USO DE EXCEL PARA CALCULAR COMBINACIONES EN JUEGOS DE AZAR.

ANÁLISIS COMBINATORIO MEDIANTE LA FUNCIÓN COMBINAT DE LA HOJA DE CÁLCULO EXCEL:

El Análisis Combinatorio es fundamental para calcular probabilidades de resultados en los juegos de azar. Si un jugador no desea realizar el cálculo de combinaciones mediante la aplicación de la fórmula nCr, ni desea emplear el Triángulo de Pascal para el mismo propósito, ni perder tiempo elaborando la representación gráfica del total de combinaciones que puede arrojar un juego de azar, entonces puede usar la útil función COMBINAT de la hoja de cálculo de Excel, para lo cual debe seguir los siguientes pasos:

Es fácil usar una hoja de cálculo como la de Excel de Microsoft para obtener los resultados del total de las combinaciones que pueden ocurrir cuando un determinado número de elementos son tomados aleatoriamente de un mismo Espacio de Eventos: verbigracia, balotas numeradas que son tomadas de una misma urna, cartas que son sacadas de un mismo mazo, etc. Como lo muestra la anterior gráfica, en primer lugar se debe posicionar el cursor sobre cualquier celda vacía de una hoja de cálculo, en este caso en la celda A1, y a continuación se acciona la pestaña «Insertar» y del menú desplegable se escoge la opción «Función».

Cuando es activada la opción «Función» se abre automáticamente una ventana que ofrece diversas clases de funciones que pueden ser escogidas: como funciones financieras, matemáticas, estadísticas, lógicas, etc. En este caso, para poder realizar cálculos de combinaciones, es necesario escoger las funciones «Matemáticas y Trigonométricas».

Al seleccionar la categoría de las funciones Matemáticas y Trigonométricas, automáticamente en la ventana del recuadro inferior se despliega un listado con todas las posibles funciones que pertenecen a esta categoría, y para poder realizar cálculos combinatorios sólo basta escoger la función «COMBINAT».

EJEMPLOS DE CÁLCULO DE COMBINACIONES CON EXCEL EN JUEGOS DE AZAR:

Supongamos que en una urna hay 3 dulces de diferente sabor: Menta, Chocolate y Fresa. Estos 3 dulces conforman un mismo «Espacio de Eventos», integrado por 3 elementos diferentes que pueden combinarse entre sí de diversas maneras según cómo sean seleccionados aleatoriamente. Un espectador desea calcular en la hoja Excel la cantidad de posibles combinaciones que se pueden formar entre esos 3 dulces si aleatoriamente son extraídos de la urna tomando una cantidad diferente en cada ocasión.

Así, una vez que ha seleccionado la función «COMBINAT» en la hoja de cálculo, se abre automáticamente una nueva ventana para la introducción de los «Argumentos de función», es decir, para introducir los datos que serán operados. A continuación en la casilla superior de esa ventana identificada como «Número» introduce la cantidad de elementos que conforman el conjunto analizado, es decir, introduce el número 3 que corresponde a la cantidad de dulces de diferente sabor que hay en la urna y que constituyen el Espacio de eventos a analizar. Si en primer lugar el espectador calcula las combinaciones que pueden ocurrir cuando la mano es introducida en la urna y no se selecciona ningún dulce (equivalente a calcular 3C0), entonces en la casilla identificada como «Tamaño» debe colocar el número 0 que corresponde a no seleccionar ningún elemento del conjunto, y automáticamente el resultado de la fórmula es 1 como se observa en la gráfica superior, lo que equivale a que en este caso hay una sola combinación posible que obviamente está formada por cero elementos (introducir la mano en la urna y no sacar ningún dulce).

Si se asume que la mano es introducida en la urna y de los 3 dulces disponibles se saca aleatoriamente un solo dulce a la vez (equivalente calcular 3C1), entonces como se observa en la anterior gráfica en la casilla de «Tamaño» se coloca el número 1 que equivale a que del conjunto de eventos se selecciona aleatoriamente sólo uno, y automáticamente el resultado es 3, lo que significa que hay 3 posibles combinaciones diferentes cuando la mano es introducida en la urna y se saca 1 dulce a la vez: o que salga de Menta, o que salga de Chocolate, o que salga de Fresa. En este caso se puede afirmar que la probabilidad de ocurrencia de cada uno de esos 3 eventos es de: P = 1/3 = 0,3333.

Si ahora se asume que la mano es introducida en la urna y se sacan 2 dulces a la vez (equivalente a calcular 3C2), entonces como se observa en la anterior gráfica en la casilla de «Tamaño» se debe colocar el número 2 que indica que del conjunto de eventos se van a seleccionar aleatoriamente 2 elementos a la vez, lo cual automáticamente arroja que el resultado es 3, ya que al introducir la mano en la urna y sacar de a 2 dulces a la vez las posibles combinaciones son sólo 3: que salga Menta−Chocolate, o que salga Menta−Fresa, o que salga Chocolate−Fresa. No hay que olvidar que en este caso las combinaciones son equivalentes a todos sus inversos, y por tanto la combinación Menta−Chocolate es igual que la combinación inversa Chocolate−Menta, y la combinación Menta−Fresa es equivalente a su inverso

Fresa−Menta, y la combinación Chocolate−Fresa es igual a la inversa Fresa−Chocolate. En este caso se puede afirmar que la probabilidad de introducir la mano en la urna y sacar cualquier combinación entre 2 dulces, como la combinación Menta−Chocolate, tiene un valor de: P = 1/3 = 0,3333.

Finalmente, como se observa en la anterior imagen, si se asume que la mano es introducida en la urna y a la vez se sacan los 3 dulces disponibles, entonces al colocar el número 3 en la casilla «Tamaño» automáticamente se obtiene que sólo hay 1 sola combinación posible: que salga Menta−Chocolate−Fresa. En este caso también se tiene en cuenta que esa única combinación es equivalente a su inverso y a todas las demás combinaciones conformadas por los mismos elementos como: Menta−Fresa−Chocolate o

Chocolate−Fresa−Menta o Fresa−Menta−Chocolate, etc. En verdad en este ejemplo mediante el uso de la hoja de cálculo Excel se han obtenido en cada caso los valores correspondientes al desarrollo de la fórmula: 3C0+3C1+3C2+3C3 = 1+3+3+1 = 8combinaciones; solo que para el cálculo de las probabilidades se ha tenido en cuenta la cantidad de combinaciones posibles referidas a un número específico de elementos que son tomados de la urna en cada ocasión: cuando se toma 1 elemento sólo hay 3 combinaciones posibles, cuando se toman 2 elementos a la vez sólo hay 3 combinaciones posibles, etc.

Como lo muestra la anterior imagen, si se trata de una partida de póquer Texas Hold’em un analista usando la hoja de cálculo Excel puede concluir que

si el mazo de 52 cartas está completo, entonces en sus primeras 2 cartas (Pocket Cards) extraídas de ese mazo podría recibir cualquiera de las 1.326 combinaciones posibles que se pueden formar cuando 2 cartas son tomadas del conjunto de 52, lo cual también es resultante de calcular la fórmula 52C2, y por tanto la probabilidad de cada posible combinación es de P = 1/1.326.

Y si se trata del Draw Poker, entonces usando la hoja de cálculo Excel se puede concluir que dentro de las primeras 5 cartas el jugador puede recibir cualquiera de las 2.598.960 combinaciones posibles que se pueden formar cuando 5 cartas son tomadas aleatoriamente de un mazo completo de 52 cartas, lo cual también es resultante de calcular la fórmula 52C5, y por tanto

la probabilidad de ocurrencia de cada posible combinación es de P = 1/2.598.960.

Obviamente, si en todos estos ejemplos últimos ejemplos el mazo de cartas se ha reducido a 50, 48, 45 o menos cartas, entonces esa cifra es la que debe ser incluida en la casilla «Número» de los argumentos de la función, y según sea el número de cartas extraídas en cada ocasión se puede reducir la cantidad de posibles combinaciones entre las mismas.

El uso de programas ofimáticos como Excel de Microsoft simplifica las cosas y acelera el cálculo de los resultados de operaciones que en otras épocas demandaban mucho tiempo, y por eso es conveniente que todo jugador profesional tenga conocimiento de la manera de emplear estas herramientas a su favor.

FUENTES DE CONSULTA:

BARBOIANU, Catalin. Probability Guide to Gambling: The mathematics of dice, slots, roulette, baccarat, blackjack, poker, lottery and sport bets.

CUADRAS, Carles. Problemas de probabilidades y estadística. P.P.U., Barcelona, 1990.

HAEUSSLER, Ernest; PAUL, Richard; WORD, R. J. Introductory mathematical analysis for business, economics and the life and social sciences. Prentice Hall.

THORP, Edward. Elementary probability. Wiley & Sons, New York, 1976.

TIJMS, Henk. Understanding probability: Chance rules in everyday life. Cambridge University Press, 2004.

WIKIPEDIA. Consulta de los términos: Combinations; Combinatorial Analysis; Excel; Gaming Mathematics; Probability Theory; Sample Space; Set; Subset; Theory of Probability.