FINANZAS OPERATIVAS

VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUASIng. Ral Acurio del Pino2DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAYa sabemos una clasificacin de las variables estadsticas en discretas y continuas, atendiendo al conjunto de valores que podan tomar.

Ejemplo de variable discreta es el nmero de hijos de una familia, la edad de los alumnos, o el nmero de respuestas falladas en un test.

Ejemplo de variables continuas es la estatura de las personas, los tiempos de espera de un autobs, o la duracin de un tipo de pilas.

Si los valores de la variable son muy numerosos y dispersos, stos han de agruparse en intervalos a fin de obtener frecuencias apreciables.Estos intervalos se denominan clases.

Ya hemos visto las distribuciones de probabilidad discreta.De ellas, la distribucin binomial destaca por su importancia prctica.Ahora veremos las distribuciones de probabilidad continua.De ellas, la distribucin normal va a destacar por su importancia prctica.3Ejemplo de distribucin de probabilidad continuaConsideremos la variable continua Xi que mide la concentracin (mg/l) de disolvente en 100 muestras de agua fluvial. XiFre absFre rel[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)253015151050,250,300,150,150,100,05 =100 =1

10 20 30 40 50 60 mg/l4Incrementando el nmero de muestras recogidas a 500, 1.000, 2.000, ...,1.000.000, en lugar de las 100 que tenemos; a la vez que reducimos la longitud de los intervalos de clase, (0, 1) , (0, 01) , (0, 001), en lugar de (0, 10) que tenemos , se llega a histogramas cuyos lados superiores forman una polgono que cada vez es menos irregular.

Las frecuencias relativas de las clases se aproximaran a las probabilidades respectivas.Idealmente se llegara a una lnea poligonal superior curva, bajo la cual el rea limitada es la unidad.

La curva as obtenida nos permitir calcular probabilidades de la variable continua Xi en cualquier entorno.

Esta curva se llama FUNCIN DE DENSIDAD.Calcular probabilidades entre dos valores de xi ser hallar el rea comprendida entre la funcin de densidad y el eje Xi. 5FUNCIN DE DENSIDAD

En color rojo se aprecia la lnea quebrada que forman las frecuencias relativas en una distribucin de variable continua o histograma.0 10 20 30 40 50 60 mg/lEn color azul se ha superpuesto la Funcin de densidad en que se convierte al aumentar notablemente el nmero de intervalos o clases.6Para que f(x) sea una funcin de densidad debe cumplir las siguientes condiciones:

1.-f(x) 0, para todo valor del intervalo [a, b] donde la variable aleatoria tiene su campo de definicin.2.-El rea limitada por la curva f(x), entre los extremos a y b y el eje de abscisas, es la unidad.3.-Las reas determinadas por f(x) en cualquier intervalo [x1, x2] incluido en [a, b] es la probabilidad de que la variable continua Xi est en el intervalo [x1, x2]a x1 x2 f (x) > 0 b 7

El rea que nos interese se calcular:

Por el clculo integral.Ocasionalmente por mtodos geomtricos elementales.O mediante tablas ya elaboradas para este fin.8EJERCICIO_1

Sea la funcin:f(x) = 1/4 , si x [0, 4]

Comprueba que es una funcin de densidad. Calcula P(1,6 x 5,2)

rea del rectngulo:A=b.h = 4. = 1

P(1,6 x 4) = (4 1,6) x == 2,4 x = 0,6

0 1 2 3 4Pi

0,251,6