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Tema 3. Sistemas de ecuaciones lineales
1. Resuelve, si es posible, cada uno de los siguientes sistemas:
a) {
π₯ + 2π¦ + π§ = 1 2π₯ + π¦ + 2π§ = 2 3π₯ + 3π¦ + 3π§ = 4
b) {
π₯ + 2π¦ + π§ = 22π₯ + π¦ + 2π§ = 103π₯ + 3π¦ + 3π§ = 12
c) {
π₯ + 2π¦ + π§ = 0 βπ₯ β π¦ = 1 βπ¦ β π§ = β1
SoluciΓ³n a) Sistema incompatible
b) Sistema compatible indeterminado: { π₯ = 6 β π‘π¦ = β2 π§ = π‘
β π‘ β β
c) Sistema compatible indeterminado: { π₯ = β2 + π‘π¦ = 1 β π‘ π§ = π‘
β π‘ β β
2. La suma de las tres cifras de un nΓΊmero es 18, siendo la cifra de las decenas igual a la media de las otras dos. Si se cambia la cifra de las unidades por la de las centenas, el nΓΊmero aumenta en 198 unidades. Calcula dicho nΓΊmero.
SoluciΓ³n: El nΓΊmero buscado es 567
3. Un alumno de 2ΒΊ de Bachillerato emplea en la compra de tres lΓ‘pices, un sacapuntas y dos gomas de
borrar, tres euros. El doble del precio de un lΓ‘piz excede en cinco cΓ©ntimos de euro a la suma de los precios de un sacapuntas y de una goma de borrar. Si cada lΓ‘piz costara cinco cΓ©ntimos de euro mΓ‘s, entonces su precio duplicarΓa al de una goma de borrar. Determina el precio de un lΓ‘piz, de un sacapuntas y de una goma de borrar.
SoluciΓ³n: LΓ‘piz 0,55 β¬ ; Sacapuntas 0,75 β¬ ; Goma de borrar 0,30 β¬
4. Julia, Clara y Miguel reparten hojas de propaganda. Clara reparte el 20% del total, Miguel reparte 100
hojas mΓ‘s que Julia. Entre Clara y Julia reparten 850 hojas. Plantea un sistema de ecuaciones que permita saber cuΓ‘ntas hojas reparte cada uno. Sabiendo que la empresa paga 1 cΓ©ntimo por cada hoja repartida, calcula el dinero que ha recibido cada uno de los tres.
SoluciΓ³n: Julia 5,50 β¬ ; Clara 3 β¬ ; Miguel 6,50 β¬
5. a) Discute el sistema siguiente segΓΊn los valores del parΓ‘metro real π:
{π₯ + (π + 1)π¦ = 1ππ₯ + 2π¦ = β2
b) ResuΓ©lvelo para el valor de π que lo haga indeterminado.
SoluciΓ³n
a) π β β2 π¦ π β 1 βΆ sistema compatible determinado. π = β2 βΆ sistema compatible indeterminado. π = 1 βΆ sistema incompatible.
b) π = β2: { π₯ = 1 + π‘π¦ = π‘
βπ‘ β β
6. Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parΓ‘metro real π:
{
π₯ β 2π¦ + π§ = 03π₯ + 2π¦ β 2π§ = 32π₯ + 2π¦ + ππ§ = 8
a) Discute el sistema para los distintos valores de π. b) Resuelve el sistema para π = 4. Selectividad; Madrid Junio 2007 OpciΓ³n A
2
SoluciΓ³n
a) π β β7/4 βΆ sistema compatible determinado
π = β7/4 : sistema incompatible
b) ππππ π = 4, la soluciΓ³n del sistema es: π₯ = 1 ; π¦ = 1 ; π§ = 1
7. Dado el siguiente sistema dependiente del parΓ‘metro real π:
{ π₯ + π¦ + π§ = 3π₯ + ππ¦ + π§ = 3ππ₯ β 3π§ = 6
a) DiscΓΊtase el sistema segΓΊn los diferentes valores de π. b) ResuΓ©lvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones. c) ResuΓ©lvase el sistema para π = 3. Selectividad; Madrid Septiembre 2009 OpciΓ³n B
ResoluciΓ³n
a) Matriz de coeficientes de las incΓ³gnitas: π΄ = ( 1 1 1 1 π 1 π 0 β3
)
Matriz ampliada con la columna de tΓ©rminos independientes: π΄β = ( 1 1 1 1 π 1 π 0 β3
336 )
πππ‘(π΄) = |π΄| = |1 1 1 1 π 1 π 0 β3
| =πΆ3=πΆ3βπΆ1= |1 1 0 1 π 0 π 0 β3 β π
| = β(π + 3) Β· |1 11 π
| = β(π + 3)(π β 1)
|π΄| = 0 βΊ { π = β3π = 1
Caso 1 βπ β β π β β1 π¦ π β β3. |π΄| β 0 . Por tanto ππ(π΄) = 3 = ππ(π΄β) = πΒΊ πππΓ³ππππ‘ππ
πππ π‘πππ πΆπππππ‘ππππ π·ππ‘ππππππππ (ππππ’ππΓ³π ΓΊππππ)
Caso 2 π = β3. En este caso |π΄| = 0 π¦ ππ(π΄) < 3.
Matriz de coeficientes π΄ = ( 1 1 1 1 β3 1β3 0 β3
) . Matriz ampliada π΄β = ( 1 1 1 1 β3 1β3 0 β3
336 )
Calculemos el rango de la matriz π΄:
Como |1 11 β3
| = β4 β 0 , en π΄ hay un menor de orden 2 no nulo y ππ(π΄) = 2 , ππ(π΄β) β₯ 2.
Calculamos el rango de la matriz ampliada π΄β:
Orlamos el menor |1 11 β3
| , que nos ha dado el rango de A, con la tercera fila y cuarta columna
de π΄β βΆ
| 1 1 3 1 β3 3 β3 0 6
| =πΆ3=πΆ3+2πΆ1= | 1 1 5 1 β3 5 β3 0 0
| = β3 Β· | 1 5β3 5
| = β60 β 0. Por tanto ππ(π΄β) = 3.
2 = ππ(π΄) β ππ(π΄β) = 3: πππ π‘πππ πΌπππππππ‘ππππ (ππ π‘ππππ π πππ’ππΓ³π)
Caso 3 π = 1. En este caso |π΄| = 0 π¦ ππ(π΄) < 3.
Matriz de coeficientes π΄ = ( 1 1 11 1 11 0 β3
) . Matriz ampliada π΄β = ( 1 1 1 1 1 1 1 0 β3
336 )
Como |1 11 0
| = β1 β 0 , en π΄ hay un menor de orden 2 no nulo y, por tanto, ππ(π΄) = 2 π¦ ππ(π΄β) β₯
2.
Calculamos el rango de la matriz ampliada π΄β:
Orlamos el menor que nos ha dado el rango de π΄, con la primera fila y cuarta columna de π΄β βΆ
3
| 1 1 3 1 1 3 1 0 6
| =0 (tiene dos filas iguales). Por tanto ππ(π΄β) = 2
ππ(π΄) = ππ(π΄β) = 2 < πΒΊ πππΓ³ππππ‘ππ : πππ π‘πππ πΆπππππ‘ππππ πΌππππ‘ππππππππ (πΌππππππ‘ππ ππππ’ππππππ )
b) Resolvemos para π = 1.
Observando el menor |1 11 0
| que nos ha dado el rango de la matriz π΄, el sistema equivalente viene
dado por las ecuaciones cuyos coeficientes forman parte de dicho menor, esto es { π₯ + π¦ + π§ = 3π₯ β 3π§ = 6
Las incΓ³gnitas principales del sistema son aquellas cuyos coeficientes forman parte de las columnas
del menor |1 11 0
| que nos ha dado el rango de la matriz π΄, es decir π₯ e π¦. La incΓ³gnita π§ actΓΊa como
incΓ³gnita no principal o parΓ‘metro. AsΓ, tenemos:
π§ = π‘; {π₯ + π¦ = 3 β π‘ π₯ = 6 + 3π‘
βπ‘ β β, de donde π¦ = 3 β π‘ β (6 + 3π‘) = β3 β 4π‘
La soluciΓ³n viene dada por {π₯ = 6 + 3π‘ π¦ = β3 β 4π‘π§ = π‘
βπ‘ β β
c) Resolvemos el sistema para π = 3: { π₯ + π¦ + π§ = 3π₯ + 3π¦ + π§ = 33π₯ β 3π§ = 6
|π΄| = β12 siendo π΄ = ( 1 1 1 1 3 1 3 0 β3
)
Estamos en el caso 1 estudiado; por tanto, el sistema es compatible determinado, tiene una ΓΊnica soluciΓ³n. Aplicando la regla de Cramer obtenemos:
π₯ =|3 1 13 3 16 0 β3
|
β12 =
5
2 ; π¦ =
|1 3 11 3 13 6 β3
|
β12= 0 ; π§ =
|1 1 31 3 33 0 6
|
β12=1
2
8. Se considera el sistema {
π₯ + π¦ + π§ = 6
βπ₯ + π¦ + (π β 4)π§ = 7 2π₯ + 4π¦ + 2π§ = 25
a) DiscΓΊtase segΓΊn los valores del parΓ‘metro real π. b) ResuΓ©lvase cuando sea compatible indeterminado. ResoluciΓ³n
a) Matriz de coeficientes de las incΓ³gnitas: π΄ = ( 1 1 1β1 1 π β 4 2 4 2
)
Matriz ampliada con la columna de tΓ©rminos independientes: π΄β = ( 1 1 1β1 1 π β 4 2 4 2
6725 )
πππ‘(π΄) = |π΄| = | 1 1 1β1 1 π β 4 2 4 2
| =βπΆ3=πΆ3βπΆ1
| 1 1 0β1 1 π β 3 2 4 0
| = (3 β π) Β· |1 12 4
| = 6 β 2π
|π΄| = 0 βΊ 6 β 2π = 0 βΊ π = 3
Caso 1 βπ β β π β 3. |π΄| β 0 . Por tanto ππ(π΄) = 3 = ππ(π΄β) = πΒΊ πππΓ³ππππ‘ππ
πππ π‘πππ πΆπππππ‘ππππ π·ππ‘ππππππππ (ππππ’ππΓ³π ΓΊππππ)
Caso 2 π = 3. En este caso |π΄| = 0 π¦ ππ(π΄) < 3.
Matriz de coeficientes π΄ = ( 1 1 1β1 1 β1 2 4 2
) . Matriz ampliada π΄β = ( 1 1 1β1 1 β1 2 4 2
6725 )
Calculamos el rango de la matriz π΄:
4
Como | 1 1β1 1
| = 2 β 0 , en π΄ hay un menor de orden 2 no nulo y ππ(π΄) = 2 , ππ(π΄β) β₯ 2.
Calculamos el rango de la matriz ampliada π΄β:
Orlamos el menor | 1 1β1 1
| , que nos ha dado el rango de A, con la tercera fila y cuarta columna de π΄β βΆ
| 1 1 6 β1 1 7 2 4 25
| =βπΉ2=πΉ2+πΉ1πΉ3=πΉ3β2πΉ1
| 1 1 5 0 2 13 0 2 13
| = 0 ; Por tanto ππ(π΄β) = 2
ππ(π΄) = ππ(π΄β) = 2 < πΒΊ πππΓ³ππππ‘ππ : Sistema Compatible Indeterminado.
b) Resolvemos para π = 3.
Observando el menor | 1 1 β1 1
| que nos ha dado el rango de la matriz π΄, el sistema equivalente viene dado
por las ecuaciones cuyos coeficientes forman parte de dicho menor, esto es { π₯ + π¦ + π§ = 6 βπ₯ + π¦ β π§ = 7
Las incΓ³gnitas principales del sistema son aquellas cuyos coeficientes forman parte de las columnas del
menor | 1 1 β1 1
| que nos ha dado el rango de la matriz π΄, es decir π₯ e π¦. La incΓ³gnita π§ actΓΊa como incΓ³gnita
no principal o parΓ‘metro. AsΓ, tenemos:
π§ = π‘; { π₯ + π¦ = 6 β π‘ βπ₯ + π¦ = 7 + π‘
βπ‘ β β, de donde π¦ =13
2 y π₯ =
β1
2β π‘
La soluciΓ³n viene dada por {
π₯ = β1
2β π‘
π¦ =13
2
π§ = π‘
βπ‘ β β
9. Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parΓ‘metro real π:
{
π₯ + ππ¦ β 7π§ = 4π β 1
π₯ + (1 + π)π¦ β (π + 6)π§ = 3π + 1 ππ¦ β 6π§ = 3π β 2
a) DiscΓΊtase el sistema segΓΊn los diferentes valores de π. b) ResuΓ©lvase el sistema en el caso en el que tiene infinitas soluciones. c) ResuΓ©lvase el sistema en el caso π = β3. Selectividad: Madrid Junio 2012 OpciΓ³n A
ResoluciΓ³n
a) Matriz de coeficientes de las incΓ³gnitas: π΄ = ( 1 π β7 1 1 + π βπ β 6 0 π β6
)
Matriz ampliada con la columna de tΓ©rminos independientes: π΄β =
( 1 π β7 1 1 + π βπ β 6 0 π β6
4π β 13π + 13π β 2
)
πππ‘(π΄) = |π΄| = | 1 π β7 1 1 + π βπ β 6 0 π β6
| =βπΉ2=πΉ2πΉ1
| 1 π β7 0 1 1 β π 0 π β6
| = |1 1 β ππ β6
| = π2 β π β 6
|π΄| = 0 βΊ π2 β π β 6 = 0 βΊ { π = β2 π = 3
Caso 1 βπ β β π β β2 y π β 3. |π΄| β 0 . Por tanto ππ(π΄) = 3 = ππ(π΄β) = πΒΊ πππΓ³ππππ‘ππ
πππ π‘πππ πΆπππππ‘ππππ π·ππ‘ππππππππ (ππππ’ππΓ³π ΓΊππππ)
Caso 2 π = β2. En este caso |π΄| = 0 π¦ ππ(π΄) < 3.
5
Matriz de coeficientes π΄ = ( 1 β2 β71 β1 β40 β2 β6
) . Matriz ampliada π΄β = ( 1 β2 β71 β1 β40 β2 β6
β9β5β8 )
Calculemos el rango de la matriz π΄:
Como | 1 β10 β2
| = β2 β 0 , en π΄ hay un menor de orden 2 no nulo y ππ(π΄) = 2 , ππ(π΄β) β₯ 2.
Calculamos el rango de la matriz ampliada π΄β:
Orlamos el menor | 1 β10 β2
| , que nos ha dado el rango de A, con la primera fila y cuarta columna
de π΄β βΆ
| 1 β2 β91 β1 β50 β2 β8
| =βπΉ2=πΉ2βπΉ1
|1 β2 β90 1 40 β2 β8
| = 0. Por tanto ππ(π΄β) = 2.
ππ(π΄) = ππ(π΄β) = 2 < πΒΊ πππΓ³ππππ‘ππ .: Sistema Compatible Indeterminado. Caso 3 π = 3. En este caso |π΄| = 0 π¦ ππ(π΄) < 3.
Matriz de coeficientes π΄ = ( 1 3 β71 4 β90 3 β6
) . Matriz ampliada π΄β = ( 1 3 β71 4 β90 3 β6
11107 )
Calculemos el rango de la matriz π΄:
Como | 1 31 4
| = 1 β 0 , en π΄ hay un menor de orden 2 no nulo y ππ(π΄) = 2 , ππ(π΄β) β₯ 2.
Calculamos el rango de la matriz ampliada π΄β:
Orlamos el menor |1 31 4
| , que nos ha dado el rango de A, con la tercera fila y cuarta columna
de π΄β βΆ
| 1 3 111 4 100 3 7
| =βπΉ2=πΉ2βπΉ1
| 1 3 110 1 β10 3 7
| = 10 β 0. Por tanto ππ(π΄β) = 3.
2 = ππ(π΄) β ππ(π΄β) = 3: Sistema Incompatible (No tiene soluciΓ³n).
b) Resolvemos el caso en el que el sistema tiene infinitas soluciones, esto es, para π = β2.
En este caso, hemos visto (caso 2) que el menor |1 β1 0 β2
| nos ha dado el rango de la matriz π΄ y, por
tanto, el sistema equivalente viene dado por las ecuaciones cuyos coeficientes forman parte de dicho
menor, esto es { π₯ β π¦ β 4π§ = β5 β2π¦ β 6π§ = β8
Las incΓ³gnitas principales del sistema son aquellas cuyos coeficientes forman parte de las columnas
del menor | 1 β1 0 β2
| que nos ha dado el rango de la matriz π΄, es decir π₯ e π¦. La incΓ³gnita π§ actΓΊa como
incΓ³gnita no principal o parΓ‘metro. AsΓ, tenemos:
π§ = π‘; { π₯ β π¦ = β5 + 4π‘ β2π¦ = β8 + 6π‘
βπ‘ β β, de donde π¦ = 4 β 3π‘ y π₯ = β1 + π‘
La soluciΓ³n viene dada por { π₯ = β1 + π‘ π¦ = 4 β 3π‘ π§ = π‘
βπ‘ β β
c) Resolvemos el sistema para π = β3
{
π₯ β 3π¦ β 7π§ = β13 π₯ β 2π¦ β 3π§ = β8 β3π¦ β 6π§ = β11
Este valor del parΓ‘metro π corresponde al caso 1 y, por tanto, el sistema es Compatible Determinado. Lo podemos resolver fΓ‘cilmente por la regla de Cramer o por el mΓ©todo de Gauss:
( 1 β3 β7 1 β2 β30 β3 β6
β13β8β11
)ππ=ππβππβ (
1 β3 β70 1 40 β3 β6
β13 5β11
)ππ=ππ+πππβ (
1 β3 β70 1 40 0 6
β13 5 4
)
6
El sistema escalonado es { π₯ β 3π¦ β 7π§ = β13
π¦ + 4π§ = 5 6π§ = 4
Resolviendo, de abajo hacia arriba, se obtiene la soluciΓ³n: π§ =2
3; π¦ =
7
3 ; π₯ =
β4
3
10. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones, dependiente del parΓ‘metro real π
{
π₯ + π¦ + π§ = 2 π₯ + ππ¦ + 2π§ = 5 ππ₯ + π¦ + π§ = 1
a) DiscΓΊtase el sistema segΓΊn los diferentes valores de π. b) ResuΓ©lvase el sistema para π = 0. c) ResuΓ©lvase el sistema para π = 2. Selectividad: Madrid Septiembre 2012 OpciΓ³n B
11. Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parΓ‘metro real π:
{
ππ₯ + π¦ + π§ = π ππ¦ + π§ = 1 ππ₯ + π¦ + ππ§ = π
a) DiscΓΊtase el sistema segΓΊn los diferentes valores de π. b) ResuΓ©lvase el sistema en el caso en el que tenga infinitas soluciones. c) ResuΓ©lvase el sistema para π = 3. Selectividad: Madrid Junio 2011 OpciΓ³n A
12. Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaclones, dependiente del parΓ‘metro real π:
{
π₯ β π¦ + ππ§ = 1 2π₯ β ππ¦ + π§ = 2 π₯ β π¦ β π§ = π β 1
a) DiscΓΊtase el sistema segΓΊn los diferentes valores de π. b) ResuΓ©lvase el sistema para el valor de π para el cual el sistema tiene infinitas soluciones. c) ResuΓ©lvase el sistema para π = 3. Selectividad: Madrid Junio 2010 Fase General OpciΓ³n B
13. Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones dependiente del parΓ‘metro real π:
( 1 2 1
) π₯ + ( 1 β1β3 2β4 π
) ( π¦
π§) = (
1 22 7π
)
a) DiscΓΊtase el sistema para los diferentes valores del parΓ‘metro real π. b) ResuΓ©lvase el sistema para el valor de π para el cual el sistema tiene infinitas soluciones. c) ResuΓ©lvase el sistema para π = 0. Selectividad: Madrid Septiembre 2010 Fase General OpciΓ³n A
ResoluciΓ³n
a) Matriz de coeficientes de las incΓ³gnitas: π΄ = ( 1 1 β1 2 β3 2 1 β4 π
)
Matriz ampliada con la columna de tΓ©rminos independientes: π΄β = ( 1 1 β1 2 β3 2 1 β4 π
1227π )
7
πππ‘(π΄) = |π΄| = | 1 1 β1 2 β3 2 1 β4 π
| =βπΆ3=πΆ3+πΆ1πΆ2 =πΆ2βπΆ1
|1 0 0 2 β5 4 1 β5 π + 1
| = β5(π + 1) + 20 = β5π + 15
|π΄| = 0 βΊ π = 3
Caso 1 β π β β π β 3 . |π΄| β 0 . Por tanto ππ(π΄) = 3 = ππ(π΄β) = πΒΊ πππΓ³ππππ‘ππ
πππ π‘πππ πΆπππππ‘ππππ π·ππ‘ππππππππ (ππππ’ππΓ³π ΓΊππππ)
Caso 2 π = 3 . En este caso |π΄| = 0 y ππ(π΄) < 3.
Matriz de coeficientes: π΄ = ( 1 1 β1 2 β3 2 1 β4 3
) . Matriz ampliada π΄β = ( 1 1 β1 2 β3 2 1 β4 3
12221 )
Calculemos el rango de la matriz π΄:
Como |1 12 β3
| = β5 β 0 , en π΄ hay un menor de orden 2 no nulo y ππ(π΄) = 2 , ππ(π΄β) β₯ 2.
Calculamos el rango de la matriz ampliada π΄β:
Orlamos el menor |1 12 β3
| , que nos ha dado el rango de A, con la tercera fila y cuarta columna
de π΄β βΆ
| 1 1 1 2 β3 22 1 β4 21
| =βπΆ2=πΆ2βπΆ1πΆ3 =πΆ3βπΆ1
| 1 0 0 2 β5 20 1 β5 20
| = 0; Por tanto ππ(π΄β) = 2
ππ(π΄) = ππ(π΄β) = 2 < 3 βΆ πππ π‘πππ ππππππ‘ππππ πππππ‘ππππππππ (infinitas soluciones) b) π = 3: A partir del caso 2 del apartado anterior obtenemos el sistema equivalente:
{ π₯ + π¦ β π§ = 1 2π₯ β 3π¦ + 2π§ = 22
π§ = π‘ ; { π₯ + π¦ = 1 + π‘
2π₯ β 3π¦ = 22 β 2π‘ de donde π₯ = 5 +
π‘
5 ; π¦ = β4 +
4π‘
5 ; π§ = π‘ βπ‘ β β
c) π = 0: Matriz de coeficientes de las incΓ³gnitas del sistema: π΄ = ( 1 1 β1 2 β3 2 1 β4 0
)
Como |π΄| = 0 para π = 3 , sabemos que |π΄| β 0 y, por tanto, ππ(π΄) = 3 = ππ(π΄β). El sistema es compatible determinado (soluciΓ³n ΓΊnica).
Resolviendo por Cramer o por Gauss se tiene la soluciΓ³n π₯ =32
5 ; π¦ =
8
5 ; π§ = 7
14. Indica para quΓ© valores de a tiene soluciΓ³n ΓΊnica el siguiente sistema {
x β y + az = 0 y + az = 1 x + ay β z = β2
y resolverlo
para a = 2
15. Estudiar el siguiente sistema lineal, segΓΊn los diferentes valores del parΓ‘metro real a. En los casos en que sea compatible, resolverlo.
( 2 β1 β1β1 2 β1β1 β1 2
) ( xyz ) = (
aa a)
16. Se considera el sistema lineal {
Ξ»x + y β z = 0
βΞ»x + (Ξ» β 1)y = 0
βx β 2y + (Ξ» + 1)z = 0
Determinar los valores de π para los cuales el sistema tiene soluciΓ³n distinta de la trivial π₯ = 0 ; π¦ = 0
π§ = 0 y obtΓ©ngase la soluciΓ³n para uno de los valores de π.
8
ResoluciΓ³n
Al tratarse de un sistema homogΓ©neo solamente consideramos la matriz de coeficientes de las
incΓ³gnitas: π΄ = ( π 1 β1βπ π β 1 0β1 β2 π + 1
)
Un sistema homogΓ©neo siempre tiene la soluciΓ³n trivial π₯ = 0; π¦ = 0; π§ = 0; por tanto para que el sistema pueda tener soluciones distintas de la trivial debemos encontrar los valores de π que lo hagan compatible indeterminado, esto es, que anulen el determinante de la matriz π΄ para que ππ(π΄) < 3. Calculamos el determinante de la matriz π΄:
|π΄| = | π 1 β1βπ π β 1 0β1 β2 π + 1
| =βπΉ3=πΉ3+(π+1)πΉ1
| π 1 β1βπ π β 1 0
π2 + π β 1 π β 1 0| = β |
βπ π β 1 π2 + π β 1 π β 1
| =
= (1 β π) |βπ 1
π2 + π β 1 1| = (π β 1)(π2 + 2π β 1)
|π΄| = 0 βΊ = (π β 1)(π2 + 2π β 1) = 0 βΊ {
π = 1
π = β1 β β2
π = β1 + β2
que son los valores que buscamos.
Encontremos ahora la soluciΓ³n del sistema {
ππ₯ + π¦ β π§ = 0
βππ₯ + (π β 1)π¦ = 0
βπ₯ β 2π¦ + (π + 1)π§ = 0 para π = 1
La matriz del sistema es π΄ = ( 1 1 β1β1 0 0β1 β2 2
) y el sistema { π₯ + π¦ β π§ = 0 βπ₯ = 0 βπ₯ β 2π¦ + 2π§ = 0
Como el menor |1 1β1 0
| = 1 es no nulo, tenemos que ππ(π΄) = 2 y el sistema equivalente es
{π₯ + π¦ β π§ = 0 βπ₯ = 0
de donde π₯ = 0 ; π¦ = π‘ ; π§ = π‘ βπ‘ β β
17. Dado el sistema de ecuaciones {
π¦ + π§ = 1(π β 1)π₯ + π¦ + π§ = π
π₯ + (π β 1)π¦ β π§ = 0
a) Discutirlo segΓΊn los valores del parΓ‘metro π. b) Resolverlo para π = 0.
18. Un estadio de fΓΊtbol con capacidad para 72000 espectadores estΓ‘ lleno durante la celebraciΓ³n de un
partido entre los equipos A y B. Unos espectadores son socios del equipo A, otros lo son del equipo B,
y el resto no son socios de ninguno de los equipos que estΓ‘n jugando. A travΓ©s de la venta de
localidades sabemos lo siguiente:
(a) No hay espectadores que sean socios de ambos equipos simultΓ‘neamente.
(b) Por cada 13 socios de alguno de los dos equipos hay 3 espectadores que no son socios.
(c) Los socios del equipo B superan en 6500 a los socios del equipo A.
ΒΏCuΓ‘ntos socios de cada equipo hay en el estadio viendo el partido?
Selectividad: Madrid Junio 2012
ResoluciΓ³n
π₯ β‘ πΓΊππππ ππ ππ ππππ‘ππππππ π πππππ πππ πππ’πππ π΄ π¦ β‘ πΓΊππππ ππ ππ ππππ‘ππππππ π πππππ πππ πππ’πππ π΅ π§ β‘ πΓΊππππ ππ ππ ππππ‘ππππππ ππ’π ππ π ππ π πππππ ππ ππππΓΊπ πππ’πππ
9
Del enunciado (a): π₯ + π¦ + π§ = 72000
Del enunciado (b): π₯+π¦
13=π§
3
Del enunciado (c): π¦ = π₯ + 6500
El sistema de ecuaciones correspondiente es {
π₯ + π¦ + π§ = 72000 3π₯ + 3π¦ β 13π§ = 0
βπ₯ + π¦ = 6500
Resolvemos el sistema:
( 1 1 1 3 3 β13β1 1 0
720000
6500 )
ππ=ππβπππππ=ππ+ππ
β ( 1 1 1 0 0 β16 0 2 1
72000β216000 78500
)π°ππππππππππ ππ,ππβ (
1 1 10 2 10 0 β16
7200078500β216000
)
El sistema escalonado es {π₯ + π¦ + π§ = 72000 2π¦ + π§ = 78500
β16π§ = β216000
de donde obtenemos la soluciΓ³n
π§ = 13500 ; π¦ = 32500 ; π₯ = 26000
Hay 26000 socios del equipo π΄, 32500 socios del equipo π΅ y 13500 personas no socios.
19. Una empresa instala casas prefabricadas de tres tipos A, B y C. Cada casa de tipo A necesita 10 horas
de albaΓ±ilerΓa, 2 de fontanerΓa y 2 de electricista. Cada casa de tipo B necesita 15 horas de albaΓ±ilerΓa,
4 de fontanerΓa y 3 de electricista. Cada casa de tipo C necesita 20 horas de albaΓ±ilerΓa, 6 de
fontanerΓa y 5 de electricista. La empresa emplea exactamente 270 horas de trabajo al mes de
albaΓ±ilerΓa, 68 de fontanerΓa y 58 de electricista. ΒΏCuΓ‘ntas casas de cada tipo instala la empresa en un
mes? Selectividad: Madrid Septiembre 2008
ResoluciΓ³n
π₯ β‘ πΓΊππππ ππ πππ ππ ππ π‘πππ π΄ π¦ β‘ πΓΊππππ ππ πππ ππ ππ π‘πππ π΅ π§ β‘ πΓΊππππ ππ πππ ππ ππ π‘πππ πΆ
A partir del enunciado construimos la tabla siguiente:
Casa tipo A Casa tipo B Casa tipo C Total horas AlbaΓ±ilerΓa 10 15 20 270 FontanerΓa 2 4 6 68 Electricista 2 3 5 58
El sistema de ecuaciones lineales es {
10π₯ + 15π¦ + 20π§ = 270 2π₯ + 4π¦ + 6π§ = 68 2π₯ + 3π¦ + 5π§ = 58
Simplificando {
2π₯ + 3π¦ + 4π§ = 54 π₯ + 2π¦ + 3π§ = 34 2π₯ + 3π¦ + 5π§ = 58
Resolviendo este sistema se obtiene π₯ = 10 ; π¦ = 6 ; π§ = 4
Por tanto, en un mes, la empresa instala 10 casas tipo π΄. 6 casas tipo π΅ y 4 casas tipo πΆ.
20. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones, dependiente del parΓ‘metro real π:
{
βπ₯ + π¦ + π§ = 1 4π¦ + 3π§ = 2
π₯ + 2π¦ = 1 π₯ + ππ¦ + 2π§ = 1
DiscΓΊtase el sistema segΓΊn los diferentes valores de π.
10
ResoluciΓ³n
La matriz π΄ del sistema a lo sumo tiene rango 3 porque su dimensiΓ³n es 4π₯3.
Sea π΄β la matriz ampliada del sistema (de orden 4).
|π΄β| = 12 β 4π; |π΄β| = 0 βΊ π = 3
Caso 1 β π β β π β 3. Se tiene |π΄β| β 0 y, por tanto ππ(π΄β) = 4 β ππ(π΄). Sistema incompatible.
Caso 2 π = 3. Sistema Compatible Determinado. SoluciΓ³n ΓΊnica: π₯ = β3
5 ; π¦ =
4
5 ; π§ =
2
5
21. Dada la matriz π΄ = (3 2 01 0 β11 1 1
)
a) CalcΓΊlese π΄β1
b) ResuΓ©lvase el sistema de ecuaciones dado por π΄ Β· (π₯π¦π§) = (
101)
Selectividad: Madrid Junio 2013 OpciΓ³n A
ResoluciΓ³n
a) π΄β1 = ( β1 2 2 2 β3 β3β1 1 2
)
b) (π₯π¦π§) = π΄β1 Β· (
101) = (
β1 2 2 2 β3 β3β1 1 2
) Β· (101) = (
1 β1 1 )
Por tanto, la soluciΓ³n del sistema de ecuaciones es π₯ = 1 ; π¦ = β1 ; π§ = 1
22. Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parΓ‘metro real π :
{
ππ₯ β 2π¦ = 03π₯ β π¦ β π§ = β1π₯ + 3π¦ + π§ = 1
a) DiscΓΊtase en funciΓ³n de los valores del parΓ‘metro π β β. b) ResuΓ©lvase para π = 1. Selectividad: Madrid Junio 2013 OpciΓ³n B
23. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales, dependiente del parΓ‘metro π :
{
ππ₯ + π¦ = 0π₯ + ππ¦ β 2π§ = 1ππ₯ β 3π¦ + ππ§ = 0
a) DiscΓΊtase el sistema segΓΊn los diferentes valores de k.
b) ResuΓ©lvase el sistema para π = 1. Selectividad: Madrid Septiembre 2013 OpciΓ³n B
24. Se consideran las matrices:
π΄ = (π β 2 2 β12 π 22π 2(π + 1) π + 1
) ; π = (π₯π¦π§) ; π = (
000)
a) CalcΓΊlense los valores de π para los cuales no existe la matriz inversa π΄β1.
b) Para π = β1 , calcΓΊlese π΄β1
c) Para π = 0 , calcΓΊlense todas las soluciones del sistema lineal π΄π = π. Selectividad: Madrid Septiembre 2010 Fase EspecΓfica OpciΓ³n B
11
ResoluciΓ³n
a) La matriz inversa de π΄ no existe para aquellos valores que anulan su determinante.
|π΄| = |π β 2 2 β12 π 22π 2(π + 1) π + 1
| = π3 β 3π2 + 2π
|π΄| = 0 βΊ π3 β 3π2 + 2π = 0 βΊ π(π2 β 3π + 2) = 0 βΊ {π = 0π = 1π = 2
valores de π para los que βπ΄β1
b) π = β1: π΄β1 = (
0 0 β1/22/3 1/3 β2/31/3 2/3 1/6
)
c) π = 0: A= (β2 2 β1 2 0 2 0 2 1
) ; |π΄| = 0 y el rango de π΄ vale 2 al ser |2 00 2
| = 4
El sistema equivalente es {2π₯ + 2π§ = 0 2π¦ + π§ = 0
cuya soluciΓ³n es π₯ = βπ‘ ; π¦ = βπ‘
2 ; π§ = π‘ βπ‘ β β
25. Un agricultor tiene repartidas sus 10 hectΓ‘reas de terreno en barbecho, cultivo de trigo y cultivo de cebada. La superficie dedicada al trigo ocupa 2 hectΓ‘reas mΓ‘s que la dedicada a la cebada, mientras que en barbecho tiene 6 hectΓ‘reas menos que la superficie total dedicada al cultivo de trigo y cebada. ΒΏCuΓ‘ntas hectΓ‘reas tiene dedicadas a cada uno de los cultivos y cuΓ‘ntas estΓ‘n en barbecho?. Selectividad: Madrid Junio 2008 OpciΓ³n A
SoluciΓ³n: Tiene que dedicar 2 hectΓ‘reas a barbecho, 5 hectΓ‘reas a trigo y 3 hectΓ‘reas a cebada.
26. Sean las matrices π΄ = ( 2 1β1 0 1 β2
) y π΅ = ( 3 1 0 2β1 0
)
a) CalcΓΊlese (π΄π‘π΅)β1 donde π΄π‘ denota la matriz traspuesta de π΄.
b) Resuelve la ecuaciΓ³n matricial π΄ Β· (π₯π¦) = (
0β1 5 )
Selectividad: Madrid Junio 2014 OpciΓ³n A
27. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones dependiente del parΓ‘metro real π:
{
π₯ + π¦ + ππ§ = 2 3π₯ + 4π¦ + 2π§ = π 2π₯ + 3π¦ β π§ = 1
a) DiscΓΊtase el sistema segΓΊn los diferentes valores de π. b) ResuΓ©lvase el sistema en el caso π = 1. Selectividad: Madrid Junio 2014 OpciΓ³n B
28. ConsidΓ©rese el siguiente sistema de ecuaciones dependiente del parΓ‘metro real π
{2π₯ β ππ¦ + π§ = βπ
4π₯ β 2ππ¦ + 2π§ = π β 3
a) DetermΓnense los valores del parΓ‘metro real π que hacen que el sistema sea incompatible. b) ResuΓ©lvase el sistema para π = 1. Selectividad: Madrid Septiembre 2014 OpciΓ³n A
12
29. Una empresa desea disponer de dinero en efectivo en euros, dΓ³lares y libras esterlinas. El valor total entre las tres monedas ha de ser igual a 264000 euros. Se quiere el valor del dinero en libras esterlinas sea la dΓ©cima parte del valor del dinero en euros y que el valor del dinero disponible en euros sea el doble del valor del dinero en dΓ³lares. Si se supone que una libra esterlina es igual a 1,5 euros y un dΓ³lar es igual a 1,1 euros, se pide determinar la cantidad de euros, dΓ³lares y libras esterlinas que la empresa ha de tener disponible.
SoluciΓ³n: 165000 ππ’πππ , 75000 πΓ³πππππ π¦ 11000 ππππππ 30. Un hipermercado inicia una campaΓ±a de ofertas. En la primera de ellas descuenta un 4% en un cierto
producto A, un 6% en el producto B y un 5% en el producto C. A las dos semanas pone en marcha la segunda oferta descontando un 8% sobre el precio inicial de A, un 10% sobre el precio inicial de B y un 6% sobre el precio inicial de C. Se sabe que si un cliente compra durante la primera oferta un producto A, dos B y tres C, se ahorra 16 euros respecto del precio inicial. Si compra tres productos A, uno B y cinco C en la segunda oferta, el ahorro es de 29 euros. Si compra un producto A, uno B y uno C, sin ningΓΊn tipo de descuento, debe abonar 135 euros. CalcΓΊlese el precio de cada producto antes de las ofertas. SoluciΓ³n: π΄: 25 β¬ ; π΅: 50 β¬ ; πΆ: 60 β¬