universidad nacional pedro ruiz galloel conjunto de los nu´meros enteros que se denota por zy...

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

Pre-Calculo:

Numeros Reales y Funciones

Walter Orlando Gonzales Caicedo

LAMBAYEQUE - PERU

2016

Prefacio

Referirse a las matematica en general, siempre encontraremos dificultades

para definirla y entenderla, puesto que ella abarca muchos niveles del pen-

samiento. En la actualidad, podemos encontrar que la califican como una de

las ciencias formales (junto con la logica), puesto que al utilizar el razona-

miento logico, se aboca al analisis de las relaciones y de las propiedades entre

numeros y figuras geometricas.

Es imperativo entonces que las matematicas se han ido convirtiendo en una

ciencia de vital importancia en la vida diaria, no solo porque definen las

relaciones que vinculan objetos de razon, como los numeros y los puntos;

sino tambien que en tiempos de modernidad su utilidad insustituible abarca

temas tan diversos que trasciende el simple analisis numerico hasta llegar a

paremetros logicos no cuantitativos muy utilizados en la informatica y todos

los avances tecnicos cientıficos de la actualidad.

Por tal motivo la utilizacion de las matematicas resulta una ciencia multi-

disciplinaria y multiparadigmatica, ya que es utilizada en diferentes campos,

podemos senalar que aparece en las ciencias de la naturaleza como de las

ciencias sociales y las diversas ingenierıas incluso la medicina, entre otros

campos del saber.

De este modo el libro Pre Calculo: Numeros Reales y Funciones trata temas

que se desarrollan en los primeros ciclos de las diferentes carreras universi-

tarias, de tal manera que dichos temas seran base fundamental para tratar

temas mas avanzados en los cursos de calculo.

i

ii Prefacio

Esperando tomen con aprecio este esfuerzo, pongo a consideracion de ustedes

los lectores elementos que ayudaran a enriquecer esta obra.

Walter Orlando Gonzales Caicedo

Dedicatoria

A mis hijos, Walter Alejandro y Xiomi Gabriela que son mi

motivacion y fortaleza para seguir siendo cada dıa mejor.

iii

Indice general

Prefacio I

Dedicatoria III

1. NUMEROS REALES, COMPLEJOS Y POLINOMIOS 1

1.1. Numeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Numeros Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2. Numeros Enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.3. Numeros Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.4. Numeros Irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.5. Numeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.6. La Recta Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.7. El Sistema de los Numeros Real . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.7.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.7.2. Consecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.7.3. Exponentes enteros . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.7.4. Exponentes racionales . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.7.5. Orden en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1.7.6. Decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2. Numeros Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.1. Igualdad de numeros complejos . . . . . . . . . . . . . 24

1.2.2. Operaciones con numeros complejos . . . . . . . . . . . 24

1.3. Raıces Cuadradas de Numeros Reales Negativos . . . . . . . . 30

1.4. Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

iv

INDICE GENERAL v

1.4.1. Expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.4.2. Valor numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.4.3. Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.4.4. Racionalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.4.5. Operaciones con polinomios . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.4.5.1. Igualdad de polinomios . . . . . . . . . . . . . 41

1.4.5.2. Suma y resta de polinomios . . . . . . . . . . 41

1.4.5.3. Producto de polinomios . . . . . . . . . . . . 42

1.4.5.4. Division de polinomios . . . . . . . . . . . . . 44

1.4.6. Raıces de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.4.7. Criterios para la determinacion de raıces . . . . . . . . 58

1.5. Ejercicios del capıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2. INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO 76

2.1. Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.1.1. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.1.2. Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.1.2.1. Inecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . 80

2.1.2.2. Inecuaciones cuadraticas . . . . . . . . . . . . 82

2.2. Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.2.1. Propiedades del valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . 95

2.2.2. Propiedades de distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

2.3. Ecuaciones e Inecuaciones con Valores Absolutos . . . . . . . . 99


3. FUNCIONES 110

3.1. El Plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.1.1. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.2. Las Relaciones y sus Graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.3. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.3.1. Evaluacion de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.3.2. Clasificacion de las funciones . . . . . . . . . . . . . . . 125

3.3.2.1. Funciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . 125

3.3.2.2. Funciones trascendentes . . . . . . . . . . . . 133

3.3.3. Representacion grafica de funciones . . . . . . . . . . . 141

3.3.4. Trazado de graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

vi INDICE GENERAL

3.3.5. Traslaciones, reflexiones, contracciones y expansiones . 154

3.3.5.1. Traslaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

3.3.5.2. Reflexiones respecto a los ejes coordenados . . 155

3.3.5.3. Contracciones y expansiones . . . . . . . . . . 156

3.4. Operaciones entre Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

3.4.1. Algebra de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

3.4.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

3.4.3. Composicion de funciones. Funcion inversa . . . . . . . 167

3.4.3.1. Composicion de funciones . . . . . . . . . . . 167

3.4.3.2. Propiedades de la composicion de funciones . 172

3.4.3.3. Funcion inyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . 173

3.4.3.4. Funcion sobreyectiva . . . . . . . . . . . . . . 175

3.4.3.5. Funcion biyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . 176

3.4.3.6. Funcion inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

3.4.3.7. Restricciones inyectivas . . . . . . . . . . . . 180


4. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 197

4.1. Medida de Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

4.2. Funciones Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

4.2.1. Propiedades de las funciones trigonometricas . . . . . . 201

4.3. Graficas de Funciones Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . 210

4.3.1. Funciones senoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

4.4. Funciones Trigonometricas de Angulos . . . . . . . . . . . . . 222

4.5. Identidades y Ecuaciones Trigonometricas . . . . . . . . . . . 229

4.5.1. Identidades Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . 230

4.5.2. Ecuaciones Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . 234

4.6. Inversas de las Funciones Trigonometricas . . . . . . . . . . . 237

4.6.1. Funcion seno inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

4.6.2. Funcion coseno inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

4.6.3. Funcion tangente inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

4.6.4. Funcion cotangente inversa . . . . . . . . . . . . . . . . 246

4.6.5. Funcion secante inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

4.6.6. Funcion cosecante inversa . . . . . . . . . . . . . . . . 247

4.7. Forma Trigonometrica de los Complejos . . . . . . . . . . . . . 250

4.7.1. Numero Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

Contenido vii

4.7.1.1. Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

4.7.2. Raıces n-esimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255


Bibliografıa 270

viii Contenido

Capıtulo 1

NUMEROS REALES,

COMPLEJOS Y

POLINOMIOS

1.1. Numeros Reales

Figura 1.1: Conjuntos Numericos

El concepto de numero es fundamental en matematicas. En particular el

calculo se basa en el sistema de los numeros reales y sus propiedades.

Distinguimos los siguientes conjuntos de numeros:

1

2 1.1. Numeros Reales

1.1.1. Numeros Naturales

El conjunto de los numeros naturales que se denota por N y esta formado

por los numeros:

N = {1, 2, 3, 4, ...}

1.1.2. Numeros Enteros

El conjunto de los numeros enteros que se denota por Z y esta formado por

los numeros naturales, los inversos aditivos de estos y el cero, es decir:

Z = {..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

Algunas caracterısticas

Los numeros enteros positivos se caracterizan en terminos de su factori-

zacion. Ası, un entero positivo p mayor que 1 se dice que es un numero

primo si sus unicos factores enteros positivos son 1 y p.

Los enteros primos menores que 15 son: 2 (que es el unico primo par,

pues cualquier otro numero par es de la forma 2n donde n es un entero),

3, 5, 7, 11 y 13.

Un entero positivo mayor que 1 que no sea primo se llama entero

compuesto.

Los enteros compuestos menores que 13 son: 4 = 2 · 2, 6 = 3 · 2,

8 = 2 · 2 · 2 = 2 · 4, 9 = 3 · 3, 10 = 2 · 5, 12 = 2 · 2 · 3 = 3 · 4 = 2 · 6.

De entre estas factorizaciones, 4 = 2 ·2, 6 = 3 ·2, 8 = 2 ·2 ·2, 9 = 3 ·3,

10 = 2 · 5, 12 = 2 · 2 · 3 se distinguen porque todos los factores son

numeros primos. En general tenemos que todo numero entero positivo

mayor que 1 es primo o puede escribirse como producto de numeros

primos de una y solo de una manera, salvo el orden. Este hecho se

conoce como el Teorema Fundamental de la Aritmetica.

Cap. 1: NUMEROS REALES, COMPLEJOS Y POLINOMIOS 3

1.1.3. Numeros Racionales

El conjunto de los numeros racionales, denotado por Q y esta formado por

aquellos numeros que se obtienen como razones o cocientes de numeros en-

teros, como, por ejemplo, 12, −9

4, −25

7, 40

−10, 125

1000. El conjunto de numeros

racionales se denota por:

Q =

{

p

q/ p,q ∈ Z y q 6= 0

}

Este conjunto incluye los numeros enteros que son racionales de la forman

1donde n es un entero (por ejemplo, −6 = −6

1), y tambien de la forma

p

qdonde

q 6= 0 y q es un factor de p (por ejemplo, n = nq

q, −4 = 40

−10)

1.1.4. Numeros Irracionales

El conjunto de los numeros numeros irracionales que se denota por I y esta

formado por los numeros reales que no pueden obtenerse como razones o

cocientes de numeros enteros.

Ejemplo 1.1. Demostrar que√

2 ∈ I

Demostracion. En efecto, si√

2 fuera racional,√

2 podrıa expresarse de la

forma p

qcon p, q ∈ Z, q 6= 0 y p y q sin factores comunes mayores que 1.

Pero, elevando al cuadrado,√

2 = p

qimplicarıa que 2 =

p2

q2, es decir, 2q2 = p2.

Puesto que el miembro izquierdo serıa par, p2 tambien lo serıa y en conse-

cuencia, p serıa par (el cuadrado de un numero impar es impar). Ası p = 2r

con r ∈ Z.

Entonces 2q2 = p2 = (2r)2 = 4r2 de donde q2 = 2r2 con lo cual q serıa par,

es decir de la forma 2s con s ∈ Z.

Ası, p y q tendrıan factor comun 2 > 1.

Esta contradiccion nos dice que√

2 no es racional.

Luego√

2 ∈ I.


�

Ejemplo 1.2. Otros numeros irracionales son los siguientes:

π,√

3

En general,√

p donde p es un numero primo.

4

3+

√5

En general, la suma de un numero racional y un numero irracional.

Demostracion. En efecto, si p y q son enteros , q 6= 0 y u es un numero

irracional y suponemos que u+p

qes un numero racional, existen enteros

r y s tales que s 6= 0 y u +p

q=

r

s.

Entonces:

u +p

q+

(

−p

q

)

=r

s+

(

−p

q

)

esto es, u =r

s− p

q=

rq − sp

sq, lo cual es contradictorio pues u lo hemos

tomado como irracional, mientras querq − sp

sqes un numero racional.

�

43

√5

En general, el producto de un numero racional y un numero irracional,

siempre que el racional sea diferente de 0.

π2, 4

3√

2

En general, el cociente de un numero racional por un numero irracio-

nal, o de un numero irracional por un numero racional, siempre que el

racional sea diferente de 0.

Observacion 1.1. Se tiene que por cada racionalp

q6= 0, haciendo el

producto con√

2 (o con cualquier otro numero irracional previamente fijado)

es posible obtener un numero irracionalp

q

√2 =

p√

2

q. Ası que parece que

existen mas numeros irracionales que racionales. Esto, efectivamente es ası

pero para hacer una demostracion formal requerimos de elementos que no

tenemos en este punto.

1.1.5. Numeros Reales

El conjunto de los numeros reales que se denota por R y esta formado por los

numeros racionales y los irracionales. Algunas relaciones existentes entre

estos conjuntos de numeros son las siguientes:

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R y Q ∪ I = R

1.1.6. La Recta Real

La recta real es la representacion geometrica del conjunto R. Sobre una

recta horizontal se elige un punto llamado origen que representa el numero

0 y un punto a la derecha de 0 que representa el numero 1. La longitud del

segmento que une esos dos puntos se toma como unidad de distancia. Un

numero positivo a se representa por el punto de la recta situado a a unidades

de distancia a la derecha de 0. Un numero negativo b se representa por el

punto de la recta situado a −b unidades de distancia a la izquierda de 0. Ası

cada numero real se representa por un punto y solo por uno sobre la recta y

cada punto sobre la recta corresponde a un numero real y solo a uno. Se dice

que existe una correspondencia biunıvoca o biyectiva entre el conjunto R de

los numeros reales y el conjunto de los puntos de la recta. Si a < b, el punto

que corresponde a a esta a la izquierda del punto que corresponde a b.

0 1 2 3 40−1−2−3−4

π−π√

2−√

2

El numero asociado con un punto P es la coordenada de P , la recta es la

recta de coordenadas o la recta de los numeros reales o la recta real.


Si un punto P tiene coordenada a, frecuentemente identificamos el punto con

su coordenada y nos referimos al punto a.

Ejemplo 1.3. El punto correspondiente a√

2 se puede situar sobre la recta

real usando la siguiente grafica:

Se trazan la recta real y un segmento de longitud 1, el cual es perpendicular

a ella en el punto 1. Se unen el punto 0 y el extremo del segmento que no

pertenece a la recta. El nuevo segmento tiene longitud igual a√

2. Esa medida

se traslada con un compas a la recta.

Observese que, una vez trazado el punto√

2 y procediendo de manera similar,

se puede trazar el punto√

3, sin embargo no existe un procedimiento de este

tipo que permita situar con precision cualquier numero irracional sobre la

recta real.

1.1.7. El Sistema de los Numeros Real

Definicion 1.1. El sistema de los numeros reales consta del conjunto R de

los numeros reales y las operaciones de suma o adicion y producto o

multiplicacion.

Si a y b denotan numeros reales, entonces a + b representa el numero real

que se obtiene al sumarlos, y a · b el numero que se obtiene al multiplicarlos.

1.1.7.1. Propiedades

La suma y el producto satisfacen las siguientes propiedades:

1. Asociativa: ∀ a, b, c ∈ R,

a + (b + c) = (a + b) + c y a · (b · c) = (a · b) · c


2. Conmutativa: ∀ a, b ∈ R,

a + b = b + a y a · b = b · a

3. Existencia de elementos neutros: Existen dos numeros distintos 0

y 1 tales que, ∀ a ∈ R,

a + 0 = 0 + a = a, a · 1 = a · 1 = a

0 y 1 son los unicos numeros reales que satisfacen estas propiedades.

4. Existencia de inversos:

Cada numero real posee un unico inverso para la suma o inverso

aditivo u opuesto −a, tal que:

a + (−a) = −a + a = 0

Y todo real a diferente de 0, posee un inverso para el producto o

inverso multiplicativo o recıproco a−1 tal que:

a · a−1 = a−1 · a = 1

5. Distributiva: ∀ a, b, c ∈ R,

a · (b + c) = a · b + a · c

Estas son las propiedades de cuerpo o campo de los numeros reales.

Observacion 1.2. La asociatividad de las operaciones (propiedad (1)) hace

irrelevante el uso de parentesis. Las expresiones a + (b + c) y (a + b) + c se

escriben simplemente en la forma a+b+c y las expresiones a ·(b ·c) y (a ·b) ·c,

en la forma a · b · c.

Aun mas, si a, b, c, y d son numeros reales, la aplicacion reiterada de la

asociatividad de las operaciones permite establecer las siguientes igualdades:

a + [b + (c + d)] = a + [(b + c) + d]

= [a + (b + c)] + d

= [(a + b) + c] + d

= (a + b) + (c + d)


El resultado se escribe en la forma: a + b + c + d

a · [b (c · d)] = a · [(b · c) · d]

= [a · (b · c)] · d

= [(a · b) · c] · d

= (a · b) (c · d)

El resultado se escribe en la forma a · b · c · d

En general, si a1, a2, · · · , an son numeros reales, las diferentes formas en que

se pueden asociar para sumarlos dan un mismo resultado, el cual se escribe

en la forma:

a1 + a2 + · · · + an

De igual manera, las diferentes formas en que se pueden asociar para multi-

plicarlos dan un mismo resultado, el cual se escribe en la forma:

a1 · a2 · · · · · an

1.1.7.2. Consecuencias

De las propiedades de cuerpo o campo que tienen los numeros reales, se

pueden deducir todas las propiedades que satisfacen la suma y el producto.

Tenemos algunas de ellas:

1. ∀ a ∈ R, se tiene:

a · 0 = 0

Demostracion. En efecto:

a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0

y sumando −(a · 0) a los dos miembros de la igualdad tenemos:


a · 0 + [−(a · 0)] = (a · 0 + a · 0) + [−(a · 0)]

0 = a · 0 + [a · 0 + (−(a · 0))]

= a · 0 + 0

= a · 0

�

¿Porque 0 no tiene inverso para el producto?

Si lo tuviera, entonces, por la propiedad (4) relativa al producto, se

tiene:

1 = 0 · 0−1

Pero tambien:

0 = 0 · 0−1

por la consecuencia (1) se tiene:

1 = 0

Lo cual es absurdo.

2. ∀ a ∈ R, se tiene:

−(−a) = a


Pues −(−a) representa el unico inverso de −a para la suma, es decir,

el unico real cuya suma con −a es igual a 0.

Tenemos:

(−a) + a = 0

es decir, a satisface esa condicion que define al elemento − (−a), en-

tonces:


−(−a) = a

�

Algunas de las propiedades de la suma y del producto de numeros reales

se citan con nombres especıficos de propiedades o leyes. Estas son las

propiedades cancelativas:

3. ∀ a, b, c ∈ R, entonces:

si a + b = a + c entonces b = c

4. ∀ a, b, c ∈ R, entonces:

si a · b = a · c y a 6= 0 entonces b = c

Definicion 1.2. La operacion de la resta o sustraccion se define

ası: si a y b son numeros reales, se tiene:

a − b = a + (−b)

Definicion 1.3. La operacion de la division se define ası: si a y b son

numeros reales y si b 6= 0, entonces:

a

b= a · b−1

5. Las siguientes propiedades guardan relacion con inversos para la suma

y con la resta, son las leyes de los signos:

a) ∀ a ∈ R, entonces:

(−1)a = −a

Demostracion. Tenemos:

[a + (−1)a] = [1a + (−1)a]

= [1 + (−1)] a

= (1 − 1) a

= 0 · a

= 0


es decir, el numero (−1)a satisface la condicion que solo es satis-

fecha por −a, entonces:

(−1)a = −a

�

b) ∀ a, b ∈ R, entonces:

(−a)b = a(−b) = −(ab)

c) ∀ a, b ∈ R, entonces:

(−a)(−b) = ab

d) ∀ a, b ∈ R, si b 6= 0, entonces:

−a

b=

a

−b= −a

b

6. Las siguientes propiedades se relacionan con la resta:

a) ∀ a, b ∈ R, entonces:

−(a + b) = −a − b

b) ∀ a, b ∈ R, entonces:

−(a − b) = b − a

7. Con relacion a los inversos para el producto tenemos:

a) ∀ a ∈ R, si a 6= 0, entonces:

1

a= a−1

b) ∀ a ∈ R, si a 6= 0, entonces:

(a−1)−1 = a

c) ∀ a, b ∈ R, si a 6= 0 y b 6= 0, entonces ab 6= 0 y (ab)−1 = a−1b−1

Observacion 1.3. observe que, si a 6= 0, b 6= 0 , a+b 6= 0 y a−b 6= 0,

en general:

(a + b)−1 6= a−1 + b−1 y (a − b)−1 6= a−1 − b−1


Ası por ejemplo, si a = 2 y b = 1, entonces:

(2 + 1)−1 = 3−1 =1

3mientras que 2−1 + 1−1 =

1

2+ 1 =

3

2

(2 − 1)−1 = 1−1 = 1 mientras que 2−1 − 1−1 =1

2− 1 = −1

2

8. Tambien de las propiedades de cuerpo se deduce el siguiente grupo

de importantes propiedades que se refieren al comportamiento de las

operaciones en presencia de inversos para el producto:

a) ∀ a, b, c, d ∈ R, si b 6= 0 y d 6= 0 entonces bd 6= 0 y

(ab−1)(cd−1) = ac(bd)−1, es decir:

a

b· c

d=

ac

bd

b) ∀ a, b, c, d ∈ R, si b 6= 0, c 6= 0 y d 6= 0 entonces b/d 6= 0,

bc 6= 0 y (ab−1)(cd−1)−1 = (ad)(bc)−1, es decir:

a/c

b/d=

ad

bc

c) ∀ a, b, c ∈ R, si b 6= 0 entonces ab−1 + cb−1 = (a+ c)b−1, es decir:

a

b+

c

b=

a + c

b

d) ∀ a, b, c, d ∈ R, si b 6= 0 y d 6= 0 entonces bd 6= 0 y

ab−1 + cd−1 = (ad + cb)(bd)−1, es decir:

a

b+

c

d=

ad + bc

bd

e) ∀ a, b, c ∈ R, si b 6= 0 y c 6= 0 entonces bc 6= 0 y (ac)(bc)−1 =

ab−1, es decir:

ac

bc=

a

b

f ) ∀ a, b, c, d ∈ R, si b 6= 0 y d 6= 0 entonces ab−1 = cd−1 si y

solo si ad = cb, es decir:

a

b=

c

dsi y solo si ad = cb

Las deducciones que requieren de mayor argumentacion corres-

ponden a las propiedades (8d) y (8f ).



• Propiedad (8d).

Tenemos:

ab−1 + cd−1 = ab−11 + cd−11

= ab−1dd−1 + cd−1bb−1

= (ad)(b−1d−1) + cb(b−1d−1)

= ad(bd)−1 + cb(bd)−1

= (ad + cb)(bd)−1

• Propiedad (8f ).

Tenemos:

Si ab−1 = cd−1, multiplicando los dos miembros de la igualdad por

bd tenemos:

(ab−1)(bd) = (cd−1)(bd)

esto es:

ad = cb

De otra parte, si ad = cb, multiplicando la igualdad por b−1d−1

tenemos:

(ad)(b−1d−1) = (cb)(b−1d−1)

esto es:

ab−1 = cd−1

�


1.1.7.3. Exponentes enteros

Definicion 1.4. Si a es un numero real, y n es un entero positivo se define

an = aa...a, n factores iguales a a y si a 6= 0, entonces a−n = (a−1)n

=

(an)−1. Ademas, si a 6= 0, entonces a0 = 1

Observe que si m es un entero negativo entonces m = −n para n > 0 (n =

−m). Ası que am = a−n queda definido como antes.

Ejemplo 1.4. Tenemos que:

27 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 128(

3√

6)5

=(

3√

6) (

3√

6) (

3√

6) (

3√

6) (

3√

6)

= 6(

3√

6)2

(−1)n = 1 si n es par y (−1)n = −1 si n es impar.

(

−12

)−4=[(

−12

)4]−1

=[(

−12

) (

−12

) (

−12

) (

−12

)]−1=(

116

)−1= 16

Tambien:

(

−12

)−4=[(

−12

)−1]4

= (−2)4 = (−2) (−2) (−2) (−2) = 16

Propiedades de los exponentes

Si a y b son numeros reales diferentes de 0 y m y n son numeros enteros,

entonces de las propiedades de los numeros reales se deducen las siguientes:

1. aman = am+n

2. (am)n = amn

3. (ab)n = anbn

4.(

ab

)n= an

bn

5. am

an = am−n

6.(

am

an

)−1= an

am = a−m

a−n

1.1.7.4. Exponentes racionales

Como veremos mas adelante, si a es un numero real positivo y n es un entero

positivo entonces existe un unico numero real positivo b tal que bn = a. Si

a es negativo y n es impar, existe un unico numero real negativo b tal que

bn = a.

Definicion 1.5. Sean a es un numero real y n es un entero positivo. Se

define a1n de la siguiente forma:

Si a es un numero real positivo y n es un entero positivo entonces a1n

es el unico numero real positivo b tal que bn = a.

Si a es negativo y n es impar, a1n es el unico un numero entero negativo

b tal que bn = a.

Si a = 0, entonces a1n = 0.

El numero a1n tambien se denota por: n

√a.

Observe que si a < 0 y n es par, no existe un numero real b tal que bn = a

puesto que para n par y todo b, bn ≥ 0. En este caso no se define a1n .

Si m y n son numeros enteros con n 6= 0 y a es un numero real diferente de

0 que es positivo si n es par entonces:

amn =

(

a1n

)m= (am)

1n


(25)32 =

[

(25)12

]3= (5)3 = 125

(−8)− 34 = (−8)

43 =

[

(−8)13

]4= (−2)4 = (−2) (−2) (−2) (−2) = 16

54

(36)34

=54

(22 · 32)34

=54

(22)34 (32)

34

=54

264 · 3

64

=2 · 33

262 · 3

32 ·

=33− 3

2

232

−1=

332

212

=

3 · 312

212

= 3312

212

= 3(

32

) 12 = 3

√32


Las leyes de los exponentes son validas cuando los exponentes son de la formam

npara m y n enteros, siempre que a y b sean positivos cuando que n sea

par.

Ejemplo 1.6. Tenemos que:[

(−125)13

]6= (−5)6 = 15 625 y (−125)

63 = (−125)2 = 15 625.

Ası, tenemos:

[

(−125)13

]6= (−125)

63

[

(16)14

]4= 24 = 16 y (16)

14

·4 = (16)1 = 16.

Ası, tenemos:

[

(16)14

]4= (16)

14

·4

[

(−9)2] 1

2 = (81)12 = 9, mientras que (−9)2· 1

2 = (−9)1 = −9.

Esto es[

(−9)2] 1

2 6= (−9)2· 12 .

Ası, en general, la propiedad (am)n = amn no se cumple si los

exponentes son cocientes de enteros.

(−4

−9

) 12

=(

4

9

) 12

=2

3, mientras que

(−4)12

(−9)12

no esta definido.

Ası, en general, la propiedad(

a

b

)n

=an

bnno se cumple si los

exponentes son cocientes de enteros.

1.1.7.5. Orden en R

Un numero real puede ser positivo, negativo o igual a cero.

El conjunto de numeros reales es un conjunto ordenado mediante la relacion

menor que denotada por el sımbolo < y definida por:

Para dos numeros reales a y b, se cumple:

a 0

(a es menor que b, si y solo si, b − a es positivo). Que a es menor que b

tambien se expresa diciendo que b es mayor que a. En este caso se escribe

b > a.

La relacion de orden satisface las siguientes propiedades para todo a, b, c

y d en R.

1. Tricotomıa: a b

2. Transitividad: Si a 0 y b > 0 =⇒ a + b > 0

7. c > 0, a bc

La notacion a < b < c significa que a < b y que b < c.

Analogamente se define la relacion menor o igual que, denotada por ≤,

tenemos:

a ≤ b ⇐⇒ a a ∨ b = a.

Nos referimos a las anteriores relaciones como a desigualdades y mas es-

pecıficamente a < y a > como a desigualdades estrictas, y a ≤ y a ≥como a desigualdades no estrictas.


1.1.7.6. Decimales

Todo numero real tiene una expansion decimal.

En el caso de un racional p

q, al hacer la division de p por q se obtiene su

expansion decimal, la cual puede ser finita o infinita.

Finita, por ejemplo:

• 1

2= 0, 5

• 3

10= 0, 3

• −25

4= −6, 25

• 18

12=

3

2= 1, 5

• −6

−2= 3

Infinita, y en este caso, debe ser periodica como en los siguientes

ejemplos:

• −2

3= −0, 66666... = −0, 6

• 50

11= 4, 545454... = 4, 54

• 3113

= 2, 384615384615... = 2, 384615

La lınea superior indica el perıodo, esto es, la secuencia de dıgitos que se

repite. La repeticion de dıgitos se debe a que, en el proceso de dividir p por

q, solo aparece un numero finito de residuos diferentes pues cada residuo

es mayor o igual que 0 y menor que q. (Por ejemplo, si p = 125 y q = 4

entonces 125 = 31 · 4 + 1, el residuo es 1. El residuo de dividir 125 por 4

es 3 pues −125 = (−32) 4 + 3. El residuo de dividir 125 por −4 es 1 pues

125 = (−31) (−4) + 1. Finalmente, El residuo de dividir −125 por −4 es 3

pues −125 = 32 (−4) + 3)

Demostracion. Una demostracion de este hecho, el cual se conoce como el

principio de la division euclidiana que se basa en otro principio, el

principio del buen orden que verifica el conjunto N. Este segundo princi-

pio establece que todo subconjunto no vacıo de N posee un elemento mınimo.

Consideramos entonces dos numeros enteros p y q y, en un primer paso, su-

ponemos que q > 0. Si p es multiplo de q, es decir, si existe un entero b tal

que p = bq, el residuo de dividir p por q es 0. Si p no es multiplo de q, enton-

ces consideramos el conjunto de todos los enteros que tienen la forma b − cq

donde c es un entero. Es posible encontrar algun entero c tal que cq < p.

En realidad existen infinitos enteros que verifican esta condicion. Entonces

el conjunto:

C = {b − cq/c ∈ Z y b − cq > 0}

Es no vacıo y, como es subconjunto de N, tiene un elemento mınimo. Si

llamamos r ese elemento entonces r, que es un elemento de C, tiene la forma

r = p − c0q para algun entero c0. Ademas r < q, pues de no ser ası, es decir

si r > q, entonces el numero r − q tendrıa estas propiedades:

r −q < r, r −q > 0 y r −q = p−c0q −q = p− (c0 + 1) q, es decir, r −q serıa

un elemento del conjunto C, menor que el elemento mınimo de ese conjunto.

Esta contradiccion surge de la suposicion inicial r > q. En consecuencia,

r < q. El caso en que q < 0 puede reducirse al caso anterior pues entonces:

−q > 0 yp

q=

−p

−q

Note que el residuo de dividir un numero p por q = 2 es 0 o es 1. Ası todo

numero p se puede expresar en la forma:

p = 2q ∨ p = 2q + 1

Ası, todo entero es par o es impar.

�

Observese que un decimal finito puede verse como un decimal infinito pe-

riodico con un perıodo 0, como por ejemplo:


0, 5 = 0, 5000... = 0, 50

Recıprocamente, todo numero decimal periodico representa un numero ra-

cional. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1.7. Tenemos:

3, 1254 =31254

10000

Si x = 0, 723 entonces 1000x = 723, 723.

Restando la primera igualdad de la segunda se tiene:

999x = 723

De donde:

x =723

999

Si y = 0, 46231 entonces 1000y = 462, 31231 restando y de 1000y

se tiene:

999y = 461, 85

Entonces multiplicando ambos lados de la igualdad por 100 se tiene:

99900y = 46185

De donde:

y =46185

99900

En general, en el proceso de expresar un decimal periodico cuyo periodo

consta de n dıgitos, como un numero racional, el primer paso es multiplicarlo

por 10n.

Lo anterior nos dice que el conjunto de los decimales periodicos es igual a Q.

La expansion decimal de un numero irracional es siempre infinita no

periodica. Como por ejemplo:√

2 = 1, 414213562373075...√

3 = 1, 7320508075...

π = 3, 141592653589793...

e = 2,7182818284...

Tambien 0,121221222122221... es la expansion decimal de un numero

irracional.

Si a y b son numeros reales distintos, a 0

Entonces:

a < c < b

Esto nos muestra que entre los numeros reales distintos cualesquiera a y b,

hay otro numero real. Tambien entre a y c hay otro numero d, y entre a y d

hay otro.

Este argumento podrıa repetirse sin parar, con lo cual podemos afirmar que

entre dos numeros reales cualesquiera a y b, existe una infinidad de numeros

reales, aun si la diferencia entre b y a es muy pequena.

Podemos decir que entre dos numeros reales distintos cualesquiera a y b,

existe una infinidad de numeros racionales y existe una infinidad de numeros

irracionales.

Para verificar que esta afirmacion es cierta, basta justificar el hecho de que en-

tre dos numeros reales distintos existe un numero racional y existe un numero

irracional y repetir el razonamiento anterior. Antes de dar una justificacion

general consideramos un ejemplo.

Sean

a = 0,25671834901.... y b = 0,25671876734...

a < b y la primera cifra decimal en que difieren es la septima. El analisis de las

cifras siguientes permite encontrar tanto un racional como un irracional entre

a y b. Ası por ejemplo, si c = 0,2567184 y d = 0,2567184121121112111211112...

c es racional, d es irracional, y ambos se encuentran entre a y b.

Veamos otro caso. Si a = 0,6742213693... y b = 0,6742213765..., entonces c =

0,67422137 es un racional, d = 0,6742213701001000100001... es un irracional

y a < c < b y a < d < b.

En general se puede identificar el primer dıgito en que las expansiones deci-

males difieren. Si la diferencia es mayor que 1, basta tomar un numero entre

esos dıgitos diferentes y luego una expansion periodica (por ejemplo de pe-

riodo 0) para el racional y una expansion no periodica para el irracional. Si

la diferencia entre esos dıgitos es igual a 1, se comparan las cifras siguientes

para hallar un numero intermedio y se agrega un expansion periodica para

el racional y una no periodica para el irracional.

Geometricamente las anteriores propiedades significan que la recta real no

presenta huecos, esta es la propiedad de completez de R. Significan tam-

bien que, tan cerca como se quiera de un punto dado, existen tanto puntos

racionales como irracionales, es la propiedad de densidad de racionales

y de irracionales. En particular, un numero irracional puede aproximarse

tanto cuanto se quiera por numeros racionales. Ası, por ejemplo, el irracio-

nal π puede aproximarse por 3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159; 3,141592;

3,1415926; etc. A partir de la segunda, cada aproximacion es mejor que la an-

terior. Las calculadoras, en las que no pueden introducirse decimales infinitos

(periodicos o no) trabajan con aproximaciones. Usted puede hacer calculos

mas precisos sin usar calculadora.

�


Observacion 1.4. Dado un numero real a, no se puede hablar del siguiente

real, como si se puede decir que n + 1 es el entero que sigue al entero n.

1.2. Numeros Complejos

Observese que ningun numero real es solucion de la ecuacion x2 + 1 = 0.

La solucion de esta ecuacion se halla en el conjunto C de los numeros

complejos, el cual contiene tanto R como los numeros cuyo cuadrado es

negativo.

La unidad imaginaria es: i =√

−1

Puesto que R ⊆ C e i ∈ C y se espera operar elementos de C con una suma

y un producto como sucede en C, el conjunto C debe contener los productos

de la forma bi para b ∈ R y las sumas a + bi, donde a y b son numeros reales.

En efecto tenemos que:

C ={

a + bi | a, b ∈ R, i2 = −1}

Definicion 1.6. Los reales a y b son, respectivamente, la parte real y la

parte imaginaria del numero complejo a + bi. Si b 6= 0, un numero a + bi

es un complejo no real y si, ademas, a = 0, el numero (es decir bi) es un

imaginario puro.

Observese que un numero real a tiene la forma a + bi con b = 0.


1. La parte real de 2 +3

4i es 2 y su parte imaginaria es

3

4

2. La parte imaginaria de 4 − 5i es −5

3. La parte real de π + i es π

4. 2 + 3i, 4 − 5i, π + i son complejos, no reales

5. 6i,√

2i, −i, πi son imaginarios puros.

24 1.2. Numeros Complejos

1.2.1. Igualdad de numeros complejos

Tenemos:

a + bi = c + di ⇐⇒ a = c y b = d

Esto es, dos complejos son iguales si y solo si sus partes reales son iguales y

sus partes imaginarias son iguales.


1. a + 3i = 4 + 3i ⇐⇒ a = 4

2. a + bi = −6 ⇐⇒ a = −6 y b = 0

3. No existe un real a para el cual 3 + 6i = a + i

4. No existe un real b para el cual −1

2+ 7i = bi

1.2.2. Operaciones con numeros complejos

Las operaciones de suma y producto se definen haciendo uso de las operacio-

nes de numeros reales y teniendo en cuenta que i2 = −1.

Ası tenemos:

1. La suma de numeros complejos se define como:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

2. El producto de numeros complejos se define como:

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ac + bd)i


a) (4 − 6i) + (5 + 7i) = (4 + 5) + (−6 + 7)i = 9 + 1i = 9 + i

b) (9 − 3i) + 3π = (9 + 3π) − 3i = 3(3 + π) − 3i. La parte real de este

complejo es el numero real 3(3 + π)

c)(

1 +4

7i)(

−2

3+ 9i

)

=(

−2

3− 36

7

)

+(

9 − 8

21

)

i

d) a + bi + 0 = a + bi

e) 3i(8 − 3i) = 9 + 24i

f ) −7

5(10 + 2i) = −14 − 14

5i

g) Se tiene que:

(

−1

2+

√3

2i

)(

−1

2+

√3

2i

)(

−1

2+

√3

2i

)

=

[(1

4− 3

4

)

+

(

−√

3

4−

√3

4

)

i

]

(

−1

2+

√3

2i

)

=

(

−1

2−

√3

2i

)(

−1

2+

√3

2i

)

=(

1

4+

3

4

)

+

(

−√

3

4+

√3

4

)

i

= 1

h) (a + bi) 1 = a + bi

i) i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1. En general, si n es un numero entero,

n puede ser dividido por 4 y en ese caso se obtienen un cociente b

y un residuo r tales que 0 ≤ r < 4 y n = 4b + r. Entonces:

in = i4b+r = (i4)bir = ir

La suma y el producto de numeros complejos cumplen las condiciones

de cuerpo o de campo que cumplen la suma y el producto de numeros

reales, es decir, las propiedades (1) a (5) de la seccion anterior, se cum-

plen si se supone que los elementos son numeros complejos. Hablamos

entonces del cuerpo o campo de los numeros complejos. La ve-

rificacion de casi todas las propiedades es rutinaria. Nos detendremos


en la que no lo es: la existencia de inversos. Tenemos:

Un numero complejo y posee inverso para la suma pues si y = a + bi y

z = −a − bi entonces z es el inverso de y.


y + z = (a + bi) + (−a − bi) = (a − a) + (b − b)i = 0

�

Comprobaremos la existencia de inversos para el producto depues de

introducir otros conceptos.

Observese que −a − bi = (−1)(a + bi). Este complejo se denota por:

−(a + bi)

3. La resta de numeros complejos se define como:

Sean u y v numeros complejos, entonces:

u − v = u + (−v)

O, mas explıcitamente:

(c + di) − (a + bi) = (c + di) + (−a − bi) = (c − a) + (d − b)i


a) (7 + 6i) − (6 − 3i) = (7 − 6) + (6 − 1 − 3)i = 1 + 9i

b) Si z es un numero complejo tal que(

32

− 4i)

+z = 2+3i, entonces

z = (2 + 3i) −(

3

2− 4i

)

, es decir, z =1

2+ 7i

c)

(√2

2+

√2

2i

)

−(√

2

2−

√2

2i

)

=√

2i


Definicion 1.7. El conjugado de un numero complejo z = a + bi,

denotado por z se define como:

z = a − bi o a + bi = a − bi

Ejemplo 1.12. Se tiene que:

a) 6 + 5i = 6 − 5i

b) 9 − 2i = 9 + 2i

c) −3 +√

2i = −3 −√

2i

d) i = −i

e) 2 = 2

f ) −10 = −10

g) Si a ∈ R entonces a = a

h) Si z ∈ C y z = z entonces z es un numero real. Para probarlo,

supongamos que z = a + bi.

Como z = z, es decir, a + bi = a − bi, entonces b = −b, lo cual

implica que b = 0 y, en consecuencia, z = a + 0i = a ∈ R

i) (a + bi) + (a + bi) = (a + bi) + (a − bi) = 2a

j) (a + bi) − (a + bi) = (a + bi) − (a − bi) = 2bi

k) (a + bi)(a + bi) = (a + bi)(a − bi) = (a2 − b(−b)) + (a(−b) + ab)i =

a2 + b2

l) a + bi = a − bi = a + bi

Observacion 1.5. Se tiene que el conjugado z de z, es un numero

complejo.

a) z + z = 2Re(z), donde Re(z) denota la parte real de z. Ası, z + z

es un numero real.


b) z −z = 2Im(z)i donde Im(z) es la parte imaginaria de z. Ası, z −z

es 0 o un numero imaginario puro.

c) zz =Re(z)2+Im(z)2. Este es un numero real positivo o cero. Es

cero si y solo si z = 0.

d) z = z, si y solo si z es un numero real.

Otras propiedades del conjugado se refieren a su comportamientos en

relacion con las operaciones entre numeros complejos. A continuacion

enunciamos esas propiedades :

Sean y, z, z1, ... , zn numeros complejos arbitrarios entonces:

y + z = y + z o, mas generalmente, z1 + z2 + ... + zn = z1 + z2 +

... + zn

y − z = y − z

yz = yz o mas generalmente, z1z2...zn = z1z2...zn

(y

z

)

=y

zsi z 6= 0


a) (2 + 3i) + (4 − i) = 6 + 2i = 6 − 2i

2 + 3i + 4 − i = (2 − 3i) + (4 + i) = 6 − 2i

b) (−1 + i)(−1 − i) = 2 = 2

(−1 + i)(−1 − i) = (−1 − i)(−1 + i) = 2

c)(

4 − 7i

−2i

)

=

(

(4 − 7i)(2i)

(−2i)(2i)

)

=(

14 + 8i

4

)

=(

7

2+ 2i

)

=7

2−

2i

4 − 7i

−2i=

4 + 7i

2i=

(4 − 7i) (−2i)

(2i)(−2i)=

14 − 8i

4=

7

2− 2i

Definicion 1.8. El modulo del numero complejo z se denota |z| y se

define como: |z| =√

zz (la raız cuadrada positiva del numero real zz).

Con estos elementos, verificamos la existencia de inversos para el pro-

ducto de numeros complejos (propiedad (4) de la seccion anterior en


el caso complejo). Esa propiedad dice que dado z ∈ C, z 6= 0, existe

w ∈ C tal que zw = 1 pues si tomemos w =z

zz=

z

|z|2tenemos:

zw = zz

|z|2=

zz

|z|2=

|z|2

|z|2= 1

Ası el inverso de z para el producto esz

|z|2. Se denota por z−1 o

1

z.

Explıcitamente, si z = a + bi, entonces:

z−1 =a

a2 + b2− b

a2 + b2i

4. La division de numeros complejos se define Como:

Sean w y z numeros complejos y z 6= 0, entonces:

w

z= w

1

z= wz−1 = w

z

|z|2=

wz

|z|2

Mas explıcitamente,

c + di

a + bi=

(c + di)(a − bi)

(a + bi)(a − bi)=

ca + db

a2 + b2+

da − cb

a2 + b2i


a) |−4 + i| =√

(−4)2 + 12 =√

17

b) |i| = 1

c) |1| = 1, |−3| = 3, mas generalmente, si z es un numero real

entonces z = a ∈ R y el modulo de z es |z| =√

a2 = |a| , es decir,

el modulo de un numero real es igual a su valor absoluto.

d) (2 + 3i)−1 =2 − 3i

(2 + 3i)(2 − 3i)=

2 − 3i

4 + 9=

2

13− 3

13i i−1 =

−i

i(−i)=

−i

Si z = a ∈ R, a 6= 0, z−1 =1

z=

1

a, es decir es el inverso de a

para el producto de numeros reales.

e)4 + 6i

1 − 2i=

(4 + 6i)(1 + 2i)

(1 − 2i)(1 + 2i)=

−8 + 14i

1 + 4= −8

5+

14

5i

30 1.3. Raıces Cuadradas de Numeros Reales Negativos

f )

√7 − 5i

3i=

(√

7 − 5i)(−3i)

(3i)(−3i)=

−15 − 3√

7i

9= −15

9− 3

√7

9i =

−5

3−

√7

3i

g) Tenemos:

(√3

4+ 1

4i)

i3

(2 − 2i)(−i)2=

(√3

4+ 1

4i)

(−i)

(2 − 2i)(−1)

=

(

−14

+√

34

i)

(2 + 2i)

(2 − 2i)(2 + 2i)

=

(

−12

−√

32

)

+(

−12

+√

32

)

i

4 + 4

=

(−1−

√3

2

)

+(

−1+√

32

)

i

8

=−1 −

√3

16+

√3 − 1

16i

1.3. Raıces Cuadradas de Numeros Reales Ne-

gativos

El numero complejo i es√

−1. ¿Que podemos decir acerca de las raıces

cuadradas de los numeros reales negativos en general?.

Si a un real negativo entonces −a es un real positivo y√

−a (la raız cuadrada

positiva de (−a), es un numero real. Tenemos:(√

−ai)2

=(√

−a)2

i2 = a y (−√

−ai)2 = a

Ası que√

−ai y −√

−ai son las raıces cuadradas de a para a < 0.

La raız cuadrada principal de a es√

−ai. Es denotada por√

a.


1.√

−4 =√

4i = 2i

2.√

−7 =√

7i


3. Si b y c son numeros reales positivos√

b√

c =√

bc. Sin embargo, en el

caso de los reales negativos la igualdad no es valida.

Consideremos los siguientes casos:

√−4

√−4 = (2i)(2i) = −4 mientras que

√

(−4)(−4) =√

16 = 4

√−4

√−7 = (2i)(

√7i) = −2

√7 mientras que

√

(−4)(−7) =√

28 =

2√

7.

4.(√

18 +√

−9) (√

2 −√

−6)

=(√

18 −√

9i) (√

2 −√

6i)

=

(√18

√2 −

√9√

6)

+(

−√

18√

6 −√

9√

2)

i =(

6 − 3√

6)

−(

6√

3 + 3√

2)

i

1.4. Polinomios

1.4.1. Expresiones algebraicas

Dado un conjunto, una variable es una letra que representa cualquier ele-

mento del conjunto y una constante es un elemento fijo del conjunto.

Si el conjunto es R, las variables y las constantes representan numeros reales.

En este caso hablamos de variables y constantes reales.

Una expresion algebraica es una variable, una constante o una expresion

que se obtiene a partir de variables y constantes mediante sumas, restas,

multiplicaciones, divisiones, potencias o extraccion de raıces. Si una expresion

algebraica es la suma o la diferencia de otras expresiones algebraicas, cada

una de estas se llama termino.

Por ejemplo:

1. 4x6 −3x3 +6x2 −3 es una expresion algebraica en la variable x. Donde

los numeros 4, −3 y 6 son constantes. Los terminos de la expresion son

4x6, −3x3, 6x2 y −3

2. 3y5 + 2y3 +9

y. En este caso, y es la variable y 3, 2 y 9 son constantes.

Los terminos de la expresion son 3y5, 2y3 y 9y.

32 1.4. Polinomios

3.x2 + y2

√x + y

. Esta es una expresion de variables x e y. Toda la expresion es

un solo termino.

4.6x2y + y

x2

3√

1 − xy. Esta tambien es una expresion de variables x e y. Los nume-

ros 6 y 1 son constantes. Toda la expresion es un solo termino.

Asumimos que x e y son variables reales y que la expresion algebraica repre-

senta un numero real. En ocasiones esto ultimo impone condiciones sobre los

valores que pueden tomar las variables. Ası, en los ejemplos anteriores:

4x6 − 3x3 + 6x2 − 3 representa un numero real, cualquiera sea el valor real

que tome x.

3y5 + 2y3 +9

yrepresenta un numero real siempre que y sea diferente de 0.

x2 + y2

√x + y

representa un numero real si x + y > 0.

6x2y +y

x2

3√

1 − xyrepresenta un numero real si x 6= 0 y 1 − xy 6= 0, esto es, si

y 6= 1

x.

1.4.2. Valor numerico

Cuando las variables de una expresion se reemplazan por numeros reales

dados y despues de efectuar las operaciones se obtiene un numero real, este

numero es el valor de la expresion en los numeros dados. Como por

ejemplo:

1. Para x = 0 en 4x6 − 3x3 + 6x2 − 3, se obtiene:

4(0)6 − 3(0)3 + 6(0)2 − 3 = −3

2. Para x = 2 e y = −1 enx2 + y2

√x + y

, se obtiene:


22 + (−1)2

√

2 + (−1)= 5

1.4.3. Productos notables

En el tema de las expresiones algebraicas estudiamos formas de obtener rapi-

damente el resultado de operarlas, particularmente de multiplicarlas y mane-

ras de factorizarlas, es decir, de escribir expresiones como producto de otras

expresiones. Para hacerlo conviene tener en cuenta las igualdades conocidas

como productos notables, cada una de las cuales se puede comprobar

realizando las operaciones indicadas, tales como:

1. x2 + 2xy + y2 = (x + y)2

2. x2 − 2xy + y2 = (x − y)2

3. x2 − y2 = (x − y)(x + y)

4. xn − yn = (x − y)(xn−1 + xn−2y + .... + xyn−2 + yn−1)

5. xn + yn = (x + y)(xn−1 − xn−2y + .... − xyn−2 + yn−1) si n es impar.

6. xn − yn = (x + y)(xn−1 − xn−2y + .... + xyn−2 − yn−1) si n es par.

7. x2 − (a + b)x + ab = (x − a)(x − b)

8. Podemos ademas deducir, si 2xy > 0 entonces:

x2 + y2 = x2 + y2 + 2xy − 2xy = (x + y)2 − 2xy

= (x + y)2 − (√

2xy)2

= (x + y −√

2xy)(x + y +√

2xy)

9. De manera analoga, para todo x, y, se tiene que:

x4 + y4 = x4 + y4 + 2x2y2 − 2x2y2

= (x2 + y2)2 − 2x2y2

= (x2 + y2 −√

2xy)(x2 + y2 +√

2xy)

34 1.4. Polinomios

10.(

2√

ab − 3√

a + b) (

2√

ab + 3√

a + b)

=(

2√

ab)2 −

(

3√

a + b)2

= 4ab − 9 (a + b)

11.(

3√

x + h − 3√

x − h) [(

3√

x + h)2

+ 3√

x + h 3√

x − h +(

3√

x − h)2]

=(

3√

x + h)3 −

(3√

x − h)3

= (x + h) − (x − h) = x + h − x + h = 2h

12. (x − a) (x − b) (x − c) = (x2 − (a + b)x + ab) (x − c)

= x3 − (a + b + c) x2 + (ab + ac + bc) x − abc

Observacion 1.6. Observese la relacion existente entre las constantes que

aparecen en los factores y las constantes que aparecen en el producto de esos

factores.

Ası tenemos:

1. 16x8+81y4 = (2x2)4+(3y)4 =

[

(2x2)2

+ (3y)2 −√

22x23y] [

(2x2)2

+ (3y)2 +√

22x23y]

=(

4x4 + 9y2 − 6√

2x2y) (

4x4 + 9y2 + 6√

2x2y)

2. 36x6 − 18y2 = (6x3)

2 −(√

18y

)2=(

6x3 −√

18y

) (

6x3 +√

18y

)

=(

6x3 − 3√

2y

) (

6x3 + 3√

2y

)

3. Para factorizar:

x2 − 6x − 16

Se debe buscamos a y b tales que:

x2 − 6x − 16 = (x + a)(x + b)

Es decir:

x2 − 6x − 16 = x2 + (a + b)x + ab

Entonces a y b satisfacen las condiciones siguientes:

a + b = −6 y ab = −16

Luego:

a = −8 y b = 2 o (a = 2 y b = −8)

4. El problema de factorizar:


5x2 + 9x − 2

Se reduce a un caso similar al del ejemplo anterior:

5x2 + 9x − 10 =1

5(25x2 + 9 (5x) − 10) =

1

5

(

(5x)2 + 9 (5x) − 10)

Esta ultima expresion es de la forma:

1

5(u2 + 9u − 10) para u = 5x

Buscamos a y b tales que:

u2 + 9u − 10 = (u + a)(u + b)

Basta tomar:

a = 10 y b = −1 o (a = −1 y b = 10)

Entonces:

u2 + 9u − 10 = (u + 10)(u − 1)

y

5x2 + 9x − 10 =1

5

(

u2 + 9u − 10)

=1

5(u + 10)(u − 1)

=1

5(5x + 10)(5x − 1)

= (5x + 10

5)(5x − 1)

= (x + 2)(5x − 1)

5. Para:

6x4 − 11x2y2 + 3y4 =1

6

(

36x4 − 11(

6x2y2)

+ 18y4)

=1

6

((

6x2)2 − 11

(

6x2)

y2 + 18y4)

36 1.4. Polinomios

Esta ultima expresion es de la forma:

1

6(u2 − 11y2u + 18y4) para u = 6x2

Buscamos a y b tales que:

u2 − 11y2u + 18y4 = (u + a)(u + b)

Basta tomar:

a = −9y2 y b = −2y2

Luego:

6x4 − 11x2y2 + 3y4 =1

6

(

u2 − 8y2u + 18y4)

=1

6(u − 9y2)(u − 2y2)

=1

6(6x2 − 9y2)(6x2 − 2y2)

= (6x2 − 9y2

3)(

6x2 − 2y2

2)

= (2x2 − 3y2)(3x2 − y2)

6. Simplificar la expresion:

(x2 − y2)

(x3 − y3) (x4 − y4)=

(x − y) (x + y)

(x − y) (x2 + xy + y2) (x + y) (x3 − x2y + xy2 − y3)

=1

(x2 + xy + y2) (x3 − x2y + xy2 − y3)

1.4.4. Racionalizacion

Dada una expresion algebraica que contiene radicales sea en el numerador o

denominador, en ocasiones conviene transformarla en una expresion equiva-

lente y sin radicales allı donde los tenıa la expresion inicial. El proceso que

seguimos para hacerlo se llama racionalizacion y esencialmente consiste

en multiplicar por un factor adecuadamente escogido.


Ası tenemos:

1. Racionalizar el numerador de la siguiente expresion algebraica:

3√

x + h − 3√

x

h

Buscamos entonces transformar esta expresion en otra cuyo numerador

no contenga radicales. Puesto que se trata de raıces cubicas, multiplica-

mos tanto numerador como denominador por un factor cuyo producto

con el numerador permita obtener los cubos de las raıces presentes sin

introducir nuevos radicales, esto es, si a representa la primera raız y b

la segunda, buscamos un factor c tal que:

(a − b) c = a3 ± b3

Observese, que partiendo del factor a − b, el resultado va a ser de la

forma: a3 − b3

Ası que, usando un producto notable adecuado, podemos tomar como

el factor c la expresion a2 + ab + b2.

38 1.4. Polinomios

Entonces:

3√

x + h − 3√

x

h=

3√

x + h − 3√

x

h

(3√

x + h)2

+ 3√

x + h 3√

x + ( 3√

x)2

(3√

x + h)2

+ 3√

x + h 3√

x + ( 3√

x)2

=

(3√

x + h − 3√

x)((

3√

x + h)2

+ 3√

x + h 3√

x + ( 3√

x)2)

h((

3√

x + h)2

+ 3√

x + h 3√

x + ( 3√

x)2)

=

(3√

x + h)3 − ( 3

√x)

3

h((

3√

x + h)2

+ 3√

x + h 3√

x + ( 3√

x)2)

=(x + h) − x

h((

3√

x + h)2

+ 3√

x + h 3√

x + ( 3√

x)2)

=h

h((

3√

x + h)2

+ 3√

x + h 3√

x + ( 3√

x)2)

=1

(3√

x + h)2

+ 3√

x + h 3√

x + ( 3√

x)2

Aunque la expresion final contiene radicales en su denominador, hemos

logrado el objetivo que era obtener una expresion sin radicales en el

numerador.

2. Racionalizar el denominador de la expresion:

1√x + 3

√y

En este caso se trata de multiplicar numerador y denominador por

un factor que permita eliminar a la vez una raız cuadrada y una raız

cubica. Si a representa la primera raız y b la segunda, basta multiplicar

por un factor c tal que (a + b) c = an ± bn para algun n tal que an y bn

no presenten radicales.

Entonces n debe ser 2 o un multiplo de 2 para eliminar el primer radical

y debe ser 3 o multiplo de 3 para eliminar el segundo. Debe ser, pues,

un multiplo comun de 2 y 3.


Basta tomar el mınimo comun multiplo que es 6. Ası, buscamos un

factor c tal que (a + b) c = a6 ± b6. Usando productos notables obten-

dremos una expresion de la forma (a + b) c = a6 − b6, puesto que el

exponente buscado es par. Para lograrlo basta tomar como el factor c

la expresion:

(a5 − a4b + a3b2 − a2b3 + ab4 − b5) 1√x+ 3

√y

=

= 1√x+ 3

√y

· (√

x)5−(

√x)

4( 3

√y)+(

√x)

3( 3

√y)

2−(√

x)2( 3

√y)

3+(

√x)( 3

√y)

4−( 3√

y)5

(√

x)5−(

√x)

4( 3

√y)+(

√x)

3( 3

√y)

2−(√

x)2( 3

√y)

3+(

√x)( 3

√y)

4−( 3√

y)5

=(

√x)

5−(√

x)4( 3

√y)+(

√x)

3( 3

√y)

2−(√

x)2( 3

√y)

3+(

√x)( 3

√y)

4−( 3√

y)5

(√

x+ 3√

y)(

(√

x)5−(

√x)

4( 3

√y)+(

√x)

3( 3

√y)

2−(√

x)2( 3

√y)

3+(

√x)( 3

√y)

4−( 3√

y)5)

=(

√x)

5−(√

x)4( 3

√y)+(

√x)

3( 3

√y)

2−(√

x)2( 3

√y)

3+(

√x)( 3

√y)

4−( 3√

y)5

(√

x)6−( 3

√y)

6

=(

√x)

5−(√

x)4( 3

√y)+(

√x)

3( 3

√y)

2−(√

x)2( 3

√y)

3+(

√x)( 3

√y)

4−( 3√

y)5

x3−y2

1.4.5. Operaciones con polinomios

Un polinomio de variable x, con coeficientes reales, es una suma finita de

productos de la forma akxk donde el coeficiente ak es un numero real y k

es un entero no negativo. Ası un polinomio tiene la forma:

p(x) = a0 + a1x + ... + anxn

Donde n es un entero no negativo y ai es un numero real si 0 ≤ i ≤ n.

El grado del polinomio es el mayor exponente n de x tal que an 6= 0, su

coeficiente principal es an y su termino independiente es a0.

Observe que las constantes no cero son los polinomios de grado 0 o polinomios

constantes: si a 6= 0, a = ax0. El 0 es tambien un polinomio constante pero

no se le define grado.

40 1.4. Polinomios

Un monomio es un polinomio que consta de un solo termino. Un binomio

es un polinomio que consta de dos terminos. Un trinomio es un polinomio

que consta de tres terminos.

Un polinomio puede representarse por p(x). El conjunto de todos los polino-

mios con coeficientes reales es denotado por R [x].

Ası tenemos que:

1. Son polinomios los siguientes:

a) 3 + 12x3 +25

4x7 − 36x9. Su grado es 9 y su coeficiente principal es

−36.

b) −1

5+

√3

2x + x2. Su grado es 2 y su coeficiente principal es 1.

c) −1 + 1, 5x2 + 0, 75x5 − 1, 25x7. Su grado es 7 y su coeficiente

principal es −1, 25.

d) π + 3x, −4 +√

2x y todas las expresiones de la forma b + ax con

a, b ∈ R. Representan polinomios de grado 1 que tienen esa forma

donde a 6= 0.

e) 2 = 2x0, −√

7 = −√

7x0,9

2=

9

2x0

2. No son polinomios los siguientes:

a) 3 + 4x2 + 6x−3 pues el exponente de x en el tercer termino es un

entero negativo.

b) 4 + 2√

x + x + 3x3 pues el exponente de x en el segundo sumando

es positivo pero fraccionario.

c)7x + 12x5 − 6x10

6 + 12x3no es un polinomio, es un cociente de polino-

mios llamado fraccion racional.

Observacion 1.7. Puesto que la variable x representa un numero real, tam-

bien un polinomio representa un numero real y, ası como los numeros reales

se suman, restan, multiplican y dividen, los polinomios tambien se operan

teniendo en cuenta las propiedades que poseen las operaciones de numeros

reales.


1.4.5.1. Igualdad de polinomios

Dos polinomios p(x) = a0 +a1x+ ...+anxn y q(x) = b0 + b1x+ ...+ bmxm

son iguales si n = m y ak = bk para 0 ≤ k ≤ n (es decir, tienen el mismo

grado y los coeficientes de xk son iguales).

Como por ejemplo:

1. Se tiene que −1 + 3x2 − 4x5 + 9x7 = a0 + a1x + · · · + a7x7 si y solo si

a0 = −1, a1 = 0, a2 = 3, a3 = 0, a4 = 0, a5 = −4, a6 = 0, a7 = 9

2. Se tiene que 4x+6x2 +12x3 = b0 + b1x+ · · ·+ b5x5 si y solo si b0 = 0,

b1 = 4, b2 = 6, b3 = 12, b4 = 0, b5 = 0

3. Los polinomios −1 − 3x + 2x3 − x5 y 1 + a1x + · · · + anxn no pueden

ser iguales.

1.4.5.2. Suma y resta de polinomios

En el polinomio que se obtiene al sumar o al restar dos polinomios, el coe-

ficiente de xk se obtiene sumando o restando los coeficientes de xk en los

polinomios que se operan.

Ejemplo 1.16. Realiza la suma y resta de:

1. Sean p(x) = (4 + 6x2 + 7x3 − 10x5) y q(x) = (3 + x + 4x2 + x3),

entonces:

p(x) + q(x) =(

4 + 6x2 + 7x3 − 10x5)

+(

3 + x + 4x2 + x3)

= (4 + 3) + (0 + 1)x + (6 + 4)x2 + (7 + 1)x3 + (0 + 0)x4 + (−10 + 0)x5

= 7 + x + 10x2 + 8x3 − 10x5

2. Sean r(x) = (3 − 4x + 5x2 − 9x3) y s(x) = (−2 + 9x − 9x3), enton-

ces:

42 1.4. Polinomios

r(x) − s(x) =(

3 − 4x + 5x2 − 9x3)

−(

−2 + 9x − 9x3)

= (3 − (−2)) + (−4 − 9)x + (5 − 0)x2 + (−9 − (−9))x3

= 5 − 13x + 5x2

3. Si m(x) = −2 + x entonces:

m(x) − m(x) = (−2 + x) − (−2 + x) = (−2 + 2) + (x − x) = 0

En forma general tenemos:

1. Si n ≥ m, entonces:

(a0 + a1x + · · · + anxn) ± (b0 + b1x + · · · + bmxm) =

(a0 ± b0) + (a1 ± b1) x + · · · (am ± bm) xm + am+1xm+1 + · · · + anxn

2. si n < m, entonces:

(a0 + a1x + · · · + anxn) ± (b0 + b1x + ... + bmxm) =

(a0 ± b0) + (a1 ± b1) x + · · · + (an ± bn) xn + bn+1xn+1 + · · · + bmxm

Observe que el resultado de sumar o restar dos polinomios puede ser el poli-

nomio 0. Pero si no es ası, el grado del polinomio obtenido es menor o igual

que el mayor entre los grados de los polinomios que se suman o se restan.

1.4.5.3. Producto de polinomios

De otra parte, el polinomio producto de dos polinomios se obtiene aplicando

repetidamente la propiedad distributiva y reduciendo terminos comunes.

Ejemplo 1.17. Realice el producto de:

1. Sean p(x) = (2 + 6x − 3x2) y q(x) = (3 − 2x + 4x3) entonces:


p(x)q(x) =(

2 + 6x − 3x2) (

3 − 2x + 4x3)

= 2(

3 − 2x + 4x3)

+ 6x(

3 − 2x + 4x3)

− 3x2(

3 − 2x + 4x3)

= 2 · 3 + 2(−2x) + 2(4x3) + (6x)3 + 6x(−2x) + 6x(4x3)

+ (−3x2)3 + (−3x2)(−2x)(4x3)

= 6 + (−4 + 18)x + (−12 − 9)x2 + (8 + 6)x3 + 24x4 − 12x5

2. Sean r(x) =(

2

3+ 4x − 3

4x3

)

y s(x) =(

6 + x +9

2x2

)

, entonces:

r(x)s(x) =(

2

3+ 4x − 3

4x3)(

6 + x +9

2x2)

=2

3

(

6 + x +9

2x2)

+ 4x(

6 + x +9

2x2)

− 3

4x3(

6 + x +9

2x2)

= 4 +(

2

3+ 24

)

x + (3 + 4) x2 +(

18 − 9

2

)

x3 − 3

4x4 − 27

8x5

= 4 +74

3x + 7x2 +

27

2x3 − 3

4x4 − 27

8x5

3. Sea m(x) = 1 −√

2x, entonces:

m(x)m(x) =(

1 +√

2x) (

1 +√

2x)

= 1 − 2x2

El coeficiente principal del polinomio producto es el producto de los coefi-

cientes principales (que son numeros diferentes de cero) de los factores.

En forma general tenemos que:

(a0 + a1x + · · · + anxn) (b0 + b1x + · · · + bmxm) = c0 + c1x + · · · + cn+mxn+m

Donde ck =∑

i+j=k aibj

44 1.4. Polinomios

1.4.5.4. Division de polinomios

En relacion con la division de polinomios tenemos el principio de la divi-

sion euclidiana de acuerdo con el cual, dados dos polinomios p(x) y q(x)

con q(x) 6= 0, al dividir p(x) por q(x) se obtienen dos polinomios un cociente

c(x) y un residuo r(x) tales que:

p(x) = q(x)c(x) + r(x) y r(x) = 0 o r(x) 6= 0

Donde el grado de r(x) es menor que el grado de q(x).

Los polinomios c(x) y r(x) son unicos.

Volviendo a la discusion general acerca de la division, cuando, el divisor es

de la forma x − d, el residuo es una contante k y

p(x) = (x − d)c(x) + k

Entonces, el valor de p(x) en d (es decir al reemplazar x por d en el polinomio

y realizar las operaciones indicadas), es:

p(d) = (d − d)c(d) + k = 0 + k = k

Ası hemos demostrado el Teorema del Residuo; es decir el residuo de

dividir un polinomio p(x) por el polinomio x − d es p(d).

Ejemplo 1.18. Se tiene:

1. Sea p(x) = 2 + 3x − x2 + 3x3 + 5x4, entonces:

El valor de p(x) en x = 2 es:

p(2) = 2 + 3 · 2 − 22 + 3 · 23 + 5 − 24 = 108

El cual es el residuo de dividir p(x) por por x − 2.

2. Podemos asegurar que el residuo de dividir p(x) = −6−x+3x2 +4x3 +

7x5 por x + 1 es −5 = p(−1).

Como un caso particular del teorema del residuo aparece el Teorema del

Factor, es decir el polinomio x − d es factor del polinomio p(x) si y solo si

p(d) = 0.

Como:


p(x) = (x − d)c(x) + p(d)

Entonces x − d es factor de p(x) si y solo si p(d) = 0.

Observacion 1.8. Se tiene que para la division de polinomios se puede

aplicar el metodo de Ruffini y el metodo de Horner.

Ejemplo 1.19. Aplica el metodo de Ruffini y el metodo de Horner para

determinar el cociente y el resto de las siguientes divisiones:

(2x5 + x3 + 3x + 2) ÷ (x + 1) (6x5−20x4−13x3+25x2−12x+

7) ÷ (3x2 − x + 1)

Tenemos:

El metodo de Ruffini se aplica cuando el divisor es de la forma x ± a.

Se debe tener en cuenta que el polinomio (dividendo) debe estar completo y

ordenado; ası tenemos:

(2x5 + x3 + 3x + 2) ÷ (x + 1)

El dividendo 2x5 + 0x4 + x3 + 0x2 + 3x + 2, entonces:

2 0 1 0 3 2

x = −1 −2 2 −3 3 −6

2 −2 3 −3 6 −4

Donde el cociente es q(x) = 2x4 −2x3 +3x2 −3x+6 y el resto es r(x) = −4.

El metodo de Horner se aplica cuando el divisor es de grado mayor que 1,

pero de grado menor que el dividendo, tambien se debe tener en cuenta que

el dividendo debe estar completo y ordenado, ası tenemos:

(6x5 − 20x4 − 13x3 + 25x2 − 12x + 7) ÷ (3x2 − x + 1)

Entonces:

46 1.4. Polinomios

3 6 −20 −13 25 −12 7

1 2 −2

−1 −6 6

−7 7

8 −8

2 −6 −7 8 3 −1

Donde el cociente es q(x) = 2x3 − 6x2 − 7x + 8 y el resto es r(x) = 3x − 1.

1.4.6. Raıces de polinomios

Una raız o un cero de un polinomio p(x) ∈ R [x] es un numero complejo

z (real o no) que verifica p(z) = 0 (o, de otra, manera, es una solucion de la

ecuacion p(x) = 0).

Ejemplo 1.20. Sea z = −1

2+

√3

2i, entonces:

z2 = −1

2−

√3

2i y 1 + z + z2 = 0

Es decir, z es raız del polinomio:

p(x) = 1 + x + x2

Ademas, como:

z = z2 y z2 = z, entonces 1 + z + z2 = 1 + z2 + z = 0

Ası tambien z es raız del polinomio p(x).

Ahora bien:

x3 − 1 = (x − 1) (1 + x + x2)

Entonces z y z, ademas de 1, son raıces de x3 − 1.

Para hallar las raıces del polinomio de la forma ax2 + bx + c con a 6= 0, o

dicho de otra manera, para hallar las soluciones de la ecuacion:

ax2 + bx + c = 0


Es suficiente hallar las soluciones de la ecuacion:

x2 +b

ax +

c

a= 0

Puesto que:

ax2 + bx + c = a(x2 +b

ax +

c

a) y a 6= 0

Completando cuadrados en la ecuacion, se tiene:

x2 +b

ax = − c

a

x2 +b

ax +

(

b

2a

)2

=

(

b

2a

)2

− c

a(

x +b

2a

)2

=b2

4a2− c

a

=b2 − 4ac

4a2

Ası:

x +b

2a= ±

√

b2 − 4ac

4a2

Donde:

x = − b

2a±

√b2 − 4ac

2a=

−b ±√

b2 − 4ac

2a

En general hallar las raıces de un polinomio es un problema difıcil.

En primer lugar, retomemos al teorema del factor y usando el concepto

de raız, es decir un numero real d es raız del polinomio p(x) si y solo si x − d

es factor de p(x). Pero, ¿que sucede si el numero es un complejo no real?

En realidad la situacion es similar, veamos por que.

Como los complejos forman un cuerpo, como lo forman los reales, ası que las

diferentes propiedades que se deducen de este hecho para los reales, tienen

su correspondiente para los numeros complejos.

48 1.4. Polinomios

Igualmente se define un polinomio de x con coeficientes complejos como una

suma a0 + a1x + · · · + anxn donde n ≥ 0 y a0, · · · , an ∈ C. El conjunto

de los polinomios de esta forma es denotado por C [x] .

En C [x] los polinomios se suman, se restan y se multiplican siguiendo las

mismas reglas de los polinomios en R [x] .


1. Sean p(x) = 6+4ix+ ix3 y q(x) = 1− i+(12 + 3i) x−9x2, entonces:

p(x) + q(x) =(

6 + 4ix + ix3)

+(

1 − i + (12 + 3i) x − 9x2)

= 6 + (1 − i) + (4i + (12 − 3i)) x + 9x2 + ix3

= 7 − i + (12 + 7i) x − 9x2 + ix3

2. Sean r(x) = x + 2 − i y s(x) = ix + 2, entonces:

r(x)s(x) = (x + 2 − i) (ix + 2)

= ix2 + (3 + 2i) x + 4 − 2i

Tambien, el principio de la division euclidiana es valido para poli-

nomios con coeficientes complejos. En este caso ese principio establece lo

siguiente:

Si p(x), q(x) ∈ C [x] (es decir, p(x) y q(x) tienen coeficientes complejos)

y q(x) 6= 0, existen polinomios c(x) y r(x) en C [x] tales que:

p (x) = q (x) c (x) + r (x)

Con r (x) = 0 o r (x) 6= 0 y el grado de r (x) es menor que el grado de

q (x) .

De el se deducen, como en el caso de los reales, los teoremas del residuo

y del factor :

El residuo de dividir un polinomio p (x) ∈ C [x] por un factor de la forma

x − z, z ∈ C, es p (z) .


Un complejo z es raız de un polinomio p (x) ∈ C [x] si y solo si x−z es factor

de p (x) .

La division sintetica es igualmente aplicable.


Aplicacion del teorema del factor y de la division sintetica.

Por calculo directo se vio que:

z = −1

2+

√3

2i

es raız de x3 − 1.

Empleando division sintetica tenemos:

x3 +0x2 +0x −1 x −(

−12

+√

32

i)

−x3 +(

−12

+√

32

i)

x2 x2 +(

−12

+√

32

i)

x(

−12

+√

32

i)

x2 0x −1 +(

−12

−√

32

i)

−(

−12

+√

32

i)

x2 +(

−12

−√

32

i)

x(

−12

−√

32

i)

x −1

−(

−12

−√

32

i)

x +1

0 0

donde:

(

x2 +

(

−1

2+

√3

2i

)

x +

(

−1

2−

√3

2i

))(

x −(

−1

2+

√3

2i

))

= x3 −1

Analogamente se tiene que el complejo i no es raız de x2 +x+1 pues

i2 + i + 1 = i.

Tambien empleando division sintetica tenemos:

50 1.4. Polinomios

x2 +x +1 x − i

−x2 +ix x + (1 + i)

(1 + i) x +1

− (1 + i) x −1 + i

i

donde:

(x + (1 + i)) (x − i) + i = x2 + x + 1

Ahora bien, la existencia de raıces esta garantizada por uno de los teoremas

esenciales en matematicas, particularmente en algebra, como lo indica su

nombre:

Teorema 1.1. (Teorema Fundamental del Algebra)

Si p(x) es un polinomio con coeficientes complejos y grado mayor o igual que

1, entonces p(x) posee por lo menos una raız compleja.

Demostracion. Sea p(x) un polinomio de grado n. Donde p(x) es una funcion

entera. Para cada constante positiva m, existe r > 0, tal que:

|p(z)| > m si |z| > r

Si p(x) no tiene raıces, la funcion f =1

p, es una funcion entera con la pro-

piedad de que para cualquier numero real ǫ > 0, existe r > 0 tal que:

|f(z)| > ǫ si |z| > r

Se tiene que f es acotada. Por el Teorema de Liouville se tiene que si

f es es una funcion entera y acotada, entonces, f es constante y esto es una

contradiccion. De manera que f no es entera y por lo tanto p tiene al menos

una raız. Entonces p se puede escribir como el producto:

p (z) = (z − α1) q (z)


donde α1 es una raız de p y q es un polinomio de grado n − 1. Por el argu-

mento anterior, el polinomio q a su vez tiene al menos una raız y se le puede

factorizar nuevamente. Realizando este proceso n − 1 veces, concluimos que

el polinomio p puede escribirse como el producto:

p (z) = k (z − α1) (z − α2) · · · (z − αn)

donde (z − α1) , · · · , (z − αn) son las raıces de p (no necesariamente distintas)

y k es una constante.

�

Este teorema como aquellos que hacen referencia a polinomios con coeficien-

tes complejos, se aplican a los polinomios que tienen coeficientes reales: si

p(x) en un polinomio con coeficientes reales y grado mayor o igual que 1,

entonces f(x) posee por lo menos una raız compleja (que puede ser real).

El teorema fundamental del algebra tiene multiples implicaciones. Una muy

importante garantiza, por lo menos en teorıa, la completa factorizacion de

un polinomio de grado mayor o igual que 1, como enuncia en el siguiente

resultado, que en ocasiones se menciona como el teorema fundamental del

algebra.

Teorema 1.2. Si p(x) es un polinomio que tiene coeficientes complejos y

grado n ≥ 1 entonces existen n numeros complejos z1,··· ,zn tales que:

p (x) = a(x − z1) · · · (x − zn)

donde a es el coeficiente principal de p(x). Cada numero zi es una raız del

polinomio.

Demostracion. Usando el teorema fundamental del algebra podemos decir

que si p(x) tiene grado n ≥ 1 entonces posee una raız compleja. Sea z1 esa

raız. De acuerdo con el teorema del factor, x − z1 es entonces factor de p(x)

ası existe un polinomio c1(x) tal que:

p(x) = (x − z1)c1(x)

52 1.4. Polinomios

donde c1(x) es un polinomio del grado n − 1.

Si n−1 = 0, entonces c1 (x) es una constante, llamemosla a y p(x) = a(x−z1)

Sı n−1 ≥ 1, tambien c1(x) posee una raız compleja, sea z2 esa raız, entonces:

c1(x) = (x − z2)c2(x)

y

p(x) = (x − z1)(x − z2)c2(x)

donde c2(x) es un polinomio que tiene grado n − 2.

Realizando el proceso, despues de n pasos, llegamos a un polinomio cn(x) de

grado 0, ası que cn(x) es una constante a y

p(x) = a(x − z1) · · · (x − zn)

Cada numero zi es una raız de p(x) y a en el coeficiente principal.

�


1. x3 − 1 = (x − 1)

(

x −(

−1

2+

√3

2i

))(

x −(

−1

2−

√3

2i

))

2. Si z1 =−b +

√b2 − 4ac

2ay z2 =

−b −√

b2 − 4ac

2a

entonces ax2 + bx + c = a(x − z1)(x − z2).

Observe que z2 = z1

Una consecuencia inmediata del teorema anterior es el siguiente:

Teorema 1.3. Sı p(x) es un polinomio que tiene coeficientes complejos y

grado n ≥ 1, entonces p(x) posee a lo mas n raıces complejas distintas.


Demostracion. Supongamos que la afirmacion del teorema es falsa y que

existe un polinomio p(x) con coeficientes complejos y grado n ≥ 1 que posee

un numero de raıces distintas entre sı, que es mayor que n.

Consideremos n + 1 de estas raıces: z1, · · · , zn+1.

Entonces:

p(x) = a(x − z1) · · · (x − zn)

y,

0 = p(zn+1) = a(zn+1 − z1) · · · (zn+1 − zn)

Sin embargo cada factor zn+1 − zi es distinto de cero y a 6= 0. Ası tenemos

una contradiccion.

En consecuencia nuestra suposicion es falsa y p(x) debe tener a lo mas n

raıces.

�

Anteriormente hemos observado que tanto z = −1

2+

√3

2i como z son raıces

de los polinomios x2 +x+1 y x3 −1 y que, si el polinomio ax2 +bx+c tiene

raıces complejas no reales, las dos raıces son conjugadas entre sı. El siguiente

teorema trata de ello:

Teorema 1.4. Sı p(x) ∈ R[x], el grado de p(x) es mayor o igual que 1 y

un numero complejo z es raız de p(x) entonces tambien z es raız.

Demostracion. Supongamos que p(x) = a0 + a1x + · · · + anxn puesto que z

es raız, entonces:

p(z) = a0 + a1z + · · · + anzn = 0

y al reemplazar x por z en el polinomio tenemos:

p(z) = a0 + a1z + a2(z)2 + · · · + an(z)n

54 1.4. Polinomios

Ahora bien, de acuerdo con las propiedades del conjugado, es decir (3) tene-

mos para todo entero k, k ≥ 1

(z)k = z · · · z︸︷︷︸

k

= z · · · z︸︷︷︸

k

= zk

Entonces:

p(z) = a0 + a1z + a2z2 + · · · + anzn

y, como cada coeficiente ai es real, ai = ai, podemos escribir:

p(z) = a0 + a1z + a2z2 + · · · + anzn

esto es:

p(z) = a0 + a1z + a2z2 + · · · + anzn

= a0 + a1z + a2z2 + · · · + anzn

= p(z)

= 0

= 0

Ası z es raız de p(x).

�

Este resultado nos dice que las raıces complejas no reales de un polinomio que

tienen coeficientes reales, se presentan por pares y que, entonces, el numero

total de raıces complejas no reales es par. Como consecuencia tenemos el

siguiente hecho fundamental:

Corolario 1.1. Sı p(x) ∈ R[x] y p(x) es de grado impar, entonces p(x)

tiene por lo menos una raız real.

Demostracion. En efecto, supongamos que:

p(x) = a0+ a1x + · · · + a2k+1x2k+1

para algun entero k ≥ 0.

Como p(x) debe tener 2k + 1 raıces en C, y el numero t de raıces complejas

no reales debe ser par, ese numero debe ser menor o igual que 2k. La otra

raız, si t = 2k o a las otras raıces si t < 2k, deben ser entonces reales.

Hay pues, una de ellas, por lo menos.

�

Si un polinomio p(x) es distinto de 0, tiene coeficientes reales y su grado

es par y mayor que cero, entonces p(x) puede tener todas sus raıces reales,

todas complejas no reales o algunas reales y algunas complejas no reales.


1. Las raıces del polinomio:

p(x) = (x − 1)3

son todas reales e iguales a 1.

2. Las raıces del polinomio:

q(x) = x3 − 1

son:

1, −1

2+

√3

2i y −1

2−

√3

2i

3. Las raıces de:

r(x) = x4 − 2x3 + x2 + 2

son:

i, −i, 1 + i y 1 − i,

todas complejas.

4. Las raıces de:

p(x) = x4 − 1

son:

56 1.4. Polinomios

1, −1, i, −i

5. Las raıces de:

p(x) = (x − 2)3(x + 3)4

son: −3 con multiplicidad 4 y 2 con multiplicidad 3.

6. A continuacion hallaremos un polinomio p(x) con coeficientes reales del

cual sean raıces 1, −2 y 2 − i.

Deben ser factores del polinomio:

x − 1, x + 2 y x − (2 − i)

Ademas, como los coeficientes de p(x) deben ser reales entonces tambien

2 + i debe ser raız , es decir:

x − (2 + i)

debe ser factor.

Luego el polinomio, es:

p(x) = (x − 1)(x + 2)(x − (2 − i)(x − (2 + i))

que satisface las condiciones. No es el unico porque tambien las satisfa-

cen el producto ap (x) para todo numero real a diferente de cero y, mas

generalmente, el polinomio producto p (x) c (x) para todo polinomio

c (x) diferente de cero y con coeficientes reales.

Observacion 1.9. De los ejemplos anteriores los polinomios (x − 1)3 y

(x + 3)4 son productos de factores lineales (de grado 1), cada uno de ellos

asociado a una raız. En el caso de (x − 1)3, el factor x−1, asociado a la raız 1,

se repite tres veces. Decimos que 1 es una raız triple o de multiplicidad 3. Para

el otro polinomio, (x − 2)3 (x + 3)4 , 2 es una raız doble o de multiplicidad

2 y −3 es una raız de multiplicidad 4.

Definicion 1.9. Si z es un numero complejo (real o no) que es raız de un

polinomio p (x) (caso en el cual (x − z) es factor de p (x) ) y (x − z)k es la

mayor potencia de x − z que divide a p (x), entonces la multiplicidad de la

raız z se define como k. Si k = 1 tambien se dice que z es una raız simple,

si k = 2, que z es una raız doble y si k = 3, z es una raız triple.


Ejemplo 1.25. Construiremos un polinomio p (x) que tenga coeficientes

reales y tal que los numeros 1 e i sean raıces de multiplicidad 2, los nume-

ros 1 − i y 1 + i sean raıces simples y 0 sea raız de multiplicidad 3. Ademas

buscamos p (x) de grado mınimo entre los polinomios que cumplen estas con-

diciones.

Puesto que los coeficientes del polinomio deben ser reales e i debe ser raız,

tambien −i debe ser raız y puesto que i debe ser raız doble, tambien −i debe

serlo.

Un polinomio que cumple estas condiciones es:

p (x) = (x − 1)2 (x − i)2 (x + i)2 (x − (1 − i)) (x − (1 + i)) x3

de grado 11.

Si a es un numero real diferente de cero tambien el producto ap (x) cumple

las condiciones.

Si c (x) es un polinomio diferente de cero cuyos coeficientes son reales, tam-

bien el polinomio producto p (x) c (x) cumple las condiciones acerca de las

raıces y los coeficientes, pero si el grado de c (x) es mayor o igual que 1, no

cumple la condicion del grado mınimo.

Observe que si no se requiere que los coeficientes sean reales (es decir, pueden

ser complejos no reales), un polinomio que verifica las demas condiciones es:

q (x) = (x − 1)2 (x − 1)2 (x − (1 − i)) (x − (1 + i)) x3

de grado 9. Tambien cualquier otro polinomio de la forma aq (x) para a un

numero complejo (real o no) diferente de 0.

Considerando el teorema fundamental del algebra y el hecho de que si z es

raız, tambien z lo es, de un polinomio p (x) que tiene coeficientes reales

y grado mayor o igual que 1 podemos decir que se cumple una de estas

alternativas:

Sus raıces son reales, se factoriza de la forma:

p (x) = a (x − b1) · · · (x − bn)

donde a es el coeficiente principal, que es real, y cada bi es real.

58 1.4. Polinomios

Posee raıces reales y raıces complejas no reales, se factoriza de la forma:

p (x) = a (x − b1) · · · (x − bk) (x − z1) (x − z1) · · · (x − ze) (x − ze)

donde a y cada bi son reales y cada zj es complejo no real.

No posee raıces reales, se factoriza de la forma:

p (x) = a (x − z1) (x − z1) · · · (x − ze) (x − ze)

donde a es real y cada zj es complejo no real.

Ahora bien, si z es un complejo no real, (x − z) (x − z) = x2 −(z + z) x+zz el cual es un polinomio de grado 2 con coeficientes reales,

segun las propiedades del conjugado (Numeros Complejos (1.2)).

Ası, podemos concluir lo siguiente:

Corolario 1.2. Todo polinomio que tiene coeficientes reales y grado mayor

o igual que 1, puede factorizarse en polinomios con coeficientes reales, cada

uno de los cuales tiene grado 1 o 2.

1.4.7. Criterios para la determinacion de raıces

Para determinar las raıces de un polinomio que tiene coeficientes reales ve-

remos metodos que nos permiten obtenerlas bajo ciertas condiciones, ası sea

de manera aproximada.

Raıces racionales de polinomios con coeficientes enteros

El primer caso que consideramos es el de las raıces racionales de un

polinomio que tiene coeficientes enteros.

Supongamos que:

p(x) = a0 + a1x + · · · + anxn con n ≥ 1, a0 6= 0 y an 6= 0

es un polinomio con coeficientes enteros y que un numero racional rs

es

raız de p(x). ¿Que condiciones cumple rs?

Proposicion 1.1. (Criterio de las raıces racionales)

Si existe un racional rs

(simplificado) que es raız de un polinomio:


p(x) = a0 + a1x + · · · + anxn con n ≥ 1, a0 6= 0 y an 6= 0

y coeficientes enteros, entonces r, el numerador, es factor del termino

independiente a0 y s, el denominador, es factor del coeficiente principal

an.

Demostracion. Recordemos que un racional puede simplificarse de tal

manera que numerador y denominador no tengan factores comunes

distintos de 1. Asumamos que rs

esta ya simplificado ( r y s son

primos entre si).

Como:

p(

rs

)

= 0 = a0 + a1r

s+ · · · + an

(r

s

)n

Esto es:

a0 + a1r

s+ · · · + an

rn

sn= 0

Haciendo denominador comun:

a0sn + a1rsn−1 + · · · + anrn

sn= 0

Lo cual es equivalente a:

a0sn + a1rsn−1 + · · · + anrn = 0

Es decir:

a0sn = −a1rsn−1 − · · · − anrn

= r(

−a1sn−1 − · · · − anrn−1

)

Donde, r es factor de a0sn y, puesto que r y s no tienen factores

comunes distintos de 1, todo factor primo de r, que es factor de a0sn,

debe su factor de a0.

En consecuencia, r divide a0.

60 1.4. Polinomios

De manera similar, dado que:

anrn = −a0sn − a1rsn−1 − · · · − an−1r

n−1s

= s(

−a0sn−1 − · · · − an−1r

n−1)

s es factor de anrn y, puesto que r y s no tienen factores comunes

distintos de 1, s debe ser factor de an.

�

Ejemplo 1.26. El siguiente polinomio:

p (x) = 4 − 3x2 + x3

tiene raıces racionales, y estas deben encontrarse entre los numeros de

la forma rs

donde r es factor de 4 y s es factor de 1; es decir:

r es ±1, ±2, ±4

y

s es ±1

Tales racionales rs

son:

±1, ±2, ±4

No todos estos seis numeros pueden ser raıces del polinomio de grado

3, pero:

p(−1) = 0

Entonces x + 1 es factor de p(x).

Dividiendo obtenemos:

p (x) = (x − 1) (x2 − 4x + 4) = (x + 1) (x − 2)2

Ası las tres raıces de p (x) son racionales, donde 1 es una raız simple

y 2 es una raız de multiplicidad 2.


Ejemplo 1.27. Consideremos:

p (x) = 20x3 − 51x4 + 47x5 − 19x6 + 3x7

Como:

p (x) = x3 (20 − 51x + 47x2 − 19x3 + 3x4)

Se tiene que 0 es una raız triple de p (x) (por ser x3 factor).

Las otras raıces son raıces del factor:

q (x) = 20 − 51x + 47x2 − 19x3 + 3x4

Si q (x) posee raıces racionales, estas son de la forma rs

donde r es factor

de 20 y s es factor de 3, es decir:

r es ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20

y

s es ±1, ±3

Los distintos cocientes rs

obtenidos para esos valores de r y s son:

±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20, ±1

3, ±2

3, ±4

3, ±5

3, ±10

3, ±20

3

Calculando el polinomio en 1 (lo cual siempre se puede hacer sin difi-

cultad) se tiene que:

q (1) = 0

Ası x − 1 es factor de q (x). Deducimos el otro factor usando division

sintetica, es decir:

62 1.4. Polinomios

3x4 −19x3 +47x2 −51x +20 x − 1

−3x4 +3x3 3x3 − 16x2 + 31x − 20

−16x3 +47x2

16x3 −16x2

31x2 −51x

−31x2 +31x

−20x +20

20x −20

0 0

Entonces:

q (x) = (x − 1)(

3x3 − 16x2 + 31x − 20)

Si q (x) posee otras raıces racionales, deben ser raıces del segundo factor

de q (x) y, como el coeficiente principal y el termino independiente de

ese factor son los mismos de q (x), sus raıces racionales se hallan en la

lista dada antes. De entre esos racionales el unico que es raız es 43.

En efecto, empleando de nuevo division sintetica tenemos:

3x3 −16x2 +31x −20 x − 43

−3x3 +4x2 3x2 − 12x + 15

−12x2 +31x

12x2 −16x

15x −20

−15x +20

0 0

Luego:

p (x) = x3 (x − 1)(

x − 4

3

)(

3x2 − 12x + 15)

= 3x3 (x − 1)(

x − 4

3

) (

x2 − 4x + 5)


Las raıces aun no halladas de p (x) son las raıces del polinomio x2 −4x + 5, las cuales son:

4 ±√

16 − 20

2

Es decir:

2 + i y 2 − i

Ası, todas las raıces de p (x) son 0, que es raız triple y 1, 43, 2+i, 2−i,

que son raıces simples.

Ejemplo 1.28. Sea:

p (x) = 5 + x + 4x2 − 3x3 + x5

Los divisores del termino independiente son ±1 y ±5 y los divisores

del coeficiente principal son ±1, entonces las raıces racionales de p (x) ,

si las tiene, se hallan entre los numeros ±1 y ±5. Pero p (1) = 8,

p (−1) = 10, es decir ±1 no son raıces de p (x) .

Asimismo se tiene que p (5) = 2860, p (−5) = −2850, es decir que ±5

no son raıces de p (x) .

p (x) es pues, un polinomio que no posee raıces racionales. Puesto que

este polinomio tiene grado impar, debe tener por lo menos una raız

real. Todas las raıces reales de p (x) son irracionales.

Criterio de los signos de Descartes

Los ejemplos anteriores dan idea del trabajo que representa determinar

las raıces de un polinomio, ası sean solamente las raıces racionales de

un polinomio con coeficientes enteros. Es entonces contar con resulta-

dos que contribuyan a orientar la busqueda. Esos resultados existen y

uno de ellos es el criterio de los signos de Descartes el cual usa la ter-

minologıa siguiente: dado un polinomio p(x) y ordenados sus terminos

no cero en el orden ascendente de las potencias de la variable:

p(x) = a0 + a1x + · · · + anxn

o en el orden descendente:

p(x) = anxn + · · · + a1x + a0

64 1.4. Polinomios

Se dice que hay un cambio de signo cuando un termino tiene signo

+ y el siguiente tiene signo −, o al contrario.

Ejemplo 1.29. Consideremos el polinomio:

p (x) = 2 + 3x − 4x2 + 3x4 − 7x5 − x7

Se tiene que sus terminos estan ordenados de manera ascendente, pre-

senta tres cambios de signo:

Tenemos que 3x es seguido por −4x2 y este seguido de +3x4. A su vez

+3x4 esta seguido de −7x5.

Ejemplo 1.30. El polinomio:

p (x) = −1 − x + x4 + 9x6

Presenta un cambio de signo: a −x sigue +x4.

El criterio de los signos de Descartes establece que si p (x) es un

polinomio distinto de 0, de grado mayor o igual que 1, sus coeficientes

son reales y su termino independiente no es 0, entonces el numero de

raıces reales positivas de p (x) es igual al numero de cambios de signo

del polinomio o a ese numero disminuido en un numero par y el numero

de raıces reales negativas de p (x) es igual al numero de cambios de signo

del polinomio p (−x) o a ese numero disminuido en un numero par.

Ejemplo 1.31. Se tiene que el polinomio:

p (x) = 4 − 3x2 + x3

Presenta dos cambios de signo, entonces tiene dos o cero raıces reales

positivas.

En efecto:

Tiene dos raıces, como vimos anteriormente. Esas raıces son iguales a

2.

Por otra parte:

p (−x) = 4 − 3 (−x)2 + (−x)3 = 4 − 3x2 − x3


Se tiene que p (−x) presenta un cambio de signo, de modo que p (x)

posee una raız real negativa igual a −1.

Ejemplo 1.32. El polinomio

p (x) = 20 − 51x + 47x2 − 19x3 + 3x4

Presenta cuatro cambios de signo, entonces posee cuatro, dos, o cero

raıces reales positivas. Tiene dos que son 1 y 43

como tambien vimos

anteriormente.

Por otra parte:

p (−x) = 20 − 51 (−x) + 47 (−x)2 − 19 (−x)3 + 3 (−x)4

= 20 + 51x + 47x2 + 19x3 + 3x4

Es decir, p (−x) no presenta cambios de signo entonces p (x) no posee

raıces reales negativas.

Ejemplo 1.33. Si

p (x) = 5 + x + 4x2 − 3x3 + x5

Entonces:

p (−x) = 5 − x + 4 (−x)2 − 3 (−x)3 + (−x)5

Ası que p (x) puede tener dos o cero raıces reales positivas y tres o una

raıces reales negativas. Tambien de un ejemplo anterior sabemos que

las raıces reales de p (x) son irracionales.

Las raıces de este polinomio se distribuyen de una de las siguientes

formas:

• Dos son reales positivas y tres son reales negativas, o

• Dos son reales positivas, una es real negativa y dos son complejas

no reales y conjugadas entre sı, o

• Tres son reales negativas y dos son complejas no reales y conjuga-

das entre sı, o

66 1.4. Polinomios

• Una es real negativa y cuatro son complejas.

Cotas de raıces reales

Otro criterio que ayuda a orientar la busqueda de raıces de un polinomio

de grado mayor que 0 y coeficientes reales es el criterio de las cotas

superior e inferior.

Definicion 1.10. Sea p (x) ∈ R [x], un polinomio distinto de 0 y de

grado mayor o igual que 1. Se dice que un real a es una cota superior

y un real b es una cota inferior de las raıces de p (x) si para toda raız

real c de p (x) se tiene que:

b ≤ c ≤ a

Criterio de las cotas superior e inferior

Sea p (x) ∈ R [x] .

Si a es un numero real positivo y al dividir p (x) por x−a se obtiene un

cociente con coeficientes no negativos y un residuo no negativo entonces

a es una cota superior de las raıces de p (x) .

Si b es un numero real negativo y al dividir p (x) por x − b se obtienen

un cociente y un residuo tales que los coeficientes del primero seguidos

del residuo forman un conjunto de reales alternadamente no positivos

y no negativos, entonces b es una cota inferior de las raıces de p (x) .

Ejemplo 1.34. En el ejemplo (1,28), se obtuvo que el polinomio:

p (x) = 5 + x + 4x2 − 3x3 + x5

Los numeros ±5 no son raıces de p (x) .

Pero segun el criterio de las cotas, 5 es cota superior y −5 es cota

inferior de las raıces reales de p (x).

De manera similar y mas precisamente, se puede comprobar que las

raıces se hallan entre −3 y 2 (es decir, que tambien −3 es una cota

inferior y 2 es una cota superior).


Ejemplo 1.35. El polinomio:

p (x) = 24 − 50x + 23x2 + 9x3 − 7x4 + x5

posee cuatro, dos o cero raıces reales y, puesto que:

p (−x) = 24 + 50x + 23x2 − 9x3 − 7x4 − x5

el polinomio p (x) posee una raız real negativa, segun el criterio de

Descartes.

Si p (x), que tiene coeficientes enteros, posee raıces racionales, estas se

encuentran entre los siguientes numeros:

±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24

En la busqueda de las raıces positivas empezamos por el menor positivo

y seguimos en orden ascendente buscando una cota superior de las raıces

reales de p (x)

Ası tenemos:

p (1) = 0, el numero 1 es raız de p (x) entonces el polinomio debe tener,

por lo menos, otra raız positiva.

p (2) = 8, el numero 2 no es raız de p (x) .

p (3) = 0, el numero 3 es raız de p (x) .

p (4) = 0, se tiene que 4 es raız de p (x).

Tenemos entonces tres raıces positivas del polinomio: 1, 3 y 4. El

numero total de raıces positivas es, entonces, cuatro.

p (6) = 1200, p (8) = 5448, este ultimo resultado nos dice que 8 es una

cota superior de las raıces reales de p (x) , con lo cual, 12 no es raız y

24 tampoco lo es. La cuarta raız positiva debe ser irracional.

Por otra parte p (−1) = 80, ademas:

68 1.5. Ejercicios del capıtulo 1

x5 −7x4 +9x3 +23x2 −50x 24 x + 2

−x5 −2x4 x4 − 9x3 + 27x2 − 31x + 12

−9x4 +9x3

9x4 +18x3

27x3 +23x2

−27x3 −54x2

−31x2 −50x

31x2 +62x

+12x +24

−12x −24

0 0

Se tiene que p (−2) = 0, donde el numero −2 es la unica raız negativa

de p (x), razon por la cual es la cota inferior de las raıces de p (x).

Observando los coeficientes del cociente vemos como, naturalmente, se

cumple el criterio para la cota inferior.

1.5. Ejercicios del capıtulo 1

1. Verifica que el producto de dos numeros naturales pares es par; de dos

numeros naturales impares es impar y el producto de un numero par

con uno impar es impar.

2. Aplicando el algoritmo de la division, verifica que cada numero natural

es la suma de potencias enteras no negativas de 2 (es decir, de terminos

de la forma 2k con k ∈ N∪ {0}) y que cada potencia que aparece como

sumando lo hace una sola vez.

3. Un numero entero p se compone de dos dıgitos que son de izquierda a

derecha a y b respectivamente, entonces determine su inverso aditivo

de p.

4. Enuncie las propiedades de los numeros reales en cada uno de los si-

guientes ejercicios:


a) 2x + 5y = 5y + 2x

b) x(yz) = (xy)z

c) 3x(y + z) = 3xy + 3xz

d) (a + b)(m + n) = (a + b)m +

(a + b)n

5. Aplica las propiedades de los numeros reales en cada uno de los siguien-

tes ejercicios:

a) −8(x + y)

b) 7(3x)

c) (x + 5)(3x − 4y)

d) (3x − 2)(1 − x)

e) −2a(b + 2c − 3d)

f ) 25(25a)

6. Para cada numero real a ∈ R, demostrar que a + a = 2a

7. Para cada numero real a, b ∈ R, demostrar que (−a).(−b) = a.b

8. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) a0 = 0

b) (−a)(−b) = −(ab)

c) a − (b + c) = a − b + c

d)a

b + c=

a

b+

a

c; b 6= 0 y c 6= 0

e) a(b − c) = ab − ac

f ) −a(−a) = a

g) Si a es un numero real dis-

tinto de cero, entonces exis-

te otro numero real b tal que

a.b = 2.

h) Existe un numero real a tal

que a2 + a + 1 = 0.

i) El producto de dos nume-

ros reales irracionales es un

numero irracional.

9. Aplica las propiedades de los exponentes enteros y racionales en los

siguientes ejercicios:

a) (23 − 32)−1

b)[(

34

)−2 −(

23

)−1+ (2)−3

]−1

c)[(

−12

)−2 (23

)3(−4)−2

]2

d)[

(−4)−2]−1

+ (5)2 − [(7)−1]−3

e)[(

4936

)3 (37

)−4]−2


f )(3)(5)√

2(3)14 (5)

18

g)[

4√

2233√

6]3

h)

[(5√

7423

5

)(√7

2

)(

74√

2253

)]2

i)

14

√(

625 8

34

) 16

4

√(

615 8

12

) 13

j) m−1

√

7m√

7

k)

(

3

√

7√√

3273

)8

l)3√

5426√

5322

m)

( √3

3√

625

)2

÷(

2√

35√

6453

)3

2

n)(√

36)3 (√

36)5

10. Determine el valor de:

W =

√5 +

√3√

5 −√

3+

√5 −

√3√

5 +√

3

11. Simplificar la expresion siguiente:

A =

1 −√√

x +√

y(√

x − √y)

√√x − √

y√

x − y

12


P =

√√√√√

(

1 − 12

) (

1 − 13

) (

1 − 14

)

· · ·(

1 − 1n

)

(

1 + 12

) (

1 + 13

) (

1 + 14

)

· · ·(

1 + 1n

) +n2 + n − 2

n(n + 1)

13. Demostrar que el numero√

8 no es un numero racional.

14. Sean: m = 2, 34580, n = −3, 25680, p = −4, 78390. Calcule m.n, m.p,

n.p, m − n, m + n, n − p, m − p

15. Escriba la expansion decimal correspondiente a los numeros racionales

siguientes y determine, en cada caso, el perıodo de dıgitos que se repite:

a) 237

b) −534

c) 23

d) 2491990

e) 58

f ) 3588

16. Determine la fraccion que dividida por los 23

de su inversa de por co-

ciente 2425

.

17. Determine la expansion decimal completa de la suma m + n de los

numeros racionales m y n cuyas expansiones decimales son m = 2, 34

y n = −3, 5.

18. Sean m y n dos numeros racionales con m < n. Encuentre un numero

racional s tal que m < s < n.

19. Sea m = 2, 131130, encuentre un racional y un irracional cuya distancia

a m sea menor que 1104 .

20. Demostrar que | a | − | b |≤| a − b | para cualesquiera a, b ∈ R.

21. Demostrar que:

| a1 + a2 + · · · + an |1+ | a1 + a2 + · · · + an | ≤ | a1 |

1+ | a1 | +| a2 |

1+ | a2 | + · · · +| an |

1+ | an |

22. Demostrar que si a, b > 0 y a2 > b2 =⇒ a > b

23. Sean a, b, c ∈ R demostrar que a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc

24. Demostrar que si a b =⇒ 5a > 5b

b) Si a 0, b < 0 =⇒ ab > 0

e) Si a ≥ b =⇒ −a ≥ −b

f ) Si a < 0 =⇒ −5a > 0

27. Escribir cada uno de los siguientes numeros en la forma: a + bi


a) 3i5 − i4 + 7i3 − 10i2 + 6

b) 5i3 − 2i2 + 3i

c)5

i+

4

i3− 10

i20

d) 2i3 − i6 +2

i3− 20i

e) 4i2 + 5i5 − 7i − 34

f )5

i3− 3i9 − 7i + 2

28. Efectuar las operaciones siguientes:

a) (3 − 6i) + (−5 + 9i)

b) i(3 − 8i)

c) −4(5 + 8i)

d) 9(−4 − 7i) − i(3 + 4i)

e) i(2 + 9i) − i(1 − 2i)

f ) 5(4 − 6i) + 3(2 + 18i)

g) (5 − 7i)(2 − i)

h) (−4 + i)(1 − 5i)

i) 8i(2 − 3i) + 3i(8 − i)

j)(

5

3+

2

5i)

(1 − 6i)

k)(

1 − 1

2i)(

4 +5

7i)

l)(

5i +1

2 − 3i

)

m)4 − 2i

3 + 5i

n)i

1 − i

n)(4 − i)(3 + 2i)

1 + i

o)(5 + 7i) − (3 + 4i)

(1 − 8i) − (1 − 2i)

p)(3 − 5i)(7 − 2i)

(2 + i)(4 − 3i)

q)(4 + 5i) − 2i3

(2 + i)2

r) i(2 − 3i)2(1 − i)3

s) (1 − 2i)(2 − i)(4 − 6i)i

t) (3 − 5i) − 2i(2 + 7i) − 1

1 − i

u) (1 + 2i)3(3 − i)2

v) (2 − 3i)(

1 − 2i

2 + 3i

)2

w)i

2 + i

x)−1 + i

(−2 + i)2

y) (−1 − 2i)2 − i(7 − i)

z) (2 − 2i)(1 − i)3 − i + 3

29. Para cada numero complejo identifica la parte real Re(z) y la parte

Imaginaria Im(z).


a) z = (3 − 6i)(−5 + 9i)

b) z =(

i

2 − 3i

)(1

2 + i

)

c) z =1

(1 − i)(2 + i)(3 − 2i)

d) z =2 − i

3 + i

e) z = 2i(5 − 8i)

f ) z = −i(2 + i)2(4 − 3i)

30. Se tiene que si z = x + yi, entonces expresar en terminos de x y y lo

siguiente:

a) Re(iz)

b) Im(−2iz)

c) Im((1 + i)z)

d) Re(z2)

e) Re(

1

z

)

f ) Im(2z + 4z − 4i)

g) Im(z2 + z2)

h) Re(z2 − z2)

31. Efectuar las operaciones siguientes:

a) 3 + 2i − i(2 − 5i)

b) 2i − 3 − 5i

c)(2 − i) − i(2 + i)

(1 + 3i)i

d) (1 − i)(4 − 5i)

e) 3 + 5i + 3i(−2i) − 5 − 8i

f ) 7 + i − 3(2 + 5i) + i

32. Determine el modulo para cada uno de los numero complejo siguientes:

a) z = (3 − i)(−5 − 9i)

b) z =(

i

1 − 3i

)(1

2 − i

)

c) z =1 − i

(1 + i)(3 − 2i)

d) z =2 − 3i

3 + 2i

e) z = i(5 − 8i)

f ) z = i(2 − 2i)2(4 − 3i)

33. Sean los polinomios P (x) = 2x3 − x2 − 4x + 9 y Q(x) = −x4 − 5x3 −3x + 1, determine P (1), P (−1), P (0), Q(−1), Q(0), Q(1).

34. Se tiene los polinomios: P (x) = 3x3 +mx2 −x+8, Q(x) = 4x3 +(3a−1)x2 + (1 − 2a)x − 9 y R(x) = −2x3 + 2ax2 − bx + 6. Determine:


a) El valor de m, sabiendo que

P (1) = 6.

b) El valor de a, sabiendo que

Q(2) = 1.

c) El valor de a, b, sabiendo que

R(−1) = 11 y R(2) = −28.

35. Se tiene P (x) = ax2 + bx + c, entonces:

a) Determine los valor de

a, b, c sabiendo que P (0) =

−2, P (−1) = −3 y −2 es

raız de P (x).

b) −12, es raız de P (x).

c) Determine 3P (−1)−2P (−3).

d) Determine P (2) ÷ P (−2)

36. Sean P (x) = 2x4 −3x3 +2x2 −x+1, Q(x) = x2 −2x+3, R(x) = 2x−1

y S(x) = 2x3 + x2 + 2x − 3 determine:

a) P (x) + Q(x) + R(x)

b) P (x) − R(x) + S(x)

c) P (x)Q(x) − R(x)S(x)

d) P (x) ÷ R(x)

37. Aplica el metodo de Ruffini para determinar el cociente y el resto de

las siguientes divisiones:

a) (x4 − 3x3 + 5x − 8) ÷ (x + 2)

b) (x5 − 3x3 − 54x − 2) ÷ (x − 2)

c) (3x5 − 8x3 + 2x2) ÷ (x + 1)

d) (3x3 − 5x2 + 7) ÷ (x − 3)

e) (23x4 − 5

6x3 + 1

2x2 −1)÷(x−1)

f ) (2x3 − 6x2 + 3) ÷ (x − 1)

g) (2x3−9x2+18x−12)÷(x−4)

h) (x3 − 6x2 + 2x + 5) ÷ (x + 5)

38. Aplica el metodo de Horner para determinar el cociente y el resto de

las siguientes divisiones:

a) (2x4 − 6x3 + 3x2 − 4x − 2) ÷ (x2 + x − 3)

b) (9x3 + 12x2 + 12x + 1) ÷ (x2 + 3x + 2)

c) (9x5 + 9x4 − 16x3 − 14x2 + 8x − 3) ÷ (3x3 + 2x2 + 5)

d) (7x2 − x4 − 27x + 10 + x5) ÷ (x2 − x + 5)

e) (38x4 − 65x3 + 27) ÷ (−5x + 2x2 + 3)


f ) (10x4 − 29x2 + 2x5 + 51x − 13x3 − 18) ÷ (5x + x2 − 3)

39. Determine el valor de m si la division (3x3−x2−3x+m)÷(3x2+2x−1)

es exacta.

40. Se tiene que la division (bx4 −bx3 +91x−19a)÷(x2 −5x+1) es exacta.

Determine el valor de ab + 4.

41. Aplica el teorema del residuo, para determinar los residuos de las si-

guientes divisiones:

a) (2x5 − 3x4 + 5x − 4) ÷ (x − 2)

b) (2x6 −5x4 +7x2 +3)÷ (x+1)

c) (x3 + 2ax2 + a3) ÷ (x + a)

d) (6x4 −2x3 +3x2 −1)÷ (x−1)

e) (x8 − a8) ÷ (x + a)

f ) (x2 − 6ax + 3a3) ÷ (x − 2a)

42. Determine los valores de k para que al dividir x4 − k2x + 3 − k entre

x − 3 se obtenga como resto 4.

43. Determine las raıces de los siguientes polinomios:

a) P (x) = 3x4−10x3+4x2−x−6

b) Q(x) = −9x4 + 14x3 + 6x2 −14x + 3

c) R(x) = −9x2 + 4x − 3

d) S(x) = x3 − 5x2 + 9x − 5

e) T (x) = x4 +4x3 +5x2 +2x−2

f ) U(x) = x3 − 9x2 + 33x − 65

44. Se tiene P (x) = x4 + 12x3 + ax2 + bx + c determine los valores de a, b y

c de modo que P (x) admite a x = 1 como una raız de multiplicidad 3.

45. Se tiene P (x) = 3x5 + 7x4 + x3 − 10x2 − 14x − 8, sin calcular sus raıces

determine cuantas raıces negativas y positivas tiene.

46. Se tiene P (x) = 2x5 − 19x4 + 55x3 − 49x2 − 7x + 10, sin calcular sus

raıces determine cuantas raıces negativas y positivas tiene.

Capıtulo 2

INECUACIONES Y VALOR

ABSOLUTO

2.1. Inecuaciones

2.1.1. Intervalos

El conjunto (infinito) de los reales comprendidos entre dos reales distintos a

y b con a < b, es decir:

{x ∈ R/ a < x < b}

es un ejemplo de intervalo.

Los intervalos son subconjuntos de R que geometricamente corresponden

a segmentos de recta, a semirrectas y a la recta real completa. Los que co-

rresponden a segmentos de recta son intervalos finitos o acotados. Los

que corresponden a semirrectas o a la recta real son intervalos infinitos.

De otra parte, los intervalos se clasifican en cerrados, semiabiertos o semi-

cerrados y abiertos. Los intervalos cerrados contienen sus extremos, los

semiabiertos contienen uno de sus extremos, los abiertos no contienen

extremos. Los extremos se llaman tambien puntos de frontera. Los ex-

tremos forman la frontera del intervalo. Los puntos del intervalo que no

76

Cap. 2: INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO 77

son puntos de frontera son los puntos interiores del intervalo y forman el

interior del mismo.

Ası tenemos los diferentes tipos de intervalos con sus representaciones grafi-

cas:

1. Intervalo Finito

a) Cerrado

[a, b] = {x ∈ R /a ≤ x ≤ b} =⇒ a b

b) Semiabiertos

[a, b) = {x ∈ R /a ≤ x < b} =⇒ a b

(a, b] = {x ∈ R /a < x ≤ b} =⇒ a b

c) Abierto

(a, b) = {x ∈ R /a < x < b} =⇒ a b

2. Intervalo Infinito

a) Semiabiertos

(−∞, a] = {x ∈ R /x ≤ a} =⇒ −∞ a

[a, ∞) = {x ∈ R /x ≥ a} =⇒ a ∞

b) Abiertos

(−∞, a) = {x ∈ R /x < a} =⇒ −∞ a

(a, ∞) = {x ∈ R /x > a} =⇒ a ∞

(−∞, ∞) = R =⇒ −∞ ∞

Los sımbolos ∞ y −∞ no representan numeros reales. La notacion (a, ∞) se

usa para significar que en el intervalo estan todos los reales mayores que a,

por grandes que ellos sean. Un intervalo infinito no puede ser cerrado.

Un intervalo J es un subintervalo de un intervalo I si J esta contenido en

I.

78 2.1. Inecuaciones

2.1.2. Inecuaciones

Consideraremos las siguientes inecuaciones:

7x + 6 < 4

6x2 − 7x + 1 ≥ 10x − 3(

2x2 + 1) (

7x5 + 3x2 + 2x − 3)

≤ 12x2 + x

9x5 + 3x4 − x3

1 − x2> 3x + 1

donde x representa un numero real. Ası, tendremos polinomios, productos y

cocientes de polinomios y tambien sumas o restas.

Si p (x) y q (x) denotan polinomios y ⊥ representa uno de los sımbolos de

desigualdad: <, >, ≤, ≥, entonces p (x) ⊥ q (x) se dice inecuacion lineal

o de grado 1 si uno de los dos polinomios tiene grado 1 y el otro polinomio

es igual a 0 o su grado es menor o igual que 1. Si uno de los dos polinomios

tiene grado 2 y el otro es 0 o su grado es menor o igual que 2, entonces

p (x) ⊥ q (x) es una inecuacion cuadratica.

Mas generalmente si uno de los dos polinomios es de grado n y el otro es 0

o es un polinomio de grado menor o igual que n, se dice que p (x) ⊥ q (x) es

una inecuacion de grado n.

Un numero real a es solucion o satisface una inecuacion, si al reemplazar

x por a, la desigualdad obtenida es verdadera. Resolver una inecuacion es

hallar todos los numeros reales que son sus soluciones. El conjunto de las

soluciones de la inecuacion es su conjunto solucion. Dos inecuaciones son

equivalentes si poseen el mismo conjunto solucion.

Ejemplo 2.1. Analicemos los siguientes ejemplos:

Las inecuaciones:

7x + 3 < 9 y 6x + 1 ≥ 8x

son inecuaciones lineales.

Las inecuaciones:

6x2 − 7x + 6 ≥ 10x − 1 y −4x2 + x3 < 6x2 + 1

son inecuaciones cuadraticas.

El numero 0 es solucion de la desigualdad lineal 7x + 3 < 9 pues al

reemplazar x por 0 se obtiene 3 < 9 que es una afirmacion verdadera.

Los numeros 1 y −1 son soluciones de la desigualdad cuadratica:

x2 < x + 6

pues al reemplazar x por 1 y por −1, tenemos respectivamente:

1 < 7

1 < 5

que son afirmaciones verdaderas.

El numero −2 no es solucion de la desigualdad:

x2 + 4x − 1

x + 1≤ x − 1

pues al reemplazar x por −2 se obtiene 5 ≤ −3 que es una informacion

falsa.

Observacion 2.1. En adelante veremos como resolver inecuaciones. En pri-

mer lugar, si se trata de una inecuacion lineal, basta despejar la variable x

de acuerdo con las propiedades de las desigualdades. Para hacerlo, es con-

veniente recordar que si x representa un numero real, una expresion de la

forma axm tambien representa un numero real. Cada una de las inecuaciones

obtenidas en ese proceso es equivalente a la inecuacion inicial.

2.1.2.1. Inecuaciones lineales

Son de la forma:

ax + b < 0, a 6= 0

ax + b > 0, a 6= 0

ax + b ≤ 0, a 6= 0

ax + b ≥ 0, a 6= 0

Ejemplo 2.2. Resolver la inecuacion:

7x + 3 < 9

Tenemos que sumando −3 a cada lado de la inecuacion se obtiene:

7x + 3 + (−3) < 9 + (−3)

7x < 6

y multiplicando por 17, es decir:

1

7(7x) <

1

7(6)

x <6

7

con lo cual hemos despejado x y hemos obtenido la condicion que caracteriza

las soluciones de la inecuacion, donde x debe ser menor que 67.

El conjunto solucion de la inecuacion es:{

x ∈ R/ x < 67

}

Es decir, el conjunto solucion es el intervalo:(

−∞, 67

)

Las inecuaciones 7x < 6 y x < 67

son equivalentes entre sı y equivalentes a

la inecuacion dada.

Ejemplo 2.3. Resolver:

−4 ≤ 6 − 3x ≤ 10

Obtenemos las siguientes inecuaciones, operando sobre los tres miembros, y

sumando −6, tenemos:

−4 − 6 ≤6 − 3x − 6 ≤ 10 − 6

−10 ≤ − 3x ≤ 4

multiplicar por −13, es decir:

−10

−3≥ x ≥ 4

−3

se tiene:

10

3≥ x ≥ −4

3

ası, el conjunto solucion es el intervalo:

[

−4

3,10

3

]

Las inecuaciones −10 ≤ −3x ≤ 4 y 103

≥ x ≥ −43

son equivalentes entre sı

y son equivalentes a la inecuacion dada.


4x + 6 < 4x + 3

Si sumamos −4x obtenemos 6 < 3 lo cual es falso.

¿Como interpretar esta situacion? Al despejar x en una inecuacion lineal

estamos buscando condiciones sobre x, es decir, si x es una solucion.

En nuestro ejemplo, suponer que existe x que satisface la inecuacion nos

conduce a una falsedad. Esto nos dice que nuestra suposicion es falsa, es

decir, que no existe un x real que sea solucion.

El conjunto solucion en este caso es el conjunto vacıo, es decir: Φ.

2.1.2.2. Inecuaciones cuadraticas

Son de la forma:

ax2 + bx + c < 0, a 6= 0

ax2 + bx + c > 0, a 6= 0

ax2 + bx + c ≤ 0, a 6= 0

ax2 + bx + c ≥ 0, a 6= 0


x2 < x + 6

Esta inecuacion es equivalente a:

x2 − x − 6 < 0

(x − 3) (x + 2) < 0

Ahora bien, resolver esta inecuacion es hallar los reales x para los cuales el

producto (x − 3) (x + 2) es negativo. De acuerdo con las leyes de los signos,

el producto de dos factores es negativo si y solo si, uno de los dos factores es

negativo y el otro positivo.

Entonces:

(x − 3) (x + 2) < 0

⇐⇒

x − 3 < 0 ∧ x + 2 > 0

∨x − 3 > 0 ∧ x + 2 < 0

Analicemos cada caso:

Tenemos:

x − 3 < 0 ∧ x + 2 > 0

x < 3 ∧ x > −2

Es decir, −2 < x < 3, si y solo si x pertenece al intervalo: (−2, 3)

Tenemos:

x − 3 > 0 ∧ x + 2 < 0

x > 3 ∧ x < −2

Ningun numero real es simultaneamente mayor que 3 y menor que −2.

Es decir que no existe x tal que x > 3 y x < −2.

En consecuencia (x − 3) (x + 2) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−2, 3) o de otra manera,

el conjunto solucion de la desigualdad es el intervalo (−2, 3) .

Observacion 2.2. El ejemplo anterior ilustra el metodo general de resolu-

cion de inecuaciones no lineales: usando las propiedades de las desigualdades,

convertimos la inecuacion en inecuacion equivalente, en la que uno de los

miembros sea igual a 0. Ası, resolver una inecuacion se convierte en determi-

nar el signo de una expresion. Para hacer esto basta determinar el signo de

cada uno de los factores de la expresion y aplicar las leyes de los signos.

Ilustramos el metodo a traves de otros ejemplos:


(x2 + 1) (x + 2) (3 − x)

4x + 5< 0

Tenemos que la expresion x2 + 1 es mayor que 0 para todo real x. Ası que la

inecuacion es equivalente a la siguiente:

(x + 2) (3 − x)

4x + 5< 0


Resolver esta inecuacion es hallar los reales x para los cuales el miembro de

la izquierda es negativo. El signo de esa expresion depende de los signos de

los diferentes factores.

Siguiendo las ideas del ultimo ejemplo, tendrıamos que examinar todos los

diferentes casos en que se presente un factor negativo (hay tres opciones) y

dos positivos, o que los tres factores sean negativos.

Un analisis de los factores lineales nos permitira estudiar todos los casos

simultaneamente.

Un factor lineal cambia de signo en el valor de x en el cual se anula. Ası:

x + 2 cambia de signo en x = −2

3 − x cambia de signo en x = 3

4x + 5 cambia de signo en x = −54

Entonces el miembro de la izquierda de la inecuacion cambia de signo en

cada uno de los siguientes valores de x : −2, 3, −54

o, escritos en orden

creciente, −2, −54, 3.

Estos valores de x determinan los intervalos (−∞, −2),(

−2, −54

)

,(

−54, 3)

,

(3, ∞) de R, cada uno de los cuales tiene la propiedad de que el miembro

en cuestion es positivo para todos los reales en ese intervalo o negativo para

todos.

Analizamos el signo de cada factor en cada intervalo y deducimos el signo

del miembro en cada intervalo.

Para ello nos servimos de un cuadro en el que cada renglon corresponde a un

factor y cada columna a un intervalo. En la interseccion del renglon con la

columna va el signo que tiene el factor en el intervalo. Ası tenemos:

x −∞ −2 −54

3 ∞x + 2 − + + +

4x + 5 − − + +

3 − x + + + −(x + 2) (3 − x)

4x + 5+ − + −

El conjunto solucion de la inecuacion es(

−2, −54

)

∪ (3, ∞) .

O tambien:

(x2 + 1) (x + 2) (3 − x)

4x + 5< 0

Por propiedad se tiene:

(x2 + 1) (x + 2) (x − 3)

4x + 5> 0

Se obtiene que la desigualdad es mayor que, entonces se toman los signos

positivos, es decir:− + − +

−∞ −2 −54

3 ∞

Luego el conjunto solucion es:(

−2, −54

)

∪ (3, ∞) .


x2 + 4x − 1

x + 1≤ x − 1

La inecuacion es equivalente a:

x2 + 4x − 1

x + 1− (x − 1) ≤ 0

x2 + 4x − 1 − (x − 1) (x + 1)

x + 1≤ 0

x2 + 4x − 1 − x2 + 1

x + 1≤ 0

4x

x + 1≤ 0

x

x + 1≤ 0

Analizamos los signos del numerador, del denominador y del cociente:

x −∞ −1 0 ∞x − − +

x + 1 − + +x

x + 1+ − +

O tambien:

+ − +

−∞ −1 0 ∞

Entonces el conjunto solucion es: (−1, 0]

Observacion 2.3. Se tiene que para resolver la inecuacion:

x2 + 4x − 1

x + 1≤ x − 1

Se podrıa proceder de la forma siguiente:

x2 + 4x − 1 ≤ (x − 1) (x + 1)

x2 + 4x − 1 ≤ x2 − 1

4x ≤ 0

x ≤ 0

Ası el conjunto solucion serıa (−∞, 0], sin embargo −2 no es solucion de la

inecuacion original, como se puede comprobar. Esta contradiccion surge de

multiplicar la desigualdad inicial por x + 1 como si este factor fuera positivo,

sin tener en cuenta que, por no haber caracterizado aun x, no se sabe si x+1

es positivo o es negativo. Podrıa resolverse la desigualdad por este camino,

pero considerando las dos posibilidades:

x + 1 > 0 ∧ x + 1 < 0

En el primer caso x > −1 y se tendrıa la misma secuencia de inecuaciones

que concluye en x ≤ 0. Ası, una solucion x cumplirıa −1 < x ≤ 0. El conjunto

solucion serıa (−1, 0] .

En el segundo caso se obtendrıan las siguientes inecuaciones:

x2 + 4x − 1 ≥ (x − 1) (x + 1)

x2 + 4x − 1 ≥ x2 − 1

4x ≥ 0

x ≥ 0

y, puesto que x + 1 < 0, es decir, x < −1, no existirıa solucion.

En consecuencia, el conjunto solucion de la desigualdad inicial serıa el conjun-

to obtenido en el primer caso: (−1, 0] . Este es el conjunto solucion obtenido

anteriormente de la otra manera.


4

x + 2≥ 3

Si x satisface esta inecuacion, en particular 4x+2

> 0, ası que x + 2 > 0, es

decir, x > −2. Con esta observacion podemos proceder a multiplicar los dos

miembros de la inecuacion por x + 2. Se tiene:

4 ≥ 3 (x + 2)

4 ≥ 3x + 6

−2

3≥ x

Luego: se tiene que junto con x > −2, nos da como conjunto solucion el

intervalo(

−2, −23

]

.

Observacion 2.4. Recordemos sin embargo, que no todo polinomio de grado

mayor que cero y coeficientes reales puede factorizarse en polinomios de grado

1 con coeficientes reales: pueden presentarse factores de grado 2 cuyas raıces

son numeros complejos no reales. En primer lugar tenemos que si un factor

cuadratico ax2 + bx + c, con a 6= 0, tiene raıces complejas no reales z y z,

entonces se factoriza ası:

ax2 + bx + c = a (x − z) (x − z)

pero no tiene sentido resolver una desigualdad de la forma x − z ≥ 0 o

x − z ≤ 0 pues entre los numeros complejos no existe un orden, como si

existe entre los numeros reales.

Ası, tenemos que analizar de otra manera la resolucion de las inecuaciones:

ax2 + bx + c > 0, a 6= 0

ax2 + bx + c ≥ 0, a 6= 0

ax2 + bx + c < 0, a 6= 0

ax2 + bx + c ≤ 0, a 6= 0

en el caso en que ax2 + bx + c, con a 6= 0 no posee raıces reales; es decir en

el caso en que el discriminante b2 − 4ac es negativo.

Observemos que si tenemos una de estas 4 inecuaciones y el coeficiente

principal del polinomio es negativo, entonces, multiplicando los dos miembros

por −1, obtenemos una inecuacion equivalente a la inicial, que tambien se

encuentra entre las 4 inecuaciones, donde el polinomio cuadratico tiene

coeficiente principal positivo. Entonces basta considerar el caso a > 0.

Tenemos que:

ax2 + bx + c =a

(

x +b

2a

)2

− b2 − 4ac

4a

ax2 + bx + c =a

(

x2 +b

ax

)

+ c

y, completando cuadrados se tiene:

ax2 + bx + c =a

(

x2 +b

ax

)

+ c

=a

x2 +b

ax +

(

b

2a

)2

−(

b

2a

)2

+ c

=a

x2 +b

ax +

(

b

2a

)2

+ c − a

(

b

2a

)2

=a

(

x +b

2a

)2

− b2

4a+ c

=a

(

x +b

2a

)2

− b2 − 4ac

4a

Ası que las 4 inecuaciones se transforman en:

a(

x + b2a

)2 − b2−4ac4a

> 0 esto es a(

x + b2a

)2> b2−4ac

4a

a(

x + b2a

)2 − b2−4ac4a

≥ 0 esto es a(

x + b2a

)2 ≥ b2−4ac4a

a(

x + b2a

)2 − b2−4ac4a

< 0 esto es a(

x + b2a

)2< b2−4ac

4a

a(

x + b2a

)2 − b2−4ac4a

≤ 0 esto es a(

x + b2a

)2 ≤ b2−4ac4a

Analizando bajo las condiciones a > 0 y b2 − 4ac < 0; en cada caso y para

todo x, el termino de la izquierda, a(

x + b2a

)2, es positivo o es 0 mientras

que el de la derecha, b2−4ac4a

, que es independiente de x, es negativo.

En consecuencia:

Todo numero real x satisface la primera y la segunda de las inecuacio-

nes.

Ningun numero real satisface la tercera y ninguno satisface la cuarta.

Ası, en resumen tenemos que si ax2 + bx + c no posee raıces reales entonces:

Si a es positivo:

ax2 + bx + c > 0 para todo numero real x

ax2 + bx + c ≥ 0 para todo numero real x

ax2 + bx + c < 0 no posee solucion

ax2 + bx + c ≤ 0 no posee solucion

Si a es negativo entonces:

ax2 + bx + c > 0 no posee solucion

ax2 + bx + c ≥ 0 no posee solucion

ax2 + bx + c < 0 para todo numero real x

ax2 + bx + c ≤ 0 para todo numero real x


−2x3 + 5x2 − 14x + 6

2x2 + x + 2≤ 0

Usando el criterio de las raıces racionales, encontramos que 12

es una raız del

numerador y que:

−2x3 + 5x2 − 14x + 6 =(

x − 12

)

(−2x2 + 4x − 12)

Entonces la inecuacion se convierte en:(

x − 12

)

(−2x2 + 4x − 12)

2x2 + x + 2≤ 0

Los factores cuadraticos no tienen raıces reales y:

−2x2 + 4x − 12 = −(

2x2 − 4x + 12)

< 0, ∀ x

2x2 + x + 2 < 0, ∀ x

Ası que:

−2x2 + 4x − 12

2x2 + x + 2< 0, ∀ x

y, en consecuencia:

(

x − 12

)

(−2x2 + 4x − 12)

2x2 + x + 2=(

x − 1

2

)(−2x2 + 4x − 12)

2x2 + x + 2≤ 0

⇐⇒ x − 1

2≥ 0

Es decir:

x ≥ 1

2

Entonces, el conjunto solucion de la inecuacion es:[

12, ∞

)

.

2.2. Valor Absoluto

Definicion 2.1. Si a representa un numero real, el valor absoluto de a,

denotado por |a| , se define:

|a| =

a si a ≥ 0

−a si a < 0

Observe que si a < 0, entonces −a > 0, ası que en todos los casos, |a| ≥ 0.

Geometricamente, |a| es la distancia que existe entre los puntos de coorde-

nadas 0 y a, sobre la recta real.


|6| = 6

|−π| = π

|−9| = 9

92 2.2. Valor Absoluto

∣∣∣

√3 − 3

∣∣∣ = −

(√3 − 3

)

= 3 −√

3, pues√

3 − 3 < 0∣∣∣6 − 2π

3

∣∣∣ = 6 − 2π

3

Ejemplo 2.11. Suponemos que la variable x toma valores en R, entonces el

polinomio 6 − 3x representa un numero real (esto quiere decir que cuando

en el polinomio se reemplaza x por un numero real arbitrario b, se obtiene

6 − 3b que es un numero real).

Ası, para precisar el significado de |6 − 3x| podemos ver 6 − 3x como el

numero a que aparece en la definicion del valor absoluto. Entonces tenemos

que:

|6 − 3x| =

6 − 3x si 6 − 3x ≥ 0

− (6 − 3x) si 6 − 3x < 0

Podemos precisar aun mas el valor de la expresion |6 − 3x| determinando los

valores de x para los cuales 6 − 3x ≥ 0 y aquellos para cuales 6 − 3x < 0.

Como 6 − 3x ≥ 0 si y solo si x ≤ 2, entonces:

|6 − 3x| =

6 − 3x si x ≤ 2

− (6 − 3x) si x > 2

=

6 − 3x si x ≤ 2

−6 + 3x si x > 2

Ası, para calcular el valor de la expresion |6 − 3x| en x = −1, tenemos en

cuenta que −1 < 2, es decir, satisface la condicion x ≤ 2, entonces el valor

de |6 − 3x| es el valor de 6 − 3x calculado en x = −1, esto es 6 − 3 (−1) =

6 + 3 = 9.

Analogamente, para calcular el valor de la expresion |6 − 3x| en x = π,

tenemos en cuenta que π > 2, entonces el valor de |6 − 3x| es el valor de

−6 + 3x calculado en x = π, esto es −6 + 3π = 3π − 6.

Observe que para los valores de x que hemos tomado de ejemplo, como para

todos aquellos diferentes de 2 que usted quiera tomar, el numero obtenido es

positivo.

Para x = 2 el valor de la expresion |6 − 3x| es 6 − 3 · 2 = 0


|x2 − 5x + 6| =

x2 − 5x + 6 si x2 − 5x + 6 ≥ 0

− (x2 − 5x + 6) si x2 − 5x + 6 < 0

Resolvemos entonces la desigualdad:

x2 − 5x + 6 ≥ 0

y obtenemos que x2 − 5x + 6 ≥ 0 si y solo si x ≤ 2 o x ≥ 3, es decir, el

conjunto solucion es:

(−∞, 2] ∪ [3, ∞)

En consecuencia:

∣∣∣x2 − 5x + 6

∣∣∣ =

x2 − 5x + 6 si x ≤ 2 o x ≥ 3

− (x2 − 5x + 6) si 2 < x < 3

=

x2 − 5x + 6 si x ∈ (−∞, 2] ∪ [3, ∞)

−x2 + 5x − 6 si x ∈ (2, 3)

Ası, |x2 − 5x + 6| calculado en x = 1 es:

x2 − 5x + 6

Es decir:

12 − 5 · 1 + 6 = 2

y |x2 − 5x + 6| calculado en x = 2√

2 es:

−x2 + 5x − 6

Es decir:

−(

2√

2)2

+ 5(

2√

2)

− 6 = −8 + 10√

2 − 6 = 10√

2 − 14

Ejemplo 2.13. En este ejemplo vamos a analizar la expresion |2 |x| − x |x||.

Empezamos por reemplazar |x| por expresiones equivalentes. Puesto que:

|x| =

x si x ≥ 0

−x si x < 0

Entonces:

|2 |x| − x |x|| =

|2x − xx| = |2x − x2| si x ≥ 0

|2 (−x) − x (−x)| = |−2x + x2| si x < 0

Esto nos lleva a expresar |2x − x2| para x ≥ 0 y |−2x + x2| para x < 0

Abordamos el caso x ≥ 0, es decir:

|2x − x2| =

2x − x2 si 2x − x2 ≥ 0

− (2x − x2) si 2x − x2 < 0

Tenemos entonces que resolver la inecuacion 2x − x2 ≥ 0. Como el conjunto

solucion es: [0, 2], tenemos:

|2x − x2| =

2x − x2 si x ∈ [0, 2]

x2 − 2x si x ∈ (2, ∞)

En el caso en que x < 0, se tiene:

|−2x + x2| =

−2x + x2 si − 2x + x2 ≥ 0

− (−2x + x2) si − 2x + x2 < 0

El conjunto solucion de la inecuacion −2x + x2 ≥ 0, es:

(−∞, 0] ∪ [2, ∞)

Ası, todos los reales negativos satisfacen esta inecuacion y tenemos:

|−2x + x2| = −2x + x2 para todo x < 0

En consecuencia:

|2 |x| + x |x|| =

x2 − 2x si x ∈ (2, ∞)

2x − x2 si x ∈ [0, 2]

x2 − 2x si x < 0

=

x2 − 2x si x ∈ (−∞, 0) ∪ (2, ∞)

2x − x2 si x ∈ [0, 2]

Observacion 2.5. En la solucion de problemas frecuentemente es necesario

escribir el valor absoluto de una expresion en una forma explıcita, sin el

sımbolo que se usa para denotarlo. Los ejemplos anteriores ilustran como

hacerlo.

2.2.1. Propiedades del valor absoluto

Si a y b representan numeros reales, entonces:

1. |a| ≥ 0

2. |a| = 0 si y solo si a = 0

3. |a| = |−a| =√

a2

4. |ab| = |a| |b|

5.∣∣∣

ab

∣∣∣ = |a|

|b| si b 6= 0

6. |a + b| ≤ |a| + |b|

7. |a| − |b| ≤ |a − b|

8. Si b ≥ 0, |a| ≤ b si y solo si −b ≤ a ≤ b. En particular − |a| ≤ a ≤ |a|

9. Si b ≥ 0, b ≤ |a| si y solo si a ≥ b o a ≤ −b.

10. |a| ≤ |b| si y solo si a2 ≤ b2

Observacion 2.6. Observese que en relacion a la propiedad (8), que si a

es la coordenada de un punto P sobre la recta real, la desigualdad |a| ≤ b

significa que la distancia existente entre el punto P y el punto 0, es menor o

igual a b. Ası que a es por lo menos −b y a lo mas b.

En la propiedad (9) se caracterizan las coordenadas de los puntos de la recta

real que se encuentran a una distancia mayor o igual a b.

Ejemplo 2.14. Consideremos los siguientes casos:

Para |2x3 − x2| = 0

Se tiene que:

∣∣∣2x3 − x2

∣∣∣ = 0 ⇐⇒ 2x3 − x2 = 0

⇐⇒ x2 (2x − 1) = 0

⇐⇒ x2 = 0 ∨ 2x − 1 = 0

⇐⇒ x = 0 ∨ x =1

2

22 = 4 entonces al tomar la raız cuadrada positiva de 22 se obtiene

2 = |2|

(−3)2 = 9 y al tomar la raız cuadrada positiva de 9 se obtiene 3.

Ası√

(−3)2 = 3 = |−3|

Con respecto a la propiedad (4)

|3 + π| = |3| + |π|

∣∣∣−

√2 − 2

∣∣∣ = −

(

−√

2 − 2)

=√

2 + 2 =∣∣∣−

√2∣∣∣+ |−2|

|−3 + 8| = 5 mientras que |−3| + |8| = 11

Para |(4x − 5) + 7| < 1

Tenemos:

|(4x − 5) + 7| < 1 ⇐⇒ |4x + 2| < 1

⇐⇒ |2 (2x + 1)| < 1

⇐⇒ |2| |2x + 1| < 1 por la propiedad (4)

⇐⇒ |2x + 1| <1

2

⇐⇒ −1

2< 2x + 1 <

1

2por la propiedad (8)

⇐⇒ −3

2< 2x < −1

2

⇐⇒ −3

4< x < −1

4

De acuerdo con esas ultimas desigualdades, el valor de |(4x − 5) + 7|en x = −1

2debe ser menor que 1.

Efectivamente:

∣∣∣∣

(

4(

−1

2

)

− 5)

+ 7∣∣∣∣ = |(−2 − 5) + 7|

= |0|= 0

El valor de |(4x − 5) + 7| en x = −1 debe ser mayor que 1.

Es decir:

|(4 (−1) − 5) + 7| = |(−4 − 5) + 7|= |−2|= 2

Observacion 2.7. A partir del concepto de valor absoluto se define la dis-

tancia entre dos puntos de la recta real. Ası tenemos:


Definicion 2.2. Si P y Q son dos puntos situados sobre la recta real y a y b

son sus respectivas coordenadas entonces la distancia entre P y Q, denotada

por d (P, Q) se define como:

d (P, Q) = |a − b|

Ejemplo 2.15. Si P , Q, R y S son puntos de la recta cuyas coordenadas

son respectivamente 9, −1, 7, −√

3.

Entonces:

d (P, Q) = |9 − (−1)|= 10

d (P, R) = |9 − 7|= 2

d (P, S) =∣∣∣9 −

√3∣∣∣

= 9 −√

3

d (Q, S) =∣∣∣−1 −

(

−√

3)∣∣∣

=√

3 − 1

Observacion 2.8. Las propiedades del valor absoluto dan lugar a las si-

guientes propiedades de la distancia, es decir:

2.2.2. Propiedades de distancia

Si P , Q y R, son puntos arbitrarios de la recta real entonces:

1. d (P, Q) ≥ 0.


2. d (P, Q) = 0 si y solo si P = Q

3. d (P, Q) = d (Q, P )

4. d (P, Q) ≤ d (P, R) + d (R, Q) Desigualdad triangular

2.3. Ecuaciones e Inecuaciones con Valores

Absolutos

Frecuentemente los problemas que involucran el valor absoluto consisten en

resolver ecuaciones e inecuaciones. Es entonces necesario tener en cuenta,

ademas de las propiedades mencionadas en la seccion anterior, que |a| = |b|si y solo si a = b o a = −b si y solo si a2 = b2. Ilustramos como proceder,

analizando algunos casos.


|3x − 4| = 0

Tenemos:

|3x − 4| = 0 ⇐⇒ 3x − 4 = 0

⇐⇒ x =4

3

Luego el conjunto solucion es:{

43

}

Ejemplo 2.17. Resolver

|5 − 4x| = |6x − 8|

Tenemos:

|5 − 4x| = |6x − 8| ⇐⇒ 5 − 4x = 6x − 8 ∨ 5 − 4x = − (6x − 8)

100 2.3. Ecuaciones e Inecuaciones con Valores Absolutos

Entonces:

Si 5 − 4x = 6x − 8, entonces 13 = 10x y x = 1310

Si 5 − 4x = − (6x − 8), entonces 2x = 3 y x = 32


1310

, 32

}

O tambien:

|5 − 4x| = |6x − 8| ⇐⇒ (5 − 4x)2 = (6x − 8)2

⇐⇒ 25 − 40x + 16x2 = 63x2 − 96x + 64

⇐⇒ 20x2 − 56 + 39 = 0

⇐⇒ x =13

10∨ x =

3

2


1310

, 32

}

Ejemplo 2.18. Resolver −2 |9 + 5x| + 2 ≥ −4

Tenemos:

−2 |9 + 5x| + 2 ≥ −4 ⇐⇒ −2 |9 + 5x| ≥ −6

⇐⇒ |9 + 5x| ≤ 3

⇐⇒ −3 ≤ 9 + 5x ≤ 3

⇐⇒ −12 ≤ 5x ≤ −6

⇐⇒ −12

5≤ x ≤ −6

5

Luego: el conjunto solucion es el intervalo[

−125

, −65

]

Ejemplo 2.19. Resolver la inecuacion∣∣∣

xx+1

∣∣∣ ≥ 1

2

Tenemos:

∣∣∣∣

x

x + 1

∣∣∣∣ ≥ 1

2⇐⇒ x

x + 1≤ −1

2∨ x

x + 1≥ 1

2

⇐⇒ x

x + 1+

1

2≤ 0 ∨ x

x + 1− 1

2≥ 0

⇐⇒ 3x + 1

2 (x + 1)≤ 0 ∨ x − 1

2 (x + 1)≥ 0

⇐⇒ x ∈(

−1,1

3

]

∨ x ∈ (−∞, −1) ∪ [1, ∞)

⇐⇒ x ∈ (−∞, −1) ∪(

−1,1

3

]

∪ [1, ∞)

Ejemplo 2.20. Resolver la inecuacion |2x + 7| > 3

Tenemos:

|2x + 7| > 3 ⇐⇒ 2x + 7 > 3 ∨ 2x + 7 < −3

⇐⇒ x > −2 ∨ x < −5

Luego el conjunto solucion es: (−∞, −5) ∪ (−2, ∞)

Ejemplo 2.21. Resolver la ecuacion: |2x − 6| + |x + 2| = 4

Tenemos:

|2x − 6| =

2x − 6 si x ≥ 3

− (2x − 6) si x < 3

y

|x + 2| =

x + 2 si x ≥ −2

− (x + 2) si x < −2

Entonces la ecuacion toma formas distintas dependiendo de x, ası tenemos

que:

Si x < −2, los polinomios 2x − 6 y x + 2 toman valores negativos.

Si −2 ≤ x < 3, el polinomio 2x − 6 toma un valor negativo y el

polinomio x + 2 toma un valor positivo.

Si x ≥ 3, los polinomios 2x − 6 y x + 2 toman valores positivos.

Analizamos separadamente los tres casos, tenemos:

Si x < −2, reemplazando |2x − 6| y |x + 2| por expresiones correspon-

dientes, la ecuacion:

|2x − 6| + |x + 2| = 4

Se transforma en:

− (2x − 6) − (x + 2) = 4

−3x + 4 = 4

Se tiene que el unico numero real que satisface esta ecuacion es x = 0.

En consecuencia no existe x < −2 que sea solucion de la igualdad.

Si −2 ≤ x < 3, la ecuacion:

|2x − 6| + |x + 2| = 4

Se transforma en:

−2x + 6 + x + 2 = 4

−x + 8 = 4

x = 4

Luego se tiene que la unica solucion es 4. Pero x = 4 no cumple la

condicion −2 ≤ x < 3, entonces tampoco en este caso existe solucion.

Si x ≥ 3, la igualdad toma la forma 2x − 6 + x + 2 = 4 cuya unica

solucion es x = 83

< 3. Ası, no existe x ≥ 3 que satisfaga la igualdad.

Por lo tanto, la ecuacion |2x − 6| + |x + 2| = 4 no posee solucion.

Ejemplo 2.22. Todo numero real x satisface |x| > −2

Ningun numero real satisface |x| < −2

Ejemplo 2.23. Resolver |x2 − 3x − 1| < 3

Tenemos:

∣∣∣x2 − 3x − 1

∣∣∣ < 3 ⇐⇒ −3 < x2 − 3x − 1 < 3

⇐⇒ −3 < x2 − 3x − 1 ∧ x2 − 3x − 1 < 3

⇐⇒ 0 < x2 − 3x + 2 ∧ x2 − 3x − 4 < 0

⇐⇒ 0 < (x − 2) (x − 1) ∧ (x − 4) (x + 1) < 0

⇐⇒ x < 1 ∨ x > 2 ∧ −1 < x < 4

⇐⇒ x ∈ ((−∞, 1) ∩ (−1, 4)) ∪ ((2, ∞) ∩ (−1, 4)) = (−1, 1) ∪ (2, 4)


|3x2 − 6| + |−3 − 5x| ≤ |2x − 9|

Esta inecuacion es equivalente a la inecuacion:

|3x2 − 6| + |3 + 5x| ≤ |2x − 9|

Entonces:

∣∣∣3x2 − 6

∣∣∣ =

3x2 − 6 si 3x2 − 6 ≥ 0

− (3x2 − 6) si 3x2 − 6 < 0

Como:

3x2 − 6 ≥ 0 ⇐⇒ 3x2 ≥ 6

⇐⇒ x2 ≥ 2

⇐⇒ |x| ≥∣∣∣

√2∣∣∣

⇐⇒ x ≤ −√

2 ∨ x ≥√

2

Entonces:

∣∣∣3x2 − 6

∣∣∣ =

3x2 − 6 si x ≤ −√

2 ∨ x ≥√

2

6 − 3x2 si −√

2 < x <√

2

Ademas:

|3 + 5x| =

3 + 5x si 3 + 5x ≥ 0

− (3 + 5x) si 3 + 5x < 0

=

3 + 5x si x ≥ −35

−3 − 5x si x < −35

y

|2x − 9| =

2x − 9 si x ≥ 92

9 − 2x si x < 92

Para cada uno de los valores −√

2, −35,

√2, 9

2de x, uno de los siguientes

polinomios toma el valor 0: 3x2−6, −3−5x, 2x−9. Esos valores determinan

intervalos distintos, en los que la inecuacion dada toma formas distintas.

Tales intervalos son:

(

−∞, −√

2)

,[

−√

2, −3

5

)

,[

−3

5,√

2)

,[√

2,9

2

)

y[9

2, ∞

)

Analizamos la inecuacion en cada uno de los intervalos, es decir:

Si x ∈(

−∞, −√

2)

Tenemos:

∣∣∣3x2 − 6

∣∣∣ = 3x2 − 6

|3 + 5x| = −3 − 5x

|2x − 9| = 9 − 2x


Reemplazando cada valor absoluto por la expresion correspondiente,

en:

∣∣∣3x2 − 6

∣∣∣+ |3 + 5x| ≤ |2x − 9|

3x2 − 6 + (−3 − 5x) ≤ 9 − 2x

3x2 − 3x − 18 ≤ 0

⇐⇒ 3(

x2 − x − 6)

≤ 0

⇐⇒ x2 − x − 6 ≤ 0

⇐⇒ (x − 3) (x + 2) ≤ 0

Luego la solucion de esta inecuacion es −2 ≤ x ≤ 3. Ası que los

elementos del intervalo(

−∞, −√

2)

que la satisfacen son los que

pertenecen a:

(

−∞, −√

2)

∩ [−2, 3] =[

−2, −√

2)

Si x ∈[

−√

2, −35

)

Tenemos:

∣∣∣3x2 − 6

∣∣∣ = 6 − 3x2

|3 + 5x| = −3 − 5x

|2x − 9| = 9 − 2x

Reemplazando en la inecuacion:

∣∣∣3x2 − 6

∣∣∣+ |3 + 5x| ≤ |2x − 9|

6 − 3x2 − 3 − 5x ≤ 9 − 2x

−3x2 − 3x − 6 ≤ 0

⇐⇒ −3(

x2 + x + 2)

≤ 0

⇐⇒ x2 + x + 2 ≥ 0

Luego la solucion de esta inecuacion es x ∈ R.

Ası los elementos del intervalo[

−√

2, −35

)

que la satisfacen son los que

pertenecen a:

[

−√

2, −3

5

)

∩ R =[

−√

2, −3

5

)

Analogamente se tiene para los demas intervalos.


1. Representa graficamente los siguientes intervalos:

a) (−2, 5)

b) [2, 5)

c) (−20, ∞)

d) (−∞, −7]

e) [4, 10]

f ) (−3, 1]

2. Determina el intervalo y grafica las siguientes desigualdades:

a) −2 < x

b) 3 < x ≤ 8

c) 4 < x < 9

d) −∞ < x

e) −7 ≤ x < 0

f ) 3 ≥ x > −7

3. Determina el conjunto solucion de las siguientes inecuaciones lineales:

a) x + 1 < −6

b) x − 5 < 1 − x

c) 2x + 7 > 9

d) 8 − 2x ≤ 2

e) −7x + 2 < −5

f ) 3x−12

− x−13

< 2x − 1

g) 4x + 9 − 2(3x − 5) ≥ x+13

− 1

h) x−95

− 5x−1315

≤ 4x3

+ 11

i) 2x−59

− 4x−16

< −5x18

j) 7x + 2 > 2x − 1

k) 3 − 2x ≥ 7x + 12

l) 2(

2x − 25

)

−3(

x + 13

)

≤ 3−x

m) 3(x − 1) + 2 > −6

n) 7x−66

− x3

< 1 − 4x3

n) 2x−113

− x+16

≤ 0

o) 4x+65

≤ 7x10

+ x+72

p) 6(x + 13) < x+13

− x−12

q) 5−4x4

+ 9x−212

≥ 2 + 10x−374

r) x + 3x−25

− x−13

< 3 + 4x−115

s) 7x + 3 > 3(x + 2)

t) 9 − 5(x + 3) ≤ −(x + 2) + 4x

u) −3x − 5 ≥ x − 15

v) 9x + 1 < 4(

2x − 25

)

w) 3 − 5x > −x + 7

x) −2(

3x + 45

)

≤ 6x − 5

y) 3x+22

≥ −x + 3

z) 7 − 2x ≤ −3(x + 3)

4. Determina el conjunto solucion de las siguientes inecuaciones cuadrati-

cas :

a) x2 − 9x + 18 ≥ 0

b) (x + 2)(x − 3) < 0

c) x2 − 3 > 0

d) x2 − 6x + 8 ≥ 0

e) x2 − 3x − 10 ≥ 0

f ) −6x2 − x + 1 > 0

g) (2x − 3)(6x + 5) ≤ 0

h) x+12−x

< xx+3

i) 2x−12x+5

≤ 0

j) 9x(x + 3 − 1) ≤ 5 + (3x − 1)2

k) x2 < 6x + 7

l) 2x2 − 3x > 5

m) x2−62x+3

≥ 0

n) x2−8x+15x2−4

< 0

n) 5x+3

+ 1x−1≥2

o) x−1x+2

< 1

p) 3xx2−x−6

> 1

q) x2−3x+2x2−4x+3

≥ 2

r) x2+4x+4x2−4x−5

≥ 0

s) 2x−x2−1x2−x

< 0

t) 2x+1x+1

≥ 3

u) 23x−2

< 3x+2

v) 2+x−x2

x2−2x+1≤ 0

w) 3x2−4x−6

≤ x + 6

x) x2 − 2x − 5 < 0

y) x(3x + 2) ≥ (x + 2)2

z) 4x2 − 8x < −1

5. Determine los valores de x que satisfacen las siguientes ecuaciones con

valor absoluto:

a) | 2x + 1 |= 2x − 3

b) | x + 5 |= 4

c) | x + 3 |= 3x − 1

d)∣∣∣

x2

x−2

∣∣∣ =| 3x − 2 |

e) | 3x − 5 |= x + 6

f ) | x2 + 5x + 6 |= 0

g) | x2 − 3x − 7 |= 3

h) | x + 4 |=| x− | x + 1 ||

i) | 5x + 2 | +x − 1 = 0

j) | 7x + 3 |=| 2x − 5 |

k) | 2x + 6 |=| 5x + 4 |

l) | 6x − 3 |=| 18 − x |

m) | 7 − x |=| 6x + 4 |

n) | x2 − 1 |=| 2x |

n) | x + 4 | +3 =| 3x − 1 |

o) | x − 5 | − | x + 2 |= 1

p) | 6x + 3 |=| 2 − x |

q) | x − 7 | −2 =| x − 3 |

r) || x | −1 |=| 2x + 3 |

s)∣∣∣

5−4x4

∣∣∣ = 3

t)∣∣∣

3x+2x−4

∣∣∣ = x − 1

u)∣∣∣

xx+3

∣∣∣ = 4

x

v)∣∣∣

x−5x+4

∣∣∣ = 7

w)∣∣∣

5−4x4

∣∣∣ = 3

x) | x + 5 | + | 3x − 2 |=| x + 1 |

y) 2 | x + 3 | −3 | x + 2 |= x + 5

z) || 2x − 7 | −3 |= 4

6. Determine el conjunto solucion de las siguientes inecuaciones con valor

absoluto:

a) | x + 2 |≤ x + 5

b)∣∣∣

x+1x2

∣∣∣ > 0

c)∣∣∣x + 1

2

∣∣∣ ≤ 3

4

d) | x + 5 |> 2x − 3

e) | x2 − 4 |≤ −2x + 4

f ) | x2 + 3 | +x2 − 2 < 0

g) | x − 5 |≤ 3x

h) | x2 − 2x + 1 |< x + 2

i)∣∣∣

x+3x+16

∣∣∣ ≥ 3

x−4

j)∣∣∣

2x−416

∣∣∣ < −1

k)∣∣∣

2x−54−x

∣∣∣ > 1

l)∣∣∣

x2+7x+12x−3

∣∣∣ ≤ 0

m) | x2 − 5 |< 3

n) | 3x + 8 |≤ x − 1

n) | 2x + 1 |≥ 2x − 3

o) | x + 5 |≤ −5

p) | x + 3 |< 3x − 1

q)∣∣∣

x2

x−2

∣∣∣ <| 3x − 2 |

r) | 3x − 5 |≥ −x − 6

s) | x2 + 5x + 6 |≥ 0

t) | x2 − 3x − 7 |> −1

u) | x + 4 |≤ x − 1

v)∣∣∣x − 1

3x

∣∣∣ ≤ 1

w)∣∣∣x + 8

x

∣∣∣ < 4

x)∣∣∣

3x2−1x−2

∣∣∣ ≤ −6

y) | 3x + a |< 2

z) | x − 2a |≤ 4x − a

7. Si x ∈ [1, 4] entonces determine el intervalo al que pertenece 2x + 1.

8. Si | x |≤ 3 entonces determine el intervalo al que pertenece 1x−7

.

9. Si | x − 3 |< 1 entonces determine el intervalo al que pertenece 1x+4

.

10. Si | x − 4 |≤ 1 entonces determine el intervalo al que pertenece 1x−2

.

11. Se tiene que b > 0 y | x − a |< 2b entonces determine el intervalo al

que pertenece 1x−a+2b

.

12. Si 2x + 3 ∈ [7, 11] entonces determine el valor de P que satisface la

desigualdad x+5x−7

≤ P .

13. Si x ∈[

12, 3

2

]

entonces determine el mayor valor de P que satisface la

desigualdad∣∣∣

x+2x−2

∣∣∣ ≤ P

Capıtulo 3

FUNCIONES

3.1. El Plano Cartesiano

Y

O X

III

III IV

Figura 3.1: Plano cartesiano

Se establece un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas en

un plano, dibujando dos rectas coordenadas perpendiculares, una horizontal

y una vertical que se llaman ejes coordenados. Su punto de corte, se llama

110

Cap. 3: FUNCIONES 111

origen del sistema y se denota por O. La recta horizontal es el eje X o

eje de las x o abscisas y la vertical es el eje Y , eje de las y u ordenadas. La

mitad positiva del eje X se extiende hacia la derecha y la mitad positiva del

eje Y se extiende hacia arriba. Los ejes dividen el plano en cuatro partes que

se llaman primero, segundo, tercero y cuarto cuadrantes, que usualmente

se senalan con I, II, III y IV .

Dado un punto P del plano, una recta vertical que pase por P , corta el eje

el X en un punto cuya coordenada denotamos con a y una recta horizontal

que pase por P , corta el eje Y en un punto cuya coordenada denotamos con

b. Al punto P se le asocia el par ordenado (a, b). La primera componente,

a, se llama la coordenada x o abscisa de P y la segunda componente, b, se

llama la coordenada y u ordenada de P . Se dice que P tiene coordenadas

(a, b) y se escribe P (a, b). Recıprocamente, para el par ordenado (a, b) de

numeros reales cualesquiera, la recta vertical que corta el eje X en el punto

de coordenada a y la recta horizontal que corta el eje Y en el punto de

coordenada b, se intersectan en un punto P .

Graficamente se tiene:

a

b P (a, b)

Figura 3.2: Par ordenado

112 3.1. El Plano Cartesiano

3.1.1. Distancia entre dos puntos

Disponiendo de un sistema de coordenadas y usando el teorema de Pitagoras,

se puede hallar la distancia entre dos puntos del plano.


P

Q

x2 − x1

y2 − y1

y1

y2

x1 x2

R

Figura 3.3: Distancia entre dos puntos

Consideremos los puntos P (x1, y1) y Q(x2, y2). Si ademas R(x2, y1), los

puntos P , Q y R son los vertices de un triangulo rectangulo que tiene su

angulo recto en R. La distancia entre P y Q es la longitud de la hipotenusa

y esta dada por:

d(P, Q) =√

(x1 − x2)2 + (y2 − y1)2

Observese que, por tratarse de cuadrados de numeros reales, se cumple:

(x2 − x1)2 = (x1 − x2)

2 y (y2 − y1)2 = (y1 − y2)

2

ası que:

d(P, Q) = d(Q, P )

Otras propiedades de la distancia son las siguientes:

1. d(P, Q) ≥ 0

2. d(P, Q) = 0 si y solo si P = Q


3. Si R es cualquier otro punto del plano, d(P, Q) ≤ d(P, R) + d(R, Q).

Esta es la desigualdad triangular.

Ejemplo 3.1. Sean los puntos P (−1, 3) y Q(2, −1), determine d(P, Q).

Tenemos:

d(P, Q) =√

(2 − (−1))2 + (−1 − 3)2

=√

9 + 16

=√

25

= 5

Ejemplo 3.2. Se tiene los puntos P(√

2,√

3)

y Q(

−√

3,√

2)

, determine

d(P, Q).

Tenemos:

d(P, Q) =

√(

−√

3 −√

2)2

+(√

2 −√

3)2

=√

3 + 2√

6 + 2 + 2 − 2√

6 + 3

=√

10

Ejemplo 3.3. Los puntos P (6, −3), Q(1, −5) y R(−3, 5) son los vertices de

un triangulo rectangulo.

En efecto:

Se tiene:

d(P, Q)2 = (1 − 6)2 + (−5 + 3)2 = 25 + 4 = 29

d(Q, R)2 = (−3 − 1)2 + (5 + 5)2 = 16 + 100 = 116

d(P, R)2 = (−3 − 6)2 + (5 + 3)2 = 81 + 64 = 145

114 3.2. Las Relaciones y sus Graficas

Entonces:

d(P, R)2 = d(P, Q)2 + d(Q, R)2

Luego: P , Q y R son los vertices de un triangulo rectangulo cuyos catetos

son el segmento que une los puntos P y Q, el segmento que une los puntos

Q y R y cuya hipotenusa es el segmento que une los puntos P y R.

Ejemplo 3.4. Sean P (x1, y1) y Q(x2, y2), determine el punto medio del seg-

mento que une estos puntos.

Supongamos: x1 < x2

Sobre el eje X, el punto medio entre los puntos de coordenadas (x1, 0) y

(x2, 0), tiene segunda coordenada 0 y primera coordenada dada ası:

x1 + x2−x1

2= x1+x2

2

Analogamente se tiene sobre el eje Y , el punto medio entre los puntos de

coordenadas (0, y1) y (0, y2) es el punto de coordenadas:(

0, y1+y2

2

)

Luego, el punto medio entre P y Q es el punto de coordenadas:(

x1+x2

2, y1+y2

2

)

3.2. Las Relaciones y sus Graficas

Definicion 3.1. Una relacion sobre R es un conjunto de pares ordenadas

de numeros reales. Es un subconjunto de R2 = R × R = {(a, b)/a, b ∈ R}.

El dominio de la relacion es el conjunto de todas las primeras componentes

y el rango es el conjunto de todas las segundas componentes de los pares

ordenados.

La grafica de la relacion es el conjunto de los puntos del plano cartesiano

cuyas coordenadas (a, b) pertenecen a la relacion. Una relacion puede definir-

se listando directamente los pares ordenados, por medio de una propiedad o

por medio de una ecuacion. Se habla en este caso de la grafica de la ecuacion.


Ejemplo 3.5. Analicemos los siguientes casos:

Se tiene la relacion {(1, 1), (1, 2), (1, 3)} donde el dominio es {1} y su

rango es {1, 2, 3}.


1

2

3

1 2 3

(1, 1)

(1, 2)

(1, 3)

La relacion {(x, y)/y = x2, x ∈ R} tiene como dominio R. Su rango es

el conjunto de los numeros reales no negativos.

Una relacion como esta usualmente se expresa simplemente mediante

la ecuacion y = x2. Su grafica es una parabola que abre hacia arriba.

Graficamente tenemos:

1

2

3

−1

1 2 3−1−2−3

Se tiene la relacion {(1, 2), (2, 4), (3, 6)} cuyo dominio es {1, 2, 3} y cuyo

rango es {2, 4, 6}.


116 3.2. Las Relaciones y sus Graficas

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5

(1, 2)

(2, 4)

(3, 6)

En la relacion {(n, n + 1)/n ∈ Z}, se tiene que Z es tanto el dominio

como el rango.


1

2

3

4

−1

−2

−3

1 2 3 4−1−2−3−4−5

Ejemplo 3.6. Si r es un numero real positivo y Q(a, b) es un punto del

plano, los coordenadas de los puntos P (x, y) tales que d(P, Q) = r forman

una relacion. La igualdad se expresa de la siguiente manera:


√

(x − a)2 + (y − b)2 = r

(x − a)2 + (y − b)2 = r2

La grafica es la circunferencia de centro Q(a, b) y radio r. El dominio y el

rango son los intervalos [a − r, a + r] y [b − r, b + r] respectivamente.


P (x, y)

Q(a, b)

r

Ejemplo 3.7. La relacion {(x, y)/x, y ∈ R, |x| ≤ 3 y |y| ≤ 2} tiene como

dominio y como rango los intervalos [−3, 3] , [−2, 2] respectivamente. Su grafi-

ca es el rectangulo.


1

2

3

−1

−2

1 2 3 4−1−2−3−4

118 3.3. Funciones

Observacion 3.1. En adelante estudiaremos una clase especial de relaciones

llamadas funciones.

Entre las relaciones dadas en los ejemplos anteriores son funciones:

{(1, 2), (2, 4), (3, 6)}, {(n, n + 1)/n ∈ Z} y {(x, y)/y = x2, x ∈ R}.

No son funciones: {(1, 1), (1, 2), (1, 3)}, pues 1 aparece como primera compo-

nente en todos los pares ordenados. La ecuacion de la circunferencia no define

una funcion pues a cada x del intervalo abierto (a − r, a + r), subconjunto

del dominio, corresponden dos valores de y:

y = ±√

r2 − (x − a)2 + b

3.3. Funciones

En la vida diaria se presentan situaciones como las siguientes: El precio del

transporte depende del precio de la gasolina; el consumo de energıa en una

persona que hace ejercicio, depende de la intensidad de este; la temperatura

de un lugar situado en el tropico depende de su altura sobre el nivel del

mar; la oferta de un producto determina el precio del mismo; el numero de

individuos de una poblacion varıa con el tiempo. Esa idea de que un dato

depende, esta en funcion o varıa con otro aparece frecuentemente en fısica:

el espacio recorrido por un movil en una unidad de tiempo depende de la

velocidad y, naturalmente, en matematicas: el area del cırculo es funcion del

radio, el volumen de un cono de base fija depende de la altura. Con respecto

a estos dos ultimos ejemplos, si A denota el area y r el radio del cırculo,

para indicar que A depende de r, se escribe A(r). Si V denota el volumen

del cono y h su altura, para indicar que V depende de h, se escribe V (h).

Especıficamente se tiene:

A(r) = πr2 ∧ V (h) =1

3Bh

donde B es el area de la base del cono. Ası A(3) = 9π, V (2) = 23B.

Definicion 3.2. Sea D un subconjunto no vacıo de R, el conjunto de los

numeros reales. Definir una funcion f de D en R es asociar a cada numero


real x de D un unico numero real el cual se denota con f(x) (se lee f de x).

El sımbolo:

f : D → R

se utiliza para indicar que f es una funcion.

Donde:

El conjunto D es el dominio de f . Se dice tambien que f esta definida

sobre D. El numero real f(x) es la imagen de x por f . El rango de f es

el conjunto de la imagenes f(x) con x en D. La variable x es la variable

independiente y si y = f(x), y es la variable dependiente.

Observacion 3.2. Dos funciones f y g son iguales si sus dominios son

iguales y f(x) = g(x) para todo x del dominio.

Ejemplo 3.8. Supongamos que R es una relacion tal que si (a, b) 6= (c, d)

entonces a 6= c. Si a la primera componente de cada par ordenado se asocia la

segunda componente, entonces se tiene una funcion. Su dominio y su rango

son los mismos de la relacion.

Ejemplo 3.9. Se tiene {(x, y)/x, y ∈ R y x2 + y2 = 1} es una relacion que

no es una funcion, pues para cada valor de x, x 6= ±1, hay dos pares ordenados

(x, y) que satisfacen la condicion de la relacion, es decir:

y =√

1 − x2 ∧ y = −√

1 − x2

Sin embargo, escogiendo para cada x uno de los dos valores de y, se obtiene

una funcion. Toda una familia de funciones de dominio D = [−1, 1] puede

ser obtenida de esta manera.

Ası tenemos como los siguientes casos:

f , definida ası:

f(x) =√

1 − x2, ∀ x ∈ D

120 3.3. Funciones

1

2

−1

1 2−1−2

Observese que el rango de la funcion f es: [0, 1]

g, definida ası:

g(x) = −√

1 − x2 ∀ x ∈ D

1

2

−1

1 2−1−2

El rango de la funcion g es: [−1, 0]

h, definida ası:

h(x) =

√1 − x2 para x tal que − 1 ≤ x ≤ 0

−√

1 − x2 para x tal que 0 < x ≤ 1

El rango de la funcion h es: [−1, 1]

Mas generalmente, si a es un numero escogido previamente que verifica

−1 < a < 1, es decir definamos k, ası:

k(x) =

√1 − x2 para x tal que − 1 ≤ x ≤ a

−√

1 − x2 para x tal que a < x ≤ 1


Donde el rango esta determinado por:[

−1,√

1 − a2]

si a ≤ 0 ∨(

−√

1 − a2, 1]

si a > 0

Ejemplo 3.10. Sean D = R y f una funcion definida de la siguiente forma:

f(x) = x2 + 3x + 1 para x ∈ D

El rango de f es:

Rf = {f(x)/x ∈ D} = {y ∈ R, y = f(x) para algun x ∈ D}

En efecto:

Si un numero real y pertenece al rango de f , existe algun numero real x tal

que:

y = f(x) = x2 + 3x + 1

Es decir, tal que:

x2 + 3x + 1 − y = 0

Ası, x es raız de un polinomio de grado 2, se tiene:

x =−3 ±

√

9 − 4(1 − y)

2=

−3 ± √5 + 4y

2

Puesto que x es real, debemos tener 5 + 4y ≥ 0, es decir y ≥ −54

en consecuencia, el rango debe ser un subconjunto del intervalo[

−54, ∞

]

.

Ademas, si y pertenece a este intervalo, es decir, si y ≥ −54, entonces

y es imagen de x = −3±√5+4y

2, es decir, y pertenece al rango de f . En

consecuencia, el rango de f es el intervalo[

−54, ∞

]

.

Ejemplo 3.11. Si la longitud de una circunferencia se denota con L, el area

del cırculo limitado por ella, expresada como funcion de L esta determinada

por:

A(L) = π(

L

2π

)2

=L2

4π

122 3.3. Funciones

Ejemplo 3.12. Para elaborar una caja sin tapa y de base cuadrada, se

emplea un carton cuadrado que tiene 20 centımetros de lado. En cada una

de las cuatro esquinas se corta un cuadrado cuyo lado tiene longitud x. El

volumen de la caja, expresado como funcion de x es:

V (x) = x (20 − 2x)2

Frecuentemente el dominio de una funcion f no esta indicado. Se toma en-

tonces como dominio el conjunto de los numeros reales para los cuales f(x)

representa un numero real. Ese conjunto se llama el dominio natural de f .

Ejemplo 3.13. Determine el dominio natural de la funcion f tal que f(x) =√x2 − 1.

Tenemos:

{x ∈ R / f(x) ∈ R} ={

x ∈ R / x2 − 1 ≥ 0}

Como:

x2 − 1 ≥ 0 ⇔ x2 ≥ 1 ⇔ |x| ≥ 1 ⇔ x ≥ 1 ∨ x ≤ −1

Entonces el dominio de la funcion f es:

(−∞, −1] ∪ [1, ∞)

Ejemplo 3.14. Determine el dominio natural de la funcion f dada por

f(x) = 1x3−1

.

Tenemos:

{x ∈ R / f(x) ∈ R} ={

x ∈ R / x3 − 1 6= 0}

Puesto que 1 es el unico valor real de x para el cual x3 − 1 = 0, el dominio

de la funcion es:

{x ∈ R / x 6= 1} = R − {1}


3.3.1. Evaluacion de funciones

Evaluar una funcion en un valor de la variable independiente significa calcular

la imagen de este valor por la funcion.

Ejemplo 3.15. Si f es la funcion dada por:

f(x) = x3 + x + 1

Entonces, al evaluar la funcion en 2, 0 y −1 obtenemos:

f(2) = 23 + 2 + 1 = 11

f(0) = 03 + 0 + 1 = 1

f(−1) = (−1)3 − 1 + 1 = −1

Ejemplo 3.16. Sea f la funcion definida por:

f(x) = 2x2 + 1

Entonces al evaluar esta funcion en 2, 3 y 5 obtenemos:

f(2) = 2 · 22 + 1 = 9

f(3) = 2 · 32 + 1 = 19

f(5) = 2 · 52 + 1 = 51

Si comparamos estas imagenes vemos que:

f(2) + f(3) 6= f(2 + 3)

Para a y b numeros reales cualesquiera, tenemos:

f(a) = 2a2 + 1

f(b) = 2b2 + 1

f(a + b) = 2(a + b)2 + 1 = 2(a2 + 2ab + b2) + 1 = 2a2 + 4ab + 2b2 + 1

124 3.3. Funciones

Ası, f(a + b) = f(a) + f(b) solo si 4ab = 1, caso en el cual a 6= 0, b 6= 0

y, b = 14a

, pero, en general:

f(a + b) 6= f(a) + f(b)

Ejemplo 3.17. Por otra parte, para g dada por g(x) = 2x, tenemos que:

g(a + b) = 2(a + b) = 2a + 2b = g(a) + g(b)

Ejemplo 3.18. Sea f tal que:

f(x) = x2 + 2x + 2

Si h representa un numero real distinto de cero, se tiene:

f(4) = 42 − 2 · 4 + 2 = 10

f(4 + h) = (4 + h)2 − 2(4 + h) + 2 = h2 + 6h + 10

Entonces:

f(4 + h) − f(4)

h=

h2 + 6h

h=

h(h + 6)

h= h + 6

Ejemplo 3.19. Si f es tal que f(x) = 1x

y h representa un numero real

distinto de cero, entonces:

f(a + h) − f(a)

h=

1a+h

− 1a

h

=

a−a−h(a+h)a

h

= − 1

a2 + ah


Ejemplo 3.20. Al evaluar en 3 la funcion V (r) = 43πr3, el volumen de una

esfera como funcion del radio, obtenemos:

V (3) = 43π33 = 36π

Como en los ejemplos anteriores, las funciones se pueden denotar con letras

distintas de f y la variable independiente se puede denotar con letras distintas

de x.

3.3.2. Clasificacion de las funciones

Muchos fenomenos se representan mediante modelos matematicos que se ob-

tienen a partir de una familia de funciones elementales. Las funciones

elementales se clasifican en dos grandes grupos:

1. Funciones algebraicas

2. Funciones trascendentes

Las funciones trascendentes comprenden a su vez dos grupos:

a) Funciones trigonometricas

b) Funciones exponenciales y funciones logarıtmicas

3.3.2.1. Funciones algebraicas

Entre las funciones algebraicas se caracterizan tres tipos de funciones: las

polinomicas, las radicales, las racionales y a trozos.

1. Funcion polinomica

Una funcion f es una es polinomica si para todo x, se tiene:

f(x) = anxn + · · · + a1x + a0

donde n ∈ Z, n ≥ 0 y a0, · · · , an son numeros reales, es decir, f(x) es

un polinomio en x.

Como por ejemplo, tenemos:

126 3.3. Funciones

g(x) = 3x2 + x + 6

h(x) = 1 − x

Algunas funciones polinomicas reciben nombres especıficos dependien-

do del grado, ası tenemos:

a) Funciones constantes

Si f(x) = 0 para todo x o f(x) es un polinomio de grado cero, es

decir, existe una constante c 6= 0 tal que f(x) = c para todo x.


c f(x) = c

Figura 3.4: Funcion constante

Observese que el dominio de la funcion constante es R y el rango

es {c}.

b) Funciones lineales

Si f(x) es un polinomio de grado uno: f(x) = mx + b, con m 6= 0.

Entre estas se halla la funcion identidad I, tal que I(x) = x.

Observese que el dominio y el rango de las funciones lineales es R.


b

− bm

f(x) = mx + b

Figura 3.5: Funcion lineal

c) Funciones cuadraticas

Si f(x) es un polinomio de grado dos, entonces f(x) = ax2+bx+c,

con a 6= 0.


V(

− b2a

, f(

− b2a

))

V(

− b2a

, f(

− b2a

))

− b2a

− b2a

f(x) = ax2 + bx + c, a < 0

f(x) = ax2 + bx + c, a > 0

Figura 3.6: Funcion cuadratica

Observese que si:

128 3.3. Funciones

f(x) = ax2 + bx + c, a > 0, entonces el dominio es R y el

rango es[

f(

− b2a

)

, +∞)

.

f(x) = ax2 + bx + c, a < 0, entonces el dominio es R y el

rango es(

−∞, f(

− b2a

)]

.

d) Funciones cubicas

Si f(x) es un polinomio de grado tres, entonces f(x) = ax3 +bx2 +

cx + d, con a 6= 0.


f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

Figura 3.7: Funcion cubica

Observese que el dominio y el rango de las funciones cubicas es R.

De este tipo tambien son las funciones potencia: f(x) = xn

donde n ∈ Z y n ≥ 0.

2. Funcion radical

f es una funcion radical si f(x) = xmn = n

√xm = ( n

√x)

mdonde m y n

son enteros positivos y n 6= 0. En caso de que n sea par, x debe ser no

negativo.

Son funciones radicales, por ejemplo:


f(x) = x32

h(x) = x73


1

2

3

4

−1

1 2 3 4−1

f(x) = x32

Observese que el dominio y el rango de la funcion f(x) = x32 es

[0, +∞).

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

h(x) = x73

Observese que el dominio y el rango de la funcion h(x) = x73 es R.

3. Funcion racional

130 3.3. Funciones

Si f(x) se expresa como el cociente de dos funciones polinomicas, es

decir f(x) = p(x)q(x)

donde p y q son funciones polinomicas y q(x) 6= 0.

Son funciones racionales, por ejemplo:

f(x) =x3 + 4x + 1

x2 + 1

g(x) =x + 1

3x − 2, x 6= 0


1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

f(x) =x3 + 4x + 1

x2 + 1

Observese que el dominio y el rango de la funcion f(x) = x3+4x+1x2+1

es

R.

En la funcion g(x) = x+13x−2

, se tiene que:

La asıntota vertical es x = 23

La asıntota horizontal es y = 13

Entonces, el dominio de la funcion g(x) = x+13x−2

es R−{23} y el rango

es R − {13}.

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

g(x) =x + 1

3x − 2

4. Funciones definidas a trozos

Son funciones cuyo dominio esta dividido en subconjuntos disjuntos no

vacıos, y la imagen de un elemento depende del subconjunto al cual el

pertenece. Existen dos funciones clasicas de este tipo:

a) Funcion valor absoluto

Esta funcion asocia a cada real x su valor absoluto, es decir:

f(x) = |x| =

x si x ≥ 0

−x si x < 0


1

2

3

−1

1 2 3 4−1−2−3−4

f(x) = |x|

Observese que el dominio de f(x) = |x| es R y su rango es [0, ∞).

132 3.3. Funciones

Por ejemplo tenemos:

f(x) = |x − 3| =

x − 3 si x ≥ 3

−(x − 3) si x < 3


1

2

3

4

−1

1 2 3 4 5 6 7−1−2

f(x) = |x − 3|

Se tiene que el dominio de f(x) = |x − 3| es R y su rango es

[0, ∞).

b) Funcion parte entera

Esta funcion asocia a cada real x el mayor entre los enteros meno-

res o iguales que x, por lo cual tambien se llama funcion mayor

entero. La imagen de x se denota con [x].

Ası,tenemos por ejemplo:

[2,5] = 2[

−√

3]

= −2

[n] = n si n ∈ Z

Dado un entero m, para todo numero real x que pertenece al

intervalo [m, m + 1) tenemos que [x] = m, es decir, la funcion

parte entera es constante por intervalos.

Se define la funcion parte entera por:

f(x) = [m] = m si m ≤ x < m + 1, m ∈ Z


1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

f(x) = [m]

Donde el dominio es R y el rango es Z.

Las funciones algebraicas generales se obtienen combinando fun-

ciones de los tipos descritos, mediante operaciones que seran definidas

posteriormente.

Un ejemplo es la siguiente funcion:

f(x) =6x4 + 7x + 3√

x2 + 1

3.3.2.2. Funciones trascendentes

Entre las funciones transcendentes tenemos:

1. Funciones trigonometricas

Tenemos:

a) Funcion seno

134 3.3. Funciones

La funcion seno se define por: f(x) = sen x

La funcion seno tiene las siguientes caracterısticas:

Su dominio es R y su rango es [−1, 1].

El perıodo de la funcion seno es 2π.

La funcion f(x) = sen x es impar, ya que sen(−x) = − sen x,

∀ x ∈ R.

La grafica de f(x) = sen x intercepta al eje X en los puntos

cuyas abscisas son: x = nπ, para todo numero entero n.

El valor maximo de sen x es 1, y el mınimo valor es −1. La

amplitud de la funcion f(x) = sen x es 1.


1

−1

π 2π−π−2π

f(x) = sen x

b) Funcion coseno

La funcion coseno esta definida por: f(x) = cos x

La funcion coseno tiene las siguientes caracterısticas:

Su dominio es R y su rango es [−1, 1].

El perıodo de la funcion coseno es 2π.

La funcion f(x) = cos x es par, ya que cos(−x) = cos x, ∀ x ∈R.

La grafica de f(x) = cos x intercepta al eje X en los puntos

cuyas abscisas son: x = π2

+ nπ, para todo numero entero n.


El valor maximo de cos x es 1, y el mınimo valor es −1. La

amplitud de la funcion f(x) = cos x es 1.


1

−1

π 2π−π−2π

f(x) = cos x

c) Funcion tangente

La funcion tangente esta definida por: f(x) = tan x

La funcion tangente tiene las siguientes caracterısticas:

Su dominio es R −{

π2

+ nπ /n ∈ Z}

y su rango es R.

El perıodo de la funcion tangente es π.

La funcion f(x) = tan x es impar, ya que tan(−x) = − tan x,

∀ x ∈ R.

La grafica de f(x) = tan x intercepta al eje X en los puntos

cuyas abscisas son: x = nπ, para todo numero entero n.


136 3.3. Funciones

1

2

3

−1

−2

−3

π2

π 3π2

−π2

−π−3π2

x

y

f(x) = tan x

d) Funcion cotangente

La funcion cotangente esta definida por: f(x) = cotg x

La funcion cotangente tiene las siguientes caracterısticas:

Su dominio es R − {nπ /n ∈ Z} y su rango es R.

El perıodo de la funcion cotangente es π.

La funcion f(x) = cotg x es impar, ya que cotg(−x) = − cotg x,

∀ x ∈ R.

La grafica de f(x) = cotg x intercepta al eje X en los puntos

cuyas abscisas son: x = π2

+ nπ, para todo numero entero n.



1

2

3

−1

−2

−3

π2

π 3π2

−π2

−π−3π2

x

y

f(x) = cotg x

e) Funcion secante

La funcion secante esta definida por: f(x) = sec x

La funcion secante tiene las siguientes caracterısticas:

Su dominio es R−{

π2

+ nπ /n ∈ Z}

y su rango es R−(−1, 1)

El perıodo de la funcion secante es 2π.

La funcion f(x) = sec x es par, ya que sec(−x) = sec x, ∀ x ∈R.


1

2

3

−1

−2

−3

π2

π 3π2

−π2

−π−3π2

x

y

f(x) = sec x

138 3.3. Funciones

f ) Funcion cosecante

La funcion cosecante esta definida por: f(x) = csc x

La funcion cosecante tiene las siguientes caracterısticas:

Su dominio es R − {nπ /n ∈ Z} y su rango es R − (−1, 1).

El perıodo de la funcion cosecante es 2π.

La funcion f(x) = csc x es impar, ya que csc(−x) = − csc x,

∀ x ∈ R.


1

2

3

−1

−2

−3

π2

π 3π2

−π2

−π−3π2

x

y

f(x) = csc x

2. Funciones exponenciales y funciones logarıtmicas

a) Funciones exponenciales

La funcion exponencial es de la forma f(x) = ax, siendo a un

numero real positivo.

Son funciones exponenciales, por ejemplo:

f(x) = 2x

g(x) = ex



1

2

3

4

−1

1 2 3 4−1−2−3−4

g(x) = ex

f(x) = 2x

Observese que:

El dominio de la funcion f(x) = 2x es R y su rango es

(0, +∞).

El dominio de la funcion g(x) = ex es R y su rango es

(0, +∞).

b) Funciones logarıtmicas

Sea a un real positivo fijo, a 6= 1 y sea x cualquier real positivo,

entonces:

y = loga x ⇔ ay = x

La funcion que hace corresponder a cada numero real positivo su

logaritmo en base a 6= 1, denotada por f(x) = loga x ,se llama

funcion logarıtmica de base a, y, el numero loga x se llama lo-

garitmo de x en la base a.

Son funciones logarıtmicas, por ejemplo:

f(x) = log2 x

g(x) = log5 x

140 3.3. Funciones


1

2

3

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6 7−1

f(x) = log2 x

g(x) = log5 x

Observese que tanto la funcion f(x) = log2 x y g(x) = log5 x su

dominio es (0, +∞) y su rango es R.

Observacion 3.3. Se tienen que el logaritmo neperiano es

aquel que tiene base e (numero de Neper) y se denota por ln(x);

es decir ln(x) = loge(x). Observese que la funcion f(x) = ln(x),

tiene dominio (0, +∞) y su rango es R.


1

2

−1

−2

−3

1 2 3 4 5 6 7−1

3.3.3. Representacion grafica de funciones

La representacion grafica, o simplemente, la grafica de una funcion f de

dominio D, es el conjunto de los puntos (x, y) del plano cartesiano tales que

x ∈ D y y = f(x) es la imagen de x por f . Se dice que la grafica representa

a f o que la grafica tiene ecuacion cartesiana y = f(x).

Observacion 3.4. No toda curva dibujada en el plano es la grafica de una

funcion. En efecto, se tiene que para cada real x del dominio existe solamente

un real y tal que y = f(x), no pueden pertenecer a la grafica de una funcion

dos puntos cuyas abscisas coincidan. Ası, ninguna recta vertical puede inter-

sectar la grafica de una funcion en mas de un punto. Este es el criterio de

la recta vertical.

Ejemplo 3.21. La grafica de f(x) = x2 + 3x + 1 es una parabola.


1

2

3

−1

−2

1−1−2−3−4

Ası, tenemos que el dominio es R y su rango es [−54, +∞).

Observacion 3.5. La grafica de toda la funcion cuadratica f(x) = ax2 +

bx + c, a 6= 0 es una parabola que se abre hacia arriba si a > 0 o se abre

hacia abajo si a < 0. El vertice de la parabola es el punto que tiene menor

ordenada si la parabola se abre hacia arriba y es el de mayor ordenada si

la parabola se abre hacia abajo. En cualquier caso, la abscisa del vertice es

− b2a

.

142 3.3. Funciones

Ejemplo 3.22. Si f(x) = x2 la grafica de f es una parabola que pasa por

el punto (0, 0) y se abre hacia arriba.

La grafica de f(x) = x4, como la de cualquier funcion potencia par de la

forma f(x) = x2n con n ≥ 1, pasa por los puntos (−1, 1), (0, 0) y (1, 1) y se

abre hacia arriba.


1

2

3

4

5

−1

1 2 3−1−2−3

y = x2

y = x4

y = x6

Observacion 3.6. Se tiene que a un mayor valor del exponente 2n corres-

ponde una curva que, en el intervalo (−1, 1) es mas plana, en el intervalo

(−∞, −1) decrece mas rapidamente y en el intervalo (1, ∞) crece mas ra-

pidamente. El rango de cada funcion de este tipo es [0, ∞).

Ejemplo 3.23. Si f(x) = x2n+1, n ≥ 0, es una potencia positiva e impar de

x, el dominio de f es R. Si f(x) = x, la grafica de f es una recta que pasa

por los puntos (−1, −1), (0, 0) y (1, 1). Para todos los valores de n, la grafica

de f(x) = x2n+1 pasa por esos tres puntos y, como en el caso de las potencias

pares de x, a un mayor exponente 2n + 1, corresponde una curva que es mas

plana en el intervalo (−1, 1) y mas pendiente en el resto del del dominio.

Tenemos las graficas de y = x, y = x3 y y = x5:


1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

y = x

y = x3

y = x5

Ejemplo 3.24. La grafica de una funcion polinomica tiene ascensos y des-

censos. Su comportamiento cuando x recorre el eje X alejandose de 0 hacia

la izquierda o hacia la derecha depende de que el grado sea par o impar y de

que el coeficiente principal sea positivo o negativo.

Veamos algunos casos:

y = (x − 1)2 − 3

1

2

−1

−2

−3

1 2 3 4 5−1−2−3

Observese que el dominio es R y su rango es [−3, +∞).

y = −x4 + 3x3 − 2x2 + x + 1

144 3.3. Funciones

1

2

3

−1

−2

−3

−4

1 2 3−1−2−3

Observese que el dominio es R y su rango es (−∞, +3 · 33].

y = x4 − x3 − x2 − 2

1

2

3

−1

−2

−3

−4

1 2 3−1−2−3

Observese que el dominio es R y su rango es [−3 · 1, +∞).


y = x5 − 5x3 + 4x

1

2

3

−1

−2

−3

−4

1 2 3−1−2−3

Observese que el dominio y el rango es R.

Ejemplo 3.25. Sea f(x) = n√

x. Si n es par, el dominio y el rango son iguales

a [0, ∞). Si n es impar, el dominio y el rango son iguales a R.

Observese que para n = 2 se tiene f(x) =√

x.


1

2

3

−1

1 2 3 4−1

La grafica de f(x) =√

x + 2 es:

146 3.3. Funciones

1

2

3

−1

1 2 3−1−2−3

Observese que el dominio es [−2, +∞) y el rango es [0, +∞).

Ejemplo 3.26. La grafica de la funcion f(x) = |x − 2| − 3 es:

1

2

−1

−2

−3

1 2 3 4 5 6−1−2−3

Observese que el dominio es R y el rango es [−3, +∞).

Ejemplo 3.27. Consideremos ahora la funcion f(x) = 1x. f no esta definida

en x = 0 (es decir 0 no pertenece al dominio de f) y es el unico valor de x

para el cual f no esta definida. Veamos como se comporta f en las cercanıas

de este valor. Cuando x se aproxima al valor 0 tomando valores positivos,

f(x) crece sin lımite y si x se aproxima a 0 tomando valores negativos, f(x)

decrece sin lımite. La grafica se aproxima a la recta x = 0, que no pertenece

a la grafica pero es una lınea guıa es una asıntota. Tambien la recta y = 0

es una asıntota.



1

2

3

−1

−2

−3

−4

1 2 3−1−2−3

y =1

x

Observese que el dominio y el rango es R − {0}.

Ejemplo 3.28. La grafica de la funcion f(x) = [x + 2] − 3, es:

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3 4−1−2−3

Observacion 3.7. Una funcion que tiene una grafica como la anterior se

dice funcion escalonada.

148 3.3. Funciones

3.3.4. Trazado de graficas

Para trazar la grafica de una funcion f es necesario tener en cuenta lo si-

guiente:

1. Puntos de interseccion con los ejes coordenados. Son el punto

(0, f(0)) y los puntos (x, 0) tales que f(x) = 0. Dependiendo de la

funcion, hallar estos ultimos, puede no ser facil.

2. Simetrıas. Una grafica es simetrica con respecto al eje X, si para

cada punto de coordenadas (a, b) que pertenece a ella, tambien el pun-

to (a, −b) pertenece. En consecuencia, si una grafica es simetrica con

respecto al eje X y alguno de sus puntos tiene coordenadas (a, b) con

b 6= 0, la grafica no representa una funcion. Si todos los puntos de la

grafica tienen segunda coordenada igual a 0, entonces corresponde a la

funcion f(x) = 0 para todo x.

Una grafica presenta simetrıa con respecto al eje Y , si para cada

punto de coordenadas (a, b) que pertenece a ella, tambien el punto de

coordenadas (−a, b) pertenece. Acerca de la funcion tenemos entonces

que para cada a que pertenece al dominio de la funcion tambien −a

pertenece y f(−a) = b = f(a).

Una grafica presenta simetrıa con respecto a O, el origen del sistema

de coordenadas, si para cada punto de coordenadas (a, b) que pertenece

a ella, tambien el punto (−a, −b) pertenece. Acerca de la funcion tene-

mos entonces que para cada a que pertenece al dominio de la funcion

tambien −a pertenece y f(−a) = − f(a).

Definicion 3.3. Una funcion f de dominio D se dice par si cumple estas

condiciones: ∀ x ∈ D tambien −x ∈ D y f(−x) = f(x).

Una funcion f de dominio D se dice impar si cumple estas condiciones:

∀ x ∈ D tambien −x ∈ D y f(−x) = −f(x).

Ejemplo 3.29. Las funciones:

f(x) = 4x6 − 7x4 + 3 y g(x) = 3x2

x4+1

son pares, pues:


f(−x) = 4(−x)6 − 7(−x)4 + 3 = f(x) = 4x6 − 7x4 + 3

g(−x) =3(−x)2

(−x)4 + 1= g(x) =

3x2

x4 + 1

Las graficas de estas funciones son simetricas con respecto al eje Y , ası tene-

mos:

1

2

3

−1

1 2 3 4−1−2−3−4

f(x) = 4x6 − 7x4 + 3

g(x) =3x2

x4 + 1

Observacion 3.8. Tambien la funcion valor absoluto es par puesto que |−x|= |x| ∀ x ∈ R.

Ejemplo 3.30. Las funciones f(x) = 5x5 − 6x3 y g(x) = − 7x3

2x2+1son

impares.

Se tiene que:

f(−x) = 5(−x)5 − 6(−x)3 = −5x5 + 6x3 = −(

5x5 − 6x3)

= −f(x)

g(−x) = − 7(−x)3

2(−x)2 + 1= − −7x3

2x2 + 1=

7x3

2x2 + 1= −g(x)

Las graficas de estas funciones son simetricas con respecto al origen O, ası

tenemos:

150 3.3. Funciones

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

f(x) = 5x5 − 6x3

g(x) = − 7x3

2x2 + 1

Ejemplo 3.31. Para la funcion:

f(x) = 9x7 + 7x6 + 6x5 − 4x2 + 1

tenemos que:

f(−x) = 9(−x)7 +7(−x)6 +6(−x)5 −4(−x)2 +1 = −9x7 +7x6 −6x5 −4x2 +1

Ası f(−x) no es igual a f(x) ni a −f(x), la funcion no es par ni impar.

Ahora bien, si:

h(x) = 9x7 + 6x5

Es decir, h(x) es la suma de las potencias impares de x que aparecen en f(x)

con sus respectivos coeficientes y

k(x) = 7x6 − 4x2 + 1

representa las potencias pares de x en f(x).

Donde h es impar, k es par, entonces:

f(x) = h(x) + k(x)

Ası, f se puede expresar como la suma de una funcion par y una

funcion impar.



1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

h(x) = 9x7 + 6x5

k(x) = 7x6 − 4x2 + 1

Luego, se tiene que la grafica de f(x) = h(x) + k(x) es:

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

f(x) = 9x7 + 7x6 + 6x5 − 4x2 + 1

Observacion 3.9. Este es un hecho general. En efecto, dada f(x) si:

152 3.3. Funciones

p(x) =f(x) + f(−x)

2

i(x) =f(x) − f(−x)

2

Entonces:

p(−x) = f(−x) + f(−(−x)) =f(−x) + f(x)

2= p(x)

i(−x) = f(−x) − f(−(−x)) =f(−x) − f(x)

2= −f(x) − f(−x)

2= −i(x)

Es decir p es un funcion par, i es una funcion impar y

f(x) = p(x) + i(x)

Observacion 3.10. Los criterios de simetrıa ayudan a trazar graficas de

relaciones en general.

Consideremos, por ejemplo, la relacion |x| + |y| = 1.

Esta no es una funcion pues si una pareja (a, b) satisface la ecuacion, es

decir, si |a| + |b| = 1, entonces tambien la pareja (a, −b) la satisface pues

|a| + |−b| = |a| + |b| = 1. Ası mismo, las parejas (−a, b) y (−a, −b) la

satisfacen. En consecuencia, la grafica de la relacion es simetrica con respecto

al eje X, al eje Y y al origen O y tiene puntos en los cuatro cuadrantes.

Los puntos de interseccion de la grafica y el eje Y corresponden a x = 0 y,

en este caso, la ecuacion |x| + |y| = 1 toma la forma |y| = 1, con lo cual

y = ±1. Las intersecciones estan, entonces, en los puntos (0, 1) y (0, −1). De

manera similar, haciendo y = 0 obtenemos que los puntos de interseccion de

la grafica y el eje X se encuentran en (1, 0) y (−1, 0).

Para los puntos situados en el primer cuadrante, en el cual las dos coorde-

nadas son positivas, la ecuacion |x| + |y| = 1 se convierte en x + y = 1 es

decir, esos puntos pertenecen a la recta de ecuacion y = −x + 1. Para los

puntos situados en el segundo, tercer y cuarto cuadrantes la ecuacion toma


respectivamente las formas −x + y = 1, −x − y = 1 y x − y = 1.


1

2

−1

−2

1 2−1−2

|x| + |y| = 1

Ejemplo 3.32. La grafica de la funcion y = −x2 + 1 es una parabola que

abre hacia abajo. El vertice tiene abscisa − b2a

= 0 y ordenada f(0) = 1. El

punto (0, 1) es el punto de corte de lagrafica y el eje Y . Los puntos de corte

con el eje X tienen ordenada 0 y su abscisa verifica entonces la ecuacion

0 = −x2 + 1. En consecuencia, x = ±1 y los puntos son (−1, 0) y (1, 0).

Ademas f(−x) = −(−x)2 + 1 = −x2 + 1 = f(x). Ası la grafica es simetrica

con respecto al eje Y y no es simetrica con respecto al origen.


1

2

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

y = −x2 + 1

154 3.3. Funciones

3.3.5. Traslaciones, reflexiones, contracciones y expan-

siones

Comparar una funcion dada con otras funciones conocidas o mas simples,

puede contribuir a conocerla mejor y a trazar su grafica con mas precision.

3.3.5.1. Traslaciones

Las traslaciones de la grafica de una funcion y = f(x) se puede dar en forma

horizontal y vertical.

Traslaciones horizontales: Si a > 0, la grafica de la funcion y = f(x − a)

se puede hallar trasladando la grafica de la funcion y = f(x) un numero a

de unidades hacia la derecha y la grafica de la funcion y = f(x + a) se puede

hallar trasladando la grafica de la funcion y = f(x) un numero a de unidades

hacia la izquierda.

Ejemplo 3.33. Sea la funcion f(x) = x2, entonces comparemos las graficas

de las funciones y = f(x − 2), y = f(x + 2).


1

2

3

−1

1 2 3 4−1−2−3−4−5

y = x2

y = (x − 2)2y = (x + 2)2

Observese que las curvas tienen la misma forma pero al reemplazar x por x−2

en la funcion f(x), la grafica que se obtiene es la de y = f(x) desplazada dos

unidades a la derecha. Al reemplazar x por x + 2, la grafica es tambien la de

y = f(x), desplazada esta vez dos unidades hacia la izquierda.


Traslaciones verticales: Desplazar la grafica de una funcion verticalmente

hacia arriba un numero de b unidades corresponde a aumentar en b unidades,

b > 0, el valor de la segunda coordenada y. Un desplazamiento de b unidades

hacia abajo, corresponde a disminuir la segunda coordenada en b unidades.

Ası, en el primer caso se tiene la grafica de la funcion y = f(x) + b y en el

segundo caso, la grafica de la funcion y = f(x) − b. Estas ultimas igualdades

se obtienen reemplazando y por y − b o por y + b, segun sea el caso, en la

ecuacion y = f(x).

Ejemplo 3.34. Consideremos la funcion y = x2, entonces comparemos las

graficas de las funciones y = x2 + 2 y y = x2 − 2.


1

2

3

4

−1

−2

1 2 3−1−2−3

y = x2

y = x2 + 2

y = x2 − 2

Observese que la grafica de la funcion y = x2 se a trasladado dos unidades

hacia arriba, es decir y = x2 + 2 y dos unidades hacia abajo, es decir

y = x2 − 2.

3.3.5.2. Reflexiones respecto a los ejes coordenados

La grafica de la funcion y = f(−x) se obtiene reflejando la grafica de la

funcion y = f(x) en el eje Y .

156 3.3. Funciones

La grafica de la funcion y = −f(x), se obtiene reflejando la grafica de la

funcion y = f(x) en el eje X.

Ejemplo 3.35. Consideremos la funcion y =√

x y comparemos las graficas

de las funciones y =√

−x y y = −√x.


1

2

−1

−2

1 2 3−1−2−3

y =√

xy =√

−x

y = −√x

Observese que la grafica de la funcion y =√

−x se obtiene reflejando la

grafica de la funcion y =√

x sobre el eje Y .

La grafica de la funcion y = −√x, se obtiene reflejando la grafica de la

funcion y =√

x sobre el eje X.

3.3.5.3. Contracciones y expansiones

Las traslaciones tanto horizontal como vertical y las reflexiones con respecto

a los ejes X y Y son considerados movimientos de la funcion y = f(x), pues

no se altera la forma de la curva, solo se traslado o se refleja pero su forma

se mantiene. Ahora veamos dos transformaciones que si afectan la forma de

la curva y = f(x), estas son las contracciones y expansiones.

Si en la funcion y = f(x), se reemplaza x por ax, con a una constante

positiva, cada valor de la variable independiente x tendra como imagen la

imagen de ax, con ax > x si a > 1.

Ası la grafica de la funcion y = f(ax) se obtiene mediante una compresion

horizontal de factor a, con a > 1 de la grafica de la funcion f(x). Si

0 < a < 1, al reemplazar x por ax en la funcion f(x), la grafica de la

funcion que resulta, es decir de y = f(ax), se puede obtener de la funcion

f(x) mediante una expansion horizontal de factor a.

Ademas, la grafica de la funcion y = af(x) se obtiene de la grafica de la

funcion f(x) mediante una compresion vertical de factor a si 0 < a < 1

y mediante una expansion vertical de factor a si a > 1.

Ejemplo 3.36. Consideremos los siguientes casos:

Sea la funcion y = x2, entonces comparemos las graficas de las funciones

y = (2x)2 y y = (12x)2.


1

2

3

4

−1

1 2 3−1−2−3

y = x2

y = (2x)2

y = (12x)2

Observese que la grafica de la funcion y = (2x)2 se ha obtenido median-

te una compresion horizontal de factor 2, pues 2 > 1 de la grafica

de la funcion y = x2. La grafica de la funcion y = (12x)2 se ha obtenido

a partir de una expansion horizontal de factor 12, donde 0 < 1

2< 1

de la grafica de la funcion y = x2.

Sea la funcion y = x2, entonces comparemos las graficas de las funciones

y = 2x2 y y = 12x2.

158 3.3. Funciones

1

2

3

4

−1

1 2 3−1−2−3

y = x2 y = 2x2

y = 12x2

Observese que la grafica de la funcion y = 2x2 se ha obtenido mediante

una expansion vertical de factor 2, donde 2 > 1 de la grafica de la

funcion y = x2. La grafica de la funcion y = 12x2 se ha obtenido a partir

de una compresion vertical de factor 12, pues 0 < 1

2< 1 de la grafica

de la funcion y = x2.

Ejemplo 3.37. Analicemos la forma de trazar la grafica de la funcion:

f(x) = |4x2 − 8x + 3|

Sabemos que:

∣∣∣4x2 − 8x + 3

∣∣∣ =

4x2 − 8x + 3 si 4x2 − 8x + 3 ≥ 0

−(4x2 − 8x + 3) si 4x2 − 8x + 3 < 0

=

4x2 − 8x + 3 si x ≤ 12

∨ x ≥ 32

−(4x2 − 8x + 3) si 12

< x < 32

Entonces la grafica se puede obtener a partir de la grafica de la funcion h(x) =

4x2 − 8x + 3, reflejando en el eje X los puntos (x, y) tales que 12

< x < 32.

Como h(x) = 4x2 − 8x + 3 = (2x − 2)2 − 1 = (2(x − 1))2 − 1, entonces la

grafica de la funcion h(x) se puede obtener a partir de la grafica de la funcion

p(x) = x2 por una secuencia de transformaciones cada una de las cuales da

lugar a una curva cuya ecuacion aparece frente a la transformacion de la

siguiente manera:

Traslacion horizontal hacia la derecha, de una unidad: y = (x − 1)2.

Compresion horizontal de factor 2: y = (2(x − 1))2.

Traslacion vertical hacia abajo de una unidad: y = (2x − 2)2 − 1.

Ası entonces, trazar la grafica de la funcion f (x) se ha reducido a trazar y

transformar la grafica de la funcion p(x) = x2.


1

2

3

−1

1 2 3−1−2−3

Ejemplo 3.38. Consideremos la funcion f(x) = x3 − x. Determine sus con-

tracciones, expansiones y sus respectivas graficas.

Tenemos: f(x) = x3 − x

Entonces, se tiene que si a = 3 > 1 se obtiene g(x) = 3f(x) = 3x3 − 3x

la grafica de g(x) es obtenida a partir de la grafica de la funcion f(x)

mediante una expansion vertical del factor a = 3.

Si 0 < a = 12

> 1, entonces h(x) = 12f(x) = 1

2x3 − 1

2x cuya grafica es es

obtenida a partir de la grafica de la funcion f(x) mediante una contraccion

vertical del factor a = 12.

160 3.3. Funciones

1

2

−1

−2

1 2 3 4−1−2−3−4−5

f(x) = x3 − x

h(x) = 12x3 − 1

2x

g(x) = 3x3 − 3x

Ejemplo 3.39. Analicemos la forma de trazar la grafica de la funcion:

f(x) = |2x3 + 1|

Sabemos que:

∣∣∣2x3 + 1

∣∣∣ =

2x3 + 1 si 2x3 + 1 ≥ 0

−(2x3 + 1) si 2x3 + 1 < 0

=

2x3 + 1 si x ≥ −12

3√

22

−(2x3 + 1) si x < −12

3√

22

La grafica se puede obtener a partir de la grafica de la funcion g(x) = 2x3 +1,

reflejando en el eje X los puntos (x, y) tales que x < −12

3√

22 y x ≥ −12

3√

22.

Entonces la grafica de la funcion g(x) se puede obtener a partir de la grafica

de la funcion i(x) = x3 por una secuencia de transformaciones cada una de las

cuales da lugar a una curva cuya ecuacion aparece frente a la transformacion

de la siguiente manera:

Extencion vertical de factor 2: y = 2x3.

Traslacion vertical hacia arriba de una unidad: y = 2x3 + 1.

Ası entonces, trazar la grafica de f (x) se ha reducido a trazar y transformar

la grafica de la funcion i(x) = x3.


1

2

3

−1

1 2 3−1−2−3

Ejemplo 3.40. Consideremos las funciones f(x) = 3x+1

, g(x) = 1x+1

y

h(x) = 1x.

Se tiene que:

Puesto que la funcion f(x) = 3g(x), entonces la grafica de f(x) se

obtiene de la grafica de la funcion g(x) mediante una expansion vertical

del factor 3.


1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3−1−2−3−4

g(x) =1

x + 1

f(x) =3

x + 1

162 3.4. Operaciones entre Funciones

La grafica de la funcion g(x) se obtiene de la grafica de la funcion h(x)

mediante una traslacion de una unidad hacia la izquierda.


1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3−1−2−3−4

h(x) =1

xg(x) =

1

x + 1

Observese que las rectas x = −1 y y = 0 son asıntotas de las graficas de las

funciones g(x) y de f(x).

3.4. Operaciones entre Funciones

Ası como los numeros reales se suman, restan, multiplican y dividen, tambien

las funciones se operan.

Definicion 3.4. Una operacion entre funciones es una regla que asocia

a dos de ellas en una tercera funcion, precisando cual es la imagen de un

numero real x por esta ultima.


3.4.1. Algebra de funciones

Es posible obtener nuevas funciones operando directamente las imagenes, que

representan numeros reales.

Definicion 3.5. Dadas funciones f(x) y g(x) se definen:

La suma de f(x) y g(x) como:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

La resta o la diferencia de f(x) y g(x) como:

(f − g)(x) = f(x) − g(x)

El producto de f(x) y g(x) como:

(f · g)(x) = f(x) · g(x)

El cociente de f(x) y g(x) como:

(

f

g

)

(x) =f(x)

g(x)si g(x) 6= 0

Para determinar sus dominio notemos que al definir la imagen de x, deben

estar definidas tanto f(x) como g(x) y que en el caso del cociente, g(x) debe

ser distinto de 0. Ası, si Dh denota el dominio de la funcion h entonces:

Df+g = Df−g = Df ·g = Df ∩ Dg

D f

g

= Df ∩ Dg − {x ∈ Dg/g(x) = 0}

Ejemplo 3.41. Sean las funciones: f(x) = 4 − 2x y g(x) = 16 − x2

Se tiene que:


(f + g)(x) = (4 − 2x) +(

16 − x2)

= 20 − 2x − x2

(f − g)(x) = 4 − 2x −(

16 − x2)

= −12 − 2x + x2

(f · g)(x) = (4 − 2x)(

16 − x2)

= 64 − 32x − 4x2 + 2x3

(

f

g

)

(x) =4 − 2x

16 − x2

Donde Df = R y Dg = R.

En consecuencia:

Df+g = Df−g = Df ·g = R

D f

g

= R −{

x ∈ R/16 − x2 = 0}

= R − {−4, 4}

Ejemplo 3.42. Como caso particular del producto tenemos f 2(x) = (f(x))2

y mas generalmente fn(x) = (f(x))n.

Ası, para f(x) = 4 − 2x tenemos que:

f 2(x) = (4 − 2x)2 = 16 − 16x + 4x2

f 4(x) = (4 − 2x)4 = 256 − 512x + 384x2 − 128x3 + 16x4

Ejemplo 3.43. Sean las funciones: f(x) =√

4 − 2x y g(x) =√

16 − x2

Tenemos que:

(f + g)(x) =√

4 − 2x +√

16 − x2

(f − g)(x)(x) =√

4 − 2x −√

16 − x2

(f · g)(x) =√

4 − 2x ·√

16 − x2

(

f

g

)

(x) =

√4 − 2x√16 − x2

Donde:

Df = {x ∈ R/4 − 2x ≥ 0} = (−∞, 2]

Dg = {x ∈ R/16 − x2 ≥ 0} = [−4, 4]


En consecuencia:

Df+g = Df−g = Df ·g = (−∞, 2] ∩ [−4, 4] = [−4, 2]

D f

g

= (−4, 2]

Ejemplo 3.44. Sea la funcion f(x) =√

4 − 2x

Tenemos que:

f 2(x) =(√

4 − 2x)2

= 4 − 2x

f 4(x) =(√

4 − 2x)4

= (4 − 2x)2 = 16 − 16x + 4x2

3.4.2. Propiedades

Como hemos visto, las operaciones definidas sobre R (y sobre C) poseen cier-

tas propiedades. Estas son heredadas por la suma y el producto de funciones.

Ası tenemos:

1. La asociatividad de la suma, dadas f(x), g(x) y h(x) funciones,

entonces:

[(f + g) + h] (x) = (f + g) (x) + h (x)

= [f (x) + g (x)] + h (x)

Puesto que f (x), g (x) y h (x) representan numeros reales, esta

ultima suma es igual a:

f (x) + [g (x) + h (x)] = f (x) + (g + h) (x)

Ası:

(f + g) + h = f + (g + h)

De manera similar se prueba la asociatividad del producto.

2. La conmutatividad del producto, se tiene:

(f · g) (x) = f (x) g (x)


Donde: f (x) y g (x) representan numeros, entonces este producto

es igual a:

g (x) f (x) = (g · f) (x)

Ası:

f · g = g · f

De manera similar se prueba la conmutatividad de la suma.

3. Sea 0 la funcion que a todo numero real x asocia el numero 0, es decir

0 (x) = 0 y sea 1 la funcion que a cada real x asocia el numero 1.

Entonces:

(f + 0) (x) = f (x) + 0 (x) = f (x) + 0 = f (x)

Es decir:

f + 0 = f

Por otra parte,

(f · 1) (x) = f (x) 1 (x) = f (x) · 1 = f (x)

Luego:

f · 1 = f

Ası, entre las funciones existen modulos para la suma y para el produc-

to.

4. Si la funcion −f(x) se define por:

(−f) (x) = −f (x)

y, para aquellos x para los cuales f (x) diferentes de 0 se define 1f

por:

(1f

)

(x) = 1f(x)

Entonces:

(f + (−f)) (x) = f (x) + (−f) (x) = f (x) − f (x) = 0 = 0x

Es decir:

f + (−f) = 0


y(

f · 1f

)

(x) = f (x) · 1f(x)

= 1 = 1 (x)

Luego:

f · 1f

= 1

Ası, entre las funciones existen inversos para la suma e inversos parciales

para el producto.

3.4.3. Composicion de funciones. Funcion inversa

Existe otra manera de obtener una funcion a partir de dos funciones dadas

y es haciendo actuar una funcion despues de la otra.

3.4.3.1. Composicion de funciones

Se define la funcion compuesta de las funciones f(x) y g(x), denotada

como f ◦ g, ası:

(f ◦ g) (x) = f (g (x))

Esta funcion se puede aplicar a los numeros reales x para los cuales estan

definidas tanto g (x) como f (g (x)), ası:

Df ◦ g = {x ∈ Dg/g (x) ∈ Df}


x g(x) = yf(y)q

(f ◦ g)(x)

fg

(f ◦ g)


Ejemplo 3.45. Sean las funciones f(x) = 4 − 2x y g(x) = 16 − x2.

Determine (f ◦ g) (x) y (g ◦ f) (x).

Tenemos que:

(f ◦ g) (x), esta dada por:

(f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f(

16 − x2)

= 4 − 2(

16 − x2)

= −28 + 2x2

Donde:

Df ◦ g = {x ∈ Dg / g (x) ∈ Df} = {x ∈ R / g (x) ∈ R}Df ◦ g = R

(g ◦ f) (x), esta dada por:

(g ◦ f) (x) = g (f (x)) = g (4 − 2x) = 16 − (4 − 2x)2 = 16x − 4x2

Donde:

Dg ◦ f = {x ∈ Df / f (x) ∈ Dg} = {x ∈ R / f (x) ∈ R}Dg ◦ f = R

Observese que las funciones f ◦ g y g ◦ f son distintas.

Ejemplo 3.46. Sean las funciones f (x) =√

4 − 2x y g (x) =√

16 − x2.

Determine (f ◦ g) (x) y (g ◦ f) (x).

Tenemos:

(f ◦ g) (x), esta dada por:

(f ◦ g) (x) = f(√

16 − x2)

=√

4 − 2√

16 − x2


Donde:

Df ◦ g = {x ∈ [−4, 4] /g (x) ∈ (−∞, 2]}={

x ∈ [−4, 4] /√

16 − x2 ≤ 2}

={

x ∈ [−4, 4] /12 ≤ x2}

={

x ∈ [−4, 4] /√

12 ≤ |x|}

Df ◦ g =[

−4, −√

12]

∪[√

12, 4]

(g ◦ f) (x), esta dada por:

(g ◦ f) (x) = g(√

4 − 2x)

=

√

16 −(√

4 − 2x)2

=√

16 − (4 − 2x) =√

12 + 2x

Donde:

Dg ◦ f = {x ∈ (−∞, 2]/f (x) ∈ [−4, 4]}={

x ∈ (−∞, 2]/√

4 − 2x ∈ [−4, 4]}

= {x ∈ (−∞, 2]/ − 6 ≤ x}Dg ◦ f = [−6, 2]

Observese que Df ◦ g es diferente de Dg ◦ f esto ya nos dice que las

funciones f ◦ g y g ◦ f son distintas.

Ademas, por ejemplo, para el numero −72

que pertenece a los dominios

de las dos funciones compuestas se tiene que:

(f ◦ g)(

−7

2

)

=√

4 −√

15

Es diferente de:

(g ◦ f)(

−7

2

)

=√

5

En general:

f ◦ g 6= g ◦ f

Ejemplo 3.47. Sea la funcion f (x) = 3x+1

, se tiene que:


f (x2) = 3x2+1

, en particular, f (22) = 35

f(x)2 =(

3x+1

)2= 9

(x+1)2 , en particular f (2)2 = 1

(f ◦ f) (x) = f (f (x)) = f(

3x+1

)

= 33

x+1+1

= 3(x+1)x+4

Tambien:

f (f (x)) =3

f (x) + 1

En particular:

(f ◦ f) (2) =3

2

En general:

f(

x2)

6= f(x)2

f(

x2)

6= f (f (x))

f(x)2 6= f (f (x))

Ejemplo 3.48. La funcion h (x) =√

x2 − 1 se puede obtener en la forma:

(f ◦ g) (x).

Se tiene que la funcion h (x) puede obtenerse a partir de las funciones:

g (x) = x2 − 1 y f (x) =√

x. Es decir:

(f ◦ g) (x) = f(g(x))

= f(

x2 − 1)

=√

x2 − 1

Ejemplo 3.49. La funcion k (x) = 2x2+2x+3

se puede expresar como una

funcion compuesta, de mas de una manera.

Ası por ejemplo, para cada valor de i, se tiene:

(fi ◦ gi) (x) = k (x)

En los siguientes casos:

f1 (x) = 1x

y g1 (x) = x2+2x+32

f2 (x) = 1x2+2

y g2 (x) = x + 1.

Ademas, si f3 (x) = 2x, g3 (x) = x + 3 y h (x) = x2 + 2x

Entonces:

((f3 ◦ g3) ◦ h) (x) = (f3 ◦ g3) h (x) = f3 (g3 (h (x)))

= f3

(

x2 + 2x + 3)

=2

x2 + 2x + 3

= k (x)

Tambien:

(f3 ◦ (g3 ◦ h)) (x) = f3 ((g3 ◦ h) (x))

= f3 (g3 (h (x)))

= k (x)

Ejemplo 3.50. Sean las funciones g (x) = x2 y f(x) definida a trozos:

f (x) =

1x2+1

si x ≥ 2

x2 + 1 si x < 2

Determine (f + g) (x) y (f ◦ g) (x).

Tenemos:

(f + g) (x) =

1x2+1

+ x2 = x4+x2+1x2+1

si x ≥ 2

x2 + 1 + x2 = 2x2 + 1 si x < 2

(f ◦ g) (x) = f (g (x)) =

1g(x)2+1

si g (x) ≥ 2

g (x)2 + 1 si g (x) < 2

=

1x4+1

si x2 ≥ 2

x4 + 1 si x2 < 2

=

1x4+1

si |x| ≥√

2

x4 + 1 si |x| <√

2

=

1x4+1

si x ∈ (−∞, −√

2] ∪ [√

2, ∞)

x4 + 1 si −√

2 < x <√

2

3.4.3.2. Propiedades de la composicion de funciones

Sean f , g, h y I (la funcion Identidad).

1. Asociatividad: Se verifica en general pues, tenemos:

[(f ◦ g) ◦ h] (x) = (f ◦ g) (h (x))

= f [g (h (x))]

= [f ◦ (g ◦ h) (x)]

= f [g (h (x))]

Ası:

(f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h)

2. Conmutativa: Se tiene que:

(f ◦ g) 6= (g ◦ f)

Es decir que la composicion de funciones no es conmutativa.

3. Funcion identidad: Sea I la funcion identidad que a cada x asocia

x, es decir, I (x) = x. Para toda funcion f tenemos:

(f ◦ I) (x) = f (I (x)) = f (x)

(I ◦ f) (x) = I (f (x)) = f (x)


Esto es:

f ◦ I = f

I ◦ f = f

Ası entre las funciones existe un modulo para la composicion. El modulo

es la funcion I.

4. Funcion inversa o recıproca: La pregunta es ahora, si para cada

funcion f existe una funcion inversa para la composicion, esto es, si

existe g tal que g ◦ f = I y f ◦ g = I, es decir, g (f (x)) = x y

f (g (y)) = y para todo x ∈ Df y todo y ∈ Dg.

Consideremos por ejemplo la funcion f (x) = x2, ¿como debe estar

definida la funcion g si existe?. Es decir, ¿ que valor debe tener g (y)

para cada y?. Tomemos por ejemplo y = 4. De acuerdo con la condicion

g (f (x)) = x, debemos tener que si f (x) = 4 entonces g (4) = x.

Pero existen dos valores de x que satisfacen la condicion f (x) = 4

esos valores son 2 y −2.

Ası 4, como todo y > 0, tiene dos imagenes lo cual contradice el

caracter de funcion de g.

Esta situacion surge del hecho de que dos valores distintos de x tienen

imagenes iguales por f , es decir, la funcion en cuestion no es inyectiva,

de acuerdo con lo siguiente:

3.4.3.3. Funcion inyectiva

Sea f una funcion de dominio D. f es inyectiva o uno a uno (1 − 1),

si para todo x1 y x2 en D, x1 6= x2 implica f (x1) 6= f (x2), es decir,

valores distintos de la variable independiente tienen imagenes distintas. Esto

equivale a f (x1) = f (x2) implica x1 = x2.

Observacion 3.11. Usando la grafica podemos decir que una funcion f , es

inyectiva si y solo si ninguna recta horizontal intersecta la grafica de f en

mas de un punto. Este es el criterio de la recta horizontal.


Ejemplo 3.51. Sea la funcion f (x) = 3x + 1, entonces se tiene que f(x)

es una funcion inyectiva.

Tenemos:

f (x1) = f (x2)

Es decir:

3x1 + 1 = 3x2 + 1

Entonces:

3x1 = 3x2

x1 = x2

Luego, se tiene que f(x) es inyectiva.

Ejemplo 3.52. La funcion f (x) = x2, no es inyectiva.

Tenemos que:

Si x21 = x2

2 y xi 6= 0 no puede concluirse que x1 = x2, puesto que tambien

para x2 = −x1 se tiene x21 = x2

2 con x1 6= x2. Por lo tanto f(x) no es

inyectiva.

Usando el criterio de la recta horizontal, se tiene que esta recta corta a la

grafica en dos puntos; graficamente se tiene:

1

2

3

−1

1 2 3−1−2−3

Ejemplo 3.53. Sea la funcion f (x) = x2 + 3x + 1, no es inyectiva.

Tenemos:


Si y es un numero que esta en el rango de f(x), existe x tal que y = x2+3x+1.

Entonces x = −3±√5+4y

2ası, si y es diferente −5

4, dos valores distintos de

la variable independiente satisfacen la condicion y = f (x) entonces se tiene

que f(x) no es inyectiva.

Ejemplo 3.54. Se tiene que la funcion f (x) = x3, es inyectiva.

Supongamos que:

f (x1) = f (x2)

Es decir:

x31 = x3

2

Entonces:

x31 − x3

2 = 0

(x1 − x2) (x21 + x1x2 + x2

2) = 0

El segundo factor es 0 solo si x1 = x2 = 0. Para valores x1 y x2 distintos

de cero, la igualdad solo se tiene si x1 −x2 = 0 , es decir, si y solo si x1 = x2.

Entonces f(x) es inyectiva.

3.4.3.4. Funcion sobreyectiva

f : A → B es sobreyectiva o sobre, si y solo si, para todo elemento del

conjunto de llegada existe un elemento en el conjunto de partida, es decir que

f es sobreyectiva, ↔ ∀y ∈ B : ∃x ∈ A/y = f(x), esto es que Ran(f) = B.

Ejemplo 3.55. Sea f(x) = 2x − 7 verificar si es sobreyectiva.

En efecto: Debemos despejar la variable x en funcion de y, es decir:

f(x) = y

2x − 7 = y

2x = y + 7

x =y + 7

2


Entonces:

f(x) = f(

y + 7

2

)

= 2(

y + 7

2

)

− 7

= y + 7 − 7

f(x) = y

Luego, se tiene que f(x) es sobreyectiva.

Ejemplo 3.56. Sea: f : [0, ∞) → [0, ∞) definida por f(x) =√

x. Verificar

si es sobreyectiva.

Se tiene que Ran(f) = [0, ∞) por lo tanto es sobreyectiva.

3.4.3.5. Funcion biyectiva

f : A → B es biyectiva, si y solo si, es inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo 3.57. Sea: f : [2, ∞) → [1, ∞) definida por f(x) =√

x − 2 + 1.

Verificar si es biyectiva.

En efecto:

Verificar si f(x) es inyectiva.

Tenemos:

f (x1) = f (x2)

Es decir:

√x1 − 2 + 1 =

√x2 − 2 + 1

Entonces:

√x1 − 2 =

√x2 − 2

x1 = x2

Luego, se tiene que f(x) es inyectiva.

Verificar si f(x) es sobreyectiva.

Se tiene que Ran(f) = [1, ∞) por lo tanto es sobreyectiva.

O tambien, debemos despejar la variable x en funcion de y, es decir:

f(x) = y√

x − 2 + 1 = y√

x − 2 = y − 1

x − 2 = (y − 1)2

x = (y − 1)2 + 2

Entonces:

x = (y − 1)2 + 2 ∈ [2, ∞)

2 ≤ (y − 1)2 + 2 < ∞0 ≤ (y − 1)2 < ∞0 ≤ y − 1 < ∞1 ≤ y < ∞

Luego, y ∈ [1, ∞) como Ran(f) = [1, ∞) se tiene que f(x) es

sobreyectiva.

Por lo tanto, se tiene que f(x) es inyectiva y sobreyectiva entonces f(x)

es biyectiva.

3.4.3.6. Funcion inversa

Una funcion f(x) de dominio Df se dice invertible si existe una funcion

g(x) tal que Dg = Rf , el rango de f(x) , Df = Rg, el rango de g(x),

g ◦ f = I, f ◦ g = I. Si f(x) es invertible, la funcion g(x) es la inversa

de f(x) y se denota por f−1.

Usando esta notacion, tambien g(x) es invertible y g−1 = f . Es decir:

(f−1)−1

= f


Donde f ◦ g = I y g ◦ f = I toman la forma:

f−1◦ f = I

f ◦ f−1 = I

En el primer caso, I actua sobre los elementos de Df , en el segundo caso

sobre los elementos de Df−1 = Rf .

Teorema 3.1. Una funcion f(x) es invertible si y solo si f(x) es inyectiva.

Ejemplo 3.58. La funcion f (x) = 3x+1 es inyectiva entonces tiene inversa.

Tenemos:

f ◦ g = I

f (g (x)) = x ∀ x ∈ R

Es decir:

3g (x) + 1 = x

Entonces:

g (x) =x − 1

3

Como:

f (g (x)) = 3(

x − 1

3

)

+ 1 = x

g (f (x))(3x + 1) − 1

3= x

Entonces g es la inversa de f , es decir:

f−1 (x) =x − 1

3

Observacion 3.12. En general toda funcion de la forma h (x) = mx + b

con m 6= 0 es invertible y h−1 (x) = x−bm

Ejemplo 3.59. La funcion g (x) = x3 es inyectiva,entonces tiene inversa.

Tenemos:

g (g−1 (x)) = x


Es decir:

( g−1 (x))3

= x

Entonces g es invertible y

g−1 (x) = 3√

x

Mas generalmente toda funcion de h tal que h (x) = xm donde m es

impar, es inyectiva y h−1(x) = m√

x ( la unica raız m−esima real de x ).

Observacion 3.13. En cuanto a la grafica de la funcion inversa, note-

mos que si (a, b) pertenece a la grafica de una funcion inyectiva f entonces

f(a) = b y , en consecuencia a = f−1(f (a)) = f−1 (b) es decir, (b, a)

pertenece a la grafica de f−1. En el plano cartesiano, los puntos de coorde-

nadas (a, b) y (b, a) estan simetricamentes dispuestos con respecto a la

recta y = x. En consecuencia, trazadas en el mismo plano, las graficas de f

y f−1 estan simetricamente dispuestas con respecto a esa recta o, expresado

de otra manera, la grafica de f−1 se obtiene reflejando la grafica de f en

la mencionada recta.

Ejemplo 3.60. Tenemos las graficas de:

Las funciones f(x) = 3x + 1 y f−1(x) = x−13

.

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

f(x) = 3x + 1

f−1(x) = x−13

Observese que:


• Df = Rf−1 = R • Df−1 = Rf = R

Las funciones g(x) = x3 y g−1(x) = 3√

x.

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

g(x) = x3

g−1(x) = 3√

x

Observese que:

• Dg = Rg−1 = R • Dg−1 = Rg = R

Observacion 3.14. Se tiene que:

Df = Rf−1 Df−1 = Rf

3.4.3.7. Restricciones inyectivas

Si C es un subconjunto no vacıo de Df , el dominio de una funcion f(x), la

restriccion de f(x) a C es la funcion que se obtiene cuando f(x) actua

solamente sobre los elementos de C. Se denota con f |C . Ası, el dominio f |Ces C y, si x ∈ C, f |C (x) = f (x).

En caso de que una funcion f(x) no sea inyectiva, es posible hallar una

restriccion inyectiva de f(x), es decir, es posible hallar un subconjunto C

de Df tal que f |C sea una funcion inyectiva.


Ejemplo 3.61. El criterio geometrico de la recta horizontal nos permite

decir que la funcion f (x) = x2 no es inyectiva, pero que la restriccion de

f(x) al intervalo I = [0, ∞) sı lo es. Tambien la restriccion de f al intervalo

J = (−∞, 0] es inyectiva.

Veamos el primer caso, si f1 = f |I entonces:

Df1 = [0, ∞), f1 (x) = x2 , Rf1 = [0, ∞)

y, como para x ∈ Rf1 , se tiene:

f1

(

f−11 (x)

)

= x

Es decir:(

f−11 (x)

)2= x

Tomando raız cuadrada positiva a cada lado de la igualdad obtenemos:∣∣∣f−1

1 (x)∣∣∣ =

√x

Pero f−11 (x) ∈ Df1 , es decir, f−1

1 (x) ≥ 0.

Entonces:∣∣∣f−1

1 (x)∣∣∣ = f−1

1 (x) y f−11 (x) =

√x

De manera analoga , si f2 = f |J , Df2 = (−∞, 0] , f2 (x) = x2, Rf2 = [0, ∞)

y si x ∈ Rf2 entonces f−12 (x) = −√

x.


1

2

3

−1

−2

1 2 3−1−2−3

f1 (x) = x2

f−11 (x) =

√x

f2 (x) = x2

f−12 (x) = −√

x


Observese que:

Df1 = Rf−11

= [0, ∞)

Df−11

= Rf1 = [0, ∞)

Df2 = Rf−12

= (−∞, 0]

Df−12

= Rf2 = [0, ∞)

Ejemplo 3.62. La funcion f (x) = x3 − 4x admite restricciones inyectivas.

Se tiene que f(x), es una funcion impar.

Graficamente, tenemos:

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

Observese que f(x) admite restricciones inyectivas en los intervalos(

−∞, −2√

33

]

,[

−2√

33

, 2√

33

]

y[

2√

33

, ∞)

.

Realmente f(x) admite muchas otras restricciones inyectivas, como por ejem-

plo: La restriccion de f(x) a (−∞, −2] ∪ (2, ∞).

Ejemplo 3.63. Sea la funcion f (x) = x2 + 3x + 1, entonces f(x) admite

restricciones inyectivas en los intervalos(

−∞, −32

]

y[

−32, ∞

)

.

Tenemos que estos intervalos son los mas grandes de R que tienen esa pro-

piedad.

Si f1 denota la funcion f(x) restringida a(

−∞, −32

]

y y = f1 (x) entonces

f−11 (y) = x.


Esto nos lleva a pensar que despejar x en terminos de y permite obtener una

formula para f−11 . La situacion es similar para la funcion f2, donde f2 denota

la funcion f restringida a[

−32, ∞

)

.

Como el rango de f1 es[

−54, ∞

)

, igual que el rango de f2, y en ese

conjunto, si y = f (x), es decir, si:

y = x2 + 3x + 1

Entonces:

x =−3 − √

5 + 4y

2≤ −3

2∨ x =

−3 +√

5 + 4y

2≥ −3

2

Las inversas de f1 y f2 estan dadas respectivamente por:

g1 (y) =−3 − √

5 + 4y

2∧ g2 (y) =

−3 +√

5 + 4y

2

o, usando x como variable independiente:

g1 (x) =−3 −

√5 + 4x

2∧ g2 (x) =

−3 +√

5 + 4x

2

Verifiquemos que, efectivamente g1 es la inversa de f1.

Sea: x ∈ Df1 =(

−∞, −32

]

Entonces:

(g1 ◦ f1) (x) =−3 −

√

5 + 4 (x2 + 3x + 1)

2

=−3 −

√

(2x + 3)2

2=

−3 − |2x + 3|2

Como x ≤ −32

, 2x + 3 ≤ 0 y |2x + 3| = − (2x + 3) entonces:

(g1 ◦ f1) (x) = −3 − (− (2x + 3)) =−3 + 2x + 3

2= x

(f1 ◦ g1) (x) =

(

−3 −√

5 + 4x

2

)2

+ 3

(

−3 −√

5 + 4x

2

)

+ 1 = x

Ası:

f−11 (x) = g1 (x) =

−3 −√

5 + 4x

2para x ∈

(

−∞, −32

]

De manera analoga se concluye que:

f−12 (x) =

−3 +√

5 + 4x

2para x ∈

[

−3

2, ∞

)


1

2

3

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

f2 (x) = x2 + 3x + 1

f−11 (x) =

−3 −√

5 + 4x

2

f1 (x) = x2 + 3x + 1

f−12 (x) =

−3 +√

5 + 4x

2

Observese que:

Df1 = Rf−11

=(

−∞, −32

]

Df−11

= Rf1 =[

−54, ∞

)

Df2 = Rf−12

=[

−32, ∞

)

Df−12

= Rf2 =[

−54, ∞

)

Ejemplo 3.64. Los dominios restringidos para la funcion valor absoluto

f (x) = |x|, son (−∞, 0] y [0, ∞) .

Ejemplo 3.65. Para la funcion parte entera, la restriccion a Z es una

restriccion inyectiva.

Se pueden obtener otros dominios adecuados tomando para cada entero m

uno y solo un x tal que m ≤ x < m + 1.



1. Determine a que cuadrante pertenece el par ordenado (x − y, y − x)

sabiendo que (x + y, 15) = (10, 2x − 3y)

2. Determine el valor de M = y − x si se cumple que (x2 − 3, y3 − 1) =

(5 − x2, 2y3 − 28)

3. Ubica en el plano cartesiano el par ordenado A = (x − y, 3x − 4y) si

se cumple que (5x + 2y, 8) = (16, x + 2y)

4. Determine la distancia entre los puntos, se tiene que:

a) A = (−2, 3) B = (1, 4)

b) C = (3, 3) D = (1, −2)

c) E = (1, 2) F = (4, 4)

d) G = (−2, 3) H = (1, −3)

e) I = (−12, 0) J = (−2, 5)

f ) K = (8, 0) L = (0, −7)

g) M = (1, 1) N = (−5, −1)

h) Y = (−13, 3) O = (1, −12)

i) P = (9, −1) Q = (2, 4)

j) R = (6, 9) S = (−5, −2)

k) T = (−1, −5) U = (5, −3)

l) W = (3, −11) X = (3, 1)

5. Determine las coordenadas del punto medio, sabiendo que:

a) A = (−1, 2) B = (1, −4)

b) C = (0, −3) D = (2, −2)

c) E = (6, 2) F = (8, 4)

d) G = (−2, 7) H = (4, −3)

e) I = (−12, 13) J = (−12, 15)

f ) K = (28, 0) L = (0, −17)

g) M = (12, 20) N = (−15, −1)

h) Y = (33, 21) O = (10, 2)

i) P = (4, 5) Q = (21, 4)

j) R = (11, 9) S = (5, 12)

k) T = (6, −5) U = (5, −3)

l) W = (32, 1) X = (13, 11)

6. Se tienen los vertices de un triangulo (4, −4, (10, 4) y (2, 6), determine

las distancias de sus lados.

7. Determine las coordenadas de los puntos medios de los lados de los

siguientes triangulos cuyos vertices son:

a) A = (−3, −5) B = (−1, −6) C = (−2, −2)

b) D = (4, 4) E = (5, 1) F = (2, 3)

c) G = (1, 2) H = (6, 3) I = (2, 5)

d) O = (0, 5) P = (0, 0) Q = (4, 0)

e) R = (1, 1) S = (3, 3) T = (5, 0)

f ) X = (3, −2) Y = (3, −4) Z = (6, −4)

8. Se tiene los conjuntos A = {x ∈ N / 4 ≤ x2 ≤ 36} y B = {x ∈ Z / 1 ≤ x2 ≤ 16}.

Determine el dominio y rango de la relacion R = {(x, y) ∈ AxB / x + y = 4}

9. Se tiene el conjunto A = {2x / x ∈ Z 0 < x ≤ 5} y la relacion R =

{(a, b) ∈ A2 / a + b es impar ∧ a < b}, determine su dominio y su

rango.

10. Sean los conjuntos: A = {x ∈ R/ − 2 ≤ x < 5} y B = {x ∈ R/ − 1 <

x ≤ 5} determine AxB, BxA y sus respectivas graficas.

11. Consideremos los conjuntos A = {x2 − 1/ − 1 ≤ x ≤ 4, x ∈ Z} y

B = {x2 + 1/ − 3 ≤ x ≤ 1, x ∈ Z} determine AxB, BxA y sus

respectivas graficas.

12. Sea la relacion R = {(x, y) ∈ R2/ − 2x + y = 3} determine su grafica,

dominio y rango.

13. Sea la relacion R = {(x, y) ∈ R2/y =√

x − 4 } determine su grafica,

dominio y rango.

14. Se tiene las siguientes relaciones:

a) R = {(x, y) ∈ R2/4x + 3y = −1}

b) R = {(x, y) ∈ R2/y =√

x − 4 + 3 }

c) R = {(x, y) ∈ R2/x2 − 3x + 2 = y}

d) R ={

(x, y) ∈ R2/y =x

2x − 4

}

e) R = {(x, y) ∈ R2/2x + 5y = 6}

f ) R = {(x, y) ∈ R2/y =√

5 − 4x }

g) R = {(x, y) ∈ R2/y = x2 − 8x + 15}

h) R ={

(x, y) ∈ R2/y =2x

3x + 4

}

i) R = {(x, y) ∈ R2/x2 − 2x − y = 6}

j) R = {(x, y) ∈ R2/2x2 + 4x + y = 3}

Determine sus graficas, dominios y rangos.

15. Si f(x) = 2x2 − 1 determine el valor de Q =f(2)f(1)−f(0)f(2)

f(−2) − f(−1).

16. Se tienen las funciones f(x) = x − 5 y g(x) = x2 − 1 determine

f [g(−2)] y g[f(−1)].

17. Sea la funcion f(x) = 2x − 3 determine Q =

[

f(3) + f(4)

f(5)

]f(1)

.

18. Si f(x) = 3x+3 determine el valor de A = f(x + 2) − f(x).

19. Si f(x) = 42x−42x+3

63(4x)determine el valor de a para que f(a) = −4.

20. Sean f(x) = x2 − 3 y g(x) = x + 4 determine el valor de P =

f(−1) + 6g(−8).

21. Si f(x) = x2 − 9 y g(x) = x + 6 determine el valor de h(−2), si se

tiene que h(x) = g(x)f(x)

.

22. Se tiene la funcion f(x) = x2 + 2x − 1 determine f(−2), f(a −1), f(−3).

23. Sea la funcion:

f(x) =

3x − 2 x ≤ −2

x + 1 −2 < x < 4

x2 x ≥ 4

Determine los valores de f(−7), f(−2), f(0), f(4), f(10).

24. Para cada una de las siguientes funciones determine f(−2), f(0), y

f(4).

a) f(x) =2

x − 2

b) f(x) = 3 − 2x

c) f(x) =2x + 1

x − 3

d) f(x) = log(5 − x)


e) f(x) = (x − 1)2 − 1

f ) f(x) = −5

g) f(x) = x3 − 2x − 4

h) f(x) =√

x2 + 3x + 1

25. Indique cuales de las siguientes funciones son algebraicas y cuales son

transcendentes:

a) f(x) = sen(2x)

b) f(x) = x3 − 2x + 4

c) f(x) = ex+2

d) f(x) = sec(x)

e) f(x) = 5x + 3

f ) f(x) =√

x2 + 3

g) f(x) = x−2x2−9

h) f(x) = 2x2 + 3x − 1

i) f(x) = cos(x)

j) f(x) = 5

k) f(x) = log(x)

l) f(x) = cot(x)

26. Realiza la grafica de las siguientes funciones:

a) f(x) = x3 − 2

b) f(x) = 2 +√

x2 − 9

c) f(x) = x2 + x − 1

d) f(x) = x4 − 3x2

e) f(x) =x

|x|

f ) f(x) =√

1 − 3x

g) f(x) = 3 −√

x + 2

h) f(x) = 2x − [2x − 1]

i) f(x) = x4 + x2 − 2

j) f(x) =x + 2

x2 − 9

k) f(x) = 4x3 − 3x2

l) f(x) = e2−x

m) f(x) = ex + 5

n) f(x) = x − |2x − 1|

n) f(x) = |3 − x| + 2

o) f(x) =1 − 2x

x + 2

p) f(x) = 3 − 2x

q) f(x) = ln(x + 3)

r) f(x) = 2 + log(x + 1)

s) f(x) = x−3√x−1

t) f(x) = x4 − 2

u) f(x) = −4

v) f(x) = x4 + 3x

w) f(x) = 1 − x3

x) f(x) = 1 + ex−1

y) f(x) =

1 − x 0 ≤ x < 1

x − 3 1 ≤ x < 2

x + 2 2 ≤ x ≤ 3

2x − 3 3 ≤ x ≤ 4

z) f(x) =

x −5 ≤ x < 1

x2 − 1 1 ≤ x < 4

x2 − 4 4 ≤ x ≤ 5

27. Determine el dominio de las siguientes funciones:

a) f(x) =√

x2 − 4

b) f(x) = x2 + 3x − 1

c) f(x) = x3 − 3x2 + 1

d) f(x) = cos(3x)

e) f(x) = 2x − 3

f ) f(x) = 4 −√

x + 3

g) f(x) = ex+5

h) f(x) = x+1x2−4

i) f(x) =√

x + 4 − 5

j) f(x) =

x −2 ≤ x ≤ 0

2x 0 < x ≤ 2

3 − x 2 < x ≤ 3

k) f(x) =

x 0 ≤ x < 1

x − 1 1 ≤ x < 2

x − 2 2 ≤ x ≤ 3

x − 3 3 ≤ x ≤ 4

l) f(x) = 3 ln(x + 1)

m) f(x) = 5 sen(x)

n) f(x) = 3 cos(x)

n) f(x) = 4 log(x + 1)

o) f(x) = 7 − 2x

p) f(x) = tan(2x)

q) f(x) =1 − 3x

(x + 1)(x2 − 3)

r) f(x) =1

x + 3

s) f(x) = x3 − 1

t) f(x) = |2x + 3| + 1

u) f(x) = 3 − |x − 1|

v) f(x) = [3x − 1]

w) f(x) = −3x2 + 1

x) f(x) = 2 −√

3x − 4

y) f(x) = x + [x + 1]

z) f(x) = x4 − 4x2

28. Determine el rango de las siguientes funciones:

a) f(x) = 2x −√

x − 5

b) f(x) = x2 − x − 1

c) f(x) = x4 − 2x2 − 3

d) f(x) = cos(2x)

e) f(x) = x +2x − 3

x + 2

f ) f(x) = 2 + e3x

g) f(x) =3x − 2

x2 − 16

h) f(x) = 5 −√

3x + 4

i) f(x) =

x − 2 −2 ≤ x ≤ 0

x 0 < x ≤ 2

3 − x 2 < x ≤ 3

j) f(x) =

x 0 ≤ x < 1

x − 1 1 ≤ x < 2

x − 2 2 ≤ x ≤ 3

x − 3 3 ≤ x ≤ 4

k) f(x) = 3 − 2 ln(x + 1)

l) f(x) = 3 sen(4x)

m) f(x) = 1 − cos(x)

n) f(x) = 5 + log(2x + 3)

n) f(x) = 1 − 3x

o) f(x) = tan(x − 1)

p) f(x) =3 − x

(x − 2)(x2 − 3)

q) f(x) =3

x + 1

r) f(x) = x3 − 8

s) f(x) = |2x − 5| + 3

t) f(x) = 5 + |3x + 1|

u) f(x) = [x − 3]

v) f(x) = x3 − 3x2 + 1

w) f(x) = 5 +√

x2 − 2

x) f(x) = 3x + [x + 1]

y) f(x) = 3x4 − 4x2

29. Se tiene la siguiente funcion f(x) = k − x2 determine sus graficas

cuando k = −3, −2, 0, 2, 3 indica que sucede con estas graficas.

30. A partir de la funcion que se indica para cada caso, explica que sucede

con sus graficas segun sean traslaciones, reflexiones, contracciones y

expansiones:

a) De la grafica f(x) = x, si f(x) = x − 2, f(x) = x + 2.

b) De la grafica f(x) = x2, si f(x) = (x − 3)2, f(x) = (x + 2)2.

c) De la grafica f(x) = x3, si f(x) = (x − 2)3, f(x) = (x + 3)3.

d) De la grafica f(x) =√

x, si f(x) =√

x + 2, f(x) =√

x − 4.

e) De la grafica f(x) =1

x, si f(x) =

1

x − 3, f(x) =

1

x + 2.

f ) De la grafica f(x) =1

x2, si f(x) =

1

(x − 3)2, f(x) =

1

(x + 4)2.


g) De la grafica f(x) = 2x, si f(x) = 2x−3, f(x) = 2x+2.

h) De la grafica f(x) = log x, si f(x) = log x − 2, f(x) = log x + 3.

i) De la grafica f(x) = x, si f(x) = 2x, f(x) =x

3.

j) De la grafica f(x) = x2, si f(x) = 3x2, f(x) = x2

3.

k) De la grafica f(x) = x3, si f(x) = 2x3, f(x) = x3

3.

l) De la grafica f(x) =√

x, si f(x) = 2√

x, f(x) =

√x

4.

m) De la grafica f(x) =1

x, si f(x) =

3

x, f(x) =

1

4x.

n) De la grafica f(x) =1

x2, si f(x) =

3

x2, f(x) =

1

4x2.

n) De la grafica f(x) = 2x, si f(x) = 3(2x), f(x) =2x

3.

o) De la grafica f(x) = log x, si f(x) = 2 log x, f(x) =log x

3.

p) De la grafica f(x) = x2, si f(x) = (3x)2, f(x) =(

x3

)2.

q) De la grafica f(x) = x3, si f(x) = (2x)3, f(x) =(

x3

)3.

r) De la grafica f(x) =√

x, si f(x) =√

2x, f(x) =√

x

4.

s) De la grafica f(x) =1

x, si f(x) =

1

3x, f(x) =

1x4

.

t) De la grafica f(x) =1

x2, si f(x) =

1

(3x)2, f(x) =

1(

x4

)2 .

u) De la grafica f(x) = 2x, si f(x) = 22x, f(x) = 2x3 .

v) De la grafica f(x) = log x, si f(x) = log 2x, f(x) = logx

3.

31. Determine la grafica de la funcion y explica sus transformaciones indi-

cadas, para cada caso que se presenta:

a) f(x) = x2, f(x) = (x − 3)2 + 2, f(x) = (x + 3)2 − 2

b) f(x) = x2, f(x) = −x2 + 2, f(x) = (−x)2


c) f(x) = x3, f(x) = x3 − 1, f(x) = x3 + 1

d) f(x) = sen(x), f(x) = sen(x + 2), f(x) = sen(x − 2)

e) f(x) =√

x, f(x) =√

2 − x, f(x) =√

x + 2 − 1

f ) f(x) = x2 + x, f(x) = x2 + x − 4, f(x) = x2 + x + 4

g) f(x) = sen(x), f(x) = sen(x − 3) + 2, f(x) = sen(x − 3) − 2

h) f(x) = cos(x), f(x) = cos(x + 2), f(x) = cos(x − 2)

i) f(x) = cos(x), f(x) = cos(x − 3) + 2, f(x) = cos(x − 3) − 2

32. Se define las funciones f(x) y g(x), en cada uno de los siguientes casos

determine: (f + g)(x), (f − g)(x), (f · g)(x) y(

f

g

)

(x).

a) f(x) =√

x − 1, g(x) =√

x + 4

b) f(x) = x + 2, g(x) = 3x − 7

c) f(x) = x − 5, g(x) = x2 + 4

d) f(x) =x + 1

2x − 3, g(x) =

2

x

e) f(x) =√

x − 1, g(x) = x2 − 1

f ) f(x) = 3x − 1, g(x) = 2x2 − 4x

g) f(x) =√

x + 5, g(x) = x2 − 9

h) f(x) =2x − 6

x − 4, g(x) = 2x − 5

i) f(x) =x − 3

2, g(x) =

√x

j) f(x) = log(x2 − x), g(x) = x + 1

k) f(x) =1 − 2x

3, g(x) =

x

x − 1

l) f(x) = sen(2x), g(x) = 2x2 + 1

m) f(x) = e2x−1 − 2, g(x) = ln(x + 2)

n) f(x) =x2 + 1

x2, g(x) =

√x2 + x

n) f(x) = x2 − 3x + 2, g(x) = x − 2


o) f(x) = x2 − 3, g(x) =x2 − 1

x + 1

p) f(x) = −x3 − 1, g(x) = log(x + 3)

q) f(x) = cos(x + 2) − x, g(x) = x − 2

r) f(x) = 3 cos x − 4, g(x) = 2 sen x

s) f(x) = ex−4, g(x) = ex+5

t) f(x) = log(x2 − 1) − 4x − 2, g(x) = x2 + 1

u) f(x) = x + 2, g(x) = [x + 2] − 3

v) f(x) = |x| − 2x + 1, g(x) =2

x − 1

w) f(x) = 2 − [x − 4] , g(x) = 4

x) f(x) = |5 − x| , g(x) = x2 − 7

y) f(x) = 2x, g(x) = 3 − 2 |1 − 2x|

z) f(x) =|2x + 3|

4, g(x) = |x − 1|

33. Se define las funciones f(x) y g(x), en cada uno de los siguientes casos

determine: (f ◦ g)(x) y (g ◦ f)(x).

a) f(x) = x + 1, g(x) =1

x2 − 4

b) f(x) =1

√

x(x − 1), g(x) =

x2

x2 + 1

c) f(x) = 7x + 2, g(x) = ln(x + 3) + x

d) f(x) =√

x − 2, g(x) = x3

e) f(x) = 3√

x+1, g(x) = x − 4

f ) f(x) = e2x+5, g(x) = cot(1 − x)

g) f(x) = sen(ex − 3), g(x) = x + 3

h) f(x) = tan(x − 1), g(x) =1

x

i) f(x) = x2 + x + 1, g(x) = x + 2

j) f(x) = x2, g(x) = 2x + 1

k) f(x) =√

x + 1, g(x) = x4 − 1

l) f(x) = 2x−4, g(x) = ln x + 1

m) f(x) = |1 − x| , g(x) = −2x + 1

n) f(x) = cos(2 − 3x), g(x) = ex

n) f(x) = log(3x + 1), g(x) = 7x + 3

o) f(x) =2

x + 4, g(x) = x − 5

p) f(x) = x2 − 9, g(x) =√

x − 1 + 4

q) f(x) = x3 − 1, g(x) = 2 − x

r) f(x) =√

5x − 2, g(x) = x2

s) f(x) =1

x + 1, g(x) =

2x − 1

x + 3

34. Clasifica cuales de las siguientes funciones son inyectivas, sobreyectivas

y biyectivas:

a) f(x) =√

x − 4

b) f(x) = x2 + 3x − 2

c) f(x) = x3

d) f(x) = cos(x)

e) f(x) = −2x

f ) f(x) = x + 5

g) f(x) = 2x3 − 1

h) f(x) =√

2x − 3

i) f(x) = x3 + 2x − 3

j) f(x) = ex+2

k) f(x) = 3x2 − 2x

l) f(x) =

−x x ≤ 0

−x2 x > 0

m) f(x) =

2x − 1 x ≤ −1

4x2 1 < x ≤ 0

x + 4 x > 0

n) f(x) =

2x + 8 x ≤ −3−x2

+ 92

−3 < x ≤ 1

x + 6 x > 1

n) f(x) =

x + 2 x ≤ 0

3 0 < x < 4

(x − 4)2 x ≥ 4

o) f(x) =

−√

9 − x2 −3 ≤ x < 0

3x 0 ≤ x ≤ 4


p) f(x) = ln(x + 1)

q) f(x) = 2x + 3 sen x

r) f(x) = (x − 5)3

s) f(x) = x35

t) f(x) = 3x

u) f(x) =x − 1

x + 2

v) f(x) =√

x+1x−1

35. Sea la funcion f(x) = 3x − 5, determine su inversa, el dominio y rango

de su inversa.

36. Se tiene la funcion f(x) = 102x, entonces determine su inversa.

37. Se tiene la funcion f(x) =√

4x+15x−1

, entonces determine su inversa, el

dominio y rango de su inversa.

38. Determine las inversas, el dominio y rango de su inversa de las siguientes

funciones:

a) f(x) = x2 − 2

b) f(x) =√

6x − 5

c) f(x) =√

x−42x+1

d) f(x) = e3x+2

e) f(x) =1

1 + log(x)

f ) f(x) = 3x

g) f(x) = cos(x + 2)

h) f(x) = ex−1x+3

i) f(x) =20x + 5

2x − 3

j) f(x) =√

4−3x3−x

k) f(x) = ln(x − 3)

l) f(x) = ln(

x+3x+6

)

m) f(x) =1 − ex

1 + ex

n) f(x) =log(x + 3)

4

n) f(x) =ln(x − 2)

ln(x − 2) − 5

o) f(x) = 5x3 − 6

p) f(x) =2x − 1

x + 4

q) f(x) = 9(x − 4)5

r) f(x) =x

2+ 7

s) f(x) = 3√

x − 3

t) f(x) = 3√

2x − 5

u) f(x) = ln(x + 3)

v) f(x) = 2x3 − 1

w) f(x) =ex

1 − ex

x) f(x) = 1 − 2

x2


y) f(x) = 9(x − 3)5z) f(x) =

3x + 2

x − 3

39. Determine las graficas de las funciones del ejercicio 38.

40. Se tienen las siguientes funciones, determine el intervalo o intervalos

donde la funcion es inyectiva.

a) f(x) = x2 − 4x + 4

b) f(x) = sen(x − 3)

c) f(x) = cos(x + 2)

d) f(x) = cot(2x + 1

e) f(x) = 3x − x3

f ) f(x) =x − 5

x − 3

g) f(x) = tan(4x − 1)

h) f(x) =3x + 2

x + 5

i) f(x) = x +2

x

j) f(x) =4x + 1

2 − x

k) f(x) = 1 − |4 − x|

l) f(x) =x4

10+

x3

10− 3x2

5

m) f(x) = (1 − 2x)(x + 2)(x − 3)

n) f(x) = −8x3 + 4x3 − 9x + 3

n) f(x) = 4x5 + 10x4 − 3x3 + x2

o) f(x) = −x2 + x − 6

p) f(x) = 1 + x + x2 + x3

q) f(x) =2x − 2

x(x − 2)

r) f(x) = 3x4 − 4x3 + 1

s) f(x) = x3 − 4x2

t) f(x) = x4 + 2x3

u) f(x) = x(x2 − 4)

v) f(x) = −x(x2 − 1)

w) f(x) = −x + 2x2

x) f(x) = x5 − 9x3

y) f(x) = −2x3 − x2 + x

z) f(x) = x6 − 2x3 + 1

41. Determine las graficas de las funciones del ejercicio 40.

Capıtulo 4

FUNCIONES

TRIGONOMETRICAS

4.1. Medida de Angulos

En trigonometrıa, los angulos se interpretan como rotaciones de segmentos

de recta, es decir un segmento OA que gira en el plano alrededor del punto O

hasta una posicion dada por el segmento OB. Se obtiene el angulo AOB cuyo

vertice es O. Se dice que el segmento OA es el lado inicial y el segmento

OB es el lado terminal del angulo.

b B

b

Ob

A

El segmento OA puede girar en el sentido en que giran las manecillas del

reloj o en sentido contrario. La rotacion en cualquiera de los dos sentidos

no tiene restricciones y puede suceder que el segmento OA de varias vueltas

completas antes de llegar a la posicion de OB. Igualmente puede suceder que

197

198 4.1. Medida de Angulos

para dos angulos diferentes sus lados iniciales coincidan y sus lados finales

tambien coincidan.

Ejemplo 4.1. En el plano cartesiano, la posicion canonica de un angulo

es aquella en que el vertice coincide con el origen O y el lado inicial coincide

con el semieje positivo de las x.


O A

Observese que el angulo es positivo si la rotacion se hace en el sentido

opuesto en que giran las manecillas del reloj y el angulo es negativo si el

sentido de la rotacion es el de las manecillas.

Ejemplo 4.2. Un angulo central de un cırculo es un angulo que coincide

con el centro del cırculo. Si θ es un angulo central de lados OA y OB, como

lo muestra la figura, se dice que θ subtiende el arco AB.

O A

B

θ

Cap. 4: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 199

Observacion 4.1. Los angulos se miden en grados y el angulo que en po-

sicion canonica se obtiene mediante una vuelta completa (caso en el cual el

lado inicial y el lado final coinciden), mide 360◦. Pero tambien los angulos se

miden en radianes que es la forma como conviene y muchas veces se requieren

en calculo. La medida en radianes de un angulo θ es la longitud del arco que

subtiende θ en el cırculo de radio 1 o cırculo unitario, cuando θ es un angulo

central. Un radian es la medida de un angulo central θ que subtiende un

arco de longitud 1. (Observese que, en este caso, la longitud del arco es igual

a la longitud del radio).

Si θ es el angulo central de 360◦ la longitud del arco que subtiende θ es la

longitud de la circunferencia, es decir 2π radianes. Ası, 360◦ corresponden

a 2π radianes y, en consecuencia 180◦

π≈ 57◦57′44, 8′′ corresponden a un

radian y 1◦ corresponde a π180

≈ 0,01745 radianes.

Ahora bien, si un angulo mide θ radianes y es un angulo central en un cırculo

de radio r, entonces la longitud l del arco que subtiende es l = rθ. Esta

igualdad resulta de la proporcion l2πr

= θ2π

.


Si un angulo mide 30◦ entonces mide 30 × π180

= π6

radianes.


= 2π9

radianes.


= π4

radianes.


= π2

radianes.

Ejemplo 4.4. Si un cırculo tiene 20 cm de radio entonces, determine la

longitud del arco circular que subtiende un angulo de π15

radianes.

Tenemos: θ = π15

radianes y r = 20 cm, entonces la longitud del arco es:

l = rθ

= 20(

π

15

)

=4π

3cm

Ejemplo 4.5. Determine la longitud del arco que subtiende un angulo cen-

tral de 72◦ de un cırculo que tiene 30 cm de radio.

200 4.2. Funciones Trigonometricas

Tenemos: θ = 72◦ y r = 30 cm, entonces la longitud del arco es:

l = rθ(

π

180

)

= 30 (72◦)(

π

180

)

= 12π cm

Ejemplo 4.6. En un cırculo de 3 metros de radio, determine el angulo central

subtendido por un angulo de 1 m.

Tenemos: θ =?, r = 3 m y l = 1 m, entonces:

θ =l

r=

1

3rad

4.2. Funciones Trigonometricas

En el plano cartesiano sean C la circunferencia de radio 1 y A el punto de

coordenadas (1, 0). Sea, ademas, x un numero real no negativo. Existe uno y

solo un punto P (a, b) tal que la longitud del arco AP, medido positivamente

a partir de A, es x (radianes). Si x ≥ 2π, se debe hacer mas de un giro

completo al trazar el arco. De manera analoga se tiene si x es un numero

real negativo, existe uno y solo un punto P (a, b), tal que la longitud del arco

AP , medido negativamente a partir de A, es x.

O A(1, 0)

P (a, b)

x

Ası a cada numero real x se asocia el unico punto P (a, b) y se definen las


funciones trigonometricas:

Funcion seno : sen x = b

Funcion coseno : cos x = a

Funcion tangente : tan x =b

asi a 6= 0

Funcion cotangente : cot x =a

bsi b 6= 0

Funcion secante : sec x =1

asi a 6= 0

Funcion cosecante : csc x =1

bsi b 6= 0

Las funciones trigonometricas de un angulo toman valores positivos o ne-

gativos, dependiendo del cuadrante en el cual se encuentre el lado final del

angulo. El siguiente cuadro resume ese comportamiento.

CUADRANTE

FUNCION I II II IV

Seno + + - -

Coseno + - - +

Tangente + - + -

Cotangente + - + -

Secante + - - +

Cosecante + + - -

4.2.1. Propiedades de las funciones trigonometricas

De las definiciones se deducen las siguientes propiedades:

1. Si −1 ≤ sen x ≤ 1, es decir |sen x| ≤ 1

2. Si −1 ≤ cos x ≤ 1, es decir |cos x| ≤ 1

3. tan x = sen xcos x

, si cos x 6= 0 y cot x = cos xsen x

, si sen x 6= 0

4. Identidades recıprocas:


cot x =1

tan x, si tan x 6= 0

sec x =1

cos x, si cos x 6= 0

csc x =1

sen x, si sen x 6= 0

5. Identidades pitagoricas:

sen2 x + cos2 x = 1

tan2 x + 1 = sec2 x

cot2 x + 1 = csc2 x

6. Identidades de paridad:

cos (−x) = cos x sen (−x) = − sen x

cot (−x) = − cot x tan (−x) = − tan x

csc (−x) = − csc x sec (−x) = sec x

7. Si k ∈ Z, se tiene:

sen (x + 2πk) = sen x cos (x + 2πk) = cos x

tan (x + 2πk) = tan x cot (x + 2πk) = cotx

sec (x + 2πk) = sec x csc (x + 2πk) = csc x

8. Tenemos:

sen (x ± π) = − sen x cos (x ± π) = − cos x

tan (x ± π) = tan x cot (x ± π) = cot x

sec (x ± π) = − sec x csc (x ± π) = − csc x

9. Identidades de cofuncion:

sen(

x +π

2

)

= cos x = − sen(

x − π

2

)

cos(

x +π

2

)

= − sen x = − cos(

x − π

2

)

tan(

x +π

2

)

= − cot x = tan(

x − π

2

)

csc(

x +π

2

)

= sec x = − csc(

x − π

2

)

sec(

x +π

2

)

= − csc x = − sec(

x − π

2

)

cot(

x +π

2

)

= − tan x = cot(

x − π

2

)

Observese que de la propiedad (7) de identidades permite reducir el

estudio de las funciones trigonometricas de x al caso −2π ≤ x ≤ 2π;

de la propiedad (6), permite reducirlo a 0 ≤ x ≤ 2π; de la propiedad

(8), a 0 ≤ x ≤ π y de la propiedad (9), a 0 ≤ x ≤ π2.

10. Los valores de las funciones trigonometricas para valores notables de

x, con 0 ≤ x ≤ π2, son los que aparecen en el siguiente cuadro (aunque

los casos x = π3

y x = π6

no se deducen de inmediato).

x 0 π6

π4

π3

π2

sen x 0 12

√2

2

√3

21

cos x 1√

32

√2

212

0

tan x 0√

33

1√

3 ∗

∗ La funcion tangente no esta definida para x = π2.

Ejemplo 4.7. Determine las funciones trigonometricas para x = 2π3

.

Como x = π6

+ π2

tenemos:

sen 2π3

= cos π6

=√

32

cos 2π3

= − sen π6

= −12

tan 2π3

= − cot π6

= −√

3 cot 2π3

= − tan π6

= −√

33

sec 2π3

= − csc π6

= −2 csc 2π3

= sec π6

= 2√

33

Ejemplo 4.8. Sea x tal que tan x = −3 y π2

< x < π. Determine las

imagenes de x por las diferentes funciones trigonometricas.

Tenemos:

cot x = −13

cos2 x =sen2 x

tan2 x=

1 − cos2 x

9

Entonces:

10 cos2 x = 1

donde

|cos x| =1√10

=

√10

10

La condicion π2

< x < π implica que cos x < 0.

En consecuencia:

cos x = −√

10

10

sen x = tan x cos x = −3

(

−√

10

10

)

=3√

10

10

sec x =1

−√

1010

= −√

10

csc x =1

3√

1010

=

√10

3

Otras igualdades se deducen utilizando las anteriores. Entre ellas estan las

formulas para calcular las funciones trigonometricas de una suma de numeros

reales en terminos de las imagenes de los sumandos. Esas formulas estan

dadas en el siguiente:

Teorema 4.1. Sean x e y numeros reales entonces:

1. cos (x + y) = cos x cos y − sen x sen y

2. cos(x − y) = cos x cos y + sen x sen y

3. sen (x + y) = sen x cos y + cos x sen y

4. sen (x − y) = sen x cos y − cos x sen y


5. tan (x + y) =tan x + tan y

1 − tan x tan y

6. tan (x − y) =tan x − tan y

1 + tan x tan y

Demostracion. En efecto; consideremos:

O A

P

Q

R

xy

−y

1. Si d (P, A) y d (Q, R) denotan la distancia del punto P al punto

A y la distancia del punto Q al punto R respectivamente, entonces:

d (P, A) = d (Q, R)

Esto implica:

(cos (x + y) − 1)2 + sen2 (x + y) = (cos x − cos y)2 + (sen x + sen y)2

2 − 2 cos (x + y) = 2 − 2 cos x cos y + 2 sen x sen y

cos (x + y) = cos x cos y − sen x sen y

2. Tenemos:

cos (x − y) = cos (x + (−y))

= cos x cos (−y) − sen x sen (−y)

cos (x − y) = cos x cos y + sen x sen y


3. Se tiene:

sen (x + y) = cos(

x + y − π

2

)

= cos(

x +(

y − π

2

))

= cos x cos(

y − π

2

)

− sen x sen(

y − π

2

)

= cos x sen y − sen x (− cos y)

= cos x sen y + sen x cos y

sen (x + y) = sen x cos y + cos x sen y

4. Se tiene:

sen (x − y) = sen (x + (−y))

= sen x cos (−y) + cos x sen (−y)

sen (x − y) = sen x cos y − cos x sen y

5. Tenemos:

tan (x + y) =sen (x + y)

cos (x + y)=

sen x cos y + cos x sen y

cos x cos y + sen x sen y

=

sen x cos y+cos x sen y

cos x cos y

cos x cos y−sen x sen y

cos x cos y

=

sen x cos y

cos x cos y+ cos x sen y

cos x cos ycos x cos y

cos x cos y− sen x sen y

cos x cos y

tan (x + y) =tan x + tan y

1 − tan x tan y

6. Tenemos:

tan (x − y) = tan (x + (−y))

=tan x + tan (−y)

1 − tan x tan (−y)

tan (x − y) =tan x − tan y

1 + tan x tan y

�


Ejemplo 4.9. Si 7π12

= π3

+ π4, entonces determine cos 7π

12, sen 7π

12y tan 7π

12.

Se tiene:

cos7π

12= cos

(π

3+

π

4

)

= cosπ

3cos

π

4− sen

π

3sen

π

4

=1

2

√2

2−

√3

2

√2

2=

√2 −

√6

4

sen7π

12= sen

(π

3+

π

4

)

= senπ

3cos

π

4+ cos

π

3sen

π

4

=

√3

2

√2

2+

1

2

√2

2=

√6 +

√2

4

tan7π

6=

√2 +

√6√

2 −√

6=

√2 +

√6√

2 −√

6.

√2 +

√6√

2 +√

6

=

(√2 +

√6)2

−4= −2 −

√3

Ejemplo 4.10. Sea f (x) = sen x y sea h ∈ R. Entonces:

f (x + h) − f (x)

h=

sen (x + h) − sen x

h

=sen x cos h + cos x sen h − sen x

h

=sen x (cos h − 1) + cos x sen h

h

= sen x

(

cos h − 1

h

)

+ cos x

(

sen h

h

)

Observacion 4.2. Usando las formulas anteriores podemos expresar las fun-

ciones del angulo doble 2x, en terminos de las funciones de x. Para hacerlo,

basta tomar y = x.

Corolario 4.1. Para todo numero real x, se tiene:

1. cos 2x = cos2 x − sen2 x

2. sen 2x = 2 sen x cos x

3. tan 2x =2 tan x

1 − tan2 x

A su vez estas formulas permiten obtener las funciones del angulo medio x2

mediante el siguiente:

Corolario 4.2. Para todo numero real x,se tiene:

1. cos2 x2

=1 + cos x

2

2. sen2 x2

=1 − cos x

2

3. tan2 x2

=1 − cos x

1 + cos x

Ejemplo 4.11. Sea x tal que π < x < 3π2

y sen x = −35. Determine las

funciones del angulo doble.

Como cos x < 0, entonces:

cos x = −√

1 − sen2 x = −√

1 −(

−35

)2= −4

5

Entonces:

sen 2x = 2 sen x cos x = 2(

−3

5

)(

−4

5

)

=24

25

cos 2x = cos2 x − sen2 x =(

−4

5

)2

−(

−3

5

)2

=7

25

tan 2x =24

7

Ejemplo 4.12. Supongamos que sec x = 32

y 3π2

< x < 2π. Determine las

funciones del angulo medio x2.

Tenemos, en primer lugar que dividir por 2 en la inecuacion:

3π4

< x2

< π

Entonces:

sen x2

> 0 y cos x2

< 0

Ahora bien:

sec x = 32

implica cos x = 23

De sen2 x2

= 1−cos x2

y cos2 x2

= 1+cos x2

deducimos:

senx

2=

√

1 − 23

2=

√6

6

cosx

2= −

√

1 + 23

2= −

√

5

6= −

√30

6

tanx

2=

√6

6

−√

56

= −√

5

5

cotx

2= −

√5

cscx

2=

√6

Ejemplo 4.13. Usando las funciones del angulo doble es posible reempla-

zar ciertas potencias de funciones trigonometricas por otras expresiones con

exponentes menores.

Ası, tenemos:

cos2 x sen2 x = (cos x sen x)2

=(

sen 2x

2

)2

=sen2 2x

4

=1−cos 4x

2

4

=1 − cos 4x

8

210 4.3. Graficas de Funciones Trigonometricas

4.3. Graficas de Funciones Trigonometricas

De acuerdo con las identidades de paridad, las funciones seno, tangente,

cotangente y cosecante son impares, entonces sus graficas son simetricas con

respecto al origen O. Las funciones coseno y secante son pares y sus graficas

son simetricas con respecto al eje Y .

Se tiene que, para cada numero real x que pertenece al dominio de una

funcion trigonometrica, tambien el numero real x + 2π pertenece al dominio

y las imagenes de esos dos valores son iguales. Esto nos dice que toda funcion

trigonometrica es periodica, de acuerdo con la siguiente:

Definicion 4.1. Una funcion f es una funcion periodica si existe un

numero positivo p tal que para todo x ∈ Df , el dominio de f , x + p ∈ Df

y f (x + p) = f (x). Si f es periodica, el perıodo de f es el menor entre los

reales positivos p que cumplen las condiciones anteriores. Si f tiene periodo

p, un perıodo completo de f es la grafica de f en cualquier intervalo de

longitud p.

Las funciones seno y coseno y, en consecuencia, las funciones cosecante y

secante tienen perıodo 2π. En cuanto a la funcion tangente y cotangente, su

perıodo es π.

Las graficas se analizaron en el capıtulo anterior.

4.3.1. Funciones senoidales

La salida y la puesta del sol son comportamientos periodicos. Tambien son

periodicos el comportamiento de las ondas y el movimiento de una masa sus-

pendida de un resorte comprimido, que se deja vibrar libremente de forma

vertical. Todos esos comportamientos se modelan por funciones trigonometri-

cas. Especıficamente, el movimiento armonico simple esta descrito por una

ecuacion de la forma y = a sen wt o y = a cos wt.

Observacion 4.3. Analizaremos a continuacion las graficas de ecuaciones

de estos tipos, en su forma mas general:

y = a sen (bx + c) y y = a cos (bx + c)

donde a, b y c representan numeros reales. El analisis lo haremos gradual-

mente.

En primer lugar, consideremos las ecuaciones:

y = a sen x o y = a cos x

Multiplicar sen x o cos x por a, si a < 0, produce una reflexion de la grafica

de la funcion trigonometrica en el eje X, y en cualquier caso, a < 0 o a > 0.

Se da compresion o expasion vertical si a 6= ±1.

El mayor valor de y en la grafica es |a|. El valor |a| se define como la amplitud

de la grafica o de la funcion.

Ejemplo 4.14. Determine las amplitudes de las funciones f (x) = 3 sen x,

g (x) = −2 sen x y h (x) = 12

sen x.

Se tienen que las amplitudes son 3, 2 y 12

respectivamente. Las graficas

de estas funciones, comparadas con la grafica de la funcion seno, son las

siguientes:

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

π 2π−π−2π

sen x

f (x) = 3 sen x

g (x) = −2 sen x

h (x) = 12

sen x

Observacion 4.4. Consideremos:

f (x) = sen bx o f (x) = cos bx

Para b > 0, se tiene un ciclo completo de f cuando bx recorre los reales

de 0 a 2π. Pero si 0 ≤ bx ≤ 2π entonces 0 ≤ x ≤ 2πb

.

Cuando b < 0, entonces −b > 0 y se tiene un ciclo completo cuando −bx

recorre los reales, de 0 a 2π. Si 0 ≤ −bx ≤ 2π entonces 0 ≤ x ≤ 2π−b

.

Ası, se obtiene un ciclo completo de f cuando x toma todos los valores de 0

a 2π|b| . Entonces el perıodo es 2π

|b| .

Ejemplo 4.15. Determine los perıodos de las funciones f (x) = sen 4x y

g (x) = cos(

−x2

)

.

Tenemos que los periodos son 2π4

= π2

y 2π

|− 12 | = 4π respectivamente. La

grafica de f , comparada con la grafica de la funcion seno es:

1

2

−1

−2

π 2π−π−2π

sen xf (x) = sen 4x

y la grafica de g, comparada con la grafica de la funcion coseno, es la siguiente:

1

2

−1

−2

π 2π−π−2π

cos x

g (x) = cos(

−x2

)


Ejemplo 4.16. Sean las funciones g (x) = cos 2x y h (x) = sen 5x, analice

la funcion f (x) = g (x) + h (x).

Se tiene que los perıodos de g (x) y h (x) son π y 2π5

respectivamente. Ası,

para cada x, se tiene:

g (x) = g (x + kπ) y h (x) = h(

x + l 2π5

)

donde k y l son enteros.

El menor entre los multiplos de π que tambien es multiplo de 2π5

es 2π.

Entonces:

f (x) = g (x) + h (x)

Se tiene que:

f (x + 2π) = g (x + 2π) + h (x + 2π) = g (x) + h (x) = f (x)

y el perıodo de f(x) es 2π.

Observe que las graficas de las funciones g(x) y h(x) son:

1

2

−1

−2

π 2π−π−2π

g (x) = cos 2xh (x) = sen 5x

La grafica de la funcion f(x) es:


1

2

−1

−2

π 2π−π−2π

f (x) = cos 2x + sen 5x

Ejemplo 4.17. Sean las funciones g (x) = cos 3x y h (x) = sen πx, analice

la funcion f (x) = g (x) + h (x).

Tenemos que los perıodos de g (x) y h (x) son 2π3

y 2ππ

= 2.

Se tiene que para el valor de g (x) se repite para x + k 2π3

y el valor h (x)

se repite para x + 2l.

Donde se tiene que k 2π3

es irracional para todo k y 2l es racional para

todo l, entonces no existen multiplos comunes de 2π3

y la funcion:

f (x) = g (x) + h (x) no es periodica

Observe que las graficas de las funciones g(x) y h(x) son:

1

2

−1

−2

π 2π−π−2π

g (x) = cos 3x

h (x) = sen πx

La grafica de la funcion f(x) = cos 3x + sen πx es:

1

2

−1

−2

π 2π−π−2π

f (x) = cos 3x + sen πx

Observacion 4.5. Si f (x) = sen (bx + c) o f (x) = cos (bx + c) con b

6= 0 y c 6= 0, se produce un ciclo completo de la funcion cuando bx + c

recorre los valores de 0 a 2π.

Basta considerar el caso b > 0, pues si b < 0, entonces:

sen (bx + c) = sen b(

x + cb

)

= − sen(

−b(

x + cb

))

, donde −b > 0

y

cos (bx + c) = cos(

b(

x + cb

))

cos(

−b(

x + cb

))

, donde −b > 0

Si:

b > 0 y 0 ≤ bx + c ≤ 2π

Entonces:

−c ≤ bx ≤ 2π − c

Donde:

−c

b≤ x ≤ 2π − c

b

El numero − cb

es el desplazamiento de fase.

Como sen (bx + c) = sen b(

x + cb

)

y cos (bx + c) = cos b(

x + cb

)

, la

grafica de f se obtiene de la grafica de y = sen bx o y = cos bx, mediante

un desplazamiento hacia la derecha si cb

< 0, es decir, si el corrimiento de

la fase es positivo y un desplazamiento hacia la izquierda si el corrimiento de

fase es negativo.


Ejemplo 4.18. Analicemos la funcion g (x) = 3 cos(

12x − π

4

)

.

Tenemos que g (x) = 3 cos 12

(

x − π2

)

, la amplitud de la funcion g(x) es 3,

el perıodo es 2π12

= 4π y el desplazamiento de fase es π2.

La grafica de la funcion g(x), comparada con la grafica de la funcion cos x

es:

1

2

3

−1

−2

−3

π 2π−π−2π

cos x

g (x) = 3 cos 12(x − π

2)

Ejemplo 4.19. Sea la funcion f (x) = −√

2 sen (πx + 4π) − 1. Determine

la amplitud, el perıodo y el desplazamiento de fase.

Sea:

h (x) = −√

2 sen (πx + 4π)

= −√

2 sen π (x + 4)

Se tiene que la amplitud de h(x) es∣∣∣−

√2∣∣∣ =

√2, el perıodo es 2π

π= 2 y

el desplazamiento de fase de es −4.

La grafica de f(x) se obtiene de la grafica de h(x) mediante un desplaza-

miento vertical.

En consecuencia, el perıodo y el desplazamiento de fase de f(x) son los

mismos de h(x).



1

2

3

−1

−2

−3

π 2π−π−2π

h (x) = −√

2 sen π(x + 4)

f (x) = −√

2 sen(πx + 4π) − 1

Ejemplo 4.20. Analice la grafica de la funcion g (x) = cos πx cos 3πx.

Se tiene que la grafica de la funcion g (x) es de tipo senoidal y se encuentra

entre las graficas de y = cos πx y y = − cos πx.


1

−1

π 2π−π−2π

g (x) = cos πx cos 3πx

Ejemplo 4.21. Analice la grafica de la funcion f (x) = sen xx

= 1x

sen x.

Tenemos que la funcion f (x) tiene amplitud limitada por la funcion h (x) =1x.



1

−1

π 2π−π−2π

f (x) =sen x

x

Ejemplo 4.22. Analice la grafica de la funcion f (x) = sen(

x + π2

)

.

Tenemos que la grafica de la funcion f (x) coincide con la grafica de la

funcion g (x) = cos x puesto que:

f (x) = g (x)


1

−1

π 2π−π−2π

f (x) = sen(

x + π2

)

Observacion 4.6. Sea f (x) = a tan (bx + c) con a y b numeros reales

diferentes de 0, como se realizo el analisis para las funciones seno y coseno,

deducimos que el perıodo de la funcion f(x) es π|b| y su desplazamiento

de fase es − cb. En este caso no tiene sentido hablar de la amplitud, pero sı

se pueden determinar las ecuaciones de las asıntotas verticales que posee la

grafica. Estas ecuaciones se obtienen a partir de resolver la igualdad:

bx + c =π

2

x =π − 2c

2b


Las ecuaciones de las demas asıntotas son de la forma x = π−2c2b

+ kp donde

p es el perıodo y k ∈ Z, es decir, x = π−2c2b

+ k π|b| .

Analogamente, si f (x) = a cot (bx + c), con a y b no cero, el perıodo de

la funcion f(x) es π|b| , su desplazamiento de fase es − c

by no se define su

amplitud. La ecuacion de una de sus asıntotas se obtiene a partir de:

bx + c = 0

x = −c

b

Cada recta que tiene ecuacion x = − cb

+ k π|b| con k ∈ Z es tambien una

asıntota.

Finalmente, si f (x) = a sec (bx + c) con a 6= 0 y b 6= 0, o f (x) =

a csc (bx + c) con a 6= 0 y b 6= 0, entonces el perıodo de la funcion f (x) es2π|b| , su desplazamiento de fase es − c

by no se define amplitud. En el primer

caso, las asıntotas son las mismas de la grafica de y = a tan (bx + c). En el

segundo caso son las de la grafica de y = a cot (bx + c).

Ejemplo 4.23. Analice la grafica de la funcion f (x) = 2 csc(

πx − π3

)

.

Tenemos que el perıodo de la funcion f (x) es 2ππ

= 2, el desplazamiento de

la fase esπ3

π= 1

3y las asıntotas son las rectas cuyas ecuaciones estan dadas

por:

x =1

3+ k, k ∈ Z

Entonces, la grafica de la funcion f(x) se puede obtener a partir de la grafica

de la funcion cosecante.

Como:

f (x) =2

sen(

πx − π3

)

La grafica de la funcion f(x) tambien se puede obtener a partir de la grafica

de la funcion seno trazando primero la grafica de la funcion:

g (x) =sen

(

πx − π3

)

2

y luego, tomando para cada punto (x, y), con y 6= 0 de esta ultima, el


punto(

x, 1y

)

.


1

2

3

−1

−2

−3

π2

π 3π2

2π−π2

−π−3π2

−2π

x

y

Ejemplo 4.24. Analice la grafica de la funcion f (x) = −14

tan(

12x + π

3

)

.

Tenemos que el perıodo de la funcion f (x) es π

| 12 | = 2π y su desplazamiento

de fase es −π312

= −2π3

.

Las asıntotas tienen ecuaciones:

x =π

3+ 2πk, k ∈ Z

Sea g (x) = tan(

12x + π

3

)

, entonces:

f (x) = (−1)[1

4g (x)

]

Luego la grafica de la funcion f(x) se puede obtener transformando la

grafica de la funcion g(x) mediante una contraccion vertical de factor 14

y

una reflexion sobre el eje X.



1

2

3

−1

−2

−3

π2

π 3π2

2π−π2

−π−3π2

−2π

x

y

Ejemplo 4.25. Analice la grafica de la funcion f (x) = sec(

2x + π2

)

.

Tenemos que el perıodo de la funcion f (x) es 2π2

= π, el desplazamiento de

fase es −π2

2= π

4y las asıntotas son las rectas cuyas ecuaciones estan dadas

por:

x = kπ

2, k ∈ Z


1

2

3

−1

−2

−3

π2

π 3π2

2π−π2

−π−3π2

−2π

x

y

222 4.4. Funciones Trigonometricas de Angulos

4.4. Funciones Trigonometricas de Angulos

Las funciones trigonometricas se definen para numeros reales como lo venimos

viendo. Pero tambien, desde otro punto de vista, las funciones trigonometri-

cas se definen como funciones de angulos: la medida de un angulo θ es un

numero real x y, si f denota una funcion trigonometrica, f (θ) se define

como f (x). Ası, aunque las funciones obtenidas son las mismas, algunas

aplicaciones requieren de una forma distinta.

Las funciones trigonometricas surgieron como funciones de angulos expresa-

das como relaciones entre los lados de un triangulo rectangulo.

Relacionamos los diferentes enfoques, considerando un triangulo rectangulo

que posee un angulo agudo θ de medida x, situado en el plano cartesiano

de tal manera que θ coincide con un angulo central en posicion canonica,

de acuerdo con la siguiente figura:

O C

B

θ

x

Los segmentos OB, OC y CB son, respectivamente, la hipotenusa, el

cateto adyacente a θ y el cateto opuesto a θ. Por definicion y por

semejanza de triangulos tenemos que:


sen θ = sen x =sen x

1=

CB

OB=

cateto opuesto

hipotenusa

cos θ = cos x =cos x

1=

OC

OB=

cateto adyacente

hipotenusa

tan θ = tan x =sen x

cos x=

CB

OC=

cateto opuesto

cateto adyacente

cot θ = cot x =cos x

sen x=

OC

CB=

cateto adyacente

cateto opuesto

sec θ = sec x =1

cos x=

OB

OC=

hipotenusa

cateto adyacente

csc θ = csc x =1

sen x=

OB

CB=

hipotenusa

cateto opuesto

Las funciones trigonometricas de θ tambien se llaman razones trigo-

nometricas.

Ejemplo 4.26. La hipotenusa de un triangulo rectangulo mide 5 unidades

y los catetos 3 y 4 unidades.

Si θ es el angulo opuesto al cateto de medida 4, determine las funciones

trigonometricas con respecto a θ.

Tenemos:

θ

45

3Entonces:

sen θ =4

5cos θ =

3

5

tan θ =4

3cot θ =

3

4

sec θ =5

3csc θ =

5

4


Ejemplo 4.27. Una diagonal en un cuadrado de lado l, determina dos

triangulos rectangulos isosceles.

Tenemos que:

θ

ld

l

Los angulos θ son iguales y miden 45◦ o π4

radianes y los catetos tienen

longitud l.

La longitud de la diagonal es:

d =√

l2 + l2 =√

2 l

y las funciones trigonometricas de π4

son:

senπ

4=

l√2l

=1√2

=

√2

2cos

π

4=

√2

2

tanπ

4=

l

l= 1 cot

π

4= 1

secπ

4=

√2 csc

π

4=

√2l

l=

√2

Ejemplo 4.28. Consideremos el triangulo equilatero ABC de lado l, es decir:

A C

B

D

l

l2


Se tiene que:

La bisectriz del angulo en B, la recta BD, es perpendicular al lado AC.

La longitud de BD, es decir, la altura del triangulo, es:√

l2 −(

l2

)2=

√3l

2

Ası, las funciones trigonometricas de π3

son:

senπ

3=

√3l2

l=

√3

2cos

π

3=

l2

l=

1

2

tanπ

3=

√3 cot

π

3=

l2√3l2

=

√3

3

secπ

3=

ll2

= 2 cscπ

3=

l√

3l2

=2√3

=2√

3

3

Ejemplo 4.29. Consideremos un triangulo dos de cuyos lados tienen longi-

tudes l y k. Sea θ el angulo comprendido entre esos lados. Tenemos:

θ

h l

k

Donde:

La altura h esta dada por:

h = l sen θ

y el area del triangulo es:

A =1

2kl sen θ


Observacion 4.7. Como en el ultimo ejemplo, las funciones trigonometricas

pueden ser usadas para estudiar o resolver triangulos arbitrarios (no necesa-

riamente rectangulos). En este sentido, tenemos la ley de los senos o teorema

del seno y la ley de los cosenos o teorema del coseno.

Teorema 4.2. (Ley de los senos)

Sean A, B y C los angulos de un triangulo. Si las longitudes de los lados

opuestos a estos angulos son a, b y c respectivamente entonces:

sen A

a=

sen B

b=

sen C

c

Demostracion. Tenemos:

A

a

B

b

C

c

El area del triangulo es igual a:

1

2bc sen A =

1

2ac sen B =

1

2ab sen C

Entonces, multiplicado por 2abc

tenemos:

sen A

a=

sen B

b=

sen C

c

�

Ejemplo 4.30. Si en el triangulo ABC, se tiene a = 75, b = 100 y A

mide 30◦ es decir π6

radianes, entonces determine el sen B y sen Cc

.

Tenemos:

sen A

a=

sen π6

75=

12

75=

1

150


Entonces:

sen B = bsen A

a=

b

150=

100

150=

2

3sen C

c=

1

150

Teorema 4.3. (Ley de los cosenos)

Sean A, B y C los angulos de un triangulo. Si las longitudes de los lados

opuestos de estos angulos son a, b y c respectivamente entonces:

a2 = b2 + c2 − 2bc cos A

b2 = a2 + c2 − 2ac cos B

c2 = a2 + b2 − 2ab cos C

Demostracion. Basta demostrar la primera igualdad.

Para hacerlo, consideramos el triangulo en el plano cartesiano de tal manera

que A sea un angulo central en posicion canonica.

Es decir:

A B

C

b a

c

Las coordenadas del vertice C son (b cos A, b sen A). Al calcular la distancia


de B a C, d (B, C), obtenemos:

d (B, C)2 = a2

= (c − b cos A)2 + (b sen A)2

Entonces:

a2 = c2 − 2bc cos A + b2 cos2 A + b2sen2A

a2 = c2 − 2bc cos A + b2(

cos2 A + sen2A)

a2 = b2 + c2 − 2bc cos A

�

Ejemplo 4.31. Sean a, b y c las longitudes de los lados de un triangulo.

Si A es el angulo opuesto al lado de longitud a y sea T el area del triangulo,

entonces determine su area.

Tenemos:

A

a

B

b

C

c

Entonces:

T 2 =(

1

2bc sen A

)2

=b2c2

4

(

1 − cos2 A)

=b2c2

4(1 − cos A) (1 + cos A)

Expresando cos A en terminos de a, b y c, de acuerdo con el teorema del


coseno, se tiene:

T 2 =b2c2

4

(

1 −(

b2 + c2 − a2

2bc

))(

1 +b2 + c2 − a2

2bc

)

=b2c2

4

(

2bc − b2 − c2 + a2

2bc

)(

2bc + b2 + c2 − a2

2bc

)

=1

16

(

a2 − (b − c)2) (

(b + c)2 − a2)

=1

16(a − (b − c)) (a + (b − c)) ((b + c) − a) ((b + c) + a)

=

(

a − b + c

2

)(

a + b − c

2

)(

b + c − a

2

)(

a + b + c

2

)

Donde:

a − b + c

2=

a + b + c

2− b

a + b − c

2=

a + b + c

2− c

b + c − a

2=

a + b + c

2− a

Entonces, si:

s =a + b + c

2

Luego, si s es la mitad del perımetro del triangulo, el area de este es:

T =√

s (s − a) (s − b) (s − c)

Esta es la formula de Heron.

4.5. Identidades y Ecuaciones Trigonometri-

cas

Una expresion que contiene funciones trigonometricas es una expresion tri-

gonometrica. Por ejemplo:

x3 + x sen x,cos (x2 + x)

x,

tan (x2 + x)

x + sen2 x

230 4.5. Identidades y Ecuaciones Trigonometricas

son expresiones trigonometricas.

Una ecuacion trigonometrica es una ecuacion que contiene expresiones

trigonometricas. El estudio de una ecuacion de este tipo se orienta a de-

terminar si es una identidad, es decir si la igualdad es valida para todo

numero en que se encuentre definida o, si no lo es, a determinar los valores

que la satisfacen. En el primer caso hablamos de verificar una identidad. En

el segundo de resolver una ecuacion.

4.5.1. Identidades Trigonometricas

Para verificar que una ecuacion es una identidad transformamos uno de

los dos miembros hasta obtener el otro o transformamos los dos miembros

hasta llevarlos a la misma expresion. Para hacerlo usamos las identidades

fundamentales. Ilustramos a traves de los siguientes ejemplos:

Ejemplo 4.32. Verificar en cada caso la identidad dada.

1.sec2 x − 1

sec2 x= sen2 x

En efecto:

sec2 x − 1

sec2 x=

sec2 x

sec2 x− 1

sec2 x

= 1 −(

1

sec x

)2

= 1 − cos2 x

sec2 x − 1

sec2 x= sen2 x

2.1 + cos t

sen t+

sen t

1 + cos t= 2 csc t


En efecto:

1 + cos t

sen t+

sen t

1 + cos t=

(1 + cos t)2 + sen2 t

sen t (1 + cos t)

=1 + 2 cos t + cos2 t + sen2 t

sen t (1 + cos t)

=2 (1 + cos t)

sen t (1 + cos t)

=2

sen t1 + cos t

sen t+

sen t

1 + cos t= 2 csc t

3. tan4 v − sec4 v = 1 − 2 sec2 v

En efecto:

tan4 v − sec4 v =(

tan2 v)2 − sec4 v

=(

sec2 v − 1)2 − sec4 v

= sec4v − 2 sec2 v + 1 − sec4 v

tan4 v − sec4 v = 1 − 2 sec2 v

4. (sec u + tan u)2 =1 + sen u

1 − sen u

Se tiene que:

(sec u + tan u)2 = sec2 u + 2 sec u tan u + tan2 u

=(

1

cos u

)2

+ 21

cos u

sen u

cos u+(

sen u

cos u

)2

=1 + 2 sen u + sen2 u

cos2 u


Ademas:

1 + sen u

1 − sen u=

1 + sen u

1 − sen u.1 + sen u

1 + sen u

=(1 + sen u)2

1 − sen2 u

=1 + 2 sen u + sen2 u

cos2 u

Por lo tanto:

(sec u + tan u)2 =1 + sen u

1 − sen u

Ejemplo 4.33. Verificar si: a cos bx + d sen bx =√

a2 + d2 cos (bx − c) ,

donde a, b, d ∈ R, a > 0 y tan c = da

con c ∈(

−π2

, π2

)

En efecto: Como d = a tan c, entonces:

a cos bx + d sen bx = a cos bx + a tan c sen bx

= a cos bx + a(

sen c

cos c

)

sen bx

= a cos bx(

cos c

cos c

)

+ asen c

cos csen bx

=(

a

cos c

)

(cos bx cos c + sen c sen bx)

= a sec c cos (bx − c)

Ademas:

√a2 + d2 cos (bx − c) =

√

a2 + (a tan c)2 cos (bx − c)

=√

a2 (1 + tan2 c) cos (bx − c)

=√

a2 sec2 c cos (bx − c)

= |a sec c| cos (bx − c)

= a sec c cos (bx − c)

La ultima igualdad se debe a que a > 0 y en(

−π2, π

2

)

la funcion secante

es positiva. Ası:

a cos bx + d sen bx =√

a2 + d2 cos (bx − c)


Esto nos dice que la suma de las dos funciones senoidales a cos bx y d sen bx

se puede expresar como una funcion senoidal.

En particular:√

3 cos 2x + sen 2x = 2 cos(

2x − π6

)

Ejemplo 4.34. Una expresion como√

a2 − x2,√

a2 + x2 o√

x2 − a2 con

a > 0 se puede transformar en una expresion que no contiene radicales,

mediante una adecuada sustitucion trigonometrica.

Consideremos por ejemplo la expresion:√

a2 − x2.

Esta expresion solo esta definida en x (es decir, representa un numero real)

si a2 − x2 ≥ 0. Ası tenemos:

x2 ≤ a2, de donde(

xa

)2 ≤ 1

Entonces:∣∣∣∣

x

a

∣∣∣∣ ≤ 1, es decir, −1 ≤ x

a≤ 1

Lo anterior nos dice que xa

se halla en el rango de la funcion seno. Sea

θ ∈[

−π2, π

2

]

tal que sen θ = xa. Con esta sustitucion, la expresion inicial se

transforma en:

√a2 − x2 =

√

a2 − (a sen θ)2

=√

a2 (1 − sen2 θ)

=√

a2 cos2 θ

= |a cos θ|= a cos θ

La ultima igualdad se debe a que cos θ ≥ 0 en el intervalo dado.

Las siguientes igualdades no son identidades.

Ejemplo 4.35. Se tiene cos x =√

1 − sen2 x.

La igualdad no es cierta, consideremos por ejemplo: x = 3π4

.

En efecto:

cos x = −√

22

Mientras que:

√1 − sen2 x =

√

1 −(√

22

)2=

√2

2

Ejemplo 4.36. Sea (sen t + cos t)2 = sen2 t + cos2 t.

La igualdad no es cierta, consideremos por ejemplo, t = π6, puesto que:

(sen t + cos t)2 =(

12

+√

32

)2=(

1+√

32

)2= 4+2

√3

4= 2+

√3

2

Mientras que:

sen2 t + cos2 t = 1

Ejemplo 4.37. Sea cot (tan θ) = θ.

La igualdad no es cierta, consideremos por ejemplo, θ = π3, tenemos:

cot (tan θ) = cot(

tan π3

)

= cot(√

3)

< 0 < π3

Ejemplo 4.38. Sea cos 2θ = 2 cos θ.

Se tiene que la igualdad no es cierta, consideremos por ejemplo, θ = π4

entonces:

cos 2θ = cos 2π4

= cos π2

= 0

Mientras que:

2 cos θ = 2 cos π4

= 2√

22

=√

2

4.5.2. Ecuaciones Trigonometricas

Resolver una ecuacion trigonometrica significa hallar todos los valores de la

variable que satisfacen la ecuacion o hallar todos los valores que pertenecen

a un intervalo dado, que la satisfacen.

Para hacerlo usamos las diferentes identidades. Ilustramos con algunos ejem-

plos:


Ejemplo 4.39. Determine la solucion para sen θ = 12.

Tenemos, que las soluciones son todos los valores de la forma: θ = π6

+ 2πk

o θ = 5π6

+ 2πk, k ∈ Z

Ejemplo 4.40. Determine la solucion para 4 cos2 x − 1 = 0 en el intervalo

[0, 2π).

Tenemos:

4 cos2 x − 1 = 0 ⇐⇒ cos2 x = 14

⇐⇒ |cos x| = 12

Ası:

cos x = ±12

y las soluciones son π3, 2π

3, 4π

3, 5π

3

Ejemplo 4.41. Determine la solucion para 2 sen3 x+sen2 x−2 sen x−1 = 0

en [0, 2π).

Haciendo:

y = sen x

La ecuacion se transforma en:

2y3 + y2 − 2y − 1 = 0

Que es una ecuacion con coeficientes enteros. Entre sus posibles raıces racio-

nales se hallan 1, −1 y −12

que, efectivamente son raıces.

Ası:

2y3 + y2 − 2y − 1 = 2 (y + 1)(

y + 12

)

(y − 1) = 0

Entonces:

sen x = −1, sen x = −12

o sen x = 1

En consecuencia:

x =π

2, x = −3π

2, x =

7π

6o x =

11π

6

Ejemplo 4.42. Determine la solucion para 2 cos 2θ −√

3 = 0.

Tenemos:


cos 2θ =

√3

2

Entonces:

2θ =π

6+ 2πk o 2θ =

11π

6+ 2πk, k ∈ Z

Luego:

θ =π

12+ kπ o θ =

11π

12+ kπ, k ∈ Z

Ejemplo 4.43. Determine la solucion para tan2 x sen x = sen x.

Tenemos:

sen x (tan2 x − 1) = 0

Ası:

sen x = 0 o tan2 x = 1

Es decir:

sen x = 0, tan x = 1 o tan x = −1

Entonces:

x = kπ o x =π

4+ k

π

2, k ∈ Z

Ejemplo 4.44. Determine la solucion de sen t + cos t = 1 en el intervalo[

0, π2

]

.

Tenemos,que en ese intervalo, cos t ≥ 0 y la ecuacion es equivalente a:

sen t +√

1 − sen2 t = 1√

1 − sen2 t = 1 − sen t

1 − sen2 t = (1 − sen t)2

1 − sen2 t = 1 − 2 sen t + sen2 t

2 sen2 t − 2 sen t = 0

2 sen t (sen t − 1) = 0

Entonces:

sen t = 0 o sen t = 1


En consecuencia:

t = 0, o t =π

2

4.6. Inversas de las Funciones Trigonometri-

cas

Ninguna de las funciones trigonometricas es invertible pues ninguna es inyec-

tiva, pero cada una de ellas admite restricciones inyectivas, entre las cuales

existe una canonica.

Consideramos a continuacion cada funcion trigonometrica, su restriccion in-

yectiva canonica y la inversa de esta.

4.6.1. Funcion seno inverso

Sea f (x) = sen x. El dominio de f , que es R, se restringe canonicamente

al intervalo[

−π2, π

2

]

en el cual la funcion es inyectiva (ver criterio de la

recta horizontal). La imagen de este intervalo por f , es decir el rango de la

funcion, es el intervalo [−1, 1] .

Sı x ∈ [−1, 1], ¿que elemento del intervalo[

−π2, π

2

]

debe ser f−1 (x)?

Puesto que:

x = f (y) = sen y

Para algun y en este segundo intervalo:

f−1 (f (y)) = y es decir, f−1 (x) = y,

Podemos decir que:

f−1 (x) debe ser la medida y del arco cuyo seno es precisamente x.

Ası tenemos la:

Definicion 4.2. La funcion seno inverso, que se denota por sen−1, es la

funcion de dominio [−1, 1] y rango[

−π2, π

2

]

dada por:

238 4.6. Inversas de las Funciones Trigonometricas

sen−1 x = y ⇐⇒ sen y = x

La funcion seno inverso tambien se llama funcion arco seno y se denota

por arc sen.

De acuerdo con las propiedades de las funciones inversas tenemos:

sen (sen−1 x) = sen (arc sen x) = x para x ∈ [−1, 1]

sen−1 (sen x) = arc sen (sen x) = x para x ∈[

−π2, π

2

]

La grafica de y = sen−1 x es la siguiente:

1 2 3 4−1−2−3−4

π

π2

−π2

−π

Ejemplo 4.45. Si y = − sen−1 x entonces, se tiene que la funcion sen−1

es impar.

Tenemos:

sen y = sen(

− sen−1 x)

= − sen(

sen−1 x)

= −x

= sen(

sen−1 (−x))


Entonces, aplicando sen−1 al primer y al ultimo terminos de estas igualdades,

tenemos:

− sen−1 x = sen−1 (−x)

Es decir, la funcion sen−1 es impar.

Ejemplo 4.46. Determine el valor de z = sen−1(

cos π6

)

.

Tenemos:

Como z pertenece al rango de la funcion sen−1, entonces z ∈[

−π2, π

2

]

y

sen z = sen[

sen−1(

cos π6

)]

= cos π6

=

√3

2

Entonces:

z = sen−1(√

32

)

=π

3

Ejemplo 4.47. Determine el valor de w = tan (sen−1 x).

Haciendo:

y = sen−1 x

Tenemos que:

w = tan y =sen y

cos y

Ahora bien:

sen y = sen (sen−1 x) = x y cos2 y + sen2 y = 1

Entonces:

cos y = ±√

1 − sen2 y

Pero y ∈[

−π2, π

2

]

y en este intervalo la funcion coseno es positiva.

En consecuencia:

cos y =√

1 − sen2 y =√

1 − x2 y w =x√

1 − x2


4.6.2. Funcion coseno inverso

Sea f (x) = cos x. El dominio de f , es R, que se restringe canonicamente

al intervalo [0, π].

Definicion 4.3. La funcion coseno inverso, que se denota por cos−1, es

la funcion de dominio [−1, 1] y rango [0, π], definida por:

cos−1 x = y ⇐⇒ cos y = x

La funcion coseno inverso se llama tambien funcion arco coseno y se de-

nota por arc cos .


cos (cos−1 x) = cos (arc cos x) = x para todo x ∈ [−1, 1]

cos−1 (cos x) = arc cos (cos x) = x para todo x ∈ [0, π]

La grafica de y = cos−1 x es:

1 2 3 4−1−2−3−4

π

π2

−π2

Ejemplo 4.48. Determine el valor de z = cot(

cos−1(

−12

))

.

Tenemos:

cos−1(

−12

)

=2π

3

Entonces:


z = cot 2π3

= −√

3

3

Ejemplo 4.49. Se tiene que para todo x ∈ [−1, 1], sen (cos−1 x) ≥ 0.

Se tiene que cos−1 x ∈ [0, π] y en este intervalo la funcion seno es positiva.

Por lo tanto:

sen(

cos−1 x)

≥ 0

Ejemplo 4.50. Para todo x ∈ [−1, 1], entonces:

arc cos (−x) = π− arc cos x

En efecto:

cos (arc cos (−x)) = −x

De acuerdo con la formula del coseno de una diferencia de angulos, se tiene:

cos (π − arc cos x) = cos π cos (arc cos x) + sen π sen (arc cos x) = −x

Ası:

cos (arc cos −x) = cos (π − arc cos x)

Ahora bien, la restricion de la funcion coseno es inyectiva, es decir, dos ele-

mentos de su dominio solo pueden tener imagenes iguales si los elementos

son iguales.

En consecuencia:

arc cos (−x) = π− arc cos x

Ejemplo 4.51. Sea sen−1 x + cos−1 x = π2, con −1 ≤ x ≤ 1 es una

identidad.

En efecto si:

u = sen−1 x y v = cos−1 x

Entonces:

sen (u + v) = sen u cos v + sen v cos u = xx +√

1 − x2√

1 − x2 = 1

Ahora bien:

−π

2≤ u < π y 0 ≤ v ≤ π

Entonces:

−π

2≤ u + v ≤ 3π

2

En el intervalo[

−π2, 3π

2

]

, la funcion seno toma el valor 1 solo en π2.

Ası:

u + v =π

2

Esto es:

sen−1 x + cos−1 x = π2

4.6.3. Funcion tangente inversa

Sea f (x) = tan x. El dominio de f , que es R −{

(2k + 1) π2/k ∈ Z

}

, se

restringe canonicamente al intervalo abierto(

−π2, π

2

)

.

Definicion 4.4. La funcion tangente inversa, que se denota por tan−1,

es la funcion de dominio R y rango(

−π2, π

2

)

dada por:

tan−1 x = y ⇐⇒ tan y = x

La funcion tangente inversa se llama tambien funcion arco tangente y se

denota por arctan.


tan(

tan−1 x)

= tan (arctan x) = x para x ∈ R

tan−1 (tan x) = arctan (tan x) = x para x ∈(

−π

2,π

2

)

La grafica de y = tan−1 x es la siguiente:


1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

π

π2

−π2

−π

Ejemplo 4.52. Determine tan−1 (−1) y tan−1√

3.

Tenemos que:

tan−1 (−1) = −π

4

y

tan−1√

3 =π

3pues tan

π

3=

√3

Ejemplo 4.53. Determine el valor de z = sen(

sen−1(

34

)

+ tan−1 (1))

.

Haciendo:

u = sen−1(

34

)

y v = tan−1 (1)

Entonces:

z = sen (u + v)

= sen u cos v + sen v cos u

Tenemos:

sen u = sen(

sen−1(

34

))

=3

4


y, como:

v = tan−1 (1) =π

4

Entonces:

cos v = sen v =

√2

2

Ademas:

u ∈[

−π2

, π2

]

y cos u =√

1 − sen2 u =

√

1 −(

34

)2=

√7

4

En consecuencia:

z =3

4

(√2

2

)

+

√7

4

(√2

2

)

=

(

3 +√

7)√

2

8

Ejemplo 4.54. Determine la solucion de la ecuacion:

2 tan2 x + 9 tan x + 3 = 0

Tenemos, que es una ecuacion cuadratica en tan x. Las soluciones de esta

ecuacion en el intervalo[

−π2

, π2

]

satisfacen:

tan x =−9 ±

√

92 − 4(2)(3)

2 · 2=

−9 ±√

57

4

Entonces las soluciones son:

x = tan−1(

−9+√

574

)

y x = tan−1(

−9−√

574

)

Ejemplo 4.55. Comparemos tan−1 x y sen−1 xcos−1 x

.

Tenemos:

En primer lugar, la funcion tan−1 x esta definida para todo real x mientras

que: sen−1 xcos−1 x

esta definida si sen−1 x y cos−1 x estan definidos y cos−1 x 6= 0,

es decir, si x ∈ [−1, 1).

Ademas, si, por ejemplo, x =√

22

entonces:

sen−1 x

cos−1 x=

π4π4

= 1 mientras que tan−1(√

22

)

6= 1

En efecto, si suponemos que:

tan−1√

22

= 1 entonces

√2

2= tan 1

Pero:

1 >π

4≈ 0,7854 y tan 1 > tan

π

4= 1 >

√2

2

Es decir, la suposicion es contradictoria.

Ası, en general:

tan−1 x 6= sen−1x

cos−1 x

Ejemplo 4.56. Se tiene que: tan−1 x 6= 1tan x

.

Consideremos, por ejemplo x = π4

Entonces:1

tan π4

= 1

Sin embargo, si tuvieramos:

tan−1(

π

4

)

= 1

Entonces, aplicando la funcion tan tendrıamos π4

= tan 1.

Pero π4

< 1 < tan 1, lo cual es contradictorio.

Ejemplo 4.57. Verifiquemos la siguiente identidad:

sen−1 x = tan−1(

x√1−x2

)

Las expresiones estan definidas para x ∈ (−1, 1) y tanto sen−1 x como

tan−1(

x√1−x2

)

pertenecen al intervalo(

− π2,

π2,

)

en el cual la funcion seno

es inyectiva, es decir, las imagenes de dos elementos son iguales solo si los

elementos son iguales.

Ası que para demostrar la identidad basta con aplicar esta funcion a las dos

expresiones y ver que las imagenes son iguales.

Se tiene:

sen (sen−1 x) = x

Ademas:

y = tan−1(

x√1−x2

)


Entonces:

tan y =x√

1 − x2

y

sen y = tan y cos y =tan y

sec y=

tan y√

1 + tan2 y=

x√1−x2

√

1 + x2

1−x2

= x

En consecuencia:

sen−1 x = tan−1(

x√1−x2

)

4.6.4. Funcion cotangente inversa

Sea f (x) = cot x. El dominio de f , es R − {kπ/k ∈ Z}, se restringe

canonicamente al intervalo abierto (0, π) en el cual la funcion es inyectiva.

Definicion 4.5. La funcion cotangente inversa, que se denota por cot−1,

es la funcion de dominio R y rango (0, π) definida por:

cot−1 x = y ⇐⇒ cot y = x

La funcion cotangente inversa se llama tambien funcion arco cotangente

y se denota por arccot.


cot(

cot−1 x)

= cot (arccotx) = x para x ∈ R

cot−1 (cot x) = arccot (cot x) = x para x ∈ (0, π)

La grafica de y = cot−1 x es:

4.6.5. Funcion secante inversa

La funcion secante inversa se restringe respectivamente al intervalo[

0, π2

)

∪(

π2, π]

. El rango es (−∞, −1] ∪ [1, ∞).


Definicion 4.6. La funcion secante inversa, que se denota por sec−1, es

la funcion de dominio (−∞, −1] ∪ [1, ∞) y rango[

0, π2

)

∪(

π2, π]

, definida

por:

sec−1 x = y ⇐⇒ sec y = x

La funcion secante inversa se llama tambien funcion arco secante y se

denota por arcsec.


sec(

sec−1 x)

= sec (arcsecx) = x para x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, ∞)

sec−1 (sec x) = arcsec (sec x) = x para x ∈[

0,π

2

)

∪(

π

2, π]

La grafica de y = sec−1 x es la siguiente:

4.6.6. Funcion cosecante inversa

La funcion cosecante inversa se restringe respectivamente al intervalos[

−π2, 0)

∪(

0, π2

]

. El rango es (−∞, −1] ∪ [1, ∞).


Definicion 4.7. La funcion cosecante inversa, que se denota por csc−1,

es la funcion de dominio (−∞, −1] ∪ [1, ∞) y rango[

−π2, 0)

∪(

0, π2

]

y se

define por:

csc−1 x = y ⇐⇒ csc y = x

La funcion cosecante inversa se llama tambien funcion arco cosecante y se

denota por arccsc.


csc(

csc−1 x)

= csc (arccscx) = x para x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, ∞)

csc−1 (csc x) = arccsc (csc x) = x para x ∈[

−π

2, 0)

∪(

0,π

2

]

La grafica de y = csc−1 x es:

Ejemplo 4.58. Sea f (x) = 13

csc(

4x − π3

)

+ 6, entonces determine f−1(x).

Se tiene:

−π

2≤ 4x − π

3≤ π

2⇐⇒ − π

24≤ x ≤ 5π

24


4x − π

3= 0 ⇐⇒ x =

π

12

Si el dominio de f se restringe al intervalo[

− π24

, π12

)

∪(

π12

, 5π24

]

, entonces

se obtiene una funcion inyectiva cuya inversa satisface la condicion:

f (f−1 (x)) = x

Es decir:

1

3csc

(

4f−1 (x) − π

3

)

+ 6 = x

En consecuencia:

csc(

4f−1 (x) − π

3

)

= 3 (x − 6)

4f−1 (x) − π

3= csc−1 [3 (x − 6)]

f−1 (x) =1

4csc−1 [3 (x − 6)] +

π

12

250 4.7. Forma Trigonometrica de los Complejos

4.7. Forma Trigonometrica de los Complejos

4.7.1. Numero Complejo

Sea z = a + bi un numero complejo. En el plano cartesiano, z se identifica

con el punto P (a, b). Entonces la distancia de P al origen O es r =√

a2 + b2.

O

P (a, b)

θ

El segmento OP es el lado terminal de un angulo θ en posicion canonica tal

que:

tan θ =b

aa = r cos θ b = r sen θ

Entonces:

a + bi = r cos θ + ir cos θ sen θ

a + bi = r (cos θ + i sen θ)

Definicion 4.8. El modulo del complejo z = a+bi es la distancia del punto

P al origen O y se denota por |z|. El argumento de z es el angulo

θ. La expresion de z como r (cos θ + i sen θ) es la forma trigonometrica

del complejo.

Observese que el argumento no es unico pues si θ es argumento de z,

θ + 2πk, k ∈ Z tambien lo es.

Ejemplo 4.59. Consideremos los siguientes ejemplos:

Sea z = a ∈ R. Si a > 0, el modulo de z es |z| = a y el argumento

de z es θ = 0.

Ademas se tiene que:

Si a < 0, |z| = |a| = −a y θ = π

Si z = 1 + i entonces:

r = |z| =√

1 + 1 =√

2

tan θ =1

1= 1

Un argumento de z es θ = π4, entonces:

1 + i =√

2(

cos π4

+ i sen π4

)

Sea z = 3 + 4i, tenemos:

|z| =√

32 + 42 =√

25 = 5

Un argumento θ de z que satisface la igualdad:

tan θ =4

3

Consideremos el triangulo rectangulo:

θ

45

3Tenemos que:

cos θ =3

5y sen θ =

4

5

Entonces:


z = 5(

3

5+

4

5i)

Sea 6(

cos π6

+ i sen π6

)

, entonces:

6(

cosπ

6+ i sen

π

6

)

= 6

(√3

2+ i

1

2

)

= 3√

3 + 3i

4.7.1.1. Operaciones

Sean z y w complejos, es decir:

z = r (cos θ + i sen θ)

w = s (cos φ + i sen φ)

sus formas trigonometricas. Entonces:

El producto xw es:

zw = rs (cos θ + i sen θ) (cos φ + i sen φ)

= rs [(cos θ cos φ − sen θ sen φ) + i (sen φ cos θ + cos φ sen θ)]

= rs [cos (θ + φ) + i sen (θ + φ)]

El cociente zw

es:

z

w=

r (cos θ + i sen θ)

s (cos φ + i sen φ)

=r

s(cos θ + i sen θ) (cos φ − i sen φ)

=r

s[(cos θ cos φ + sen θ sen φ) + i (sen θ cos θ − cos θ sen φ)]

=r

s[cos (θ − φ) + i sen (θ − φ)]


Ejemplo 4.60. Sean: z =√

2(

cos π4

+ i sen π4

)

y w = 3(

cos π6

+ i sen π6

)

.

Determine zw y zw

.

Se tiene que:

zw =√

2(

cosπ

4+ i sen

π

4

)

3(

cosπ

6+ i sen

π

6

)

= 3√

2[

cos(

π

4+

π

6

)

+ i sen(

π

4+

π

6

)]

= 3√

2(

cos5π

12+ i sen

5π

12

)

y

z

w=

√2(

cos π4

+ i sen π4

)

3(

cos π6

+ i sen π6

)

=

√2

3

[

cos(

π

4− π

6

)

+ i sen(

π

4− π

6

)]

=

√2

3

(

cosπ

12+ i sen

π

12

)

Observacion 4.8. De acuerdo con la forma del producto, si z = r (cos θ + i sen θ),

entonces:

z2 = zz

= r2 (cos 2θ + i sen 2θ)

z3 = z2z

= r2 (cos 2θ + i sen 2θ) r (cos θ + i sen θ)

= r3 (cos 3θ + i sen 3θ)

En general, si n ∈ Z, n ≥ 0 entonces:

zn = rn (cos nθ + i sen nθ)

Ademas:

z−1 =1

z

=1

r (cos θ + i sen θ)

=1

r[cos (−θ) + i sen (−θ)]

y si m ≥ 1, se tiene:

z−m =(

z−1)m

=(

1

r

)m

[cos (−θ) + i sen (−θ)]m

= r−m [cos m (−θ) + i sen m (−θ)]

= r−m [cos (−m) θ + i sen (−m) θ]

Ası, si n < 0, caso en el cual n = −m para m ≥ 1 entonces:


Con lo anterior hemos demostrado el siguiente teorema:

Teorema 4.4. (Teorema de De Moivre)

Si z = r (cos θ + i sen θ) entonces, para todo entero n, se tiene:


Ejemplo 4.61. Sea z = 1 + i =√

2(

cos π4

+ i sen π4

)

, determine z10.

Tenemos:

z10 =√

210[

cos(10)π

4+ i sen(10)

π

4

]

= 32(

cos5π

2+ i sen

5π

2

)

= 32 (0 + i)

= 32i

4.7.2. Raıces n-esimas

Definicion 4.9. Sean n ≥ 1 y z ∈ C. Una raız n-esima de z es un

complejo w tal que z = wn, es decir, es una raız del polinomio xn − z.

Si z = r (cos θ + i sen θ) y w = s (cos φ + i sen φ), la igualdad:

z = wn

toma la forma:

r (cos θ + i sen θ) = sn (cos nφ + i sen nφ)

Luego para obtener una raız n-esima de z, basta tomar:

s = r1n y φ =

θ

n

Es decir:

w = r1n

(

cos θn

+ i sen θn

)

Ademas, si cos θ = cos nφ y sen θ = sen nφ, tambien:

cos (θ + 2πl) = cos nφ

sen (π + 2πl) = sen nφ, l ∈ Z

Entonces otras raıces de z las obtenemos tomando complejos de la forma:

r1n

[

cos(

θ+2πln

)

+ i sen(

θ+2πln

)]

, l ∈ Z

Ahora bien, si l ≥ n o si l < n, al dividir l por n se obtienen un cociente

q y un residuo k tales que l = nq + k con 0 ≤ k < n, entonces:

θ + 2πl

n=

θ + 2π (nq + k)

n=

θ + 2πnq + 2πk

n=

θ + 2πk

n+ 2πq

cos

(

θ + 2πl

n

)

= cos

(

θ + 2πl

n+ 2πq

)

= cos

(

θ + 2πk

n

)

sen

(

θ + 2πl

n

)

= sen

(

θ + 2πl

n+ 2πq

)

= sen

(

θ + 2πk

n

)

de donde:

r1n

[

cos(

θ+2πln

)

+ i sen(

θ+2πln

)]

= r1n

[

cos θ+2πkn

+ i sen θ+2πkn

]

con

0 ≤ k < n

Ası, las distintas raıces n-esimas de z se encuentran entre los complejos

de esta ultima forma, los cuales son distintos dos a dos.

En efecto, si suponemos que:

r1n

[

cos θ+2πk1

n+ i sen θ+2πk1

n

]

= r1n

[

cos θ+2πk2

n+ i sen θ+2πk2

n

]

con

0 ≤ ki < n

Entonces:

θ + 2πk1

n=

θ + 2πk2

n+ 2πt para algun t ∈ Z

Es decir:

θ + 2πk1

n=

θ + 2πk2 + 2πnt

n

En consecuencia:

k1 = k2 + nt

Pero si t ≥ 1, k1 ≥ k2 + n ≥ n, lo cual es contradictorio, y si t ≤ −1,

k1 ≤ k2 − n < n − n = 0 lo cual tambien es contradictorio. Luego, el unico

valor que puede tomar t es 0 y entonces:

θ + 2πk1

n=

θ + 2πk2

n

Con lo anterior hemos demostrado el siguiente resultado:

Teorema 4.5. Si z = r (cos θ + i sen θ) y n es un entero positivo, entonces

las n raıces n-esimas de z son distintas y estan dadas por:

wk = r1n

[

cos(

θ+2πkn

)

+ i sen(

θ+2πkn

)]

para k = 0, 1, . . . , n − 1

Ejemplo 4.62. Determine las raıces n-esimas de 1.

Se tiene que las raıces n-esimas de 1, son los complejos:

wk = cos 2πkn

+ i sen 2πkn

para k = 0, . . . , n − 1

Los cuales, en el plano cartesiano se identifican con n puntos situados sobre

la circunferencia de radio 1 y determinan n arcos de longitud 2πn

cada

uno.


Esos puntos son los vertices del polıgono regular de n lados y radio 1.

Ejemplo 4.63. Determine las raıces cubicas (n = 3) de la unidad.

Tenemos:

wk = cos(

2πk3

)

+ i sen(

2πk3

)

con k = 0, 1, 2,

Entonces:

w0 = cos 0 + i sen 0 = 1

w1 = cos2π

3+ i sen

2π

3= −1

2+

√3

2i

w2 = cos4π

3+ i sen

4π

3= −1

2−

√3

2i

Observese que sus raıces cuartas son 1, i, −1, −i.

Ejemplo 4.64. Determine las raıces del polınomio x6 + 125.

Tenemos:

Si w es una de ellas, w verifica w6 = −125, es decir w es una raız sexta

de z = −125.

El modulo y el argumento de z son:

|z| = 125 y θ = π

Entonces:

z = −125 = 125 (cos π + i sen π)

Las raıces sextas de z, es decir las raıces del polinomio x6 + 125 son los

complejos:

wk = 12516

(

cos π+2πk6

+ i sen π+2πk6

)

con k = 0, . . . , 5

Explıcitamente, tenemos:


w0 =√

5(

cosπ

6+ i sen

π

6

)

=√

5

(√3

2+

1

2i

)

w1 =√

5(

cosπ

2+ i sen

π

2

)

=√

5i

w2 =√

5(

cos5π

6+ i sen

5π

6

)

=√

5

(

−√

3

2+

1

2i

)

w3 =√

5(

cos7π

6+ i sen

7π

6

)

=√

5

(

−√

3

2− 1

2i

)

w4 =√

5(

cos3π

2+ i sen

3π

2

)

= −√

5i

w5 =√

5(

cos11π

6+ i sen

11π

6

)

=√

5

(√3

2− 1

2i

)

Ejemplo 4.65. Determine las raıces cubicas de 1 + i.

Tenemos:

1 + i =√

2(

cos π4

+ i sen π4

)

Entonces las raıces son:

w0 =3√

2

(

cosπ4

3+ i sen

π4

3

)

=3√

2(

cosπ

12+ i sen

π

12

)

w1 =3√

2

(

cosπ4

+ 2π

3+ i sen

π4

+ 2π

3

)

=3√

2(

cos3π

4+ i sen

3π

4

)

w2 =3√

2

(

cosπ4

+ 4π

3+ i sen

π4

+ 4π

3

)

=3√

2(

cos17π

12+ i sen

17π

12

)

Ejemplo 4.66. Determine las raıces cubicas de −8i = 8(

cos 3π2

+ i sen 3π2

)

.

Tenemos:

wk = 3√

8[

cos(

3π+4πk6

)

+ i sen(

3π+4πk6

)]

con k = 0, 1, 2,

Es decir:

2i, −√

3 − i,√

3 − i



1. Convertir a radianes los siguientes angulos:

a) 30◦

b) 40◦

c) 75◦

d) 110◦

e) 130◦

f ) 150◦

g) 175◦

h) 210◦

2. Se tiene que cos(78◦) = 0,2. Determine:

a) sen(78◦) y tan(78◦)

b) Las razones trigonometricas del angulo de 39◦, aplicando las formu-

las del angulo mitad.

3. Considere que sen(12◦) = 0,2 y sen(37◦) = 0,6. Determine:

a) cos(12◦)

b) tan(12◦)

c) cos(37◦)

d) tan(37◦)

4. Determine las razones trigonometricas del angulo θ en cada triangulo

rectangulo que se presenta:

θ

12

16

20

θ

7

25


θ

818

θ

4

27

5. Determine las medidas de los lados y angulos desconocidos en los triangu-

los rectangulos (recto en A):

a) b = 18 B = 40◦

b) a = 25 b = 5

c) c = 12 B = 65◦

d) a = 35 C = 36◦

e) b = 7 c = 18

f ) c = 15 C = 75◦

6. Se tiene que csc(α) = 135

, determine las otras razones trigonometricas.

7. Sea cot(α) = 815

, determine:

W =sen(α)

3− cos(α)

2(sec(α)+tan(α))

17

8. Se tiene el triangulo rectangulo ABC recto en B, tal que D es punto

medio del lado AB, AD = c, BC = a y CAB = 30◦. Determine DB

en funcion de a y c.

9. Una escalera de 12 metros de longitud se apoya en un muro, formando

un angulo de 60◦. Se tiene que la parte superior de la escalera coinci-

de con la parte superior del muro, determine la altura del muro y la

distancia que existe entre el pie de la escalera y el muro.


A =2 sen(α) − sen(2α)

2 sen(α) + sen(2α)


11. Se tiene que cos(θ) = a, a > 0. Determine:

A =sen2 θ + 3 cos2 θ − 1

tan θ sen θ + cos θ

12. Determine las amplitudes y sus respectivas graficas para las siguientes

funciones:

a) −4 cos x

b) 7 sen x

c) 38

cos x

d) 5 sen x

e) −3 sen x

f ) 6 sen x

g) 43

sen x

h) 3 cos x

i) −2 cos x

j) −6 cos x

k) 52

sen x

l) −32

cos x

m) 2 cos x

n) −4 sen x

13. Para cada una de las funciones del ejercicio (12) determine sus rangos.

14. Determine el perıodo y la grafica de las siguientes funciones:

a) cos(−4x)

b) sen(7x)

c) cos(

3x8

)

d) sen(5x)

e) sen(−3x)

f ) sen(6x)

g) sen(

4x3

)

h) cos(3x)

i) cos(−2x)

j) cos(−6x)

k) sen(

5x2

)

l) cos(

−3x2

)

m) cos(2x)

n) sen(−4x)

15. Determine la amplitud, el perıodo y la grafica para las siguientes fun-

ciones:


a) −35

cos(4x)

b) 4 sen(5x)

c) 5 cos(

3x8

)

d) −4 sen(5x)

e) 38

sen(3x)

f ) 7 sen(

6x7

)

g) 8 sen(

4x3

)

h) 15

cos(3x)

i) −6 cos(

2x5

)

j) 3 cos(−6x)

k) −7 sen(

5x2

)

l) 2 cos(

−3x2

)

m) −37

cos(2x)

n) −8 sen(−4x)

16. Para cada una de las funciones del ejercicio (15) determine sus rangos.

17. Determine el desplazamiento de fase y la grafica para las siguientes

funciones:

a) cos(

4x + 35

)

b) sen(5x − 4)

c) cos(

3x8

− 4)

d) sen(5x + 3)

e) sen(

3x + 38

)

f ) cos(

6x7

− 8)

g) sen(

4x3

+ 3)

h) cos(

3x + 15

)

i) cos(

2x5

− 6)

j) cos(−6x + 5)

k) sen(

5x2

+ 7)

l) cos(

−3x2

− 9)

m) cos(

2x − 37

)

n) sen(−4x − 6)

18. Determine la amplitud, el perıodo, el desplazamiento de fase y la grafica

para las siguientes funciones:

a) 3 cos(

7x + 45

)

b) −43

sen(3x − 7)

c) 7 cos(

3x8

− 4)

d) 257

sen(2x − 3)

e) −8 sen(

3x − 72

)

f ) 56

cos(

2x3

+ 8)

g) 9 sen(

7x3

− 3)

h) 79

cos(

5x − 35

)

i) −3 cos(

4x5

− 8)


j) −65

cos(6x − 4)

k) 27

sen(

5x7

− 9)

l) 14 cos(

3x5

+ 7)

m) −29

cos(

7x − 35

)

n) 15

sen(4x − 6)

n) 4 cos(9x − π)

o) 73

cos(5x + 3π5

)

p) 4 sen(

3x2

− π)

q) −7 cos(

−x3

+ 2π)

19. Determine el perıodo, el desplazamiento de fase, las asıntotas y la grafi-

ca para las siguientes funciones:

a) 4 cot(

7x + 45

)

b) 45

tan(3x − 7)

c) 7 cot(

3x8

− 4)

d) 257

sec(2x − 3)

e) −8 csc(

3x − 72

)

f ) 56

csc(

2x3

+ 8)

g) 9 sec(

7x3

− 3)

h) 79

cot(

5x − 35

)

i) −3 tan(

4x5

− 8)

j) −65

sec(6x − 4)

k) 27

sen(

5x7

− 9)

l) 14 csc(

3x5

+ 7)

m) −29

cot(

7x − 35

)

n) 15

tan(4x − 6)

n) 4 tan(9x − π)

o) 73

csc(5x + 3π5

)

p) 4 sec(

3x2

− π)

q) −7 sec(

−x3

+ 2π)

r) 4 tan(5x − 4)

s) −5 sec(

3x8

+ 3)

t) 6 tan(5x + 2)

u) 38

tan(3x − 12)

20. Se tiene un triangulo tal que α = 60◦, β = 40◦ y b = 4 cm, aplica la

ley de los senos para determinar los lados de dicho triangulo.

21. Un avion vuela de una ciudad A a la ciudad B que esta a una distancia

de 120 km. luego cambia su direccion 40◦ y se dirige a la ciudad C; si

la distancia de la ciudad A a la ciudad C es de 300 km. determine la

distancia de la ciudad B a la ciudad C y que angulo debe girar el avion

para regresar a la ciudad A. Ver grafica.


40◦

A B

C

300

120

x

22. Se tiene un triangulo tal que dos de sus lados miden 3 cm, 2 cm y uno

de sus angulos mide 50◦. Determine el tercer lado y los dos angulos.

23. Determine los angulos de un triangulo de lados a = 3, b = 6 y c = 4

respectivamente.

24. Sobre el margen de un rıo se localizan dos ferreterıas A y B que estan

separadas a una distancia de 800 m. y en la otra margen del rıo se

localizo un sitio C donde se construıa un hotel. Los angulos CAB y

ABC miden 63◦ y 38◦ respectivamente, se desea determinar de que

ferreterıa resulta conveniente comprar los materiales por su cercanıa.

25. Una persona desde el pie de un edificio observa la parte superior de

una torre con un angulo de elevacion de 45◦. Desde la azotea del mis-

mo edificio otra persona observa la cuspide de la torre con un angulo

de depresion de 60◦. El edificio es 20 metros mas alto que la torre.

Determine las alturas de ambos.

26. Demuestre que:

a)(sen θ)3 + sen θ(cos θ)2

sen θ= 1

b) 1 + (tan θ)2 =1

(cos θ)2

c)(sen θ)3 + sen θ(cos θ)2

cos θ= tan θ

d) (sen θ + cos θ)2 + (sen θ − cos θ)2 = 2

e) csc θ sec θ − cos θ

sen θ= tan θ


f )1

1 − cos θ+

1

1 + cos θ= 2 csc2 θ

g)2 cos θ sen θ − cos θ

1 − sen θ + sen2 θ − cos2 θ= cot θ

h) 2 tan θ cos2(

θ2

)

− sen θ = tan θ

i) cos θ cos (θ − λ) + sen θ sen (θ − λ) = cos λ

j)2 sen θ − sen (2θ)

2 sen θ + sen (2θ)= tan2

(θ2

)

27. Determine la solucion para cada una de las siguientes ecuaciones trigo-

nometricas:

a) 2 sen2 x − 1 = 0

b) 2 sen2 x + 3 cos x = 3

c) tan2 x − tan x = 0

d) 2 cos2 x + cos x = 1

e) 2 cos2 x − sen2 x + 1 = 0

f ) 2 cos2 x −√

3 cos x = 0

g) 3 tan2 x −√

3 tan x = 0

h) cos(2x) + 3 sen x − 2 = 0

i) tan(2x) tan x = 1

j) 2 sen x = tan(2x)

k) sen(3x) − sen x = 0

l) sen(2x) − 2 cos2 x = 0

m) sen(3x) − cos(2x) = sen x

n)sen(3x) + sen(5x)

cos x + cos(3x)= 1

n)sen(3x) + sen x

cos(3x) − cos x=

√3

o) cos(5x) + cos x = −2 cos(2x)


p) tan(3x) = tan x

q) sec(4x) − sec(2x) = 2

r)1 − cos x

1 + cos x+ 1 = cos x

s)sen(5x) + sen(3x)

cos x + cos(3x)= 1

28. Determine las graficas de las funciones:

a) f(x) = arc sen(

x−1x

)

b) f(x) = arc cos(2x)

c) f(x) = arc sen(2x − 1)

d) f(x) = arc cos(2x − x2)

e) f(x) = π2

− arctan(x)

f ) f(x) = arc cos(arc sen(x))

g) f(x) = arc cos(x − 1)

h) f(x) = arctan(3x + 2)

i) f(x) = 3arccsc(x − 2)

j) f(x) = 2 − arcsec(x + 3)

k) f(x) = arccot(2x)

l) f(x) = x + 3 arc cos(2x)

m) f(x) = 2x + arc cos(4x)

n) f(x) = x − arc sen(3x − 2)

n) f(x) = x + arc cos(2 − x)

o) f(x) = arc cos(cos(x))

p) f(x) = arc cos(sen(x))

29. Determine las inversas, el dominio y rango de su inversa de las siguientes

funciones:

a) f(x) = arc sen(

x−1x

)

b) f(x) = arc cos(2x)

c) f(x) = arc sen(2x − 1)

d) f(x) = arc cos(2x − x2)

e) f(x) = π2

− arctan(x)

f ) f(x) = arc cos(arc sen(x))

g) f(x) = arc cos(x − 1)

h) f(x) = arctan(3x + 2)

i) f(x) = 3arccsc(x − 2)

j) f(x) = 2 − arcsec(x + 3)

k) f(x) = arccot(2x)

l) f(x) = x + 3 arc cos(2x)

m) f(x) = 2x + arc cos(4x)

n) f(x) = x − arc sen(3x − 2)


n) f(x) = x + arc cos(2 − x)

o) f(x) = arc cos(cos(x))

p) f(x) = arc cos(sen(x))

q) f(x) = x + arc cos(sen(3x −1))

30. Sea la funcion f(x) = arc cos[

ln(

x−1x+2

)]

, determine su inversa, el domi-

nio y rango de su inversa.

31. Sean z = 23

(

cos π4

− i sen π4

)

y w = 3(

cos 5π6

+ i sen 5π6

)

.Determine

zw y zw

.

32. Se tienen z =√

3(

cos π5

+ i sen π5

)

y w = 5(

cos π8

+ i sen π8

)

. Deter-

mine zw y zw

.

33. En cada uno de los siguientes ejercicios, determine zw y zw

:

a) z = 45

(

cos 3π4

+ i sen 3π4

)

y w =23

(

cos 2π7

+ i sen 2π7

)

b) z =√

3(

cos π6

− i sen π6

)

y w =

2(

cos 2π3

+ i sen 2π3

)

c) z = 3(

cos π4

+ i sen π4

)

y w =12

(

cos π6

+ i sen π6

)

d) z =√

6(

cos π3

+ i sen π3

)

y w =√

2(

cos −π4

+ i sen −π4

)

e) z = 10(

cos 7π6

+ i sen 7π6

)

y w =

3(

cos π4

+ i sen π4

)

f ) z = 5(

cos π9

+ i sen π9

)

y w =12

(

cos π3

+ i sen π3

)

g) z = 2(

cos π16

+ i sen π16

)

y w =

4(

cos 3π8

+ i sen 3π8

)

h) z = 4(

cos 4π3

+ i sen 4π3

)

y w =

4(

cos 5π6

+ i sen 5π6

)

i) z = 2(

cos 3π2

+ i sen 3π2

)

y w =

17(

cos π2

+ i sen π2

)

j) z = 2(

cos 3π5

+ i sen 3π5

)

y w =

3 (cos π + i sen π)

34. Aplica el teorema de De Moivre para determine z13 y w6 en:

a) z = 45

(

cos 3π4

+ i sen 3π4

)

b) w = 23

(

cos 2π7

+ i sen 2π7

)

c) z =√

3(

cos π6

− i sen π6

)

d) w = 2(

cos 2π3

+ i sen 2π3

)

e) z = 3(

cos π4

+ i sen π4

)

f ) w = 12

(

cos π6

+ i sen π6

)

g) z =√

6(

cos π3

+ i sen π3

)

h) w =√

2(

cos −π4

+ i sen −π4

)


i) z = 10(

cos 7π6

+ i sen 7π6

)

j) w = 3(

cos π4

+ i sen π4

)

k) z = 5(

cos π9

+ i sen π9

)

l) w = 12

(

cos π3

+ i sen π3

)

m) z = 2(

cos π16

+ i sen π16

)

n) w = 4(

cos 3π8

+ i sen 3π8

)

n) z = 4(

cos 4π3

+ i sen 4π3

)

o) w = 4(

cos 5π6

+ i sen 5π6

)

p) z = 2(

cos 3π2

+ i sen 3π2

)

q) w = 17(

cos π2

+ i sen π2

)

r) z = 2(

cos 3π5

+ i sen 3π5

)

s) w = 3 (cos π + i sen π)

35. Determine las seis raıces de z = 45

(

cos 3π4

+ i sen 3π4

)

.

36. Determine la raız cubica de w = 23

(

cos 2π7

+ i sen 2π7

)

.

37. Determine las siete raıces de z =√

3(

cos π6

− i sen π6

)

.

38. Determine las cinco raıces de w = 2(

cos 2π3

+ i sen 2π3

)

.

39. Determine las cuatro raıces de z = 3(

cos π4

+ i sen π4

)

.

40. Determine las ocho raıces de w = 12

(

cos π6

+ i sen π6

)

.

41. Determine las nueve raıces de z =√

6(

cos π3

+ i sen π3

)

.

42. Determine las seis raıces de w =√

2(

cos −π4

+ i sen −π4

)

.

43. Determine las diez raıces de z = 10(

cos 7π6

+ i sen 7π6

)

.

44. Determine las trece raıces de w = 3(

cos π4

+ i sen π4

)

.

45. Determine las seis raıces de z = 5(

cos π9

+ i sen π9

)

.

46. Determine las dos raıces de w = 12

(

cos π3

+ i sen π3

)

.

47. Determine las tres raıces de z = 2(

cos π16

+ i sen π16

)

.

48. Determine las cuatro raıces de w = 4(

cos 3π8

+ i sen 3π8

)

.

49. Determine las cinco raıces de z = 4(

cos 4π3

+ i sen 4π3

)

.

50. Determine las cuatro raıces de w = 4(

cos 5π6

+ i sen 5π6

)

.


51. Determine las seis raıces de z = 2(

cos 3π2

+ i sen 3π2

)

.

52. Determine las cinco raıces de w = 17(

cos π2

+ i sen π2

)

.

53. Determine las tres raıces de z = 2(

cos 3π5

+ i sen 3π5

)

.

54. Determine las seis raıces de w = 3 (cos π + i sen π).

55. Determine las raıces cubicas de z − 3i.

56. Determine las raıces los siguientes polinomios:

a) x4 + 2

b) x5 + 1

c) x7 + 3

d) x9 + 7

e) x5 + 32

f ) x4 + 43

g) x5 + 13

h) x6 + 21

Bibliografıa

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