[versión preliminar] prof. isabel arratia z....ejercicio: considere los vectores v = (1, -2, 2) y u...
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__________________________________________________________________ Cálculo III - Geometría vectorial 1
[Versión preliminar]
Prof. Isabel Arratia Z.
Geometría vectorial
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Sistema de coordenadas rectangulares tridimensionalesEl espacio 3ℜ
Las coordenadas rectangulares en el plano se generalizan de manera natural a las coordenadas rectangulares en el espacio.
La posición de un punto en el espacio queda descrita por su localización con respecto a tres ejes coordenados perpendiculares entre sí y que pasan por el origen 0.
P(x, y, z)
0
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Cada par de ejes determina un plano coordenado. La figura muestra el plano XZ
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Vectores en el espacio 3ℜ
Si utilizamos los vectores unitarios i, j, k, el vector v =(a, b, c) se denotará también v = a i + b j + c k.
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Suma en 3ℜ3ℜPonderación en
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El producto escalar o producto punto en 3ℜ
Si v = (v1, v2, v3) y u = (u1, u2, u3) son vectores de , el producto escalar o producto punto de v y u es:
3ℜ
332211 uvuvuvuv ++=•
El producto escalar o producto punto nos permite calcular:
(1) Longitud o norma de los vectores
|| v || =
(2) Distancia entre vectores
d(v, u) = || v – u ||
23
22
21 vvvvv ++=•
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(3) Ángulo entre vectores:
o equivalente,
•=θ −
|| u || || v ||uvcos 1
θ=•⇔•
=θ cos ||u || || v || uv || u || || v ||
uvcos
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v
u
)u(prv
v || v|| uv)u(pr 2v
•=
(4) Proyecciones
La proyección escalar de u en v.
θ=•
= cos || u || || v ||uvucomp v
u
θ
El vector proyección de u en v.
v
)u(compv
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Ejercicio: Considere los vectores v = (1, -2, 2) y u = (4, 1, -3). a) Muestre un vector unitario en la dirección opuesta a v.b) Calcule el ángulo entre v y u.
Ejercicio: Describa el lugar geométrico de todos los puntos P(x, y, z) que satisfacen simultáneamente los siguientes pares de ecuaciones:a) z = 4y2, x = 4b) z = 3, x2 + y2 = 4
Ejercicio: Calcule el ángulo ABC si A, B, C son los puntos A = (1, -3, -1), B = (4, 2, -5) y C = (3, -1, 2).
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Las gráficas de las superficies z = 4y2 y z = x2 + y2 - 3 que se muestran a continuación se realizaron con Maple.
plot3d(4y^2, x=-4. .4, y=-4. .4, axes=normal, labels=[y,x,z]);
plot3d(x^2+y^2-3, x=-4. .4, y=-4. .4, axes=normal, labels=[y,x,z]);
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¿Cuál es el lugar geométrico de todos los puntos (x, y, z) que satisfacen simultáneamente z = 4y2, x = 4? (Ejercicio Diap 9)
> p1:=plot3d(4*y^2,x=-4..6,y=-4..4,axes=normal,labels=[y,x,z]):> p2:=plot3d([4,y,z],y=-4..4,z=-4...74,axes=normal,labels=[y,x,z],color= yellow):> p3:=plot3d([4,y,4*y^2],x=-4..4,y=-4..4,thickness=4):> plots[display]({p1,p2,p3});
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¿Cuál es la ecuación de la esfera E con centro en el punto C(a, b, c) y de radio r?
} r)cz()by()ax( / z) y,(x, {
} r C) d(P, / )z,y,x(P {E222 =−+−+−=
==
Podemos concluir que la ecuación de la esfera E es (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2
Ejercicio: Determine la ecuación de la esfera que tiene como diámetro el segmento de recta que une A(-1, 2, 3) con B(5, -2, 7).
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El producto vectorial o producto cruz en 3ℜ
Si u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3) son vectores de , el producto vectorial o producto cruz de u y v es:
3ℜ
k)vuvu(j)vuvu(i)vuvu( vvvuuukji
vu
122113312332
321
321
−+−−−=
=×
El producto vectorial tiene las siguientes propiedades algebraicas:
1) v x v = 02) v x 0 = 0 = 0 x v
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3) u x v = -(v x u)
4) u x (v1 + v2) = (u x v1) + (u x v2)
5) u x av = a (u x v) = au x v , a
6) u (v x w) = (u x v) w (Producto mixto)
ℜ∈
••
El producto vectorial tiene las siguientes importantes propiedades geométricas:
1) u x v es ortogonal a u y a v
2) u x v = 0 v // u u) v v (u ⇔β=∨α=⇔
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3) || u x v || = || u || || v || , con ángulo entre u y v.
|| u x v || corresponde al área A del paralelógramo que tiene a u y a v como lados adyacentes.
αsen α
Como
y el área A = || u || h
= || u || || v ||
= || u x v ||
α==α sen ||v|| h ,||v||
hsen
αsenu
v
4) De lo anterior sigue que el área A del triángulo que tiene
a u y a v como lados adyacentes es .||vu||A 21 ×=
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Por ejemplo, para calcular el área del triángulo de vértices A(1,3,5), B(3,3,0) y C(-2, 0, 5) consideramos los vectores u = AB = (2,0,-5) y v = AC = (-3,-3,0) y calculamos el producto vectorial de los vectores u y v. El área es:
486||)6,15,15(|| ||vu||A 21
21
21 =−=×=
Ejercicio: Muestre que los puntos A(1,1,1), B(2, 3, 4), C(6, 5, 2) y D(7, 7, 5) son vértices de un paralelógramo. Cálcule el área de ese paralelógramo.
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El producto mixto El producto mixto de los vectores u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) y w = w1, w2, w3) es el número real:
El valor absoluto del producto mixto corresponde al volumen del paralelepípedo que forman los vectores u, v y w.
321
321
321
wwwvvvuuu
)wv(u =ו
|)wv(u|cos||wv|| ||u||)cos||u(||||wv||hAV ו=β×=β×=⋅=
βA
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Rectas en el espacioUna recta en el espacio se determina mediante un punto fijo Q(x1,y1,z1) y un vector fijo v = (a,b,c) llamado vector director de la recta.
+=+=+=
⇔
=−−⇔ℜ∈=⇔
ctzzbtyyatxx
(*)
)tc,tb,ta()zz,yy,x-(x t algún tv, QP v // QP
1
1
1
111
P
Q
Un punto P(x,y,z) está en la recta que pasa por Q y que tiene vector director v si
Las ecuaciones (*) son las ecuaciones paramétricas (no únicas) de la recta L.
L
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Si llamamos w = OP y w0 = OQ a los vectores de posición de P y Q respectivamente, entonces QP = w – w0 y la ecuación de la recta se expresa:
w – w0 = t v
o bien, w = w0 + t v (ecuación vectorial de L)
Si a, b, c son distintos de cero, podemos despejar t en las ecuaciones paramétricas de L para obtener:
ecuaciones simétricas de L.c
zzb
yya
xx 111 −=
−=
−
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Ejercicios: Determine,1) Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por
P(-2, 1, 5) y es paralela al vector v = (5, 2, -1).2) Las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que
pasa por A(-4, 1, 3) y B(-1, 5, 2).3) Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por
P(1, -2, 3) y es perpendicular tanto al eje X como a la
recta cuyas ecuaciones simétricas son .
4) La intersección de las rectas L1 de ecuaciones x = 1 + t,
y = 2t, z = 1+3t y L2 de ecuaciones x = 3s, y = 2s y z =
2+s.
5z
13y
24x
=−−
=−
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Planos en el espacioUn plano en el espacio puede caracterizarse de varias
maneras: como el plano que pasa por tres puntos no contenidos en una recta, como el plano que contiene a una recta y a un punto que no está en la recta o como el plano que pasa por un punto y es perpendicular a una dirección dada.
Un punto P(x,y,z) está en el plano que pasa por Q(x1,y1,z1) y es perpendicular al vector no nulo n = (a, b, c) (vector normal) si el vector QP es perpendicular a n, es decir, .0QPn =•
PQ
n
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Si llamamos w = OP y w0 = OQ a los vectores de posición de P y Q respectivamente, entonces QP = w – w0 y la ecuación constituye la ecuación vectorial del plano.
0)ww(n 0 =−•
Como w - w0 = (x – x0, y – y0, z – z0), la última ecuación puede escribirse:
a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0
(ecuación cartesiana del plano que contiene a Q y con vector normal n).
Más aún, puede expresarse ax + by + cz + d = 0.
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Dos planos en el espacio o son paralelos o se intersectanen una recta. Si y son planos con vectores normales n1 y n2, entonces
1π
2121 n // n // ⇔ππ
Si los planos se intersectan, el ángulo entre ellos es tal que
||n|| ||n||nncos
21
21 •=θ
Y estos planos serán perpendiculares cuando
0n n 21 =• θ
2π
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Ejercicios: 1) Calcule el ángulo entre los planos cuyas ecuaciones son
x – 2y + z = 0 y 2x + 3y – 2z = 0. Además determine la recta intersección de estos planos.
2) Determine el punto en el cual la rectaintersecta al plano x + 2y + 2z = 22.
3) Determine la ecuación del plano que pasa por P(-4,-1,2) y que es paralelo al plano XY.
4) Encuentre una ecuación para el plano que pasa por los puntos A(2,1,1), B(0,4,1) y C(-2,1,4).
24z
23y
12x −
=+
=−
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> p1:=plot3d(x+1.5*y,x=-3..3,y=-3..3,axes=normal,labels=[y,x,z],color=blue):> p2:=plot3d(-x+2*y,x=-3..3,y=-3..3,axes=normal,labels=[y,x,z],color=yellow):> plots[display]({p1,p2});
> with(geom3d):> plane(p,2*x+3*y-2*z=0,[x,y,z]), plane(q,x-2*y+z=0,[x,y,z]):> line(l,[p,q]); l> Equation(l,'t'); [t, 4t, 7t] recta intersección de los planos del Ejercicio 1
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Distancia entre un punto y un plano en el espacio Si P es el plano de ecuación ax + by + cz + d = 0 y
A(x0, y0, z0) es un punto del espacio, entonces la distancia
entre P y A es P222
000
cba
|dczbyax| A), d(++
+++=
Distancia desde un punto a una recta en el espacio Si L es una recta que tiene a u como vector director, Q
es un punto de L y A es un punto del espacio, la distancia
entre A y L es .||u||
||u QP||L) d(A, ×=
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Ejercicios: 1) Calcule la distancia entre el punto P y el plano de
ecuación -3x + 2y + z = 9 si i) P(2, 6, 3) ii) P(2, 1, -1).
2) Calcule la distancia entre los planos paralelos de ecuaciones 3x - 4y + 5z = 9 y 3x – 4y + 5z = 4.
3) Determine la distancia que hay desde el punto A(3, -1, 4) a la recta cuyas ecuaciones paramétricas son x = -2 + 3t, y = -2t, z = 1 + 4t.