Instituto Tecnológico de Villahermosa

Materia: Simulación

Catedrática: M.C. Zinath Javier Geronimo

UNIDAD II

Generación de números aleatorios

Alumnas:Damaris Rocha Cambrano

Diana Laudy Sánchez Hidalgo

Enero-Junio 2017

ÍNDICE

Introducción..............................................................................................................1

2. Generación de números aleatorios......................................................................2

2.1 Números aleatorios: definición, propiedades, generadores y tablas...........2

Definición...........................................................................................................2

Propiedades.......................................................................................................3

Generadores......................................................................................................3

Tablas................................................................................................................4

2.2 Propiedades de los números pseudoaleatorios..............................................4

2.3 Pruebas estadísticas de aleatoriedad para los números pseudoaleatorios: de

medias, de varianza, de independencia y de bondad de ajuste...........................6

2.3.1 De medias.................................................................................................6

2.3.2 De varianza...............................................................................................7

2.3.3. De independencia....................................................................................7

2.3.4 De bondad de ajuste.................................................................................8

2.4 Obtención de números pseudoaleatorios utilizando paquetes

computacionales...................................................................................................9

2.5 Método de Monte Carlo.................................................................................10

Bibliografía.............................................................................................................12

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Introducción

Generalmente los sistemas reales tiene valores de cantidades o tiempo que varían

dentro de un rango, éstos son números que están definidos por una distribución de

probabilidad. Un ejemplo claro es que si un servidor tarda en atender a un cliente

entre 3.5 y 4.2 minutos, esto se definirá como una distribución de probabilidad en

el modelo de simulación. Durante la simulación cada vez que un servidor

comience a atender a un cliente, el simulador va a generar un número al azar

entre 3.5 y 4.2 minutos para simular el tiempo de atención al cliente.

Cada vez que se genera un valor a partir de una distribución, a ese valor se le

llama variable aleatoria. Y para generar variables aleatorias, es necesario utilizar

números aleatorios.

La base primordial de la simulación son los números aleatorios. Actualmente, toda

aleatoriedad involucrada en el modelo se obtiene a partir de un generador de

números aleatorios que produce una sucesión de valores que supuestamente son

realizaciones de una secuencia de variables aleatorias independientes e

idénticamente distribuidas U (0, 1). Posteriormente estos números aleatorios se

transforman convenientemente para simular las diferentes distribuciones de

probabilidad que se requieran en el modelo.

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2. Generación de números aleatorios2.1 Números aleatorios: definición, propiedades, generadores y tablas.

DefiniciónLos números aleatorios son números que deben de cumplir los requisitos de

espacio equiprobable, es decir, que todo elemento tenga la misma probabilidad de

ser elegido y que la elección de uno no dependa de la elección del otro. Son

generados por medio de una función determinista (no aleatoria) y que aparentan

ser aleatorios.

Propiedades

Frecuencia: Cada variable sigue una distribución uniforme en el intervalo [0, 1).

Independencia: Los números no deben estar relacionados entre sí.

Generadores

Los métodos para generar números aleatorios involucran algún proceso físico

cuasialeatorio, que genera sucesiones de números aleatorios de determinada

longitud. El requisito general para las sucesiones es la independencia estadística.

Para esto, existen varios métodos:

Métodos manuales: Dispositivos mecánicos o electrónicos, lanzamientos de

monedas o dados, empleo de barajas, ruletas. Son menos prácticos pero simples,

lentos, atractivos, pedagógico. Pero no pueden reproducirse.

Tablas de bibliotecas: Generados por los métodos anteriores. Están en tablas.

Siempre pueden reproducirse, pero es un sistema lento. Determinados problemas

requieren más números aleatorios que los publicados.

Métodos de computación analógica: Dependen de procesos físicos aleatorios,

por ejemplo: el ruido térmico de un circuito con semiconductores, que convertido

en un número binario, representa un valor numérico aleatorio. Se considera que

conducen a verdaderos números aleatorios.

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Métodos de computación digital: Se han sugerido tres métodos para producir

números aleatorios cuando se usan computadoras digitales; provisión externa,

generación interna, relación de recurrencia.

Existen en la actualidad técnicas para generar con una computadora, variables

aleatorias uniformemente distribuidas, r (en donde r ≥ 0 y 1 ≥ r). Los números

generados por estas subrutinas de computadora se denominan números

pseudoaleatorios, porque se generan a partir de una fórmula totalmente

determinística mediante la computación. Sus propiedades estadísticas, coinciden

con las de los números generados a través de un dispositivo fortuito idealizado

que selecciona números de un intervalo unitario (0,1) de un modo independiente

en donde son igualmente probables todos los números.

A condición de que estos números pseudoaleatorios puedan pasar el conjunto de

pruebas estadísticas (las de frecuencia, auto correlación, producto rezagado,

corridas, de distancia y así sucesivamente) implicadas por un dispositivo fortuito

idealizado, tales números pseudoaleatorios se pueden tratar corno si "en realidad

lo fueran" a pesar de que no lo son.

Tablas

Es un conjunto de cifras entre 0 y 9 cuyo orden no obedece ninguna regla de

formación, ellas se pueden leer individualmente o en grupos y en cualquier orden,

en columnas hacia abajo, columnas hacia arriba, en fila, diagonalmente, si se

desea formar números aleatorios en un determinado rango, basta con calcular la

proporción, otra forma de usarlo es sumando dos números tomados de alguna

posición o multiplicarlos.

Para ser presentadas estas cifras se agrupan en números de 4 dígitos, formando

bloques de 5 filas y 10 columnas facilitando de esta forma su lectura que puede

iniciarse desde cualquier parte de la tabla.

Una tabla de números aleatorios es útil para seleccionar al azar los individuos de

una población conocida que deben formar parte de una muestra

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2.2 Propiedades de los números pseudoaleatorios

Media de los aleatorios entre 0 y 1

En vista de que los números deben tener la misma probabilidad de presentarse, es

preciso que su comportamiento muestre una distribución de probabilidad uniforme

continua, con límite inferior cero y límite superior uno.

La función de densidad de una distribución uniforme es la siguiente:

f ( x )= 1b−a

a≤x ≤b ;eneste caso ,a=0 y b=1

Gráficamente se vería de la siguiente manera:

El valor esperado (es decir, la media de los números aleatorios entre 0 y 1) es µ= 0.5

Varianza de los números aleatorios

Partiendo de la misma distribución uniforme continua obtenemos la varianza de la distribución por medio de la ecuación:

V ( x )=σ2=E (x2 )−μ2

Dada esta ecuación podemos decir que los números aleatorios entre 0 y 1 deben tener

μ=12y σ 2= 1

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Independencia

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Esta es una propiedad muy importante, e implica que los números aleatorios no

deben tener correlación entre sí; es decir, deben ser independientes, de manera

que puedan dispersarse uniformemente dentro de todo el espectro de valores

posibles.

Es posible realizar una serie de pruebas para corroborar que no existe correlación

entre los números aleatorios e incluso para garantizar que no exista un sesgo o

tendencia entre los dígitos de cada uno de ellos.

2.3 Pruebas estadísticas de aleatoriedad para los números pseudoaleatorios: de medias, de varianza, de independencia y de bondad de ajuste.

2.3.1 De medias

Una de las propiedades que deben cumplir los números del conjunto ri, es que el

valor esperado sea igual a 0.5. La prueba que busca determinar lo anterior es la

llamada prueba de medias, en la cual se plantean las siguientes hipótesis:

H 0 :μr i=0.5

H 1 :μri≠0.5

La prueba de medias consiste en determinar el promedio de los n números que

contiene el conjunto ri, mediante la ecuación siguiente:

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ȓ=1n∑i=1

n

ri

Posteriormente se calculan los límites de aceptación inferior y superior.

Si el valor de ȓ se encuentra entre los límites de aceptación, concluimos que no se

puede rechazar que el conjunto r i tiene un valor esperado de 0.5 con un nivel de

aceptación de 1-α . En caso contrario se rechaza que el conjunto ri tiene un valor

esperado de 0.5.

2.3.2 De varianza

Otra de las propiedades que debe satisfacer el conjunto ri, es que sus números

tengan una varianza de 1/12. La prueba que busca determinar lo anterior es la

prueba de varianza, que establece las siguientes hipótesis:

H 0 :σ2ri=1/12H 0 : σ

2ri≠1/12

La prueba de varianza consiste en determinar la varianza de los n números que

contiene el conjunto ri, mediante la ecuación siguiente:

V (r )=∑i=1

n

(ri−ȓ )2

n−1

Después se calculan los límites de aceptación inferior y superior.

Si el valor de V® se encuentra entre los límites de aceptación, decimos que no se

puede rechazar el conjunto ri tiene una varianza de 1/12, con un nivel de

aceptación de 1- α ; de lo contrario, se rechaza que el conjunto de r i tiene una

varianza de 1/12.

2.3.3. De independencia

Recuerde que las dos propiedades más importantes que deben satisfacer los

números de un conjunto ri son uniformidad e independencia.

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Para probar la independencia de los números del conjunto r iprimero es preciso

formular las siguientes hipótesis:

H 0 : losnúmeros deconjunto r i son independientes

H 1: los números deconjunto r i noson independientes

Las pruebas estadísticas que tratan de corroborar si los números en el intervalo

(0,1) son independientes o, en otras palabras, si parecen pseudoaleatorios son:

Prueba de corridas arriba y abajo

Prueba de corridas arriba y debajo de la media

Prueba póker

Prueba de series

Prueba de huecos

2.3.4 De bondad de ajuste

En la construcción del modelo de simulación es importante decidir si un conjunto

de datos se ajusta apropiadamente a una distribución específica de probabilidad.

Al probar la bondad del ajuste de un conjunto de datos, se comparan las

frecuencias observadas FO realmente en cada categoría o intervalo de clase con

las frecuencias esperadas teóricamente FE.

Prueba Ji cuadrada

La prueba Ji cuadrada hace uso de la distribución del mismo nombre para probar

la bondad del ajuste al comparar el estadístico de prueba Xo2 con el valor en

tablas de la mencionada distribución Ji cuadrada con v grados de libertad y un

nivel de significancia alfa. En la siguiente sección aplicaremos esta prueba para

probar la hipótesis nula de que los números aleatorios (provenientes de un

generador) se ajustan a la distribución teórica uniforme continua.

Sea x una variable aleatoria discreta con valores x1, x2,......., xn Se propone la

hipótesis nula H0, de que la distribución de donde proviene la muestra se

comporta según un modelo teórico específico tal como la uniforme, la exponencial,

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la normal, etc. Entonces FOi, representa el número de veces que ocurre el valor xi

mientras que FEi, es la frecuencia esperada proporcionada por el modelo teórico

propuesto. A menudo ocurre que muchas de las frecuencias FEi, (y también

las FOi) son muy pequeñas, entonces, como regla práctica adoptamos el criterio

de agrupar los valores consecutivos de estas

frecuencias esperadas hasta que su suma sea de

al menos cinco. La medida estadística de prueba para la

hipótesis nula es

Para n grande este estadístico de prueba tiene una distribución X2 aproximada

con V grados de libertad dados por

V = (k –1) – (número de parámetros estimados)

así, si se estiman dos parámetros como la media y la varianza, la medida

estadística tendrá (k – 3) grados de libertad.

Se puede aplicar esta prueba a variables continuas agrupando adecuadamente los

valores en un número adecuado de subintervalos o clases k. Una regla empírica

para seleccionar el número de clases es:

2.4 Obtención de números pseudoaleatorios utilizando paquetes computacionales

La herramienta principal de la simulación es la generación de números aleatorios o

al azar, los cuales representaran el valor que tomara una variable. En un principio

los números aleatorios se generaban por métodos rústicos como el girar una ruleta

o lanzar los dados.

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El enfoque moderno es usar una computadora para generarlos mediante alguna

fórmula matemática con lo que nos encontramos generando por un método

determinístico una secuencia de número que dan la apariencia de ser aleatorios

cuando no lo son, dado que en algún momento no determinado esta lista

comenzara a repetirse, el objetivo en sí es generar una lista lo suficientemente

larga como para evitar llegar al comienzo del ciclo.

A esta serie de número que parecen ser aleatorios se les denomina

pseudoaleatorios, ahora veamos una fórmula para determinar esta serie de

números:

Excel es uno de los paquetes computacionales que permite la generación de

números pseudoaleatorios.

2.5 Método de Monte Carlo

El método de Monte Carlo es un método no determinístico o estadístico numérico

usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar

con exactitud. El método se llamó así en referencia al Casino de Montecarlo

(Principado de Mónaco) por ser “la capital del juego de azar”, al ser la ruleta un

generador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de

los métodos de Monte Carlo datan aproximadamente de 1944 y se mejoraron

enormemente con el desarrollo de la computadora.

El método de Monte Carlo proporciona soluciones aproximadas a una gran

variedad de problemas matemáticos posibilitando la realización de experimentos

con muestreos de números pseudoaleatorios en una computadora. El método es

aplicable a cualquier tipo de problema, ya sea estocástico o determinista. A

diferencia de los métodos numéricos que se basan en evaluaciones en N puntos

en un espacio M-dimensional para producir una solución aproximada, el método

de Monte Carlo tiene un error absoluto de la estimación que decrece como en

virtud del teorema del límite central.

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Bajo el nombre de Método Monte Carlo o Simulación Monte Carlo se agrupan una

serie de procedimientos que analizan distribuciones de variables aleatorias usando

simulación de números aleatorios. El Método de Monte Carlo da solución a una

gran variedad de problemas matemáticos haciendo experimentos con muestreos

estadísticos en una computadora. El método es aplicable a cualquier tipo de

problema, ya sea estocástico o determinístico. Generalmente en estadística los

modelos aleatorios se usan para simular fenómenos que poseen algún

componente aleatorio. Pero en el método Monte Carlo, por otro lado, el objeto de

la investigación es el objeto en sí mismo, un suceso aleatorio o pseudoaleatorio se

usa para estudiar el modelo.

A veces la aplicación del método Monte Carlo se usa para analizar problemas que

no tienen un componente aleatorio explícito; en estos casos un parámetro

determinista del problema se expresa como una distribución aleatoria y se simula

dicha distribución. Un ejemplo sería el famoso problema de las Agujas de Bufón.

La simulación de Monte Carlo también fue creada para resolver integrales que no

se pueden resolver por métodos analíticos, para solucionar estas integrales se

usaron números aleatorios. Posteriormente se utilizó para cualquier esquema que

emplee números aleatorios, usando variables aleatorias con distribuciones de

probabilidad conocidas, el cual es usado para resolver ciertos problemas

estocásticos y determinísticos, donde el tiempo no juega un papel importante.

Para crear un modelo exitoso mediante el método de Montecarlo debemos

seguir la siguiente cadena:

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Para finalizar, podemos decir que el método Montecarlo es aplicable en todos

aquellos sistemas que cuenten con un factor de aleatoriedad. Con lo cual

podemos concluir que se puede aplicar a sistemas complejos, de los cuales

podemos destacar áreas como informática, financiera, industrial, entre otras.

Bibliografía

García Dunna, E., García reyes, H., & Cárdenas Barrón, L. E. (2006). Simulación y análisis se sistemas con ProModel (Primera ed.). México: Pearson Eduación.

http://www.material_simulacion.ucv.cl/en%20PDF/aleator11.pdf

http://teorica.fis.ucm.es/programas/MonteCarlo.pdf

http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/isi-494/contenido/exposicion.html

http://simulacion-itstb.blogspot.mx/p/unidad-dos-numeros-aleatorios-y.html

http://www.sites.upiicsa.ipn.mx/polilibros/portal/Polilibros/P_Terminados/SimSist/doc/SIMULACI-N-128.htm

https://sistemasumma.com/2011/09/05/numeros-pseudoaleatorios/

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