Vectores 1Vectores 1

Elaboración:

JEANETT LÓPEZ GARCÍA

18-03-2021

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❖ Forma alternativa del producto punto

❖ Ángulo entre dos vectores (en ℝn) con producto punto.

❖ Cosenos directores

❖ Forma normalizada de un vector

❖ Actividad semanal (Kahoot)

Vectores I

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3

Habíamos visto… Proyección y Componente

𝑪𝒐𝒎𝒑𝒃𝒂 =

𝒂 ∙ 𝒃

𝒃

Fuente: Haaser (1985). Análisis matemático 2. México: Trillas

∴ 𝑷𝒓𝒐𝒚𝒃𝒂 =

𝒂 ∙ 𝒃

𝒃

𝒃

𝒃= 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒃

𝒂𝒃

𝒃

Interpretación geométricaInterpretación geométrica

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Expresión alternativa del producto punto << norma/ángulo >>

Fuente: Haaser (1985). Análisis matemático 2. México: Trillas

∴ 𝑷𝒓𝒐𝒚𝒃𝒂 =

𝒂 ∙ 𝒃

𝒃

𝒃

𝒃= 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒃

𝒂𝒃

𝒃

⋮

①

𝑪𝒐𝒎𝒑𝒃𝒂 =

𝒂 ∙ 𝒃

𝒃

⋮

②

∴ 𝑷𝒓𝒐𝒚𝒃𝒂 = 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒃

𝒂 ෝ𝒃 ⋯③

De ② :

𝒂 ∙ 𝒃 = 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒃𝒂𝒃 ⋯④

𝑷𝒓𝒐𝒚𝒃𝒂

𝒂

𝜽

Del rectángulo: 𝐜𝐨𝐬𝛉 =𝒄.𝒂

𝒉𝒊𝒑=

𝑷𝒓𝒐𝒚𝒃𝒂

𝒂⋯⑤

5

Continuación …

Fuente: Haaser (1985). Análisis matemático 2. México: Trillas

𝑷𝒓𝒐𝒚𝒃𝒂 = 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒃

𝒂 ෝ𝒃

De ③:

𝑷𝒓𝒐𝒚𝒃𝒂 = 𝑪𝒐𝒎𝒑

𝒃𝒂 𝒃

∴ 𝑷𝒓𝒐𝒚𝒃𝒂 = 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒃

𝒂

𝑪𝒐𝒎𝒑𝒃𝒂 =

𝒂 ∙ 𝒃

𝒃

De ②: Sustituyendo en ⑤:

𝐜𝐨𝐬𝛉 =𝑷𝒓𝒐𝒚

𝒃𝒂

𝒂=

𝒂 ∙ 𝒃

𝒃

𝟏

𝒂

Despejando 𝜽 de ⑥:

𝐜𝐨𝐬𝛉 =𝒂 ∙ 𝒃

𝒂 𝒃𝐜𝐨𝐬𝛉 =

𝒂 ∙ 𝒃

𝒂 𝒃

∴ 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒂 𝒃 𝐜𝐨𝐬𝛉∴ 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒂 𝒃 𝐜𝐨𝐬𝛉 ⋯⑥

Producto punto (forma alternativa)Producto punto (forma alternativa)

⋯⑦

Ángulo entre dos vectores

𝛉 = angcos𝒂 ∙ 𝒃

𝒂 𝒃𝛉 = angcos

𝒂 ∙ 𝒃

𝒂 𝒃

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Orientaciones posibles de 𝒖 y 𝒗 de acuerdo al signo del producto punto

Fuente: Larson & Edwards, Cálculo 2, Mc Graw Hill.

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➊ Determine si 𝒖 y 𝒗 son ortogonales, paralelos o ninguna de las dos.

𝒖 = 𝟐,−𝟑, 𝟏 𝒗 = −𝟏,−𝟏,−𝟏

➋ Con los vectores del ejercicio ➊ y 𝒘 = −𝟒, 𝟑, 𝟏 , halle:

⒜ 𝒖 ∙ 𝒗 ⒝ 𝒖 ∙ 𝒗 𝒘 ⒞ 𝒖 ∙ 𝟐𝒗 ⒟ 𝒘𝟐

❸ Hallar 𝑷𝒓𝒐𝒚𝒗𝒖 y la componente vectorial de 𝒖 ortogonal a 𝒗 de

𝒖 = 𝟑 Ƹ𝒊 − 𝟓 Ƹ𝒋 + 𝟐𝒌 𝒗 = 𝟕 Ƹ𝒊 + Ƹ𝒋 − 𝟐𝒌y

❹ Si 𝒖 = 𝟑,−𝟏, 𝟐 , 𝒗 = −𝟒, 𝟎, 𝟐 , 𝒘 = 𝟏,−𝟏,−𝟐 y 𝒛 = 𝟐, 𝟎, −𝟏hallar el ángulo de:

⒜ 𝒖 y 𝒗 ⒝ 𝒖 y 𝒘 ⒞ 𝒗 y 𝒛

Ejercicios de clase

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10Fuente: Larson & Edwards, Cálculo 2, Mc Graw Hill.

Ver siguiente diapositiva

(Demostración alternativa)

Desarrollamos el lado izquierdo de (*)

Igualamos con el lado derecho de (*)

⋯(*)

q.e.d.

11Fuente: https://uapa.cuaieed.unam.mx/sites/default/files/minisite/static/27d43815-fded-43b5-8665-abab35c92638/Ley-senos-cosenos/index.html

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Cosenos Directores

Fuente: Larson & Edwards, Cálculo 2, Mc Graw Hill.

𝒖 ∙ Ƹ𝒊 = 𝒖 Ƹ𝒊 𝒄𝒐𝒔𝜶

𝒖 ∙ Ƹ𝒋 = 𝒖 Ƹ𝒋 𝒄𝒐𝒔𝜷

𝒖 ∙ 𝒌 = 𝒖 𝒌 𝒄𝒐𝒔𝜸

𝒖𝟏, 𝒖𝟐, 𝒖𝟑 ∙ 𝟏, 𝟎, 𝟎 = 𝒖𝟏

𝒖𝟏, 𝒖𝟐, 𝒖𝟑 ∙ 𝟎, 𝟏, 𝟎 = 𝒖𝟐

𝒖𝟏, 𝒖𝟐, 𝒖𝟑 ∙ 𝟎, 𝟎, 𝟏 = 𝒖𝟑

=

=

=

Ƹ𝒊 = 𝟏, 𝟎, 𝟎

Ƹ𝒋 = 𝟎, 𝟏, 𝟎

𝒌 = 𝟎, 𝟎, 𝟏

Base canónica:

𝒄𝒐𝒔𝜶 =𝒖𝟏𝒖

𝒄𝒐𝒔𝜷 =𝒖𝟐𝒖

𝒄𝒐𝒔𝜸 =𝒖𝟑𝒖

⋯ (֍)

⋯ (֍֍)

⋯ (֍֍֍)

Despejando de (֍):

Despejando de (֍֍):

Despejando de (֍֍֍):

CosenosDirectores

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∴ Todo 𝒖 ∈ ℝ𝟑 alternativamente tiene otra representación si se sabe:𝒖 y los ángulos 𝜶, 𝜷, 𝜸

𝒖 = 𝒖𝟏, 𝒖𝟐, 𝒖𝟑 = 𝒖𝟏 Ƹ𝒊 + 𝒖𝟐 Ƹ𝒋+ 𝒖𝟑𝒌

𝒖 = 𝒖 𝐜𝐨𝐬𝜶 Ƹ𝒊 + 𝒖 𝐜𝐨𝐬𝜷 Ƹ𝒋+ 𝒖 𝐜𝐨𝐬𝜸 𝒌𝒖 = 𝒖 𝐜𝐨𝐬𝜶 Ƹ𝒊 + 𝒖 𝐜𝐨𝐬𝜷 Ƹ𝒋+ 𝒖 𝐜𝐨𝐬𝜸 𝒌

Para 𝒖 ≠ 𝟎 con 𝒖 ∈ ℝ𝟑 tiene una forma normalizada

𝒗 =𝒖

𝒖=

𝟏

𝒖𝒖𝟏, 𝒖𝟐, 𝒖𝟑 =

𝒖𝟏𝒖

,𝒖𝟐𝒖

,𝒖𝟑𝒖

=𝒖𝟏𝒖

Ƹ𝒊 +𝒖𝟐𝒖

Ƹ𝒋 +𝒖𝟑𝒖

𝒌

= 𝐜𝐨𝐬𝜶 Ƹ𝒊 + 𝐜𝐨𝐬𝜷 Ƹ𝒋+ 𝐜𝐨𝐬𝜸 𝒌= 𝐜𝐨𝐬𝜶 Ƹ𝒊 + 𝐜𝐨𝐬𝜷 Ƹ𝒋+ 𝐜𝐨𝐬𝜸 𝒌Como 𝒗 es unitario:

𝒗 = 𝐜𝐨𝐬𝜶 𝟐 + 𝐜𝐨𝐬𝜷 𝟐 + 𝐜𝐨𝐬𝜸 𝟐 = 𝟏

∴ 𝐜𝐨𝐬𝜶 𝟐 + 𝐜𝐨𝐬𝜷 𝟐 + 𝐜𝐨𝐬𝜸 𝟐 = 𝟏∴ 𝐜𝐨𝐬𝜶 𝟐 + 𝐜𝐨𝐬𝜷 𝟐 + 𝐜𝐨𝐬𝜸 𝟐 = 𝟏

14Fuente: Larson & Edwards, Cálculo 2, Mc Graw Hill.

❖ Kahoot

3ª Actividad

www.kahoot.it

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