotros es la siguiente: Si estas ¡deas y conceptos genera­les ocupan una posición central en la enseñan­za de la matemática en las escuelas, ¿no que­darán eliminadas las condiciones bajo las cua­les el estudiante de antaño ganó todo ese co­nocimiento esencial y ese "saber cómo" del plan de estudios tradicional? "

La actual reconstrucción experimental de la matemática de la escuela secundaria es una respuesta a esta cuestión a través de las activi­dades que ocupa en el estudio de cada estruc­tura.

nales y de las representaciones gráficas, presu­pone que el comportamiento científico se cumple de acuerdo con las propiedades de los números naturales o el espacio métrico euclidía- no que se emplea.

La fase descriptiva es aquélla en la cual se emplea la función exponencial para desarrollar la explicación del crecimiento biológico, tal como se lo presenta en el estudio de la filo- taxia o en el decrecimiento de la radiactivi­dad de ciertos elementos. Aquí se usa la fun­ción definida por Q=Q0etr para explicar el comportamiento del fenómeno científico. Por analogía, se admite que se cumplen todas las propiedades de la función exponencial en to­dos los cambios que se producen en la situa­ción científica considerada, los que de esa manera sirven como parte integrante de la ciencia.

En el nivel más alto de la escuela secunda­ria, podemos formar un modelo matemático de una situación física o científica. Aquí la matemática no sólo basta para describir la es­tructura sino también para explicarla. Un ejemplo de modelo semejante es el de Volte- rra sobre la muerte de peces. En este caso, la población en un instante determinado se de­termina mediante ciertas hipótesis sobre el rit­mo de crecimiento y el ritmo de eliminación, de modo que A = at — bt2, donde a y ó son coeficientes determinados por observaciones estadísticas. Sometiendo esta fórmula al trata­miento matemático (derivadas e integrales), el estado de la población puede ser explicado para cualquier instante t posterior a un instan­te incial t0. En tales explicaciones se modifi-

la teoría las constantes a y ó y se

Tal como hoy se la concibe, la matemática es un lenguaje que nos permite hablar sobre cosas -los elementos de un conjunto. No nos dice las características físicas, químicas, bioló­gicas, económicas ni el comportamiento de las cosas, pues ésto pertenece al dominio de otras ciencias; podemos concebir a la matemática como una columna alrededor de la cual giran todas las demás asignaturas. De tiempo en tiempo, las otras ciencias apelan a la interven­ción de la matemática para que las ayude en sus explicaciones; y es claramente tanto una parte integral de las ciencias que la emplean cuanto un agente indispensable de la explica­ción científica que tiene así a su disposición todas las propiedades matemáticas para su uso. Cada ciencia enseñará y usará esta matemática en la forma que estime más adecuada para sus finalidades.

La matemática y tas ciencias: ecuación diferencial. can enintroducen otros factores hasta el logro de una teoría matemática que concuerde muy estre­chamente con las observaciones reales. Todo esto equivale a decir que matematizamos un suceso científico mediante un modelo que ex­plica con mayor claridad y perfección que las explicaciones descriptivas previas.

La etapa más alta —nivel de hipótesis, orga­nización o sistematización— sólo se alcanza en las fronteras de la investigación. Un ejemplo lo constituye el modelo matemático de la estruc­tura atómica, lejos todavía de ser completo, o el posible modelo matemático de la estruc­tura celular. En estos casos se pueden usar las

La matemática sirve a las ciencias de dife­rentes maneras y en diferentes niveles de com­plejidad. Aún cuando son muchos los escena­rios en que interviene sólo nos referiremos a cuatro, a saber: (1) registro de datos numéri­cos o geométricos, (2) descripción del compor­tamiento científico, (3) como modelo mate­mático para la explicación científica, y (4) como manera de establecer hipótesis para las investigaciones científicas. La etapa del cómputo y el registro se ¡lustra mediante la anotación de medidas con errores probables, disponiéndolas en tablas, y la representación

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de una evolución de dos mil años, pero que, en.verdad, casi ha cumplido ya su tiempo, pre­fijando para ella tan rigurosamente como para las anteriores.

Queda la afirmación de que el número es la esencia de todas las cosas aprensibles por los

sentidos como la más valiosa proposición de la matemática antigua.

Ahora se comprenderá lo que separa unas matemáticas de otras y especialmente la "anti­gua” de la occidental. Para el pensamiento an­tiguo, para el sentimiento cósmico de los anti­guos, la matemática no podía ser más que teo­ría de las relaciones de magnitud, medida y figura entre cuerpos sólidos. Cuando Pitágoras, movido por ese sentimiento, halló la fórmula decisiva, para él el número era precisamente un símbolo óptico, no una forma en general o una relación abstracta; era el signo de la limi­tación de las cosas que abarcamos con la mira­da, como individuos sueltos. Toda la antigüe­dad, sin excepción, concibió los números co­mo unidades de medida, magnitudes, distan­cias, superficies. La matemática antigua es, en última instancia, estereométria. Cuando Eucli- des, que concluyó el sistema de esta matemáti­ca en el siglo III, habla de un triángulo, se refiere con íntima necesidad a la superficie límite de un cuerpo, nunca a un sistema de tres rectas secantes o a un grupo de tres pun­tos en el espacio de tres dimensiones. Llama a la línea "longitud sin anchura".' En nuestra época, esta definición sería defectuosa. En la matemática antigua es excelente.

El número occidental no nace, como pensa­ba Kant y el mismo Helmholtz, de la "intui­ción a priori del tiempo". Es algo específica­mente espacial, como ordenamiento de unida­des homogéneas. El tiempo real no tiene la menor relación con las matemáticas. Los nú­meros pertenecen a la esfera de lo extenso. Pero hay tantas maneras posibles -y por ende necesarias- de representarse el orden de lo ex­tenso como culturas existen. El número anti­guo no es el pensamiento de relaciones espa­ciales, sino de unidades tangibles, limitadas pa­ra los ojos de cuerpo. La "antigüedad", por lo tanto —ello se sigue necesariamente— no cono­

ció más que los números "naturales" —positi­vos enteros— que entre las muchas y muy abs­tractas especies numéricas de nuestra matemá­tica occidental —sistemas complejos, hipercom- plejos, no arquimédicos, etc.— no ocupan un lugar previlegiado.

Tiene su estilo y sus periodos. No es, como el lego cree, y también el filósofo -en tanto que juzga como lego—, de inmutable sustancia, sino que están sometida, como todo arte, a cam­bios imperceptibles de época en época. En verdad esto es un juicio del todo irrebati­ble. . .

PAGINAS MEMORABLES

los númerosEl sentido de. . .El círculo de los pitagóricos, hacia 540,

llegó a la concepción de que el número es la esencia de todas las cosas. Esto no es, como suele decirse, "un gran paso en el desarrollo de la matemática". Es más aún: es propiamen­te el orto de una matemática nueva, creada en las profundidades del alma "antigua", teoría consciente de sí misma, que ya se había enun­ciado en problemas metafísicos y en tenden­cias de la forma artística. Es una nueva mate­mática, como la de los egipcios, que nunca fue escrita, y como la de la cultura babilónica, con sus fórmulas algebraico-astronómicas y su sistema de coordenadas eclípticas. Pero la ma­temática egipcia y la matemática babilónica, que vinieron al mundo en una hora grande de la historia, estaban ya muertas hacía tiempo cuando nació la matemática griega. Esta que en lo esencial llega a su conclusión en el siglo II antes de Jesucristo, acabó por desaparecer también del mundo, aún cuando semeja perdu­rar todavía en nuestras denominaciones. Más tarde fue sustituida por la matemática árabe. Lo que conocemos de la matemática alejandri­na nos permite suponer que le precedió un gran movimiento cuyo centro debió estar en las escuelas persas y babilónicas, como Edessa, Seleucia y Ctesifon. Esta matemática preale­jandrina no ejerció influencia sobre el espíritu antiguo a no ser por algunos pequeños deta­lles. Los matemáticos de Alejandría, aunque tienen nombres griegos —como Zenodoro, que estudió las figuras isoperimétricas, Sereno, que investigó las propiedades de un haz de radiaciones armónicas en el espacio, Hypsicles que introdujo la división caldea del círculo y, sobre todo, Oiofanto— son todos, seguramente, árameos, y sus tratados representan una pequeña parte de una literatura escrita principalmente en lengua siria. Esta matemática llegó a su plenitud en la ciencia árabe-islámica, y cuando ésta, a su vez, hubo muerto, surgió mucho después nuevo suelo una nueva creación, la matemática occidental, la matemática nuestra, la que noso­tros, con extraña ceguera consideramos como la única matemática, como la cima y remate

OSWALD SPENGLER (Alemania)

ca. El sentimiento de la forma en el escultor, pintor y músico es esencialmente matemático. El análisis geométrico y la geometría proyecti- va del siglo XVII revelan una ordenación espi­ritual de un universo infinito; es la misma que la música de esa época quiere evocar, aprehen­der, realizar, con su armonía del arte del bajo cifrado, verdadera geometría del espacio musi­cal; la misma también que su hermana, la pin­tura al óleo, quiere realizar mediante un prin­cipio de perspectiva —conocido sólo en Occi­dente—; que es como la geometría sentimental del arte plástico. Esto es lo que Goethe llama­ba la idea. La forma de la idea puede intuirse inmediatamente en Io sensible; pero la ciencia no es intuición, sino observación y análisis. Mas la matemática traspasa los linderos de la observación y del análisis y, en sus momentos supremos, procede por intuición, no por abs­tracción. De Goethe son estas hondas pala­bras: "El matemático no es perfecto sino cuando siente la belleza de la verdad". Bien se comprende aquí que el enigma del número está muy próximo al misterio de la forma artística. El matemático genial tiene su puesto al lado de los grandes maestros de la fuga, del cincel y del pincel, que aspiran también a comunicar, a realizar, a revestir de símbolos ese gran or­den de todas las cosas que el hombre vulgar de cada cultura lleva en sí sin poseerlo real mente. Así, el reino de los números, como el de las armonías, el de las líneas y el de los colores, es una reproducción de la forma cós­mica. Por eso la voz "creador" significa en la matemática algo más que en las simples cien­cias. Newton, Gauss, Riemann, fueron natura­lezas artísticas. Léanse sus obras y se verá que sus grandes concepciones les vinieron de re­pente. "Un matemático -decía el viejo Weiers- trass— que no tenga también algo de poeta no será nunca un matemático completo".

La matemática, pues, es también un arte.

Si la matemática fuera una mera ciencia, como la astronomía o la minerología, podría­mos definir su objeto. Pero nadie ha podido ni puede dar esa definición. En vano aplicaremos nosotros, los occidentales, nuestro propio co- cepto científico del número, violentamente, al objeto de que se ocupaban los matemáticos de Atenas y Bagdad; es lo cierto que el tema, el propósito y el método de la ciencia que en esas ciudades llevaba el mismo nombre, eran muy diferentes de los de nuestra matemática. No hay una matemática: hay muchas matemá­ticas. Lo que llamamos historia de la matemá­tica, supuesta realización progresiva de un ide­al único e inmutable, es, en realidad, si damos de lado a la engañosa imagen de la historia superficial, una pluralidad de procesos cerra­dos en sí, independientes, un nacimiento repe­tido de distintos y nuevos mundos de la for­ma, que son incorporados, luego transfigura­dos y, por último, analizados hasta sus ele­mentos finales; un brote puramente orgánico, de duración fija, una florescencia, una madu­rez, una decadencia, una muerte. No nos enga­ñemos. El espíritu antiguo creó su matemática casi de la nada. El espíritu occidental, históri­co, había aprendido la matemática antigua, y la poseía —aunque sólo exteriormente y sin incorporarla a su intimidad-; hubo, pues, de crear la suya modificando y mejorando, al pa­recer, pero en realidad aniquilando la matemá­tica euclidiana, que no le era adecuada. Pitágo­ras llevó a cabo lo primero; Descartes, lo se­gundo. Pero los dos actos son, en lo profundo, idénticos.

La afinidad entre el lenguaje formal de una matemática y el de las artes mayores de la misma época no admite, pues, ninguna duda. El sentimiento vital de los pensadores y de los artistas es muy distinto; pero los medios de que dispone su conciencia vigilante para expre­sarse son, en su interioridad, de forma idénti-

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ción de la serie discontinua de los números en serie continua, pone en cuestión no sólo

el concepto "antiguo" del número, sino hasta el concepto del mundo antiguo. Se comprende ahora que en la matemática antigua no fuesen posibles no ya el cero como número -refinada creación de admirable energía, que aniquila to­da representación sensible y, para el alma in­dia, que la concibió como base del sistema de posición, constituye la clave para desentrañar el sentido de la realidad- pero ni siquiera los números negativos, que nosotros nos represen­tamos sin dificultad. En efecto, no hay magni­tudes que sean negativas. La expresión -2. (-3) = + 6 ni es intuible ni representa una magnitud. Con +1 termina la serie de las mag­nitudes.

En la representación gráfica de los números negativos, cada signo, a partir del cero, se con­vierte de pronto en símbolo positivo de algo negativo. Significa algo, pero ya no es nada. Mas el pensamiento aritmético antiguo no está orientado en la dirección de un acto mental como éste.

Todo lo que nace del espíritu antiguo as­ciende a la categoría de realidad por medio de la limitación plástica. Lo que no puede dibu­jarse no es "número". Platón, Archytas y Eu- doxo hablan de números superficiales y núme­ros corporales cuando quieren expresar nuestra segunda y tercera potencia; y se comprende muy bien que no exista para ellos el concepto de potencias mayores en los números enteros. Una cuarta potencia sería un absurdo, porque el sentimiento plástico fundamental de los an­tiguos exigiría inmediatamente que se la imagi­nase como extensión material de cuatro di­mensiones. Una expresión como e~*x, aparece muchas veces en nuestras fórmulas, o simplemente el signo 52 que fue empleado en el siglo XIV por Nicolás Oresme, les hubieran parecido completamente absurdos a los grie­gos. Euclides llama lados a los factores de un producto. Para investigar en números enteros la relación entre dos distancias, el antiguo cuenta por quebrados -finitos, naturalmen­te-. Por eso no puede manifestarse la idea del cero como número; en efecto, el cero no tiene un sentido que pueda dibujarse. Contra esto no cabe argumentar diciendo que la matemáti­ca griega constituye precisamente el "estadio primitivo" en la evolución "de la" matemáti­ca. Tal objeción lleva impreso el sello caracte­rístico de nuestros hábitos mentales. Pero la

(continúa en la pág. 16)

CUESTIONES DIDACTICASPor eso la representación de los números irracionales, o como decimos nosotros, fraccio­nes decimales infinitas, ha sido siempre irreali­zable para el espíritu griego. Dice Euclides —y esto hubiera debido comprenderse mejor— que las distancias incommensurables no se compor­tan como números. Y en realidad, si se analiza el concepto de número irracional, se ve que el concepto de número y el concepto de magni­tud están perfectamente separados en él, por­que los números irracionales, por ejemplo tt, no pueden ser nunca exactamente limitados o representados por una distancia. De aquí se sigue que para el número antiguo, que es jus­tamente límite sensible, magnitud conclusa y nada más, la representación, por ejemplo, de la relación del lado del cuadrado con la diago­nal, entra en contacto con una idea numérica totalmente distinta, muy extraña al sentimien­to antiguo del universo y, por tanto, intolera­ble, idea que parece próxima a descubrir el arcano de la propia existencia. Este sentimien­to se expresa en un extraño mito griego de la época posterior según el cual el primero que sacó a la luz pública la noción de lo irracional perdió la vida en un naufragio, "porque lo inexpresable e inimaginable debe siempre per­manecer oculto"...

.. .La religión griega no conoció los dogmas abstractos que flotan en los espacios mostren­cos del pensamiento. El culto es al dogma pontificio como la estatua es al órgano de nuestras catedrales. La matemática griega tiene sin duda algo de culto. Recuérdese la teoría secreta de los pitagóricos y la teoría de los poliedros regulares con su significación en el esoterismo de los platónicos. Por otra parte, a esta relación entre el culto y la matemática antigua corresponde en Occidente la profunda afinidad entre el análisis del infinito, a partir de Descartes, y la dogmática de la misma épo­ca, en su progresión, que va desde las últimas decisiones de la reforma y la contrarreforma hasta el deísmo puro, libre de toda referencia a lo sensible. Descartes y Pascal fueron mate­máticos y jansenistas. Leibniz, matemático y pietista. Voltaire, Lagrange y d'Alembert son contemporáneos. Para el alma antigua, el prin­cipio de lo irracional, esto es, la destrucción de la serie estatuaria de los números enteros, representantes de un orden perfecto del mun­do, fue como un criminal atentado a la divini­dad misma. Este sentimiento se percibe clara­mente en el Timeo de Platón. La transforma-

una

de la matemáticaW. SERVAIS

(Bélgica)

debe ser superado por el desarrollo de una di­dáctica moderna de la matemática de hoy.

La enseñanza tradicional se contenta a me­nudo con trasmitir los conocimientos matemá­ticos como resultados adquiridos. La didáctica nueva se esfuerza por hacer adquirir la misma actividad matemática que produce esos resulta­dos.

Durante mucho tiempo, la enseñanza de la matemática ha sido la más dura de todas las enseñanzas.

El docente, con la mejor de las intenciones y la mejor conciencia del mundo, quería llevar a sus alumnos, tan rápido como fuera posible y de buen grado o por fuerza, a moverse en la esfera perfecta de las verdades matemáticas. Algunas veces se llegaba de esa manera a una domesticación de eficacia muy relativa.

Si se reconoce que los conocimientos mate­máticos no están dados a priori sino que son creados por el hombre, resulta vano presentar en la enseñanza, de buenas a primeras, los re­sultados del análisis adulto.

Los alumnos deben aprender por sí solos a aislar, reconocer y componer estructuras.

No basta, pues, modernizar los programas para mejorar ipso facto el rendimiento del es­tudio de la matemática.

Los métodos didácticos deben experimentar

Mientras que los alumnos pueden sentirse hastiados por un atracón rutinario de nociones impuestas desde afuera, encuentran placer bus­cando su camino en una situación que despier­ta su curiosidad y desafía a su inteligencia.

La actividad matemática se ejerce y se desa­rrolla cuando una situación provoca y estimula el desarrollo de sus medios específicos de es- quematización, de estructuración, de deduc­ción y de control.

Se lo sabe: esta actividad ocurre, como lo he señalado explícitamente P. M. VAN HIELE (2) en niveles sucesivos que se escalonan desde el plano sensorio-motor a la organización lógi­ca. Las adquisiciones en un nivel son el objeti­vo concreto sobre el cual se inducen las con­sideraciones abstractas para el nivel siguiente. El pasaje concreto-abstracto es el de una situa­ción familiar a la toma de conciencia de la estructura de esa situación.

Un aprendizaje adecuado tratará de respetar la escala de los niveles y de asentar suficiente­mente la adquisición de cada uno de ellos para proporcionar el elemento de la actividad refle­xiva en el estado ulterior. Esa es la razón por la cual deben ser introducidas las ideas nuevas en forma adecuada desde el momento en que sean accesibles para el niño. Puede ser en el jardín de infantes si se le ofrece material veniente.

En ciertas tentativas de modernización, los alumnos, después de haber sido sometidos en el primer ciclo secundario a una enseñanza tra-

una evolución favorable.Es una ilusión creer que una enseñanza

dogmática de temas modernos pueda asegurar su real asimilación. No sería más que acondi­cionar la inteligencia en forma servil y trauma­tizante.

Es otra ilusión figurarse que las matemá­ticas tradicionales, porque nos son familiares, son las únicas que pueden servir para una bue­na metodología.

La matemática contemporánea, por pacidad para elucidar las nociones y organizar­ías en forma estructurada es aprovechable para una presentación pedagógica, tanto más cuan­to que las estructuras fundamentales corres­ponden a pasos y a representaciones psicológi­cas también fundamentales.

ique

su ca-

con-

H. FRUEDEN-El dilema propuesto por THAL (1)’ "Enseñanza de matemática moder-

moderna de la matemática"na o enseñanza

1011

son tomadas en consideración, y el material es manipulado de manera ya estilizada y esque­mática. Se trata, de alguna manera, de objetos concretos en misión abstracta. Con ellos, los alumnos son adiestrados en forma totalmente natural para matematizar sin sentirse embara­zados por las dificultades de expresión en len­guaje vehicular.

Si se quiere favorecer la actividad personal de los alumnos y tener en cuenta las diferen­cias de aptitud y de ritmo, conviene dejar un lugar suficiente al trabajo individual. Por su parte, el trabajo colectivo o por equipo debe emplear los recursos de la dinámica de grupo, permitir los cambios fructíferos y justificar en forma funcional la búsqueda de la expresión y el cuidado del rigor en el lenguaje. El maestro debe hablar un lenguaje matemático correcto sin exigir, sin embargo, demasiado pronto de los alumnos una expresión perfecta cuando es suficiente la comprensión traducida por sus actos. Toda exigencia prematura de rigor pue­de provocar una verdadera inhibición y enmu­decer a los alumnos.

Para acostumbrar a la comprensión del len­guaje y ensanchar la información, es útil favo-

la lectura de los escritos matemáticos

talen en ellos y se refuercen las reflexiones de control y de auto-corrección.

Para mantener el ardor en el trabajo, no es necesaria la existencia de recompensas ajenas al mismo trabajo. El sentimiento de un progre­so general hacia una mayor maestría es el más potente de los estímulos. En una enseñanza bien programada, el alumno debe ser advertido., sin retardo de sus éxitos y no se le pedirá, sin consideración, el cumplimiento de tareas ver­daderamente invencibles. Gracias a los nuevos métodos y medios, el maestro habla y enseña menos para observar y comprender más a sus alumnos y guiarlos hacia la adquisición de ca­pacidad para desarrollar su matemática.

Esta tendencia, favorecida por la inteligibili­dad de la matemática actual, logrará sin duda que en el futuro haya más hombres que sepan emplear con discernimiento sus conocimientos matemáticos y que serán aptos también para matematizar en forma original y eficaz las nuevas situaciones.

niveles ha sido dada por D. VAN HIELE GELDOF embaldosando el plano con ayuda de polígonos(5). Todos los ejemplos que se ofrecen aquí testimonian una misma inquie­tud: poner al alumno en contacto directo con el problema planteado, abrirle los caminos de la investigación y suscitar su capacidad de crea­ción.

dicional, son acondicionados en el segundo ci­clo en nuevas materias. Ese montaje no em­plea las nuevas ¡deas para estructurar progresivamente la inteligencia en el primer ci­clo y exige que el alumno, de golpe, realice un verdadero esfuerzo para asimilar, en un plazo demasiado breve, las nociones modernas. Tam­bién ocurre que ciertos alumnos, después de haber sido formados en las ¡deas modernas du­rante el primer ciclo, son ahora obligados, de­bido a los programas o a los profesores, a se­guir un curso enteramente tradicional. Semejantes despropósitos psicológicos no son otra cosa que malos remedios impuestos por las circunstancias en un período de transición.

El verdadero empeño de los alumnos en el trabajo matemático no puede asegurarse más que por una motivación adecuada para su nivel: placer del juego o de la competencia, interés por las aplicaciones, satisfacción del ansia de descubrimiento, gusto por la mate­mática de por sí.

Para lograr que la matemática se aprenda de manera activa, lo mejor es presentar a los alumnos una situación para matematizar. De esa manera funda la didáctica actual, en todo lo que puede, las iniciaciones matemáticas so­bre situaciones firmemente abordables y sufi­cientemente interesantes y problemáticas como para suscitar y sostener la investigación por los alumnos. Estos aprenden en vivo a esquematizar, a desenredar las estructuras, a definir, a demostrar, a aplicar más que a en­tender y a memorizar enteramente los resul­tados.

De esa manera, el maestro deja de ser el que detenta y enseña la verdad matemática. No se interpone entre el alumno y la tarea u objetivo propuesto, como si fuera una barrera de autoridad, como la denomina ROBERT B. DAVIS(6). Su función es servir de guía que favorece un aprendizaje personal.

En los Estados Unidos se ha concebido im­portante material, especialmente en lo que se refiere al estudio activo de las propiedades al­gebraicas.

La pedagogía de las situaciones ha sido aprovechada por F. y G. PAPY en dos libros destinados a niños a partir de los 12 años(7). Estas obras, llenas de recursos, presentan en forma unitaria los conjuntos, las relaciones y las funciones, los números enteros, naturales y relativos, la numeración binaria, las proyec­ciones paralelas, las traslaciones, las simetrías axiales y centrales, los grupos, los números reales, las homotecias y los espacios vecto­riales.

FORMACION E INFORMACION DE LOS PROFESORES

Todos los países sufren escasez de profeso­res de matemática calificados.

Aun aquellos que, todavía ayer, disponían de un cuerpo de profesores de elevado nivel científico, deben hoy, para enfrentar a las olas de alumnos que acuden a las escuelas, emplear docentes sin la requerida competencia. ¿Qué decir de las regiones en que gran parte del personal docente de matemática no posee la formación fundamental?

Esta indigencia, ya perjudicial en épocas normales, se vuelve dramática cuando las cla­ses están superpobladas y la promoción de la enseñanza exige un profundo crecimiento.

El problema fundamental es la formación científica y pedagógica de los maestros y el mantenimiento de su información.

Para resolver este problema no basta tener en cuenta únicamente a las nuevas promocio­nes de profesores que surgen hoy de las uni­versidades y de las escuelas normales.

Si la duración de una carrera es de 35 años, gn plazo parecido se necesitará para renovar completamente el cuerpo profesoral. Sería necesario, además, que esas promociones sean suficientemente preparadas, lo que no es el caso en lo que concierne a los estudios de matemática, sobre todo después que la investi­gación y la industria han recurrido a los mate­máticos.

recerpor los alumnos. Esta literatura se desarrolla cada vez más en Inglaterra, Estados Unidos y Rusia. Por ejemplo, el equipo del St. Duns- tan's College, con la dirección de G. MATTHEWS(9), ha redactado obritas desti­nadas a ser leídas, la primera serie, por alum­nos de 12 a 13 años y, la segunda serie, por los alumnos de más edad, los que son condu­cidos a descifrar textos nuevos por si mismos. Este adiestramiento les hace adquirir más au­tonomía e iniciativa y los prepara para leer más tarde obras documentales.

Se trata de una ley de psicología familiar: cada uno de nosotros aprende a través de torpezas y sus faltas: aprende sobre todo por ellas.

Los medios concretos empleados, diagramas de Venn, gráficos con fechas, constituyen gracias al empleo de los colores, una figuración y un lenguaje de los conjuntos y de las rela­ciones. Las demostraciones se presentan a me­nudo con ayuda de bandas dibujadas a la manera de filmes en los que sucesivas imáge­nes corresponden a las etapas de la deducción.

El material que emplea la nueva pedagogía es muy variado: regletas de colores, bloques lógicos, modelos geométricos, diagramas, grá­ficos, juegos de cartas perforadas, sistemas de circuitos eléctricos, etc.(8).

C. CATTEGNO fue quien mostró el interés psicológico de una pedagogía de las situacio­nes. En la escuela primaria hizo el inventario de las numerosas posibilidades ofrecidas por las regletas en colores de Georges CUISE- NAIRE y en dar con el geoplano, tablilla en la que se insertan clavos de manera regular, una manera de apoyar la investigación de las pro­piedades y de los polígonos y sus áreas(3).

Por su parte, Z. P. DIENES(4) desarrolla una enseñanza que se basa sobre una cantidad de material variado: bloques lógicos; bloques multibases. Usa ingeniosamente cuentos y jue­gos que presentan estructuras matemáticas (grupos, espacios vectoriales) que los alumnos aprenden a descubrir y a conocer mediante su actividad lúdica.

Una ilustración de una enseñanza conducida teniendo en cuenta la progresión de los

sus

Opuestamente al maestro autoritario que atisba el error con la determinación de extir­parlo con la mayor rapidez, el profesor psicó­logo, en período de aprendizaje, acoge bien los errores inevitables y provechosos. Ellos permiten descubrir los pasos y las ideas inco­rrectas y justifican las aclaraciones y las expli­caciones. Lo mismo que los adultos, los alumnos tienen el derecho de equivocarse; es de desear que eso les ocurra para comprender mejor y para permitir que el maestro los oriente bien. Lo esencial es lograr que se ins-

Todos estos medios tienen un objetivo co­mún: facilitar al alumno la actividad de repre­sentación, de combinación y de sustitución, de manera tal que esta actividad provea un mun­do de figuraciones y de operaciones mentales estructuradas sobre el cual se podrá basar la organización del conocimiento matemático.

La experiencia con el material matemático no es una experiencia en sentido empírico; todas las irregularidades, las insuficiencias concretas consideradas como insignificantes no

1213

!

La necesidad de la promoción de la ense­ñanza matemática es compartida también por los matemáticos. No sorprende que muchos de los más eminentes aporten a los docentes la indispensable información fundamental.

La cautela de los matemáticos garantiza la calidad científica de la reforma.

La contribución de los docentes y de los pedagogos debe asegurar la eficacia didáctica de las ideas nuevas. Los dos aspectos están estrechamente vinculados: la madura compren­sión de un tema es condición para guiar de manera conveniente el aprendizaje; la posibili­dad de comunicación simple y eficaz es a me­nudo el índice de la madurez de una teoría.

Por eso, en la información y formación de los docentes, los puntos de vista científico y metodológico desempeñar su papel comple­mentario.

La formación de futuros profesores es la tarea que, a largo plazo, producirá mayor pro­vecho.

Cualquiera sea el nivel en que enseñan y las escuelas que los preparen, los maestros respon­sables de un curso de matemática deben tener formación matemática moderna que les permi­tan dominar las materias que han de hacer aprender y una formación psicopedagógica que les permita desarrollar una acción didáctica fructuosa.

Lo que deben ser estas dos preparaciones está claramente expresado en las Recomenda­ciones del Coloquio Internacional organizado por Unesco en Budapest, en 1962, sobre la en-’ señanza escolar de la matemática. No podemos hacer nada mejor que citar el texto del infor­me de dicha conferencia:

"Para asegurar una base sólida a toda edu­cación, los docentes primarios deberán recibir una enseñanza que profundizará las materias que se repetirán en el programa modernizado de enseñanza secundaria y que los prepararán para el ejercicio de su misión.'

"Los profesores de matemática de las es­cuelas secundarias recibirán una formación moderna especializada (trátese de una prepara­ción para dos niveles o para un nivel único).

Esta preparación comprenderá:- una formación matemática general

comprenda especialmente las siguientes nocio­nes fundamentales y sus aplicaciones:

teoría de conjuntos y lógica;álgebra abstracta;topología;geometría (exposición axiomática, emplean-

do los espacios vectoriales y otras nociones de álgebra abstracta y topológica; análisis;teoría de probabilidades y estadística; historia del pensamiento matemático.- estudios en una (dos) rama(s) científi­

ca^) (física, química, biología, economía ma­temática, psicología, etc.).

Los docentes del nivel superior de la ense­ñanza secundaria profundizarán el estudio de las materias fundamentales y recibirán suple­mentos especializados, por ejemplo, ecuaciones diferenciales, integrales y en derivadas parcia­les, programación lineal, teoría de la informa­ción, teoría de juegos, teoría de números, etc.

En principio, la preparación matemática de los profesores de las clases superiores no po­drán tener una duración inferior a cuatro años después de los estudios secundarios generales".

Las recomendaciones son particularmente explícitas en lo que concierne a la preparación pedagógica sobre la que se opina en los térmi­nos siguientes:

"Todo profesor necesita una cultura peda­gógica viva que no se limite a las generalidades de metodología, didáctica e historia de la edu­cación. Debe abrirse a los problemas modernos de la pedagogía.

El futuro docente debe conocer convenien­temente las grandes líneas de la evolución psi­cológica desde la infancia hasta la edad adulta. También debe poseer conocimientos que le permitan tener en cuenta las diferencies indivi­duales entre los alumnos, conocer la dinámica de grupo y los efectos favorables o nefastos de su comportamiento en clase.

El futuro profesor deberá estar informado de la psicología del pensamiento, especialmen­te de los procesos de adquisición de los cono­cimientos matemáticos modernos. Estará atento a los diversos tipos de motivación y al papel de la afectividad en el aprendizaje. Se tratará de que tenga una actitud abierta y aco­gedora ante el pensamiento matemático juve-

Una trasfusión completa no provocaría, por otra parte, la solución descontada si los nue­vos profesores, cualquiera sea su competencia matemática, no están dotados de suficiente competencia pedagógica.

Es forzoso, pues, organizar la información y la formación de los profesores que están cumpliendo sus tareas.

En la industria, los negocios, las profesiones liberales, los responsables han comprendido, desde hace unas décadas, la necesidad de un nuevo ciclo de readiestramiento periódico del personal de todos los niveles para mantener, en forma constante, la eficacia de cada uno.

Las autoridades dirigentes de la enseñanza saben lo urgente que es hacer un esfuerzo de adaptación del cuerpo profesoral. Deben ver claramente que en nuestro mundo, que progre­sa aceleradamente, la formación continua del profesor es una necesidad que deberá ser agre­gada a las prestaciones normales y no venir a sobrecargar tareas que ya son demasiado pesa­das.

Pondrán en contacto con la realidad escolar las etapas organizadas en las escuelas bajo la conducción de profesores especializados.

La formación del docente deberá abrirle las perspectivas de una investigación científica en didáctica y en psicopedagogía, haciéndole des­cubrir los problemas a resolver y proporcio­nándole los métodos y las técnicas de esta in­vestigación tanto como los medios materiales (libros, revistas, material didáctico y experi­mental, etc.).

En la universidad, donde se forman los ma­temáticos investigadores, es deseable que gran parte de la formación de los futuros profeso­res sea la misma que la de los futuros investi­gadores. Dar una preparación matemática aná­loga a la de los profesores, únicamente tendría el peligro de disminuir el valor científico de la misma y, sin duda, la volvería anacrónica en muy breve plazo.

También es importante que el futuro do­cente esté informado sobre algunos campos de aplicación de su disciplina para poder subrayar en su enseñanza la aplicación de la matemá­tica.

En los países más activos, para asegurar la puesta al día del cuerpo profesoral, intervie­nen diferentes organismos:

1o — Asociaciones profesionales de docen- La calidad de la formación didáctica es ne­cesaria no sólo para asegurar la eficacia de los cursos sino también para hacer notar la reno­vación de la pedagogía matemática y el interés y el valor de la investigación de que es objeto. De esta manera, la enseñanza conquistará ele­mentos de elección.

Los profesores actuales deberán adquirir una nueva formación en profundidad. No pue­de tratarse de una documentación superficial, que tendría el riesgo de formar peligrosos aprendices de brujo en un dominio en el cual las exigencias son serias. La puesta al día de los profesores en actividad es una tarea larga. Cualquiera sea el interés de las conferencias aisladas para sensibilizar al cuerpo profesoral dándole visiones sintéticas, es indispensable trabajar la materia nueva en numerosas sesio­nes.

tes.2o - Centros e Institutos pedagógicos espe­

cializados.Universidades y Escuelas superiores.

Además, ciertos organismos internacionales apoyan reuniones de especialistas:

- Comisión Internacional de la Enseñanza de la Matemática (CIEM)

- Comisión Internacional para el Estudio y el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática (CIEAEM)

- Conferencias de Unesco.— Conferencias y Pruebas de la Organiza­

ción de Cooperación y Desarrollo Econó­micos (OCDE). .

Las asociaciones de profesores de matemá­ticas intervienen espontáneamente en el movi­miento de renovación, a menudo con medios limitados y a veces sin gran apoyo de los po­deres públicos. ¿Cuántos docentes compren­den sus responsabilidades? ¿Cuánto se puede basar sobre la conciencia profesional y el sacri­ficio de gran parte de los profesores? La labor de estas instituciones es preciosa, pues no se puede dudar que profesores en ejercicio, bien informados sobre las nuevas ¡deas, son los me­jor ubicados para hacer ensayos pedagógicos valederos y en número suficiente.

30

I

nil.El futuro profesor estudiará la metodología

actual de la enseñanza de las materias de base deberá enseñar. Estas materias serán acla-

Por ello, es necesario organizar o bien semi­narios cada semana o bien repetidos fines de semana de información, o sino cursos conti­nuos que se extiendan durante períodos sufi­cientemente largos, por ejemplo, durante las vacaciones.

De cualquier manera, después de una inicia­ción colectiva, los profesores deben llegar al estudio personal que les permita dominar las nuevas nociones fundamentales. Allí se hace

queradas desde el punto de vista de la matemáticaquemoderna.

Hará ejercicios sobre las técnicas particula- constituirán el objetivo de seminariosres que

destinados a desarrollar iniciativa pedagógica y la imaginación creadora en la resolución de problemas didácticos.

1415

REFERENCIASsentir la necesidad de buenos libros, los que, felizmente, aparecen en el momento oportuno.

La información pedagógica debe, en su to­talidad, ser el objetivo de una larga discusión por parte de los que practican la experiencia en clases pilotos. Los docentes atienden par­ticularmente la presentación de lecciones efec­tivas que les muestren en vivo la didáctica en acción.

Por ese lado, el espfritu ha cambiado entre los profesores de matemática, antes tan aisla­dos entre sí y tan secretos en lo que se refiere a su propia enseñanza. Hoy resulta natural dar clase delante de un auditorio de colegas que, conociendo las dificultades del oficio, saben tomar su parte en las cosas.

La renovación de la enseñanza matemática ha sido emprendida en muchos países con de­terminación y vigor. Es una reforma de muy largo aliento en la que están enrolados mate­máticos de renombre y docentes de los mejo-

Más que nadie, los artesanos de estas ta­reas colectivas conocen los problemas y las di­ficultades. Se apoyan entre sí más allá de las fronteras y acogen fraternalmente cualquier ayuda eficaz.

Lenguaje y enseñanza

de la matemática(1) H. FREUDENTHAL, Enseignement des mathéma-

tiques modernos ou enseignement moderne des mathématiques, en "Enseignement mathéma- tique", t. X, fase. 1-2 (1963)

(2) P. M. VAN HIELE, De problematick van het inzicht: La significación de los niveles de pensa­miento en la enseñanza por el método deductivo, "Mathematica et Paedagogia" 16 (1958-1959)

(3) C. GATTEGNO, Algébre et Géometrie pour Ies écoles prima ¡res, (Delachaux et Niestlé, Neu- chátel)

(4) Z. P. DIENES Building up Mathematics, (Hutchin- son Educational, Londres, 1960), An Experi­mental study of Mathematics Learning, (Hutchin- son Educational, Londres, 1963), The Power of Mathematics. (Hutchinson Educational, Londres, 1964)

(5) D. VAN HIELE GELDOLF, De didactick van de Meethunde in de eerste k/as van het V. H. M. O. (J. M. Meulenhoff, Amsterdam, 1957)

(6) R. DA VIS, Discovery in Mathematics (Teacher's Edition, Addison-Wesley, 1964)

(7) PAPV, Mathématique moderne, I y II (Didier, Bruselas, 1963, tomo I, Eudeba, Buenos Aires, 1968)

(8) Los modelos en la enseñanza matemática, Docu­mentación N° 5, Ministerio de Instrucción Pú­blica, Bruselas, 1965.

(9) C. GATTEGNO y alumnos, Le matériel pour Tenseignement des mathématiques (Delachaux y Niestlée, Neuchátel, 1958)

J.SIROS(Francia)

música. Las partes actuantes son el actor y el auditor.

En toda enseñanza, ese juego se practica de dos maneras, en las siguientes instancias:

Primer tiempo: el profesor es el actor y el alumno el auditor.

Segundo tiempo: se invierten los papeles.Las respectivas duraciones de estos dos

tiempos varían mucho según los profesores y los niveles de enseñanza. En la enseñanza su­perior, el profesor es siempre el actor; en las clases pequeñas, especialmente si está presente el inspector general, se prefiere que lo sea el alumno.

Insistimos mucho sobre la naturaleza de es­te acto de trasmisión por ser el acto esencial de toda enseñanza. Se sobrentiende que no in­vestigamos si la ¡dea o el hecho tienen existen­cia a priori, pero afirmamos que sin expresión todo ocurriría como si no existieran ni hecho ni idea. A menudo suelo decir a mis alumnos: una cosa que no está expresada es una cosa inexistente. Aunque parezca una paradoja, eso traduce una posición que debemos adoptar.

En lo precedente, el término "expresión" tiene sentido muy general; en cambio, el dibu­jo, por ejemplo, es obviamente un medio de expresión en matemática y en lógica, entre otras disciplinas.

En lo que sigue, "expresión" significará "expresión hablada o escrita".

Servien considera el lenguaje total y forma dos clases: lenguaje científico y lenguaje líri-

Al proponernos investigar si la matemática es útil y por qué, se puede por lo menos afir­mar —lo que está fuera de dudas para todo el mundo- que esta disciplina se presta admira­blemente para el empleo de un lenguaje preci­so para temas precisos. Según Cicerón, el ora­dor ideal debería estar adiestrado en geome-

. tría. Más recientemente, Cagnac afirmó que al profesor de matemática le toca en suerte la tarea de enseñar a sus alumnos la lengua ma­terna.res.

Corresponde expresarse correctamente en cualquier circunstancia, pero el lenguaje es tan sólo uno de los dos elementos de una comuni­cación correcta. Pero siempre es necesario te­ner que comunicar algo. Ciertas veces, al escu­char algunos discursos se dice: "el discurso, de un francés muy correcto, de rico estilo, de lenguaje perfecto". Esto no obsta para que en esa misma circunstancia se agregue reflexiva­mente: "Ese discurso no me dice nada, no sig­nifica nada, no tiene ningún sentido".

Para dar a conocer un hecho, para trasmitir una ¡dea se requiere:

1) Una existencia: un hecho se produce, una idea acude al espíritu.

2) Un medio de trasmisión eficaz.No examinemos desde muy cerca la cues­

tión de la existencia bruta de un hecho o de una ¡dea; tanto una como la otra pueden en verdad tener existencia independiente de toda representación - que ya es una expresión, in­cluso una fotografía—; sobrentendemos un postulado existencial fáctico e ideológico. Esto admitido, estamos exactamente en nuestro te­ma, pues toda enseñanza es un doble ejercicio de trasmisión.

Recordemos a qué se denomina acto de co­municación: todo acto mediante el cual cier­tos seres vivos intentan influir directamente sobre la conducta o la actividad de otros seres vivos por medio de la palabra, la escritura, los gestos e, incluso, los sonidos y, por ende, la

f Viene de la pág. 7)

en cierta medida, las materias distintas de la propia; de cualquier modo, deben insistir al mismo tiempo enfcjue, al paso que respetan y aprecian cuando conviene la intervención de la matemática en otras disciplinas, su propia ma­teria no puede integrarse con ellas si ha de mantener su organización interna, su contribu­ción a la formación intelectual y su utilidad externa.

REFERENCIAS

Informe presentado al Congreso de Integración de Enseñanza de las Ciencias, Varna, Bulgaria, 11 al 19 de septiembre de 1968. La versión castellana es de la profesora Cristina Verdaguer de Banfi.

1. Markuschewitsch, A. L. Probleme des Mathemati- kunterrichts. Diskussionsbeitráge, Volk und Wissen, Volkseigener Verlag, Berlín, 1965. Páqs. 11-12.

(Viene de la pág. 101

matemática antigua no es un preludio; dentro del mundo que la "antigüedad" se creó a sí misma, constituye un todo perfecto, y sólo nosotros no lo consideramos así. La matemáti­ca babilonia y la india, construidas mucho an­tes que la griega, habían ya elaborado, como elementos esenciales de su mundo numérico, esas mismas nociones que para el sentimiento de los antiguos resultaban absurdas; y algunos griegos las conocían. La matemática, repeti­mos, es una ilusión. Un pensamiento matemá­tico y, en general, científico, es exacto, con­vincente, "necesario lógicamente", cuando co­rresponde perfectamente al propio sentimiento

de la vida. De lo contrario, es imposible, falso, absurdo, o como solemos decir nosotros el orgullo de los espíritus históricos, "primiti­vo". La matemática moderna, obra maestra del espíritu occidental -"Verdadera" sólo pa­ra ese espíritu— le hubiera parecido a Platón una ridicula y fatigosa aberración que se pró­xima, a veces, a la matemática verdadera la "antigua".. ICuántas grandes concepciones de otras culturas no habremos dejado perderse por no poder acomodarlas en nuestro pensa­miento con sus propias limitaciones o, lo que es lo mismo, por sentirlas falsas, superfluas o absurdas.

con

co.Una frase pertenece al lenguaje científico si

cumple las dos condiciones siguientes:1) tiene sentido único, universal.2) admite frases equivalentes — una infini­

dad.La palabra equivalencia tiene aquí sentido

preciso, con las cualidades habituales. El mejor ejemplo fue dado por Hilbert. Después del enunciado del axioma: "dos puntos diferentes(La decadencia de Occidente, 1918)

1617

el niño mucho menos penoso que el esfuerzo de comprender. Por otra parte, el niño no sa­be muy bien qué significa comprender. No te­nemos el derecho de sentirnos satisfechos más que cuando el niño llega a expresar mediante diferentes frases, aunque sean torpes, pero equivalentes, lo que nosotros le hemos dicho de cierta manera en una primera oportunidad. El niño puede decir de toda buena fe que ha comprendido; sabemos que eso acaso no tenga nada del sentido que nosotros le asignamos a "comprender" y si ocurre que al terminar la clase el niño ha obtenido una mala calificación y dice que creía haber comprendido, es evi­dente que el niño habi'a alcanzado cierto gra­do de comprensión que nosotros juzgamos in­suficiente.

Se necesitará mucha introspección -e indis­creción- para llegar a precisar cuáles son to­das las variedades de comprensiones que uno alberga en sí mismo y que luego encuentra en los demás. Pensad que Fouché nos dijo alguna vez que necesitó veinte años para comprender qué es una diferencial. No pensaremos ser más inteligentes que él si afirmamos haberlo com­prendido en un cuarto de hora.

Es necesario agregar un matiz a lo dicho sobre frases equivalentes. Todas las frases de una misma clase de equivalencia, con un mis­mo sentido determinado, universal, no son, sin embargo, igualmente buenas, pues jamás se puede conocer con exactitud el grado de efica­cia de una trasmisión. Esta duda se origina primeramente en cierto coeficiente de indeter­minación, inexorablemente ligado al sentido de cada palabra y proveniente sobre todo de la gran variedad de posibles interpretaciones de cada frase. Recordemos experiencias de W. Serváis. Decid simplemente: "Sean dos círcu­los secantes". Después de dibujarlos pregun­tad: ¿Qué véis? Las interpretaciones de dicha frase -tan simple, por otra parte- las repre­sentaciones, los encadenamientos mentales que determina, son extremadamente diversos. Se vuelve necesario, pues, entre las frases equiva­lentes a una frase dada, investigar las que favo­recen mejor los encadenamientos ulteriores que se desea provocar, las que os ponen en resonancia con el auditorio.

vehículos del pensamiento; ahora bien, necesi­tamos que sea el más seguro, y decimos que debiera prohibirse que no se conozca y piense perfectamente el sentido de cada palabra.

He aquí una lista de palabras pedidas al lenguaje general cuyo sentido difiere en mate­mática de la acepción común: crecimiento función creciente velocidad aceleración plano horizoltal interior de una curva

siempre determinan una recta", indica el si­guiente haz de equivalencias: en lugar de "de­terminan" podemos decir que "la recta pasa por los dos puntos" o que "reúne esos dos puntos" o que "los dos puntos están situados sobre la recta". Se pueden dar muchos otros ejemplos. Esta noción de equivalencia se pue­de llevar bastante lejos. Por ejemplo cuando se reconoce que dos propiedades son equivalen­tes, ¿también lo son las frases que las expre­san? Si procediéramos así, ¿qué ocurriría?

El lenguaje lírico es el conjunto de todas las demás frases. Por ejemplo, no hay frases equivalentes a: "Estaba sumido en el horror de una noche profunda". Todas las formas ca­si equivalentes que se intenta formar de una frase lírica la tergiversan en diversas formas, plagian su contenido y modifican su sentido. En este orden de ideas podemos ir mucho más lejos y hablar de la "subdeterminación" de los medios de expresión propios de las artes.

Creo que sería oportuno agregar una clase intermedia que se podría llamar lenguaje filo- sófico. Muchas veces es difícil expresar-entera­mente el pensamiento en forma verbal; se per­sigue al pensamiento sin alcanzarlo, se forman frases cuyo sentido se juzga o demasiado estre­cho o demasiado ancho. Sólo se obtiene el pensamiento mediante una media de sensacio­nes no equivalentes, se lo alcanza por una suerte de cortadura entre un conjunto de sen­saciones más o menos cercanas a las que uno quisiera expresar; es una especie de "sensación irracional", por así decirlo, opuesta a la sensa­ción bien definida del pensamiento científico. Tratad, por ejemplo, de dar la definición de "libertad".

Excusadme esta digresión. No hemos salido de nuestro tema; somos felices por haber reco­nocido y definido la existencia de clases equi­valentes. Su empleo muy sistemático en nues­tra enseñanza nos permite afirmar insistente­mente que se ha aprendido lo que enseñamos. También es posible que, a veces, nos valgamos prudentemente de un conjunto de frases pre­sumiblemente equivalentes —lenguaje filosófi­co, por tanto— en una explicación particular­mente difícil.

detendremo en su ortografía -aunque nues­tros alumnos cometen multitud de faltas. Nos ocuparemos de las frases sin preocuparnos por la sintaxis- donde también habría mucho que decir.

La elección de una palabra o una locución para designar una cosa nueva en matemática se hace, sea mediante un neologismo, sea median­te un pedido al lenguaje total.

La elección de un neologismo no elimina la dificultad; se hilvana la palabra según una eti­mología que recuerda un carácter esencial del objeto; ejemplo: curva unicursal, segmentos equipolentes. Esto especialización de la pala­bra confiere gran fidelidad y, por eso, se ha llegado a abusar de ella en la matemática mo­derna con lo que ha resultado un lenguaje que erróneamente pasa por pedante. Agreguemos que para el principiante la palabra bien elegida posee un efecto de choque que facilita la re­tención.

El pedido al lenguaje total presenta a me­nudo un peligro: el objeto matemático adquie­re una imagen, una proyección, entre los obje­tos del mundo exterior. ¿Qué cualidades debe poseer dicha imagen para que se la pueda con­siderar buena? Muy a menudo se siente que lo es, que ayuda eficazmente para "asir" una noción. Por ejemplo, la expresión "función continua" es buena pues "continua" tiene un significado usual tan vago que la necesidad de precisión sólo puede satisfacerse uniendo es­trictamente la idea al objeto metamático que designa esa locución. Por lo contrario, la pala­bra "relatividad" es muy mala pues se siente la tentación de darle un contenido no despro­visto de sentido y provisto, en cambio, de un sentido ajeno al verdadero.

Por todo lo dicho, es difícil la elección y el empleo de palabras. Así lo han comprendido muchos autores, existiendo quienes, como Chatelet, en un manual elemental para las cla­ses finales, publicado hace unos treinta años, concluye su obra con un léxico, esto es, un diccionario. Pero, ¿qué puede esperarse de un diccionario? Es una colección de "círculos vi­ciosos", dijo Cagnac. Alguién dijo que "el sen­tido de una palabra nunca es integralmente comprendido" y otro autor agregó: "cada pa­labra del diccionario no es más que un acto de comunicación, pero es una forma exterior común a muchos de esos actos".

Vednos, pues, en guardia: la palabra es tan­to el más seguro como el más peligroso de los

semejanteigualnecesarioproyeccióncualquieraenvolventetérminofactor

homólogo lugar geométrico equivalente

Algunas veces, la palabra conserva íntegra­mente su sentido del lenguaje general. Pero eso es bastante raro. Ejemplos: condición sufi­ciente, transformación, correspondencia, uni­cidad, unívoco.

He aquí ejemplos de palabras de múlti­ples sentidos. Esto, que es molesto y chocan­te, suele ocurrir en la escuela elemental, aún cuando el inconveniente desaparece cuando los sentidos son diferentes:

Diámetro: recta o segmento o longitud.Círculo y circunferencia.Eje: de rotación, de giro, de las abscisas.Pendiente: sen a, eos a.Cono: superficie o sólido.Existen términos habitualmente mal em­

pleados.Entre los principiantes, generalmente se

confunden "recta" y "segmento de recta" "Bajar" la perpendicular es del todo ridículo. El enunciado: "La perpendicular es más corta que toda oblicua" carece de sentido. Es co­mún confundir "superficie" y "área". Quisiera que la expresión "aumentar indefinidamente" fuera definitivamente deterrada. El término "arbitrario" debe definirse cada vez que se lo emplee.

En lo que se refiere a la elección del artícu­lo, definido o indefinido, es notable compro­bar la intervención sistemática de nuestros alumnos. Citemos un ejemplo donde la impor­tancia del artículo es evidente: Hallar a y b de manera que a y b sean las raíces de la ecua­ción x2 +ax+b = 0, y: ". . .que a y b sean raíces de la ecuación" son dos problemas dife­rentes que no tienen la misma solución.

Finalmente, no olvidemos términos como: ahora, pues, por consiguiente, dicho de otra

1

Recíprocamente -de acuerdo con el princi­pio del doble juego— el uso de expresiones equivalentes servirá para controlar las adquisi­ciones de nuestros alumnos. iSeríamos

LAS PALABRASmuy

ingenuos si nos quedáramos satisfechos cuando el alumno repite correctamente lo que le he­mos dicho! Él esfuerzo de la memoria

Entraremos ahora en algunos detalles técni­cos: nos ocuparemos de las palabras. Constitu­yen la materia prima, lo importante. No noses para

18 19

I

lenguaje o en las ¡deas. Ello ocurre entre los físicos, pero para ellos carece de importancia, pues si b ~ f(a). no les interesa que si b ~~ a se produzca y^b. Así ha nacido la expresión: “tal propiedad es verdadera en el límite”, que es una expresión falsa o, por lo menos, deja vía libre a muchas inexactitudes, como por ejemplo "la velocidad media es la longitud del vector velocidad media”.

Formularemos ahora graves observaciones sobre el empleo del verbo ser. Este auxiliar es empleado para muchas construcciones; siempre se le exige un trabajo demasiado pesado. Por ejemplo queremos definir qué es A. La res­puesta surge espontáneamente: ”A es. ..“ y se comprenderá que no se puede salir de allí. Es­ta forma impone definir a A mediante un atri­buto; eso está bien si A es un ente simple, pero, a menudo, para sentirnos contentos con la definición, necesitamos una montaña de atributos. Preguntad ahora: “¿Qué es un de­terminante? ", “¿Qué es una fracción? ”. Es­táis seguros de obtener una respuesta incom­pleta o incorrecta, pero, si vuestro interlocutor es astuto expresará eludiendo la cuestión: “Fracción es un conjunto de dos enteros..

Debemos enseñar el giro de lenguaje que conviene adoptar en tales circunstancias. Esta dificultad no es muy importante. Hay otras más graves. Consideremos a las dos frases si­guientes:

1) Rectángulo es un paralelogramo que tie­ne un ángulo recto.

2) Vector es un segmento de recta orienta-

manera, entonces, es decir, en efecto, -ni la puntuación que tiene un sentido, y la ausencia de signo, que también tiene un sentido.

Señalemos, para concluir, que hay términos que no pertenecen al lenguaje matemático: "forzosamente", “obligatoriamente”, a los cuales recurren nuestros alumnos para tratar de convencernos. Alguna vez he dicho con fir­meza que los términos “pequeño”, “grande” no pertenecen al lenguaje matemático, aunque sí le pertenecen las locuciones “infinitamente grande” e “infinitamente pequeño”. Pequeño y grande, lo mismo que casi, pertenecen a la física.

gramática. La redacción es, en sí misma, inde­pendiente del problema propiamente dicho, y

problema es un compromiso, quede bien

cuando afirmamos: “el triángulo es isósceles". Pero, a menudo, su función dista de ser tan modesta. “El Estado soy yo”, dijo Luis XIV. Pero, igualmente pudo decir: “Yo soy el Esta­do”. El atributo es tan exclusivo que la recí­proca está asegurada. Así ocurre a menudo en matemática, y los alumnos no sienten del todo la fuerza absoluta del verbo ser en ese caso. A menudo se vuelve a encontrar teoremas que tienen la forma: “El conjunto de las A es el conjunto de las B“. ¡Qué ímproba tarea es ha­cer que los alumnos enuncien el recíproco! ¿No nos choca que ellos no sientan la necesi­dad lógica? La causa reside en la debilidad de expresión del verbo ser que aborta completa­mente el acto de comunicación. Sólo nos ma­nejamos por varios equivalentes: “es idéntico a...“, “hay correspondencia biunívoca por identidad entre los objetos de A y los de B“. ..

esei aclarado.

Dos cualidades son igualmente apreciables para el valor significativo de un texto: la inte­ligibilidad, la facilidad para comprenderlo; el lector es conducido por pequeños pasos, sin esfuerzo, se le evitan los saltos en el razona­miento; debe poder recorrerlo todo sin inter­mediarios, pero entonces la redacción es larga.

La segunda cualidad es la concisión que sa­tisface a los espíritus vigorosos, ávidos.

Por todo lo dicho resulta que toda redac­ción es imperfecta puesto que lo que se gana en una cualidad se pierde en la otra.

Anotamos ¿-de paso que esas dos cualidades se encuentran en los trabajos originados de los sabios clásicos. Se cita a Riemann como expo­nente de la extrema concisión y a Hermite como cincelador. Poincaré, arrastrado y sumer­gido por su genio, rechaza a veces una prirrera redacción hecha de un trazo y se convierte en un trabajador de estilo. Einstein, lo mismo que Napoleón, deja a otros la tarea de dar forma a lo que produce.

Creo que la tendencia moderna busca la concisión, la que a lo mejor se obtiene me­diante el uso de símbolos, pero cuídese el principiante; este uso conduce rápidamente a la mecanización y el alumno siente a menudo la tentación de colocar como símbolo lo que no es más que una abreviatura; las redacciones se convierten en esquemas, en esqueletos y la concisión que se pretendía se convierte rápida­mente en escamoteo. ¡Si se vieran ciertas solucio-

de nuestros alumnos! No se si en otras épocas los alumnos hablaban y redactaban me­jor; hoy todo lo que se hace se debe hacer con rapidez. Nuestros actuales métodos de en­señanza son responsables de ese tipo de indufi- ciencia de nuestros alumnos. En otras épocas, el profesor dictaba y los alumnos copiaban; el profesor estaba así obligado enteramente y por completo, su redacción debía ser perfecta y definitiva, era el modelo permanente y algo suyo debía ineludiblemente penetrar en el alumno, a la fuerza y a pesar suyo.

Hoy se le reprocha ese proceder; ahora la clase debe ser viva, iel alumno es quien lo hace todo! Pero, ¿cómo lo hace? , ¿después de cuántos balbuceos, de cuántos pasos en fal­so, sin elegancia y sin cadencia? En una lec­ción que se desarrolla así, exclusivamente por

:

FRASES

Hablemos ahora de las frases de las expre­siones propiamente dichas. Hay muchas fallas, que se asignan a la matemática pero que, en relidad, son fallas de expresión. Hablando con mayor precisión, ni siquiera son fallas. La fra­se, considerada como acto de comunicación, en esos casos no cumple su función y su “sig­nificado" no es el deseado por el autor. Pen­sad en un alumno que recita su lección; espero volver a hallar lo que yo he pensado, pero debo comprender que existen dos trasmisiones deformadoras, la mía y la suya. En verdad, poco se puede esperar. ¡Pensad además en to­das las deformaciones posibles cuando hay malentendidos!

Ejemplo: Pregunto a un alumno qué es una identidad. Me responde que “son dos expresio­nes que toman el mismo valor cualquiera sea x”. Corrijo. “Es lo que quise decir”, responde el alumno y me informa un poco mejor sobre lo que quiso decir y compruebo que ha pensa­do “una identidad es lo que se produce cuan­do se tiene.. .“. Para nosotros, la palabra “identidad” designa un ente matemático, una categoría de igualdades (de la misma manera que “ecuación” designa otra categoría de igualdades); para el alumno “identidad” desig­naba la circunstancia, el fenómeno. No había falla, había un cambio en la función asignada al término.

Estas confusiones son muy frecuentes. Para juzgar el valor matemático de una frase de un alumno sería nécesario hacer primero el análi­sis lógico y gramatical. Creo que ni siquiera se podrían evitar esas dificultades mediante una regulación automática del lenguaje.

La noción de límite es también fértil en confusiones que no se sabe bien si están en el

ESTILO

Distinguiremos, en general, tres clases de es­tilo: explicativo, expositivo, de reducción. Aclaremos que esta clasificación de ninguna manera se refiere a la corrección del lenguaje y que estilo explicativo no significa estilo fami­liar. Quede bien entendido que debemos deste-

de nuestros alumnos y de nosotros mis- el lenguaje infantil, tonto o exagerada-

rrarmosmente elíptico. Existen quienes se complacen en enumerar cuáles son las operaciones alge­braicas, en deducirlas, inducirlas, la aparición, la desaparición,. .. Debemos evitar giros fasti­diosos como “las x se borran”, los “se tiene” incesantemente repetidos. En el estilo explica­tivo se puede tolerar cierta libertad, ciertas in­terrupciones, el retomar, aunque prudentemen­te, el lenguaje lírico, si se lo desea, con el fin de producir una imagen. Se comprende bien entonces que no se escriba lo que se dice, pe­ro esta libertad provisoria que nos concedemos es indispensable para el rendimiento de una buena explicación.

El estilo expositivo es más desnudo y se lo emplea casi exclusivamente en clases numero­sas; tiende al estilo de redacción y cuando se emplea este último es necesario subrayarlo me­diante un cambio en el tono y en la manera de decir para que los alumnos sepan que pue­den y deben tomar notas completas.

Sería necesario llegar a inculcar lo siguien- solución se redacta, y eso es difícil.

do.Digo que una de esas dos frases es falsa.En efecto, ambas son de la misma forma

que, por otra parte, es frecuente:A es un B que tiene particularidad C.Entonces, se presentan dos casos:1) B particularizado por C es todavía A

(los B obtenidos forman un subconjunto del conjuto de las A). Es lo que ocurre en 1).

2) B particularizado no es más A. Es lo que ocurre en 2); el vector no es más un seg­mento; es un nuevo ente totalmente diferente. La segunda frase es falsa.

Ejemplos semejantes abundan en matemáti­ca; la forma pedida al lenguaje común es insu­ficiente a causa del verbo ser. Es necesario completar (“es, con pertenencia”, “es, con ex­clusión”, o de otras maneras.).

Dícese, por ejemplo: “Un rectángulo no es un paralelogramo”.

El verbo ser llama al atributo, se dice. Sí,

nes

te: unaPara ello debe trabajarse como en un deber de (continúa en pág. 32)20 i

21

;

‘

i:■

un molinillo de café: se introduce un elemen­to a por una entrada, se mueve la manivela y sale el elemente b por el segundo orificio.

debemos ayudar ese esfuerzo todavía incons­ciente para que pueda desplegarse el día en que juzguemos oportuna la sistematización científicamente valiosa.

La enseñanza de una noción esencial en el nivel de la escuela primaria y secundaria (para no decir nada de la enseñanza superior) debie­ra consistir en la construcción, en la axiomati- zación de nociones ya familiares, aunque dis­persas, todavía vagas y en parte inconscientes. Entonces, es necesario cierto dogmatismo; será necesario imponer una marcha rigurosa, impo­ner exigencias, incluso si el alumno no percibe de inmediato su necesidad. Por lo menos, los alumnos reconocerán que se les propone un esclarecimiento de lo que ya poseían: se des­monta y se vuelve a montar los rodajes de una máquina-herramienta más compleja y deli­cada que lo que creían, pero ya conocida y empleada, de manera que se les pide que al­cancen un nivel más elevado de comprensión sin sacrificar sus anteriores intuiciones.

No propondremos, en ese momento, un ca­pítulo intitulado "funciones" que irrumpiría un día sin que se supiera por qué. Por lo con­trario, nuestro propósito es comprender el camino de dicha noción a través de la expe­riencia matemática de los alumnos que les da ocasiones para percibir los aspectos modernos de la misma.

Esto nos es posible ahora que la considera­ción de los conjuntos y de las relaciones da al pensamiento y a su expresión la indispensable unidad y continuidad.

Los matemáticos, y todavía más los cursos de matemática, han considerado hasta este si­glo, solamente las funciones numéricas y su representación analítica. Tomamos el término en sentido mucho más amplio, pero tampoco hablaremos aquí de funciones numéricas al co­mienzo, por más que, en efecto, se pueda y se deba introducirlas desde el comienzo de la es­colaridad.

Describiremos tres caminos para el estudio de las funciones, entendiendo naturalmente que son seguidos simultáneamente por los alumnos hasta converger (hacia los 14 años, por ejemplo) para permitir un estudio cohe­rente y definitivo en un nivel preestablecido.

¿Cuándo hablamos de una función?

ORIENTACION

La noción de

enseñanzafunción en la

elementalLUCIENNE FELIX

(Francia)Cuando se dice que un capítulo es difícil

de enseñar raramente es porque la noción sea realmente compleja y fuera de alcance. Casi siempre la responsable principal es nuestra en­señanza. Los hábitos adquiridos y la obedien­cia a las reglas aprendidas, que se deben apli­car estrictamente, paralizan la actividad de los espíritus jóvenes ya suficientemente formados como para reaccionar delante de una situación nueva.

Ocurre así que niños de 4 ó 5 años respon­den jugando a ios problemas de PulgarcitoO) mientras que el hermano o la hermana mayor, que concurren a clase, permanecen inertes por­que la maestra "todavía no hizo eso".

Entre los capítulos considerados a menudo como difíciles se citan los que conciernen a las funciones. Hace algunos años, un profesor de un instituto técnico de Moscú me pregun­tó: "¿Cómo hace Ud? Mis estudiantes no han asimilado la noción de función. Conocen per­fectamente las funciones del programa, la fun­ción bicuadrada o la función homogénea, pero con eso se adelanta muy poco."

Respondí contándole una aventura recien-

luminosidad

En efecto, es neceario un conjunto de par­tida A, del que se toman los elementos a, un conjunto de llegada del cual b es un elemento y es necesario que la máquina actúe con deter- minismo, es decir que b esté completamente determinado una vez que se ha elegido a.

La función, en nuestro ejemplo, es el moli­nillo (o, si se prefiere, la acción del molinillo) y no el conjunto de granos de café ni el con­junto de pizcas de polvo que salen del apara­to. Observemos que la máquina puede rehusar los granos demasiado gruesos o demasiado du-

*tiempo

oscurecimiento

i

*ros.tiempofig. 1

Finalmente, distinguimos el conjunto A de partida y su subconjunto X en que está defi­nida la función. El conjunto de llegada B al que pertenecen los elementos transformados (imágenes de los elementos de partida) y la función f representada por una flecha.

Distintas flechas pueden tener el mismo ele­mento como llegada, pero una sola flecha par­te de un elemento a.

Pude asegurarme del estado de los conoci­mientos de los niños y de sus posibilidades: tenían buena noción intuitiva de las condicio­nes de representación de un fenómeno que evoluciona, de la continuidad, de la relación entre las velocidades de variación del fenó­meno (que se convertirá en la derivada) y de la pendiente de la curva (que será la de la tangente) así como de la variación de la curva­tura.

te:Una mañana, un nubarrón invadió el cielo

de París en forma tal que los niños fueron presa de espanto. En mi clase de alumnos de alrededor de 11 años, debí interrumpir el tra­bajo comenzado y, para calmarlos, propuse que indicaran en el pizarrón el paso del fenó­meno que acababa de producirse.

Nos entendimos rápidamente para trazar horizontalmente un eje de los tiempos y se discutió acerca de la manera de hacer un "grá­fico (yo di el nombre) análogo al que indica, por ejemplo, la temperatura de un enfermo.

Algunos alumnos eligieron representar el curecimiento y otros la luminosidad. Sin que tuviera que intervenir más que para animar a cada uno a expresarse, se compararon los grá­ficos describiéndolos.

\

La discusión, en efecto, nos ha conducido a los instrumentos de física que se habría podi­do utilizar para hacer medidas y no a la fun­ción y su representación, que los alumnos con­sideraban evidente.

¿Habrá que decir que esas nociones estaban suficientemente adquiridas, suficientemente só­lidas como para servir de base para una cons­trucción deductiva? ¡Seguramente, nol Pero esta experiencia muestra de qué son capaces los alumnos no deformados por una enseñanza dogmática. En lugar de ignorar toda la riqueza adquirida por el niño en contacto con la vida,

BAfig. 3

I.Primer camino de estudio.os-

Prímer ejemplo. He aquí un primer contac­to con el estudio de las funciones con niños de 6 a 7 años.

El material se compone de cuatro clases de

. La idea de función, y el diccionario da fe, está ligada a la ¡dea de acción. A menudo se emplea la imagen de una máquina semejante a

I

22 23

\

Los ángulos rectos. Conjunto de partida:producto de funciones es verdaderamente una operación entre funciones, pues la función- producto no depende del elemento de partida.

algebraico del conjunto de las funciones consi­derado provisto de la operación producto por composición: este producto tiene estructura de grupo conmutativo de 4 elementos (grupo de Klein).

¿Qué es lo que percibe el niño de esta es­tructura? ¿Para qué sirve el juego? Lo sabre­mos cuando consideremos otros juegos que presentan estructuras, sea idénticas, sea análo­gas. Los alumnos han creado así, con Madame Picard,(3) un juego de letras donde han reco­nocido de inmediato "lo que era semejante".

Como modelos de la misma estructura, he aquí ejemplos que se podrán emplear más adelante en esta exposición:

Las muñecas. El conjunto de partida está constituido por 4 posiciones de una muñeca. Las funciones serán designadas, por ejemplo, "girar", "oscilar", "invertirse" y© función neutra.

objetos: para facilitar el dibujo, tomemos cua­drados blancos, cuadrados negros, triángulos blancos y triángulos negros.

fig. 11

rAl comenzar hagamos actuar dos tipos de máquinas; unas que cambian el color y otras que cambian la forma; el papel de estas má­quinas naturalmente será desempeñado por los alumnos. Nos ponemos de acuerdo sobre la representación:© para las que cambian el co­lor,(f) para las que cambian la forma. Una usi­na permite que un objeto sufra la acción de varias máquinas sucesivas. Para poder estable­cer una usina para una máquina única, es ne­cesario concebir otros dos tipos de máquinas: las que cambian a la vez el color y la forma, designadas con© y también una extraña má­quina que no hace nada, la máquina neutra©.

Dejemos a un lado los detalles de la expe­riencia (2) y de las reacciones infantiles y ex­presemos para nosotros, los maestros, las con­clusiones que emergen.

1) Cada máquina respeta la partición en clases de equivalencia, de manera que el con­junto de partida es, en realidad, el conjunto de las 4 clases.

2) El conjunto de llegada es el mismo que el conjunto de partida (las funciones son per­mutaciones). Lo vemos en pizarrones tales co­mo el siguiente, que concierne a la función f.

Las mismas funciones que para las muñecas. Segundo ejemplo. Conjunto de partida: las 6

posiciones de 3 objetos.í@X0=@Esto es verdad para todo elemento de partida (ya el cuantificador universal).

4) Cada función es su propia inversa. @X©=@ ©X0 = © ©X©=©Entonces, cosa extraña: „V©, V© © © ©(h)X© = © x=©X©

5) El producto por composición es asocia­tivo por naturaleza, como lo indica claramente el esquema.

fig. 12

El conjunto de las funciones es el de las 6 permutaciones.

6) Además es conmutativo. (Todo esto, salvo (5) se descubre mediante el examen de las usinas en acción).

7) De una vez para siempre, es fácil cons- tuir una tabla:

©!fig. 13-A IO

Un estudio análogo al del primer ejemplo hace aparecer la no conmutatividad del pro­ducto por composición.

Construir la tabla de este grupo anotado multiplicativamente es rápido y divertido para los niños de 10 a 13 años y aún para los alumnos de edad mucho mayor, y conduce a cálculos algebraicos muy instructivos de la no conmutatividad, en particular a la resolución de ecuaciones gracias a la existencia de las funciones

f cfn c

f cfA > n n c

cf fc nO cA >*i cff f n c

i'fcfcf c n a causa

fig. 58) Sin estar más obligado a hacer experien­

cias, sabemos simplificar todo producto indi­cado y resolver las ecuaciones con una incóg­nita. Brevemente, hemos concluido el estudio

3) Hemos introducido el producto por composición, pero esto nos ha impuesto una extensión del conjunto de las funciones. Ese

inversas: © © © © propias inversas:©y0son inversas entre

sonsussí.figs. 8, 9 y 10

24 25i

1

Tercer ejemplo. Nuestros últimos ejemplos tienen evidente aspecto geométrico. ¿Nos con­ducen a las funciones clásicas de la geometrfa: simetría, rotaciones?

¡Atención! Volvamos al juego de las mu­ñecas. Es perfepto para estudiar los ángulos en el sentido verdaderamente profundo del par (orientado) de dos semirectas (ángulo del eje del cuerpo, ángulo del brazo), pero ¿qué ocu­rre con las funciones rotaciones? Sabemos que lo esencial es poder (para las funciones que son permutaciones) definir el producto por composición. Ahora bien, hagamos que la muñeca experimente dos de esas "rotaciones" y planteemos el problema de la conmutati- vidad.(Las muñecas son sostenidas con la mano)

Esto no impide naturalmente trasnformar subconjuntos (figuras). Nuestro segundo ejem­plo presenta también un conjunto de 3 pun­tos, fijándolos en los vértices de un triángulo equilátero, se consideran 3 simetrías axiales y dos rotaciones de un tercio de vuelta.

El primer ejemplo nos lleva a considerar los vértices de un rombo: dos simetrías axiales de ejes perpendiculares y una simetría central.

✓

//

/ m x/ge./

étf\0 XX' O fig. 21i <

tm e x x Ejemplo análogo (midiendo el ángulo) Om = x, < amb = y

|

Vw-, fYYl,f

fig. 18

Como las distancias se transportan median­te el compás de puntas secas, los niños cons­truirán el gráfico por puntos de la función f obien de la función g.

V %/O ba zy 0y NN.

V \y

C-\ N

sN. A Vfig. 14 \ fig. 22\ i\ y(rotación a) X (rotación b)Claro es que las funciones no son suficien­

temente precisas como para que se haga inter­venir el orden: ¿Cuál es la rotación b si no tengo más que la muñeca Pj ?

He aquí la oportunidad para plantear con toda precisión una situación matemática: El conjunto de partida es el plano, conjunto P de puntos referido de manera de poder deter­minar cualquier punto particular (a, por ejem­plo) y poder considerar el elemento genérico m, punto explorador, inspector general, que puede coincidir con cualquier elemento del conjunto de partida.

La función (rotación, por ejemplo) actúa sobre un conjunto infinito m.

V

(Los resultados de este estudio fueron usados espontáneamente por los alumnos al­gunos meses más tarde al estudiar los ángulos inscriptos.

En los dos ejemplos se pone en evidencia la conservación o la inversión de la relación de orden (lo que se demostrará si se ha alcanzado el nivel de la geometría deductiva). Numerosos ejercicios propuestos en trabajos optativos pro­porcionaron rico y variado material de estudio.

Vi//

V,*X1 w-fig. 16 y 17

II. Segundo camino de estudio

Se trata de prolongar con ejemplos más precisos lo dicho más arriba con respecto al fenómeno de oscurecimiento, es decir, precisar las funciones que se presentan sin usar siste­máticamente números y, en todo caso, sin co­nocer fórmulas que permitan calcular los va­lores imágenes. Así, el maestro debe hacer notar el crecimiento de la habichuela u obser­var la inclinación de la aguja de una balanza. En suma, se trata de subrayar que el objetivo del estudio no es una figura especial, sino un conjunto de figuras, un tipo de situación.

Primer ejemplo. En el curso de geometría se acaban de definir perpendiculares y obli­cuas. Sea Ob = d, Om = x, bm = y. Estudia­mos las funciones indicadas en el esquema.

Segundo ejemplo. (Nivel más elevado, des­pués del estudio de las primeras propiedades de la geometría afín). Se trata del estudio clá­sico de la función

■*

O mX' _~mETm£ recta ab, V m, m->y __i Tld> V

y Usaremos el método más natural si se cono­ce la construcción de m conociendo y, es decir, la construcción de la función inversa (ver L. Félix, Geometrie, 4e et 3e, Dunod edi­tor).

figs. 19 y 20

tí El sentido de la continuidad requiere que se unan los puntos del gráfico mediante una línea, lo que conduce a una discusión. El maestro no impondrá nada, pero sugerirá cam­biar de escala y estudiar detalladamente el caso en que m está cerca de O.

o iConsideramos, evidentemente, los puntos s

como fijos y la paralela Q como eje, de mane­ra quefig 15 !

26 27

N'

i

mb _ . bq El tiempoy = - ©as constanteásma k3 © ©

© O&Para hacer el gráfico se tomará as = +1 para no tener que transportar bq con el com­pás de puntas secas.

EUSEBIO J. CASAL (Uruguay)Q © O O

O Oo Una medida habitual del tiempo es la dada por la rotación diaria de la Tierra con respecto al Sol, puesto que la claridad y el calor que éste nos proporciona, precedidas y seguidas por la oscuridad de las noches, rigen aún mu­chos actos de la vida cotidiana.

Los pasajes consecutivos del Sol por el me­ridiano superior de un lugar son los mediodías verdaderos, a partir de los cuales, de 0 a 24 horas verdaderas, se cuentan los denominados días verdaderos.

Referir las rotaciones de la Tierra al Sol tiene sus inconvenientes, pues aunque fuera uniforme el movimiento aparente anual del Sol en la eclíptica, y por tanto todos ¡guales los arcos de casi un grado descriptos diaria­mente, serían desiguales las proyecciones de estos arcos sobre el ecuador y, en consecuen­cia, desigual el movimiento angular diario del Sol. Además, como el movimiento aparente anual del Sol en la eclíptica tampoco es uni­forme debido a la excentricidad de la órbita terrestre, resultan obvias las causas de la varia­bilidad de los intervalos de tiempo de los días solares verdaderos. El tiempo solar se determi­na por el ángulo horario del Sol, contado de 0 a 12 horas en el momento en que a mediano­che verdadera el Sol pasa por el meridiano in­ferior de un lugar y de 12 horas hasta 24 horas en el mediodía siguiente; tiempo solar en horas solares verdaderas que, por lo antedi­cho, tampoco resulta contado en horas de igual duración en cada día, siendo asimismo distintos los intervalos de tiempo de un ángulo horario de igual hora para días diferentes.

La desigualdad de los días y horas del Sol verdadero, impide el empleo de relojes cons­truidos con mecanismos ideados para conser-

intervalos horarios constantes durante el transcurso de los días; por lo mismo, el tiem­po solar verdadero es indicado por los relojes solares, también denominados cuadrantes sola­res, consistentes de una superficie plana sobre la cual se coloca un estilo o gnomon; el estilo tiene la dirección del eje del mundo y cuando el Sol es visible sobre el horizonte del lugar, la sombra del gnomon indica la hora del tiempo

solar verdadero en marcas convenientemente efectuadas en el cuadrante solar.

Para obtener días solares medios, promedial y teóricamente uniformes en el transcurso de los años e indispensables para la conservación del tiempo en relojes construidos procurando mantener una marcha constante, se ha institui­do el tiempo medio, que se emplea desde prin­cipios del siglo pasado. .Para ello se supone un Sol medio que se mueve anual y uniforme­mente sobre el ecuador con velocidad unifor­me, regulada por la de un Sol ficticio que recorre la eclíptica en proximidades del verda­dero y coincide con él cuatro veces por año. Así se obtienen días medios uniformes de 24 horas ¡guales, contados entre dos pasaje con­secutivos del Sol medio por el meridiano supe­rior de un lugar. En cada lugar y en cualquier instante, la hora del Sol medio regulará la marcha de un reloj común de tiempo medio, cuyas horas constan de 60 minutos, cada mi­nuto de 60 segundos, estando por tanto, defi- nido el segundo como la fracción 1/24.60.60= 1/86400 de día solar medio.

En cualquier momento, la diferencia entre la hora del Sol medio y la del verdadero está dada por el valor de la denominada ecuación del tiempo. Los mayores valores absolutos de la ecuación del tiempo, vale decir, las mayores discrepancias entre el Sol medio y el Sol ver­dadero son poco mayores de un cuarto de hora y se registran a mediados de febrero y a principios de noviembre; la ecuación del tiem­po es nula cuando coinciden las horas de tiem­po medio y verdadero en cuatro instantes del año: a mediados de abril y junio y a fines de agosto y diciembre. El valor exacto y el signo del cálculo teórico de la ecuación del tiempo para todas las fechas de cada año se propor­ciona en las efemérides del Sol y se publican con gran antelación en diversos almanaques astronómicos para uso náutico, civil, aeronáu­tico, geodésico, etc.

En esta forma, cuando la hora del Sol ver­dadero es nula por pasar el centro del disco solar por el meridiano superior de un lugar, se ha determinado el instante del mediodía ver-

o o|o o oFigurado geometríaL

* fig. 247?'m ^ t XX * 'i. r S GRAFICOU-___ Los niños que jugaron con las máquinas es­

cribieron con toda naturalidad.í-~~y—-r'

¡-m.

X

0 sr+< \4

m. A b PIZARRONy us*+ >411

d *• •3a.— •4fig. 233^ * 5 !Se estudia fig. 25

:'La función "multiplicar" está en la misma

base de la definición de la multiplicación, por ejemplo, "multiplicar por 3" cambia cada ele­mento en 3 elementos.

m E x'x -¡a } V m, m->y

y también, después de elegir un_origen O de las abscisas sobre x'x, si Óa = k, Ob = h ¡

V xeiR. Y k r. x-*y = £

x, h, k son medidos, y se calcula y compara con bq que se mide.

Más adelante volveremos sobre el muy rico estudio que este ejemplo propone. Anotemos sólo que el cálculo que permite el acceso a las funciones numéricas permite también precisión que se desee.

!

'

toda la

III. Tercer camino de estudio

Funciones numéricas ¡ var

Desde que el niño conoce los ros números naturales función:

cuatro prime- se puede introducir la

agregar 2. He visto, en Argentina, tra­bajar a los pequeños con granos de maíz sobre papel cuadriculado. Algunos nre vinieros a pre­guntar cómo decir y escribir los últimos resul­tados.

figs. 26 y 27

Algo más tarde, la función "multiplicar por 1/4", o por 5/4, introduce las fracciones.

Se consideran a renglón seguido todas las funciones que introducen los problemas (poco variados en la enseñanza primaria); luego, al

(continua en la pág. 32)

i

:

2928 i■

V-

ubicados al E. del meridiano de G. el tiempo legal debe diferir en un número entero de ho­ras del T.U., desde +1 hasta +11 horas para los más alejados hacia el E., y para los ubica­dos al O. de G. desde -1 hasta -11 horas, según la convención internacional de 1912 que estableció el T.U. y el antedicho sistema de horas legales, denominado también sistema de usos horarios.

Por su gran anchura, U.R.S.S., Canadá, EE. UU., Australia, China y otros países adoptan más de una hora legal en zonas distintas al E. o al O. de las regiones centrales de sus territo­rios, procurando, como los que emplean una sola hora legal, que sus mediodías ocurran a mitad de una jornada de labor y no difieran mucho del pasaje del Sol por los meridianos de los lugares ubicados en la anchura de cada territorio. De esa manera, salvo rara excepción en algunos países, todos los relojes de uso ofi­cial, particular, doméstico o individual, cuando indican la hora legal para cualquier lugar del planeta, señalan la misma cantidad de minutos y segundos, pudiendo sólo diferir en una can­tidad entera y determinada de horas de la ho­ra civil de Greenwich u hora de T.U. Esta últi­ma se trasmite también para esos fines civiles desde los observatorios astronómicos a todo el planeta sobrentendiéndose que la velocidad de la onda radioeléctrica, del orden de la de la luz, se podrá considerar como de propagación instantánea sobre toda la superficie terrestre cuyas dimensiones son insignificantes con res­pecto a los 300000 kilómetros recorridos por la luz en un segundo.

dadero, y el valor de la ecuación del tiempo en dicho instante es igual a la hora media; si se la hace coincidir con la de un reloj común, conservador de tiempo medio, indicará la hora media en cualquier momento y además, en esa forma se podrá regular su marcha diaria.

Los días medios se cuentan desde medio­día, o medianoche, hasta el mediodía del día siguiente. Para no cambiar de fecha a mitad de la jornada de un día medio, se agregan 12 horas al tiempo medio, obteniéndose entonces el tiempo civil; por tanto, el día civil es el lapso de 24 horas de tiempo medio contadas entre dos pasajes consecutivos del Sol medio por el meridiano inferior de un lugar. En con­secuencia, para cada meridiano terrestre co­rresponde un tiempo civil, denominándose tiempo universal T.U. el del meridiano interna­cional de Greenwich.

ciones cumplidas por la Tierra sobre sí misma durante un año con respecto al punto Aries. Existe un incremento anual de un día de 24 horas sidéreas con respecto a los días de 24 horas comunes de tiempo medio. Los días si­déreos son casi 4 minutos más breves que los días medios, civiles, legales o de T.U.; todos estos últimos son de igual duración.

pasajes sucesivos de la Tierra por su perihelio, es más largo que el sidéreo debido a un movi­miento en sentido directo de la línea de los ápsides. Se sabe que el eje mayor de la órbita terrestre, contenido en la línea de los ápsides que pasa por el Sol, está determinado por el perihelio -por donde la Tierra pasa más cerca el 3 de enero a la velocidad máxima de 30 km/s- y el afelio, que es alcanzado el 5 de julio a la velocidad mínima de 29 km/s.

Por otra parte, los demás planetas —particu­larmente Júpiter por su gran masa- ejercen atracciones sobre la Tierra cambiando su for­ma y su posición en el espacio, aunque en forma casi insignificante a causa de su lenti­tud; las perturbaciones del radio vector Tierra -Sol, afectado por otras atracciones además de la solar, se manifiestan mediante una pequeña y continuada modificación de la dirección y velocidad orbitales de la Tierra que se tradu­cen en cambios de posición y de longitud de ambos ejes de la órbita eclíptica de nuestro planeta. Otras variaciones, seculares y periódi­cas, que pueden destacarse son las siguientes: una pequeña variación de la excentricidad de la órbita terrestre en períodos de 120000 años, una revolución alrededor del Sol de la línea de los ápsides cada 60000 años, un lento balanceo nutacional que provoca cambios del valor de la oblicuidad de la eclíptica en perío­dos de 40000 años.

Entre esas variaciones de la órbita terrestre debe destacarse la revolución del eje mayor contenido en la línea de los ápsides, lo que provoca un movimiento angular anual del pe­rihelio y el afelio en sentido directo de 11 "62. Debido a él, en el lapso en que la Tierra reco­rre 360° = 1 296000" durante cada año sidé­reo de 31 558150s, el intervalo de tiempo de año anomalístico es mayor en 4m 43s al ante­rior, pues

El año sidéreo.

Las revoluciones completas de la Tierra al­rededor del Sol, describiendo anualmente un ángulo de 360° = 1 296000" para alcanzar dos veces consecutivas un mismo punto de su órbita, se cumplen en el período denominado año sidéreo, cuya duración es de 31 5581 50 = 365d 6h 9m 10s de tiempo medio

La hora de tiempo civil en cada lugar en que el Sol culmina a mediodía medio -como cualquier otro medio día peculiar del meridia-

La duración del año sidéreo es 1224s = 20 m 24s más larga que la del año trópico debido al pequeño movimiento precesional en sentido retrógrado de 50"26 por año de la línea de los equinoccios. Por ello, un año trópico y otro sidéreo, contados ambos desde un pasaje del Sol por Aries al alcanzar nuestro planeta un equinoccio, se cumplen mientras la Tierra alcanza nuevamente el equinoccio luego de re­correr su órbita en sentido directo en el trans­curso de un año trópico y 1224 segundos antes de completar una revolución sidérea de 1 296000" en 31 558150s cuando pasa, des­pués, por un mismo punto de su órbita, el cual, por la precesión, se ha corrido 50"26 con respecto a Aries. Es evidente, pues, que la fracción 1224s/31 558150s menor de año tró­pico, por año sidéreo (durante el cual recorre una circunferencia) es igual a la fracción 50"26/1 296000" del arco que completa la circunferencia, o sea:

no de un lugar— diferirá del de otro lugar en la misma cantidad en que, por definición, se diferencian las longitudes geográficas de ambos puntos considerados, por tanto, en cada ins­tante determinado, la diferencia entre la hora T.U. y el tiempo civil de un lugar es el valor de la longitud geográfica al Este E. o al Oeste O. de Greenwich G., según los casos, del lugar considerado; inversamente, conociendo la lon­gitud geográfica de un lugar en la superficie terrestre, se obtendrá la hora de T.U. sumán­dola, si está al O. de Greenwich o restándola si está al E. de dicho meridiano, a la hora civil de dicho lugar en cualquier instante. Esta hora de T.U. se conserva mediante aparatos de relo­jería instalados en los observatorios terrestres, continuamente, cada segundo, o periódicamen­te, con otro ritmo convencional, y se la tras­mite radioeléctricamente para las necesidades civiles o astronómicas. Recibida así la hora de T.U. por los

:

Ii

j

El año trópico

31 556926s = 365d 5h 48m 46s de tiempo medio es la duración del denominado año tró­pico. El período de la revolución heliocéntrica de la Tierra de un año trópico, se determina por el lapso de tiempo comprendido entre dos proyecciones consecutivas del centro del disco solar sobre el punto Aries en instantes general­mente determinados el 21 de marzo de cada año. La duración del año trópico, decimalizan- do las horas, minutos y segundos arriba indica­dos en días solares medios es de 365d, 24219879, cantidad que a su vez es igual a las 365 veces y fracción que, promedial y anual­mente, rotará la Tierra sobre sí misma con respecto al Sol. Esta cantidad, incrementada en uno, resulta prácticamente igual a las 366 veces más la misma fracción anterior de rota-

50"261224s= 0,0000387 nSio"x 3 1558150 = 283s = 4m 43s31 558150s 1 296000"navegantes y otros observadores

que en ese instante conocen la hora de ridíano por haberla determinado, pueden fijar en longitud geográfica la posición del considerado de la superficie terrestre.

El inconveniente de las distintas horas civi­les comprendidas entre meridianos extremos, medidos desde el E. hacia el O. de la exten­sión territorial de cada nación, se evita me­diante la implantación de una misma hora de uso general denominada hora legal. La hora ^gal de los países cercanos al meridiano de Greenwich es la hora del T.U.; en los países

su me- Por tanto, siendo un año trópico casi cua­tro cien milésimos más corto que el sidéreo, una revolución completa de la Tierra, cumpli­da en un año sidéreo y expresada su duración en años trópicos, resulta: 1,00004.

Por tanto, la duración del año anomalísti­co, comprendido entre los pasajes de la Tierra por su perihelio, resulta de 365d 6h 13m 53s.

El movimiento en sentido retrógrado de la línea de los equinocios y en sentido directo de la de los ápsides, corresponde a la diferencia anual entre las duraciones del año trópico y el anomalístico, que acumulada durante medio siglo alcanza a valer casi un día; por eso es aceptable, durante algunas décadas, la fecha del 3 de enero como época del pasaje de la

punto

El año anomalístico

Contrariamente al año trópico, el denom- nado año anomalístico, determinado por el intervalo de tiempo comprendido entre dos

30 31

V

EstadísticaTambién, debido a ia excentricidad de |a órbita terrestre, el movimiento de traslación de nuestro planeta no es uniforme, alcanzando su máxima velocidad el 3 de enero en el rihelio y ocurriendo que 89 días transcurridos desde el 22 de diciembre hasta el 21 de

durante el verano en el hemisferio sur y el invierno en el norte, resultan diametralmente opuestos a 94 días recorridos con menor velo­cidad desde el 21 de julio hasta el 25 de sep­tiembre, durante el invierno en el hemisferio sur y el verano en el norte, pues la tierra al­canza su velocidad mínima el 5 de julio en el afelio.

Tierra por el perihelio y, medio año anomalis- tico después, aproximadamente el 5 de julio, la del pasaje por el afelio.

pe-NOTA DE REDACCION: Este artículo per­

tenece al Teacher's Guide for Book B de THE SCHOOL MATHEMATICS PROJECT, impor­tante colección de libros publicados por "Cambridge University Press", The University, Southampton, Inglaterra, por un conjunto de educadores ingleses que están desarrollando un programa experimental de gran alcance bajo la dirección del Dr. Bryan THWAITES, a quien agradecemos toda la generosa colaboración prestada a nuestra revista. Lo impreso en letra redonda corresponde al texto para los alum­nos; en bastardilla se imprimen las notas para los docentes.

A pie, 13; Bicicleta, 8; Omnibus, 4; Tren, 9; Automóvil, 2. Total: 36.

El primer método sugerido es una simple

Las estacionesmar-

Las cuatro estaciones del año se repiten igualmente en ambos hemisferios terrestres du­rante el transcurso de cada año trópico por estar determinadas por los pasajes de la Tierra por el equinoccio. A causa de la posición y excentricidad de las velocidades de traslación de la Tierra y las distintas distancias existentes entre ésta y el Sol, no se reproducen regular­mente en cada año trópico sino en cada año anomalístico, el cual tiene el movimiento con respecto al punto Aries explicado más arriba. Por ello, después del 22 de diciembre, cuando es verano en el hemisferio sur terrestre e in­vierno en el norte, época en que nuestro pla­neta se aproxima más al Sol por cuyo perihe­lio pasa el 3 de enero, ambos hemisferios reci­ben aproximadamente 7% más de calor; consecuentemente, a causa del alejamiento del sol que es máximo el 5 de julio se registra una temperatura media 5o más baja en el transcur­so del invierno del hemisferio sur y el verano del norte. Por ello, los veranos del hemisferio sur y los inviernos del norte son ambos más calurosos que los correspondientes veranos del hemisferio norte e invierno del sur.

zo,tabla:

Tren AutoOmnibusBicicletaA pie

2413 8 9En resumen: aunque un año trópico inclu

ya las cuatro estaciones, anual y regularmente repetidas para ambos hemisferios terrestres, la duración de cada estación es algo desigual y, asimismo, una misma estación es algo distinta en los dos hemisferios. Estas pequeñas diferen­cias de las estaciones en cada hemisferio y las pequeñas variaciones relativas entre ambos, crean condiciones meteorológicas promedial y anumente asimétricas con respecto al ecuador terrestre; estas diferencias y variaciones de las estaciones cambiarán con respecto a las exis­tentes en la actualidad arriba descriptas, debi­do a la revolución del eje mayor de la órbita terrestre en el transcurso de 60000 años, de la excentricidad cada 120000 años y de la oblicuidad de la eclíptica en 40000 años.

Total: 36

Se ha incluido el total y éste actúa como dato útil. í1. Una revisión2. Gráficos de barra

Imaginemos que el director de una escuela desea averiguar cómo llegan sus alumnos a la misma y cuántos alumnos emplean los dis­tintos medios de transporte.

Algunos caminarán, otros llegarán en bici­cleta, otros por tren, etc., y el director debe decidir bajo qué títulos agrupará a los alum­nos.

Otra manera simple de presentación es mediante un "gráfico de barra".

Obsérvese:!

15

Puede decidir que sean los siguientes: A pie — Bicicleta — Omnibus — Tren - Automóvil.

Ya hay dificultades y se deben tomar deci­siones: ¿Qué ocurre con el alumno que tiene que cumplir una larga caminata desde la para­da del ómnibus? ¿Pertenece al título "A pie" o a "Omnibus" o debemos introducir un nue­vo título?

¿Qué ocurre con la niña que viaja en bici­cleta cuando el tiempo es bueno, pero que es llevada en automóvil cuando llueve? Proba­blemente, Ud. puede imaginar otras dificul­tades semejantes.

Tal vez, el director decida colocar estos casos difíciles en el grupo al que pertenecen con mayor frecuencia, aunque muchas veces no sea muy fácil tomar la decisión.

Esto significa que los resultados no darán un cuadro perfectamente ajustado de la situa­ción. Dos personas distintas que enfrentan la misma situación, pueden decidir en forma diferente.

He aquí el resultado de un estudio hecho clase de niños y niñas de primer año

para determinar cuántos están usando cada medio de transporte.

C/lO 10(continuará)c2ctlai(Viene de /a pág. 21) con el ilusorio consuelo de "han comprendido,

eso basta".Diremos, en conclusión, que hoy como

ayer no hay regla fija. Nada de curso dictado, entiéndase bien. Pero a veces dictad, dad a vuestros alumnos un modelo de lo que se debe decir y cómo se debe decir; escribid y tratad también que ellos formen sus modelos; sabed que les placerá imitaros, sobre todo si os quie-

-ooaiE 5 “el alumno, la redacción no importa: el

se redacta.Esta forma de actuar debe ser seguida de

muy neta síntesis debida al maestro y de una razonable concisión. Esta segunda etapa no debe ser eliminada nunca: que la redacción jamás sea sacrificada por falta de tiempo y

ocaos no 2

una 1&oA pie Bicicleta Omnibus Tren Auto

ren.

Fig. 1(Viene de la pág. 28) Llegaremos asi al estudio sistemático de al­gunas funciones simples.considerar las expresiones algebraicas, se em­

plearan fórmulas del tipo y = f(x) para estu­dios por puntos

(1) El gráfico tiene un título.(i¡) Las palabras "número de alumnos"

muestran para qué están los números.(ni) Las barras no se tocan.Si Ud. lo desea puede dibujar horizontal­

mente el gráfico de barra.

(continuará)que provocarán bastantes c~

Presas a los jóvenes alumnos. El conjunto de partida será el más rico que se conozca: Q0

sor- di LescharcTT Pr°blémes du Petit Poucct. Ed. Blan- en una

(2) VerIR. experiencias de Madame Picard, Instituí Na­cional de Pédagogie de París.

3332

3. Gráficos circulares

3. Presente su solucióndel ejercicio A, pre­gunta 5, en forma de gráfico circular.

4. Durante un mes, esta es la manera en que un hombre gastó su dinero:

Libras esterlinas24 Bebida ..............4 Ropa .................8 Transporte ....4 Diversiones ....

AutoOtra manera simple para exhibir la relación

entre los distintos medios de transporte y los alumnos que los usan, son los "gráficos circu­lares".

Tren

O nnibusAlquiler . . .Impuestos CalefacciónLuz ...........Comida . . .

Si se representara separadamente todos es­tos rubros en un gráfico circular, quedaría de­masiado complicado y perdería sus efectos. Agrupe: (alquiler e impuestos), (calefacción y luz) y (comida y bebida) y haga luego el grá­fico circular.

5. PROYECTOS1. Un estudio sobre los vehículos

¿Cómo puede hacer Ud. para convencer a la gente que debe haber un cruce para peato­nes y un guardián de tránsito frente a su es­cuela?

Si el caso debe presentarse a las autori­dades, convendría que estuviera apoyado por detalles de las clases de vehículos que pasan, de manera que resulte un apropiado estudio del tránsito.

Primero se deberán decidir muchas cosas y serán precisas muchas discusiones previas.

Entre los puntos de discusión y decisiór están los siguientes:

(a) ¿Qué día de la semana se elegirá? Re cuérdese el cierre temprano de las actividades

(b) ¿Qué hora del día se elegirá?(c) ¿Durante cuánto tiempo contará ve­

hículos?(d) ¿Repetirá la experiencia durante mu­

chos días, digamos una semana?(e) ¿Hará lo mismo el mismo día de cada

semana durante cuatro semanas?(f) ¿Dónde se parará Ud.?(g) ¿Contará el tránsito en una sola direc­

ción o en ambas?(h) ¿Cómo clasificará los tipos de ve­

hículos?(i) ¿Cómo afectará las cosas el tiempo?(j) ¿Es necesario disponer de una manera

de ordenar los resultados?(k) ¿Es conveniente un ensayo previo?Habiendo decidido sobre esos puntos y

algunos otros que puedan surgir debido a cir­cunstancias especiales que rodean a su escuela, Ud. estará en condiciones de realizar el estu­dio total. He aquí una forma que se le sugiere.

6yyv5’y\r&m

“ímaBicicleta 8

12A pie .. l*r¿s

■Mi20

1 l l0 5 10 A pie

Fig. 2Bicicleta

Fig. 4

En este caso, es más fácil escribir las pala­bras en las mismas barras.

Ejercicio A

;El color ayudará a destacar los cinco sec­tores importantes.

4. Pictogramas¿Cómo llega cada uno a la escuela?

Una manera atractiva para presentar infor­mación es el pictograma. En él se usan dibu- jitos para señalar los detalles.

ITrenOmnibus '.i

Auto1. Estudie la forma en que llegan a la es­cuela los alumnos de su clase. Puede hacer una discusión al comenzar para concordar en los títulos y qué hacer con los casos difíciles.

Presente su información Fig. 3como tabla y como gráfico de barra que puede colorear.

2. Vea si puede obtener la misma infor­mación de la cuestión 1

MAuto

en otra clase de más o menos el mismo número de alumnos que la suya y compare los resultados.

3. ¿Espera Ud. gran diferencia entre los resultados de su clase y los de una clase de quinto año? Trate de obtener detalles de tercera clase y compárelas con los suyos.

4. Decida sobre los títulos "¿Cómo empleo mi día? " Por ejemplo: trabajando, viajando, comiendo, etc. Habiendo decidido sobre los títulos, que serán los mismos para toda la clase, cada alumno decidirá cuánto emplea en cada actividad y dispondrá sus resultados en un gráfico de barra.

TrenA pie Bicicleta Omnibus Tren Auto

Mi13 Omnibus!8 4 9 2

una BicicletaTotal: 36

Tome los resultados delgada de los alumnos a la escuela del parágrafo 1. Cada uno de los 36 alumnos debe de partes iguales del círculo. Si hay 360°36 alumnos,

estudio sobre la lie-A piei

tener una para

a cada uno le corresponden 10°.Fig. 5

Puede emplearse papel carbónico para ayu­darse a construir los diagramas.

Compare este gráfico con el gráfico de ba­rra horizontal.

Ejercicio B

1. Haga un gráfico circular de los resul­tados sobre el estudio de la llegada de los alumnos de su clase al colegio. Recuerde que debe repartir igualmente 360° entre el número total de alumnos considerado.

2. Haga un gráfico circular que muestre "¿cómo empleo mi día?

Problemas que se presentan: A pie Bicicleta Omnibus Tren Auto(a) ¿Nos referiremos, iodos al mismo día?Jb) Debemos elegir un día hábil o un fe-

130 80 40 20 I90riado?

5. Haga una lista de todas las asignaturas de su horario y del número de minutos pleados en cada una de ellas durante \semana. Presente estos resultados mediante un gráfico de barras.

Total: 360

Use su transportador grama que está arriba.

A veces se el que se

em- :para controlar el dia-unaI

construye un gráfico circular en incluye el nombre de ■cada uno. :

i;34

35'

v -

(b) Asigne una página a cada alumno.(c) Escriba el alfabeto y cuente el número

de veces que cada letra figura en esa página.(d) Obtenga los resultados.

Resultados:

(a) Construya una tabla de A a Z.(b) Reordene la tabla y ordene las letras de

acuerdo con su frecuencia.(c) Construya un gráfico de barra de acuer­

do con la frecuencia.¿Por qué es inadecuado un gráfico

circular?

Conclusiones:

LLANFAIRPWLLGWYNGYLLGOGERYCHWYR NDROBWLLLLANTYSILIOGOGOGOCHESTUDIO SOBRE VEHICULOS

Nombre ........................Localidad ...................Dirección......................Fecha ..........................Hora de partida ..........Hora final .................Condiciones atmosféricas

¿Cuáles son las cuatro letras que aparecen más frecuencia? ¿En qué país cree que

está esa localidad?5. Los números de los principales animales

del campo inglés son:vacunos: 12 millones,ovejas: 30 millones,cerdos: 6 millones.Dibuje un gráfico circular para presentar

esta información y establezca el ángulo corres­pondiente a cada sector.

6. Dibuje un pictograma adecuado para ¡lustrar las siguientes cifras que dan el valor en centenares de miles de libras esterlinas de los arenques desembarcados en los puertos ingleses y galeses en los años:

1952->15; 1953->14,5; 1954-H3;1955->10; 1956->10; 1957->9.7. Copie esta tabla y vea cuántos puntos

puede señalar

6 Hcon

.2oc 3H(V

3QJ

U_ ESE.21uA'1A0 2 3 4 5 6RECUENTO Total 1

Número de hijos por familiaAutomóvilesy

Camionetas ¿Cuál es la letra más común descubierta por Ud.?

¿Seria la misma si hubiera elegido otro l¡-

Fig. 6

Camiones yVehículoscomerciales

Dibuje un gráfico similar para las familias de sus compañeros. Discuta si ocurría lo mis-

clase similar de hace un siglo.bro?

¿Puede usar cualquiera estos hechos? mo para una2. El vendedor de un negocio entrega cohe­

tes artificiales a varios precios. Los hay de 1 penique, de 2, etc. Registra los primeros 60

día mediante la s¡-

Omnibus y colectivos 3. La letra más común en francés.

Repita el proyecto 2 usando un libro francés. cohetes vendidos en unMotonetasguíente tabla:y Gráfico circularGráfico de barra

Motocicletas4. La longitud más común de una palabra

Haga un estudio para descubrir la longitud más común de la palabra en un libro, siguien­do lo indicado en el Proyecto 2.

¿Por qué cree Ud. que el resultado depende del tipo de libro elegido?

5. Arrojando un dado

Arroje 60 veces un dado y anote el número de veces que sale cada número.

Reúna los resultados de todas las clases y dispóngalos en un gráfico de barra.

¿Es posible alguna conclusión?

DesventajasVentajasDeventajas4 2 4 2 1 4 4 15 6 2 1

Ventajas2 3 6 9 2 9 5 4 1 2 9 6 13 6

116 3 6 2 14 5 3 3 3 2 4 6 2 12 6 1

Bicicletas

Otros vehículos (describirlos)

! 1 92 132 11 9 15 3 1

Otros vehículos pueden ser: autobombas, tractores, vehículos policiales y militares, caba­llos, carros, ambulancias, etc.

El intento de clasificar automóviles

tabla de resultados ha­la) Construya una ciendo las cuentas para mostrar cuántos cohe­tes de cada tipo fueron vendidos.

los resultados en un gráfico

!

y ca­mionetas en un grupo, y ómnibus y colectivos en otro, puede provocar algunas dificultades que Ud. tratará de vencer.

(b) Disponga'de barra.

(c) ¿Cuál es el cohete más popular?3. Una encuesta musical reveló los siguien-

de la popularidad de ciertas

I

Resultados:

(i) Una forma neta y completa puede servir como tabla.

(ii) Construya un gráfico de barra.

tes hechos acerca agrupaciones que graban discos:

12 prefirieron a los "Ciempiés"; 9, a los "Maullantes"; 4, a las "Cuerdas Excéntricas";

los "Ululantes" y 2, a los "Gatos Mele-

I PARA EL DOCENTE6. Arrojando dos dados Cuando i Estadística:se arrojan conjuntamente dos da­

dos, los resultados pueden variar de 2 a 12.Trabaje con un compañero: uno arroja y el

otro registra. Haga rodar dos dados durante media clase.

¿Qué conclusión puede obtener?

Ejercicios de

! Los diarios, los anuncios y las pantallas de televisión nos bombardean constantemente

la llamada estadística y, por esta razón, aunque más no sea, es necesario un trata­miento cada vez más completo y general que el realizado hasta ahora.

Es muy probable que algunos alumnos co­ya algo de estadísticas, algunos habrán

3, a nudos".

Presente esta información dibujando:2. La letra más común

con(a) un gráfico de barra,(b) un gráfico circular,(c) idee algún otro método para representar

esta información.

Propósito: Ordenar por la frecuencia las le­tras de un libro en inglés.

Método:

(a) Elija un libro que posean todos los alumnos.

:repaso

1. Describa los datos que se indican en el gráfico de barra. ¿Cuántas familias se consi­deran? ¿Cuántos niños?

tabla de frecuencia para el siguiente nombre de

4. Construya una las letras existentes en una localidad:

i nozcancoleccionado, tabulado o descripto datos y di-I

i

■3736

i-- !

colores. No importa la forma en que se dipo­nen las barras a menos que se deban comparar dos gráficos de barra en cuyo caso el orden relativo de las dos barras debería ser el mismo. Si la descripción de cada gráfico de barra es más bien larga, a menudo es más claro escribir en el interior de una barra horizontal antes que debajo de una barra vertical. Otra razón para elegir el dibujo horizontal más bien que las rayas verticales, o vicevera, puede residir en que la escala resulte más conveniente en una dirección que en la otra. (Esta escala de­bería, primordialmente, ser fácil para trabajar permitiendo, tanto como fuera posible, el uso más completo del espacio disponible.)

No es necesario que el eje de frecuencias parta de cero, pero cuando no es así debe quedar bien aclarado. El no cumplimiento de esto, (intencional o no) conduce a muchas ter­giversaciones. Por otra parte, aún cuando esto posiblemente pueda discutirse, no debe tratár­selo puesto que se lo debe hacer más adelante, cuando los alumnos posean mayor experiencia y estén mejor preparados para apreciar y dis­cutir sus beneficios.

Muchos de estos detalles técnicos serán se­ñalados mejor mediante las preguntas y la dis­cusión. Por ejemplo:

1. ¿Es mejor dejar vacíos entre las barras?2. ¿Importa el orden en que se disponen

las barras?3. ¿Cuáles son las ventajas de las barras ho­

rizontales?

4. Las barras, ¿deberán ser del mismo co­lor o se podrán usar colores diferentes?

5. ¿Debemos siempre comenzar por cero?

3. Gráficos circulares

bu ja do diversas clases de gráficos en la escuela elemental. Es .ambién probable que la mayor parte de este trabajo esté enteramente referida a ellos mismos, con detalles de cosas tales como alturas, pesos, colores favoritos, etc., personales y de sus amigos. Debido a que pue­den trabajar con datos que les conciernen e interesan, muchos alumnos, que de otra mane­ra encontrarían a la matemática difícil o des­agradable, se dedican al trabajo estadístico.

Aunque la recolección de datos genuinos requiere mucho tiempo, el interés y las disci­plinas matemáticas implicadas, la vuelven muy valiosa. La recolección y presentación de datos reales requiere a menudo Iá existencia de tra­bajo en equipo y también esfuerzo cooperati­vo, y este aspecto del trabajo en común es otro punto a favor de la inclusión de la esta­dística en los programas de enseñanza.

Todos los programas "modernos" incluyen el estudio de la estadística aunque algunos la ofrezcan como una de las alternativas principa­les. Creemos que debe encomiarse la tendencia a dedicar más tiempo a este tema.

máximo. El orden de los sectores no es impor­tante a menos que se desee comparar dos grá­ficos en cuyo caso el orden relativo entre am­bos debe ser el mismo.

Proyecto 2

El orden de frecuencia de las letras en in­glés es:

ETOANIRSHDLCWUMFYGPBVKXQJZ

Si sólo se emplea un pequeño pasaje de muestra puede haber apreciable variación.

4. Pictogramas

Como aquí se lo presenta, un pictograma es una presentación atrayente del gráfico de ba­rra, y tiene más popularidad que éste. Cuando ¡a población es pequeña, su uso es directo. Tan pronto como la población crece, surgen obvias dificultades cuando es necesario dibujar una fracción dada del motivo. (Vale la pena discutir esto con cualquier grupo de alumnos capaz de apreciar estas dificultades y desventa­jas del pictograma en el ejercicio B, pues a esta altura los alumnos habrán recogido abun­dantes datos adecuados de este medio de re­presentación.)

Los motivos deben ser simples, del mismo tamaño y, cuando sea posible, conveniente­mente relacionados con los datos que Huirán. Deben estar igualmente separados y alineados vertical mente. Estrictamente hablando, debe aclararse lo que significa cada motivo.

Proyecto 3

El orden de frecuencia de las letras en fran­cés es:

ENASRUTOLDCMPVFBGXHQYZJKW.

Proyecto 5

Un gran número da resultados de aproxima­damente frecuencias iguales para cada total. Este es un ejemplo de distribución rectangular.

1. Una revisión .2o<D

:La estadística ha sido descripta como la re­

colección, presentación, análisis e interpreta­ción de datos numéricos. El primer capítulo se refiere a las dos primeras partes de esta defini­ción - recolección y presentación.

Para facilitar futuras realizaciones, ¡a clase debe ser alentada a coleccionar y exhibir cua­dros reales tomados de diarios y revistas, pero en esta etapa el maestro debe tener cuidado de seleccionar sólo los buenos y guardar los dudosos y engañosos para la crítica etapa posterior.

138Ejercicio B£1

Puntaje4. Los cuatro sectores son:Renta e Impuestos: 112; Calefacción y luz:

48; Comida y bebida: 104; Ropa: 20; Trans­porte: 32; Diversiones: 44.

Distribución rectangular

Fig. 7

5. PROYECTOSProyecto 6

El total 7 puede tener la mayor frecuencia. Esta es una distribución triangular; las frecuen­cias aumentan por pasos iguales hasta el total 7 y luego disminuyen de nuevo.

Una de las grandes ventajas de la estadística como asignatura práctica consiste en que usualmente es posible comprender el propósito que guía la recolección y presentación de da­tos. Al hacer el proyecto debe discutirse el propósito, no sólo porque da el motivo para el trabajo sino también porque informa y dirige el proyecto mismo.

En este punto, quizá más que en ningún otro, es necesaria una preparación amplia y una discusión previa a la tarea. Se aceptará que a veces el primer intento debe desecharse y recomenzar toda la experiencia a Ia luz de los conocimientos adquiridos. Como guía del tipo de preparación necesaria, se discutieron con algún detalle los dos primeros proyectos; es de esperar que proporcionen un modelo Pera proyectos subsiguientes.

en una

Los gráficos circulares son mucho más difí­ciles de construir que los gráficos de barra, pero a muchos alurmos les gusta dibujarlos. Ello permite una buena práctica de la división y del uso del transportador de ángulos. Los ejemplos del texto son simples, para evitar di­ficultades aritméticas. El maestro deberá vigi­lar ¡a aritmética cuando los alumnos dibujen gráficos circulares que ilustran datos de su propia cosecha. Se debe indiquen claramente gráfico.

2. Gráficos de barra

Esta es una manera muy rápida y fácil para presentar información. No emplee la palabra histograma. La emplearemos para referirnos un diagrama que muestra densidades de fre­cuencia y que representa las frecuencias por áreas y no por alturas de columnas. Los alum­nos deberían recordar que un gráfico de barra sin título ni frecuencia señalada, carece de sentido.

No es esencial un vacío entre las barras, pero ello hace que resalten mejor; también puede producir ese efecto el uso de color o de

a ! .2oc0)a8£

alentarlos para que el trabajo inherente a!

Puntaje

Distribución triangularA muchos alumnos les place y satisface torear lo distintos sectores, lo te necesario si

co­que es realmen­

te desea provocar un impactoFig. 8

(continúa en pág. 42)}

38 39i

i iV

SABIA UD. QUE..El. CUESTIONARIO -

1. Nuestra consecuente colaboradora, la señorita ALICIA LA MENZA, nos ha enviado la siguiente colaboración:

Curiosa propiedad de un número

Demostraremos primero el siguiente: TEOREMA 1. En cada base 5 existe un

número natural N que multiplicado por un múltiplo de 5-1, no mayor que (5- 1)2, da otro número con cifras todas iguales al multi­plicador de B—1.

Llamando b a una cifra dada de la base B se cumple la condición:

b(B-1) <(5-1)2 A0<ó<5-1

Consideremos primero dos casos particula­res: 5=2 y 5=3,cuyas cifras son, respecti­vamente: (0,1) y (0,1,2). En 5= 2, la propie­dad se cumple para todo número N con todas

cifras ¡guales a 0, o todas ¡guales a 1, pues­to que por(1): 1 .N=N; en 5= 3 se cumple solamente para el número N= 2 dado que, por la misma razón se tiene: 1.2/V=1.2, 2=113

En efecto: 43=1.3+1°113 y 2.2A/=2.2.2 da

8=2.3+2<>223 0./V=0Para 5^=4, sea n una variable numérica con

valores naturales. Las cifras en esta base son los B valores de n.

0<r?<5-1 Hagamos por comodidad:

n=B-3; /?+1=5-2; n+2=B-\En este caso, N es de la forma:N = 1 Bn + 25n+1 + 35n+2 + ... + (n-1)#2 +

+ nB + (n-2)que multiplicada por 1(5—1) da:1. (5-1)/V=l.fln+l+2.5n+ ... +(/7-1)53+m52+

+{n -2)Bl -1 . —(r7—1 )B2-nBl—

-(n-2)Por (3) resulta: .

1.(5-1)A/=5n+l+15n+1.5rr'l+---+lfi +15 +1(5)

Si n=b es una cifra dada, aplicando (1) en (5) se obtiene:5(5-1 )/V=ó5n+1+55n+ .. . +bB2+bBi+b (6) que prueba el teorema.

En particular, vale elTEOREMA 2. En toda base B el número N

es único.

Es consecuencia inmediata del teorema fun­damental de la numeración. Obsérvese, (2) y (3), que del conjunto de cifras "i 0,1,2,. . ,B-3J3—2,B -1 }■

0 y 5-2 no son cifras de N. Sin embargo, la cifra 5-2 es útil. Da, (2), el número de cifras de N y el grado del polinomio (6).

En el sistema decimal es, por (4):A/=1234567 9.En este sistema, la mencionada propiedad

se emplea para controlar el funcionamiento de ciertas máquinas de calcular.

He aquí' un ejemplo en base 5=5, cuyas cifras son (0,1,2,3,4); por (4) es:

N= 124Si multiplicamos este número en base 5,

tomando b-2 obtenemos:2 4=13s<31 s

1."La revista, de mucha utilidad para los educadores, la leo con real interés". GLADYS

lizado de la revista, considero necesaria e im­prescindible su aparición. Tratando la materia con docentes y compañeros, los he interioriza­do sobre el contenido de vuestra publicación para tratar de lograr nuevo suscriptores". ANA MARIA LUCENTE, Las Parejas, S. F.

7. "Hago propicia la oportunidad para ha­cer llegar a Ud. y colaboradores mis más sin­ceras palabras de adhesión por la obra que realizan en bien de nuestra actualización como docentes de matemática, proporcionándonos información y orientación". ANA ELBA O. C. de FREGENAL, Mar del Plata, Bs. As.

8. "Aprovecho la oportunidad para reiterar­le a Ud. y sus colaboradores mi reconocimien­to por la obra realizada y mis mejores deseos para que prosiga el éxito conquistado", RAUL J. GUILISASTI, Victoria, E. R.

(7)SEGUI DE LA VEGA, Firmat, Santa Fe.2. "No existe duda alguna que los objetivos

educativos que se propuso lograr esta publica­ción pedagógica, determinan que debe seguir apareciendo para cubrir con medulosos antece­dentes la actualización de conocimiento de los educadores". "Procuramos er> forma perma­nente hacer conocer esta publicación". "En el orden de mi actuación pedagógica y profesio­nal, aconsejo vincular la obra con las necesida­des efectivas del estudiantado de ciencias eco­nómicas en el campo de la matemática". NICOLAS F. WHELAN, Buenos Aires.

3. "La publicación, goza de mis simpa­tías por cuanto llena un importante cometido en lo que se refiere a la divulgación de ¡deas, experiencias y conceptos que se realizan hoy en el terreno cienti'fico Además, es dable des­tacar su valor didáctico y la clara exposición, lo que me ha permitido poner algunos artícu­los a estudio y consideración de un grupo de alumnos secundarios, con mucho éxito en lo referente al interés e inquietud suscitados en los jóvenes". MARIA S. CAFESSE, San Nico­lás Bs. As.

(1)

i

12413

9. "No me extraña nada de cuanto se dice en su CARTA AL LECTOR. A veces pienso si los pueblos han perdido definitivamente su fe en el futuro. Pero hay hechos, realidades his­tóricas, que vienen a rectificar mi pensamien­to, pues los pueblos tienen una formidable vi­talidad, asfixiada, estrangulada por determina­das circunstancias socioeconómicas. En cuencia, hay que ser optimistas, hay que en el futuro de los pueblos, de todos los

sus 4321242222

La tablas empleadas son las siguientes:

4321X3 I 421+conse- creer pue­

blos. La tarea es penosa, fatigante, pero hay que cumplirla. Cada generación se enfrenta

una tarea histórica, siendo deber de la in­teligencia descubrirla y cumplirla. Creo que se­ría un delito imperdonable suspender la publi­cación de la revista. Nosotros siempre mendamos su lectura, siempre tratamos de convencer a los profesionales. Tal vez seria muy conveniente que Uds. tomasen contacto directo con editoriales españolas que tengan fondos de obras de matemática." JULIAN B. CAPARROS MOR ATA, Las Palmas de Gran Canarias, Islas Canarias, España.

4. "Lo felicito por el esfuerzo que significa la publicación de la revista, siempre interesan­te y muy útil". LUIS A. SANTALO. Buenos Aires.

3 42111043211311422111043222143 1131211104331221344131211104(2)5. Como profesor de matemática. como

docente que desarrolla su actividad en un lu­gar alejado de los centros que viven directa­mente todas las novedades que se van presen­tando en el campo matemático, considero a la revista específica que Ud. tan dignamente diri­ge como un elemento y un vínculo insubstitui­ble en mi labor y de existencia imprescindi­ble", LUIS MARIA FIORINI, Miguel Riglos, L. P.

con2. Breve historia de una famosa paradoja matemática

Señor Director de CONCEPTOS DE MATEMATICAS

(3)

reco-í

(4)

Soy antiguo lector de la prestigiosa revista Ud. dirige, difundiendo la matemática en-

también en otros países, parti-quetre nosotros y cularmente en los de América Latina, nuestros hermanos. CONCEPTOS tiene el mérito de servir, y orientar a maestros, profesores y alum-

vasta rama del saber en perma-

i6. "Dado el carácter informativo y especía­

nos en una nente renovación.

Por ese motivo me permito señalarle algu- cuestiones no del todo ortodoxas apare­

cidas en la revista y no dudo que Ud. será el primero en reconocerlo.

Se trata de una incursión en la teoría de

¡Ahora, díganos Ud. su opinión!ñas

!

*i

4140

!lo que equivale a la contradicción lógica

/G/A/<£/conjuntos. Partiendo de la noción intuitiva de ese concepto, se afirma que un conjunto está determinado por extensión cuando se dan sus elementos, y por comprensión cuando se da una propiedad que deben cumplir sus elemen-

BIBLIOGRAFIAEsta contradicción se conoce con el Inom­

bre de paradoja de Bertrand Russell, quien la dedujo del axioma de abstracción formulado en una obra de F. L. G. FREGE intitulada Grungesetze der Arithmetic (1893). La doja fue comunicada a Frege por el autor en 1901, y en 1903 Frege estampó, en un fa­moso apéndice al segundo volumen de su obra (1903) lo siguiente: "Difícilmente, nada más infortunado puede acaecerle a un escritor cien- tífoco que ver derrumbarse su obra cuando estaba por terminarla".

Más tarde, en 1908, E. ZERMELO formuló un axioma correcto que evita el riesgo de la famosa paradoja; es el llamado esquema del axioma de separación que permite separar de un conjunto los elementos que tienen una dada propiedad. Dice: "Dado un conjunto M y una propiedad que tiene sentido para to­dos los elementos de M, existe un conjunto A que tiene exactamente aquellos elementos de M con la propiedad ip; A es, pues, un stbcon- junto de M.

J. B. BIGGS y J. HALL, Mathematics and the Conditions of Learning (National Founda­tion for Educational Research ín England and Wales) 414 pág., 1967.

El movimiento de reforma de la didáctica matemática moderna cuenta en su haber con serias investigaciones demostrativas de las fun- damentaciones científicas y del valor práctico de sus técnicas, encabezadas por el insuperable ensayo de Z. P. DIENES, An experimental stu- dy of Mathematical Learning.

El libro de Biggs y Hall es excelente y vie­ne a llenar una inmensa laguna, porque muchos docentes querían saber si contaban con el respaldo de una evaluación con base estadísti­ca y rigor científico. Creemos que es el primer estudio completo sobre la materia y la primer evaluación responsable sobre las didácticas tra­dicionales y modernas en sus modalidades o tipos más descollantes.

Naturalmente, es muy difícil resumir su contenido en pocas líneas, pero conviene des­tacar algunas de sus principales características. La base estadística del estudio es satisfactoria, pues unos 4000 niños fueron sometidos a la experiencia, sometiendo a control los métodos tradicionales y los que no lo son. Se examina­ron separadamente los uni-mode/os (Stern y Cuisenaire) y los multi-mode/os (una corta muestra de Dienes). La evaluación de la teoría dienesiana estará hecha en breve y los resulta­dos de los trabajos, dirigidas por el Dr. Wi­lliams son positivos, corroborando las tesis planteadas por Dienes en 1963.

Muchas dudas quedan disipadas mediante la lectura de este libro. Hay una evaluación obje­tiva -sin ser exhaustiva- de los métodos y es uno de los más logrados análisis de la reforma y confirma la hipótesis de los reformadores tomadas de las tesis psicológicas concernientes a las doctrinas del pensar. La segunda parte del libro tiene condensaciones estadísticas he­chas con rigor científico que resultarán invalo­rables para los educadores.

A pesar de su rigor, la lectura del libro no axige conocimientos previos y su problemática de la reforma de la didáctica moderna es cautivadora y fácilmente comprensible.

Nos resta sólo destacar una falla no imputa­ble a los autores. Entendemos que el análisis de la obra dienesiana no queda realizado en el estricto sentido de la palabra, por la sencilla

razón de no haber sido completado cuando se realizó la experiencia.

Con este trabajo y con el enunciado de Wi­lliams entendemos que los métodos estructura­dos obtendrán su pasaporte definitivo. Claro está que los educadores quedarán clasificados en dos grandes grupos: los progresistas, dis­puestos a dedicar su tiempo a esta notable rea­lización matemática moderna que reclaman el niño y su futuro, y los tercos, perezosos e incapaces que seguirán aferrados a la vetusta tradición.

1tos.

Esta última es una definición del conjunto por abstracción y presupone el axioma de abs­tracción que puede formularse así:

(3y) (Vx) | x£y o yp (x) ]que se lee "existe un y para todo x tal que xGy equivale a decir que x tiene la propiedad

pa ra­

íl) :

En realidad, no se trata de un axioma sino de una infinidad. Por ese motivo, se llama es­quema del axioma de abstracción.

Pero ocurre que de este axioma se deduce una contradicción. En efecto, se pueden clasi­ficar los conjuntos en dos clases, distintas en­tre sí:

María Encarnación Delgado

GUIA PSICOPEDAGOGICA. Educación Preescolar, Teoría y práctica para jardín de infantes, (Enseñar jugando en el jardín); Pri­mer grado. Segundo grado, Tercer grado, Cuar­to grado. Quinto grado, Sexto grado, Séptimo grado. Medios audiovisuales en la escuela pri­maria, Metodología del trabajo por equipos, Modernas técnicas de evaluación en la escuela primaria, EDITORIAL CORDOBA S.A., Bs. As.

Digamos para comenzar que esta obra, al­gunos de cuyos tomos tienen ya varias edicio­nes, nos parece un aporte fundamental para la enseñanza primaria en nuestro país. Porque se trata -quede esto bien sentado- de un traba­jo realizado en equipo con la finalidad de re­sultar útil al maestro y al alumno. No abun­dan en nuestras latitudes realizaciones de tal

S

Los que no son elementos de sí mismos, por ejemplo, el conjunto N de los números naturales, el cual no es un número natural; luego N no es elemento de N, o sea:

N&NLos que son elementos de sí mismos, por

ejemplo, el conjunto C de las cosas que no son números, también es una cosa que no es número; luego C es elemento de C, o sea:

cecVolvamos al axioma (1) y sea / el conjunto

de todos los conjuntos X que tienen la propie­dad de no ser elementos de sí mismos, o sea:

,p(x) = X<EX puesto que (1) vale para todo X poniendo en (1) X = Y se tiene:

Este axioma puede formularse así:

(3 M) {V X)\x £ M o x (E A A y{x)\ (4)

El autor lo llamó Aussonderung Axiom que, en alemán, significa separación, selección.

Como Ud. ve, señor director, después de más de medio siglo, todavía persiste el de definir conjuntos por comprensión. A quien se interese

error

por estas cuestiones, reco­mendamos: "The Consistency of the Conti- nuum Hypothesis" de Kurt Gódel, Princeton University Press, 1940.

Saludo a Ud. muy atentamente.

(2)

magnitud. Que un grupo de educadores argen­tinos haya podido darle cima es un timbre de honor para ellos y al mismo tiempo para la editorial que los ha acogido.

Los maestros argentinos, sometidos a los vaivenes de una preparación dispar, con planes y programas que alguien ha calificado de anti­diluvianos, han realizado, no obstante, a través de toda la historia del país, una labor muy eficiente que justifica sobradamente el apodo de segundo hogar con que se conoce en nues­tro medio a la escuela primaria argentina. Y sin pretender ser historiadores, si hacemos un rastreo de las instituciones que constribuyeron a formar la Argentina de nuestro tiempo, esta-

seguro que no existe otra que haya con-

YGYAYQY (3) Un lector

(Viene de la pág. 39)

Ejercicios de 1952repaso

L 23 familias, 56 niños.2. !2--2p; 8-3p; 7->4p; 4-5p;

8~'6p; 5->9p.3. (b) Los sectores son:"Ciempiés":

1953

1954144°; "Maullantes": 108°;

"Cuerdas excéntricas": 48°; "<Ululantes": 36°; "Gatos Melenudos": 24°.

4. L, G, O e Y son las cuatro letras que se presentan con mayor frecuencia. Se trata de una localidad de Gales.

5. Los sectores 225°; cerdos: 45°.

6. Vea la figura

1955

1956

mostribuido tanto como ella a plantar los jalones de la argentinidad.

Pero ya ha pasado la época de la improvisa-

1957vacunos: 90°; ovejas:son:

= 300000 C de pescado

iFig. 9

42 43

se trata de libros hechos como uno hubiera querido hacerlos. Y asi' ocurre porque combi-

los conceptos básicos del aprendizaje con las nociones elementales de la matemática derna. Por ello, naturalmente, se comienza a operar con conjuntos.

Una ¡dea cardinal se advierte permanente­mente: no avanzar hasta que no se haya afir­mado perfectamente el concepto anterior. Di­cho en otras palabras: el alumno siempre transita por terreno conocido.

Para que el aprendizaje no se vuelva tedioso se emplea el recurso de combinar distintos ti­pos de ejercicios, pero cuidando de que todos ellos sean objetivos y simpáticos con esa sim­patía que es tan necesaria en libros infantiles. Recibido este aporte por el maestro, fácil le resulta usarlo como punto de partida para la realización de otra infinidad de ejercicios.

Páginas hay que despiertan asombro por lo novedoso y positivo de su aporte. Por eso, al volver cada hoja, se aguarda con entusiasmo el nuevo ejercicio y el enfoque que se propone.

Pedagógicamente, la obra concuerda con las teorías de resultados más positivos; didáctica­mente hace uso de métodos universalmente re­conocidos como los mejores.

La diagramación es clara y correcta y no vacilamos en calificar la presentación de mara­villosa. Hay un fecundo empleo del color ilu­minando todas las páginas en forma tan eficaz que creemos que puede señalar el comienzo de una nueva forma de hacer libros de matemá­tica escolares. Además, la obra ble que se aleja de la idea corriente de libro para aproximarse a la de cuaderno de ejer­cicios, vale decir, compañero de tareas.

Sintetizando, vemos en esta obra un aporte fundamental para la enseñanza de la mate­mática actual en la escuela primaria.

ción; la cultura debe lograrse con bases moder­nas porque así lo requiere el andar de las na­ciones civilizadas. Además, no se puede perder tiempo en vacilaciones si el hombre debe ser formado para enfrentar los complejos proble­mas de la vida actual.

Resultaría presuntuoso querer presentar un análisis de esta obra en el espacio de que dis­ponemos. Digamos, sí, que hay una clara ex­posición de los conceptos e ¡deas fundamenta­les y un adecuado empleo de las modernas técnicas pedagógicas: prudente empleo del co­lor, explicación de las técnicas audiovisuales, correcta diagramación y una clara y precisa ejercitación, todo ello complementado con modernas técnicas de evaluación cuya impor­tancia resulta obvio señalar.

era organizar esta nueva colección como una manera de demostrar su adhesión a la tarea civilizadora del docente argentino y para que éste se pusiera en contacto con el enfoque moderno de los problemas de su diario que­hacer. Confió su dirección al profesor Luis Jorge Zanotti, bien conocido por su actuación en las esferas directivas de la educación, por su prolongada labor en la cátedra y por su relevante actuación en el periodismo.

De los títulos que ya se han lanzado a la circulación, los arriba citados son, a nuestro modo de ver, los más vinculados con la ense­ñanza de la matemática. Aunque no es nuestra intención analizarlos, diremos brevemente que la profesora Mastrogiovanni, directora del Grupo de Trabajo de Evaluación Pedagógica del Instituto Nacional para el Mejoramiento de la Enseñanza de las Ciencias presenta una sim­ple y clara exposición de los conceptos fun­damentales de la probabilidad y la estadística basándose en las inolvidables lecciones del malogrado Dr. Juan P. Staricco, complemen­tado con nociones matemáticas básicas, que no dudamos han de ser de mucha utilidad para los docentes.

intelectual y sabiamente guiados llegan casi como en úna explosión jubilosa y sorpren­dente a la conquista anhelada. Se siente el gozo común. Se vive la presencia del maestro y de los discípulos, abrazados sus espíritus". Creemos que este libro representará un antece­dente muy valioso si induce a otros educa­dores a exponer sus experiencias, con lo cual todos saldremos ganando.

Dutton se esfuerza por señalarnos la impor­tancia de la enseñanza racional de la aritmé­tica en la escuela primaria dentro de una matemática expuesta con sentido claro y con­creto para el alumno, obtenido mediante un trabajo intelectual que le permita comprender los conceptos que ha de aplicar. Intenta iden­tificar las técnicas de evaluación y para ello prepara tests para medir la comprensión de la aritmética en los grados elementales. La apli­cación de los mismos le permite emprender un trabajo de valuación comprensiva, entendiendo que "si el docente intenta nuevos métodos para evaluar la comprensión por el alumno de los nuevos conceptos de matemática intro­ducidos en la escuela elemental" existe mucha posibilidad de que se mantenga al día con estos modernos desarrollos de la matemática". En resumen: el libro nos parece muy útil en un sector en que los antecedentes son muy escasos; por lo menos, ha de servir para esti­mular futuras realizaciones.

Expresemos nuestro agradecimiento tanto al director de la colección como a la editorial y esperemos que nos pongan en contacto en el futuro con otros ambiciosos trabajos aún des­conocidos en nuestro medio.

nanmo-

La parte de matemática ha sido realizada por tres educadoras argentinas de prestigiosa trayectoria y renovado entusiasmo: Angélica M. E. Ceci, Josefina Cosentino y Ofelia M. de Paglilla. Comprende en primer grado: didáctica de números en color y un enfoque moderno de la matemática que comienza con la teoría de conjuntos para finalizar con las operaciones y cierta familiarización con elementos geomé­tricos, temas que se continúan desarrollando ampliados, en segundo, tercer y cuarto grado, a la vez que se van introduciendo dones. En los libros de quinto, sexto y sépti­mo grado se sigue coherentemente el plan an­terior, introduciendo los nuevos conceptos que se consideran necesarios pero no olvidando los ya anteriormente expuestos y haciendo cono­cer nuevas propiedades que no tenían lugar apropiado en las consideraciones de los grados anteriores. Vale decir, se sigue el procedimien­to de volver sobre las cuestiones importantes, para lograr que el alumno las maneje siempre con corrección y tratando de evitar que estudio incompleto haga que pronto se olvíde de ellas.

Quede expresado nuevamente nuestra favo­rable opinión sobre esta obra que prestigia a la educación argentina.

El libro del profesor Gómez es una clara conjunción de conceptos teóricos con la expe­rimentación realizada en clase y en él, tanto los alumnos como el profesor tienen relevante actuación en la exposición de conceptos ele­mentales de la física. En su prólogo, Zanotti

acierto: "De pronto estalla el aula

nuevas no-

es tan manua- expresa con en el acto final del descubrimiento: se ha tra­bajado arduamente; se han internado los alum-

los senderos espinosos de la tarea Julio R. Juan! nos por

unFélix Co/ombo f NOTICIAS

M. M. de MASTROGIOVANNI, Estadística y Probabilidad para educadores. 189 pág.; G. R. GOMEZ, La enseñanza de las ciencias, 237 pág.; W. H. DUTTON, ¿Cómo evaluar el aprendizaje de la matemática 145 pág., Biblio­teca de Ciencias de la educación, ANGEL ESTRADA Y CIA. S.A., Editores, Bs. As., 1969.

actividades del Grupo de Estudio de Epistemo­logía y método científico, dirigido por el Dr. Gregorio Klimovsky, con seminarios de Lógica matemática, Filosofía de la Etica, Epistemolo­gía y Consultas de Lógica.

2. El director de CONCEPTOS DE MATE­MATICA ha sido jurado de la 2a Feria de las Ciencias de Baradero, Bs. As. y ha vuelto en­tusiasmado por esa realización, no tanto por la originalidad de los trabajos cuanto por la ¡n-

1. Entre los cursos que se están desarrollan­do en el Centro de Estudios de Ciencias (Fun­dación de Investigación Interdisciplinaria), Chi­le 1481, Bs. As. citaremos el del Sr. Fermín Alfonso sobre "Introducción a la Estadística con aplicación a problemas no (12 clases, miércoles de 18,30 a 20,30, desde el 20 de agosto); de José Babini, sobre "Cien­cia y Técnica en la Edad Media (4 clases, vier­nes de 19 a 20, desde el 4 de setiembre) y las

Cristina Verdaguer de Banfi

R. E. EICHOIZ y colaboradores. Matemá­tica para la educación primaria. Preescolar, Libro I y II. FONDO EDUCATIVO INTER- AMERICANO S.A.

Esta primera entrega del Fondo Educativo Interamericano condensa todo lo esperado por el docente de la escuela primaria; en verdad.

matemáticosLa vieja y prestigiosa editorial argentina se

está remozando para estar a la altura de nues­tro tiempo, y para celebrar el primer cente­nario de su instalación ha creído que lo mejor

I

-5f

44

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5. Con el auspicio de CONCEPTO DE MA­TEMATICA, se realizó el 15 y 16 de agosto un cursillo organizado por el Departamente de Per/eccionamiento Docente del Colegio San José"de esa ciudad, a cargo de la licenciada Lucrecia D. Iglesias sotíre temas de matemáti­ca moderna: introducción, números naturales, principio de inducción completa, participacio­nes, números combinatorios, binomio de New- ton y nociones sobre probabilidades, y la dis­tribución binomial.

El objetivo fue mostrar, mediante algunos contenidos y particulares, la caracterización de la matemática como ciencia formal y su esen­cial diferenciación de las ciencias prácticas. Se intentó presentar la matemática moderna tan­to en el aspecto de los contenidos cuanto en el enfoque metodológico, que implica el pro­ceso de abstracción a partir" de un nivel con­creto para culminar con la axiomatización. Se presentó el primer aspecto con el lenguaje conjuntista y para el segundo se tuvo en cuen­ta la axiomática de Peano para la definición del número natural y el uso del principio de inducción en demostraciones de resultados en el ámbito de la combinatoria.

Nos escribe la profesora Delia Manghi: "Na­ció la idea de posteriores reuniones para enca­rar más a fondo los temas del cursillo, que gustó e interesó mucho y cuya única falla (que no puede atribuirse a nadie) consistió en la densidad de temas con respecto al tiempo. Quizás podemos organizar una actividad más continuada".

Nuestros plácemes a los organizadores y a los docentes tandilenses.

4. Con la finalidad de capacitar a profesores secundarios de matemática se está realizando en la Escuela Normal "Víctor Mercante"de Vi­lla María, Córdoba, con el auspicio del Institu­to Nacional para el Mejoramiento de la Ense­ñanza de las Ciencias, a partir del 23 de agos­to pasado, un curso de "Análisis matemático para profesores secundarios" a cargo del cual se hallan el licenciado oergis Rubén Bruno y los profesores Rafael V. Verdes y Jorge Alfre­do Lardit. No nos cabe ninguna duda da la impor­tancia de este curso y auguramos a los organi­zadores el éxito que se merecen.

quietud demostrada por los estudiantes. Parte fundamental de esta tarea correspondió al pro­fesor Alfredo J. Cossi y su grupo de colabora­dores constituidos por los profesores María del C. Buena Maizon, Elena J. Riveros, Nelly L. de Guidotti, Guadalupe L. de Siebert, María A. Pascuali, Susana Cirmi, A. Borgia de Brandi y Héctor Bordas, quienes orientaron conve­nientemente a los alumnos. Los trabajos que se destacaron en esta muestra, que se realizó entre los días 31 de julio y 1, 2 y 3 de agosto pasados participaron luego de la Feria Regio­nal realizada a fines de agosto en Zárate con mucha aceptación, obteniendo tres primeros premios y dos segundos, siendo 6 los que pa­san a competir en la Feria Provincial de Mar del Plata que se cumplirá del 26 al 28 de se­tiembre. El profesor Cossi nos escribe: "Va­mos a Mar del Plata con el ánimo por las nu­bes. Pero no se trata de un problema de ganar o perder. Lo que se ha ido cosechando en el camino es aún más positivo. Aunque siempre tuve confianza en mis alumnos, nunca pensé que fueran capaces de trabajar con la seriedad, responsabilidad y sacrificio con que lo hicie­ron. Eso fue realmente hermoso. Le aseguro que estas ferias fueron para mí una experencia valiosísima". A estas bellas palabras sólo agre­garemos nuestros plácemes para los organiza­dores.

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3. La Comisión Nacional para la Enseñanza de la Matemática, a solicitud de la Oficina Sectorial de Desarrollo "Educación", presentó un "Proyecto de Contenidos Generales de Ma­temática" para el Jardín de Infantes y los gra­dos 1o a 5o de Primaria, 6o al 9o de Interme­dia y 10° al 12° de Media, de acuerdo con la anunciada reestructuración de los ciclos de es­colaridad.

4. El Proyecto Matemático Canario, de Las Palmas de Gran Canaria, que dirige el Dr. Ju­lián B. Caparros Morata acaba de dar cima a una interesante iniciativa, abriendo un Centro de Informaciones y orientaciones destinado a divulgar las técnicas de Z. P. Dienes con cur­sos, cursillos, documentación, información, técnicas de elaboración de fichas de trabajo individualizado y de evaluación. Deseamos vi­vamente que iniciativas semejantes se repro­duzcan en nuestro país.

NOTAS DE ALGEBRA

A NIVEL UNIVERSITARIO Y PARA EL PROFESORADO SECUNDARIO

AUTOR: ENZO R. GENTILE

PROFESOR de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad Nacional de Buenos Aires

PROFESOR de numerosos Cursos organizados por el Instituto Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas en todo el País.

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