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IntroduccionRepaso de Calculo Infinitesimal

Numeros binariosAnalisis del error

Resumen

Metodos Numericos

Gustavo Montero

Escuela Tecnica Superior de Ingenieros IndustrialesUniversity of Las Palmas de Gran Canaria

Curso 2005-2006



Resumen

1 Introduccion

2 Repaso de Calculo Infinitesimal

3 Numeros binarios

4 Analisis del error

5 Resumen



Resumen

Generalidades

1 Introduccion


3 Numeros binarios


5 Resumen



Resumen

Generalidades

Generalidades

Problemas que pueden resolverse mediante metodos deaproximacion

Problemas definidos con funciones continuas: CalculoInfinitesimal

1. Obtener la aproximacion2. Establecer la bondad de dicha aproximacion

Representacion de los numeros en el ordenador

Lenguajes de programacion



Resumen

Lımites y ContinuidadFunciones derivablesIntegralesSeries

1 Introduccion


3 Numeros binarios


5 Resumen



Resumen


Lımites y Continuidad

Lımite en x = x0

limx→x0

f (x) = l

∀ε > 0,∃δ > 0, tal que |x − x0| < δ ⇒ |f (x)− l | < ε

Continuidad en un punto

Existe el valor de la funcion en el punto

Existe el lımite de la funcion en el punto

Ambos valores coinciden



Resumen


Teoremas importantes

Teorema de Bolzano

Supongamos que f ∈ C [a, b] y L es cualquier numero entre f (a) yf (b). Entonces existe un numero c ∈ (a, b) tal que f (c) = L.

Teorema de Weierstrass

Supongamos que f ∈ C [a, b]. Entonces existen una cota inferiorM1, una cota superior M2 y dos numeros x1, x2 ∈ [a, b] tales que

M1 = f (x1) ≤ f (x) ≤ f (x2) = M2 para cada x ∈ [a, b]



Resumen


Funciones derivables

Teorema de Rolle

Supongamos que f ∈ C [a, b] y que f ′(x) existe para todox ∈ (a, b). Si f (a) = f (b), entonces existe un numero c ∈ (a, b)tal que f ′(c) = 0.

Teorema de Lagrange

Supongamos que f ∈ C [a, b] y que f ′(x) existe para todox ∈ (a, b). Si f (a) = f (b), entonces existe un numero c ∈ (a, b)tal que

f ′(c) =f (b)− f (a)

b − a.



Resumen


IntegralesPrimer teorema fundamental o Regla de Barrow

Si f es continua en [a, b] y F es una primitiva cualquiera de f en [a, b] (es decir,F ′(x) = f (x)), entonces Z b

af (x)dx = F (b)− F (a)

Segundo teorema fundamental

Si f es continua en [a, b] y x ∈ (a, b), entonces

d

dx

Z x

af (t)dt = f (x)

Teorema del valor medio para integrales

Supongamos que f ∈ C [a, b]. Entonces existe un numero c en (a, b) tal que

1

b − a

Z b

af (x)dx = f (c)



Resumen


SeriesDefinicion, convergencia y suma

Dada una sucesion {an}∞n=1, denotaremos por∞Xn=1

an la serie de termino general an. La

suma parcial n-esima de la serie se define como Sn =nX

k=1

ak y se dice que la serie

converge si la sucesion {Sn}∞n=1 converge a un lımite S llamado suma de la serie, esdecir,

limn→∞

Sn = limn→∞

nXk=1

ak = S

Teorema de Taylor

Supongamos que f ∈ Cn+1 [a, b] y sea x0 ∈ [a, b]. Entonces, para cada x ∈ (a, b),existe un numero c = c(x) que esta entre x0 y x , y verifica

f (x) =nX

k=0

"f (k)(x0)

k!(x − x0)

k

#+

f (n+1)(c)

(n + 1)!(x − x0)

n+1



Resumen

Forma desarrollada

1 Introduccion


3 Numeros binarios


5 Resumen



Resumen

Forma desarrollada

Forma desarrollada

Ejemplo en base 10

1758 = (1× 103) + (7× 102) + (5× 101) + (8× 100)

Ejemplo en base 2

1758 = (1× 210) + (1× 29) + (0× 28) + (1× 27) + (1× 26) +(0× 25) + (1× 24) + (1× 23) + (1× 22) + (1× 21) + (0× 20)

1758 = 11011011110dos



Resumen

Forma desarrollada

Numeros del ordenador

Mantisa y exponente

x ≈ ±q × 2n

q: MANTISA (expresion binaria finita que verifica la desigualdad 1/2 ≤ q < 1)n: EXPONENTE (entero)

Numeros en coma flotante

Ordenadores con 32 cifras binarias:desde 2.938736E − 39 hasta 1.701412E + 38

Ordenadores con 48 cifras binarias:desde 2.9387358771E − 39 hasta 1.7014118346E + 38

Ordenadores con 64 cifras binarias:desde 5.562684646268003E − 309 hasta 8, 988465674311580E + 307



Resumen

Error de redondeo, error de truncamiento y estabilidad

1 Introduccion


3 Numeros binarios


5 Resumen



Resumen

Error de redondeo, error de truncamiento y estabilidad

Error de redondeo, error de truncamiento y estabilidadError de redondeo

El que se produce debido a que la representacion de los numeros reales en unordenador esta limitada por el numero de cifras de la mantisa, de manera que algunosnumeros no coinciden exactamente con su representacion en el ordenador.

Error de truncamiento

Se produce cuando una expresion matematica complicada se reemplaza por unaformula mas simple. Este error se conoce como de truncamiento o de consistencia.

f (h) = p(h) + E(h)

Una funcion E(h) se dice que es de orden t(h) cuando h → 0 si |E(h)| ≤ C |t(h)| y serepresenta (Landau) por E(h) = O(t(h)). Un esquema se dice que es consistente si

limh→0

E(h) = 0, es decir limh→0

f (h) = limh→0

p(h)

Estabilidad

Un esquema se dice que es estable si un pequeno error en las condiciones inicialesproduce errores pequenos en el resultado final.



Resumen

Conclusiones

1 Introduccion


3 Numeros binarios


5 Resumen



Resumen

Conclusiones

Conclusiones

Busqueda de la solucion del problema planteado: utilizacionde esquemas consistentes controlando el error

Obtencion de la solucion del problema: Procedimiento decalculo estable

Teorema: Todo esquema consistente y estable es tambienconvergente

m´etodos num´ericos - división de Álgebra numérica ... · el que se produce debido a que la...

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