04 vectores 1(edebé)

7/25/2019 04 Vectores 1(Edeb)

1/17

3. Los vectores fijos son los pares ordenados de puntos:

Hemos agrupado los vectores fijos equipolentes al listarlos vectores fijos, por lo que tenemos 21 vectores libresdistintos.

4. Tenemos tantos vectores fijos como pares ordenados depuntos, o sea:

VR4, 2 = 42 = 16

De ellos, slo son equipolentes los nulos, , ,y , pues todos los dems difieren en la direccin oen el sentido.

As, hay 16 (4 1) = 13 vectores libres distintos.

2. OPERACIONES CON VECTORES LIBRES

5. a) Por la regla del paralelogramo:

F

A

w

u

u+ w

u w AF+ = [ ]

DD

CC

BB

AA

B

D

C

A

AA BB CC DD EE FF

A

, , , , , ;

BB DE BA ED

AC DF C

, ; , ;

, ; AA FD

BC EF CB FE

AD

, ;

, ; , ;

, , ; , , ;BE CF DA EB FC

AE

; ; ; ;

; ;

EA BD DB

AF FA CD

; ;

; ; ; .

DC

BF FB CE EC

1. VECTORES

1. Son vectores fijos equipolentes los que tienen el mismomdulo, direccin y sentido, luego:

, , son equipolentes. , son equipo-lentes. , son equipolentes. , son equi-polentes. no es equipolente a ningn otro.

2. Un vector fijo es un par de puntos ordenado. Por tan-to, tendremos tantos vectores fijos como pares ordena-dos podamos formar con los cuatro vrtices, que son va-riaciones con repeticin de 4 elementos tomados de 2

en 2:VR4, 2 = 4

2 = 16

Vectores fijos equipolentes definen el mismo vector li-bre, por lo que habr como mucho 16 vectores libres.

Por cada vector fijo que forma un lado del rectngulo,hay uno equipolente que forma el lado opuesto;

luego debemos restar vectores.

Los vectores fijos que forman la diagonal no son equi-polentes a ningn otro, luego cada uno da lugar a unvector libre.

Los vectores fijos que forman los extremos son todosequipolentes, luego debemos restar 4 1 = 3 vectores.

Tenemos, pues, 16 4 3 = 9 vectores libres.

8

24=

D C

BA

AE

CG

AE

GF

CB

EH

AD

HG

DC

AB

59

4.Vectoresen

elesp

acio

(I)

Vectores en el espacio (I)4


2/17

b) Si I es el punto medio del lado DH, es un re-

presentante de con origen en el extremo ,

representante de .

Por tanto, es un representante de :

c)

es un representante de y de . Porla regla del paralelogramo, es un representan-te de la suma:

d) Como y ,

e) Si J es el punto medio de la arista BF, se tiene

que , luego:

u w EF FJ EJ = + =1

2[ ] [ ] [ ]

=1

2

w FJ[ ]

H

E

D

v

w

v w

v w EH HD ED = =[ ] [ ] [ ] =

w HD[ ]

v EH= [ ]

u +w

v

+v +w

B

F

u v w AG+ + = [ ]

AG

vAB

u w+AF

u v w u w v u w v + + = + + = + +( )

A

D

I

H

w1

2

v

v + w1

2

v w AD DI AI+ = + =1

2[ ] [ ] [ ]

v w+1

2AI

v

AD 1

2

w

DI

f )

Como y ,

g)

Vimos que .

Si K es el punto medio de la arista CG, es unrepresentante de , luego:

h)

Por la regla del paralelogramo:

u v AB AD AC+ = + =[ ] [ ] [ ]

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

u v w u v w

u v

+ + = +

+ =

= + +( )

w

A

u

u+ v+

I K

w12v+ w12

u v w AI IK AK + + = + =1

2[ ] [ ] [ ]

uIK

v w AI+ =1

2[ ]

u v w u v w v w + + = + +

= +

+1

2

1

2

1

2uu

E

D Cu

u+ v w

v w

u v w ED DC EC+ = + =[ ] [ ] [ ]

u DC= [ ]

v w ED = [ ]

u v w u v w v w u+ = + = +( ) ( )

E F

J

u

u w1

2

w1

2

60

4.

Vec

toresen

elespacio

(I)


3/17

luego , siendo L el punto medio

de la cara ABCD.

Si M es el punto medio de la cara EFGH, esun representante de con origen en el extremode , luego:

i)

Como y EC es una diagonal, si Ndenota el centro del prisma:

6. Escogemos como representantes de , y los dela figura, que tienen origen comn en el punto A.

Vector :

El representante de con origen A es .

La recta que pasa por el extremo de , C, y tiene ladireccin del vector corta a la cara del ortoedro ge-nerada por y en el punto Q = C.

Por tanto:

y como

resulta: [ ]AC u v w u v

= + + = +2 0 2

[ ] [ ]

[ ] [ ]

AQ AC u v

QC CC

= = +

= =

2

0 0= w

[ ] [ ] [ ]AC AQ QC

= +

v

u

wAC

AC

[ ]AC

[ ]AC

v

u

E

C

u+12

12

v w12

u+ v wN

1

2

1

2

1

2

u v w EN+ = [ ]

u v w EC+ = [ ]

1

2

1

2

1

2

1

2

u v w u v w + = + ( )

M

A

u+ v+ w1

2

1

2u

L

u+ v1

2

1

2

1

2

1

2

u v w AL LM AM+ + = + =[ ] [ ] [ ]

AL

wLM

1

2( ) [ ]

u v AL+ =Vector :


La recta que pasa por su extremo, I, y tiene la direc-cin de corta a la base del ortoedro, generada por

y , en el punto medio, llammosle Q.

Se tiene:

y como Q es el punto medio de la base:

luego:

Vector :


La recta que pasa por su extremo, J, y tiene la direc-cin de corta a la base del ortoedro en el punto me-dio de sta, Q.

Por tanto:y como Q es el punto medio de la base:

luego:

El vector no puede expresarse como combina-cin lineal de y porque , y son no co-planarios y, por tanto, linealmente independientes.

7. a) , son linealmente independientes, pues no es-tn alineados.

Por tanto, rang .

b) , son linealmente dependientes, pues estn ali-neados.

As, rang , pues .

c) , , son linealmente dependientes, pues son co-planarios.

Por otro lado, y son independientes, por tantorang .

d) , , son linealmente independientes, pues noson coplanarios.

As, pues, rang .

e ) , , son linealmente dependientes, pues son co-planarios.

Sin embargo, los vectores , , por ejemplo, son li-nealmente independientes, luego rang == 2.

f) , , , son linealmente dependientes, pues sonms de tres vectores de V3.

Ahora bien, como , , son linealmente inde-pendientes, se tiene que rang = 3.{ , , , }

a b c d

d

b

a

d

c

b

a

{ , , }

a c e

c

a

e

c

a

{ , , }

a b d = 3

d

b

a

{ , , }

a b c = 2

b

a

c

b

a

{ , } { }

a e 0{ , } a e = 1

e

a

{ , }

a b = 2

b

a

w

v

u

w

v

u

[ ]AJ u v w

= + +1

22

[ ]

[ ]

AQ u v

QJ w

= +

=

1

2

2

[ ] [ ] [ ]AJ AQ QJ

= +

AJ

[ ]AJ

[ ]AJ

[ ]AI u v w

= + +1

2

[ ]

[ ]

AQ u v

QI w

= +

=

1

2

[ ] [ ] [ ]AI AQ QI

= +

v

u

AI

[ ]AI

[ ]AI

61

4.Vectoresen

elesp

acio

(I)


4/17

8. Debemos expresar cada uno de los vectores comocombinacin lineal de cada base y quedarnos los coe-ficientes:

luego en ambas bases.




, luego:

en la base B1.

en la base B2.

, luego:

en la base B1.

en la base B2.

, luego:

en la base B1.

en la base B2.

, luego:

en la base B1.

en la base B2.

9. a)

b)

c) 2 13

2 2 0 1 3 1 21

34

u v w + =

= + ( , , ) ( , , ) ( , 22 7

2 2 2 0 2 1 3 1 2

, )

( , , ( )) ( , , )

=

= ++

+

=

=

1

34

1

32

1

37

4 0

, ( ),

( , , +

=

= +

2 3 1 24

3

2

3

7

3

4 34

) ( , , ) , ,

( )33

0 12

32 2

7

3

253

53

53

, ,

, ,

+

=

=

u v w+ = + ==

( , , ) ( , , ) ( , , )2 0 1 3 1 2 4 2 7

(( ( ) , ( ), )

( , , )

2 3 4 0 1 2 1 2 7

5 3 6

+ + + ==

5 6 5 2 0 1 6 3 1 2

5 2 5

u v+ = + ==

( , , ) ( , , )

( , + ==

, ( )) ( ( ), , )

(

0 5 1 6 3 6 1 6 2

110 0 5 18 6 12

10 18 0 6

, , ) ( , , )

( ( ), ,

+ == + + 55 12 8 6 7+ = ) ( , , )

[ ] ( , , )AH

= 0 0 1

[ ] ( , , )AH

= 0 1 2

[ ]AH x y z x y t

= + = + +0 1 2 0 0 1

[ ] ( , , )AG

= 1 0 1

[ ] ( , , )AG

= 1 1 2

[ ]AG x y z x y t

= + = + +1 1 2 1 0 1

[ ] ( , , )AF

= 1 1 1

[ ] ( , , )AF

= 1 0 2[ ]AF x y z x y t

= + = +1 0 2 1 1 1

[ ] ( , , )AE

= 0 1 1

[ ] ( , , )AE

= 0 0 2

[ ]AE x y z x y t

= + = +0 0 2 0 1

[ ] ( , , )AD

= 0 1 0

[ ]AD y x y z x y t

= = + + = + +0 1 0 0 1 0

[ ] ( , , )AC

= 1 1 0

[ ]AC x y z x y t

= + + = + +1 1 0 1 1 0

[ ] ( , , )AB

= 1 0 0

[ ]AB x x y z x y t

= = + + = + +1 0 0 1 0 0

[ ] ( , , )AA

= 0 0 0

[ ]AA x y z x y t

= = + + = + +0 0 0 0 0 0 0

10. Debemos hallar tres nmeros reales a, b, c tales que.

Tomando componentes:

(2, 1, 2) == a (1, 2, 3) + b (4, 1, 7) + c (0, 2, 5) == (a, 2 a, 3a) + (4 b, b, 7b) + (0, 2c, 5c) == (a 4 b, 2 a + b 2 c, 3 a + 7 b 5c)

La expresin de como combinacin lineal de , ,es .

11. a) 1. Escribimos la ecuacin:

k1 (4, 1, 5) + k2 (2, 3, 8) ++ k3 (10, 0, 7) = (0, 0, 0)

2. Igualamos componente a componente y resol-vemos:

3. Como el sistema tiene soluciones no triviales,los vectores , y son linealmente depen-dientes.

b) 1. Debemos resolver la ecuacin:

k1 (2, 0, 9) + k2 (3, 1, 2) + k3 (5, 1, 4) == (0, 0, 0)

2. Igualamos componente a componente y obte-nemos un sistema:

3. Como la nica solucin es la trivial, los vectores, , son linealmente independientes.

c) 1. Consideremos la ecuacin:

k1 (3, 2, 5) + k2 (3, 5, 2) + k3 (1, 1, 6) == (0, 0, 0)

2. Igualando componente a componente y resol-viendo el sistema:

3. La nica solucin del sistema anterior es la tri-vial, luego , , son linealmente indepen-dientes.

d) 1. Planteamos la ecuacin:

k1 (1, 2,3) + k2 (2, 4, 4) + k3 (6, 3, 0) == (0, 0, 0)

w

v

u

3 3 0

2 5 0

5 2 6 0

1 2 3

1 2 3

1 2 3

k k k

k k k

k k k

+ = + + =

+ + =

= = =k k k1 2 3 0

w

v

u

2 3 5 0

0

9 2 4 0

1 2 3

2 3

1 2 3

1

k k k

k k

k k k

k

+ + =

=+ + =

= kk k2 3 0= =

w

v

u

4 2 10 0

3 0

5 8 7 0

1 2 3

1 2

1 2 3

k k k

k k

k k k

k+ + =

+ =

=

11

2

3

3==

=

k

k

s u v w = + +2 3

w

v

u

s

=

= + = +

= =,

2 4

1 2 2

2 3 7 5

2

a b

a b c

a b c

a b 11 3, c =

s a u b v c w = + +

62

4.

Vec

toresen

elespacio

(I)


5/17

2. Debemos igualar componente a componente yresolver:

3. Como la nica solucin es la trivial, los vectores, , son linealmente independientes.

12. a) 1. La matriz formada por las componentes de losvectores , , , colocadas verticalmente es:

2.

orden 3, y no existen menores de orden mayor,luego:

3. Un subconjunto de que tenga elmximo nmero de vectores linealmente inde-pendientes es , pues a ellos correspon-den las columnas del menor no nulo de ordenmximo que hemos hallado.

b) 1. La matriz formada por las componentes de losvectores , , , dispuestas verticalmente es:

2. El menor =3 es no nulo, y todos los

menores de orden 3 que lo contienen son nu-los.

As, .

3. Podemos hallar como mucho 2 vectores lineal-

mente independientes entre , , , ; porejemplo , pues la matriz de sus compo-nentes tiene un menor no nulo de orden m-ximo.

3. COORDENADAS DE UN PUNTO DEL ESPACIO

13. Punto I:

En el sistema de referencia R1:

[ ] , ,AI x y I

= + =

1

2 1

1

2 0

{ , }

u v

s

w

v

u

rang rang{ , , , } ( )

u v w s A = = 2

1 2

4 5

A =

1 2 3 1

4 5 6 3

7 8 9 5

s

w

v

u

{ , , }

u v w

{ , , , }

u v w s

rang rang{ , , , } ( )

u v w s A = = 3

= 17 es un menor no nulo de

2 3 4

5 2 1

3 2 4

A =

2 3 4 1

5 2 1 6

3 2 4 2

s

w

v

u

v

u

k k k

k k k

k k

k1 2 3

1 2 3

1 2

2 6 0

2 4 3 0

3 4 0

= + + =

+ =

11 2 3 0= = =k k


Punto J:



Punto K:



A

AK

FK

F

[ ] , ,FK u v w K

= + + =

1

2

1

2

1

21

1

2

[ ] , ,AK x y z K

= + + =

1

21

1

21

A

AJ FJ

F

J

[ ] , ,FJ u v w J

= + + =

1

22

1

2

1

22

1

2

[ ] , ,AJ y z J

= + =

1

20

1

21

A

AI I

FI

F

[ ] , ,FI u v w I

= + + =

1

2

1

21 1

63

4.Vectoresen

elesp

acio

(I)


6/17

14.

Para hallar el extremo D de un representante decuyo origen sea el punto C, imponemos que:

, o sea:

Igualando componente a componente:

6 = d1 3 d1 =3

4 = d2 4 d2 = 8

2 = d3 + 5 d3 =7

El extremo de dicho vector es D = (3, 8, 7).

15. Se cumple que:

(1)

(2)

Si imponemos la igualdad (1), componente a compo-nente:

4 (m1 a1, m2 a2, m3 a3) == (b1 a1, b2 a2, b3 a3)

As,

Por tanto,

Finalmente, si aplicamos (2):

[ ] [ ] [ ] [ ] [ON OM MN OM AM

= + = +

], , , ,

=

=

+

11

23

3

2

3

21

1

2== ( , , )4 4 2

[ ] ( , , )

,

AM m a m a m a

= =

=

1 1 2 2 3 3

11

27 3 2,, ( ) , ,

=

3

21

3

21

1

2

Mb a b a b a

=

+ + +

=

= +

1 1 2 2 3 33

4

3

4

3

4

1 3 74

, ,

,, , ( )

, ,

6 3 24

3 3 14

11

23

3

+ + =

= 22

4

4

4

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

( )

( )

( )

m a b a

m a b a

m a b a

=

=

=

=

+

=

+

=

+

mb a

mb a

mb a

11 1

22 2

33 3

3

43

43

4

A

M

N

P

B

[ ] [ ] [ ] [ ]AM MN NP PB

= = =

4[ ] [ ]AM AB

=

( , , ) [ ] [ ]

( ,

= = = =

=

6 4 2

1

AB CD d c

d d

22 3 1 2 33 4 5 3 4 5, ) ( , , ) ( , , ( ))d d d d =

[ ] [ ]CD AB

=

[ ]AB

[ ] ( , , ) ( , , ) ( ,AB b a

= = = 1 6 3 7 2 1 6 4,, )2

Las coordenadas de los puntos M, N, P son:

RESOLUCIN DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS

16. La fuerza resultante que acta sobre la partcula es lasuma vectorial de las fuerzas que se ejercen sobre ella:

Realizamos la suma geomtricamente, con la regla delparalelogramo:

17. Sean B = una base de V2 y un vectorcualquiera.

Como B es base, es un sistema de generadores,luego k1, k2 reales tales que:

Veamos que k1, k2 son nicos:

Supongamos que h1, h2 , tales que:

En este caso:

La otra condicin para que sea base es que, son linealmente independientes, por lo que la

nica posibilidad para que se d la igualdad anterior

es que:k1 h1 = k2 h2 = 0, o sea: h1 = k1, h2 = k2

y

xB x y= { , }

0 1 2 1 2

1 1

= = + + ==

u u k x k y h x h y

k h x

( ) ( )

( ) ++ ( )k h y2 2

u h x h y = +1 2

u k x k y = +1 2

{ , }

x y

u V 2{ , }

x y

F212

2F1

FR 3F3

F212

+ 3F3

F F F FR = + +

21

231 2 3

F F F FR = + +21

231 2 3

M N P=

= = 11

23

3

24 4 2

5

25, , , ( , , ) , , ,

55

2

[ ] [ ] [ ] [ ] [OP ON NP ON AM

= + = +

]

( , , ) , , , ,

=

= +

= 4 4 23

21

1

2

5

25

5

22

64

4.

Vec

toresen

elespacio

(I)


7/17

18. a) Sea

son linealmente dependientes rang (A) < 3 A = 0

0 =A =4 k + 3 k 1 =k 1 k =1

As, , , son linealmente dependientes si y slosi k =1.

b)

Desarrollando el determinante:

0 =A = k + 2 k2 + k k k3 2 ==k3 + 2 k2 + k 2

Si descomponemos este polinomio por Ruffini:

0 = (k 1) (k + 1)(2 k) k = 1 , k =1 o k = 2

As, los vectores , , son linealmente depen-dientes si y slo si k = 1, k =1 o k = 2.

19.

Como A = 24 + 3 20 = 7 0, rang (A) = 3, luegorang = rang (A) = 3, y por tanto, , , son li-nealmente independientes.

Como , , son base de V3, podemos expresarde manera nica como combinacin lineal de

, , , esto es:

k1, k2, k3 nicos tales que:

Si expresamos cada vector en la base del enunciado,

operamos e igualamos componente a componente,obtenemos:

Las componentes de en la base , , son, pues,= (2, 5, 1).

20. Puesto que M y N dividen el segmento AB en tres par-tes iguales, debe cumplirse:

[ ] [ ] , [ ] [ ]AM AB AN AB

= =1

3

2

3

d

c

b

a

d

k k

k k

k k k

k

k2 3

1 2

1 2 3

1

2

3 2

4 13

2 5 3

2+ =

=+ + =

===

=5

13k

d k a k b k c= + +1 2 3

c

b

a

d V 3

c

b

a

c

b

a{ , , }

a b c

0 1 3

4 1 0

1 2 5

Sea A =

w

v

u

, luego rang (A) < 3 A = 0.Ak

k

k k

=

1 1

1 2

1

w

v

u

{ , , }

u v w

A k k

k

=

2 0 1

1

1 3

Si M = (m1, m2, m3) y N = (n1, n2, n3), las componen-tes de los vectores que intervienen en las igualdadesanteriores son:

Sustituyendo en las igualdades anteriores:

Por tanto, y .

21. Si M, N, P, Q dividen el segmento AB en cinco partesiguales, debe cumplirse:

[ ] [ ] ; [ ] [ ]

[

AM AB AN AB

AP

= =1

5

2

5

] [ ] ; [ ] [ ]= =3

5

4

5AB AQ AB

N =

11

32

5

3, ,M =

16

30

7

3, ,

n n

n n

n n

1 1

2 2

3 3

710

3

11

32 4 2

34

3

5

3

= =

+ = =

= =

[ ] [ ]

( , , ) (

AN AB

n n n

=

+ =

2

3

7 2 32

31 2 3 5 6 2, , )

m m

m m

m m

1 1

2 2

3 3

75

3

16

32 2 0

32

3

7

3

= =

+ = =

= =

[ ] [ ]

( , , )

AM AB

m m m

=

+ =

1

3

7 2 31

31 2 3(( , , ) 5 6 2

[ ] ( , ( ), ) ( , , )AB

= = 2 7 4 2 1 3 5 6 2

[ ] ( , ( ), )

( ,

AN n n n

n n

= == +

1 2 3

1 2

7 2 3

7 2,, )n3 3

[ ] ( , ( ), )

( ,

AM m m m

m m

= == +

1 2 3

1 2

7 2 3

7 22 33, )m

5 10

5

A= (7,2,3)

B= (2,4,1)M N

X

Z

Y

5

65

4.Vectoresen

elesp

acio

(I)


8/17

Si M = (m1, m2, m3), N = (n1, n2, n3), P = (p1, p2, p3),Q = (q1, q2, q3) son las coordenadas de los puntos quebuscamos, las componentes de los vectores que inter-vienen en las igualdades anteriores son:

Sustituyendo en las igualdades anteriores e igualandocomponente a componente, obtenemos:

[ ] [ ]

( , , ) (

AP AB

p p p

=

+ =

3

5

1 4 1 351 2 3

33 5 2, , )

n n

n n

n n

1 1

2 2

3 3

16

5

1

54 2 6

14

5

9

5

+ = =

= =

= =

[ ] [ ]

( , , ) (

AN AB

n n n

=

+ =

2

5

1 4 12

51 2 333 5 2, , )

m m

m m

m m

1 1

2 2

3 3

13

5

2

54 1 5

12

5

7

5

+ = =

= =

= =

[ ] [ ]

( , , )

AM AB

m m m

=

+ =

1

51 4 1

1

51 2 3(( , , )3 5 2

[ ] ( ( ), , ) ( , , )AB

= =2 1 9 4 3 1 3 5 2

[ ] ( , , )AQ q q q

= + 1 2 31 4 1

[ ] ( , , )AP p p p

= + 1 2 31 4 1

[ ] ( , , )AN n n n

= + 1 2 31 4 1

[ ] ( ( ), , )

( ,

AM m m m

m m

= == +

1 2 3

1 2

1 4 1

1 44 13, )m

5 10

5

2

A= (1,4,1)

B= (2,9,3)M N P Q

X

Y

Z

Por tanto,

y .

22. Debemos hallar las componentes de los vectores ,que verifican el sistema:

Podemos resolver el sistema vectorial por reduccin:

Sumando las dos ecuaciones, obtenemos ,luego:

Si ahora consideramos la segunda ecuacin, tomandocomponentes para operar:

Las componentes de los vectores , buscados son:

23. Resolvemos por sustitucin el sistema vectorial:

Despejando y en la primera ecuacin y sustituyendoen la segunda, obtenemos:

y realizando esta operacin en componentes:

x = + = 17

3 7 3 5 14 5 13 1 2 4[ ( , , ) ( , , )] ( , , ))

x u x v x u v = = +3 21

73( ) , ( )

2

3

x y u

x y v

+ =

=

x y= =( , , ) , ( , , )1 0 2 1 1 1

y

x

x y v x v y + = = == =

2 2

3 2 4 2 1 1 1( , , ) ( , , ) (11 0 2, , )

y u v= + = + =

=

15

15

2 3 1 3 2 4

1

55

( ) [( , , ) ( , , )]

( , , ) ( , , )5 5 1 1 1=

5

y u v= +

3

2

y x u

x y v

=+ =

y

x

Q = 758 13

5, ,P =

45

7 115

, ,

M N=

=

2

55

7

5

1

56

9

5, , , , , ,

q q

q q

q q

1 1

2 2

3 3

112

5

7

54 4 8

18

5

13

5

+ = =

= =

= =

[ ] [ ]

( , , )

AQ AB

q q q

=

+ =

4

5

1 4 1 451 2 3 (( , , )3 5 2

p p

p p

p p

1 1

2 2

3 3

19

5

4

54 3 7

16

5

11

5

+ = =

= =

= =

66

4.

Vec

toresen

elespacio

(I)


9/17

Por tanto:

La solucin del sistema es:

24. De acuerdo con el ejercicio resuelto, el baricentro deltetraedro es el punto H que verifica:

siendo G el baricentro de la cara opuesta al vrtice A,esto es, del tringulo BCD.

Las coordenadas del baricentro H son las incgnitas:

H = (h1, h2, h3)

Las coordenadas del baricentro G del tringulo BCDson:

Por tanto, las componentes de los vectores yson:

Ya podemos expresar la igualdad vectorial en compo-nentes:

El baricentro del tetraedro es el punto H = (1, 3, 2).

25. Sabemos que el baricentro del tetraedro es el punto Hque verifica:

siendo G el baricentro del tringulo BCD, opuesto alvrtice A.

Las coordenadas del baricentro G del tringulo BCDson:

Por tanto, si H = (h1, h2, h3) son las coordenadas quebuscamos, las componentes de los vectores que inter-vienen en la ecuacin inicial son:

[ ] ( , , )[ ] ( ,AH h h hHG h

= =

1 2 3

1

1 5 11 , )1 12 3 h h

G = + + + + + +

=

=

1 4 0

3

2 2 1

3

1 1 1

3

1 1

,( )

,

( , , 11)

[ ] [ ]AH HG

= 3

h h h

h h h

h h h

1 1 1

2 2 2

3 3 3

3 1 3 1

5 7 3 3

2 6 3

= = = = = == 2

( , , )

, ,

h h h

h h h

1 2 3

1 2 3

3 5 2

3 13

73

2

=

=

[ ] ( , , )

[ ] ,

AH h h h

HG h

=

=

1 2 3

1

3 5 2

1

3,

7

322 3

h h

[ ]HG

[ ]AH

G =+ + + + + +

=

=

1 2 2

3

1 7 1

3

6 4 4

3

1

3

( ), ,

( )

,77

32,

[ ] [ ]AH HG

=

3

x y= = ( , , ) , ( , , )1 2 4 5 1 3

y u x= = = 2 7 3 5 2 1 2 4 5 1 3( , , ) ( , , ) ( , , )

Si expresamos dicha ecuacin en componentes:

(h1 1, h2 5, h3 1) = 3 (1 h1, 1 h2, 1 h3) == (3 3 h1, 3 3 h2, 3 3 h3)

Igualando componente a componente:

Las coordenadas del baricentro del tetraedro son:H = (1, 2, 1)

ACTIVIDADES

Antes de empezar

Vector fijo (pg. 70); vector libre (pg. 71); combinacinlineal de vectores (pg. 74); vectores linealmente depen-dientes y vectores linealmente independientes (pg. 75);rango de un conjunto de vectores (pg. 75); base deV3 (pg. 76); componentes de un vector en una base(pg. 76); sistema de referencia (pg. 80).

Suma de dos vectores y producto de un vector por un n-mero real, grficamente (pg. 72) o con componentes(pg. 77).

Dependencia o independencia lineal de un conjuntode vectores (pg. 78); rango de un conjunto de vectores(pg. 79).

Cuestiones

26. El mdulo, la direccin y el sentido no determinancompletamente a un vector fijo, pues para ello debe-mos conocer adems su origen o su extremo.

En cambio, s determinan completamente a un vector

libre, pues ste est formado por los vectores fijos quetienen el mismo mdulo, la misma direccin y el mis-mo sentido.

27. Que , , sean linealmente dependientes significaque alguno de ellos se puede expresar como combi-nacin lineal del resto o, equivalentemente, que k1, k2, k3, tal que:

siendo alguno de los coeficientes distinto de 0.

Si ahora consideramos los vectores , , , , tenemosque:

y alguno de los coeficientes es distinto de 0, lo cual sig-nifica que , , y son linealmente dependientes.

28. Sea un conjunto de vectores.

Sabemos que son linealmente dependientes si y slo sialguno de ellos se puede expresar como combinacinlineal del resto.

Ahora bien, el vector nulo siempre se puede expresarcomo combinacin lineal de cualquier conjunto devectores:

Luego son linealmente dependientes.

0 1, , ...,u un

0 0 0 01 2= + + +

u u un...

0 1, , ...,u un

d

c

b

a

k a k b k c d1 2 3 0 0

+ + + =

d

c

b

a

k a k b k c1 2 3 0

+ + =

c

b

a

h h h

h h h

h h h

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 3 3 1

5 3 3 2

1 3 3

= = = = = == 1

67

4.Vectoresen

elesp

acio

(I)


10/17


11/17

e)

32. Los vectores , , son base, pues son tres vectores de

V3 no coplanarios.

Para hallar las componentes de cualquier vector en labase , debemos expresar dicho vectorcomo combinacin lineal de los vectores de la base:

, luego: en la ba-se B.

, luego: en la base B.

G

vE

u

[ ] ( , , )EG

= 1 1 0[ ]EG u v

= +

A u v

G

2w

[ ] ( , , )AG

= 1 1 2[ ]AG u v w

= + + 2

B u v w = { , , }

w

v

u

[ ] ( )GJ u v u v

= + = +2 2 2

G u

vu v+

J

[ ]AQ u v w

= + +1

2, luego: en la base B.

33. a)

b)

c)

34. Resolvemos este sistema vectorial por reduccin:

Restamos la segunda ecuacin a la primera y tenemos:


Despejando en la segunda ecuacin y tomando com-ponentes:

Por tanto, .

35. a) Buscamos una expresin del tipo:

x a u b v c w a b c= + + , , , .

x y= =( , , ), ( , , )1 1 1 4 3 2

y v x= + = + =( , , ) ( , , ) ( , , )3 2 1 1 1 1 4 3 2

y

x = =1

47 6 5 3 2 1 1 1 1[( , , ) ( , , )] ( , , )

44

x u v xu v

= =

;

z u v w = =

=

21

2

1

5

2 1 3 21

21 2 5( , , ) ( , , )

11

50 4 3

2 6 41

2

15

2

( , , )

( , , ) , ,

=

=

00

4

5

3

55

2

21

5

59

10

, ,

, ,

=

=

y u v= + = + =

=

1

2

1

3

1

21 3 2

1

31 2 5

1

2

( , , ) ( , , )

, , , , , ,3

21

1

3

2

3

5

3

1

6

13

6

2

+

=

33

x u v w = + == +

2 3

1 3 2 2 1 2 5 3 0( , , ) ( , , ) ( , 44 3

1 3 2 2 4 10 0 12 9

, )

( , , ) ( , , ) ( , , )

== + === ( , , )1 5 17

F

w

B

[ ] ( , , )BF

= 0 0 2[ ]BF w

= 2

69

4.Vectoresen

elesp

acio

(I)


12/17


(13, 3, 17) = a (1, 5, 2) + b (4, 0, 9) ++ c (0, 1, 6) = (a, 5a, 2a) ++ (4b, 0, 9b) + (0, c, 6c) =

= (a + 4 b, 5a c, 2a 9 b + 6 c)

As,

b) Queremos hallar dos reales, a y b, tales que:


(2, 10, 5) = a (1, 5, 2) + b (4, 0, 9) == (a, 5 a, 2 a) + (4 b, 0, 9 b) == (a + 4 b, 5 a, 2 a 9 b)

As,

c) Debemos resolver la ecuacin vectorial:

en las incgnitas a, b, .

Expresamos los vectores en la base del enunciadoy operamos:

(0, 1, 6)=

a (1, 5, 2)+

b (4, 0, 9)=

= (a, 5a, 2a) + (4b, 0, 9b) == (a + 4 b, 5 a, 2 a 9 b)

Dos vectores son iguales si y slo si sus componen-tes homlogas coinciden, luego esto equivale al sis-tema:

que es incompatible. Por tanto, no puede ex-presarse como combinacin lineal de y .

36. , , sonlinealmente dependientes si y slo si

En nuestro caso:

Luego , , s son linealmente dependientes.

v

u

8 2 2

5 3 11

4 1 1

4 28 98 14 0

= + + =( )

u v w

u v w

u v w

1 1 1

2 2 2

3 3 3

0=

w w w w= ( , , )1 2 3

v v v v= ( , , )1 2 3

u u u u= ( , , )1 2 3

v

u

0 4

1 5

6 2 9

= +

==

a b

a

a b

w a u b v= +

y u v= +2

2 4

10 5

5 2 9

21

= +

= =

==

a b

a

a b

ab

y a u b v= +

x u v w = + +3 2

13 4

3 5

17 2 9 6

1

3

2

= +

= = +

=

=

=

a b

a c

a b c

a

b

c

37. Veamos que , y son linealmente independientes.

As son independientes y por lo tanto no puede sercombinacin lineal de y .

38. Sabemos que tres vectores de V3 son linealmente de-

pendientes si y slo si el determinante de la matriz quetiene por columnas las componentes de dichos vecto-res en cierta base es 0.

En nuestro caso:

0 = k3 + 2k2 5 k 6 = (k + 1) (k 2) (k + 3) k =1, k = 2 o k =3

Para expresar como combinacin lineal de , de-bemos hallar dos nmeros reales a, b tales que:


(3, 5, k) = a (k, 2, 0) + b (k, k, 1) == (ka, 2a, 0) + (kb, k b, b) == (ka + kb, 2 a + k b, b)

,

Si k =1, la solucin es a =2, b =1, luego:

Si k = 2, la solucin es , b = 2, luego:

Si k =3, la solucin es a = 2, b =3, luego:

39. Los vectores , , sonlinealmente dependientes si y slo si:

0 = 3 k2 7 k + 2 ; k = 2 o .

As, son linealmente dependientes k = 2 o

.k =1

3

a b c, ,

k =1

3

0

2 2

1 3 3

1 1

3 6 4 6= = + k

k

k k k( ) ( ),

c = ( , , )2 3 1

b k= ( , , )3 1

a k= ( , , )2 1

w u v= 2 3

w u v= +1

22

a =1

2

w u v= 2

3

52

2

2

=

=

=

b k

k a k

a k

3

5 2

= +

= +

=

k a k b

a k b

k b

w a u b v= +

v

u

0

3

2 5

0 1

0 5 6 22= = + + +k k

k

k

k k k k( ) ( ),

v

u

w

1 2 4

1 1 2

1 2 4

4 8 4 4 8 20 0

= + + + =

w

v

u

70

4.

Vec

toresen

elespacio

(I)


13/17

40. Los vectores , ,son linealmente dependientes si y slo si:

= (k2 + 6) (2k 9) (4 3k),

0=

k2 +

k+

19

, luego:

no son linealmente dependientes para ningnvalor de k, o sea, son linealmente independientes paratodo valor de k .

41. Los vectores , yson linealmente dependientes si y slo si:

y como esta igualdad es siempre falsa, independiente-mente del valor de a, b, c concluimos que , y sonsiempre linealmente independientes.

42. a) Consideremos la matriz que tiene por columnas

las componentes de los vectores :

Sabemos que rang = rang (A).

La matriz A, por su parte, tiene un menor no nulo

de orden 2, por ejemplo y todos

los menores de orden 3 que lo contienen son nu-los. Luego rang (A) = 2.

As, rang = 2.

b) Puesto que las componentes de y dan lugar aun menor no nulo de orden mximo de la matrizA, los vectores , son linealmente independien-tes y el subconjunto contiene el mximo n-mero de vectores linealmente independientes en-

tre s que se puede encontrar en .

43. Como la dimensin de V3 es 3, , , forman base siy slo si son linealmente independientes.

Para ver si , , son linealmente independientes:

= 3 + 14 + 60 (2 36 + 35) = 80 0

por lo que concluimos que forman base.

Buscamos los coeficientes a, b, c tales que:

x a u b v c w = + +

1 6 1

2 1 5

2 7 3

=

w

v

u

w

v

u

{ , , , }

a b c d

{ , }

a b

b

a

b

a

{ , , , }

a b c d

3 2

4 15 0=

{ , , , }

a b c d

A =

3 2 1 5

4 1 3 5

3 5 2 8

a b c d, , ,

w

v

u

0

1 0 0

2 0

3

6= =a

b c

w = ( , , )0 0 3

v c= ( , , )0 2

u a b= ( , , )1

x y z, ,

k =

1 752

0

2 3 1

2 1

3 1

=

=k

k

z = ( , , )1 1 1y k= ( , , )3 2x k= ( , , )2 3 Expresamos los vectores en la base implcita en elenunciado:

(3, 1, 9) == a (1, 2, 2) + b (6, 1, 7) + c (1, 5, 3) =

= (a, 2 a, 2a) + (6 b, b, 7 b) + (c, 5 c, 3c) == (a 6 b + c, 2 a + b + 5c, 2 a + 7 b + 3 c)

Las componentes de en la base son= (5, 1 2).

44. a) Tres vectores de V3 forman base si y slo si son li-nealmente independientes.

Los vectores , , son linealmente independien-

tes rang = 3 A 0, siendo A la

matriz cuyas columnas son las componentes de

los vectores , , .Como

tenemos que , , son base.

b) Buscamos las componentes (a, b, c) de en la base, , , es decir, los reales a, b, c que cumplen:

Si trabajamos con esta igualdad en componentes:

(3, 6, 9) = a (1, 4, 7) + b (2, 5, 8) + c (1, 1, 2) =

= (a, 4a, 7a) + (2b, 5b, 8 b) + (c, c, 2 c)=

= (a + 2 b + c, 4a + 5 b + c, 7a + 8 b + 2 c)

Las componentes de en la base son= (1, 2, 0).

45. Para que tres vectores de V3 no formen base, deben serlinealmente dependientes, es decir, el determinantede la matriz A cuyas columnas son las componentes delos vectores debe ser 0.

En nuestro caso: luego:

As, A = 0 k2 (k 2) = 0 k = 0 o k = 2.

Por tanto, , , no son base si y slo si k = 0 ok = 2.

w

v

u

A

k

k k

k

kk

k kk k k

k k

= = = =

=

2 0

0

1 2

22

2

2

2

( )

( )

A

k

k k

k

=

2 0

0

1 2

w{ , , }

u v t

w

3 2

6 4 5

9 7 8 2

1

2

= + +

= + +

= + +

==

=

a b c

a b c

a b c

a

b

c 00

w a u b v c t= + +

t

v

u

w

t

v

u

A = = + =

=

1 2 14 5 1

7 8 2

3 6 2 3

3 0

( ) ( )

t

v

u

{ , , }

u v t

t

v

u

x{ , , }

u v w

x

= += + +

= + +

=3 6

1 2 5

9 2 7 3

5a b c

a b c

a b c

a

b ==

=1

2c

71

4.Vectoresen

elesp

acio

(I)


14/17

46. Consideramos . Para que , y

sean linealmente independientes, hemos de imponerA 0.

Ahora,

A = 0 2 k2 7 k + 3 = 0 o k = 3

Por tanto,

A 0 y k 3 k

Concluimos que , , son base k .

47. El origen del vector fijo es el punto A, y su extre-mo, el punto B.

Si las coordenadas de dichos puntos son A = (a1, a2, a3)y B = (b1, b2, b3), sabemos que las componentes del

vector son:

= (b1 a1, b2 a2, b3 a3)

De acuerdo con el enunciado:

B = (3, 2, 7) y = (5, 4, 1)Luego:

(5, 4, 1) = (3 a1, 2 a2, 7 a3)

El origen del vector es, pues, A = (2, 6, 8).

48. Dos vectores fijos son equipolentes si y slo si son re-presentantes del mismo vector libre.

As, es equipolente a = .

Si D = (d1, d2, d3), sabemos expresar y enfuncin de las coordenadas de sus orgenes y sus ex-

tremos:= (1 1, 1 2, 1 3) = (0, 3, 2)

= (d1 0, d2 2, d3 (5)) =

= (d1, d2 2, d3 + 5)

Si expresamos en componentes la igualdad =

= :

(0, 3, 2) = (d1, d2 2, d3 + 5)

Las coordenadas del punto D son D = (0, 1, 7).

0

3 2

2 5

0

1

7

1

2

3

1

2

3

=

= = +

= = =

d

d

d

d

d

d

[ ]CD

[ ]AB

[ ]CD

[ ]AB

[ ]CD

[ ]AB

[ ]CD

[ ]AB

CD

AB

AB

5 3

4 2

1 7

2

6

8

1

2

3

1

2

3

= =

=

= = =

a

a

a

a

a

a

[ ]AB

[ ]AB

[ ]AB

AB

1

23,

w

v

u

1

23,

k 1

2

k =1

2

A

k

k

k k k

k k

= = + =

= +

1 1

2 1 2

2 3

1 6 2 4

2 7 32

( ) ( )

w

v

uA

k

k

=

1 1

2 1 2

2 3

49. Como A, B y C son tres extremos consecutivos de unparalelogramo, se tiene que:

= ,donde:

= (1 2, 3 1, 5 4) = (1, 2, 1)

= (d1 (3), d2 0, d3 1) =

= (d1 + 3, d2, d3 1)

Sustituyendo en la igualdad vectorial:(1, 2, 1) = (d1 + 3, d2, d3 1)

con lo que D = (4, 2, 2).

Si M es el punto medio del paralelogramo, se cumple:

As:

Por tanto:

50. Si llamamos P = (p1, p2, p3) a las coordenadas de P:

= (p1 1, p2 5, p3 0) = (p1 1, p2 5, p3)

= (1 1, 4 5, 9 0) = (0, 9, 9)

Sustituyendo en la ecuacin del enunciado:

(p1 1, p2 5, p3) = (0, 4, 4)

El punto P buscado es P = (1, 1, 4).

51.

M= (1,2,3)

N = (6,3,8) DC

BA

Z

X

Y

p

p

p

p

p

p

1

2

3

1

2

3

1 0

5 4

4

1

1

4

= =

=

= = =

[ ] [ ]AP AB

=4

9

[ ]AB

[ ]AP

M =

13

23, ,

m

m

m

m

m

m

1

2

3

1

2

3

1 2

33

2

5 2

1

3

2

3

=

=

=

=

=

=

( , , ) ( , , )m m m1 2 31 3 5 12 3 1 0 3 1 5 =

[ ] [ ]AM AC

=1

2

= +=

=

==

=

1 3

2

1 1

4

2

2

1

2

3

1

2

3

d

d

d

d

d

d

[ ]CD

[ ]BA

[ ]CD

[ ]BA

72

4.

Vec

toresen

elespacio

(I)


15/17

Como A, B, C, D dividen al segmento MN en cinco par-tes iguales, debe cumplirse:

As pues:

As, las coordenadas de los puntos A, B, C, D son:

A = (2, 1, 4) , B = (3, 0, 5)

C = (4, 1, 6) , D = (5, 2, 7)

52. Como M, N, P dividen

al segmento AB encuatro partes iguales,debe cumplirse:

Si M = (m1, m2, m3), N = (n1, n2, n3), P = (p1, p2, p3), yteniendo en cuenta que:

= (3 1, 4 2, 1 5) = (2, 2, 6)podemos expresar las igualdades anteriores en compo-nentes y deducir el valor de las coordenadas de M, N, P:

Anlogamente:

( , , ) ( , , )

,

n n n

n n

1 2 3

1 2

1 2 52

42 2 6

2 3

=

= = ,,

( , , ) ( , , )

n

p p p

p

3

1 2 3

1

2

1 2 53

42 2 6

=

=

=55

2

7

2

1

22 3, ,p p= =

m

m

m

m

m

m

1

2

3

1

2

3

11

2

21

2

53

2

3

25

2

7

2

=

=

=

=

=

=

[ ] [ ]

( , , ) (

AM AB

m m m

=

=

1

4

1 2 51

421 2 3 ,, , )2 6

[ ]AB

B= (3,4,-1)

A= (1,2,5)

M

N

P

Z

X

Y

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[

AM AB

AN AB

AP

=

=

1

4

2

4

] [ ]=3

4AB

[ ] [ ] [ ] ( , , ) ( ,OA OM MA

= + = +1 2 3 1 ==

= +

1 1

2 1 4

, )

( , , )

[ ] [ ] [OB OA AB

]] ( , , ) ( , , )

( , , )

[ ]

= + ==

=

2 1 4 1 1 1

3 0 5

OC

(( , , ) ( , , ) ( , , )

[ ] (

3 0 5 1 1 1 4 1 6

4

+ =

=OD

,, , ) ( , , ) ( , , ) + = 1 6 1 1 1 5 2 7

[ ] [ ] [ ] [ ] [MA AB BC CD DN

= = = =

]

[ ] ( , , ) ( , ,

=

= = = 1

5

1

56 1 3 2 8 3 1 1MN )1

Las coordenadas de los puntos buscados son, pues:

53. Sabemos que el baricentro del tetraedro ABCD es elpunto H para el que se cumple:

, siendo G el baricentro del tringuloBCD.

Consideramos H = (h1, h2, h3).

Las coordenadas del punto G son las del baricentrodel tringulo BCD:

Por tanto, la igualdad inicial expresada en compo-nentes es:

y si igualamos componente a componente:

Las coordenadas del baricentro son H = (2, 3, 2).

54. a) Si M = (m1, m2, m3) son las coordenadas del pun-to buscado, podemos expresar en componentes la

ecuacin vectorial del enunciado:

(5 3, 7 (5), 3 1) ==2 (m1 3, m2 (5), m3 1),

(8, 12, 2) = (2 m1 + 6, 2 m2 10, 2 m3 + 2)

El punto M tiene por coordenadas M = (7, 11, 0).

b) Puesto que conocemos las coordenadas de los pun-tos A, B, M, podemos expresar la igualdad en com-ponentes:

(3 7, 5 (11), 1 0) == k (5 7, 7 (11), 3 0)(4, 6, 1) = (12k, 18k, 3k)

e igualando componente a componente:

=

=

=

=

4 12

6 181 3

1

3

k

kk

k

[ ] [ ]MA k MB

=

= += = +

= = =

8 2 6

12 2 10

2 2 2

7

111

2

3

1

2

3

m

m

m

m

m

m 00

[ ] [ ]AB AM

=2

h h

h h

h h

h

h

h

1 1

2 2

3 3

1

2

3

4 4 3

6 6 3

2 6 3

2

3

= = =

= = == 2

( , , ) , ,h h h h h h1 2 3 1 2 34 6 2 34

3 2 2 =

G =+ + + + + +

=

=

2 3 1

3

7 0 1

3

3 2 1

3

4

32

( ),

( ),

, , 2

[ ] [ ]AH HG

= 3

M N P=

= =3

2

5

2

7

22 3 2

5

2

7

2

1

2, , , ( , , ) , , ,

73

4.Vectoresen

elesp

acio

(I)


16/17

55. La situacin del enunciado corresponde a dos casosposibles distintos. En cada uno de ellos, sin embargo,podemos traducir vectorialmente la situacin sin pr-dida de informacin:

Caso a:A se encuentra entre B y C.

Caso b:B se encuentra entre A y C.

Podemos expresar las componentes de los vectoresque intervienen en estas ecuaciones en funcin de lascoordenadas de los puntos A, B, C = (c1, c2, c3):

Expresando las ecuaciones en componentes, podemosdeterminar las coordenadas de C:

En el caso a:

(c1 3, c2 2, c3 1) = 2 (2, 2, 3)

En el caso b:

(c1 3, c2 2, c3 1) =2 (2, 2, 3)[ ] [ ]BC BA

=

2

c

c

c

c

c

c

1

2

3

1

2

3

3 4

2 4

1 6

1

2

5

= = =

= = =

[ ] [ ]BC BA

= 2

[ ] ( , , )

[ ] ( ,

BC c c c

BA

=

= 1 2 33 2 1

1 3 0 = 2 2 1 2 2 3, ) ( , , )

[ ] [ ]BC BA

=2

A

B

C

[ ] [ ]BC BA

= 2

B

A

C

As, las coordenadas de la cumbre C pueden ser:

C = (1, 2, 5) o C = (7, 6, 7)

56. Los puntos A, B, C estn alineados si y slo si los vec-

tores y tienen la misma direccin o alguno esnulo.

Ahora bien, dos vectores libres son linealmente de-pendientes si y slo si tienen la misma direccin o al-guno es nulo.

Por tanto, A, B, C estn alineados si y slo si los vecto-

res y son linealmente dependientes.

Para obtener un criterio de alineacin en funcin delas coordenadas de los puntos, expresaremos los vec-

tores y en componentes:

= (b1 a1, b2 a2, b3 a3)

= (c1 a1, c2 a2, c3 a3)

Finalmente, como el rango del conjunto { , }coincide con el de la matriz cuyas columnas son las

componentes de los vectores y , podemosafirmar:

A, B, C estn alineados si y slo si:

De acuerdo con este mtodo aplicado a los puntos:

A = (2, 3, 1) , B = (3, 4, 0) , C = (4, 6, 2)

como

tiene rango 2, pues, por ejemplo,

es un menor no nulo, concluimos que los puntos A, B,C no estn alineados.

57. Como la base de la pirmide es un paralelogramo(pues es un cuadrado), su punto medio divide a lasdiagonales en dos partes iguales.

As , pues to que = (4 2, 1 3, 2 4) == (2, 2, 6) es una de las diagonales, el punto O debecumplir:

[ ] [ ],AO AC

=1

2

[ ]AC

= 1 6

1 93 0

b a c a

b a c a

b a c a

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

3

=

=

( ) ( )

( ) ( )

2 4 2

4 3 6 3

0 1 2 1

==

1 6

1 9

1 3

rang

b a c a

b a c a

b a c a

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

< 2

[ ]AC

[ ]AB

[ ]AC

[ ]AB

[ ]AC

[ ]AB

[ ]AC

[ ]AB

[ ]AC

[ ]AB

AC

AB

c

c

c

c

c

c

1

2

3

1

2

3

3 4

2 4

1 6

7

6

7

= = =

= = =

74

4.

Vec

toresen

elespacio

(I)


17/17

que podemos expresar en componentes si indicamoslas coordenadas del punto O como O = (o1, o2, o3):

Las coordenadas del punto medio de la base son

O = (3, 2, 1).

a) El simtrico de A respecto de B es el punto F talque .

Si F = (f1, f2, f3), podemos expresar la igualdad an-terior en componentes:

(2 2, 1 3, 5 4) = (f1 (2), f2 1, f3 5)

= + =

=

= = =

4 2

2 1

1 5

6

1

6

1

2

3

1

2

3

f

f

f

f

f

f

[ ] [ ]AB BF

=

o

o

o

o

o

o

1

2

3

1

2

3

2 1

3 1

4 3

3

2

1

= = =

= = =

( , , ) ( , , ) ( , ,o o o1 2 32 3 41

22 2 6 1 1 3 = = ))

El simtrico de A respecto de B es F = (6, 1, 6).

b) El simtrico de E respecto al centro de la base Oes, de acuerdo con la definicin, el puntoG = (g1, g2, g3) para el cual:

Si tomamos componentes:

(3 6, 2 8, 1 0) = (g1 3, g2 2, g3 1)

El simtrico de E respecto de O es G = (0, 4, 2).

58. Actividad TIC

59. Actividad TIC

= =

=

= = =

3 3

6 2

1 1

0

4

2

1

2

3

1

2

3

g

g

g

g

g

g

[ ] [ ]EO OG

=

4.Vectoresen

elesp

acio

(I)

04 vectores 1(edebé)

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