teor´ıa de nu´meros elemental - 2012 -...

Universidad Na ional de La MatanzaLi en iatura en Matemáti a Apli adaTeoría de Números

Profesores:Roberto OviedoMartín Ramos

meros elemental - 2012Teorıa de nu

♣ 1

1. Divisibilidad.

1. a) (†) El producto de dos numeros naturales m y n aumenta en 132 si cada uno de ellosaumenta en 6. Determine todos los posibles valores de m y n, sabiendo ademas que n esmultiplo de m.

b) Aumentando en 7 los dos factores de un producto se aumenta el producto en 364. En-cuentre ambos factores sabiendo que su diferencia es 5.

2. Determine los numeros enteros n que satisfacen la relacion planteada:

a) n|n + 1.

b) n− 1|n.

c) (†) n− 2|n + 2.

d) (†) 3n− 11|3n− 1.

e) n− 3|n2 + 1.

f ) (†) n + 1|n2 + 3.

g) n− 1|n2 + 5.

h) n− 2|n3 − 2.

3. Halle el mayor n ∈ N tal que n + 5|n3 + 5.

4. Demuestre que los unicos divisores comunes que tienen 3n+2 y 5n+3 son +1 y −1, cualquierasea el entero n.

5. Analice si las siguientes ecuaciones tiene alguna solucion entera.

Sugerencia: por lema de Gauss o por un analisis de la paridad.

a) (†) x5 + 11x3 + 9 = 0

b) x7 + x5 + x3 + x + 1 = 01El alumno estudioso no deberıa dejar de practicar aquellos ejercicios marcados con una daga (†).

1

Teorıa de numeros elemental - 2012

6. Pruebe que los siguientes numeros son naturales:

a)√

3+√

2√3−√

2− 2

√6

b)√

7 + 4√

3 +√

7− 4√

3

c) 3

√2 + 10

√3

9 + 3

√2− 10

√3

9

d) 3√

2 +√

5 + 3√

2−√

5

7. (†) Resuelva en N:

a) 3(n4

)= 5

(n−1

5

).

b) (18− 2n)(n6

)= n

(n−2

4

).

8. (†) Sea un = (3 +√

5)n + (3−√

5)n.

a) Pruebe que (∀n ∈ N)un ∈ Z.

b) Pruebe que (∀n ∈ N)un+1 = 6un − 4un−1.

c) Pruebe que (∀n ∈ N)2n|un.

d) Pruebe que el menor entero mayor que (3 +√

5)n es divisible por 2n.Sugerencia: 0 < (3−

√5)n < 1

9. Demuestre que las siguientes proposiciones son validas (∀n ∈ N).

a) (†) 3|4n − 1.

b) 7|32n+1 + 2n+2.

c) 11|32n+2 + 26n+1.

d) (n!)2|(2n)!. Ademas (2n)!(n!)2

es un numero par.

e) 24|n(n2 − 1)(3n + 2).

10. Pruebe que (∀n ∈ N) el producto de n enteros consecutivos es divisible por n!.

11. Decimos que un punto del plano tiene coordenadas enteras si (x, y) ∈ Z2. Dados cinco pun-tos distintos del plano con cooordenadas enteras, trazamos los segmentos que estos puntosdeterminan. Demuestre que al menos uno de los puntos medios de estos segmentos tienecoordenadas enteras.

2

3

2. Division entera.

1. (†) Indique para cuales valores de n los siguientes enteros son pares.

a) 5n2 + 3

b) (n− 1)n

c) n(n + 1)

d) (n− 1)(n + 1)

e) (n2 − 1)(n2 + 1)

f ) (n2 − 2)(n2 + 2)

g) (n2 − 1)(n2 − 2)

h) n3 + n

i) n3 + n2 + n + 1

j ) (−1)n · 5 + (−1)n+1 · 7k) (n + 1)(5n + 3)

l) (3n + 1)(7n + 4)

2. Demuestre:

a) La suma de dos numeros impares consecutivos es multiplo de 4.

b) La suma de tres numeros impares consecutivos es divisible por 3 pero no por 6.

c) El producto de dos numeros pares consecutivos es divisible por 8.

3. Pruebe que para cualquier valor de n ∈ N se cumple que

a) 2|n ⇒ 4|n2 + 2n + 4.

b) 3 - n2 + 1.

c) 2|n ⇒ 48|n3 + 20n.

4. Pruebe las siguientes proposiciones.

a) Todo primo impar tiene una de las formas 4m + 1 o 4m + 3, con m ∈ Z.

b) Todo primo que no sea ±2,±3 es de la forma 6m + 1 o 6m− 1, con m ∈ Z.

c) Todo primo de la forma 3k + 1 es de la forma 6m + 1, con k, m ∈ Z.

d) (†) Todo primo mayor que 5 es de la forma 30m+n, con m ∈ N0 y n ∈ {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}.

5. El resto de la division de un numero por 4 es 3, y el resto de la division del mismo numeropor 9 es 5. Encontrar el resto de la division del mismo numero por 36.

(Se vera otra resolucion de este ejercicio en el capıtulo Sistemas de ecuaciones linealesde congruencia.)


4

6. Calcule el cociente y el resto de la division entera de b por a.

a) b = 7, a = 3.

b) b = −7, a = 3.

c) b = 7, a = −3.

d) b = −7, a = −3.

e) b = 3, a = 7.

f ) b = −3, a = 7.

g) b = 3, a = −7.

h) b = −3, a = −7.

7. (†) Calcule el cociente y el resto de la division entera de b por a.

a) b = n2 − 1, a = n, para n ∈ N.

b) b = n2, a = n + 1, para n ∈ N.

8. Sea n un numero impar tal que su resto en la division por 10 no es 3, ni 5 ni 7. Halle el restode dividir n2 por 40.

9. (†) ¿Para cuales numeros n ∈ N la fraccion 3n+45 es un numero entero?.

10. Tenemos una lista de once numeros enteros consecutivos. Al dividir cada uno de ellos por 9se obtienen tres cocientes diferentes. ¿Cuales son los restos de dividir por 9 cada uno de losnumeros de la lista?

11. Dos numeros enteros m y n (m < n) difieren en 110. El resto de dividir m por 9 es mayor queel resto de dividir n por 9, y ninguno de los dos es multiplo de 9. ¿Cuales son esos restos?

12. Halle n sabiendo que el cociente de dividir n por 29 es 5 y que el resto de dividir n + 10 por29 es 3.

13. Sea a un numero entero de la forma 60k − 27. Determine el cociente y el resto de dividir apor 3, 4, 5, 10 y 15.

14. (†) En cada uno de los siguientes casos, determine el mayor numero natural n que satisfacela condicion requerida.

a) El cociente de dividir n por 15 es el doble de su resto.

b) El resto de dividir n por 18 es el doble de su cociente.

15. Sea un entero b tal que el resto de su division por 7 sea 4. Halle:

a) El resto de dividir 2b− 11 por 7.

b) El resto de dividir 2b2 − 5 por 14.


17. (

16. Sean

5

a ∈ N, b ∈ Z. Conociendo el cociente y el resto de b dividido a, halle el cociente y elresto de a− b dividido a.

†) Dados los enteros a, b, c, d, pruebe que

12 | (a− b)(a− c)(a− d)(b− c)(b− d)(c− d)


6

3. Operaciones con restos.

1. El resto de la division del numero entero a por 11 es 7. Calcule el resto de la division por 11de los siguientes numeros.

a) a + 74

b) −a

c) 51− a

d) 97a

e) a22

f ) a + 3a2

g) a3 + a2 + a + 1

h) 10a21 − 103a20 + 2a19 − 72a18

i) 7(a + 1)17

j ) 7(a− 1)17

Este ejercicio vuelve a aparecer en el capıtulo Congruencias.

2. (†) Pruebe que un numero no puede ser simultaneamente multiplo de 12 aumentado en 5 ymultiplo de 15 aumentado en 4.

3. Dados m ∈ Z, m 6= 0, halle los restos posibles de m2 y m3 en la division por 3, 4, 5, 7, 8 y 11.

4. Sean a y b enteros, b 6= 0. Si a− b = 175 y la division de a por b tiene cociente 15 y resto 7,halle a y b.

5. Halle, para cada n ∈ N, el resto de la division de∑n

k=1(−1)kk!, por 36.

6. Pruebe que:

a) (†) La suma de los cuadrados de tres numeros no divisibles por 3 es un multiplo de 3.

b) (†) La diferencia de cuadrados de dos numeros no divisibles por 3 es un multiplo de 3.


4. Maximo comun divisor.

7

1. Halle el MCD de a y b y expreselo como CLE de ambos numeros.

a) (†) a = 2001, b = 368.

b) a = 84, b = 45.

2. (†) El MCD de 84 y un cierto numero natural n es 14. ¿Cual puede ser el resto de dividir npor 84?

3. Calcule los siguientes maximos comunes divisores.

a) (120 : 84).

b) (1159 : 665).

c) (n2 + 1 : n + 1) donde n es un numero natural impar.

d) (†)(10n − 1 : 495)

4. Demuestre las siguientes proposiciones, para n ∈ N.

a) (n2 + 1 : n− 1) =

{2 si 2 - n

1 si 2 | n

b) (n2 − n : 2(n + 1)) ∈ {2, 4}.

5. Pruebe (∀n ∈ N):

a) (†) (2n + 3n : 2n+1 + 3n+1) = 1

b) (2n + 5n : 2n − 5n) = 1

c) (9n − 5n+1 : 9n+1 + 5n) ∈ {2, 46}d) (2n + 5n+1 : 2n+1 + 5n) ∈ {3, 9}e) (3n + 5n+1 : 3n+1 + 5n) ∈ {2, 14}

6. Demuestre que

(a : b) = 1 ⇒ (a− b : a + b) =

{1 si a y b tienen diferente paridad2 si a y b son ambos impares


6. Sea

5. (

4. Sean

3. Sean

2. Demuestre que la fraccion

8

5. Coprimalidad.

1. Demuestre que si a1b1 − a2b2 = ±1 entonces no se puede realizar ninguna cancelacion en lafraccion

a1 + a2

b1 + b2

15n + 410n + 3

es irreducible, cualquiera sea el numero natural n.

a, b, c, d ∈ N, tales que a ⊥ b, c ⊥ d y b 6= d. Pruebe que

a

b+

c

d6∈ Z

a y b enteros positivos coprimos. Calcule los posibles valores de los siguientes MCD.

a) (†) (3a− b : 2a + b).

b) (2a− 5b : 4a + 3b).

†) Pruebe que no existe ningun polinomio f(t) con coeficientes enteros tal que f(1) = 2 yf(3) = 5.

f(t) un polinomio con coeficientes enteros tal que 3 - f(0), f(1), f(2). Pruebe que (∀t0 ∈Z)f(t0) 6= 0.


9

6. Mınimo comun multiplo.

1. Halle todos los numeros naturales a y b tales que (a : b) = 225 y [a : b] = 4725.

Este ejercicio vuelve a aparecer en el capıtulo Descomposicion primaria.

2. Encuentre los numeros naturales que satisfacen cada una de las siguientes igualdades.

a) (†) [n : 84] = 30(a : 84)

b) [n : 42] = 30(a : 84)


10

7. Ecuacion diofantica lineal.

1. Resuelva la ecuacion diofantica5x + 22y = 18

2. Resuelva en Z2.25x +

74y =

53

3. ¿Cuantos numeros naturales menores que 10000 son multiplos de 7 y tienen a 26 como susultimas dos cifras?

4. Analice para cuales valores de n ∈ N las siguientes ecuaciones tienen solucion en Z2.

a) 15x− 4y = n

b) 15x + 5y = n

c) (†) 12x− 5y = 3n

d) 12x + 15y = 3n

e) 12x + 15y = 20n

f ) (†) 12x + ny = 1

g) 5x + 3ny = 3

h) 5n2x + 3ny = 1

i) 5n2x + 3ny = 2n

j ) 5(n2 + 1)x + 3ny = 2

5. Analice cual es el mayor valor de n ∈ N para el cual la ecuacion 9x + 14y = n tiene solucionunica en N2.

6. Escriba el numero 215441 como suma de dos enteros, uno de ellos divisible por 1183 y el otrodivisible por 1089. Analice, si hay solucion, su unicidad.

7. ¿Cuantos numeros enteros entre 1 y 1000 inclusive pueden descomponerse en suma de unmultiplo positivo de 7 mas un multiplo positivo de 4?

8. Escriba, si existe, el coeficiente del termino x11 en el desarrollo de(5x3 +

6x2

)17

9. Escriba, si existe, el coeficiente del termino x11 en el desarrollo de(5x3 +

6x2

)17

·(

11x4 +2x5

)14


11

8. Primos.

1. Pruebe que 2, 3, 5 son numeros primos.

2. Pruebe que si n > 1, ninguno de los siguientes numeros son primos.

a) n4 + n2 + 1Sugerencia: (a2 + a + 1)(a2 − a + 1) = a4 + a2 + 1. Intente llegar a esta factorizacionresolviendo la ecuacion bicuadrada z4 + z2 + 1 = 0 en C.

b) (†) n3 + 1

c) n4 + 4.

3. Halle todos los primos p de modo que 2p− 1 y 2p + 1 tambien sean primos.

4. (†) Pruebe que si p es primo y 0 < a < p, entonces p|(pa

).

5. (†) Sea el polinomio de coeficientes enteros x2 + ax + p, con p ∈ P. ¿Cuales son los posiblesvalores de a para que las raıces del polinomio sean enteras?

6. Se quiere construir una tabla que contenga todos los primos menores que 106, utilizando elalgoritmo de la criba de Eratostenes. ¿Con cuantos primos hay que probar la divisibilidad?

7. Halle todos los primos que tengan las siguientes formas, para n ∈ N:

a) n3 − 1

b) n2 − 4


12

9. Congruencias.

1. El resto de la division del numero entero a por 11 es 7. Calcule el resto de la division por 11de los siguientes numeros.

a) a + 74

b) −a

c) 51− a

d) 97a

e) a22

f ) a + 3a2

g) a3 + a2 + a + 1

h) 10a21 − 103a20 + 2a19 − 72a18

i) 7(a + 1)17

j ) 7(a− 1)17

Este ejercicio se ha resuelto en el capıtulo Operaciones con restos.

2. Teniendo en cuenta que 24 + 54 = 27 · 5 + 1 = 641, demuestre que 232 ≡ −1 (mod 641).

3. Pruebe, para a, b, c ∈ Z:

a) 2 - a ⇒ 8|a2 − 1

b) 2 - a ⇒ 16|a4 − 1

c) (†) 5|a2 + b2 + 1 ⇒ 5|a ∨ 5|bd) a2 + b2 6≡ 3, 6, 7 (mod 8)

e) a2 + b2 + c2 6≡ 7 (mod 8). O tambien 8 - a2 + b2 + c2 + 1. O tambien que ningun enterode la forma 8k + 7 es la suma de los cuadrados de tres enteros.

4. Pruebe que 3|2n − 1 ⇔ 2|n.

5. a) Si a ≡ 39 (mod 15), calcule el resto de la division de a por 3, 5, y 15.

b) Si a ≡ −62 (mod 12), calcule el resto de la division de a por 2, 3, 4, 6 y 12.

c) Si a ≡ 39 (mod 15), calcule el resto de la division de a3 + a2 + a + 1 por 15.

6. Sea f(x) = anxn +an−1xn−1 + · · ·+a1x+a0 un polinomio con coeficientes enteros. Demuestre

que si para d enteros consecutivos x1, x2, · · · , xd se tiene que sus valores a traves de f sontodos divisibles por d, i.e. d|f(xi) con i = 1, 2, · · · , d entonces (∀x ∈ Z)d|f(x).

7. Demuestre que no hay ningun cuadrado cuya expresion decimal termine en 79.

8. Encuentre todos los m naturales tales que 2050 ≡ 2295 (mod m).


13

9. Sea ∆ = b2 − 4ac el discriminante de una ecuacion cuadratica con coeficientes enteros. De-muestre que ∆ ≡ 0 o 1 (mod 4).

10. Demuestre que si (x : 6) = 1 entonces x2 ≡ 1 (mod 24).

11. Demuestre que si p es un primo mayor que 2, entonces

1 + 2 + 3 + · · ·+ (p− 1) ≡ 0 (mod p)

¿Es valida la expresion para algun p compuesto?

12. Considere la sucesion de Fibonacci

Fn =

F1 = 1F2 = 1Fn = Fn−1 + Fn−2 si n > 2

a) ¿Que terminos de la sucesion de Fibonacci son multiplos de 7? ¿Y de 14?

b) Determine el ultimo dıgito de F100.

13. a) Demuestre que, dados 5 numeros naturales, siempre existen 3 de ellos cuya suma esdivisible por 3. ¿Que ocurre si son 4 los numeros naturales?

b) Demuestre que, dados 17 numeros naturales, siempre existen 5 de ellos cuya suma esdivisible por 5.

c) Demuestre que, dados 2001 numeros naturales, siempre existe un subconjunto de elloscuya suma es divisible por 2001.

14. (†) Pruebe que para ningun n ∈ N el numero 3n + 2 · 17n es un cuadrado perfecto.

15. (†) Demuestre que si p es un primo positivo y si a y b son enteros, entonces

(a + b)p ≡ ap + bp (mod p)

llamada por Fraleigh la exponenciacion estudiantil.

Este ejercicio vuelve a aparecer en el capıtulo Teoremas de la aritmetica modular .

Sugerencia: Recuerde el siguiente ejercicio, que aparece repetido en los capıtulos Primos yCoprimalidad : “Pruebe que si p es primo y 0 < a < p, entonces p|

(pa

)”.

16. Halle todos los primos p tales que p + 4 es primo y p + 8 es primo.

Este ejercicio ya aparecio en el capıtulo Division entera con otra resolucion.


14

10. Ecuacion lineal en congruencia.

1. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales de congruencia

a) 2x ≡ −21 (mod 8).

b) 2x ≡ −12 (mod 7).

c) 3x ≡ 15 (mod 4).

d) 10x ≡ 15 (mod 35).

e) 25x ≡ 15 (mod 29).

f ) 36x ≡ 18 (mod 102).

2. Analice la existencia y cantidad de soluciones en Zm de la ecuacion ax ≡ b (mod m), yresuelvala.

a) 5x ≡ 7 (mod 11)

b) 5x ≡ 5 (mod 11)

c) (†) 5x ≡ 5 (mod 10)

d) 4x ≡ 6 (mod 10)

e) (†) 9x ≡ 6 (mod 10)

f ) 9x ≡ 6 (mod 5)

g) 5x ≡ 6 (mod 10)

h) 8x ≡ 6 (mod 10)

3. Resuelva en Zm la ecuacion ax ≡ b (mod m).

a) 472 · 533 · 592 · x ≡ 475 · 53 · 595 (mod 473 · 532)

b) 472 · 533 · 592 · x ≡ 475 · 533 · 595 (mod 473 · 532)

c) 472 · 532 · 592 · x ≡ 472 · 53 · 59 (mod 473 · 53)

4. Resuelva los siguientes sistemas de dos incognitas en Zm × Zm.

a) En Z7 × Z7. {x + 3y ≡ 2 (mod 7)2x + y ≡ 3 (mod 7)

b) En Z10 × Z10. {x + 2y ≡ 3 (mod 10)3x + y ≡ 2 (mod 10)

c) En Z10 × Z10. {x + 2y ≡ 3 (mod 10)3x + y ≡ 2 (mod 10)


15

d) En Z19 × Z19. {3x + 7y ≡ 5 (mod 19)17x + 18y ≡ 13 (mod 19)


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11. Sistemas de ecuaciones lineales en congruencia.

1. (†) Resolver en Zm, donde m =∏

i mi

a) (†)

3x ≡ 1 (mod 2)x ≡ 3 (mod 5)2x ≡ 3 (mod 7)

b)

x ≡ 4 (mod 6)3x ≡ 1 (mod 5)x ≡ 3 (mod 8)

c)

{x ≡ 4 (mod 6)x ≡ 2 (mod 8)

2. (†) El resto de la division de un numero por 4 es 3, y el resto de la division del mismo numeropor 9 es 5. Encontrar el resto de la division del mismo numero por 36.

Este ejercicio ya se ha resuelto en el capıtulo Division entera.

3. Calcule el resto de dividir por a el numero b.

a) (†) b = 125314, a = 21

b) b = 240314, a = 99

Se volvera a resolver este ejercicio en el capıtulo Teoremas de la aritmetica modular.

4. Este problema esta mencionado por Oystein Ore, quien lo ha recogido de la obra deBrahmagupta (matematico indio, quien vivo entre +598 y 670) intitulada Brahma-Sphuta-Siddhanta (El sistema revisado de Brahma).

Una anciana va en carro al mercado y en el viaje un caballo golpea su canasta, quebrandotodos los huevos que llevaba consigo. El conductor del carro ofrece pagarle los danos y lepregunta cuantos huevos llevaba en la canasta. La anciana no recuerda la cantidad exacta,pero sı recuerda que cuando los estaba guardando de a dos, sobraba uno. Lo mismo ocurriocuando ella los tomaba de a tres, de a cuatro, de a cinco y de a seis por vez, siempre sobrabauno. Pero cuando los separo de a siete no sobro ninguno. ¿Cual es la mınima cantidad dehuevos que pudo haber llevado en su canasta?

5. a) Halle cuatro enteros consecutivos que sean divisibles, respectivamente, por 7, 9, 11 y 13.

b) Halle cuatro numeros impares consecutivos que sean divisibles, respectivamente, por 7,9, 11 y 13.

6. Un mago adivina el dıa y el mes del cumpleanos de una persona con solo conocer el resultadode calcular 12d + 31m (donde d es el dıa y m el numero de mes). Una persona del publico ledice que el resultado del calculo anterior es el numero 435. ¿Que dıa cumple anos?


6. Calcule el resto de

5. Calcule el resto de dividir por

4. (

3. Halle el resto de 15! en la division por 17.

17

12. Teoremas de la aritmetica modular.

1. Analice si existe el inverso multiplicativo de a en el anillo (Zm,+, ·).

a) a = 2, m = 5

b) a = 3, m = 4

c) (†) a = 2, m = 4

d) a = 12, m = 17

e) a = 55, m = 101

f ) a = 55, m = 102

g) (†) a = 51, m = 102

h) a = 71, m = 253457

i) (†) a = 73, m = 253457

j ) a = 3773, m = 253457

2. Calcule los valores que se indican.

a) ϕ(77)

b) ϕ(18000)

c) ϕ(10!)

d) (†) ϕ(340200)

†) Halle el resto de 2 · 26! en la division por 29.

a el numero b.

a) (†) b = 125314, a = 21

b) b = 240314, a = 99

Este ejercicio fue resuelto en el capıtulo Sistemas de ecuaciones lineales en congruencias.

b en la division por a. Resuelvalo utilizando si es posible el Pequeno teoremade Fermat y el Teorema de Fermat-Euler (ambos).

a) b = 710, a = 11.

b) b = 712, a = 11.

c) b = 371210, a = 11.

d) b = 371213, a = 11.

e) (†) b = 314164, a = 165.

f ) b = 99999999, a = 7.

g) b = 171167, a = 11.


18

5. ¿Cuales son las 3 ultimas cifras del desarrollo decimal de 19971998?

6. a) Pruebe que (∀n ∈ N)25n ≡ 1 (mod 31)

b) Halle el resto de la division de 251833 por 31.

c) Sea k ∈ N. Sabiendo que 2k ≡ 39 (mod 31), halle el resto de la division de k por 5.


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