1

2. FUNCIONES

2.1 CONCEPTO Y OPERACIONES CON FUNCIONES

María Concepción González Enríquez

Definición. Sean BA y dos subconjuntos de números reales, una función f de BA en es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento de A un único elemento deB . Lo que se denota por BAf →:

Es función Es función

No es función

Al conjunto A se le llama dominio de la función y al conjunto B se le llama codominio, contradominio o recorrido de la función. Sea DomfAx =∈ a )(xfy = se le llama la imagen de x bajo la función, Y al conjunto { }AxxfyBy ∈=∈ algún para )(: se le llama la Imagen de f. Esto es, { }AxxfyBy ∈=∈= algún para )(:Imagen(f) Ejemplo. En la figura representamos una función

Af

B

•

••

•

•

Af

B

•

•

••

•

•

•

••

Af

B

•

•

••

•

•

•

••

2

En esta función identificamos { }7,3,2== DomfA ,

{ }20,8,5,1,0,3−== CodomfB ; regla de correspondencia 13)( −== xxfy ; { }20,5,8Imagen(f) = .

Como 8)3( =f decimos que 8 es la imagen de 3 bajo la función. La variable que recorre todos los elementos del dominio, se denota por x y se llama la variable libre, la variable que toma los valores resultantes de aplicar la función se llama variable dependiente la cual se denota con y . Así tenemos )(xfy = . Ejemplo. Cuando el dominio de la función es finito se puede escribir como conjunto de parejas ordenadas

{ })8,0(),3,4(),0,3(),8,2( −=f Tenemos que { } { }8,3,0y 4,2,0,3 =−= CodomfDomf Ejemplos. 1. ZZf →: tal que 13)( += kkf 2. NZf →: tal que 2)1()( += kkf

3. { } RRf →− 2/1: tal que x

xxf

21

1)(

−+

=

El dominio de una función puede depender de que la regla de correspondencia esté bien definida, como es el caso en que se involucran denominadores o raíces de orden par en dicha correspondencia, también si la función representa una variable concreta en un fenómeno físico. Ejercicio. Determine el dominio de las siguientes funciones: i) 2258)( xxxf −= 025 2 ≥− x 225 x≥→ 55 ≤≤−↔ x Por lo tanto [ ]5,5−=Domf

Af

B

•

•

••

•

•

•

2

3

7

••

5

8

20

1

0

3−

3

ii) 251)( −+= xxf 025 ≥−x 5/2 ≥→ x

Por lo tanto

∞= ,5

2Domf

iii) 1

1)(

2 −=

xxf

012 >−x 1 2 >→ x xx <−<↔ 1 o 1 Por la tanto ( ) ( )∞−∞−= ,11, UDomf

iv) 403

2)(

2 −−

+=

xx

xxf

)8)(5(04032 −+==−− xxxx Por lo tanto { }8,5−−= RDomf Nombramos algunas funciones básicas. Función constante cero: con dominio R y contradominio R , la denotamos RRR →:0 cuya regla de correspondencia es 0)(0 =xR para todo Rx∈ Función constante uno: con dominio R y contradominio R , la denotamos

RRR →:1 cuya regla de correspondencia es 1)(1 =xR para todo Rx∈

Función Identidad: con dominio R y contradominio R , la denotamos

RRI R →: o simplemente RI cuya regla de correspondencia es xxI R =)(

También podemos tener variantes de la función identidad AI donde A sea un subconjunto de R

OPERACIONES DE FUNCIONES - Suma - Multiplicación - División - Composición

Definición. Sean )(y )( xgxf dos funciones se define: La SUMA: ))(( xgf + DomgDomfgfDom I=+ )( y Regla de correspondencia )()())(( xgxfxgf +=+ Ejemplo. 12)(y 3)( 2 +=−= xxgxxxf

4

Tenemos:

∞−== ,2

1)(y )( gDomRfDom

∞−=

∞−==+ ,2

1,

2

1)( II RDomgDomfgfDom

Y 123))(( 2 ++−=+ xxxxgf .

Si aplicamos a un número específico como: 51)2(2)2(y 2)2(32)2( 2 =+=−=−= gf

Luego 52)2)(( +−=+ gf Propiedades de la suma de funciones.

Para funciones hgf y , se satisfacen: i) ))(())(( xfgxgf +=+ ii) )()( hgfhgf ++=++

iii) Existe una función constante cero “0” tal que ff =+ 0 iv) Para cada función f existe su inverso aditivo f−

Tal que 0)( =−+ ff Ejemplo. Verifique )()( hgfhgf ++=++ con las funciones

{ })8,0(),3,4(),0,3(),8,2( −=f { })6,1(),1,2(),2,3(),5,0( −−=g { })7,0(),4,2(),1,3( −−=h

Tenemos que { } { } { }2,0,3y 1,2,3,0y ,4,2,0,3 −=−=−= DomhDomgDomf Por lo que { }2,0,3)( −==++ DomhDomgDomfhgfDom II Luego { })13,0(),2,3(),7,2( −=+ gf Y { })20,0(),3,3(),3,2()( −=++ hgf (1) Por otro lado { })12,0(),3,3(),5,2( −−=+ hg Y { })20,0(),3,3(),3,2()( −=++ hgf (2) De (1) y (2) concluimos )()( hgfhgf ++=++ Definición. Sean )(y )( xgxf dos funciones se define: La MULTIPLICACION: ))(( xfg DomgDomffgDom I=)( y Regla de correspondencia )()())(( xgxfxfg =

5

Ejemplo. 12)(y 3)( 2 +=−= xxgxxxf

Tenemos:

∞−== ,2

1)(y )( gDomRfDom

∞−=

∞−== ,2

1,

2

1)( II RDomgDomffgDom

Y 12)3())(( 2 +−= xxxxfg .

Si aplicamos a un número específico como: 51)2(2)2(y 2)2(32)2( 2 =+=−=−= gf

Luego 52)2)(( −=fg Propiedades de la multiplicación de funciones:

Para funciones hgf y , se satisfacen: i) ))(())(( xgfxfg = ii) )()( ghfhfg =

iii) Existe una función constante uno R1 tal que 111 == ff RR

Todas las propiedades de las funciones de reales a reales se deducen de las propiedades y axiomas de los números reales, como se mostrará en la siguiente propiedad. Para que dos funciones sean iguales deben ser iguales los dominios y las reglas de correspondencia. Propiedad distributiva de las funciones:

fhfghgf +=+ )( Demostración.

{ })()()(

)()())((

hDomgDomfDom

hgDomfDomhgfDom

II

I

=

+=+

{ } { })()()()( hDomfDomgDomfDom III=

)(

)()(

fhfgDom

fhDomfgDom

+=

= I

Usando las definiciones de dominio de la suma y de la multiplicación de funciones así como la propiedad distributiva de la intersección de conjuntos en el tercer paso. Ahora, las reglas de correspondencia: como )(),(),( xhxgxf son números reales

( )))()()(((

)))()((()()((

xhxgxf

xhgxfxhgf

+=

+=+

)()()()(( xhxfxgxf += Ax. distributividad de reales ))(())(( xfhxfg +=

Por lo tanto fhfghgf +=+ )(

6

Ejemplo. Verifique fhfghgf +=+ )( con las funciones { })3,4(),0,3(),8,2( −=f { })6,4(),1,2(),2,3( −−=g { })4,4(),4,2(),1,3( −−−=h

Tenemos que { } DomhDomgDomf ==−= 4,2,3 Por lo que { } ))(()()(4,2,3)( hgfDomhgDomfhDomfgDom +=+==−= Luego

{ })2,4(),5,2(),3,3( −−=+ hg Y { })6,4(),40,2(),0,3()( −−=+ hgf (1) Por otra parte { })18,4(),0,3(),8,2( −−=fg { })12,4(),0,3(),32,2( −−−=fh Y { })6,4(),0,3(),40,2( −−=+ fhfg (2) De (1) y (2) concluimos fhfghgf +=+ )(

Definición. Sean )(y )( xgxf dos funciones se define: La DIVISIÓN: ))(/( xgf { }0)(:)/( ≠∈= xgDomgDomfxgfDom I y Regla de correspondencia )(/)())(/( xgxfxgf = Ejemplo. 12)(y 3)( 2 +=−= xxgxxxf

Tenemos:

∞−== ,2

1)(y )( gDomRfDom

∞−=

∞−= ,2

1,

2

1II RDomgDomf

Como se debe tener 0)( ≠xg y 02

1=

−g

∞−= ,2

1)/( gfDom

Y 12

3))(/(

2

+

−=

x

xxxgf .

Si aplicamos a un número específico como: 51)2(2)2(y 2)2(32)2( 2 =+=−=−= gf

Luego 5

2)2)(/(

−=gf

Ejemplo. Con las funciones { })3,4(),0,3(),8,2( −=f { })6,4(),0,2(),2,3(−=g Realice ))(/( xgf

7

Tenemos que { } DomgDomf =−= 4,2,3 Luego { } { }4,30)(:)/( −=≠∈= xgDomgDomfxgfDom I El 2 se quita porque 0)2( =g

Y

−=2

1,4),0,3(

g

f

Definición. Sean )(y )( xgxf dos funciones se define: La COMPOSICION: ))(( xfg o { }DomgxfDomfxfgDom ∈∈= )(:)( o y Regla de correspondencia ))(())(( xfgxfg =o Ejemplo. xxxgxxf +=+= )(y 64)( realice ))(( xfg o Tenemos: [ )∞== ,0)(y )( gDomRfDom

{ }[ ){ }∞∈+∈=

∈∈=

,0)64(:)(

)(:)(

xRxfgDom

DomgxfDomfxfgDom

o

o

Esto nos lleva a las condiciones equivalentes siguientes:

xxx ≤−↔≤−↔+≤2

3 46 640

Por lo tanto

∞−= ,2

3)( fgDom o

Luego para la regla de correspondencia

Comparemos el ejemplo anterior con el siguiente: Ejemplo. xxxgxxf +=+= )(y 64)( realice ))(( xgf o Tenemos: [ )∞== ,0)(y )( gDomRfDom

{ }[ ){ } [ )∞∈=∈+∞∈=

∈∈=

,0)(:,0)(

)()(:)()(

xRxxxgfDom

fDomxggDomxgfDom

o

o

Luego para la regla de correspondencia

( ) ( ) 64464))(())(( ++=++=+== xxxxxxfxgfxgf o Como observamos de los dos ejemplos anteriores

644))((6644))(( ++=≠+++= xxxgfxxxfg oo Con esto afirmamos que la composición de funciones no es conmutativa

6464)64())(( +++=+= xxxgxfg o

8

Ejemplo. 12)(y 3)( 2 +=−= xxgxxxf

Tenemos:

∞−== ,2

1)(y )( gDomRfDom

Esto nos lleva a las condiciones siguientes:

xx 32

1 2 −≤−

4

93

4

9

2

1 2 +−≤+− xx

2

2

3

4

7

−≤ x

2

7

2

3 o

2

3

2

7−≤−−≤ xx

2

3

2

7 o

2

3

2

7+−≤≤+ xx

( ] [ )∞∞−=

∞

+

−∞−

≤≤

, 2.817.0,, 2

73

2

73,

17.0 o 2.8

UU

xx

Por lo tanto ( ] [ )∞∞−=

∞

+

−∞−= , 2.817.0,,

2

73

2

73,)( UUo fgDom

Y 1621)3(2)3())(())(( 222 +−=+−=−== xxxxxxgxfgxfg o .

Si aplicamos a un número específico como: 3=x

0)3(33)3( 2 =−=f Luego 111)0(2)0())3(()3)(( ==+=== gfgfg o Ejemplo. 12)(y 3)( 2 +=−= xxgxxxf

Tenemos:

∞−== ,2

1)(y )( gDomRfDom

{ }

∈+

∞−∈=

∈∈=

RxxgfDom

DomfxgDomgxgfDom

12:,2

1)(

)(:)(

o

o

Como 12 +x siempre es un número real,

∞−= ,2

1)( gfDom o

Y ( ) ( ) ( ) 123121231212))(())((2

+−+=+−+=+== xxxxxfxgfxgf o .

{ }

∞−∈−∈=

∈∈=

,2

13:)(

)(:)(

2xxRxfgDom

DomgxfDomfxfgDom

o

o

9

Vemos 12312))((162))(( 2 +−+=≠+−= xxxgfxxxfg oo

Si aplicamos a un número específico como: 3=x

71)3(2)3( =+=g

Luego 737731)3(2)7())3(()3)(( −=−+=== fgfgf o Propiedad asociativa de la composición de funciones:

Para funciones hgf y , se satisface: )()( fghfgh oooo = Demostración.

{ })()(:))(( ghDomxfDomfxfghDom ooo ∈∈= { }DomhxfggDomxfDomfx ∈∈∈= ))((:)()(: (1)

{ }{ }DomhxfgfgDomx

DomhxfgfgDomxfghDom

∈∈=

∈∈=

))((:)(

))((:)())((

o

oooo

{ }DomhxfggDomxfDomfx ∈∈∈= ))((:)()(: (2) Comparamos (1) y (2) y concluimos que

))(())(( fghDomfghDom oooo = Ahora, las reglas de correspondencia; Del lado izquierdo:

)))(((

))()((())()((

xfgh

xfghxfgh

=

= ooo

Del lado derecho:

)))(((

)))((()))(((

xfgh

xfghxfgh

=

= ooo

Por lo tanto )()( fghfgh oooo = . Ejemplo. { })1,3)(3,2(),2,1(=f , { })1,3)(2,2(),3,1(=g , { })2,3)(3,2(),1,1(=h Formamos las funciones

{ })3,3)(1,2(),2,1(=fg o

{ })2,3)(1,2(),3,1()( =fgh oo { })1,3)(3,2(),2,1(=gh o

{ })2,3)(1,2(),3,1()( =fgh oo

Verificamos que )()( fghfgh oooo = Definición. Sea BAf →: una función, una función ABg →: se llama

i) Inversa derecha de f , si AIfg =o ii) Inversa izquierda de f , si BIgf =o

Si ABg →: satisface las dos condiciones anteriores se llama simplemente la inversa de f , y se denota 1−= fg . También se dice que f es

10

invertible.

Nota: la definición anterior es de la inversa de una función para la operación de composición de funciones, no inversa para la multiplicación de funciones. No todas las funciones poseen inversa para la composición de funciones, más adelante veremos el criterio que debe satisfacer una función para tener inversa. Ejemplo. { }7,2,3−=A , { }9,7,8=B con las siguientes funciones

BAf →: { })7,7)(8,2(),9,3(−=f y ABg →: { })3,9)(7,7(),2,8( −=g

Satisfacen: { } AIfg =−−= )7,7)(2,2(),3,3(o

{ } BIgf == )9,9)(7,7(),8,8(o

Por lo tanto g es la inversa de f para la composición de funciones. Otras funciones básicas: Función valor absoluto: con dominio R y contradominio R cuya regla

de correspondencia es

<−

≥==

0 si

0 si )(

xx

xxxxf

Función máximo entero menor o igual: con dominio R y contradominio Z , la denotamos [ ] ZR →:_ cuya regla de correspondencia es [ ] { }xkZkmáximox ≤∈= : para todo Rx∈ .

Ejem. [ ] 34.3 = , [ ] 37.3 = , [ ] 05.0 = , [ ] 08.0 = , 13

1−=

− , [ ] 22.1 −=−

CLASIFICACION DE FUNCIONES

- Constantes cxf =)( - Lineales baxxf +=)( - Cuadráticas cbxaxxf ++= 2)( - Polinomiales n

no xaxaxaaxf ++++= K2

21)( - Racionales

m

mo

n

no

xbxbxbb

xaxaxaaxf

++++

++++=

K

K2

21

221)(

11

- Algebraicas La regla de correspondencia involucra algún exponente fraccionario de la variable independiente

42)( += xxf 3 2 1

3)(

−=

x

xxf

- Seccionadas Seccionan el dominio con diferentes reglas de correspondencia xxf =)( [ ]xxf =)(

- Trigonométricas xxxxxsenxxf csc ,sec ,cot ,tan ,cos ,)( = - Exponenciales x

axf =)( con 0>a - Logarítmicas xxf blog)( = con 0>b Veamos el planteamiento de ciertos problemas los cuales son modelados por alguna función. Ejemplo. Los que somos usuarios del servicio de transporte del metro, pagamos el boleto a $3 sin importar el número de estaciones que nos traslademos, es decir, tenemos una función cuyo dominio es el número de estaciones que recorremos n y el codominio consta del número 3. Tenemos entonces una función constante 3)( =nf . Ejemplo. Si consideramos las tarifa que se le paga a un taxista, se le paga una cuota llamada banderazo $6, luego por cada kilómetro de recorrido se cobra una cuota, digamos $5. Si x es la variable independiente y representa el número de kilómetros de nuestro recorrido la tarifa a pagar está dada por xxT 56)( += . Este ejemplo de una función lineal. Ejemplo. Se desea construir una caja sin tapa a partir de una lámina que mide 90x40 cm. Cortando en las esquinas un cuadrado de lado x y luego doblando las pestañas hacia arriba. Determine una función que represente el volumen de la caja en función de la longitud x .

12

La caja tiene las dimensiones x290 − de largo, x240 − de ancho y x de altura, por lo que escribimos el volumen en función de x como

xxxxV

xxxxxxxxV

36002604)(

)4180803600()240)(290()(23

2

+−=

+−−=−−=

La cual es una función polinomial de grado 3. Ejemplo. Se necesita conectar una línea telefónica entre dos pueblos A y B situados en lados opuestos de un río. El ancho del río es de 700 m. y la distancia de los pueblos es de 1800 m a lo largo del río. Tender el cable por tierra tiene un costo C por m. Y un costo de 2C si se tiende abajo del agua. Si la línea sigue la orilla del río x m, y luego atraviesa abajo del agua hasta el otro pueblo, determine una función que represente el costo de la línea dependiendo de la variable x .

El recorrido del cableado consta de dos tramos, el tramo recto que tiene longitud x y el tramo de la diagonal al pasar por el agua, del cual podemos medir su longitud aplicando el teorema de Pitágoras, transformando en kilómetros las longitudes.

22 )8.1()7.0( x−+

A

B

x

1800

700

x−1800

x

x

90

40

x290 −

x240 −

x

x

13

Cada una de estas longitudes se multiplican por su costo correspondiente y la suma de esas expresiones nos da la función

22 )8.1()7.0(2)( xCCxxf −++=

Aquí C es una constante y obtuvimos una función algebraica. Ejemplo. Se diseña una lata cilíndrica para comercializar 800 ml de un refresco. Escribir una función que exprese el área de material necesario para construirla tal que dependa del radio r de la lata.

Recordamos que el volumen de un cilindro es 8.02 == rhV ππππ y el área del cilindro es 22)2( rhrA ππππππππ += .

Como el volumen es constante, podemos despejar de su expresión la altura

2

8.0

rh

ππππ= y sustituimos en la expresión del área para que quede en función

de una sola variable, que en este caso es el radio,

r

rr

rr

rrrhrA

322

22 26.1

2)8.0(2

28.0

22)2(ππππ

ππππππππππππ

ππππππππππππ+

=+=+

=+=

Lo cual nos da una función racional. Ejemplo. Se construirá una canaleta para captar agua de lluvia a partir de una lámina de largo L y ancho M , dar una función que exprese el volumen de la canaleta dependiendo del ángulo con el cual se dobla la lámina en tres partes iguales la longitud M .

L

M

3/M

3/M3/Mθθθθ

x

h

r

h

14

El volumen de la canaleta esta determinado por su el largo de la lámina, el cual, es una constante y por el área de la sección transversal la cual forma un trapecio. En el trapecio consideramos las variables hx, y del triángulo rectángulo que forman, tenemos las relaciones siguientes:

3/M

x

Hip

COsen ==θθθθ ,

3/cos

M

h

Hip

CA==θθθθ

De estas despejamos hx, respectivamente:

3

θθθθMsenx = ,

3

cosθθθθMh =

Sabemos que el área de un trapecio está dada por

2

)( hbBA

+=

Donde la base mayor en este caso es 3

2M

xB +=

La base menor es 3

Mb = , y la altura es

3

cosθθθθMh = ; las cuales las

sustituimos en la expresión del área y obtenemos

++=+

=3

cos

332

2

1

2

)( θθθθMMMx

hbBA

Luego sustituimos 3

θθθθMsenx = y simplificamos

)coscos(9

3

cos

33

cos

3

2

32

2

1)(

2

θθθθθθθθθθθθ

θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ

+=

+=

+=

senM

MMMsenMMMsenA

En este ejemplo obtuvimos una función que involucra funciones trigonométricas. Ejemplo. En un café-internet se cobra $10 los primeros 20 minutos y $0.2 cada minuto extra. Escriba una función que represente el monto a pagar por el servicio cuando se usa t minutos. Tenemos que si 200 ≤≤ t , se paga $10 y para

t<20 , se pagará ttt )2.0(64)2.0(10)2.0)(20(10 +=−+=−+ La función es del tipo seccionada y la podemos escribir como

<

≤≤

+=

t

t

ttf

20 si

200 si

)2.0(6

10)(

2.2 Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas. Son diferentes clases de funciones con propiedades especiales.

15

Definición. Una función BAf →: se llama inyectiva si siempre que

21 aa ≠ se tiene que )()( 21 afaf ≠ . En forma equivalente usando la contrapuesta: BAf →: es una función, inyectiva Si )()( 21 afaf = implica que 21 aa = .

Función Inyectiva Función No Inyectiva

Ejemplos. 1. ZZf →: tal que 13)( += kkf Si )()( 21 kfkf = , 1313 21 +=+ kk 21 33 kk = 21 kk =∴ Así f si es inyectiva. 2. NZf →: tal que 2)1()( += kkf No es inyectiva porque 16)13()3( 2 =+=f y 16)15()5( 2 =+−=−f sin embargo 53 ≠ .

3. { } RRf →− 2/1: tal que x

xxf

21

1)(

−+

=

Si )()( 21 xfxf = ,

2

2

1

1

21

1

21

1

x

x

x

x

−

+=

−

+, de donde

)21)(1()21)(1( 1221 xxxx −+=−+ , haciendo operaciones 12122211 221221 xxxxxxxx −−+=−−+ 1221 22 xxxx −=− 21 33 xx = 21 xx =∴ Así f es inyectiva. 4. { })7,7)(8,2(),9,3(−=f es inyectiva

Af

B

•

•

•

•

•

•

•

•

Af

B

•

•

•

•

•

•

•

•

16

5. { })4,4(),5,7(),4,2(),0,3( −−=g no es inyectiva Definición. Una función BAf →: se llama suprayectiva o sobreyectiva si para cada Bb∈ existe Aa∈ tal que )(afb = . En términos de la imagen de f , podemos decir que BAf →: es una función suprayectiva o sobreyectiva si Bf =Im

Función No sobreyectiva Función sobreyectiva Ejemplos. 1. ZZf →: tal que 13)( += kkf Esta función no es sobreyectiva sobre ZB = . Como conjunto de parejas f se escribe como { }KK )10,3(),7,2(),4,1(),1,0(),2,1(),5,2(),8,3( −−−−−−=f De donde observamos que algunos enteros no son imagen de algún elemento, como lo son: K,2,3,7 −− Podemos formalizar esta afirmación como sigue: Dado cualquier Zm ∈ , encontrar Zk ∈ tal que 13)( +== kkfm , de

aquí despejamos, 3

1−=m

k , esto dice que el entero 1−m debe ser

divisible entre tres, lo cual no ocurre para toda m . Una función está determinada por su dominio, codominio y regla de correspondencia 2. RRf →: tal que 13)( += xxf si es sobreyectiva.

3. { } { }2/12/1: −−→− RRf tal que x

xxf

21

1)(

−+

=

Dado { }2/1−−∈Ry , encontrar { }2/1−∈ Rx tal que x

xxfy

21

1)(

−+

== ,

entonces

Af

B

•

•

•

•

•

••

Af

B

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

17

1)21(

12

12

1)21(

−=+

−=+

+=−

+=−

yyx

yxyx

xxyy

xxy

y

yx

21

1

+−

= con 2/1−≠y

Es decir, se puede encontrar x para cualquier 2/1−≠y , por lo tanto f es sobreyectiva 4. { }7,2,3−=A , { }9,7,8=B BAf →: { })7,7)(8,2(),9,3(−=f es suprayectiva 5. { }7,2,3−=A , { }9,7,8=B BAg →: { })7,7(),8,2(),7,3(−=g no es suprayectiva Definición. Una función BAf →: se llama biyectiva, si f es inyectiva y es sobreyectiva

No biyectiva No biyectiva

No biyectiva biyectiva

Ejemplo. { } { }26: −−→− RRf tal que x

xxf

−−

=6

12)(

• f es inyectiva:

Af

B

•

•

•

•

•

•

Af

B

•

•

•

•

•

••

••

Af

B

•

•

•

•

•

•

•

•

Af

B

•

•

•

•

•

••

18

Si )()( 21 afaf = entonces 2

2

1

1

6

12

6

12

a

a

a

a

−

−=

−

−

Lo cual implica

• f es suprayectiva: Para { }6−∈ Ry encontrar { }2−−∈ Rx tal que

x

xxfy

−−

==6

12)(

Intentamos despejar x

2 2

16

)2(216

126

12)6(

−≠++

=

+=+=+

−=−

−=−

yy

yx

yxxyxy

xxyy

xxy

Por lo tanto x

xxf

−−

=6

12)( si es biyectiva

Ejemplo. ZNf →: tal que

−=2

)1()(k

kfk es biyectiva

Si ponemos dos imágenes iguales

−=

−2

)1(2

)1(mk mk ambas deben ser positivas o ambas negativas, es decir

mk, deben ser ambos pares o ambos impares Caso: son pares tmsk 2,2 ==

[ ] [ ] mktststsmk

=→=→=→

=

→

=

2

2

2

2

22

Caso: son impares 12,12 +=+= tmsk

mktststsmk

=→=→

+=

+→

+=

+→

−=

− 2

1

2

1

2

12

2

12

22

Por lo tanto f es inyectiva

21

21

12122211

1221

1111

62126212

)6)(12()6)(12(

aa

aa

aaaaaaaa

aaaa

=

=

+−−=+−−

−−=−−

19

Es útil observar el comportamiento en algunos números naturales { }K),2,5(),2,4(),1,3(),1,2(),0,1( −−=f

Podemos ver que los pares van a números positivos y que los impares van a números negativos También de los positivos en la imagen se observa que provienen de su doble, entonces si Zm∈ y 0>m , sea Nmk ∈= 2 y satisface

[ ] mmmk

kfmk ==

−=

−=2

2)1(

2)1()( 2

Para el otro caso si Zm∈ y 0≤m , sea Nmk ∈+−= 12 y satisface

mmmk

kfmk =

+−−=

+−−=

−= +−

2

1

2

12)1(

2)1()( 12

Por lo tanto f es suprayectiva Por lo tanto f es biyectiva

Propiedades de funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas.

Proposición. Si BAf →: y CBg →: son funciones inyectivas, entonces la composición CAfg →:o es inyectiva.

Demostración. Sean Aaa ∈21 y tales que ))(())(( 21 afgafg oo = Entonces ))(())(( 21 afgafg = por definición de composición de funciones, Luego como g es inyectiva, se tiene )()( 21 afaf = , Y también f es inyectiva, por lo que 21 aa = Por lo tanto fg o es inyectiva. Ejemplo. {{{{ }}}})5,3(),2,1(====f inyectiva, {{{{ }}}})8,5(),8,2(====g no inyectiva,

{{{{ }}}})8,3(),8,1(====fg o no inyectiva. Ejemplo. {{{{ }}}})3,3(),3,2(),2,1(====f no inyectiva, {{{{ }}}})4,3(),6,2(====g inyectiva,

{{{{ }}}})4,3(),4,2(),6,1(====fg o no inyectiva. Ejemplo. { })2,3(),1,2(),3,1(=f inyectiva, { })3,3(),1,2(),2,1(=g inyectiva,

{ })1,3(),2,2(),3,1(=fg o inyectiva. Proposición. Sean BAf →: y CBg →: funciones, si CAfg →:o es inyectiva, entonces f es inyectiva. Demostración. Sean Aaa ∈21 y tales que )()( 21 afaf =

20

aplicando la función g de ambos lados ))(())(( 21 afgafg = o ))(())(( 21 afgafg oo =

Como fg o es inyectiva, se tiene 21 aa = Por lo tanto f es inyectiva. Ejemplo. {{{{ }}}}),(),,( fbeaf ==== inyectiva, {{{{ }}}}),(),,(),,( mkmfdeg ==== no inyectiva,

{{{{ }}}}),(),,( mbdafg ====o inyectiva. Proposición. Si BAf →: y CBg →: son funciones sobreyectivas, entonces la composición CAfg →:o es sobreyectiva. Demostración. Consideramos cualquier Cc∈ Como g es sobreyectiva, existe algún Bb∈ tal que )(bgc = , Luego para dicha Bb∈ , como f es sobreyectiva, existe Aa∈ tal que

)(afb = , Sustituyendo esta expresión de b en )(bgc = , tenemos, ))(( afgc = , con lo cual concluimos que para Cc∈ , existe Aa∈ tal que ))(( afgc = o

))(( afgc o= , es decir, fg o es sobreyectiva. Ejemplo. Para los siguientes ejemplos consideramos {{{{ }}}}3,2,1======== BA

{{{{ }}}})3,3(),3,2(),2,1(====f no suprayectiva, {{{{ }}}})2,2(),2,1(),1,3(====g no suprayectiva, {{{{ }}}})2,3(),2,2(),1,1(====fg o no suprayectiva.

{{{{ }}}})1,3(),1,2(),3,1(====f no suprayectiva, {{{{ }}}})1,2(),2,1(),3,3(====g suprayectiva,

{{{{ }}}})2,3(),2,2(),3,1(====fg o no suprayectiva.

{ })1,3(),2,2(),3,1(=f suprayectiva, {{{{ }}}})1,2(),2,1(),3,3(====g suprayectiva, { })2,3(),1,2(),3,1(=fg o suprayectiva.

Proposición. Sean BAf →: y CBg →: funciones, si CAfg →:o es sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva. Demostración. Consideramos cualquier Cc∈ Como fg o es sobreyectiva, existe algún Aa∈ tal que

))(())(( afgafgc == o , tomamos )(afb = , Bb∈ y satisface ))(()( afgbgc ==

Por lo tanto g es sobreyectiva.

21

Ejemplo. Sean {{{{ }}}}baA ,==== , {{{{ }}}}lheB ,,==== y {{{{ }}}}kmC ,==== {{{{ }}}}),(),,( hbeaf ==== no es suprayectiva {{{{ }}}}),(),,(),,( klkhmeg ==== es suprayectiva

{{{{ }}}}),(),,( kbmafg ====o es suprayectiva. Corolario. Si BAf →: y CBg →: son funciones biyectivas, entonces la composición CAfg →:o es biyectiva. Definición. Sea BAf →: una función, una función ABg →: se llama

i) Inversa derecha de f , si AIfg =o ii) Inversa izquierda de f , si BIgf =o

Ejemplo. Para { } { }4,6,3y 5,3,2 == BA { })3,5(),4,3(),6,2(=f Y { })5,3(),3,4(),2,6(=g Se satisface que

{ } AIfg == )5,5(),3,3(),2,2(o y { } BIgf == )3,3(),4,4(),6,6(o Por lo que g es inversa derecha e inversa izquierda de f . Proposición. Sea BAf →: una función, si f tiene inversa derecha 1g e inversa izquierda 2g , entonces 21 gg = . Demostración. Por hipótesis AIfg =o1 y BIgf =2o

2

2

21

21

11

)(

)(

g

gI

gfg

gfg

Igg

A

B

=

=

=

=

=

o

oo

oo

o

Definición. Sea BAf →: una función, si f tiene inversa derecha e inversa izquierda, por la proposición anterior son iguales, entonces se dice que f es invertible, y su inversa se denota por 1−

f . Nota: 1−

f satisface que AIff =−o

1 y BIff =−1o

Existe una relación muy importante entre funciones biyectivas y funciones invertibles, como se enuncia enseguida. Proposición. Una función BAf →: es biyectiva si y solo si es invertible. Demostración.

)→

22

Suponemos BAf →: biyectiva, y definimos una función ABg →: de la siguiente forma: Para Bb∈ , como f es sobreyectiva, existe Aa∈ tal que )(afb = y definimos abg =)( g es una función bien definida, ya que si abg =)( y abg ′=)( , según nuestra definición: )(afb = y )(afb ′= pero como f es inyectiva, aa ′= . Luego g es inversa derecha e inversa izquierda de f puesto que: Para Aa∈ , )()())(())(( aIabgafgafg A====o y Para Bb∈ , )()())(())(( bIbafbgfbgf B====o Por lo tanto f tiene función inversa, que es g , es decir f es invertible.

)← Suponemos que f es invertible, Es decir existe ABg →: tal que AIfg =o y BIgf =o , de aquí ,

Si )()( 21 afaf = , entonces ))(())(( 21 afgafg = o ))(())(( 21 afgafg oo =

)()( 21 aIaI AA =

21 aa =

Y f resulta inyectiva. También para cualquier Bb∈ , Aabg ∈=)( , luego

bbIbgfaf B === )())(()( Esto quiere decir que f es sobreyectiva. Así f es biyectiva.

Ejemplo. { } { }05: −→− RRf tal que 102

1)(

−=

xxf

• f es inyectiva:

Si )()( 21 afaf = entonces 102

1

102

1

21 −=

− aa

Lo cual implica

• f es suprayectiva:

Para { }0−∈ Ry encontrar { }5−∈ Rx tal que

102

1

−=

xy

21

21

21

22

102102

aa

aa

aa

=

=

−=−

23

Intentamos despejar x

Lo cual está bien definido siempre que 0≠y , lo cual se consideró en La condición { }0−∈ Ry

Podemos concluir que la función es biyectiva y por el teorema, es invertible.

• Encontrando la inversa de la función: Del hecho de que la función es sobreyectiva, tenemos en el despeje

y

yx

2

101+= , concluimos, cambiando el nombre de la variable en la

expresión, que x

xxf

2

101)(1

+=−

• Verificamos que es la inversa: Primero

−

−

+=

−

=

=

−

−−

102

12

102

1101

102

1

))(())((

1

11

x

x

xf

xffxff o

Para simplificar la expresión multiplicamos numerador y denominador por

{ } )(2

2

2

10102

102

102

102

12

102

1101

5 xIxxx

x

x

x

xR−===

+−=

−−

−

−

+

Segundo ))(())(( 11

xffxff−− =o

+=

x

xf

2

101

y

yx

y

y

yx

yx

2

101

10110

12

1102

+=

+=+=

=−

24

10

2

1012

1

−

+=

x

x

Simplificamos la expresión

{ } )(10101

10101

1

102

1012

10 xIx

xx

x

x

x

x

xR−==

−+=

−

+=

−

+

Por lo tanto x

xxf

2

101)(1

+=− si es la inversa de f

Ejemplo. ZZf →→→→: tal que

====2

)(k

kf

No es inyectiva y si es sobreyectiva:

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] 35.32

7)7(33

2

6)6( ========

================

==== ff pero 76 ≠≠≠≠

Para cualquier Zm ∈∈∈∈ , Zm ∈∈∈∈2 satisface [[[[ ]]]] mmm

mf ========

====2

2)2(

Ahora ZZg →→→→: tal que kkg 2)( ==== es inversa izquierda de f :

[[[[ ]]]] kkk

kfkgfkgf ========

============2

2)2())(())(( o ,

Pero g no es inversa derecha de f : Par un entero impar 12 ++++==== mk

)()(

122)(2

1

2

12))12(())((

kIfg

kmmmgmgm

gmfgkfg

Z≠≠≠≠

====++++≠≠≠≠========

++++====

++++====++++====

o

o

Por lo tanto la función no es invertible. Ejemplo. Encuentre la inversa de la función xxg −−= 63)( y demuestre que lo es. El dominio de la función es ( ]6,∞− , como 363 ≤−− x , el codominio es ( ]3,∞− , entonces ( ] ( ]6,3,:1 ∞−→∞−−

g Haciendo xy −−= 63 y despejamos

yx −=− 36 , 2)3(6 yx −=− , 2)3(6 yx −−= , 2696 yyx −+−= , 362 −+−= yyx

Proponemos 36)( 21 −+−=−xxxg

Ahora verificamos las condiciones

( )xg

xggxgg

−−=

=−

−−

63

))(())((1

11o

25

( ) ( )

)(

36618)6(669

3636632

xIx

xxx

xx

==

−−−+−−−+−=

−−−+−−−=

( )( )

)(

)3(3

33

)3(3

963

3663

3663

36

))(())((

2

2

2

2

2

11

xIx

x

x

x

xx

xx

xx

xxg

xggxgg

==

−−=

−−=

−−=

+−−=

+−+−=

−+−−−=

−+−=

= −−o

Nota. Como ( ]3,)( 1 ∞−=−gDom tenemos 3≤x , 03 ≤−x y xx −=− 33

Contar los elementos de un conjunto en la práctica, consiste en dar una función biyectiva entre los elemento de conjunto y un conjunto de la forma { }n,,2,1 K para algún Nn∈ .

Definición. La cardinalidad de un conjunto A se define como el número de elementos que tiene el conjunto y se denota por A

La cardinalidad de un conjunto puede ser finita o infinita. Un conjunto es de cardinalidad finita si se puede dar una función biyectiva entre los elemento de conjunto y un conjunto de la forma { }n,,2,1 K para algún Nn∈ ; en caso contrario se dice que tiene cardinalidad infinita. Los conceptos de funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas nos ayudan a comparar las cardinalidades de dos conjuntos. Se BAf →: una función, si f es inyectiva, entonces la cardinalidad de A es menor o igual que la cardinalidad de B ; BA ≤

26

Se BAf →: una función, si f es sobreyectiva, entonces la cardinalidad de A es mayor o igual que la cardinalidad de B ; BA ≥

Se BAf →: una función, si f es biyectiva, entonces la cardinalidad de A igual a la cardinalidad de B ; BA = .

Por lo tanto sin conocer explícitamente la cardinalidad de un conjunto, podemos comparar su cardinalidad con la de otro conjunto, proporcionando una función entre dichos conjuntos con alguna característica inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. Ejemplo. En un salón de clases podemos saber si la cantidad de alumnos es la misma que la de bancas, observando si hay bancas desocupadas, o si hay alumnos de píe, o ninguna de las dos posibilidades. Una característica de los conjuntos infinitos es que algunos de sus subconjuntos son comparables con ellos mismos en cardinalidad, lo cual no lo satisfacen los conjuntos finitos.

Af

B

•

•

•

•

•

•

Af

B

•

•

•

•

•

•

•

Af

B

•

•

•

•

•

•

•

•

27

Ejemplo. Los naturales N si consideramos el subconjunto de los naturales pares PN , podemos dar una función biyectiva entre los dos conjuntos: PNNf →: tal que nnf 2)( = es decir hay la misma cantidad de números naturales que de naturales pares Sabemos que tanto el conjunto de números naturales como el conjunto de los números reales son infinitos, es decir su cardinalidad es infinita. En matemáticas avanzadas se puede probar que no se puede dar ninguna función biyectiva de los naturales a los reales, por lo que diferenciamos dos clases de conjuntos infinitos:

Los conjuntos infinitos numerables son aquellos que se pueden poner en biyección con el conjunto de los números naturales N . Ejemplos. Los enteros, los impares, los racionales. Los conjuntos infinitos no numerables son aquellos que se pueden poner en biyección con el conjunto de los números reales R . Ejemplos. Los intervalos abiertos, intervalos cerrados, intervalos infinitos de números reales.

Ejemplo. La función [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]4,15,2: −−−−→→→→f tal que 3

13

3

5)( −−−−==== xxf es

biyectiva y muestra que ambos intervalos [ ] [ ]4,1y 5,2 − tienen la misma cantidad de elementos.

Ejemplo. [ ] [ ]1,0,: →baf tal que ab

axxf

−−

=)(

Es una función biyectiva. Ejemplo. [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]baf ,1,0: →→→→ tal que xabaxf )()( −−−−++++==== Es la inversa del ejemplo anterior

Ejemplo. [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]dcbaf ,,: →→→→ tal que )()( axab

cdcxf −−−−

−−−−−−−−

++++====

Infinitos Conjuntos

Numerables Infinitos Numerables No Infinitos

28

Es una función biyectiva. También es buen ejercicio contar todas las funciones que se pueden definir de un conjunto a otro, y las que son inyectivas o sobreyectivas o biyectivas. Ejemplo. { } { }uiBoeaA ,y ,, == ¿cuántas funciones se pueden definir de

BA en , cuántas son inyectivas, cuántas sobreyectivas y cuántas biyectivas? Podemos en listar las 823 = funciones

A 1f 2f 3f 4f 5f 6f 7f 8f

a i i i i u u u u e i u i u u i u i o i i u u u u i i

No hay funciones inyectivas, hay seis funciones suprayectivas, no hay funciones biyectivas. Ejemplo. { } { }tqpBsrA ,,y , == ¿cuántas funciones se pueden definir de

BA en , cuántas son inyectivas, cuántas sobreyectivas y cuántas biyectivas? Podemos en listar las 932 = funciones

A 1f 2f 3f 4f 5f 6f 7f 8f 9f

r p p p q q q t t t s p q t p q t p q t

Hay seis funciones inyectivas, no hay funciones suprayectivas, no hay funciones biyectivas Ejemplo. { } { }knmBcbaA ,,y ,, == ¿cuántas funciones se pueden definir de

BA en , cuántas son inyectivas, cuántas sobreyectivas y cuántas biyectivas? En este caso hay 2733 = funciones, seis de las cuales son biyectivas y las restantes no son ni inyectivas ni suprayectivas ¿por qué? Enlistamos las biyectivas

A 1f 2f 3f 4f 5f 6f

a m m n n k k b n k m k m n c k n k m n m

29

BIBLIOGRAFIA:

1. Swokowsky, Cole. Algebra y trigonometría con Geometría

Analítica. Grupo Edidtorial Iberoamérica 2. Haaser, LaSalle, Sullivan. Análisis Matemático. Vol. 1 Ed. Trillas 3. Spivak Michael. Cálculus. Ed. Reverte.