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Divisibilidade e NmerosInteiros

Introduo Aritmtica Modular

Samuel Jurkiewicz

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Sobre o Autor

Samuel Jurkiewicz carioca e Doutor em Matemtica pela Universi-dade Pierre et Marie, em Paris. Atualmente professor da Escola deEngenharia da UFRJ. J atuou como docente em todos os nveis, in-clusive no pr-escolar. Alm do ensino de graduao e ps-graduao,tem desenvolvido atividades junto a professores e alunos do EnsinoMdio atravs de oficinas de Matemtica Discreta.

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Sumrio

1 Diviso de Nmeros Naturais 4

1.1 Mltiplos, Fatores e Divisores . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Critrios de Divisibilidade e o Sistema de Numerao . 11

1.3 Outras Propriedades dos Restos: Multiplicao e Po-tenciao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.4 Nmeros Primos e Nmeros Compostos . . . . . . . . 36

1.5 Infinitude do Conjunto dos Nmeros Primos . . . . . . 41

1.6 Nmero de Divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.7 Um Tema Avanado: Nmeros Perfeitos . . . . . . . . 49

1.8 Maior Divisor Comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.9 Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1.10 Menor Mltiplo Comum . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.11 Um Truque de Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . 62

1.12 Uma Aplicao Geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . 63

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SUMRIO iii

2 Aritmtica Modular 67

3 Material Complementar 89

A Para saber mais 130


Antes de comear

Caros Colegas, Professores e Estudantes

com grande satisfao que levamos s suas mos este primeirovolume de uma srie destinada a acompanh-los durante o estgiode premiao da I Olimpada de Matemtica da Escola Pblica.O principal motivo desta satisfao saber que as mos que iroreceb-lo so de pessoas que gostam de pensar, praticar, descobrir ese divertir com a Matemtica.

Isso representa para ns grande responsabilidade: a de mantervivo esse gosto pelo conhecimento e pelo estudo. Aqueles que es-to recebendo este material mostraram, alm de competncia, que oprazer de aprender e de resolver problemas j est presente. Nossainteno fazer com que este sentimento cresa e se espalhe. Feliz-mente, a Matemtica nos oferece muitas escolhas e no nos faltariaassunto para muitas pginas.

Ao pensar que tipo de material seria adequado, tivemos em mentetrs aspectos: o contedo, a forma e a profundidade adequadas. Nocaso do contedo pensamos em abordar temas clssicos, como a Di-

1


2 SUMRIO

visibilidade, a Geometria, os Conjuntos Numricos; temas menos fre-quentes no currculo habitual, como a Combinatria; e alguns temasligados fundamentao da Matemtica como a argumentao lgica.Nossa inteno contemplar, sempre que possvel, aspectos originaisda Matemtica que por diversos motivos no se encontram facilmentenos livros didticos do Ensino Fundamental. Claro, no poderemosfugir aos conhecimentos centrais da Matemtica, mas procuraremosnos valer de sua versatilidade para oferecer material que desperte in-teresse alm do que j conhecemos.

Na questo da forma, os fascculos tero sempre algumascaractersticas comuns: exposio de contedos, exerccios resolvidos,exerccios propostos, propostas de atividades e curiosidades relativasao tema em estudo.

O ponto mais delicado o da profundidade, por estarmos nosdirigindo a uma populao com idades e histria escolar bastantediversificada. certamente um desafio oferecer material que sejaadequado a todos. Optamos por dividir o material em duas partes,com dificuldades variadas. Um primeiro exemplo este volume quevocs tm em mos.

A divisibilidade, a decomposio em nmeros primos, a divisibi-lidade, a obteno do mnimo mltiplo comum e do mximo divisorcomum, tudo isto bem familiar aos alunos do Ensino Fundamental.Nossa experincia, entretanto, nos faz acreditar que este um aspectofundamental da Matemtica que vale a pena revisitar. Um motivoadicional o renovado interesse sobre estes assuntos na MatemticaSuperior e nas aplicaes computacionais, como a Criptografia e acodificao de informaes. Este o material da primeira parte.


SUMRIO 3

A segunda parte se dedica Aritmtica Modular, que ser novi-dade para a maior parte dos alunos. Ela se apia nos contedos fun-damentais de que falamos, mas trazendo um aspecto generalizadorque a base da lgebra abstrata moderna. Procuramos manter estaparte em nvel acessvel, trabalhando passo a passo.

Procuramos fazer o melhor mas certamente o trabalho ter fa-lhas. Sugestes e crticas so benvindas. Mais ainda, incentivamos oprofessor a complementar o trabalho com suas prprias idias, umavez que o assunto vasto e rico de aspectos interessantes que nocaberiam num fascculo deste porte. Ao estudante lembramos quenada substitui a iniciativa e a imaginao. No se contentem com oque j sabem, peam mais de seus professores e procurem mais noslivros.

Espero que estas pginas sejam teis a todos, e espero recebernotcias.

Um abrao

Samuel [email protected]


Captulo 1

Diviso de NmerosNaturais

Se quisermos dividir 3 queijos por duas pessoas no tere-mos problemas, cada pessoa ficar com 1 queijo e meio. A operaomatemtica que fizemos foi dividir 3 por 2:

3 : 2 =32

Observao. Podemos indicar a diviso com os smbolos /, : e .Usaremos 5 : 7 para indicar 5 dividido por 7.

Mas nem todos os problemas podem ser resolvidos com divisesfracionrias. Se quisermos dividir 27 livros por 4 alunos, no temosa opo de cortar um livro em pedaos. Por isso, interessante queestudemos as divises com nmeros naturais. Nas pginas seguintesestaremos falando sempre de nmeros inteiros, positivos ou negativos.

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Aqui vale a pena fazer uma observao: o conjunto N dos nmerosnaturais o conjunto dos nmeros que usamos para contar. Muitosprofessores incluem o 0 (zero) no conjunto N, mas isso no obri-gatrio. No nosso caso o conjunto dos nmeros naturais serN = {1, 2, 3, 4, . . .}mas o zero ser utilizado pois tem um papel impor-tante. Ento voc ver frequentemente este conjunto expresso comoN {0} (os naturais e o zero). Em alguns casos, trabalharemos tam-bm com o conjunto dos nmeros inteiros negativos, {1,2,3, . . .}.Vamos ento voltar ao problema de dividir os livros.

Vamos colocar um livro de cada vez na pilha do aluno 1, depoisna pilha do aluno 2, depois na pilha do aluno 3 e depois na pilha doaluno 4. Voltamos ao aluno 1 e assim por diante. Quando paramos?Paramos quando, depois de colocar um livro para o aluno 4, sobrammenos do que 4 livros. No nosso caso cada aluno ficou com 6 livros eainda sobraram 3 livros. Essa situao pode ser retratada matemati-camente como:

27 : 4 = 6 com resto 3.

Note que podemos descobrir o nmero de livros que tnhamos nocomeo se soubermos:

quantos alunos recebero livros (4);

quantos livros cada aluno recebeu (6);

quantos livros sobraram (3).

De fato, basta fazer a conta 4 6 + 3 = 24 + 3 = 27.


6 CAP. 1: DIVISO DE NMEROS NATURAIS

Observao. Embora seja bastante comum simbolizar a multipli-cao por um ponto (como em 7 8 = 56) usaremos com freqnciao smbolo (como em 7 8 = 56). Em geral, s usaremos o pontopara indicar multiplicao entre smbolos literais.

Estamos prontos para entender o que a diviso entre nmerosnaturais. Temos:

um nmero que queremos dividir (chamado de dividendo - nonosso caso, o 27);

um nmero que vai dividir o dividendo (chamado de divisor -no nosso caso, o 4). Lembre-se: o divisor sempre diferentede 0;

o maior nmero de vezes que conseguimos colocar o divisor den-tro do dividendo (chamado de quociente ou resultado - nonosso caso, o 6);

o nmero de unidades que resta (chamado de resto e que deveser menor que o divisor - no nosso caso, o 3).

Usando os smbolos:

D para dividendo;

d para divisor (que deve ser diferente de 0);

q para quociente;

r para resto (que deve ser menor que d).


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Podemos resumir o que est acima:

D = d q + r , r < d , d > 0 ; D, d, q, r N {0} (1.1)

O fato de que, dados dois nmeros naturais D e d seja semprepossvel encontrar nmeros q e r dentro das condies acima um teorema (que no demonstraremos aqui) e que se baseianoPrincpio da Boa Ordenao. uma prova interessantee que se apoia no algoritmo da diviso.A restrio r < d assegura que o quociente q nico, o quenos permite trabalhar com tranquilidade.Veremos mais adiante, que esta equao d origem a um al-goritmo para o clculo do mximo divisor comum entredois nmeros.Tanto a equao como o algoritmo aparecem pela primeiravez, de forma organizada, nos Elementos, de Euclides deAlexandria.

Exemplo:

Uma caixa de 33 lpis deve ser dividida entre 7 pessoas. Quanto cadaum receber? Quantos lpis sobraro? Descreva a situao usando aequao de Euclides, nossa equao (1.1).

Soluo:

33 : 7 = 4 com resto 5.Cada pessoa receber 4 lpis. Sobraro 5 lpis.A situao pode ser descrita por:

33 = 7 4 + 5.



Exerccios

1. Efetue as divises e descreva o resultado na forma da equaode Euclides (equao (1.1)).

(a) 44 : 5 (i) 210 : 100(b) 44 : 7 (j) 1285 : 100(c) 353 : 3 (k) 1285 : 1000(d) 483 : 438 (l) 11285 : 10(e) 1253 : 125 (m) 157325 : 10000(f) 757 : 75 (n) 157325 : 1000(g) 21 : 10 (o) 57325 : 100(h) 1210 : 10 (p) 57325 : 10

2. Efetue as divises e descreva o resultado na forma da equaode Euclides (equao (1.1)). O que observa na seqncia dosrestos?(a) 48 : 4 (f) 43 : 4(b) 47 : 4 (g) 42 : 4(c) 46 : 4 (h) 41 : 4(d) 45 : 4 (i) 40 : 4(e) 44 : 4

3. Porque o resto tem que ser menor do que o divisor?


SEC. 1.1: MLTIPLOS, FATORES E DIVISORES 9

1.1 Mltiplos, Fatores e Divisores

Com freqncia desejamos que a diviso d certinha. Ou melhor,que ela seja exata. O que queremos dizer com isso? Queremos queno sobre nada, queremos que o resto seja 0.

45 : 7 uma diviso exata? No, pois o quociente 6 mas aindatemos o resto de 3.

45 : 9 uma diviso exata? Sim, pois o quociente 5 e o resto 0.

Porque to importante que o resto seja 0 ?

Para responder a esta pergunta observemos que quando r = 0 aequao de Euclides (nossa equao (1.1)).

D = d q + r , r < d , d > 0 ; D, d, q, r N {0} (1.1)

se reduz a

D = d q , d > 0 ; D, d, q N {0} (1.2)

Isto , temos que tratar somente com multiplicao. Se a divisotem resto 0 dizemos que o dividendo mltiplo do divisor. Maisainda, como a ordem dos nmeros do lado direito da igualdade daequao (1.2) pode ser trocada (pois a multiplicao uma operaocomutativa), o dividendo tambm mltiplo do quociente.

No nosso simples exemplo:

45 = 9 5 45 mltiplo de 9 e 45 mltiplo de 5.



Podemos dizer tambm que 5 divisor de 45, e que 9 divisor de45. Os nmeros 5 e 9 produzem o nmero 45 por multiplicao. Decerta maneira o nmero 45 composto pelos nmeros 5 e 9, por issodizemos tambm que:

5 e 9 so fatores de 45.

Demos bastante nfase a esta nomenclatura, pois vamos us-la comfreqncia.

Exemplo:

Quais os fatores do nmero 12?1 e 12 , pois 12 = 1 12;2 e 6, pois 12 = 2 6;3 e 4, pois 12 = 3 4;Conjunto dos fatores de 12 D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.

Observao. bastante freqente usar a notao:

D12 conjunto dos fatores de 12.

Essa forma nos ser conveniente em alguns casos.


SEC. 1.2: CRITRIOS DE DIVISIBILIDADE E O SISTEMA DE NUMERAO 11

Exerccios

1. Determine os fatores de(a) 42 (g) 13(b) 6 (h) 23(c) 18 (i) 37(d) 15 (j) 101(e) 25 (k) 1001(f) 100

2. Quais os fatores de 2471 ? Voc testou at que divisor ?

1.2 Critrios de Divisibilidade e o Sistema deNumerao

Em alguns casos, no precisaremos tentar dividir para saberse um nmero ou no mltiplo de outro. Para isso usaremos ascaractersticas de nosso sistema de numerao e algumas propriedadesdo resto de uma diviso. Vamos lembrar alguns fatos:

Fato 1: No nosso sistema usamos 10 algarismos(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) cujo valor aumenta ou diminui conformesua posio.

Exemplo:

12948 = 1 10000 + 2 1000 + 9 100 + 4 10 + 8.



Fato 2 : Se um nmero fator(divisor) de dois outros nmeros, ele fator(divisor) da sua soma (e da sua diferena).

Exemplo:

6 fator de 306 fator de 48Ento, 6 fator de 30 + 48 = 78.E 6 tambm fator de 48 30 = 18 (pois 18 = 6 3).

Fato 3: Dividimos dois nmeros por um mesmo divisor. Se a soma(diferena) dos restos for menor que o divisor, ela ser igual ao restoda soma (diferena) dos dois nmeros.

Exemplo:

Soma22 : 7 = 3 e o resto 133 : 7 = 4 e o resto 5A soma dos restos 6 (que menor que 7)22 + 33 = 5555 : 7 = 7 e o resto 6.

Diferena5 1 = 433 22 = 1111 : 7 = 1 e o resto 4.



Observao. Se a diferena for um nmero negativo, somamos odivisor.

Exemplo:

44 : 7 = 6 e o resto 226 : 7 = 3 e o resto 52 5 = 33 + 7 = 444 26 = 1818 : 7 = 2 e o resto 4.

Fato 4: Dividimos dois nmeros por um mesmo divisor; se a somados restos for maior que o divisor, subtramos o valor do divisor e oresultado ser o resto da soma dos dois nmeros.

Exemplo:

26 : 7 = 3 e o resto 532 : 7 = 4 e o resto 4A soma dos restos 9 (que maior que 7). Ento o resto 9 7 = 2.De fato, temos:26 + 32 = 5858 : 7 = 8 e o resto 2.

Pergunta-exerccio: A diferena entre os restos pode ser maior que odivisor? Em algum caso necessitaremos adicionar o divisor mais doque uma vez ?



Exerccio

Sem executar a soma, determine o resto das divises:

(a) (47 + 73) : 7 (g) (43 + 49) : 3(b) (354 + 432) : 10 (h) (200 + 40 + 7) : 3(c) (47 + 73) : 8 (i) (100 +40 +7) : 3(d) (35 + 46) : 6 (j) (100 + 20 + 4) : 9(e) (123 + 258) : 10 (k) (400 + 10 + 7) : 9(f) (16 + 22 +35) : 3 (l) (400 + 10 + 4) : 9

1.2.1 Divisibilidade por 2: Nmeros Pares e mpares

O critrio de divisibilidade mais conhecido a diviso por 2. Paradeterminar se um nmero divisvel por 2 (isto , par) ou no (mpar)s precisamos verificar se o ltimo algarismo par ou mpar.

Observe que:10 = 2 5,100 = 2 50,

1000 = 2 500.E assim por diante...

Ento, veja os exemplos a seguir:

1. 456 = 4 100 + 5 10 + 6400 = 200 2 par (divisvel por 2)50 = 25 2 par (divisvel por 2)6 = 3 2 par (divisvel por 2)Ento 456 par.



2. 7568142635 mpar (no divisvel por 2).

3. 7568142636 par (divisvel por 2).

Observao. Um fato importante que todos os fatores de umnmero mpar so mpares. Assim, basta um fator par para que onmero seja par.

1.2.2 Divisibilidade por 4 e 8

Observe que:100 = 4 25,1000 = 4 250.

E assim por diante:

1000000 = 4 250000.

Isto , as potncias de 10, a partir de 100, so todas divisveis por 4.Mas 10 no divisvel por 4.

Ento, para saber se um nmero divisvel por 4 no precisamosnos preocupar com as centenas, milhares, e assim por diante. Estasclasses j tm o 4 como fator.

Para saber se um nmero divisvel por 4, basta saber se os doisltimos algarismos formam um nmero divisvel por 4.

Para saber o resto da diviso de um nmero por 4, basta saber oresto da diviso dos seus dois ltimos algarismos por 4.



Exemplos:

1. 125867432 divisvel por 4 ?Basta verificar para 3232 = 4 8 com resto 0

2. Qual o resto de 35971659 : 4 ?Basta verificar o resto de 59 : 4.59 : 4 = 14 com resto 3

A divisibilidade por 8 segue o mesmo padro. Observe que:1000 = 8 125,10000 = 8 1250.

E assim por diante:1000000 = 8 125000.

Isto , as potncias de 10, a partir de 1000, so todas divisveis por8. Mas 10 no divisvel por 8 e 100 tambm no divisvel por 8.

Ento, para saber se um nmero divisvel por 8 no precisamosnos preocupar com os milhares, dezenas de milhares e assim por di-ante. Estas classes j tm o 8 como fator.

Para saber se um nmero divisvel por 8, basta saber se os trsltimos algarismos formam um nmero divisvel por 8.

Para saber o resto da diviso de um nmero por 8, basta saber oresto da diviso dos seus trs ltimos algarismos por 8.



Exemplos:

1. 125867344 divisvel por 8 ?Basta verificar para 344.344 = 8 43 com resto 0

2. Qual o resto de 35971659 : 8 ?Basta verificar o resto de 659 : 8.659 : 8 = 82 com resto 3.

Exerccio

Calcule o resto das divises:(a) 1425782 : 2 (d) 658591 : 2(b) 1425782 : 4 (e) 658591 : 4(c) 1425782 : 8 (f) 658591 : 8

1.2.3 Divisibilidade por 5 e por 10

As mesmas idias da divisibilidade por 2 podem ser usadas nadivisibilidade por 5 e por 10. Basta observar que

10 = 5 2,100 = 5 10 2,1000 = 5 100 2.

E assim por diante...



Isso mostra que:

Um nmero divisvel por 5 se, e s se, o ltimo algarismo for5 ou 0.

Um nmero divisvel por 10 se, e s se, o ltimo algarismo for0.

Para saber o resto da diviso de um nmero por 5, basta saber oresto da diviso do seu ltimo algarismo por 5.

Para saber o resto da diviso de um nmero por 10, basta sabero resto da diviso do seu ltimo algarismo por 10, isto , basta sabero seu ltimo algarismo.

Exemplos:

1. Sem executar a soma, determine o resto das divises:

(a) (457 + 378 + 19) : 10Os ltimos algarismos somam 24, logo o resto da diviso 4.

(b) (358 + 57917 + 123) : 5Os ltimos algarismos somam 18, logo o resto da diviso 3.

2. Se somarmos todos os nmeros de 1 a 587 qual o resto dadiviso por 5 ?A soma dos algarismos de 1 a 9 (1+2+3+4+5+6+7+8+9+0) 45, logo at 580 a soma dos nmeros ser um mltiplo de



45 (58 45), logo um mltiplo de 5. S precisamos nospreocupar com o ltimo algarismo dos sete ltimos nmeros:1 + 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7 = 28. O ltimo algarismo 8 e o restoda soma 3.

3. Se somarmos todos os nmeros de 1 a 536 qual o resto da divisopor 10 ?A soma dos algarismos de 1 a 9 (1+2+3+4+5+6+7+8+9+0) 45, logo at 530 a soma dos ltimos algarismos dos nmerosser 53 45, um nmero com ltimo algarismo igual a 5. Sprecisamos nos preocupar com este 5 e com o ltimo algarismodos seis ltimos nmeros: 5 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 26. Oltimo algarismo 6 e o resto da soma 6.

Exerccios

1. Sem executar a soma, determine o resto das divises:

(a) (3257 + 12378 + 1569) : 10

(b) (354567 + 356 + 1) : 10

(c) (5 + 15 + 25 + 35 + 45) : 5

(d) (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13) : 2

(e) (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13) : 5

(f) (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13) : 10

2. Se somarmos todos os nmeros de 121 a 587 qual o resto dadiviso desta soma por 5 ?



3. Se somarmos todos os nmeros de 131 a 536 qual o resto dadiviso desta soma por 10 ?

4. Estabelea um critrio de divisibilidade por 100, por 1000 e, emgeral, por 10t.

5. Estabelea um critrio de divisibilidade por 25, por 125 e, emgeral, por 5t.

1.2.4 Divisibilidade por 3 e por 9

Vamos lembrar de um dos exerccios que j fizemos:

Qual o resto de (200 + 40 + 7) : 3 ?200 : 3 = 66 com resto 2 - o mesmo resto de 2 : 340 : 3 = 13 com resto 1 - o mesmo resto de 4 : 37 : 3 = 2 com resto 1 - o mesmo resto de 7 : 3

O resto de 247 : 3 o mesmo resto de (2 + 4 + 7) : 3, isto , omesmo resto de 13 : 3. Como 13 : 3 = 4 com resto 1 segue que 247 : 3tem resto 1.

Vamos investigar um pouco:1 : 3 = 0 com resto 110 : 3 = 3 com resto 1100 : 3 = 33 com resto 1

E assim por diante,1000000 : 3 = 333333 com resto 1.

O resto das potncias de 10 quando divididas por 3, sempre 1. Cadaclasse contribui com uma unidade para o resto da diviso por 3.



Por exemplo, 4000 contribui com 4 unidades para o resto da diviso4573 : 3.

Resumindo: O resto da diviso de um nmero por 3 o mesmo restoda diviso da soma de seus algarismos por 3.

Exemplos:

1. Para calcular o resto de 4573 : 3 observamos que:4573 = 4 1000 + 5 100 + 7 10 + 3

= 4 (999 + 1) + 5 (99 + 1) + 7 (9 + 1) + 3= 4 999 + 5 99 + 7 9 + 4 + 5 + 7 + 3.

Basta ento calcular o resto de 4 + 5 + 7 + 3 = 19 por 3. Oresto 1.

2. O resto da diviso de 4567 por 3 o resto da diviso de 4+ 5+6 + 7 = 22 por 3, isto o resto da diviso de 2 + 2 = 4 por 3,isto (finalmente) 1. De fato, 4567 = 1522 3 + 1.

3. Se somarmos todos os nmeros de 1 a 536 qual o resto da divisopor 3 ?O resto de (1 + 2 + 3) : 3 0; o resto de (4 + 5 + 6) : 3 0;e assim por diante, sempre indo de trs em trs at o prximomltiplo de 3.Temos que nos preocupar apenas com os nmeros aps o ltimomltiplo de 3, no caso 534 (pois 5+3+4 = 12). Basta verificara soma 535 + 536 = 1071. A soma dos algarismos 9, que mltiplo de 3. Logo, o resto ser 0.



Observao. Podamos tambm somar os alagarismos de 535e 536, o que nos daria 27, nos dando o resto 0. Isso pode serfeito pois:

535 + 536 = 5 100 + 3 10 + 5 + 5 100 + 3 10 + 6= 5 (99 + 1) + 3 (9 + 1) + 5 + 5 (99 + 1)+

3 (9 + 1) + 6= 5 99 + 3 9 + 5 99 + 3 9 + 5 + 3 + 5+

5 + 3 + 6.

Exerccios

1. Qual o resto das divises indicadas ?

(a) (3257 + 12378 + 1569) : 3

(b) (354567 + 356 + 1) : 3

(c) (5 + 15 + 25 + 35 + 45) : 3

(d) (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13) : 3

2. Se somarmos todos os nmeros de 121 a 587 qual o resto dadiviso por 3 ?


Para a divisibilidade por 9 podemos usar a mesma idia. Vejamosum exemplo:



Qual o resto de (400 + 80 + 7) : 9 ?400 : 9 = 44 com resto 4 - o mesmo resto de 4 : 980 : 9 = 8 com resto 8 - o mesmo resto de 8 : 97 : 9 = 1 com resto 7 - o mesmo resto de 7 : 9

O resto de 487 : 9 o mesmo resto de (4 + 8 + 7) : 9, isto , omesmo resto de 19 : 9. Como 19 : 9 = 2 com resto 1 segue que 487 : 9tem resto 1.

Como fizemos no caso da divisibilidade por 3 estamos usando ofato de que:

487 = 4 100 + 8 10 + 7= 4 (99 + 1) + 8 (9 + 1) + 7= 4 99 + 8 9 + 4 + 8 + 7.

Basta ento calcular o resto de 4+5+7+3 = 19 por 3. O resto 1.

Vamos investigar um pouco:1 : 9 = 0 com resto 110 : 9 = 1 com resto 1100 : 9 = 11 com resto 1

E assim por diante:1000000 : 9 = 111111 com resto 1.

O resto das potncias de 10 quando divididas por 9, sempre 1.De fato:

10 = 9 + 1100 = 99 + 11000 = 999 + 1

e assim por diante. Cada classe contribui portanto com uma unidade



para o resto da diviso por 9. Por exemplo, 4000 contribui com 4unidades para o resto da diviso 4000 : 9.

Exemplos:

1. O resto de 4585 : 9 o resto de 4 1000 + 5 100 + 8 10 + 5,isto , o mesmo resto que 4 1 + 5 1 + 8 1 + 5,ou ainda 4 + 5 + 8 + 5 = 22. O resto 4.

Resumindo: O resto da diviso de um nmero por 9 o mesmoresto da diviso da soma de seus algarismos por 9.

2. O resto da diviso de 4567 por 9 o resto da diviso de 4+5+6 + 7 = 22 por 9, isto , o resto da diviso de 2 + 2 = 4 por 9,isto (finalmente) 4.De fato, 4567 = 507 9 + 4.

3. Se somarmos todos os nmeros de 1 a 536 qual o resto da divisodesta soma por 9 ?O resto de (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) : 9 o mesmo de45 : 9 que 0;o resto de (10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18) : 9 omesmo de 126 : 9 que 0; e assim por diante.Temos que nos preocupar apenas com os nmeros aps o ltimomltiplo de 9, no caso 531 (pois 5 + 3 + 1 = 9). Basta verificara soma 532 + 533 + 534 + 535 + 536. A soma dos algarismos 60. O resto de 60 : 9 6, logo o resto da soma 6.



Exerccios

1. Qual o resto das divises indicadas ?

(a) (3257 + 12378 + 1569) : 9

(b) (354567 + 356 + 1) : 9

(c) (5 + 15 + 25 + 35 + 45) : 9

(d) (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13) : 9



1.2.5 Divisibilidade por 7

Vamos mostrar dois critrios de divisibilidade por 7. O primeiroser feito por etapas e o segundo ser deixado como exerccio.

Mostre que 10x + y divisvel por 7 se e s se x 2y tambmfor divisvel por 7.

Soluo

10x + y divisvel por 7 10x + y 7x 7y divisvel por 7 3x 6y divisvel por 7 3(x 2y) divisvel por 7 x 2y divisvel por 7.



Use o exerccio anterior para estabelecer o seguinte critrio dedivisibilidade por 7:

Para saber se um nmero divisvel por 7 multiplicamos o l-timo algarismo do nmero por 2 e subtraimos o resultado donmero obtido do nmero inicial pela supresso do ltimo al-garismo.

Exemplos:

1. 294 29|4 29 8 = 21 294 divisvel por 7.2. 248738 24873 16 = 24857 2485 14 = 2471

247 2 = 245 24 10 = 14 248738 divisvel por 7.3. 7557 75514 = 741 742 = 72 74 = 3 7557

no divisvel por 7.

Observao. Podemos expressar teoricamente o algoritmoacima. Um nmero qualquer expresso por algarismos:

ABCDE KLM.

Se fizermos x = ABC KL e y = M , teremos

ABCDE KLM = 10x + y

que s ser divisvel por 7 se x2y = ABC KL2M tambmfor.

Invente seus exemplos. Verifique que, ao contrrio dos algorit-mos usuais, esse critrio NO permite descobrir o resto de umadiviso por 7.



Observao. De fato, no exemplo 3

7557 755 14 = 741 74 2 = 72 7 4 = 3 7557 no divisvel por 7.

Mas o resto da diviso de 7557 por 7 4 e no 3.

Outro Critrio de Divisibilidade por 7

Um outro critrio de divisibilidade por 7 o seguinte:

Tomamos o primeiro algarismo esquerda, multiplicamos por 3 esomamos ao segundo algarismo esquerda e em seguida substitumoso resultado pelos dois primeiros algarismos esquerda. Se o nmerooriginal divisvel por 7 o nmero resultante tambm ser.

Exemplos:

1.3486 3 3 + 4 = 131386 1 3 + 3 = 6686 6 3 + 8 = 26266 2 3 + 6 = 12126 1 3 + 2 = 556 5 3 + 6 = 2121 2 3 + 1 = 7

E 3486 mltiplo de 7



2.

5129 5 3 + 1 = 161629 1 3 + 6 = 9929 9 3 + 2 = 29299 2 3 + 9 = 15159 1 3 + 5 = 889 8 3 + 9 = 3333 3 3 + 3 = 1212 1 3 + 2 = 5

E 5129 no mltiplo de 7, mas...

Observe que 5129, quando dividido por 7, deixa o resto 5.

Exerccios

1. Prove que o critrio de divisibilidade por 7 enunciado acimarealmente funciona. (Sugesto: Considere o nmero comosendo da forma XY Z = X 10t + Y 10t1 + Z).

2. Mostre que este algoritmo nos d o resto do nmero original por7.

1.2.6 Divisibilidade por 11

Para obter um critrio de divisibilidade por 11 vamos lanar mo,outra vez, do valor posicional dos algarismos. Para isso vamos ob-servar que:



1 Para cada unidade haver sobra de uma unidade ao dividir por11;

10 Para cada dezena haver falta de uma unidade para completar11 (pois 10 + 1 = 11);

100 Para cada centena haver sobra de uma unidade ao dividirpor 11 (pois 100 1 = 99 = 11 9);1000 Para cada milhar haver falta de uma unidade para comple-tar 11 (pois 1000 + 1 = 1001 = 11 91)e assim por diante...

Exerccio

Mostre que o resto da diviso de 10t por 11 1 se t par e 10 se t mpar. (Lembrete: 100 = 1).

Essa observao nos d o seguinte critrio:Para saber se um nmero divisvel por 11 somamos os algarismos deordem par (unidades, centenas, etc.) e subtramos a soma dos algar-ismos de ordem mpar. Se o resultado for mltiplo de 11, o nmerooriginal ser mltiplo de 11.(Lembrete: A ordem das unidades 0,das dezenas 1, etc.).

Exemplos:

1. 4520835Algarismos de ordem par 5 + 8 + 2 + 4 = 19Algarismos de ordem mpar 3 + 0 + 5 = 8



19 8 = 114520835 divisvel por 11

2. 75893482Algarismos de ordem par 2 + 4 + 9 + 5 = 20Algarismos de ordem impar 8 + 3 + 8 + 7 = 2620 26 = 6Como o resultado foi negativo, isso mostra que faltam 6unidades para o nmero ser divisvel por 11, isto o resto dadiviso de 75893482 por 11 11 6 = 5

Exerccios

1. Como podemos saber se um nmero divisvel por 6 ?



4. Pedro estava tentando dividir um nmero de 4 algarismos por7. Joo ento lhe disse:Basta tirar o algarismo das centenas.Pedro viu que estava correto. Que nmero era este ?

5. Qual o menor nmero que tem todos os algarismos pares e divisvel por 18 ?

6. Qual o menor nmero composto por 4 algarismos pares e di-visvel por 18 ?


SEC. 1.3: OUTRAS PROPRIEDADES DOS RESTOS: MULTIPLICAO E POTENCIAO31

7. Qual o menor nmero composto por 6 algarismos pares e di-visvel por 18 ?

8. Qual o menor nmero composto por 30 algarismos pares e divisvel por 18 ?

1.3 Outras Propriedades dos Restos: Multipli-cao e Potenciao

Vimos que quando dividimos dois nmeros pelo mesmo divisor, asoma (ou diferena) dos restos igual ao resto da soma (ou diferena)dos nmeros - eventualmente temos que corrigir a soma ou diferena,somando ou subtraindo o valor do divisor.

Exemplos: Veja os exemplos no Fato 2 e no Fato 3 mais acima.

Mas ser que a mesma idia permanece se usarmos a multipli-cao? Veremos que sim, e para isso teremos que usar nossa velhaequao de Euclides (a equao (1.1)):

D = d q + r , r < d , d > 0 ; D, d, q, r N {0} (1.1)

Em que:

D o dividendo;

d o divisor (que deve ser diferente de 0);

q o quociente;



r o resto (que deve ser menor que d).

Vamos experimentar um exemplo:45 : 7 = 6 com resto 337 : 7 = 5 com resto 245 37 = 16651665 : 7 = 237 com resto 6Observe que o produto dos restos igual ao resto do produto !

Outro exemplo:40 : 6 = 6 com resto 429 : 6 = 4 com resto 540 29 = 11601160 : 6 = 193 com resto 2

O que aconteceu? O produto dos restos 20, muito maior doque o divisor. Vamos retirando 6 unidades at obter um resto menordo que 6, isto , 20 6 6 6 = 2. Na verdade dividimos 20 : 6 = 3com resto 2.

So exemplos de que podemos conhecer o resto de uma multipli-cao por um dado divisor, sabendo o resto da diviso dos fatoresdeste nmero pelo mesmo divisor. Vamos entender porque isso acon-tece.

Digamos que tenho dois nmeros D1 e D2 que vamos dividir pelomesmo divisor d. Pela equao de Euclides (equao (1.1)) podemosescrever:

D1 = dq1+r1 , r1 < d , d > 0 ; D1, d, q1, r1 N{0}



D2 = dq2+r2 , r2 < d , d > 0 ; D2, d, q2, r2 N{0}

e da tirar:

D1 = d q1+ r1, com 0 r1 < d; D1, d, q1, r1 N{0}

D2 = d q2+ r2, com 0 r2 < d; D2, d, q2, r2 N{0}

Observe que no precisamos colocar ndice no divisor d pois ele igual nas duas equaes.

Vamos fazer a multiplicao D1 D2:D1 = d q1 + r1,D2 = d q2 + r2, dondeD1D2 = (dq1+r1)(dq2+r2) = d2q1q2+r1dq2+r2dq1+r1r2.

Observe que d2 q1 q2 , r1 d q2 e r2 d q1 tm d como fator.Pelos fatos citados l no comeo, vemos que o resto da diviso(D1D2) : d o mesmo resto da diviso (r1 r2) : d.

Exemplos:

1. Qual o resto da diviso (6779 3846) : 9 ?Calculamos os restos das divises 6799 : 9 e 3486 : 9 ;

6779 : 9 deixa resto 2, pois a soma dos algarismos 29( 29 27 = 2)3486 : 9 deixa resto 3, pois a soma dos algarismos 21



( 21 18 = 3)O resto de (6779 3846) : 9 2 3 = 6.

2. Qual o resto da diviso (297 684 128) : 5 ?Calculando os restos:

297 : 5 deixa resto 2 (7 5 = 2)684 : 5 deixa resto 4

128 : 5 deixa resto 3 (8 5 = 3)O produto dos restos 2 4 3 = 24.O resto de 24 : 5 4.

O resto (297 684 128) : 5 tambm 4 .

3. Qual o resto da diviso (295 63 128) : 3 ?Poderamos fazer todas as contas, mas basta observar que 63 mltiplo de 3, logo o resto de 63 : 3 0. O produto dos restosser 0, e o resto pedido ser 0. De fato, como 3 fator de 63,3 ser fator do produto 295 63 128; isso quer dizer que oproduto tambm mltiplo de 3 (e logo, o resto da diviso por3 ser 0).

Exerccios

1. Sem efetuar os produtos, calcule o resto das divises:

(a) (43 27 38 537) : 2(b) (453 127 38) : 9



(c) (45 37 91) : 9(d) (24 48 96) : 5(e) (1289 2365 1589) : 5(f) (37 43 57) : 10

J que conseguimos mostrar que os restos so bem comportadosquanto multiplicao, podemos tambm usar as propriedades dosrestos para a potenciao.

Exemplos:

1. Qual o resto de 125 : 5 ?125 = 12 12 12 12 12O resto de 12 : 5 22 2 2 2 2 = 32O resto de 32 : 5 2logo, o resto de 125 : 5 2.

2. Qual o resto de 37 : 2 ?Como 3 mpar, 37 tambm mpar e o resto de de 37 : 2 1.

3. Qual o resto de 37 : 5 ?Note que s nos interessa o ltimo algarismo:3 = 33 3 = 99 3 = 27 ltimo algarismo: 7



7 3 = 21 ltimo algarismo: 11 3 = 33 3 = 9 . . . e os ltimos algarismos continuam a se repetirnesta ordem: 3; 9; 7; 1; 3; . . .Como os ltimos algarismos se repetem de 4 em 4, 35 ter3 como ltimo algarismo e 37 ter 7 como ltimo algarismo.Logo, o resto de 37 : 5 2 (pois 7 5 = 2).

4. Qual o resto de 362 : 5 ?Usando a mesma idia do exemplo anterior, vemos que o ltimoalgarismo se repete a cada 4 potncias de 3. Como 62 : 4 = 15com resto 2, vemos que o ciclo 3; 9; 7; 1 . . . se repete 15 vezese as duas ltimas potncias produzem um nmero com final 9.Logo, o resto de 362 : 5 4 (pois 9 5 = 4).

1.4 Nmeros Primos e Nmeros Compostos

Estamos trabalhando com o conceito de mltiplos, divisores(que tambm chamamos de fatores) e podemos perceber que algunsnmeros tm muitos fatores, como por exemplo, o 24. O conjuntoD24 dos fatores de 24 :

D24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.

O nmero 1 divisor de todos os nmeros.


SEC. 1.4: NMEROS PRIMOS E NMEROS COMPOSTOS 37

Observe que o nmero que tem s um divisor 1, pois

D1 = {1}.

Por outro lado, h nmeros que tm apenas dois fatores, como porexemplo o nmero 7. De fato:

D7 = {1, 7}.Os nmeros que s tm dois fatores distintos (o 1 e ele prprio), sochamados nmeros primos. O nico divisor diferente de 1 de umnmero primo ele mesmo.

Os nmeros diferentes de 1 e que no so primos, so chamadosde compostos.

Um fato bem conhecido que podemos escrever qualquernmero natural diferente de 1 como um produto de nmerosprimos - a chamada decomposio em nmeros primos.Mais ainda, se colocarmos os fatores em ordem crescente, sh uma nica forma de fazer esta decomposio.Este fato importante, pois nos permite comparar as decom-posies dos nmeros inteiros e deduzir propriedades.Embora j conhecido h mais tempo, Euclides apresenta umademonstrao na sua obra Os Elementos.Devido sua larga utilizao, comumente chamado

Teorema Fundamental da Aritmtica



Observao. O nmero 1 especial. O motivo que ele divide todosos nmeros naturais. Quais os divisores de um natural que interes-sam? Apenas os divisores diferentes de 1. Procuramos os divisoresdiferentes de 1. Os nmeros primos so os nmeros naturais, dife-rentes de 1, com o menor nmero de divisores, apenas dois divisores.Com os nmeros primos construmos os nmeros compostos.

Exemplos:

1. Os nmeros 2, 3, 5, 37, 3413 e 7919 so primos. medida queos nmeros vo crescendo, vai ficando mais difcil determinar seum nmero primo ou composto.

2. 512 composto.Sua decomposio 512 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2. mais cmodo escrever 512 = 29.

3. 825 composto pois 825 = 3 5 5 11, ou melhor,825 = 3 52 11.

4. 296783 composto pois 296783 = 463 641. Observe que 463e 641 so nmeros primos. Pode ser bastante difcil a decom-posio em fatores primos.

Exerccio

Determine se os nmeros abaixo so primos ou compos-tos. Caso sejam compostos decomponha-os em fatores primos.


SEC. 1.4: NMEROS PRIMOS E NMEROS COMPOSTOS 39

(a) 35 (f) 625(b) 43 (g) 6480(c) 105 (h) 1961(d) 131 (i) 5292(e) 1001 (j) 3003

1.4.1 O Crivo de Eratstenes

O nome no deve assustar o leitor. Crivo quer dizer peneirae Eratstenes foi o sbio grego a quem se atribui sua inveno. uma peneira de nmeros. Vamos peneirar os nmeros divisveispor 2, por 3 e assim sucessivamente. Com este crivo podemos obterao menos os primeiros nmeros primos, ou melhor todos os nmerosprimos at um certo nmero. No nosso exemplo vamos peneirarat 50.

Comeamos por riscar de 2 em 2, tirando os mltiplos de 2(mas no riscamos o 2 - ele primo):

1 2 3 4/ 5 6/ 7 8/ 9 10//11 12// 13 14// 15 16// 17 18// 19 20//21 22// 23 24// 25 26// 27 28// 29 30//31 32// 33 34// 35 36// 37 38// 39 40//41 42// 43 44// 45 46// 47 48// 49 50//

Retiramos os nmeros que passaram na peneira do 2. O prximoprimo o 3. Riscamos de 3 em 3, tirando os mltiplos de 3 (mas noriscamos o 3 - ele primo):



1 2 3 5 7 9/11 13 15// 17 1921// 23 25 27// 2931 33// 35 37 39//41 43 45// 47 49


1 2 3 5 711 13 17 19

23 25// 2931 35// 3741 43 47 49


1 2 3 5 711 13 17 19

23 2931 3741 43 47 49//

Retiramos o 49, que no passou na peneira do 7.

Aqui paramos. Por qu? O prximo primo seria o 11, mas


SEC. 1.5: INFINITUDE DO CONJUNTO DOS NMEROS PRIMOS 41

qualquer nmero (at 50) dividido por 11 vai nos dar um quocientemenor do que 11 pois 11 11 maior do que 50. Quando aplicamoso crivo ou examinamos se um determinado nmero primo, bastaverificar at o maior nmero que, elevado ao quadrado, no ultrapasseo nmero examinado. No nosso caso 7 7 = 49, e 7 o maiornmero que, elevado ao quadrado, ainda menor que 50. Na nossapeneira ento s sobraram os nmeros primos. Lembramos que 1 no primo.Primos at 50: P50 = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47}.

Nem sempre fcil procurar fatores. O crivo funciona bem comnmeros pequenos, mas um nmero primo grande pode complicar anossa vida. Por exemplo: 34020977 primo ou composto ?Ele composto mas sua decomposio 34020977 = 5077 6701.Imagine o tamanho da peneira que voc teria que usar!

1.5 Infinitude do Conjunto dos Nmeros Pri-mos

Uma questo que surge naturalmente se o conjunto dos nmerosprimos finito ou infinito. Este problema antigo e a demonstraoda infinitude do conjunto dos primos mais acessvel consta dos Ele-mentos de Euclides. Antes de expor esta demonstrao vamos inves-tigar um pouco.

Suponhamos que eu j sei que 2, 3, 5 e 7 so nmeros primos. Se



eu multiplicar esses nmeros e somar 1 fico com:

2 3 5 7 + 1 = 211

Fazemos duas observaes:

211 no divisvel por 2, 3, 5 ou 7. Isso decorrncia da formacomo obtivemos este nmero.

211 primo.

Bem, gostaramos que este fosse um mtodo para fabricar nmerosprimos. Infelizmente isso no verdade (e fabricar nmeros primoscom uma frmula uma faanha que ainda no foi conseguida).Vejamos o que acontece se tomamos os primos at 13.

2 3 5 7 11 13 + 1 = 30031

Como antes observamos que 30031 no divisvel por 2, 3, 5, 7, 11ou 13. Mas desta vez obtivemos um nmero que no primo. Defato:

30031 = 59 509Entretanto apareceram dois nmeros primos que no estavam naminha lista, o 59 e o 509.

Na verdade, partir de um conjunto de nmeros primos, esseprocedimento produz:

Ou um nmero primo que no estava no conjunto inicial

Ou pelo menos um nmero que tem na sua composio umnmero primo que no estava no conjunto inicial.


SEC. 1.5: INFINITUDE DO CONJUNTO DOS NMEROS PRIMOS 43

Vejamos alguns exemplos:

Nmeros primos O produto +1 Outro(s) nmero(s)primo(s)

2, 3 2 3 + 1 = 7 73, 5 3 5 + 1 = 16 = 24 23, 7 3 7 + 1 = 22 = 2 11 2 e 113, 11 3 11 + 1 = 34 = 2 17 2 e 177, 11 7 11 + 1 = 78 = 2 3 13 2, 3 e 132, 3, 5 2 3 5 + 1 = 31 312, 5, 7 2 5 7 + 1 = 71 712, 3, 5, 7 2 3 5 7 + 1 = 211 211

Estas observaes nos permitem formalizar o teorema a seguir.

Teorema. O conjunto dos nmeros primos infinito.

Demonstrao: A demonstrao ser feita por absurdo, isto ,faremos uma suposio contrria ao que desejamos e concluiremos queela nos leva a um absurdo.Suponhamos que o conjunto dos nmeros primos finito, com digamost elementos. Vamos enfileirar os nmeros primos:

p1 = 2p2 = 3p3 = 5

...pt

O nmero r = p1 p2 p3 p4 . . . pt1 pt+1 no divisvel por nenhumprimo de nossa lista. Temos duas possibilidades:



O nmero r primo ou

O nmero r no primo e tem um fator primo que no pertenceao conjunto {p1, p2, p3, . . . , pt1, pt}.

Os dois casos contrariam a hiptese inicial que, portanto, absurda.Logo o conjunto dos nmeros primos infinito.

Exerccio

Veremos que verificar se um nmero ou no primo pode ser compli-cado. Use uma mquina de calcular e:

(a) Verifique se o nmero 2 3 5 7 11 13 17 + 1 ou noprimo.

(b) Verifique se o nmero 2 3 5 7 11 13 17 19 + 1 ouno primo.

(c) Verifique se o nmero 2 3 5 7 11 13 17 19 23+ 1 ou no primo.


SEC. 1.6: NMERO DE DIVISORES 45

1.6 Nmero de Divisores

Uma outra questo, tambm bastante antiga, a de quantos di-visores tem um determinado nmero. Vamos ver alguns exemplos, everemos que no s obteremos quantos mas tambm quais.

Exemplo: Quantos divisores tem o nmero 30 ? Para responder aisso comeamos por decompor o nmero 30 em fatores primos.

30 = 2 3 5.

Ora, os divisores de 30 sero produto desses fatores. Ento:

Podemos escolher no usar o 2 ou usar o 2.



Temos ento 2 2 2 = 8 possibilidades. De fato, os divisores so:1 No usamos nenhum divisor2 usamos s o 23 usamos s o 35 usamos s o 56 usamos o 2 e o 310 usamos o 2 e o 515 usamos o 3 e o 530 usamos o 2, o 3 e o 5



Observe que o que fizemos foi atribuir expoente 0 ou 1 a cada fator.Por exemplo 1 = 20 30 50; 15 = 20 31 51.Exemplo: Tomemos agora um nmero que tenha fatores com ex-poente maior do que 1. Quantos divisores tem 360 ?

360 = 23 32 51.

Podemos escolher usar o nmero 2 trs vezes, duas vezes, umavez ou nenhuma vez.

Podemos escolher usar o nmero 3 duas vezes, uma vez ounenhuma vez.

Podemos escolher usar o nmero 5 uma vez ou nenhuma vez.

Temos ento 432 = 24 possibilidades. Podemos esquematizara obteno de divisores no quadro a seguir.


SEC. 1.6: NMERO DE DIVISORES 47

Fator primo 5 3 2 divisorelevado a 0 0 0 1elevado a 0 0 1 2elevado a 0 0 2 4elevado a 0 0 3 8elevado a 0 1 0 3elevado a 0 1 1 6elevado a 0 1 2 12elevado a 0 1 3 24elevado a 0 2 0 9elevado a 0 2 1 18elevado a 0 2 2 36elevado a 0 2 3 72elevado a 1 0 0 5elevado a 1 0 1 10elevado a 1 0 2 20elevado a 1 0 3 40elevado a 1 1 0 15elevado a 1 1 1 30elevado a 1 1 2 60elevado a 1 1 3 120elevado a 1 2 0 45elevado a 1 2 1 90elevado a 1 2 2 180elevado a 1 2 3 360

Podemos ento formalizar estas idias. Seja um nmero n e suadecomposio em fatores primos:

n = pt11 pt22 pt33 . . . ptr1r1 ptrr

Lembrete: Os pis so todos diferentes.

O nmero de divisores de n igual a

(t1 + 1) (t2 + 1) (t3 + 1) (tr1 + 1) (tr + 1).



Exerccio: Escolha alguns nmeros e descubra quantos e quais soos seus divisores.

Quando temos trs ou menos fatores podemos utilizar uma formagrfica para visualizar a composio dos divisores. o que chamamosde reticulado. Exemplificaremos com os divisores de 450 = 23252.

450

90

18

150

50

25

75

225

5

1

3

915

45

3

2

5

30

6

2

450 = 2 X 32X 5

2

10

Observe que a cada fator corresponde uma direo - caminhandosobre essa direo multiplicamos ou dividimos pelo fator correspon-dente.

Exerccio

1. Construa o reticulado de 180. Em que ele se parece com o de450 ?


SEC. 1.7: UM TEMA AVANADO: NMEROS PERFEITOS 49

2. Construa os reticulados de 36, de 72 e de 108. O que vocobserva ?

1.7 Um Tema Avanado: Nmeros Perfeitos

Um nmero inteiro perfeito quando a soma de seus divisoresprprios (isto , excluindo o prprio nmero) igual ao nmero. Umaforma equivalente de definir dizer que um nmero inteiro n perfeitoquando a soma de seus divisores 2 n.

O menor nmero perfeito conhecido 6. De fato, D6 = {1, 2, 3, 6}e 1 + 2 + 3 = 6 . O prximo 28 (confirme !).

Uma forma conhecida de formar nmeros perfeitos calcular2t1 (2t 1), desde que 2t 1 seja primo.Exemplos:

1. Se t = 3, 22 (23 1) = 4 7 = 28 que um nmero perfeito.Note que 7 um nmero primo.

2. Se t = 4 ,23 (24 1) = 8 15 = 120 que no um nmeroperfeito. Note que 15 no um nmero primo.

Euler provou que todo nmero perfeito par da forma 2t1 (2t1)com (2t1) primo. No se sabe ainda se existe algum nmero perfeitompar.

No apresentamos a demonstrao de Euler, mas vamos mostrarque, de fato, 2t1 (2t 1) perfeito, desde que 2t 1 seja primo.



Para isso precisaremos mostrar inicialmente que 20 + 21 + 22 + +2t1 = 2t 1. No 2o grau isto feito por diviso de polinmios.Aqui faremos por induo:

verdade para t = 1, pois 211 = 20 = 1 = 21 1.

Se verdade para t, temos

20 + 21 + 22 + + 2t1 = 2t 1.

Ento

20+21+22+ +2t1+2t = 2t1+2t = 2 2t1 = 2t+11.

Logo, verdade para t+ 1.

Vamos nossa frmula. Seja n = 2t1 (2t 1)Se 2t 1 um nmero primo (digamos p) os divisores de n so:

Dn = {1, 2, 4 . . . 2t1} {1 p, 2 p, 4 p, . . . , 2t1 p}.

A soma dos elementos do primeiro conjunto 2t1 e a dos elementosdo segundo conjunto p (2t 1). Somando tudo:

(2t 1) + p (2t 1) = (2t 1) (p + 1).

Como p = 2t 1 , p+ 1 = 2t = 2 2t1 e a nossa soma fica:

(2t 1) (p+ 1) = (2t 1) 2 2t1 = 2 2t1 (2t 1)

Isto , a soma dos divisores de n o dobro de n. Logo n um nmeroperfeito.


SEC. 1.8: MAIOR DIVISOR COMUM 51

Ateno: A ressalva de que (2t 1) seja primo no nada ino-cente ! Na verdade, no to fcil assim encontrar primos destaforma. Eles so chamados primos de Mersenne em homenagem aMarin Mersenne (1588-1648) embora outros matemticos j tivessemtrabalhado com estes nmeros anteriormente.

Para se ter uma idia das dificuldades, at 2006 s haviam sidoconfirmados 44 primos de Mersenne, sendo que esse 44o nmero primo 232582657 1. Esse nmero tem 9808358 dgitos ! S para exempli-ficar, o 12o primo de Mersenne

170141183460469231731687303715884105727.

1.8 Maior Divisor Comum

Uma das principais utilizaes da decomposio em nmeros pri-mos a determinao do maior divisor comum (mdc) e do menormltiplo comum (mmc).

Vamos supor que temos que remeter duas encomendas de sabonetepara dois compradores diferentes. Um pediu 420 sabonetes e outro480 sabonetes. Queremos fazer uma embalagem que sirva para os doiscompradores. Estamos procurando um nmero de sabonetes que sejadivisor (ou fator) de 420, mas tambm seja um divisor (fator) de 480.Isto : um fator comum (ou divisor comum) de 420 e 480. Isso fcil,basta usar embalagens de 10 sabonetes (10 um fator de 420 e de480). O primeiro comprador receberia 42 embalagens e o segundo 48embalagens.



Mas gostaramos de usar poucas embalagens, ou melhor de colocarmais sabonetes em cada embalagem. Ento no queremos apenas umdivisor comum, queremos o maior divisor comum. Vamos usar adecomposio para isso.

420 = 22 3 5 7

480 = 25 3 5.

Quais os fatores comuns ? 2, 3 e 5.

Porm, o 2 pode ser usado duas vezes, pois em ambos os nmerosele aparece duas vezes. Embora ele aparea mais vezes como fatorde 480, s podemos utiliz-lo duas vezes, o nmero de vezes que o 2aparece como fator no 420.

Enfim, o maior divisor que podemos obter ser:

mdc(420; 480) = 22 3 5 = 60.

De fato, 60 fator de 420 e de 480, e no possvel haver um fatormaior. Podemos fazer embalagens com 60 sabonetes: o primeirocomprador receber 7 embalagens e o segundo 8 embalagens. Noteque 7 o quociente que obtemos ao dividirmos 420 por 22 3 5 eque 8 = 23 o quociente que obtemos ao dividir 480 por 22 3 5.

Exemplos:

1. Calcular mdc(30; 45).30 = 2 3 545 = 32 5Tomando os fatores comuns, temos mdc(30; 45) = 3 5 = 15.


SEC. 1.8: MAIOR DIVISOR COMUM 53

2. Podemos calcular o mdc de mais de dois nmeros simultanea-mente:mdc(84; 72; 180)84 = 22 3 772 = 23 32180 = 22 32 5mdc(84; 72; 180) = 22 3 = 12.

3. mdc(16; 45)16 = 24 e 45 = 32 5No h fator comum a no ser o 1.mdc(16; 45) = 1.

Observao. Neste caso, dizemos que 16 e 45 so primos entre si.

Exerccios

1. Calcular :(a) mdc(49; 84) (f) mdc(343; 91; 169)(b) mdc(36; 60; 72) (g) mdc(7; 11; 13)(c) mdc(8; 32; 128) (h) mdc(1800; 2700; 4500)(d) mdc(13; 39; 21) (i) mdc(1001; 1002)(e) mdc(45; 135; 81) (j) mdc(1001; 1078)

2. Observe o reticulado do 450 (da seo anterior). Onde est omdc(50, 90) ? e o mdc(75, 90)? O que voc pode concluir ?



Est tudo muito bem, mas nem sempre fcil fatorar um nmero.Tente fatorar, por exemplo, os nmeros a seguir:

102209, 102229, 102233, 102989, 107533, 107581, 107659, 107671,107759 e 107687.

(Uma pista: Cinco so primos, cinco so compostos.)

1.9 Algoritmo de Euclides

Espero que voc tenha se convencido de que s vezes (quase sem-pre) pode ser complicado encontrar uma decomposio em fatoresprimos.

Mas a nossa boa e velha equao de Euclides (equao (1.1)) nosd uma outra forma de calcular o mdc entre dois nmeros.Vamos supor que quero encontrar o mdc(168; 49).

A equao de Euclides (equao (1.1)) nos diz que

168 = 49 3 + 21.

Ora, estou procurando um divisor comum de 168 e de 49. A equaoacima mostra que ele ter que ser tambm um divisor de 21. Pelamesma equao um divisor comum de 21 e 49 deve obrigatoriamenteser divisor de 168. Resumindo, os divisores comuns de 168 e de 49so os mesmos divisores comuns de 21 e 49. Ento, posso encontraro mdc de 168 e 49 procurando o mdc de 49 e 21. Mas

49 = 21 2 + 7.


SEC. 1.9: ALGORITMO DE EUCLIDES 55

Pelo mesmo raciocnio posso procurar o mdc(21; 7). Mas

21 = 7 3, sem resto.

Logo, 7 divide 21, isto mdc(7; 21) = 7. Voltando passo a passo,mdc(21; 49) = 7, e finalmente mdc(168; 49) = 7.

O procedimento acima permite encontrar o mdc de nmerosgrandes sem o uso da decomposio.

Exemplos:

1. mdc(4873; 275)4873 = 17 275 com resto 198275 = 1 198 com resto 77198 = 2 77 com resto 4477 = 1 44 com resto 3344 = 1 33 com resto 1133 = 3 11 sem restomdc(4873; 275) = 11

2. Esse procedimento chamado algoritmo de Euclides para de-terminao do mdc. Ele pode ser apresentado de uma formagrfica:

Quociente 17 1 2 1 1 34873 275 198 77 44 33 11Resto 198 77 44 33 11 0

Note que o quociente no nos interessa neste algoritmo. Basta oresto.



Exerccio

1. Calcular, usando o algoritmo de Euclides:

(a) mdc(1176; 471)

(b) mdc(57; 36)

(c) mdc(175; 98)

(d) mdc(2536; 938)

(e) mdc(12578; 6248)

(f) mdc(1589; 3584)

1.10 Menor Mltiplo Comum

Outra utilizao da decomposio em nmeros primos a deter-minao do menor mltiplo comum.

Vejamos um exemplo. Trs amigos passeiam de bicicleta, namesma direo, em torno de uma pista circular. Para dar uma voltacompleta um deles demora 15 minutos, outro demora 18 minutos e oterceiro demora 21 minutos. Eles partem juntos e combinam inter-romper o passeio quando os trs se encontrarem pela primeira vez noponto de partida.

J que eles vo dar voltas completas, o tempo gasto ser mltiplode 15 minutos, por causa do primeiro amigo. Ser tambm um mlti-plo de 18 e de 21 por causa dos outros amigos. Procuramos, portanto


SEC. 1.10: MENOR MLTIPLO COMUM 57

um mltiplo comum. No h problema em conseguir um mltiplocomum de 15, 18 e 21; basta multiplic-los: 15 18 21 = 5670.

Mas o que queremos saber a primeira vez que todos se encontramno ponto de partida, queremos o menor mltiplo comum.

Vamos examinar as decomposies:

15 = 3 5; um mltiplo de 15 deve ter 3 e 5 como fatores.18 = 2 32; um mltiplo de 18 deve ter 2 e 32 como fatores.21 = 3 7; um mltiplo de 21 deve ter 3 e 7 como fatores.Um mltiplo comum de 15, 18 e 21 deve ter esse fatores todos (2,3,5e 7), mas podemos economizar fatores:

a potncia mais alta de 2 que precisamos 21




Resumindo, o menor mltiplo comum de 15, 18 e 21 :

mmc(15; 18; 21) = 21 32 51 71 = 630.

Os trs amigos se encontraro na linha de partida depois de 630minutos.

Isso quer dizer que eles vo pedalar durante 10 horas e meia! oueles so muito bons na bicicleta ou alguma coisa est errada nos dadosdo problema !



Isso acontece com freqncia nos livros de Matemtica. A gentese preocupa com a Matemtica e esquece do bom senso . . . O maiscorreto seria pensar em uma pista rpida, e que os amigos fizessemo contorno em 15, 18 e 21 segundos. Assim, a soluo nos daria umtempo de 630 segundos, isto , 10 minutos e meio. Agora sim . . .

Exemplos:

1. mmc(25; 15; 9)9 = 32; 15 = 3 5; 25 = 52mmc(25; 15; 9) = 32 52 = 225

2. mmc(16; 27)16 = 24

27 = 33

mmc(16; 27) = 24 33 = 432Note que os nmeros no tem fatores comuns, logo o mmc oproduto dos dois nmeros.

3. mmc(6; 8; 24)6 = 2 38 = 23

24 = 23 3 = 24Note que 24 mltiplo de 6 e de 8, logo ele mesmo o menormltiplo comum.



Exerccio

Calcular:(a) mmc(49; 84) (f) mmc(7; 11; 13)(b) mmc(36; 60; 72) (g) mmc(343; 91; 169)(c) mmc(8; 32; 128) (h) mmc(1800; 2700; 4500)(d) mmc(13; 39; 21) (i) mmc(1001; 1002)(e) mmc(45; 135; 81) (j) mmc(1001; 1078)

O algoritmo de Euclides, que utilizamos para calcular o mdc dedois nmeros, pode ser utilizado para calcular o mmc se lanarmosmo do seguinte fato.

Fato 5: Dados dois nmeros naturais, seu produto igual ao produtodo seu mmc pelo seu mdc.

Exemplos:

1. 12 e 18.

mdc(12; 18) = 6mmc(12; 18) = 3636 6 = 21612 18 = 216.

No faremos uma prova formal deste fato. Mas vamosobservar o que acontece neste caso:12 = 22 318 = 2 32



Usamos as maiores potncias para o mmc e as menores para omdc. Assim mdc(12; 18) = 2 3 e mmc(12; 18) = 22 32.Observe que todas as potncias foram usadas uma e s uma vez.Isso explica o Fato 5.

Se um dos nmeros no tiver uma das potncias colocamos potncia 0 (todo nmero elevado a 0 igual a 1).

2. 45 e 21.

21 = 31 50 7145 = 32 51 70mdc(21; 45) = 31 50 70 = 3 1 1 = 3mmc(21; 45) = 32 51 71 = 9 5 7 = 315Outra vez, todas as potncias foram usadas uma e s uma vez.21 45 = 3 315 = 945.

Ateno: Esta propriedade s vale para dois nmeros. Para trs oumais nmeros ela pode falhar. Veja:Tomemos os nmeros 6, 8 e 12. Temos:mdc(6; 8; 12) = 2mmc(6; 8; 12) = 24Mas 6 8 12 = 576 e 2 24 = 48. Os valores so bem diferentes.

Exemplo:

1. Calcule o mmc(4873; 275).Agora sabemos que 4873 275 = mmcmdc.



J calculamos antes o mdc(4873; 275) = 11

Quociente 17 1 2 1 1 34873 275 198 77 44 33 11Resto 198 77 44 33 11 0

Temos:4873 275 = mmc 111340075 = 11mmcmmc = 1340075 : 11 = 121825

Exerccio

1. Calcular usando o algoritmo de Euclides e o Fato 5:

(a) mmc(1176; 471)

(b) mmc(57; 36)

(c) mmc(175; 98)

(d) mmc(2536; 938)

(e) mmc(12578; 6248)

(f) mmc(1589; 3584)

2. Observe o reticulado do 450 (da seo anterior). Onde est ommc(5, 9) ? e o mmc(5, 18). O que voc pode concluir ?



1.11 Um Truque de Divisibilidade

Pense num nmero de 3 algarismos (por exemplo 347).

Escreva-o duas vezes formando um nmero de 6 algarismos (nonosso exemplo 347 347).Divida esse nmero por 13. (no nosso exemplo, o resultado 26719).Divida esse nmero por 11. (no nosso exemplo, o resultado 2429).Divida esse nmero por 7. (no nosso exemplo, o resultado . . . 347).Experimente com seu nmero agora. Voc ver que:

As divises so exatas e

o nmero final o que voc escolheu.

Por que isto acontece?

Bem, se fizemos divises exatas e obtivemos o mesmo nmero, porque o nmero duplicado mltiplo do nmero original. O quefizemos?

327 327 a mesma coisa que 1000 327 + 327.Ou melhor: 327 327 = 327 1001. Voc j fatorou o 1001 numexerccio anterior: 1001 = 7 11 13

Est explicado o mistrio. Ao duplicar o nmero (sempre de 3algarismos), voc multiplicou o nmero por 7, por 11 e por 13.

Uma variao deste truque usar um nmero de dois algarismosmas colocando um zero na duplicao:


SEC. 1.12: UMA APLICAO GEOMTRICA 63

35 35035

35035 : 13 = 2695

2695 : 11 = 245

245 : 7 = 35

1.12 Uma Aplicao Geomtrica

Um retngulo de lados inteiros 6 e 10 dividido em quadrados delado 1. Um raio de luz entra no retngulo por um dos vrtices, nadireo da bissetriz do ngulo reto, e refletido sucessivamente noslados do retngulo. Quantos quadrados so atravessados pelo raio deluz?

Observe que seja qual for o trajeto, o raio deve atravessar ummltiplo de 6 quadrados, cada vez que vai do lado de baixo at o



lado de cima, ou de cima para baixo (mesmo ricocheteando). Issotambm verdade para os trajetos que vo de um lado para outro, sque a deve ser um mltiplo de 10 quadrados. Na primeira vez que oraio atinge um vrtice (depois da entrada) ele percorreu um nmero dequadrados mltiplo de 10 e de 6, na verdade o menor mltiplo comumpois a primeira vez que isso acontece. Como mmc(10; 6) = 30, oraio percorreu 30 quadrados.

Observao. Para que essa soluo esteja correta temos que garantirque o raio de luz no passe pelo mesmo quadrado duas vezes. Umaforma de ver isto colorir os quadrados alternadamente, como notabuleiro de jogo de damas. Observe que o raio atravessa quadrados demesma cor at refletir, quando ento passa a atravessar quadrados daoutra cor. Assim, raios paralelos passam por quadrados da mesma core raios perpendiculares passam por quadrados de cores diferentes. Seo raio de luz passar pelo centro de uma casa anteriormenete visitadahaveria dois raios perpendiculares passando por casas da mesma cor,o que j vimos que no pode acontecer.


SEC. 1.12: UMA APLICAO GEOMTRICA 65

Pergunta 1: Se eu quiser que o raio atravesse todos os quadrados, que di-menses deve ter o meu retngulo?

Pergunta 2: Se eu quiser que o raio atravesse o retngulo sem ricochetear,que dimenses deve ter o meu retngulo?

Uma outra forma de visualizar o problema pavimentar o planocom cpias do retngulo (veja figura adiante). Fica bastante aparenteque tenho que percorrer 3 vezes a largura (3 10 = 30) e 5 vezes aaltura (5 6 = 30) do retngulo.



Esta visualizao d uma pista para responder pergunta 2 acima.

66

66

6

10 10 10

3030


Captulo 2

Aritmtica Modular

Uma Introduo Passo a Passo

Os conceitos de divisibilidade, mdc e mmc que acabamos de verpodem parecer bem simples, mas so a semente de uma parte muitointeressante da Matemtica. Vamos abordar algumas idias atravsde questes e respostas, passo a passo.

A tabela da pgina seguinte mostra os nmeros naturais (e o zero)at 115 colocados em determinada ordem. Voc acha que todos osnmeros naturais poderiam entrar nesta tabela? (Se tivssemos papele tempo suficiente, claro).

67


68 CAP. 2: ARITMTICA MODULAR

0 1 2 34 5 6 78 9 10 1112 13 14 1516 17 18 1920 21 22 2324 25 26 2728 29 30 3132 33 34 3536 37 38 3940 41 42 4344 45 46 4748 49 50 5152 53 54 5556 57 58 5960 61 62 6364 65 66 6768 69 70 7172 73 74 7576 77 78 7980 81 82 8384 85 86 8788 89 90 9192 93 94 9596 97 98 99100 101 102 103104 105 106 107108 109 110 111112 113 114 115

Tabela 1


69

1.1. Em que coluna voc colocaria:

(a) o nmero 116 ?

(b) o nmero 117 ?

(c) o nmero 119 ?

(d) o nmero 200 ?

(e) o nmero 223 ?

(f) o nmero 15792732 ?

(g) o nmero 1359735 ?

1.2. Nessa tabela qual o nmero que fica:

(a) imediatamente abaixo do nmero 53 ?

(b) imediatamente acima do nmero 107 ?

(c) imediatamente abaixo do nmero 563 ?

(d) imediatamente acima do nmero 107 ?

(e) imediatamente acima do nmero 15792732 ?

(f) imediatamente abaixo do nmero 15792732 ?

(g) 5 linhas abaixo do nmero 114 (mas na mesma coluna)?

(h) 5 linhas acima do nmero 1421 (mas na mesma coluna)?

1.3. Como voc descreveria os nmeros da coluna do 0 ?

1.4. Se voc somar dois nmeros quaisquer da coluna do 0, em quecoluna vai cair o resultado?

1.5. Observe que a tabela apresentada pode ser considerada comouma tabuada. Se quisermos saber a soma de 84 + 3 basta



encontrar o nmero que est na linha do 84 e na coluna do 3,isto, 87.

1.6. Na questo 1.3 voc deu uma descrio da primeira coluna: soos mltiplos naturais de 4 (lembre-se que estamos incluindo o0). Podemos escrever isso em Matematiquez:

O conjunto dos nmeros da forma 4n, onde n um nmeronaturalou ainda

{4 n | n N}.

Se quisermos descrever os nmeros da segunda coluna (a colunado 1) podemos escrever:

O conjunto dos nmeros naturais que, quando divididos por4, do resto 1 ou

O conjunto dos nmeros da forma 4 n+ 1, onde n Nou ainda

{4 n+ 1 | n N}

Observao. Voc deve ter notado que passamos a usar anotao de ponto para indicar a multiplicao. Isso se devea que agora estamos indicando multiplicao entre smbolosliterais (letras), em que o smbolo poderia gerar confuso.Para indicar a multiplicao entre nmeros continuaremos ausar , pois o ponto poderia nos confundir - embora usemosvrgulas para nmeros decimais menores do que 1 as mquinasde calcular que usamos utilizam o ponto.


71

1.7. Como voc descreveria os elementos da coluna embaixo do 2?

1.8. E da coluna embaixo do 3 ?

1.9. Se voc escolher dois nmeros da coluna do 3 e subtrair o menordo maior, em que coluna estar a diferena ?

1.10. Se voc escolher dois nmeros da coluna do 2 e subtrair o menordo maior, em que coluna estar a diferena ?

1.11. Como voc escreveria um resultado geral que se aplique a paresque esto na mesma coluna?

1.12. Se voc escolher dois nmeros da coluna do 3, em que colunaestar a soma desses nmeros?

1.13. Se voc escolher um nmero da coluna do 2 e um nmero dacoluna do 3, em que coluna estar a soma desses nmeros?

Vamos organizar uma tabela de adio. Algumas casas esto pre-enchidas, outras ficaram para voc:



+ nmeros na nmeros na nmeros na nmeros namod4 coluna do 0 coluna do 1 coluna do 2 coluna do 3

nmeros nacoluna do 0nmeros na nmeros nacoluna do 1 coluna do 2nmeros na nmeros na nmeros nacoluna do 2 coluna do 0 coluna do 1nmeros nacoluna do 3

Tabela 2

Essa tabela chamada de adio mdulo 4 , ou soma m-dulo 4 . Quando dois nmeros tm o mesmo resto quando divididospor 4, dizemos que eles so congruentes mdulo 4. Os nmeroscongruentes mdulo 4 so aqueles que esto na mesma coluna databela 1.Em geral, escrevemos 47 43 mod 4. Isto quer dizer que o resto de47 : 4 o mesmo de 43 : 4. Usando a questo 1.11 podemos escrever:

47 43 mod 4 o mesmo que dizer que:47 43 mltiplo de 4.

Exemplo: Mostre que 107 83 mod 4.Soluo:

107 83 = 24 e 24 mltiplo de 4.


73

Agora experimente voc:

2.1. Mostre que 158 126 mod 4.


2.3. Mostre que 15107 34803 mod 4.

2.4. Mostre que 99999 55555 mod 4.

2.5. Mostre que 15807 4575 mod 4.

Outra forma de escrever a tabela acima (voc completa o resto):

+mod4 0 1 2 3

0

1

2 1

3 0

Para que o tracinho em cima dos nmeros? Note que no estamosfalando do nmero 1 mas de qualquer nmero que esteja na colunado 1 na tabela do mdulo 4. A soma tambm no a soma queestamos acostumados. Depois de somarmos temos que verificar emque coluna estar o resultado.



Exemplo:

473 + 486473 1 mod 4486 2 mod 4473 + 486 = 959 3 mod 4O resultado estar na coluna do 3.

A tabela adiante tem 5 colunas (e no 4 como a tabela 1). Vocconseguiria fazer uma tabela semelhante quela que fizemos para aprimeira tabela (tabela 2)?

0 1 2 3 4

5 6 7 8 910 11 12 13 1415 16 17 18 1920 21 22 23 2425 26 27 28 2930 31 32 33 3435 36 37 38 3940 41 42 43 4445 46 47 48 4950 51 52 53 5455 56 57 58 5960 61 62 63 6465 66 67 68 69

Tabela 3


75

Exemplo: Mostre que 107 82 mod 5.Soluo:

107 82 = 25 e 25 mltiplo de 5.

Experimente voc:



3.3. Mostre que 1510 34805 mod 5.

3.4. Mostre que 12380 55555 mod 5.

3.5. Mostre que 15801 4576 mod 5.

Observao. A esta altura dos acontecimentos voc j percebeu quepodemos fazer tabelas para todos os nmeros naturais.

Na tabela 1, escrevemos os nmeros de 4 em 4. Mostramos quetodos os nmeros naturais podem ser escritos na forma:

4 n ou 4 n+ 1 ou 4 n+ 2 ou 4 n+ 3 em que n N.

Na tabela 3, vimos que todos os naturais podem ser escritos naforma:

5 n ou 5 n+ 1 ou 5 n+ 2 ou 5 n+ 3 ou 5 n+ 4 em que n N.



Baseado no que foi feito at agora, responda:

1. Se tomassemos uma tabela que tivesse 7 colunas, at que nmeroiria a primeira linha?

2. Em que coluna estaria o nmero 48?

3. Em que coluna estaria o nmero 1001?

4. Que formas essa tabela nos sugeriria para escrever os nmerosnaturais (como na observao acima) ?

At agora s trabalhamos com os nmeros naturais e inclumoso zero. Ser que poderamos estender nossa tabela para os nmerosnegativos?

20 19 18 1716 15 14 1312 11 10 98 7 6 54 3 2 10 1 2 34 5 6 78 9 10 1112 13 14 1516 17 18 1920 21 22 2324 25 26 2728 29 30 31

Tabela 4


77

A tabela 4 mostra que isto possvel. Acabamos de estender atabela 1 para trs e agora no temos s nmeros naturais - pode-mos perceber que poderemos incluir nesta tabela todos os nmerosinteiros, positivos, 0 e negativos. Estamos lidando com o conjuntodos nmeros inteiros, o conjunto Z.

Quais os nmeros que esto na coluna do 0?

Ainda so os mltiplos de 4.

Mas a diviso que trabalhamos at agora no deixa resto negativo,lembre-se da equao de Euclides (a nossa equao (1.1)):

D = d q + r , r < d , d > 0 ; D, d, q, r N {0},

onde:

D o dividendo;

d o divisor (que deve ser diferente de 0);

q o quociente;

r o resto (que deve ser menor que d).

Entretanto, ainda podemos falar em mdulo d !

Exemplos:

1. 34 14 mod 4, pois 34(14) = 34+14 = 48 e 48 mltiplode 4.

2. 9 33 mod 4, pois 9 (33) = 9 + 33 = 24 e 24 mltiplo de 4.



Agora com voc.


4.2. Mostre que 34 +14 mod 4.





Observe que, na tabela 4, o nmero 3 e o nmero 3 esto emcolunas diferentes, mas os nmeros 22 e 22 esto na mesma coluna;isso mostra que devemos ter cuidado - as situaes variam de tabelapara tabela.Uma forma simples de localizar nmeros negativos na tabela usarum artifcio conhecido, somar o divisor, no caso 4.

Exemplo:

Em que coluna estar o nmero 1437 ?Soluo:

Se fosse 1436 a resposta seria fcil: na coluna do 0 pois 1436 mltiplo de 4. Se aceitarmos que o resto possa ser negativo, desde queno fique maior do que 3, poderemos escrever uma equao parecidacom a equao (1.1) que chamaremos de equao (2.1):


79

D = d q + r, d < r < d, d > 0; D, q, r Z, d N (2.1)

Repare que os nmeros D, q e r agora podem ser negativos, dcontinuar sendo positivo (por convenincia) e o resto r pode ir ded a d .

No nosso exemplo, 1437 = 4 (359) 1, o que nos d restoigual a 1. Para saber em que coluna 1437 estar, basta somar 4ao seu resto. Assim, como 1 estar na coluna (1) + 4 = 3 segueque 1437 tambm estar na coluna do 3.

Agora com voc.

Em que coluna da tabela do mdulo 4 (tabela 4) se encontra:

4.7. o nmero 147 ?

4.8. o nmero 1487 ?

4.9. o nmero 140 ?

4.10. o nmero 473 ?

4.11. o nmero 4732 ?

Observao. Note que, ao aceitarmos valores negativos para r perde-mos a unicidade. De fato, agora temos a possibilidade de um restopositivo e um resto negativo. Isso no um problema, na verdade isso necessrio para podermos localizar os nmeros negativos na nossatabela.



Vamos estender a tabela do mdulo 5 (tabela 3)?

10 9 8 7 65 4 3 2 10 1 2 3 4

5 6 7 8 910 11 12 13 1415 16 17 18 19

Tabela 5

Em que coluna da tabela 5 voc colocaria:

5.1. o nmero 147 ?

5.2. o nmero 1487 ?

5.3. o nmero 140 ?

5.4. o nmero 473 ?

5.5. o nmero 4732 ?


81

Vamos estender a tabela do mdulo 7 ?

14 13 12 11 10 9 87 6 5 4 3 2 10 1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12 1314 15 16 17 18 19 20

Tabela 6

Estenda a tabela nos dois sentidos (positivo e negativo). Em quecoluna da tabela 6 se encontra:

6.1. o nmero 147 ?

6.2. o nmero 1487 ?

6.3. o nmero 140 ?

6.4. o nmero 473 ?



6.5. o nmero 4732 ?

At agora nos aproveitamos do fato de que dois nmeros na mesmacoluna tm a mesma forma. Por exemplo, na tabela 1:

473 fica na coluna do 1, pois da forma 4 118 + 1.

1013 tambm fica na coluna do 1, pois da forma 4 253 + 1.

Os dois so da forma 4 n+ 1.Se subtramos dois nmeros desta forma temos:

(4a+ 1) (4b + 1) = 4a+ 1 4b 1 = 4(a b) que ser sempre ummltiplo de 4.

A soma tambm se comportou bem, pois os nmeros esto sendorepresentados pelo resto da diviso por 4. Por exemplo:473 = 4 118 + 1 473 fica na coluna do 1 473 representadopelo 1.1027 = 4256+3 1027 fica na coluna do 3 1027 representadopelo 3.A soma 473+ 1027 ficar na coluna do 0, pois na tabela que constru-mos:

1 + 3 = 0

Vamos tentar estender nossas idias para a multiplicao modu-lar.

Usaremos uma pequena poro da tabela 1.


83

0 1 2 34 5 6 78 9 10 1112 13 14 1516 17 18 1920 21 22 23

Tabela 7

7.1. Escolha um nmero da coluna do 1 e outro da coluna do 3.Multiplique estes dois nmeros. Em que coluna caiu o produto?

Exemplo:

9 7 = 63; 63 est na coluna do 3, pois63 = 4 15 + 3.

7.2. Repita a experincia. O produto cai sempre na mesma coluna?

7.3. Experimente pegar dois nmeros da coluna do 3. Em que colunacai o produto? Repita a experincia.

Se voc fez as contas direito reparou que nos itens 7.1 e7.2 o resultado cai na coluna do 3. Nenhuma surpresa, pois1 3 = 3.

J no item 7.3, os produtos recaem na coluna do 1. Como3 3 = 9 e 9 1 mod 4, podemos desconfiar que amultiplicao tambm vai se comportar direitinho na nossaaritmtica dos mdulos. Em vez de desconfiar, vamos demonstrar.

Vamos primeiro ver um caso simples. Vamos escolher um nmeroda coluna do 2 e um nmero da coluna do 3. Eles podem ser escritos



como:

4 a+ 2 e 4 b+ 3.

O seu produto

(4 a+ 2) (4 b+ 3) = 16 a b + 12 a+ 8 b + 6

Observe que os termos literais (que contm letras) so todos ml-tiplos de 4. Resta-nos o 6, que est na coluna do 2, pois 6 2 mod 4.

Podemos fazer o mesmo raciocnio para todos os nmeros e fabri-car uma tabuada de multiplicao mdulo 4.

mod4 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 0 2

3 0 3 2 1

Tabela 8

Voc pode usar a tabela do mdulo 5 (tabela 3) para fabricar atabuada de multiplicao mdulo 5. J colocamos alguns resultados,voc preenche o resto.


85

mod5 0 1 2 3 4

0 0 0

1

2 1

3 3

4 4 2 1

Tabela 9

Exerccios

1. Fabrique a tabela do 7.

2. Fabrique a tabuada de adio mdulo 7.

3. Fabrique a tabuada de multiplicao mdulo 7.

Nos exemplos a seguir, veremos casos em que se aplicam astabuadas e outros em que seu uso no necessrio.

Exemplos:

1. Qual o resto de 712 : 4 ?

Soluo:

Poderamos calcular 712 = 13841287201 e verificar que o resto 1; mas podemos fazer de forma mais simples.



7 3 mod 4, ento podemos trabalhar com 312.312 = 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3Mas olhando a tabuada de multiplicao mdulo 4, verificamosque 3 3 1 mod 4. Chegamos concluso que712 1 1 1 1 1 1 mod 4, isto , 712 1 mod 4.O resto de 712 : 4 1.


Soluo:

Se voc fez a tabuada de multiplicao mdulo 7 podemos cal-cular:42 2 mod 7,43 2 4 mod 7 8 mod 7 1 mod 7,415 =

(43

)5 15 mod 7 1 mod 7.O resto de 415 : 7 1.

No precisaremos sempre formar a tabuada.


Soluo:

Vamos calcular passo-a-passo:72 = 49 5 mod 11 (pois 49 = 4 11 + 5)74 52 mod 11 25 mod 11 3 mod 1178 32 mod 11 9 mod 11716 92 mod 11 81 mod 11 4 mod 11730 = 7(16+8+4+2) = 716 78 74 72 4 9 3 5 mod 11


87

730 36 15 mod 11 3 4 mod 11 12 mod 11 1 mod 11O resto de 730 : 11 1.

4. Mostre que 41 divide 220 1.(Sugesto: prove que 220 1 mod 41.)Soluo(uma delas):

210 = 1024 40 mod 41.Mas 40 1 mod 41220 = 210 210 (1) (1) mod 41 1 mod 41.Como 220 1 mod 41220 1 mltiplo de 41.

Exerccios

1. Diga se Verdadeiro ou Falso:

(a) 19 7 mod 2.(b) 52 18 mod 10.(c) 1213 212 mod 13.

2. Se 1066 1776 mod m, quais so os possveis valores de m?

3. Ache todos os inteiros x, tais que 0 < x < 15 e3 x 6 mod 15.

4. D todos os inteiros positivos x menores que 100, tais que x 8 mod 13.



5. Ache o resto da diviso 250 : 7.

6. Mostre que 89 divide 244 1.(Sugesto: Prove que 244 1 mod 89.)


Captulo 3

Material Complementar

A seqncia de Fibonacci

A seqncia de Fibonacci :

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, . . .

isto , cada termo igual soma dos dois anteriores (com exceo dosdois primeiros que so iguais a 1). Costumamos simbolizar os termosdesta seqncia por Fn. Por exemplo, F1 = 1 e F7 = 13.

A formao da seqncia pode ser expressa por:

Fn = Fn1 + Fn2, n Z.

89


90 CAP. 3: MATERIAL COMPLEMENTAR

Exerccios Resolvidos

1. Mostre que dois termos seguidos da seqncia de Fibonacci soprimos entre si, i.., mdc(Fn, Fn1) = 1.

Demonstrao:

Utilizando o algoritmo de Euclides obtemos a seguinte seqncia:

Fn = Fn1 + Fn2 onde Fn2 o resto;

Fn1 = Fn2 + Fn3 onde Fn3 o resto;

. . . e assim por diante. Por induo, esta seqncia terminar comresto 1.

Por exemplo, calculando o mdc(89, 55):

89 = 55 + 34

55 = 34 + 21

34 = 21 + 13

21 = 13 + 8

13 = 8 + 5

8 = 5 + 3

5 = 3 + 2

3 = 2 + 1


91

2. Mostre que dois nmeros alternados da seqncia de Fibonacci soprimos entre si, i.., mdc(Fn, Fn2) = 1.

Demonstrao:

Utilizando o algoritmo de Euclides obtemos a seguinte seqncia:

Fn = Fn1 + Fn2 Fn = Fn2 + Fn3 + Fn2Fn = 2 Fn2 + Fn3 onde Fn3 o resto;Fn2 = Fn3 + Fn4 onde Fn3 o resto;

. . . e o problema se reduz ao tem anterior.

3. Mostre que F5k mltiplo de 5 para qualquer valor de k.

Demonstrao:

Queremos mostrar que F5k mltiplo de 5. Usaremos a induosobre k.

Se k = 1, F5k = F5 = 1.

Se F5k mltiplo de 5 o que acontece com F5(k+1) = F5k+5 ?

F5k+5 = F5k+4 + F5k+3 = F5k+3 + F5k+2 + F5k+2 + F5k+1

F5k+5 = F5k+3 + 2 F5k+2 + F5k+1F5k+5 = F5k+2 + F5k+1 + 2 F5k+1 + 2 F5k + F5k+1

= F5k+2 + 4 F5k+1 + 2 F5kF5k+5 = F5k+1 + F5k + 4 F5k+1 + 2 F5k = 5 F5k+1 + 2 F5kAs duas parcelas direita so mltiplos de 5 (a segunda parcela

pela hiptese de induo) logo, F5k mltiplo de 5 para qualquervalor de k.



No captulo 2 voc construiu a tabela de multiplicao mdulo 5(tabela 9):

mod5 0 1 2 3 4

0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4

2 0 2 4 1 3

3 0 3 1 4 2

4 0 4 3 2 1

Observe que para obter 0 tivemos que ter 0 como fator. Tambmfabricamos a tabela da multiplicao mdulo 4 (tabela 8):

mod4 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 0 2

3 0 3 2 1

Voc consegue encontrar um produto que d 0 com os dois fatoresdiferentes de 0 ? Isto o que chamamos um divisor de 0.


93

Exemplos:

1. Voc encontra divisores de 0 na tabela de multiplicao mdulo7 ?

Soluo:

No h divisores de 0 na tabela de multiplicao mdulo 7.

2. Voc encontra divisores de 0 na tabela de multiplicao mdulo6 ?

Soluo:

Sim, o 2 e o 3.

3. Em que tabelas voc encontra divisores de 0 ? e quem so osdivisores 0?

Soluo:

Encontramos divisores de 0 na tabela de multiplicao mdulon se e s se n no for primo. Se o nmero n for composto osdivisores de 0 so os nmeros m para os quais mdc(m,n) > 1.

A Funo de Euler

Dizemos que um nmero n co-primo com m se mdc(m,n) = 1,isto , se m e n so primos entre si. A funo de Euler conta, paraum nmero natural n, os naturais, menores que n e que so co-primoscom ele, isto ,

(n) = {j N; 0 < j < n,mdc(n, j) = 1}.



Exemplos:

1. (6) = 2 pois :mdc(1, 6) = 1,mdc(2, 6) = 2,mdc(3, 6) = 3,mdc(4, 6) = 2,mdc(5, 6) = 1.

2. (8) = 4 pois :mdc(1, 8) = 1,mdc(2, 8) = 2,mdc(3, 8) = 1,mdc(4, 8) = 4,mdc(5, 8) = 1,mdc(6, 8) = 2,mdc(7, 8) = 1.

3. Calcule:(a) (1) = (g) (7) =(b) (2) = (h) (8) =(c) (3) = (i) (9) =(d) (4) = (j) (10) =(e) (5) = (k) (11) =(f) (6) = (l) (12) =

Soluo:

(a) (1) = 1, o conjunto de co-primos {1}


95

(b) (2) = 1, o conjunto de co-primos {1}(c) (3) = 2, o conjunto de co-primos {1; 2}(d) (4) = 2, o conjunto de co-primos {1; 3}(e) (5) = 4, o conjunto de co-primos {1; 2; 3; 4}(f) (6) = 2, o conjunto de co-primos {1; 5}(g) (7) = 6, o conjunto de co-primos {1; 2; 3; 4; 5; 6}(h) (8) = 4, o conjunto de co-primos {1; 3; 5; 7}(i) (9) = 6, o conjunto de co-primos {1; 2; 4; 5; 7; 8}(j) (10) = 4, o conjunto de co-primos {1; 3; 7; 9}(k) (11) = 10, o conjunto de co-primos

{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}(l) (12) = 4, o conjunto de co-primos {1; 5; 7; 11}

4. Quais so os nmeros naturais n para os quais (n) = n 1 ?Soluo: n deve ser primo.

Equaes com Nmeros Inteiros: EquaesDiofantinas

Vamos agora trabalhar com equaes com nmeros inteiros. Elasso chamadas diofantinas em homenagem a Diophante de Alexan-dria, matemtico grego que viveu nos meados do sculo III.

Diophante considerado como um dos fundadores da lgebra. Es-creveu uma obra sobre Aritmtica em 13 volumes e dos quais apenas



seis se preservaram. Seus estudos se basearam no uso de smbolospara facilitar a escrita e os clculos matemticos.

Os smbolos criados por Diophante fizeram com que as expresses,at ento escritas totalmente com palavras, pudessem ser represen-tadas com abreviaes.

Procuraremos nmeros inteiros que satisfaam s expresses al-gbricas.

Exemplos:

1. Determine uma soluo inteira da equao:

5X + 3Y = 1

Soluo:

Nestes primeiros exemplos, a idia procurar por meio de ten-tativa e erro. Os primeiros so simples, depois comea a com-plicar. Existe mais do que uma soluo, logo as respostas devemser verificadas.

Por exemplo

X = 1

Y = 2.


17X + 5Y = 4

Soluo:


97

Por exemploX = 3Y = 11


3X + 6Y = 4

Soluo:

impossvel. O mdc(3, 6) = 3 logo o termo direita tem queser mltiplo de 3, o que no acontece.


119X + 35Y = 6

Pista: Qual o mdc(119, 35) ? Por que isso importante ?

Soluo:

impossvel. O mdc(119, 35) = 7 logo o termo direita temque ser mltiplo de 7, o que no acontece.


119X + 35Y = 14

Soluo:

O mdc(119, 35) = 7 e o termo direita mltiplo de 7, logopodemos simplificar para:

17X + 5Y = 2



Por exemploX = 1

Y = 3

6. Suponha que mdc(a, b) no divida o nmero inteiro c. Mostreque a equao:

aX + bY = c

no admite solues inteiras.

Soluo:

aX+bY ser sempre mltiplo de mdc(a, b), logo c tambm deveser, caso contrrio, a equao no tem soluo.

Observao. O que vem a seguir depende do entendimento do Algo-ritmo de Euclides, abordado na apostila 1.

Vamos encontrar uma soluo para a equao:

5X + 3Y = 1

Comeamos executando o algoritmo de Euclides (veja o captulo1).

Quociente 1 15 3 2

Resto 2 1

mdc(5, 3) = 1

Quais foram as etapas ?


99

5 = 1 3 + 2 2 = 5 1 33 = 1 2 + 1 1 = 3 1 2

Vamos reconstruir o mdc, no caso 1.

1 = 3 1 2

Substituimos o 2 por seu valor na outra equao:

1 = 3 1 2 = 3 1 (5 1 3)

O que nos d

1 = 3 1 5 + 1 3 = 2 3 1 5

Observe que conseguimos uma soluo inteira para nossa equao !

X = 1

Y = 2

De fato 5 (1) + 3 2 = 1.Acabamos de encontrar uma soluo inteira para

5X + 3Y = 1

a saberX = 1Y = 2

Exemplo: Encontre solues para as equaes:

Observao. As solues das equaes a seguir se obtm por multi-plicao das razes.



1. 5X + 3Y = 3

Soluo:

X = 3Y = 6

2. 5X + 3Y = 7

Soluo:

X = 7Y = 14

3. 5X + 3Y = 2Soluo:

X = 2

Y = 4

4. 5X + 3Y = 127Soluo:

X = 127

Y = 254

Podemos agora enunciar a seguinte proposio:

Proposio. Sejam a,b e c nmeros inteiros diferentes de 0. Aequao:

aX + bY = c

admitir solues inteir

divisibilidade e n-meros inteiros.pdf

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