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Vectores 1Vectores 1
Elaboración:
JEANETT LÓPEZ GARCÍA
18-03-2021
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❖ Forma alternativa del producto punto
❖ Ángulo entre dos vectores (en ℝn) con producto punto.
❖ Cosenos directores
❖ Forma normalizada de un vector
❖ Actividad semanal (Kahoot)
Vectores I
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Habíamos visto… Proyección y Componente
𝑪𝒐𝒎𝒑𝒃𝒂 =
𝒂 ∙ 𝒃
𝒃
Fuente: Haaser (1985). Análisis matemático 2. México: Trillas
∴ 𝑷𝒓𝒐𝒚𝒃𝒂 =
𝒂 ∙ 𝒃
𝒃
𝒃
𝒃= 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒃
𝒂𝒃
𝒃
Interpretación geométricaInterpretación geométrica
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Expresión alternativa del producto punto << norma/ángulo >>
Fuente: Haaser (1985). Análisis matemático 2. México: Trillas
∴ 𝑷𝒓𝒐𝒚𝒃𝒂 =
𝒂 ∙ 𝒃
𝒃
𝒃
𝒃= 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒃
𝒂𝒃
𝒃
⋮
①
𝑪𝒐𝒎𝒑𝒃𝒂 =
𝒂 ∙ 𝒃
𝒃
⋮
②
∴ 𝑷𝒓𝒐𝒚𝒃𝒂 = 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒃
𝒂 ෝ𝒃 ⋯③
De ② :
𝒂 ∙ 𝒃 = 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒃𝒂𝒃 ⋯④
𝑷𝒓𝒐𝒚𝒃𝒂
𝒂
𝜽
Del rectángulo: 𝐜𝐨𝐬𝛉 =𝒄.𝒂
𝒉𝒊𝒑=
𝑷𝒓𝒐𝒚𝒃𝒂
𝒂⋯⑤
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Continuación …
Fuente: Haaser (1985). Análisis matemático 2. México: Trillas
𝑷𝒓𝒐𝒚𝒃𝒂 = 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒃
𝒂 ෝ𝒃
De ③:
𝑷𝒓𝒐𝒚𝒃𝒂 = 𝑪𝒐𝒎𝒑
𝒃𝒂 𝒃
∴ 𝑷𝒓𝒐𝒚𝒃𝒂 = 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒃
𝒂
𝑪𝒐𝒎𝒑𝒃𝒂 =
𝒂 ∙ 𝒃
𝒃
De ②: Sustituyendo en ⑤:
𝐜𝐨𝐬𝛉 =𝑷𝒓𝒐𝒚
𝒃𝒂
𝒂=
𝒂 ∙ 𝒃
𝒃
𝟏
𝒂
Despejando 𝜽 de ⑥:
𝐜𝐨𝐬𝛉 =𝒂 ∙ 𝒃
𝒂 𝒃𝐜𝐨𝐬𝛉 =
𝒂 ∙ 𝒃
𝒂 𝒃
∴ 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒂 𝒃 𝐜𝐨𝐬𝛉∴ 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒂 𝒃 𝐜𝐨𝐬𝛉 ⋯⑥
Producto punto (forma alternativa)Producto punto (forma alternativa)
⋯⑦
Ángulo entre dos vectores
𝛉 = angcos𝒂 ∙ 𝒃
𝒂 𝒃𝛉 = angcos
𝒂 ∙ 𝒃
𝒂 𝒃
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Orientaciones posibles de 𝒖 y 𝒗 de acuerdo al signo del producto punto
Fuente: Larson & Edwards, Cálculo 2, Mc Graw Hill.
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➊ Determine si 𝒖 y 𝒗 son ortogonales, paralelos o ninguna de las dos.
𝒖 = 𝟐,−𝟑, 𝟏 𝒗 = −𝟏,−𝟏,−𝟏
➋ Con los vectores del ejercicio ➊ y 𝒘 = −𝟒, 𝟑, 𝟏 , halle:
⒜ 𝒖 ∙ 𝒗 ⒝ 𝒖 ∙ 𝒗 𝒘 ⒞ 𝒖 ∙ 𝟐𝒗 ⒟ 𝒘𝟐
❸ Hallar 𝑷𝒓𝒐𝒚𝒗𝒖 y la componente vectorial de 𝒖 ortogonal a 𝒗 de
𝒖 = 𝟑 Ƹ𝒊 − 𝟓 Ƹ𝒋 + 𝟐𝒌 𝒗 = 𝟕 Ƹ𝒊 + Ƹ𝒋 − 𝟐𝒌y
❹ Si 𝒖 = 𝟑,−𝟏, 𝟐 , 𝒗 = −𝟒, 𝟎, 𝟐 , 𝒘 = 𝟏,−𝟏,−𝟐 y 𝒛 = 𝟐, 𝟎, −𝟏hallar el ángulo de:
⒜ 𝒖 y 𝒗 ⒝ 𝒖 y 𝒘 ⒞ 𝒗 y 𝒛
Ejercicios de clase
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10Fuente: Larson & Edwards, Cálculo 2, Mc Graw Hill.
Ver siguiente diapositiva
(Demostración alternativa)
Desarrollamos el lado izquierdo de (*)
Igualamos con el lado derecho de (*)
⋯(*)
q.e.d.
11Fuente: https://uapa.cuaieed.unam.mx/sites/default/files/minisite/static/27d43815-fded-43b5-8665-abab35c92638/Ley-senos-cosenos/index.html
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Cosenos Directores
Fuente: Larson & Edwards, Cálculo 2, Mc Graw Hill.
𝒖 ∙ Ƹ𝒊 = 𝒖 Ƹ𝒊 𝒄𝒐𝒔𝜶
𝒖 ∙ Ƹ𝒋 = 𝒖 Ƹ𝒋 𝒄𝒐𝒔𝜷
𝒖 ∙ 𝒌 = 𝒖 𝒌 𝒄𝒐𝒔𝜸
𝒖𝟏, 𝒖𝟐, 𝒖𝟑 ∙ 𝟏, 𝟎, 𝟎 = 𝒖𝟏
𝒖𝟏, 𝒖𝟐, 𝒖𝟑 ∙ 𝟎, 𝟏, 𝟎 = 𝒖𝟐
𝒖𝟏, 𝒖𝟐, 𝒖𝟑 ∙ 𝟎, 𝟎, 𝟏 = 𝒖𝟑
=
=
=
Ƹ𝒊 = 𝟏, 𝟎, 𝟎
Ƹ𝒋 = 𝟎, 𝟏, 𝟎
𝒌 = 𝟎, 𝟎, 𝟏
Base canónica:
𝒄𝒐𝒔𝜶 =𝒖𝟏𝒖
𝒄𝒐𝒔𝜷 =𝒖𝟐𝒖
𝒄𝒐𝒔𝜸 =𝒖𝟑𝒖
⋯ (֍)
⋯ (֍֍)
⋯ (֍֍֍)
Despejando de (֍):
Despejando de (֍֍):
Despejando de (֍֍֍):
CosenosDirectores
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∴ Todo 𝒖 ∈ ℝ𝟑 alternativamente tiene otra representación si se sabe:𝒖 y los ángulos 𝜶, 𝜷, 𝜸
𝒖 = 𝒖𝟏, 𝒖𝟐, 𝒖𝟑 = 𝒖𝟏 Ƹ𝒊 + 𝒖𝟐 Ƹ𝒋+ 𝒖𝟑𝒌
𝒖 = 𝒖 𝐜𝐨𝐬𝜶 Ƹ𝒊 + 𝒖 𝐜𝐨𝐬𝜷 Ƹ𝒋+ 𝒖 𝐜𝐨𝐬𝜸 𝒌𝒖 = 𝒖 𝐜𝐨𝐬𝜶 Ƹ𝒊 + 𝒖 𝐜𝐨𝐬𝜷 Ƹ𝒋+ 𝒖 𝐜𝐨𝐬𝜸 𝒌
Para 𝒖 ≠ 𝟎 con 𝒖 ∈ ℝ𝟑 tiene una forma normalizada
𝒗 =𝒖
𝒖=
𝟏
𝒖𝒖𝟏, 𝒖𝟐, 𝒖𝟑 =
𝒖𝟏𝒖
,𝒖𝟐𝒖
,𝒖𝟑𝒖
=𝒖𝟏𝒖
Ƹ𝒊 +𝒖𝟐𝒖
Ƹ𝒋 +𝒖𝟑𝒖
𝒌
= 𝐜𝐨𝐬𝜶 Ƹ𝒊 + 𝐜𝐨𝐬𝜷 Ƹ𝒋+ 𝐜𝐨𝐬𝜸 𝒌= 𝐜𝐨𝐬𝜶 Ƹ𝒊 + 𝐜𝐨𝐬𝜷 Ƹ𝒋+ 𝐜𝐨𝐬𝜸 𝒌Como 𝒗 es unitario:
𝒗 = 𝐜𝐨𝐬𝜶 𝟐 + 𝐜𝐨𝐬𝜷 𝟐 + 𝐜𝐨𝐬𝜸 𝟐 = 𝟏
∴ 𝐜𝐨𝐬𝜶 𝟐 + 𝐜𝐨𝐬𝜷 𝟐 + 𝐜𝐨𝐬𝜸 𝟐 = 𝟏∴ 𝐜𝐨𝐬𝜶 𝟐 + 𝐜𝐨𝐬𝜷 𝟐 + 𝐜𝐨𝐬𝜸 𝟐 = 𝟏
14Fuente: Larson & Edwards, Cálculo 2, Mc Graw Hill.
❖ Kahoot
3ª Actividad
www.kahoot.it
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