modelos discretos de probabilidad · esta vez, la variable aleatoria hipergeom´etrica x representa...

MODELOS DISCRETOS DE

PROBABILIDAD

M. en C. Juan Carlos Gutierrez Matus

Instituto Politecnico Nacional

2004

IPN – UPIICSA c©2004 Juan C. Gutierrez Matus

Variables Aleatorias Discretas Modelo Uniforme Discreto

Modelo Uniforme Discreto

Sea X una VAD finita, la cual posee n valores especıficos

x1, x2, . . . , xn, cada valor con una probabilidad de 1/n. Esto es,

que su funcion de probabilidad esta definida por:

f(x) =1

n, x = x1, x2, . . . , xn

La media y la varianza de la distribucion uniforme discreta:

E[X] =1

n

n∑

i=1

xi, Var(X) =1

n

n∑

i=1

(xi − E[X])2

IPN – UPIICSA c©2004 Juan C. Gutierrez Matus 1

Variables Aleatorias Discretas Modelo Uniforme Discreto

Modelo Uniforme Discreto

Ejemplo: Si seleccionamos aleatoriamente un foco de una caja que

contiene cinco focos, de 40, 60, 75, 100 y 150 watts. Sea X los watts

del foco seleccionado, entonces es una variable aleatoria discreta con:

f(x) =1

5, x = 40, 60, 75, 100, 150

Representacion grafica con un histograma:

f(x)

1/5

1/10

40 60 75 100 150 X


Variables Aleatorias Discretas Bernoulli

Bernoulli

Definicion: En muchas ocasiones, un experimento aleatorio se

desarrolla al repetir n veces un ensayo. Dicho ensayo tiene dos

resultados que se pueden calificar ya sea como un “exito” o como un

“fracaso”. Ya que las repeticiones son independientes una de la otra,

las probabilidades de exito (p) o fracaso (q = 1 − p) se mantienen

constantes.

A todo el experimento antes descrito se le denomina “Proceso de

Bernoulli” y a cada repeticion se le llama “Ensayo de Bernoulli”,

notacion:

Bern(p)


Variables Aleatorias Discretas Distribucion Binomial (n, p)

Distribucion Binomial (n, p)

Definicion: Si X denota el numero de exitos en n ensayos de

Bernoulli con P(exito) = p, entonces X es una Variable Aleatoria

de Binomial, X ∼ Bin(n, p).

La distribucion de esta variable aleatoria discreta es una

Distribucion Binomial con parametros n y p.

f(x) = b(x;n, p) =

(

n

x

)

pxqn−x, x = 0, 1, 2, . . . , n

E[X] = np, Var(X) = npq


Variables Aleatorias Discretas Distribucion Binomial (n = 14, p = 0.35)

Distribucion Binomial (n = 14, p = 0.35)

f(x)

X0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

f(x) =

(

14

x

)

pxq14−x


Variables Aleatorias Discretas Distribucion Binomial

Distribucion Binomial

Ejemplo: Al seleccionar cinco productos terminados al azar de un

proceso de ensamble, se inspeccionan y se clasifican como defectuosos

y no defectuosos. El hallar un defectuoso se designa como un exito.

La probabilidad de encontrar un defectuoso es del 25% . Encuentre la

probabilidad de encontrar exactamente 3 defectuosos.

No. de Ensayos = 5; No. de Exitos = 3

Probabilidad de Exito = 1/4

b(3; 5, 1/4) =

(

5

3

)(

1

4

)3 (

3

4

)2

= 10 ×9

1024=

45

512


Variables Aleatorias Discretas Areas de Aplicacion2

Areas de Aplicacion1

“El ingeniero industrial esta muy interesado en la proporcion de

defectuosos en un proceso industrial. A menudo, las mediciones

de control de calidad y los esquemas de muestreo para procesos

se basan en la distribucion binomial. Esta se aplica en cualquier

situacion industrial donde el resultado de un proceso es dicotomico

y los resultados del proceso son independientes, y la probabilidad de

exito o fracaso es importante.”

1Walpone & Myers, “Probabilidad y Estadıstica”, p.119


Variables Aleatorias Discretas Distribucion Geometrica (p)

Distribucion Geometrica (p)

Suponga que consideramos secuencia infinita de ensayos de Bernoulli

Bern(p).Sea la variable aleatoria X el numero de ensayos hasta que

el primer exito es obtenido.

Entonces, X es una Variable Aleatoria Geometrica,

X ∼ Geom(p). Cuando X = x corresponde a x − 1 fracasos y un

exito. La distribucion de probabilidad de X es una Distribucion

Geometrica:

f(x) = g(x; p) = pqx−1, x = 1, 2, 3, . . .

E[X] = 1p, Var(X) = 1−p

p2


Variables Aleatorias Discretas Distribucion Geometrica (p = 0.4)

Distribucion Geometrica (p = 0.4)

f(x)

X0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

f(x) = (0.4)(0.6)x−1


Variables Aleatorias Discretas ¡La Distribucion Geometrica no tiene memoria!

¡La Distribucion Geometrica no tiene memoria!

Suponga que Z ∼ Geom(p). Entonces para los numeros enteros s y

t, tenemos:

P(Z > s + t|Z > s) = P(Z > t)

¿Por que de esta propiedad de no tener memoria?

Si un evento no ha ocurrido para el tiempo s, la probabilidad de

que este ocurrira despues de un tiempo adicional t es la misma la

probabilidad (a priori) que este ocurrira despues de tiempo t. Estos es

que olvido lo que hizo en el tiempo pasado s.


Variables Aleatorias Discretas Distribucion Geometrica

Distribucion Geometrica

Ejemplo: En un proceso de fabricacion, se sabe que, en promedio,

uno de cada 50 artıculos esta defectuoso. ¿Cual es la probabilidad

de que el cuarto artıculo que se inspecciona sea el primer artıculo

defectuoso que se encuentra?

Si usamos la distribucion geometrica con x = 4 y p = 1/50.

g(4; 1/50) =

(

1

50

)(

49

50

)3

=

(

117649

6250000

)

≈ 0.019


Variables Aleatorias Discretas Aplicaciones de la Distribucion Geometrica4

Aplicaciones de la Distribucion Geometrica3

Situaciones en que los ingenieros o administradores intentan determinar

cuan ineficiente es un sistema durante el periodo de tiempo utilizado.

Claramente, las pruebas se realizarıan antes de que estas representen

un costo. Si hay una alta probabilidad de que el sistema falle, entonces

se deben hacer planes para redisenar el sistema.



Variables Aleatorias Discretas Distribucion Binomial Negativa (p) o Distribucion Pascal

Distribucion Binomial Negativa (p) o Distribucion Pascal

Suponga que consideramos secuencia infinita de ensayos de Bernoulli

Bern(p). Sea la variable aleatoria X el numero de ensayos hasta

obtener el k − esimo exito.

Entonces, X es una Variable Aleatoria Binomial Negativa,

X ∼ NegBin(k, p). La distribucion de probabilidad de X es una

Distribucion Binomial Negativa:

f(x) = b∗(x; k, p) =(

x−1k−1

)

pkqx−k, x = k, k + 1, k + 2, . . .

E[X] = kp, Var(X) = k(1−p)

p2


Variables Aleatorias Discretas Distribucion Binomial Negativa (k = 3, p = 0.35)

Distribucion Binomial Negativa (k = 3, p = 0.35)

f(x)

X0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

f(x) =(

x−12

)

p3qx−3


Variables Aleatorias Discretas Distribucion Binomial Negativa

Distribucion Binomial Negativa

Ejemplo: Encuentre la probabilidad de que una persona que lanza

tres monedas obtenga solo aguilas o solo soles por segunda vez en el

quinto lanzamiento.

x = 5, k = 2, p =1

4

b∗(5; 2, 1/4) =

(

4

1

) (

1

4

)2 (

3

4

)3

=4!

1!3!·33

45=

27

256


Variables Aleatorias Discretas Aplicaciones de la Distribucion Binomial Negativa6

Aplicaciones de la Distribucion Binomial Negativa5

Las aplicaciones son muy similares en naturaleza a las de la distribucion

geometrica. Los intentos son costos en algun sentido y ocurren en

sucesion. Una alta probabilidad de que se requiera un numero grande

de intentos para experimentar un numero fijo de exitos no es benefica

para el ingeniero.



Variables Aleatorias Discretas Distribucion Hipergeometrica

Distribucion Hipergeometrica

¿La recuerdan? Esta vez, la variable aleatoria hipergeometrica X

representa el numero de exitos de una muestra aleatoria de tamano n

que se selecciona de N artıculos, de los que k se denominan “exitos”

y N − k “fracasos”.

f(x) =

(

k

x

)(

N − k

n − x

)

(

N

n

) , x = 0, 1, 2, . . . , n

E[X] =nk

N, Var(X) =

N − n

N − 1· n ·

k

N

(

1 −k

N

)


Variables Aleatorias Discretas Distribucion Hipergeometrica (N = 50, n = 12, k = 20)

Distribucion Hipergeometrica (N = 50, n = 12, k = 20)

f(x)

X0.00

0.02

0.04

0.06

0.09

0.11

0.13

0.15

0.17

0.19

0.21

0.24

0.26

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

f(x) =

(

20

x

)(

30

12 − x

)

(

50

12

)


Variables Aleatorias Discretas Distribucion Hipergeometrica

Distribucion Hipergeometrica

Ejemplo7: Lotes de 50 componentes cada uno se denomina aceptable

si no contiene mas de tres de defectuosos. El procedimiento para

muestrear el lote es la seleccion de 6 componentes al azar y rechazar

todo el lote si se encuentra algun componente defectuoso. ¿Cual es

la probabilidad de que se encuentre exactamente un defectuoso en la

muestra si hay tres defectuosos en todo el lote?



Variables Aleatorias Discretas Relacion entre la Hipergeometrica y la Binomial

Relacion entre la Hipergeometrica y la Binomial

Cuando n es pequeno comparado con N , la naturaleza de los N

artıculos cambia muy poco, esto es N − n ≈ N . De esta forma,

la cantidad k/N se aproxima a ser constante y juega el mismo

papel que el parametro binomial p. Ası, la distribucion binomial se

puede ver como una version de poblacion grande de las distribuciones

hipergeometricas.

µ = np =nk

N, σ2 = npq = n ·

k

N

(

1 −k

N

)


Variables Aleatorias Discretas Proceso de Poisson

Proceso de Poisson

Sea N(t) un proceso de conteo. Esto es, N(t) es el numero de

ocurrencias (o arribos, o eventos) de algun proceso sobre el intervalo

de tiempo [0, t].

Sea λ > 0 el numero promedio de ocurrencias por unidad de tiempo

(o longitud o volumen).


Variables Aleatorias Discretas Proceso de Poisson

Proceso de Poisson

Un Proceso de Poisson es un proceso de conteo particular, que

cumple con lo siguiente:

(1) El numero de resultados en dos intervalos mutuamente

excluyentes, son independientes. Por lo que el proceso Poisson no

tiene memoria.

(2) Los resultados ocurren uno a la vez y a un ritmo de

λ/unidad de tiempo y este no cambia con el tiempo.

(3) La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un

intervalo muy pequeno es proporcional a la longitud del intervalo y no

depende de el numero de resultados que suceden fuera de este.


Variables Aleatorias Discretas Distribucion de Poisson

Distribucion de Poisson

Sea X el numero de resultados en un proceso Poisson(λ) en una

unidad del intervalo de tiempo. Entonces X tiene una Distribucion

de Poisson con parametro λ. Notacion: X ∼ Pois(λ).

p(x;λ) =e−λλx

x!, x = 0, 1, 2, . . . , λ > 0

E[X] = Var(X) = λ


Variables Aleatorias Discretas Distribucion Poisson (λ = 4.0)

Distribucion Poisson (λ = 4.0)

f(x)

X0.00

0.02

0.04

0.06

0.09

0.11

0.13

0.15

0.17

0.19

0.21

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

f(x) =e−44x

x!




Nota: El valor de λ puede ser cambiado simplemente al cambiar las

unidades de tiempo.

Ejemplo:

X = # de llegadas en 1 minuto. X ∼ Pois(3)

Y = # de llegadas en 5 minutos. Y ∼ Pois(15)

Z = # de llegadas en 10 segundos. Z ∼ Pois(0.5)




Ejemplo: El numero de arribos a las instalaciones de servicio, siguen

una distribucion Poisson con media de 3 arribos/hr. ¿Cual es la

probabilidad de que arriben menos 4 durante un periodo de 40 minutos?

Sea X el numero arribos en 40 minutos.

Entonces X ∼ Pois(2).

E[X] = Var(X) = 2

P(X ≤ 3) =3

∑

x=0

p(x; 2) =3

∑

x=0

e−22x

x!


modelos discretos de probabilidad · esta vez, la variable aleatoria hipergeom´etrica x representa...

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