AUTORES Msc. JORGE ACOSTA PISCOYA. Licenciado En Estadística

Msc. DEBORA MEJIA PACHECO. Licenciado En Estadística

DOCENTES ASCRITOS AL DEPARTAMENTO DE ESTADISTICA DE LA UNPRG – LAMBAYEQUE

2010

ACARGO DE LA ASIGNATURA DE: INVESTIGACION DE OPERACIONES I

Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco

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1. (Mezcla de Güisqui) Una compañía destiladora tiene dos grados de güisqui en bruto (sin

mezclar), I y II, de los cuales produce dos marcas diferentes. La marca regular contiene un 50%

de cada uno de los grados I y II, mientras que la marca súper consta de dos terceras parte del

grado I y una tercera parte del grado II. La compañía dispone de 3000 galones de grado I y 2000

galones del grado II para mezcla. Cada galón de la marca regular produce una utilidad de $5,

mientras que cada galón del súper produce una utilidad de $6 ¿Cuántos galones de cada marca

debería producir la compañía a fin de maximizar sus utilidades?

MARCAS GRADO I GRADO II UTILIDAD

REGULAR 50% 50% $ 5

SÚPER 75% 25% $ 6

Solución:

MARCAS GRADO I GRADO II UTILIDAD

REGULAR 50%*3000 =1500 50%*2000 =1000 $ 5

SÚPER 75%* 3000 =2250 25%*2000 =500 $ 6

GALONES

DISPONIBLES

3000 2000

Variable s de Decisión:

x1 = la Cantidad de güisqui de la marca regular en galones

x2 = la Cantidad de güisqui de la marca súper en galones

Función Objetivo: Maximizar sus utilidades

Restricciones: R1. 1500x1 + 1000x2 < 3000

R.2. 2250x1 + 500x2 < 2000

Condición de No negatividad: x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

Modelo de Programación Lineal:

Max Z = 5x1 + 6x2

Sujetos a:

1500x1 + 1000x2 < 3000

2250x1 + 500x2 < 2000

x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

Utilizando el Sofwared Vbtora98 , para darle su solución en forma grafica:

1.- Declaramos, el titulo del problema, el número de variables, el número de restricciones, como se

muestra en la siguiente pantalla.

Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco

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2.- Al hacer enter, se muestra la siguiente pantalla que es donde se inscribe el Modelo de

Programación Lineal.

3.- Hacemos clic en Solve Menu, aparece la siguiente pantalla:

Si usted desea guardar su archivo la clic en la opción si, en caso contrario clic en la acción no.

4.- Clic en solución grafica y aparece la siguiente pantalla:

Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco

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5.- Para encontrar un reporte de la solución por el método simplex, clic en solución del problema,

clic en método algebraico se puede seleccionar que le de la tabla final o iteración por iteración,

como se muestra:

INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO:

La compañía para obtener una utilidad máxima de 18 dólares, debe producir 3 galones wisqui

Super y ningún galón del wisqui Regular

Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco

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2.- (Mezcla) Una compañía vende dos mezclas diferentes de nueces. La mezcla más barata

contiene un 80% de cacahuates y un 20% de nueces, mientras que la más cara contiene 50% de

cada tipo. Cada semana la compañía obtiene 1800 kilos de cacahuates y 1200 kilos de nueces

de sus fuentes de suministros. ¿Cuántos kilos de cada mezcla debería producir a fin de

maximizar las utilidades si las ganancias son de $ 10 por cada kilo de la mezcla más barata y de

$ 15 por cada kilo de la mezcla más cara?

MEZCLA CACAHUATE NUEZ GANANCIA POR

SEMANA

BARATA 80% 20% $10 POR KILO

CARA 50% 50% $ 15 POR KILO

Solución:

MEZCLA CACAHUATE NUEZ GANANCIA

POR SEMANA

BARATA 80%*1800

14400

20%*1200

240

$10 POR KILO

CARA 50%*1800

900

50%*1200

600

$ 15 POR KILO

DISPONIBILIDAD EN Kg. 1800 1200

Variable s de Decisión:

x1 = Cantidad de mezcla de la marca BARATA en kilogramos

x2 = Cantidad de mezcla de la marca CARA en kilogramos

Función Objetivo: Maximizar sus utilidades

Restricciones: R1. 1440x1 + 240x2 < 1800

R.2. 900x1 + 600x2 < 1200

Condición de No negatividad: x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

Modelo de Programación Lineal:

Max Z = 10x1 + 15x2

Sujetos a:

1440x1 + 240x2 < 1800

900x1 + 600x2 < 1200

x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

1.- Solución Grafica:

Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco

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2.- Reporte de la solución por el método simplex:

INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO:

Para obtener una utilidad máxima de 30 dólares semanales, se debe hacer una mezcla de 2

kilogramos de la marca cara y no se debe realizar mezcla con la marca Barata.

Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco

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3.- (Decisiones sobre plantación de cultivos) Un granjero tiene 100 hectáreas en los cuales puede

sembrar Maíz y Arroz . Dispone de $ 3000 a fin de cubrir el costo del sembrado. El granjero

puede confiar en un total de 1350 horas-hombre destinadas a la recolección de los dos cultivos y

en el cuadro se muestra los siguientes datos por hectárea:

CULTIVOS COSTO DE

PLANTAR

DEMANDA HORAS-

HOMBRE

UTILIDAD

MAIZ $20 5 $ 100

ARROZ $40 20 $ 300

Formule el modelo de Programación lineal que permita maximizar sus utilidades del granjero.

Solución:

CULTIVOS HECTAREAS COSTO DE

PLANTAR

DEMANDA

HORAS-HOMBRE

UTILIDAD

MAIZ 1 $20 5 $ 100

ARROZ 1 $40 20 $ 300

RECURSO

DISPONIBLE

100 $3000 1350

Variable s de Decisión:

x1 = Producción de Maíz por hectárea.

x2 = Producción de Arroz por hectárea.

Función Objetivo: Maximizar sus utilidades

Restricciones: R1. x1 + x2 < 100

R.2. 5x1 + 20x2 < 1350

R.3. 20x1 + 40x2 < 3000

Condición de No negatividad: x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

Modelo de Programación Lineal:

Max Z = 100x1 + 300x2

Sujeto a:

x1 + x2 < 100

5x1 + 20x2 < 1350

20x1 + 40x2 < 3000

x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

1.- Solución Gráfica:

Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco

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2.- Reporte de la solución por el método simplex:

INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO:

Para obtener una utilidad máxima de 21000 dólares, se debe cultivar 30 hectáreas de Maíz y 60

hectáreas de Arroz.

Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco

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4.- (Planeación dietética) La dietista de un hospital debe encontrar la combinación más barata de

dos productos, A y B, que contienen:

al menos 0.5 miligramos de tiamina

al menos 600 calorías

PRODUCTO TIAMINA CALORIAS

A 0.2 mg 100

B 0.08 mg 150

Solución:

PRODUCTO TIAMINA CALORIAS

A 0.2 mg 100

B 0.08 mg 150

REQUERIMINETOS MINIMOS 0.5 600

Variable s de Decisión:

x1 = Cantidad mas Barata del producto A

x2 = Cantidad mas Barata del Producto B

Función Objetivo: Minimizar Recursos

Restricciones: R1. 0.2x1 + 0.08x2 > 0.5

R.2. 100x1 + 150x2 > 600

Condición de No negatividad: x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

Modelo de Programación Lineal:

Min Z = x1 + x2

Sujeto a:

0.2x1 + 0.08x2 > 0.5

100x1 + 150x2 > 600

x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

1.- Solución Gráfica, como el tora no admite los valore de la primera restricción entonces a la

primera restricción lo multiplicamos por 100.

Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco

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2.- Reporte de la solución por el método simplex utilizando el Método M:

INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO:

Para Minimizar los costos a $4.41 se deben Adquirir 1.23 mg. Del producto A, y 3.18 mg. Del

producto B.

5.- En una fábrica de bombillas se producen dos tipos de ellas, las de tipo normal produce una

utilidad de $4.50 y las halógenas $ 6.00. La producción está limitada por el hecho de que no se

pueden fabricar al día más de 400 normales y 300 halógenas ni más de 500 en total. Si se vende

toda la producción, ¿cuántas de cada clase convendrá producir para obtener la máxima

ganancia?

Solución:

BOMBILLAS Producción

1

Producción

2

Producción

diaria

Utilidad

$

Normal 1 0 1 5

Halógenas 0 1 1 6

Producción Máxima diaria 400 300 500

Variable s de Decisión:

x1 = Cantidad de bombillas Normales a producir diariamente.

x2 = Cantidad de bombillas Halógenas a producir diariamente.

Función Objetivo: Maximizar utilidades.

Restricciones: R1. x1 < 400

R.2. x2 < 300

R.3. x1 + x2 < 500

Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco

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Condición de No negatividad: x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

Modelo de Programación Lineal:

Max Z =5x1 + 6x2

Sujeto a:

x1 < 400

x2 < 300

x1 + x2 < 500

x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

1.- Solución Gráfica:

2.- Reporte de la solución por el método simplex:

Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco

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INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO:

Para obtener una utilidad Máxima de $2800 dólares diarios se producir 200 bombillas normales

y 300 bombillas de halógeno.

6. (Espacio de Almacenamiento) La bodega de un departamento, de química industrial, almacena, al

menos 300 vasos de un tamaño y 400 de un segundo tamaño. Se ha decidido que el número total

de vasos almacenados no debe exceder de 1200. Determine las cantidades posibles de estos dos

tipos de vasos que pueden almacenarse y muéstrelo con una gráfica.

Solución:

Variable s de Decisión:

x1 = Cantidad de vasos de primer tamaño que deben almacenarse.

x2 = Cantidad de vasos de segundo tamaño que deben almacenarse.

Función Objetivo: Maximizar el número de vasos almacenados

Restricciones: R1. x1 > 300

R.2. x2 > 400

R.3. x1 + x2 < 1200

Condición de No negatividad: x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

Modelo de Programación Lineal:

Max Z = x1 + x2

Sujeto a:

x1 > 300

x2 > 400

x1 + x2 < 1200

x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

1.- Solución Gráfica:

Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco

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2.- Reporte de la solución por el método simples, como el modelo es mixto para la solución

utilizamos el método M (Método de penalñización):

INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO:

Para Maximizar la capacidad de almacenamiento se deben almacenar 800 vasos del primer

tamaño y 400 vasos del segundo tamaño,

7.- Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene dos naves. En la nave A, para

hacer la carrocería de un camión, se invierten 8 días – operario, para fabricar la de un coche se

necesitan 2 días – operario. En la nave B se invierten 3 días – operario tanto en carrocerías de

camión como de coche. Por las limitaciones de mano de obra y maquinaria la nave A dispone de

300 días – operario, y la nave B de 270 días – operario. Si los beneficios que se obtienen por

cada camión son de 4 mil dólares y por cada automóvil 2 mil dólares ¿cuántas unidades de

cada uno se deben producir para maximizar las utilidades las ganancias?

Solución:

NAVE AUTOMOVILES CAMIONES Dias-operario

A 2 7 300

B 3 3 270

UTILIDAD 2 4

Variable s de Decisión:

x1 = Cantidad de carrocerías para automóviles a fabricar.

x2 = Cantidad de carrocerías para camiones a fabricar.

Función Objetivo: Maximizar utilidades

Restricciones: R1. x1 + x2 < 8

R.2. 2x1 + 7x2 < 300

R.3. 3x1 + 3x2 < 270

Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco

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Condición de No negatividad: x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

Modelo de Programación Lineal:

Max Z = 2x1 + 4x2

Sujetos a:

x1 + x2 < 7

2x1 + 7x2 < 300

3x1 + 3x2 < 270

x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

1.- Solución Gráfica:

2.- Reporte de la solución por el método simplex:

INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO:

Para obtener una utilidad Máxima de 32 mil dólares se deben producir 8 carrocerías de

camiones.

Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco

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8. Dos productos se elaboran al pasar en forma sucesiva por tres máquinas. El tiempo por máquina

asignado a los productos está limitado a 10 horas por día. El tiempo de producción y la ganancia

por unidad de cada producto son: Minutos Por Unidad

Producto Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3 Ganancia

1 10 6 8 $2

2 5 20 15 $3

Determine cuantas unidades de cada productos se deben producir por día, que permita

maximizar las Ganancias.

Solución:

Variable s de Decisión:

x1 = Cantidad de Unidades del Producto 1, a producir por día.

x2 = Cantidad de Unidades del Producto 2, a producir por día.

Función Objetivo: Maximizar las Ganancias.

Restricciones: R1. 10x1 + 5x2 < 10(60)

R.2. 6x1 + 20x2 < 10(60)

R.3. 8x1 + 15x2 < 10(60)

Condición de No negatividad: x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

Modelo de Programación Lineal: Max Z = 2x1 + 3x2

Sujetos a:

10x1 + 5x2 < 600

6x1 + 20x2 < 600

8x1 + 15x2 < 600

x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

1.- Solución Gráfica:

Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco

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2.- Reporte de la solución por el método simplex:

INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO:

Para tener una ganancia máxima de $141,8182 dólares diarios se deben producir por día 55

unidades del producto 1 y 11 unidades del producto 2, por día.

9.- En una urbanización se van a construir casas de dos tipos: A y B. La empresa constructora

dispone para ello de un máximo de 1800 millones de pesos, siendo el costo de cada tipo de casa

de 30 y 20 millones, respectivamente. El condominio exige que el número total de casas no sea

superior a 80. Sabiendo que el beneficio obtenido por la venta de una casa de tipo A es de 4

millones y de 3 millones por una de tipo B, ¿ cuántas casas deben construirse de cada tipo para

obtener el máximo beneficio?. Solución:

TIPO DE

CASAS

COSTO MILLONES

DE $ CASAS

BENEFICIO

MILLONES DE $

A 30 1 4

B 20 1 3

RECURSO

DISPONIBLE

$1800 80

Variable s de Decisión:

x1 = Cantidad de casas tipo A a construir.

x2 = Cantidad de casas tipo B a construir

Función Objetivo: Maximizar los Beneficios.

Restricciones: R1. 30x1 + 20x2 < 1800

R.2. x1 + x2 < 80

Condición de No negatividad: x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco

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Modelo de Programación Lineal: Max Z = 4x1 + 3x2

Sujeto a:

30x1 + 20x2 < 1800

x1 + x2 < 80

x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

1.- Solución por el método gráfico:

2.- Reporte de la solución por el método simplex:

INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO:

Para tener una ganancia máxima de 260 millones de dólares se deben construir 20 casas tipo A y

60 casas tipo B.

Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco

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10.- Las restricciones pesqueras impuestas por el ministerio obligan a cierta empresa a pescar

como máximo 2000 toneladas de merluza y 2000 toneladas de jurel, además, en total, las

capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3000 toneladas. Si el precio de la merluza

es de $1000 por kg y el precio del jurel es de $1500 por kg, ¿ Qué cantidades debe pescar para

obtener el máximo beneficio?.

Solución:

TIPO DE

PESCADO PEZCA EN TONELADAS PEZCA PRECIO $

MERLUZA 1 0 1 1000

JUREL 0 1 1 1500

RECURSO

MAXIMO

2000 2000 3000

Variable s de Decisión:

x1 = Tonelada de Merluza a pescar.

x2 = Tonelada de Jurel a pescar.

Función Objetivo: Maximizar los Beneficios.

Restricciones: R1. x1 < 2000

R.2. x2 < 2000

R.3 x1 + x2 < 3000

Condición de No negatividad: x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

Modelo de Programación Lineal:

Max Z = 1000x1 + 1500x2

Sujeto a:

x1 < 2000

x2 < 2000

x1 + x2 < 3000

x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

1.- Solución Gráfica:

Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco

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2.- Reporte de la solución por el método simplex:

INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO:

Para tener una ganancia máxima de 4000 dólares se debe pescar 1000 toneladas de Merluza y

2000 toneladas de Jurel.

Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco

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11.- Un agricultor posee un campo de 70 hectáreas y puede cultivar ya sea trigo o cebada.-Si

siembra trigo gasta US$ 30 por cada hectárea plantada. En cambio si siembra cebada, su gasto

es de US$ 40 por hectárea. El capital total disponible es de US$ 2.500. Por otra parte, también

existen restricciones en la disponibilidad de agua para los meses de octubre y noviembre,

según se indica:

Mes

Consumo m3 / Hcta

Trigo

Consumo m3 / Hcta

Cebada

Disponibilidad

m3

Octubre 900 650 57900

Noviembre 1200 850 115200

Una hectárea cultivada rinde 30 Tm de trigo o 25 Tm de cebada según sea el caso. Los precios

vigentes por Tm son de US$ 4,5 para el trigo y US$ 6,0 para la cebada. Utilizando el método

gráfico, determinar la cantidad de hectáreas de trigo y de cebada que debe sembrar el

agricultor para que maximice su beneficio.

SOLUCION

Variable s de Decisión:

x1 = cantidad de hectáreas destinadas al sembrado de Trigo.

x2 = cantidad de hectáreas destinadas al sembrado de Cebada.

Función Objetivo: Maximizar los Beneficios.

Restricciones: R1. x1 + x2 < 70

R.2. 30x1 + 40x2 < 2500

R.3 900x1 + 650x2 < 57900

R.4. 1200 x1 + 850x2 < 115200

Condición de No negatividad: x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

Modelo de Programación Lineal:

Max Z = [30(45) - 30] x1 + [25(6) - 40] x2

Max Z = 105 x1 + 110 x2

Sujeto a:

x1 + x2 < 70

30x1 + 40x2 < 2500

900x1 + 650x2 < 57900

1200 x1 + 850x2 < 115200

x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

1.- Solución Gráfica:

Autor: Jorge Acosta Piscoya & Débora Mejía Pacheco

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2.- Reporte de la solución por el método simplex:

INTERPRETACIÓN DEL RESULTADO:

Para tener un beneficio máximo de 7550 dólares se debe destinar a la siembra 30 hectáreas de

Trigo y 40 hectáreas de cebada. .