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LGEBRA Y TRIGONOMETRA

D E P A R T A M E N T OD EC I E N C I A SB S I C A S

IndiceContenidoUnidad N ": Lgica y CuantificadoresLgica & Tablas de Verdad ' Conectivos Lgicos u Operadores Lineales ( Negacin, Conjuncin 7

Disyuncin, Condicional 8

Bicondicional 9

Ejercicios 9Tablas de Verdad para Proposiciones Compuestas"1

Ejercicios"3

Clasificacin de Proposiciones Compuestas"5

Leyes del Algebra Proposicional16

Ejercicios19

Lgica Cuantificacional19

Ejercicios21

Valor de verdad funcion Proposicional24

Ejercicios29

Negacin de Proposiciones32

Autoevaluacin

Unidad N 2: ConjuntosConjuntos35Formas de escribir un conjunto36

Tipos de Conjuntos37

Subconjuntos40

Propiedades de los Subconjuntos41

Ejercicios42

Operaciones con conjuntos43

Ejercicios44

Figuras achuradas52

Propiedades de los Conjuntos53

Problemas de aplicacin55

Autoevaluacin61

Unidad N 3: Relaciones y FuncionesPropiedades del Producto Cartesiano64

Relacin66

Representacin Grfica67

Dominio y Recorrido68

Plano Cartesiano70

Grfico de algunas relaciones71

Ejercicios72

Funcin83

Ejercicios84

Tipos de funcion88

Funcin Inyectiva91

Funcin Sobreyectiva91

Funcin Biyectiva y Funcin Inversa93

Anlisis Completo94

Autoevaluacin112

Unidad N 4: Funcin Exponencial y Logartmica

Funcin exponencial y logartmica106

Propiedades de la funcin Exponencial108

Aplicaciones de la Funcin Exponencial109

Funcin Logartmica113

Propiedades de la Funcin Logartmica115

Logaritmos Decimales o Comunes117

Logaritmos naturales118

Propiedades de los Logaritmo121

Ecuaciones exponenciales124

Ecuaciones Logartmicas127

Sistemas de ecuaciones logartmicas y Exponenciales129

Autoevaluacin131

Unidad N 5: Trigonometra

Trigonometra133

Sistemas de Medida135

Angulos Cotermiales139

Angulo en posicin estndar142

Velocidad angular141

Funciones trigonomtricas142

Signos de la funciones trigonomtricas145

Problemas aplicados145

Angulos de elevacin y depresin153

Grfico de las funciones trigonomtricas156

Grfico de la funcin seno164

Identidades175

Ley de los Senos181

Ley de los Cosenos186

Ecuaciones Trigonomtricas192

Funciones trigonomtricas inversas194

Unidad N 6: Nmeros Complejos

Nmeros Complejos198

Representacin grfica de los nmeros Complejos199

Operaciones con complejos202

Forma polar de un nmero complejo205

Races de un nmero complejo210

Unidad N 7: Polinomios

Polinomios216

Operaciones con Polinomios216

Teorema del cuociente y del resto218

Teorema fundamental del lgebra220

Unidad N 8: Induccin MatemticaInduccin Matematica225

Unidad N 9: Teorema del BinomioTeorema del Binomio230

Frmula general del Binomio230

Bibliografa235

CAPITULO I

LOGICA Y CUANTIFICADORES

LOGICALa Lgica Matemtica es la disciplina que trata de mtodos de razonamiento.

En un nivel elemental, la lgica proporciona reglas y tcnicas para determinar si es o no valido un argumento dado.

El razonamiento lgico se emplea en matemtica para demostrar teoremas; en Ciencias de la Computacin para verificar si son o no correctos los Programas; en las Ciencias Fsicas y Naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las Ciencias Sociales y en la Vida Cotidiana, para resolver una multitud de problemas.

Ciertamente usamos en forma constante el razonamiento lgico para realizar cualquier actividad. Toda estructura matemtica necesita tener un razonamiento vlido a travs de un lenguaje que sea de uso universal.

Proposicin: Es una expresin con sentido en algn lenguaje que afirma o niega algo y que nos proporciona informacin.

Las proposiciones se denotan con la letras

: ; < .etc..

Ejemplo 1:: El pizarrn es verde

; # $ (< A ella le gusta la msica

Si observa las proposiciones, pueden ser Verdaderas o Falsas, no aceptan ambigedades.No son proposiciones:

a) el interruptor b) #B $ 'c) Qu hora es ?

Estos enunciados no son proposiciones porque no tienen sentido, no afirman ni niegan.

Valor de Verdad: Es una funcin que define una proposicin. El valor de verdad puede ser

Verdadero (V) o Falso (F).

Tablas de VerdadUna Tabla de Verdad es una forma de resumir el valor de verdad de las proposiciones. Esta se construye de acuerdo al nmero de proposiciones distintas que se den.

El nmero de combinaciones posibles de valores de verdad se determina al resolver la expresin8 representa el nmero de proposiciones dadas.

Veamos cmo funciona !!

Si hay una sola proposicin, 8 ", resolvemos # " #. Esto significa que se pueden dar dos posibles valores de verdad y la tabla que resulta es:

:

Z

J

Si hay # proposiciones distintas :

y ;, 8 #

entonces resolvemos

# # %es :

Esto significa que se pueden dar cuatro combinaciones de valores de verdad y la tabla que resulta

:;

ZZ

ZJ

JZ

JJ

Si hay tres proposiciones , 8 $

resolvemos

# $ )Es decir, se pueden dar ocho combinaciones de valores de verdad y la tabla es::;f)=(>) > # %> $

g)1(2) &2 $

, $h):(,) , #II)Determine el Recorrido de las siguientes funciones:a)0 (B) )B $

b);(B) #B # %c)) $> #>" e)7 : [ %, _[;

7(>) > # % RespuestaM

MM )

a)

b)

c) 1

d) e) > # f)

$g) 2 &

h) , #,$

II)

a)

b) C %

c) C "#

"d) #$e)

f)

g) !!#III)

a)

0 1 :

;0 1 (B) %B #b)1" *, _

11 (B) B *

c):" : [ #, _[ ;

d)=" : $ " ;

:1 (B) B "!&=1 (>) ># >$ e)7" : [ %, _[ ;

donde T

es la cantidad presente en > ! y E la cantidad que queda despus de > aos. Si se

colocan &!! milgramos de estroncio *! en un reactor nuclear. Cunto quedar despus de "! aos? (Exprese la solucin con dos decimales)

Respuesta:

El modelo es E T / !!#%) > , se reemplazan los datos dados: T &!! y > "!Luego: E &!! / !!#%)"!E $*! ")Despus de "! aos quedan aproximadamente $*! ") miligramos de estroncio *!Ejercicios: (dos decimales aproximado)" Para el mismo ejercicio dado anteriormente, considere

a)T "&!!

y > ), determine Eb) E "& !!! > ") meses, determine T2)Si el monto generado por un capital G colocado a una tasa de inters compuesto 3 al cabo de 8perodos de capitalizacin es:

Q G " 3 8a)Determine el Monto que se obtendr al cabo de & aos al depositarse $"&!!! a una tasa de inters de &% anual.

b)Si el Monto obtenido es de $ #!!!!!, la tasa de inters de $% anual y el tiempo transcurrido "&aos. Cul fue el capital?$ La poblacin mundial T

en "*(% era aproximadamente de $ * miles de millones y la tasa de

crecimiento anual del #%. Si se supone un crecimiento continuo entonces T $ * / !!# > , donde > es el tiempo en aos despus de "*(%.

Suponga que no ocurren cambios en la tasa de crecimiento.

+ Calcule la poblacin para #!!$.

b) En cunto tiempo la poblacin aumenta al doble

4)En condiciones ideales el nmero de bacterias presentes en un cultivo en > horas est dada por el

modelo

> !

R > "!!! / 5> , 5 es la tasa de crecimiento y "!!! es el nmero de bacterias en el tiempo

a) Cuntas bacterias habr a las $ horas si 5 ! !!" ?

b) Cuntas bacterias habr a las $ horas si 5 ! !# ?

& Se sabe que la concentracin de un frmaco en sangre viene dado por

C "!!! *% > C en

miligramos, > en horas).

a) Cul es la dosis inicial?

b) Qu cantidad de ese frmaco tiene el paciente al cabo de " hora? Y de tres horas?

c) Represente la funcin.

Respuesta1) + "#$!, "&&' )&2) + $ "*"%%, $ "#)$(#$ + ' *( miles de millones

, $% '' aos

% + "!!$, *%" ('&a) >= 0

C "!! 71b) > " y = 94 mg en 1 hora

> $ y = 83 mg en 3 horas

Otra funcin muy importante que tiene relacin con la funcin exponencial es la funcin logartmica, la cual vamos a estudiar a continuacin

FUNCION LOGARITMICAYa que la funcin exponencial

0

definida por

C , B

es biyectiva, tiene en

consecuencia una funcin inversa. Para encontrarla, haremos lo siguiente: Intercambiamos las variables B

e C para obtener B , C Esta frmula define a B como una funcin de C:

C es el exponente al que se eleva la base , para obtener B

as:

Reemplazando la palabra exponente por la palabra logaritmo podemos reformular la definicin

" C es el logaritmo en la base , de B " y abreviarla utilizando la frmula:

Esto nos relaciona la funcin logartmica con la exponencial. Por lo tanto, la funcin logartmica con base , se escribe:

Es la funcin inversa de la funcin exponencial con base ,.

GRAFICO DE LA FUNCION LOGARITMOde B.

La grfica de esta funcin es simtrica a la grfica de la funcin exponencial.

Para graficar le asignamos valores a C y al remplazarlas en la funcin B ,C obtenemos valores

Si la base es mayor que 1, la grfica de la funcin es siempre creciente, (se puede observar comocrece "ms deprisa", cuanto ms pequea es la base del logartmo).

Ejemplo:Graficar: 0 B 691 # B # C B

Ahora grafique usted las siguientes funciones logartmicas:

Ejercicios+ 0 B 691 $ B, 0 B 691 " B

#- 0 B 691 # B ". 0 B 691 & " BQu puede observar que tienen en comn estas grficas?

Algunas aplicaciones de la funcin logartmicaLos astrnomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta utilizan ciertos clculos de carcter logartmico. La ecuacin logartmica les permite determinar la brillantez y la magnitud.

En la fsica la funcin logartmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el clculo del volumen "L" en decibeles de un slido, para el cual se emplea la siguiente ecuacin P = 10 691 ( M /

M ! ) , donde M es la intensidad del sonido (la energa cayendo en una unidad de rea por segundo),

M ! es la

intensidad de sonido ms baja que el odo humano puede or (llamado umbral auditivo). Una conversacin

en voz alta tiene un ruido de fondo de 65 decibeles.

La geologa como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logartmicas para el clculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud V de un terremoto est definida como V 691 E E ! en la escala de Richter, donde E es la intensidad y E ! es una constante. ( E es la amplitud de un sismgrafo estndar, que est a "!! kilmetros del epicentro del terremoto).

De la funcin logartmica se puede decir que: El dominio es el conjunto de todos los nmeros reales positivos.

El recorrido es el conjunto de todos los nmeros reales.

La grfica pasa por el punto " ! Si

, ", la funcin es creciente.

Si ! , ", la funcin es decreciente.

691 , B 691 , A

, s y solo si, B A * El eje Y es una Asntota vertical , ya que se acerca al eje Y tanto como se desee,

sin llegar a cortarlo, hacia abajo en el caso en que , " y hacia arriba en caso

de , " ("SIEMPRE POR LA DERECHA")

En la expresin:

C 691 , B

se tiene que

La siguiente tabla muestra el paralelismo entre la forma logartmica y la forma exponencial:

Ejemplo:Calcule los logaritmos siguientes:a) 691 # "' ?, la solucin es %, porque #% "'b) 691 # ) ?, la solucin es $, porque #$ )EjerciciosEncuentre los siguientes logaritmos:+) log

& "#& ,) log (

" %* -) log " & .) log#&

""' )

/) log ' " 0 ) log $ $ 1 log "& '#& 2 log %* ( Respuesta

+ $

/ !, #

0 "- "#

1 %. $%2 "#

Consecuencias de la definicinNOTA: Lo siguiente es vlido para cualquier base , !, , 1

" El logaritmo de " en cualquier base es "cero"691 , " !# Si la base y el argumento son iguales, el logaritmo es "691 , , 1

$ El logaritmo de ww ceroww no est definido691 , !

no est definido

% El logaritmo de un nmero negativo no est definido& El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es el exponente de la potencia691 , , - -EjerciciosEncuentre los siguientes logaritmos:

+ 691 # # , 691 $#( - 691 % " . 691 + + 7" / 691 $ ! 0 691 & "! Respuesta+ " ,$- !.7 " / No est definido

0 No est definido

LOGARITMOS DECIMALES O COMUNESLa base de una funcin logartmica puede ser cualquier nmero real positivo diferente de ". En la

prctica, sin embargo dos son las bases ms importante cuando , "! y

, /

(# (")

Cuando la base es "! se escribe 691 y se subentiende que la base es "!.

Ejemplo691 "! "!!

se escribe 691 "!!" Encuentre Ud. el valor de los siguientes logaritmos (use su calculadora, # decimales):

a) 691 ! !"

b) 691 "!!!!c) 691 ! !!!!"e) # 691 % ' 691 (

d) 691 & 691 $

f) ' 691 % $ 691 *691 $2)Se sabe que la concentracin de un frmaco en la sangre viene dado por miligramos, > en horas).

C "!!! *% > C en

Si queremos que la concentracin no baje de 60 mg, al cabo de cunto tiempo tendremos que

inyectarle de nuevo?$ Un cultivo de bacterias crece segn la funcin C " # B"! (C : miles de bacterias, B: horas).

Calcule cunto tiempo tardarn en duplicarse.

Respuesta" + #

b) %

c) &d) ! ##

e) ' #(

f) " &(2"!! ! *% > '! > ) 2 "& 738Al cabo de aproximadamente )2 "& 738$ " #B"! % B "! 691 $ "& ) 2 "' 2LOGARITMOS NATURALESSi la base ,

de una funcin logartmica es / # (")#)")..., entonces

691 / B

se escribe 68 B

y se subentiende que la base es el nmero "/"

Ejemplo691 / "!!

se escribe 68 "!!Determine usando su calculadora los siguientes logaritmos use tres decimales:

a) 68 # b) 68 #$% c) 68 & d) # 68$ 68% e) $ 68 # & 68 $ 68 " f) 68' % 68 # # g) 68 / "# Respuestaa) ! '*$ b) & %&& c) " '!* d) ! )"" e) ( &($ f) ! *'#g) "# ! &Muchas veces conviene cambiar la base del logaritmo original a una base conocida. Para esto necesitamos la siguiente definicin:

FORMULA DE CAMBIO DE BASESi " + " y " , " son nmeros positivos diferentes de ", entonces para cualquier nmero positivo Rse cumple que:

691 , R 691 + R+EjemploUsando la forma anterior, encuentre el valor de

691 ' "), usando su calculadora

RespuestaEn este ejercicio podemos ver que , '

y R ")Como en la calculadora es posible encontrar los logaritmos decimales, cambiaremos a base "!, entonces + "!691 ")691 ") " '"$"'691 '

I) Cambie los siguientes logaritmos a la base que se pide Deje expresado:

a) 691 & # a base $

b) 691 % $ a base #

c) 691 & * a base $

II) Encuentre el valor de los siguientes logaritmosusando cambio de base (3 decimales aproximados):

a) 691 ( #" b) 691 & #"% c) 691 % ") d) # 691 & "' $ 691 % "& e) & 691 # ( 691 $ )I) a) 691 $ #

b) 691 # $

c) 691 $ *691 $ &691 # %691 $ &II)

a) " &'& b) $ $$% c) # !)&d) # %"&e) ( %"'Para poder resolver ejercicios con logaritmos es necesario que conozcamos algunas de sus leyes.

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOSSean B

Entonces:

e C nmeros reales positivos ,

, !, "

y "8" es cualquier nmero real.

1) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los factores del logaritmo

2) El logaritmo de un cuociente es igual a la diferencia de los factores del logaritmo

3) El logaritmo de una potencia es igual al exponente de la potencia multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia

Ahora usaremos estas propiedades para resolver los siguientes ejercicios:

EjemploEscriba 691 B# C$ como suma y diferencia de logaritmos

Respuesta691 , B# C$ 691 , B# 691 , C $ # 691 , B $ 691 , CEjerciciosEscriba los siguientes ejercicios como suma y diferencia de logaritmos. Desarrolle al mximo:"+) 691 B$ C $ #

,) 691B C D $

,, ,'##-) 691

B C , & B$

.) 691

B B C # C- $ -/) 691 0 )& - #

691

B % # B ( B $ B ( # B# & % ( B * $g) 691 2) 691

"#& & ($ B B "

& & %3) 691BD C C " %Respuesta$$+ 691 B 691 C#,#,, $ 691 B * 691 C $ 691 D "),,,- 691 , B 691 , C 691 , ". 691 B 691 B C 691 C####"%/"&" " "0 691 B % 691 #B ( 691 B 691 $B ( #,#,

#,,

1 % 691 $ B & $ 691 $ ( B * 691 $ B 691 $ B "*2#3 691 C B ( 691 C D % 691 C C "Veamos los casos al revs, es decir, de una suma o resta de logaritmos, escribir como un solo logaritmoEjemploEscriba como un solo logaritmo la siguiente expresin:

# 691 B $ 691 C 691 7 691 C $ 691B,,,,, C ' 7 ObservacinUna forma fcil de resolver estos ejercicios es agrupar por signos: Todos aquellos factores a los cuales precede un signo positivo quedan en el numerador de la fraccin , y los que tienen signo negativo quedan en la fraccin del denominador.

EjerciciosEscriba como un solo logaritmo:M a)

"$ 691 , B & 691 , Cb) % 691 B $ 691 7 & 691 8 691 ,&c) 691 , $ 691 , % % 691 , 7 691 , B 691 , A

d) 691 B C 691 B C e) 691 7 691 8

"691 + & 691 ,

"691 2$%f) 691 7 691 : " 691 +81 ! $, =/8 !

& -9= !

# >+81 ! *

#*#-9=/- !

#*&

=/- !

#*#

-9>+81 ! #- =/8 !

# -9= ! #*

& >+81 ! ##*

-9=/- !

#*#

=/- !

#*&

-9>+81 ! &. =/8 !

' -9= ! $ >+81 ! #%&

%&-9=/- !

%&'

=/- !

%&

-9>+81 ! "MMM %$%+)=/8 ! -9= ! >+81 ! &&$&&$-9=/- ! =/- !

-9>+81 ! %$%$" ,)=/8 ! -9= ! >+81 ! $###"-9=/- ! =/- !$

# -9>+81 ! $

M Z + % "$$$, ! !(($&Como consecuencia inmediata de estas definiciones, se obtienen las relaciones llamadas tambin

recprocas.=/8 ! =

11-9= ! =>+1 !

-9=/- !11=-9=/- ! =

=/- !-9>1 !

=/8 !=/- ! =

11-9>1 ! =-9= !

>+1 !

Supongamos que necesitamos determinar un ngulo conociendo slo el valor de l a travs de una funcin trigonomtrica. Por ejemplo , usted sabe que

=/8 ) ! )%)

Para determinarlo usted debe hacer uso de su calculadora cientfica y usar la funcin INV de ella.PeroOJO, fjese si esta est en modo rad radianes ) o

deg (grados sexagesimales

Ejemplo=/8 ) ! )%)

INV

en deg :) &( ** 9en rad:

) = 1, 012 +81 ) # (%(( =/- ) $ "'$ -9=/- ) " "&&% =/8 )

! **'& -9=/- ) " "#

Respuesta99"

) 1'!$ ) # (* +1 '! ! $%! 22 &)) * -7EjemploUn cable de sujecin, se amarra a 12 m de la base de un mstil, y el cable forma un ngulo de 15 ocon el sueloCunto mide dicho cable?

Determinamos el valor de

B a travs de sen 15 o = "# Despejamos B

y obtenemos B %' $'%%ANGULOS DE ELEVACION Y DE DEPRESIONUn ngulo de depresin es aquel que se forma desde la lnea de vista horizontal del observador, hasta un objeto abajo de sta.

Un ngulo de elevacin es aquel que se forma sobre la horizontal y el objeto que se observa.

Ejercicios") Un edificio proyecta una sombra de 150m. cuando el sol forma un ngulo de 20 30' sobre el horizonte, calcular la altura del edificio.

# Un rbol de 100 pies de altura proyecta una sombra de 120 pies de longitud. Encuentre el ngulo de elevacin del sol

$)Una escalera est apoyada contra la pared de un edificio y su base se encuentra a una distancia de 12 pies del edificio. A qu altura est el extremo superior de la escalera y cul es la longitud si el ngulo que forma con el suelo es de 70 o ?

%) De lo alto de un faro, de 120 m sobre el nivel del mar, el ngulo de depresin de un bote es de 15 o .

A qu distancia est el bote del faro?

&) Encuentre la altura de un rbol, si el ngulo de elevacin de su parte superior cambia de 20 0 a 40 ocuando el observador avanza 75 m hacia la base de este.

')Un hombre maneja 500 m a lo largo de un camino inclinado 20 o con respecto a la horizontal. A qu altura se encuentra con respecto al punto de partida?

() Un rbol quebrado por el viento forma un tringulo rectngulo con el suelo. Si la parte quebrada hace un ngulo de 50 con el suelo y si la copa del rbol esta ahora a 6 metros de su base. Qu altura tena el rbol?.

)) Dos edificios de cubierta plana distan 18 metros. Del techo del ms bajo de 12 metros de alto, el ngulo de elevacin del borde del techo del ms alto es de 40. Cul es la altura del edificio mas alto.?

* Dos caminos rectos se cortan bajo un ngulo de 75 . Hallar la mnima distancia de uno de ellos a una estacin de gasolina que est sobre el otro camino a 300 metros de la encrucijada.

"!Desde un punto A en la orilla de un ro se ve un rbol justo enfrente. Si caminamos 100 metros ro abajo, por la orilla recta del ro, llegamos a un punto B desde el que se ve el pino formando un ngulo de

30 con nuestra orilla. calcular la anchura del ro (ver figura)

"") Desde un punto se observa un edificio cuya parte ms alta forma con el suelo un ngulo de 30, si avanzamos 30 metros, el ngulo pasa a ser de 45. Calcular la altura del edificio.

"# Un aeroplano parte de un aerdramo elevndose , formando un ngulo de8 o 40 , con la horizontal a cuntos metros pasar de la cumbre de un cerro de 110 m situado a 1000 m del aerdramo?

"$ Sobre un peasco situado en la ribera de un ro se encuentra una torre de 125 pies de altura. Desde lo alto de la torre, el ngulo de depresin de un punto situado en la orilla opuesta es #)9 %! y desde la base de la torre el ngulo de depresin del

mismo punto es ")9 #! peasco.

Calcule cunto mide el ancho del ro y la altura del

14)Un piloto mide los angulos de depresin de dos barcos los cuales son %!9 y Si el piloto est volando a una altura de $& !!! pies. Encuentre la distancia entre los dos barcos.

Respuesta"

&' !) 7!#$* )$ altura del edificio $$ :3/=longitud de la escalera $& "# :3/=%)2 %%( ) 57& 2 %) # 7'2 "(" 7(La altura del rbol es de 1',%8 metros.

)La altura del edificio mas alto es 27 metros.

* La mnima distancia es 291 metros.

"!

"" %" 7

"#$! &"$&)! : el ro,

"*# : el peasco

14)1003 p

APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRIALas razones trigonomtricas se pueden utilizar, fundamentalmente, para resolver tringulos, as como para resolver diferentes situaciones problemticas en otras ciencias.

En Topografa se puede determinar la altura de un edificio, teniendo la base y el ngulo. Por ejemplo, la torre de Pisa, fue construida sobre una base de arena poco consistente; debido a ello sta se apartaba cada vez ms de su vertical. Originalmente tena una altura de &% ' m, aproximadamente. En "**! un observador situado a %' m del centro de la

base de la torre, determin un ngulo de elevacin de &% a la punta de la torre, el observador para determinar al desplazamiento ( hundimiento en el suelo es muy pequeo, comparado con la altura de la torre) aplic la ley del seno para determinar el ngulo de inclinacin y la ley del coseno para determinar el desplazamiento de la torre.

En ptica, la trigonometra se aplica en las dispersiones en prisma o cuando un rayo de luz atraviesa una placa de cierto material.

En la Aviacin, si dos aviones parten de una base area a la misma velocidad formando un ngulo y siguiendo en trayectorias rectas, se puede determinar la distancia que se encuentran entre los mismos.

El capitn de un barco puede determinar el rumbo equivocado del barco, siempre en lnea recta, ordenando modificar el rumbo en grado para dirigirse directamente al punto destino correcto.

Volvamos ahora a la circunferencia. En la figura que se muestra a continuacin, el crculo tiene un radio de 1unidad .

Usando semejanza de tringulo se puede observar que los tringulos A BC y ABC son semejantes,por lo tanto no existe diferencia en cuanto al lugar del lado terminal del ngulo en que se aleja P . Usando este concepto definimos las funciones trigonomtricas seno y coseno de la siguiente forma:

Como

< "

entonces

sen ! = C

y-9= ! x

De aqu podemos ver que el sen !el crculo unitario.

y -9= ! son iguales a las coordenadas x e y del punto en

Es decir,T B C T -9=! =/8!Angulos CuadrantalesUn ngulo cuadrantal es aquel en el cual el lado terminal del ngulo coincide con un eje del sistema cartesiano.Estos ngulos son 0 , *! , ")! , #(! y $'!

en grados sexagesimales o bien entre 0 , 1 , 1 ,

3 1 y # 1 en radianes.22

Coordenadas de puntos en un crculo unitarioSea una circunferencia de ecuacin

B 2 + C 2 = 1, de centro el origen y radio una

unidad , entonces podemos asignar un punto P (B C) en la circunferencia.

Los ngulos cuadrantales los hacemos coincidir con lo ejes:

La tabla que resulta con los datos dados es:ngulo ! ngulo ! radsen !cos !tang !cosec !sec !cotang !

0 =360 00010indeterm.1indeterm.

90 1210indeterm.1indeterm.0

180 10" 0indeterm." indeterm.

270 3 12" !indeterm. "indeterm.0

Angulos especiales : $! , %& y '!Existen algunos ngulos especiales que mediante nociones geomtricas simple permiten encontrar los valores exactos de las funciones trigonomtricas.

Estos ngulos son $! , %& y '! correspondientes a los nmeros1 , 1 , 1 respectivamente.64 3En la siguiente figura se muestra un ngulo de 30 en posicin estndar

Por conveniencia, el punto T sobre el lado final del ngulo se tom a una distancia de 2 unidades del origen. Como el sector es parte de un cuarto de circunferencia se ve claramente que el radio de esta es

2.

El tringulo que as se forma es rectngulo y por Teorema de Pitgoras podemos determinar todos los lados de l.

B # C # < #B # " # #B # " %B # $

B $Completando el tringulo con los datos encontrados, tenemos

Usando las definiciones de las funciones trigonomtricas determinadas anteriormente tenemos que

:cos $!

cos 1 $sen 30 = sen 1 "Para un ngulo de 60 se utiliza el mismo hecho geomtrico

En la figura se muestra un ngulo de 45 en posicin estndar. El tringulo rectngulocorrespondiente es isosceles de lado 1 unidad de modo que se puede asociar el punto P (" "

como el

punto P sobre el lado final. Encontraremos el radio r de la circunferencia a travs del Teorema de

Pitgoras.

B # C # < #" "

= < ## < ## +1 135 o = 1

cosec 45 o = 2

cosec 135 o = 2

=/- 45 o = 2

=/- 135 o = 2

Ejemplo 2Use un ngulo de referencia para encontrar las seis funciones trigonomtricas para930 Respuesta:Se observa que el ngulo de 930 es mayor que 360 , luego se le debe restar a ste cualquier entero mltiplo de 360 , sin alterar el valor de las funciones trigonometricas.

930

2 . 360

210

El ngulo de 210 se encuentra en el III cuadrante

El ngulo de referencia es el de 30 ya que 210 180 $!luego las seis funciones trigonomtricas son para este ngulo son=/8 $! !

" -9= $! !

$ >+81 $! ! $##$

-9=/- $! ! # =/- $! !

# $ -9>+1 $! ! $

Pero como el cuadrante en el cual trabajamos es el tercero entonces cambiamos los signos C el ngulo original

=/8 #"! !

" -9= #"! ! $ >+81 #"! ! $##$

-9=/- #"! ! # =/- #"! !

# $ -9>+1 #"! ! $

Ejercicios" En los siguientes ejercicios, encuentre el ngulo de referencia ! y determine las seis funciones trigonomtricas .

+ $!! =

, $"& o =

- #%! 9 =

. "#! 9 ==

/ $!! 9 =

0 $"& 9 =

# Hallar el valor exacto de estas expresioes, usando ngulos de referencia

&1$1 (1+ =/8 -9= =/8%%%, -9= &1 >+1 %1 >+1 (1- $ -9= 1 =/8 1 # -9= 1 # $ =/8 1''%$Respuesta+ Angulo de referencia : '!=/8 $!! !

$ -9= $!! !

" >+81 $!! ! $##

-9=/- $!! ! # =/- $!! ! # -9>+1 $!! ! $

" $, Angulo de referencia %&=/8 %& !

# -9= %& !

# >+81 %& ! "##

-9=/- %& ! # =/- %& ! #

# -9>+1 %& ! "#

#$ %$# + ,- ##'

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DIRECTAS FUNCION SENO

FUNCION COSENO

FUNCION TANGENTE

Recuerde que para hacer la grfica de una funcin cualquiera, se construye primero una tabla de valores de los pares ordenados asociados ( B C ), despus se marcan los puntos correspondientes y por ltimo se unen los puntos con una curva suave.

Qu pasa con las funciones trigonomtricas?y ser necesario graficar toda la curva para as determinar su forma?No, ya que estas curvas son continuas uniforme , es decir, peridicas y cada periodo recibe el nombre de un ciclo y basta con saber las caracteristicas de este ciclo.

FUNCION SENOCul es un ciclo de la funcin seno ?Si usted mira cuidadosamente, puede observar que un ciclo corresponde a un tramo entre los puntos ( ! ! y ( #1 ! y el punto medio de l es el punto 1 !

Ahora, resumiremos las propiedades de la funcin seno a travs de un ciclo de la funcin.

1)La funcin seno es peridica, con periodo #12)Para cualquier valor dado a x, la solucin se encuentra entre [ " " $ El seno de x es igual a cero cuando x ! 9

x 1% El seno es una funcin impar, por lo tanto, su grfica es simtrica con respecto alorigen.

sen ( x ) = sen x

& la funcin seno decrece entre

1 y 3 16)La funcin crece entre 0 y 1

22C $1 2 122

Toda funcin real de la forma

0 B + =/8 ,B - .

con a , b , c y d se llama funcin SINUSOIDAL O SINUSOIDE

Cambia el grfico segn sea el valor de "a", "b", "c" o "d" ? Si, y veremos cada uno de los casos

1 CASOSi - . !, entonces ,la funcin toma la forma

0 B + =/8 , B

cuando

Como y = sen x es peridica, de periodo 2 1 y su grfico tiene la mayor ordenada que es 1,

B 1

# 5 1, entonces, la funcin 0 B + =/8 ,B , suponiendo que a !

yb !es tambin peridica repitindose cada vez que ,B bvara en una longitud 2 1 , es decir, cuando x vara

en una longitud

21 . Su perido es entonces 21bb

ww +ww es la mayor ordenada o mximo de la funcin y se llama amplitud de la funcin

Si + !, el ciclo comienza sobre el eje \Si + !

el ciclo comienza abajo del eje \Ejemplo 1Sea la funcin C $ =/8 1 B

. Graficar

RespuestaAmplitud : + $ + !Periodo : 2 1

, en este ejercicio , 1

luego el periodo es 4

Conviene graficar en el eje positivo de las x

Los extremos son ( ! !

y ( % ! de un perido

El punto medio es ( # ! de un perido

El valor mximo lo toma en el punto medio entre ( 0 ! y ( # ! es decir " ! La grfica pasa por le punto ( " $ OJO !!

Como la funcin seno es impar , se tiene que:C + =/8 , B + =/8 ,B , entonces el grfico de

C $ =/8 1 B

es el simtrico del de

$ =/8

1 B ##

Observe los grficos siguientes

Qu puede decir de ellos?. En qu se diferencian 0 B y 1B?

2 CASOSi . !, entonces ,la funcin toma la forma

0 B + =/8 , B - El grfico de esta funcin es similar al de 0 B + =/8 ,B0 B ! cuando

,B - !B -

despejamos x

Este valor recibe el nombre de FASE y representa el nmero de unidades que se debe trasladar elgrfico de

C + =/8 ( , B + c ) a lo largo del eje x, para obtener el grfico de l a funcin. Esta

traslacin tambin se llama desplazamiento horizontal.Si -si -

! , la traslacin es hacia la izquierda

! , la traslacin es hacia la derecha

Ejemplo 2Graficar C # =/8 #B 1 RespuestaAmplitud + #

Periodo : 2 1

, en este ejercicio , 2 luego el periodo es 1Fase:

#B 1 !#B 1B 1

como este valor es positivo, la traslacin es hacia la derecha

En el grfico , la lnea continua muestra el perido que se repite a lo largo de todo el eje.EjemploGrafique=/8 B 1 RespuestaAmplitud : + "Periodo : 2 1

, en este ejercicio , "

luego el periodo es #1FaseB 1 !B 1Grfico

3 CASOSi la funcin toma la forma

0 B + =/8 ,B - .

con a , b , c y d

El valor de "d" traslada el grfico en forma vertical

Si . ! , el grfico se desplaza hacia arriba d unidades

Si . ! el grfico se desplaza hacia abajo d unidades

EjemploGraficar C # =/8 # B 1 $ RespuestaAmplitud : + #

Periodo : 2 1

, en este ejercicio , #

luego el periodo es 1Como + ! , el grfico igual al anterior , pero es simtrico a l.

EjemploGrafique C " =/8 B

RespuestaAmplitud : + "Periodo : 2 1

, en este ejercicio , "

luego el periodo es #1Esta funcin es similar a la de C =/8B , pero se traslada 1 unidad hacia arriba

EjerciciosGrafique las siguientes funcionesa) C # =/8 $B

1, C $ =/8 #B #- C $ =/8 #B . C 2 sen " B

/ En la figura se muestra el encefalograma de un cerebro humano durante un sueo profundo. Las ondas

[ que se registran corresponde a la funcin [ + =/8 ,B -Cul es el valor de ,

Respuesta

e) , #1Otras formas de ecuaciones son...

Funcin sinusoidal de la forma 0 B +=/8 B , -9= BPara resolver las grficas es conveniente estudiar el siguiente teoremaTeorema :Para valores cualquiera de a , b y c existen nmeros A y ! tales que

7 =/8 - B 8 -9= - B E =/8 - B ! en donde

E 7 # 8 #

de aqu podemos resolver an ms la expresin , como sigue

E + # , #

/ E #+ #E #

, #E ##" +

, #

por lo tanto el punto de coordenadas P +

, , pertenece a laE E E Ecircunferencia unitaria , luego:

=/8 ! ,

-9= ! +E ELa grfica entonces corresponde a la funcin C E =/8 - B ! EjemploGraficar0 B # =/8 B & -9= B

Respuesta+ #

, &- "luego E # # & # #* & &*

=/8 !

&

#*

! ')

en radianes los 68 se tranforman a " "*

La fase es ""*

Periodo #1La grfica es:

Ejemplo ./ aplicacinDos generadores de corriente alterna producen corrientes que vienen dadas, en funcin del tiempo por las ecuaciones

3 " $ =/8 "#! 1 B

3 # -9= "#! 1 BSi la corriente del segundo se aade a la del primero, determine las corrientes mximas, cundo ocurre y la fase producida.

RespuestaEl total de corriente est dado por la ecuacin

3 3 " 3 # $ =/8 "#! 1 B -9= "#! 1 B

+ $

, "- "#! 1E $ # " #

% #

El punto P tiene coordenadas P = 3 ,

# As

=/8 ! "

C-9= ! 2por cualquiera de las dos formas trigonomtricas es posible determinar el valor del ngulo. Como !

est

en el IV cuadrante ! 1 Por lo tanto el total de corriente puede representarse por la ecuacin.

A =/8 -B ! # =/8 "#! 1 B 1 Se deduce que la corriente mxima es 2 y que la fase es:"#! 1 B 1"#! 1 B 1

! 1

"#! 1 ' " (#! " unidades de tiempo.

El valor mximo de i ocurre cuando x = 1 + k ,

5

Grfico:

Ej/rciciosConstruya la grfica de:

" C =/8 B # -9= B

# C =/8 B -9= B

3C =/8 B # -9= B

Respuesta"+ ", #

- "E & # #$=/8 ! ,

# '$ &luego la funcin quedaE =/8 -B ! & =/8 B '$ )Amplitud &Fase :

B '$

!B '$

Desplazamiento a la izquierda

$

RELACIONES BASICAS E IDENTIDADESAnteriormente habamos visto algunas relaciones llamadas Recprocas, ahora vamos a ver otras ms y que nos servirn para el posterior desarrollo del curso.

Relaciones Recprocas

Relaciones de cuocientes

Relaciones Pitagricassen 2x + cos 2x= 11 + tag 2x = sec 2x1 +cotag 2x = cosec 2xEjerciciosDetermine el valor de la siguiente expresin usando relaciones pitagricas

C" Si

B -9= E

y =/8 E

, determine el valor numrico de #& B # C # Si =/8 "# = 0,2 y

=/8 $( = 0,6, hallar (usando las frmulas anteriores y sin usar calculadora)

+ cos 12

, tg 12

- cos 37

- tg 37.

Respuesta" #&Con frecuencia es conveniente transformar o reducir una expresin dada que utilice funciones trigonomtricas en otra funcin ms sencilla.

Se llaman IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS a igualdades en las que aparecen expresiones trigonomtricas y para las que ocurre que sea cual sea el valor de los ngulos siempre se verifican.

Una identidad trigonomtrica se verifica transformando alguno de los lados de la igualdad, usando algunas de las identidades vistas anteriormente.

Si la igualdad se verifica , entonces decimos que la expresin es una identidad, lo cual la cual se simboliza por " "

EjemploVerifique la identidad

>+81 B -9= B =/8 B

Desarrollaremos el lado izquierdo para llegar al derecho>+81 B -9= B = =/8 B -9= B =/8 B

Por lo tanto>+81 B -9= B =/8 B

EjerciciosDemuestre que las siguientes igualdades son identidades=/- B

=/8 B

" -9= B " =/8 B#

-9>+81 B >+81 B" -9= B=/8 B" =/8 B-9= B$ -9=# C =/8 # C # -9= #C " % -9= B" =/8 B& =/- # ! -9=/- # !

=/- # ! -9=/- # !

'-9=/- # E -9= # E " -9= #E -9>1#E" " #(

# =/- F " =/8 F

" =/8 F>+8 B =/8 B=/- B)=/8 $ B" -9= B-9= E -9>1 E =/8 E >+8 E* " =/8 E -9= E-9=/- E =/- E=/8 B -9= B "

=/8 B " "!=/8 B -9= B " -9= B""=/8 B =/- B >+81 B

"#" -9= B " =/- B -9>+81 B =/8 B

=/8 >-9= >"$ "-9=/- >=/- >"%>+81 # B -9=/- #B -9= #B "" =/- # > %"&

>+1 > " -9=/- # >"'>+1 E -9>1 E # =/- #E -9=/- #EFUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE DOS ANGULOS1)FORMULAS PARA LA SUMA=/8 ! " =/8 ! -9= " -9= ! =/8 "-9= ! " -9= ! -9= " =/8 ! =/8 ">+81 ! "

>+81 ! >+81 "" >+81 ! >+81 "2)FORMULAS PARA LA DIFERENCIA=/8 ! " =/8 ! -9= " -9= ! =/8 "-9= ! " -9= ! -9= " =/8 ! =/8 ">+81 ! "

>+81 ! >+81 "" >+81 ! >+81 "$ FORMULAS PARA EL DOBLE DE UN ANGULO=/8 # ! =/8 !

! =/8 ! -9= ! -9= ! =/8 ! # =/8 ! -9= !-9= # !

-9= ! -9=

! =/8 ! =/8 ! -9= # ! =/8 # !>+81 ! >+81 !

# >+81 !>+81 !

! " >+81 ! >+81 !

" >+81 # !4)FORMULAS PARA EL ANGULO MEDIO=/8 " !

" -9= !#

-9= " !

" -9= !#

>+81 " !

" -9= ! " -9= !

=/8 !" -9= !

" -9= !=/8 !

EjemploCompruebe que =/8 %& 9 ! =/8 %& 9 ! # =/8 ! , utilice la informacin dada

Respuesta=/8 %& 9 ! =/8 %& 9 ! =/8 %& 9 -9= ! =/8 ! -9= %& 9 =/8 %& 9 -9= ! =/8 ! -9= %& 9 # -9= !

#=/8 !

#-9= !

#=/8 !####

# # =/8 !#Ejercicios1)Si sen 12 = 0,2 y sen 37 = 0,6, halla

Calcule, a partir de ellas,+=/8 %*

, =/8 25

- -9= %*

. -9= 25

utilizando las frmulas dadas anetriormente

# Compruebe que

+>+81 ! =/8 # ! # =/8 # !,-9>+81 ! =/8 #! " -9= # !" -9= # !- -9>+81 !=/8 #!.-9= ! =/8 ! $!9 -9= ! '! 9 $ Verifique que

+-9= # B -9= % B =/8 %B," " =/8 # B

=/8 $ B -9= $ B

=/8 B -9= B

-1 + >+1 B >+1 #B =/-+ # B

=/8 E F. >+1 E >+1 F-9= E -9= F-9= + , -9= + ,"/=/8 + , =/8 + ,>+1 +#=/8 + =/8 #+" -9=+0 #=/8 + =/8 #+" -9= +#=/8 + =/8 #++1 >+1#=/8 + =/8 #+#

FORMULA PARA LA SUMA Y DIFERENCIA DE ANGULOS" PRODUCTO DE SENO Y COSENO=/8 ! -9= "

" =/8 ! " =/8 ! " -9= ! =/8 "

" =/8 ! " =/8 ! " -9= ! -9= "

" -9= ! " -9= ! "

=/8 ! =/8 " " -9= ! " -9= ! " # SUMA Y DIFERENCIA DE SENOS Y COSENOS=/8 E =/8 F # =/8 " E F -9= " E F=/8 E =/8 F # -9= " E F =/8 " E F-9= E -9= F # -9= " E F -9= " E F-9= E -9= F #=/8 " E F =/8 " E FApliquemos estas igualdades en los siguientes ejercicios

Ejemplo "Exprese =/8 40 o -9= 30 o como suma o diferencia de ngulos

Solucin=/8 40 o -9=s 30 o

" =/8 %! 9 $! 9 =/8 %! 9 $! 9 " =/8 (! 9

=/8 "! 9 Ejemplo 2Exprese

=/8 50 o + =/8 40o

como producto

Solucin=/8 50 o + =/8 40o = # =/8 " &! 9 %! 9 -9= " &! 9 %! 9 # =/8 %& 9 -9= &9Ejemplo $Si el seno de cierto ngulo vale &( y se sabe que el ngulo pertenece al $ cuadrante, calcular las razones trigonomtricas del ngulo doble (para el =/8#! -9=#! >+1 #! y del ngulo mitad de este ngulo.SolucinPara aplicar las frmulas del ngulo doble y del ngulo mitad necesitamos conocer el coseno y la tangente del ngulo.

-9= ! " =/8 # !(En esta frmula consideramos el signo negativo de la raz puesto que los ngulos del tercer cuadrante tienen coseno negativo)

#%Tenemos as que el coseno vale -9= !

y >+1 !

%(#%Aplicando las frmulas dadas por la teora:

#%"!#%=/8 # ! # =/8! -9=!

#

& ((%*

#%#& "-9= # ! -9= # ! =/8 # ! %* %* %*& #%# >+1 !##% >+1 #! "!#%" >+1 # !

"

& #% ##%

para el ngulo mitad tomamos en las frmulas los signos convenientes (pertenecer al segundo cuadrante)

!" #%

( #%=/8 ( ##"%!" #%

( #%-9= ( ##"% " #%

( #%>+1 ! (= =

# " #%

( #%Ejercicios" Exprese como suma o diferencia de ngulos

a)-9= ""!9 =/8 && 9b)-9= &! 9 -9= $& 9- =/8 && 9 =/8 %! 9# Exprese como producto

+=/8 (! 9 =/8 #! 9,-9= && 9 -9= #& 9--9= $& 9 -9= (& 9$ Si el seno de cierto ngulo vale #"! y se sabe que el ngulo pertenece al # cuadrante, calcular las razones trigonomtricas del ngulo doble (para el =/8#! -9=#! >+1 #! y del ngulo mitad de este ngulo.

% Demuestre que

=/8 $B =/8 B#

(ref: use la frmula de suma de senos)=/8 $B =/8 B" >+1 # B

Respuesta"+)" =/8 "'&9 =/8 && 9 ,)

" -9= )&9 -9= "& 9 ##

- " -9= *&9 -9= "& 9 #+# -9= %& =/8 #&,# -9= %! -9= "&- # =/8 && =/8 #! TRIANGULOS NO RECTANGULOSUn tringulo no rectngulo o tringulo oblicuo, es aquel que no contiene un ngulo recto. En este tipo de tringulos, los tres ngulos son agudos, o bien dos de sus ngulos son agudos y uno obtuso.

Se ha convenido en llamar A, B y C a los ngulos y + ,

y - a los lados del tringulo.

Anteriormente vimos como se resuelven problemas usando como referencia tringulos rectngulos, ahora resolveremos problemas usando cualquier tipo de tringulo.

Resolver un tringulo, consiste en calcular todos sus elementos: sus tres lados y sus tres ngulos, para sto es necesario conocer al menos tres de sus elementos, uno de los cuales necesariamente es un lado.

LEY DE LOS SENOSesto es:

En cualquier tringulo ABC, la relacin entre un lado y el seno del ngulo opuesto es constante;

Este teorema se aplica cuando en un tringulo dado se conocen:

Veamos una aplicacin de este teorema en cada uno de los casos dados

Ejemplo Caso IEn el tringulo ABC, a = 62.5,A= 112o 20, B y los lados b y c

Respuesta

yC = 42o

10 . Determine

Para encontrar

B, se determina a travs de la relacin : la suma de los tres ngulosinteriores de un tringulo es 180o .B = 180o

(C +A ) = 180o

"&% o $!, #&9 $!Para determinar los lados ,

y - lo hacemos a travs del Teorema del Seno

Para determinar ,+==/8 A62.5

,=/8 F

reemplazando se tiene

,

62.5 =/8 #& 9 $!o, =9

, o,

#*"=/8 112 20

=/8 #& $! =/8 112 20Para determinar -62.5=/8 112 o 20 ,

=-=/8 %# 9 "!62.5 =/8 %#9 "!- =/8 112 o 20 ,

%&%Por lo tantoB = 25o 30, ,

,= 29.1,

-= 45.4

Ejemplo Caso IIDado el tringulo ABC,

- = #& ,A= $&o

yF = ')o . Determine

G y los lados + y ,n G ")! 9 E F ((9Para + = - =/8 E

#& =/8 $&9

"&=/8 G=/8 ((9Para , = - =/8 F

#& =/8 ')9

#%=/8 G=/8 ((9Ejemplo caso IIIDado en el tringulo ABC,

- = 628.5, , =480 ,C= 55o 10,

. Determine

A y B y el lado +

Respuesta

tOrientacinEn navegacin, la direccin marca el ngulo agudo que forma una recta con la recta norte- sur. En la figura se ilustra una orientacin W%!9 SUna orientacin R '& o I

En la figura se muestran las coordenadas de

U" :R #& 9 I U# R (! 9 S U$ W%! 9 S

y U%

W&& 9 I

EjerciciosRepresente en la figura

+ W #!9 I, R "&9 S Respuesta

B:sen B = , sen G = 480 sen 55 0 10 = 380 50-628A = 180o ( F + G ) = 86 oPara a = , =/8 E

%)! =/8 )' 9

('%=/8 F=/8 $) 9 &! Ejercicios"

Resuelva el tringulo ABC dado que + $"& , &") C A $$9 %! Determine

- F y G

#

Resuelva el tringulo ABC dado que + & - %#" C

A "$!9 %!Determine : , F y G $ Sean A y B dos puntos localizados en las mrgenes opuestas de un ro. DesdeA se traza una lnea AC = #(& 7

y se miden los ngulos CAB = "#& 9 %! ACB

%) 9 &!

Encuentre la longitud AB.

% Un edificio est situado arriba de una colina con una pendiente de 15 de inclinacin. El Sol est sobre el edificio con unngulo de elevacin de 42 o . Encuentre la altura del edificio si ste proyecta una sombra de 36 pies de largo

& Una torre forma un ngulo de 113 o12 , con el plano inclinado sobre el cul est y desde una distancia de 89 m de su base medida hacia abajo del plano se ve la torre bajo un ngulo de 23 o 27 , . Clacular la altura de la torre' Dos boyas estn apartada por una distancia de 64,2 m y un bote est a 74,1 m de la ms cercana. El ngulo que forman las dos visuales del bote a las boyas es de

27 18 Qu distancia hay del bote a la boya ms alejada?( Un barco navega hacia el Este, cuando observa una luz con una orientacin

R '# 9 I. Despus de que el barco navega #&! 7>, la luz se encuentra a

R %)9 I Si el curso se mantiene igual Cul ser la menor distancia entre el barco y la luz?

) Un satlite que orbita alrededor de la tierra pasa sobre dos estaciones de observacin, Phoenix y Los Angeles que estan a $%! millas una de otra. En

ciertoinstante los ngulos de elevacin son '! 9 y (& 9 respectivamente. A qu

distancia se encuentra el satlite de la estacin de Los Angeles?

* Un barco B pide socorro y se reciben sus seales en dos estaciones de radio,

A y C, que distan entre s 50 km. Desde las estaciones se miden los siguientes ngulos: BAC = %'9 y

BCA

&$9 . A qu distancia de cada estacin se encuentra el barco?

10)Para hallar la altura de un globo, realizamos las mediciones indicadas en la figura. Cunto dista el globo del punto A? Cunto del punto B? A qu altura est el globo?

""Para localizar una emisora clandestina, dos receptores, A y B, que distan entre s 10 km, orientan sus antenas hacia el punto donde est la emisora. Estas direcciones forman con AB ngulos de %! 9 y '&! .

A qu distancia de A y B se encuentra la emisora?

Respuesta99" - &' F '& %$

yG )! $(99# , "%#$( F "" )(

yG $( %'

$ EF #"&* *

% La figura pedida es

Usando el Teorema del Seno, 2 #"** :3/=& 2 &" ' 7' . "#! $ 7 ( $%$ 7) %"' 7366+=* 36,4 kmy40,4 km10.-25,2 m26,9 m24,3 m

"" 6,65 km dista de B9,38 km dista de A LEY DE LOS COSENOSEn cualquier tringulo ABC, el cuadrado de cualquiera de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de estos lados por el coseno del ngulo comprendido entre ellos; esto es

Este teorema se aplica cuando en un tringulo dado se conocen:

El caso M lo resolver usted cuando se de un ejercicio tipo, resolvamos un ejemplo del caso MM Ejemplo Caso MM Dado en el tringulo ABC, a = $! $ , , = %!%

y c = 62.6

RespuestaPodemos determinar cualquiera de los tres ngulos con los datos dados

Determinemos A+ # , # - # # ,-- 9= EDespejamos, # - # + #

"'$# "' $*") (' *") !*-9= E ! *"'# , -# %! % '# 'E #$ '&ParaF :

-9= F ! )%%( F $# $

Para determinarG :

")! 9 #$ '& 9 $# $9 "#% !& 9Por lo tanto:

999E #$ '& ,

F $# $ G "#% !&

EjerciciosDetermine los ngulos de un tringulo , si los lados son ( ' y * respectivamente

Respuesta E &! *) F %" (& G )( #(EjemploDos barcos parten de un puerto a las 7:00 a.m, uno viaja a 12 nudos (millas nuticas por hora) y elotro a 10 nudos. Si el barco ms rpido mantiene una

orientacin de N47 o S

y el otro barco mantiene una orientacin de S20 o S,

Cul es su separacin (a la milla nutica ms cercana) a las 11:00 a.m de ese mismo da?

RespuestaComo el tiempo transcurridos es de 4 horas, tenemos que:

la distancia que recorre el barco ms rpido es de 4 .12 = 48 millas nuticas del puerto y la distancia que recorre el barco ms lento 4.10 =40 millas nuticas.

Usando estas distancias y las orientaciones dadas, podemos dibujar el tringulo que se muestra en la figura .

Sea c la distancia que separa los barcos a las 11:00 a.m. por Teorema del coseno, tenemos:

- # %) # %! # # %)%! -9= G

G ")! 9 %( 9 #! 9 ""$ 9- ($ &"Ejercicios" Identifique las coordenadas de los puntos que se muestran en la figura

#

Resolver el tringulo en el que se conocen los siguientes datos: + & 7, % 7 G %(

$

Resolver el tringulo en el que se conocen los siguientes datos: + #$ 7F &$

C )%

4 En el mapa de un caminante el punto A queda a 2,5 pulgadas al oeste del punto B y el punto C queda a 3,5 pulgadas de B y a 4,2 pulgadas de A, respectivamente. Encuentre la orientacin de A hacia C y la orientacin de B hacia C. El dibujo slo es referencial (el tringulo slo es referencial)

&Dos puntos inaccesibles A y B son visibles desde D, pero no hay otro punto desde el cual ambos sean visibles. Se toma un punto C desde el cual puede verse A y D y se miden CD = 200 m , ADC = 89 o , ACD 50 o 30 , . Despus se toma un punto E desde el cual sean visibles D y B y se miden

DE = 200 m, BDE = 54 o 30 , , BED = 88 0 30 , , desde D se mideADB = 72 30 . Determinar distancia AB6

Un barco navega hacia el Este, cuando observa una luz con una orientacin

R '# 9 "! I. Despus de que el barco navega 250 m, la luz se encuentra a R %)9 #& I Si el curso se mantiene igual Cul ser la menor distancia entre el barco y la luz?

( En un entrenamiento de ftbol se coloca el baln en un punto situado a 5 m y 8 m de cada uno de los postes del arco, cuyo ancho es de 7 m. Bajo qu ngulo se ve el arco desde ese punto?

Respuesta" E R (! 9 I F R %!9 S G W "&9 S H W #&9 I# - $ ( 7 F &" %' ' # " E )" "$ ' &) "

$ E "!" $# ' "$ " F %% #% '&& " G $% # ' "

4 R $$ ''9 I R # )# 9 O

5 EF $%& %&

6 $#& * 7

7.-60 !ECUACIONES TRIGONOMETRICASLas ecuaciones trigonomtricas son aquellas que se cumplen slo para algunos valores particulares de los ngulos desconocidos.

Las ecuaciones trigonomtricas suelen tener mltiples soluciones que pueden expresarse engrados o en radianes. Por lo tanto, el intervalo de la solucin se encuentra en ! B #1 o

$'! 9Ejemplo:

! B Encuentre

B en :

=/8 B !La igualdad se cumple cuando B ! 9 B ")!9

9 B $'! 9RESOLUCION DE ECUACIONES TRIGONOMETRICASNo existe un mtodo general para resolver ecuaciones trigonomtricas, yaque va a depender de la forma que presenten, veamos algunas casos

A) LA ECUACION PUEDE FACTORIZARSEEjemploResuelva

=/8 B # =/8 B -9= B !

para

! B #1RespuestaFactorizamos por =/ 8 B

=/8 B # =/8 B -9= B =/8 B " # -9= B ! luego tenemos que la solucin de la ecuacin se cumple cuando

3 =/8 B !933 " # -9= B !en radianes

3 B ! 9 1 #133 # -9= B "-9= B "B 1

B &1$$

B) LAS DIFERENTES FUNCIONES QUE APARECEN EN LA ECUACION PUEDEN EXPRESARSE EN TERMINOS DE UNA FUNCION SENCILLAEjemploResuelva # >+8 1 # B =/- # B #

RespuestaReemplacemos =/- # B

por

" >+81 # B

para

! B #1# >+8 1 # B " >+81 # B #

$ >+8 1 # B ">+8 1 # B "

Por lo tanto la solucin es B 1 & 1

""1 (1''''C) AMBOS LADOS DE LA EXPRESION SE ELEVAN AL CUADRADOEjemploResuelva =/8 B -9= B "

para

! B $'! 9Respuesta=/8 B -9= B "

/ ab #( =/8 B -9= B ) 2 "=/8 2 B # =/8 B -9= B -9= # B " " # =/8 B -9= B "# =/8 B -9= B !=/8 B -9=B !=/8 B !B ! ! $'! !-9= B !B *! !EjerciciosEncuentre x en 0 B #1+ # =/8 B " !, # =/- B >+81 B -9>+81 B

- >+81 B $ -9>+81 B %. -9= B $ =/8 B " / # -9= B " =/8B0 % =/8 B ( $

1 ) =/8 B -9= B = 0

2 ) (>+81 B 1) ( % =/8 2 B $ ) = 0

3 ) =/8 2 B

+ =/8 B # = 0

4 ) $ cos2 B = =/8 2 B

5 -9= # B -9= B

Respuesta+ B 1 6

B &1 ', B 1 'B & 1 '- B 1 %B "#&B & 1 %B %$*

. B !B %1$B # 1/ B 1 # B &'%0 B 1 'B &1'1 ) B = 0

B 1

B #1

1 $1B B 1 1 21

##

51 412 B 451

B 3 B 3

B 4

B 3B 313 B = 21

21 41 514 ) B = 3

B 3

B 3

B 35 B ! B 1# B $1#B #1FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSASLa ecuacin B =/8 C

define un valor nico para C cuando B es conocido, la ecuacin

puede no tener solucin o tener varias.Por ejemplo , si

B # no hay solucin, dado que el seno de un ngulo nunca excede de "; Si B

" existen varias soluciones para C $! 9 "&! 9 $*! 9 &"!9 Para expresar C en funcin de B, se escribe

C +/CVB 9Observacin: El grado de R(B debe ser menor que G(B)

EjerciciosHallar el cuociente y resto de los siguientes polinomios

a) 'B' &B& &B% "( B$ 'B# # #B$ $B# " #b) &B$ "%B $ B # c) B% #B$ %B' B # . $B# % B "/ B$ B# " B# &B #

0 B% $B# #B $ B# %B "1 $B$ %B# &B # B # Respuestaa) SB $B$ #B# " B RB ""B# " B $#b) S=B &B# "!B 'RB "&

c) SB B$ %B# )B "#RB "). W B $B $ VB "/ W B B ' VB $%B ""0 W B B# %B #!VB )#B #$

1 W B

$B# Observemos los ejercicios b y c donde el divisor es de la forma B -.Cuando ocurre esto, se puede utilizar otro mtodo de divisin denominado "DIVISION SINTETICA O METODO DE RUFFINI HORNER".Ejemplo:

&B$ "%B $ B # Primero debemos agregar los grados que le faltan al polinomio

&B$ !B# "%B $

Luego los factores nmericos se anotan en una tabla tanto los del dividendo como los del divisor:

&! "%$B #

"! #! "##

&"! '"&

donde V B "& y W B &B# "!B 'AsJ B KB W B VB&B$ !B# "%B $ B # &B# "!B ' "&Ejercicios:Divida utilizando divisin sinttica:a)2B$ B# #B &

por B #

,$B& #B$ " B" porRespuesta:

B " a) #B$ B# #B & =

#B# &B "# B # #*b) $B& #B$ " B" B " $B% $B$ B# B % (TEOREMA DEL RESTO O RESIDUOSi un polinomio T B se divide por (B !), entonces el residuo es T !Ejemplo: Sea T B $B& #B$ " B " hallar T ".

Solucin : Debemos encontrar el resto, teniendo como divisor B ""$! #! "$B"

%$$ " "$"

%($$" " $$

Luego si evaluamos B "en T B se obtiene:

&$"T B " $B #B B" $

&$" $ " # " B " " $( que es el resto.$Definicin:ecuacin T B ! si

Un nmero !T !) = 0

se dice cero del polinomio T o una raiz de laEjemplo:

El polinomio T B B$ %B# $B # tiene a B # como factor pues

T # !" %$#B #

# % ##

" # " !

B$ %B# $B # B #B# #B "Ejercicios1) Demuestre que B $ es un factor del polinomio J B B% %B$ (B# ##B #%2) Es " una raz de

J B B$ (B '?

3) Es 2 una raz de

J B B% #B# B (?

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRATodo polinomio T B de grado n1 con coeficientes reales o complejos tiene un cero real o complejo.

Este teorema nos dice que el polinomio T B puede tener ms de una raiz real (compleja). Pero

cmo saber cuales son esas posibles raices , y de que naturaleza son?

Para resolver esta interrogante, utilizaremos dos mtodos:

1.- Regla de Descartes (queda determinada la naturaleza de las posibles raices) Raices positivas: nmeros de variaciones de signo, en el polinomio T B Raices negativas: nmeros de variaciones de signo en el polinomio T BRaices complejas: es el nmero de races que faltan para completar el grado del polinomio T B Ejemplo:

Sea T B B* $B& #B# B "# % variaciones de signo

T B B* $B& #B# B "# " variacin de signo

Se completa la siguiente tabla:Nota: El grado del polinomio

T B es 9.

As el polinomio T B

puede tener las siguientes combinaciones de races:

a) 4 races positivas - 1 raz negativa - 4 races complejas. b) 2 races positivas - 1 raz negativa - 6 races complejas. c) 1 raz positiva - 1 raz negativa - 8 races complejas.

Observacin:Si un polinomio T B de coeficientes reales tiene una raz compleja de la forma + ,3 entonces tambien tiene como raz compleja al conjugado + ,32.-Clculo de las races racionales de un polinomio con coeficientes reales:Sea T B +8 B8 +8" B8" +#B # +"B" +! un polinomio, donde +8 es el primer trmino del polinomio T B y +! el trmino independiente.

Las posibles races racionales se obtienen de encontrar los divisores de

+8 y

+! respectivamente, y luego

hacer un cuociente entre los divisores de +! por los divisores dePosibles races: H+! H+8

+8 .Ejemplo:

" Calcule las races del polinomio T B =2B$ B# (B' solucin:Identifiquemos

+8 y

+! respectivamente:

+! '+8 #Ahora buscamos los divisores de

+8 # y

+! 6

D (+! H ' " # $ 'H +8 H# " # Luego se forma el cuociente entre los divisores de +! y +8:H+! =H+8

" # $ '" #

Entonces se obtienen las posibles races racionales:V

" 3 " # $ ' , ##

Busquemos por ejemplo B "#" (' B"

#" '"

# " '!

Por lo tanto B " es raz

#B$ B# (B' B "#B# B 'Ahora probemos con otra raz: B # 2 1 6B #

%'#

#$!

Por lo tanto B # es raz

As #B$ B# (B' B "B ##B $#B $ !#B $

$ B # Las races de T B son " # y $ ## Veamos otro ejemplo:

Descomponer completamente el polinomio

T B B& 'B% ""B$ #B# "#B ) y hallar su orden de multiplicidad. solucin: Utilizando los dos mtodos anteriores, tenemos:

-Regla de Descartes:T B B& 'B% ""B$ #B# "#B ) : 4 variaciones de signo

T B B& 'B% ""B$ #B# "#B ) " variacin de signo

Luego las posibles combinaciones son:

%"!

#"#

!"%

-Races de un polinomio con coeficientes reales:Ahora buscamos los divisores de

+8 1 y +! 8

D(+! = H8 " # 4 8

H +8 H1 "Luego se forma el cuociente entre los divisores de +! y +8:H+! =H+8

" # 4 8

"Entonces se obtienen las posibles races racionales:V

" # 4 8Probemos con B # " '"" # "# )B #

# )') )#

" %$% %!

Es decir B # es raz del polinomio T BB& 'B% ""B$ #B# "#B ) (B #B% %B$

$B# %B %

Probemos nuevamente con B # para ver si es raz ms de una vez 1 434 4B #

# % #%#

" # " #!

Nuevamente B # es raz de T BY el polinomio queda factorizado como:

B& 'B% ""B$ #B# "#B ) (B #(B #B$ #B# B # (B ## B$ #B# B #Probemos otra vez si B # es raz:

" # " #B #

#! ##

" ! " !

Ahora T B se factoriza como:

Nuevamente B # es raz

B& 'B% ""B$ #B# "#B ) (B #(B #B #B# " B #$ B# "Pero sabemos desarrollar ecuacin B# " = 0 obteniendo 2 races: B " y B ".-

Finalmente el polinomio queda completamente factorizado como:

B& 'B% ""B$ #B# "#B ) (B #(B #B #) (B "B " B #$ (B "B "Observe que B # es una raz triple.

Ejercicicios: Encuentre las races de

a) B$ (B ',) #B$ $B# *B "!c) B% &B$ &B# &B 'd) $B$ "!B# *B #

e) B& "'Bf ) B$ $B# #B

g) B$ B# %B %Respuesta:

CAPITULO VIII INDUCCION MATEMATICA

INDUCCION:Entre las herramientas ms utilizadas en matemticas se encuentra un mtodo de demostracin llamado Mtodo de Induccin Matemtica.

ste mtodo se basa en un mtodo deductivo y se utiliza especficamente para demostrar la

validez de ciertas proposiciones para un subconjunto de nmeros naturales.

PRIMER PRINCIPIO DE INDUCCIN MATEMTICA:Si W es un subconjunto de que verifica:

3 " W33 8 W 8 " Wentonces W El primer principio de induccin matemtica(P.I.M), se emplea para demostrar propiedades de los nmeros naturales.Por ejemplo, si hay inters en demostrar que los nmeros naturales poseen o tienen una cierta propiedad T , entonces se define el subconjunto W de formado por todos los nmeros naturales que tienen la propiedad T W + +

y + tiene la propiedad T

Luego si probamos que W , habremos demostrado que todos los nmeros naturales tienen la propiedad T Pero para demostrar que W basta probar que:

1) 1 W (es decir basta comprobar que el 1 tiene la propiedad T )

2) 8 W 8 " W

(esto es del supuesto que 8 tiene la propiedad T , se debe

probar que 8" W tambien tiene la propiedad T Ejemplo=:

1.- La suma de los 8 primeros nmeros naturales es 88 " es decir :#Respuesta:

1 2 3 8 88 "#Se define la propiedad T

1 2 3 8 88 " y el conjuntoW 8 8

8 # T8 es verdadera

Demostracin1) Probemos que se cumple para 8 ":

" """ " "# " " T" es vedadera, luego 1 W .

2) Supongamos que 8 5 W T 5 es verdadera:

T 1 2 3 8 55 "5 #$ Probemos que 8 5 " W1 2 3 5 5 "

55 " 5 "#55 " #5 "#5# 5 #5 ##5# $5 ##5 "5 ## 8 5 " W . As W

5 "5 " "#

2.- La suma de los 8 primeros nmeros naturales impares es 8# es decir:

"$& ( #8 " 8#Respuesta:

Se define la propiedad T8 1 $& #8 " 8# y el conjunto

W 8 8

T8 es verdadera1) Probemos para 8 ":

" "# " " T" es vedadera, luego 1 W .

2) Supongamos que 8 5 W T5 es verdadera:T5 1 3 &( #5 " 5#$ Probemos que 8 5 " W"$&( #5 " #5 " " 5# #5 " " " $ & ( #5 " #5 # " 5# #5 " " "$&( #5 " #5 " 5# #5 #" 5# #5 "

8 5 " W . As W

5 "#$.-

8$ #8 es divisible por 3

Respuesta:

Se define la propiedad T8 8$ #8 es divisible por 3, es decir

8$ #8 3 :W 8 8

T8 es verdadera

1)Probemos para 8 ":

"3 +2 1=3 :1+2=3 : $ $ :$ $ " : " T" es vedadera, luego 1 W .

2)Supongamos que 8 5 W T5 es verdadera:

T5 5$ #5 es divisible por 3, es decir 5$ #5=3 : hiptesis$Probemos que 8 5 " W5 "$ #5 " $ : 5$ $5# $5 " #5 # $ : 5$ $5# $5 " #5 # $ : 5$ #5 $5# $5 $=3 : 3(5# 5 " $ :23: $5# 5 " $ :

7?6>3:69 ./ $:93:69 ./ $ 8 5 " W . As W Ejercicios propuestos:Demuestre por Induccin matemtica las siguientes proposiciones.a) La suma de los cubos de los 8 primeros nmeros naturales es

88 "#

#

es decir:

#13 #$ $$ 8$ 88 " #b) #%') #8 88 "c % ) "# %8 #88 "d) # ## #$ #% #8 #8" #

e) 1# $# #8 "# 8#8 "#8 "$f) 3#8 ( es un multiplo de 8

CAPITULO IX

TEOREMA DELBINOMIO

TEOREMA DE BINOMIO DE NEWTON:Busaceremos descubrir una frmula para el desarrollo de + ,8 por medio de la induccin ordinaria; es decir, veremos algunos casos especiales y trataremos de establecer una frmula general de los mismos.

Para comenzar, se calcularemos directamente las 5 primeras potencias de nmeros naturales de

+ ,8 :

+ ," + ,+ ,# +# #+, ,#+ ,$ +$ $+# , $+,# ,$+ ,% +% %+$ , '+#,# %+,$ ,%+ ,& +& &+% , "!+$,# "!+#,$ &+,% ,&Del desarrollo anterior se obtienen las siguientes observaciones:1.- El desarrollo + ,8

tiene 8 " elementos.

2.- La potencia de + va reducindose en uno(1) en cada trmino de izquierda a derecha.

3.- La potencia de , va aumentando en uno (1) en cada trmino de izquierda a derecha.

4.- En cada trmino la suma de las potencias de + y , es igual a 85.- El coeficiente del trmino siguiente se obtiene multiplicando el coeficiente del trmino dado por el exponente de + y dividindolo entre el nmero que representa la posicin que ocupa dicho trmino en el binomio.

Ejemplo:

Si queremos determinar el tercer trmino de (+ ,4 se tiene:

(+ ,4 = +% %+$ ,

..............? % $

#

12==6 ;2

.98./ % coeficiente +

$ exponente de +

# Lugar que ocupa.

Luego el trmino que buscamos es: '+# ,#Frmula General del Binomio:+ ,8

8 "+85 ,555!donde 8 representa el nmero de combinaciones de "8 sobre 5"

La combinacin (8 sobre 5) tiene el siguiente desarrollo:

8 5 =

8x5x 8 5xEl smbolo 8x

representa el producto de los 8 primeros nmeros naturales:

8x = 88 " 8 # 8 $ # " Se define 0x =1

1x " Ejemplo:

4x % $ # " #%&x & % $ # " "#!(x ( ' & % $ # " &!%!7x( 'x6x 'x ()x) ( ' &x ) ( ' $$'&x &xAhora determinemos la combinacin de:8)x)x) ( ' &x ) ( ' 3 ) $x $x &x $x

&x $x

&'$ # "**x* ) (x* ) # * #x #x

(x #x

$'# "& &x&x&x & & &x &x !x &x " &x "OBSERVACIN:

En su calculadora usted puede obtener las combinaciones con la tecla "8 - < "Ahora como conocemos los conceptos de factorial y combinacin, determinemos el desarrollo completo de un binomio:

Ejercicio:

Realice el desarrollo de (7 8$solucin:

Utilizando la forma general de binomio, se tiene :8 8+ ,8 " +85 ,559 5$

$$5 57 8 " 785! 5$$ !$#

$" #

$! $ ! 7 8 " 7 8 # 7 8 $ 7 8 7$ $7# 8 $78# 8$Otro ejemplo:($? #@% " 8 +85 ,5

8 % 5 ! " # $ %59 58%

($? #@% " $?%5 #@559 5 % $?% #@! % $?$ #@" % $?##@# %" $%!% $ $? #@ % $? #@ $?% %$?$ #@ '$?##@# %$?"#@$ #@% )"?% %#(?$ #@ '*?# %@# "#?)@$ "'@% )"?% #"'?$ @ #"'?# @# *'?@$ "'@%EjerciciosDesarrolle cada una de las expresiones siguientes mediante el teorema del binimio y simplifique si es necesario:

a)(B #$,? @&-$: ;%Ahora veremos cmo determinar un trmino cualquiera sin tener que realizar el desarrollo completo de ese binomio:

Trmino