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1 LOS NUMEROS NATURALESN. 1
Los numeros reales.1. Los numeros naturales N.
Los numeros naturales son aquellos que sirven para contar yson:N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
El conjunto de los numeros naturales se designa por el sımboloN. Los conjuntos de numeros que se veran eneste tema se representan sobre una recta. Ası para los numerosN la recta serıa similar a la mostrada en la figura1. La recta real es infinita, ya que hay infinitos numeros que poner sobre ella.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Figura 1: Recta representando la recta sobre la que se colocan los numeros naturales (N).
1.1. Repaso de los numeros primos.
Definicion: Un numero esprimo si al dividirlo entre otro numero, solo se obtiene una division exacta si sedivide entre el mismo o el1.
Por ejemplo, el numero5 es primo, ya que, el resto de la division entre5 y otro numero solo sale0 cuando sedivide entre1 o 5. El resto de dividir5 entre4, 3 o 2 no es0.El numero7 es primo, ya que, el resto de la division entre7 y otro numero solo sale0 cuando se divide entre1o 7. El resto de dividir7 entre6, 5, 4, 3 o 2 no es0.El numero10 no es primo, ya que,10 entre5 es una division exacta. Recordemos que para ser primo, solo sepuede dividir entre1 o el mismo.
Numeros primos importantes son: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23,...
1.1.1. Descomposici on de un numero en sus factores primos.
Cualquier numero se puede puede escribir como producto de numeros primos. Por ejemplo, el 10 no esprimo y se puede escribir como producto de 2 y 5 que sı son primos:10 = 2 · 5
Hay que recordar algunas propiedades de los numeros primosque pueden ser utiles para esta tarea:✺ El 2 divide a todos los numeros pares. Es decir, si un numero es, par al dividirlo entre 2 la division
sera exacta.✺ El 5 divide a todos los numeros acabados en 0o en 5. Por ejemplo, los siguientes numeros se pueden
dividir entre 5 obteniendo una division exacta: 15, 10, 25,2005, 3450, 12345,...✺ El 3 divide a todos los numeros cuya suma de sus cifras se pueda dividir entre 3. Por ejemplo, el37032
se puede dividir entre 3, ya que,3 + 7 + 0 + 3 + 2 = 15 y 15 se puede dividir entre 3.
1 LOS NUMEROS NATURALESN. 2
El resto de numeros primos tambien suelen tener reglas similares a las vistas, pero suele ser mas comodohacer la division y ver si esta sale exacta.
Para descomponer un numero en sus factores primos se procede de la siguiente manera:Se haran los ejemplos descomponiendo en numero 120.① Se coloca el numero a descomponer en una construccion similar a la de la figura:
120
② Comenzando por los numeros primos mas pequenos se va comprobando si alguno divide al numero que sedesea descomponer.Nos interesan los numeros primos a partir del 2 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23,...). Siempre hay que procurar empezar a usarlos numeros primos mas pequenos. En este caso se comienzacon el 2. El 2 divide a 120. Esto se puede ver haciendo ladivision 120/2 = 60 que es exacta, o bien, usando las propiedades de los numerosprimos, 120 es par, por lo tanto sepuede dividir entre 2.③ Una vez que se encuentra un numero primo que divida al numero, se anade a la operacion y se pone elresultado de la division entre ambos debajo del numero a factorizar.En este caso120/2 = 60 por lo que se escribirıa:
120 260
④ Se repite el paso② usando el resultado de la division del numero que se haya encontrado.Es decir, ahora hay que trabajar con el 60. Se comprueba si 60 es divisible entre 2. Sı lo es por ser par, por lo tanto:
120 260 230
Se repite el proceso con el 30. Se comprueba si 30 es divisibleentre 2. Sı lo es por ser par, por lo tanto:
120 260 230 215
Se repite el proceso con el 15. Se comprueba si 15 es divisibleentre 2. Como 15 es impar ya no se puede volver a usar el2. El siguiente en la lista de numeros primos es el 3. 15 es dividido entre 3:
120 260 230 215 35
1 LOS NUMEROS NATURALESN. 3
Se repite el proceso con el 5. Se comprueba si 5 es divisible entre 3. 5 no es divisible entre 3. El siguiente en la lista denumeros primos es el 5:
120 260 230 215 35 51
⑤ Una vez que se obtiene el 1 quiere decir que el proceso de la descomposicion en factores ha finalizado. Soloresta escribir el resultado correctamente.En nuestro caso120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 o lo que es lo mismo120 = 23 · 3 · 5
Ejercicios:
1. Descomponer en factores primos los siguientes numeros:100, 320, 25, 12, 14, 34100=22 · 52, 320=26 · 5, 25=52, 12=22 · 3, 14=2 · 7, 34=2 · 17
1.1.2. El mınimo comun multiplo (m.c.m.).
Definicion: El mınimo comun multiplo (m.c.m.) de un conjunto de numeros es el numero mas pequeno al quetodos los numeros del conjunto dividen de forma exacta.
El m.c.m. se suele usar en las operaciones con fracciones, por lo que conviene tenerlo claro.
Para calcular el m.c.m. de un conjunto de numeros se procedede la siguiente manera:① Se procede a descomponer en factores primos cada uno de los n´umeros del conjunto.Por ejemplo, si se desea calcular el m.c.m. de 120, 8, 36 se descomponen en factores primos:
120=23 ·3 ·58=23
36=22 ·32
② Se construye el m.c.m. tomando todos los numeros primos queaparezcan en la descomposicion elevados asu mayor exponente.En este ejemplo, los numeros primos que en la descomposici´on son el 2, 3 y 5. El maximo exponente al que esta elevado eldos es 3 (23), el maximo exponente de 3 es 2 (32) y el maximo exponente de 5 es 1 (cuando un numero no tiene exponentese considera que el exponente es 1).
120=23 ·3 ·58=23
36=22 ·32
mcm=23 ·32 ·5③ Por ultimo se multiplican los factores del resultado para obtener el m.c.m.En este casomcm = 23 · 32 · 5 operando:
mcm = 23 · 32 · 5 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 8 · 9 · 5 = 360
1 LOS NUMEROS NATURALESN. 4
mcm = 360
Se puede comprobar que 360 es el numero mas pequeno que es dividido de forma exacta por 120, 8 y 36.
Ejercicios:
1. Calcular el m.c.m. de 100, 25, 15Sol: 300
2. Calcular el m.c.m. de 12, 14, 15Sol: 420
3. Calcular el m.c.m. de 120, 12, 10Sol: 120
4. Calcular el m.c.m. de 3, 4, 12Sol: 12
1.1.3. El maximo comun divisor (m.c.d.).
Definicion: El maximo comun divisor (m.c.d.) de un conjunto de numeros se define como el mayor numeroque divide a todos los numeros del conjunto.
Para calcular el m.c.d. de un conjunto de numeros se procedede la siguiente manera:① Se procede a descomponer en factores primos cada uno de los n´umeros del conjunto.Por ejemplo, si se desea calcular el m.c.d. de 120, 40, 900 se descomponen en factores primos:
120=23 ·3 ·540=23 ·5
900=22 ·32 ·52
② Para construir el m.c.d. se toman solo aquellos numeros primos que aparezcan en la descomposicion detodoslos numeros, elevados a su menor exponente.En el ejemplo que se esta haciendo, el 2 aparece en la descomposicion de todos los numeros. El 3 no aparece en ladescomposicion de 40. El 5 aparece en la descomposicion detodos los numeros.El menor exponente del 2 es 2 (22). El menor exponente del 5 es 1 (cuando un numero no tiene exponente se consideraque el exponente es 1). Por lo tanto en nuestro caso:
120=23 ·3 ·540=23 ·5
900=22 ·32 ·52
mcd=22 ·5
③ Por ultimo se multiplican los factores del resultado para obtener el m.c.d.En este caso se obtiene quemcd = 22 · 5:
mcd = 22 · 5 = 2 · 2 · 5 = 20
mcd = 20
Ejercicios:
2 LOS NUMEROS ENTEROSZ. 5
1. Calcular el m.c.d. de 100, 25, 75Sol: 25
2. Calcular el m.c.d. de 12, 14, 15Sol: 1
3. Calcular el m.c.d. de 120, 12, 10Sol: 2
4. Calcular el m.c.d. de 12, 120, 24Sol: 12
2. Los numeros enteros Z.
El conjunto de los numero enteros el conjunto de los numeros naturales a los que se les anaden los numerosnegativos. Al conjunto de numeros enteros se les denomina por la letraZ:Z = {...,−6,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Al igual que en el caso anterior se pueden representar sobre una recta. La recta serıa similar a la mostradaen la figura 2.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Figura 2: Recta representando la recta sobre la que se colocan los numeros enteros (Z).
Ni que decir tiene que los numeros naturales estan incluıdos dentro de los numeros enteros. Esto se indica con:N ⊂ Z2.1. Repaso de las operaciones con los numeros enteros Z.
✺ Suma: La suma se realizara sumando por un lado los numeros positivos, por otro los negativos y finalmentese restaran ambos resultados. Por ejemplo:
4 + 3− 4 + 2− 7 =En esta operacion se encuentran los numeros positivos: 4,3 y 2Su suma da4 + 3 + 2 = 9Los numeros negativos que hay son: -4 y -7Su suma da4 + 7 = 11Ahora se resta el resultado de la suma de los numeros negativos al resultado de la suma de los numeros positi-vos:
4 + 3− 4 + 2− 7 = 9− 11 = −2En este caso se ha tenido que realizar la resta de9 − 11, siempre que hay que realizar una resta en la que elminuendo sea menor que el sustraendo, se hace la resta del numero mayor menos el menor y se pone el signodel menor. En el caso de la resta9 − 11, se harıa11 − 9 = 2 y al resultado se le pone el signo del numeromayor,9− 11 = −2.
2 LOS NUMEROS ENTEROSZ. 6
✺ Producto: Para realizar un producto de numeros enteros hay que proceder recordando las siguientes reglasde operaciones con los signos:
(+) · (+) = (+)(−) · (−) = (+)(+) · (−) = (−)(−) · (+) = (−)
O lo que es lo mismo, al multiplicar signos distintos, el signo del resultado es -. Al multiplicar signos iguales,el signo del resultado es +. Por ejemplo:
(+3) · (+5) = +15 ⇒ 3 · 5 = 15(−3) · (−5) = +15(+3) · (−5) = −15(−3) · (+5) = −15
Hay que hacer unas observaciones importantes:
Los numeros positivos no es necesario que lleven el signo.⇐⇒ Si un numero no lleva signo, entonceses positivo.
Hay que procurar poner cada numero con su signo entre parentesis. Es decir, poner3 · 5 = 15 sera lomismo que poner(+3) · (+5) = +15.
Hay que procurar que los numeros negativos vayan siempre entre parentesis en los productos. En lugarde escribir−5 · 3 = −15 se procurara escribir(−5) · 3 = −15
Si un signo va delante de un parentesis, el signo multiplicaa el resultado del parentesis. Por ejemplo,−(−4) = +4, otro ejemplo,−(3 + 5) = −(+8) = −8, o tambien,−(−4) · (−7) = (+4) · (−7) = −28
Si un numero (con o sin signo), va delante de un parentesis,multiplica a el resultado del parentesis. Porejemplo,4(4 + 5) = 4(9) = 4 · 9 = 36, o en este otro caso,3 − 4(2 + 3) = 3 − 4(5) = 3 − 4 · 5 =3− 20 = −17
Si un numero va detras de un parentesis y no hay ninguna operacion entre el numero y el parentesis seconsidera que el numero multiplica al resultado del parentesis. Ej.:(3 + 7)3 = (10)3 = 30
Si hay un parentesis ‘)’seguido de un parentesis ‘(’sin ninguna operacion entre ambos, se considera quese multiplican los resultados de ambos. Ej.:(3 + 4)(2 + 3) = (7)(5) = 35
Es completamente incorrectoque dos operaciones vayan seguidas sin ningun parentesiso numero entreellas. (Esto es casi como una regla de ortografıa del lenguaje matematico, las matematicas tienen supropio lenguaje y es casi universal). Por ejemplo, serıa incorrecto escribir− + 2 · 7 = −14 lo correctosera escribir−(+2) · 7 = −14
• Esto suele suceder cuando se realiza la operacion que hay enel interior de un parentesis, por ejem-plo:4− (3 · (−5))
︸ ︷︷ ︸
−15
= 4− (−15) =
Si ahora se quitan los parentesis, quedarıa4 − −15 lo cual esta expresado incorrectamente. Locorrecto serıa escribir:4− (3 · (−5))
︸ ︷︷ ︸
−15
= 4− (−15) = 4 · (+5) = 20
3 LOS NUMEROS RACIONALESQ. 7
• Tambien suele suceder al escribir un producto en el que hayanumeros negativos. Por ejemplo:4 · −4 = −16Hay un signo de multiplicar seguido por un signo -. Habra queusar los parentesis para expresar estocorrectamente:4 · (−4) = −16
• Otro caso en el que aparece es cuando se sustituyen las variables por su valor. Por ejemplo, si setiene la expresion:
2c + b
y nos indican quec = −2 y b = −1, si se introducen dichos valores directamente en la expresion:
2− 2 +−1
Que es incorrecto y se generan operaciones incorrectas. En estos casos lo correcto es introducir losvalores de las variables entre parentesis:
2(−2) + (−1) = (−4) + (−1) = −5
En el apartado de los numeros reales se estudiaran las operaciones combinadas.
Ejercicios: Comprueba los resultados de las siguientes operaciones:
1. 2− 3 + 4− 5 + 7− 14 = −9
2. (−2) + 3(3 + 4− 14) = −23
3. Si a=-3 y b=7→ a · a + a · b + 2a = −18
4. Si a=-2 y b=-1→ a · 2 + a · b + 3a = −8
3. Los numeros racionales Q.
Estos numeros se obtienen de dividir un numeroZ en partes iguales. Por ello se representan como fraccionesm
ndondem y n son numeros enteros (m,n ∈ Z). Tambien se pueden representar usando numeros decimales.
Por ej. 12 , 23
10 , 3′12,...Cuando se expresan en forma de fraccion, al numero de la parte superior de la fraccion se le llamanumeradory al de abajodenominador. Por ejemplo:
1
2
← numerador← denominador
Para pasar de un numeroQ en forma de fraccion a un numero decimal solo se tiene que realizar la divisiondel numerador y el denominador:1
2 = 0,5 Puede suceder que el resultado tenga infinitas cifras decimales:1299 = 0,12121212... En el caso de tener infinitas cifras decimales, las cifras decimales se repiten de formaperiodica, es decir, son siempre los mismos numeros que serepiten una y otra vez.
Al igual que en el caso anterior:N ⊂ Z ⊂ QUn poco mas avanzado el tema se repasaran las operaciones con estos numeros.
3 LOS NUMEROS RACIONALESQ. 8
3.1. Operaciones con fracciones.
En los siguientes subapartados se repasaran las operaciones basicas con fracciones.
3.1.1. Simplificaci on de fracciones.
Muy importante,los resultados de las operaciones deben estar siempre simplificados.
Para simplificar una fraccion se procede usando el siguiente metodo:
1. Se descomponen en factores primos tanto el numerador comoel denominador.Por ejemplo, si se desea simplificar la siguiente fraccion:
12
144
Se comienza descomponiendo en factores el numerador y el denominador:
12 = 22 · 3
144 = 24 · 32
Por lo tanto, la fraccion quedarıa:12
144=
22 · 324 · 32
2. Se “tachan” los factores que esten repetidos en el numerador y en el denominador.En el ejemplo, en elnumerador hay un3 y en el denominador hay dos3 (es lo que significa32) por lo que se puede simplificar un3 dearriba con un3 de abajo:
12
144=
22 · 324 · 32
=22
24 · 3Tambien se puede ver que arriba hay dos2 (22) y abajo hay 4 (24). Por ello se pueden simplificar dos2 de arribacon dos2 de abajo:
12
144=
22 · 324 · 32
=22
24 · 3 =1
22 · 3Importante:Cuando en el numerador o en el denominador se simplificantodoslos numeros, se pone un1.En este caso,en el numerador se han simplificado todos los numeros, por ello se ha puesto el1.
3. Se realizan las operaciones despues de simplificar.
12
144=
22 · 324 · 32
=22
24 · 3 =1
22 · 3 =1
2 · 2 · 3 =1
12
Serıa interesante que el lector comprobara las siguientessimplificaciones por sı mismo:
8
2= 4
14
36=
7
18
25
625=
1
25
Una curiosidad a la hora de simplificar es la simplificacion de los numeros acabados en0. Si el numeradory el denominador terminan en0, y estos0 no pertenecen a los decimales, se pueden tachar ambos ceros.Porejemplo:
70
20=
7
2
7000
200=
7000200
=70020
=70
2
3 LOS NUMEROS RACIONALESQ. 9
Ojo siempre se simplifican los ceros del final que no pertenezcan a los decimales. Serıa totalmente incorrectohacer:
70001
203=
70001
203=
7001
23!!!!
Esto en un examen equivale a un suspenso del tamano de un catedral.
Ejercicios: Simplificar las siguientes fracciones:
14
12
100
120
134
240
Sol.: 14
12= 7
6
100
120= 5
6
134
240= 67
120
3.1.2. Suma de fracciones.
Para realizar la suma de fracciones hay que seguir los siguientes pasos:
1. Solo se pueden sumar (o restar) las fracciones que tenganel mismo denominador.Por ejemplo:
1
2+
5
2− 7
2=
1 + 5− 7
2=−1
2
2. En el caso de no tener el mismo denominador hay que generar un denominador comun. Para ello seusara el m.c.m. de los denominadores.Por ejemplo:
11
120− 5
8+
7
36=
Hay que hallar el m.c.m. de 120, 8 y 36. Operando se obtiene queel m.c.m.=360.
3. Una vez que se ha calculado el denominador comun, para cada fraccion de la suma, hay que dividir elm.c.m. entre el denominador de cada fraccion y multiplicarel resultado por el numerador.En este caso se tienen las fracciones:
11
120,−5
8,
7
36
Para cada fraccion se divide el m.c.m.=360 entre el denominador:
11
120⇒ 360/120 = 3
−5
8⇒ 360/8 = 45
7
36⇒ 360/36 = 10
Por ultimo, se multiplica el numerador por de cada fraccion por el resultado de la division anterior y se pone comodenominador el m.c.m.:
11
120⇒ 360/120 = 3⇒ 11 · 3
360=
33
360
−5
8⇒ 360/8 = 45⇒ −5 · 45
360= −225
360
7
36⇒ 360/36 = 10⇒ 7 · 10
360=
70
360
3 LOS NUMEROS RACIONALESQ. 10
Ya se ha obtenido el denominador comun para las operaciones:
33
360− 225
360+
70
360=
Por ello ya se pueden sumar (o restar):
33
360− 225
360+
70
360=
33− 225 + 70
360=−122
360=−61
180
Por lo que finalmente se encuentra que:11
120− 5
8+
7
36=−61
180
Al final, siemprehay que simplificar el resultado.
Ejercicios: Realizar las siguientes operaciones:
14
12+
15
12− 5
12
12
4+
5
3− 7
14
12
4+
5
3− 7
12− 25
6
Sol.: 14
12+ 15
12− 5
12= 2 12
4+ 5
3− 7
14= 25
6
12
4+ 5
3− 7
12− 25
6= 0
3.1.3. Producto de fracciones.
La multiplicacion de fracciones es muy sencilla. Se deben multiplicar los denominadores entre sı y losnumeradores entre sı. Otra ventaja es la posibilidad de hacer la simplificacion del resultado a la vez que se haceel producto. Por ejemplo, se desea realizar el siguiente producto:
12
35· 15
8
Una forma de hacer lo es hacer las multiplicaciones de los denominadores entre sı y los numeradores entre sı,y finalmente hacer la simplificacion del resultado:
12
35· 15
8=
12 · 1535 · 8 =
180
280=
22 · 32 · 523 · 5 · 7 =
9
14
La otra forma consiste en descomponer los numeradores y los denominadores y ver lo que se puede simplificar:
12
35· 15
8=
12 · 1535 · 8 ==
12︷ ︸︸ ︷
22 · 3 ·15
︷︸︸︷
3 · 55 · 7︸︷︷︸
35
· 23︸︷︷︸
8
=22 · 32 · 523 · 5 · 7 =
9
14
Ejercicios: Realizar las siguientes operaciones:
14
12· 1512
3 LOS NUMEROS RACIONALESQ. 11
120
72· 34
360
120
360· 3472· 108
34
Sol.: 14
12· 15
12= 35
24
120
72· 34
360= 17
108
120
360· 34
72· 108
34= 1
2
3.1.4. Cociente de fracciones.
Realmente el cociente de fracciones se reduce a una multiplicacion de fracciones:En la division de frac-ciones deben multiplicarse los terminos en cruz:
a
b:
c
d=
a · db · c
Por ejemplo:2
3:−5
6=
2 · 63 · (−5)
=12
−15
Al final, siempre se debe simplificar el resultado.La notacion nos puede jugar malas pasadas, por ejemplo:
5346
=
Esto es realmente una division. La lınea de dividir de mayor tamano es la “manda”:
5346
=5
3:4
6=
5
2
Aunque a veces es muy difıcil distinguir cual es la principal si no se hacen las lıneas suficientemente largas:
23−56
=2
3:−5
6=
2 · 63 · (−5)
=12
−15
Ejercicios: Realizar las siguientes operaciones:
14
12:12
15
1207236034
120360 · 34
72 · 10834
2
Sol.: 14
12: 12
15= 35
24
120
72
360
34
= 17
108
120
360·34
72·108
34
2= 1
4
4 LOS NUMEROS IRRACIONALESI. 12
4. Los numeros irracionales I.Son numeros que pueden expresarse con numeros decimales con infinitas cifras decimales que no se repiten
de forma periodica. Por ejemplo2′1243583225427...Estos numeros se suelen obtener al realizar operaciones con raıces:√
2 = 1,4142135623730950488016887242097...Tambien hay numeros importantes que pertenecen a este conjunto, como por ejemplo:π = 3,1415926535897932384626433832795...e = 2,7182818284590452353602874713527...
5. Los numeros reales R.
Si se unen los conjuntosQ e I, se obtiene el conjunto de los numeros realesR. Esto se suele representarponiendoR = Q ∪ I. Es facil deducir por tanto:N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ RAl igual que en el caso de los numerosZ, los numerosR se pueden representar sobre una recta, llamadarectareal. Esta recta es como pensar en una regla en la que se colocan losmetros, centımetros, milımetros,...Para expresar cualquier numero sobre larecta realsolo hay que pasar dicho numero a su expresion con numerosdecimales (si no lo esta ya) y dibujarlo sobre la recta.
5.1. Operaciones con los numeros RLos operaciones basicas con numeros reales son:
☞ Suma: Los propiedades basicas de la suma son:
1. Conmutativa:a+b = b+a⇒ El orden de los sumandos no altera la suma. Ejemplo:2+3 = 5, 3+2 = 5
2. Asociativa:(a + b) + c = a + (b + c)⇒ A la hora de sumar 3 o mas numeros, da igual el orden en elque los sumemos. Ejemplo:2 + 3 + 4 = 5 + 4 = 9 o tambien2 + 3 + 4 = 2 + 7 = 9.
✎ Nota:☞ A la hora de realizar una operacion, siempre hay que realizar primero las operaciones entreparentesis.
Por ejemplo:2 + 3− (4 + 5) = 2 + 3− 9 = 5− 9 = −4
Aunque la propiedad asociativa nos indica cuando se pueden ignorar los parentesis, hay que procurarseguir siempre esta regla.
3. Existe elemento neutro0: a + 0 = a ⇒ El elemento neutro es el cero. Cualquier numero mas cero dacomo resultado el mismo numero.
4. Existe elemento opuesto: Para cualquier numeroa existe otro numero−a tal que sumados dan cero:a + (−a) = 0⇒ Es decir, si se suman el2 con el−2 el resultado da cero.
5 LOS NUMEROS REALESR. 13
Hay que darse cuenta de un detalle importante: en la propiedad anterior se esta asumiendo que la resta es...¡¡una suma!! Efectivamente,cuando se habla de propiedadesse asume que la resta es un caso especial de suma.
☞ Resta: Como ya se ha indicado es un caso particular de la suma.
☞ Producto: Son las mismas propiedades de la suma pero ahora se aplican al producto:
1. Conmutativa:a · b = b · a⇒ El orden de los factores no altera el producto. Ejemplo:2 · 3 = 6, 3 · 2 = 6
2. Asociativa:(a · b) · c = a · (b · c)⇒ A la hora de multiplicar 3 o mas numeros, da igual el orden en elque los multipliquemos. Ejemplo:2 · 3 · 4 = 6 · 4 = 24 o tambien2 · 3 · 4 = 2 · 12 = 24.
3. Existe elemento neutro1: a · 1 = a⇒ El elemento neutro es el uno. Cualquier numero por uno, da comoresultado el mismo numero.
4. Existe elemento opuesto: Para cualquier numeroa existe otro numero1
atal que multiplicados dan 1:
a · 1a
= 1⇒ Es decir, si se multiplica el2 con el 12 el resultado da 1.
Al igual que en el caso anterior,cuando se habla de propiedadesse asume que la division es un caso especialdel producto.
✎ Nota:
No existe la division entre0.
Por ejemplo, si se pide realizar la division de10 entre0 esta operacionno se puede realizar.
Hay una ultima propiedad que relaciona la suma y el producto, la propiedad distributiva:
a · (b + c) = a · b + a · c
Por ejemplo:3(2 + 4) = 3 · 2 + 3 · 4 = 6 + 12 = 18
Las propiedades tambien se pueden leer ‘al reves’:
a · b + a · c = a · (b + c)
Ası escrita a esta propiedad se la llamasacar factor comun. Indica que si se tiene un numero (o cualquierexpresion) multiplicando a todos los terminos de una suma(o resta), dicha expresion se puede ‘sacar multi-plicando’para hacer las operaciones mas sencillas. Esta propiedad sera util en algunos casos. Por ejemplo, sepuede usar para hacer mas sencillas las operaciones:
3 · 2 + 3 · 4 = 3(2 + 4) = 3(6) = 18
5 LOS NUMEROS REALESR. 14
5.2. Prioridad de las operaciones.
A la hora de enfrentarse a operaciones del tipo:
3 + 4 · 5 =
Se deben tener en cuenta el orden para las operaciones, pues no es lo mismo:
3 + 4 · 5 = 3 + 20 = 23
que es correcto, a:
3 + 4 · 5 = 7 · 5 = 35!!!que es incorrecto.
Para calculos en los haya mezclados varios tipos de operaciones se seguiran las siguientes reglas:
1. Se realizaran siempre primero las operaciones que esten dentro de un parentesis.
2. Despues se realizaran las potencias.
3. Despues las multiplicaciones y divisiones.
4. Por ultimo se realizaran las sumas y restas.
Por ejemplo, para realizar la siguiente operacion:
(3 + 4) 3
2 + 3− 3 =
Se realizan las operaciones entre parentesis:
(3 + 4) 3
2 + 3− 3 =
(7) 3
2 + 3− 3 =
Todo lo que este en el numerador o en el denominador de una fraccion, se puede considerar como si estuviesedentro de un parentesis, por lo tanto:
(3 + 4) 3
2 + 3− 3 =
(7) 3
2 + 3− 3 =
(7) 3
5− 3 =
Ya no quedan parentesis, por lo que se proceden a realizar los productos:
(3 + 4) 3
2 + 3− 3 =
(7) 3
2 + 3− 3 =
(7) 3
5− 3 =
215− 3 =
Las divisiones se procuraran no realizar si dan numeros decimales y se dejara el resultado en forma de fraccion:
(3 + 4) 3
2 + 3− 3 =
(7) 3
2 + 3− 3 =
(7) 3
5− 3 =
215− 3 =
6
5
Si al final se obtiene una fraccion se simplificara el resultado.
Ejercicios: Resolver las siguientes operaciones:
1. 2 + 3(−4) + 7
6 OPERACIONES CON LAS POTENCIAS. 15
2. 2 + 3(−4)14 · 7
3. 2+35 ·
2+3
3+4
5
4. 45 +
2
3− 1
5(4
5− 1
6)2
9
1. -3, 2. -4, 3. 1/7, 4. 323/100
6. Operaciones con las potencias.
Definicion: Se llama potencia de baseb y exponenten, bn, a multiplicarb tantas veces por sı misma comoindiquen:
bn =
n veces︷ ︸︸ ︷
b · ... · b
Por ejemplo:23 = 2 · 2 · 2 = 8
35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243
6.1. Propiedades de las potencias.
Seana, b, n y m numeros. Se tienen las siguientes propiedades:
an · am = an+m
an
am= an−m
(a · b)n = an · bn
(a
b
)n
=an
bn
(an)m = an·m
a−n =1
an
a = a1
a0 = 1
Estas propiedades tambien se pueden leer al reves, por ejemplo,an · bn = (a · b)n.
Para realizar operaciones con potencias solo hay que ir revisando cada una de las propiedades anteriores yver si se puede aplicar alguna. Por ejemplo:
24 · 37
(22 · 32)2=
24 · 37
(22)2 · (32)2=
24 · 37
24 · 34=
24
24· 3
7
34= 1 · 37−4 = 33
7 RADICALES. 16
Se puede comprobar que ya se estaban aplicando las propiedades de las potencias cuando se realizaba algunasimplificacion.
Ejercicios: Resolver las siguientes operaciones:
1. 23 · 24 · 24
2. 23 · 34 · 24
3. 23·34·24
27·35
4. 24·3−5·2−3·35
2
1. 211, 2.27 · 34, 3.1/3, 4. 1
7. Radicales.
Definicion: La raızn-esima de un numeroa, n
√a, es un numeror, tal quern = a.
Por ejemplo,3√
8 = 2 ya que,23 = 8.La 4√
81 = 3 ya que,34 = 81.Cuando la raız no tiene ındice, se considera que el ındicees 2. Por ejemplo,
√16 = 4 ya que,42 = 16.
7.1. Propiedades de los radicales.
Realmente los radicales son potencias cuyos exponentes sonnumerosQ:
n
√am = a
m
n
Por lo quetodas las propiedades de las potencias se podran aplicar a los radicales. Por ejemplo:
3√
24√
23=
21
3
23
4
= 21
3− 3
4 = 2−5
12 =12√
2−5
Para introducir un factor dentro de un radical hay que elevarlo al ındice del radical:
53√
2 =3√
2 · 53
Para sacarlo hay que dividir el exponente entre el ındice dela raız:
3√
2 · 53 = 53√
2
A veces es conveniente aplicar el siguiente truco:
3√
25 =3√
22+3 =3√
22 · 23 = 23√
22
Definicion: Dos radicales son semejantes si tienen el mismo ındice y el mismo radicando.
7 RADICALES. 17
Por ejemplo,3√
25 y 3√
22 son semejantes, ya que,3√
25 = 23√
22.Si dos radicandos son semejantes se pueden sumar (o restar) sus coeficientes:
3√
25 + 53√
22 = 23√
22 + 53√
22 = (2 + 5)3√
22 = 73√
22
Si se hace un poco de memoria, en esta operacion se ha aplicado la propiedad llamadasacar factor comun.
Definicion: Para poder realizar operaciones con fracciones, no debe haber radicales en el denominador. A lasmanipulaciones necesarias para trasformar la fraccion enotra sin raıces en su denominador se las denominaracionalizar.
Para racionalizar hay que multiplicar el numerador y el denominador de la fraccion por la expresion ade-cuada. Para saber por lo que se debe multiplicar se seguiranlas siguientes pautas:✎ En el caso de que la fraccion sea de la forma:
expresionn
√a
⇒ expresion· n
√an−1
n
√a · n
√an−1
Por ejemplo:33√
2=
3 · 3√
22
3√
2 · 3√
22=
3 · 3√
22
3√
2 · 22=
3 · 3√
22
3√
21+2=
3 · 3√
22
3√
23=
3 · 3√
22
2
✎ En el caso de que en el denominador haya algun factor sumandoa la raızexpresion+√
b se multiplicara porexpresion−
√b (o si esexpresion−
√b se multiplicara porexpresion+
√b):
expresion
expre+√
b⇒ expresion· (expre−
√b)
(expre+√
b) · (expre−√
b)
Por ejemplo:2
2−√
3=
2(2 +√
3)
(2−√
3)(2 +√
3)=
2(2 +√
3)
4− 3= 2(2 +
√3) = 4 + 2
√3
Hay que recordar que:(a + b)(a− b) = a2 − b2
Ejercicios: Realizar las siguientes operaciones:
1. 2√
2 + 3√
5− 7√
2
2. 25
√2 + 3
√5− 7
√2
3. 25+2
√2
+ −75−2
√2
4. 25+
√2
+ −75−
√2
Sol.: 1.3√
5− 5√
2, 2.3√
5− −33
5
√2, 3.− 18
√
2+25
17, 4.− 9
√
2+25
23
8 NOTACION CIENTIFICA. 18
8. Notaci on cientıfica.
Hay situaciones en las que hay que trabajar con numeros con muy grandes, lo que puede ser engorroso. Porejemplo, la masa de la Tierra es:5980000000000000000000000 kgAlgo similar pasa cuando se trabaja con numeros muy pequenos. Ej., la carga del electron es:0,00000000000000000016 C.Para trabajar con estas cantidades y otras similares se usa la notacion cientıfica. Para trabajar con la notacioncientıfica hay que darse cuenta de:
102 = 10 · 10 = 100
103 = 1000
104 = 10000
10n = 10 . . . 0︸ ︷︷ ︸
n ceros
Ası:90000 = 9 · 10000 = 9 · 104
300000000 = 3 · 100000000 = 3 · 108
Esto es muy comodo a la hora de expresar cantidades con grandes numeros de ceros.De forma similar:
10−1 =1
10= 0,1
10−2 =1
100= 0,01
10−3 =1
1000= 0,001
10−4 =1
10000= 0,0001
Ası:0,02 = 0,01 · 2 = 10−2 · 2 = 2 · 10−2
0,0000000000000000006 = 0,0000000000000000001 · 6 = 6 · 10−19
La un numero ennotacion cientıfica consta de:
Una parte entera formada por una sola cifra no nula.
Una parte decimal.
Una potencia, multiplicando, de la forma10n, donden es un numero entero.
Ası el numero324000 en notacion cientıfica:324000 = 3,24 · 100000 = 3,24 · 105
El numero2300000 en notacion cientıfica:23000000 = 2,3 · 10000000 = 2,3 · 107
Estos numeros estan expresados correctamente en notaci´on cientıfica. Por ejemplo, el3,24 · 105 tiene:
Una parte entera formada por una sola cifra no nula. Que es el “3”
Una parte decimal. Que es el “,24”
Una potencia, multiplicando, de la forma10n, donden es un numero entero. Que es “·105”
9 INTERVALOS. 19
De forma identica, se puede hacer con los numeros muy pequenos:
0,024 = 0,01 · 2,4 = 10−2 · 2,4 = 2,4 · 10−2
0,0000000000000000006123 = 0,0000000000000000001 · 6,123 = 6,123 · 10−19
La notacion cientıfica se usa mucho en los campos tecnologicos y cientıficos pues es habitual manejar cantida-des o muy grandes o muy pequenas. Las calculadoras cientıficas tambien la usan cuando tienen que expresarcantidades que superan a los dıgitos que estas pueden mostrar en la pantalla.
Ejercicios:
1. Escribe los siguientes numeros en notacion cientıfica:
a) 1234564
b) 0,000283
c) 299793,00 · 109
d) 0,016 · 10−19
2. Comprueba las siguientes operaciones en notacion cientıfica:
a) 3 · 107 + 3,5 · 104 + 1,25 · 5 = 3,016 · 107
b) 2 · 103 − 3 · 104 + 4 · 104 = 1,2 · 104
c) 2 · 103 − 3 · 104 · 4 · 104 = −1,2 · 109
d) 2 · 10−3 − 3 · 10−4 + 4 · 10−4 = 2,1 · 10−3
9. Intervalos.
A veces se definen conjuntos de numeros dentro de la recta real. Por ejemplo, todos los numeros entre el 2y el 4 (estos pueden ser el 3, el2,4, el 3,999). A estos conjuntos de numeros se les denominaintervalos. Hayuna notacion especial para indicar los intervalos:
Corchetes a ambos lados:[a, b]⇒ Son todos los numeros entre el numeroa y el numerob, incluyendo aa y a b. Por ejemplo:[2, 4] Son todos los numeros entre 2 y 4 incluyendo el 2 y el 4.
Parentesis a ambos lados:(a, b)⇒ Son todos los numeros entre el numeroa y el numerob, sin incluir aa y a b. Por ejemplo:(2, 4) Son todos los numeros entre 2 y 4 sin incluir el 2 y el 4.
Parentesis a la izquierda y corchete a la derecha:(a, b]⇒ Son todos los numeros entre el numeroa y elnumerob, sin incluir aa, pero incluyendo ab. Por ejemplo:(2, 4] Son todos los numeros entre 2 y 4 sinincluir el 2, pero incluyendo a 4.
Parentesis a la derecha y corchete a la izquierda:[a, b)⇒ Son todos los numeros entre el numeroa y elnumerob, sin incluir ab, pero incluyendo aa.
Parentesis a la izquierda e infinito a la derecha:(a,∞) ⇒ Son todos los numeros mayores quea, sinincluir aa.
9 INTERVALOS. 20
Corchetes a la izquierda e infinito a la derecha:[a,∞)⇒ Son todos los numeros mayores o iguales aa.Se incluye aa.
Parentesis a la derecha y menos infinito a la izquierda:(−∞, a)⇒ Son todos los numeros menores quea, sin incluir aa.
Corchetes a la derecha y menos infinito a la izquierda:(−∞, a] ⇒ Son todos los numeros menores oiguales aa. Se incluye aa.
✎ Nota:Las soluciones de las inecuaciones, los intervalos de continuidad o derivabilidad de una funcion suelen ser
intervalos.
Recuerda:
< Menor que> Mayor que≤ Menor o igual≥ Mayor o igual6= Distinto a
Por ejemplo, la desigualdadx < 3, representa a todos lox que son menores a3. Esto se puede representarmediante un intervalo,(−∞, 3).Otro ejemplo, la desigualdadx ≥ 4, representa a todos lox que son mayores o iguales a4. Esto se puederepresentar mediante un intervalo,[4,+∞).
Ejercicios: ¿Que intervalos representan las siguientes desigualdades?
1. x > 5
2. x + 1 > 6
3. 2x + 1 ≤ 1
Sols.: 1.(5,+∞), 2. (5,+∞), 3. (−∞, 0)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Figura 3: Recta representando el intervalo (-1,3].
Los intervalos se suelen representar sobre la recta real. Para ello se marcan los valores que contiene elintervalo. Por ejemplo, el intervalo (-1,3] esta representado el la figura 3. En el -1 se coloca un cırculo paraindicar que ahı esta abierto el intervalo.
10 EL VALOR ABSOLUTO. 21
10. El valor absoluto.
Se define elvalor absolutode un numero, como el numero sin signo. Ası el valor absoluto de -3 es 3. Elvalor absoluto de 5 es 5. El valor absoluto de -12909 es 12909.
Otra forma de definirlo es usando la siguiente funcion:
|x| ={
x si x ≥ 0−x si x < 0
Ası | − 3| = 3, |+ 5| = 5, | − 1234| = 1234.
Ejercicios:
1. Calcular los valores absolutos de|1|, |1− 3|, |45 |, | − 1894387|
2. Razonar los intervalos que cumplen las siguientes desigualdades:
a) |x| < 2
b) |x| ≤ 2
c) |x− 1| ≤ 3
Sol.: 2.a(−2, 2), 2.b[−2, 2], 2.c [−2, 4]
11. Error y redondeo.
Es habitual realizar aproximaciones al realizar calculos. Hay dos tipos de aproximaciones:
Truncamiento consiste en cortar la expresion decimal por un lugar determinado. Por ejemplo:2,3456789→ 2,3456
Redondeosimilar al anterior, pero ahora:
• Si la primera cifra despreciada es menor que 5, se realizaraun truncamiento. Por ejemplo:2,41→2,4
• Si la primera cifra despreciada es mayor o igual a 5, la ultima cifra decimal que se conserva quedaaumentada en una unidad. Por ejemplo:2,47→ 2,5
Al realizar una aproximacion, siempre existira un error en la cifra aproximada, aunque sea pequeno. Paradescribir la magnitud del error se usara:
Error absoluto es el valor absoluto de la diferencia entre el valor aproximado y el exacto. Por ejemplo:Si se aproxima2,47→ 2,5, entonces el error absoluto sera|2,5− 2,47| = 0,03
Error relativo es el cociente entre el error relativo y la cifra aproximada.Por ejemplo: Si se aproxima2,47→ 2,5, entonces el error relativo sera|2,5−2,47|
2,5 = 0,012
12 PARA FINALIZAR. 22
Para indicar el error cometido se suele usar la siguiente notacion:2,50± 0,03 que indica que la cifra exactaestara entre2,53 y 2,47.
Como curiosidad indicar que esta notacion es usada por los cientıficos para expresar la exactitud de lasmedidas. Ası si algo mide12,0±0,5 mm quiere indicar que el objeto mide 12 mm y la regla era capaz de medirmedio milımetro.
Ejercicios: Aproximar, truncando y redondeando hasta la penultima cifra decimal los siguientes numeros, in-dicando el error absoluto y relativo que se comente. Expresar el resultado usando la notacion±:
1. 12.34
2. 12.35
Sols.: 1.12,3± 0,04 er=0.003, 2.12,3± 0,05 er=0.00412,4± 0,05 er=0.004
12. Para finalizar.
El alumno deberıa terminar de ver el tema por el texto base dela asignatura (los apuntes intentan comple-mentar a los contenidos del texto) y ver ejemplos de ejercicios resueltos en la pagina de la asignatura. Tambiense deberıan intentar realizar los ejercicios propuestos en el libro y en la guıa didactica.
13. Ejercicios.
Importante: Repasar los conocimientos relacionados con cada ejercicioantes de realizarlo. Procurar hacerun ejercicio hasta obtener el resultado correcto. En caso deduda, consultar con el tutor.
1. Realizar las siguientes operaciones con numeros enteros:
a) 2-3+4
b) 4-5-10
c) -4-5+10-11+3-17
Sol. 3, -11, -24
2. Antes de realizar las siguientes operaciones, recuerda:Primero se deben realizar los parentesis, despues multiplicaciones y divisiones y, porultimo, sumas yrestas.
a) 2(5-7)
b) 2-3(2-3)
c) (3-5)2-3(5-7)
d) 3(2-7(4-5))-3
Sol. -4, 5, 2, 24
3. Descomponer los siguientes numeros en factores primos:
13 EJERCICIOS. 23
a) 12
b) 840
c) 1764
d) 117
Sol.22 · 3, 23 · 3 · 5 · 7, 22 · 32 · 72, 32 · 13
4. Calcular el MCD y el mcm de los siguientes numeros:
a) 3, 4
b) 4, 12
c) 10, 12, 18
d) 9, 27, 18
e) 12, 144, 7
Sol. mcm: 12, 12, 180, 54, 1008Sol. MCD: 1, 4, 2, 9, 12
5. Simplificar las siguientes fracciones:
a) 12144
b) 32150
c) 18270
Sol. 1
12, 16
75, 1
15
6. Realizar las siguientes sumas y restas de fracciones:
a)1
12+
3
4
b)1
4− 5
6+
7
9
c)2
9− 7
4+
5
3− 2
7
d)5
9− 17
5+
5
3− 2
14
Sol. 5
6, 7
36,− 37
252,− 416
315
7. Realizar las siguientes operaciones con fracciones:
a)3
4· 10
9
b)2
9· 2710
c)3
4:
9
10
d)
2
910
27
13 EJERCICIOS. 24
Sol. 5
6, 3
5, 5
6, 3
5
8. Realizar las siguientes operaciones combinadas con fracciones:
a)1
7+ 2
(5
4− 1
9
)
b)1
2− 1
3
(2
9− 1
4
)
c)
2
9− 1
53
4+
2
3
d)
2
9− 1
53
4+
2
3
− 4
255
Sol. 305
126, 55
108, 4
255, 0
9. Repasar las propiedades de las potencias:
a) a2 · a3
b) a3 · a4 · a7
c)a4
a5
d)a2 · a3
a3 · a4 · a7
Sol.a5, a14, 1
a, 1
a9
10. Realizar las siguientes operaciones:
a) 3− 2√
2 +√
8
b) 22−
√2
+ 22+
√2
c) (2−√
3)2
Sol.3, 4, 7− 4√
3