unidad 1 vectores
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vectores
Conceptos generales
Magnitudes vectoriales
Ejes de coordenadas
Dibujo de un vector
Modulo dirección y
sentido
Componentes de un
vector
Cosenos directores
Vectores unitarios
Expresiones de un
vector
Términos que se emplean y significado
matemático
Ortogonal
Independencia lineal
Paralelo
Perpendicular
Perpendicular
No se pueden obtener
unos de otros
Forma 0 º
Forma 90º
subíndices
x = parte x de algo
y = parte y de algo
z = parte z de algo
0 = inicial lo del principio
f = final, cuando acaba
i = inicial
A = situación inicial o de partida
B = situación final
símbolos
Δ incremento (es una diferencia)
∑ suma ( se usa un subíndice para decir
cuantos elementos tiene)
θ ángulo
α ángulo con el eje x
β ángulo con el eje y
γ ángulo con el eje z
Términos que se emplean y significado
vectorial1. Paralelo
2. Perpendicular
3. Proyección
4. Desplazamiento
5. Distancia
6. Angulo
7. Triangulo
8. paralelogramo
9. Diagonal mayor del Paralelogramo
10. Diagonal menor del paralelogramo
11. Área del paralelogramo
12. Superficie del triangulo
1. Producto vectorial
2. Producto escalar
3. Producto escalar
4. Diferencia de vectores
5. Modulo de la diferencia
6. Producto escalar
7. Diferencia de vectores
8. Suma de vectores
9. Suma de vectores
10. Diferencia de vectores
11. Modulo del producto vectorial
12. Modulo del producto vectorial/2
Magnitudes vectoriales
Vector de posición r
Velocidad v
Aceleración a
Campo gravitatorio g
Campo eléctrico E
Campo magnético B
Superficie S
Vector propagación
FUERZAS
Peso
Normal
Tensión
Fuerza de rozamiento
Fuerza elástica
Fuerza gravitatoria
Fuerza eléctrica
Fuerza magnética
Fuerza nuclear
Álgebra y calculo vectorial
Álgebra vectorial
Suma
Descomposición
Diferencia
Producto por un escalar
Producto escalar
Producto vectorial
Calculo vectorial
Derivación
Integración vectorial
Escritura de un vector
Mediante letras mayúsculas o
minúsculas.
En negrita
Con una flecha encima
definiciones
coordenadas
Números que se dan para
localizar un punto en el que se
encuentra un cuerpo
Coordenadas
cartesianas x, y, zCoordenadas polares: r y φ
Ejes de coordenadas
cartesianas
Son los ejes x y z
PX
Y
Z
Símbolos de los ángulos
Entre segmentos θ
Con el eje x : φ
Con los ejes x, y, z α, β, γ
hipotenusa
stocatetoopuesen
hipotenusa
iguocatetocontcos
Teorema de Pitágoras y
del coseno (a y b son
módulos de vectores)
22 baR
cos222 abbaR
Formula elemental de
trigonometría
sen 2 θ + cos2 θ = 1
modulo
Valor absoluto del vector
Coincide con la distancia del segmento
222zyx AAAA
Vector unitario
Es el que tiene de modulo la unidad
El símbolo usado para designarlo es –u-con un subíndice que indica su dirección
u r dirección radial
u x dirección x también i
u y dirección y también j
u z dirección z también k
Vectores unitarios ortogonales
Forman 90º entre sí
i
j
k
A
Au
Cosenos directores
• Cosenos de los ángulos que el vector forma con el eje x y z
A
Aycos
A
AxcosA
Azcos
dirección
Línea que contiene al vector
Se expresa por su vector unitario
Vector de posición
Es un vector cuyo origen es el punto 0,0,0
y su extremo el punto considerado
Se representa con la letra r
Vector desplazamiento
Es el vector cuyo origen es el punto de
salida de un móvil y cuyo extremo es el
punto de llegada
Se representa como Δ r
Expresiones de un vector
Mediante tres números entre paréntesis
Mediante el modulo y su vector unitario
Mediante tres vectores unitarios
ortogonales
Mediante su modulo y los cosenos
directores
),,( zyx AAAA
uA
,
kAjAiAA zyx
cos,cos,cos,A
Suma de vectores
Es el vector obtenido trasladando los
vectores y colocando e extremo de uno en
el origen del otro y uniendo origen con
extremo
También se obtiene por la regla del
paralelogramo
¿Cómo se hace la suma?
Teorema del coseno
Sumando las componentes
cos222 ABBABA
kBkAjBjAiBiABA
kBjBiBB
kAjAiAA
zzyyxx
zyx
zyx
¿Qué significado tiene la suma?
Es la diagonal mayor del paralelogramo
formado por los dos vectores
Componentes de un vector
Son las proyecciones sobre los ejes x y z
Descomposición de un vector
Es la operación contraria a la suma
Teniendo el vector obtener las
componentes
¿Como se hace la descomposición de un
vector?
Mediante las formulas del seno y el
coseno
Razón de la descomposición de
vectores
Si tenemos una magnitud
vectorial, podemos hacer las operaciones
en las que interviene mediante el vector o
mediante las componentes.
Descomponemos el vector
Operamos escalarmente las componentes
que es mas fácil
Volvemos a componer el vector
diferencia
Es otro vector obtenido por la regla del
triangulo
¿Cómo se hace la diferencia?
Mediante la regla del coseno
Operando las componentes
¿Qué significa la diferencia?
Es la distancia entre los extremos de los
vectores
Multiplicación por un escalar k
Es el producto del vector por un numero
¿Cómo se hace la multiplicación por un
escalar?
Se multiplica cada una de su
componentes
¿Qué significado tiene la multiplicación
por un escalar?
Es como si agrandáramos o
disminuyéramos el vector k veces
Producto escalar
Es un escalar que se obtiene
multiplicando dos vectores.
¿Cómo se hace el producto
escalarMultiplicando las componentes
Se organiza ordenando los vectores uno
debajo del otro y coincidiendo las
componentes.
Mediante la ecuación A B =A B cosθ
zzyyxx
zyx
zyx
BABABABA
kBjBiBB
kAjAiAA
Aplicaciones del producto
escalarConocer el ángulo entre dos vectores
Saber si son perpendiculares
Producto vectorial
Es el producto de dos vectores
obteniéndose un vector que tiene por
módulo A B sen θ y dirección y sentido
perpendicular al plano formado por los
vectores
¿Cómo se hace el producto vectorial?
Su modulo se obtiene mediante la ecuación
A B = A B sen ө
Su dirección mediante la regla del tornillo
También se llama regla del la mano derecha, del sacacorchos.
Mediante un determinante04163607131 jade
zyx
zyx
BBB
AAA
kji
BA
Aplicaciones del producto
vectorialHallar el ángulo entre los vectores
Hallar el área del triángulo formado por
ellos
Hallar un vector perpendicular al plano
formado por ellos
Derivada de un vector
Se deriva cada una de sus componentes
Derivadas elementales que se
podrán tener en las pruebasDe una constante = 0
De una potencia: se resta un numero al exponente y se multiplica por el exponente
De una raíz: se convierte en potencia
De un producto: derivada del primero por el segundo + derivada del segundo por el primero
De un cociente: derivada del numerador por el denominador-derivada del denominador por el numerador.
Del seno: el coseno
Del coseno: - el seno
Integración vectorial
Se integra cada una de sus componentes
Integrales elementales que se
podrán tener en las pruebas
De d x es x + C
Las constantes salen fuera de la integral
De una potencia se suma 1 al exponente y se divide
por el numero obtenido.
De una suma o diferencia: suma o diferencia de
integrales
Del seno = - coseno
Del coseno = seno
Notación
Escribir espacio inicial
Escribir posición inicial
Escribir tiempo final
Escribir velocidad en un tiempo t 1
Escribir aceleración en un tiempo t2
Escribir campo eléctrico E en un punto
Desarrollar
∆ x entre dos puntos
∆ t entre el comienzo y el final
∆ t entre dos tiempos cualquiera
∆ e entre la salida y la llegada
∆v entre el comienzo y el final4
1
i
i
ia
2
1
2
1
j
j
j
i
i
i ba
Usando el teorema de pitágoras, el
seno y coseno, y un dibujo
demostrar
222zyx AAAA
22
yx AAA
1cos22sen
Usando el producto por un
escalar y los vectores unitarios
ortogonales i, j, k y las razones
trigonometricas, demostrar.
A
Au
kAjAiAA zyx
cosAAx
cosAAy
cosAAz
problemasLos problemas que a continuación
aparecen no son para practicar
sino problemas tipo donde se
concreta la teoría y que hay que
aprender.
Dado el vector A=(3,4,0)
Expresarlo en función de los vectores unitarios ortogonales.
Hallar su módulo
Hallar su vector unitario
Expresarlo en función de su módulo y vector unitario
Indicar sus componentes
Hallar los cosenos directores
Expresarlo en función de su módulo y cosenos directores
OPERACIONES CON
VECTORESSUMA, RESTA,
MULTIPLICACION,
DESCOMPOSICION, DERIVADA
INTEGRAL.
DESCOMPOSICIÓN: Dado un vector
A en el plano de modulo 10
formando 30º con el eje xHallar la proyección sobre el eje x
Hallar la proyección sobre el eje y
Indicar los cosenos directores
Indicar como se escribe la proyección sobre el eje x
Indicar como se escribe la proyección sobre el eje y
Indicar qué relación existe entre ambas
proyecciones.
Dados los vectores (2,12,3) y
(3,-1,2)Hallar su suma
Hallar su diferencia
Hallar el producto escalar
Hallar el producto del primero por el
escalar 2
Hallar el producto vectorial
Dados dos vectores A y B de
módulos 6 y 8 formando 60 º
Hallar su suma
Hallar su diferencia
Hallar su producto escalar
Hallar el módulo de su producto vectorial
Dado el vector r = (t 3 , t 2, t)
Expresarlo en función de los vectores
unitarios ortogonales
Hallar su derivada
Hallar su integral en función de t
aplicaciones
Demostrar que los vectores (senθ, cos θ)
y (– cos θ, sen θ ) son ortogonales
Realizar todos los productos escalares y
vectoriales posibles de i, j, k
Hallar la derivada del vector (sen θ cos θ).
Hallar el ángulo que forman los
vectores (3,4,0) (4,3,0)
Hallar a para que los vectores
siguientes sean perpendiculares
(2,3,1) y (1,-a,3)
Demostrar que los vectores (3,-2,1)
(2,1,-4) (1,-3,5) forman un triángulo
rectángulo.
Desde un acantilado se dispara un cañón que forma un ángulo de 60º con la horizontal. La bala sale a 200 m/s. Descomponer la velocidad de la bala.
Sobre un péndulo actúan dos fuerzas, el peso hacia el centro de la tierra y la tensión en la dirección de la cuerda y hacia el techo. Elegir un sistema de referencia para descomponer las fuerzas que actúan sobre un péndulo y descomponerlas
Hallar la proyección de (-1,2,1)sobre
(1,-1,2).
Hallar los ángulos del vector (4,-1,3)
con los ejes cartesianos.
Hallar el ángulo que deben formar
dos vector de módulos 3 y 4 para
que su suma sea 5
Hallar un vector unitario
perpendicular al plano formado por
los vectores(1,1,2) y(2,-1,-1) y el
área del triangulo que forman
El módulo de un vector es y forma 90º
con el vector . (2,12,3). Hallar el módulo
de su suma
Los vectores de posición de dos puntos
son 2, 1, 4, y 1, 4, 3 Hallar la expresión
vectorial de los tres lados del triángulo que
forman al unir sus extremos
Un vector tiene su origen en el punto 1,1,1
el módulo del vector de posición de su
extremo es 9. Los cosenos directores son
2/3 1/3 2/3. Hallar el vector desplazamiento
14
Un cuerpo tiene las siguientes ecuaciones
de movimiento: x = 10t y = 5t2
z = 4
A) Hallar el vector velocidad y
aceleración en t = 1 s
B) Hallar la dirección de la
velocidad(vector unitario) y decir si
el movimiento es rectilinbeo o
curvilíneo.
Un cuerpo tiene las siguientes ecuaciones de
movimiento: x = 2sent y =2 cos t z = 0
A) Hallar el vector velocidad y
aceleración en t = s
B) Hallar la dirección de la
velocidad(vector unitario) y decir si el
movimiento es rectilíneo o curvilíneo.
C) Demostrar que el vector de posición y
la aceleración tienen la misma dirección
D) Demostrar que la velocidad y la
aceleración son perpendiculares.
Una fuerza tiene la
expresión F = 2x i. Hallar
el trabajo desde x = 1 a x =
5
W= 12 F dr
Una fuerza tiene la
expresión F = 2 i + 3xj + z
k
Hallal el trabajo desde el
punto (0,0,0) al (1,1,1)
Dada la fuerza F = senx i +
cos x j. Hallar el trabajo desde
el punto 3,4 al 4,3