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PRESENTACIÓN

Esta Guía interactiva ha sido elaborada con la intención de apoyarte en el aprendizaje de la asignatura de Matemáticas de Primer. Trabajar en ella contribuirá a que desarrolles un pensamiento analítico y de autoevaluación respecto de aquellos conceptos, habilidades o procedimientos en los que requieres mayor apoyo. La Guía cuenta con cincuenta preguntas de opción múltiple, cada opción de respuesta está acompañada por una retroalimentación que te permitirá saber si tu elección fue acertada o si necesitas corregirla. Esta información te servirá para que pongas en práctica tus conocimientos, habilidades y procedimientos del contenido que se aborda en cada pregunta. Para ampliar las posibilidades de estudio de la materia, podrás consultar y trabajar con diversos recursos multimedia disponibles en el CD que contiene la versión electrónica de la Guía. Esperamos que la resolución de esta Guía constituya para ti una oportunidad más de aprendizaje.

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ÍNDICE

INSTRUCCIONES……………………………………………………………….…………. 3 PARA EL MAESTRO…………………………..…………………………………............. 4 PREGUNTAS Y RETROALIMENTACIONES • BLOQUE I …………………………………………………………………….………….. 5

Preguntas 1 a la 12 Sugerencias didácticas

• BLOQUE II ……………………………………………………………………................ 31 Preguntas 13 a la 22

Sugerencias didácticas • BLOQUE III ………………………………………………………….…………………… 46 Preguntas 23 a la 35

Sugerencias didácticas • BLOQUE IV …………………………………………………………….………………… 83 Preguntas 36 a la 44

Sugerencias didácticas • BLOQUE V ……………………………………………………………..……………….. 100

Preguntas 45 a la 50 Sugerencias didácticas

REGISTRO DE RESPUESTAS………………………………………….……….................. 112 CLAVE DE RESPUESTAS………………………………………….……...........…………… 113 CRÉDITOS ………………………………………………………………….…….……………. 114

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INSTRUCCIONES

Antes de comenzar a resolver la Guía, atiende las siguientes indicaciones. 1. Lee con atención cada pregunta y las opciones de respuesta que te ofrece. 2. Antes de seleccionar una opción, lee las retroalimentaciones que se proporcionan y realiza lo

que se pide, esta acción te permitirá saber cuál es la opción correcta. 3. Para registrar la opción elegida, utiliza la hoja de Registro de respuestas ubicada al final de

esta Guía. 4. Una vez que hayas respondido las preguntas con las que decidiste trabajar, consulta la Clave

de respuestas y, de acuerdo con tus aciertos y errores, identifica cuáles son los contenidos que dominas y en cuáles necesitas trabajar más.

5. Podrás ampliar el estudio de los contenidos que se abordan en esta Guía, trabajando con

diversos recursos multimedia como textos, videos e interactivos; éstos te permitirán reforzar, practicar o comprobar tus conocimientos y habilidades referidas a la asignatura. Para acceder a ellos, consulta el apartado Índice de Recursos del disco que contiene la versión electrónica de la Guía.

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PARA EL MAESTRO

La GIS de Español y Matemáticas, constituyen un apoyo a la enseñanza y el aprendizaje, algunos de sus propósitos son:

• Incentivar una nueva forma de responder preguntas de opción múltiple. Responder a exámenes estandarizados con preguntas de opción múltiple es una práctica cotidiana en las aulas. La guía pretende que los estudiantes aprendan a ser reflexivos ante este tipo de instrumentos, planteando reactivos que van más allá de la recuperación memorística de contenidos declarativos..

• Estimular el pensamiento analítico y metacognitivo. Las retroalimentaciones propician que los estudiantes reflexionen, analicen, infieran o contrasten lo que saben de la opción elegida. Esto permite identificar fortalezas, deficiencias y establecer metas a cumplir.

• Fortalecer la enseñanza de los contenidos curriculares. Los resultados que el grupo obtenga con la resolución de la GIS, puede ser un insumo para identificar aquellos contenidos que representen mayor dificultad para los alumnos. Las sugerencias didácticas que se incluyen en cada reactivo buscan ampliar las opciones de intervención y enseñanza.

• Propiciar contextos y prácticas socioeducativas.

El trabajo con Español y Matemáticas con apoyo de la GIS, facilita —en el interior del aula— el trabajo colaborativo; los alumnos pueden reflexionar y analizar las opciones compartir sus logros y apoyarse para resolver de manera conjunta las diversas situaciones planteadas en las preguntas, las retroalimentaciones y los recursos multimedia.

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PREGUNTAS Y RETROALIMENTACIONES

BLOQUE I Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

1. ¿Cuál de los siguientes números es el mayor? 10020,

33,

10004,

87

a) 87

• ¿Cuál número es mayor, 87 u

88 ? ¿Cuál número es mayor,

88 o

33 ?

• Copia en tu cuaderno la recta numérica y verifica tus respuestas

b) 10020

• ¿Cuál número es mayor, 10020 o

87 ?

• Verifícalo encontrado fracciones equivalentes, por ejemplo, con denominador 800.

c) 1000

4

• ¿Cuál número es mayor, 1000

4 o 100

4 ? Si no estás seguro, haz lo siguiente: considera

que un metro (1 m) es la unidad, toma una cinta métrica o una regla y localiza aproximadamente dónde se encuentran los números

10004 (se lee “cuatro milésimos”) y

1004 (se lee “cuatro centésimos”).

• ¿Cuál número es mayor, 100

4 o 10020 ?

d) 33

• ¿Cuál número es mayor, 33 o

10004 ? Un alumno contestó que es mayor

10004 porque

tanto el numerador como el denominador son mayores que en 33 . ¿Estás de acuerdo?

• Copia la siguiente recta numérica en tu cuaderno para localizar aproximadamente esos números y explicar tu respuesta.

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2. ¿En cuál opción los números están correctamente ordenados de mayor a menor? a) 0.2, 0.17, 0.09, 0.010 • ¿Es cierto que 0.2 es igual que 0.20?

• Copia la recta numérica en tu cuaderno y verifica tu respuesta.

• ¿Cuál número es mayor, 0.17 o 0.2?

b) 0.17, 0.010, 0.09, 0.2 • ¿Es cierto que 0.010 es mayor que 0.09?

• Puedes verificarlo colocando los números en una tabla como la siguiente. Luego, compara las cifras de cada columna para ver cuál número es mayor.

c) 0.010, 0.09, 0.17, 0.2 • ¿Cuál número es mayor, el 0.010 o el 0.2?

• Copia la siguiente recta numérica en tu cuaderno y localiza estos números. Recuerda que 0.010 son diez milésimos y 0.2 son dos décimos.

d) 0.010, 0.17, 0.09, 0.2 • ¿Es cierto que 0.17 es mayor que 0.2 porque el primer número tiene dos cifras después

del punto (el 1 y el 7) y el segundo solamente una (el 2)? • Explica tu respuesta.

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3. El siguiente segmento se dividió en partes iguales. ¿Cuál es la fracción que corresponde al punto señalado?

a) 31

• Si al primer punto le hacemos corresponder la fracción 31 .

• ¿Cuál fracción le corresponde al segundo punto? • ¿Cuál fracción le corresponde al tercer punto? ¿Esta fracción es equivalente a 2?

b) 21

• Copia la recta numérica de la pregunta en tu cuaderno y localiza al 1. •

21 debe estar a la misma distancia de 0 que de 1.

• ¿El primer punto cumple con esta característica?

c) 32

• El segmento se dividió en tres partes iguales. ¿Es cierto que el tamaño de cada una de las partes es igual al resultado de la división 2 ÷ 3? • ¿La fracción

32 representa esa medida? Verifícalo sumando

32

32

32

++ .

• ¿El resultado es igual a 2?

d) 23

• Copia en tu cuaderno la recta numérica de la pregunta y localiza al 1 y al 21 .

• Localiza 23 en la recta al sumar tres veces el segmento que mide

21 .

• ¿Corresponde con el punto señalado mediante la flecha?

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4. ¿Cuánto mide cada tira?

a) A mide 1.1; B mide 0.4 y C mide 0.2 • ¿Cuántas divisiones tiene cada entero en la recta numérica?

• Anota los valores que corresponden en la siguiente recta.

b) A mide 1.5; B mide 0.8 y C mide 0.4 • ¿Cuál es la distancia del 1.5 al 1? ¿Cuál es la distancia del 1.5 al 2?

• Localiza al número 1.5 en la siguiente recta.

• ¿El primer punto cumple con esta característica?

c) A mide 1.1; B mide 0.8 y C mide 0.4 • ¿Cuál es la distancia del 1.1 al 1? ¿Cuál es la distancia del 1.1 al 2?

• Localiza las medidas de las tiras: 0.4, 0.8 y 1.1 en la siguiente recta.

d) A mide 1.05; B mide 0.4 y C mide 0.2 • La flecha M señala el número 0.4 ¿dónde va el 0.2?

• La flecha N señala el número 1.2 ¿dónde va el 1.05?

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5. En la columna izquierda se presentan los primeros términos de algunas sucesiones y en la columna derecha algunas reglas que permiten encontrar estas sucesiones.

Elige la opción que relaciona correctamente ambas columnas. a) A – III, B – IV, C – I. • ¿Cuál es el primer término de la sucesión que se genera con la regla “los números

impares”?, es decir, el primer número impar, ¿cuál es el segundo término?, ¿cuál es el tercer término? • Para esta sucesión, completa la siguiente tabla:

Lugar del término (n) 1 2 3 4 5 7 10 Término de la sucesión

• Compara los términos de la sucesión anterior con los términos de la sucesión C). b) A – III, B – II, C – I. • La letra n puede representar el número del lugar del término. Así, la regla “multiplicar el

lugar del término por 5 y sumar 4” se expresa como: 5n + 4. ¿Qué valores toma esta expresión cuando se sustituye n por los valores 1, 2, 3, 4,…? Completa la siguiente tabla:

Lugar del término (n) 1 2 3 4 5 8 12 Término de la sucesión

• Compara los términos de la sucesión anterior con los términos de la sucesión B). c) A – I, B – II, C – III. • ¿Cuál es el primer término de la sucesión que se genera con la regla “multiplicar el lugar

del término por 5 y sumar 4”?, ¿cuál es el segundo término?, ¿cuál es el tercer término? • Compara los términos de la sucesión anterior con los términos de la sucesión B).

d) A – I, B – IV, C – III. • Para las siguientes sucesiones de números:

A) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,… B) 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21,… • ¿La regla “sumar 2 al término anterior” sirve para obtener los términos de la primera sucesión? ¿Y sirve para obtener los términos de la segunda sucesión? • ¿Esta regla describe una sola sucesión de números? ¿Por qué? • Encuentra otra sucesión de números que tenga la misma regla que las dos anteriores.

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6. Observa la siguiente sucesión de figuras:

¿Cuál es la regla con la que se puede obtener el número de cuadrados de cada figura de la sucesión? a) Sumar 5 cuadrados a la figura anterior. • ¿Cuántos cuadrados tiene la figura 1? ¿Cuántos cuadrados tiene la figura 2?

• Si al número de cuadrados de la figura 1 se le suma 5, ¿se obtiene el número de cuadrados de la figura 2? • Dibuja la figura 5. ¿Cuántos puntos tiene?

b) Multiplicar por 4 el número de la figura y sumar 1. • De acuerdo con la regla “multiplicar por 4 el número de la figura y sumar 1”, ¿cuántos

cuadrados debe tener la figura 1?, ¿cuántos cuadrados deben tener las figuras 2, 3 y 4? Completa la siguiente tabla:

Número de la figura 1 2 3 4 5 6 Multiplicar por 4 el número de la figura y sumar 1

• Según esta regla, ¿cuántos cuadrados debe tener la figura 5? Dibuja la figura 5. Cuenta el número de cuadrados que tiene y compara tus respuestas. • ¿Cuántos cuadrados tendrán las figuras 20 y 30?

c) Multiplicar por 5 el número de la figura y sumar 4.

• De acuerdo con la regla “multiplicar por 5 el número de la figura y sumar 4”, ¿cuántos cuadrados debe tener la figura 1?, ¿cuántos cuadrados deben tener las figuras 2, 3 y 4? Completa la siguiente tabla:

Número de la figura 1 2 3 4 5 6 Multiplicar por 5 el número de la figura y sumar 4

• Dibuja las figuras 5 y 6, después cuenta el número de cuadrados que tienen. • Según la regla, ¿cuántos cuadrados deben tener las figuras 5 y 6? Compara tus respuestas.

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d) Los números impares. • ¿Cuántos cuadrados tiene la figura 1? ¿Cuál es el primer número impar?

• ¿Cuántos cuadrados tiene la figura 2? ¿Cuál es el segundo número impar? 7. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro de la siguiente figura?

a) 8a + 4b • ¿Cuántos lados de longitud a tiene la figura? ¿Y cuántos lados de longitud b?

• Si a mide 5 cm y b mide 2 cm, ¿cuánto mide el perímetro de la figura? • Si a = 5 y b = 2, ¿cuál es el valor de la expresión 8a + 4b?

b) 12ab • Observa el siguiente triángulo isósceles:

• ¿Cuántos lados de longitud x tiene el triángulo? ¿Y cuántos de longitud y? • ¿Con cuáles de las siguientes expresiones se puede calcular su perímetro?

I) y + x II) xy III) x + 2y IV) x + y + y

• ¿Con cuál expresión se puede calcular el perímetro de cada brazo de la figura con forma de cruz?

I) 2a + b II) ab

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c) ab + ab + ab + ab • Observa el siguiente rectángulo:

• ¿Cuántos lados de longitud x tiene el rectángulo? ¿Y cuántos de longitud y? • ¿Con cuáles de las siguientes expresiones se puede calcular su perímetro?

I) x + y + x + y II) yx III) 2x + 2y IV) x + y

• ¿Cómo calcularías el área del rectángulo? • ¿Cuántos lados de longitud a tiene la figura con forma de cruz? ¿Y cuántos lados de longitud b?

d) 4a + 4b • ¿Cuántos lados de longitud a tiene la figura? ¿Y cuántos lados de longitud b?

• Si a mide 4 cm y b mide 3 cm, ¿cuánto mide el perímetro de la figura? • Si a = 4 y b = 3, ¿cuál es el valor de la expresión 4a + 4b?

8. ¿Cuáles de las siguientes expresiones algebraicas sirven para calcular el área del rectángulo?

I) 5 × m × n II) 6mn III) 3m + 2n IV) 3m × 2n V) 3m + 2n + 3m + 2n

a) II y V. • Si m mide 2 cm y n mide 1 cm, ¿cuánto mide el área del rectángulo?

• Si m = 2 y n = 1, ¿cuál es el valor de la expresión 6mn? • Si m = 2 y n = 1, ¿cuál es el valor de la expresión 3m + 2n + 3m + 2n? • ¿Es cierto que las expresiones anteriores son equivalentes? • ¿Cómo se calcula el perímetro de un rectángulo?

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b) I y III. • Evalúa las expresiones que elegiste con los valores de m y n que se indican y completa

la tabla:

• Con los mismos valores de m y n, ¿obtuviste igual valor del área en ambas expresiones? • ¿Estas expresiones son equivalentes? • ¿Cómo se calcula el área de un rectángulo?

c) IV y V.

• Si m = 4 cm y n = 3 cm, ¿cuánto mide el área del rectángulo? • Si m = 4 y n = 3, ¿cuál es el valor de la expresión 3m × 2n? • Si m = 4 y n = 3, ¿cuál es el valor de la expresión 3m + 2n + 3m + 2n? • ¿Es cierto que las expresiones anteriores son equivalentes? • ¿Cómo se calcula el perímetro de un rectángulo?

d) II y IV. • Evalúa las expresiones que elegiste con los valores de m y n que se indican y completa

la tabla:

• Con los mismos valores de m y n, ¿obtuviste igual valor para el área del rectángulo con ambas expresiones? • ¿Estas expresiones son equivalentes?

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Eje: Forma, espacio y medida

9. Determina en cuál de los siguientes incisos se han trazado figuras simétricas con respecto a la recta l y se muestra una justificación correcta de la construcción. a)

Son figuras simétricas con respecto a la recta l porque las figuras tienen la misma forma.

• ¿Cuándo dos puntos son simétricos con respecto a una recta?

• Toma dos vértices correspondientes de la opción que seleccionaste y revisa si cumplen con ser simétricos con respecto a la recta l.

b)

Son figuras simétricas porque las dos figuras son idénticas: tienen ángulos y lados correspondientes iguales.

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• El eje de simetría funciona como un espejo, ¿cómo deben de verse dos figuras simétricas? • Dibuja cómo debe verse el reflejo de la figura, si la recta l fuera un espejo.

• ¿Qué se debe de cumplir para que dos polígonos sean simétricos con respecto a una recta?

c)

Son figuras simétricas porque son iguales: tienen ángulos y lados correspondientes que miden lo mismo.

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• Compara las figuras de la opción que elegiste con las siguientes figuras.

• ¿Cómo son los ángulos y los lados correspondientes de estos polígonos? • ¿Son simétricas con respecto a la recta l esta pareja de polígonos? • ¿Qué cambia con respecto a la opción que elegiste? • En la simetría con respecto a una recta, además de conservarse la medida de los lados y de los segmentos de recta ¿qué otras propiedades se tienen que cumplir para que dos figuras sean simétricas?

d)

Son figuras simétricas con respecto a la recta l porque cada pareja de puntos correspondientes se encuentra a la misma distancia de la recta l y las líneas que los unen son perpendiculares al eje.

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• ¿Qué diferencia hay entre la opción c) y la opción que elegiste? • ¿Es suficiente que dos polígonos tengan lados y ángulos correspondientes iguales para decir que son simétricos? • ¿Las siguientes figuras son simétricas con respecto a la recta l?

• ¿Por qué?

Eje: Manejo de la información

10. ¿Cuál de las siguientes situaciones es de proporcionalidad directa? a)

Edades en años Mateo Celia

2 4 3 5 4 6

• ¿Puedes multiplicar la edad de Mateo por un número y obtener la edad de Celia? • Recuerda que se debe utilizar el mismo número en todos los renglones.

b)

Cantidad de ligas Cantidad a pagar 4 $0.20

12 $0.60 20 $1.00

• ¿Cuánto cuestan 60 ligas? • Si se triplica el número de ligas, ¿se triplica el costo? • ¿Cuántas ligas se puede comprar con $2.00? • ¿Cuánto cuesta una liga?

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c) Edad de un bebe

en meses Peso en

kilogramos 0 3.0 1 3.5 2 4.5

• ¿Es cierto que cuando el bebé tenga 3 meses pesará 5 kilogramos? • Si se duplica el número de meses, ¿se duplica el peso?

d)

Cantidad de canicas Cantidad a pagar 1 $0.30 4 $1.00 12 $3.00

• La cantidad a pagar por 2 canicas deber ser la mitad de lo que se paga por 4, y el doble

de lo que se paga por una. 11. Cinco alumnos –Ángel, Beto, Carlos, Daniel y Enrique– van a participar en una competencia, la cual consiste en realizar diferentes carreras uno contra uno. Cada uno de los alumnos deberá correr contra todos los demás, ¿cuál de los siguientes procedimientos representa las carreras que se realizarán en la competencia? a)

• La siguiente figura representa la carrera entre Enrique y Ángel.

• En el diagrama, ¿en cuántas carreras diferentes aparece Carlos? ¿Y en cuántas aparece Daniel? • ¿Están representadas todas las carreras en las que va a participar Carlos?

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b)

• ¿El resultado A, B y el resultado B, A indican lo mismo? • ¿Qué carrera representa el resultado A, A? De acuerdo con las condiciones de la competencia, ¿esa es una carrera posible? • ¿Cuáles otras carreras no serían posibles?

c)

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• En el diagrama de árbol como parte de los resultados aparece:

• ¿Cuáles son las carreras que están representadas? • Otra parte de los resultados es:

• SI consideras las carreras que se representan en esta parte del árbol y las comparas con la anterior, ¿las carreras que se forman son todas diferentes? ¿Por qué? • Considera el diagrama de árbol completo: ¿Cómo se representa la carrera entre Daniel y Carlos? ¿En cuántas carreras diferentes aparece Carlos? ¿Y en cuántas aparece Daniel? • En total, ¿cuántas carreras correrá cada alumno?

d)

• En la tabla de doble entrada aparece el resultado B,A. ¿Qué carrera representa esta pareja? • En la tabla también aparece el resultado A,B. ¿La carrera que representa esta pareja es diferente a la que representa B, A? ¿Por qué? • Considera la tabla de doble entrada completa: ¿En cuántas carreras diferentes aparece Enrique? ¿Y en cuántas aparece Daniel?

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12. Observa la siguiente imagen que representa un mapa de carreteras que comunica las ciudades A, B, C y D. Como puedes ver por la dirección de las flechas, todas estas carreteras son de una sola dirección.

¿Cuántos recorridos diferentes puede hacer un viajero, si sabemos que sale de la ciudad A y quiere llegar a la ciudad D? a) 2 • Antonio encontró un par de recorridos que se pueden realizar de la ciudad A a la ciudad

D, los señaló con las letras r y s, respectivamente.

• También, Manuel encontró y señaló un par de recorridos que se pueden realizar, indicados con las letras c y d:

• Explica por qué estos cuatro recorridos son distintos. • ¿Hay más recorridos para ir de la ciudad A a la ciudad D?

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b) 6 • Joel identificó mediante colores las carreteras que hay entre cada dos ciudades, como se

ve en la imagen:

• Algunos de los recorridos que encontró los señaló de la siguiente manera:

• De acuerdo con el diagrama de árbol, para ir de la ciudad A a la ciudad B se ha utilizado la carretera roja, ¿podría haberse utilizado la carretera azul? En total, ¿cuántos recorridos diferentes hay?

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c) 7

• María identificó y numeró cada una de las siete carreteras que aparecen en la imagen del mapa, como se muestra en seguida:

• Esto le ayudó para encontrar algunos de los recorridos que podría realizar el viajero y los anotó en una tabla como la siguiente:

Número de recorrido Carreteras por las que se pasa

1 1, 5, 7

2 1, 4, 7

3 1, 3, 6

• Completa la tabla y verifica tu respuesta.

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d) 12 • Bernardo marcó e identificó las carreteras que hay entre cada ciudad como se observa

en la siguiente imagen:

• ¿Cuántas maneras hay para ir de la ciudad A a la ciudad B? • Bernardo indicó que algunas maneras para ir de la ciudad A a la ciudad C son:

• ¿Cuántas maneras más hay para ir de la ciudad A a la ciudad C? • ¿Y cuántas maneras hay para ir de la ciudad A a la ciudad D? En tu cuaderno completa el siguiente diagrama de árbol para comprobarlo.

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SUGERENCIAS DIDÁCTICAS

A continuación se presentan algunas sugerencias de trabajo que ayudan a precisar el abordaje del contenido en cada una de las preguntas. Le proponemos que las lea previamente para enriquecer su labor en el aula.

Bloque I

Eje

Preguntas

Sugerencias didácticas

1

Orden entre números fraccionarios. Es común que los alumnos no tomen en cuenta la relación entre el numerador y el denominador, lo que da lugar a diversos errores, por ejemplo, pensar que los números mayores son los que tienen un mayor denominador (independientemente del numerador) o viceversa. Un caso sería pensar que

1005 es mayor que

105 porque 100 es mayor que 10.

La localización de estos números en la recta numérica puede ser un recurso útil para que los alumnos se percaten de estos errores.

Reflexionar acerca del nombre de los números también puede ser de utilidad en ciertos casos, por ejemplo, al darse cuenta de que un séptimo es mayor que un octavo porque en el primer caso la unidad está dividida en 7 partes iguales, y en el segundo en 8.

La búsqueda de fracciones equivalentes es una manera eficiente para compararlas. Se trata de escribir con el mismo denominador las fracciones

que van a compararse. Por ejemplo: 54 y

87 pueden escribirse así,

4032 y

4035

para saber cuál es mayor.

Sentido numérico y pensamiento algebraico

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Orden entre números decimales. En muchas ocasiones, los alumnos aplican lo aprendido con los números naturales cuando comparan números decimales. Por ello es frecuente que se equivoquen, pues piensan que los números decimales con más cifras son mayores que los que tienen menos cifras, por ejemplo, 0.88888 es mayor que 0.9. O bien, que 0.4 es mayor que 0.62 porque 0.4 sólo llega hasta décimos y 0.62 a centésimos, y los centésimos son más chicos que los décimos.

Utilice la recta numérica o la comparación de cifra por cifra para explicar el orden entre los números decimales. Ponga varios ejemplos y enfatice que un número decimal puede tener menos cifras que otro y, aún así, ser mayor. Si la parte entera es igual, hay que fijarse en los décimos, luego en los centésimos, etc. para compararlos: 3.5 es mayor que 3.499 porque el primero tiene 5 décimos y el segundo 4, aunque tenga más cifras.

Otra forma para compararlos es “rellenar” con ceros. Si los alumnos ya saben que 2.240 es el mismo número que 2.24, entonces, al número que tenga menos cifras se le pueden poner ceros a la derecha para que tenga la misma cantidad de cifras que el otro.

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Por ejemplo, para comparar 0.3 y 0.268 se pueden escribir así: 0 . 3 0 0 0 . 2 6 8

Así es fácil ver que 300 milésimos es mayor que 268 milésimos. Explique que esta técnica funciona porque 3 décimos es igual a 300 milésimos.

3

Fracciones en la recta numérica. La recta numérica es un recurso útil para ubicar y comparar números fraccionarios. Al igual que con los decimales, los alumnos deben considerar en cuántas partes deben dividir cada entero, información dada por el denominador.

Para estudiar qué sucede con este reactivo, sugiera a los alumnos que en una hoja tracen varios segmentos divididos en 3 partes iguales. Al inicio debe estar el 0 y al final el 2. Con este material podrán realizar las actividades que se piden en las retroalimentaciones.

Es importante que los alumnos se familiaricen con fracciones impropias

(mayores que 1, como 46

), iguales a 1 (por ejemplo 1111

) y menores que 1,

que pueden ser unitarias (con numerador igual a 1, como 91

) o no. Por

ejemplo, para que comprendan que la opción a) es incorrecta, se les plantea la

suma de 31

+ 31

+ 31

. Deben saber que 33

= 1, así que el punto señalado con

la flecha no puede ser 31

.

Proponga fracciones de todos estos tipos y antes de que las ubiquen en la recta pregúnteles en qué orden creen que estarán. Comenten si fueron ciertas o no sus anticipaciones para cada una y pídales otra fracción equivalente.

También puede pedirles que tracen segmentos divididos en 5 partes iguales, en 6, en 8, etc. Por ejemplo, un segmento que empiece en 0, termine en 3 y esté dividido en 8 partes iguales. Entonces puede formular preguntas como ¿cuánto mide cada parte?, ¿cada parte es mayor, menor o igual que 1?

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Números decimales en la recta numérica. La recta numérica es un recurso útil para trabajar varios aspectos de los números decimales, pero supone también algunas dificultades. Una de las primeras cosas que los alumnos necesitan hacer al enfrentar este tipo de tareas, es leer correctamente la escala con la que se elaboró cada recta.

Escriba en el pizarrón distintas rectas numéricas alineadas en las que cada entero se divida en:

10 partes iguales (cada una valdrá 0.1) 5 partes iguales (cada una valdrá 0.2) 4 partes iguales (cada una valdrá 0.25)

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2 partes iguales (cada una valdrá 0.5) 20 partes iguales (cada una valdrá 0.05)

Luego pídales que localicen en cada una los números 0.5, 0.1, 1, 1.4, 0.9, 0.05. En algunas tendrán que hacer aproximaciones, lo importante es que ubiquen con cierta precisión en dónde debe estar cada número.

5

Sucesiones numéricas. En este reactivo se espera que los alumnos identifiquen las reglas asociadas a determinadas sucesiones de números. Sugiérales determinar, para cada una de las reglas que están en la columna derecha (Reglas), los primeros términos de la sucesión numérica correspondiente.

Así podrán comparar las sucesiones de números que obtienen con las que están en la columna izquierda del reactivo (Términos de la sucesión) y, de esta manera, determinar aquellas sucesiones de números que no se pueden asociar con las reglas dadas.

Si detecta alumnos que eligieron las opciones de respuesta a) y b), indíqueles que escriban los primeros cinco números impares y los comparen con la sucesión C).

Analice, junto con los alumnos, las reglas “sumar 2 al término anterior” y “sumar 4 al término anterior” y determinen si este tipo de reglas generan una sola sucesión de números; para ello puede preguntarles cuál sería el primer término de la sucesión.

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Sucesiones de figuras. En este reactivo se debe determinar la regla que representa una sucesión de figuras. Sugiera a los alumnos que apliquen la regla seleccionada para determinar los primeros términos que se obtienen con esa regla y que los comparen con el número de cuadrados que tienen las figuras de la sucesión.

Indique también que determinen el número de cuadrados que tienen otras figuras de la sucesión, por ejemplo, las figuras 5, 6, 10, 15, entre otras. Luego, pídales que construyan la figura 5 de la sucesión y, si lo considera conveniente, la figura 6. Indíqueles que comparen sus resultados y determinen si la regla elegida genera el número de cuadrados de cada una de las figuras de la sucesión.

Si algunos alumnos eligieron la opción d), pídales que escriban los primeros cinco números impares y comparen su respuesta con el número de cuadrados que tienen las primeras figuras de la sucesión.

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Perímetros y expresiones algebraicas. En matemáticas es importante el uso de literales para representar cantidades, así como su empleo en expresiones algebraicas. Así, el trabajo de los estudiantes en este reactivo se centra en determinar la expresión para calcular el perímetro de una figura.

Si observa que los alumnos tienen dificultades para determinar la expresión, indíqueles que primero expliquen con sus palabras cómo pueden

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calcular el perímetro de las figuras planas propuestas. Un error frecuente es que los estudiantes confundan la expresión para calcular el perímetro con la del área (y viceversa), sugiérales que escriban ambas y las comparen.

También puede sugerirles que revisen las retroalimentaciones y responder las preguntas que se plantean en cada opción, y que resuelvan los problemas propuestos en las opciones b) y c), esto con el propósito de que identifiquen la expresión para calcular el perímetro de figuras más sencillas.

8

Áreas y expresiones algebraicas. En este reactivo se espera que los alumnos identifiquen las expresiones algebraicas equivalentes con las que se puede calcular el área de un rectángulo. La retroalimentación de cada opción tiene por objeto que los alumnos apliquen las expresiones algebraicas que eligieron para calcular el área del rectángulo, con las medidas del largo y del ancho dadas. De esta manera, podrán comparar numéricamente si las expresiones dan los mismos valores para el área de la figura.

Es conveniente que los alumnos describan con sus palabras las expresiones algebraicas de la opción elegida, pues de esta manera se podrá valorar cómo las interpretan.

A los alumnos que hayan elegido una opción incorrecta, sugiérales que describan con sus palabras cómo se calcula el área de un rectángulo, o bien, que escriban una expresión en la que usen literales.

Forma, espacio y medida

9

Simetría con respecto a un eje. Es probable que algunos alumnos distingan claramente entre dos figuras simétricas con respecto a una recta y dos que no lo son, pero que no puedan dar los argumentos para explicar por qué. Además es conveniente explorar con ellos cuándo es que estas argumentaciones son suficientes para decidir si dos figuras son simétricas con respecto a un eje y cuándo no.

Un error que se comete con frecuencia es asociar figuras simétricas con figuras iguales, independientemente de la orientación de las figuras y de las distancias que guarden los puntos respecto al eje. Analice con ellos algunos ejemplos y contra ejemplos que muestren que no es suficiente que los ángulos se conserven, o que los segmentos tengan el mismo tamaño.

Si lo considera necesario, recuérdeles que un punto es simétrico a otro con respecto a una recta cuando ambos puntos equidistan de la recta y el segmento que los une es perpendicular a la recta.

Esto no pasa en el caso de las figuras de las opciones a), b) y c). Haga con los estudiantes ejercicios en donde se encuentren los simétricos de diversas figuras con respecto a una recta y pídales que realicen los trazos necesarios con regla y compás o escuadras, para

29

reforzar bien las propiedades de la simetría. En la retroalimentación de la opción correcta se pide al alumno trazar una figura simétrica con respecto a otra para verificar que la opción elegida se escogió con base en el conocimiento de la justificación correcta. Ahora se pide la aplicación de ese conocimiento.

10

Situaciones de proporcionalidad directa. Para muchos alumnos es difícil distinguir la variación proporcional de otras situaciones, anímelos a explicar por qué eligieron cada opción y, al final, comenten lo siguiente: • Cuando uno de los valores es 0 el otro también tiene que ser 0. • Si uno de los valores aumenta al doble, su correspondiente también debe

aumentar al doble. Si disminuye a la tercera parta, su correspondiente también debe disminuir a la tercera parte.

• Siempre es posible multiplicar los valores de una columna por un mismo número para encontrar sus correspondientes en la otra columna.

• Recalque que se debe MULTIPLICAR por el número buscado.

Manejo de la información

11

Procedimientos para resolver problemas de conteo. En este reactivo los alumnos deberán identificar el procedimiento con el que se representa de manera más adecuada todas las carreras que se van a realizar.

En cuanto a la opción a), los alumnos pueden elegirla si consideran que, por el tipo de flechas utilizadas (dobles), se representan todas las parejas que pueden formarse entre los cinco alumnos. Si bien es cierto que con esta representación queda claro que, por ejemplo, Enrique contra Ángel es la misma carrera que Ángel contra Enrique, solamente están representadas las carreras en las que participa Ángel.

En la opción b), aparecen resultados que no podrían ocurrir de acuerdo con las condiciones de la competencia. Por ejemplo, el primer resultado A,A no es una pareja que pueda participar en una carrera ya que Ángel no puede correr contra el mismo.

Los alumnos que seleccionan la opción d) han descartado resultados como A,A, pero no consideran si es viable contar la pareja A,B como diferente a la pareja B,A; es decir, valorar si es necesario que se realicen dos carreras entre Ángel y Beto (o cualquier otro par de parejas de manera similar a la anterior).

Finalmente, en la retroalimentación de la opción c) se les trata de orientar a los alumnos a partir de observar que cada pareja es diferente y que, de acuerdo con las condiciones de la competencia, cada alumno debe realizar cuatro carreras.

Una vez que la mayoría de los alumnos han comprendido e identificado el resultado correcto puede pedirles que traten de encontrar una operación que represente ese resultado. Si nadie propone la operación 5X4, hágalo usted y traté de reflexionar con ellos acerca de cómo se obtiene cada factor.

30

12

Diferentes maneras de realizar un recorrido. Si observa que algunos alumnos seleccionan la opción a), pídales que argumenten su selección; tal vez le digan que únicamente se pueden realizar dos recorridos completos debido al número de carreteras que hay. Quizá, por ejemplo, le señalen las carreteras que se encuentran en el extremo superior. Esto podría suceder debido a que los alumnos no consideran la posibilidad de combinar las carreteras. Se sugiere, adicionalmente a la realización de la retroalimentación, que comparen entre ellos sus respuestas y analicen el diagrama de árbol que aparece en la retroalimentación de la opción b) o la tabla de la retroalimentación c).

En el caso de que observe que algunos alumnos seleccionen la opción b), se espera que sea suficiente con revisar y completar el diagrama de árbol propuesto para que identifiquen los recorridos que no han encontrado. Luego pida que revisen la retroalimentación de la opción d).

Algunas de las razones por las cuales los alumnos pueden elegir la

opción c) son: porque solamente cuentan el número total de carreteras que aparecen en la imagen del mapa (son siete), o bien porque no enumeran todos los modos diferentes en los cuales puede realizar el recorrido el viajero.

Ante cualquiera de estas situaciones u otras, se requiere poner en práctica una manera de identificar las carreteras para formar los recorridos que sea más manejable y clara. En la retroalimentación se recomienda enumerar las carreteras y usar una tabla o un diagrama de árbol para organizar de manera ordenada los recorridos.

Al final puede pedirles que lean todas las retroalimentaciones para que hagan un diagrama de árbol y una lista con todas las posibles formas de ir de la ciudad A a la ciudad D.

31

BLOQUE II Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

13. ¿Cuánto mide la diferencia entre los diámetros de las dos llaves?

a)

321

• ¿Se obtiene el mismo resultado al efectuar las siguientes restas?, ¿por qué?

b) 286

• ¿Qué necesitas hacer para sumar o restar fracciones que tienen distinto denominador? • Escribe una fracción equivalente a

327 con denominador 64. ¿Se puede escribir esa

fracción con denominador 16?, ¿por qué? • Escribe una fracción equivalente a

41 con denominador 64. ¿Se puede escribir esa

fracción con denominador 16?, ¿y con denominador 32?, ¿por qué? • ¿Cuáles denominadores encontraste que son comunes a las fracciones

327 y

41 para

poder sumarlas o restarlas?

c) 3215

• ¿Qué operación debes efectuar para encontrar la diferencia entre dos medidas? • ¿Cuál medida es mayor,

327 o

41 ?

32

d) 3228

• ¿Qué operación debes efectuar para encontrar la diferencia entre dos medidas? • ¿Qué necesitas hacer para sumar o restar fracciones que tienen distinto denominador?

14. ¿Cuál es el resultado de sumar 0.08 + 0.3? a) 0.038 • 0.08 se lee “ocho centésimos” y 0.3 se lee “tres décimos”. ¿Cómo se lee el resultado que

elegiste (0.038)? • Representa este número en un rectángulo-unidad como el siguiente. Recuerda que todo el rectángulo vale 1.

b) 0.11 • Para sumar números con punto decimal hay que alinearlos de manera que el punto

quede en la misma columna. ¿Cómo quedaría la suma 0.08 + 0.3? c) 0.38

• ¿Cuántos milésimos hay en 0.38? Verifica tu respuesta en el siguiente rectángulo unidad. Recuerda que todo el rectángulo vale 1.

33

d) 1.1 • ¿Cuántos centésimos hay en un décimo? ¿Cuántos centésimos hay en tres décimos?

• ¿Cuántos centésimos hay en 0.3? ¿Cuántos centésimos hay en 0.08? 15. ¿Cuál es el área de la siguiente figura?

a) 2

4513 cm

• ¿ ¿El siguiente cuadrado mide un cm por lado. Un lado se dividió en 5 partes iguales y otro lado se dividió en 9 partes iguales.

• ¿En cuántos rectángulos pequeños quedó dividido el cuadrado? • En el cuadrado señala un rectángulo cuyos lados midan

53 cm y

98 cm.

• ¿Cuánto mide el área de este rectángulo?

34

b) 2

4524 cm

• ¿Cómo se obtiene el área de un rectángulo?, ¿qué operación necesitas hacer con las medidas dadas?

c) 2

4027 cm

• ¿Cómo se obtiene el área de un rectángulo?, ¿qué operación necesitas hacer con las medidas dadas?

d) 2

4567 cm

• Si multiplicas una cantidad por un número menor que 1, el producto es menor que la cantidad original. • ¿

4567 es menor que

53 o

98 ?

16. Para hacer una ración de puré de papa se necesita

51 de kg de papas. ¿Cuántas

raciones se pueden hacer con 47 de kg?

a) 354

• ¿Hay más de un entero o menos de un entero en 47 ?

• ¿Cuántas veces cabe 51 en

47 ?, ¿crees que sea más de una vez, más de 10 veces?

• Para saber cuántas veces cabe un número en otro se puede hacer una división. ¿cuál es la división qué debes hacer en este caso?

b) 207

• ¿Crees que el número de raciones que se pueden preparar sean más de una? ¿Más de cinco? • ¿Cuántas raciones se pueden preparar con 1 kg de papa? • ¿Cuántas raciones se pueden preparar con 2 kg de papa? • ¿Qué operación se hace cuando se multiplica el numerador de una fracción por el numerador de la otra, y el denominador de una por el denominador de la otra?

35

c) 2031

• ¿Qué operación te permite saber cuántas veces cabe un número en otro?, ¿cómo se hace esa operación cuando los números son fracciones?

d) 4

35

• ¿Cuántas raciones se pueden preparar con 1 kg de papa? • ¿Cuántas raciones se pueden preparar con 2 kg de papa? • ¿Es cierto que dividir entre un número es lo mismo que multiplicar por su recíproco? • ¿Cuál es el recíproco de

51 ?

17. El perímetro de una circunferencia se calcula multiplicando la medida de su diámetro por π. Si el diámetro de una circunferencia mide 0.86 cm ¿cuánto mide su perímetro? (Toma π como 3.14). a) 0.27004 cm • Al multiplicar dos números, ¿en qué casos el producto es menor que ambos números?

b) 2.7004 cm • ¿Es cierto que al multiplicar un número mayor que uno (A) por otro número menor que

uno (B), el producto es menor que A pero mayor que B? • Verifica tu respuesta haciendo las siguientes multiplicaciones:

c) 27.004 cm • Los números decimales se pueden multiplicar como si no tuvieran punto. En el resultado

el punto se recorre un lugar por cada cifra decimal que hay en total en los factores. • En este caso ¿cuántos lugares debes recorrer el punto?

d) 270.04 cm • Si consideras que el valor de π es aproximadamente 3 y el valor del diámetro es

aproximadamente 0.9 cm, ¿cuánto medirá el perímetro aproximadamente?

36

Eje: Forma, espacio y medida

18. Lee las siguientes afirmaciones.

La mediatriz de un segmento: 1. Es el eje de simetría del segmento. 2. Es paralela al segmento. 3. Es perpendicular al segmento y pasa por su punto medio. 4. Es el conjunto de puntos que equidistan de los extremos del segmento. 5. Es perpendicular al segmento y pasa por uno de sus extremos.

Elige la opción en la que se indican todas las afirmaciones que son correctas. a) 1, 3, 4 • ¿Por qué la mediatriz es eje de simetría del segmento? ¿Cuál es la medida del ángulo

que se forma entre el segmento y su mediatriz? • En tu cuaderno traza un segmento y una recta perpendicular que pase por su punto medio. ¿La recta es el eje de simetría del segmento? ¿Cómo puedes comprobar que lo es?

b) 1, 4, 5 • Dibuja en tu cuaderno un segmento de recta y luego una recta perpendicular que pase

por uno de los extremos del segmento. (Afirmación 5). ¿Se cumple la afirmación 1? • Toma un punto cualquiera en la perpendicular y mide la distancia que hay a cada uno de los extremos del segmento que trazaste. Compara tu resultado con la afirmación 4.

c) 2, 4 • Traza un segmento de recta en tu cuaderno. Y luego, de acuerdo a la opción que elegiste

(afirmación 2) traza una recta paralela al mismo. • Escoge dos puntos sobre la paralela y mide las distancias que hay de éstos a cada uno de los extremos. Compara tu resultado con lo que dice la afirmación 4.

d) 1, 4 • Observa la siguiente mediatriz:

• Verifica si cada una de las afirmaciones que elegiste se cumple. Valora si en la opción que elegiste están todas las afirmaciones que son correctas.

37

19. Identifica las instrucciones adecuadas para trazar con regla y compás la bisectriz de un ángulo. a) - Se toma un punto cualquiera sobre cada lado del ángulo y se les llama M y N. - Se unen los puntos con una recta y se obtiene el punto medio P. - Se une el vértice del ángulo con el punto P.

• Dibuja en tu cuaderno tres ángulos de igual medida. Coloca los puntos M y N como se muestra a continuación para que estén en tres posibles posiciones: Cuando M está más cerca del vértice del ángulo, cuando está más lejos, y cuando M y N están a la misma distancia del vértice.

• Realiza las otras dos instrucciones. • ¿Al unir el punto P con el vértice cómo quedaron los ángulos que se forman en cada caso? ¿En los tres casos la recta que une el vértice con el punto P es la bisectriz del ángulo?

b) - Con centro en el vértice V del ángulo se traza un arco que corte a sus dos lados. Llama M y N a los puntos de corte.

- Con centro en M y apertura MN se traza un arco suficientemente grande. Con centro en N y apertura NV se traza un arco que corte al que se trazó por M. Llamamos P al punto de corte.

- Se une el vértice del ángulo con el punto P. • Realiza paso a paso la construcción en tu cuaderno.

• Elige un punto cualquiera sobre la recta que une al vértice con P y mide la distancia del punto a cada uno de los lados del ángulo. • Mide los ángulos que se formaron con tu transportador.

c) - Se toma un punto cualquiera sobre cada lado del ángulo y se les llama M y N. - Con centro en M se traza un arco suficientemente grande. Con centro en N y con la misma abertura se traza otro arco que corte al que se trazó por M. Llamamos P al punto de corte.

- Se une el vértice del ángulo con el punto P.

38

• Dibuja en tu cuaderno tres ángulos de igual medida. Coloca los puntos M y N como se muestra a continuación para que estén en tres posibles posiciones: Cuando M está más cerca del vértice del ángulo, cuando está más lejos, y cuando M y N están a la misma distancia del vértice.

• Realiza las otras dos instrucciones. • ¿Al unir el punto P con el vértice cómo quedaron los ángulos que se forman en cada caso? ¿En los tres casos la recta que une el vértice con el punto P es la bisectriz del ángulo?

d) - Con centro en el vértice V del ángulo se traza un arco que corte a los dos lados del ángulo. Llama M y N a los puntos de corte.

- Con centro en M se traza un arco suficientemente grande. Con centro en N y con la misma abertura se traza otro arco que corte al que se trazó por M. Llamamos P al punto de corte.

- Se une el vértice del ángulo con el punto P. • Realiza en tu cuaderno paso a paso los trazos que se dan en la opción que elegiste.

¿Cuál es la medida de los ángulos que se forman? • Un vez que realizaste el trazo ¿La recta es el eje de simetría del ángulo? • Elige un punto cualquiera sobre la recta que une al vértice con P y mide la distancia del punto a cada uno de los lados del ángulo.

39

Eje: Manejo de la información

20. La tabla presenta la relación de proporcionalidad directa que existe entre el número de vueltas que dan las ruedas chicas y la rueda grande de un triciclo. Escribe el valor que falta.

a) 433

• Cuando la rueda grande da 3 vueltas las chicas dan 4, o sea, aumenta el número de vueltas. Entonces la constante de proporcionalidad debe ser un número ¿mayor que uno, menor que uno, igual a uno?

b) 6 • Si por cada 5 vueltas de la rueda grande las chicas dan 6, por cada vuelta que da la

rueda grande, ¿cuántas vueltas dan las ruedas chicas? ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? Completa la tabla.

Vueltas que da la rueda grande Vueltas que dan las ruedas chicas 1 2 3 4 5 6

c) 326

• ¿Cuántas vueltas dan las ruedas chicas por cada vuelta de la rueda grande? ¿Cuántas vueltas dan las ruedas chicas si la rueda grande da 10 vueltas? Completa la tabla.

Vueltas que da la rueda grande Vueltas que dan las ruedas chicas 1 3 4

5 32

6

6 10 11 12

• ¿Se cumple que al doble de vueltas de la rueda grande, las vueltas de las ruedas chicas son también el doble?

40

• 3 vueltas son la cuarta parte de 12 vueltas, ¿es cierto que las vueltas que dan las ruedas chicas por 3 vueltas de la rueda grande es la cuarta parte de las que dan por 12 vueltas de la grande?

d) 8 • ¿Cuántas vueltas dan las ruedas chicas si la grande da 6 vueltas? Completa la tabla.

Vueltas que da la rueda grande Vueltas que dan las ruedas chicas 3 4 5 8 6

21. La tabla presenta una relación de proporcionalidad directa. Escribe el valor que falta.

a) $12.40 • 3 pelotas de goma cuestan $8.40. ¿Cuánto cuestan 6 pelotas?

• ¿Este precio debe ser mayor o menor que el precio de 7 pelotas? b) $18.80 • 3 pelotas cuestan $8.40. ¿Cuánto cuestan 21 pelotas?

• Si por 7 pelotas se paga $18.80, ¿cuánto cuestan 21 pelotas? • Los dos resultados que encontraste deben ser iguales.

c) $19.60

• Si por 7 pelotas se pagan $19.60 entonces la constante de proporcionalidad es 2.8. • Completa la tabla.

Cantidad de pelotas de goma Cantidad a pagar 1 3 $8.40 5 6 7 $19.60 10

• ¿Es cierto que al multiplicar la cantidad de pelotas por 2.8 se obtiene la cantidad a pagar?

41

d) $20.40 • 3 pelotas cuestan $8.40, ¿cuánto cuesta una pelota? Completa la tabla.

Cantidad de pelotas de goma Cantidad a pagar 1 2 3 $8.40 5 6 7 $20.40 10 12

22. Con 10 ml de concentrado de jamaica se preparan 225 ml de agua de jamaica. ¿Cuánto concentrado se necesita para preparar 3.6 litros? a) 16 ml • Completa la tabla.

Concentrado de jamaica (mililitros)

Agua de jamaica (mililitros)

10 225 20 30 40

• ¿Cuántos mililitros hay en 3.6 litros? ¿Con 16 mililitros de concentrado se puede preparar más o menos de un litro de agua de jamaica?

b) 81 ml • ¿Cuántos mililitros de agua de jamaica se obtienen con 100 ml de concentrado?

• ¿Esa cantidad es mayor o menor que 3.6 litros de agua de jamaica?

42

c) 160 ml • Completa las tablas. ¿Por cuál número debes multiplicar la cantidad de concentrado

para obtener la cantidad de agua de jamaica en mililitros?

Concentrado de jamaica (mililitros)

Agua de jamaica (mililitros)

10 225

• ¿Por cuál número debes multiplicar la cantidad de agua de jamaica en mililitros para obtener esa cantidad expresada en litros?

Concentrado de jamaica (mililitros)

Agua de jamaica (litros)

225 3.6

• ¿Por cuál número puedes multiplicar la cantidad de concentrado para obtener la cantidad de litros de agua de jamaica?

Concentrado de jamaica

(mililitros) Agua de jamaica

(mililitros) Agua de jamaica

(litros)

10 225 3.6

d) 360 ml

• ¿Cuántos mililitros de agua de jamaica se preparan con 100 ml de concentrado de jamaica? • ¿Cuántos mililitros hay en 1 litro? • ¿Cuántos litros de agua de jamaica se preparan con 100 ml de concentrado de jamaica? • ¿Cuántos litros de agua de jamaica se preparan con 200 ml de concentrado de jamaica?

× ______

× ______

× ______

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SUGERENCIAS DIDÁCTICAS

A continuación se presentan algunas sugerencias de trabajo que ayudan a precisar el abordaje del contenido en cada una de las preguntas. Le proponemos que las lea previamente para enriquecer su labor en el aula.

Bloque II

Eje

Preguntas

Sugerencias didácticas

13

Resta de fracciones. Las operaciones con números fraccionarios presentan varias dificultades para los alumnos. Una de las principales consiste en confundir los algoritmos de la suma y resta con los de la multiplicación o división. Otra radica en comprender que debe hallarse un denominador común para poder sumarlas o restarlas y, por último, lograr escribir las fracciones originales con otras fracciones equivalentes.

Una vez que hayan identificado que en este problema la operación que deben hacer es una resta, necesitarán hallar un denominador común. Discutan en grupo cómo pueden hacerlo, proponga distintas parejas de fracciones con denominadores distintos para que practiquen. Una vez escritas las fracciones equivalentes con denominador común podrán identificar cuál es mayor para poder restarle la otra.

Sentido numérico y pensamiento algebraico

14

Suma de números decimales. Proponga a los alumnos distintas maneras de verificar las operaciones de suma y resta de números con punto decimal. Primero, solicite que hagan una estimación de cuánto creen que sería el resultado, por ejemplo, si compras algo que cuesta 45 centavos y otra cosa que cuesta 80 centavos ¿pagarás más de un peso o menos?

Después, pida a un alumno que anote la suma o resta en el pizarrón y verifique que las cantidades estén alineadas con los puntos en la misma columna. Explique que, al igual que ocurre con los números naturales, hay que sumar por columnas: milésimos con milésimos, centésimos con centésimos, etc.

Si los alumnos tienen dificultades para hacer la estimación o no han comprendido cómo hacer la operación, pídales que dibujen varios rectángulos-unidad y que ahí representen las cantidades que deben sumarse. Haga énfasis en que: • En un entero hay 10 décimos (0.1 + 0.1 + 0.1… diez veces = 1). • En un décimo hay 10 centésimos (0.01 + 0.01 + 0.01… diez veces = 0.1).

Entonces, en un entero hay 100 centésimos (0.01 + 0.01 + 0.01… cien veces = 1).

• En un centésimo hay 10 milésimos (0.001 + 0.001 + 0.001… diez veces = 0.01). Entonces, en un décimo hay 100 milésimos (0.001 + 0.001 + 0.001… cien veces = 0.01). También es cierto que en un entero hay 1000 milésimos (0.001 + 0.001 + 0.001… mil veces = 1).

44

15

Multiplicación de fracciones. Las operaciones con números fraccionarios presentan varias dificultades para los alumnos. Quizá una de las principales es que confunden los algoritmos de la suma y resta con los de la multiplicación o división.

Una vez que hayan identificado que en este problema la operación que deben hacer es una multiplicación, quizá necesiten recordar el algoritmo. Proponga varias multiplicaciones para que los alumnos practiquen. También puede pedirles que inventen una multiplicación de fracciones en la que el resultado sea menor o mayor que 1, o bien, que sea mayor que los dos factores, mayor que uno de ellos o menor que ambos.

16

División de fracciones. Las operaciones con números fraccionarios presentan varias dificultades para los alumnos. Quizá una de las principales es que confunden los algoritmos de la suma y resta con los de la multiplicación o división.

Una vez que hayan identificado que en este problema la operación que deben hacer es una división, quizá necesiten recordar el algoritmo. Hay que empezar identificando qué número es el divisor (cuál es el que se va a dividir) y qué número es el dividendo (entre cuál se va a dividir).

Analice lo que sucede en cada opción incorrecta: en el inciso a) el algoritmo es correcto pero están invertidos el divisor y el dividendo, en la b) se utilizó el algoritmo de la multiplicación en vez del de la división, en la c) se hizo una resta.

Proponga varias divisiones para que los alumnos practiquen. También puede pedirles que inventen una división de fracciones en la que el cociente sea un número entero, o mayor que el divisor, o menor que uno, por ejemplo. Esto les permitirá ir conociendo qué ocurre con las divisiones de números racionales.

17

Multiplicación de números decimales. Aunque el algoritmo de la multiplicación de números decimales es sencillo de aprender, los alumnos pueden desconfiar del resultado pues no necesariamente el producto será mayor que los factores.

Analice casos distintos en clase para que se familiaricen con ello, por ejemplo, multiplicaciones en las que el producto sea mayor que los dos factores, que sea mayor que uno de ellos, que sea menor que los dos.

También puede proponer problemas como “si multiplico 0.25 por un número obtengo 0.125” y preguntar ¿el factor desconocido es mayor que uno?, ¿es menor o mayor que 0.25?

Quizá también convenga reflexionar sobre lo siguiente y proponer algunos ejemplos: • Al multiplicar un número por 0.5 el producto es la mitad del número. • Al multiplicar un número por 0.25 el producto es la cuarta parte del número. • Al multiplicar un número por 1.5 el producto es igual al número más la mitad

del número. • Al multiplicar un número por 0.1 el producto es igual a la décima parte del

número.

45

18

Propiedades de la mediatriz. El objetivo es que los alumnos identifiquen las propiedades de la mediatriz. Si el alumno tiene dificultades para elegir alguna de las opciones, conviene que explore junto con ellos figuras en donde haya mediatrices.

Pueden utilizar alguno de los siguientes elementos. • Las alturas de un triángulo rectángulo. • La altura al lado distinto de un triángulo isósceles. • Las diagonales de un rombo.

También puede pedirles que tracen un segmento. Después, indíqueles que la mediatriz es la recta perpendicular que pasa por el punto medio del segmento:

Pregunte a los alumnos por qué la mediatriz es el eje de simetría del

segmento y cómo pueden verificar que cada punto de la mediatriz equidista de los extremos del segmento.

Si algunos alumnos seleccionan la opción d) porque contiene dos afirmaciones correctas, lea con ellos de nuevo el enunciado del problema y verifiquen nuevamente las condiciones solicitadas para la opción correcta: la indicación es “Elegir la opción en la que se indican TODAS las afirmaciones que son correctas”. Exploren las opciones restantes para ver si alguna de ellas cumple con ser propiedad de la mediatriz.

Forma, espacio y medida

19

Construcción de la bisectriz. El objetivo es que los alumnos identifiquen las propiedades de la bisectriz. Si el alumno tiene dificultades para elegir alguna de las opciones, conviene que explore junto con ellos figuras en donde haya bisectrices para que se familiaricen y recuerden el concepto.

Después pídales que realicen cada uno de los trazos solicitados en las diversas opciones y verifiquen si cumplen con las siguientes propiedades de la bisectriz: • Es la semirrecta que pasa por el vértice del ángulo y determina dos ángulos

iguales. • Es el eje de simetría del ángulo. • Es el conjunto de puntos que equidistan de los lados del ángulo.

Puede pedirles también que revisen las retroalimentaciones de las

46

opciones a) o c) y reflexione junto con ellos porqué es importante tomar arcos de igual medida para cada pareja de trazos.

Otra posible dificultad para seguir las indicaciones, es que no tengan claras las definiciones de punto medio, arco, vértice del ángulo. Asimismo puede ser que recuerden los trazos necesarios para obtener, por ejemplo, el punto medio de un segmento. Compruebe que éstas no sean las dificultades que limiten resolver el reactivo.

Para las opciones b) y d) es conveniente recordar a los estudiantes que la distancia de un punto a una recta es el segmento perpendicular a la recta desde el punto.

Es conveniente el uso del transportador, al finalizar los trazos, para comprobar que los ángulos obtenidos son iguales.

20

Constante de proporcionalidad fraccionaria. Si a los alumnos se les hace difícil hallar el valor faltante, puede empezar utilizando estrategias de tanteo. Por ejemplo, pregunte: ¿será el doble de la cantidad de vueltas que da la rueda grande?, ¿será la mitad?, ¿será menor que el doble pero mayor que la mitad?

Después sugiera que encuentren el valor unitario preguntando ¿cuántas vueltas dan las ruedas chicas por una vuelta de la rueda grande? Este número lo pueden encontrar utilizando estrategias que ya conocen: si por 3 vueltas de la rueda grande las chicas dan 4, por una vuelta de la rueda grande las chicas

darán la tercera parte de 4, o sea 4 ÷ 3 o 34

.

Aproveche para recordar los conceptos de valor unitario y constante de proporcionalidad. Pida que verifiquen que si se multiplica la cantidad de

vueltas de la rueda grande por la constante de proporcionalidad (34

o

1.333333…) siempre se obtiene la cantidad de vueltas de las ruedas chicas. Es posible que algunos alumnos encuentren el valor decimal de la

respuesta correcta (6.66666…), pregúnteles cómo pueden verificar que este

valor es igual a 326 .

Manejo de la información

21

Constante de proporcionalidad decimal. Para algunos alumnos puede ser difícil encontrar valores en situaciones en las que la constante de proporcionalidad no es entera. Puede sugerirles que calculen cuánto se pagaría por una pelota (valor unitario) y cuál es el número por el que se puede multiplicar la cantidad de pelotas para obtener la cantidad a pagar (constante de proporcionalidad).

Analicen cada opción y comenten cuáles son los errores en los incisos que plantean respuestas incorrectas:

Los alumnos que eligen la opción a) quizá obtuvieron $12.40 observando que en la columna “cantidad de pelotas” hubo un aumento de 4, entonces en la otra columna (“cantidad a pagar”) también aumentan 4. Sin embargo, ésta

47

es una estrategia errónea. Por ello, en la retroalimentación se les sugiere que averigüen cuánto se pagaría por 6 pelotas (como es el doble que 3, el precio será también el doble, o sea $16.80). La cantidad a pagar por 7 pelotas tiene que ser mayor que la que se paga por 6, así que la opción a) puede ser descartada.

Para descartar la opción b) se plantea en la retroalimentación que los alumnos obtengan la cantidad a pagar por 21 pelotas. Si por 3 pelotas se pagan $8.40, por 21 pelotas debe pagarse 7 veces más, es decir, $58.80. Conociendo esto, se puede calcular cuánto se pagaría por 7 pelotas, ya que debe ser la tercera parte de lo que se paga por 21 pelotas (21 ÷ 3 = 7), entonces la respuesta correcta es $58.80 ÷ 3 = $19.60.

Con la tabla de la retroalimentación en la opción d) se pretende que los alumnos se percaten de que $20.40 no puede ser la respuesta correcta a partir del análisis de las relaciones del tipo “al doble, el doble”, “al triple, el triple”, “a la cuarta parte, la cuarta parte”. Por ejemplo, la cantidad a pagar por 3 pelotas ($8.40) es la mitad de lo que se paga por 6 ($16.80), la cantidad a pagar por 1 pelota ($2.80) es la tercera parte de lo que se paga por 3 ($8.40), la cantidad a pagar por 7 pelotas ($19.60) es lo que se paga por 6 más lo que se paga por una ($16.80 + $2.80).

22

Aplicación sucesiva de constantes de proporcionalidad. En este tipo de problemas los alumnos se enfrentan con cantidades a las que se les aplican dos constantes de proporcionalidad, en este caso, para pasar de la cantidad de concentrado a la cantidad de agua de jamaica en mililitros (× 22.5) y luego para pasar de la cantidad de agua en mililitros a la cantidad de agua en litros (× 0.001). Considere la conveniencia de resolver el problema analizando una columna a la vez. Amplíe la tabla (como en la retroalimentación de la opción c) para completar en primer lugar la que relaciona cantidades de concentrado con las cantidades de agua en mililitros, y luego la que convierte mililitros a litros. Pregunte cuál es la constante en cada caso y pida a los alumnos que verifiquen que se cumpla para todas las cantidades.

48

BLOQUE III Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

23. El área de un rectángulo es de 43 cm². Si uno de sus lados mide 2.38 cm ¿cuánto mide el otro lado? a) 1.806 cm

• El resultado de multiplicar la medida de un lado (2.38) por otro número es igual a 43. ¿Ese número es menor que uno?, ¿está entre 1 y 2?, ¿es mayor o menor que 10?

b) 18.06 cm

• Al dividir 43 ÷ 2 ¿el resultado es un número menor o mayor que 43?, ¿es menor que la mitad de 43? • Sin hacer operaciones, aproxima el resultado de 43 ÷ 2.38. • ¿Se obtiene el mismo resultado al dividir 43 ÷ 2.38 que 4300 ÷ 238? • ¿Se obtiene el mismo resultado al dividir 43 ÷ 2.38 que 430 ÷ 23.8? Verifícalo.

c) 102.34 cm • El área de un rectángulo se obtiene al multiplicar la medida de la base por la medida de

la altura. Si ya conoces el área y la medida de uno de los lados ¿qué operación puedes hacer para encontrar la medida del otro lado?

2.38 cm × ________ = 43 cm2

d) 180.6 cm • Sin hacer operaciones, aproxima el resultado de 180.6 × 2.38. ¿Es menor o mayor que

180.6?, ¿es más del doble de 180.6?, ¿más del triple? • Recuerda que el área del rectángulo mide 43 cm².

49

24. Una jarra contiene 3.9 litros de agua, que deben vaciarse en vasos a los que les cabe 0.12 litros ¿cuántos vasos completos e incompletos se tendrán? a) 0.325 vasos (no se puede llenar ningún vaso completo) • Para dividir números con punto decimal conviene plantear otra división equivalente en la

que se hayan “quitado” los puntos decimales. ¿Cuál o cuáles de las siguientes divisiones es equivalente a 3.9 ÷ 0.12? Verifícalo.

39 ÷ 0.12 39 ÷ 1.2 390 ÷ 12 39 ÷ 12

b) 3.25 vasos (3 vasos completos y se puede llenar la cuarta parte de otro vaso) • Sin hacer operaciones ¿el resultado de 3.25 × 0.12 es menor o mayor que 3.25?, ¿es

menos de la mitad de 3.25?, ¿menos de la cuarta parte? • Recuerda que lo que le cabe a cada vaso (0.12 litros) multiplicado por el número total de vasos (3.25) debe ser igual a la cantidad de agua (3.9 litros).

c) 32.5 (32 vasos completos y se puede llenar a la mitad otro vaso) • Completa las siguientes operaciones:

3.9 ÷ 0.12 = 32.5 3.9 ÷ _____ = 325 3.9 ÷ _____ = 3.25 3.9 ÷ 1.2 = _____

d) 325 vasos (325 vasos completos y no sobra nada) • El resultado de multiplicar 0.12 por otro número es igual a 3.9. ¿Crees que ese número

será menor que uno?, ¿estará entre 1 y 10?, ¿será mayor que 10?, ¿será mayor que 100?

50

25. Identifica la ecuación que permite resolver el siguiente problema: En la quinta etapa de la Vuelta México, los ciclistas deben recorrer una distancia de 215 km de Cuernavaca a Toluca. En esta etapa, a un ciclista le faltan 117.5 km para llegar a la meta, ¿qué distancia lleva recorrida? a) 117.5 – 215 = x • Cuál es el resultado de la siguiente operación:

117.5 – 215 = _________

• ¿El resultado que obtuviste es un número positivo o negativo? • ¿Qué representa la letra x? • ¿Puede ser x un número negativo?

b) x + 117.5 = -215

• ¿Cuál es el valor de x en la ecuación x + 117.5 = -215? • ¿Cuál es la distancia que lleva recorrida el ciclista? • Compara el valor que hallaste para x con la distancia total del recorrido entre Cuernavaca y Toluca.

c) x – 117.5 = 215 • ¿Qué operación se debe hacer entre la distancia recorrida por el ciclista (117.5 km) y la

distancia que le falta por recorrer (x) para obtener la distancia total (215 km)?

x ____ 117.5 = 215 • Encuentra el valor de x en la expresión anterior.

d) x + 117.5 = 215 • ¿Qué operación se debe hacer entre la distancia recorrida por el ciclista (117.5 km) y la

distancia que le falta por recorrer (x) para obtener la distancia total (215 km)?

x ____ 117.5 = 215 • Encuentra el valor de x en la expresión anterior. • Comprueba tu resultado sustituyendo el valor de x en la ecuación.

51

26. ¿Cuál es la solución de la siguiente ecuación? 179.82 + y = 514.25

a) y = 694.07

• En la ecuación 179.82 + y = 514.25, ¿cuál es el número que sumado con 179.82 da como resultado 514.25?, ¿qué operación hay que hacer para encontrar el valor de y? • Completa la expresión: y = __________________ • Comprueba si el valor que hallaste para y es solución de la ecuación.

b) y = 334.43 • Verifica si y = 334.43 es solución de la ecuación 179.82 + y = 514.25.

• Completa la expresión: 179.82 + ______ = ___________ • ¿Al sustituir el valor de y en la ecuación y realizar la operaciones obtuviste 514.25?

c) y = -334.43

• Sustituye y = -334.43 en la ecuación 179.82 + y = 514.25. • Completa la expresión: 179.82 + __________ = 514.25. • Al realizar las operaciones, ¿obtuviste una igualdad? • ¿Es y = -334.43 la solución de la ecuación del problema? • Recuerda que una forma de resolver una ecuación como m + 18 = 34, en la que se está sumando, es hacer una resta: m = 34 – 18. La solución de esta ecuación es m = 16.

d) y = -694.07

• ¿Qué operación está indicada entre 179.82 y el valor de la incógnita y para obtener 514.25? • Completa la expresión: 179.82 ______ y = 514.25. • ¿Qué operación hay que hacer para encontrar el valor de y? • Completa: y = __________________ • Encuentra el valor de y en la última ecuación y verifica que sea la solución.

52

27. ¿Cuál es la solución de la siguiente ecuación? 5x – 19 = 86

a) x = 13.4 • Sustituye x = 13.4 en la ecuación 5x – 19 = 86. Completa la expresión:

5(_____) – 19 = ________ • ¿Qué valor se obtiene al sustituir x por 13.4 y realizar la operaciones? • Una forma de resolver una ecuación como x – 13 = 26, en la que se está restando, es hacer una suma: x = 26 + 13. La solución de esta ecuación es x = 39. • Entonces, ¿cuál es la solución de la ecuación 5x – 19 = 86?

b) x = 21 • Evalúa la ecuación con x = 21. Completa la expresión: 5(___) – 19 = ________.

• ¿Qué valor obtuviste al sustituir x por 21 y realizar las operaciones indicadas? • ¿Es x = 21 solución de la ecuación 5x – 19 = 86? Explica por qué.

c) x = 72

• Para resolver la ecuación 5x – 19 = 86, ¿qué operación hay que hacer primero?, ¿qué operación hay qué hacer después? • ¿Cuál es el número que al restarle 19 se obtiene como resultado 86?, ¿qué operación debes realizar para obtener este número? El número que obtuviste anteriormente debe ser igual a 5x. Completa la expresión en tu cuaderno: 5x = ________ • En la ecuación anterior, ¿qué operación hay que hacer para encontrar el valor de x? Comprueba si el valor que hallaste para x es solución de la ecuación.

d) x = 100

• En la ecuación 5x – 19 = 86 se hacen dos operaciones: primero se multiplica 5 por x, después, al resultado se le resta 19. • ¿Qué operación hay que hacer para encontrar el valor de 5x? Completa la expresión: 5x = ________ • En la ecuación 5x = 105, ¿qué operación hay que hacer para encontrar el valor de x? Completa: x = 105 ____________ = ________ • Comprueba si el valor que hallaste para x es solución de la ecuación.

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Eje: Forma, espacio y medida

28. Antonio va a un parque que tiene forma de hexágono regular como el que se muestra en la imagen.

Todas las mañanas, Antonio corre 10 vueltas alrededor del área verde del parque, ¿qué distancia corre diariamente? a) 250 m • ¿Cuál es la forma que tiene el área verde del parque?

• Si Antonio solamente da una vuelta alrededor del área verde del parque, ¿qué distancia recorre? Completa la tabla:

Número de vueltas que Antonio corre alrededor del área verde del

parque

Distancia que Antonio corre diariamente (en metros)

1

2

5

10

54

b) 300 m

• En la siguiente imagen, se ha marcado el recorrido que realiza Antonio cuando corre una vuelta en el área verde del parque.

• ¿Con cuál de las siguientes expresiones calculas el perímetro del área verde del parque?

___50+50+50+43.3 ___50+50+50+86.6 ___50+50+50+100

55

c) 2165 m

• En la siguiente imagen, marca o recorre con tu dedo el camino que realiza Antonio cuando corre en el parque.

• ¿Cuál es la forma que tiene el área verde del parque? ___Romboide ___Trapecio isósceles ___Hexágono regular

• Traza una figura similar en tu cuaderno e indica cuánto mide cada lado. • ¿Con cuál de las siguientes fórmulas puedes calcular la medida que tiene el perímetro de la zona de área verde de ese parque?

___lado x 6 ___lado X 4 ___(base mayor + base menor) x apotema ___(base mayor + base menor + lado opuesto + lado opuesto)

• Si Antonio corre 10 vueltas alrededor del parque, la distancia que recorre es igual a:

__10 veces la medida del lado del parque. __10 veces la medida del perímetro del parque. __10 veces la medida del perímetro del área verde del parque.

56

d) 2500 m

• ¿Qué forma tiene la zona de área verde del parque?

• ¿Cuánto mide el perímetro del área verde? • Completa la siguiente tabla.

Número de vueltas que Antonio corre alrededor del área verde del

parque

Distancia que Antonio corre diariamente (en metros)

1

500

5

10

5 000

• ¿Con cuál de las siguientes expresiones puedes calcular cualquier distancia que Antonio corra alrededor de las áreas verdes de ese parque?

___Distancia que Antonio corre= número de vueltas x (lados x 4) ___Distancia que Antonio corre= número de vueltas + (base mayor x lados opuestos) ___Distancia que Antonio corre= número de vueltas + (lados opuestos + base mayor +base menor) ___Distancia que Antonio corre= número de vueltas x (lados opuestos + base mayor + base menor)

57

29. La imagen siguiente corresponde a un parque que tiene forma de hexágono regular.

¿Cuánto mide la superficie del área de juegos? a) 1082.5 m2 • ¿Cuál es la forma que tiene el área de juegos del parque?

a) Romboide b) Trapecio c)Rombo d)Cuadrado • Observa la siguiente imagen del parque:

• El hexágono está dividido en seis triángulos iguales. ¿Qué característica tienen esos triángulos? • ¿Cuál es el área de cada uno de los triángulos? • ¿Cómo calcularías la superficie que ocupa el área de juegos?

58

b) 2165 m2

• Observa la siguiente imagen, corresponde a la zona del área de juegos del parque.

• Escribe en tu cuaderno cuáles de las siguientes características cumple la figura:

• ¿Con cuál de las siguientes expresiones calculas la superficie destinada para el área de juegos?

• ¿Cómo obtienes las medidas de las diagonales?

59

c) 2500 m2

• Observa la siguiente imagen del área de juegos del parque:

• Anota en tu cuaderno cuáles de las siguientes características cumple la figura que forma el área de juegos.

• ¿En qué figura se cumplen todas las características? ¿Cómo identificaste si los ángulos internos son iguales o no? ¿Y cómo si las diagonales son iguales o no?

60

d) 4330 m2 • Observa la siguiente imagen del parque:

• ¿Qué parte del área total del parque es para áreas verdes?, ¿qué parte del área total del parque es el estacionamiento? • ¿Qué parte del área total del parque está destinada al área de juegos? • ¿Cuál es la superficie del área de juegos?

Eje: Manejo de la información

30. Miguel gastó el 35% de los $200 que llevaba. ¿Cuánto dinero le quedó? a) $65 • ¿Cuánto es el 100% de 200?

• ¿Cuánto es el 10% de 200? • ¿Cuánto es el 30% de 200? • ¿Cuánto es el 5% de 200?

b) $70 • ¿Qué cantidad corresponde en este problema al 100%?

• Si gastó el 35% entonces ¿qué porcentaje de su dinero le sobró a Miguel?

61

c) $130 • ¿Si Miguel hubiera llevado $300 el 35% también sería $70?

• Si crees que no, calcula cuánto es el 35% de $300. d) $165 • ¿Es correcto pensar en el 35% como “35 de cada 100”?

• Si crees que sí ¿cuánto es el 35% de 100? • ¿Cuánto es el 35% de 200? • ¿Cuánto dinero gastó Miguel y qué cantidad corresponde a ese porcentaje?

31. Si tengo 80 canicas y pierdo 15, ¿qué porcentaje de las canicas perdí? a) 12% • Si 15 canicas son el 12% entonces:

5 canicas son el 4% ____ canicas son el 24% 45 canicas son el ____% ____ canicas son el 60% 80 canicas son el ____%

• ¿Es correcto? b) 15% • Completa la siguiente tabla. Recuerda que 80 canicas son el 100%.

Número de

canicas Porcentaje

80 100

40

20

10

5

15

62

c) 18.75% • Si el 15 canicas son el 18.75% de 80

• ¿Cuántas canicas son el 5%? • ¿Cuántas canicas son el 10%? • Suma 10 veces la cantidad de canicas que corresponden al 10%, debes obtener el total de canicas (80). ¿Lo obtuviste?

d) 20% • Si 15 canicas son el 20% de 80, al sumar 15 + 15 + 15 + 15 + 15 debes obtener la

cantidad de canicas que corresponde al 100%. ¿Obtienes 80 canicas? 32. Una urna contiene 3 canicas, una azul (a), una blanca (b) y otra café (c). Después de revolver las canicas, se extrae una al azar, se anota su color y se regresa a la urna. El experimento anterior se repitió 20 veces y se obtuvieron los siguientes resultados:

c a a b b a b b b c b a b b a c b a b c

¿Cuál crees que será el color de la canica que se extraiga la próxima vez y por qué? a) Será blanca porque en las 20 extracciones realizadas, la mitad fueron de ese color.

• Se repitió 20 veces el experimento anterior y los resultados fueron: a c c a a c c b b a b a c b a c b a a b (serie 2)

• En otra serie de 20 extracciones, los resultados fueron:

b c c c a b c b c a c a c a c a c c c a (serie 3)

• Realiza el experimento y anota en tu cuaderno los resultados que obtuviste en la serie de 20 extracciones. • ¿Obtuviste los mismos resultados que alguna de las series anteriores? ¿Cuántas veces te salió una canica blanca? ¿Cuántas veces te salió una canica azul? ¿Y cuántas veces una canica café? • Si es posible, compara tus resultados con los de otro compañero. ¿Cuántas veces obtuvieron una canica blanca?

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b) Será azul o blanca porque en la última vez que se repitió el experimento, se extrajo una canica café. • De acuerdo con el experimento, una vez que se extrae y anota el color de la canica se

regresa a la urna. Entonces, antes de realizar una nueva extracción, ¿cuántas canicas y de qué color hay en la urna? • Si en las condiciones del experimento se hacen tres extracciones y se obtienen los siguientes resultados: b a a. ¿Es posible que la siguiente canica que se extraiga sea azul? ¿Por qué? • Si un color aparece dos veces seguidas, ¿es más probable que la próxima canica no sea de ese color? ¿Por qué?

c) Será café porque fue el color que menos se sacó en las 20 extracciones. • Si repites 10 veces el experimento, ¿alrededor de cuántas veces esperas extraer una

canica café? ¿Y una blanca? • Haz 10 veces el experimento y completa la siguiente tabla:

• De acuerdo con los resultados obtenidos, ¿cuál fue el color de la canica que menos veces te salió? • Compara tus resultados con los de otros compañeros. ¿Cuál es el color de la canica que más veces les sale? ¿Y cuál es el que menos veces sale? • Si reúnes los resultados de todas las extracciones, ¿cuál es el color de la canica que menos veces salió? ¿Qué porcentaje del total de extracciones realizadas representa? Si lo comparas con el porcentaje del color de canica que más veces salió, ¿cuál es la diferencia que hay?

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d) Será azul o blanca o café porque cada vez que se repita el experimento cualquiera de las tres puede ser extraída. • Considera los 20 resultados que se presentan en el problema:

c a a b b a b b b c b a b b a c b a b c • A partir de los resultados anteriores, en tu cuaderno, completa la siguiente tabla:

• Ahora, calcula las probabilidades clásicas de los eventos anteriores:

• Si comparas el valor de la frecuencia relativa del evento se extrae una canica azul con el valor de su probabilidad clásica, ¿cuál valor es mayor? • Describe qué sucede con los valores de los otros dos eventos. • Si te es posible realiza el experimento y repítelo 20 veces. Analiza tus resultados y reúnelos con los 20 que aquí aparecen. De los 40 resultados, ¿cuál es la frecuencia del color de la canica que se extrae más veces?

65

33. Al lanzar dos dados, ¿cuál de los siguientes eventos tiene mayor probabilidad de ocurrir? a) “Que la suma de los números que salgan sea par”. • Al lanzar dos dados, ¿cuántos resultados posibles hay en total?

• ¿Cuántos de los resultados anteriores son favorables al evento: la suma de los números que salen es un número par? Para encontrar la respuesta, en tu cuaderno elabora y completa un diagrama de árbol como el siguiente:

66

b) “Que se obtenga 2 o 3 en alguno de los dados”.

• En el diagrama siguiente, aparecen marcados los resultados favorables al evento: que se obtenga 2 o 3 en alguno de los dados:

• ¿Cuántos resultados favorables tiene el evento: que se obtenga 2 o 3 en alguno de los dados? • ¿Qué fracción representan del total de resultados posibles?

c) “Que la suma de los números que salgan sea menor o igual que 7”.

• En el diagrama siguiente, identifica los resultados que son favorables al evento: “que la suma de los números que salen sea menor o igual que 7”.¿Qué representa la letra x?

• ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números que salen sea menor o igual que 7?

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d) “Que el producto de los números que salgan sea par”.

• En tu cuaderno elabora y completa una tabla como la siguiente:

34. La siguiente lista muestra el país y el año en que se jugaron los mundiales de fútbol de 1978 a 1998, así como el número total de jugadores expulsados en cada uno de esos mundiales.

País sede y año Jugadores expulsados Argentina 1978……………………………..2 España 1982………………………………..5 México 1986………………………………...8 Italia 1990………………………………….15 Estados Unidos 1994…………………….15 Francia 1998………………………………22.

¿En cuál de las siguientes gráficas circulares se muestra correctamente los datos anteriores?

68

a)

• En los mundiales de Italia y de Estados Unidos hubo la misma cantidad de jugadores expulsados (15). • El sector que le corresponde en la gráfica al mundial de Italia respecto al que le corresponde al mundial de Estados Unidos debe ser: •Mayor. •Igual. •Menor.

69

b)

• ¿Cuántos jugadores expulsados hubo en los seis mundiales? • Del total de jugadores expulsados en los seis mundiales: • ¿Qué porcentaje representa el número de jugadores expulsados en el mundial de México? • ¿Qué porcentaje representa el número de jugadores expulsados en el mundial de Francia? ¿Corresponden a los porcentajes representados en la gráfica?

70

c)

• La cantidad de jugadores expulsados en el mundial de Francia, es casi la tercera parte del total de jugadores expulsados en los seis mundiales. ¿El sector circular que corresponde a la cantidad de jugadores expulsados en el mundial de Francia ocupa aproximadamente la tercera parte de la gráfica? • La cantidad de jugadores expulsados en los mundiales de Argentina, España e Italia fue la misma que en el mundial de Francia. ¿La unión de los sectores correspondientes a Argentina, España e Italia tiene la misma área que el de Francia?

71

d)

• La suma de los porcentajes que aparecen en la gráfica de los mundiales de Italia y Estados Unidos es mayor al 50%. • Entre los dos mundiales, ¿qué porcentaje del total de jugadores representan? • El área que ocupa este porcentaje en la gráfica es: • Menos de la mitad de la circunferencia. • La mitad de la circunferencia. • Más de la mitad de la circunferencia.

72

35. La siguiente tabla muestra el número de habitantes y la extensión territorial que hay en 6 estados de la República Mexicana.

Señala cuál de las opciones corresponde a la gráfica de barras que representa la densidad de población que hay en los estados que aparecen en la tabla. a)

73

• Ordena los estados que aparecen en la tabla de mayor a menor respecto a su número de habitantes. Fíjate cómo el estado con menor número de habitantes es Aguascalientes. • Compara tus resultados con la gráfica de barras que elegiste. • ¿Qué muestra la gráfica de barras?

• La densidad de población de cada estado. • El número de habitantes que hay en cada estado. • El porcentaje del número de habitantes que hay en cada estado tomando como total el número de habitantes que hay en los seis estados.

b)

• El estado de Michoacán tiene una extensión territorial cercana a 60 000 y aproximadamente tiene 4 000 000 de habitantes. Calcula la densidad y responde: ¿entre qué rango de números de la gráfica se encuentra la densidad de población en el estado de Michoacán? • Estima entre qué números debe encontrarse la densidad de población de los demás estados.

74

c)

• La densidad de población es:

• Un porcentaje. • El número de habitantes que hay por kilómetro cuadrado. • El total de habitantes que hay en cada estado. • La extensión territorial del estado.

• ¿Qué es lo que representan las barras? ¿Corresponde a la densidad de población?

75

d)

• Ordena los estados que aparecen en la tabla de mayor a menor respecto a su extensión territorial. El estado con menor extensión territorial de los que aparecen en la tabla es Aguascalientes. • Compara tus resultados con la gráfica de barras que elegiste. • ¿Qué muestra la gráfica de barras?

• La densidad de población. • El número de habitantes que hay en cada estado. • La extensión territorial que hay en el estado.

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SUGERENCIAS DIDÁCTICAS

A continuación se presentan algunas sugerencias de trabajo que ayudan a precisar el abordaje del contenido en cada una de las preguntas. Le proponemos que las lea previamente para enriquecer su labor en el aula.

Bloque III

Eje

Preguntas

Sugerencias didácticas

23

División de números enteros entre decimales. Hacer aproximaciones sobre el resultado de una división con decimales puede ser de utilidad para anticipar en qué rango estará el cociente y detectar posibles errores al mover el punto o agregar ceros.

Si fuera necesario, pida a los alumnos que practiquen haciendo varias divisiones: primero pida una aproximación del resultado y luego explique el procedimiento para “quitar” el punto en el dividendo o el divisor. Es importante que comprendan que están haciendo divisiones equivalentes. Proponga ejemplos sencillos como 0.4 ÷ 0.2 = 4 ÷ 2 = 40 ÷ 20 = 400 ÷ 200.

24

División de números decimales entre decimales. Hacer aproximaciones sobre el resultado de una división con decimales puede ser de utilidad para anticipar en qué rango estará el cociente y detectar posibles errores al mover el punto o agregar ceros.

Si fuera necesario, pida a los alumnos que practiquen haciendo varias divisiones: primero pida una aproximación del resultado y luego explique el procedimiento para “quitar” el punto en el dividendo o el divisor. Es importante que comprendan que están haciendo divisiones equivalentes. Proponga ejemplos sencillos como 0.4 ÷ 0.2 = 4 ÷ 2 = 40 ÷ 20 = 400 ÷ 200.

Sentido numérico y pensamiento algebraico

25

Ecuación de primer grado asociada a un problema. En este reactivo los alumnos identificarán la ecuación lineal de la forma x + a = b asociada al problema dado.

Una estrategia que se puede seguir para responder este problema, es que los alumnos determinen la operación que deben realizar entre el valor que representa el avance del ciclista y el valor de la distancia que le falta por recorrer, para así obtener la distancia total del trayecto. En este sentido, coménteles que es conveniente representar la cantidad desconocida, o incógnita, con una letra, por ejemplo x.

Una estrategia alternativa consiste en hallar las soluciones respectivas de las ecuaciones que se muestran en las opciones y valorar la pertinencia de la solución. Dado que el problema planteado trata de distancias, las cantidades deben ser positivas. Si es el caso, pregúnteles si tiene sentido una solución

77

negativa, o bien, si la distancia por recorrer puede ser mayor que la distancia total. Sugiera a los alumnos que realicen un esquema para identificar los datos del problema, como el siguiente:

26

Ecuaciones de primer grado y operaciones inversas. En este reactivo los alumnos identificarán cuál es la solución de una ecuación lineal de la forma x + a = b.

Si los alumnos tienen dificultades para obtener la respuesta correcta, indíqueles que determinen cuál es la operación que se debe realizar entre uno de los valores conocidos y el valor de la incógnita para obtener el valor final. A partir de esto, pídales determinar qué operación se debe realizar con los dos valores conocidos para obtener el valor de la incógnita. Es conveniente que recuerden que hay operaciones inversas como son: la adición y la sustracción, o la multiplicación y la división. En este caso se está buscando el número que sumado a 179.82 da como resultado 514.25. El número puede encontrarse al hacer la resta 514.25 – 179.82.

Otra estrategia es que los alumnos sustituyan en la ecuación dada los valores mostrados en las diversas opciones, realicen la operación correspondiente y verifiquen cuál es el valor con el que se obtiene una igualdad verdadera. Por ejemplo, pídales que sustituyan y = 694.07 en la ecuación del problema y que verifiquen lo siguiente: 179.82 + y = 179.82 + 694.07 = 873.89

El resultado (873.89) es distinto del que se muestra en la ecuación (514.25), por lo tanto y = 694.07 no es solución.

27

Resolución de ecuaciones de primer grado. En este reactivo los alumnos identificarán cuál es la solución de una ecuación lineal de la forma ax + b = c. Sugiera a los alumnos que analicen la ecuación dada e identifiquen cuál es la operación que se debe realizar primero y cuál operación se debe realizar después para obtener el valor final. Con base en lo anterior, pídales determinar la operación que deben realizar con los valores conocidos para obtener el valor de la incógnita. Es conveniente que recuerden la jerarquía de las operaciones y que hay operaciones inversas como la adición y la sustracción, o la multiplicación y la división. Otra manera de encontrar la solución es sugerirles que en la ecuación dada sustituyan los valores que se muestran en las opciones, luego que realicen las operaciones correspondiente y al final verifiquen cuál es el valor con el que se obtiene una igualdad verdadera.

78

28

Perímetro de figuras. En esta pregunta se vincula el cálculo de perímetros con otros conocimientos y, particularmente, se desarrolla en los alumnos la competencia de resolución de problemas.

Si observa que algunos alumnos tienen dificultades, puede orientarlos con algunas preguntas como: ¿qué les están pidiendo? ¿Qué datos conocen? ¿Cómo se relacionan los datos? ¿Conocen alguna fórmula que relacione los datos? Para que los alumnos contesten correctamente es básico reconocer cuál es la figura conformada por la zona de área verde del parque, y cómo son los lados de esa figura. Si observa que algunos alumnos no logran identificarla u olvidan alguna de las características importantes de esa figura que les permita calcular el perímetro, entonces proponga y oriente una discusión para que logren determinar que la figura es un cuadrilátero llamado trapecio, que tiene dos lados paralelos y otros dos no paralelos. Los lados paralelos se llaman bases del trapecio (base mayor y base menor) y la distancia entre ellos se llama altura. En este caso, la altura del trapecio es igual a la medida del apotema del hexágono y la base mayor es el doble que la medida del lado del hexágono. Como puede ver, esta pregunta se vincula también con el tema de cuadriláteros.

Los alumnos que seleccionan la opción a) logran identificar la figura que conforma el área verde del parque y obtienen su perímetro, pero olvidan considerar que la pregunta se refiere a la distancia que Antonio corre al dar 10 vueltas en esa zona.

Tal vez, aquellos alumnos que eligen la opción b) no consideran la situación que se les presenta y se limitan a relacionar los datos numéricos que aparecen en la imagen del parque mediante una multiplicación. Otra situación por la cual podrían elegir dicha opción es que los alumnos hayan completado el hexágono con dos trapecios y no tomaron en cuenta que el recorrido sería ahora por 5, lo que nos regresa a un error similar al de la opción a), o quizá tampoco sumaron las bases mayores de ambos trapecios. Si observa que sus alumnos realizan alguna de estas situaciones sería conveniente que les preguntará por qué eligieron esta respuesta. Quienes seleccionan la opción c) identifican la figura, trapecio, pero calculan su área.

Forma, espacio y medida

29

Área de figuras. En este reactivo se pretende que los alumnos obtengan la superficie de una figura a partir de analizar y encontrar diversas relaciones con otras figuras. Al igual que en el reactivo anterior (28), al contestar y revisar las retroalimentaciones se busca que los alumnos desarrollan su habilidad para identificar qué datos conocen y cómo los pueden utilizar para resolver el problema.

Si observa que sus alumnos tienen problemas para identificar la forma de la zona del área de juegos, puede pedirles que recuerden cuáles son las características de las figuras que conocen. En particular, pregúnteles cuáles son los cuadriláteros que tienen los cuatro lados iguales.

Una forma de resolver el problema es utilizar la fórmula para calcular el área de un rombo:

79

También se puede resolver si se observa que el rombo se puede dividir en dos triángulos equiláteros iguales.

Los alumnos que seleccionan la opción a) aplican la formula para obtener el área de un triángulo usando los datos que aparecen en la imagen. Una manera en que podrían obtener la superficie del área de juegos mediante este procedimiento es duplicando el valor encontrado.

Aquellos alumnos que eligen la opción c) consideran que el área de juegos es un cuadrado, este error se puede deber a que los cuatro lados del área de juegos son iguales.

Quienes seleccionan la opción d) calculan el perímetro de la figura y lo multiplican por la apotema. Posiblemente, porque relacionan la manera en que se obtiene el área del hexágono con la superficie que se les pide calcular en la pregunta.

30

Porcentaje de una cantidad. Quizá pueda empezar haciendo algunas preguntas para que los alumnos aproximen la respuesta:

El 50% de los 200 pesos es: Menos de la mitad. La mitad. Más de la mitad.

El 35% de los 200 pesos es: Menos de la mitad. La mitad. Más de la mitad.

Destaque que el porcentaje no es un número como otros que conocen, el porcentaje expresa una relación (en este problema, 35% no es igual a $35). Una forma de expresar esta relación, y que puede ayudar a los alumnos a comprender el significado del porcentaje es leerlos como “tantos de cada 100”.

Número de canicas Porcentaje

80 100 40 20 10 5

15

Plantee otros problemas similares y pida que los resuelvan usando esquemas como el anterior o tablas de proporcionalidad.

Manejo de la información

31

Porcentaje que representa una cantidad respecto de otra. Pregunte a los alumnos qué procedimiento utilizaron para resolver este problema, ya sea que hayan elegido la respuesta correcta o no. Seleccione dos o tres procedimientos diferentes y pida a los alumnos que los emplearon que pasen al pizarrón a explicarlos. Aproveche para hacer las correcciones necesarias.

Si los alumnos tienen dificultades puede ser útil plantear preguntas que les permitan aproximar el resultado:

40 canicas representan: • Menos del 50% del total de canicas.

80

• El 50% del total de las canicas. • Más del 50% del total de las canicas.

Las 15 canicas que perdí representan: • Menos del 50% del total de canicas. • El 50% del total de las canicas. • Más del 50% del total de las canicas.

Revise con los alumnos cada una de las opciones, analicen cuál es el error en cada uno de los casos y porqué 15 canicas representan el 18.75% de 80.

Resalte que para comenzar a resolver estos problemas deben reconocer cuál cantidad representa el 100%. A partir de ésta pueden determinar cualquier otro porcentaje.

32

Probabilidad empírica y teórica de un evento. El problema que se plantea en esta pregunta implica que los alumnos pongan en juego sus intuiciones y conocimientos sobre cómo determinar los resultados posibles al realizar un experimento aleatorio. Particularmente se averigua sobre las reflexiones y los argumentos en los que los alumnos se basan para dar sus respuestas. En este caso, los valores de las probabilidades frecuenciales de los eventos simples: extraer una canica de color azul; extraer una canica de color blanco y extraer una canica de color café, no son iguales a los valores de sus probabilidades clásicas (que son de 1/3). Esto sucede porque 20 extracciones podrían ser “pocas” para que el valor de la probabilidad frecuencial (frecuencia relativa) se acerque o sea igual al de la clásica. Los alumnos deben saber que la probabilidad frecuencial es una medida obtenida de la experiencia de algún fenómeno o experimento aleatorio que permite estimar a futuro un comportamiento. Sin embargo, no es definitiva por lo que es importante saber interpretar los resultados que se obtienen.

Aquellos alumnos que eligen la opción a) consideran que los resultados obtenidos en las 20 extracciones son “suficientes” y “representativos” para determinar que en la próxima extracción la canica será de color blanco. En este caso, en la retroalimentación se busca que los alumnos reflexionen si existen otras combinaciones en que se pudieran dar las 20 extracciones.

Aquellos alumnos que eligen la opción a) consideran que los resultados obtenidos en las 20 extracciones son “suficientes” y “representativos” para determinar que en la próxima extracción la canica será de color blanco. En este caso, en la retroalimentación se busca que los alumnos reflexionen si existen otras combinaciones en que se pudieran dar las 20 extracciones.

Los alumnos que seleccionan la opción b) sólo consideran la información proporcionada por la última repetición del experimento aleatorio. Los alumnos que seleccionan la opción c), observan la aparición de una racha a favor de un resultado, por ejemplo, el número de veces que se ha extraído la canica blanca y creen que eso disminuye la probabilidad de salga blanca.

Para cualquiera de esas situaciones, se le sugiere dar a los alumnos la oportunidad de resolver problemas que requieran la recolección o simulación de sus propios datos para la toma de decisiones. Lo cual significa, introducir la enseñanza de la probabilidad de modo experimental y confrontar las creencias personales de sus alumnos, de carácter determinista.

81

Finalmente, los alumnos deben saber que para obtener la probabilidad clásica de un evento, no se requiere de la realización de experimentos como en la probabilidad frecuencial, sino de conocer dos datos: el de todos los resultados posibles que se pueden dar en el experimento, y el de los resultados favorables del evento que se observa. Por lo que la probabilidad clásica que un evento es diferente de la probabilidad frecuencial. Después de realizar muchos experimentos, la probabilidad frecuencial debe parecerse a la clásica.

33

Mayor probabilidad de ocurrencia. El propósito de la pregunta es que los alumnos identifiquen el evento que tiene mayor probabilidad clásica (o teórica) de ocurrir. Al lanzar los dados hay 36 resultados posibles, cada uno con la misma probabilidad de ocurrir. Es posible que, cuando se considera la suma de los números que se obtienen, los alumnos determinen que hay 11 resultados posibles: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12; sin embargo, no todos tienen la misma probabilidad de ocurrir (para la suma 7 hay 6 formas de obtenerla y la suma 2 se obtiene de una sola forma: cuando cae 1 en ambos dados.).

Aquellos alumnos que eligen la opción a), tal vez, suponen que de las 11 sumas posibles, hay 6 en las que la suma es par. Pero, si se consideran las 36 formas distintas en que pueden caer los números de las caras de los dados, pueden determinar que en la mitad de ellas, se produce una suma par.

Si seleccionan la opción b), pida a estos alumnos que le digan por qué eligieron esta opción. Puede ser que estén considerando por separado el número de resultados en el que se obtiene 2 y en el que cae 3; es decir, que supongan que en el primer dado hay 6 formas de obtener 2 y 6 cuando cae 3, y que consideren la misma cantidad de resultados para el segundo dado. La conclusión errónea sería entonces que existen 24 resultados favorables. Pídales que cuenten los resultados favorables que se señalan en la retroalimentación, resalte que (3,2) y (3,3) se consideran solamente una vez.

Es posible que los alumnos elijan la opción c) porque saben que la suma 7 tiene más resultados favorables.

Finalmente, si lo considera conveniente, como ejercicio, puede pedirles que definan un evento para el que se tenga la seguridad de ganar, es decir, que su probabilidad sea 1. Por ejemplo, si la suma es menor o igual que 12, o cuando la suma es mayor que 0.

34

Gráficas circulares. Si los alumnos tienen dificultades en establecer cuál es la opción correcta puede recordar la forma de elaborar una gráfica circular. Pregúnteles, por ejemplo, cuál es la función de los rótulos.

Explique que en una gráfica circular, los datos se puede representar de varias maneras; en este caso en las opciones de respuesta se representó de dos formas diferentes: • Mediante porcentajes de los jugadores expulsados en los seis mundiales de

fútbol, y • Mediante el número total de jugadores expulsados en cada uno de esos

82

mundiales. Es importante apoyar a los alumnos para que identifiquen, utilizando

aproximaciones o estimaciones, el área que se representa en cada uno de los sectores respecto del total de jugadores expulsados en los seis mundiales; así como para comparar diferentes sectores de la gráfica a partir de la cantidad de jugadores expulsados en cada mundial. También, puede verificar con ellos que los sectores de la gráfica coincidan con el porcentaje o con el número de jugadores representados.

35

Gráficas de barras. Si los alumnos tienen dificultades en establecer cuál es la opción correcta puede recordar la forma de elaborar una gráfica de barras y cuándo es conveniente utilizar este tipo de gráfica.

Por ejemplo, para elaborar la gráfica de este problema se tienen que encontrar cuál es la densidad de población de cada uno de los cinco estados que se presentan en la tabla.

Un error posible es tomar en cuenta solamente uno de los datos de la tabla (como en la opción c)), y verificar que las barras estén ordenadas de mayor a menor. Si este es el caso, indique a los alumnos que la gráfica de barras representa datos que no aparecen en la tabla. Los datos que aparecen en la tabla hay que tomarlos en cuenta para calcular la densidad de población por estado.

83

BLOQUE IV Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

36. ¿En cuál de las opciones están ordenados los números de menor a mayor?

a) 7, 2.5, -2.5, -5, -7 • ¿Cuál número es el mayor de la lista? ¿Y el menor?

• Copia en tu cuaderno una recta numérica como la siguiente y ubica los números.

• Lee nuevamente la pregunta y verifica si el orden es el correcto.

b) -2.5, 2.5, -5, -7, 7 • ¿Cuál número es mayor, -2.5, -5 o -7? Copia en tu cuaderno la siguiente recta numérica

y ubícalos.

• ¿De qué lado del cero se encuentra cada uno de estos tres números? • ¿Cuál se encuentra más lejano del cero?, ¿y más cercano?

c) -2.5, -5, -7, 2.5, 7 • ¿Cuál número es mayor, -2.5, -5 o -7?

• Si no estás seguro, piensa en temperaturas: un termómetro marca 5º bajo cero y más tarde marca 7º bajo cero, ¿cuándo hay menor temperatura? • Si marca 2.5º bajo cero, ¿cuál es la menor temperatura de las tres? • Dibuja un termómetro y representa las temperaturas en él. • ¿Cuál de las temperaturas queda más abajo? ¿Cuál más arriba? • Recuerda que una temperatura por debajo del cero se puede expresar con números negativos: 7º bajo cero es igual a -7º.

d) -7, -5, -2.5, 2.5, 7 • ¿Cuál número es mayor, -5 o -7?

• ¿Cuál número es el mayor de la lista?, ¿y el menor? • Copia en tu cuaderno la siguiente recta numérica y ubica los cinco números de la lista.

• ¿Cuáles de ellos se encuentran del lado izquierdo del cero?, ¿cuáles a la derecha?

84

37. Un terreno rectangular que tiene 432 m² de área está formado por tres cuadrados de igual tamaño. ¿Cuánto miden la base y la altura del terreno rectangular? a) 36 m y 12 m • ¿Cuál es el área de cada uno de los cuadrados?

• ¿Cuál es la medida de cada lado de los cuadrados que se forman? • ¿Qué relación hay entre el área de cada terreno cuadrado y la medida de sus lados?

b) 24 m y 18 m • Dada el área 432 m² ¿cuál es el área de cada uno de los 3 cuadrados que componen el

terreno rectangular? • ¿Qué operación tienes que realizar para saberlo? • De acuerdo al rectángulo que elegiste (24 m x 18 m): Si uno de los lados del cuadrado mide 18m ¿cuál es el resultado de multiplicar lado por lado para obtener el área del cuadrado? • ¿Corresponde este producto con el resultado qué obtuviste al dividir el área total entre 3?

c) 72 m y 6 m • ¿Cuánto tendrían que medir los lados de cada terreno cuadrado que componen el

terreno rectangular?

• Divide la base del terreno rectangular (72 cm) en tres partes iguales ¿las figuras que se forman son cuadradas? ¿Por qué? • ¿Cuánto mide cada una de las bases? ¿Cuánto mide cada una de las alturas?

d) m 432m 432 ×

• ¿Qué resultado obtienes al multiplicar la base del terreno con la altura? • Qué forma tendría el rectángulo que tenga estas dimensiones

Base = 432 Altura = 432

• ¿Puedes dividir este rectángulo de tal forma que queden tres cuadrados de igual área?

85

38. ¿En cuál de las opciones están ordenados correctamente los siguientes números?:

34004004002

400400400 32 ×;;;;;

a) 32 40034004002

400400400 <×<<<<

• ¿Cuánto es 4002? ¿Cuánto es

2400 ? ¿Cuánto es la raíz cuadrada de 400?

• ¿Cómo expresar la operación 20 x 20 utilizando un exponente? • ¿Y 20 x 20 x 20 x 20? • ¿Son correctas las siguientes desigualdades?

2400400 <

24004002 <

b) 32 40040034004002

400400 <<×<<<

• ¿Cómo expresas el área del siguiente cuadrado?

• ¿Y cómo expresas el volumen del este cubo?

• ¿Cuánto es la raíz cuadrada de 400?

c) 32 40040040034004002

400<<<×<<

• ¿Qué cantidad es mayor

2400 o 400 ?

• Compara tus resultados con el orden que elegiste como respuesta.

86

d) 40040040034004002

400 23 <<<×<<

• ¿Cuánto es la raíz cuadrada de 400? • Completa la siguiente tabla.

n n2 n2 n4 3 9

5 125

10 10 000

400

• Compara tus resultados con la respuesta que elegiste. 39. El rendimiento de un automóvil es el número de kilómetros que recorre con un litro de gasolina. Un automóvil que mantiene un rendimiento constante hace un recorrido de 234 km con 18 litros de gasolina. ¿Cuál de las expresiones algebraicas permite saber la distancia recorrida (y) por el automóvil a partir de la gasolina consumida (x)? a) y = 18x • Completa la siguiente tabla para conocer la cantidad de kilómetros que recorre el

automóvil con diferentes cantidades de gasolina.

Cantidad de gasolina consumida (en litros)

Distancia recorrida (en km)

18 234 9 3 1

• ¿Cuál es el rendimiento del automóvil? • ¿Coinciden los datos que obtuviste en la tabla con la situación presentada?

b) y = 13x • Usando la expresión que elegiste (y = 13x) contesta lo siguiente: Con 18 litros de

gasolina (x = 18), ¿qué distancia recorre el automóvil? • ¿Qué distancia recorre con 1 litro de gasolina? • ¿Cuál es el rendimiento del automóvil?

87

c) y = 18x + 23 • Completa la siguiente tabla, usando la expresión que elegiste, para encontrar diferentes

distancias recorridas por el automóvil a partir de la cantidad de gasolina consumida.

x Cantidad de gasolina consumida

(en litros)

y = 18x + 234 Distancia recorrida

(en km) 0 1 9

18

• Según los datos que obtuviste en la tabla, ¿cuántos kilómetros recorre el automóvil con 18 litros de gasolina?

d) x = 13y • Usando la expresión que elegiste (x = 13y) contesta lo siguiente: Cuando y vale 10 (el

automóvil ha recorrido 10 kilómetros), ¿cuánto vale x? Es decir, ¿cuántos litros de gasolina utilizó? • Cuando y vale 234 (el automóvil ha recorrido 234 kilómetros), ¿cuánto vale x? ¿Coinciden estos datos con la situación presentada?

40. Una compañía renta autobuses con la siguiente tarifa.

¿Qué expresión sirve para calcular el precio que hay que pagar por la renta del autobús (y) a partir de saber la distancia recorrida (x)?

88

a) y = 7x + 2550

• Con la expresión que elegiste completa la tabla para conocer cuanto cobra el autobús a partir de la distancia recorrida.

x Distancia recorrida

(en km) y = 7x + 2550

Precio (en pesos) 1 2 3 4 5

10

• ¿Cuánto cobra la compañía por un viaje de 45 km? b) y = 2550x

• Por un viaje de 100 km la compañía cobró $3250.00. Usa la expresión que elegiste (y = 2550x) para verificar si por 100 km recorridos (x = 100), el valor de y es 3250.

c) y = 2550x + 7 • Usando la expresión que elegiste (y = 2550x + 7) contesta lo siguiente:

¿Cuánto deberá cobrar la compañía por un recorrido de un kilómetro (x = 1)? ¿Cuánto deberá cobrar la compañía por un recorrido de 5 kilómetros (x = 5)?

• Compara estos resultados con los de la tabla. d) y = 7x

• Con la expresión que elegiste completa la tabla para conocer la cantidad que cobra el autobús a partir la distancia recorrida.

x Distancia recorrida

(en km) y = 7x

Precio (en pesos) 1 2 3 4 5

10

89

Eje: Manejo de la información

41. Si 15 pesos mexicanos equivalen a 30 quetzales guatemaltecos. ¿Cuál de las gráficas es la que corresponde al tipo de cambio entre el peso mexicano y el quetzal guatemalteco? a)

• Un punto de coordenadas pertenece a la gráfica (x, y) si es parte de ella.

Por ejemplo, el punto de coordenadas (10, 5) pertenece a la gráfica, mientras que el punto de coordenadas (5,5) no pertenece a la gráfica como se muestra.

• Como 15 pesos mexicanos equivalen a 30 quetzales guatemaltecos, ¿qué punto determina esta condición?, ¿él punto pertenece a la gráfica?

90

b)

• El tipo de cambio entre el peso mexicano y los quetzales guatemaltecos son cantidades directamente proporcionales, esto es, por 5 pesos nos deben de dar la tercera parte de lo que nos dan por 15 pesos porque 5 es la tercera parte de 15. • ¿Cuántos quetzales guatemaltecos nos dan por 3 pesos?, ¿Qué punto le corresponde a estas cantidades en la gráfica?, ¿pertenece este punto a la gráfica?

c)

91

• Completa la siguiente tabla para determinar los puntos que deben pertenecer a la gráfica a partir de la relación entre las cantidades.

Cantidad de pesos mexicanos (x)

Cantidad de quetzales guatemaltecos (y)

Punto (x,y)

15 30 (15,30) 5 3 2 1

d)

• Completa la tabla. Abscisa

(x) Ordenada

(y) Punto (x,y)

1 28 (1,28) 2 26 (2,26) 3 4 5 10

92

42. La siguiente es una parte de la gráfica asociada a dos conjuntos de cantidades.

¿Cuál de las siguientes situaciones tiene asociada la gráfica anterior? a) El peso de un objeto en Júpiter y su correspondiente peso en la Tierra, si se sabe que un objeto que en Júpiter pesa 400 kg, en la Tierra pesa 160 kg. • Completa la tabla para conocer el peso de algunos objetos en Júpiter a partir de su peso

en la Tierra, en la tercera columna aparece el punto que le corresponde en la gráfica. Peso en Júpiter

(en kg) Peso en la Tierra

(en kg) Punto (x,y)

400 160 (400,160) 100 (100, ) 50 (50, ) 25 (25, ) 15 (15, ) 5 (5, )

• ¿Los últimos tres puntos que aparecen en la tabla pertenecen a la gráfica? b) Las edades de Lupe y Carlos, si se sabe que cuando Lupe cumpla 20 años, Carlos cumplirá 8 años. • Cuando Lupe tenga 20 años la edad de Carlos será de 8 años. La condición anterior

establece que el punto de coordenadas (20,8) pertenece a la gráfica asociada al problema. • Cuando Lupe tenga 15 años, ¿qué edad tendrá Carlos? ¿Qué punto determinan estas cantidades? ¿Pertenece a la gráfica? • Cuando Lupe tenía 12 años, ¿qué edad tenía Carlos? ¿Qué punto determinan estas cantidades? ¿Pertenece a la gráfica?

93

c) El peso de un objeto en la Tierra y su correspondiente peso en Júpiter si se sabe que un objeto que en la tierra pesa 160 kg en Júpiter pesa 400 kg. • Un objeto que pesa 160 kg en la Tierra en Júpiter pesa 400 kg. La condición anterior

establece que el punto de coordenadas (160,400) pertenece a la gráfica asociada al problema. • ¿Un objeto que en la tierra pese 16 kg qué peso tendrá en Júpiter? ¿Qué punto determinan las cantidades anteriores? ¿Pertenece a la gráfica?

d) El tipo de cambio de pesos a yuanes chinos si se sabe que 100 pesos mexicanos equivalen a 50 yuanes chinos. • Completa la tabla para conocer el equivalente en yuanes chinos de distintas cantidades

de dinero en pesos mexicanos, en la tercera columna aparece el punto que le corresponde en la gráfica.

Cantidad en pesos mexicanos

Cantidad en yuanes chinos

Punto (x,y)

100 50 (100,50) 50 (50, ) 25 (25, ) 5 (5, ) 1 (1, )

• ¿Los puntos que aparecen en la tabla pertenecen a la gráfica?

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Eje: Forma, espacio y medida

43. En un parque de forma circular de 15 m de radio hay situada en el centro una fuente, también de forma circular. Identifica la expresión que sirve para calcular el área de la zona de paseo.

a) (π x 6.25) – (π x 225) • ¿Qué representa la expresión (π x 6.25)? ¿Cuál es el resultado?

• ¿Qué representa la expresión (π x 225)? ¿Cuál es el resultado? ¿Qué es lo que se está restando? • El resultado de la resta es un número negativo. ¿Qué significa?

b) (π x 225) – (π x 25) • ¿Qué representa la expresión (π x 25)?

• ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un círculo? • ¿Cuánto mide el radio del círculo menor?

c) (π x 225) – (π x 6.25) • ¿Por qué aparece el signo menos en la expresión que elegiste? ¿Qué es lo que se está

restando? • ¿Qué representa la expresión (π x 6.25)? ¿Cuál es el resultado? • ¿Qué representa la expresión (π x 225)? ¿Cuál es el resultado?

d) (π x 30) – (π x 5) • ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un círculo?

• ¿Cuánto mide el radio del círculo menor?, ¿cuál es el resultado de elevar al cuadrado el radio del círculo menor? • ¿Cuánto mide el radio del círculo mayor?, ¿cuál es el resultado de elevar al cuadrado el radio del círculo mayor?

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44. El perímetro de una circunferencia es 43.9824 cm. ¿Cuál es el área del círculo? Utiliza π = 3.1416 para hacer los cálculos. a) 43.9824 cm² • A partir de la información que te da el problema ¿cómo puedes obtener el radio del

círculo? ¿Y el diámetro? • ¿Cuál de los dos, diámetro o radio, te sirven para calcular el área del círculo?

b) 87.9648 cm² • El perímetro de la circunferencia se calcula con la fórmula 2πr, en la que r es el radio.

• ¿Cuánto mide el radio del círculo? ¿Cuánto mide el diámetro? • ¿Cómo encontraste la medida de ambos?

c) 153.9384 cm²

• ¿Cuánto mide el diámetro del círculo? ¿Cómo lo obtuviste? d) 615.7536 cm² • ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un círculo cuyo radio es r?

πr² 2πr πr 2πr²

• ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia del problema?.

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SUGERENCIAS DIDÁCTICAS

A continuación se presentan algunas sugerencias de trabajo que ayudan a precisar el abordaje del contenido en cada una de las preguntas. Le proponemos que las lea previamente para enriquecer su labor en el aula.

Bloque IV

Eje

Preguntas

Sugerencias didácticas

36

Orden entre números con signo. Es probable que los alumnos encuentren más dificultades en comparar números con signo negativo y razonen con la lógica de que los números mayores son los que tienen un mayor valor absoluto (independientemente del signo). Un caso sería pensar que -7 es mayor que -3 porque 7 es mayor que 3.

Es recomendable que vean ejemplos en donde se utilizan números con signo. Uno de ellos puede ser el termómetro y la medición de temperaturas; o bien, la medición de distancias (altura o profundidad) con respecto al nivel del mar. Haga preguntas acerca de la ubicación de los números que aparecen en los ejemplos que proponga y haga notar que hay un punto de referencia que les sirve para hacer comparaciones: el cero. Utilice estos ejemplos para destacar que en la recta numérica los números positivos se anotan a la derecha del cero y los números negativos a la izquierda.

La localización de estos números en la recta numérica puede ser un recurso útil, sobre todo si los ubican con respecto a la posición del cero. Preguntarles qué tan a la derecha o a la izquierda quedan los números del cero puede ayudar a que los estudiantes ordenen los números con signo al igual que se hizo con los números decimales y fracciones.

Recuerde con los alumnos que al comparar dos números ubicados en la recta, el que está a la derecha es el mayor. Practiquen en grupo diversas maneras de comparar números con signo y discutan si alguna es más eficiente que otras y en qué casos.

Sentido numérico y pensamiento algebraico

37

Raíz cuadrada. En este reactivo se espera que los alumnos puedan resolver un problema que involucre el cálculo de la raíz cuadrada. En este caso se puede resolver por diversos métodos, algunos de ellos indirectos, y en el proceso de solución se espera que los alumnos relacionen la operación raíz cuadrada con su significado geométrico. La idea no es que deduzcan o memoricen las fórmulas, sino que practiquen diversos métodos para calcular la raíz cuadrad

Es conveniente que este problema se explore con la posibilidad de construcción de rectángulos de igual área pero diferentes longitudes de lados. Se puede comparar el área de los rectángulos que se forman a partir de cada una de las opciones de respuesta. Después, a partir de la elección de los alumnos, deben calcular cuál sería el área de cada cuadrado y la medida de sus lados.

97

Anime a los alumnos a reflexionar sobre el proceso que siguieron para encontrar el lado del cuadrado a partir el área. Esto los llevará a de manera directa a reflexionar acerca del significado de la raíz cuadrada como el número que, elevado al cuadrado, da como resultado el mismo número al cual se le está sacando la raíz. Por ejemplo 12144 = y 144122 = .

38

Potencias y raíz cuadrada. Pida a los alumnos que intenten ordenar los números sin utilizar una calculadora. Es probable que los alumnos tengan dificultades al trabajar con números en los que hay que calcular una potencia o una raíz y que esto dé lugar a errores al ordenarlos.

Pida a dos o tres alumnos que expliquen brevemente cómo se calcula la potencia de un número. Se espera que puedan identificar que 4002 es menor que 4003 sin necesidad de calcular exactamente su valor. Para encontrar el valor de la raíz de 400 usted puede pedir a los alumnos que encuentren el cuadrado de los números del 10 al 20.

39

La gasolina y el rendimiento. Si después de leer la pregunta los alumnos tienen dificultades para establecer cuál de las opciones es la correcta, recuérdeles que cuando un automóvil mantiene un rendimiento constante, entonces la cantidad de gasolina que consume y la distancia recorrida son cantidades directamente proporcionales.

Hecho esto puede recordar mediante algunos ejemplos que para conocer la expresión algebraica asociada a una relación de proporcionalidad directa, basta encontrar la constante de proporcionalidad. Por ejemplo, si un automóvil recorre 60km con 4 litros de gasolina entonces la constante de proporcionalidad que permite conocer la distancia recorrida a partir de la

cantidad de gasolina consumida es 4

6015 = , entonces si llamamos x a la

cantidad de litros de gasolina que consume el automóvil en un recorrido y llamamos y a la cantidad de kilómetros recorridos. La expresión algebraica asociada a esta situación es xy 15= .

Como cierre puede establecer otras relaciones de proporcionalidad directa entre conjuntos de cantidades y encontrar la expresión algebraica asociada a la relación.

40

Tablas y expresiones algebraicas Si después de leer la pregunta los alumnos tienen dificultades para establecer la opción correcta, puede recordar que cuando hay dos cantidades relacionadas podemos conocer una en términos (o en función) de la otra. Una vez hecho esto puede recordar mediante algunos ejemplos cómo construir una tabla de valores a partir de una expresión dada. Por ejemplo:

Para la expresión y = 6x + 2 una tabla de valores se construye dando valores a x y substituyendo estos valores en la expresión y = 6x + 2. Después de hacer las operaciones indicadas obtenemos los correspondientes valores de y. Los diferentes valores que va tomando y se colocan en una tabla.

98

Así, para el valor de x = 1, el valor de y es 8, para x = 2 el valor de y es

14, y así sucesivamente. Como cierre puede construir tablas de valores para las expresiones algebraicas de todos los incisos.

41

Proporcionalidad y gráficas. Para ayudar a los alumnos a determinar la opción correcta, repase con ellos como ubicar puntos en el plano cartesiano. Por ejemplo, para ubicar el punto de coordenadas (7,5) en el plano cartesiano se hace lo siguiente.

Primero ubicamos en el eje horizontal (eje x) el número 7 y trazamos una recta paralela al eje vertical (eje y) que pase por el número 7. Luego ubicamos en el eje vertical (eje y) el número 5 y trazamos una recta paralela al eje horizontal (eje x) que pase por el número 5.

El punto de intersección de las dos rectas que se trazaron es el punto de coordenadas )5,7( . El siguiente dibujo ilustra esta situación.

Después puede indicarles como auxiliarse con la cuadricula del plano

cartesiano para ubicar de manera mas rápida los puntos. Hecho esto, puede señalar que las gráficas asociadas a conjuntos de

cantidades directamente proporcionales son puntos que se encuentran sobre una línea recta y esta línea recta pasa por el origen (esto es, el punto (0,0) también pertenece a la gráfica).

Manejo de la información

42

Gráficas asociadas a problemas.

Si los alumnos tienen dificultades en establecer cuál es la opción correcta, señale que a partir de una relación entre dos conjuntos de cantidades se pueden construir tablas de valores y con estas tablas de valores se pueden trazar puntos en un plano cartesiano para finalmente elaborar la gráfica asociada a la relación.

Al trabajar con la relación entre dos conjuntos de cantidades y una grafica, un frecuente error de los alumnos consiste en afirmar que la gráfica

x

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

123456789

Punto (7,5)

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representa al problema tan sólo por que han identificado que uno de los puntos de cantidades está representado en ésta. Es decir, si en un problema la cantidad x se corresponde con una cantidad y, y el punto de coordenadas (x,y) pertenece a una gráfica dada, es común que los alumnos piensen que esa es la gráfica asociada al problema. Hay que recordarles que para que una gráfica sea la asociada a una relación entre dos conjuntos de cantidades, todos los puntos que se obtengan de cantidades que se correspondan deben de pertenecer a la gráfica.

Sin embargo lo que si es cierto es que para que una gráfica no sea la correcta basta con que las coordenadas de un punto determinado por dos cantidades que se correspondan no pertenezca a la gráfica.

Como cierre puede pedirles que elaboren las gráficas asociadas a todos los incisos.

43

Fórmula del área del círculo. Un primer paso para resolver este problema es identificar que la respuesta se obtiene al restar el área del círculo menor al área del mayor. Haga algunas preguntas para verificar si los alumnos han comprendido esto, por ejemplo ¿qué es lo que hay que buscar?, ¿puedes señalar en el dibujo cuál es el área que queremos calcular?

Uno de los errores más comunes en este tipo de problemas es la confusión entre las fórmulas para el cálculo del área y la longitud de la circunferencia. En ese caso puede ser de utilidad que revisen el libro de texto de Primer Grado de Secundaria o los libros de Quinto y Sexto Grados de Primaria, ya que en ellos se justifican ambas fórmulas usando diferentes métodos y se muestra el significado del número π.

Otro error frecuente es la sustitución incorrecta de elementos en las fórmulas. En este caso, es posible que los alumnos sustituyan el dato que encuentran en el problema sin distinguir si es radio o diámetro (por ejemplo si consideran que el radio del círculo menor es de 5 m). Para corregir esto hay que fomentar que el alumno explique con sus propias palabras porqué eligió esa opción y hacerle ver este tipo de errores.

Forma, espacio y medida

44

Perímetro del círculo.

Si después de leer la pregunta algún alumno tiene dificultades para determinar la opción correcta, conviene diagnosticar lo que conoce el estudiante acerca del cálculo del área y perímetro del círculo. Si conoce las fórmulas y las maneja, entonces el paso siguiente sería relacionar el valor dado del perímetro con la fórmula correspondiente. Es decir, identificar cuál es la información adicional que se puede obtener a partir de los datos ya contenidos en el enunciado del problema. Si bien el problema planteado es encontrar el área del círculo, el problema central consiste en determinar que es necesario encontrar el radio o el diámetro a partir del único dato (perímetro de la circunferencia) que se proporciona.

Hay que tener cuidado al hacer el despeje para obtener el radio o el diámetro.

El siguiente paso es que los alumnos determinen que necesitan conocer el radio para obtener el área.

Una vez identificado el radio de la circunferencia hay que aplicar correctamente la fórmula para encontrar el área del círculo.

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BLOQUE V Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

45. En la tabla se presenta la diferencia de goleo del equipo de futbol Conejos en cuatro torneos.

¿Cuál es la suma de las cuatro diferencias de goleo? a) -35 • Explica a tu maestro paso a paso cómo llegaste a la elección de esta opción.

• Indica si utilizaste alguna de las siguientes expresiones. • [(-6) + (-7)] + [(-4) + (-18)] = • (-6) + (-7) + (-4) + (-18) = • -6 -7 -4 -18 =

• En tu cuaderno copia cada una de las expresiones y realiza las operaciones indicadas. b) –9 • En el primer torneo el equipo tuvo una diferencia de goles negativa.

• ¿Qué sucede si sumas la diferencia de goles del segundo torneo? ¿Cómo se representa esa suma en la recta? ¿La diferencia que se obtiene es positiva o negativa?

• Y si al resultado le sumas la diferencia de goles del tercer torneo, ¿se obtiene un número positivo o uno negativo? • Cuando sumas dos números negativos, ¿el resultado es positivo o negativo?

c) 9 • En el primer torneo el equipo tuvo una diferencia de goles negativa.

• ¿Qué sucede si sumas la diferencia de goles del segundo torneo? ¿Cómo se representa esa suma en la recta?

• Si la diferencia de goles del primer torneo se representa con el número (-6) y la del segundo torneo con (-7). ¿Con cuál de las siguientes dos expresiones representa la suma de estas dos diferencias?

• (-6) + (-7) = • 7 + 6 = • ¿El resultado de ambas expresiones es el mismo?

101

d) 35 • Explica a tu maestro paso a paso cómo llegaste a la elección de esta opción.

• Indica si utilizaste alguna de las siguientes expresiones. • [(-6) + (-7)] + [(-4) + (-18)] = • (-6) + (-7) + (-4) + (-18) =

• -6 -7 -4 -18 = • 6 + 7 + 8 + 18 = • Resuelve las expresiones anteriores y compara los resultados. • ¿Qué sucede cuando sumas la diferencia de goles de los torneos A1 y A2? ¿Mejoró la diferencia de goles? La suma de las dos diferencias es positiva o negativa ¿Por qué? • ¿Qué sucede si le sumas a esto la diferencia de goles del tercer torneo? ¿Se vuelve positiva? • ¿Qué pasa con la diferencia de goles del cuarto torneo? Mejoró o empeoró la diferencia total de los cuatro torneos ¿Ayudó a mejorar o a empeorar la diferencia de goles de los 4 torneos?

46. ¿Cuál es el resultado de la operación (–136) – (–25.3)?

a) –161.3 • Indica cuál de las siguientes opciones es la correcta:

• –(–25.3) = 25.3 • –(–25.3) = –25.3 • Explica porqué del resultado que elegiste. • ¿Cómo puedes reescribir la operación (–136) – (–25.3) usando una suma? • Realiza la operación ¿Qué resultado te queda?

b) –110.7 • ¿Cómo puedes reescribir la operación (–136) – (–25.3) usando una suma?

• (–136) + (–25.3) = • (–136) + 25.3 =

c) 110.7

• ¿Cuál es el resultado de cada una de las siguientes operaciones? • (–136) + (–25.3) = • (–136) – (–25.3) =

• ¿Se puede obtener el mismo resultado en las dos? • Ahora resuelve la siguiente suma: (–136) + (+25.3) = • ¿El resultado es igual a alguna de las dos primeras operaciones?

d) 161.3 • ¿Cuánto se tiene que sumar o restar a -136 para obtener el número que elegiste como

respuesta (161.3)? Compárala con la operación del problema • ¿Cuánto es –(–25.3)? ______ • Replantea la operación del problema usando esta información.

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47. Un automóvil que tiene un rendimiento constante, realiza un recorrido de 180 km con quince litros de gasolina. Indica cuál de las opciones corresponde a la gráfica y a la expresión algebraica asociadas a esta situación. a)

• Usa la expresión que elegiste para completar la tabla:

Gasolina consumida (x) (en litros)

Distancia recorrida (y) (en km)

Punto (x,y)

1 15 (1,15) 5

10 15

• Verifica si los puntos que completaste en la tabla pertenecen a la gráfica. • ¿Coincide la distancia recorrida con 15 litros de gasolina que obtuviste en la tabla con la del enunciado del problema?

b)

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• Con la expresión algebraica que elegiste (y =12x) verifica si con 15 litros de gasolina (x), se recorren los 180km (y). • ¿Qué distancia (y) recorre el automóvil con 5 litros de gasolina (x = 5)? • ¿El punto de coordenadas (x,y) que encontraste pertenece a la gráfica?

c)

• Completa la siguiente tabla para encontrar algunas de las distancias recorridas por el automóvil a partir de la cantidad de gasolina consumida.

Gasolina consumida (x) (en litros)

Distancia recorrida (y) (en km)

Punto (x,y)

15 180 (15,180) 5 1

• ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite conocer la distancia recorrida por el automóvil (y) a partir de la gasolina consumida (x)? • ¿Los puntos que aparecen en la tabla pertenecen a la gráfica? • Usa la expresión algebraica y =12x, para verificar si obtienes los mismos resultados que en la tabla.(Para cada cantidad de gasolina (x) obtienes la distancia recorrida (y)).

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d)

• Con 15 litros de gasolina el automóvil recorre 180km.

• ¿Qué distancia recorre el automóvil con 5 litros de gasolina? • ¿Qué distancia recorre con 1 litro de gasolina? • ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite conocer la distancia recorrida por el automóvil (y) a partir de la gasolina consumida (x)? • Usa la expresión algebraica y =15x, para verificar si obtienes los mismos resultados que los anteriores. (Para cada cantidad de gasolina (x) obtienes la distancia recorrida (y)).

Eje: Forma, espacio y medida

48. El lado de cada uno de los siguientes cuadrados mide 4 cm.

Calcula el área de la región azul en cada figura (A1, A2 y A3 respectivamente) e indica cuál de las siguientes relaciones de orden es la correcta entre ellas.

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a) A1 = A2 < A3 • ¿Cómo calculas el área de cada uno de los cuatro sectores circulares que componen la

figura 1? ¿A qué parte de la circunferencia corresponden cada uno de ellos? • Si sumas el área de los cuatro sectores circulares, ¿cómo es el resultado de esta suma con respecto al área azul A2 de la figura 2? • Explica con tus propias palabras el procedimiento para obtener el área azul de las figuras 1 y 2.

b) A1 = A3 < A2 • Si tuvieras unas tijeras y pudieras recortar el área azul A1, ¿podrías acomodar el área

azul A1 para cubrir exactamente el área azul A3? • ¿Te sobrarían o faltarían pedazos azules en A1 para cubrir A3?

c) 2A1 = A2 = A3 • ¿Cómo son las áreas de los cuadrados de las figuras 2 y 3?

• ¿Qué figuras componen la figura 2? • ¿Cuánto mide el radio de las semicircunferencias que forman el área azul A2? ¿Cuánto mide en total A2? • ¿Cuánto mide cada uno de los siguientes pedazos blancos de la figura 2?

• ¿Son iguales a los pedazos del área azul A3?

• Calcula el área A3 y compárala con A2.

d) 2A1 = A3 < A2 • ¿Cómo son las áreas de los cuadrados de las figuras 2 y 3?

• ¿Cuánto mide cada sector que tiene esta forma en A3?

• ¿Cómo obtuviste tal resultado? • Explica por qué es menor A3 que A2 • ¿Cuánto mide el radio de las semicircunferencias que forman el área azul A2? ¿Cuánto mide en total A2?

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Eje: Manejo de la información

49. Elige la gráfica que represente lo que se afirma enseguida:

• En los recién nacidos mujeres la moda es 50 centímetros. • En los recién nacidos mujeres la media es aproximadamente 49.9 centímetros. • En los recién nacidos hombres la mediana es 51 centímetros.

a)

• La moda puede interpretarse como el dato que aparece con mayor frecuencia. Respecto

a las mujeres, ¿cuál es el dato que aparece más veces? • En total, ¿de cuántos recién nacidos mujeres hay registro en la tabla? • ¿Cuánto suman las tallas de todas las recién nacidas? • Divide el número obtenido entre el total de registros de las mujeres para obtener la media. ¿Es cierto que en esta gráfica la media es aproximadamente 49.9 centímetros?

b)

• La moda puede interpretarse como el dato que aparece con mayor frecuencia.

• Respecto a las mujeres, ¿cuál es el dato que aparece más veces?

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c)

• En total, ¿de cuántos recién nacidos hombres hay registro en la tabla?

• Haz una lista con todos los datos ordenados de menor a mayor. • Si ordenas los datos de los recién nacidos hombres, ¿cuál se encuentra exactamente a la mitad?, ¿se verifica en esta gráfica que la mediana es 51 centímetros?

d)

• La media puede interpretarse así: si todas las recién nacidas midieran lo mismo sería

49.9 centímetros. ¿Se verifica en esta gráfica?

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50. A partir de la información de la gráfica, elige la opción en la que todas las afirmaciones sean ciertas. a) • Entre los Beagle la moda es 7 kg. • No hay ningún Cocker que pese 12 kg. • ¿Qué se representa en el eje vertical? ¿Cuántos Beagle pesan 11 kg?

• Copia la siguiente frase en tu cuaderno y complétala: • El punto más alto en la gráfica del Beagle representa _____________________

b) • Ningún Beagle pesa 15 kg. • La media del Schnauzer es 12.5 kg. • La moda puede interpretarse como el dato que aparece con mayor frecuencia.

• Respecto a las mujeres, ¿cuál es el dato que aparece más veces? c) • Hay dos Beagle que pesan 10 kg. • Para el Cocker la mediana es 10.1 kg. • En total, ¿de cuántos Cocker hay registro en la tabla?

• La mediana indica que la mitad de los registros son iguales o menores que ella, y la otra mitad iguales o mayores que ella. ¿Cuál es el dato que corresponde a la mediana?

d) • La media del Beagle es 11 kg. • La moda para el Schnauzer es 12 kg. • ¿Cuánto suman los pesos de todos los Beagle?

• En total, ¿de cuántos Beagle hay registro en la tabla? • Copia la siguiente frase en tu cuaderno y complétala: • La media puede interpretarse así: si todos los Beagle pesaran lo mismo su peso sería de _____________

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SUGERENCIAS DIDÁCTICAS

A continuación se presentan algunas sugerencias de trabajo que ayudan a precisar el abordaje del contenido en cada una de las preguntas. Le proponemos que las lea previamente para enriquecer su labor en el aula.

Bloque V

Eje

Preguntas

Sugerencias didácticas

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Suma de números con signo. Para ayudar a los alumnos a determinar la opción correcta, trabaje con ellos en ejemplos que involucren números más pequeños. Puede pedirles que comience con una cantidad y le vayan sumando tanto números negativos como positivos. Otro recurso es utilizar la recta numérica para ilustrar el proceso.

Destaque lo que ocurre con los resultados de sumas de dos números que tienen el mismo signo y qué sucede con las sumas de dos números que tienen signos distintos. Pregunte qué sucede si en la suma un número de signo negativo es mayor que el positivo y qué sucede en la situación contraria. ¿Cuál signo queda en el resultado en cada caso?

Como actividad final realice otros ejemplos de sumas y restas de números con signo.

Sentido numérico y pensamiento algebraico

46

Operaciones de números con signo Si observa que los alumnos tienen dificultades para determinar cuál de las opciones es la correcta, trabaje con ellos en ejemplos que involucren números más pequeños o números sin punto decimal. Es común que se les dificulte realizar restas que involucran números negativos. Pídales que analicen distintas operaciones que involucren números con el mismo valor absoluto, pero cuyo orden y resultado cambien. Puede plantear ejemplos como los siguientes:

(–4) – (–2) = –2 (–4) – 2 = –6 (–7) – (–2) = –5 (–7) –2 = –9

Una vez que comprendan qué sucede cuando se resta un número negativo, ayúdelos a entender que la resta se puede transformar en una suma utilizando los simétricos de los números. Por ejemplo:

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Puede ayudar a los alumnos poniendo ejercicios en donde encuentren un

número a partir de otro utilizando sumas y restas de números con signo. Pídales que escriban en su cuaderno este tipo de operaciones: ¿Cuánto tienes que sumar a -10 para obtener – 15? ¿Cuánto le falta al -30 para llegar a -45? Encuentra una pareja de números negativos cuya suma sea -3.

47

Gráficas, tablas y expresiones algebraicas. Si los alumnos tienen dificultades en establecer cuál es la opción correcta, puede recordar que a partir de una relación de proporcionalidad directa entre dos conjuntos de cantidades hay una expresión algebraica asociada a la relación. Además la expresión asociada es de la forma y = kx donde k es la constante de proporcionalidad.

También puede recordarles que la gráfica asociada a una relación de proporcionalidad directa está formada por puntos que están sobre una línea recta y esta línea recta pasa por el origen (el punto de coordenadas (0,0) pertenece a la gráfica).

Uno de los errores comunes de los alumnos es: Identificar solamente un elemento y con eso decidir cuál es la opción correcta. Este reactivo esta diseñado para que tengan que cumplirse las dos condiciones (que corresponda tanto la expresión algebraica como la gráfica)

Forma, espacio y medida

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Área de figuras compuestas. Para calcular las áreas que se plantean en el problema, primero se debe identificar las figuras que conforman a cada figura compuesta. Después, según las relaciones que haya, se hacen las operaciones correspondientes. Se puede hacer una resta cuando está contenida una figura en otra; una suma, si se quiere obtener un área de regiones que están por separado; o bien un producto, si hay varias figuras del mismo tipo contenidas en el conjunto.

Si los alumnos tienen dificultades para calcular e identificar el área de las regiones, puede ayudarles a visualizar los componentes de las figuras. Pídales que intenten construirlas para que vean qué elementos las componen.

En este caso, es importante que los alumnos noten que cada figura está compuesta por un cuadrado de lado igual a 4 cm y sectores circulares dentro del cuadrado. Así los alumnos pueden calcular el área del cuadrado, luego

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restar las áreas de cada uno de los sectores circulares para los dos primeros casos y después comparar los resultados. Para la figura 3 se puede utilizar el resultado obtenido al calcular el área de la región que sobra en la figura 2.

Otra manera de obtener el resultado es notar que el área que cubre la suma de los sectores circulares es igual a la de la circunferencia completa. Esto se puede hacer sin hacer cálculos de área pero sí justificando cómo se llegó a tal conclusión. De hecho es recomendable que los alumnos reflexionen acerca de esta cuestión independientemente de haber obtenido el resultado la partir de calcular las áreas de los cuadrados y luego restándoles la de los sectores circulares. Sin embargo, para obtener el área de la figura 3 es recomendable realizar los cálculos para tener la certeza de las relaciones que se enuncian en las opciones.

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Medidas de tendencia central. Para responder este reactivo quizá sea necesario un repaso de las medidas de tendencia central.

Moda. Es el dato que más se repite, el que tiene una mayor frecuencia. En el caso de las gráficas de barras, es la más alta. Es posible que haya más de una moda.

Media. Es equivalente al promedio y se calcula sumando la talla de cada recién nacido, el resultado se divide entre el total de recién nacidos. En este caso se puede multiplicar el valor de una talla por la altura de la barra correspondiente, se suman los resultados y se divide entre el total de recién nacidos

Mediana. Si se ordenan todos los datos en una lista de menor a mayor (o viceversa), el dato que queda a la mitad de la lista, es la mediana. Todos los datos que estén a su izquierda serán iguales o menores que la mediana, y todos los que estén a su derecha serán iguales o mayores que la mediana. Si hay un número par de datos, se promedian los que estén al centro de la lista y el resultado será la mediana.

Aclare que algunos datos pueden coincidir. Por ejemplo, en la gráfica de la opción a) la moda y la mediana para los hombres es la misma: 51 centímetros.

Manejo de la información

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Medidas de tendencia central en un conjunto de datos. Para responder este reactivo quizá sea necesario repasar con los alumnos las medidas de tendencia central.

Moda. Es el dato que más se repite, el que tiene una mayor frecuencia. Media. Es equivalente al promedio y se calcula sumando todos los datos

y dividiendo el resultado entre el número total de datos. Mediana. Si se ordenan todos los datos en una lista de menor a mayor (o

viceversa), el dato que queda a la mitad de la lista, es la mediana. Todos los datos que estén a su izquierda serán iguales o menores que la mediana, y todos los que estén a su derecha serán iguales o mayores que la mediana. Si hay un número par de datos, se promedian los que estén al centro de la lista y el resultado será la mediana.

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REGISTRO DE RESPUESTAS

Nombre de la asignatura: ____________________________________________________________ Nombre del alumno: ________________________________________________________________ No. de aciertos: __________________________ Fecha: ___________________________________

1. a. b. c. d. 2. a. b. c. d. 3. a. b. c. d. 4. a. b. c. d. 5. a. b. c. d. 6. a. b. c. d. 7. a. b. c. d. 8. a. b. c. d. 9. a. b. c. d. 10. a. b. c. d. 11. a. b. c. d. 12. a. b. c. d. 13. a. b. c. d. 14. a. b. c. d. 15. a. b. c. d. 16. a. b. c. d. 17. a. b. c. d. 18. a. b. c. d. 19. a. b. c. d. 20. a. b. c. d. 21. a. b. c. d. 22. a. b. c. d. 23. a. b. c. d. 24. a. b. c. d. 25. a. b. c. d. 26. a. b. c. d. 27. a. b. c. d. 28. a. b. c. d. 29. a. b. c. d. 30. a. b. c. d. 31. a. b. c. d. 32. a. b. c. d. 33. a. b. c. d. 34. a. b. c. d. 35. a. b. c. d. 36. a. b. c. d. 37. a. b. c. d. 38. a. b. c. d. 39. a. b. c. d. 40. a. b. c. d. 41. a. b. c. d. 42. a. b. c. d. 43. a. b. c. d. 44. a. b. c. d. 45. a. b. c. d. 46. a. b. c. d. 47. a. b. c. d. 48. a. b. c. d. 49. a. b. c. d. 50 a. b. c. d.

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CLAVE DE RESPUESTAS

Contenido de la pregunta Opción

correcta 1. Orden entre números fraccionarios d) 2. Orden entre números decimales a) 3. Fracciones en la recta numérica c) 4. Números decimales en la recta numérica c) 5. Sucesiones numéricas d) 6. Sucesiones de figuras b) 7. Perímetros y expresiones algebraicas. a) 8. Áreas y expresiones algebraicas d) 9. Simetría con respecto a un eje d) 10. Situaciones de proporcionalidad directa b) 11. Procedimientos para resolver un problema de conteo c) 12. Diferentes maneras de realizar un recorrido d) 13. Resta de fracciones a) 14. Suma de números decimales c) 15. Multiplicación de fracciones b) 16. División de fracciones d) 17. Multiplicación de números decimales b) 18. Propiedades de la mediatriz a) 19. Construcción de la bisectriz d) 20. Constante de proporcionalidad fraccionaria c) 21. Constante de proporcionalidad decimal c) 22. Aplicación sucesiva de constantes de proporcionalidad c) 23. División de números enteros entre decimales b) 24. División de números decimales entre decimales c) 25. Ecuación de primer grado asociada a un problema d) 26. Ecuaciones de primer grado y operaciones inversas b) 27. Resolución de ecuaciones de primer grado b) 28. Perímetro de figuras d) 29. Área de figuras b) 30. Porcentaje de una cantidad c) 31. Porcentaje que representa una cantidad respecto de otra c) 32. Probabilidad empírica y la teórica de un evento d) 33. Mayor probabilidad de ocurrencia d) 34. Gráficas circulares c) 35. Gráficas de barras b) 36. Orden entre números con signo d) 37. Raíz cuadrada. a) 38. Potencias y raíz cuadrada b) 39. La gasolina y el rendimiento b)

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40. Tablas y expresiones algebraicas a) 41. Proporcionalidad y gráficas c) 42. Gráficas asociadas a problemas a) 43. Fórmula del área del círculo c) 44. Perímetro del círculo c) 45. Suma de números con signo a) 46. Operaciones de números con signo b) 47. Gráficas, tablas y expresiones algebraicas c) 48. Área de figuras compuestas d) 49. Medidas de tendencia central a) 50. Medidas de tendencia central en un conjunto de datos b)

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CRÉDITOS

Aquiles Ávila Hernández Responsable de la Dirección de

Telesecundaria

Rosa María Mackinney Bautista Eunice Mayela Ayala Seuthe

Edith Segura Parra Coordinadoras

Ana Rosa Díaz Aguilar

Coordinadora Académica Español

Ana Rosa Díaz Aguilar Eduardo Canto Salinas Socorro De la O Pecina

María de Lourdes González Islas Héctor Luis Grada Martínez

Elaboración de Reactivos Español

Julieta Fernández Morales Ofelia González Sánchez

Selección de Recursos Informáticos Español

Ernesto Manuel Espinosa Asuar

Coordinador Académico Matemáticas

Ana Laura Barriendos Rodríguez Mauricio Héctor Cano Pineda

Emilio Domínguez Bravo José Cruz García Zagal

Olga Leticia López Escudero Elaboración de Reactivos Matemáticas

Deyanira Monroy Zariñan

Selección de Recursos Informáticos e Integración de Reactivos Matemáticas

Mauricio Héctor Cano Pineda

Selección de Videos Matemáticas

Esther Edith López-Portillo Chávez Susana Dessireé García Herrera

Angélica Alejandra Portillo Rodríguez Héctor Luis Grada Martínez

Eduardo Canto Salinas Correctores de Estilo

Fermín Revueltas Valle Director Tecnológico Silvia Rodríguez López Iris Hernández Pérez Coordinadoras Iris Hernández Pérez Luis Daniel Mújica López Daniel Rodríguez Barranco Desarrollo Tecnológico Silvia Rodríguez López Roberto Nuñez Hernández Diseño Gráfico e Integración de interfaz y Reactivos Raúl García Flores Ilustración Felipe Bonilla Aguilar Cecilia Adriana López Rivera Lilia Karina Wong Cortés Marìa Gabriela Ávila Sánchez Edición de Video Erika Paulina Tovilla Quesada Apoyo de integración de Descartes

ILCE

José Luis Espinosa Piña

Director General

Felipe Bracho Carpizo Coordinación de Informática Educativa

Ana Clara Trinidad

Coordinadora de Radio y Televisión

CNPEGSV, SEB Alonso Lujambio Irazábal Secretario de Educación Pública José Fernando González Sánchez Subsecretario de Educación Pública Juan Martín Martínez Becerra Director General de Desarrollo de la Gestión e Innovación Educativa Básica María Edith Bernáldez Reyes Directora General de Materiales Educativos Ernesto Adolfo Ponce Rodríguez Coordinador General de Innovación Lilia Dalila López Salmorán Coordinadora Nacional de Programas Educativos para Grupos en Situación de Vulnerabilidad María Teresa Calderón López Coordinadora de Vinculación Académica Lilia Dalila López Salmorán Coordinadora Académica Sandra Ortiz Martínez María Guadalupe Ramírez Santiago Seguimiento y Revisión Moisés García González Apoyo en la Revisión de Contenidos Matemáticas Jorge Humberto Miranda Vázquez Nancy García García Colaboradores Editorial

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Se autoriza la reproducción parcial o total de este material por cualquier sistema mecánico, electrónico y otro, sin fines de lucro y citando la fuente. Segunda edición: 2009 DR © Secretaría de Educación Pública, 2008 Argentina 28, Colonia Centro Histórico, CP 06020; México, DF. ISBN (Obra completa) ISBN (Material impreso) Distribución Gratuita (prohibida su venta) “Este programa es público, ajeno a cualquier partido político. Queda prohibido el uso para fines distintos al desarrollo social.” Artículo 28 de la Ley General de Desarrollo Social