combinaciones optica

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Gu´ ıa de ejercicios N o 1 curso ´ Optica Departamento de F´ ısica, Facultad de Ciencias, Universidad de Chile Profesor: Rodrigo Vicencio 27 de Marzo de 2013 Ayudantes: Luis Morales y Julio Urrutia 1. Ley de reflexi´ on. Dos espejos planos tienen sus superfi- cies reflectantes una frente a otra, con el borde de uno de los espejos en contacto con el otro, de manera que el ´ angulo entre ellos es α (ver figura). Si un objeto se sit´ ua entre los espejos se forman varias im´ agenes. ¿Cu´ antas im´ agenes se forman si α = 30 ? Generalice para un ´ angulo α = 360 n con “n” un n´ umero entero. 2. Ley de Snell. Un cilindro transparente de radio R =2 m tiene una superficie plateada sobre su mitad derecha como lo muestra la figura. Un rayo de luz viaja en el aire e incide en el lado izquierdo del cilindro. El rayo de luz incidente y de salida son paralelos siendo d = 2 m. Determine el ´ ındice de refracci´on del material. 3. Ley de Snell. Un haz de luz incide desde el vac´ ıo en la superficie 1 de un prisma triangular y en la superficie 2, se refleja totalmente como muestra la figura. Determine el ´angulo de incidencia. 4. Cilindro de vidrio (P). Un cilindro de vidrio puede ser utilizado para m´ ultiples ope- raciones de control lum´ ınico. Por ejemplo, podemos usar este dispositivo como una lente enfocadora. Tambi´ en, escogiendo correctamente los ´angulos de incidencia, pode- mos determinar con precisi´ on la direcci´on de salida de un rayo de luz monocrom´atico. “Enfoqu´ emosnos” en esta ´ ultima operaci´ on lum´ ınica. Sea: n aire =1,n agua = 1.33, n vidrio = 1.7 y R = 2 cm. a) Considere la figura 1(a) en donde el tercer rayo refractado sale exactamente opuesto al incidente. Encuentre una expresi´ on para el ´angulo α en t´ erminos de los ´ ındices de refracci´on. Calcule el valor en grados del ´angulo α con los datos entregados. b) Queremos ahora que la luz salga formando un ´angulo de 90 grados con respecto al ´ angulo incidente [ver figura 1(b)]. Encuentre una expresi´ on para el ´ angulo α, en erminos de los ´ ındices de refracci´ on, en el que sucede ´ esto. Calcule el valor en grados del ´ angulo α con los datos entregados. 1

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COMBINACIONES OPTICA

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Page 1: COMBINACIONES OPTICA

Guıa de ejercicios No1 curso Optica

Departamento de Fısica, Facultad de Ciencias, Universidad de Chile

Profesor: Rodrigo Vicencio 27 de Marzo de 2013Ayudantes: Luis Morales y Julio Urrutia

1. Ley de reflexion. Dos espejos planos tienen sus superfi-cies reflectantes una frente a otra, con el borde de unode los espejos en contacto con el otro, de manera que elangulo entre ellos es α (ver figura). Si un objeto se situaentre los espejos se forman varias imagenes. ¿Cuantasimagenes se forman si α = 30◦? Generalice para unangulo α = 360

ncon “n” un numero entero.

2. Ley de Snell. Un cilindro transparente de radio R = 2m tiene una superficie plateada sobre su mitad derechacomo lo muestra la figura. Un rayo de luz viaja en elaire e incide en el lado izquierdo del cilindro. El rayo deluz incidente y de salida son paralelos siendo d = 2 m.Determine el ındice de refraccion del material.

3. Ley de Snell. Un haz de luz incide desde el vacıo en la superficie 1de un prisma triangular y en la superficie 2, se refleja totalmentecomo muestra la figura. Determine el angulo de incidencia.

4. Cilindro de vidrio (P). Un cilindro de vidrio puede ser utilizado para multiples ope-raciones de control lumınico. Por ejemplo, podemos usar este dispositivo como unalente enfocadora. Tambien, escogiendo correctamente los angulos de incidencia, pode-mos determinar con precision la direccion de salida de un rayo de luz monocromatico.“Enfoquemosnos” en esta ultima operacion lumınica.

Sea: naire = 1, nagua = 1.33, nvidrio = 1.7 y R = 2 cm.

a) Considere la figura 1(a) en donde el tercer rayo refractado sale exactamente opuestoal incidente. Encuentre una expresion para el angulo α en terminos de los ındicesde refraccion. Calcule el valor en grados del angulo α con los datos entregados.

b) Queremos ahora que la luz salga formando un angulo de 90 grados con respecto alangulo incidente [ver figura 1(b)]. Encuentre una expresion para el angulo α, enterminos de los ındices de refraccion, en el que sucede esto. Calcule el valor engrados del angulo α con los datos entregados.

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Page 2: COMBINACIONES OPTICA

α

β

ncilindro

naire

naire

R

α

βnaire naire

R

α

βnaire

naire

R

α

β

nagua

R

nagua

(a) (b)

(c) (d)

ncilindro

ncilindroncilindro

Figura 1: Corte transversal de un cilindro de vidrio de radio R. Un haz de luz incide en el enun angulo α. (a) Salida opuesta. (b) Salida perpendicular. (c) Reflexion total interna. (d) 4puntos.

c) Buscamos lograr que una vez que entra la luz al cilindro no salga nunca mas: confi-namiento total [ver figura 1(c)]. Determine si es o no posible lograr esto con estedispositivo.

d) Sumerjamos el cilindro en agua. ¿Para que angulo de incidencia α la luz se refrac-tara/reflejara en solo cuatro puntos [ver figura 1(d)]? Calcule el valor en grados delangulo α con los datos entregados.

5. Combinacion de espejos. Una cavidad optica - elemento basico para construir un laser -puede ser hecha utilizando un espejo plano y uno esferico como se muestra en la figura 2.

a) Si ponemos un peon de ajedrez entre los dos espejos tal que s1 = 5 m, s2 = 20 m,R = 10 m, y h1 = 5 cm, encuentre las imagenes del peon debidas a ambos espejos.¿Son ellas reales? ¿Estan invertidas? ¿Cual es su tamano?

b) Utilize estas dos imagenes como dos nuevos objetos para ası generar dos nuevasimagenes. Si sigue haciendo esto muchas veces entendera el porque se ven infinitasimagenes cuando se ponen dos espejos uno frente al otro.

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Page 3: COMBINACIONES OPTICA

Espejo 1 Espejo 2

Eje ópticoCO

s1 Rs2

h1

Figura 2:

6. Espejos esfericos. Un rectangulo de 10 cm × 20 cm secoloca de manera que su borde derecho esta a 40 cm a laizquierda de un espejo esferico concavo, como muestrala figura. El radio de curvatura del espejo es 20 cm.

a) Dibuje la imagen formada por el espejo

b) ¿Cual es el area de la imagen?

7. Lentes delgadas. Una lente bi-convexa delgada de ındice de refraccion 1,5 tiene una dis-tancia focal conocida de 50 cm en el aire. Cuando se sumerge en un lıquido transparentela distancia focal resulta ser de 250 cm. Determine el ındice de refraccion del lıquido.

8. Imagen debida a una lente (P). Buscamos en este problema entender como son lasimagenes generadas por una lente positiva de radios |R1| = 10 cm, |R2| = 40 cm eındice de refraccion nlente = 2. Como vimos en clases, la imagen formada dependera dela ubicacion del objeto con respecto al foco de la lente. Considere el montaje presentadoen la figura 3.

ho

fleje óptico

fl

-ho

R1 R2

Figura 3: Montaje propuesto.

3

Page 4: COMBINACIONES OPTICA

El objeto corresponde a un baston inclinado en 45 grados cuyos extremos derecho eizquierdo estan a una altura h0 y −h0 respectivamente, desde el eje optico. La distanciafocal de la lente coincide exactamente con el centro de simetrıa de este baston. Cırculosy triangulos (negros y blancos) nos permitiran dibujar con mayor facilidad la imagengenerada por este sistema. Cada cuadrado pequeno equivale a un centımetro en el ejehorizontal y vertical.

a) ¿Cuanto vale el foco de esta lente?

b) Encuentre la imagen aproximada del baston trazando rayos reales y rayos virtuales.Para esto, encuentre las imagenes de los dos cırculos y los dos triangulos tratandoloscomo objetos puntuales. Identifique en el dibujo si las imagenes encontradas sonreales o virtuales. Incluya un bosquejo de la imagen que usted verıa mirando dearriba hacia abajo (utilice los dos “ojos” como ayuda).

c) Utilizando la ecuacion de la lente delgada, verifique que los puntos imagen encon-trados en (b) sean correctos. Chequee la magnificacion y altura de cada punto.

d) Encuentre una expresion para la funcion h = h(S), donde S corresponde a la dis-tancia objeto. Demuestre que la altura de la imagen sera la misma para todo elobjeto, independiente de la posicion S. Es decir, h′(S) = constante.

9. Combinacion de lentes. Una lente biconcava de distancia focal −60 mm es puesta enfrente de una lente plano-convexa de radio 60 mm e ındice de refraccion 1,5 (ver figura4). Encuentre la distancia focal efectiva y determine la imagen que resultara de unahormiga de 3 mm de alto sobre el eje optico localizada frente al dispositivo.

Figura 4:

10. Combinacion de lentes. Galileo ideo un telescopio simple terrestre que producıa unaimagen vertical. Este consta de una lente objetivo convergente y una ocular divergenteen los extremos opuestos del tubo del telescopio. Para objetos lejanos la longitud deltubo es la distancia focal del ocular.

a) ¿El usuario del telescopio ve una imagen virtual o real?

b) ¿Donde se ubica la imagen final?

c) Si el telescopio esta construido con un tubo de 10 cm de largo y un aumento de 3x¿cuales son las longitudes focales del objetivo y del ocular?

4

Page 5: COMBINACIONES OPTICA

11. Combinacion de lentes. El problema que veremos a continuacion constituye el esquemabasico para construir un microscopio. Considere la figura 5 en donde s1 = 5 cm, f1 = 3cm y f2 = 5 cm:

Objetivo

Ocular

O

f1f1

f2 f2s1

L

Figura 5:

a) Si la distancia entre el objetivo y el ocular es L = 15 cm, ¿donde se formara laimagen? ¿Cuan grande/pequena sera?¿Sera real o imaginaria?

b) Si la distancia entre el objetivo y el ocular es L = 11 cm, ¿donde se formara laimagen? ¿Cuan grande/pequena sera?¿Sera real o imaginaria?

12. Combinacion de una lente convergente y un espejo concavo (P). Una lente positiva espuesta junto a un espejo concavo de radio R como se muestra en la figura 6. El focode la lente es identico al del espejo: fl = fe ≡ f . La distancia entre ambos dispositivosopticos corresponde exactamente a la distancia focal, es decir, el espejo esta ubicado enel foco derecho de la lente y la lente esta ubicada en el foco del espejo.

fl flfe

s1

R

h1

eje óptico

Figura 6: Montaje propuesto.

5

Page 6: COMBINACIONES OPTICA

a) Un objeto de altura h1 se ubica a una distancia S1 = 3f a la izquierda de la len-te. Encuentre las tres imagenes generadas en este sistema optico trazando rayosreales y rayos virtuales. Para facilitar la tarea, dibuje primero los tres rayos realesconocidos (paralelo al eje, desde el foco, y el que pasa por el vertice) y, a con-tinuacion, trace todas las extensiones virtuales de estos. Recuerde que los rayosvirtuales corresponden a la extension de los rayos reales que han sido curvadosy/o desviados.

b) Mediante la ecuacion de la lente delgada y una correcta interpretacion de objetos eimagenes, verifique que las imagenes encontradas en (a) sean correctas. Es decir,que esten ubicadas en la misma posicion que el dibujo y tengan la misma magnifi-cacion. Recuerde la derivacion de la ecuacion de la lente hecha en clases y tambienel tratamiento de objetos e imagenes cuando combinamos dos lentes positivas.

13. Prisma de cristal (P). Un trozo de cristal de ındice de refraccion n2 (ver figura 7)es sumergido en agua y luego esa agua es congelada. El agua congelada (hielo) tieneun ındice de refraccion n1. Desde la izquierda se hace incidir luz roja (λ = 700 nm)con polarizacion paralela al plano de incidencia, tal como se indica en la figura. Unporcentaje de la luz penetra el cristal experimentando en su interior dos reflexionestotales internas en las caras paralelas al eje optico. Finalmente, la luz sale del cristalpor la cara derecha de este, en la condicion de Brewster (toda la luz es transmitida).

n2

EJE OPTICO

n1a b

E HIELO

CRISTAL

n1

HIELO

Figura 7: Prisma de cristal sumergido en hielo.

a) Encontrar una expresion matematica para el angulo b, el angulo de incidencia θi yel angulo de salida θf en terminos del angulo a y los ındices de refraccion n1 y n2.

b) Si n1 = 1,3 y n2 = 2, y considerando que a = b/2, determine los valores en gradospara los angulos b, θi, θf y θc, donde θc corresponde al angulo crıtico de la reflecciontotal interna.

14. Divisor de haces (P). Un divisor de haces (DH) divide a un haz de luz en dos y puedeser construido utilizando dos prismas separados por un material de ındice de refracciondiferente. Este dispositivo es ampliamente utilizado en laboratorios de optica actualesy, entre otros usos, permite medir la potencia aplicada sobre un experimento en formaindirecta, midiendo la potencia del segundo haz. Considere el montaje presentado en laFigura 8. Dos prismas de ındice de refraccion n1 son separados por un trozo de cristal de

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Page 7: COMBINACIONES OPTICA

ındice n2. Todo el sistema esta rodeado por un medio con ındice n0. Desde la izquierdase hace incidir un haz de luz amarilla (580 nm) paralelo a la base del primer prisma.

EX

n1

n1

n2

π/4

π/4

n0

Figura 8: Divisor de haces.

a) Dibuje la trayectoria del haz en este sistema optico. Para ello considere solo unareflexion (la mas importante) cuando el haz incide sobre el cristal de ındice n2

proveniente del prisma n1. Ayuda: se espera que del sistema optico salgan doshaces en un angulo de 90 grados entre ellos.

15. Espejos cilındricos (P). Investiguemos como sera la imagen de un cılindro puesto enfrente de un espejo cilındrico de radio variable (ver figura 9-izquierda). En la parte masalta del espejo el radio es R1 y la distancia al objeto es Xo. A nivel del suelo el radiodel espejo es R2 (ver figura 9-derecha). El radio aumenta linealmente a medida que nosacercamos al piso, por lo que R1 < R2.

R1

R2

Xo

h

h

r

Figura 9: Izquierda: vista frontal del espejo cilındrico. Derecha: vista desde arriba.

a) Encuentre una expresion para la distancia-objeto dependiente del radio: s = s(R).

b) Utilizando el resultado obtenido en (a) encuentre la distancia-imagen dependiendodel valor del radio: s′ = s′(R).

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Page 8: COMBINACIONES OPTICA

c) Utilizando el resultado obtenido en (a) y (b) encuentre la magnificacion dependiendodel valor del radio: m = m(R).

d) Sea Xo = R1 = 1 m, R2 = 1.5 m, h = 2 m y r = 20 cm. Construya la imagen queel cilindro “verıa” en el espejo (considere al objeto como un rectangulo).

e) Encuentre el angulo con que se forma la imagen respecto a la vertical y comparelocon el angulo de inclinacion del espejo.

16. Espejos cilındricos (P). Averiguemos como serıa la imagen de un objeto rectangularpuesto en frente de un espejo cilındrico concavo de radio variable (ver figura 10). En laparte mas alta del espejo el radio es R1 y en la parte mas baja el radio es R2. El radiode curvatura del espejo aumenta linealmente a medida que nos acercamos al piso por loque |R2| > |R1|. La distancia-objeto en la parte mas alta corresponde a x0 y la alturadel objeto es la misma que la del espejo.

objeto

espejo

objetoxo

R1R2

espejo

Figura 10: Izquierda: vista frontal. Centro: vista lateral. Derecha: vista desde arriba.

a) Encuentre una expresion para la distancia-objeto, la distancia-imagen y la magnifi-cacion en terminos del radio de curvatura R: S = S(R), S ′ = S ′(R) y m = m(R),respectivamente.

b) Si |R1| = 50 cm y |R2| = 150 cm, dibuje una imagen aproximada del rectangulo enel espejo en los siguientes casos: (i) x0 = 22,5 cm y (ii) x0 = |R2|. En ambos casos,determine si la imagen es real o virtual.

17. Espejos esfericos. Al Director de su colegio le encantan las ilusiones opticas y desearıaconstruir un juego tipo-LEGO que pudiera ser utilizado por los alumnos para deformarsus figuras. Es decir, para un nino de 1,5 mts de alto, podra ordenar de diferente manera5 bloques cada uno de 30 cms. Cada bloque tiene un espejo concavo o convexo, segunla necesidad (ver figura 11). Debe asumir que los ninos se pondran a 60 cms desde elvertice de cada espejo (la pila de espejos estara alineada con respecto a este mismoparametro).

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Page 9: COMBINACIONES OPTICA

4x

-1/2x

1/6x

3x

1/5x

Espejo convexo

Espejo cóncavo

Figura 11: Juegos opticos tipo LEGO.

a) Determine los espejos necesarios (R1, R2, R3, R4 y R5, enumerados desde arriba)para que la imagen del nino se deforme como se indica en la figura.

b) Llevar su idea a la practica.

18. Lentes compuestas: Acromata (P). Una lente acromatica consiste de dos lentes pegadas,comunmente una lente positiva de bajo ındice de refraccion y una lente negativa de altoındice de refraccion. Lentes acromatas son por lejos superiores a lentes individuales cuan-do las imagenes son multicoloridas. Las dos lentes que componen una lente acromatica(literalmente, “una lente sin color”) son puestas juntas para corregir la separacion focalde colores propias del vidrio (vea figura 12).

Luz blanca

focoluz

azul

focoluzroja

Luz blanca

fococomún

Lente positiva Lente acrómata

R1 R2R3

n1

n2

Figura 12: Comparacion lentes.

Considere los siguientes ındices de refraccion para luz roja y azul de los dos tipos devidrio que componen este tipo de lentes: n1(rojo) = 1.4, n1(azul) = 1.45, n2(rojo) =1.7, y n2(azul) = 1.775. Las lentes estan rodeadas por aire (naire = 1).

a) Considere el foco efectivo para lentes muy cercanas. Si R1 = 4 cm y R3 =∞ ¿cuales el valor de R2 tal que la luz roja y la azul son enfocadas en el mismo punto?

9

Page 10: COMBINACIONES OPTICA

b) Encuentre las distancias focales para la luz roja y la azul de la lente convergente(n1) y la plano-concava (n2) por separado.

19. Lentes compuestas (P). Un fabricante de camaras fotograficas esta explorando nuevosdisenos para lentes compuestas variando los parametros fısicos del sistema, es decir,los radios de curvatura de las lentes y los ındices de refraccion de estas. Finalmente elfabricante logra construir un sistema compuesto de tres lentes delgadas pegadas (no haydistancia entre lentes) como lo muestra la figura 22.

n1n2

n3

R1

R2 R3

R4

O fe fe

Figura 13: Sistema de lentes compuestas.

a) Si n1 = n3 y |R2| = |R3|, encuentre el inverso del foco efectivo (f−1e ) para estesistema de lentes (simplifique la expresion matematica tanto como pueda).

b) Si |R1| = 150 cm, |R2| = 50 cm, n1 = 4/3 (agua) y n2 = 3/2 (obsidiana), en-cuentre el valor del foco efectivo en terminos del ultimo radio de curvatura, esdecir fe = fe(R4). Dibuje aproximadamente esta funcion verificando los lımites|R4| → 0,∞. Determine ademas, para que valor de |R4| el foco efectivo se indefine.¿Para que valor de |R4| el foco efectivo sera igual a −fe(|R4| → ∞)?

c) Se define la dispersion optica (δn) de un material como la diferencia entre el ındicede refraccion de la luz azul (na) con el ındice para la luz roja (nr): δn ≡ na − nr.El fabricante quiere que este sistema de lentes funcione como una lente acromata,es decir que el foco efectivo para la luz azul sea el mismo que para la luz roja:fae = f r

e . Para los valores de los radios |R1|, |R2| y |R4| = |R1|/4 de la parte (b),determine cuanto debe vale la razon entre la dispersion del material central conrespecto a la dispersion del material utilizado en los costados: δn2/δn1.

20. Sistema de imagenes (P). Don Juan tiene una maquina pulidora con la cual puedeobtener la curvatura deseada para fabricar lentes. Sin embargo, su maquina tiene unmal desempeno cuando los radios de curvatura son pequenos, razon por la cual nopuede fabricar lentes de longitud focal corta. Una forma de generar focos pequenos esutilizando combinaciones de lentes, mientras mayor el numero de lentes menor sera elfoco efectivo.

a) Considere la combinacion de N lentes convergentes en donde cada lente tiene el radiode curvatura derecho igual al izquierdo. Encuentre el foco efectivo del sistema (fe)si todas las lentes tienen igual radio de curvatura (Ri = R) y, todas estan hechasdel mismo material (ni = n0). Evalue numericamente el resultado para R = 4 cmy los ındices: n0 = 6/5, 4/3, cuando N = 1 y 10.

10

Page 11: COMBINACIONES OPTICA

b) Considere ahora el sistema optico de la Figura 14. La lente L corresponde a la lenteefectiva de la parte (a) y, a la izquierda, a una distancia d = 2fe, se coloca unespejo esferico de radio r = 3fe. Una pulga es colocada a una distancia fe/2 a laizquierda de L. Encuentre y dibuje la imagen final del sistema comenzando primeropor la imagen formada por L. Luego utilice esa imagen como objeto para el espejoesferico. Determine si las imagenes son reales o virtuales, derechas o invertidas, yagrandadas o disminuidas. Determine ademas la magnificion total de este sistemaoptico. (NO EVALUE fe!)

c) Repita la parte (b) para d = 12fe/5. Si realiza bien los calculos, podra entender lasamplias posibilidades de este sistema optico como proyector con un sintonizadofino dado por la lente compuesta y una amplificacion gruesa dada por el espejoesferico.

fe fe

d

rL

espejo

fe/2

Figura 14: Sistema optico de imagenes.

21. Arcoiris. En este problema, buscamos aprender como se produce un arcoiris. En el sigloXIV, Teodorico de Freiberg explico el arcoiris como consecuencia de la refraccion yreflexion interna dentro de gotas individuales de lluvia. En esa epoca todavıa no seconocıa la Ley de Snell, ası que ustedes tendran una enorme ventaja para explicarcorrectamente este fenomeno. La idea de este problema consiste en estudiar como serefracta, refleja y vuelve a refractar un rayo de luz “blanca” que incide sobre una gotade agua y como, debido a esto, se separan los colores dando lugar a un arcoiris.

Un rayo de luz solar (luz blanca) incide sobre una gota esferica de agua formando unangulo de incidencia α con respecto a la superficie (ver figura 15). Debido a la dispersion

11

Page 12: COMBINACIONES OPTICA

cromatica del agua, la luz roja y la luz azul se separaran al refractarse. El ındice derefraccion del aire es 1 y el del agua dependera de la longitud de onda (color).

a) Dibuje la trayectoria de dos rayos - uno de luz roja y uno de luz azul - al refractardesde el aire al interior de la gota, luego reflejarse al interior de esta y, por ultimo,refractar desde el agua al aire. Considere para esto que nrojo

agua < nazulagua.

b) Determine el angulo de salida (θS) de la luz (roja o azul) con respecto a la superficieterrestre (linea paralela al rayo incidente). Exprese su resultado en terminos delangulo de incidencia α y del ındice de refraccion nagua.

c) Utilize la expresion encontrada en (b) y demuestre que θS es un maximo con respecto

al angulo α cuando: cosαm =√

(n2agua − 1)/3.

d) Sean nrojoagua = 1,33 y nazul

agua = 1,35. Encuentre los angulos αm y θS maximo para amboscolores. Con este calculo entendera porque para ver un arcoiris hay que estar a unadistancia mınima y porque no es posible verlo bajo la lluvia!

α

Figura 15: Luz blanca incidiendo en una gota de agua esferica.

22. Interfases esfericas. Un trozo de cristal genera multiples imagenes dependiendo de losradios de curvatura que tenga. Un artesano pule el cristal de forma tal que el radio decurvatura izquierdo es |R1| = 4cm y el del derecho es |R2| = 6cm (ver figura 16). Losındices de refraccion exteriores son iguales, es decir n1 = n3 = 1 y n2 = 2 (cristal puro).Cada cuadrado en la figura 16 corresponde a 1cm.

a) Determine los cuatro focos de este cristal y ubıquelos en la figura.

b) El objeto O1, de altura h1 = 4cm, se ubica a 8cm a la izquierda del cristal ¿donde seformara I1? ¿sera real o virtual? ¿mas grande o mas pequena que el objeto? Pararesolver estas preguntas trace primero un par de rayos conocidos y encuentre unaprimera imagen. Luego, utilice la formula respectiva para validar su dibujo.

c) Conside ahora I1 como un objeto (O2) para la siguiente interfase esferica (R2).¿Donde se formara la segunda imagen? ¿sera real o virtual? ¿mas grande o mas pe-quena que el objeto inicial (O1)? Para resolver estas preguntas trace primero rayosconocidos y encuentre, dibujando, la imagen final de este sistema optico. Luego,utilice la formula respectiva para validar su dibujo.

12

Page 13: COMBINACIONES OPTICA

c1

R1

c2

R2

n2n1 n3

O1

h1

Cristal

Figura 16: Cristal con interfases esfericas rodeados de los medios n1 y n3.

23. Combinacion de espejos y lente. Buscamos estudiar el proceso de formacion de imagenescuando se combinan distintos componentes opticos; en particular, dos espejos planos yuna lente convergente (vea figura 17). Al igual que como nos sucede cuando subimos aun ascensor, se formaran tantas imagenes como veces sigamos los rayos en su camino atraves de esta cavidad optica. Un objeto de altura h = 5 cm se localiza a 20 cm haciala derecha de la lente, todo rodeado de aire.

O

Figura 17: Dos espejos enfrentados con una lente entremedio.

a) Si la lente es plano-convexa tal que fL = 10 cm y n = 3/2 ¿cuanto valen sus radios?

b) Trace rayos hacia la derecha del objeto y encuentre las CINCO imagenes que seforman antes que los rayos escapen de la cavidad.

c) Trace rayos hacia la izquierda del objeto y encuentre las CUATRO imagenes quese forman antes que los rayos escapen de la cavidad.

d) Corrobore sus hallazgos (posicion, tipo y tamano de las imagenes) con la ecuacionesrespectivas.

13

Page 14: COMBINACIONES OPTICA

24. Combinacion de una lente divergente y un espejo concavo. Una lente negativa es puestaa la izquierda de un espejo concavo de radio |R| = 12cm como se muestra en la fig. 18.El foco de la lente es identico en magnitud al del espejo: |fl| = |fe|; la distancia entreambos dispositivos opticos es de 6cm. Cada cuadrado en la figura corresponde a 1cm.

s1

R

h1

O1

Figura 18: Montaje propuesto.

a) Un objeto de altura h1 = 2cm se ubica 12cm a la izquierda de la lente. Encuentre lastres imagenes generadas en este sistema optico trazando rayos reales y virtuales.Para facilitar la tarea, dibuje primero los tres rayos reales conocidos (paralelo al eje,hacia el foco posterior, y el que pasa por el vertice) y, a continuacion, trace todaslas extensiones virtuales de estos. Recuerde que los rayos virtuales corresponden ala extension de los rayos reales que han sido curvados y/o desviados. Recuerdeademas, que las lentes negativas tienen un comportamiento diferente a las positivas.

b) Mediante la ecuacion de la lente delgada y una correcta interpretacion de los objetose imagenes de este problema, verifique que las imagenes encontradas en (a) seancorrectas. Es decir, que esten ubicadas en la misma posicion que el dibujo y tenganla misma magnificacion. Recuerde el tratamiento de objetos e imagenes cuandoderivamos la ecuacion de la lente en clases.

25. Optica Geometrica. Queremos recorrer el camino que sigue un rayo de luz a traves dedistintos elementos opticos para ası estudiar las leyes fundamentales de la optica, la leyde reflexion y la de refraccion. En la figura 19 se muestra el sistema optico por el quela luz viaja. Primero un rayo de luz roja inside, desde el infinito, en una lente negativade foco fl = −4 cm; luego enfrenta dos espejos planos; a continuacion ingresa a unasemi-esfera de vidrio con ındice de refraccion n1 > 2; despues de eso, ingresa en unprisma triangular de angulo 45◦ e ındice de refraccion n2 = 2 por la cara en contactocon la semiesfera. Finalmente sale del sistema en direccion opuesta a la inicial enla cara de salida. Cada cuadrado en el dibujo equivale a 1 cm y debe considerarlo parael calculo de los angulos del problema. Todos los componentes estan rodeados de aire(naire = 1).

a) Dibuje el recorrido del haz a traves de este sistema optico. Cuando la luz refracte,haga un trazado aproximado del camino que recorrerıa el haz de luz.

b) ¿Cuanto vale n1 para que el rayo salga en direccion opuesta a la inicial?

14

Page 15: COMBINACIONES OPTICA

π/4

Cara salida

n2

n1

C

Aire

Aire

Aire

Aire

Luz incidente

Figura 19: Montaje propuesto.

26. Interfases esfericas. Un trozo de cristal genera multiples imagenes dependiendo de losradios de curvatura que tenga. Don Pablo pule el cristal de forma tal que el radio decurvatura izquierdo es |Ri| = 6 cm y el del derecho es |Rd| = 4 cm. Los ındices derefraccion exteriores son iguales, es decir n1 = n3 = 1. n2 = 2 (rubı). El cristal purorefleja alrededor de un 50 % de la luz cuando la luz va desde el cristal hacia el aire, porlo que este sistema generara imagenes por reflexion y tambien por refraccion. Un objetoO, de altura h = 2 cm, se ubica a 8 cm a la derecha de la superficie izquierda y a 7 cmde la superficie derecha del cristal. Cada cuadrado en la figura 20 corresponde a 1cm.

a) Determine los cuatro focos de refraccion y los dos de reflexion de este cristal yubıquelos en la figura.

b) ¿Donde se formaran las dos imagenes debidas a la refraccion de la luz? ¿seranreales o virtuales? ¿mas grandes o mas pequenas que el objeto? Para resolver estaspreguntas trace primero un par de rayos conocidos hacia la izquierda y hacia laderecha del objeto y encuentre las imagenes. Luego, utilice la formula respectivapara validar su dibujo.

c) ¿Donde se formaran las dos imagenes debidas a la reflexion de la luz? ¿seran reales ovirtuales? ¿mas grandes o mas pequenas que el objeto? Para resolver estas pregun-tas trace primero un par de rayos conocidos hacia la izquierda y hacia la derecha delobjeto y encuentre las imagenes. Luego, utilice la formula respectiva para validarsu dibujo.

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Page 16: COMBINACIONES OPTICA

EjeópticoC1

n2

n1 n3

C2O

Ri Rd

Figura 20: Cristal con interfases esfericas rodeados de los medios n1 y n3.

27. Burbuja de aire (P). Para estudiar la generacion de imagenes debida a interfases esfericasproponemos el siguiente problema ilustrado en la figura 21. A veces podemos encontrarartesanıa de vidrio con burbujas en su interior; buscamos estudiar - aproximadamente- cual serıa el efecto visual de estas burbujas. n0 = 1, n1 = 4/3, R = 5 cm y S1 = 5 cm.

CO

n0n1

n0

n1

n0

S1

Figura 21: Bloque de vidrio con burbujas.

a) Calcule los focos asociados a este problema y ubıquelos en la figura.

b) Utilizando la formula de imagenes resuelva el problema completo. Es decir, encuen-tre las CUATRO imagenes formadas, incluyendo su magnificacion con respecto alobjeto original.

c) Dibuje dos rayos que coincidan con lo calculado en la parte (b). Ponga atencion conla geometrıa del problema para dibujar correctamente sus rayos.

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Page 17: COMBINACIONES OPTICA

28. Combinacion de lentes. En este problema buscamos demostrar que cuando tenemoslentes delgadas pegadas el foco equivalente del sistema corresponde a la ecuacion (6)del formulario. El diagrama para resolver esta pregunta es presentado en la figura 22.

R1

R2R3

e1 e2

n1 n2

C2 C3C1O

n0 n0

Figura 22: Combinacion de lentes.

a) Dibuje la trayectoria de dos rayos de luz cuando n0 < n2 < n1. Recuerde dibujarademas las extensiones virtuales de los rayos curvados al igual que las extensiones delos rayos obstruidos. Como no se dan valores numericos, aproxime la trayectoria delos rayos tratando de generar imagenes (intersecciones) dentro del dibujo. Describalas imagenes y nuevos objetos encontrados.

b) Utilizando la formula de imagenes, demuestre que la suma de los inversos de los focosde cada lente por separado, corresponde al foco efectivo del sistema. Considere alas lentes como delgadas, es decir en sus calculos considere e1, e2 → 0.

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Page 18: COMBINACIONES OPTICA

FORMULAS

Ley de Snell :ni sin θi = nt sin θt (1)

Trigonometrıa:sin(x± y) = sin x cos y ± sin y cosx (2)

cos(x± y) = cos x cos y ∓ sin y sinx (3)

Ecuacion de lente delgada:1

s+

1

s′=

1

f(4)

Distancia focal de espejos esfericos:

f = −R2

(5)

Formacion de imagenes en una superficie refractante esferica:

ni

s+nt

s′=nt − ni

R(6)

Ecuacion del fabricante de lentes (lente rodeada de aire):

1

f= (n− 1)

(1

R1

− 1

R2

)(7)

Distancia focal efectiva para un sistema de lentes delgadas pegadas:

1

f=

1

f1+

1

f2+ · · · (8)

Magnificacion:

m =h′

h→ mlentes = mespejos = −s

s(9)

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