RELACIÓN DE PROBLEMASMATEMÁTICAS I-GRUPO E

Curso 2020/2021Escuela Técnica Superior de Ingenieŕıa Agronómica

Departamento de Matemática Aplicada I

Tema 1. Los números reales y complejos

1.1. Resolver las siguientes desigualdades y dibujar el conjunto solución en la recta real.

a) 2x− 1 ≥ 0 b) 3x+ 1 ≥ 2x+ 2c) −4 < 2x− 3 < 4 d) x

2+

x

3> 5

e) x2 ≤ 3− 2x f) x2 + x− 1 ≤ 5

g) x+ 1x ≥ 1 h)x− 1x+ 2

< 1

i)2(x+ 1)

−3 + 3x+ 5 ≤7x− 4−2 j)

3

5x− 2x− 1

10≤ 0.3(x− 2) + x

5

Solución: (a) [12 ,∞). (b) [1,∞). (c) (−12 , 72). (d) (6,∞). (e) [−3, 1]. (f) [−3, 2]. (g) (0,∞).(h) (−2,∞). (i) (−∞,−25 ]. (j) [7,∞). ⊗

1.2. Dados a < b, razonar cuáles de las siguientes desigualdades son ciertas.

a) a+ 2 < b+ 2 b) 5b < 5a c) 5− a > 5− bd)

1

a<

1

be) (a− b)(b− a) > 0 f) a2 < b2

Solución: (a) Verdadero. (b) Falso. (c) Verdadero. (d) Falso. (e) Falso. (f) Falso. ⊗

1.3. Resolver las siguientes desigualdades y dibujar el conjunto solución en la recta real.

a)

∣

∣

∣

∣

x− 32

∣

∣

∣

∣

≥ 5 b)∣

∣

∣

∣

1− 23x

∣

∣

∣

∣

< 1

c) |x− 4| = |x− 1| d)∣

∣

∣

∣

x+ 2

3− x

∣

∣

∣

∣

=x+ 2

3− x

e)

∣

∣

∣

∣

x+ 4

x− 3

∣

∣

∣

∣

> 2 f) |2x− |3− 2x|| ≤ 2

Solución: (a) (−∞,−7] ∪ [13,∞). (b) (0, 3). (c) 52 . (d) [−2, 3). (e) (23 , 3) ∪ (3, 10). (f)[14 ,

54 ]. ⊗

1.4. Hallar:

a) Todos los números que distan a lo sumo 10 unidades del 12.

b) Todos los números que distan por lo menos 10 unidades del 12.

Solución: (a) [2, 22]. (b) (−∞, 2] ∪ [22,∞). ⊗

1.5. Resolver las siguientes ecuaciones en C.

a) x2 − 2x+ 2 = 0 b) 4x2 + 16x+ 17 = 0 c) x3 − 2x− 4 = 0

Solución: (a) 1± i. (b) −2± 12 i. (c) 2,−1 ± i. ⊗

1

2 Matemáticas I

1.6. Dados los números complejos z1 = 2 + i y z2 = 3− 2i, realizar las siguientes operaciones.a) z1 + z2 b) z1 − z2 c) z1 · z2d) z1/z2 e) 3z1 f) (5z1 − 2z2)/z1

Solución: (a) 5− i. (b) −1+ 3i. (c) 8− i. (d) 413 + 713 i. (e) 6+ 3i. (f) 175 + 145 i. (g 5− 12i.⊗

1.7. Realizar las siguientes operaciones.

a) (5 + i) + (6− 2i) b) (8 +√−18)− (4 + 3

√2i)

c) 13i− (14− 7i) d) −(

3

2+

5

2i

)

+

(

5

3+

11

3i

)

e) (1 + i) · (3− 2i) f) 6i(5− 2i)g) (

√14 +

√10i) · (

√14−

√10i) h) (4 + 5i)2

i)2 + i

2− i j)6− 7i

i

k)1

(4 − 5i)2 l)i

3− 2i +2i

3 + 8i

Solución: (a) 11 − i. (b) 4. (c) −14 + 20i. (d) 16 + 76 i. (e) 5 + i. (f) 12 + 30i. (g) 24. (h)−9 + 40i. (i) 35 + 45 i. (j) −7− 6i. (k) − 91681 + 401681 i. (l) 62949 + 297949 i. ⊗

1.8. Hallar dos números complejos z1 y z2 tales que z1 + z2 = 2+ 4i, la parte real de z2 = −1 y z1/z2es imaginario puro.

Solución: 3 + i y −1 + 3i ó 3 + 3i y −1 + i. ⊗

1.9. Dado el número complejo z = a+ bi, determinar la relación que debe existir entre a y b para queel cociente z+1z−1 sea imaginario puro.

Solución: a2 + b2 = 1. ⊗

1.10. Representar los siguientes números complejos en el plano y expresarlos en forma polar o binómica,según su caso.

a) 3− 3i b)√3 + i c) −2(1 +

√3i)

d) 6i e) 2150o f) (32 )300o

g) 3.75 3π2

h) 8 π12

i) −1

Solución: (a) 3√2 7π

4. (b) 2π

6. (c) 4 4π

3. (d) 6π

2. (e) −

√3 + i. (f) 34 − 3

√3

4 i. (g) −3.75i. (h)2(√6 +

√2) + 2(

√6−

√2)i. (i) 1π. ⊗

1.11. Efectuar las siguientes operaciones.

a) 3 π3· 4 π

6b) (32 )π2 · 6 π4 c) (

53 )140o · (32 )60o

d) 1 5π3/1π e) 24300o/875o f) 2 2π

3/8 11π

6

g) (√230o)

6 h) (1 + i)6 i) i312

j) 5√1 k)

√−16 l) 3

√1 + i

Solución: (a) 12π2. (b) 9 3π

4. (c) (52)200o . (d) 1 2π3

. (e) 3225o . (f) (14)−7π6

. (g) −8. (h) −8i. (i) 1.(j) 10o , 172o , 1144o , 1216o , 1288o (k) 490o , 4270o (l)

6√215o ,

6√2135o ,

6√2255o . ⊗

Los números reales y complejos 3

1.12. Calcular el número complejo w = zi, siendo z = 3 − 2i. Interpretar gráficamente el resultado deesta operación.

Solución: w = 2+3i. Multiplicar un número complejo por i equivale a girar su afijo unángulo de 90o en el sentido inverso a las agujas del reloj. ⊗

1.13. Resuelve la ecuación x4 + 81 = 0.

Solución: 32√2 + 32

√2i, −32

√2 + 32

√2i, −32

√2− 32

√2i, 32

√2− 32

√2i. ⊗

1.14. Uno de los vértices de un octógono regular inscrito en una circunferencia centrada en el origenes el punto (2, 0). Hallar las coordenadas de los demás vértices y determinar una ecuación cuyassoluciones complejas tengan como afijos dichos vértices.Solución: (

√2,√2), (0, 2), (−

√2,√2), (−2, 0), (−

√2,−

√2), (0,−2), (

√2,−

√2). x8 −

256 = 0. ⊗

1.15.

a) Determinar un número real β tal que eβi =

√2

2+

√2

2i.

b) Hallar los números complejos z que verifican la ecuación ez2

=

√2

2+

√2

2i.

c) Describir y representar gráficamente la región del plano formada por los afijos de los númerocomplejos z = x+ yi que verifican que el módulo del número complejo z − 2 + i es menor oigual que 2.

Solución: a) β =π

4; b) z =

√π

2 π4

, z =

√π

2 5π4

; c) Interior y borde de la circunferencia

centrada en (2,−1) y radio 2. ⊗

1.16. Hallar los números complejos z = x+ yi que verifican ez = −2.

Solución: x = ln 2; y = (2k + 1)π, k ∈ Z. ⊗

1.17. Demostrar que para cualquier x ∈ R se verifica:

cosx =eix + e−ix

2sen x =

eix − e−ix2i

Solución: Recordar que eix = cos x+ i sen x y que e−ix = cos x− i sen x. ⊗

1.18. Dado el número complejo z =1 + 3xi

3− 4i , hallar x para que:

a) z sea imaginario puro.

b) z sea un número real.

c) El argumento principal de z tenga tangente 1.

Solución: a) x = 1/4; b) x = −4/9; c) x = −1/21 ⊗

4 Matemáticas I

1.19. Sea z =1 +

√3i

2.

a) Demostrar que z2 = z − 1.b) Encontrar el valor de (1− z)6.

Solución: b) 1 ⊗

1.20. Sean z1 = λ + λ√3i y z2 =

√2 −

√2i con λ ∈ R. Determinar la expresión en forma polar de

(

z1z2

)6

según los valores de λ.

Solución: λ63Π2

, independientemente del valor de λ. ⊗

Funciones reales 5

Tema 2. Funciones reales

2.1. Hallar el dominio de las siguientes funciones de una variable.

a) f(x) =1

9− x2 b) f(x) =√2 + x− x2

c) f(x) = 3√2x+ 1 d) f(x) =

√

2− |x|

e) f(x) = ln(x2 − 9) f) f(x) = ln(

1 + x

1− x

)

g) f(x) =

√x

sen πxsi x > 0

arcsen x si x ≤ 0h) f(x) =

√

ln( tg x)

Solución: (a) R − {−3, 3}. (b) [−1, 2]. (c) R. (d) [−2, 2]. (e) (−∞,−3) ∪ (3,+∞). (f)(−1, 1). (g) [−1,∞) \ N. (h) [π4 + kπ, π2 + kπ), con k ∈ Z.

⊗

2.2. La temperatura de un invernadero se controla mediante un termostato. La siguiente gráfica mues-tra la evolución de esta temperatura a lo largo de un d́ıa.

10

12

14

16

18

20

22

24

T

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24t

a) ¿Cuál es la temperatura en el invernadero a las 4 de la madrugada? ¿y las 3 de la tarde?

b) Si programamos el termostato para obtener una temperatura H(t) = T (t − 1). ¿Cómocambiaŕıa la temperatura?

c) Si programamos el termostato para obtener una temperatura H(t) = T (t) − 1. ¿Cómocambiaŕıa la temperatura?

Solución: (a) T (4) = 16 y T (15) = 22. (b) Los cambios de temperatura ocurriŕıan unahora después.(c) Las temperaturas seŕıan un grado más bajas. ⊗

6 Matemáticas I

2.3. Una enfermedad por hongos se origina en medio de un huerto y afecta inicialmente a un árbol.La enfermedad se extiende radialmente a una velocidad constante de 3 metros por d́ıa ¿Qué áreahabrá afectado transcurridos 2 d́ıas? Definir una función que exprese el área afectada en funcióndel tiempo transcurrido.

Solución: 36πm2. A(t) = 9π t2. ⊗

2.4. La altura en metros y de un cierto árbol en función de su edad en años x, sigue aproximadamenteel modelo

y = 40e−20x , x ≥ 0.

0

5

10

15

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20x

0

10

20

30

40

y

50 100 150 200 250 300x

• A partir de la gráfica de esta función, describir cómo es el crecimiento del árbol, atendiendoa las siguientes cuestiones: ¿Crece siempre el árbol? ¿Crece a la misma velocidad a lo largodel tiempo?

• ¿Cuántos años deberán transcurrir para que el árbol alcance 39 metros de altura?• ¿Puede alcanzar el árbol alguna vez la altura de 50 metros? ¿Hay una altura máxima que

el árbol pueda alcanzar?

Solución: (a) La altura del árbol es una función estrictamente creciente respecto dela edad de éste. Por tanto, el árbol crece siempre pero la velocidad de crecimiento vadisminuyendo a lo largo del tiempo. (b) Aproximadamente 790 años. (c) No, porque no

existe x ≥ 0 tal que 50 = 40e− 20x . 40 metros. ⊗

2.5. Durante una reacción qúımica, la temperatura T (en grados Celcius) vaŕıa con el tiempo t (enminutos), según la relación

T =10

t+ 1+ t, con t ∈ [0, 30]

a) ¿En qué instante de tiempo la temperatura alcanza los 15 grados?

b) ¿Durante que periodo de tiempo la temperatura se encuentra entre 8 y 12 grados?

Solución: (a) Aproximadamente a los 14 minutos y 21 segundos. (b) Para t ∈ [0, 7−√41

2 ]∪[7+

√41

2 ,11+

√129

2 ], (hasta los 18 segundos y entre los 6 minutos y 42 segundos y los 11minutos y 10 segundos). ⊗

2.6. Vallado de un terreno: Un granjero decide vallar un terreno de pasto rectangular adyacente aun ŕıo, utilizando 100 metros de valla de los que dispone. Teniendo en cuenta que el lado adyacenteal ŕıo no precisa vallarse, se pide:

Funciones reales 7

a) Expresar el área del terreno como función de la longitud de los lados paralelos al ŕıo ydeterminar el dominio de esta función.

b) Dibujar la gráfica de la función área y estimar las dimensiones del terreno que proporcionael área de pasto máxima.

Solución: (a) A(x) = x

(

100 − x2

)

, 0 ≤ x ≤ 100 para que el área tenga sentido. (b) 50m por 25 m.

0

200

400

600

800

1000

1200

20 40 60 80 100x

⊗

2.7. La cosecha: Un agricultor sabe que si vende hoy su cosecha podrá recoger 52000 kg que le pagarána 3 céntimos el kilogramo. Por cada d́ıa que espere, la cosecha disminuirá en 800 kg pero el precioaumentará en 3 céntimos por kilogramo.

a) Expresar el beneficio obtenido en función de los d́ıas que espere.

b) Calcular el dominio de la función beneficio teniendo en cuenta las condiciones del enunciado.

c) ¿Cuántos d́ıas debe esperar para obtener el máximo beneficio?

Solución: (a) B(t) = (3 + 3t)(52000 − 800t). (b) 0 ≤ t ≤ 65. (c) 32 d́ıas. ⊗

2.8. La plantación de madera: Se sabe que la productividad de un cultivo depende de la densidadde plantación. Para una plantación forestal destinada a la industria maderera, se sabe que conuna densidad de 20 árboles por hectárea cada árbol crece una media de 2 metros por año, peroque el crecimiento promedio se reduce 1/12 por cada árbol adicional a partir de los 20.

a) Expresar la Producción de madera como función del número de árboles en la plantación porhectárea.

b) Calcular el dominio de la función Producción según las condiciones del enunciado.

c) ¿Cuántos árboles se deben plantar por hectárea para maximizar la producción?

Solución: (a) P (x) = x(

2− 112(x− 20))

. (b) 20 ≤ x ≤ 44. (c) 22 árboles. ⊗

2.9. Construcción de un tubo: Una plancha de aluminio rectangular de 36 m de peŕımetro se enrollapara construir un tubo ciĺındrico.

a) Expresar el Volumen del tubo en función de la longitud de la base de la plancha.

b) Calcular el dominio de la función Volumen teniendo en cuenta las condiciones del enunciado.

8 Matemáticas I

Solución: (a) V (x) = 14πx2(18 − x). (b) 0 ≤ x ≤ 18. ⊗

2.10. La vara: Se dispone de una vara de 10 cm de longitud situada verticalmente respecto del suelo.Manteniendo fijo el extremo superior, la vara se inclina un ángulo respecto de la vertical y se hacegirar en torno a un eje vertical de manera que la trayectoria de la vara describe la superficie de uncono.

a) Expresar el volumen del cono como función del ángulo de inclinación de la vara (θ), comofunción de su altura (h) y como función de su radio (r).

b) Calcular el dominio del volumen del cono para cada una de las variables del apartado anterior.

Solución: (a) V (θ) = 1000π3 sin2 θ cos θ, V (h) = π3 (100 − h2)h, V (r) = π3 r2

√102 − r2. (b)

0 ≤ θ ≤ π2 , 0 ≤ h ≤ 10, 0 ≤ r ≤ 10, respectivamente. ⊗

2.11. El pozo: Un agricultor posee un terreno cuadrado de 100 metros de lado con un pozo en el centrode dicho terreno. El sembrado del terreno provoca que el agricultor se desplace por el interiordel mismo a una velocidad de 1 m/s, mientras que si camina por el borde la velocidad es de 3m/s. Para desplazarse desde uno de los vértices hasta el pozo, lo que hace el agriculor es caminarprimero unos metros por el borde del terreno y después dirigirse al pozo en ĺınea recta desde esepunto.

a) Expresar el tiempo total empleado por el agriculor para desplazarse desde uno de los vérticeshasta el pozo en función de los metros que camina por el borde.

b) ¿Cuál es el dominio de esa función? Si lo que nos interesa es emplear el menor tiempoposible, ¿cuál seŕıa el dominio si nos fijamos en las condiciones geométricas del enunciado?

Solución: (a) T (x) = x3 +√

(50 − x)2 + 502. (b) Todo R. Podemos limitarnos a 0 ≤ x ≤50. ⊗

2.12. Segregación de fincas 1: Una finca agŕıcola tiene forma de trapecio rectángulo tal que sus basesmiden 240 m y 400 m, respectivamente, y el lado perpendicular a éstas mide 400 m. Se quieresegregar la finca en otras dos rectangulares C1 y C2, tal como indica la siguiente figura:

Se pretende sembrar máız en el campo C1 y trigo en C2 y se estima que los beneficios que aportanestos cereales son de 0.12 euros por m2 el máız y de 0.10 euros por m2 el trigo.

Funciones reales 9

a) Expresar el beneficio total obtenido en función de la variables x e y de la figura.

b) Establecer la relación entre las variables x e y de la figura.

c) Expresar el beneficio total obtenido como función de la variable x.

d) ¿Cuál es el dominio de esa función? ¿Cómo se interpreta, en la segregación de la finca, quela variable tome como valores los extremos de ese dominio?

Solución: (a) B(x, y) = 0.12(400 − x)y + 0.1(400 − y)240. (b) y = 52x. (c) B(x) =−0.3x2 + 60x+ 9600. (d) 0 ≤ x ≤ 160. ⊗

2.13. Construcción de cajas 1: A partir de una plancha cuadrada de 12 cm de lado se construye unacaja sin tapa recortando cuadrados de lado x en sus esquinas y plegando la superficie resultante(véase la Figura).

a) Expresar el volumen de la caja como función de la longitud x recortada.

b) ¿Cuál es el dominio de la función volumen, según las condiciones del enunciado?

x

x

x

12

Solución: (a) (12− 2x)2x (b) x ∈ [0, 6] ⊗

2.14. La regla de los troncos de Doyle es un método utilizado para determinar el rendimiento en maderaaserrada de un tronco (en tablones por metro) en términos de su diámetro D (en pulgadas) y desu longitud L (en metros). Según este modelo, el número de tablones por metro viene dado por

N(D,L) =

(

D − 44

)2

L.

Hallar el número de tablones por metro de madera aserrada producida por un tronco de 22 pulgadasde diámetro y 4 metros de longitud.

Solución: N(22, 4) = 81. ⊗

2.15. La función de producción de Cobb-Douglas es un modelo que permite expresar el número deunidades producidas en términos de las unidades de trabajo x y del capital y:

f(x, y) = c xa y1−a,

donde c es una constante y 0 < a < 1. Probar, que según este modelo, si se dobla el número deunidades de trabajo y de capital, entonces también se doblará el nivel de producción.

Solución: f(2x, 2y) = c (2x)a(2y)1−a = 2 c xa y1−a = 2f(x). ⊗

10 Matemáticas I

2.16. Hallar el dominio de las siguientes funciones de dos variables.

a) f(x, y) =1

x2 + y2b) f(x, y) =

1

x− 1 +1

y

c) f(x, y) =√1− x2 +

√

1− y2 d) f(x, y) =√

1− x2 − y2

e) f(x, y) = ln(x+ y) f) f(x, y) =

√

1− x2

4− y

2

9

g) f(x, y) = ln(x2 + y) h) f(x, y) = ln(y2 − 2x+ 3)

i) f(x, y) =√x sen y j) f(x, y) =

√

1− x2 − y si y ≥ 01

√

1− x2 − y2si y < 0

Solución: (a) R2 − (0, 0). (b) Todo R2 excepto las rectas x = 1 e y = 0. (c) El cuadrado[−1, 1] × [−1, 1] (incluyendo el borde). (d) x2 + y2 ≤ 1: ćırculo de centro (0, 0) y radio 1(incluyendo el borde).

–1

–0.5

0

0.5

1

–1 –0.5 0.5 1

(e) El semiplano y > −x (excluyendo el bode).

–2

–1

0

1

2

–2 –1 1 2

(f)x2

4+

y2

9≤ 1: elipse con centro el origen y semiejes 2 y 3 (incluyendo el borde).

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

–3 –2 –1 1 2 3

(g) y > −x2 (excluyendo el borde).

Funciones reales 11

–2

–1.5

–1

–0.5

0

0.5

–2 –1 1 2

(h) El exterior de la parábola y2 = 2x− 3 (excluyendo el bode).

–4

–2

0

2

4

2 4 6 8 10

(i) [0,+∞) × [2kπ, (2k + 1)π] ∪ (−∞, 0]× [(2k + 1)π, (2k + 2)π], con k entero.

0–2 –1 1 2

π

2π

3π

−π

−2π

−3π

(j) {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0, y ≤ 1− x2} ∪ {(x, y) ∈ R2 : y < 0, x2 + y2 < 1}.

⊗

2.17. Describir y dibujar las curvas de nivel de las siguientes funciones correspondientes a los niveles quese indican:

a) f(x, y) = x+ y para k = −1, 0, 2, 4.b) f(x, y) =

√

25− x2 − y2 para k = 0, 1, 2, 3.c) f(x, y) = x2 + 2y2 para k = 0, 2, 4, 6.

12 Matemáticas I

d) f(x, y) = xy para k = −2,−1, 1, 2.

Solución: (a) Rectas x+y = −1 (k = −1), x+y = 0 (k = 0), x+y = 2 (k = 2), x+y =4 (k = 4).

(b) Circunferencias de centro (0, 0) y radios 5 (k = 0),√24 (k = 1),

√21 (k = 2), 4 (k =

3).

(c) (0, 0) (k = 0), Elipses x2

2 + y2 = 1 (k = 2), x

2

4 +y2

2 = 1 (k = 4),x2

6 +y2

3 = 1 (k = 6).

(d) Hipérbolas y = −2x (k = −2), y = −1x (k = −1), y = 1x (k = 1), y = 2x (k = 2).

⊗

Funciones reales 13

2.18. Una fina placa metálica está situada en el plano OXY , siendo la temperatura T (en oC) en elpunto (x, y) inversamente proporcional al cuadrado de su distancia al origen.

a) Expresar T en función de x e y.

b) Describir las curvas de nivel y dibujar un conjunto representativo.

c) Si la temperatura en el punto (1, 2) es 50oC, ¿cuál es la temperatura en el punto (4, 3)?

Solución: (a) T (x, y) = kx2+y2

(b) Circunferencias concéntricas. (c) 10oC. ⊗

2.19. Productos con suma prefijada: Consideremos tres números reales positivos que suman M .

a) Expresar su producto como función de dos de ellos.

b) Determinar y representar en el plano el dominio de esa función.

c) ¿Qué valor toma en la función producto si los puntos se eligen en la frontera de ese dominio?

Solución: (a) P (x, y) = xy(M − x− y). (b) x ≥ 0, y ≥ 0, x+ y ≤ M . (c) En la fronteradel dominio alguno de los números vale 0 y por tanto también es 0 el producto. ⊗

2.20. Restricciones temporales, espaciales o económicas: A menudo ocurre que, por falta detiempo, espacio o dinero, sólo podemos disponer de una cantidad limitada de M unidades de uncierto producto y, sin embargo, podemos hacer una cierta elección sobre ese producto dividiendoM en dos partes x e y para utilizarlas de forma diferente. Por ejemplo:

• Restricción temporal básica: “Tengo M unidades de un tiempo”, pero puedo fabricar dostipos de objetos en ese tiempo.

• Restricción espacial básica: “A lo sumo puedo cultivar M héctareas”, pero puedo elegir dosproductos distintos que cultivar.

• Restricción económica básica: “Sólo dispongo deM dinero para gastar”, pero lo puedo gastaren dos conceptos distintos.

Si x e y representan las cantidades elegidas para cada uno de los tipos del producto, ¿qué regióndel plano modeliza los puntos que cumplen esa restricción?

Solución: El triángulo de lados x = 0, y = 0, x+ y = M . ⊗

2.21. Publicidad: Las ventas de un detergente son función del número de anuncios en la prensa, x, aśıcomo del número de minutos de publicidad en TV, y. Un anuncio en la prensa vale 100 euros yun minuto en TV, 1500 euros. El presupuesto de publicidad no puede superar los 30.000 euros.Determinar y dibujar la región del plano que representa todas las posibles poĺıticas publicitarias.

Solución: El triángulo de lados x = 0, y = 0, y = 30.000 − x. ⊗

2.22. Segregación de fincas 2: Los lados de una finca con forma triangular pueden modelizarse por lasrectas y = 0, x = 0 e y = 2− x. Se pretende delimitar dos zonas de cultivo con forma rectangularcuyas bases son paralelas al eje de abcisas como indica la figura.

14 Matemáticas I

a) Expresar la suma del área las dos fincas como función de las longitudes x1 e x2 de los ladoshorizontales de cada finca.

b) Determinar el dominio de la función suma de las áreas según las condiciones del enunciado.Representar el dominio y determinar que consecuencias tendŕıa sobre las zonas de cultivoque se tomen valores en la frontera de ese dominio.

Solución: (a) A(x1, x2) = x1(2− x1) + x2(x1 − x2). (b) 0 ≤ x1 ≤ 2, 0 ≤ x2 ≤ x1. Si lospuntos x1 y x2 están en la frontera del dominio significa que sólo se considera una zonade cultivo. ⊗

2.23. Construcción de cajas 3: Consideremos que x, y, z son las dimensiones en cm de una cajarectagular (largo, ancho, alto). Para cada uno de los siguientes casos, determinar el volumnen dela caja en función de las variables x e y y el dominio de dicha función con las siguientes restricciones:

a) La suma de la altura de la caja y el peŕımetro de la base es de 96 cm.

b) La suma de sus dimensiones es 100 cm.

c) La suma de sus dimensiones es de 114 cm, no tiene más de 50 cm de largo o de ancho, nimás de 30 de alto.

Solución: (a) V = xy(96 − 2x − 2y). El dominio es el triángulo delimitado por x ≥ 0,y ≥ 0, y ≤ 48 − x. (b) V = xy(100 − x − y) El dominio es el triángulo delimitado porx ≥ 0, y ≥ 0, y ≤ 100− x. (c) V = xy(114− x− y) El dominio es el triángulo delimitadopor x ≥ 50, y ≥ 50, y ≥ 84 − x ⊗

2.24. Construcción de un canalón: Se quiere convertir una plancha de zinc de 60 cm de ancho enun canalón, como muestra la figura.

Funciones reales 15

a) Expresar el área S de una sección transversal del canalón como función de x y a.

b) Calcular el dominio de S considerando las condiciones del enunciado.

c) Determinar qué tipo de canalón se obtiene cuando los valores de x y a están en la fronteradel dominio.

Solución: (a) S(x, a) = (60 − 2x + x cos a)x sin a. (b) 0 ≤ x ≤ 30, 0 ≤ a ≤ π2 . (c) Six = 0 no se forma el canalón y si x = 30 el canalón es triangular, a = π2 significa que elcanalón es rectangular ⊗.

2.25. Construcción de una alberca: Para la construcción de una alberca con forma ciĺındrica en unafinca agŕıcola disponemos de un presupuesto máximo de 5000 euros. Hay que cubrir las paredeslaterales de la misma (el suelo no es necesario cubrirlo) y el coste es de 100 euros por cada metrocuadrado. Además, tanto el radio r de la base como la profundidad h de la alberca deben ser deal menos un metro.

a) Expresar el Volumen de la alberca como función del radio de la base (r) y la profundidad(h).

b) Determinar el dominio de la función Volumen según las condiciones del enunciado.

c) Determinar los valores de r y h pertenecientes al dominio para los que se gastaŕıa todo elpresupuesto.

Solución: (a) V = πr2h. (b) La región limitada por r = 1, h = 1 y la curva h = 25π r. (c)

En la frontera h = 25π r. ⊗

2.26. Construcción de una pérgola: Se pretende construir una pérgola para proteger una zona delsol. La estructura consiste en una superficie rectangular a modo de techo con 4 soportes o columnasde forma ciĺındrica de 5 cm de radio. Además, para proteger la madera, hay que pintar la superficiede los 4 soportes y del techo, tanto por la parte superior como inferior y la cantidad de barnizdisponible está limitada a 10m2. Se impone que las dimensiones del techo sean como mı́nimo deun metro (tanto la anchura como la profundidad) y además la cantidad de barniz disponible paraproteger la madera está limitada a 10m2, teniendo en cuenta que hay que pintar la superf́ıcie delos 4 soportes y del techo, tanto la parte superior como la inferior.

a) Expresar el Volumen que define la estructura como función de las dimensiones del techo (xe y).

b) Determinar el dominio de la función Volumen según las condiciones del enunciado.

Solución: (a) V (x, y) = 5π (5xy−x2y2) (b) La región limitada por x = 1, y = 1 y la curvay = 5x . ⊗

16 Matemáticas I

Tema 3. Cálculo Diferencial

3.1. Hallar las derivadas de las siguientes funciones.

a) f(x) = x2 + 5− 3x−2 b) f(x) = x4/5 − x2/3c) f(x) = 3

√x+ 5

√x d) f(t) = 2 4

√4− t2

e) f(x) = (9− x2)2/3 f) f(x) = x+ 1x2

g) f(x) =x3 − 3x2 + 4

x2h) f(x) =

1

2x2

√

16− x2

i) f(x) =

(

x+ 5

x2 + 2

)2

j) f(t) = e−

5(t+3)2

k) f(x) =ex

1 + exl) f(x) = ln

√x2 − 2x+ 1

m) f(x) = ln (cos (3x)) n) f(x) = sen 3√x+ 3

√sen x

o) f(x) = cos (1 − 2x)2 p) f(x) = tg ( sen (πx))q) f(x) = secx2 r) f(x) =

cotg x

sen x

s) f(x) =cosx

cosec xt) f(x) = arcsen

(

x√x4 + 4

)

u) f(t) = arccos(2 tg 3t) v) f(x) = arctg

(

1√x+ 2

)

w) f(x) =ln(x2 − 2x+ 1)

sen (3x)x) f(x) = sen 2

(

x+ 2

x+ 1

)

y) f(x) =

[

cos

(

3x− 1x+ 2

)]2

z) f(x) = arctan

(

sen x

1 + cosx

)

Solución: (a) 2x+ 6x3. (b) 4

5x1/5− 2

3x1/3. (c) 1

3x2/3+ 1

5x4/5. (d) −t

(4−t2)(3/4). (e) − 4x

3(9−x2)1/3. (f)

1− 2x3. (g) x

3−8x3

. (h) x(32−3x2)

2√16−x2

. (i) −2(x+5)(x2+10x−2)

(x2+2)3. (j) 10 e

−5(t+3)2

(t+3)3. (k) e

x

(1+ex)2. (l) 1x−1 (m)

−3 tg (3x). (n) cos 3√x

33√x2

+ cos x3

3√sen 2x

. (o) 4(1−2x) sen (1− 2x)2. (p) π cos (πx)cos2 ( sen (πx))

. (q) 2x sen x2

cos2 (x2).

(r) 1+cos2 x

− sen 3x . (s) −1+ 2 cos2 x. (t)4−x4

(x4+4)√x4−x2+4

. (u) −6(1+ tg2t) tg 2t√

1−4 tg 6t. (v) −1

2(x+3)√x+2

. (w)

2 sen (3x)−3(x−1) ln(x2−2x+1) cos(3x)(x−1) sen (3x)

. (x) −2(x+1)2

sen(

x+2x+1

)

cos(

x+2x+1

)

. (y) −14(x+2)2

sen(

3x−1x+2

)

cos(

3x−1x+2

)

.

(z) 12 . ⊗

3.2. Calcular la derivada de las siguientes funciones.

a) f(x) = (ln(x))x b) f(x) = xln x

c) f(x) = (cosx)x d) f(x) = xcos x

Solución: (a) (ln(x))x(

ln(ln x) + 1lnx)

. (b) xlnx(

2x lnx

)

. (c) (d) xcos x(

cos xx − ( sen x) ln x

)

.⊗

3.3. Calcular un polinomio de segundo grado p tal que

p(−1) = 6, p′(1) = 8, p′′(0) = 4.

Solución: p(x) = 2x2 + 4x+ 8. ⊗

Cálculo Diferencial 17

3.4. Demostrar que la derivada de un polinomio de grado n es un polinomio de grado n− 1.

Solución: Si p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + . . .+ anx

n entonces p′(x) = a1 + 2a2x+ 3a3x2 +

. . .+ nanxn−1. ⊗

3.5. Dadas las funciones seno y coseno hiperbólico:

sinh(x) =ex − e−x

2, cosh(x) =

ex + e−x

2

Demostrar que (sinh)′(x) = cosh(x) y (cosh)′(x) = sinh(x).

Solución: ⊗

3.6. Hallar las rectas tangentes a las funciones dadas en los puntos que se indican.

a) f(x) = 3− 2x en (−1, 5). b) f(t) = 3t− t2 en (0, 0).c) f(x) =

√x(x3 − 1) en (1, 0) d) f(x) = 2x− 5

x3en (2, −18 ).

e) f(x) = e−x2

cosx en (π2 , 0). f) f(x) = xx en (1, 1).

Solución: (a) y = −2x + 3. (b) y = 3t. (c) y = 3x − 3. (d) y = 716x − 1. (e)y = −e−π2/4(x− π/2). (f) y = x. ⊗

3.7. Hallar la ecuación de una parábola de la forma y = x2 + bx + c que sea tangente a la curvay = (x − 1)3 en el punto de abcisa x = 1.

Solución: y = x2 − 2x+ 1. ⊗

3.8. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la función y = ln

√

x

x+ 1paralelas a la recta

x− 4y + 1 = 0.

Solución: y + 12 ln 2 =14(x− 1), y − 12 ln 2 = 14(x+ 2). ⊗

3.9. Hallar la ecuación de la recta tangente a y = x2 +4x+5 que pasa por el origen de coordenadas.

Solución: y = (4 + 2√5)x, y = (4− 2

√5)x. ⊗

3.10. La recta tangente a una cierta curva y = g(x) en el punto (5, 2) pasa por el punto (9, 0). Hallarg(5) y g′(5).

Solución: g(5) = 2, g′(5) = −12 . ⊗

3.11. El perfil de una montaña se puede modelizar por la función f(x) = −x2 + 5x + 4. Se pretendeconstruir un funicular desde un punto del suelo (eje OX) hasta un punto cercano a la cumbre dela montaña de manera que el cable del funicular se represente por una recta tangente a la montañacon un ángulo de 135o con respecto al suelo. Calcular los puntos en el suelo y en el perfil de lamontaña donde comenzaŕıa y terminaŕıa, respectivamente, la estructura del funicular.

Solución: A(13, 0) y B(3, 10). ⊗

18 Matemáticas I

3.12. Supongamos que un cometa sigue una trayectoria de ecuación y = 2x2 +2x+ 8 y que la Tierra seencuentra situada en el punto (0, 0). Sabiendo que cuando un cometa se escapa de su trayectoriasigue siempre la dirección de la recta tangente a la trayectoria en el punto de escape, averiguar lascoordenadas de los puntos de escape de la trayectoria del cometa en los que haŕıa impacto con laTierra.

Solución: A(−2, 12) y B(2, 20). ⊗

3.13. Los ensayos de Mendel mostraron que si p (0 < p < 1) es la frecuencia del gen de cáscara lisaen los guisantes y 1 − p es la frecuencia del gen de cáscara arrugada, entonces la proporción deguisantes de cáscara lisa en la población total es

y = 2p(1− p) + p2.

Justificar que el valor de y es más sensible a un cambio de p cuando p es pequeña que cuando p esgrande, interpretando la derivada de y respecto de p.

Solución: dydp = 2 − 2p, que es próxima a 2 cuando p se aproxima a 0 y es próxima a 0cuando p se aproxima a 1. ⊗

3.14. Una población de 500 bacterias se introduce en un cultivo y aumenta de número de acuerdo con

la ecuación P (t) = 500

(

1 +4t

50 + t2

)

, donde t se mide en horas. Hallar el ritmo de crecimiento

de la población cuando t = 2.

Solución: 31.55 bacterias por hora. ⊗

3.15. Para la función de crecimiento de von Bertalanffy:

L(x) = l(1− e−kx), x ≥ 0,

con L(x) una medida del crecimiento (peso, longitud, ...) a la edad x y l y k constantes positivas,demostrar que la velocidad de crecimiento es proporcional a la diferencia entre l y L. ¿Cómocambia la velocidad de crecimiento con la edad? ¿Cómo influye el parámetro k en la velocidad decrecimiento?

Solución: dLdx = k(l−L(x)). Como L(x) va creciendo hasta l, la velocidad de crecimientova disminuyendo con la edad. Como k es el factor de proporcionalidad entre la velocidadde crecimiento y l − L(x), para un valor de l fijo, el crecimiento es más rápido cuantomayor sea k. ⊗

3.16. Hallar las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones de dos variables.

a) f(x, y) = 2x− 3y + 5 b) z = x√yc) z = x2 − 5xy + 3y2 d) f(s, t) = s2e2t

e) f(x, y) = log (x2 + y2) f) f(x, y) = log

(

x+ y

x− y

)

g) f(x, y) =x2

2y+

4y2

xh) z = e−(x

2+y2)

i) f(x, y) =√

x2 + y2 j) z = tg (2x− y)k) f(x, y) = ey sen (xy) l) f(x, y) = cos(x2 + y2)

Solución: (a) fx = 2, fy = −3. (b) zx =√y, zy =

x

2√y. (c) zx = 2x− 5y, zy = −5x+6y.

Cálculo Diferencial 19

(d) fs = 2se2t, ft = 2s

2e2t. (e) fx =2x

x2 + y2, fy =

2y

x2 + y2. (f) fx =

−2yx2 − y2 , fy =

2x

x2 − y2 . (g) fx =x3 − 4y3

x2y, fy =

−x3 + 16y32xy2

. (h) zx = −2xe−(x2+y2), zy = −2ye−(x

2+y2).

(i) fx =x

√

x2 + y2, fy =

y√

x2 + y2. (j) zx =

2

cos2 (2x− y) , zy =−1

cos2 (2x− y) . (k) fx =

yey cos(xy), fy = ey(x cos(xy) + sen (xy)). (l) fx = −2x sen (x2 + y2), fy = −2y sen (x2 +

y2). ⊗

3.17. Hallar el plano tangente a la siguientes superficies en los puntos que se indican:

a) z = 25− x2 − y2, en el punto (3, 1, 15).b) z =

√

x2 + y2, en el punto (3, 4, 5).

c) z = ex( sen y + 1), en el punto (0, π/2, 2).

d) z = ln√

x2 + y2, en el punto (3, 4, ln 5).

Solución: (a) 6x+2y+z = 35. (b) 3x+4y−5z = 0. (c) 2x−z = −2. (d) 3x+4y−25z =25(1 − ln 5). ⊗

3.18. Hallar las derivadas parciales primeras y segundas de las siguientes funciones.

a) f(x, y) = 4x3 − 6xy + 2y3

b) f(x, y) = ex+ sen y

c) f(x, y) =√

x2 + y2

d) f(x) = arctg (y

x)

Solución: (a) fx = 12x2 − 6y, fy = −6x + 6y2, fxx = 24x, fxy = −6, fyy = 12y.

(b) fx = ex+ sen y, fy = cos y · ex+ sen y, fxx = ex+ sen y, fxy = cos y · ex+ sen y, fyy =

− sen y · ex+ sen y + cos2 y · ex+ sen y. (c) fx = x√x2+y2

, fy =y√

x2+y2, fxx =

y2√(x2+y2)3

,

fxy =−xy√

(x2+y2)3, fyy =

x2√(x2+y2)3

. (d) fxx =2xy

(x2+y2)2, fxy =

y2−x2

(x2+y2)2, fyy =

−2xy(x2+y2)2

. ⊗

3.19. Probar que las siguientes funciones satisfacen las ecuaciones que se indican.

a) z = ex sen y, ecuación de Laplace:∂2z

∂x2+

∂2z

∂y2= 0.

b) z = sen (x − ct), ecuación de ondas: ∂2z

∂t2= c2

∂2z

∂x2.

c) z = e−t cos(x

c), ecuación del calor:

∂z

∂t= c2

∂2z

∂x2.

Solución: (a) ∂2z

∂x2= ex sen y, ∂

2z∂y2

= −ex sen y. (b) ∂2z∂t2

= −c2 sen (x−ct), ∂2z∂x2

= − sen (x−ct). (c) ∂z∂t = −e−t cos(xc ), ∂

2z∂x2 =

−1c2 e

−t cos(xc ). ⊗

3.20. Calcular el gradiente de las siguientes funciones.

a) f(x, y) = x3y2 b) f(x, y) = e√

x2+y2

c) f(x, y) = ln(x

y+

y

x) d) f(x, y) = tg

(

x− yx+ y

)

20 Matemáticas I

Solución: (a) (3x2y2, 2x3y). (b) e√

x2+y2√x2+y2

(x, y). (c) x2−y2

x2+y2( 1x ,

−1y ). (d) sec

2(x−yx+y )1

(x+y)2(−2x, 2y).

⊗

3.21. La superficie de una montaña se puede modelar mediante la ecuación

f(x, y) = 4000− 0.001x2 − 0.004y2.

¿En qué dirección nos debemos mover desde el punto (500, 300, 3.390) para ascender con la mayorrapidez posible?

Solución: ∇f(500, 300) = (−1,−2.4). ⊗

3.22. La temperatura en cada punto (x, y) de una placa metálica admite el modelo

T (x, y) = 400 e−(x2+y)/2, x ≥ 0, y ≥ 0.

a) Calcular la dirección de máximo crecimiento de la temperatura en el punto (3, 5).

b) Hallar la dirección tangente en el punto (3, 5) a la curva en la que la temperatura no cambiarespecto al mismo punto.

Solución: (a) (−6,−1). (b) (1,−6). ⊗

Aplicaciones de la derivada 21

Tema 4. Aplicaciones de la derivada

4.1. Hallar los intervalos de crecimiento o decrecimiento aśı como los extremos relativos de las siguientesfunciones.

a) f(x) =x2 − 2x+ 1

x+ 1b) f(x) = 5− |x− 5|

c) f(x) = x+ cos(x) d) f(x) = |x2 − 9|

e) f(t) = arctg t− 12 ln(1 + t2) f) f(x) = (x− 2)4

Solución: (a) Creciente en (−∞,−3)∪ (1,+∞). Decreciente en (−3,−1)∪ (−1, 1). Máxi-mo relativo en x = −3. Mı́nimo relativo en x = 1. (b) Creciente en (−∞, 5). Decrecienteen (5,+∞). Máximo relativo en x = 5. (c) Creciente en R. No tiene extremos relativos.(d) Creciente en (−3, 0) ∪ (3,+∞). Decreciente en (−∞,−3) ∪ (0, 3). Máximo relativoen x = 0. Mı́nimo relativo en x = −3 y x = 3. (e) Creciente en (−∞, 1). Decreciente en(1,+∞). Máximo relativo en x = 1. (f) Creciente en (2,+∞). Decreciente en (−∞, 2).Mı́nimo relativo en x = 2. ⊗

4.2. Determinar los valores de a para los que la función f(x) =1− ax2− x es decreciente.

Solución: a > 12 . ⊗

4.3. Dada la curva f(x) = 4x3 − 2x2 − 10:

a) Hallar la ecuación de la recta tangente a f(x) en el punto en el que la pendiente vale −1/3.b) Demostrar que el punto anterior es un punto de inflexión de la curva.

Solución: (a) y = −x3 − 53954 . (b) Estudiando el signo de la derivada segunda se observaque hay cambio de curvatura en el punto. ⊗

4.4. Hallar los extremos absolutos de las siguientes funciones en los intervalos que se indican.

a) f(x) = −x2 + 3x en [0, 3] b) f(x) = x2

x2 + 3en [−1, 1]

c) f(x) = 3x2/3 − 2x en [−1, 1] d) f(x) = cos (πx) en [0, 12 ]

Solución: (a) Máximo en x = 32 . Mı́nimo en x = 0 y x = 3. (b) Máximo en x = −1 yx = 1. Mı́nimo en x = 0. (c) Máximo en x = −1. Mı́nimo en x = 0. (d) Máximo enx = 0. Mı́nimo en x = 12 . ⊗

4.5. Sea (x0, y0) un punto cŕıtico de la función f(x, y). Determinar si hay un máximo o mı́nimo relativo,un punto de silla o si la información es insuficiente, conocidos los datos que se indican en cada unode los siguientes casos.

a) fxx(x0, y0) = 9, fyy(x0, y0) = 4, fxy(x0, y0) = 6.

b) fxx(x0, y0) = −3, fyy(x0, y0) = −8, fxy(x0, y0) = 2.c) fxx(x0, y0) = −9, fyy(x0, y0) = 6, fxy(x0, y0) = 10.d) fxx(x0, y0) = 25, fyy(x0, y0) = 8, fxy(x0, y0) = 10.

22 Matemáticas I

Solución: (a) Información insuficiente. (b) Máximo relativo. (c) Punto de silla. (d)Mı́nimo relativo. ⊗

4.6. Hallar los extremos relativos y puntos de silla de las siguientes funciones.

a)f(x, y) =x2y2 + x+ y

xyb) f(x, y) = x3 + y3 − 9xy + 27

c) f(x, y) = y3 + x2y + x2 + 2y2 − 4y − 8 d) f(x, y) = x2 − 3xy − y2

e) f(x, y) = x3 − 3xy + y3 f) f(x, y) = e−x sen y

g) f(x, y) = 2xy − 12 (x4 + y4) + 1 h) f(x, y) = x2 + y4

Solución: (a) (1, 1) mı́nimo relativo. (b) (0, 0) punto de silla y (3, 3) mı́nimo relativo. (c)(0, 2/3) mı́nimo relativo, (0,−2) máximo relativo y (±

√5,−1) puntos de silla. (d) (0, 0)

punto de silla. (e) (0, 0) punto de silla y (1, 1) mı́nimo relativo. (f) No hay puntos cŕıticos.(g) (0, 0) punto de silla, (1, 1) y (−1,−1) máximos relativos. (h) (0, 0) mı́nimo relativo.⊗

4.7. Hallar los extremos relativos de la función f(x, y) = x3 + x2y + y2 + 2y + p. Calcular p de formaque f tenga un mı́nimo igual a 0.

Solución: (1,−3/2) mı́nimo relativo. p = 5/4. ⊗

4.8. Determinar los extremos relativos y puntos de silla de la función f(x, y) = ey2−px2 , según los

valores de p.

Solución: Si p < 0, (0, 0) es mı́nimo relativo. Si p > 0, (0, 0) es punto de silla. Si p = 0,(a, 0) es mı́nimo relativo, para todo a ∈ R. ⊗

4.9. Calcular los extremos absolutos de las siguientes funciones en la regiones que se indican.

a) f(x, y) = 12− 3x− 2y, R ≡ {Triángulo de vértices (2, 0), (0, 1), (1, 2)}.b) f(x, y) = 3x2 + 2y2 − 4y, R ≡

{

(x, y) ∈ R2 : y ≥ x2; y ≤ 4}

.

c) f(x, y) = x2 + y2 + 4x− 1, R = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 9}.d) f(x, y) = 2x+ 4y − x2 − y2 − 3, R = {(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1}.

Solución: (a) Máximo absoluto en (0, 1) y mı́nimo absoluto en (1, 2). (b) Máximo absolutoen (2, 4) y (−2, 4), y mı́nimo absoluto en (0, 1). (c) Máximo absoluto en (3, 0) y mı́nimoabsoluto en (−2, 0). (d) Máximo absoluto en (1, 1) y mı́nimo absoluto en (−1, 1). ⊗

4.10. Encontrar los extremos absolutos de la función f(x, y) = (x− 2)2 + y2 en el recinto

A = {(x, y) ∈ R2 : y2 − x ≤ 9; 3x− 4y + 12 ≤ 0; 3x+ 4y + 12 ≤ 0}.

Solución: (−9, 0) es máximo absoluto y (−4, 0) mı́nimo absoluto. ⊗

4.11. Sea f(x, y) = 4y − 2x− x2y

Aplicaciones de la derivada 23

a) Calcular los extremos relativos de f .

b) Calcular los extremos absolutos de f en el recinto delimitado por 4y + x = 0, x = 4, y = 0.

Solución: (a)(

2,−12)

y(

−2, 12)

son puntos de silla. (b) (4, 0) es mı́nimo absoluto y(4,−1) es máximo absoluto. ⊗

4.12. Calcular los extremos absolutos de la función

f(x, y) = e1−y2

(x2 + y2)

en la región R delimitada por la curva x2 + y2 = 1.

Solución: (0, 0) es mı́nimo absoluto y (−1, 0) y (1, 0) son máximos absolutos. ⊗

4.13. a) Sea f(x) una función positiva y derivable y g(x) = f(x)2. Nótese que f tiene mı́nimoabsoluto y se alcanza en a si y solo si g tiene mı́nimo absoluto y se alcanza en a. Demostrarque también se cumple que f tiene un mı́nimo local en a si y solo si g tiene un mı́nimo localen a (un resultado análogo se verifica para máximos).

b) Utilizando el resultado anterior, calcular la mı́nima distancia desde el punto (0, 6) a la curvay = 2x2.

Solución: (a) g′(x) = 2f(x)f ′(x). Si f ′(a) = 0 entonces g′(a) = 0. g′′(x) = 2(f ′(x)2 +

f(x)f ′′(x)). Si f ′′(a) > 0 entonces g′′(a) > 0. (b) 14√47 ≃ 1.71. ⊗

4.14. La cosecha de máız en una explotación agŕıcola Y en función del nivel de nitrógeno en el suelo Npuede modelarse por

Y (N) =N

N2 + 1, con N ≥ 0.

a) Calcular los niveles de nitrógeno entre los que la cosecha aumenta o disminuye.

b) Calcular el nivel de nitrógeno con el que se obtiene la máxima cosecha.

Solución: (a) Para niveles de nitrógeno menores que 1 la cosecha aumenta y disminuyepara niveles mayores que 1. (b) N = 1. ⊗

4.15. Las reses de ganado vacuno de cierta región ganadera se ven afectadas por una epidemia, que obligaa poner en marcha medidas para frenar su efecto. La función que describe, aproximadamente, laevolución del número de cabezas de ganado (en miles) en función del tiempo (en años) es:

N(t) = 10t2 − t+ 1t2 + 1

, t ≥ 0

Se pide:

a) La velocidad de crecimiento del número de cabezas de ganado.

b) ¿A partir de qué momento empiezan a surgir efecto las medidas establecidas?

c) ¿Qué proporción de vacas se perdieron hasta el peor momento de la epidemia?

24 Matemáticas I

Solución: (a) N ′(t) = 10t2 − 1

(t2 + 1)2. (b) Un año, porque para t ∈ (0, 1), N(t) es decreciente

y para t ∈ (1,∞), N(t) es creciente. (c) La mitad, porque N(t) tiene un mı́nimo globalen (1, 5000) y N(0) = 10000. ⊗

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

4.16. Construcción de un tubo: Una plancha de aluminio rectangular de 36 m de peŕımetro se enrollapara construir un tubo ciĺındrico. Hallar las dimensiones de la plancha para que el volumen deltubo sea máximo.

Solución: 6 m de longitud por 12 m de altura. ⊗

4.17. La vara: Se dispone de una vara de 10 cm de longitud situada verticalmente respecto del suelo.Manteniendo fijo el extremo superior, la vara se inclina un ángulo respecto de la vertical y se hacegirar en torno a un eje vertical de manera que la trayectoria de la vara describe la superficie deun cono. Determinar el ángulo que hay que inclinar la vara para conseguir el cono de volumenmáximo.

Solución: θ = arctan(√2) ⊗

4.18. El pozo: Un agricultor posee un terreno cuadrado de 100 metros de lado con un pozo en el centrode dicho terreno. El sembrado del terreno provoca que el agricultor se desplace por el interior delmismo a una velocidad de 1 m/s, mientras que si camina por el borde la velocidad es de 3 m/s.Determinar cuántos metros debe caminar el agricultor por el borde del terreno antes de entrar alsembrado, para desplazarse desde uno de los vértices hasta el pozo lo más rápido posible.

Solución: 32.32 m. ⊗

4.19. La nave de maquinaria: Un agricultor realiza todos los d́ıas el recorrido que se muestra en lafigura desde la entrada de su finca hasta la nave de maquinarias. Sabiendo que camina a 8 km/hpor la carretera y a 3 km/h por el interior de la finca, determinar el ángulo α que describe ensu recorrido si lo realiza en el menor tiempo posible. ¿Cuánto tiempo se ahorra de esta forma encomparación con ir en linea recta por el interior de la finca?

α α

10 km

2 km

Carretera

2 km

Solución: α = 22o. 50 minutos. ⊗

4.20. El punto de enlace: Dos naves ganaderas A y B están a una distancia de 5 km y a su vez distan4 y 7 km, respectivamente, de una carretera que se considera rectiĺınea. Determinar el punto dela carretera desde donde debe construirse un camino hacia cada nave para que la distancia desdeuna nave a otra a través del camino construido sea mı́nima.

Aplicaciones de la derivada 25

Solución: Debe construirse a 1.45 km desde la perpendicular desde A hasta la carretera.⊗

4.21. Las avionetas: Para la siembra de un arrozal, se dispone de una avioneta A que está situada a1300 m al oeste de otra avioneta B. La avioneta A vuela hacia el sur a una velocidad constantede 15 m/s y la B vuela hacia el oeste a 10 m/s. ¿En qué momento estarán las avionetas máspróximas? Teniendo en cuenta que las normas de seguridad exigen que las avionetas se mantengana más de 1 Km de distancia, ¿se incumple esta norma en algún momento? Razona la respuesta.

Solución: A los 40 segundos. No se incumple la norma porque la mı́nima distancia a laque se encuentran es 1081.66 m. ⊗

4.22. Terreno con camino diagonal: Se desea delimitar un terreno que puede modelizarse como unrectángulo con un vértice en el origen de coordenadas y apoyado en los semiejes positivos. Además,se pretende que la diagonal del rectángulo que corta a los dos semiejes sea un camino que pase porel punto (1, 2). Determinar las dimensiones del terreno para que el área encerrada sea mı́nima ycalcular este área.

Solución: Lado sobre el eje X = 2 u, Lado sobre el eje Y = 4 u, Area = 8 u2. ⊗

4.23. Segregación de fincas 1: Una finca agŕıcola tiene forma de trapecio rectángulo tal que sus basesmiden 240 m y 400 m, respectivamente, y el lado perpendicular a éstas mide 400 m. Se quieresegregar la finca en otras dos rectangulares C1 y C2, tal como indica la siguiente figura:

Se pretende sembrar máız en el campo C1 y trigo en C2 y se estima que los beneficios que aportanestos cereales son de 0.12 euros por m2 el máız y de 0.10 euros por m2 el trigo. Determinar lasdimensiones que debe tener cada finca para obtener el máximo beneficio.

Solución: 300 m por 250 m para C1 y 240 m por 150 m para C2. ⊗

4.24. Construcción de cajas 1: A partir de una plancha cuadrada de 12 cm de lado se construye unacaja sin tapa recortando cuadrados de lado x en sus esquinas y plegando la superficie resultante.Calcular el valor de x que hace que el volumen de la caja resultante sea máximo.

26 Matemáticas I

x

x

x

12

Solución: x = 2 ⊗

4.25. Productos con suma prefijada: Dividir un segmento de longitud l en tres partes de modo quesu producto sea máximo.

Solución: Partes iguales l/3. ⊗

4.26. Restricción temporal básica: Una industria fabrica un producto en dos factoŕıas. El coste deproducción de x unidades en la primera es C1 = 0.02x

2 + 4x+ 500 y el coste de producción de yunidades en la segunda es C2 = 0.05y

2 + 4y + 275. Si el producto se vende a 15 euros la unidad,calcular qué cantidad debe producirse en cada factoŕıa con el fin de hacer máximo el beneficiosabiendo que no se pueden fabricar más de 420 unidades.

Solución: x = 275, y = 110. ⊗

4.27. Restricción espacial básica: El gerente de una explotación agŕıcola estimó que el benificio anuales

B(x, y) = 1600x+ 2400y− 2x2 − 4y2 − 4xy,donde x e y son el número de hectáreas plantadas con soja y máız, respectivamente. Si se puedencultivar a lo sumo 500 hectáreas, calcular cuántas hectáreas conviene plantar con cada cultivo paramaximizar el beneficio y cuál seŕıa el beneficio máximo.

Solución: x = 200Ha, y = 200Ha. El beneficio máximo es de 400.000 euros. ⊗

4.28. Restricción económica básica: Un editor dispone de 60.000 e a lo sumo para invertir en eldesarrollo y la promoción de un nuevo libro. Se calcula que si invierte x miles de euros en desarrolloe y miles de euros en promoción se venderán aproximadamente f(x, y) = 20x3/2y ejemplares dellibro. ¿Cuánto dinero debe asignar el editor a desarrollar el libro y cuánto a la promoción delmismo para maximizar las ventas? ¿Cuántos ejemplares se venderán como máximo?

Solución: 36.000 e a desarrollo y 24.000 e a promoción. 103.680 ejemplares vendidos.⊗

4.29. Publicidad: Las ventas de un detergente son función del número de anuncios en la prensa, x, aśıcomo del número de minutos de publicidad en TV, y. Un anuncio en la prensa vale 100 euros yun minuto en TV, 1500 euros. El presupuesto de publicidad no puede superar los 30.000 euros.Estad́ısticamente, se ha estimado que estas variables están relacionadas de la forma V (x, y) =12xy − x2 − 3y2. Determinar la poĺıtica publicitaria óptima.

Solución: 69 anuncios en prensa y 15.4 minutos en TV. ⊗

Aplicaciones de la derivada 27

4.30. Segregación de fincas 2: Los lados de una finca con forma triangular pueden modelizarse por lasrectas y = 0, x = 0 e y = 2− x. Se pretende delimitar dos zonas de cultivo con forma rectangularcuyas bases son paralelas al eje de abcisas como indica la figura. Calcular razonadamente lasdimensiones de las zonas de cultivo para que la suma de sus áreas sea máxima.

Solución: x1 = 4/3; x2 = 2/3. ⊗

4.31. Construcción de cajas 2: A partir de tres cuadrados grandes de metal, cada uno de 100 cmde lado, se construyen tres cajas grandes sin tapa recortando cuadrados en las esquinas, todos delmismo lado. Con las 12 esquinas recortadas se construyen 2 cubos. Determinar razonadamente ellado de los cuadrados recortados para que el volumen total de las 5 cajas sea máximo.

Solución: Un esquema de las cajas construidas seŕıa el que indica la figura:

El volumen máximo se consigue construyendo solo los dos cubos, es decir x = 50. ⊗

28 Matemáticas I

4.32. Construcción de cajas 3.1: Una empresa de cartonaje fabrica cajas rectangulares de maneraque la suma de la altura de la caja y el peŕımetro de la base es de 96 cm. Hallar las dimensionesde la caja de máximo volumen que puede ofrecer dicha empresa.

Solución: Lados x = y = 16 y altura z = 32. ⊗

4.33. Construcción de cajas 3.2: Halla el volumen máximo de una caja en la que la suma de laslongitudes de sus aristas es 1.

Solución: x = y = z = 13 . ⊗

4.34. Construcción de cajas 3.3: Se quiere diseñar una pieza de equipaje de mano para el transporteaéreo que cumpla la normativa establecida, es decir, tal que sus dimensiones totales (largo+ancho+alto)sean de 114 cm (el máximo permitido) y no tenga más de 50 cm de largo o de ancho ni más de 30cm de alto. Determinar las dimensiones de la pieza de equipaje que se ajusta a estos criterios ytiene un volumen máximo.

Solución: Largo y Ancho de 42cm y alto de 30 cm ⊗

4.35. Construcción de una alberca: Para la construcción de una alberca con forma ciĺındrica en unafinca agŕıcola disponemos de un presupuesto máximo de 5000 euros. Hay que cubrir las paredeslaterales de la misma (el suelo no es necesario cubrirlo) y el coste es de 100 euros por cada metrocuadrado. Además, tanto el radio de la base como la profundidad de la alberca deben ser de almenos un metro. Determinar las dimensiones de la alberca con volumen máximo. ¿Cuál es dichovolumen máximo?

Solución: Radio 7.96 m aprox. y profundidad 1 m. El volumen máximo es de 199 m3. ⊗

4.36. Construcción de una pérgola: Se pretende construir una pérgola para proteger una zona delsol. La estructura consiste en una superficie rectangular a modo de techo con 4 soportes o columnasde forma ciĺındrica de 5 cm de radio. Además, para proteger la madera, hay que pintar la superficiede los 4 soportes y del techo, tanto por la parte superior como inferior y la cantidad de barnizdisponible está limitada a 10m2. Se impone que las dimensiones del techo sean como mı́nimo deun metro (tanto la anchura como la profundidad) y que nos gastemos todo el barniz disponible.Calcular las dimensiones del rectángulo del techo y la altura de los soportes que máximizan elvolumen bajo la pérgola.

Solución: Si x e y son las dimensiones del techo, cualquier medida que verifique y = 5x2con h = 3.97m tendrá volumen máximo. ⊗