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Magister Iris Liseth Montenegro

Universidad de Panamá

Centro Regional Universitario de Bocas del Toro


MÓDULO 2: Ecuaciones y Desigualdades

Logros de Aprendizaje:

1. Define y ejemplifica ecuaciones.

2. Deduce las propiedades de las igualdades.

3. Clasifica las ecuaciones según el grado o exponente de la

variable.

4. Muestra interés en aplicar las propiedades de las

igualdades para hallar la raíz o solución de una ecuación.

5. Aplica diversas estrategias para la solución de problemas

del entorno que hacen referencia a la ecuación lineal.

6. Resuelve sistemas de ecuaciones lineales por diversos métodos

7. Distingue entre ecuación lineal de una función lineal y entre una ecuación cuadrática y una

función cuadrática.

8. Diferencia los distintos métodos para hallar las raíces o soluciones de una ecuación cuadrática.

9. Define desigualdad y aporta ejemplos prácticos de la vida cotidiana.

10. Define intervalos y los ejemplifica.

11.Deduce las propiedades de las desigualdades.

12. Escribe una desigualdad como intervalo y lo representa de forma gráfica.

13.Aplica las propiedades apropiadas para hallar el conjunto solución de una desigualdad lineal.

14. Distingue entre una desigualdad lineal y una cuadrática.

15. Aplica diferentes estrategias para hallar el conjunto solución de una desigualdad

cuadrática.

16.Resuelve desigualdades del tipo racional.

17. Define y ejemplifica desigualdades que contienen valor absoluto.

18. Halla el conjunto solución de las desigualdades que contienen valor absoluto.


Introducción

Desde muy remotas el ser humano se caracterizó por tratar de hallarle respuestas a muchos

fenómenos que se suscitaban a su alrededor. Esto trajo como consecuencia la aparición de los

primeros sistema numéricos y por ende, el planteamiento (no formal ni simbólico) de las ecuaciones.

Las ecuaciones lineales y cuadráticas se encuentran registradas en las fuentes babilónicas y

egipcias. Por ejemplo, los egipcios nos legaron una multitud de problemas matemáticos cuya

resolución implica el desarrollo de una ecuación y muchos de esos problemas de tipo retórico están

contenidos en el Papiro de Rhind. Por su lado, los babilónicos se dedicaron al desarrollo de las

ecuaciones cuadráticas y a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Papiro de Rhind (imagen de google)

Pero es con la civilización griega en donde se desarrolla un

álgebra geométrica, es decir, se registran métodos para

resolver ecuaciones algebraicas. Por ejemplo, Diofanto de

Alejandría desarrolla un álgebra sincopada (no utilizaba

letras para designar a las variables o incógnitas)

El matemática F. Vieté introduce un simbolismo matemático

y René Descartes aporta significativos cambios al desarrollo

de dicha notación. En este momento, las ecuaciones

adquieren un lenguaje simbólico y de cálculos. Posteriormente, el insigne Leonhard Euler la define

como la teoría de los cálculos con distintas clases (ecuaciones con racionales enteros, fraccionarios,

raíces cuadradas y cúbicas y de todo tipo).


Francois Vieté (1540 - 1603) René Descartes (1596 - 1650) Leonhard Eules (1707 - 1723)

Los árabes se dedicaron a la resolución de ecuaciones lineales. La incógnita la denominaron “ya”.

Sus métodos se extendieron por toda Europa. Para llegar a la solución de la ecuación del tipo 𝑎𝑥 +

𝑏 = 𝑐, han pasado 3000 años. Las aplicaciones de las ecuaciones han sido de gran valía para el

desarrollo de una vasta cultura matemática.

Ecuaciones Lineales Y Cuadráticas.

En nuestro entorno podemos encontrar cantidades numéricas que son iguales o bien que sean

diferentes. El término ecuación se deriva del vocablo latín “aequatio” que significa igualdad.

Definición: Una ecuación es una igualdad en la cual aparecen valores desconocidos llamados

incógnitas y datos conocidos llamados “constantes”.

Usualmente se emplean las letras minúsculas x, y, z para designar las variables o incógnitas.

Parte de una ecuación:

Toda ecuación tiene un miembro izquierdo y un miembro derecho.

Ejemplos de ecuaciones:

𝑥2 + 𝑦2 = 1

2(3𝑥 − 1) = −8𝑥 + 9

4𝑦 + 3𝑦3 − 7 = 0

Tipos de Ecuaciones:

Según el grado o exponente de la variable o incógnita las ecuaciones pueden ser:

1. Lineales: aquellas cuyo máximo exponente de la variable es uno.

Ejemplos:

3𝑚 − 6𝑛 = 6𝑚𝑛 − 9


3𝑥 + 9 = 5𝑥 − 1

2. Cuadráticas: el máximo exponente de la variable es dos.

Ejemplos:

𝑥2 − 7𝑥 + 1 = 0

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 3

3. Cúbicas: su máximo exponente de la incógnita es tres.

Ejemplos:

𝑐2 + 6𝑐3 − 8 = 𝑐3 − 6

𝑥3 + 7𝑥2 + 12𝑥 = 7

4. Grado n: su máximo exponente de la variable es n.

Ejemplos:

4𝑥7 − 12𝑥5 − 3𝑥 = 0

Propiedades de las Igualdades:

Sean 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 números reales, se cumple que:

1. Si 𝑎 = 𝑏, entonces 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐.

2. Si 𝑎 = 𝑏, entonces 𝑎 − 𝑐 = 𝑏 − 𝑐.

3. Si 𝑎 = 𝑏, entonces 𝑎𝑐 = 𝑏𝑐.

4. Si 𝑎 = 𝑏, entonces 𝑎 ÷ 𝑐 = 𝑏 ÷ 𝑐.

5. Si 𝑎 = 𝑏, entonces 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛.

6. Si 𝑎 = 𝑏, entonces √𝑎𝑛 = √𝑏𝑛

.

Resolución de Ecuaciones Lineales con una incógnita:

Para resolver una ecuación lineal se emplean los siguientes pasos:

1. Se resuelven los productos indicados, si existen.

2. Se transponen los términos semejantes. Los que contienen la variable se transponen al

miembro izquierdo de la igualdad y las constantes se transponen para el miembro derecho.

Transponer un término significa que pasa con la operación opuesta. Si está sumando el

término de un lado de la igualdad pasa restando al otro miembro y si está restando, el término

pasa al otro miembro sumando.

3. Se reducen términos semejantes. Dos o más términos algebraicos se dicen semejantes cuando

tienen la misma variable y el mismo exponente. Reducir términos semejantes implica que se

adicionan algebraicamente los factores numéricos de las variables.

4. Se despeja la variable. Despejar la variable significa que el factor numérico pasa para el otro

lado de la igualdad con la operación inversa. Si el factor numérico que antecede a la variable

está multiplicando pasa dividiendo al otro miembro de la igualdad y si el factor numérico que

antecede a la variable está dividiendo pasa al otro lado de la igualdad.

5. Se verifica que el valor numérico hallado para la incógnita cumpla con la identidad.


Ejemplos diversos de cómo resolver una ecuación lineal con una incógnita:

1. Halle solución de una ecuación lineal del tipo 3(−2 − 4𝑥) − (2𝑥 + 3) = 5 − 7𝑥

Solución:

3(−2 − 4𝑥) − (2𝑥 + 3) = 5 − 7𝑥 Ecuación dada

−6 − 12𝑥 − 2𝑥 − 3 = 5 − 7𝑥 Se resuelven los productos indicados.

−12𝑥 − 2𝑥 + 𝟕𝒙 = 5 + 𝟔 + 𝟑 Se transponen términos semejantes

−𝟕𝒙 = 𝟏𝟒 Se reducen términos semejantes. −𝟕

−𝟕𝒙 =

𝟏𝟒

−𝟕 Se despeja la variable.

𝒙 = −𝟐

Verificamos que se satisface la igualdad. Para ello se sustituye el valor numérico de la variable

hallada en la ecuación dada en el problema.

Verificación:

3(2 − 4𝑥) − (2𝑥 + 3) = 5 − 7𝑥

3(−2 − 4(−𝟐)) − (2(−𝟐) + 3) = 5 − 7(−𝟐)

3(−2 + 𝟖) − (−4 + 𝟑) = 5 + 𝟏𝟒

3(𝟔) − (−𝟏) = 5 + 14

18 + 1 = 19

2. Halle la solución de la ecuación lineal:

3(𝑥 − 3)

3−

5(𝑥 − 1)

2= 2

Solución:

3(𝑥 − 3)

3−

5(𝑥 − 1)

2=

2

1

6(𝑥 − 3) − 15(𝑥 − 1)

6=

2

1

6𝑥 − 18 − 15𝑥 + 15 = 12

6𝑥 − 15𝑥 = 12 + 18 − 15

−9𝑥 = 30 − 15

−9𝑥 = 15

𝑥 =15

−9

𝒙 = −𝟓

𝟑

Verificación:

3(𝑥 − 3)

3−

5(𝑥 − 1)

2= 2


3 (−53 − 3)

3−

5 (−53 − 1)

2= 2

3 (−143 )

3−

5 (−83)

2= 2

−14

3−

(−403 )

2= 2

−14

3+

20

3= 2

−14 + 20

3= 2

6

3= 2

2 = 2

SISTEMA DE ECUACIONES LINEAL CON DOS INCÓGNITAS

Se denomina un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es aquel cuya solución satisface

a ambas ecuaciones.

Ejemplo:

{2𝑥 − 3𝑦 = 1𝑥 + 3𝑦 = 5

Métodos algebraicos para resolver un sistema de ecuaciones lineales con 2 incógnitas.

Eliminación por adición y sustracción Ejemplo

1. Multiplicamos la primera ecuación

por el coeficiente de la variable x de la

segunda ecuación y a la segunda

ecuación multiplicamos por el

coeficiente de x de la primera

ecuación, ambos ecuaciones deben

quedar con el signo opuesto en la

variable x.

2. Se elimina la variable x.

3. Se reducen términos semejantes y se

halla la solución de la variable y.

4. Se sustituye el valor de y en

cualquiera de las dos ecuaciones

dadas y se determina el valor de x.

5. Se verifican las soluciones del

sistema.

Dado el sistema de ecuaciones:

2𝑥 + 3𝑦 = 6

3𝑥 + 2𝑦 = 12

Solución:

−3(2𝑥 + 3𝑦 = 6)

2(3𝑥 + 2𝑦 = 12)

Resulta:

−6𝑥 − 9𝑦 = −18

+6𝑥 + 4𝑦 = 24

Reducimos términos semejantes:

(−9𝑦 + 4𝑦) = (−18 + 24)

−5𝑦 = 6

Al despejar la variable y, resulta:


𝑦 = −6

5

Determinamos el valor de x.

2𝑥 + 3𝑦 = 6

2𝑥 + 3 (−6

5) = 6

2𝑥 −18

5= 6

2𝑥 = 6 +18

5

2𝑥 =48

5

𝑥 =48

5÷ 2

𝑥 =24

5

Se verifica la solución en ambas ecuaciones dadas.

2𝑥 + 3𝑦 = 6

2 (24

5) + 3 (−

6

5) = 6

48

5−

18

5= 6

30

5= 6

6 = 6

Veamos que ocurre en la segunda ecuación:

3 (24

5) + 2 (−

6

5) = 12

72

5−

12

5= 12

60

5= 12

12 = 12

Sustitución Ejemplo

1. Se despeja la primera ecuación ya

sea en función de la variable x o bien

puede ser en función de la variable y.


5𝑥 + 3𝑦 = 13

3𝑥 − 𝑦 = 5


2. Se sustituye esta ecuación despejada

en el lugar de la variable de la

segunda ecuación.

3. Se determina el valor de esa primera

variable.

4. Se calcula el valor de la segunda

variable.

5. Se verifica la solución.

Solución:

Despejemos la primera ecuación en función de la

variable y.

5𝑥 + 3𝑦 = 13

3𝑦 = 13 − 5𝑥

𝑦 =13 − 5𝑥

3

Sustituimos en la segunda ecuación:

3𝑥 − 𝑦 = 5

3𝑥 − (13 − 5𝑥

3) = 5

3𝑥 −13

3+

5

3𝑥 = 5

3𝑥 +5

3𝑥 = 5 +

13

3

(9 + 5

3) 𝑥 =

15 + 13

3

14

3𝑥 =

28

3

𝑥 =

283

143

𝒙 = 𝟐

Sustituimos el valor de x = 2 en la ecuación

despejada:

𝑦 =13 − 5𝑥

3

𝑦 =13 − 5(2)

3

𝑦 =13 − 10

3

𝑦 =3

3

𝑦 = 1

Se verifican las soluciones halladas:

5𝑥 + 3𝑦 = 13


5(2) + 3(1) = 13

10 + 3 = 13

13 = 13

Veamos en la segunda ecuación:

3𝑥 − 𝑦 = 5

3(2) − (1) = 5

6 − 1 = 5

5 = 5

Igualación Ejemplos

1. Se despejan ambas ecuaciones en

función de la misma variable.

2. Se igualan estas ecuaciones

despejadas.

3. Se determina el valor de una de las

incógnitas.

4. Se sustituye el valor anterior en

cualquiera de las 2 ecuaciones y se

determina el valor de la otra incógnita.

5. Se verifican las soluciones al sistema

de ecuaciones.


8𝑥 − 5 = 7𝑦 − 9

6𝑥 = 3𝑦 + 6

Solución:

Despejemos ambas ecuaciones en función de x.

8𝑥 − 5 = 7𝑦 − 9

8𝑥 = 7𝑦 − 9 + 5

8𝑥 = 7𝑦 − 4

𝒙 =𝟕𝒚 − 𝟒

𝟖

De forma análoga despejamos x en la ecuación 2.

6𝑥 = 3𝑦 + 6

𝒙 =𝟑𝒚 + 𝟔

𝟔

Igualamos ambas ecuaciones ya despejadas:

7𝑦 − 4

8=

3𝑦 + 6

6

Multiplicamos en cruz:

6(7𝑦 − 4) = 8(3𝑦 + 6)

42𝑦 − 24 = 24𝑦 + 48

42𝑦 − 24𝑦 = 48 + 24

18𝑦 = 72

𝑦 =72

18


𝒚 = 𝟒

Determinamos el valor de x:

𝒙 =𝟕𝒚 − 𝟒

𝟖

𝑥 =7(4) − 4

8=

28 − 4

8=

24

8= 𝟑

Verifiquemos las soluciones:

8𝑥 − 5 = 7𝑦 − 9

8(3) − 5 = 7(4) − 9

24 − 5 = 28 − 9

19 = 19

En la segunda ecuación:

3𝑥 − 𝑦 = 5

3(3) − (4) = 5

5 = 5

Definición: Una matriz cuadrada es un arreglo ordenado de elementos en la cual el número de filas

es igual al número de columnas.

Definición: El determinantes de una matriz cuadrada (𝑎𝑐

𝑏𝑑

) es un número real que se obtiene

multiplicando los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal

secundaria, de la forma: |𝑑𝑒𝑡| = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

Ejemplo: halle la solución del sistema de ecuaciones lineales:

𝑥 + 𝑦

6−

𝑦 − 𝑥

3=

7

24

𝑥

2+

𝑥 − 𝑦

6=

5

12

Solución:

Trabajemos la primera ecuación:

𝑥 + 𝑦

6−

𝑦 − 𝑥

3=

7

24

24 (𝑥 + 𝑦

6−

𝑦 − 𝑥

3=

7

24)


4(𝑥 + 𝑦) − 8(𝑦 − 𝑥) = 7

4𝑥 + 4𝑦 − 8𝑦 + 8𝑥 = 7

12𝑥 − 4𝑦 = 7

Trabajemos la segunda ecuación:

𝑥

2+

𝑥 − 𝑦

6=

5

12

12 (𝑥

2+

𝑥 − 𝑦

6=

5

12)

6(𝑥) + 2(𝑥 − 𝑦) = 5

6𝑥 + 2𝑥 − 2𝑦 = 5

8𝑥 − 2𝑦 = 5

Se forma el sistema:

12𝑥 − 4𝑦 = 7

8𝑥 − 2𝑦 = 5

Veamos el método por determinantes:

𝑥 =|7 −45 −2

|

|12 −48 −2

|=

−14 + 20

−24 + 32=

6

8= −

3

4

𝑥 =|12 78 5

|

|12 −48 −2

|=

60 − 56

−24 + 32=

4

8=

1

2

Resolución de Ecuaciones Cuadráticas.

Existen problemas matemáticos en la cual es importantísimo determinar las raíces o solución de la

ecuación cuadrática. En este módulo aprenderemos los siguientes métodos.

A. Método de factorización: Se factoriza la expresión algebraica y luego se igualan los

factores a cero y se calculan las raíces de la ecuación.

Factorizar una expresión algebraica significa expresarla como producto de dos o más factores. Los

factores son los términos de la multiplicación. Al factorizar una expresión algebraica puede que resulte

ser un:

1. Trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo: Hallar las raíces de la ecuación cuadrática 4x2 – 12 x + 9 = 0


Primero observamos si el trinomio está ordenado de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, en este caso sí

lo está.

Verifiquemos si el trinomio es cuadrado perfecto.

1. Se calcula la raíz cuadrada del primer y tercer término

39

24 2

xx

2. Se multiplica dos veces el producto de estas raíces y debe coincidir con el segundo

término del trinomio, no se debe considerar el signo algebraico.

xx 12)3)(2(2 que es el segundo término del trinomio.

3. Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto, escribiendo en un paréntesis la raíz cuadrada

del primer término, escribo el signo del segundo término quien acompañará la raíz

cuadrada del tercer término y se eleva todo al cuadrado.

)32)(32(

0)32(

09124

2

2

xx

x

xx

Se iguala a cero estos productos:

2

3

32

032

x

x

x

En este caso las raíces son iguales, es decir, 2

321 xx

2. Trinomio de la forma x2 + bx + c.

Ejemplo: Utilice el método de factorización y halle las raíces de la ecuación x2 – 12x – 13 = 0

a. Se halla la raíz cuadrada del primer término: xx 2

b. Se escribe en el primer factor el signo del segundo término y en el segundo factor el

signo que resulte de la multiplicación del segundo con el tercer término: 0 ) (x ) x (

c. Se buscan dos números que multiplicados resulten el tercer coeficiente y restados

resulten el segundo coeficiente (restados por que los signos son distintos, uno es – y el

otro +)

Estos números son 13 y 1 porque (13) (1) = 13 y 13 – 1 = 12

d. Se factoriza: 0)113 xx

e. Se igualan a cero estos factores:


1

01

13

013

x

x

x

x

Soluciones:

1

13

2

1

x

x

3. Trinomio de la forma ax2 + bx + c = 0

Ejemplo. Halle las raíces de la ecuación cuadrática 4x2 – 16x + 7 = 0

a. Se multiplica todo el trinomio por el coeficiente de x2, excepto el segundo término.

028)4(1616

0)4(7)4(16)4(4

07164

2

2

2

xx

xx

xx

b. Se factoriza, halle la raíz del primer término, el primer factor lleva el signo del segundo

término y el segundo factor lleva el signo que resulta de multiplicar - . + = -

0 ) -(4x ) x

xx

4(

416 2

c. Se buscan dos números que multiplicados den 28 y que sumados den 16. Estos números

son 14 y 2.

024144 xx

d. Como se alteró el trinomio multiplicándolo por 4, se debe dividir ambos factores por un

producto de números que resulten 4 y estos números son 2 x 2.

01272

022

24144

024144

xx

xx

xx

e. Se igualan estos factores a cero y se hallan las raíces.

2

1x x

12x x

0 1 - 2x x

2

7

72

072


Respuestas:

2

1

2

7

2

1

x

x

4. Diferencia de cuadrados perfectos.

Ejemplo. Halle las raíces de la ecuación 25x2 – 81 = 0

Una diferencia de cuadrados perfectos se factoriza de la forma ))((22 bababa

En nuestro ejemplo se hallan las raíces cuadradas del primer y segundo término.

5

9-x x

9- 5x x

095x x

xx

x

2

5

9

95

095

0)95)(95(

08125

1

2

B. Método de Completación de Cuadrados.

Pasos:

1. Se resuelven los productos indicados, si existen, se reducen términos semejantes y se

ordena la ecuación cuadrática.

2. Se dividen todos los términos por el coeficiente de x2.

3. Se transpone el término libre al lado derecho de la igualdad.

4. Se completa el cuadrado con la fórmula 4

2b. Este término se suma a ambos lados de la

igualdad.

5. El trinomio de la izquierda es una trinomio cuadrado perfecto y se factoriza. Los términos

libres del lado derecho se adicionan (signos iguales se suman, signos distintos se restan)

6. Se extrae la raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad.

7. Se determinan las raíces de la ecuación igualando a cero.


Ejemplo. Determine las raíces de la ecuación cuadrática:

49

36

7

4

49

36

7

12

7

4

7

12

07

4

7

12

021

12

21

36

21

21

0123621

2

2

2

2

2

xx

xx

xx

xx

xx

7

2

7

6

7

8

7

8

7

6

27

14

7

6

7

8

7

8

7

6

:

7

8

7

6

49

64

7

6

49

64

7

6

49

64

7

6

2

2

1

1

2

2

x

x

x

x

Soluciones

x

x

x

x

Ejemplo 2. Halle las raíces de la ecuación cuadrática 4x2 + 7x + 1 = 0

Paso 2 y 3. 4

1

4

7

4

4 2

xx

4

1

4

72 xx = 0

Paso 4.

64

33

64

49

4

7

64

49

4

1

64

49

4

7

4

1

4

7

2

2

2

xx

xx

xx


Paso 5.

8

33

8

7

8

33

8

7

64

33

8

7

2

2

x

x

x

Paso 6.

8

7

8

733

8

7

8

7

8

33

8

33

8

33

8

7

1

1

33-x x

8

33x x

8

7x x

2

2

C. Fórmula General:

La fórmula general se emplea comúnmente para determinar las raíces de una ecuación cuadrática de

la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 y ésta tiene la forma:

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

En la cual:

a Coeficiente o factor numérico de 𝒙𝟐

b Coeficiente o factor numérico de x

c Término constante.

Ejemplo 1. Halle las raíces o solución de una ecuación cuadrática que tiene la forma 𝑥2 − 2𝑥 = 8

Solución:

0822 xx

Usemos la fórmula cuadrática y hallemos las raíces de la ecuación cuadrática.

Los factores numéricos de la ecuación dada son: a = 1, b = -2, c = -8

Sustituyamos estos valores numéricos en la fórmula general, de la siguiente forma:


2

62

2

362

2

3242

)1(2

)8)(1(4)2()2( 2

x

x

x

x

Soluciones:

22

4

2

62

42

8

2

62

2

1

x

x

Soluciones:

𝑥1 = primer número = 4

𝑥2 = segundo número = -2

Verificación:

0822 xx

Para 𝑥 = 4 Para 𝑥 = −2

42 − 2(4) = 8 −22 − 2(−2) = 8

16 − 8 = 8 4 + 4 = 8

8 = 8 8 = 8

Ejemplo 2. Resolver la ecuación cuadrática x (x + 4) = 77

Solución:

x2 + 4x – 77 = 0

Usemos la fórmula cuadrática, a = 1, b = 4, c = -77


2

184

2

3244

2

308164

)1(2

)77)(1(4)4()4( 2

x

x

x

x

Soluciones:

112

22

2

186

72

14

2

184

2

1

x

x

Ejemplo 3. Halle las soluciones de la ecuación cuadrática 25 = (14 − 𝑥)2 + (𝑥 − 7)2

Solución:

25 = (14 − 𝑥)2 + (𝑥 − 7)2

(5)2 = (14)2 – 2(14(x)) + (x)2 + (x)2 – 2(7)(x) + (7)2 Recuerde que (a+b)2 =a2 +2ab + b2.

25 = 196 – 28x + x2 + x2 – 14x + 49

0 = 196 – 28x + x2 + x2 – 14x + 49 – 25

0 = 2x2 – 42x + 220

Usemos la fórmula cuadrática: a = 2, b = -42, c = 220.

4

242

4

442

4

1760176442

)2(2

)220)(2(4)42()42( 2

x

x

x

x

Soluciones:

104

40

4

242

114

44

4

242

2

1

x

x


Problemas de Aplicación

Existen un sinnúmero de problemas relacionados con nuestro entorno en la cual se debe aplicar la

ecuación cuadrática.

Antes de empezar a resolver este tipo de problemas es imperante que usted se relacione con el

lenguaje simbólico matemático. Veamos algunas expresiones del lenguaje cotidiano y cómo los puede

traducir al lenguaje algebraico.

Ejemplos:

Lenguaje Cotidiano Lenguaje algebraico

El doble de un número más un tercio de ese mismo número

32

xx

La suma de dos números enteros consecutivos y pares. x + (x + 2)

Cinco veces la edad de Ana menos el triplo de la edad de Pedro. 5x + 3y

El perímetro de un rectángulo menos un cuarto de su área.

4

yx

El área de un cuadrado menos dos veces su lado. x2 – 2x

La diferencia de dos números pares consecutivos (x + 2) – x

Veamos algunos ejemplo de problemas donde se aplique la ecuación cuadrática.

1º. Hallar dos números enteros positivos cuya diferencia sea 2 y su producto sea 8.

Solución:

Llamemos al primer número = x

Al segundo número = y

Las condiciones del problema son:

La diferencia de ambos números es 2, esto se escribe, x – y = 2 (1)

El producto de ambos números es 8, se escribe, xy = 8 (2)

Despejemos y de la segunda ecuación, esto es, x

y8

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación:

082

28

28

2

2

2

xx

xx

xx

yx


Usemos la fórmula cuadrática y hallemos las raíces de la ecuación cuadrática: a = 1, b = -2, c = -8

2

62

2

362

2

3242

)1(2

)8)(1(4)2()2( 2

x

x

x

x

Soluciones:

negativo) númeroun ser por solución es (no 22

4

2

62

42

8

2

62

2

1

x

x

Luego, x = 4. Así tenemos que 24

88

xy

x = primer número = 4

y = segundo número = 2

Verificación:

La diferencia de ambos números es 2, x – y = 2. Efectivamente 4 – 2 = 2

El producto de ambos números es 8, xy = 8. Comprobamos que (4)(2) =8.

2ª. El largo de un rectángulo es de 4 cm mayor que ancho. Si el área del rectángulo es de 77 cm2,

¿cuánto mide el largo y el ancho?

Solución:

El rectángulo es una figura plana que tiene lados paralelos iguales dos a dos.

Ancho = y

Largo = x

Llamemos al ancho = x

Llamemos al largo = y

Las condiciones del problema son:

El largo es 4 cm mayor que el ancho, escribimos, x + 4 = y (1)


El área de un rectángulo es igual al producto del largo por el ancho, escribimos, xy = 77 (2)

Sustituyamos el valor de y de la primera ecuación en la segunda ecuación,

xy = 77

x (x + 4) = 77

x2 + 4x – 77 = 0

Usemos la fórmula cuadrática, a = 1, b = 4, c = -77

2

184

2

3244

2

308164

)1(2

)77)(1(4)4()4( 2

x

x

x

x

Soluciones:

negativo) númeroun ser por solución es (no 112

22

2

186

72

14

2

184

2

1

x

x

x = ancho = 7

y = largo = x + 4 = 7 + 4 = 11

Verificación:

Largo por ancho = área. xy = 77. Luego, (7 cm)(11 cm) = 77 cm2.

3ª. Las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo son (14 – x) y (x - 7). Si la hipotenusa

mide 5 cm, ¿cuánto miden los catetos?

Solución:

Recuerde que un triángulo rectángulo es una figura plana que tiene un ángulo recto (mide 90). El

lado que se opone al ángulo recto se llama hipotenusa y los lados adyacentes al ángulo recto se llaman

catetos.

90

Hipotenusa = c

Cateto = 14 - x

Cateto = x - 7


En todo triángulo rectángulo se cumple un famoso resultado llamado El Teorema de Pitágoras, que

dice: “En todo triángulo rectángulo el área construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las

áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos”. En forma simbólica matemática se escribe

como: c2 = x2 + y2 (1)

Los catetos del triángulo son 14 – x; x – 7. Sustituyamos esos valores en la ecuación (1), resulta:

c2 = x2 + y2

c2 = (14 – x)2 + (x – 7)2

(5)2 = (14)2 – 2(14(x) + (x)2 + (x)2 – 2(7)(x) + (7)2 Recuerde que (a+b)2 =a2 +2ab + b2.

25 = 196 – 28x + x2 + x2 – 14x + 49

0 = 196 – 28x + x2 + x2 – 14x + 49 – 25

0 = 2x2 – 42x + 220

Usemos la fórmula cuadrática: a = 2, b = -42, c = 220.

4

242

4

442

4

1760176442

)2(2

)220)(2(4)42()42( 2

x

x

x

x

Soluciones:

104

40

4

242

114

44

4

242

2

1

x

x

Ambos pueden ser soluciones porque son números positivos.

Si x = 11, entonces los catetos miden:

Cateto 1 = 14 – x = 14 – 11 = 3

Cateto 2 =x – 7 = 11 – 7 = 4

Verificación:

c2 = x2 + y2

(5)2 = (3)2 + (4)2

25 = 9 + 16


25 = 25

Inecuaciones Cuadráticas y Valor Absoluto

Las desigualdades son importantes en ciertos problemas relacionados con la tecnología, la industria y

el negocio. En otros cursos posteriores de la especialización de la carrera se emplean para resolver

problemas relativos a probabilidades y cálculo infinitesimal. Por ejemplo, podemos decir que la

Empresa Coral Security tiene mayor capitalización que la empresa International Advance.

Definición: Una desigualdad es una relación que establece comparación entre dos cantidades que

no son iguales.

Sabemos que dos cantidades pueden ser iguales o ser distintas. Cuando las cantidades son diferentes

se utilizan los signos matemáticos > o < para denotar tal situación:

Mayor que >

Menor que <

Los símbolos matemáticos anteriores se denominan desigualdades estrictas.

Por ejemplo, −7 < 3; 0 > 6 > 13

También se utilizan los símbolos:

𝑴𝒂𝒚𝒐𝒓 𝒐 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 ≥

𝑴𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒐 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 ≤

Términos de una desigualdad:

Toda desigualdad posee un miembro derecho y un miembro izquierdo.

Clases de Desigualdades:

1. Desigualdad Condicional o Inecuación: son desigualdades cuyos valores de las

variables se satisfacen para ciertos valores. Existen inecuaciones de primer grado, de segundo

grado, entre otras.

Ejemplos:

𝑥2 + 7𝑥 + 2 ≤ 0

𝑥 + 2𝑦 > 6

2. Desigualdad absoluta o idéntica: es aquella que se verifica para todos los valores reales

de las variables que intervienen en ella.

Ejemplos:

𝑥2 ≥ 0


Representación Gráfica de las Desigualdades:

Para representar gráficamente una desigualdad se empleará la recta numérica.

Símbolos especiales:

Para denotar que un conjunto de números reales se extiende de forma infinita se emplea el símbolo

matemático ∞ que se lee “infinito”.

+∞ significa infinito positivo

-∞ significa infinito negativo

Observación: los símbolos -∞y +∞no son números simplemente es una notación matemática utilizada

para designar los conjuntos que no tienen fin.

Definición: Se dice que el número a es positivo a si y sólo sí 𝒂 > 𝟎

Por ejemplo, 4 es positivo porque 4 > 0

Veamos la recta numérica:

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Definición: Se dice que el número a es negativo a si y sólo sí 𝒂 < 𝟎

Por ejemplo, -5 es positivo porque -5 < 0

Veamos la recta numérica:

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

Intervalo

Un intervalo es una expresión matemática que se emplea para denotar un subconjunto de números

reales y tiene dos valores extremos (uno inferior y uno superior).


Por ejemplo, entre las 4 y las 5 de la tarde se realizará la primera prueba parcial de matemática.

El conjunto solución de una desigualdad se puede expresar mediante la notación de intervalos.

Ejemplos:

1. Entre las cuatro y cinco de la madrugada se estará llevando a cabo un eclipse solar.

𝑥 ∈ (4, 5)

2. María por lo menos tiene por lo menos dos balboas en su cartera.

𝑥 ∈ [2, ∞)

3. Antonio a lo sumo tiene que llegar 5 minutos antes de las 7 de la mañana a su trabajo.

Tipos de Intervalos:

Sea a el extremo inferior y b el extremo superior de un intervalo. Sea x la variable. Tenemos los

siguientes tipos de intervalos:

Tipo de intervalo Notación de intervalo Desigualdad

Abierto (𝑎, 𝑏) 𝑎 < 𝑥 < 𝑏

Cerrado [𝑎, 𝑏] 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

Semi abierto por la

izquierda (𝑎, 𝑏] 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏

Semi abierto por la

derecha [𝑎, 𝑏) 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏

Infinitos

(𝑎, +∞) 𝑥 > 𝑎

[𝑎, +∞) 𝑥 ≥ 𝑎

(−∞, 𝑏) 𝑥 < 𝑏

(−∞, 𝑏] 𝑥 ≤ 𝑏

(−∞, +∞) −∞ < 𝑥 < ∞

Propiedades de las desigualdades:

Sean a, b y c tres números reales. Utilizaremos la desigualdad 𝑎 < 𝑏

1. Si 𝑎 < 𝑏, se cumple que 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐

2. Si 𝑎 < 𝑏, se cumple que 𝑎 − 𝑐 < 𝑏 − 𝑐

3. Si 𝑎 < 𝑏 y c es un número positivo, se cumple que 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐

4. Si 𝑎 < 𝑏 y c es un número negativo, se cumple que 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐

5. Si 𝑎 < 𝑏 y c es un número positivo, se cumple que 𝑎 ÷ 𝑐 < 𝑏 ÷ 𝑐

6. Si 𝑎 < 𝑏 y c es un número negativo, se cumple que 𝑎 ÷ 𝑐 > 𝑏 ÷ 𝑐


Observación:

Las propiedades 4 y 6 nos indican que cuando tenemos una desigualdad y si multiplicamos o dividimos

a ambos lados por un número negativo, el sentido de la desigualdad va a cambiar.

Resolución de Inecuaciones Lineales:

Ejemplo 1. Dada la inecuación lineal, halle el conjunto solución.

3𝑥 + 6 > 5𝑥 + 8

3𝑥 − 5𝑥 > 8 − 6

−2𝑥 >2

𝑥 <2

−2

𝑥 < −1

Gráfica:

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

Solución: 𝑥 ∈ (−∞, −1)

Resolución de Desigualdades Cuadráticas.

Cuando se tiene una desigualdad cuadrática se debe factorizar el polinomio de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Al expresar el polinomio como producto de dos factores se emplea la regla de los signos para producto:

Si 𝒂𝒃 > 𝟎

Caso 1. 𝑎 > 0; 𝑏 > 0

Caso 2. 𝑎 < 0; 𝑏 < 0

Si 𝒂𝒃 < 𝟎

Caso 1. 𝑎 > 0; 𝑏 < 0

Caso 2. 𝑎 < 0; 𝑏 > 0

Ejemplo1. Hallar el conjunto solución de la inecuación x2 – 3x + 2 > 0

Solución:

a = 1


b = -3

c = 2

Quiere decir que los factores son (x - 2) (x – 1) > 0

Como resultó que 𝑎𝑏 > 0, analicemos los dos casos.

Caso 1. 𝑎 > 0; 𝑏 > 0

𝑥 − 2 > 0 𝑥 − 1 > 0

𝑥 > 2 𝑥 > 1

Gráfica:

-1 -2 0 1 2 3 4 5

Solución: 𝑥 ∈ (2, ∞)

Caso 2. 𝑎 < 0; 𝑏 < 0

𝑥 − 2 < 0 𝑥 − 1 < 0

𝑥 < 2 𝑥 < 1

Gráfica:

-1 -2 0 1 2 3 4 5

Solución: 𝑥 ∈ (−∞, 1)

Solución Total: 𝑥 ∈ (−∞, 1) ⋃(2, ∞)

Ejemplo 2. Halle el conjunto solución de la inecuación e ilustre en la recta numérica: 1 – x – 2x2 0

Solución:

Multipliquemos toda la inecuación por -1, el sentido de la desigualdad cambia.

2𝑥2 + 𝑥 − 1 ≥ 0

Los factores de la ecuación cuadrática son: (𝑥 + 1) (𝑥 −1

2) ≥ 0


Como la desigualdad resultó 𝑎𝑏 ≥ 0 se analizan los siguientes casos:

Caso 1. 𝑎 ≥ 0; 𝑏 ≥ 0

𝑥 + 1 ≥ 0 𝑥 −1

2≥ 0

𝑥 ≥ −1 𝑥 ≥1

2

Veamos la representación gráfica en la recta numérica:

-1 0 𝟏

𝟐 1

Solución: 𝑥 ∈ [1

2, ∞)

Caso 2. 𝑎 ≤ 0; 𝑏 ≤ 0

𝑥 + 1 ≤ 0 𝑥 −1

2≤ 0

𝑥 ≤ −1 𝑥 ≤1

2

Veamos la representación gráfica en la recta numérica:

-1 0 1

2

Solución: 𝑥 ∈ (−∞, −1]

Solución Total: 𝑥 ∈ (−∞, −1] ∪ [1

2, ∞)

Ejemplo 3. Halle el conjunto solución de la desigualdad 3(𝑥 − 1)2 + 4(𝑥 + 2)2 > 17 + 𝑥

Solución:

3(𝑥 − 1)2 + 4(𝑥 + 2)2 > 17 + 𝑥

3(𝑥2 − 2𝑥 + 1) + 4(𝑥2 + 4𝑥 + 4) > 17 + 𝑥

3𝑥2 − 6𝑥 + 3 + 4𝑥2 + 16𝑥 + 16 > 17 + 𝑥

7𝑥2 + 10𝑥 + 19 = 17 + 𝑥

7𝑥2 + 10𝑥 − 𝑥 + 19 − 17 > 0

7𝑥2 + 9𝑥 + 2 > 0

Factoricemos la expresión cuadrática anterior y resulta que:

7𝑥2(7) + 9𝑥(7) + 2(7) > 0

49𝑥2 + 9𝑥(7) + 14 > 0


(7𝑥 + 7)(7𝑥 + 2) > 0

Como 𝑎𝑏 > 0, se deben analizar los siguientes casos:

Caso 1. 𝑎 > 0; 𝑏 > 0

7𝑥 + 7 > 0 7𝑥 + 2 > 0

7𝑥 > −7 7𝑥 > −2

𝑥 >7

−7 𝑥 >

−2

7

𝑥 > −1 𝑥 > −2

7

Solución: 𝑥 ∈ (−2

7, ∞)

Caso 2. 𝑎 < 0; 𝑏 < 0

7𝑥 + 7 < 0 7𝑥 + 2 < 0

7𝑥 < −7 7𝑥 < −2

𝑥 < −1 𝑥 < −2

7

Solución: 𝑥 ∈ (−∞, −1)

Solución Total: 𝑥 ∈ (−∞, −1) ⋃ (−2

9, ∞)

Desigualdades que contienen Valor Absoluto.

El valor absoluto se define como:

|𝑥| = {𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 00 𝑠𝑖 𝑥 = 0

−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0}

Ejemplos:

|−3| = 3

|+7| = 7

Vemos que el valor absoluto es un número no negativo. En términos geométricos, el valor absoluto

de un número x es su distancia desde cero, sin importar el sentido de la misma.


Propiedades del Valor Absoluto:

1. |𝑥| < 𝑎 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠í − 𝑎 < 𝑥 < 𝑎

2. |𝑥 ≤ 𝑎 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠í − 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎|

3. |𝑥| > 𝑎 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠í 𝑥 > 𝑎 ó 𝑥 < −𝑎

4. |𝑥| ≥ 𝑎 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠í 𝑥 ≥ 𝑎 ó 𝑥 ≤ −𝑎

Los siguientes ejemplos ilustran la resolución de desigualdades que contienen valores absolutos.

Ejemplo 1. Determine el conjunto solución |𝑥 − 5| < 4

Solución:

|𝑥 − 5| < 4 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠í − 4 < 𝑥 − 5 < 4

-4 + 5 < x < 4 + 5

1 < 𝑥 < 9

Gráfica:

1 𝟗

Solución: 𝑥 ∈ (1, 9)

Ejemplo 2. Determine el conjunto solución de la inecuación: |3𝑥 + 2| ≥ 5

Solución:

|3𝑥 + 2| ≥ 5 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠í 3𝑥 + 2 ≥ 5 ó 3𝑥 + 2 ≤ −5

Solución:

3𝑥 + 2 ≥ 5 ó 3𝑥 + 2 ≤ −5

3𝑥 ≥ 5 − 2 ó 3𝑥 ≤ −5 − 2

3𝑥 ≥ 3 ó 3𝑥 ≤ −7

𝑥 ≥ 1 ó 𝑥 ≤ −7

3

El conjunto solución de la inecuación es (−∞, −7

3) ∪ (1, ∞)

Desigualdades Racionales:

Una desigualdad es racional cuando se puede expresar como el cociente de dos expresiones

polinomiales.

En un cociente se tendrán las siguientes situaciones:


Si 𝒂

𝒃> 𝟎

Caso 1. 𝑎 > 0; 𝑏 > 0

Caso 2. 𝑎 < 0; 𝑏 < 0

Si 𝒂

𝒃< 𝟎

Caso 1. 𝑎 > 0; 𝑏 < 0

Caso 2. 𝑎 < 0; 𝑏 > 0

Ejemplo 1. Dada la desigualdad, 3

2𝑥−1≥

1

5 determine el conjunto solución.

Solución:

3

2𝑥 − 1≥

1

5

3

2𝑥 − 1−

1

5≥ 0

5(3) − 1(2𝑥 − 1)

5(2𝑥 − 1)≥ 0

15 − 2𝑥 + 1

10𝑥 − 5≥ 0

16 − 2𝑥

10𝑥 − 5≥ 0

Como resultó el cociente 𝑎

𝑏≥0, se analizan los siguientes casos:

Caso 1. 𝑎 ≥ 0; 𝑏 ≥ 0

16 − 2𝑥 ≥ 0 10𝑥 − 5 ≥ 0

−2𝑥 ≥ −16 10𝑥 ≥ 5

𝑥 ≤−16

−2 𝑥 ≥

5

10

𝑥 ≤ 8 𝑥 ≥1

2

Solución: 𝑥 ∈ [1

2, 8]

Caso 2. 𝑎 ≤ 0; 𝑏 ≤ 0

16 − 2𝑥 ≤ 0 10𝑥 − 5 ≤ 0

−2𝑥 ≤ −16 10𝑥 ≤ 5

𝑥 ≥−16

−2 𝑥 ≤

5

10

𝑥 ≥ 8 𝑥 ≤1

2


Observemos que este caso 2 no tiene solución.

El conjunto solución de la inecuación es 𝑥 ∈ [1

2, 8]

Ejemplo 2. Halle el conjunto solución para la desigualdad racional 3

√𝑥+5>

1

2

Solución:

3

√𝑥 + 5<

1

2

3

√𝑥 + 5−

1

2< 0

3(2) − √𝑥 + 5

2√𝑥 + 5< 0

6 − √𝑥 + 5

√𝑥 + 5< 0

Como resultó que 𝑎

𝑏< 0, se tiene que analizar las siguientes situaciones:

Caso 1. 𝑎 > 0; 𝑏 < 0

Caso 2. 𝑎 < 0; 𝑏 > 0

Práctica de Refuerzo

A. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales con una incógnita. Verifique la solución.

1) 8𝑥 − 4 + 3𝑥 = 7𝑥 + 𝑥 + 14

2) 8𝑥 − 15 − 30𝑥 − 51𝑥 = 53𝑥 + 31𝑥 − 172

3) 11𝑥 + 5𝑥 − 1 = 65𝑥 − 36

4) 14 − (5𝑥 − 1)(2𝑥 + 3) = 17 − (10𝑥 + 1)(𝑥 − 6)

5) 5(𝑥 − 1)2 − 6(𝑥2 − 3𝑥 − 7) = 𝑥(𝑥 − 3) − 2𝑥(𝑥 + 5) − 2

6) 14𝑥 − (3𝑥 − 2) − [5𝑥 + 2 − (𝑥 − 1)] = 0

7) 3(2𝑥 + 1)(3 − 𝑥) − (2𝑥 + 5)2 = −[−{−3(𝑥 + 5)} + 10𝑥2]

8) 3𝑥−4

5−

𝑥

2= −1

9) 3(5𝑥 − 6)(3𝑥 + 2) − 6(3𝑥 + 4)(𝑥 − 1) − 3(9𝑥 + 1)(𝑥 − 2) = 0

10) 4(3𝑥+5)

5−

5(𝑥−3)

6=

3𝑥+1

4

B. Use el método de completación de cuadrados y halle las raíces de las ecuaciones cuadráticas.

a. x2 + 3x + 2 = 0

b. 8x + 20 = 5x2.


c. (2x – 3)2 + x – 1 = -5

d. (3x- 2)(x – 5) + 12x = 4

C. Utilice el método de factorización y halle las raíces de las ecuaciones cuadráticas:

a. 2x – 8 = -3x2.

b. 2x2 – 6x – 3 = 0

c. 16x2 + 16x + 1 = 0

d. 225 – 400x2 = 0

e. 8x2 + 4 – 8x = 0

f. x2 + 9 = 6x

D. Resuelva las ecuaciones cuadráticas usando la fórmula general:

1. x2 – 3x + 2 = 0 6. (x – 1)2 + x – 1 = - 5

2. 3x2 + x = 1 7. (2x – 5)2 – (x + 5)2 = -23

3. 8x + 20 = 5x2 8. 2

52

2

x

x

x

x

4. 5x(x – 2) = x34

3 9.

1

3

4

5

3

1

x

x

x

x

5. 14 + 5x = 3x(x + 2) 10. 2

536

2 xx

x

E. Resuelva los problemas de aplicación de ecuaciones cuadráticas: 1. Un terreno rectangular mide 20 cm más de largo que su ancho. Si el área del terreno es de

4800 cm2, ¿cuánto mide el largo y el ancho? R: 60 y 80 cm.

2. El perímetro de un jardín rectangular es de 30 m y su área es de 54 m2. Halle las dimensiones

del jardín. Recuerde que el perímetro es la suma de las medidas de todos los lados del

rectángulo. R: 6 y 9 m.

3. La suma de un número y su recíproco es 2. Halle el número. R: 1.

4. Un número positivo menos el doble de su recíproco es igual a 2

7. Halle el número. R: 4

5. Halle dos números pares consecutivos cuyo producto sea 168. R: 12 y 14.

6. Halle la altura y la base de un triángulo, cuya área es de 2 cm2 y el lado de su base mide 3 cm

más que la altura. R: 1 y 4 cm.

7. El largo de un rectángulo es mayor 1 cm que el doble de su ancho. Si el área del rectángulo es

de 28 cm2, halle las dimensiones del terreno. R: 3

13 y 8 cm.


8. Halle los catetos de un triángulo rectángulo, que difieren entre sí en 7 m y su área es de 30 m2.

Recuerde que el área de un triángulo es la mitad del producto de la base por la altura, esto es,

2

xyA .

F. Resuelva los sistemas de ecuaciones lineales con 2 incógnitas.

1) 𝑥 + 6𝑦 = 27; 7𝑥 − 3𝑦 = 9

2) 14𝑥 − 11𝑦 = −29; 13𝑦 − 8𝑥 = 30

3) 𝑥 − 1 = 2(𝑦 + 6); 𝑥 + 6 = 3(1 − 2𝑦)

4) 𝑥(𝑦 − 2) − 𝑦(𝑥 − 3) = −14; 𝑦(𝑥 − 6) − 𝑥(𝑦 + 9) = 54

5) 3𝑥+4𝑦

𝑥−6𝑦= −

30

23;

9𝑥−𝑦

3+𝑥−𝑦= −

63

37

6) 3𝑥 − (𝑦 + 2) = 2𝑦 + 1; 5𝑦 − (𝑥 + 3) = 3𝑥 + 1

G. Simplifique cada expresión y escríbala sin usar el símbolo de valor absoluto.

1. |3 − 17| 2. |−3| − |−17| 3. |(−3)3|

4. |−6|

|4|+|−2|

5. |5 − √16|

6. -|7 − 4| H. Represente como intervalo cada desigualdad. Trácelo en la recta numérica.

a. (-, 6)

b. [2, ) c. (-12, -5) d. (0, 3] e. [-7, 2) f. [-2, 5]

g. (-, 4]

h. [-1, ) I. Represente cada desigualdad en forma de intervalo. Trace la recta numérica.

a. -1 < x 4 b. x > -3

c. 5 x 6 d. -6 < x < -3 e. 4 > x

f. 0 x

g. -2 x -7 h. 3 > x > -2


J. Encuentre el conjunto solución para cada inecuación. a. 2x – 5 < 5x – 2 b. 2x – 1 > 0 c. |2𝑥 − 3| ≥ 3

d. x2 -3x + 3 0 e. 5 < 4x + 1 < 7 f. x2 – 2x > -2 g. 2 < |4𝑥 − 5|

h. 1

3𝑥−7>

4

3−2𝑥

i. /𝑥+1

2−𝑥≥

𝑥

3+𝑥

j. |𝑥 + 2| ≤ 5 k. x(2x – 3) < -2(5x – x2) l. x(2x – 3) < -2(5x + x2) m. 2x2 - 6x + 3 > 0

n. 1 – x – 2x2 0 o. (x – 3) (2x – 1) > 0

p. 4x2 + 9x 9

q. √5 − 2𝑥 ≤ 2

r. √4𝑥 − 9 > 3

universidad de panamá -...

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