volatility models and their applications in finance (1/4) - handouts: volatilitat i...

Volatilitat i Correlació

Gerard AlbàXavier Noguerola

Josep Salvà

FME UPC – gener 2014

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers

2

1. Introducció

2. Volatilitat

2.1 Volatilitat històrica

2.2 Volatilitat implícita

2.3 Volatilitat implícita vs real

Sessió Pràctica 1: Gregues. Gestió del risc d’una opció. Gestió d’un Llibre de DerivatsInformació de mercat sobre volatilitat

2.4 Models de volatilitat: EWMA, GARCH.

2.5 Models de volatilitat i valoració d’opcions: VolatilitatLocal, Volatilitat Estocàstica i Jump diffusion

2.6 Trading de volatilitat


3

3. Correlació

3.1 Introducció. Covariància i correlació.

3.2 Correlació històrica i implícita

3.4 Models de correlació

3.5 Trading de correlació

3.6 Inconvenients de la correlació. Altres mesures de dependència.

3.7 Efectes de la correlació en la valoració i càlcul de gregues

3.8 Inconvenients en l’ús de paràmetres no observables. Provisions


4

1.Introducció. Aplicacions de la volatilitat i la correlació

• Volatilitat: Desviació estàndard anualitzada de les rendibilitats d’un actiu. És una mesura de la incertesa de les rendibilitats de l’actiu.

Aproximació històrica:

• Correlació: Covariància de les rendibilitats de dos actius normalitzada. És una mesura de la dependència (lineal) entre les rendibilitats dels dos actius.

Aproximació històrica:

∑=

− −−

=m

iinn rr

m1

22 )(1

1σ

( ) ( )∑=

−⋅−−⋅

=m

k

jjk

iik

jiij rrrr

m1

1

11

σσρ


5

• Derivats:

– Valoració– Gestió del risc– Instruments amb subjacent la volatilitat o la correlació

• Gestió de carteres

• Anàlisi de riscos: risc de mercat i risc de crèdit

• Altres. Ex: execució ordres de mercat (tradingalgorítmic)



6

• Derivats: valoració i modelització

tttt

t dZdtdrS

dS ⋅+−= σ)(

)()( 21 dNeKdNSc rT ⋅⋅−⋅= −

T

TrK

S

dσ

σ ⋅++

=)

2

1(ln 2

1T

TrK

S

dσ

σ ⋅−+

=)

2

1(ln 2

2



7

• Derivats:Valoració i modelització. Call Worst-of:


11

11

1

)( tttt

t dZdtdrS

dS⋅+−= σ 2

22

2

2

)( tttt

t dZdtdrS

dS⋅+−= σ ( ) 12

21 , ρ=dZdZCov

( ) ( ) ( )ρσσρσρ ;,;; 22112,221,11211 TyTyMKeTdyMeSdyMeSC rTTDTD

ofw −−−−−+−−= −−−−

T

TDDS

S

dσ

σ)

2(ln

2

122

1 +−+

=T

TDrK

S

y1

211

1

1

)2

1(ln

σ

σ ⋅+−+

=T

TDrK

S

y2

222

2

2

)2

1(ln

σ

σ ⋅+−+

=

2122

21 2 σρσσσσ −+= σ

ρσσρ 211

−=

σρσσ

ρ 122

−=


8

• Derivats: gestió del risc de llibres de derivats



9




10




11




12

• Teoria de carteres. Volatilitat i correlació

• Són habituals altres aplicacions de la volatilitat en la gestió de carteresorientades al control del risc.


]2

[2

]1

[1

][ REWREWP

RE +=

122121222

22

21

21

2 ρσσσσσ wwwwp ++=


13

• Value at Risk

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

-3

-2.5 -2

-1.5 -1

-0.5 0

0.5 1

1.5 2

2.5 3

Punt mig interval

Fre

qüèn

cia

en l'

inte

rval

Freqüència normalitzadadels returnsestandaritzats

Normal estàndar

La probabilitat que la rendibilitat es trobi en un interval d’amplada 2 desviació estàndar al voltant del valor mig és aproximadament 0.95

Returns diaris

-15.00%

-10.00%

-5.00%

0.00%

5.00%

10.00%

15.00%

5-ene-98 24-jul-98 9-feb-99 28-ago-99 15-mar-00 1-oct-00 19-abr-01 5-nov-01



14

• Un exemple d’insuficiència de la volatilitat i la correlació. HF:



15


• La volatilitat històrica de la rendibilitat r d’una variable de mercat S a l’instant n es pot calcular a partir d’una mostra d’m obervacions anteriors i l’estimador estadístic no esbiaixat:

– ri és la rendibilitat composta continua de la variable Sentre l’instant ti-1.i ti . És a dir, anomenant Si al valor de Sa l’instant ti:

– és la rendibilitat mitjana:

nσ

∑=

− −−

=m

iinn rr

m 1

22 )(1

1σ

1

ln−

=i

ii S

Sr

r

∑=

−=m

iinrm

r1

1


16


• Per aproximacions de la volatilitat a curt termini (per exemple, en càlculs de mesures diàries de risc VaR) sovint es considera =0 i rendibilitats simples:

• i la volatilitat es calcula llavors de

• Aquesta mesura és una bona aproximació si la deriva de l’actiu per l’interval de temps entre observacions no és gran.

r

1

1

−

−−=

i

iii S

SSr

∑=

−=m

iinn r

m 1

22 1σ


17


• Pel càlcul de la volatilitat s’usa un interval de temps que correspon al càlcul de les rendibilitats, , i un interval de temps que correspon a la longitud de la mostra, .

• Podem calcular la volatilitat per altres intervals de temps:– Per exemple, si dia (i prenem una mostra de n dies),

podem calcular la volatilitat a 1 setmana, 1 mes o 1 any. Una aproximació a la volatilitat per dies, , es pot calcular a partir de la volatilitat a un dia segons:

1−−=∆ ii ttt

tn ∆⋅

dt =∆

1=∆t

dσσ

σσ ⋅= dd


18


• Aquesta aproximació és vàlida sota la hipòtesi que les rendibilitats contínues (log-rendibilitats) diàries són independents i idènticament distribuïdes:– Si ri,d és la rendibilitat contínua a d dies a l’instant

ti , ,podem descomposar-la amb rendibilitats diàries:

– i suposant les rendibilitats diàries i.i.d., la variància de la suma ens dóna la suma de variàncies:

– Aquesta aproximació no és vàlida per intervals grans de temps, ja que sovint s’observa una reversió a la mitjana dels valors de les variables de mercat que invalida la hipòtesi.

)ln()ln(, ididi SSr −= +

1,11,11,, −++ +++= diiidi rrrr K

22 σσ ⋅= dd


19


• En particular, anualitzant les volatilitats per diferents intervals obtingudes a partir de les volatilitats diàries s’obtindrien els mateixos valors per qualsevol interval, és a dir, no existiria una estructura temporal de volatilitats.

• Per mesurar la volatilitat històrica a d dies és millor calcular-la a partir de la mostra d’observacions de la variable de mercat directament.

– Per exemple, per calcular la volatilitat a d dies a partir d’una mostra diària de la variable, usarem periodes de d dies per calcular les log-rendibilitats.

– Això fa necessari un major nombre d’observacions en la sèrie si es volen calcular volatilitats a terminis més llargs. El nombre d’intervals de d dies a partir d’una sèrie de la variable es pot augmentar usant intervals que es solapin.


20


• La volatilitat calculada per un interval ,sovint s’escala a volatilitat anual (per exemple, volatilitat diària anualitzada):

• per exemple ( expressat en parts d’any),

• A la pràctica, la volatilitat s’acostuma a espressar en percentatge.

σ t∆

σσ ⋅∆

∆=

t

tescaladaescalada

σσ ⋅∆

=t

anyanual

1

t∆


21


• Exemple: Suposem que una acció té una rendibilitat anual aproximada del 10%. La rendibilitat diària esperada aproximada (suposem que la distribució és simètrica respecte a la mitja) és d’un 10%/250=0.04% (suposant 250 dies hàbils a l’any). Si la volatilitat anualitzada és d’un 20%, la volatilitat diària és

• És a dir, la rendibilitat diària esperada és petita comparada amb la volatilitat diària, i és raonable suposar-la zero per a càlculs aproximats.

%26.1250

%20 =


22


• La volatilitat ha estat calculada, independentment de l’interval de temps al que es refereix, en un instant de temps fix tn .Calculant la volatilitat històrica per diferents instants de temps tn, tn+1, tn+2, ...obtindrem una sèrie temporal. És a dir, la volatilitat és dinàmica amb el temps. La mostra d’observacions correspondrà a avançar un interval de temps cada vegada.t∆


23



24


• Intervals de confiança per la volatilitat

• Per algunes aplicacions, sobretot en càlculs de mesures de risc VaR, les rendibilitats contínues (log-rendibilitats) dels actius es suposen amb distribució normal. En aquest cas, es poden trobar intervals de confiança per les volatilitats estimades. L’interval de confiança es pot calcular de:

– és la volatilitat exacta de la distribució de rendibilitats– s és la volatilitat estimada a partir de la mostra d’m

observacions

– 1- és el nivell de significació o confiança– és la distribucó chi-quadrat

αχ

σχ αα

−=

−⋅≤≤−⋅−−−

1)1()1(

Pr)2/1;1(

2)2/;1(

2mm

ms

msob

σ

α2χ


25


• Exemple: Suposem que la volatilitat diària anualitzada estimada a partir d’una mostra de 21 preus de tancament d’una acció (m=20 intervals) és del 27.43% (s=0.2743) Determinem l’interval de confiança al 95% ( =0.05) per la volatilitat real.

• És a dir, la volatilitat real està amb una probabilitat del 95% entre 20.86% i 40.06%, a partir d’un valor estimat del 27.43% amb 20 observacions. Suposant la hipòtesi de normalitat per la rendibilitat de l’acció.

α

95.0)120(

2743.0)120(

2743.0Pr)2/05.01;120(

2)2/05.0;120(

2=

−⋅≤≤−⋅−−− χ

σχ

ob

[ ] 95.04006.02086.0Pr =≤≤ σob


26


• La volatilitat implícita es calcula a partir de cotitzacions reals de mercat d’instruments pels quals es disposa d’una fórmula o mètode de valoració que usa la volatilitat de l’actiu com a paràmetre pel càlcul.

– Per exemple, per opcions vainilla, podem usar la fórmula de Black-Scholes i la cotització real de l’opció en un mercat per deduïr-ne la volatilitat aplicada.

• La volatilitat implícita s’usa com una predicció de la volatilitat per al termini corresponent al venciment de l’opció.


27



28

2.2 Volatilitat implícita• Volatilitat implícita de Black-Scholes

• La fórmula de Black-Scholes pel preu d’una opció call europea amb strike K i temps a venciment T sobre un actiu (que no paga dividends) amb preu S i volatilitat és:

r és el tipus d’interès lliure de risc pel termini T

• Si el preu c és observat del mercat, així com els paràmetres S, K, r i T, podem resoldre l’equació per deduïr-ne la volatilitat implícita.

σ

)()( 21 dNeKdNSc rT ⋅⋅−⋅= −

T

TrK

S

dσ

σ ⋅++

=)

2

1(ln 2

1T

TrK

S

dσ

σ ⋅−+

=)

2

1(ln 2

2


29



30

2.2 Volatilitat implícita• Opcions amb strikes diferents i venciments sobre el mateix

subjacent atrauen diferents preus en el mercat, i per tant, diferents volatilitats. Podem obtenir així una superfície de valors de la volatilitat per diferents valors dels paràmetres strike i venciment.

• Si usem el model de valoració de Black-Scholes, que suposa una distribució lognormal pel preu de l’actiu subjacent, s’observa que la volatilitat implícita per opcions amb mateix subjacent i venciment però diferents strikes és diferent (skewo smile de volatilitat),

– Per exemple, sovint els actius tenen rendibilitats extremes amb més freqüència de la donada per una distribució normal (fat tails), de manera que, opcions out-the-money(OTM) poden tenir més probabilitat d’esdevenir in-the-money(ITM) que la donada per la hipòtesi de Black-Scholes. Aquest biaix en la valoració de Black-Scholes és corregida pel mercat aplicant volatilitats diferents a opcions amb strikes allunyats del at-the-money(ATM).


31


• Superfície volatilitats implícites de BBVA. Opcions amb strikes diferents i venciments atrauen diferents preus en el mercat, i per tant, diferentsvolatilitats. Podem obtenir així una superfície de valors de la volatilitat per diferents valors dels paràmetres strike i venciment.


32



33


• El mercat ha mantingut la fórmula de Black-Scholes com estàndar de valoració, però per adequar-se a la realitat s’ajusta la volatilitat.

• La volatilitat implícita – recull en un sol paràmetre perspectives de mercat dels operadors

i la seva manera de donar preu a una opció emprant la fórmula de Black-Scholes.

– és una manera de cotitzar el preu de l’opció, i realment no implica res sobre el procès seguit pel subjacent (per exemple, en general no permet fer un càlcul de la delta que resulti millor en fer la cobertura).

– és un número incorrecte que s’usa en una fórmula incorrecta per obtenir el preu correcte (el de mercat).

– és diferent per subjacents de renda variable, divisa, tipus d’interès o commodities.L’smile (i, més generalment, l’estructura temporal d’aquest smile) adopta diferents formes típiques en cada cas, variant també amb el temps.


34

2.2 Volatilitat implícita• Els cons de volatilitat són una representació de l’estructura

temporal de la volatilitat, on es compara el valor actual de la volatilitat implícita (ATM) amb la distribució històrica de volatilitats implícites (ATM).

• Per construir el con:

– fixat un de temps a venciment t, calculem les freqüències en que s’ha produït cada nivell de volatilitat implícita (d’opcions de venciment t) durant els darrers anys, i dibuixem a la gràfica els límits inferior i superior d’un interval de confiança del 95% per exemple.

– fem el càlcul per tots els venciments t. Les gràfiques dels límits inferiors i superiors pels diversos venciments dibuixa una figura de con, ja que la volatilitat implícita tendeix a variar més quan estem prop del venciment. La tercera gràfica dibuixada, amb els valors actuals de volatilitat implícita per diferents venciments, sovint s’usa juntament amb el con per decidir operar (volatilitat cara o barata a cada venciment, per comparació històrica).


35


• Exemple: Con de volatilitat, Estructura temporal de volatilitat implícita ATM i Smile de volatilitat per un índex de renda variable. En el cas de subjacents d’índexos de renda variable, l’smile acostuma a ser molt pla entre strikes ATM i calls OTM, mentre que en el sentit contrari (vers OTM puts) sovint és molt més pronunciat el pendent.


36



37


• Con de volatilitat de l’índex S&P500, a gener del 2011. La volatilitatimplícita es troba al mig del rang històric dels darrers 10 anys. La volatilitat històrica (realitzada) per terminis curts es troba per sota de la implícita corresponent. La volatilitat implícita a llarg termini estàper damunt dels nivells màxims de volatilitat històrica.


38


• Exemple: Valoració d’una opció digital

– Una opció call digital D(K,T) paga 1 si el preu de l’actiu subjacent a venciment T, ST, és més gran que l’strike K, i 0 altrament.

– Es pot valorar com a límit d’un call spread quan l’spread entre els strikes tendeix a 0:

C(K,T) és el preu d’una call europea amb strike K i venciment T.

( ) ( )K

TKCTKD

∂∂−= ,

,


39


– El preu de l’opció digital és molt sensible a l’skew:

– Exemple: Suposem tipus d’interès i dividends iguals a zero, volatilitat ATM igual a 25%, skew de volatilitat d’un 3% per cada 10% de variació en l’strike. Valorem una digital ATM a 1 any.

– Si ignorem l’skew, tenim un error del 12% en la valoració!

( ) ( )( )K

C

K

CTKTKC

KTKD BS

BS

BSBSBSBS ∂

∂⋅∂∂−

∂∂−=

∂∂−= σ

σσ ,,,,

( ) 3.04.02

3.02

12

1,1 2

21

×+

−≈×+

−=∂

∂⋅∂∂−

∂∂−=

− σπ

σσσ

NeNK

C

K

CD

dBS

BS

BSBS


40


• Exemple: Valoració d’una opció cliquet

– Una opció call cliquet té payout:

– A l’instant futur T1 esdevé una opció call ATM amb preu donat per Black-Scholes i volatilitat implícita futura entre T1 i T2 donada per additivitat B-S:

– Exemple: !

−0;max

1

12

T

TT

S

SS

( )122

,12,02

2,0 2112

TTTT TTTT −⋅+⋅=⋅ σσσ

( ) ( )1212,02

2,0, /

1221TTTT TTTT −⋅−⋅= σσσ

%14.14%30%40211 2 === TTTT σσσ


41


• Exemple: Con de volatilitat, Estructura Temporal de volatilitat i Smile de volatilitat pel tipus de canvi EUR/USD


42



43



44



45

2.2 Volatilitat implícita• L’smile de volatilitat d’opcions de divisa sovint es resumeix amb

les cotitzacions de dues estratègies: el 25-delta risk reversal(compra d’una call 25-delta OTM i venda d’una put 25-delta OTM) i el 25-delta strangle (compra d’una call 25-delta OTM i compra d’una put 25-delta OTM). Aquestes dues estratègies es cotitzen amb preus pel conjunt de l’estructura.

• El risk reversal es cotitza com la diferència entre les volatilitats implícites de les opcions que el componen. Si és positiu, vol dir que la call OTM és més cara que la put OTM (per exemple, una cotització del risk reversal del 2% indica que la volatilitat de la call és un 2% més cara que la put).

• L’strangle es cotitza com la mitjana de les volatilitats implícites de les opcions que el componen menys la volatilitat de l’opció ATM. Si és positiu, vol dir que les opcions OTM són més cares que les ATM.

• Les cotitzacions dels risk reversal i els strangles donen una idea del pendent i la curvatura de l’smile al voltant de l’ATM.


46


• Superfície de volatilitats ATMF per derivats OTC de tipus d’interès EUR


47

• Càlcul de la volatilitat implícita

• Una manera eficient de calcular la volatilitat implícita d’una opció és el mètode de Newton-Raphson aplicat a la funció f( )=c( )- , on és la cotització de mercat de l’opció i c( ) és la fórmula de Black-Scholes. Per tant, calculem iterats de la successió:

és la vega de l’opció avaluada en .

• fins que es verifiqui:

és la tolerància en determinar .

Llavors, és l’aproximació de la volatilitat implícita.

σ σσ mc mc

i

miii c

cc

σσσσ

∂∂−

−=+ /

)(1

ic σ∂∂ / iσ

εσ ≤− + )( 1im cc

ε σ

1+iσ



48


• Un valor inicial pel càlcul iteratiu que garanteix convergència per opcions europees es pot obtenir de la següent fórmula:

• En el mètode de Newton-Raphson és necessari conèixer la vega de l’opció, la derivada parcial de la fórmula de valoració respecte la volatilitat. Per algunes opcions exòtiques i americanes no es disposa d’una expressió analítica de la vega. Per aquests casos, és útil usar el mètode de la bisecció per determinar la volatilitat implícita.

0σ

2/1

0

2)/ln(

⋅⋅+=T

TrKSσ


49


• La volatilitat implícita és la valoració (el preu) que fa el mercat de la volatilitat (per exemple de l’spot de l’EURUSD) per un periode futur, per exemple un mes.

• La volatilitat real a un mes és la volatilitat de l’spot durant el proper mes.

• Ambdues mesures són valors futurs pel mateix periode de temps (un mes). Però així com la volatilitat implícita és una predicció, coneguda a l’inici del periode, la volatilitat real en canvi es coneix al final del periode (històrica) i és el que realment ha succeït.

• Les dades històriques mostren que ambdos valors no coincideixen. Per tant, si es té certa capacitat de predicció sobre si la volatilitat implícita és cara o barata respecte la volatilitat real, aleshores existeix una oportunitat de trading.


50


• Per analitzar la volatilitat implícita vs la real:

– Comparar la volatilitat implícita amb mínims i màxims històrics (cons de volatilitat)

– Estimar la volatilitat futura a partir de la històrica (models GARCH, etc)

– Comparar diferencial entre implícita i històrica respecte valors històrics.


51


• Una estratègia de trading amb opcions per treure profit d’una volatilitat implícita cara (o barata) respecte la real esperada pot ser vendre (o comprar respectivament) un straddle amb la delta coberta.

• Mantenim la delta coberta, de manera que la posició no és sensible al valor de l’spot. Operem segons la gamma de la posició, que és la que ens dóna la sensibilitat a la volatilitat real que es dóna.

• La rendibilitat és positiva si l’spot és menys (o més, respectivament) volàtil que la volatilitat implícita.

• El resultat no és directament proporcional a la diferència entre volatilitat real i implícita, ja que la gamma varia segons l’spot i amb el pas del temps.

volatility models and their applications in finance (1/4) - handouts: volatilitat i...

Economy & Finance