valor medio de una función

7/25/2019 Valor Medio de Una Función

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Unidad 2. Aplicación de la integración

Actividad 4. Valor medio de una función

TEOREMA DEL VALOR MEDO !ARA "TE#RALE$

Este teorema es importante porque asegura que una función continua en un intervalocerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto.• Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un número c en este intervalo tal

que



Demostración:

!rimer ca%o: Si f es constante en el intervalo [a, b] el resultado es trivial puesto que cpuede ser cualquier punto.

$egundo ca%o: Si f no es constante en [a, b] elegimos m ! como el menor maor valor que toma f en el intervalo. "ado que m # f$x% # ! & x ' [a, b] por el teorema deconservación de desigualdades. (plicando propiedades:

entonces



"ado que f es continua el teorema del valor intermedio asegura que f alcanza cada valor entre su m)nimo su m*ximo. +or lo tanto permite deducir que debe alcanzar el valor

en algún punto c del intervalo. [a, b]. ueda demostrado que existe algún c tal que



nterpretación gr&fica del teorema para una función po%itiva:

rect*ngulo inscripto $*rea menor que la dela región%

rect*ngulo del valor medio $*rea igual quela de la región%



rect*ngulo circunscripto $*rea maor que la de la región%

El valor de c no es necesariamente único. Este teorema no especifica cómo determinar c.Solamente garantiza la existencia de algún número c en el intervalo. +ermite unainterpretación interesante para el caso en que f es no negativa en [a, b]. En este caso



es el *rea ba-o la gr*fica de f entre a b. El teorema asegura que existe un valor c delintervalo al que est* asociado f$c% que corresponde a la altura del rect*ngulo de longitudde la base $b a% su *rea coincide con la de la región.



El valor de f$c% /allado según el teorema del valor medio para integrales coincide con elvalor promedio o medio de una función por eso a

se le llama valor medio de f en el intervalo [a, b].

'one(ión )ue e(i%te entre el Teorema del valor medio del c&lculo diferencial * delc&lculo integral.



a bcb

f$b% 0 f $a%

b 0 a

Si tenemos una función 1 continua en el intervalo cerrado [a, b] adem*s es diferenciableen el intervalo abierto $a, b% entonces existe un número c tal que:a 2 c 2 b la derivada de la función en ese punto ser*:

3r*ficamente lo podemos representar de la siguiente manera:

"e esta grafica se desprende la definición del valor promedio de una función

4 podemos ver la relación de



4 si nombramos a una función g$x% 5 f6$x% podemos reescribir la expresión de la siguientemanera:

que resulta ser el 7eorema del valor medio para integrales.

g$x% es continua en [a, b], entonces existe c tal que g$c% 5 gpromedio

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