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Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015

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Capítulo 10

VIGAS DE PARED DELGADA 1 INTRODUCCIÓN

Este capítulo está dedicado al estudio de vigas de pared delgada. El objetivo es determinar las tensiones y las deformaciones, en especial las tensiones de corte originadas en el momento torsor y los esfuerzos de corte.

A modo de ejemplo se considera una viga de pared delgada abierta de forma arbitraria cuya sección plana se muestra en la Figura 1.

Primero se procede a determinar las propiedades de la sección: i) área (A), ii) ubicación del centro de gravedad (punto G), iii ) momentos de inercia y producto de inercia, iv) ejes principales de inercia (Iy e Iz ) que se interceptan en el centro de gravedad de la sección (ejes “y” y “z”) y v) ubicación del centro de corte (punto C).

A continuación se determinan los esfuerzos que solicitan a la sección plana: i) el esfuerzo normal N y los momentos flectores My y Mz que pasan por el centro de gravedad G. ii ) el momento torsor T y los esfuerzos de corte Qy y Qz que pasan por el centro de corte C.

Figura 1: Esfuerzos en una sección de pared delgada y tensión normal en un punto genérico

Una vez determinadas las propiedades de la sección plana y los esfuerzos actuantes podemos calcular las tensiones. Las tensiones normales en un punto genérico (punto A) de la sección, definido por las coordenadas ( yA y zA) respecto a los ejes principales de inercia, se calculan por la “fórmula de la flexión compuesta” que es totalmente general,

( )x A AAy z

y z

M MN z yA I I

= + −σ (1)

siendo aplicable a todo tipo de secciones: llenas, de pared delgada (abiertas o cerradas), y también de pared gruesa, sean ellas simétricas o no.

Las tensiones de corte en un punto genérico tal como el A dependen del momento torsor (T ) que se calcula tomando momentos respecto al centro de corte y de los esfuerzos cortantes (Qy y Qz ) que tienen la dirección de los ejes principales de inercia pero pasan por el centro de corte.

Nos preguntamos: ¿Existe una fórmula totalmente general, para calcular las tensiones de corte?

( , , , , )A A Ay zf T Q Q y zτ = = ? (2)

Lamentablemente la respuesta es no, en cada caso se deben tener en cuenta las particularidades de la sección considerada. En algunos casos como en las secciones circulares se conoce la solución general, en otras secciones llenas (rectángulo, elipse, triángulo, hexágono, etc.) se tiene una fórmula para determinar la tensión de corte máxima pero no se dispone de una expresión para determinar la tensión de corte en un punto genérico en función de sus coordenadas.


170

En este capítulo se derivan fórmulas para las tensiones de corte de secciones cerradas y abiertas de pared muy delgada, que pueden tener o no ejes o centros de simetría. En el Anexo al final de este capítulo se resumen las fórmulas para calcular la tensión de corte máxima y el módulo torsional de diversos tipos de secciones.

Finalizamos esta introducción anticipando que a lo largo de este capítulo se demuestra que en ciertos casos de vigas de pared delgada, el momento torsor T produce tensiones normales denominadas “tensiones secundarias” que se agregan a las provocadas por el esfuerzo axial y la flexión considerados en (1) que se modifica como se indica en (3)

A A Ay z

y z

M MN z yA I I

σ = + − , ,( )T s βσ+ (3)

donde ‘s’ es una coordenada curvilínea que recorre la línea media del espesor del contorno de la sección plana de pared delgada y ‘β ’ es el giro por unidad de longitud de viga correspondiente a la sección considerada, que está definida por la coordenada axial x indicada en la Figura 1.

2 TORSIÓN DE UNA SECCIÓN CERRADA UNICELULAR DE PARED DELGADA Nos referiremos a un perfil de pared delgada como el de la Figura 2-a. El espesor puede ser

variable pero debe ser muy pequeño en comparación con el perímetro y sin cambios bruscos porque en ese caso se produce concentración de tensiones. El espesor, t, y las tensiones de corte, τ, no varían en el sentido axial (eje x).

Figura 2: Determinación del flujo de corte en una sección de pared delgada unicelular

Se aísla un elemento, digamos el ABCD, como se muestra en la Figura 2-b y se plantea el equilibrio de fuerzas en el sentido x teniendo en cuenta la reciprocidad de las tensiones tangenciales y el hecho de que los puntos A y C son arbitrarios. Se observa que el producto de τ por t es constante en todo el perímetro del perfil. El producto ( τ t ) se denomina “flujo de corte”.

1 1 2 2 1 1 2 2t dL t dL t t cteτ τ τ τ= → = = → q t=τ (4)

Para calcular el momento torsor

se integra a lo largo del perímetro el momento infinitesimal que el flujo de corte produce respecto a un punto arbitrario P como se muestra en la Figura 2-c.

( )T r q ds q r ds= =∫ ∫

(5) Notar que el flujo q se ha sacado fuera de la integral por ser constante a lo largo de todo el

perímetro. La integral debe efectuarse a lo largo de la línea media y tiene una interpretación geométrica muy simple. En efecto, (rds ) es el doble del área del triángulo de base (ds) y altura (r ).

2r ds Γ= →∫ 2T qΓ= (6)

Notar que el área Γ no es el área A de la sección recta, sino, el área encerrada por la línea media del perímetro (normalmente Γ >> A) .

La tensión de corte por torsión en la sección cerrada de pared delgada depende del espesor:

Reemplazando (4) en (6) y despejando: (2 )T tτ Γ= / (7)


171

El giro por unidad de longitud

( β = dθ /dx ) puede obtenerse por un simple planteo energético. El trabajo realizado por el momento torsor T es:

½ donde: eW T Lθ θ β= = (8) Cuando actúa solamente la tensión de corte, la energía por unidad de volumen “w”, dada en la

ecuación (123) del Capítulo 1 se reduce a una expresión sencilla que se puede integrar en el volumen (dV = Ltds ) para calcular la energía interna de deformación elástica Wi .

2 2 2

½ ½ ½ ½ i iw W w dV dV W Lt dsG G Gτ τ ττ γ= = → = = → =∫ ∫ ∫

(9)

Igualando We con Wi ( )2

½ ½ T L Lt dsGτβ = ∫ (10)

Se puede despejar β. Reemplazando (4) y (6) en (10) se puede expresar β de dos maneras según convenga en función del momento torsor T o del flujo de corte q:

2

q dsG t

= ∫βΓ (11)-a 24

T dsG t

= ∫βΓ

(11)-b (11)

Las ecuaciones (6) y (11) son conocidas como fórmulas de Bredt, quien las dedujo en 1896. Notar que son fórmulas aproximadas válidas para espesor t muy pequeño. Como en general los espesores de las vigas de pared delgada no son muy pequeños el error no es insignificante. A modo de ejemplo, si la fórmula (6) se aplica a un tubo circular cuyo espesor es igual al 20 % del radio medio, la tensión máxima calculada es un 8 % inferior al verdadero valor. En ese mismo ejemplo el giro por unidad de longitud β calculado con (11) tiene un 1% de error en exceso.

Teniendo en cuenta la ley de Hooke podemos expresar el giro por unidad de longitud como

R

T LG J

=θ (12)-a →

R

TG J

β = (12)-b (12)

donde el producto (G JR) es la rigidez a la torsión de la sección. Al comparar la ecuación (12)-b con la (11)-b se obtiene la fórmula (13)-a para calcular el módulo torsional

JR de una sección cerrada de pared delgada que es el equivalente al momento de inercia polar de una sección circular.

24 RJ dst

Γ=

∫ (13)-a si t es constante

24perímetroR

tJ Γ→ = (13)-b (13)

donde se observa que el módulo torsional de secciones cerradas crece con el cuadrado del área encerrada Γ y sólo linealmente con el espesor t.

En el caso de una sección cerrada con aletas se suman las contribuciones de esos elementos

( )( )( )

234

/R i iΓJ t ds

ds t= +∑ ∫∫

⅓ (14)

Es muy importante destacar la gran diferencia entre el módulo torsional de una sección cerrada y otra similar abierta. A modo de ejemplo se sugiere al lector verificar que el tubo soldado (cerrado) de la Figura 3-b tiene una rigidez (G JR ) que es 300 veces la rigidez del mismo tubo sin soldar de la Figura 3-a. Asimismo puede verificarse que la tensión máxima en la sección abierta es 30 veces el valor de la sección similar pero cerrada.

2

3 300mR

R

rJ cerradaJ abierta t

= =

max

max

3 30mabierta rcerrada t

ττ

= =

Figura 3: Comparación entre dos secciones aparentemente similares: a) abierta, b) cerrada


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3 TORSIÓN DE SECCIONES CON VARIAS CÉLULAS Las secciones cerradas multicelulares de pared delgada son de uso frecuente en ingeniería

naval, mecánica y aeronáutica. Su análisis es una simple generalización de los resultados obtenidos por Bredt para una sección cerrada (unicelular).

Analizaremos una sección de dos células del tipo de la Figura 4, pero los resultados pueden generalizarse al caso de n células. Se considera que en la célula 1 actúa el flujo de corte q1 y que en la célula 2 actúa el flujo q2, mientras que en el tabique interior se superponen ambos flujos.

Figura 4: Sección cerrada de pared delgada de dos células

Repitiendo un razonamiento similar al que permitió deducir (4) se puede probar que 3 1 2q q q= − (15)

esto permite tratar los flujos de corte en las células como corrientes en las mallas de circuitos eléctricos. Suponiendo que las secciones planas no se distorsionan en su plano (teoría de Saint Venant)

se puede anticipar que todas las células giran lo mismo, de esa manera según (11) se tiene:

1 21= ...= donde: 1, 2,

2i

n ii

q ds i nGΓ t

β β β β β= = =∫i

(16)

El momento torsor total se obtiene como suma de la contribución de todos los tramos. Considerando la sección de dos células de la Figura 4-a se tiene

( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2

1 1 3 2 2 3 1 2 3 1 1 2 22 2 2 2

ABC CDA CAT q r ds q r ds q q r ds

q q q q q qΓ Γ Γ Γ Γ Γ Γ

= + + −

= + + − − − = +

∫ ∫ ∫ (17)

Generalizando para n células 1

2n

iT q Γ

=

= ∑ i i (18)

Un problema típico es el siguiente: Se dan como datos la geometría, el material (G ) y el momento torsor total T y se pide hallar los n flujos de corte qi y el giro por unidad de longitud ( β ). Se tienen n células y por lo tanto n +1 incógnitas. Se dispone de un sistema de n ecuaciones acopladas (16) que permiten calcular los qi en función de β (que es único). Reemplazando luego en (18) podemos despejar el valor de β con el que finalmente se calculan los qi .

Secuencia de cálculo para resolver la sección de dos células de la Figura 4:

Comenzamos definiendo: 2 ; i iG q qβ β β= = (19)

Ec. (16) → 1 1

2 2

2 Gqa bqc d

βΓΓ

=

⋅ → 11 1

2 2 2

resolviendo qqa bqc d q

ΓΓ

⋅ = →

(20)

Ec. (18) → ( ) ( )1 1

1 1 2 22 21 1 2 2

despejando22

q qTT q qq qq q

ββ β

βΓ Γ

Γ Γ

== + → = → =+

(21)

Para obtener el módulo torsional se parte de (12)-b se tiene en cuenta (19) y se generaliza (21):

4R i iJ qΓ= ∑ (22)


173

4 ÁREA SECTORIAL Las vigas de pared delgada pueden estar solicitadas por torsión o bien torsión y flexión. El

análisis de tales problemas se simplifica definiendo una propiedad de la sección llamada Área Sectorial.

Figura 5: Definición del área sectorial

Para la sección abierta de pared delgada de la Figura 5 se elige arbitrariamente un punto inicial ( I ) para medir la distancia ‘s’ sobre la línea media. También se elige arbitrariamente un punto ( P) como ‘polo’ y se define el área sectorial ω (s) como

( ) 0 0

s s

s r ds dω ω= =∫ ∫ [cm2] (23)

Notar que el área sectorial es un valor asociado a cada punto de la línea media de la sección.

El incremento dω es positivo cuando PQ rota en sentido antihorario. Notar que si se cambia el punto inicial, el valor del área sectorial cambia en una cantidad fija en todos los puntos (el cambio es igual al valor del área sectorial en el nuevo punto inicial ).

A modo de ejemplo se muestran los gráficos del área sectorial para una misma sección donde se cambia la ubicación del polo y del punto inicial.

Figura 6: Distintos gráficos del área sectorial cambiando el polo y el punto inicial

Otras propiedades útiles para el análisis de secciones de pared delgada son las siguientes:

1) Momento estático sectorial................... ( )s

M t dsω ω= ∫ [cm4] (24)

2) Momento sectorial de 1er orden........... ( )x

sS y t dsω ω= ∫ [cm5 ] (25)

donde y es la distancia al eje “x”

3) Momento de inercia sectorial................ 2 ( )s

I t dsω ω= ∫ [cm6 ] (26)


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Notar que estas propiedades de las secciones de pared delgada dependen de la geometría de la sección y de la elección de los puntos “I ” y “P”.

Las propiedades (24), (25) y (26) son propiedades de la sección a diferencia del área sectorial definida en (23) que varía de punto a punto de la sección. Notar que (25) depende además del eje de referencia “x” .

4.1 Diagrama principal de área sectorial Cuando se utiliza el centro de corte como polo, los momentos sectoriales de primer orden (Sω )

definidos en (25) respecto a ejes principales resultan nulos independientemente de la elección del punto inicial. Esto se demuestra más adelante, ver ecuación (66). Si además se elige el punto inicial de modo que el momento estático sectorial se anule, se obtiene un diagrama de área sectorial que se denomina “diagrama principal de área sectorial”.

Para obtener el diagrama principal se calcula primero ω1(s) usando al centro de corte como polo y adoptando un punto inicial cualquiera

1( ) 0

s

s r dsω = ∫ (27)

Cambiar el punto inicial implica restar una constante (ωo ) en todos los puntos de la sección

( ) 1( ) os s ωω ω= − (28)

Para que la nueva área sectorial ω (s) así definida sea el diagrama principal deberá cumplirse que

( )( )00

s

s t dsω =∫ (29)

de donde ( ) ( ) ( )1( ) o o 1( )10s st ds t ds t dsA

ω ω ω ω− = → =∫ ∫ ∫ (30)

Resumiendo: 1º ) se calcula ω1(s) según (27) usando al centro de corte como polo. 2º ) se calcula la constante ωo usando (30), donde A es el área de la sección.

3º ) se obtiene el área sectorial principal ω(s) usando (28). Nota 1: Recordar que debe utilizarse como polo al centro de corte. Nota 2: Cuando hay un eje de simetría basta tomar el punto inicial I sobre el eje de simetría para

obtener directamente el diagrama principal sin necesidad de usar el procedimiento anterior !

5 ALABEO - TENSIONES SECUNDARIAS 5.1 Desplazamientos por alabeo

La mayoría de las secciones alabean cuando son torsionadas. Se denomina ‘alabeo’ a los despla-zamientos en el sentido axial que hacen que las secciones originalmente planas no permanezcan planas después de ser torsionadas. Cuando el alabeo está restringido por los apoyos se originan tensiones denominadas “secundarias” son de dos tipos: i) axiales en el sentido de viga y ii ) de corte actuando en las secciones transversales.

Para desarrollar expresiones que permitan calcular el desplazamiento axial u, consideramos el tramo de viga de la Figura 7-a.

Figura 7: Contribuciones a las deformaciones por corte en una viga solicitada en torsión


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Aislando un elemento genérico ABCD se observa que hay dos contribuciones a las deforma-ciones de corte γ (ver Figura 7-b): i ) la primera que llamaremos α se origina en la rotación relativa de una sección respecto a la otra que se encuentra a una distancia dx y ii ) la segunda que llamaremos λ se origina en la variación de los desplazamientos axiales u, ( alabeo):

durds

γ α λ β= + = + (31)

La distorsión de corte γ produce en el plano medio un flujo de corte q. Según (2) y la ley de Hooke asociada al corte se tiene:

(4) →

Hooke

q t qGtG

τγ

τ γ

= → ==

→ (31) → du q rds Gt

β= − (32)

5.2 Secciones abiertas Recordando que las secciones abiertas no tienen flujo de corte ( )0q ≡ , se puede integrar (32)

llegando a:

00

su r ds uβ= − − →∫ ( ) ( ) 0s su uβ ω= − − (33)

La ecuación (33) muestra que los desplazamientos por alabeo en secciones abiertas de pared delgada son proporcionales al giro por unidad de longitud β y tienen la misma ley de variación que el área sectorial ω(s) a lo largo del perímetro. Notar que u0 es una traslación de toda la sección que depende del punto inicial utilizado para definir el área sectorial.

IMPORTANTE: Las secciones abiertas cuya área sectorial es nula en todos los puntos no se alabean. Esto ocurre, por ejemplo, cuando la sección está constituida por un haz de elementos rectos que concurren en un punto como se muestra en la Figura 8.

Figura 8: Secciones abiertas formadas por un haz de rectas concurrentes cuya área sectorial es nula

5.3 Secciones cerradas En una sección cerrada no existe el corte EF de la Figura 7-a y se obtiene en general un flujo

de corte no nulo constante en el perímetro. Integrando (32) y haciendo nula la constante de integración u0 se obtiene:

0( )( )s

ssq dsuG t

βω= − + ∫ (34)

Reemplazando las fórmulas de Bredt (6) y (11) en (34) se tiene

0

( )( ) 2 2

s ss

T ds dsuG t t

ωΓ Γ

= −

∫ ∫ (35)

Si se recorre todo el perímetro ω = 2 Γ y entonces u(s) = 0, lo que es correcto porque estamos nuevamente en el punto inicial.

Se sugiere al lector verificar que existen algunos casos donde u(s) ≡ 0 en todos los puntos y por lo tanto la sección no alabea. Tal es el caso de las secciones mostradas en la Figura 9-a, b y c.


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Figura 9: Ejemplos de secciones que no alabean

5.4 Tensión axial secundaria Cuando el alabeo varía a lo largo del eje x se originan tensiones normales secundarias en el sentido

del eje de la viga. Se denominan tensiones secundarias porque a priori uno no esperaría que la torsión produzca tensiones normales que se suman a las causadas por la flexión y el esfuerzo axial.

La variación en el desplazamiento de alabeo, u, se origina en las siguientes causas: 1. Variaciones del momento torsor a lo largo de la viga, 2. Restricción al alabeo libre en una o más secciones (apoyos) o 3. Una combinación de las dos causas anteriores actuando simultáneamente.

Para el caso de torsión actuando sola se tiene:

( )( ) ( ) ( )

sx s x s x s

duE

dxε σ ε= → = (36)

a) Empleando (36) y (33) se tiene:

Sección abierta

( ) ( ) x s sdEdxβσ ω= − →

2

( ) ( )2x s sdEdxθσ ω= − (37)

La ecuación (37) muestra que, para el caso de torsión pura, la distribución de tensiones axiales secundarias sigue la misma ley de variación del área sectorial principal.

Debido al tipo de solicitación ( torsión pura) deben anularse: i) la resultante de las fuerzas axiales, ecuación (38) y ii) los momentos de las tensiones axiales respecto a ejes principales de inercia de la sección transversal (ejes “y” y “z”), ecuaciones (39) y (40) ( dichos momentos serían momentos flectores ).

( ) 0sA xxF dAσ= =∫ (38)

( ) 0sA xyM z dAσ= =∫ (39)

( ) 0sA xzM y dAσ= =∫ (40)

Siendo σx proporcional al área sectorial y teniendo en cuenta (38) se deduce que ω(s) en (37) es el área sectorial principal definida en (28) y que se calcula usando los valores obtenidos con las ecuaciones (27) y (30). Las ecuaciones (39) y (40) son los momentos sectoriales de primer orden definidos en (25) que se anulan cuando se utiliza al centro de corte como polo.

Para calcular la tensión axial secundaria σx(s) es necesario conocer la variación de β o θ como función de x y eso depende del problema en particular que se esté considerando.

b) En una sección cerrada hay tensión axial secundaria σx(s) sólo si el momento torsor varía en

función de x. Empleando (36) y (35) se tiene:

Sección cerrada

( )( ) 02 2

s sx s

E ds ds dTG t t dx

ωσ

Γ Γ

= − ∫ ∫ (41)


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5.5 Tensión de corte secundaria Si dβ /dx no es constante aparece un flujo de corte variable en el contorno, aún en el caso

secciones abiertas, y la tensión cortante, τ = q/t, no se anula sobre la línea media de la sección. Notar que de acuerdo a la teoría de Saint Venant la variación de las tensiones de corte por torsión es lineal en el espesor de las vigas abiertas de pared delgada y la línea media tiene tensiones de corte nulas.

Figura 10: Tensiones de corte secundarias en secciones abiertas de pared delgada

Para un elemento de una sección abierta debe cumplirse equilibrio de fuerzas según la dirección del eje de la viga (eje x). Observando la Figura 10 se tiene:

( ) ( ) 0x s sqdx t ds ds dx

x sσ∂ ∂

+ = ∂ ∂

(42)

Sustituyendo σx(s) según (37), simplificando e integrando se obtiene:

2

2( )

( )s

sq dE tds dx

β ω∂

= (43)

3

3( ) ( )s sdq E Mdx ωθ

= donde ( ) ( )0

s ss ss

M t dsω ω=′

′=′′= ∫ (44)

Mω(s) es el momento estático sectorial que varía en el contorno en función de ‘s’ a diferencia de la propiedad definida en (24) que corresponde a toda la sección. La constante de integración en (44) resulta nula porque siempre se integra a partir de un extremo libre de la sección donde s’ = 0, s = 0 y q = 0. El valor de ( )sω ′ en cada punto es igual al valor del diagrama principal de área sectorial en ese punto. Notar que en el extremo libre donde s’ es nula el flujo de corte q es nulo pero el área sectorial no es nula en ese punto (el valor nulo ocurre en el punto inicial con que se definió el área sectorial principal !!).

Notar que hay una aparente incongruencia en el razonamiento. En efecto (43) y (44) se basan en (33) que se derivó suponiendo que la tensión de corte es nula en la línea media y luego a partir de ella se derivó (44) para calcular el flujo de corte q que no es nulo en la línea media.

Razonamientos similares son utilizados en teoría de flexión de vigas y teoría de flexión de placas. La obtención de (43) se basa en condiciones de equilibrio similares a las que permiten obtener las tensiones de corte de Jourasky. El error que se comete al calcular σx ignorando q es muy pequeño y por lo tanto el error de q basado en σx también resulta despreciable.

6 TORSIÓN CON ALABEO RESTRINGIDO La teoría de Saint Venant supone que las cargas externas y los apoyos son tales que permiten

el libre alabeo de las secciones, pero existen muchos casos de interés práctico en que el alabeo está restringido. Un caso muy común es aquel en que se tiene una viga en voladizo donde los desplaza-mientos axiales están restringidos en el empotramiento (apoyo).

Nos proponemos resolver el siguiente problema: Determinar el giro por unidad de longitud, β, y las tensiones como función de x en el caso de una viga de pared delgada solicitada por torsión y con restricción al alabeo. La teoría correspondiente comenzó a ser desarrollada por Timoshenko en 1905 y fue completada por Vlasov alrededor del año 1950.


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6.1 Ecuación general de la torsión para secciones abiertas Se considera una sección abierta de forma arbitraria del tipo de la Figura 11-a solicitada por un

momento torsor ‘T ’ en el extremo libre.

Figura 11: Tensiones por torsión de una viga de pared delgada y sección abierta

Si se considera una sección cualquiera (para un cierto valor de la coordenada x) como la indicada en la Figura 11-a se observan tensiones de corte τ de Saint Venant que varían linealmente en el espesor (Figura 11-b) y tensiones de corte uniformes en el espesor pero variables en el contorno, correspondientes al flujo de corte secundario, qs, debido a la restricción al albeo libre (Figura 11-c).

Partiendo de la ecuación (5) se puede calcular el momento torsor, Tq , resistido por el flujo de corte secundario qs debido a las restricciones al alabeo:

( )q s sT r q ds q dω= =∫ ∫ (45)

El cálculo de qs está dado en la ecuación (44) y requiere hacer una integración a lo largo del contorno medio de la sección abierta. Para evitar esa integral recurrimos a la integración por partes de la ecuación (45):

[ ]F sq s s I

qT q d q dss

ω ω ω∂ = = − ∂ ∫ ∫ (46)

La cantidad entre corchetes se anula porque q = 0 en los puntos extremos de la sección abierta (puntos I y F, en la Figura 11-c). Reemplazando (∂qs /∂s) por el valor dado en (43) se tiene

( )2

22 ( )q s

dT E t dsdxβ ω= − →∫

2

2qdT E Idx ωβ

= − (47)

Notar que la integral es el momento de inercia sectorial Iω definido en la ecuación (26) que se calcula a partir del área sectorial principal.

La parte del momento torsor, TSV , resistido por las tensiones de corte de Saint Venant de variación lineal en el espesor t, bosquejado en la Figura 11-b se calcula de la manera habitual considerando (12):

R R

T d Td dxG J d x G J

θθ β= → = = → RSVT G Jβ= (48)

Sumando las contribuciones dadas en (47) y (48) y multiplicando por menos 1, se tiene:

q SVT T T+ = (49)-a

2

2 R

dE I G J Tdxωβ β→ − = − (49)-b (49)

El coeficiente (EIω ) se denomina rigidez al alabeo, mientras que el coeficiente (GJR ) es la rigidez a la torsión clásica de Saint Venant. Dividiendo por EIω se obtiene una ecuación diferencial de segundo orden en β

2

2 22

R

d TK Kdx G Jβ β− = − (50)

donde 2 RGJKEIω

= (51)


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Reemplazando β por (dθ/dx) en (50) y derivando respecto a x se tiene

4 2

2 24 2

R

d d TK Kdx dx GJθ θ ′

− = − (52)

donde dTTdx

′ = (53)

La ecuación (52) es la ecuación diferencial de la torsión para secciones abiertas. Debe quedar claro que tanto T en (50) comoT ′ en (52) son en general variables en función de

la coordenada x.

Para el caso T = cte., la solución de (50) es 1 2senh ( ) cosh ( ) /( )RB Kx B Kx T GJβ = + + (54)

Para el caso de momento torsor de variación lineal, cte.T ′ = la solución de (52) es:

( )21 2 3 4senh ( ) cosh ( ) 2 RC C x C Kx C Kx T x GJθ ′= + + + + / (55)

Las constantes de integración se calculan a partir de las condiciones de borde. Por ejemplo para un borde empotrado: constante: en 0 0T x β= = → = (56)

constante: en 0 0 y d / 0T x dxθ θ′ = = → = = (57)

En el caso general donde T tiene una variación arbitraria se recurre a la integración numérica de la ecuación diferencial que se desarrolla en la Sección 9.2.

7 FLUJO DE CORTE POR CORTE En el caso de vigas de pared delgada, abiertas, rectas y de sección constante, las tensiones de

corte por corte son tangentes a la línea media de la sección y uniformes en el espesor. Esto da origen a un flujo de corte q(s) que varía a lo largo del perímetro de la sección, cuyo valor se determina por la conocida fórmula de Jourasky.

7.1 Secciones abiertas simétricas Sea, por ejemplo, la viga en voladizo de la Figura 12 donde los ejes “y” y “z” son ejes

principales de inercia que pasan por el centro de gravedad de la sección. El eje x tiene la dirección de la viga que es recta y de sección constante. El centro de corte se ubica sobre el eje de simetría.

Figura 12: Tensiones de corte por corte en una sección abierta simétrica de pared delgada

La tensión de corte τ debida al esfuerzo de corte Qz actuando en el centro de corte, se calcula con la fórmula de Jourasky:

Q St I

τ = → (4) → *

( )( ) z y

y

ss

Q Sq

I= − donde

( )s

yI

sS z t ds= ∫ (58)

donde q(s) es el flujo de corte activo que recorre la línea media de la sección de pared delgada; s es la coordenada curvilínea que sigue la línea media de la sección ( s es igual a cero en el extremo que se toma como punto inicial I ) ; Qz es el esfuerzo de corte en la sección, Sy (s) es el momento estático


180

respecto al eje “y” del área comprendida entre el punto inicial y el punto definido por la coordenada “s”, *

yI es el momento de inercia consistente respecto al eje “y” . El momento de inercia consistente *

yI se calcula concentrando el área sobre la línea media del perímetro. Siendo consistente se asegura que al integrar el flujo de corte q(s) dado en (58), que se considera actuando sobre la línea media, se obtendrá el valor del esfuerzo cortante Q que es dato.

Convención de signos

En la Figura 12 se observa que el flujo de corte es de intensidad variable (varía de acuerdo al valor del momento estático del área que es nulo en los extremos y máximo en el centro de gravedad ) y tiene la dirección de la línea media. Notar que en las alas superiores el flujo de corte es horizontal a pesar de que el esfuerzo de corte Q es vertical (según el eje z ) . Notar que se han graficado flujos activos.

: Q es positivo cuando tiene el sentido del eje z positivo. Si el flujo de corte q(s) resulta positivo es porque apunta en el sentido creciente de la coordenada s que define el punto donde se calcula el flujo de corte. El “flujo de corte activo” tiene por resultante al esfuerzo de corte y pasa por el centro de corte. Se denomina “reactivo” al flujo que equilibra el esfuerzo de corte.

7.2 Secciones abiertas asimétricas En el caso de una sección asimétrica como la mostrada en la Figura 13 se deben determinar

primero los ejes principales de inercia ‘y*’ y ‘z*’. La carga P que es vertical debe descomponerse según las direcciones principales para determinar los esfuerzos de corte Qy* y Qz*. Se puede anticipar que el centro de corte está ubicado en la intersección de las líneas medias de las alas.

Figura 13: Tensiones de corte por corte en una sección abierta asimétrica

Los flujos de corte por corte causados por Qy* y Qz* se calculan por separado usando (58) y posteriormente se suman las dos contribuciones al flujo de corte por corte q(s).

* * * ** ** *

* *

( ) ( )( ) ( ) z y

z y y z

y z

s ss s

Q S Q Sq q

I I= = →− − * *( ) ( ) ( )z ys s sq q q= + (59)

7.3 Secciones cerradas simétricas Cuando la sección cerrada posee un eje de simetría y la carga cortante actúa según ese eje de

simetría, se puede anticipar que el flujo de corte es nulo sobre el eje de simetría (debido a la simetría).

Figura 14: Tensiones de corte por corte en una sección cerrada simétrica

En casos como el de la Figura 14 se puede aplicar la fórmula de Jourasky (58) tomando como punto inicial al punto A. Para un punto tal como el C deberá calcularse el momento estático del área ABC respecto al eje ‘y’. Notar que el momento estático es máximo a la altura del centro de gravedad (punto G ) y en consecuencia el flujo de corte por corte también resulta máximo en esa zona.

7.4 Secciones cerradas asimétricas La determinación del flujo de corte por corte en el caso de secciones cerradas asimétricas se

trata más adelante al final de la Sección 8 dedicada al centro de corte.


181

8 CENTRO DE CORTE La incidencia de la ubicación del centro de corte puede visualizarse considerando una viga en

voladizo como la mostrada en la Figura 15-a. Bajo la acción de la carga vertical aplicada en el extremo, la viga se flexiona y puede también girar por torsión.

Figura 15: Giro de una sección abierta en función de la ubicación de la carga respecto al centro de corte

El esquema indicado en la Figura 15 permite intuir que existe una ubicación de la carga para la cual la viga no gira por torsión ya que si la carga está a la izquierda como en el caso de la Figura 15-b el giro es antihorario y si está a la derecha como en el caso 15-d el giro es en sentido horario.

Una carga transversal que pasa por el “centro de corte” no produce torsión en la viga.

En el caso de secciones “llenas” el centro de corte está muy próximo o coincide con el centro de gravedad de la sección. En tales casos, la ubicación precisa no es importante.

La ubicación del centro de corte en vigas delgadas abiertas es muy importante por su baja resistencia y rigidez a torsión (aunque la rigidez aumenta considerablemente cuando se restringe el alabeo en los apoyos). Es importante enfatizar que el momento torsor debe calcularse respecto al centro de corte.

El centro de corte es el punto donde pasa la resultante de las tensiones de corte (o flujos de corte) de Jourasky para cualquier dirección de la carga transversal.

En el extremo donde actúa la carga, el centro de corte real no coincide con el calculado porque no es posible aplicar la carga transversal en forma de tensiones de corte exactamente iguales a las calculadas con la fórmula de Jourasky. En las proximidades del extremo empotrado el centro de corte real tampoco coincide con el calculado por Jourasky debido a que la restricción al alabeo produce un flujo de corte adicional.

Cuando se desprecian las deformaciones de la sección de pared delgada en su propio plano debido a la flexión, el centro de corte coincide con el centro de giro. Hay que recordar que el centro de giro es el punto que no se desplaza cuando la sección gira por torsión.

En la Figura 16 se observa que la variación del flujo de corte de Jourasky, proveniente de la variación del corte a lo largo de la viga, deforma la sección plana de la viga de pared delgada.

Figura 16: Variación del flujo de corte de Jourasky y deformación de la sección de la viga

Aplicando el teorema de reciprocidad se puede demostrar que el centro de corte coincide con el centro de giro (ver Figura 17 ).


182

Figura 17: Aplicación del Teorema de Reciprocidad

En el estado I, la carga Q actuando en el punto A produce un giro AQθ .

En el estado II, el momento torsor T aplicado en A produce un desplazamiento vertical ATu .

Por reciprocidad se tiene: A AT QQ u Tθ= (60)

Cuando A coincide con el centro de corte, 0AQθ = entonces según (60) 0A

Tu = , por lo tanto A es también centro de giro.

8.1 Centro de corte de secciones abiertas con un eje de simetría Cuando una sección de pared delgada tiene un eje de simetría como en el caso de la Figura 18-a,

se puede anticipar (por simetría) que el centro de corte está ubicado sobre dicho eje de simetría. En efecto, una carga cortante horizontal, Qy, actuando en el eje de simetría (eje ‘y’) produce tensiones de corte simétricas respecto al eje ‘y’ cuya resultante pasa por el eje de simetría.

Figura 18: Sección abierta con un eje de simetría

Para ubicar el centro de corte hay que calcular la distancia “e” indicada en la Figura 18-c Primero se calculan los flujos de corte q(s) debidos al esfuerzo de corte Q según Jourasky y

luego se ubica el centro de corte ‘C’ de modo que el momento, T, de las fuerzas asociadas a los flujos de corte respecto a C sea nulo. [ ]( ) 0sT r q ds= =∫ (61)

Notar que q(s) es variable y se calcula usando la fórmula de Jourasky (58) en función de la coordenada curvilínea “s” que recorre la línea media del espesor de la sección de pared delgada.

En el caso de tramos rectos como en la sección de la Figura 18, conviene encontrar, en cada tramo, la resultante Fi del flujo de corte variable y luego tomar momentos respecto al centro de corte ( punto C ). En el caso de la Figura 18-c se tiene:

1 2 3 02 2h hF F e F− + − = (62)

lo que permite despejar la distancia e que ubica al centro de corte.

La fuerza 1F se calcula integrando ........ 1 10( )

bsF q ds= ∫

donde el flujo de corte se calcula con (58) ..... 11 *

( )( ) y

y

ss

Q Sq

I= −

siendo el momento estático variable .…......... 1 ( ) ( ) ( / 2)y sS s t h=

Signos: S1y(s) es positivo, Q es positivo (hacia arriba), luego q1(s) es negativo (hacia la derecha).


183

Procediendo de manera similar se puede obtener F2, mientras que F3 = – F1. Notar que no es necesario calcular *

xI porque se lo puede sacar factor común en la ecuación (62) que está igualada a cero. Como alternativa se puede tomar momentos respecto a intersección de F2 y F3 y de esa manera no hace falta calcular ni F2 ni F3, pero en ese caso si hace falta calcular *

xI .. Notar que para determinar el centro de corte, en este ejemplo se utilizó (61) en conjunción con

(58), pero existe un procedimiento alternativo dado por las ecuaciones (64) y (65) donde se calcula primero el momento estático de 1er orden dado en (25) utilizando ejes principales de inercia para determinar las coordenadas del centro de corte.

Cuando una sección tiene un centro de simetría, el centro de corte coincide con dicho centro de simetría, tal es el caso de la sección de la Figura 19-a.

En el caso de secciones formadas por un haz de rectas que concurren en un punto como en las Figuras 19-b, c y d se puede anticipar que el centro de corte se halla en la intersección común a todas las líneas medias de los tramos rectos, porque allí concurren las fuerzas resultantes de los flujos de corte en cada tramo.

Figura 19: Ubicación del centro de corte de secciones formadas por un haz de rectas concurrentes

8.2 Centro de corte de secciones abiertas asimétricas

En el caso de una sección de pared delgada abierta de forma arbitraria como en el caso de la Figura 20-a que no tiene eje de simetría ni centro de simetría, se debe calcular primero el centro de gravedad (punto G) y los ejes principales de inercia ‘y*’ y ‘z*’.

Figura 20: Ubicación del centro de corte en secciones abiertas sin eje de simetría

Para ubicar la posición del centro de corte se calculan por separado sus coordenadas ey* y ez* referidas a los ejes principales. Primero se calcula la coordenada ey* donde pasa la resultante de los flujos de corte de Jourasky para el esfuerzo de corte Qz* según z*.

Calculando q(s) según (58) usando ejes principales y eligiendo el baricentro como polo (punto G ) se plantea el equilibrio de momentos respecto al punto G (momento antihorario positivo):

* * ( ) * ***

( )1F F

z y s y yI Iy

sQ e r q ds e S rdsI

= → = ∫ ∫− (63)


184

Para realizar la integral (63) sería necesario calcular previamente el momento estático Sy* (s) resolviendo la integral dada en la ecuación (58). Esto se puede evitar integrando por partes la ecuación (63) como se indica a continuación:

* ( ) * * ( ) ( )* ** *

( ) *( )1 1[ ]F FF

y s y y s sI I Iy y

s sde S S ds z t ds

I ds Iω ω ω− = − = →

∫ ∫*

* **

ω=y

yy

SeI

(64)

donde se ha tenido en cuenta la definición (25) de momento sectorial de 1er orden respecto al eje principal y* y el hecho de que Sy* (s) se anula en el punto inicial I y en el punto final F. Notar que en la integración por partes:

i ) se integró al diferencial de área sectorial ( )0

s

sr ds ω=∫ .

ii ) se derivó al momento estático *( ) * *s

y Is

d dS z t d s z tds ds

= =∫ .

En una segunda etapa se calcula la otra coordenada del centro de corte: Para ello se repite el procedimiento anterior y se obtiene un resultado similar excepto por el signo, (momento antihorario positivo):

* * ( )repitiendo el procedimiento( )F

y z sIQ e r q ds− = →∫

*

* **

ω= −z

zz

SeI

(65)

Si en el caso de la Figura 20-a se toma momentos respecto al centro de corte (punto C ) y se repite el procedimiento que conduce a las ecuaciones (64) y (65) se puede anticipar que las nuevas distancias al centro de corte (

Corolario importante

*ye′ y *ze′ ) serán nulas, porque se está tomando momentos respecto al centro de corte.

(64) *

* **

0y

yy

SeI′

′ = = →ω * 0ω′ =yS (65) *

* **

0z

zz

SeI′

′ = = →ω− * 0ω′ =zS (66)

Esto permite afirmar que: Cuando se utiliza el centro de corte como polo, los momentos sectoriales de primer orden (Sω) definidos en (25) respecto a ejes principales resultan nulos independientemente de la elección del punto inicial. Este hecho tiene mucha importancia en el contexto de los momentos flectores definidos en (39) y (40).

El centro de corte puede también calcularse usando ejes no principales, como por ejemplo los ejes ‘y’ y ‘z’ en la Figura 20-a. En tal caso las expresiones para las coordenadas son las siguientes:

( ) ( )

* * * *

2 2* * * * * *

z y y zz yz y yz

y z

y z yz y z yz

I S I S I S I Se e

I I I I I Iω ω ω ω− − +

= =− −

(67)

8.3 Centro de corte de secciones cerradas con simetría En el caso de secciones cerradas con dos ejes de simetría, el centro de corte se halla en la

intersección de esos dos ejes. Tal es el caso de las secciones mostradas en las Figuras 21-a, b y c. Si una sección tiene un centro de simetría como en la Figura 20-d, ese punto resulta ser también el centro de corte.

Figura 21: Ubicación del centro de corte de secciones con simetría


185

8.4 Centro de corte de secciones cerradas sin simetría

En un caso general como el mostrado en la Figura 22 el flujo de corte resulta estáticamente indeterminado. Para resolver el problema se considera la superposición de dos estados (e stado I y estado II ), de modo que en uno de esos estados (el estado I ) se elige un punto arbitrario (digamos el punto A) donde el flujo de corte es nulo. Eso permite calcular el flujo en los puntos restantes usando la fórmula de Jourasky partiendo de ese punto.

Figura 22: Ubicación del centro de corte de una sección cerrada no simétrica

Para hallar la ubicación del centro de corte se determina primero el baricentro (punto G ) y los ejes principales de inercia ‘η’ y ‘ξ ’ . Luego se calculan por separado cada una de las coordenadas del centro de corte (ηc y ξ c ) respecto a los ejes principales utilizando esfuerzos de corte unitarios (1η y 1ξ ) aplicadas en el centro de corte. La coordenada ηc se calcula en tres pasos:

Paso 1. Se elige un punto cualquiera, digamos el punto A como referencia y se obtiene el estado I restando qA al flujo q(s). De esa forma el flujo de corte en el punto A en el estado I es nulo y permite calcular el flujo de corte por Jourasky considerando como punto inicial al punto A.

( ) ( ) I s s Aq q q= − → ( ) se calcula por JouraskyI sq (68)

Paso 2. Se calcula qA exigiendo que la sección no gire por torsión ( β = 0) porque el esfuerzo de corte unitario 1ξ actúa en el centro de corte. Utilizamos la expresión generalizada (11) para el caso de flujo de corte variable.

( )( )( )

10 0 2 I s A

s

dsq qG t

βΓ

= ⇒ + = →∫( )

( )A

( )

−=

∫

∫

I ss

s

dsqt

q dst

(69)

Paso 3. Se ubica el centro de corte determinando el punto de aplicación de la resultante del flujo de corte q(s) que es el esfuerzo de corte unitario (1ξ ). Notar que qI (s) se calculó en el estado I para una fuerza unitaria y que el flujo qA actuando en la sección cerrada del estado II produce momento torsor pero no fuerza resultante. Tomando momentos respecto al baricentro (punto G ) se puede despejar el valor de la coordenada ηc.

( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 s I s A c s sq q q q ds rξ η= + → = →∫ ( ) ( )c s sq r dsη = ∫ (70)

Notar que resultaría más conveniente, en este caso particular, tomar momentos respecto a uno cualquiera de los vértices (A, B ó C ) porque sólo tendríamos que considerar la integral en uno de los tramos rectos.

Para calcular la coordenada ξc se procede de manera similar (pasos 1, 2 y 3).


186

8.5 Flujo de corte por corte y torsión de una sección cerrada sin simetría En la Figura 23 se presenta el caso general de una sección cerrada no simétrica solicitada por

cargas que no actúan en el centro de corte y por lo tanto producen torsión además de corte. Primero se determina el centro de gravedad G, los ejes principales de inercia y el centro de corte C. A continuación se reemplaza al sistema de fuerzas (Ph y Pv ) por los dos esfuerzos de corte según los ejes principales (Qη y Qξ ) que actúan en el centro de corte y por el momento torsor T de las fuerzas respecto al centro de corte. Notar que para calcular T se necesita conocer ηc y ξc .

Figura 23: Sección cerrada no simétrica solicitada por corte y torsión

Para resolver el problema de determinar los flujos de corte de una sección cerrada no simétrica solicitada en corte y torsión existen dos alternativas: i ) calculando previamente la ubicación de centro de corte, y ii) sin encontrar previamente el centro de corte.

Alternativa 1. Utilizando las coordenadas del centro de corte 1. Se determinan primero los flujos de corte causados por el esfuerzo de corte Qξ actuando en el centro

de corte (punto C en la Figura 23-b). Como el problema es estáticamente indeterminado se procede a descomponer el sistema en la suma de dos estados ( I y II ) como se muestra en la Figura 24. Notar la similitud con el caso de la Figura 22.

Figura 24: Descomposición en dos estados para calcular el flujo de corte causado por Qξ

2. El flujo de corte constante del estado II (qξA) se calcula, como en el caso de la Figura 22, exigiendo que la sección no gire por torsión (β = 0) porque el esfuerzo de corte Qξ actúa en el centro de corte. Utilizamos la expresión generalizada (11) para el caso de flujo de corte variable y obtenemos nuevamente la ecuación (69).

3. Se determinan luego los flujos de corte causados por el esfuerzo de corte Qη actuando en el centro de corte (punto C en la Figura 23-b ) repitiendo el procedimiento del punto 1.

Figura 25: Descomposición en dos estados para calcular el flujo de corte causado por Qη

4. El flujo constante del estado II (qηA) se calcula repitiendo el procedimiento del punto 2. 5. A continuación se calcula el flujo de corte por torsión usando la fórmula de Bredt. Notar que

para calcular el momento torsor T se necesita conocer las coordenadas del centro de corte

ηc y ξc.!

/ (2 )Tq T Γ= (71)

6. Finalmente se calcula el flujo de corte total, q(s), causado por el sistema de cargas (Ph y Pv ), que es


187

equivalente al momento torsor T y los dos esfuerzos de corte, Qξ y Qη .

( ) ( ) ( )( ) ( )ξ ξ η η= + + + + Ts I s A I s Aq q q q q q (72)

Alternativa 2. Sin utilizar las coordenadas del centro de corte Notar que la ecuación (72) puede reescribirse como:

( ) ( ) ( ) 0s s sq q q qξ η= + + ( )0 donde: TA Aq q q qξ η= + + (73)

Esto da lugar a un procedimiento alternativo más simple que se muestra esquemáticamente en la Figura 26. Sólo hace falta calcular q0 en vez de sus tres componentes (qξA, qηA, y qT).

Figura 26: Descomposición en tres estados

Paso 1: Se calculan por Jourasky los flujos qξ (s) del estado I de la Figura 26 ( se considera Qξ ) . Paso 2: Se calculan por Jourasky los flujos qη(s) del estado II de la Figura 26 ( se considera Qη ) . Paso 3

0( ) ( ) ( )( )i i s s ssP d q q q r d sξ η= + + →∑ ∫

: Se calcula el valor del flujo constante q0 del estado III de la Figura 26. Para ello se iguala el momento de las cargas aplicadas (Ph y Pv ) con el momento del flujo de corte que recorre el contorno de la sección cerrada respecto a un punto arbitrario que resulte conveniente:

0 ( ) ( ) ( )1 ( )2 ξ ηΓ

= − + ∑ ∫i i s s ssq Pd q q r ds (74)

Paso 4

9 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA TORSIÓN

: Se computa el flujo de corte total, q(s), causado por el sistema de cargas (Ph y Pv), usando la ecuación (73) y los valores qξ (s), qη (s) y q0 calculados en los pasos 1 2 y 3.

Resuelto el problema de ubicar al centro de corte estamos en condiciones de calcular el momento torsor. Cuando una viga solicitada principalmente en flexión soporta cargas transversales que no pasan por el centro de corte se debe calcular el momento torsor T teniendo en cuenta la distancia de la fuerza al centro de corte. Conocer el valor del momento torsor es muy importante en el caso de secciones abiertas de pared delgada debido a su escasa rigidez y resistencia a la torsión.

9.1 Soluciones analíticas En el caso donde el momento torsor es constante en toda la viga (T = cte ) se obtiene la

solución dada en (54) y cuando la variación del momento torsor es constante en toda la viga ( cteT ′ = ) la solución está dada por (55). Las constantes se determinan de acuerdo a las condiciones de borde.

9.1-a Viga con momento torsor constante y alabeo restringido en un extremo (Figura 27).

La solución está dada en (54)

1 2senh ( ) cosh ( ) / ( )RB Kx B Kx T G Jβ = + +

Las constantes de integración se determinan a partir de las condiciones en los extremos de la viga.

Figura 27: Viga canal solicitada en torsión


188

Condiciones de borde: En el apoyo con restricción al alabeo se tiene:

0 0x β= ⇒ = → (54) → 2 / ( )RB T GJ= − (75)

En el extremo libre se observa que σx = 0

0xx L σ= ⇒ = (37)2 2

( )2 2( ) 0 0sx L

x sd dEdx dxθ θωσ

=

→ = − = → = (76)

2

1 12 cosh ( ) senh ( ) 0 tanh( )R Rx L x L

d T TK B Kx K Kx B KLdx GJ GJθ

= =

−= + = → =

(77)

Reemplazando en (54) el valor de las constantes hallados en (75) y (77)

[ ]tanh ( ) senh ( ) cosh ( ) 1R

T KL Kx KxG J

β = − + (78)

El giro en el extremo libre se obtiene integrando el giro por unidad de longitud ( β ) a lo largo de la viga:

0

tanh ( )1R

L

L LT L KLdx

G J K Lβθ θ

= → = −

∫ (79)

Cuando ( ) tanh ( ) 1 ( )RLKL KL T L G Jθ→∞ ⇒ → ⇒ = / (80)

por lo tanto en las vigas “largas” el efecto de la restricción al alabeo no es muy importante ya que (80) es la solución de Saint Venant.

La tensión axial secundaria debida al alabeo se obtiene de (37):

[ ]( ) ( ) ( ) tanh ( ) cosh ( ) senh ( )R

x s s sd T KE E KL Kx Kxdx G Jβσ ω ω= − = − − (81)

La máxima tensión axial ocurre en el empotramiento:

( ) ( )00 tanh ( )

Rx s sx

ET Kx KLG J

σ ω=

= → = −

(82)

Las tensiones de corte cerca del extremo libre son principal-mente tensiones de Saint Venant de variación lineal en el espesor cuyo valor máximo es aproximadamente:

Rmáx

T tJ

τ ≈ (83)

Para una sección genérica las tensiones de Saint Venant resultan:

(48) → (83) → ( / )

R

SVR

SV

máx SV

T GJ

T J t

β

τ=

=

(78) → [ ]tanh ( ) senh ( ) cosh ( ) 1SV

Rmáx

T t KL Kx KxJ

τ = − + (84)

La tensión secundaria de corte debida al flujo de corte por restricción al albeo se obtiene de (44).

(44) ( ) [ ] ( )

2

2 0 0tanh ( ) senh ( ) cosh ( )

s s

q qs sE d Tt ds KL Kx Kx t dst dx t Iω

βτ ω τ ω′ ′′ ′→ = → = −∫ ∫ (85)

El máximo ocurre para x = 0 ( ) ( )( ) 0/ ( )

s s

q s s ssT t I t dsωτ ω

′=

′ ′′=′ = − ∫ (86)

9.1-b Viga con momento torsor constante y alabeo restringido en ambos extremos

Las constantes de (54) se obtienen de las condiciones de borde y después se integra de 0 a L.

( )2 10 0 / ( ) ; 0 [ /( )] cosh 1 / senhR Rx B T GJ x L B T GJ KL KLβ β= ⇒ = ⇒ = − = ⇒ = ⇒ = − − (87)

[ ]2

0

cosh ( ) 1 senh ( )1 +senh ( )R

L

L L

K LT L K LdxG J K L K L K L

βθ θ − = → = −

∫ (88)


189

9.2 Soluciones numéricas

Resulta conveniente en el contexto de la Teoría de Vlasov definir el Bimomento

dB E Idxωβ

= − (89)

que se mide en kg-cm2 o sea que tiene la dimensión del momento de un momento. Para tener una interpretación física de este “esfuerzo” podemos observar que según (37) B está relacionado con las tensiones axiales secundarias.

( )( )x ssBIω

σ ω= (90)

Multiplicando ambos miembros de (90) por ω(s) e integrando en toda el área de la sección se tiene:

( ) ( )2

( )x s sA AsBdA dA BIω

σ ω ω= = →∫ ∫ ( ) ( )( )x s s sAB t dsσ ω= ∫∫ (91)

La ecuación (91) muestra que el Bimomento es una fuerza generalizada de las tensiones axiales secundarias a través de un esquema de deformaciones asociado a ω(s).

En el caso de tener cargas axiales concentradas se tiene

( )1

n

ii

s iB F ω=

= ∑ (92)

Retornando a nuestro objetivo de resolver numéricamente la ecuación general de la torsión (52) que es de 4to orden, se comienza reduciendo el orden planteando 4 ecuaciones diferenciales de 1er orden como se muestra a continuación.

según (49) y (48) se tiene...................... ( )RqT GJ Tβ+ = (93)

derivando (93) y considerando la definición de B (89) y de K2 (51)............. 2 donde: qdT dx K B T T dT dx′ ′= + =/ / (94)

de (47) y (89)......................................... qdB dx T=/ (95)

de la definición de B (89)....................... ( )d dx B E Iωβ =/ /− (96)

por definición de β................................. d dxθ β=/ (97)

Reemplazando las derivadas de 1er orden por diferencias finitas entre los valores de las respectivas variables en dos estaciones sucesivas de integración (i ) e (i+1) se llega a:

de (94)......................... 21 1 12 2 ( ) / ( ) /i i i i i iq qT T x K B B x T T+ + +′ ′− = ∆ + + ∆ + (98)

de (95)......................... 1 1 2( ) /i i i iq qB B x T T+ +− = ∆ + (99)

de (96)......................... 1 1 2( ) ( )i i i ix B B E Iωβ β+ +− = − ∆ + / (100)

de (97)......................... 1 1 2( ) /i i i ixθ θ β β+ +− = ∆ + (101)

Substituyendo 1iB + de (99) en (98) y reordenando se tiene

de (98) ..... ( ){ } ( )2 221 11 /2 /2 1 /2 ( ) /qi i q i i i i i iT K x T x T T K x B K x+ +

′ ′= + ∆ + ∆ + + ∆ − ∆ (102)

de (99) ...... 1 1 2( )i i i q i q iB B x T T+ += + ∆ + / (103)

de (100) ... 1 1 2( )( ) /i i i i ix B B E Iωβ β+ += − ∆ + (104)

de (101) .... 1 1 2( )i i i i ixθ θ β β+ += + ∆ + / (105)


190

A continuación se define el vector de estado que contiene las cuatro variables

( )

q

x

TBVβθ

= i

(106)

Condiciones de borde: Por tratarse de una ecuación diferencial de 4to orden deben especificarse dos condiciones en cada extremo.

Ejemplo: Para ilustrar el procedimiento nos referiremos a la viga de la Figura 27 con un estado general de

cargas con momentos torsores distribuidos y concentrados. En el empotramiento se conoce que β y θ son nulos, siendo desconocido el valor del Bimomento (B) y el valor del momento torsor por restricción al alabeo (Tq).

La solución, V(x) dado en (106), se puede expresar como una combinación lineal de la forma

0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )x x x xV V V Vα α+ += (107)

donde V0(x) es una solución particular relacionada con las cargas exteriores (T ′ = momento torsor distribuido por unidad de longitud ) y las condiciones no-homogéneas de borde que pudieran ser especificadas.

Las soluciones V1 y V2 corresponden al problema homogéneo (sin cargas exteriores ) 0T ′ = y valores nulos para las variables especificadas en los extremos.

Las tres soluciones se calculan con las fórmulas de recurrencia (102) a (105) recordando que para V1 y V2 deberá considerarse 0T ′ = en todos los puntos.

Para iniciar el proceso de integración en x = 0 se adoptan para V0(0) valores especificados (conocidos) o de lo contrario se le asignan valores nulos a las variables. Para las soluciones V1(0) y V2(0) se asocian valores nulos a las variables especificadas porque ya fueron consideradas en V0(0) y a cada variable desconocida se le asocia un valor unitario en una de las soluciones homogéneas y un valor nulo en la otra.

Para el problema de la Figura 27, en x = 0 se tiene:

0 1 2(0) (0) (0)

0 1 00 0 10 0 00 0 0

V V V

= = =

(108)

Aplicando las fórmulas de recurrencia (102) a (105) se llega hasta el extremo x = L donde deben imponerse las restantes condiciones de borde que permiten determinar los coeficientes α1 y α2 de la ecuación (107) con la cual se calcula vector de estado en todos los puntos.

Observando (106), (107) y (108) resulta obvio que en este ejemplo α1 = Tq(0) y que α2 = B(0).

En el extremo x = L no actúan fuerzas axiales externas, 0xσ ≡ , y según (91) y (92) resulta nulo el Bimomento: 0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 00L L L Lx L B B B Bα α+ += ⇒ = → = (109)

además, se conoce el momento torsor, T, actuando en el extremo x= L y según (93) resulta

0 1 1 2 2 0 1 1 2 2

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )[ ] [ ]q R

q q q R

L G J L

L L L G J L L L T

x L T T L

T T T Lα α α α

β

β β β

+

+ + + +

= ⇒ = →

+ = (110)

Las ecuaciones (109) y (110) pueden escribirse como

1 2 01

1 1 2 2 0 02

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )q R q R q R

L L L

L GJ L L GJ L L GJ L

B B B

T T T L T

α

β β βα+ + −

− =

− (111)


191

Una vez resuelto el sistema (111) se pueden determinar los valores de las variables que sean de interés en los puntos de discretización (estaciones) usando (107). A continuación se calculan las tensiones en los puntos que interesen:

(90) →.................................................... ( )( ) ( )

xx s s

BIω

σ ω= (112)

(48) y (83) →......................................... ( ) ( ) ( )SV s x sG tβτ = (113)

(44), (4) y (47) →................................ ( )

( )( )

( )q xq s

s

sMTI tω

ωτ = − (114)

donde el momento estático sectorial variable Mω(s) está definido en (44). El procedimiento de integración numérica es completamente general. Se pueden tratar cargas

arbitrarias ( )xT ′ distribuidas a lo largo de la viga, la discretización debe permitir seguir correcta-mente la variación de la carga.

Momentos torsores concentrados Los puntos donde actúan momentos torsores concentrados deben estar incluidos en la discreti-

zación como puntos de integración. Existen dos maneras de plantear el problema:

Variante a) Se distribuye el momento torsor concentrado To, actuando en la coordenada xo de la viga, en dos intervalos de amplitud ε, uno a cada lado de xo (ε debe ser muy pequeño). De este modo las cargas distribuidas ( )xT ′ se modifican como se indica a continuación:

o o o o( ) ( )x x T x x x T xε ε′ ′= − → − = → oTε

+ o o( )x x T xε ε′= + → + (115)

de esa manera se distribuye la mitad de To en el pequeño intervalo anterior a xo y la misma cantidad en el intervalo pequeño posterior a xo. Al estar fuertemente concentrada la variación del momento torsor en las proximidades de xo hay fuerte restricción al alabeo y el Tq sufre una fuerte discontinuidad mientras que TSV permanece prácticamente constante en esos dos intervalos de amplitud ε muy pequeña. Esto justifica el uso de la variante b) que es más sencilla de aplicar ya que no requiere agregar dos puntos próximos a xo.

Variante b) Al llegar a xo se incrementa Tq en el valor del momento torsor To concentrado

o o( ) ( )q qx xT T= oT+ (116)

Secciones con propiedades variables Hay que remarcar que en la formulación en diferencias finitas (102) a (105) dentro de cada

tramo se considera que las variables son constantes e iguales al promedio de los valores de los puntos que definen las estaciones.

Una ventaja de la subdivisión del intervalo de integración es que permite considerar que las propiedades (GJR) y (EIω) varíen a lo largo de la viga (funciones de x), pero en tal caso hay que modificar la formulación agregando un término adicional en el segundo miembro de (94) y otro en el segundo miembro de (96):

(94) se modifica: .............................. 2qdTK B T

dx′= +

( )Rd GJdx

β− (117)

(96) se modifica: .............................. d Bdx EIω

β= −

( )d EIddx dx

ωβ− (118)

y en consecuencia se modifican las ecuaciones (98) hasta (105). Finalmente debe remarcarse que la exactitud del método de integración numérica aumenta al

disminuir el paso de integración Δx, pero crece el esfuerzo de cálculo.


192

ANEXO DEL CAPÍTULO 10 Fórmulas para torsión: Tensión máxima τmáx y módulo torsional JR

En todos los casos: R

TG J

β =

caso Sección Tensión de corte máxima

Módulo torsional (JR )

1

2mázR

T DJ

τ = 4

32RDJ π

=

2

2mázR

T DJ

τ =

( )4 4

exacto32R

D dJ

π −=

( )3 aproximado4R mJ d eπ

=

3

2

16A

Tba

τπ

= 3 3

2 216Ra bJ

a bπ

=+

4

Triángulo equilátero

3

20A

Ta

τ = 4

46,2RaJ =

5

Hexágono regular

3

5,7A

Ta

τ = 4

8,8RaJ =

6 b es el lado mayor

x = (a/b) ≤ 1

2AT

C baττ =

21 0,225 0,13

C x xτ = − +

( )3 40,74 0,74B A x xτ τ= + −

3RJ C baβ=

41 0,211 0,01823

C x xβ = − +

...... ( )0,74 / 1B Aτ τ≤ ≤

7

Caso a) caso b)

( ) ( )máxs s

R

T tJ

τ =

máx máxR

T tJ

τ =

a) 3( )

F

R sIJ t ds= ∫ ⅓

b) 3R i iJ t= ∑ ⅓

8

Γ es el área encerrada

( )( )2ss

TΓ t

τ =

2máxmín

TΓ t

τ =

2

( )

4R

s

J dst

Γ=

∫

si t es cte.24

perímetroRtJ Γ

→ =


193

PRÁCTICO Vigas de Pared Delgada Nota: Todos los datos están dados en unidades [cm] y [kg]

1 El perfil de chapa doblada del croquis, de pared delgada y sección abierta, está sometido a un momento torsor T = 100 kg-cm.

Para ganar eficiencia se practica una soldadura en el punto A de manera de lograr una sección cerrada. Se pide:

a) ¿Cuánto aumenta la rigidez torsional?

b) ¿Cuánto disminuye la máxima tensión de corte por torsión?

2 En el croquis adjunto se bosqueja un soporte de una cañería de 40 cm de altura. Se pide:

1) Calcular la rigidez al giro respecto a un eje vertical (eje z) considerando tres tipos de sección.

2) Comparar los resultados teniendo en cuenta que las áreas de las secciones son iguales, pero dos secciones son abiertas (a y c) y la restante es cerrada (sección b).

En el caso del dobleté (sección c) considerar restricción al alabeo en la base y alabeo libre en la parte superior. Como ayuda se da la fórmula para calcular el momento de inercia sectorial Iω .

3 Determinar el módulo torsional y la máxima tensión de corte en la sección de dos células del croquis. Se trata de un perfil de aluminio extruido sometido a un momento torsor T = 1500 kg-cm.

a) Cálculo simplificado ignorando el tabique que separa las células considerando una sección cerrada de una sola célula.

b) Cálculo exacto considerando dos células.

4 Calcular la carga admisible Padm con CS = 2 soportada por el tramo en voladizo del croquis.

Material acero σf = 2800 kg/cm2

Considerar: tensión normal por flexión, tensión de corte por torsión y tensión de corte por corte.

3 2

24b h tIω =

Material: E = 2100000 G = 810000


194

5 Perfil abierto de chapa doblada de 0,2 cm de espesor Se pide: a) Determinar el centro de corte aplicando Jourasky. b) Graficar el área sectorial principal. c) Calcular el momento de inercia sectorial.

6 Un perfil hueco cuadrado mide 100 cm de largo y el espesor de la chapa es 0,2 cm. Resulta necesario hacer una modificación según se indica en el croquis para permitir el paso de un conducto cuyo tendido interfiere con el perfil.

Calcular la rigidez torsional del tramo de 100 cm en los siguientes tres casos: (material ν = 0,3)

a) Perfil completo en la situación actual. b) Perfil donde el tramo modificado es una sección

cerrada con una chapa de espesor 0,5 cm c) Perfil con el tramo modificado con sección abierta.

Para simplificar los cálculos suponer que los 9 cm debilitados tienen una altura constante de 5 cm.

Ayuda: Fórmula para el momento de inercia sectorial Iω de una sección canal.

2 5 2 21 2 6 6 12( ) ( )hI h t z z zω α α β = + − + /

donde: ; ; 2 1 (3 )b hb h t t zα β α β= = = +/ / / además:...... /e b z=

7 La placa del croquis de 200 cm de largo y 60 cm de ancho está simplemente apoyada sobre dos perfiles dobleté empotrados en uno de sus extremos y soporta una presión p = 0,04 kg/cm2.

Debido a la rotación de la placa, suponer que la carga distribuida sobre los perfiles actúa en el extremo del perfil (punto P en los croquis b y c).

Para el tramo en voladizo de la derecha (perfil dobleté, E = 2100000 kg/cm2 y G = 808000 kg/cm2), se pide:

1) Dar la solución analítica para el problema de torsión. 2) Dar la solución numérica empleando Δx = 20 cm. 3) Calcular el giro en el extremo libre aplicando Saint Venant y comparar con el resultado

correcto calculado en 1) y 2). 4) Calcular la máxima tensión en el empotramiento debido a la flexión, corte y torsión.


195

SOLUCIÓN del PRÁCTICO Vigas de Pared Delgada Nota: Todos los resultados parciales y finales se dan unidades [cm] , [kg] y radianes.

1 Comparación de la rigidez y resistencia de dos secciones similares, una abierta y otra cerrada.

1.1 Sección abierta. Se utilizan las fórmulas del caso 7-b del Anexo del Cap. 10 de página 192: 3 3 33 [(3,5 3,8 3,7) 0,2 4,9 0,4 ] 3R i iJ t= = + + +∑ / / x x ............. 0,1339RJ =

( / ) ( /0,1339) 0,4máx R máxT J t Tτ == = x .................................. 2,987máx Tτ =

1.2 Sección cerrada ignorando la pestaña (caso 8 del Anexo del Cap. 10) Área encerrada por la sección cerrada: Γ = 3,7 X 3,8................. 14,06Γ =

Ec. (13)-a → 2 2( )4 4 (14,06) [(3,7 3,8 3,7) 0,2 3,8 0,4]R sJ ds tΓ= = + + +∫ / // / /

x ....... 12,072RJ =

Ec. (7) → (2 ) 2 14,06 0,2 0,1778( )máx mínT t T TΓτ = = =/ / x x .................................. 0,17781máx Tτ =

1.3 Sección cerrada con una pestaña rectangular ( Notación: c = cerrada ; p = pestaña) Caso 6 Anexo → 0,4x = → 4 21/3 0,211 0,0182 0,249 ; 1/3 0,225 0,1 0,259C x x C x xβ τ= − + = = − + =

Módulo de torsión: pRJ = 0,249x1x0,43 = 0,016 → Conjunto: JR = c p

R RJ J+ =12,072+0,016... 12,088RJ = Ec. (12)-b → Por tener igual giro los dos elementos toman momentos proporcionales a sus rigideces:

0,99870,0013

c p c

pc p c pR R

T T T T TT TT T J J

= + =

== / / Caso 8 →

Caso 6 → 2

0,9987 /(2 14,06 0,2) 0,177580,0013 / (0,259 1 0,4 ) 0,03137

c

p

T TT T

ττ

= =

= =

x x x

x x x.. 0,17758máx Tτ =

CONCLUSIONES: a) El módulo de torsión se multiplica por 90 (0,1339→12,09), la pestaña sólo agrega 0,1 %. b) La tensión de corte se reduce un 94 %, (2,99→0,178 ) la pestaña sólo reduce 0,2 % más.

2 Comparación de la rigidez al giro de tres barras que tienen igual largo y secciones de igual área.

2.1a Sección rectangular (Fórmula del caso 6 del Anexo del Cap. 10 de la página 192)

1/10 0,1x = = → 41 3 0,211 0,1 0,0182 0,1 0,3122Cβ = − + =/ x x → 30,3122 10 1RJ = x x ..... 3,122RJ =

Rigidez al giro: ( )RTL G Jθ = / → / 810000 3,122/40T θ = x ..................................... / 63220T θ =

2.1b Sección cerrada cuadrada de espesor constante que no alabea (ver Figura 9) Ec. Error! Reference source not found. → Lβ θ= / Ec. (11)-b → 24( )[ ]T G ds tβ Γ= ∫/ /

2 2/ 4 / 4 810000 (10 10) / [40 (4 10) /0,25]( )T G ds tLθ Γ= =∫/

x x x x x ........................ / 5062500T θ =

2.1c Sección abierta dobleté que alabea pero tiene restricción al alabeo en un extremo (ver Secc. 6)

Caso 7 Anexo → JR = ⅓ (7,5+10+7,5)x0,43 = 0,53333; 3 2 3 2/24 7,5 10 0,4 /24 703,12I b h tω = = =x x 40L =

Ec. (51) → /( ) = 810000 0,53333 (2100000 703,12) 0,0171RK GJ EIω= =/x x ......... 0,6842KL =

Ec. (79) → tanh ( )1 ][L

R

T L K LG J K L

θ = − → /tanh ( )

RG J K LTL K L K L

θ =−

............ / 82100T θ =

Comparación: La sección cerrada (caso b) tiene una rigidez 80 veces mayor que la sección rectangular (caso a) y 61 veces mayor la sección dobleté con restricción al alabeo (caso c). Si se ignora la restricción al alabeo la rigidez del dobleté toma un valor mucho menor (87 % inferior) Ec. (12) o (48) → Giro de Saint Venant: /( ) 40 (810000 0,5333) /10800SV RT L G J T Tθ = = =/x x / 10800T θ =


196

3 Cálculo de la máxima tensión de corte por torsión de una sección de dos células.

3.a Cálculo simplificado ignorando el tabique que separa las células (ver caso 8 del Anexo) Área encerrada: 2 2 4 2 1 2Γ = + =x x Módulo de torsión: 2 ( )4R sJ ds tΓ= ∫ //

24 12 6 0,2 10 0,1RJ = +/ /( )/x .................................................... 44,431RJ cm=

Tensión máxima: /(2 ) 1500 /(2 12 0,1)máx mínTΓ tτ = = x x ..... 2625 /máx kg cmτ =

3.b Cálculo considerando dos células

Ec. (16) → 1 1 2 1

2 2 1 2

6 0,2 ( ) 2 0,2 2

10 0,1 ( ) 2 0,2 2

G

G

q q q

q q q

β

β

Γ

Γ

+ − =

+ − =

/ /

/ /

x x

x x Ec. (20) →

1

2

40 10 4

10 110 8

q

q

− ⋅ =

−

Resolviendo: 1 20,12093 ; 0,08372q q= =

Ec. (22) → 4 4 (4 0,12093 8 0,083721) 4,61R i iJ qΓ= = + =∑ x x x .................... 44,614RJ cm=

Ec. (21) → 1 1 2 2[2( )] 1500 [2 (4 0,12093 8 0,083721)]T q qβ Γ Γ= + = +/ / x x x ............... 650,20β =

Ec. (21) → 1 1 2 2650,2 0,12093 78,629 ; 650,2 0,08372 54,435q q q qβ β= = = = = =x x Flujo de corte en el tabique: 3 1 2 78,629 54,435 24,194q q q= − = − = Tensión máxima: { } { }78,629 0,2 ; 54,435 0,1; 24,194 0,2máx i imayor q t mayorτ = =/ / / /

{ }393,14 ; 544,35 ; 120,97 544,35mayor= = ... 2544,4 /máx kg cmτ =

Conclusión: Al considerar el tabique, el módulo torsional se incrementa un 4 % y la tensión máxima se reduce un 13 %, pero estos resultados que eran de esperar no pueden generalizarse.

A modo de ejemplo se analiza el caso de agregar un segundo tabique como se muestra en el croquis. En ese caso el módulo torsional crece levemente cuando crece el espesor del segundo tabique, mientras que paradójicamente la tensión máxima de corte por torsión crece monótonamente con el espesor !!!

El resultado inesperado se debe a la redistribución de tensiones que incrementa la tensión abajo en la parte izquierda y la disminuye abajo en la parte derecha.

Espesor del tabique adicionado: t 0 0,1 0,2 0,3 Módulo de torsión: JR 4,614 4,704 4,729 4,738 Tensión máxima de corte: τmáx 544,4 612,2 630,4 638,8

4 Cálculo de la carga admisible Padm soportada por un tramo en voladizo con CS = 2.

Esta sección rectangular espesor constante ‘casi’ no alabea (ver Figura 9), por lo tanto la restricción al alabeo en el empotramiento no tiene incidencia. El momento de inercia se calcula como sección de pared delgada concentrando las áreas en la línea media.

2 32 (4 0,12) 2,5 0,12 5 12I = + /x x x x ................................... 48,50I cm=

Tensión por flexión en A: 12 2,58,5máx

M PyI

σ = =x

x .......... 3,529 Pσ =

Tensión por torsión: caso 8 del Anexo 8

2 2 (5 4) 0,12tT P

tΓτ = =

x

x x x... 1,667t Pτ =

Momento estático en el punto A: (2 0,12) 2,5AS = x x ............. 0,60AS =

Tensión de corte por corte en A: Ec. (58) → ( ) 0,6 (8,5 0,12)Ac Q S I t Pτ = =/ /x x ..... 0,588c Pτ =

Tensión efectiva de Von Mises en A: * 2 2 2 23 3,53 3 (1,67 0,59) Pσ σ τ= + = + + .... * 5,27 Pσ =

Carga admisible con CS = 2: */ 2800 (5,27 )f S admC Pσ σ = → = 2/ ........... 265,6máxP kg=


197

5 Determinación de propiedades de una sección canal de pared delgada de chapa doblada. a) Determinación del centro de corte F1, F2 y F3 son las integrales de los flujos de corte en los tres tramos cuya resultante es el esfuerzo de

corte Q que pasa por el centro de corte. El momento de inercia se calcula como sección de pared delgada concentrando las áreas en la línea media.

2 32 6 0,2 3 0,2 6 /12I = + x x x ................................................. 425,2I cm= Tramo 1: 1 1 1(0,2 ) 3 0,6S s s= =x x Ec. (58).→. 1 1 1/ 0,6q S Q I s Q I= = /x x

( ) ( )6 6 2

1 1 1 10 00,6 25,2 0,6 6 2F q ds Q I s ds Q= = =∫ ∫/ / /x x .... 1 0,42857F Q=

Tomando momento respecto al punto A no hace falta calcular ni F2 ni F3. ( )1 6 0,42857 6Q e F Q e Q= ⇒ =x x x x .............................. 2,5714e cm=

b) Gráfico del área sectorial principal Para calcular el área sectorial principal se usa el centro de corte como polo (punto P del croquis), y aprovechando la simetría se ubica el punto inicial sobre el eje de simetría, obteniendo así un gráfico antisimétrico que asegura que el momento estático sectorial es nulo.

Tramo I → B Ec. (23) → 1

1 10( ) 2,57 2,57s

s ds sω = =∫ (3) 2,57 3Bω ω= = x ........... 27,71B cmω =

Tramo B → A Ec. (23) → 2

2 20( ) 3 7,71 3s

Bs ds sω ω= − = −∫ (6) 7,71 3 6Aω ω= = − x ..... 210,29A cmω = −

c) Cálculo del momento de inercia sectorial Se utiliza la Ec. (26) y los valores de aérea sectorial principal obtenidos en la parte b.

( )3 2

1 1 102,57 0,2 11,889I s dsω = =∫ ( )

6 22 2 20

7,71 3 0,2 34,397I s dsω = − =∫

Ec. (26) → [ ] ( ) ( )21 2( ) 2 2 11,889 34,397

F

IsI t ds I Iω ω ωω= = + = +∫ ...... 692,57I cmω =

NOTA: Los resultados obtenidos en la parte a (e = 2,57) y en la parte c ( Iω = 92,57) concuerdan con los valores provistos por las fórmulas dadas como ayuda en el enunciado del problema 6, para la sección canal.

6 Determinación de la rigidez torsional de un perfil de pared delgada de 100 cm en tres situaciones. En los tres casos se comienza calculando el giro producido por un momento torsor genérico T. Notación: el subíndice 9 se usa para el tramo debilitado de 9 cm y 91 para el tramo restante de 91 cm.

a) Perfil cuadrado de espesor constante 0,2 cm que no alabea (ver Figura 9 y caso 8 del Anexo) Área encerrada: 9,8 9,8 96,04Γ = =x Ec. (11) b → 24( )[ ]T G ds tβ Γ= ∫/ /

24 96,04 (4 9,8) / 0,2[ ] [ ]( )T Gβ = / x x x ........................... 0,0053124 T Gβ = /

( )100 0,0053124 100 0,53124L T G T Gθ β= = =/ /x ............. / 1,8824T Gθ =

b) Perfil de 100 cm debilitado con una sección cerrada de 9 cm de largo Rigidez del tramo intacto de 91 cm: ( )91 0,0053124 91T Gθ β= = / x .......... 91 0,48343 T Gθ = / En el tramo de 9 cm se puede ignorar el alabeo porque las secciones cerradas alabean muy poco.

Área encerrada: 9 9,8 4,65 45,57Γ = =x Ec. (11) b→ 24( )[ ]T G ds tβ Γ= ∫/ /

2

9 4 45,57 (4,65 2 9,8) 0,2 9,8 0,5[ ] [ ]( )T Gβ = + +/ // x x x 9 0,013857 T Gβ = /

( )100 91 9 0,48343 0,013857 9T G T Gθ θ θ= + = +/ / x → 100 0,60814 T Gθ = / → / 1,6444T Gθ =


198

c) Perfil de 100 cm debilitado con una sección abierta de 9 cm de largo Rigidez del tramo debilitado de 9 cm: La sección canal tiene muy poca rigidez torsional debido al

alabeo, pero en este caso se trata de un tramo muy corto de 9 cm cuyos extremos tienen restringido el alabeo por el resto del perfil.

Caso 7 Anexo → 3(9,8 2 4,9) 0,2 /3RJ = + x x ................................. 0,052267RJ = Momento de inercia sectorial: 4,9 ; 9,8 ; 0,2 ; 0,2b hb h t t= = = =

0,5 ; 1 ; 2 1 (3 ) 2,667b hb h t t zα β α β= = = = = + =/ / / 2 5 2 21 2 6 6 12( ) ( )w hI h t z z zα α β = + − + / ............................. 164,777wI =

0,3 ; / [2(1 )] 2,6G E E Gν ν= = + ⇒ = /( ) 0,011045RK GJ EIω= = .... 0,09941KL =

Ec. (88) → [ ] [ ] [ ]{ }29 ( ) 1 + cosh ( ) 1 senh ( ) senh ( ) ( )RT L G J K L K L K L K L KLθ = − − // /

9 ; senh ( ) 0,09957 ; cosh ( ) 1,00495L K L K L= = = ............................... 9 0,14164 T Gθ = /

100 91 9 0,48343 0,14164T G T Gθ θ θ= + = +/ / → 100 0,62507 T Gθ == / → / 1,5998T Gθ =

En el caso c de la sección abierta, la rigidez torsional se reduce el 15 % y en el caso b de la sección cerrada se reduce el 12,6 %, por lo tanto cerrar la sección sólo agrega un 2,8 % de rigidez torsional. CONCLUSIÓN: Se puede dejar la sección debilitada abierta sin mayor pérdida de rigidez.

7 Análisis de un tramo en voladizo de sección dobleté solicitado a torsión y flexión. Carga en cada voladizo: P = (0,04x200x60)/2 = 240 Carga distribuida : ……..…………. q = 240/60 = 4 La excentricidad de la carga provoca torsión. Excentricidad de la carga: ………. e = b/2 = 8/2 =4 Torsor distribuido: ………..… T ’ = q e = 4x4 = −16 Momento torsor función de x : …….. T = 960 – 16 x

7.1 Solución analítica del problema de torsión En el caso de variación lineal del momento torsor, el giro está dado por la ecuación (55). Ec. (55) → ( )2

1 2 3 4senh ( ) cosh ( ) 2 RC C x C K x C K x T x GJθ ′= + + + + /

Derivando: ( )2 3 4cosh ( ) senh ( ) RC K C K x K C K x T x GJθ ′ ′= + + + /

Derivando: ( )2 23 4senh ( ) cosh ( ) RK C K x K C K x T GJθ ′′ ′= + + /

Derivando: 3 33 4cosh ( ) senh ( )K C K x K C K xθ ′′′ = +

Propiedades torsionales de la sección dobleté: 3 33 [(8 10 8) 0,5 ] 3R i iJ t= = + +∑ / / x → 1,083333RJ = 1,083333 808000RGJ = x → 875333RGJ =

3 2 3 2/24 8 10 0,5 /24I b h tω = = x x → 1066,667Iω = 61066,67 2,1 10EIω = x x →92,24 10EIω = x

Ec. (51) → 9/( ) = 875333 2,24 10RK GJ EIω= / x ................................................. 0,019768K =

Condiciones de borde:

1 4 1 4 1 4

2 3 3 2

0 0 .............................................0

0 0 /

C C C C C Cx

C KC C C K

θ

θ

= → + = → = − = −= ′ = → + = → = −

............ 3 / ( )RC T KGJ′= 2

2 2

2

4 2

Ec. (50)

Ec. (90) Ec. (90)

0 ( ) ( ) 0 / ( ) ..................... / ( )

tanh ( ) 10 0 ( ) 0.......( ) cosh ( )

R R

xR

T K C T GJ C T GJ

x T KB CGJ K K K

θ θ

σ θ

→

→ →

′′′ ′ ′ ′ = − = → = − = −

= ′ ′′= = = = − +

Evaluando: C1 = – 0,0721471147 C2 = 0,0010967255 C3 = – 0,0554798515 C4 = 0,0721471147


199

7.2 Solución numérica del problema de torsión empleando Δx = 20 cm Se consideran sólo tres tramos pero la solución obtenida es exacta independiente de cuantos tramos se utilicen dado que T ’ es constante. La única limitación es que la solución se conocerá sólo en los 4 puntos de discretización adoptados (estaciones).

3 60 /3 20 16 0,01976799587in x T K′= → ∆ = = = − = La secuencia de avance en las sucesivas estaciones de integración es la siguiente:

Ec. (102) → 1 11,081333012 10,40666506 0,008133012( )qi q i i i iT T T T B+ +′ ′= + + +

Ec. (103) → 1 110 ( )i i q i q iB B T T+ += + +

Ec. (104) → 91 14,464285714 10 ( )i i i iB Bβ β −+ += − +x

Ec. (105) → 1 110 ( )i i i iθ θ β β+ += + +

Estación x T’ Tq B β [10-6 ] θ [10-6 ]

0 ( )xV Solución particular

1 0 −16 0 0 0 0 2 20 −16 −333,01 −3330,13 14,8667 148,67 3 40 −16 −720,20 −13862,23 91,6183 1213,52 4 60 −16 −1224,53 −33309,51 302,2064 5151,77

1( )xV

1 0 0 1 0 0 0 2 20 0 1,08133 20,8133 − 0,09292 − 0,92917 3 40 0 1,33856 45,0123 − 0,38678 − 5,72614 4 60 0 1,81353 76,5332 − 0,92939 − 18,88790

2 ( )xV

1 0 0 0 1 0 0 2 20 0 0,00813 1,08133 − 0,0092917 − 0,09292 3 40 0 0,01759 1,33856 − 0,0200948 − 0,38678 4 60 0 0,02991 1,81353 − 0,0341666 − 0,92939

Ec. (111) → 1 2 01

1 1 2 2 0 02

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )q R q R q R

L L L

L GJ L L GJ L L L GJ L

B B B

T T T T

α

β β βα+ + −

− =

−

11

2 2

(0) 96076,5332 1,81353 33309,5

1 0 960 (0) 22146

qT

B

αα

α α

= = = → = = −

Mediante la Ec. (107) se obtiene la solución en las estaciones: 0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )x x x xV V V Vα α+ +=

Estación x [cm]

Tq [kg-cm]

B [kg-cm2]

β [rad /cm ]

θ [rad ]

T [kg-cm]

TSV

[kg-cm] 1 0 960,000 −22145,96 0,00000000 0 960 0 2 20 524,947 −7296,50 0,00013144 0,0013144 640 115,053 3 40 175,284 −294,19 0,00016533 0,0042821 320 144,716 4 60 −145,865 0 0,00016664 0,0076017 0 145,865

La última columna se obtiene usando la Ec. (49)-a :

q SVT T T+ = A derecha se muestra el gráfico del momento torsor T y sus dos componentes Tq y TSV. Hay que destacar que en el extremo de la viga las dos componentes son iguales pero tienen de distinto signo y de ese modo la suma da cero. Como la viga es “corta” la restricción al alabeo juega un rol muy importante.


200

7.3 Cálculo del giro en el extremo libre aplicando Saint Venant Solución de Saint Venant: (totalmente inaceptable !!)… 960 16 ; 875333RT x GJ= − =

Ec. (48) → 602

00 0( / ) (960 16 /2) /875333

L L x

SV R xdx T GJ dx x xθ β

=

== = = −∫ ∫ ............ 0,03290SVθ =

Solución analítica: Ec. (55) → ( )21 2 3 4senh ( ) cosh ( ) 2 RC C L C K L C K L T L GJθ ′= + + + + /

20,07215 0,0011 60 0,05548 1,4844 0,07215 1,7898 16 60 /(2 875333)θ = + + − + −x x x x x 0,00753θ = Solución numérica: Ec. (107) → 0 1 1 2 2(60) (60) (60) (60)θ θ α θ α θ= + +x x

65151,763 960 ( 18,8879) 22145,96 ( 0,929395) 10[ ]θ −= + − − − +x x x …………………….. 0,00760θ = Comentario: La solución numérica y la analítica coinciden y dan el resultado correcto (0,00753), pero la solución de Saint Venant no es aplicable porque tiene un error del 337 % en exceso (0,03290) !!!

7.4 Cálculo de la máxima tensión en el empotramiento debido a la flexión, corte y torsión

Sección Área sectorial Momento estático sectorial Momento estático

σ1 Tensión normal por flexión 2 32 (8 0,5) 5 0,5 10 /12I = +x x x x: Momento de Inercia: .... 241,667I = 7200M = → ( / ) /2 (7200 /241,667) 5 149M I hσ = = =x …………....…..……………… 1 149σ =

σ2 Tensión normal secundaria1( ) 15s sω = − (considerando alabeo): Área sectorial: → ( ) (4) 5 4 20Bω ω= = − = −x

Ec. (37) ó Ec. (112) → ( ) ( ) ( ) /x s s xB Iωσ ω= → 0(4) (4) ( ) / 20 ( 22146) /1066,667oB Iωσ ω= = − −x 2 415σ = τ1 Tensión de corte de Saint Venant

1,08333RJ = (ignorando alabeo)

→ Caso 7 del Anexo del Cap 10: ( / ) (960 /1,083333) 0,5max RT J tτ = = x …….... 1 443τ =

τ2 Tensión de corte secundaria2( ) ( ) 2 2( /2) 20 5s B s h sω ω= + = − + (considerando alabeo) Área sectorial entre B y A:

Ec. (44) → 2

2

2

2

42( ) ( ) 2 2 2 2 00 0

( 20 5 ) 0,5 [ 20 2,5( ) ] 0,5 20s s s s

A s ss s

s

sM t ds dss s sω ω

′= = =

′ ′′ == =′= = − + = − + = −∫ ∫ x x x

Ec. (114) → ( ) ( )( 20) 1066,67 0,5960/ /q A q A AT M I tωωτ = = −− − x x …..............…….…. 2 36Aτ =

τ3 Tensión de corte por corte: 2 2 2( ) /2 2,5 2,5 4 10AsS t h Ss s == = =xMomento estático entre B y A:

Ec. (58) → 3 / ( ) 240 10 / 0,5 241,667) 19,86A AQ S t Iτ = = =x x ………………….…………. 3 20Aτ =

σ1 por flexión σ2 secundario τ2 corte secundario τ3 corte por corte Gráfico de la tensión efectiva de Von Mises en la semiala superior derecha entre los puntos A y B

Tipo de tensión Ignorando alabeo Considerando alabeo

Punto A Punto B Punto A Punto B

Normal σ1 por flexión 149 149 149 149 σ2 secundaria ---- ---- 0 415

Cortante τ1 Saint Venant 443 443 0 0 τ2 secundaria ---- ---- 36 0 τ3 por corte 20 0 20 0

Resultante Normal σ 149 149 149 564 Corte τ 463 443 56 0 Von Mises σ* 816 782 178 564

Conclusión: Considerando el alabeo, la tensión efectiva máxima se reduce un 31 % (baja de 816 a 564 kg/cm2), además como se vio en el punto anterior el giro por torsión del extremo libre se reduce un 77 % (baja de 0,03290 a 0,00753 rad.). La restricción al alabeo en el extremo empotrado de la viga en voladizo, torna a la viga más rígida y más resistente desde el punto de vista de la torsión.

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