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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

CARRERA DE MATEMÁTICA Y FÍSICA

Incidencia del programa K-bruch en la enseñanza de operaciones con fracciones, con

los estudiantes de noveno año de educación general básica de la Unidad Educativa

“Emaús” de la ciudad de Quito durante el año lectivo 2016-2017

Proyecto Socio-Educativo como requisito parcial para optar por el grado de

Licenciatura en Ciencias de la Educación, Mención Matemática y Física

Plazarte Alomoto Flavio Paulino

C.C. 050321911-5

AUTOR

MSc. Edwin Vinicio Lozano

C.C: 100210849-4

TUTOR

Quito, 25 noviembre de 2016

ii

AUTORIZACIÓN DE LA AUTORÍA INTELECTUAL

Yo, Flavio Paulino Plazarte Alomoto, en calidad de autor del trabajo de investigación

realizado sobre “INCIDENCIA DEL PROGRAMA K-BRUCH EN LA ENSEÑANZA

DE OPERACIONES CON FRACCIONES, CON LOS ESTUDIANTES DE NOVENO

AÑO DE EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA DE LA UNIDAD EDUCATIVA

“EMAÚS” DE LA CIUDAD DE QUITO DURANTE EL AÑO LECTIVO 2016-2017

por la presente autorizo a la UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR, hacer uso de

todos los contenidos que me pertenecen o de parte de los que contienen esta obra, con fines

estrictamente académicos o de investigación.

Los derechos que como autor me corresponden, con excepción de la presente autorización,

seguirán vigentes a mi favor, de conformidad con lo establecido en los artículos 5, 6, 8; 19 y

demás pertinentes de la Ley de Propiedad Intelectual y su Reglamento.

Quito, a los 25 días del mes de noviembre de 2016

Plazarte Alomoto Flavio Paulino

C.C. 0503219115

Mail. [email protected]

iii

APROBACIÓN DEL TUTOR

En mi calidad de Tutor del Proyecto Socioeducativo, presentado por el Sr. Plazarte Alomoto

Flavio Paulino, para optar por el Titulo o Grado de Licenciatura en Ciencias de la Educación,

mención: Matemática y Física; cuyo Título es: INCIDENCIA DEL PROGRAMA K-

BRUCH EN LA ENSEÑANZA DE OPERACIONES CON FRACCIONES, CON LOS

ESTUDIANTES DE NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA DE LA

UNIDAD EDUCATIVA “EMAÚS” DE LA CIUDAD DE QUITO DURANTE EL AÑO

LECTIVO 2016-2017, considero que dicho trabajo reúne los requisitos y méritos suficientes

para ser sometidos a la presentación pública y evaluación por parte del tribunal examinador

que se designe.

En la ciudad de Quito, a los 25 días del mes de noviembre de 2016

MSc. Edwin Vinicio Lozano

C.C: 100210849-4

iv

APROBACIÓN DEL JURADO O TRIBUNAL

El Tribunal constituido por MSc. Paco Bastidas. MSc. Ximena Pinos y MSc. Verónica Maila.

Luego de receptar la presentación oral del trabajo de titulación previo a la obtención del título

(o grado académico) de Licenciado en Ciencias de la Educación, Mención Matemática y

Física, presentado por el (la) señor (a/ita) Flavio Paulino Plazarte Alomoto.

Con el título Incidencia del programa K-bruch en la enseñanza de operaciones con

fracciones, con los estudiantes de noveno año de educación general básica de la Unidad

Educativa “Emaús” de la ciudad de Quito durante el año lectivo 2016-2017.

Emite el siguiente veredicto: (aprobado/reprobado)……………………………………

Fecha:………………………………………

Para constancia de lo actuado firman:

Nombre Apellido Calificación Firma

Presidente MSc. Paco Bastidas ……………… ……………………..

Vocal 1 MSc. Ximena Pinos ………………. ……………………..

Vocal 2 MSc. Verónica Maila ………………. ……………………..

v

DEDICATORIA

El presente trabajo lo quiero dedicar con mucho cariño a mi madre que ha sido ejemplo de

amor, sacrificio y perseverancia; a mi padre que con su carácter ha sabido guiarme por el

camino del bien; a mis hermanos que han sido pilar fundamental y que nunca dejaron de

confiar en mis capacidades, a mi novia y en especial, éste trabajo lo dedico con infinito amor

a mi hijo que durante todo este tiempo se ha convertido en el motor que me impulsa a seguir

adelante.

vi

AGRADECIMIENTO

A Dios por darme la oportunidad de vivir y por estar junto a mí en cada paso que doy, a mi

familia que siempre está apoyándome, a mis maestros que marcaron cada instante de mi vida,

a mi Tutor MSc. Edwin Lozano y en especial a todas aquellas personas que han contribuido

en mi formación personal y profesional. A todos, GRACIAS.

vii

ÍNDICE DE CONTENIDOS

PORTADA ............................................................................................................................. i

AUTORIZACIÓN DE LA AUTORÍA INTELECTUAL ................................................ ii

APROBACIÓN DEL TUTOR ........................................................................................... iii

APROBACIÓN DEL JURADO O TRIBUNAL .............................................................. iv

DEDICATORIA ................................................................................................................... v

AGRADECIMIENTO ........................................................................................................ vi

ÍNDICE DE CONTENIDOS ............................................................................................. vii

LISTA DE TABLAS ........................................................................................................... ix

LISTA DE GRÁFICOS O FIGURAS ............................................................................... x

LISTA DE ANEXOS .......................................................................................................... xi

RESUMEN......................................................................................................................... xiii

ABSTRACT ....................................................................................................................... xiv

INTRODUCCIÓN ............................................................................................................... 1

CAPÍTULO I ........................................................................................................................ 3

1. EL PROBLEMA ...........................................................................................................3

1.1. Planteamiento del problema ............................................................................................... 3

1.2. Formulación del problema ................................................................................................ 11

1-3. Objetivos ............................................................................................................................ 12

Justificación ............................................................................................................................... 12

CAPÍTULO II .................................................................................................................... 14

2. MARCO TEÓRICO ...................................................................................................14

2.1. Antecedentes del problema ............................................................................................... 14

2.2. Fundamentación teórica .................................................................................................... 15

2.3. Definición de términos básicos .......................................................................................... 48

2.4. Fundamentación legal ........................................................................................................ 49

2.5. Caracterización de variables .............................................................................................. 51

CAPÍTULO III ................................................................................................................... 52

3. METODOLOGÍA .......................................................................................................52

3.1. Diseño de la investigación .................................................................................................. 52

3.1.1. Enfoque de la investigación ........................................................................................ 52

viii

3.1.2. Modalidad del trabajo de grado ................................................................................. 53

3.1.3. Nivel de profundidad de la investigación .................................................................... 53

3.1.4. Tipo de investigación .................................................................................................. 54

3.1.5. Pasos para el desarrollo de la investigación ............................................................... 54

3.2. Población y muestra ........................................................................................................... 55

3.2.1. Población ..................................................................................................................... 55

3.2.2. Muestra ....................................................................................................................... 55

3.3. Operacionalización de variables ........................................................................................ 56

3.4. Técnicas e instrumentos de recolección de datos ............................................................. 58

3.5. Validez y confiabilidad de los instrumentos de evaluación ............................................... 59

3.5.1. Validez ......................................................................................................................... 59

3.5.2. Confiabilidad ............................................................................................................... 60

CAPÍTULO IV ................................................................................................................... 72

4. ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS ........................................72

4.1. Análisis estadístico de los instrumentos aplicados a los estudiantes: ............................... 72

CAPÍTULO V..................................................................................................................... 90

5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ........................................................90

5.1. Conclusiones ...................................................................................................................... 90

5.2. Recomendaciones .............................................................................................................. 90

REFERENCIAS ................................................................................................................. 91

ANEXOS ............................................................................................................................. 95

ix

LISTA DE TABLAS

Tabla N° 1: Calificaciones periodo lectivo 2015 – 2016………………………………. 9

Tabla N° 2: Escala estimativa de calificaciones según la LOEI………………………… 46

Tabla N° 3: Población…………………………………………………………………... 55

Tabla N° 4: Operacionalización de las variables……………………………………….. 57

Tabla N° 5: Validez del texto base……………………………………………………... 59

Tabla N° 6: Validez de los instrumentos de evaluación …….………………………… 60

Tabla N° 7: Tabulación del instrumento de evaluación diagnóstica…………………….... 61

Tabla N° 8: Tabulación del instrumento de evaluación formativa 1……………………… 63

Tabla N° 9: Tabulación del instrumento de evaluación formativa 2………………………. 65

Tabla N° 10: Tabulación del instrumento de evaluación formativa 3…………………...... 67

Tabla N° 11: Tabulación del instrumento de evaluación sumativa……………………. 69

Tabla N° 12: Niveles de confiabilidad………………………………………………….. 71

Tabla N° 13: Interpretación de resultados……………………………………………… 71

Tabla N° 14: Resultados de la aplicación del instrumento diagnóstico del grupo

experimental………………………………………………………………………….. 73

Tabla N° 15: Resultados de la aplicación del instrumento diagnóstico del grupo

de control………………………………………………………..………………………. 73

Tabla N° 16: Resultados de la evaluación formativa 1 del grupo experimental……….. 76

Tabla N° 17: Resultados de la evaluación formativa 1 del grupo de control…………. 76


Tabla N° 19: Resultados de la evaluación formativa 2 del grupo de control………….. 79


Tabla N° 21: Resultados de la evaluación formativa 3 del grupo de control………….. 82

Tabla N° 22: Resultados de la evaluación sumativa del grupo experimental………….. 85

Tabla N° 23: Resultados de la evaluación sumativa del grupo de control…………….. 85

Tabla N° 24: Registro de evaluaciones del grupo experimental……………………….. 88

Tabla N° 25: Registro de evaluaciones del grupo de control………………………….. 88

x

LISTA DE GRÁFICOS O FIGURAS

Gráfico N° 1: Calificaciones periodo lectivo 2015 – 2016……………………………. 9

Gráfico N° 2: Modalidades de las estrategias magistral, grupal e individual……… 31

Gráfico N° 3: Modalidades de las técnicas escrita, verbal y audiovisual……………. 33

Gráfico N° 4: Vista inicio del programa……………………………………………. 37

Gráfico N° 5: Pantalla principal del ejercicio……………………………………… 37

Gráfico N° 6: Parte de las estadísticas………………………………………………. 38

Gráfico N° 7: Configuración de la apariencia de k-bruch………………………….. 39

Gráfico N° 8: Resolución de tareas, opción Aritmética…………………………….. 40

Gráfico N° 9: Comparación de dos fracciones………………………………………. 41

Gráfico N° 10: Conversión de un número entero o decimal a fracción…………….. 42

Gráfico N° 11: Conversión de Número mixto a fracción impropia………………… 43

Gráfico N° 12: Media aritmética de la evaluación diagnóstica……………………... 74

Gráfico N° 13: Media aritmética de la evaluación formativa 1…………………….. 78



Gráfico N° 16: Media aritmética de la evaluación sumativa……………………….. 87

Gráfico N° 17: Valore de Z teórica y Z calculada……………………………………… 89

xi

LISTA DE ANEXOS

ANEXO N° 1: Designación de tutor para la realización del proyecto ..................... 96

ANEXO N° 2: Autorización de la Rectora de la Unidad Educativa Emaús

de Fe y Alegría para la realización del proyecto ....................................................... 97

ANEXO N° 3: Validación del documento base por parte de la Lcda. Mayra

Lamiña, docente de matemática de la Unidad Educativa Emaús .............................. 98

ANEXO N° 4: Validación del documento base por parte del MSC. William

Carrera, docente de la Universidad Central, carrera de Matemática y Física ........... 99

ANEXO N° 5: Validación del documento base por parte del MSc. Milton

Coronel docente de la Universidad Central, carrera de Matemática y Física ......... 101

ANEXO N° 6: Validación de instrumentos de evaluación diagnóstica por

parte de la Lcda. Viviana Lamiña, docente de matemática de la Unidad

Educativa Emaús ..................................................................................................... 103

ANEXO N° 7: Validación de la evaluación formativa 1 por parte de la Lcda.

Viviana Lamiña, docente de matemática de la Unidad Educativa Emaús .............. 104





ANEXO N° 10: Validación de la evaluación sumativa por parte de la Lcda.


ANEXO N° 11: Validación de la evaluación diagnóstica por parte del MSc.

Milton Coronel, docente de matemática de la Universidad Central, carrera de

Matemática y Física ................................................................................................ 108

ANEXO N° 12: Validación de la prueba formativa 1 por parte del MSc. Milton

Coronel, docente de matemática de la Universidad Central, carrera de Matemática

y Física .................................................................................................................... 109


Coronel, docente de matemática de la Universidad Central, carrera de Matemática

y Física .................................................................................................................... 110


Coronel, docente de matemática de la Universidad Central, carrera de

Matemática y Física ................................................................................................ 111

ANEXO N° 15: Validación de la sumativa por parte del MSc. Milton Coronel,

docente de matemática de la Universidad Central, carrera de Matemática y

Física ....................................................................................................................... 112

xii

ANEXO N° 16: Validación prueba diagnóstica por parte del Lic. Henry

Quingatuña, docente de lengua y literatura de la Unidad Educativa Emaús........... 113

ANEXO N° 17: Validación de la prueba formativa 1 por parte del Lic. Henry






ANEXO N° 20: Validación de la prueba sumativa por parte del Lic. Henry


ANEXO N° 21: Nómina de estudiantes del grupo experimental ........................... 118

ANEXO N° 22: Nómina de estudiantes del grupo de control ................................ 119

ANEXO N° 23: Instrumentos de evaluación .......................................................... 120

ANEXO N° 24: Certificado de traducción del resumen ........................................ 135

ANEXO N° 25: Certificado de revisión ortográfica .............................................. 136

ANEXO N° 26: Diagrama UVE (V Heurística) ..................................................... 137

ANEXO N° 27: Fotografías del grupo experimental ............................................. 138

ANEXO N° 28: Fotografías del grupo de control .................................................. 142

ANEXO N° 29: Solicitud dirigido al colegio para la realización de la práctica .... 145

ANEXO N° 30: Constancia donde se realizó la investigación ............................... 146

ANEXO N° 31: Texto Base ....................................................................................... i

xiii

TEMA: INCIDENCIA DEL PROGRAMA K-BRUCH EN LA ENSEÑANZA DE

OPERACIONES CON FRACCIONES, CON LOS ESTUDIANTES DE NOVENO

AÑO DE EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA DE LA UNIDAD EDUCATIVA

“EMAÚS” DE LA CIUDAD DE QUITO DURANTE EL AÑO LECTIVO 2016-2017

Autor: Plazarte Alomoto Flavio Paulino

Tutor: MSc. Lozano Edwin Vinicio

RESUMEN

La presente investigación tiene por objetivo dar a conocer el beneficio que brinda al docente

de matemáticas la utilización de un programa educativo para impartir sus clases. Para ello se

utilizó una investigación cuasi-experimental y se determinó la incidencia del programa k-

bruch en la enseñanza de operaciones con fracciones con el noveno año de educación general

básica. Se trabajó con dos grupos; un experimental y uno de control, en el grupo

experimental se dieron clases utilizando el programa k-bruch, mientras que en el grupo de

control se dictaron clases de la forma tradicional. Esta investigación tiene un carácter

cuantitativo porque se utilizó la recolección de datos dando como resultado después de

realizar cálculos estadísticos el rechazo de la hipótesis de investigación y la aceptación de la

hipótesis nula. La modalidad de este proyecto es socio-educativo con un nivel de profundidad

exploratoria, descriptiva y correlacional.

PALABRAS CLAVES: MATEMÁTICAS, RENDIMIENTO ACADÉMICO,

CORRELACIONAL, K-BRUCH, CUASI-EXPERIMENTAL, HIPÓTESIS DE

INVESTIGACIÓN, HIPÓTESIS NULA, SOCIOEDUCATIVO.

xiv

THEME: INCIDENCE OF THE K-BRUCH PROGRAM IN THE TEACHING OF

OPERATIONS WITH FRACTIONS WITH THE NINE-YEAR STUDENTS OF

BASIC GENERAL EDUCATION OF THE "EMAÚS" EDUCATIONAL UNIT OF

THE CITY OF QUITO DURING THE YEAR 2016-2017

Author: Plazarte Alomoto Flavio Paulino

Advisor: MSc. Edwin Lozano

ABSTRACT

The present research aims to make known the profit that gives the teacher of mathematics the

use of an educational program to teach their classes. For this, a quasi-experimental

investigation was used and the insidence of the k-bruch program was determined in the

education of operations with fractions with the ninth year of basic general education. We

worked with two groups, one experimental and one control, in the experimental group classes

were given using the k-bruch program, while in the control group classes were given in a

traditional way. This research has a quantitative character because the data collection was

used resulting in statistical calculations, the rejection of the research hypothesis and the

acceptance of the null hypothesis. The modality of this project is socio-educational with an

exploratory depth, descriptive and correlational.

DESCRIPTORS: MATHEMATICS, ACADEMIC PERFORMANCE, CORRELATION,

K-BRUCH, QUASI-EXPERIMENTAL, RESEARCH HYPOTHESIS, NULL

HYPOTHESIS, SOCIOEDUCATIVE.

(Traducido por: Raúl Isaías Caza Pantusina

C. I: 1706488556. Registro 1005-06-69046

1

INTRODUCCIÓN

En mi corta experiencia como docente he podido observar que una de las mayores

dificultades que presentan los estudiantes en las instituciones educativas del país es en la

asignatura de matemática, lo cual afecta al rendimiento académico, esto se debe a que los

docentes utilizan estrategias tradicionales en el proceso de enseñanza, generando de ésta

manera rechazo por parte de los estudiantes hacia la asignatura.

La presente investigación se realizó en la unidad educativa “Emaús” de Fe y Alegría con los

estudiantes de noveno año de educación general básica. La institución se encuentra ubicada al

sur de la ciudad de Quito, sector Pío XII, en las calles Juan Vizuete 56 – 515 y Cajiao.

Con la presente investigación se invita a que los docentes utilicen las TICs en la enseñanza de

operaciones con fracciones para de este modo lograr en los educandos un aprendizaje

significativo en la que todos y cada uno de ellos sean partícipes de su propio conocimiento,

para lo cual se realizó un texto base referente a operaciones con fracciones, el mismo que se

aplicó a dos grupos de estudiantes, uno experimental y el otro de control.

El trabajo de grado consta de cinco capítulos en los que se hace referencia:

Capítulo I, consta del planteamiento del problema, análisis externo, análisis crítico o interno,

análisis a futuro o prognosis, formulación del problema,, objetivo general, objetivos

específicos y justificación.

Capítulo II, consta de la fundamentación teórica que tiene relación con el problema de

estudio; es decir conceptos, leyes, definiciones, teorías y otros que se pueden incluir,

caracterización de variables, además en este capítulo se encuentra la fundamentación legal,

misma que ampara la realización de esta investigación.

Capítulo III, consta de la metodología, el diseño de la investigación, el tipo de investigación,

en este capítulo además se define la población, muestra, contiene la matriz de

operacionalización de variables, la validez y la confiabilidad de los instrumentos de

evaluación utilizados durante la investigación.

Capítulo IV, consta de la tabulación e interpretación de los resultados obtenidos a través de

los instrumentos de evaluación aplicada a los estudiantes durante la investigación, además

2

analiza las hipótesis mediante la prueba general para realizar la toma de decisiones

estadísticas.

Capítulo V, consta de las conclusiones y recomendaciones basadas en la interpretación de

resultados.

Se adjunta además las referencias bibliográficas y netgrafía así como los anexos.

3

CAPÍTULO I

1. EL PROBLEMA

1.1. Planteamiento del problema

Análisis externo o contextualización histórico-social

En las instituciones educativas del país se puede evidenciar la poca utilización de recursos

tecnológicos en la enseñanza de la matemática por parte del docente. Esto hace que la

educación continúe siendo tradicionalista y que no esté acorde con el avance de la ciencia y

tecnología. No sucede así con los estudiantes, ya que según un estudio realizado por el INEC

(Instituto Nacional de Estadísticas y Censo), de 2012 a 2015 se registra un incremento de

10,9 puntos en el equipamiento de computadoras portátiles en los hogares, alcanzando el

24,8% de hogares que la disponen; mientras que en las computadoras de escritorio se registra

un incremento de 1,3 puntos porcentuales, alcanzando así el 27,7% de hogares que disponen

de un computador de escritorio. En cuanto a la tecnología celular, el 89,5% de los hogares

dispone de al menos un teléfono celular. Esto quiere decir que en la sociedad en la que nos

desenvolvemos se han instalado las tecnologías de la información y comunicación y que

tanto adultos como niños convivimos con ellas.

La educación debe ser el medio por el cual se alcancen actitudes, comportamientos y

propósitos de la sociedad, de una sociedad globalizada, llamada sociedad de la información y

comunicación; es en este campo que la educación y los modelos de aprendizaje deben ser

coherentes con las prácticas y filosofías de la misma.

En la actualidad, si un docente aplica una educación tradicionalista en su aula de clase,

generalmente conllevaría a formar individuos utilizando métodos y medios que no son

coherentes con las necesidades del mundo actual. Se hace indispensable contar con personas

hábiles para el traspaso y análisis de información, razón por la cual, considero es necesario

hacer un cambio en el modelo de educación que estamos empleando en nuestras aulas.

A criterio personal, cambiar el modelo de educación implicaría un cambio en materia de

formación docente. Por tanto, es necesario que en las universidades del país, la formación de

profesores contemple la inclusión de las tecnologías de la información y comunicación, solo

4

así la sociedad se verá fortalecida con docentes actualizados, emprendedores e innovadores

en el campo de la educación.

La Unidad Educativa “Emaús” de Fe y Alegría no es ajena a esta problemática, ya que en el

periodo lectivo 2015-2016, debido a que los docentes de matemática no utilizaban recursos

tecnológicos, se incrementó un horario para utilizar el laboratorio de computación para

enseñar matemática mediante el empleo de las TICs, el cual no fue utilizado.

Si no se soluciona esta problemática, los estudiantes de la Unidad Educativa “Emaús” de Fe y

Alegría seguirán educándose bajo métodos e instrumentos tradicionalistas, alejados de las

necesidades e intereses de la sociedad del conocimiento.

Necesidades de la educación contemporánea

Desde los inicios de nuestros tiempos se puede decir que ya existía educación, basada en

acciones y reacciones de la rudimentaria vida social, pese a que los pueblos primitivos de esa

época carecían de maestros, de escuelas y de doctrinas pedagógicas; la importancia de esta

historia educativa para cualquier educador es que permite el conocimiento del pasado de la

humanidad. En sociedades civilizadas contemporáneas se encuentran educadores,

instituciones educativas y teorías pedagógicas, es decir hallamos una acción planeada,

consiente y sistemática.

Para Sautel, S. (2006), “Abordar la problemática educativa contemporánea supone

intertextualizar datos y problemas del espacio social de nuestro tiempo con aportes teóricos

provenientes del campo de las ciencias humanas”.

A criterio de la autora, los cambios que se pueden dar en la educación actual siempre tendrán

como punto de partida el medio que nos rodea tomando en cuenta que el conocimiento en el

siglo XXI va de la mano de la práctica y la tecnología.

Según Plaza (2006), “La educación es el proceso de preparar al hombre para la vida,

desarrollándose sus capacidades, que le permitan enfrentarse positivamente en el medio en el

que se desenvuelve e integrarse a él, considerando a la educación como un medio de

socialización”.

De acuerdo a la definición del autor la sociedad es una influencia directa o indirecta en la

educación de cada persona, y, que depende de cada individuo para que la misma se vea

5

reflejada de forma positiva o negativa; de una u otra forma la educación es un proceso

gradual y sistemático que permite mejorar el nivel de vida de una persona dentro de la

sociedad y en la que el educador se convierte en una guía orientadora para el educando.

Batalloso (2006) en su obra, La educación como responsabilidad social, menciona “La

educación es un fenómeno complejo que está inmerso en prácticas personales, sociales,

culturales e históricas muy amplias. Todo acto educativo estará influenciado por dichas

prácticas, en consecuencia, la educación necesitará de un razonamiento cualitativo diferente

con el fin de evitar las deformaciones y obstáculos que impiden el desarrollo pleno de la

persona”.

Según el autor, la educación está presente en cada una de las actividades que realicen las

personas, mismas que influenciaran en su formación. Al mismo tiempo deduce que todas las

personas estamos capacitados para recibir y perfeccionar virtudes a lo largo de nuestras vidas;

es de vital importancia que los educadores impartan valores y hábitos adecuados con el fin de

lograr una buena inserción de sus educandos en la sociedad así como su desarrollo pleno.

Necesidades de la formación de docentes

Para lograr un rendimiento efectivo en los estudiantes es necesario la adecuada formación de

un docente, de su compromiso y de lo que pretenda lograr en sus educandos, de la forma

como apoya los procesos de aprendizaje individuales. En la actualidad un docente debe ser

competitivo y poseer conocimientos que enfrenten la realidad de la sociedad, no solo en el

campo científico sino también tecnológico y ser además un excelente motivador. Mucho se

dice que hoy en día un docente es simplemente un guía y que los estudiantes son los

verdaderos protagonistas de su propio aprendizaje.

Cuadrado (2010) en su artículo “Los docentes en la actualidad” menciona que los docentes

deben cumplir varias funciones que son:

1. El docente tendría que conocer a su alumnado y establecer el diagnóstico de sus

necesidades, es decir, conocerán las características individuales y grupales de los

estudiantes donde se desarrolla su docencia.

2. Los docentes tendrán que preparar sus clases; es decir organizar y gestionar situaciones

de aprendizaje y planificar clases tomando en cuenta las necesidades de los estudiantes y

el currículo:

6

a. El docente tendrá que diseñar estrategias de enseñanza y aprendizaje para que los

estudiantes logren un aprendizaje autónomo y que, a la vez, logre motivación en ellos.

b. Los docentes tienen que aprovechar los recursos y aplicaciones didácticas, incluidas

las TICs. al momento de planificar sus clases.

3. Los docentes tienen que buscar y preparar materiales que motiven a sus estudiantes, para

de esta manera, mantener el interés y desarrollar las actividades de la asignatura.

4. La docencia debe estar centrada en los educandos, considerando la diversidad, por lo

tanto, los docentes deben:

a. Mantener el orden y la disciplina durante las clases.

b. Informar a los estudiantes los objetivos, contenidos y las actividades a realizarse en la

asignatura.

c. Proporcionar fuentes de información.

d. Fomentar la participación de los estudiantes en todas las actividades.

e. Fomentar la colaboración y el trabajo en equipo, desarrollando así, las habilidades

expresivas y comunicativas entre los estudiantes.

5. Colaborar con la gestión de los centros.

6. Mantener buenas relaciones de trabajo tanto con sus colegas como con los estudiantes.

7. Estar en contacto con los familiares y animarles a participar en la vida del centro

educativo.

8. Dominar la materia y actualizar los conocimientos.

9. Proporcionar a los estudiantes una atención frecuente.

Se puede concluir que un docente debe ser creativo y buscar los medios más adecuados para

llegar de manera positiva a cada uno de sus estudiantes y lograr de esta manera un proceso de

enseñanza-aprendizaje efectivo.

En este proceso, la familia juega un papel muy importante, ya que es en los hogares en donde

se enseñan buenos hábitos y sobre todo valores que le permiten a un estudiante enfrentarse a

la sociedad.

Según el autor antes mencionado, un docente debe cumplir, además, con algunas

competencias básicas que se contemplan en cuatro dimensiones fundamentales que son:

1. Conocimiento de la materia que se va a impartir y de la cultura de la nueva sociedad del

conocimiento.

7

2. Competencias pedagógicas como tutorías, técnicas de investigación-acción, habilidades

didácticas, conocimientos psicológicos y sociales. Los docentes deben actuar de manera

eficiente, reaccionando con rapidez ante los problemas que se puede ocasionar.

3. Habilidades instrumentales y conocimiento de nuevos lenguajes: Los docentes deben

tener una cierta formación en las TIC para poder utilizarlas en las clases con los

estudiantes.

4. Características personales: Todo mundo no sirve para ser docente, ya que se necesita

madurez, seguridad, autoestima e imaginación.

Necesidades en la enseñanza de Matemática

En la actualidad es de vital importancia contar con profesores especialistas en el área, que no

exista una excesiva movilidad de los mismos, ya que esto impide seguir una misma línea

metodológica; que los profesores no se agobien por terminar los programas y contenidos, sino

que, por el contrario, interioricen conceptos y procedimientos en cada uno de los estudiantes.

Por otra parte la formación docente debe ser adecuada para el uso de metodologías y

materiales TIC.

Godino, Batanero y Font (2003) señalan que cuando el docente tiene en cuenta el tipo de

Matemática que quiere enseñar y la forma de llevar a cabo esta enseñanza, debe reflexionar

sobre las necesidades de aprendizaje del estudiante, y menciona las siguientes:

1. Que los estudiantes lleguen a comprender y a apreciar el papel de la matemática en la

sociedad, incluyendo sus diferentes campos de aplicación y el modo que la Matemática ha

contribuido a su desarrollo.

2. Que los estudiantes lleguen a comprender y a valorar el método matemático, esto es, la

clase de preguntas que un uso inteligente de la Matemática permite responder, las formas

básicas de razonamiento y del trabajo matemático, así como su potencia y limitaciones.

3. Que los estudiantes desarrollen el razonamiento matemático, más que los procedimientos

de memorización.

4. Que los estudiantes formulen conjeturas, invención y la resolución de problemas,

descartando el énfasis en la búsqueda mecánica de respuestas.

8

De acuerdo con el autor, los estudiantes deben estar preparados no solo para resolver

problemas cuya respuesta ya la conocemos, sino también, para resolver problemas de la vida

cotidiana, en donde aplicará todos sus conocimientos y habilidades matemáticas.

Análisis crítico

La Unidad Educativa “EMAÚS” de Fe y Alegría se creó en el año de 1965, la institución se

encuentra ubicada al sur de la ciudad de Quito, sector Pio XII, en las calles Juan Vizuete 56 –

515 y Cajiao, es de tipo fiscomisional y labora en la jornada matutina, la básica superior y el

bachillerato disponen de un total de tres profesores en el área de Matemática y Física; en

noveno año de E.G.B existen tres paralelos A, B y C, los cuales constan de 31, 29 y 30

estudiantes respectivamente.

Durante el tiempo compartido en la Institución he podido observar que uno de los mayores

problemas que presentan los estudiantes es en la asignatura de Matemática, las posibles

causas pueden ser: falta de profesores especializados en el área, ya que en años anteriores han

existido varios cambios de docentes en un solo período o se han cubierto estas vacantes con

personal no especializado en docencia; la realidad socio-económica del sector y la poca

capacitación docente en métodos de enseñanza, ya que por ejemplo no se utilizan las TIC.

Se realizó un análisis con el promedio de matemática obtenido en el periodo lectivo 2015 –

2016, obteniendo los siguientes resultados:

9

TABLA N° 1: Calificaciones periodo lectivo 2015 – 2016

Periodo 2016-2016

N° de estudiantes

Estudiantes 8 “B” Estudiantes 8 “C”

32 34

Estudiantes con calificaciones ≤4

0

1

Estudiantes con calificaciones de 5 - 6

7

7


16

15


7

7

Estudiantes que aprobaron

30

30

Estudiantes que reprobaron

1

3

Estudiantes que desertaron

1

1

Fuente: Secretaría de la Institución

Elaborado por: Plazarte A. Flavio P.

Gráfico N° 1: Calificaciones periodo lectivo 2015 – 2016


Elaborado por: Plazarte A. Flavio P. (Investigador)

10

Se puede observar que en el periodo lectivo 2015 – 2016 la mayoría de los estudiantes tiene

una calificación comprendida entre 7 y 8 puntos en los paralelos B y C de octavo año de

Educación General Básica; dichos resultados, según la escala estimativa de la LOEI significa

que los estudiantes alcanzan los aprendizajes requeridos. Se puede observar que entre los dos

paralelos cuatro estudiantes reprobaron el año escolar, esto significa en porcentajes el 6,25%.

El promedio general de octavo año paralelo B es de 7,23/10 y el promedio general de octavo

año paralelo C es de 7,12/10.

Prognosis

De lo expuesto anteriormente se puede deducir que la Matemática es una de las asignaturas

más importantes, ya que está presente en todos los aspectos de nuestra vida cotidiana; en la

actualidad son la forma más útil e importante de caminar hacia un mejor futuro debido a que

vivimos una generación que todos los días avanza en cuanto a ciencia y tecnología y la

Matemática es parte fundamental de las mismas.

En educación la Matemática es importante porque tiene una serie de beneficios tales como

favorecer el desarrollo del razonamiento y el pensamiento analítico, desarrolla la habilidad de

investigar, la capacidad de pensar y fomenta la sabiduría; por todo esto es necesario

incorporar nuevas actividades en el proceso de enseñanza-aprendizaje de modo que beneficie

la comprensión de los estudiantes y se obtenga un mejor rendimiento académico por parte de

los mismos. Además es indispensable el uso de las TIC durante el proceso.

(Sunkel, 2006) En su documento: Las TIC en la educación en América Latina menciona “La

incorporación de las TIC a la educación es un proceso altamente dificultoso, pues supone el

injerto de un modelo (con sus conceptos, discursos y prácticas) originado en el exterior de los

sistemas de enseñanza”.

Se puede decir que el uso de las Tic en los centros educativos se vuelve dificultoso debido a

que los docentes no tuvieron una adecuada formación durante su vida universitaria, es decir

aprendieron con modelos tradicionales, esto se ve reflejado en la mayoría de los casos ya que

como profesionales no se han capacitado en el uso de las tecnologías en la información y

comunicación, por tanto no la aplican con sus estudiantes o se las torna tedioso.

Carneiro (2008), en su obra Los desafíos de las TIC para el cambio educativo menciona

“Enfrentar el desafío de integrar las tecnologías de la información en las instituciones

11

educativas requiere como paso previo acordar el objetivo que se espera lograr y la forma y el

momento como éste será evaluado”.

Según el autor, parte del problema es definir claramente los propósitos que se persiguen con

la introducción de recursos digitales en los centros educativos, no se trata solo de aquello,

sino también de la debida preparación y actualización docente en el manejo de las TIC; no es

suficiente contar con centros educativos previstos con laboratorios de computación u otras

tecnologías si no se cuenta con el personal capacitado.

1.2. Formulación del problema

El rendimiento académico en la asignatura de Matemática de los estudiantes de noveno año

de educación general básica de la Unidad Educativa “Emaús” de Fe y Alegría es bajo, en

parte debido a que la mayoría de los docentes utilizan métodos tradicionales en el proceso de

enseñanza, es decir no se toma en cuenta que los estudiantes de hoy en día viven en una era

digital en la que se hace indispensable el uso y manejo de las tecnologías de la información y

comunicación TIC.

Con lo señalado anteriormente se da a conocer el siguiente problema de investigación:

¿Cómo influye el uso del programa k-bruch en la enseñanza de operaciones con fracciones

con los estudiantes de noveno año de educación general básica de la Unidad Educativa

“Emaús” de la ciudad de Quito durante el año lectivo 2016-2017?

Al aplicar un programa informático se logra un mejor proceso de enseñanza- aprendizaje ya

que se capta de mejor manera la atención de los estudiantes, siempre y cuando exista la

disponibilidad de los mismos.

Hipótesis general

Hi: El uso del programa educativo k-bruch incide significativamente en el proceso de

enseñanza de operaciones con fracciones en los estudiantes de noveno año de educación

general básica del grupo experimental con respecto al grupo de control.

12

Ho: El uso del programa educativo k-bruch no incide significativamente en la enseñanza de

operaciones con fracciones en los estudiantes de noveno año de educación general básica del

grupo experimental con respecto al grupo de control.

1-3. Objetivos

Objetivo general

Determinar la influencia del uso del programa k-bruch en la enseñanza de operaciones con

fracciones, en los estudiantes de noveno año de educación general básica de la Unidad

Educativa “EMAÚS” de Fe y Alegría, de la ciudad de Quito durante el periodo lectivo 2016-

2017.

Objetivos específicos

1. Elaborar un documento base relacionado con la solución de operaciones con fracciones

para estudiantes de noveno año de educación general básica.

2. Aplicar el programa k-bruch en la enseñanza de operaciones con fracciones.

3. Diseñar instrumentos de recolección de información, análisis e interpretación de

resultados.

4. Determinar a través de parámetros estadísticos la influencia del uso del programa k-bruch

en la enseñanza de operaciones con fracciones.

Justificación

Uno de los fines de la educación es proporcionar a hombres y mujeres un mínimo de

habilidades que necesitan y que les asegure una capacitación laboral que les permita

abastecer sus necesidades; despertar interés y gusto por el conocimiento; hacerlos capaces de

criticar; ponerlos en contacto con las realizaciones culturales y morales de la humanidad y

enseñarles a apreciarlas.

En la actualidad los estudiantes utilizan en gran medida la tecnología, razón por la cual

considero que para enseñar Matemática es necesaria la utilización de programas que llamen y

motiven su atención; en el currículo debe existir métodos que incorpore el uso de las TIC en

los centros educativos.

13

Para (Real Pérez, 2013), Las TIC pueden llegar a jugar un papel muy importante en el

proceso de enseñanza y aprendizaje de la Matemática, pero si se utilizan correctamente. Es

más si su uso no es el adecuado, pueden llegar a trazar un camino tortuoso pasando de ser una

potente herramienta a una barrera que impide el proceso.

El presente trabajo propone soluciones para problemas presentes en el proceso de enseñanza

de la matemática tales como repetición de metodologías tradicionales por periodos largos de

tiempo, poca participación de los estudiantes en el proceso de enseñanza-aprendizaje, falta de

elementos motivacionales hacia los estudiantes, la poca comprensión de los conocimientos y

la falta de procesos analíticos para resolver problemas.

El presente proyecto es de interés no solo para los estudiantes, sino también para docentes y

autoridades al ser novedoso y un aporte práctico que contribuirá a la inclusión de recursos

TIC, mismos que facilitan el aprendizaje y aportan directamente con la mejora del

rendimiento académico de los estudiantes en la asignatura de matemática. El programa k-

bruch es una herramienta indispensable para la comprensión y aprendizaje de operaciones

con fracciones ya que pone en práctica capacidades y destrezas de los estudiantes tales como

concentración, cooperación, dinamismo y resolución de problemas.

14

CAPÍTULO II

2. MARCO TEÓRICO

2.1. Antecedentes del problema

En la actualidad se puede evidenciar que ya no sirve la escuela ni los modelos pedagógicos de

hace cien años. El avance de la ciencia y tecnología ha dado pie a una futura sociedad que

demanda individuos creativos, emprendedores, críticos, autónomos, con altos dotes sociales y

competentes en las TIC, es por esta razón que se hace indispensable el uso de medios

tecnológicos para la enseñanza de Matemática.

Molero, M (1998) en su trabajo titulado LOS MEDIOS TECNOLÓGICOS Y LA

ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA, recuperado de http://www2.caminos.upm.es.

Menciona que:

La introducción de las nuevas tecnologías en la educación está imponiendo una reforma del

currículo tanto en contenidos como en lo que se refiere a los cambios metodológicos y

didácticos que hay que realizar para encontrar el lugar apropiado de los medios informáticos

en el proceso de aprendizaje.

Además aduce que existen muchos factores metodológicos favorables a utilizar medios

tecnológicos en la clase de matemáticas como los siguientes:

Facilita la adquisición de conceptos: Utilizar el computador como instrumento para

adquirir conceptos o profundizar en ellos, permite detectar esquemas no suficientemente

precisos y transformarlos en otros más adecuados.

Permite el tratamiento de la diversidad: Ayuda a crear un ambiente de trabajo grato y

estimulante que respeta las peculiaridades y el ritmo de aprendizaje del estudiante.

Fomenta el trabajo en grupo: El trabajo en el computador se puede realizar en grupo,

permitiendo a los estudiantes explicar sus ideas, estableciendo la comunicación y el

enriquecimiento de pensamientos.

Valora positivamente el error: Pone en manifiesto los errores de los estudiantes, adquiere

una dimensión positiva y es una condición necesaria para superarlos.

Capacidad para representar gráficamente la información: Simular información gráfica y

numérica es un apoyo indiscutible para el estudio de funciones o estadística.

15

Es un elemento motivador: En la actualidad es el medio habitual del estudiante en su vida

cotidiana. (Págs. 126 y 127).

Caraballo y González (2009), en su trabajo, Herramientas para la enseñanza y el

aprendizaje. Software libre, mencionan: La incorporación de tecnología informática a la

enseñanza de la Matemática cubre la necesidad de poner a disposición de docentes y

estudiantes nuevas herramientas que faciliten la enseñanza y el aprendizaje de conceptos y

contenidos. Ayuda a resolver problemas y lo que es más importante contribuye a desarrollar

nuevas capacidades cognitivas.

Menciona además que de acuerdo con Azinian (1998) algunas de las posibilidades que brinda

la utilización de este tipo de aplicaciones esta relacionadas con la:

Interactividad e inmediatez: Brinda la posibilidad de producir modificaciones, dar

respuestas y requerir acciones, con inmediatez y fluidez; permite, entre otras cosas, la

exploración dinámica de representaciones y el control de una secuencia de acciones.

Capacidad de almacenamiento y recuperación de información: Esta capacidad,

combinada con la citada en primer término, facilita la visualización del proceso dinámico

de obtención de un producto después de una serie de transformaciones. Así el estudiante

puede revisar su estrategia de construcción y hacer consciente su proceso de pensamiento,

desarrollando estrategias meta cognitivas (aprendizaje significativo).

Múltiples formas de representación en un mismo medio: textual, gráfica, tabular, auditiva,

icónica y espacial. Dado que los conceptos se materializan mediante una representación y

el aprendizaje de un concepto está asociado al desarrollo de la capacidad de traducir de

uno a otro tipo de representación.

Los autores mencionan además que la exploración visual permite al alumno “lograr una

comprensión intuitiva de los conceptos, proveyendo un fundamento cognitivo sobre el cual

pueden construirse teorías matemáticas significativas”.

2.2. Fundamentación teórica

Paradigma

Gimeno (1981) define: “El paradigma es una representación de la realidad que supone un

alejamiento o distanciamiento de la misma. Es representación conceptual, simbólica y por

16

tanto indirecta, que al ser necesariamente esquemática se convierte en una representación

parcial y selectiva de aspectos de esa realidad, focalizando la atención en lo que se considera

importante y despreciando aquello que no lo es y aquello que no aprecia como pertinente a la

realidad que considera”.

De acuerdo al autor paradigma es un conjunto de creencias, supuestos e ideas sujetas a

teorías, por medio de las cuales percibimos y operamos nuestra realidad.

Para Briones (1999) paradigma es “Una concepción del objeto de estudio de una ciencia, de

los problemas generales a estudiar, de la naturaleza de sus métodos y técnicas, de la

información requerida, y finalmente, de la naturaleza de explicar, interpretar o comprender

según el caso los resultados de la investigación realizada”.

Según Latorre (1996) paradigma es “Un sistema de creencias y actitudes, compartido por un

grupo de científicos, que fundamenta los supuestos epistemológicos y metodológicos de la

investigación”.

Por lo anteriormente citado se puede decir que paradigma es un conjunto de prácticas que

definen una disciplina científica pero que a la vez, tiene relación con las experiencias,

creencias y valores que conforman la imagen de una sociedad o de las personas que la

conforman.

Tipos de paradigmas

Paradigma conductista

El paradigma conductista se fundamenta en el empirismo, en el que se puede lograr un

conocimiento mediante las sensaciones, ideas y asociaciones entre el sujeto y el objeto.

Hernández (2010), menciona que:

El conductismo operante de Skinner, aduce que el profesor es considerado como una persona

dotada de competencias aprendidas, que transmite conforme a una planificación realizada en

función de objetivos específicos.

El alumno es considerado como un receptor de las informaciones, su misión es aprender lo

que se le enseña, menciona además que el aprendizaje en el paradigma conductista constituye

un cambio en la conducta.

17

En el paradigma conductista las estrategias y técnicas de aprendizaje son aquellos

condicionamientos (clásico, condicionado, operante y semántico) aplicados a los estudiantes

para lograr un aprendizaje. Se dice que estos condicionamientos son esquemas de instrucción

que se basan en determinar y describir en términos claros y precisos los objetivos que se

desean lograr con la enseñanza.

La evaluación en el paradigma conductista se centra en el producto, es decir, en las

ejecuciones mecánicas de las acciones repetitivas sin dar cabida a la reflexión sobre la

conducta ejecutada, las cuales deben ser medibles y cuantificables, y, el criterio de

comparación a utilizar para su valoración son los objetivos establecidos.

Ertmer y Newby (1993) mencionan que “El profesor debe organizar condiciones ambientales

de tal forma que los estudiantes puedan dar las respuestas correctas en la presencia de los

estímulos correspondientes y recibir refuerzos por las respuestas correspondientes”.

Para el enfoque conductista de Román y Diez (1989), “El aprendizaje es la manifestación

externa de una conducta sin importar los procesos internos que se dan en la mente del sujeto,

objeto del mismo”.

Castro (1999), indica: “Una evaluación basada en criterios conductistas se orienta hacia la

evaluación de los productos y no de los procesos de aprendizaje. Evaluación por objetivos

expresados en función de conducta esperada. Evaluación externalista, destaca la importancia

de la retroalimentación. Cuantificación de las conductas, la atención centrada en las

conductas de tipo cognoscitivo y psicomotriz. Evaluación de conductas y posibilidad de

respuesta, precisión de indicadores. Valoración de los cambios en el alumno como resultado

de aprendizaje”.

De lo anteriormente citado se podría decir que, el paradigma conductista defiende el uso de

procedimientos experimentales para estudiar la conducta de un individuo y que considera

además el entorno como un conjunto de estímulos y respuesta.

Paradigma cognitivo

Para Hernández (2010), “El paradigma cognitivo está enfocado principalmente a cuestiones

del pensamiento, solución de problemas y el procesamiento de la información”.

Según el autor se considera al profesor parte de un alumno activo que aprende

significativamente, que puede aprender a aprender.

18

El estudiante es un sujeto activo procesador de información, que posee competencia cognitiva

para aprender y solucionar problemas.

La enseñanza es un proceso sociocultural, mediante el cual, una generación transmite saberes

y contenidos valorados culturalmente, que se expresan los distintos currículos tanto los

niveles básicos como en los superiores, dichos contenidos serán aprendidos por los alumnos

de manera significativa.

Los cognitivistas mencionan que todas las estrategias descritas pueden utilizarse

simultáneamente e incluso se pueden hacer combinaciones a criterio del profesor.

La evaluación son los valores de los procesos mentales que desarrollan los alumnos durante

el proceso de aprendizaje y los resultados de los mismos.

Paradigma Histórico Social

Formulado por el psicólogo de origen ruso Lev Vigotsky, se fundamente en que la historia y

la cultura juegan un papel determinante en la explicación del seguimiento y desarrollo de las

funciones psicológicas superiores. Resalta la forma de expresión vial externa que los

procesos psicológicos tienen antes de ser internos o individuales. El lenguaje como

instrumento cultural se integra a la psiquis individual.

Según Hernández (2010), las características de éste paradigma son las siguientes:

El profesor debe intentar en su enseñanza la creación y construcción conjunta de zonas de

desarrollo próximo de los alumnos por medio de las estructuras de sistemas de andamiaje

flexibles y estratégicos.

El alumno debe ser entendido como un ser social, producto y protagonista de las

múltiples interacciones sociales en las que se involucran a lo largo de su vida social y

extracurricular.

El creador de este paradigma, Vigotsky (1920), menciona “El individuo aunque importante,

no es la única variable en el aprendizaje. Su historia personal, su clase social y

consecuentemente sus oportunidades sociales, su época histórica y las herramientas que tenga

a su disposición son variables que no solo apoyan al aprendizaje sino que son parte integral

de él”.

19

Ausubel (1976), señala “El aprendizaje se dará de manera progresiva dentro del campo

sociocultural del desarrollo cognoscitivo, alternando los factores genéticos, culturales habla-

social, habla-egocéntrica, habla-interior”.

Paradigma constructivista

El paradigma constructivista está relacionado al desarrollo cognitivo y tiene sus raíces

inmediatas en la teoría de Piaget sobre el desarrollo de la inteligencia, denominada

epistemología genética, en donde la génesis del conocimiento es el resultado de un proceso

dialéctico de asimilación, acomodación, conflicto y equilibración. Asume que el

conocimiento es una construcción mental resultado de la actividad cognoscitiva del sujeto

que aprende.

El modelo constructivista concibe la enseñanza como una actividad crítica y al docente como

un profesional autónomo que investiga reflexionando sobre su práctica. Concibe que aprender

es arriesgarse a cometer errores, ya que los mismos, cometidos en situaciones didácticas

deben considerarse como momentos creativos.

Según este paradigma aprendemos construyendo nuestra propia estructura cognitiva, es decir

la enseñanza no es una simple transmisión de conocimientos, sino la organización de métodos

de apoyo que permiten a los alumnos construir su propio saber.

Modelo educativo

Los modelos educativos son, una representación arquetípica o ejemplar del proceso de

enseñanza –aprendizaje, en la que se exhibe la distribución de funciones y la secuencia de

operaciones en la forma ideal que resulta de las experiencias recogidas al ejecutar una teoría

del aprendizaje. (Castro, C. s.f).

Tunnermann, C. (2008), menciona que “El modelo educativo es la concreción, en términos

pedagógicos, de los paradigmas educativos que una institución profesa y que sirve de

referencia para todas las funciones que cumple (docencia, investigación, etc.) a fin de hacer

realidad su proyecto educativo”.

Por lo citado anteriormente se podría decir que modelo educativo es un patrón de conceptos

que permite esquematizar las partes y los elementos de un programa de estudio, que varían de

acuerdo a un periodo y que dependen del contexto social.

20

Para Zubiría (2006), los modelos pedagógicos se clasifican en cuatro grupos:

1. Modelo pedagógico heteroestrcturante.

2. Modelo pedagógico autoestructurante de la escuela activa.

3. Modelo pedagógico autoestructurante y los enfoques constructivistas.

4. Modelo pedagógico dialogante.

Modelo pedagógico heteroestructurante

Propuesto por el investigador francés Louis Not (1983), éste modelo fue propuesto para hacer

referencia a los métodos tradicionales en los que los alumnos son vistos como un objeto, el

saber es una condición externa a la clase, la educación es un proceso de asimilación basado

en la repetición y la copia, la escuela como un espacio para reproducir conocimiento y

además centrada en el maestro y en la que los propósitos y contenidos son el aprendizaje de

información y el cumplimiento de las normas.

La escuela tradicional fue creada para formar obreros y empleados que en aquella época

demandaba el mundo laboral, su intención era formar en niños y jóvenes actitudes de

sumisión, obediencia y cumplimiento.

Para la escuela tradicional el niño recibe los conocimientos de las normas acumuladas por la

cultura y desde el exterior.

En el modelo heteroestructurante la creación del conocimiento se realiza por fuera del salón

de clase. La acción y el rol del maestro es el eje central de todo proceso (magistrocentristas).

La escuela es transmisora de la cultura humana. La construcción del conocimiento es algo

externo al estudiante y la enseñanza es la manera de garantizar su asimilación. Es

conveniente y necesario el uso de métodos receptivos (clase magistral).

La función de la escuela, en este modelo, es transmitir saberes específicos, valoraciones y

normas cultural y socialmente aceptadas, los contenidos son constituidos por las

informaciones social e históricamente acumuladas y por las normas socialmente aceptadas,

como estrategias metodológicas se usa la exposición magistral basada en la atención y la

reiteración, la evaluación consiste en determinar el nivel de asimilación de los conocimientos

y normas transmitidos.

21

Modelo pedagógico autoestructurante de la escuela activa

Henao, C. (s.f), en su documento Modelos Pedagógicos menciona: “A finales del siglo XIX,

factores históricos, científicos y sociales, produjeron una profunda revolución en la

concepción pedagógica que condujo a la aparición de la escuela activa”.

Menciona además, que hechos como la revolución francesa, el darwinismo y los avances de

la psicología del niño fueron las corrientes científicas que nutrieron la Escuela Nueva,

llamada también escuela activa.

La escuela activa explica el aprendizaje desde el activismo , es decir, “se aprende haciendo”,

el conocimiento será efectivo en la medida en que se base en la experiencia; la escuela debe

crear condiciones para facilitar la manipulación y la experimentación por parte de los

estudiantes. El niño pasa a ser el centro de los procesos educativos, y, tanto los programas

como los métodos tendrán que partir de sus necesidades, motivaciones e intereses.

En este modelo el fin de la escuela no puede estar limitado al aprendizaje; debe preparar al

individuo para enfrentar la vida. La escuela debe hacer sentir feliz al estudiante, la finalidad

de la educación no debe ser solamente cognitiva e instructiva, por el contrario, debe permitir

al estudiante actuar y pensar a su manera, favoreciendo su desarrollo espontáneo, en el cual el

maestro cumpla un papel de segundo orden y se libere el ambiente de restricciones y

obligaciones propias de la escuela tradicional. El docente deja su connotación de maestro y se

convierte en guía, acompañante o en facilitador.

En conclusión de acuerdo a este modelo, la escuela debe preparar al estudiante para la vida;

la naturaleza y vida misma deben ser estudiadas, por lo tanto, los contenidos no deben estar

separados de ellas.

Modelo pedagógico autoestructurante y los enfoques constructivistas

El modelo constructivista postula el papel activo del sujeto en el proceso de

conceptualización y reconoce la existencia de elementos personales, matices y acepciones en

la representación individual. Enfatiza la construcción personal sobre la cultura, dicha

posición conduce a desconocer el proceso de meditación cultural en los procesos psíquicos

superiores.

22

Afirma que las construcciones previas inciden de manera significativa en los aprendizajes

nuevos y se sustenta en la teoría de asimilación de Auzubel. Esta teoría permite distinguir

entre los tipos de aprendizaje y la enseñanza, el aprendizaje puede ser significativo o

repetitivo, dependiendo de la relación de lo aprendido con la estructura cognitiva. Cuando los

nuevos conocimientos se vinculen de una manera clara y estable con los conocimientos

previos del estudiante, se hablará de aprendizaje significativo.

Según este modelo, la finalidad de la educación es alcanzar la comprensión cognitiva, para

favorecer el cambio conceptual; ha reivindicado la finalidad de la educación vinculada con la

comprensión y el cambio conceptual, ha reconocido el papel activo del estudiante en todo

proceso de aprendizaje, superando de esta manera, la visión acumulativa y mecánica de la

Escuela Tradicional.

Las corrientes relacionadas directamente con el constructivismo enfatizarán la comprensión y

el cambio conceptual como intensiones educativas esenciales. Se destacan los trabajos

relacionados con las inteligencias múltiples.

Modelo pedagógico dialogante

Zubiria, J. (2006), en su obra hacia una pedagogía dialogante menciona “La función esencial

de la escuela es garantizar el desarrollo cognitivo, valorativo y praxiológico de los

estudiantes. La esencia de la escuela debe consistir en el desarrollo y no en el aprendizaje”.

Para la pedagogía dialogante es tan importante la dimensión cognitiva, como la socioafectiva

y la práxica. La pedagogía dialogante debe reconocer las diferentes dimensiones humanas y

la obligación que tenemos escuelas y docentes de desarrollar cada una de ellas, esto implica

que para la pedagogía dialogante es tan importante el conocer como el hacer y el ser. Su

finalidad última debe ser la de garantizar mayores niveles de pensamiento, afecto y acción.

Lamentablemente en la actualidad nos podemos dar cuenta que no es así, la mayor parte de

escuelas entrega pescados a sus estudiantes, es decir no fomentan el aprendizaje de los

mismos. Las condiciones socio-históricas actuales exigen un cambio profundo en las

finalidades de la educación. Los propósitos de la educación debe ser garantizar un mayor

desarrollo del pensamiento, el afecto y la acción; en pocas palabras debe enseñarnos a pensar,

amar y actuar.

23

El modelo dialogante es innovador ya que hace una sumatoria de todos los modelos

anteriores a él y anexa el diálogo continuo entre maestros y estudiantes. Que el niño pregunte

y que todo gire en torno a esa pregunta, que el maestro favorezca el diálogo y la mediación.

Modelo pedagógico de la Institución

En la Unidad Educativa “Emaús” de Fe y Alegría se aplica el modelo pedagógico crítico

social; éste modelo destaca la naturaleza social de la persona, en la forma en que se pone

mayor énfasis a las conductas sociales y como tal, influye y mejora el aprendizaje académico.

La función del modelo es preparar a los ciudadanos en una cultura democrática, que a la vez

destaca la vida personal y social, asegura un orden social, democrático y productivo. El

principio rector es la conducta cooperativa, las tareas requieren de la interacción social, para

de esta manera mejorar el rendimiento académico de los estudiantes, toda vez que son

estimulantes desde el punto de vista social e intelectual.

El desarrollo de la conducta social productiva combina las habilidades y los conocimientos

académicos. A la primera mitad del siglo XX se pueden reconocer como principales

representantes, generadores de modelos pedagógicos sociales de educación a personajes

como Aristóteles, Platón y Marco Aurelio; educadores cristianos medievales como Tomás de

Aquino y renacentistas como Juan Amos Comenio, John Dewey entre otros.

El modelo crítico social concibe a las instituciones educativas como pequeñas sociedades

productivas en las que la cultura escolar cooperativa incentiva a utilizar una diversidad de

modelos de enseñanza para la adquisición de conocimientos y el desarrollo de habilidades.

Que la escuela se organice como una democracia en miniatura, en la que los alumnos

participen en el desarrollo del sistema social y a través de la experiencia aprendan

gradualmente cómo aplicar el método científico para mejorar la sociedad humana es lo que

propone John Dewey.

Las situaciones de aprendizaje son generadas por experiencias que promueven la

participación de todos y cada uno en el grupo y por ende en su propio conocimiento. El

profesor y el alumno comparten la responsabilidad, por lo que investigan en forma

permanente, analizan, reflexionan en discusiones, ubicando así el énfasis en el proceso.

24

El tipo de evaluación es el propuesto en el modelo constructivista, ya que la institución se

interesa por los procesos y a la vez por el producto final. Evalúa en diferentes momentos: al

inicio, durante y al final de un periodo con formas pertinentes para cada situación.

Teorías del aprendizaje

Antón, L. (s. f), en su documento teorías contemporáneas del aprendizaje menciona: “El

aprendizaje forma parte del bagaje teórico y práctico que debe usar el maestro en su qué

hacer educativo. Utiliza esta categoría en la actividad escolar para observar el

comportamiento del alumno en la adquisición de conocimientos y modos de

comportamiento”.

Popper, K. (1957) señala “Todas las teorías son experimentos, hipótesis provisionales puestas

a prueba para ver si funcionan; y toda demostración experimental es sencillamente el

resultado de las pruebas llevadas a cabo con mi espíritu crítico, en un intento de averiguar

dónde yerran nuestras teorías”.

Schunk, D. (2012), en su obra Teorías del Aprendizaje, menciona “La teoría sin experiencia

podría ser engañosa porque tendería a subestimar los efectos de factores situacionales.

Cuando se utiliza de manera apropiada, la teoría proporciona un marco de referencia para la

toma de decisiones educativas”.

A criterio del autor, la práctica educativa influye en la teoría. La experiencia puede confirmar

los pronósticos teóricos o sugerir revisiones. Las teorías se modifican cuando la investigación

y la experiencia revelan evidencia conflictiva o sugieren que se deben incluir otros factores.

Los profesionales de la educación deberían preguntarse cómo podrían aplicar los principios

del aprendizaje y los hallazgos de la investigación dentro y fuera de la clase, es decir, luchar

por integrar la teoría, la investigación y la práctica.

Una teoría intenta explicar una serie de fenómenos educativos, al mismo tiempo que sugiere

métodos de control de dichos fenómenos; es un conjunto de definiciones, proposiciones y

conceptos relacionados. Es una explicación racional, coherente, científica y filosóficamente

fundamentada acerca de lo que debe entenderse por aprendizaje, las condiciones en que se

manifiesta el mismo y las formas que adopta; esto es, en qué consiste, cómo ocurre y a qué da

lugar el aprendizaje.

25

Teoría de La Gestalt

Esta teoría hace referencia al aprendizaje mediante canales sensoriales (percepción) o de la

memoria (pensamiento, inteligencia y resolución de problemas); Gestalt analizó las diversas

áreas de la psicología como son actitudes, el aprendizaje, la motivación y la percepción,

centrándose más en la última.

En educación, el maestro aplica la teoría de la Gestalt al intentar buscar recursos que llamen

la atención de los estudiantes como son proyectores, pancartas videos y programas

informáticos que desarrollen la percepción de los estudiantes y de esta manera lograr un

aprendizaje significativo en los mismos.

Teoría sociocultural de Vigotsky

Esta teoría enfatiza la participación activa de los niños con su ambiente, considerando el

crecimiento cognoscitivo como un proceso colaborativo. Vigotsky afirmaba que los niños

aprenden a través de la interacción social. Adquieren habilidades cognoscitivas como parte de

su inducción a una forma de vida. Las actividades compartidas ayudan a los niños a

interiorizar las formas de pensamiento y conducta de la sociedad y a apropiarse de ellas.

Recalca las relaciones sociales en los procesos de aprendizaje, y, argumenta que la

construcción del pensamiento es un acto individual y a la vez social. Los educandos

construyen el conocimiento individualmente y, al mismo tiempo, unos con otros; de esta

manera, la educación se coordina con el desarrollo de la persona a través de lo que Vigotsky

denominó “zona de desarrollo próximo”, que es la distancia entre el nivel real de desarrollo

del niño expresada de modo espontáneo y autónomo, y el nivel de desarrollo potencial

manifestada gracias al apoyo de otra persona. Este concepto es definitivo para explicar cómo

se entre mezclan el desarrollo cognitivo y la cultura; al mismo tiempo que se producen

conocimientos y formas sobre cómo enseñarlos y cómo se construye el saber sociocultural.

El aprendizaje despierta en el educando una serie de procesos evolutivos internos capaces de

operar, es en este campo que la teoría sociocultural ha reforzado el concepto de la interacción

social como mecanismo para el desarrollo, ya que cuando el educando está en interacción con

las personas que lo rodean y en cooperación con alguien que se le parece, tarda menos en

resolver problemas. Con ello, aparte de permitir que los iguales ejerzan el papel de

mediadores, se favorece la interiorización de los procesos cognitivos y sociales implicados.

26

En conclusión la teoría de Vigotsky se basa principalmente en el aprendizaje sociocultural de

cada individuo y por lo tanto en el medio en el cual se desarrolla.

Teoría de Piaget

Piaget, nacido en Neuchatel en 1896, fue el creador de un sistema teórico complejo que

pretende dar cuenta de casi todas las facetas del desarrollo cognitivo humano. Su obra es sin

duda la que más impacto ha tenido en el desarrollo de la psicología evolutiva del siglo XX,

siendo incluso hoy en día, una referencia para dar sentido al estado actual de la disciplina.

Piaget abrió ámbitos de estudio a la investigación psicológica, conceptualizándolos de tal

manera que sus propuestas se convirtieron en un referente para investigaciones posteriores.

Sus estudios sobre el nacimiento de la inteligencia y desarrollo cognitivo temprano y su

propuesta de que el objeto es algo que se construye en los primeros meses ha dado lugar a

varias investigaciones. Sus estudios sobre conceptos como el pensamiento formal y las

operaciones lógicas siguen siendo el punto de partida de innumerables trabajos sobre el

pensamiento infantil.

La teoría de Piaget señala que el desarrollo cognitivo se logra de acuerdo con tres factores: la

maduración biológica, programada genéticamente; la actividad, la capacidad de actuar y

aprender sobre el ambiente al adquirir maduración física; y la transmisión social, el

aprendizaje con los demás; sin esta última se tendría que reinventar los conocimientos que ya

se poseen en el aspecto cultural.

Teoría de David Ausubel

Ausubel señala que el aprendizaje significativo es una integración y organización de la

información dentro de la estructura cognitiva de cada individuo. Durante mucho tiempo se

consideró que el aprendizaje era sinónimo de cambio de conducta, esto no es así en su

totalidad, ya que el aprendizaje humano va más allá de un simple cambio de conducta a un

cambio en el significado de la experiencia.

Para Ausubel, la experiencia humana no solo implica pensamiento, sino también afectividad

y si se consideran en conjunto se capacita al individuo para enriquecer el significado de su

experiencia. Para entender la labor docente se consideran tres elementos del proceso

educativo: los profesores y su manera de enseñar; l estructura de los conocimientos que

27

conforman el currículo, el modo en que éste se produce y el entramado social en el que se

desarrolla el proceso educativo.

De acuerdo con el autor, lo anterior se desarrolla dentro de un marco psicoeducativo, puesto

que la psicología educativa trata de explicar la naturaleza del aprendizaje en el salón de clases

y los factores que lo influyen, estos fundamentos psicológicos proporcionan los principios

para que los profesores descubran por si mismos los métodos de enseñanza más eficaces,

puesto que intentar descubrir métodos por ensayo y error es un procedimiento ciego y , por

tanto innecesariamente difícil.

Teorías computacionales

Este tipo de teorías son de origen psicológico y son las que se ocupan o se aplican para la

adquisición de conocimientos pro medio de un sistema de procesamiento. Algunas se

desarrollan enmarcadas en la inteligencia artificial sin buscar una compatibilidad con los

datos psicológicos, mientras que otras respetan los límites de la metáfora computacional e

intentan ser psicológicamente relevantes, es decir se adapta a los datos que se conocen por

encima del procesamiento humano de la información.

Aunque el aprendizaje ha sido uno de los más clamorosos olvidos del enfoque del

procesamiento de información en los últimos años, están aumentando considerablemente los

esfuerzos por elaborar teorías del aprendizaje basados en supuestos computacionales. (Pozo,

J. 1997).

A criterio del autor, las teorías relacionadas con un programa computacional son pocas, pese

a que el avance de la ciencia y tecnología así lo demanda. Son pocos los centros educativos

que disponen de algún programa computacional para enseñar las diferentes asignaturas como

por ejemplo matemática, a esto se suma la poca preparación docente en temas relacionados

con la computación e informática.

Método didáctico

De Mattos (1963), menciona que: “Método didáctico es la organización racional y práctica de

los recursos y procedimientos del instructor, con el propósito de dirigir el aprendizaje de los

participantes hacia los resultados previstos y deseados”.

Según el mismo autor existen tres elementos básicos del método didáctico:

28

Lenguaje didáctico: es el medio de comunicación y orientación del que se vale el profesor

para guiar a los alumnos en su aprendizaje.

Medios auxiliares y material didáctico: Son los instrumentos de trabajo que el instructor

y alumnos necesitan para ilustrar y conectar lo que se ha estudiado.

Acción didáctica: Activa el estudio mediante tareas, ejercicios, debates, demostraciones o

trabajos realizados.

Procedimiento didáctico

Bastidas, P. (2000), menciona que: “Proceso didáctico es el conjunto de actividades

específicas, realizadas por el profesor y el alumno, que han de seguirse para cumplir con los

objetivos del sistema de enseñanza-aprendizaje”

Para Comenio, J. (s. f), la didáctica tiene por objeto de estudio la conducción de la actividad

del sujeto al aprendizaje, coordinando el ajuste de los contenidos con el aprendizaje de los

estudiantes. La didáctica se auxilia de otras disciplinas para su estudio, como lo son la

psicología educativa y la planeación.

Para Comenio la educación no era solo la formación del niño en la escuela o en la familia, era

un proceso que afecta la vida de la persona a largo plazo; ya que la educación era el eje de la

vida de las personas. El nivel de dificultad de lo que se enseña al alumno debe ir de la mano

de acuerdo al nivel de desarrollo del mismo.

Los aspectos fundamentales de su didáctica son:

Proceder por etapas

Examinar lo aprendido personalmente, sin ceder ante la autoridad de los adultos.

Actuar personalmente “autopraxis”.

Estrategia

Para Rajadell, (1992), una estrategia didáctica equivale a la actuación secuenciada

potencialmente consciente del profesional en educación, guiada por uno o más principios de

la didáctica, encaminada hacia la optimización del proceso de enseñanza-aprendizaje.

Las estrategias de aprendizaje son los procedimientos mentales que el estudiante realiza para

aprender, es la cadena de operaciones cognoscitivas que el estudiante ejecuta con el fin de

29

procesar la información; cabe señalar que se trata de procedimientos mentales porque el

aprendizaje es un fenómeno mental y psíquico que aunque está condicionado por la

enseñanza, depende mucho del sujeto que desea aprender, (Ferreiro, 2006).

Para Kindsvatter, citado por Logroño (2014) las estrategias de enseñanza pueden ser:

Estrategia magistral, Estrategia grupal y estrategia individual.

Estrategia magistral

Bastidas, P. (2004), refiriéndose a una estrategia magistral menciona: “Son aquellas en las

que el profesor administra, guía, conduce, controla y desarrolla las actividades del proceso de

enseñanza-aprendizaje”.

De acuerdo con el autor, esta estrategia se caracteriza por ser el docente quien guía todo el

proceso de enseñanza-aprendizaje de los estudiantes, es una de las estrategias más utilizadas

pero que no garantiza la eficacia del aprendizaje, es decir, no se consigue un desarrollo

integral en los educandos.

La estrategia magistral, en el proceso de enseñanza-aprendizaje, considera al profesor como

un ente activo y a los estudiantes como sujetos pasivos; se podría decir que es una estrategia

unidireccional ya que el docente envía información o indicaciones a un grupo de discentes

que se limitan a recibir dicha información, cabe recalcar que en ocasiones pueden intervenir

con preguntas.

Entre estas estrategias se tiene:

Conferencia.

Demostración

Demostración práctica

Estrategia grupal

Para Izquierdo, (1997), el aprendizaje en grupo es un proceso de transformación mutua,

debido a que el estudiante se ve influenciado por el grupo y por el contrario, el grupo se

modifica por el accionar de cada uno de sus miembros, es decir el aprendizaje es un proceso

de construcción mutua que parte de problemas, los mismos que mediante el análisis, reflexión

y esfuerzos grupales pueden ser resueltos o presentar alternativas de solución.

30

A criterio de Díaz y Hernández (2002), mediante esta estrategia los estudiantes mejoran sus

relaciones interpersonales, aprenden valores y habilidades sociales en forma efectiva,

aprenden de mejor manera, y lo que es más importante, les agrada ir a la escuela. En un

trabajo grupal cada individuo comparte ideas, objetivos, metas y soluciones en torno a un

tema, tarea o contenido de aprendizaje.

A través de la participación en equipos se logra que la mayoría de los miembros del grupo

intervengan en las discusiones generadas al realizar una determinada actividad, (Rojas, 1999).

Terán y Pachano, (2005), consideran que el docente que asuma el trabajo cooperativo como

estrategia de aprendizaje, debe promover un ambiente favorable donde prevalezca el respeto

y la confianza, para que todos los estudiantes tengan la oportunidad de expresar sus ideas, sus

dudas, de hacer comentarios y críticas con el propósito de contribuir a propiciar los inter-

aprendizajes.


Rejas.

Taller.

Equipos de trabajo.

Estrategia individual

Para Oviedo, referenciado por Bastidas (2004), la estrategia individual es un modelo de

instrucción individualizado sobre la base de un programa estructurado para cada alumno. El

propósito de esta estrategia es el cumplimiento de tareas de aprendizaje específicas, diseñadas

para que sean realizadas por los estudiantes de un determinado nivel. El eje de esta estrategia

es la adquisición individual de conocimientos concretos en el contexto de una flexible

estructura de tiempo.


Trabajo individual (deberes y tareas)

Estudio documental (consulta bibliográfica)

31

Gráfico N° 2: Modalidades de las estrategias magistral, grupal e individual

Fuente: Estrategias didácticas


Técnica

Ferreiro (2006), considera que una técnica es el recurso o habilidad que permite realizar algo

de forma correcta y fácil siguiendo una secuencia de pasos: por ende, las técnicas didácticas

son medios y procedimientos empleados para lograr los objetivos planteados en el proceso de

enseñanza-aprendizaje.

Busot, citado por Bastidas (2004), indica, la técnica es la forma de utilizar un instrumento o

recurso, el cual sirve de apoyo para enseñar, es así que las técnicas hacen referencia al con

qué se enseña y deben responder a la finalidad del curso, de un conjunto de clases o de una

clase determinada.

Bastidas (2004), referencia a Marcano y señala que el docente puede utilizar muchos recursos

(ayudas externas) para facilitar en el alumno el procesamiento, codificación y recuperación

de la información. Estos recursos se denominan genéricamente “procesadores de

información”.

32

Para Oviedo, citado por Bastidas (2004), se presentan tres tipos de técnicas: técnica de

estimulación audiovisual, técnica de estimulación escrita y técnica de estimulación verbal.

Técnica audiovisual

Entre estas técnicas se tiene:

Cartel

Computador

Internet

Correo electrónico

Plataformas

Técnica escrita


Diagrama

Esquema

Flujograma

Mapa conceptual

Mentefacto

Poligrafiado

Pizarrón

Solución de problemas

Técnica verbal


Anécdota

Pregunta

Relato de experiencias

33

Gráfico N° 3: Modalidades de las técnicas escrita, verbal y audiovisual

Fuente: Técnicas didácticas


La informática

La informática se refiere al procesamiento automático de información mediante dispositivos

electrónicos y sistemas computacionales. Los mismos que deben contar con la capacidad de

cumplir tres tareas básicas: entrada (captación de la información), procesamiento y salida

(transmisión de los resultados), el conjunto de estas tres tareas se conoce como algoritmos.

Sanguano, C. (2013), en su tesis de titulación menciona: “La informática es considerada

como una ciencia que se encarga del estudio del uso metódico y razonado de la información,

con la finalidad de colaborar en la resolución de problemas de tipo social, económico,

educativo y político.

34

La educación y la informática

En la actualidad el desarrollo del proceso de interaprendizaje se sustenta en los recursos

didácticos audiovisuales, mismos que se fundamentan en la tecnología informática

multimedia. En la actualidad existen enormes empresas dedicadas al desarrollo de software

didáctico, es de esta manera cómo surge la informática educativa.

Sánchez, citado por Cervantes, G. y Milán, M. (s. f). Menciona que: “La informática

educativa es una disciplina que estudia el uso, efectos y consecuencias de las tecnologías de

la información y el proceso educativo”.

El mismo autor menciona que la informática educativa es una disciplina que intenta acercar al

aprendiz al conocimiento y manejo de modernas herramientas tecnológicas como el

computador; además pretende indicar cómo el estudio de esta tecnología contribuye a

potenciar y expandir la mente, de manera que los aprendizajes sean más significativos y

creativos.

De acuerdo con el autor el desafío que presenta la informática en el sector educativo es la

aplicación racional y pertinente de las nuevas tecnologías de la información en el desarrollo

del qué hacer educativo propiamente dicho.

A pesar de que la informática presenta grandes beneficios en el campo educativo, se podría

decir que existen muchas instituciones que no tienen un programa estructurado en función de

objetivos evidentes.

Pueda ser que no todos los efectos, al momento de usar un computador, sean positivos dentro

del currículo escolar pero si se podría decir que desempeña un papel determinante en el

momento en que los estudiantes y el maestro lo utilizan como un instrumento para cumplir un

fin específico.

La matemática y la informática

En todas las épocas los seres humanos siempre han estado estrechamente ligados a los

avances científico-tecnológicos en cada una de sus etapas, con el único objetivo de aportar al

mejoramiento social, económico y político de una nación. A través de la historia se han dado

importantes descubrimientos científicos y tecnológicos que han cambiado para siempre la

forma de vivir las personas.

35

La computación, el internet, y de manera general, la informática han abierto un mundo de

posibilidades de gran impacto en la enseñanza, particularmente en la enseñanza de la

matemática.

La matemática y la informática van de la mano, ya que para desarrollar programas

informáticos se requiere de amplios conocimientos matemáticos; esta rama ha contribuido al

desarrollo de las civilizaciones desde el inicio de nuestras generaciones mediante la

computación y la informática. Por el contrario una vez desarrollados programas informáticos

estos son de gran ayuda a la humanidad, debido a que son fuente principal para encontrar

métodos matemáticos para solucionar problemas en particular, entre los programas más

conocidos están geogebra, matlab, wiris, polypro, k-bruch, entre otros.

La matemática y su nueva forma de enseñarla

En la actualidad no se han encontrado modelos satisfactorios que permitan aprovechar al

máximo la aparición de herramientas tan satisfactorias como la calculadora y el computador,

herramientas que si no se las usa de manera adecuada pueden hacer desaparecer el fin mismo

de la matemática en educación; dicho fin es el desarrollo del pensamiento lógico –

matemático. Es necesario que los estudiantes comprendan procesos matemáticos.

Las instituciones educativas y las entidades rectoras de la educación deben elaborar planes y

proyectos que incluyan el uso adecuado de herramientas tecnológicas para la enseñanza –

aprendizaje de las matemáticas; ya que es indispensable aplicar procesos que simplifiquen

ciertas operaciones numéricas y que vayan a la par con el desarrollo científico y tecnológico.

Software educativo

Con este nombre se refiere a programas educativos para ordenador, cuya finalidad específica

es ser utilizados como medio didáctico ya que facilitan el proceso de enseñanza –

aprendizaje. La función del software educativo es imitar la labor tutorial personalizada que

realiza un docente en el aula; este tipo de programas presentan modelos de representación del

conocimiento en consonancia con los procesos cognitivos que desarrollan los estudiantes.

Algunas de sus características son las siguientes:

Son programas creados con finalidad didáctica.

36

Son interactivos, ya que contestan inmediatamente la acción de los alumnos y permiten

un intercambio de información entre el ordenador y el estudiante.

Utilizan el ordenador como soporte.

Individualizan el trabajo, no es necesario la presencia del docente para realizar

determinadas actividades.

Son fáciles de usar, no necesitan grandes conocimientos en computación o informática

para poder realizar una tarea.

Programa k-bruch

K-bruch es un programa informático para el entorno de ventanas KDE cuyas funciones

permiten practicar cálculos con fracciones. Pertenece al paquete educativo kdeedu y se

distribuye bajo la Licencia Pública General (GPL). El programa suministra diferentes

ejercicios para realizar operaciones con fracciones, como factorizaciones, conversiones y

comparaciones, comprobando las entradas del usuario y haciéndole indicaciones. Fue

programado por Sebastián Stein en el año 2002.

Uso del programa k-bruch

Al iniciar k-bruch, el programa le ofrece dos modos: modo estilo libre que es el de

entrenamiento y modo aprendizaje donde podrá entender lo que son las fracciones. Puede

acceder a uno u otro modo pulsando la imagen correspondiente:

37

Gráfico N° 4: Vista inicio del programa

Fuente: Programa k-bruch

Elaborado por: Plazarte A. Flavio P. (Investigador).

Si se elige el modo aprendizaje, se desplegará una pantalla en la que le permite realizar el

ejercicio.

Gráfico N° 5: Pantalla principal del ejercicio



38

En esta pantalla se puede resolver cualquier operación con fracciones, la misma está dividida

en cinco partes:

La barra de menú con tres opciones: Archivo, Preferencia y Ayuda.

La barra de herramientas, donde puede alternar entre los diferentes ejercicios.

Las opciones a la izquierda, donde puede configurar la dificultad y otros parámetros de

las tareas.

La parte de la tarea, donde tiene que introducir el resultado de la tarea.

La parte de las estadísticas, donde podrá ver cuántas tareas han sido realizadas o resueltas

correctamente.

A continuación, una explicación de la parte de las estadísticas:

Gráfico N° 6: Parte de las estadísticas



En esta parte de la pantalla se podrá ver:

A la izquierda, cuántas tareas han sido resueltas.

A la derecha, en verde, cuántas tareas han sido resueltas correctamente.

A la derecha, en rojo, cuántas tareas han sido resueltas incorrectamente.

A la derecha, en amarillo, cuántas tareas han sido omitidas.

Se puede ajustar algunas opciones generales en cuanto a la forma en que se muestran las

tareas seleccionando la opción Preferencias → Configurar k-bruch , se desplegará la siguiente

pantalla:

39

Gráfico N° 7: Configuración de la apariencia de k-bruch



Se observan dos pestañas para el ajuste de las preferencias:

Colores: Permite elegir los colores de las diferentes partes de una expresión matemática,

los números, el signo de la operación y la barra de fracción.

Tipos de letra: permite elegir un tipo de letra para la tarea.

Las preferencias guardadas se restauraran la próxima vez que se inicie.

Ejercicio:

Aritmética

En esta opción, debe resolver la tarea proporcionada, para lo cual es necesario introducir la

parte entera de una fracción, así como el numerador y el denominador. La dificultad puede

ser ajustada mediante las opciones que se encuentran a la izquierda.

Existen varias opciones de dificultad para las tareas generadas:

Número mixto: Indica si las fracciones se muestran o no como número mixto en la

expresión de la pregunta, ejemplo: 14

5=

9

5

Número de términos: El número de términos es de 2 a 5.

40

Máximo denominador: El número más alto que utiliza k-bruch como denominador

principal en las tareas que se genere es de un mínimo de 10 hasta un máximo de 50.

Respuesta: establece si la fracción se muestra o no como número mixto, se puede

establecer como forma reducida.

Operaciones: En la tarea se pueden utilizar las opciones: suma, resta, multiplicación y

división.

Una vez resuelto el ejercicio proporcionado se debe introducir el resultado en los tres cuadros

de entrada. En el cuadro de la izquierda se debe introducir la parte entera de la fracción, en el

cuadro superior el numerador y en el cuadro inferior el denominador. Una vez introducido el

resultado, presionar el botón Comprobar y se mostrará el resultado correcto o incorrecto.

Gráfico N° 8: Resolución de tareas, opción Aritmética



En este caso, la tarea se resolvió de manera incorrecta. La respuesta correcta se muestra de

dos formas diferentes: normal reducida y como número mixto.

Comparación

Esta opción permite comparar dos fracciones dadas. Debe indicar qué fracción es mayor que

la otra utilizando el signo de comparación correcto.

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Gráfico N° 9: Comparación de dos fracciones



En el gráfico se muestra el resultado a la derecha, en verde, con la expresión Correcto, si la

respuesta es correcta. Si la respuesta es incorrecta, aparecerá un cuadro rojo con la expresión

Incorrecto. Accede a la siguiente tarea pulsando el botón Nueva.

Conversión

Al utilizar esta opción se puede convertir un número entero o decimal en una fracción, para lo

cual se debe introducir el numerador y el denominador que se crea es igual al número dado.

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Gráfico N° 10: Conversión de un número entero o decimal a fracción



En el ejercicio propuesto se puede observar un número decimal periódico ya que la parte

decimal está señalada con una barra, esto significa que se repite infinitas veces. Una vez

introducido el numerador y el denominador como respuesta, pulse el botón comprobar y k-

bruch comprobará su entrada y presentará el resultado correcto o incorrecto.

Números mixtos

En esta opción se puede convertir un número mixto en una fracción impropia y viceversa.

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Gráfico N° 11: Conversión de Número mixto a fracción impropia



En la imagen anterior se puede ver en la parte izquierda del signo igual, un número mixto,

esto quiere decir que su resultado será una fracción impropia. Tras introducir el numerador y

el denominador se debe pulsar el botón Comprobar, posteriormente el programa le indicará el

resultado correcto o incorrecto según sea el caso. Finalmente acceda a una nueva tarea

pulsando el botón Nueva.

44

Evaluación de aprendizajes

La evaluación es un proceso permanente de información y reflexión que tiene por objetivo

contribuir a la mejora de la calidad de la enseñanza y aprendizaje, por tanto es recomendable

que ésta se dé antes, durante y después de un determinado proceso, de tal manera que permita

la regulación de las interrelaciones, detectar las dificultades que se van presentando,

averiguar las posibles causas y actuar de forma oportuna antes de que el proceso concluya.

De acuerdo al artículo 184 de la LOEI. “Es un proceso continuo de observación, valoración y

registro de información que evidencia el logro de objetivos de aprendizaje de los estudiantes

y que incluye sistemas de retroalimentación, dirigidos a mejorar la metodología de enseñanza

y los resultados de aprendizaje”.

Existen tres tipos de evaluación: Diagnóstica, formativa y sumativa.

Evaluación diagnóstica

El propósito de esta evaluación es verificar el nivel de preparación de los estudiantes antes de

enfrentarse a los objetivos que se espera, logren al final de un proceso.

Con esta evaluación se consigue lo siguiente:

Establecer el nivel académico del estudiante antes de iniciar una etapa en el proceso de

enseñanza – aprendizaje.

Identificar aprendizajes previos que marcan el punto de partida de una nueva unidad o un

tema nuevo.

Detectar dificultades que impidan el logro de los objetivos planteados.

Diseñar actividades orientadas a la nivelación de aprendizajes.

Detectar destrezas y objetivos que han sido superadas para de esta manera evitar la

repetición de contenidos y optimizar el tiempo.

Plantear objetivamente ajustes o modificaciones en el programa.

Establecer metas razonables a fin de emitir juicios de valor sobre los logros escolares y

con todo ello adecuar el tratamiento pedagógico a las características y peculiaridades de

los estudiantes.

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Evaluación formativa

Es una actividad sistemática y continua que tiene por objeto sintetizar e interpretar

información, para de esta manera facilitar la toma de decisiones orientadas a la

retroalimentación del estudiante, modifica y mejora el aprendizaje durante el proceso de

enseñanza.

Algunas de las características de la evaluación formativa son:

Es procesual ya que habitualmente se aplica durante el desarrollo de una unidad de

aprendizaje.

Necesariamente no se necesita de una calificación y la misma queda a criterio del docente

según el estado de aprendizaje de los estudiantes.

Genera instancias dialógicas en las que los estudiantes pueden recibir explicaciones

acerca de sus problemas y equivocaciones.

Evaluación sumativa

Esta evaluación es la encargada de evaluar los aprendizajes alcanzados por los estudiantes

con respecto a los objetivos planteados al finalizar un programa, emite juicios y justifica el

mismo, además certifica su utilidad o aprovechamiento.

Los propósitos de la evaluación sumativa son los siguientes:

Emitir juicios de valor sobre los resultados de un determinado nivel, curso, programa, etc.

Verificar el dominio de habilidades o conocimientos por parte de los estudiantes.

Asignar calificaciones en base a objetivos planteados al finalizar un proceso.

Indica las pautas relacionadas con la eficacia de una metodología.

Rendimiento

Castro (1999), define el rendimiento escolar como “El producto del proceso de enseñanza-

aprendizaje”.

Edel, cita a Jiménez (2000) y menciona: “Rendimiento escolar es un nivel de conocimientos

demostrado en un área o materia, comparado con la norma de edad y nivel académico”.

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De lo anteriormente citado se puede decir que rendimiento académico es la capacidad que

tiene un estudiante para responder a estímulos educativos. Es una medida de las capacidades

del alumno, es decir, expresa lo que éste ha aprendido durante el proceso formativo. Es el

producto de la asimilación de contenidos establecidos en programas de estudio y expresado

en calificaciones ya sean cualitativas o cuantitativas.

Índice de aprobación

Según el reglamento de la LOEI, Capítulo III, de la Calificación y Promoción. Artículo 193.-

Aprobación y Alcance de logros: “Se entiende aprobación al logro de los objetivos de

aprendizaje definidos para una unidad, programa de asignatura o área de conocimiento.

Fijados para cada uno de los grados, cursos, sub niveles y niveles del Sistema Nacional de

Educación. El rendimiento académico de los estudiantes se expresa a través de la escala de

calificaciones prevista en el siguiente artículo del presente reglamento.

Según el artículo 194 de la LOEI.- Escala de calificaciones: Las calificaciones hacen

referencia al cumplimiento de los objetivos de aprendizaje establecidos en el currículo y en

los estándares de aprendizaje nacionales.

Tabla N° 2: Escala estimativa de calificaciones según la LOEI

Escala cualitativa Escala cuantitativa

Supera los aprendizajes requeridos 10

Domina los aprendizajes requeridos 9

Alcanza los aprendizajes requeridos 7 – 8

Está próximo a alcanzar los aprendizajes requeridos 5 – 6

No alcanza los aprendizajes requeridos ≤ 4

Fuente: LOEI


En la tabla se observa la relación entre dos columnas, en la primera columna se encuentra la

escala cualitativa con cinco parámetros según el rendimiento de los estudiantes; en la

segunda, la escala cuantitativa con el respectivo puntaje de acuerdo con cada denominación.

47

Índice de promoción

El artículo 196 de la LOEI explica que: La calificación mínima requerida para la promoción,

en cualquier establecimiento educativo del país, es de siete sobre diez (7/10).

Índice de repitencia

Repitencia es el hecho por el cual el estudiante se ve obligado a cursar más de una vez un

grado o curso de los niveles educativos. Es un indicador de deficiencia escolar.

El hecho de perder el año trae consigo secuelas tanto para los padres como para los hijos; en

el caso de los primeros, éstos pueden experimentar de cierta forma frustración ya que ven

defraudadas las expectativas sobre el futuro de sus hijos. Por su parte, la mayoría de niños y

jóvenes pueden reaccionar con sentimiento de inconformidad, impotencia, rabia, tristeza,

temor y pérdida del autoestima.

Perder el año afecta no solo en el sentido psicológico a sus involucrados, sino también

pérdida de tiempo, de energía y de inversión económica al no cumplir con las metas

propuestas al finalizar un periodo escolar o una carrera.

Según la tabla N° 2 de la escala estimativa de calificaciones de la LOEI, los estudiantes que

no alcanzan los aprendizajes requeridos en la escala cualitativa son los que alcancen una

calificación de 4 o menos en la escala cuantitativa, por tanto, deberán repetir el año o nivel en

el que se encuentren matriculados.

Índice de deserción

Es aquella situación en la que el alumno luego de haber iniciado un periodo escolar, decide

retirarse del mismo, ya sea por un proceso acumulativo de factores que incidan en el proceso

de separación o por retiro de forma voluntaria por aspectos ajenos a las normativas de la

institución que lo acoge, sin haber terminado el periodo o ciclo.

48

2.3. Definición de términos básicos

Constructivismo: Para Espada y Fernández (2009), Constructivismo es: “Un paradigma

ampliamente desarrollado desde la psicología. Es un modelo de intervención que utiliza el

psicólogo educativo para trabajar en el ámbito educacional y en la que el estudiante es el

protagonista central de éste proceso”.

Estrategia: Kenneth (1965), señala: “Estrategia es el patrón de los objetivos, propósitos o

metas y las políticas y planes esenciales para conseguir dichas metas”.

Modelo educativo: Flórez (2000), afirma que: “Un modelo educativo es la

representación de las relaciones que predominan en el acto de enseñar”.

Técnica: Actividades específicas que llevan a cabo los estudiantes cuando aprenden,

pueden ser: repetición, subrayar, realizar preguntas, deducir, inducir, etc. Pueden ser

utilizadas de forma mecánica. (Doc. Aprender a aprender – Estrategias de aprendizaje).

Rendimiento académico: Para Edel (2003). El rendimiento académico es: “Un nivel de

conocimientos demostrados en un área o materia comparado con la norma de edad o

nivel”.

Enseñanza: Nérici (1992), menciona: “La enseñanza en consecuencia, no es más que la

acción del profesor con relación a la dirección del aprendizaje”.

Aprendizaje: Para Haro, M. y Méndez, A. Aprendizaje es: “Proceso de adquisición de

determinados conceptos que provocan conocimientos, competencias, habilidades o

aptitudes por medio del estudio o de la experiencia”.

Método didáctico: Carrasco (2004), lo define como “La organización racional y práctica

de los medios, técnicas y procedimientos de enseñanza para dirigir el aprendizaje de los

estudiantes hacia los resultados deseados”.

Pedagogía: Etimológicamente, la palabra pedagogía deriva del griego paidos que

significa niño y agein que significa guiar, conducir. Se llama pedagogo a todo aquel que

se encarga de instruir a los niños. Inicialmente en Roma y Grecia, se llamó pedagogo a

aquellos que se encargaban de llevar a pasear a animales, luego se le llamó asó al que

sacaba a pasear a los niños al campo y por ende se encargaba de educarlos (UPAEP

2004).

Evaluación: De acuerdo con (Diccionario pedagógico AMEI – WAECE, 2003). “Es un

proceso continuo, sistemático y flexible que se orienta a seguir la evolución de los

procesos de desarrollo de los niños y a la toma de las decisiones necesarias para adecuar

49

el diseño del proceso educativo y el desarrollo de la acción educativa a las necesidades y

logros detectados en los niños en sus procesos de aprendizaje”.

Informática: Konrad, Z. (1992) define a la informática como: “Conjunto de

conocimientos técnicos que se ocupan del tratamiento automático de la información por

medio de computadoras”.

Software: Es el conjunto de programas, instrucciones y reglas informáticas para ejecutar

ciertas tareas en una computadora. (Diccionario de la Real Academia Española, 2014)

K-bruch: De acuerdo con el documento de ayuda de k-bruch, manual oficial. “Es un

programa informático para el entorno de ventanas KDE, cuyas funciones permiten

practicar cálculos con fracciones”,

Multimedia: Belloch (s. f), menciona: “Actualmente, el término multimedia hace

referencia al uso combinado de diferentes medios de comunicación: texto, imagen,

sonido, animación y video”.

2.4. Fundamentación legal

La presente investigación se fundamenta legalmente en La Constitución de la República

(2008), la Ley Orgánica de Educación Intercultural LOEI y en la Ley del Consejo Nacional

de Educación Superior, considerando los siguientes artículos en su respaldo:

Constitución de la República (2008)

Art. 27.- La educación se centrará en el ser humano y garantizará su desarrollo holístico, en

el marco del respeto a los derechos humanos, al medio ambiente sustentable y a la

democracia; será participativa, obligatoria, intercultural, democrática, incluyente y diversa, de

calidad y calidez; impulsará la equidad de género, la justicia, la solidaridad y la paz;

estimulará el sentido crítico, el arte y la cultura física, la iniciativa individual y comunitaria, y

el desarrollo de competencias y capacidades para crear y trabajar.

La educación es indispensable para el conocimiento, el ejercicio de los derechos y la

construcción de un país soberano, y constituye un eje estratégico para el desarrollo nacional.

Art. 343.- El sistema nacional de educación tendrá como finalidad el desarrollo de

capacidades y potencialidades individuales y colectivas de la población, que posibiliten el

aprendizaje y la generación y utilización de conocimientos, técnicas, saberes, artes y cultura.

50

El sistema tendrá como centro al sujeto que aprende, y funcionará de manera flexible y

dinámica, incluyente, eficaz y eficiente.

El sistema nacional de educación integrará una visión intercultural acorde con la diversidad

geográfica, cultural y lingüística del país, y el respeto a los derechos de las comunidades,

pueblos y nacionalidades.

Ley Orgánica de Educación Superior (LOES)

Art. 3.- Fines de la Educación Superior.- La educación superior de carácter humanista,

cultural y científica constituye un derecho de las personas y un bien público social que, de

conformidad con la Constitución de la República, responderá al interés público y no estará al

servicio de intereses individuales y corporativos.

Art. 4.- Derecho a la Educación Superior.- El derecho a la educación superior consiste en el

ejercicio efectivo de la igualdad de oportunidades, en función de los méritos respectivos, a fin

de acceder a una formación académica y profesional con producción de conocimiento

pertinente y de excelencia.

Las ciudadanas y los ciudadanos en forma individual y colectiva, las comunidades, pueblos y

nacionalidades tienen el derecho y la responsabilidad de participar en el proceso educativo

superior a través de los mecanismos establecidos en la Constitución y esta Ley.

Ley Orgánica de Educación Intercultural (LOEI)

Art. 3.- Fines de la educación.- son fines de la educación:

Literal a.- El desarrollo pleno de la personalidad de las y los estudiantes, que contribuya a

lograr el conocimiento y ejercicio de sus derechos, el cumplimiento de sus obligaciones, el

desarrollo de una cultura de paz entre los pueblos y de no violencia entre las personas, y una

convivencia social intercultural, plurinacional, democrática y solidaria.

Literal b.- El fortalecimiento y la potencialización de la educación para contribuir al cuidado

y preservación de las identidades conforme a la diversidad cultural y las particularidades

metodológicas de enseñanza, desde el nivel inicial hasta el nivel superior, bajo criterios de

calidad.

51

Literal g.- La contribución al desarrollo integral, autónomo, sostenible e independiente de las

personas para garantizar la plena realización individual, y la realización colectiva que permita

en el marco del Buen Vivir o Sumak Kawsay.

Art. 4.- Derecho a la educación.- La educación es un derecho humano fundamental

garantizado en la Constitución de la República y condición necesaria para la realización de

los otros derechos humanos.

Son titulares del derecho a la educación de calidad, laica, libre y gratuita en los niveles

inicial, básico y bachillerato, así como a una educación permanente a lo largo de la vida,

formal y no formal, todos los y las habitantes del Ecuador.

El Sistema Nacional de Educación profundizará y garantizará el pleno ejercicio de los

derechos y garantías constitucionales.

2.5. Caracterización de variables

La presente investigación trata sobre la incidencia del programa k-bruch en la enseñanza de

operaciones con fracciones con los estudiantes de noveno año de Educación General Básica

de la Unidad Educativa “Emaús” de la ciudad de Quito, durante el año lectivo 2016 – 2017.

En el cual se han identificado las siguientes variables:

Variable independiente: Uso del programa k-bruch

El programa k-bruch permite realizar cálculos de operaciones con fracciones, además permite

factorizar, realizar conversiones y comparaciones entre dos o más fracciones. La ventaja de

usar este programa es que reduce el tiempo de cálculo y ejercita la agilidad mental.

Variable dependiente: Rendimiento académico

El rendimiento académico es el resultado alcanzado por el estudiante al finalizar un periodo,

nivel, ciclo o proceso educativo y valorado por un docente. En dicho proceso, los

involucrados pueden darse cuenta si se alcanzaron o no las metas y objetivos propuestos al

iniciar el mismo.

52

CAPÍTULO III

3. METODOLOGÍA

3.1. Diseño de la investigación

3.1.1. Enfoque de la investigación

Esta investigación utiliza el enfoque cuantitativo ya que se lo puede evidenciar en las notas

tanto del grupo experimental como del grupo de control y la influencia del programa en las

mismas, y cualitativo, al momento de verificar si los estudiantes de los dos grupos alcanzaron

los aprendizajes requeridos.

El enfoque cuantitativo utiliza la numeración para señalar las características de una población

o muestra de acuerdo con la siguiente cita:

El enfoque cuantitativo utiliza la recolección y el análisis de datos para contestar

preguntas de investigación y probar hipótesis establecidas previamente, y confía en la

medición numérica, el conteo y frecuentemente en el uso de la estadística para

establecer con exactitud patrones de comportamiento en una población (Hernández, et

al. 2003).

Por otra parte la investigación cualitativa utiliza variables cualitativas, por tanto, Armijos, J.

(2010), menciona “variables cualitativas son aquellas que producen datos cuya descripción

puede hacerse mediante palabras, por ejemplo, el estado civil de una persona: soltero”.

Strauss y Corbin (2002), mencionan: “Con el término, investigación cualitativa, entendemos

cualquier tipo de investigación que produce hallazgos a los que no se llega por medio de

procedimientos estadísticos u otros medios de cuantificación”.

Para Ackerman, E. y Com, S. (2013), “La investigación cualitativa recaba datos sin emplear

necesariamente matrices estadísticas y, por lo tanto, sin la necesidad de números para

sostener el desarrollo y las conclusiones respecto de lo investigado”.

Por lo anteriormente citado se puede concluir que la investigación cualitativa señala

cualidades más no cantidades.

53

3.1.2. Modalidad del trabajo de grado

En el presente trabajo de investigación se aplicó la modalidad socio-educativa, en la que

(Martínez Sánchez 1995), citado por Sánchez, J. menciona que:

La práctica socioeducativa se caracteriza por ser provisional, cambiante, dinámica, y

con una clara tendencia a hacerse innecesaria ya que se dirige a la superación de

deficiencias, problemas y dificultades propias del desarrollo social. Asimismo, viene

determinada por el sujeto al que se dirige y por el modelo que se adopta a partir de lo

que la investigación avala mediante evidencias empíricas sólidas, intentando superar

una intervención basada en supuestos sin avales significativos sometidos a rigor

científico.

3.1.3. Nivel de profundidad de la investigación

El nivel que se desea alcanzar en esta investigación es exploratoria, descriptiva y

correlacional.

En relación a la investigación exploratoria, Garcés, (2000), menciona: “La investigación

exploratoria permite ponernos en contacto con la realidad que investigamos y nos da la

oportunidad de explorar un determinado problema y plantear posibles soluciones, pasar de

una investigación de nivel inferior a una investigación más profunda y sistemática”.

Sierra (2012), haciendo referencia a la investigación descriptiva indica: “En ella se destacan

las características o rasgos de la situación, fenómeno u objeto de estudio y su función

principal es la capacidad para seleccionar las características fundamentales del objeto de

estudio”.

Hernández, R. (1991), en cuanto a la investigación correlacional indica: “Este tipo de estudio

tiene como propósito medir el grado de relación que existe entre dos o más conceptos o

variables, mide cada una de ellas y después, cuantifica y analiza la vinculación. Tales

correlaciones se sustentan en hipótesis sometidas a prueba”.

54

3.1.4. Tipo de investigación

La presente investigación utilizará el diseño cuasi-experimental, ya que se trabajó con un

grupo experimental y otro grupo de control

Kirk (Como citó Núñez, I. 2012), afirma que:

Los diseños cuasi-experimentales son similares a los experimentos excepto en que los

sujetos no se asignan aleatoriamente a la variable independiente. Se trata de diseños

que se utilizan cuando la asignación aleatoria no es posible o cuando por razones

prácticas o éticas se recurre al uso de grupos naturales o pre existentes como, por

ejemplo, sujetos con una determinada enfermedad o sujetos que han sido sometidos a

abuso sexual (p.6).

Se utilizó además la investigación documental o bibliográfica debido a que se recabó

información de libros, revistas e tesis para la realización de la fundamentación teórica de la

presente investigación.

Y la investigación netgráfica ya que se utilizó páginas de internet con información confiable

y formatos pdf.

3.1.5. Pasos para el desarrollo de la investigación

Aprobación del tema a investigarse.

Elaboración y validación del texto base

Elaboración y validación de los instrumentos de evaluación.

Pilotaje de los instrumentos de evaluación.

Estudio de confiabilidad y tabulación de resultados.

Ejecución de la experimentación aplicando el programa k-bruch.

Aplicación de los instrumentos de evaluación.

Tabulación y análisis de resultados.

Conclusiones y recomendaciones.

Presentación del informe final del proyecto.

55

3.2. Población y muestra

3.2.1. Población

Armijos, J. (2010), menciona: “El término población se refiere a la totalidad de

observaciones, datos o medidas que se consideren en una situación dada”.

Para esta investigación se tomó como población a los estudiantes de noveno año de educación

general básica de la Unidad Educativa “Emaús” de Fe y Alegría con un total de 59

estudiantes.

Tabla N° 3: Población

Población N° de estudiantes

Grupo experimental 29

Grupo de control 30

Total 59



3.2.2. Muestra

Hernández y otros (1991), definen a la muestra como un subgrupo o subconjunto de la

población, de la cual se ha definido sus características. Dicho subconjunto debe ser un reflejo

fiel de toda la población, es decir debe ser representativa.

Para Armijos, J. (2010), la muestra es un subconjunto de una población. Una muestra es

representativa cuando los elementos son seleccionados de tal forma que pongan de manifiesto

las características de una población. Su característica más importante es la representatividad.

La selección de los elementos que conforman una muestra pueden ser realizados de forma

probabilística o aleatoria (al azar), o no probabilística (p. 7).

La población considerada está orientada a los estudiantes de noveno año de educación básica

y, la misma es limitada, razón por la cual ésta investigación no utiliza la técnica del muestreo.

56

3.3. Operacionalización de variables

Para Hernández, L. y otros (2011), “La Operacionalización de las variables consiste en

sustituir unas variables por otras más concretas, describiendo las operaciones que hay que

realizar para medirlas, convirtiéndolas en indicadores observables y cuantificables”.

En otras palabras y de acuerdo con lo anteriormente citado, la Operacionalización de las

variables es un procedimiento que permite pasar del plano teórico a lo práctico.

57

Tabla N° 4: Operacionalización de las variables

VARIABLE DIMENSIÓN INDICADORES EVALUACIÓN

Ind

epen

die

nte

Programa k-bruch

Aplicación en la

enseñanza de

operaciones con

fracciones

Números

fraccionarios,

fracciones con

signo, fracciones

equivalentes

Ejercicios pág. 8

Orden y

comparación de

fracciones

Ejercicios pág. 13

Adición,

sustracción,

multiplicación y

división

Ejercicios pág. 19

Operaciones

combinadas

Ejercicios pág. 23

Potenciación y

radicación de

fracciones

Ejercicios pág. 32

Expresión

decimal de una

fracción

Ejercicios pág. 36

Fracción

generatriz de un

número decimal

Ejercicios pág. 37

VARIABLE DIMENSIÓN INDICADORES INSTRUMENT

O

Dep

end

ien

te

Rendimiento

académico

Evaluación

diagnóstica

Conceptos

básicos

N°1

Evaluación

formativa 1

Fracciones

positivas y

N°2

58

negativas, orden y

comparación de

fracciones

Evaluación

formativa 2

Suma, resta,

multiplicación y

división de

fracciones

N°3

Evaluación

formativa 3

Potenciación y

radicación,

relación entre las

fracciones y los

decimales

N°4

Evaluación

sumativa

Operaciones

combinadas con

fracciones

N°5

Fuente: Operacionalización de variables


3.4. Técnicas e instrumentos de recolección de datos

Según Sánchez (2012), “Las técnicas experimentales las podemos considerar divididas en dos

amplios grupos. Aquellas que se refieren al proceso o procesos que vamos a seguir para

obtener respuestas del fenómeno que estamos estudiando y las relaciones con el análisis de

los diferentes parámetros que nos interesa conocer en la respuesta dada”.

Para Sabino, C. (1992), “Un instrumento de recolección de datos es, en principio, cualquier

recurso de que se vale el investigador para acercarse a los fenómenos y extraer de ellos

información”.

Las técnicas e instrumentos de recolección de datos no es otra cosa que las formas que puede

utilizar el investigador para obtener información mediante la aplicación de instrumentos. En

el caso de ésta investigación el instrumento que se utilizó fueron las pruebas objetivas

aplicadas tanto al grupo experimental como al grupo de control.

59

Las evaluaciones que se utilizó en el presente proyecto fueron: diagnóstica, formativa y

sumativa, todas ellas de carácter objetivo y de base estructurada.

3.5. Validez y confiabilidad de los instrumentos de evaluación

3.5.1. Validez

Para Hernández, R. y Fernández, C. (1991), “La validez, en términos generales, se refiere al

grado en que un instrumento realmente mide la variable que pretende medir”.

Para esta investigación, la validez permite determinar si los instrumentos de evaluación y el

texto base son válidos y coherentes para poder realizar la misma. La validación del texto base

y de los instrumentos de evaluación se realizó por tres expertos: dos en el área de Matemática

y uno en el área de Lengua y Literatura, cabe mencionar que para los instrumentos de

evaluación se tomó en cuenta tres parámetros para su validación:

(A) Calidad técnica y representatividad.

(B) Correspondencia del conjunto de contenidos.

(C) Lenguaje y Literatura.

Tabla N° 5: Validez del Texto Base

NOMBRE DEL

EVALUADOR

LUGAR DE TRABAJO CARGO PUNTAJE

OBTENIDO

MSc. Carrera William Universidad Central del

Ecuador, Facultad de

Filosofía, Carrerad de

Matemática y Física

Profesor de

Matemática

82

MSc. Coronel Milton Universidad Central del

Ecuador, Facultad de

Filosofía, Carrerad de

Matemática y Física

Profesor de

Matemática

100

Lcda. Lamiña Mayra Unidad Educativa “Emaús”

de Fe y Alegría

Profesora de

Matemática

92

Fuente: Documento de validación del Texto Base


60

Tabla N° 6: Validez de los instrumentos de evaluación

NOMBRE DEL

EVALUADOR

LUGAR DE

TRABAJO

CARGO ÁREA CATEGORÍA

MSc.

Coronel Milton

Universidad

Central del

Ecuador, Facultad

de Filosofía,

Carrerad de

Matemática y

Física

Profesor de

Matemática

Matemátca

B

Lcda.

Lamiña Mayra

Unidad Educativa

“Emaús” de Fe y

Alegría

Profesora de

Matemática

Matemática

A

Lcdo.

Henry Quingatuña

Unidad Educativa

“Emaús” de Fe y

Alegría

Profesor de

Lengua y

Literatura

Lengua y

Literatura

C

Fuente: Documento de validación instrumento de evaluación


3.5.2. Confiabilidad

Para Hernández, R. y Fernández, C. (1991), “La confiabilidad de un instrumento de medición

se refiere al grado en que su aplicación repetida al mismo sujeto u objeto produce resultados

iguales”.

En consideración a lo anteriormente citado, se puede decir que los instrumentos que se

aplicaron tienen una confiabilidad cualitativa, dada por los expertos que validaron el

instrumento y una confiabilidad cuantitativa que se obtuvo a través de los resultados del alpha

de Cronbach.

61

Cálculo de la confiabilidad de los instrumentos de evaluación

Para el análisis del alpha de crombach se utilizó la siguiente nomenclatura:

𝑛 = Número de ítem.

∑ = Sumatoria.

𝑥 = Ítem.

𝛿 = Desviación Típica

�̅� =Media aritmética.

ɤ𝐷 = Diferencia de desviaciones estándar o típica.

ɤ𝑇 =Desviación estándar o típica total.

∝= Alfa de Cronbach.

Evaluación diagnóstica

Tabla N° 7: Tabulación del instrumento de evaluación diagnóstica.

Item Aciertos Aciertos

Impares X=│X - Xᵢ│ X2 Pares X=│X - Xᵢ│ X2

1 8 2,17 4,69

2 5 1,33

3 4 1,83 3,36

4 9 2,67 7,11

5 6 0,17 0,03

6 6 0,33 0,11

7 4 1,83 3,36

8 9 2,67 7,11

9 7 1,17 1,36

10 6 0,33

11 6 0,17 0,03

12 3 3,33 11,11

∑ 35 12,83 38

25,44

Fuente: Evaluación diagnóstica


62

Cálculo del estudio del grado de confiabilidad (Instrumento de evaluación diagnóstico)

Número de ítem: n = 6

1. Cálculo de la media aritmética:

𝑋𝑖𝑚𝑝 =∑𝑋𝑖𝑚𝑝

𝑛

𝑋𝑖𝑚𝑝 =35

6

𝑋𝑖𝑚𝑝 = 5,83

𝑋𝑝𝑎𝑟 =∑𝑋𝑝𝑎𝑟

𝑛


6

𝑋𝑖𝑚𝑝 = 6,33

2. Cálculo de la desviación típica:

𝛿𝑖𝑚𝑝 = √∑𝑋2

𝑖𝑚𝑝

𝑛

𝛿𝑖𝑚𝑝 = √12,83

6

𝛿𝑖𝑚𝑝 = 1,46

𝛿𝑝𝑎𝑟 = √∑𝑋2

𝑝𝑎𝑟

𝑛

𝛿𝑝𝑎𝑟 = √25,44

6

𝛿𝑝𝑎𝑟 = 2,06

3. Cálculo de la diferencia entre las desviaciones típicas pares e impares:

𝛾𝐷 = 𝛿𝑝𝑎𝑟 − 𝛿𝑖𝑚𝑝

𝛾𝐷 = 2,06 − 1,46

𝛾𝐷 = 0,60

4. Cálculo de la desviación típica total:

𝛾𝑇 = √∑𝑋2

𝑖𝑚𝑝 + ∑𝑋2𝑝𝑎𝑟

2𝑛

63

𝛾𝑇 = √12,83 + 25,44

12

𝛾𝑇 = 1,79

5. Cálculo de los coeficientes de confiabilidad: Alfa de Crombach

𝛼 = 1 −(𝛾𝐷)

2

(𝛾𝑇)2

𝛼 = 1 −0,356

3,19

𝛼 = 0,888

Evaluación formativa 1

Tabla N° 8: Tabulación del instrumento de evaluación formativa 1



1 7 0,83 0,69

2 9 4,00 16,00

3 8 1,83 3,36

4 4 1,00 1,00

5 4 2,17 4,69

6 5 0,00 0,00

7 5 1,17 1,36

8 3 2,00 4,00

9 7 0,83 0,69

10 5 0,00 0,00

11 6 0,17 0,03

12 4 1,00 1,00

∑ 37 10,83 30

22,00

Fuente: Evaluación formativa 1


64

Cálculo del estudio del grado de confiabilidad (Instrumento de evaluación formativa1)




𝑛


6

𝑋𝑖𝑚𝑝 = 6,17


𝑛


6

𝑋𝑖𝑚𝑝 = 5,00



𝑖𝑚𝑝

𝑛

𝛿𝑖𝑚𝑝 = √10,83

𝛿𝑖𝑚𝑝 = 1,34


𝑝𝑎𝑟

𝑛

𝛿𝑝𝑎𝑟 = √22,00

𝛿𝑝𝑎𝑟 = 1,91



𝛾𝐷 = 1,91 − 1,34

𝛾𝐷 = 0,57


𝛾𝑇 = √∑𝑋2


2𝑛

𝛾𝑇 = √10,83 + 22,00

12

𝛾𝑇 = 1,65

65

5. Cálculo de los coeficientes de confiabilidad: Alfa de Cronbach:

𝛼 = 1 −(𝛾𝐷)

2

(𝛾𝑇)2

𝛼 = 1 −0,326

2,74

𝛼 = 0,881





1 5 0,67 0,44

2 8 2,17 4,69

3 9 3,33 11,11

4 6 0,17 0,03

5 4 1,67 2,78

6 5 0,83 0,69

7 6 0,33 0,11

8 4 1,83 3,36

9 5 0,67 0,44

10 6 0,17 0,03

11 5 0,67 0,44

12 6 0,17 0,03

∑ 34

15,33 35

8,83



Cálculo del estudio del grado de confiabilidad (Instrumento de evaluación formativa 2)


1. Cálculo de la media aritmética


𝑛


6

𝑋𝑖𝑚𝑝 = 5,67


𝑛


6

𝑋𝑖𝑚𝑝 = 5,83

66



𝑖𝑚𝑝

𝑛

𝛿𝑖𝑚𝑝 = √15,33

6

𝛿𝑖𝑚𝑝 = 1,60


𝑝𝑎𝑟

𝑛

𝛿𝑝𝑎𝑟 = √8,83

6

𝛿𝑝𝑎𝑟 = 1,21



𝛾𝐷 = 1,21 − 1,60

𝛾𝐷 = −0,39


𝛾𝑇 = √∑𝑋2


2𝑛

𝛾𝑇 = √15, 33 + 8,83

12

𝛾𝑇 = 1,42


𝛼 = 1 −(𝛾𝐷)

2

(𝛾𝑇)2

𝛼 = 1 −0,148

2,01

𝛼 = 0,926

67





1 7 0,83 0,69

2 4 1,00 1,00

3 5 1,17 1,36

4 6 1,00 1,00

5 7 0,83 0,69

6 7 2,00 4,00

7 7 0,83

8 5 0,00 0,00

9 6 0,17 0,03

10 4 1,00 1,00

11 5 1,17 1,36

12 4 1,00 1,00

∑ 37 4,14 30

8,00



Cálculo del estudio del grado de confiabilidad (Instrumento de evaluación formativa 3)


1. Cálculo de la media aritmética.


𝑛


6

𝑖𝑚𝑝 = 6,17


𝑛


6

𝑋𝑖𝑚𝑝 = 5,00

68



𝑖𝑚𝑝

𝑛

𝛿𝑖𝑚𝑝 = √4,14

6

𝛿𝑖𝑚𝑝 = 0,83


𝑝𝑎𝑟

𝑛

𝛿𝑝𝑎𝑟 = √8,00

6

𝛿𝑝𝑎𝑟 = 1,15



𝛾𝐷 = 1,15 − 0,83

𝛾𝐷 = 0,32


𝛾𝑇 = √∑𝑋2


2𝑛

𝛾𝑇 = √4,14 + 8,00

12

𝛾𝑇 = 1,01


𝛼 = 1 −(𝛾𝐷)

2

(𝛾𝑇)2

𝛼 = 1 −0,115

1,01

𝛼 = 0,896

69

Evaluación sumativa

Tabla N° 11: Tabulación del instrumento de evaluación sumativa



1 7 1,67 2,78

2 8 3,00 9,00

3 4 1,33 1,78

4 4 1,00 1,00

5 5 0,33 0,11

6 5 0,00 0,00

7 3 2,33

8 4 1,00 1,00

9 5 0,33 0,11

10 3 2,00 4,00

11 8 2,67 7,11

12 6 1,00 1,00

∑ 32 11,89 30

16,00

Fuente: Evaluación sumativa


Cálculo del estudio del grado de confiabilidad (Instrumento de evaluación sumativa)




𝑛


6

𝑖𝑚𝑝 = 5,33


𝑛


6

𝑋𝑖𝑚𝑝 = 5,00

70



𝑖𝑚𝑝

𝑛

𝛿𝑖𝑚𝑝 = √11,89

6

𝛿𝑖𝑚𝑝 = 1,41


𝑝𝑎𝑟

𝑛

𝛿𝑝𝑎𝑟 = √16,00

6

𝛿𝑝𝑎𝑟 = 1,63



𝛾𝐷 = 1,63 − 1,41

𝛾𝐷 = 0,23


𝛾𝑇 = √∑𝑋2


2𝑛

𝛾𝑇 = √11,89 + 16,00

12

𝛾𝑇 = 1,52


𝛼 = 1 −(𝛾𝐷)

2

(𝛾𝑇)2

𝛼 = 1 −0,051

2,32

𝛼 = 0,978

71

Criterio de confiabilidad

Para Hernández, Fernández y Baptista (2010), “Requiere de una sola administración del

instrumento de medición y produce valores que oscila entre cero y uno”.

La escala de valores que determina la confiabilidad está dada por las siguientes cantidades:

Tabla N° 12: Niveles de confiabilidad

CONFIABILIDAD ESCALA

CONFIABILIDAD LIGERA < 0,20

CONFIABILIDAD BAJA 0.21 a 0.40

CONFIABILIDAD MODERADA 0.41 a 0.70

CONFIABILIDAD ALTA 0.71 a 0.90

CONFIABILIDAD MUY ALTA 0.91 a 1,00

Fuente: Metodología de la investigación


Como se puede observar en la tabla, los valores, mientras más se acercan a uno, la

confiabilidad será mayor.

Una vez procesados los resultados de las cinco evaluaciones, se obtuvieron los siguientes

datos:

Tabla N° 13: Interpretación de resultados

Instrumento Puntuación Nivel de confiabilidad

Prueba diagnóstica 0,888 Confiabilidad alta

Prueba formativa 1 0,881 Confiabilidad alta

Prueba formativa 2 0,926 Confiabilidad muy alta

Prueba formativa 3 0,896 Confiabilidad alta

Prueba sumativa 0,978 Confiabilidad muy alta

Fuente: Tabulación de evaluaciones


De acuerdo con Hernández y por los resultados obtenidos en el anterior análisis se puede

concluir que los instrumentos de evaluación son confiables.

72

CAPÍTULO IV

4. ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS

4.1. Análisis estadístico de los instrumentos aplicados a los estudiantes:

Luego de haber aplicado los instrumentos de evaluación, tabulado y organizado la

información, se presentan en base a la interpretación de medidas descriptivas tales como:

distribución de frecuencia, porcentajes, media aritmética, desviación típica y varianza.

Se tomó en consideración los siguientes pasos:

Se determinó la calificación adecuada en cada uno de los ítems, según el nivel de

dificultad.

Se organizó la información de cada una de las calificaciones obtenidas tanto por el

grupo experimental como el grupo de control en tablas de información.

Se procesó toda la información recopilada de los instrumentos de evaluación mediante

el programa informático Excel y, se elaboró las tablas de frecuencias y los respectivos

cálculos como son media aritmética y la desviación estándar.

Se analizaron los datos obtenidos en términos descriptivos, con el fin de interpretarlos

y responder a los objetivos planteados en la investigación.

Se eligió la prueba estadística de distribución normal Z. Para la prueba de hipótesis

esta distribución se denota con Zt o simplemente Z al valor crítico que separa las áreas

de rechazo y aceptación de la hipótesis nula. En un ensayo a dos colas, para un nivel

de significación del 5%, 𝛼 = 0,05.

73

Evaluación N° 1

TEMA: Evaluación diagnóstica

Tabla N° 14: Resultados de la aplicación del instrumento diagnóstico del grupo experimental

N° Calificaciones (x) Frecuencia (f) x.f

1 0,8 2 1,7

2 1,7 1 1,7

3 2,5 3 7,5

4 3,3 4 13,3

5 4,2 6 25,0

6 5,0 5 25,0

7 5,8 4 23,3

8 6,7 3 20,0

9 7,5 1 7,5

10 8,3 0 0,0

11 9,2 0 0,0

12 10,0 0 0,0

∑f = 29 ∑x.f = 125



Tabla N° 15: Resultados de la aplicación del instrumento diagnóstico del grupo de control

N° Calificaciones (x) Frecuencia (f) f.x

1 0,8 1 0,8

2 1,7 2 3,3

3 2,5 4 10,0

4 3,3 4 13,3

5 4,2 8 33,3

6 5,0 5 25,0

7 5,8 3 17,5

8 6,7 2 13,3

9 7,5 1 7,5

10 8,3 0 0,0

11 9,2 0 0,0

12 10,0 0 0,0

∑f = 30 ∑f.x = 124,2


Elaborado por: Plazarte A. Flavio P

74

Para el análisis pertinente se toma en cuenta la siguiente nomenclatura

𝜎 = Desviación típica.

∑f = Sumatoria de las frecuencias.

N = Número total de casos.

∑x = Sumatoria de las variables (calificaciones).

n = Número total de datos.

Cálculo de la media aritmética:

Grupo experimental Grupo de control

𝑥𝑒̅̅ ̅ =∑𝑓. 𝑥𝑒𝑛𝑒

=125

29= 4,3

𝑥�̅� =∑𝑓. 𝑥𝑐𝑛𝑐

=124,2

30= 4,1

Gráfico N° 12: Media aritmética de la evaluación diagnóstica



4,3 4,1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Experimental Control

C

a

l

i

f

i

c

a

c

i

o

n

e

s

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA

Experimental

Control

75

La media aritmética de la evaluación diagnóstica del grupo experimental y del grupo de

control es de 4,3/10 y 4,1/10 respectivamente por lo que se puede observar que existe una

diferencia de 0,2 décimas, motivo por el cual se puede concluir que los dos grupos poseen los

mismos prerrequisitos para empezar con el estudio de operaciones con fracciones.

76

Evaluación N° 2

TEMA: Evaluación formativa 1

Tabla N° 16: Resultados de la evaluación formativa 1 del grupo experimental

N° Calificaciones (x) Frecuencia (f) f.x 𝒙𝟐 𝒇. 𝒙𝟐

1 0,8 0 0,0 0,7 0

2 1,7 0 0,0 2,8 0

3 2,5 1 2,5 6,3 6,3

4 3,3 3 10,0 11,1 33,3

5 4,2 2 8,3 17,4 34,7

6 5,0 3 15,0 25,0 75,0

7 5,8 8 46,7 34,0 272,2

8 6,7 3 20,0 44,4 133,3

9 7,5 1 7,5 56,3 56,3

10 8,3 4 33,3 69,4 277,8

11 9,2 2 18,3 84,0 168,1

12 10,0 2 20,0 100,0 200,0

∑ f = 29 ∑f,x =181,7

∑𝑓. 𝑥2 =1256,9



Tabla N° 17: Resultados de la evaluación formativa 1 del grupo de control

N° Calificaciones (x) Frecuencia (f) 𝒇. 𝒙 𝒙𝟐 𝒇. 𝒙𝟐

1 0,8 0 0,0 0,7 0,0

2 1,7 2 3,3 2,8 5,6

3 2,5 3 7,5 6,3 18,8

4 3,3 5 16,7 11,1 55,6

5 4,2 2 8,3 17,4 34,7

6 5,0 5 25,0 25,0 125,0

7 5,8 4 23,3 34,0 136,1

8 6,7 5 33,3 44,4 222,2

9 7,5 3 22,5 56,3 168,8

10 8,3 0 0,0 69,4 0,0

11 9,2 1 9,2 84,0 84,0

12 10,0 0 0,0 100,0 0,0

∑ f = 30 ∑x.f = 149,2

∑𝑓. 𝑥2 = 850,7



77




=181,7

29= 6,3


=149,2

30= 5,0



𝜎𝑒 = √∑𝑓. 𝑥𝑖2

𝑛𝑒− 𝑥𝑒̅̅ ̅

2

𝜎𝑒 = √1256,9

29−6,32

𝜎𝑒 = √3,65

𝜎𝑒 = 1,91

𝜎𝑐 = √∑𝑓. 𝑥𝑖2


2

𝜎𝑐 = √850,7

30−52

𝜎𝑐 = √3,36

𝜎𝑐 = 1,83

78

Gráfico N° 13: Media aritmética de la evaluación formativa 1



Se puede observar que el promedio obtenido por el grupo experimental es de 6,3/10 de

rendimiento y el promedio del grupo de control es de 5,0/10 de rendimiento; como

conclusión, el grupo en el cual se aplicó el programa informático obtuvo mejor rendimiento

académico.

6,3

5,0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


C

a

l

i

f

i

c

a

c

i

o

n

e

s

Evaluación Formativa 1

Experimental

Control

79

Evaluación N° 3


Tabla N° 18: Resultados de la evaluación formativa 2 del grupo experimental.


1 0,8 0 0,0 0,7 0

2 1,7 0 0,0 2,8 0

3 2,5 2 5,0 6,3 12,5

4 3,3 0 0,0 11,1 0,0

5 4,2 3 12,5 17,4 52,1

6 5,0 5 25,0 25,0 125,0

7 5,8 5 29,2 34,0 170,1

8 6,7 4 26,7 44,4 177,8

9 7,5 5 37,5 56,3 281,3

10 8,3 3 25,0 69,4 208,3

11 9,2 1 9,2 84,0 84,0

12 10,0 1 10,0 100,0 100,0

∑𝑓 = 29 ∑𝑓. 𝑥 = 180,0 ∑𝑓. 𝑥2 = 1211,1



Tabla N° 19: Resultados de la evaluación formativa 2 del grupo de control


1 0,8 1 0,8 0,7 0,7

2 1,7 0 0,0 2,8 0,0

3 2,5 0 5,0 6,3 0,0

4 3,3 2 10,0 11,1 22,2

5 4,2 3 33,3 17,4 52,1

6 5,0 8 30,0 25,0 200,0

7 5,8 6 23,3 34,0 204,2

8 6,7 4 13,3 44,4 177,8

9 7,5 2 30,0 56,3 112,5

10 8,3 4 0,0 69,4 277,8

11 9,2 0 0,0 84,0 0,0

12 10,0 0 0,0 100,0 0,0

∑𝑓 = 30 ∑𝑓. 𝑥 = 145,8 ∑𝑓. 𝑥2 = 1047,2



80

1. Cálculo de la media aritmética



=180,0

29= 6,2


=145,8

30= 4,9

2. Cálculo de la desviación típica


𝜎𝑒 = √∑𝑓. 𝑥𝑖2


2

𝜎𝑒 = √1211,1

29−6,22

𝜎𝑒 = √3,32

𝜎𝑒 = 1,82

𝜎𝑐 = √∑𝑓. 𝑥𝑖2


2

𝜎𝑐 = √1047,2

30−4,92

𝜎𝑐 = √10,90

𝜎𝑐 = 3,30

81




El promedio que obtuvo el grupo experimental en la evaluación formativa 1 es de 6,2/10 y el

promedio del grupo de control es de 4,9/10 del rendimiento académico. Se puede observar

que el grupo experimental obtuvo un mejor rendimiento académico.

6,2

4,9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


C

a

l

i

f

i

c

a

c

i

o

n

e

s


Experimental

Control

82

Evaluación N° 4


Tabla N° 20: Resultados de la evaluación formativa 3 del grupo experimental.


1 0,8 0 0,0 0,7 0,0

2 1,7 0 0,0 2,8 0,0

3 2,5 0 0,0 6,3 0,0

4 3,3 4 13,3 11,1 44,4

5 4,2 2 8,3 17,4 34,7

6 5,0 3 15,0 25,0 75,0

7 5,8 8 46,7 34,0 272,2

8 6,7 4 26,7 44,4 177,8

9 7,5 6 45,0 56,3 337,5

10 8,3 2 16,7 69,4 138,9

11 9,2 0 0,0 84,0 0,0

12 10,0 0 0,0 100,0 0,0

∑𝑓 = 29 ∑𝑓. 𝑥 = 171,7

∑𝑓. 𝑥2 = 1080,6



Tabla N° 21: Resultados de la evaluación formativa 3 del grupo de control.


1 0,8 0 0,0 0,7 0

2 1,7 0 0,0 2,8 0

3 2,5 0 0,0 6,3 0,0

4 3,3 2 6,7 11,1 22,2

5 4,2 1 4,2 17,4 17,4

6 5,0 3 15,0 25,0 75,0

7 5,8 5 29,2 34,0 170,1

8 6,7 3 20,0 44,4 133,3

9 7,5 6 45,0 56,3 337,5

10 8,3 6 50,0 69,4 416,7

11 9,2 4 36,7 84,0 336,1

12 10,0 0 0,0 100,0 0,0

∑𝑓 = 30 ∑𝑓. 𝑥 = 206,7

∑𝑓. 𝑥2 = 1508,3



83




=171,7

29= 5,9


=206,7

30= 6,9



𝜎𝑒 = √∑𝑓. 𝑥𝑖2


2

𝜎𝑒 = √1080,6

29−5,92

𝜎𝑒 = √2,45

𝜎𝑒 = 1, 57

𝜎𝑐 = √∑𝑓. 𝑥𝑖2


2

𝜎𝑐 = √1508,3

30−6,92

𝜎𝑐 = √2,67

𝜎𝑐 = 1,63

84




Se puede observar que el promedio de la evaluación formativa 3 del grupo de control es

mayor que el del grupo experimental 6,9/10 y 5,9/10 respectivamente; por lo tanto, en esta

evaluación tiene mejor rendimiento académico el grupo de control.

5,9

6,9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


C

a

l

i

f

i

c

a

c

i

o

n

e

s


Experimental

Control

85

Evaluación N° 5

TEMA: Evaluación sumativa

Tabla N° 22: Resultados de la evaluación sumativa del grupo experimental


1 0,8 0 0,0 0,7 0

2 1,7 0 0,0 2,8 0

3 2,5 0 0,0 6,3 0,0

4 3,3 1 3,3 11,1 11,1

5 4,2 2 8,3 17,4 34,7

6 5,0 4 20,0 25,0 100,0

7 5,8 8 46,7 34,0 272,2

8 6,7 6 40,0 44,4 266,7

9 7,5 1 7,5 56,3 56,3

10 8,3 3 25,0 69,4 208,3

11 9,2 4 36,7 84,0 336,1

12 10,0 0 0,0 100,0 0,0

∑𝑓 = 29 ∑𝑓. 𝑥 = 187,5

∑𝑓. 𝑥2 = 1285,4



Tabla N° 23: Resultados de la evaluación sumativa del grupo de control

N° Calificaciones (x) Frecuencia(f) 𝒇. 𝒙 𝒙𝟐 𝒇. 𝒙𝟐

1 0,8 0 0,0 0,7 0

2 1,7 0 0,0 2,8 0

3 2,5 1 2,5 6,3 6,3

4 3,3 3 10,0 11,1 33,3

5 4,2 2 8,3 17,4 34,7

6 5,0 6 30,0 25,0 150,0

7 5,8 2 11,7 34,0 68,1

8 6,7 5 33,3 44,4 222,2

9 7,5 8 60,0 56,3 450,0

10 8,3 2 16,7 69,4 138,9

11 9,2 1 9,2 84,0 84,0

12 10,0 0 0,0 100,0 0,0

∑𝑓 = 30 ∑𝑓. 𝑥 = 181,7

∑𝑓. 𝑥2 = 1187,5



86




=187,5

29= 6,5


=181,7

30= 6,1



𝜎𝑒 = √∑𝑓. 𝑥𝑖2


2

𝜎𝑒 = √1285,4

29−6,52

𝜎𝑒 = √2,07

𝜎𝑒 = 1, 44

𝜎𝑐 = √∑𝑓. 𝑥𝑖2


2

𝜎𝑐 = √1187,5

30−6,12

𝜎𝑐 = √2,37

𝜎𝑐 = 1,54

87

Gráfico N° 16: Media aritmética de la evaluación sumativa



El promedio que obtuvo el grupo experimental es de 6,5/10 y el promedio del grupo de

control es de 6,1/10, razón por la cual se puede concluir que el grupo experimental tiene

mejor rendimiento académico.

4.2. Análisis y prueba de hipótesis:

Hi: ce xx

A1: ce xx

A2: ce xx

Ho: ce xx

6,56,1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


C

a

l

i

f

i

c

a

c

i

o

n

e

s

Evaluación Sumativa

Experimental

Control

88

Tabla N° 24: Registro de evaluaciones del grupo experimental

N° Evaluaciones Media Aritmética Desviación estándar

1 Evaluación 1 6,3 1,91



4 Evaluación sumativa 6,5 1,44

PROMEDIO GENERAL 6,2 1,69

Fuente: Instrumentos de evaluación


Tabla N° 25: Registro de evaluaciones del grupo de control

N° Evaluaciones Media Aritmética Desviación estándar




4 Evaluación sumativa 6,1 1,54

PROMEDIO GENERAL 5,7 2,10

Fuente: Instrumentos de evaluación


Determinación de valores críticos y sus regiones de rechazo:

Mediante el cálculo de la prueba paramétrica Z se rechaza la hipótesis nula si:

𝑧𝑐 < −𝑧𝑡; −𝑧𝑡 = −1,96 o también 𝑧𝑐 > 𝑧𝑡; 𝑧𝑡 = 1,96 donde zt es el valor teórico de Z

para un nivel de significación del 5%, 𝛼 = 0,05; es decir que la investigación tendrá un 95%

de confiabilidad; caso contrario se acepta la hipótesis de investigación con una de las dos

alternativas.

89

Cálculos con la prueba paramétrica Z:

2,6ex

7,5cx

69,1e

10,2c

29en

30cn

c

c

e

e

ce

nn

xxZc

22

30

41,4

29

86,2

7,52,6

Zc

50,0

50,0Zc

00,1Zc

4.2. Toma de decisión estadística

Al comparar el valor de Z calculado y el valor de Z teórico 𝑧𝑐 < 𝑧𝑡; 1,00 < 1,96. Podemos

observar que zc = 1,00 está en la zona de rechazo de la hipótesis de investigación; si se

compara la media aritmética, existe una diferencia: �̅�e = 6,2 y �̅�c = 5,7 ; es decir �̅�e > �̅�c por lo

que se puede afirmar que acepta la alternativa uno de la hipótesis de investigación.

En otras palabras, el uso del programa k-bruch influye en el rendimiento académico, pero no

lo mejora.

Gráfico N° 17: Valores de Z teórica y Z calculada.

Fuente: Cálculo de Z mediante el programa Geogebra.


Hi

90

CAPÍTULO V

5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

5.1. Conclusiones

De acuerdo con los resultados obtenidos, se puede observar que Zc = 1,00 está en la zona de

aceptación de la hipótesis de investigación, lo cual nos lleva a rechazar la hipótesis nula Ho:

�̅�e = 𝑥 ̅c y aceptar la hipótesis de investigación Hi: �̅�e ≠ 𝑥 ̅c con la alternativa A1: 𝑥 ̅e > 𝑥 ̅c, es

decir el programa k-bruch si incide en el rendimiento académico de los estudiantes.

Se puede decir que al aplicar en el aula el programa K-bruch se observó una mayor

incentivación en los estudiantes, ya que es un programa nuevo e innovador el cual despertó el

interés por aprender matemática.

5.2. Recomendaciones

En base a la presente investigación y por las conclusiones obtenidas, se puede recomendar lo

siguiente:

1. Que los docentes adopten modernas metodologías y técnicas de enseñanza en las que se

incluyan las TIC, pero que las mismas deben estar acorde con los contenidos y con la

capacidad de los estudiantes.

2. Que las universidades, que son las encargadas de formar a los futuros profesionales,

incluyan en el proceso de enseñanza-aprendizaje el uso de herramientas científicas y

tecnológicas.

3. Que un docente no pierda su esencia y persiga siempre su fin que es el formar a personas

de bien.

4. Se recomienda usar el programa educativo k-bruch pero solo en el caso de suma, resta,

multiplicación y división de fracciones, ya que en contenidos más avanzados como es el

caso de operaciones combinadas con fracciones y fracciones complejas no es de gran

utilidad y los estudiantes comprenden con mayor facilidad la explicación del docente.

91

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“concepto científico” dentro del proceso general de investigación? Recuperado de:

http://www.sociedadelainformacion.com/25/investigacion.pdf

Sautel, S.(2006). Problemática educativa contemporánea. Plan de actividades docentes

http://www.memoria.fahce.unlp.edu.ar/programas/pp.359/pp.359.pdf

Sierra, M. (2012). Tipos más usuales de investigación. Recuperado de:

https://www.uaeh.edu.mx/docencia/P_Presentaciones/prepa3/tipos_investigacion.pdf

Sunkel, G. (diciembre de 2006). Las TIC en la educación en América Latina. Una

exploración de indicadores. Recuperado de:

http://www.cepal.org/socinfo/noticias/documentosdetrabajo/9/27849/Serie126final.pdf.

http://www.monografias.com/trabajos16/personal-docente/personal-docente.shtml#ixzz4Me0BeSip

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http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/Fdistancia/MAIC/CONGRESOS/SEGUNDO/009%20Los%20medios.pdf

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https://www.ecured.cu/Kenneth_Richmond_Andrews

http://es.slideshare.net/MoisesLogroo/metodologa-didctica-y-participativa

http://es.slideshare.net/guest1c3848db/nerici

http://diposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/20322/1/Dise%C3%B1o_de_investigaciones.pdf

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http://www.cepal.org/socinfo/noticias/documentosdetrabajo/9/27849/Serie126final.pdf

95

ANEXOS

ANEXOS

96

ANEXO N° 1: Designación de tutor para la realización del proyecto

97

ANEXO N° 2: Autorización de la Rectora de la Unidad Educativa Emaús de Fe y

Alegría para la realización del proyecto

98

ANEXO N° 3: Validación del documento base por parte de la Lcda. Mayra Lamiña,

docente de matemática de la Unidad Educativa Emaús

99

ANEXO N° 4: Validación del documento base por parte del MSC. William Carrera,

docente de la Universidad Central, carrera de Matemática y Física

101

ANEXO N° 5: Validación del documento base por parte del MSc. Milton Coronel

docente de la Universidad Central, carrera de Matemática y Física

103

ANEXO N° 6: Validación de instrumentos de evaluación diagnóstica por parte de la

Lcda. Viviana Lamiña, docente de matemática de la Unidad Educativa Emaús

104

ANEXO N° 7: Validación de la evaluación formativa 1 por parte de la Lcda. Viviana

Lamiña, docente de matemática de la Unidad Educativa Emaús

105



106



107

ANEXO N° 10: Validación de la evaluación sumativa por parte de la Lcda. Viviana


108

ANEXO N° 11: Validación de la evaluación diagnóstica por parte del MSc. Milton

Coronel, docente de matemática de la Universidad Central, carrera de Matemática y

Física

109

ANEXO N° 12: Validación de la prueba formativa 1 por parte del MSc. Milton Coronel,

docente de matemática de la Universidad Central, carrera de Matemática y Física

110



111



112

ANEXO N° 15: Validación de la sumativa por parte del MSc. Milton Coronel, docente

de matemática de la Universidad Central, carrera de Matemática y Física

113

ANEXO N° 16: Validación prueba diagnóstica por parte del Lic. Henry Quingatuña,

docente de lengua y literatura de la Unidad Educativa Emaús

114


Quingatuña, docente de lengua y literatura de la Unidad Educativa Emaús

115



116



117

ANEXO N° 20: Validación de la prueba sumativa por parte del Lic. Henry Quingatuña,

docente de lengua y literatura de la Unidad Educativa Emaús

118

ANEXO N° 21: Nómina de estudiantes del grupo experimental

119

ANEXO N° 22: Nómina de estudiantes del grupo de control

120

ANEXO N° 23: Instrumentos de evaluación

UNIDAD EDUCATIVA “EMAÚS” DE FE Y ALEGRÍA

Apellidos y nombres:………………………………………………….

Curso: Noveno de Básica Paralelo:………Asignatura: Matemática Profesor: Flavio

Plazarte

Fecha:…………………

INSTRUCCIONES:

Lea con atención cada pregunta.

Si la pregunta contiene gráficos, obsérvalos detenidamente.

Cada pregunta presenta cuatro opciones de respuesta (A, B, C y D), de las cuales solo

una es la correcta

Cada pregunta tiene la valoración de un punto (1pto.)

Es recomendable no detenerte en preguntas que no sabes o no recuerdas la respuesta,

puedes responderla al final si te queda tiempo

1. El resultado de la operación: (−𝟑) + [−𝟓 + 𝟑 − (−𝟑 + 𝟒)] + (−𝟑) es:

A. 8 B. −8 C. 9 D. −9

2. Escoge el literal que completa la siguiente frase:

El mayor de dos números enteros positivos es el que tiene ________valor absoluto.

El mayor de dos números enteros negativos es el que tiene _______ valor absoluto

A. Menor – menor B. menor – mayor C. mayor – menor D. mayor –

mayor

3. Si un submarino se encuentra a una profundidad de 215 m bajo el nivel del mar y

desciende hasta una profundidad de 465 m por debajo del nivel del mar. La

cantidad de metros que ha descendido es:

A. 680 m B. 250 m C. 350 m D. 780 m

4. Al resolver la operación: 𝟑

𝟗−

𝟏

𝟓+

𝟐

𝟒 se obtiene como resultado:

A. 17

20 B.

15

180 C.

4

8 D.

19

30

Instrumento de Diagnóstico

121

5. Los 𝟐

𝟓 de 1000 es:

A. 200 B. 300 C. 400 D. 500

6. Los tres siguientes términos que completan la sucesión −𝟏𝟓,−𝟏𝟐,−𝟗,−𝟔,… ,… ,… son:

A. −3; 1; 3 B. −3; 0; 3 C. 3; −1; 3 D. 3; 0; −3

7. En la prueba de 100 m planos de una competición atlética se han registrado las

siguientes marcas: 12 segundos, 9 segundos 85 centésimas, 10 segundos 95

centésimas, 10 segundos 30 centésimas, 10 segundos 5 centésimas. Teniendo en

cuenta que, el representante de Canadá ha sido el primero, España ha quedado en

penúltima posición, el representante de Panamá ha llegado a 2 segundos y 15

centésimas del primero, Ecuador ha quedado en segunda posición y el representante

estadounidense ha llegado 25 centésimas después de la marca 10 segundos 5

centésimas; el orden de llegada es:

A. 1° Ecuador, 2° Canadá, 3° España, 4° Panamá, 5° Estados Unidos

B. 1° Canadá, 2° Ecuador, 3° Panamá, 4° Estados Unidos, 5° España

C. 1° Canadá, 2° Ecuador, 3° Estados Unidos, 4° España, 5° Panamá

D. 1° Estados Unidos, 2° Ecuador, 3° España, 4° Panamá, 5° Canadá

8. Relaciona las cantidades con sus respectivas cifras:

1. Seis unidades y quince centésimas a. 0,16

2. Dos milésimas b. 1,406

3. Dieciséis centésimas c. 6,15

4. Una unidad, cuatrocientas seis milésimas d. 0,002

A. 1a, 2b, 3c, 4d B. 1b, 2d, 3c, 4a C. 1c, 2d, 3a, 4b D. 1d, 2c, 3a, 4b

9. El resultado de la operación 𝟐, 𝟓 𝐱 (𝟑𝟒 − 𝟏𝟎, 𝟓) − 𝟑 𝐱 (𝟐 − 𝟏, 𝟓 + 𝟐, 𝟕 𝐱 𝟏, 𝟐) es:

A. 37,53 B. 47,53 C. 57,55 D. 67,53

10. La frase “el doble de la suma de dos cantidades” simbólicamente es representado

por la expresión:

A. (𝑎 + 𝑏)2 B. 𝑎2 + 𝑏 C. 2(𝑎 + 𝑏) D. 𝑎3

11. Indica cuáles de las siguientes cartas contienen términos semejantes:

A. 1 y 2 B. 1 y 3 C. 3 y 4 D. 3 y 5

a + bc

1

3b2

2

2

3abc

3

3ab2

4

3abc

5

122

12. Los siguientes datos corresponde a las veces que han ido al cine durante el último

mes cada uno de los alumnos de una clase: 3, 1, 0, 1, 2, 2, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 2, 1, 2, 2, 0, 1.

El término medio o promedio de las veces que se han ido al cine los estudiantes es:

A. 1,5 B, 2,5 C. 3,5 D. 4,5

Flavio Plazarte Estudiante

DOCENTE

123




Plazarte

Fecha:…………………

INSTRUCCIONES:




una es la correcta




1. Una de las siguientes expresiones indica el número de partes en que se ha dividido la

unidad:

B. Línea de fracción C. Denominador

C. Numerador D. Residuo

2. La fracción irreducible equivalente a 𝟐𝟒

𝟏𝟒 es:

B. 48

24 B.

12

7 C.

3

2 D.

14

8

3. El número que completa el espacio de la expresión 𝟒

𝟓 de…...= 200 es:

B. 150 B. 250 C. 350 D. 450

4. La fracción equivalente a −𝟑

𝟕 con denominador 63 es:

B. 27

63 B.

24

−63 C. −

27

63 D.

−27

−63

Instrumento de evaluación Formativa 1

124

5. José ha tardado dos horas con treinta minutos en llegar de Quito a Riobamba. Si

durante el viaje se han perdido quince minutos debido a las paradas que ha hecho el

bus, la fracción del tiempo total que representan los minutos perdidos en las paradas

es:

B. 4

10 B.

3

10 C.

2

10 D.

1

10

6. La fracción irreducible de −𝟓𝟒

𝟕𝟐 es:

B. −9

12 B.

3

4 C.

9

12 D. −

3

4

7. Completa:

Si dos fracciones tienen el mismo denominador, es _______ la que tenga el _______

de mayor valor.

A. Mayor – denominador C. Mayor – numerador

B. Menor – numerador D. Igual – denominador

8. Al ordenar de mayor a menor 𝟑

𝟒 , −

𝟏

𝟒 ,

𝟏

𝟒 , −

𝟑

𝟒 , 𝟏 , −𝟏 , 𝟎 se obtiene

B. −1 < −3

4< −

1

4< 0 <

1

4<

3

4< 1 C. 1 <

3

4<

1

4< 0 < −

1

4< −

3

4< −1

C. −1 > −3

4> −

1

4> 0 >

1

4>

3

4> 1 D. 1 >

3

4>

1

4> 0 > −

1

4> −

3

4> −1

9. El m.c.m de las fracciones 𝟓

𝟏𝟐 𝐲

𝟑

𝟐𝟎 es:

B. 240 B. 20 C. 60 D. 32

10. Los cuatro meses del año es equivalente a

B. 1

2 B.

1

3 C.

2

3 D.

4

3

11. Indica cuáles de las siguientes cartas contienen fracciones equivalentes:

B. 1 y 2 B. 1 y 3 C. 3 y 4 D. 3 y 5

21

14

1

7

2

2

3

4

3

10

21

4

15

20

5

125

12. Al expresar 15 cm como fracción de metro, se obtiene:

B. 20

3 B.

3

20 C.

5

3 D.

3

5


DOCENTE

126




Plazarte

Fecha:…………………

INSTRUCCIONES:




una es la correcta




1. La definición simbólica: Si 𝒂

𝒃,𝒄

𝒅∈ ℚ →

𝒂

𝒃+

𝒄

𝒅=

𝒄

𝒅+

𝒂

𝒃 corresponde a:

D. Propiedad asociativa C. Propiedad del opuesto

E. Propiedad modulativa D. Propiedad conmutativa

2. Selecciona el literal que completa la siguiente frase:

Para sumar o restar fracciones homogéneas, sumamos o restamos los _______ y

escribimos el mismo _______

C. Numeradores – numerador C. Numeradores – denominador

D. Denominadores – numerador D. denominadores – denominador

3. El resultado de la operación 𝟑

𝟕+

𝟐

𝟐𝟏−

𝟏

𝟏𝟒 es

C. 17

15 B.

19

42 C.

19

21 D. −

19

42

4. Al resolver 𝟓

𝟑(−𝟏𝟐

𝟕) +

𝟏

𝟐÷

𝟐

𝟑−

𝟓

𝟗 obtenemos:

C. 671

252 B.

173

36 C. −

173

36 D. −

671

252


127

5. A continuación se presenta los pasos para resolver operaciones combinadas con

números fraccionarios: (1) resolvemos multiplicaciones y divisiones en el orden en

que aparecen, (2) Resolvemos paréntesis y corchetes, (3) Resolvemos sumas y restas.

El orden recomendable a seguir es:

C. (1), (2), (3) B. (2), (3), (1) C. (2), (1), (3) D. (3), (2), (1)

6. Diego bebió 𝟏

𝟕 de medio litro de helado. La fracción de litro de helado que bebió es:

C. 1

2 B.

1

4 C.

1

14 D.

3

14


La propiedad modulativa de la suma indica que, si sumamos _______a cualquier

número racional, obtenemos _______ número racional

C. Uno – el mismo C. Cero - otro

D. Uno – otro D. Cero – el mismo

8. Carmen ha comprado un pastel y lo reparte a tres personas de la siguiente manera:

a Diana 𝟏

𝟑, a Andrés

𝟑

𝟓 y a Gonzalo el resto. La cantidad de pastel que recibió

Gonzalo es:

D. 3

5 B.

2

15 C.

1

15 D.

2

5

9. Paúl sale a la calle con $ 40. En diversas compras se gasta las cuatro quintas partes

de ésta cantidad. La cantidad de dinero que le sobra es:

C. 32 B. 8 C. 28 D. 12

10. El resultado de (𝟑

𝟓+

𝟏

𝟑) .

𝟏

𝟐+

𝟑

𝟐 es:

C. 30

59 B.

59

30 C.

17

23 D.

23

17

11. Al resolver 𝟑 +𝟑

𝟏𝟒 +

𝟐

𝟕𝟑

𝟖 −

𝟏

𝟐

−𝟒

𝟗 se obtiene como resultado:

A. −13

9 B.

13

9 C. −

15

4 D.

15

4

128

12. Relaciona la propiedad con su definición:

1. Propiedad clausurativa a. Si 𝑎

𝑏,𝑐

𝑑∈ ℚ →

𝑎

𝑏+

𝑐

𝑑=

𝑐

𝑑+

𝑎

𝑏

2. Propiedad asociativa b. Si 𝑎

𝑏,𝑐

𝑑,𝑒

𝑓∈ ℚ → (

𝑎

𝑏+

𝑐

𝑑) +

𝑒

𝑓=

𝑎

𝑏+ (

𝑐

𝑑+

𝑒

𝑓)

3. Propiedad modulativa c. Si 𝑎

𝑏,𝑐

𝑑∈ ℚ → (

𝑎

𝑏+

𝑐

𝑑) ∈ ℚ

4. Propiedad conmutativa d. Si 𝑎

𝑏∈ ℚ →

𝑎

𝑏+ 0 = 0 +

𝑎

𝑏=

𝑎

𝑏

A. 1a, 2b, 3c, 4d B. 1d, 2c, 3b, 4a C. 1d, 2b, 3a, 4c D. 1c, 2d, 3b,

4a


DOCENTE

129




Plazarte

Fecha:…………………

INSTRUCCIONES:




una es la correcta




1. Una de las siguientes expresiones corresponde a la propiedad de la potenciación

(𝒂

𝒃)𝒎

. (𝒂

𝒃)𝒏

= (𝒂

𝒃)𝒎+𝒏

F. Potencia de un producto G. División de potencias de la misma base

H. Multiplicación de potencias de la misma base I. Potencia de una potencia

2. El resultado de (𝟐

𝟑)−𝟑

es:

E. −6

9 B. −

8

27 C.

9

6 D.

27

8

3. El resultado de la expresión (𝟒

𝟓)−𝟑

÷ (𝟓

𝟒)−𝟓

es:

D. (4

5)−8

B. (4

5)8

C. (5

4)−2

D. (5

4)2


130

4. Al resolver √−𝟏𝟔

𝟖𝟏 en el conjunto de los racionales se obtiene:

E. 4

9 B. −

4

9 C.

9

4 D. No existe

5. El resultado de la operación √𝟏

𝟐+

𝟕

𝟒+

𝟐

𝟑 es:

D. 6

13 B.

13

6 C.

5

9 D.

9

5

6. La fracción equivalente a 1,2�̂� es:

D. 37

30 B.

123

100 C.

41

30 D.

41

300

7. Relaciona la propiedad con su definición simbólica:

1. Potencia de un producto a. (𝑎

𝑏)𝑚

. (𝑎

𝑏)𝑛

= (𝑎

𝑏)𝑚+𝑛

2. División de potencias de la misma base b. (𝑎

𝑏.𝑐

𝑑)𝑚

= (𝑎

𝑏)𝑚

. (𝑐

𝑑)𝑚

3. Potencia de una potencia c. (𝑎

𝑏)𝑚

÷ (𝑎

𝑏)𝑛

= (𝑎

𝑏)𝑚−𝑛

4. Multiplicación de potencias de la misma base d. [(𝑎

𝑏)𝑚

]𝑛

= (𝑎

𝑏)𝑚.𝑛

A. 1a, 2b, 3c, 4d B. 1b, 2c, 3d, 4a C. 1d, 2a, 3b, 4c D. 1c, 2d, 3a, 4b

8. El resultado de la operación (−𝟑

𝟐)−𝟑

es:

A. 9

8 B. −

9

8 C.

8

27 D. −

8

27

9. Selecciona la frase correcta referente a los signos en la potenciación:

A. Si la base es positiva, el resultado será negativo

B. Si el exponente es negativo, se convierte en positivo invirtiendo la fracción

C. Si el exponente es un número par, el resultado puede ser negativo

D. Si el exponente es un número impar, el resultado siempre será positivo

131


Radicación es la operación inversa de la _______, en la que dado dos números, uno

llamado radicando y otro índice se halla un tercero llamado _______.

D. Suma – raíz C. Multiplicación – producto

E. Potenciación – potencia D. Potenciación – raíz

11. Indica el resultado de 𝟒, 𝟖�̂� − 𝟏, �̂� :

C. 143

90 B.

157

45 C.

143

45 D.

157

90

12. Al resolver

𝟔 − 𝟐𝟓

−𝟔𝟑

𝟐 −

𝟓

𝟑 ×

𝟒

𝟏𝟓

+𝟏

𝟐 √

𝟐

𝟑 −

𝟕

𝟓 + 𝟏

𝟐

𝟑 + 𝟏

se obtiene como resultado:

C. 4 B. 13

19 C. −4 D. −

13

19


DOCENTE

132




Plazarte

Fecha:…………………

INSTRUCCIONES:




una es la correcta




1. La fracción irreducible equivalente a 𝟓𝟔

𝟕𝟐 es:

F. 18

23 B.

12

7 C.

3

2 D.

7

9

2. El número que completa el espacio de la expresión 𝟑

𝟒 de…...= 150 es:

E. 150 B. 200 C. 300 D. 450

3. Carmen ha tardado una hora con treinta minutos en llegar de su casa al colegio. Si

ha tardado 15 minutos esperando al bus, la fracción del tiempo total que

representan los minutos que Carmen ha esperado al bus es:

E. 1

5 B.

2

5 C.

2

6 D.

1

6

Instrumento de evaluación Sumativa

133

4. Escoge el literal que completa la siguiente frase:

Si dos fracciones tienen el mismo numerador, es _______ la que tenga el _______ de

menor valor.

D. Mayor – denominador C. Mayor – numerador

E. Menor – numerador D. Igual – denominador

5. La definición simbólica: Si 𝒂

𝒃,𝒄

𝒅,𝒆

𝒇∈ ℚ → (

𝒂

𝒃+

𝒄

𝒅) +

𝒆

𝒇=

𝒂

𝒃+ (

𝒄

𝒅+

𝒆

𝒇) corresponde a:

J. Propiedad asociativa C. Propiedad del opuesto

B. Propiedad modulativa D. Propiedad conmutativa

6. Relaciona la propiedad con su definición:

5. Propiedad modulativa a. Si 𝑎

𝑏,𝑐

𝑑∈ ℚ →

𝑎

𝑏+

𝑐

𝑑=

𝑐

𝑑+

𝑎

𝑏

6. Propiedad asociativa b. Si 𝑎

𝑏,𝑐

𝑑,𝑒

𝑓∈ ℚ → (

𝑎

𝑏+

𝑐

𝑑) +

𝑒

𝑓=

𝑎

𝑏+ (

𝑐

𝑑+

𝑒

𝑓)

7. Propiedad clausurativa c. Si 𝑎

𝑏,𝑐

𝑑∈ ℚ → (

𝑎

𝑏+

𝑐

𝑑) ∈ ℚ

8. Propiedad conmutativa d. Si 𝑎

𝑏∈ ℚ →

𝑎

𝑏+ 0 = 0 +

𝑎

𝑏=

𝑎

𝑏

B. 1a, 2b, 3c, 4d B. 1d, 2c, 3b, 4a C. 1d, 2b, 3a, 4c D. 1d, 2b, 3c,

4a

7. Carlos sale a la calle con $ 40. En la compra de un reloj se gasta las dos quintas

partes de ésta cantidad y en la compra de una pulsera otras dos quintas partes. La

cantidad de dinero que gasta es:

A. 32 B. 8 C. 28 D. 12

8. Al resolver 𝟓

𝟑(𝟏𝟐

𝟕) −

𝟏

𝟐÷

𝟐

𝟑+

𝟓

𝟗 obtenemos:

A. −573

374 B.

573

374 C. −

671

252 D.

671

252

9. Una de las siguientes expresiones corresponde a la propiedad de la potenciación

(𝒂

𝒃)𝒎

÷ (𝒂

𝒃)𝒏

= (𝒂

𝒃)𝒎−𝒏

A. Potencia de un producto B. División de potencias de la misma base

C. Multiplicación de potencias de la misma base D. Potencia de una potencia

134

10. El resultado de la expresión (𝟒

𝟓)−𝟑

× (𝟓

𝟒)−𝟓

es:

E. (4

5)−8

B. (4

5)8

C. (4

5)−2

D. (4

5)2

11. Relaciona la propiedad con su definición simbólica:

5. Potencia de una potencia a. (𝑎

𝑏)𝑚

. (𝑎

𝑏)𝑛

= (𝑎

𝑏)𝑚+𝑛

6. División de potencias de la misma base b. (𝑎

𝑏.𝑐

𝑑)𝑚

= (𝑎

𝑏)𝑚

. (𝑐

𝑑)𝑚

7. Potencia de un producto c. (𝑎

𝑏)𝑚

÷ (𝑎

𝑏)𝑛

= (𝑎

𝑏)𝑚−𝑛

8. Multiplicación de potencias de la misma base d. [(𝑎

𝑏)𝑚

]𝑛

= (𝑎

𝑏)𝑚.𝑛

A. 1d, 2c, 3b, 4a B. 1b, 2c, 3d, 4a C. 1d, 2a, 3b, 4c D. 1c, 2d, 3a, 4b

12. Al resolver

𝟔 − 𝟐𝟓

−𝟔𝟑

𝟐 +

𝟓

𝟑 ×

𝟒

𝟏𝟓

+𝟏

𝟐 √

𝟐

𝟑 −

𝟕

𝟓 + 𝟏

𝟐

𝟑 + 𝟏

se obtiene como resultado:

D. 4 B. 7

25 C. −4 D. −

7

25


DOCENTE

135

ANEXO N° 24: Certificado de traducción del resumen

136

ANEXO N° 25: Certificado de revisión ortográfica

137

ANEXO N° 26: Diagrama UVE (V Heurística)

CONCEPTOS (PENSAMIENTOS)

METODOLOGÍA (ACTIVIDAD)

FILOSOFÍA

La educación es un

ornamento en la

prosperidad y un

refugio en la

adversidad.

El conocimiento es

poder

RECOMENDACIONES

Que los docentes adoptan

modernas metodologías y

técnicas de enseñanza en

los que se incluyen las

TIC, pero que las mismas

deben estar acorde con

los contenidos y con la

capacidad de los

estudiantes

TEORÍAS

Teorías de aprendizaje:

Gestalt, sociocultural de

Vygotsky, Piaget,

Interdependencia Social,

Desarrollo, Cognitivo

CONCLUSIONES

El programa K-bruch no

puede ser utilizado para

resolver operaciones

combinadas con

operaciones complejas.

PRINCIPIOS

El uso del programa K-bruch

favorece el aprendizaje de la

matemática y por ende permite

mejorar el rendimiento

académico.

TRANSFORMACIONES

De la información tomada se

halló: la media aritmética,

porcentaje, tablas de frecuencia,

diagramas, análisis de

resultados, conclusiones y

recomendaciones.

CONCEPTOS

Enseñanza – Aprendizaje

Programa K-bruch

Rendimiento académico

Fracciones

Operaciones con fracciones

REGISTRO

Resultados de los instrumentos

de evaluación.

ACONTECIMIENTOS

OBJETOS

Estudiantes, programa K-bruch.

138

ANEXO N° 27: Fotografías del grupo experimental

142

ANEXO N° 28: Fotografías del grupo de control

145

ANEXO N° 29: Solicitud dirigido al colegio para la realización de la práctica

146

ANEXO N° 30: Constancia donde se realizó la investigación

ANEXO N° 31: TEXTO BASE

2016

AUTOR:

Flavio Plazarte

INTRODUCCION

En nuestro diario vivir siempre nos encontraremos con situaciones en donde se

hace necesario la aplicación de números fraccionarios para resolver diferentes

problemas. Durante el ejercicio docente en muchas ocasiones se evidencia que,

resolver un ejercicio o problema de aplicación de un determinado tema, siempre

será complejo, razón por la cual, presento este texto con la única finalidad de

facilitar la solución de problemas de aplicación con números fraccionarios.

Este trabajo consta de ejercicios resueltos de fácil comprensión, así como de

aplicaciones prácticas en la vida real. Posee una gran cantidad de ejercicios,

actividades, talleres y problemas planteados, tomando en cuenta siempre que, los

estudiantes deben saber resolver problemas relacionados con el entorno socio

cultural.

El presente texto se ha elaborado como material de guía y apoyo para que el

estudiante se inicie tanto desde un punto de vista teórico como aplicado, en el

estudio de números fraccionarios, es decir, en el análisis, comprensión y aplicación

de sus diferentes operaciones y propiedades.

.

iii

ÍNDICE

INTRODUCCION ................................................................................................................. ii

OBJETIVOS .......................................................................................................................... 1

UNIDAD 1 ............................................................................................................................ 2

NÚMEROS FRACCIONARIOS ........................................................................................ 3

FRACCIONES POSITIVAS Y NEGATIVAS: ................................................................. 4

1.1. FRACCIONES CON SIGNO: ................................................................................. 4

1.2. FRACCIONES EQUIVALENTES: ........................................................................ 5

EJERCICIOS RESUELTOS ............................................................................................................... 6

EJERCICIOS PROPUESTOS ............................................................................................................ 8

1.3. Simplificación de Fracciones ................................................................................... 9

1.4. UBICACIÓN DE FRACCIONES SOBRE LA RECTA NUMÉRICA: ............... 9

EJERCICIOS PROPUESTOS ..........................................................................................................10

1.5. ORDEN Y COMPARACIÓN DE FRACCIONES: ............................................11


UNIDAD 2 .......................................................................................................................... 14

OPERACIONES CON FRACCIONES ........................................................................ 15

2.1. Adición o suma, sustracción o resta, multiplicación o producto y división o

cociente: ........................................................................................................................... 15

EJERCICIOS RESUELTOS .............................................................................................................18


2.2. Operaciones combinadas: .......................................................................................20


............................................................................................................................................. 21

EJERCICIOS PROPUESTOS ...............................................................................................23

Unidad 3 .............................................................................................................................. 24

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN ............................................................................... 25

3.1. Potencia de números fraccionarios: .......................................................................25

EJERCICIOS PROPUESTOS ...............................................................................................28

3.2. Raíz cuadrada de una fracción...............................................................................30




iv

UNIDAD 4 .......................................................................................................................... 34

RELACIÓN ENTRE LAS FRACCIONES Y LOS DECIMALES .................................. 35

4.1. Expresión decimal de una fracción: .......................................................................35


4.2. Fracción generatriz de un número decimal: .........................................................36


BIBLIOGRAFÍA: ................................................................................................................ 38

NETGRAFÍA: ..................................................................................................................... 38

OBJETIVOS

Leer y escribir números fraccionarios

Representar números fraccionarios en notación decimal.

Ordenar y comparar números fraccionarios.

Resolver operaciones combinadas de adición, sustracción,

multiplicación y división.

Simplificar expresiones de números fraccionarios con la

aplicación de las reglas de potenciación y de radicación.

Reconocer y valorar la utilidad de las fracciones para

resolver situaciones de la vida cotidiana.

2

Unidad 1

3

NÚMEROS FRACCIONARIOS

En resumen:

Los números racionales es un conjunto numérico formado por los

números enteros y los números fraccionarios, simbólicamente: ℚ

𝑥/𝑥 = 𝑎

𝑏; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ≠ 0

Una fracción puede considerarse como una parte de una

cantidad

Una fracción se escribe de la forma 𝑎

𝑏 en donde a y b

son números enteros, siendo b ≠ 0

Las fracciones constan de tres elementos:

El denominador indica el número de partes en

que se ha dividido la unidad.

El numerador es el número de partes que se han

tomado de dicha división

La línea de fracción separa al numerador y al

denominador.

Decimales

NÚMEROS

RACIONALES ℚ

Fraccionarios

Naturales ℕ Fracciones

Enteros ℤ

Negativos

4

Para escribir un número entero en forma de

fracción basta con ubicar en el denominador la

unidad, así:

2 = 2

1 3 =

3

1 1 =

1

1

Para calcular la fracción de una cantidad, multiplicamos la fracción por la cantidad, de la

siguiente manera:

¿Qué cantidad son las 4

5 partes de 230?

4

5𝑥230 =

4𝑥230

5= 184

R: Los 4

5 de 230 es 184

FRACCIONES POSITIVAS Y NEGATIVAS:

1.1. FRACCIONES CON SIGNO:

Una fracción negativa puede escribirse de la forma:

−𝑎

𝑏=

−𝑎

𝑏=

𝑎

−𝑏

Se aconseja utilizar la escritura de la fracción negativa −𝑎

𝑏

Una fracción positiva puede escribirse de la forma:

−−𝑎

𝑏= −

𝑎

−𝑏=−𝑎

−𝑏=𝑎

𝑏

Ejemplos:

a. −3

5=

−3

5=

3

−5

b. −−2

7= −

2

−7=

−2

−7=

2

7

5

1.2. FRACCIONES EQUIVALENTES:

Dos fracciones positivas son equivalentes cuando representan la misma parte de la unidad.

Gráficamente:

De manera general dos fracciones 𝑎

𝑏 y

𝑐

𝑑 son equivalentes (≡), si se cumple que:

La igualdad de este producto se conoce como propiedad fundamental de fracciones

equivalentes.

Son fracciones propias aquellas cuyo numerador es menor que el denominador, así por

ejemplo:

a. 2

5 b. −

3

7 c.

12

35

Son fracciones impropias aquellas cuyo

numerador es mayor que el denominador, así por

ejemplo:

a. 7

3 b. −

8

5 c.

45

13

Una fracción es el cociente de dos cantidades, por tanto se recuerda aplicar la ley de los

signos:

+ ÷ + = +

− ÷ − = +

+ ÷ − = −

− ÷ + = −

a.d ≡ b.c

1

5=

2

10=

1

5≡

2

10

UNIDAD

6

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Expresa 25 cm como fracción de metro y decímetro.

2. Calcula:

a. 𝟒

𝟓 de 720 b.

𝟑

𝟒 de…. = 36

Puedes obtener fracciones equivalentes

multiplicando o dividiendo la fracción dada por

un mismo número.

Ejemplo:

3

6 →

3.5

6.5=

15

30 →

3

6≡

15

30

3

6 →

3÷3

6÷5=

1

2 →

3

6≡

1

2

Solución:

1m. = 100cm. → 25cm. como fracción de metro = 25

100𝑚.

1dm. = 10cm. → 25cm. como fracción de decímetro = 25

10𝑑𝑚.

Solución:

a. Para obtener los 4

5 de 720 multiplicamos la fracción por 720, de esta manera:

4

5. 720 = 576

Entonces los 4

5 de 720 es 576

b. Para encontrar el número que falta multiplicamos el resultado por el inverso de

la fracción, así:

4

3 . 36 = 48 → el número que falta es el 48

¿Cómo obtengo

fracciones

7

3. Escribe una fracción equivalente a 𝟒

𝟏𝟐 por multiplicación y otra por división.

4. Escribe una fracción equivalente a −𝟓

𝟕 con denominador 56.

5. Carmen y José han tardado una hora con treinta minutos en llegar del colegio a su

casa. Si han estado 15 minutos en la parada esperando al bus, ¿qué fracción del

tiempo total representan estos minutos de espera?

Solución:

Por multiplicación:

𝟒(5)

𝟏𝟐(5)=

𝟐𝟎

𝟔𝟎 →

𝟒

𝟏𝟐≡

𝟐𝟎

𝟔𝟎

Por división:

𝟒÷4

𝟏𝟐÷4=

𝟏

𝟑 →

𝟒

𝟏𝟐≡

𝟏

𝟑

Solución:

Dividimos 56 para 7 y el resultado será el número por el cual se debe

multiplicar a la fracción para obtener otra equivalente, así:

56 ÷ 7 = 8 → −5(8)

7(8)=

−40

56 →

−5

7≡

−40

56

Solución:

Tiempo total = 1h30min. = 90min.

Tiempo de espera = 15 min.

Fracción del tiempo de espera = 15

90=

1

6

Interpretación: Representan 1

6 del tiempo total

8

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Calcula:

a. 4

5 de 3650 b.

3

8 de 72 c.

3

4 de…..= 12 d.

2

5 de…..= 14

2. Expresa 15 cm como fracción de metro, decímetro, kilómetro y milímetro.

3. ¿En qué situaciones sería necesario emplear fracciones positivas y fracciones

negativas? Describe oralmente cada uno de los casos.

4. Clasifica las siguientes fracciones en positivas y negativas:

𝟓

𝟑 ; −𝟔

−𝟗 ; −𝟒

𝟓 ;

𝟕

−𝟖 ;

−𝟏𝟎

−𝟏𝟑 ; −

𝟑𝟒

𝟏𝟕 ; −

𝟏𝟓

𝟏𝟏 ; 𝟏

𝟐

5. Carlos y Andrés han tardado una hora y cuarto en realizar las compras para la

comida de la semana en un mercado. Si han estado 15 minutos en el puesto de

frutas, ¿Qué fracción del tiempo total representa estos minutos?

6. Encierra en un círculo el literal cuya fracción sea equivalente a −𝟓

𝟔

a. 15

18 b.

−10

12 c.

25

−42 d.

30

−36 e. −

35

24 f. −

55

66

7. Completa el número que falta para que cada uno de los pares de fracciones sean

equivalentes:

a. 5

8=

35 b.

−21

35=

5 c.

7=

21

27 d.

−4=

−15

20 e.

3=

28

8. Escribe una fracción equivalente a −𝟓

𝟕 con numerador 147.

9. Escribe una fracción equivalente a 𝟏𝟐

−𝟏𝟑 con numerador −180.

10. ¿Puedes escribir una fracción equivalente a 𝟏𝟐

−𝟏𝟑 cuyo numerador sea 150? Justifica

tu respuesta.

9

1.3. Simplificación de Fracciones

Simplificar una fracción significa obtener una fracción

irreducible es decir, el numerador y el denominador son

números primos entre sí.

Para simplificar, por ejemplo, la fracción 36

60 existe tres formas diferentes, las cuales se

resumen en el siguiente cuadro:

1. Mediante divisiones sucesivas:

Procedimiento Ejemplo

Dividimos el numerador y el denominador

de forma sucesiva hasta obtener una

fracción irreducible.

𝟑𝟔 ÷ 2

𝟔𝟎 ÷ 2=𝟏𝟖 ÷ 2

𝟑𝟎 ÷ 2=

𝟗 ÷ 3

𝟏𝟓 ÷ 3=𝟑

𝟓

2. Por descomposición en factores:

Se descompone al numerador y al

denominador en factores primos

Eliminamos los factores comunes entre

el numerador y el denominador

𝟑𝟔

𝟔𝟎=

2 .2 .3 .3

2 .2 .3 .5=

𝟑

𝟓

3. Dividiendo el numerador y el denominador para el m.c.d

Calculamos el m.c.d de los términos de

la fracción.

Dividimos el numerador y el

denominador para el m.c.d

El m.c.d de 36

60 es 12

Entonces: 𝟑𝟔÷12

𝟔𝟎÷12=

𝟑

𝟓

1.4. UBICACIÓN DE FRACCIONES SOBRE LA RECTA NUMÉRICA:

DATO IMPORTANTE:

Las fracciones, al igual que los

números enteros pueden

representarse sobre la recta numérica.

La representación gráfica de las

fracciones con signo positivo será a

la derecha del cero en la recta

numérica.

La representación gráfica de las fracciones con signo negativo será a la izquierda del cero en

la recta numérica.

10

Para representar fracciones sobre la recta numérica se sugiere los siguientes pasos:

Procedimiento

Ejemplo 1

Ubicar 12

10

Ejemplo 2

Ubicar −14

4

Simplificamos la fracción

hasta obtener su fracción

irreducible

12

10=6

5

−14

4=−7

2

Dividimos el numerador

para el denominador.

El cociente determina los

extremos del segmento

donde se ubicará la

fracción

6 5

1 1

La fracción se sitúa entre 1

y 2

7 2

1 3

La fracción se sitúa entre

−3 y −4 por ser negativa

Dividimos el segmento

comprendido entre los

extremos en tantas partes

como lo indica el divisor

Finalmente tomamos las

partes que señala el

residuo


1. Simplifica estas fracciones:

a. 132

−54 b. −

34

78 c.

2456

3472 d.

−357

195 e.

865

970 f.

34

−17

2. Aplica tres procesos diferentes y simplifica las siguientes fracciones:

a. −24

36 b.

250

340 c.

91

−273 d. −

360

480 e.

56

64

-4 -7/2 -3

¿Cómo represento

fracciones sobre la recta?

1 6/5 2

11

3. Con tus propias palabras explica tres maneras distintas de obtener fracciones

equivalentes:

4. Representa sobre la recta numérica las siguientes fracciones:

a. −3

4 b.

2

10 c.

28

12

1.5. ORDEN Y COMPARACIÓN DE FRACCIONES:

Gráficamente se comparan dos o más fracciones mediante la recta numérica, tomando en

cuenta siempre que, será mayor todo número que se ubique a la derecha de otro; y, será

menor todo número que se ubique a la izquierda de otro, así:

Se puede también ordenar y comparar dos o más fracciones sin tener que representarlas en la

recta numérica, para lo cual es necesario tener en cuenta las siguientes consideraciones:

Cuando las fracciones tienen el mismo denominador:

Si dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tenga el numerador de

mayor valor.

Ejemplos:

1. Indique la relación entre 3

5 y

7

5 →

7

5>

3

5

− +

Ordenando de mayor a menor se tendrá: 1>3

4>

1

4> 0 > −

1

4> −

3

4> −1

Ordenando de menor a mayor se tendrá: −1< −3

4< −

1

4< 0 <

1

4<

3

4< 1

−3

4

−1 0 −1

4

1

4

3

4

1

12

2. Indique la relación entre 4

−7 y

−2

7 en este caso escribiremos la fracción

4

−7 como

−4

7 para que el denominador sea positivo y poder comparar, de esta manera:

−2

7 >

−4

7

Cuando las fracciones tienen el mismo numerador:

Si dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor aquella que tenga menor

denominador.

Ejemplos:

1. Entre 7

9 y

7

11 →

7

9 >

7

11 2. Entre

6

7 y

6

5 →

6

5>

6

7

Cuando las fracciones tienen distinto numerador y denominador:

En este caso se debe proceder de la siguiente manera:

Ejemplos:

1. Comparar las fracciones: 3

4 y

2

3

Solución:

Reducimos las fracciones a común denominador: m.c.m.(4,3) = 12

Dividimos el m.c.m. para cada denominador: 12 ÷ 4 = 3 y 12 ÷ 3 = 4

Los resultados multiplicamos por las fracciones correspondientes:

Calculamos el

mínimo común

múltiplo de todas

las fracciones

Dividimos el m.c.m

para cada

denominador

Dicho resultado

multiplicamos por

toda la fracción

De esta manera se

obtienen fracciones

con igual

denominador

Comparamos las

fracciones

Escribimos el

resultado

13

3(3)

4(3)=

9

12 y

2.4

3.4=

8

12 comparamos:

9

12>

8

12

Escribimos el resultado: 3

4>

2

3


1. Compara las siguientes fracciones:

a. 3

4 y

5

4 c.

6

7 y

6

11 e.

3

4 y

5

7

b. −5

3 y

5

3 d.

−2

5 y

2

−3 f.

8

−13 y

7

−13

2. Representa sobre la recta numérica las fracciones propuestas y ordénalas de menor

a mayor:

5

6,

3

4,

−7

3,

3

5,

8

7

..

Para calcular el mínimo común múltiplo de dos o más

cantidades, procedemos como en el siguiente ejemplo:

Calcular el m.c.m. de 18 y 36

Descomponemos en factores primos cada una de

las cantidades.

18 = 2 . 32

36 = 22 . 32

Tomamos los factores no comunes y comunes de

mayor exponente.

Para nuestro caso: 22 y 32

Multiplicamos los valores obtenidos:

22 . 32 = 4 . 9 = 36

Concluimos que el m.c.m de 18 y 36 es 36

Razonamiento lógico

Cierto mes del año

tuvo tres domingos

cuyas fechas fueron

números pares.

¿En qué día de la

semana cayó el 20 de

este mes?

Pista: ¿Cuántos

domingos tuvo este

mes?

14

UNIDAD 2

15

OPERACIONES CON FRACCIONES

2.1.Adición o suma, sustracción o resta, multiplicación o producto y división o cociente:

Para resolver las diferentes operaciones con fracciones se debe tener en cuenta que existen

fracciones homogéneas y fracciones heterogéneas.

Fracciones homogéneas: Si tienen el mismo denominador.

Ejemplo: 3

5 ,2

5 ,7

5 ,4

5

Fracciones heterogéneas: Si tienen diferente denominador.

Ejemplo: 3

5 ,4

3 ,7

2 ,5

7

Adición y sustracción

Ejemplos

Para sumar o restar dos o más facciones

se debe considerar que:

Si las fracciones son homogéneas,

simplemente, sumamos o restamos los

numeradores y escribimos el mismo

denominador.

Si las fracciones son heterogéneas,

calculamos el m.c.m, lo dividimos

para cada denominador y lo

multiplicamos por el numerador

correspondiente.

1. 3

5+

4

5−

2

5=

3+4−2

𝟓=

5

5= 1

2. 3

4−

4

3+

2

5−

1

2 m.c.m(4,3,5,2) = 60

= 45−80+24−30

60= −

41

60

Propiedades

Ejemplos

1. Propiedad clausurativa o ley de

composición interna:

La suma de números racionales es

otro número racional.

Simbólicamente:

Si 𝑎

𝑏,𝑐

𝑑∈ ℚ → (

𝑎

𝑏+

𝑐

𝑑) ∈ ℚ

1

2+

1

3=5

6

16

2. Propiedad conmutativa:

Si se cambia el orden de los

sumandos, la suma es la misma.

Simbólicamente:

Si 𝑎

𝑏,𝑐

𝑑∈ ℚ →

𝑎

𝑏+

𝑐

𝑑=

𝑐

𝑑+

𝑎

𝑏

3. Propiedad asociativa:

Tres o más números racionales pueden

asociarse de cualquier forma sin que

el resultado cambie.

Simbólicamente:

Si 𝑎

𝑏,𝑐

𝑑,𝑒

𝑓∈ ℚ → (

𝑎

𝑏+

𝑐

𝑑) +

𝑒

𝑓=

𝑎

𝑏+ (

𝑐

𝑑+

𝑒

𝑓)

4. Propiedad Modulativa:

Si sumamos cero a cualquier número

racional, obtenemos el mismo número

racional. El cero es el módulo de la

suma.

Simbólicamente:

Si 𝑎

𝑏∈ ℚ →

𝑎

𝑏+ 0 = 0 +

𝑎

𝑏=

𝑎

𝑏

5. Propiedad del opuesto:

La suma de dos números racionales

opuestos es cero.

Simbólicamente:

∀𝑎

𝑏∈ ℚ 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 −

𝑎

𝑏∈ ℚ, tal que:

𝑎

𝑏+ (−

𝑎

𝑏) = −

𝑎

𝑏+𝑎

𝑏= 0

6. Propiedad uniforme:

Si a los dos miembros de una igualdad

se adiciona el mismo número racional,

se obtiene otra igualdad.

3

2+

4

3=4

3+

3

2=17

6

(3

4+

5

2) +

1

2=

3

4+ (

5

2+

1

2)

(13

4) +

1

2=3

4+ (3)

15

4=15

4

2

3+ 0 = 0 +

2

3=2

3

2

3+ (−

2

3) = −

2

3+2

3= 0

Partamos de una igualdad cualquiera, por

ejemplo:

−5

6+4

6=2

6−3

6

Adicionamos a los dos miembros la

fracción 2

6

17

−5

6+4

6+𝟐

𝟔=2

6−3

6+𝟐

𝟔

1

6=1

6

Multiplicación

Ejemplos

Se debe tomar en cuenta las siguientes

consideraciones:

Ley de los signos.

De ser posible, simplificar en X es

decir, el numerador de la primera

fracción con el denominador de la

segunda fracción y viceversa

Resolvemos multiplicando numerador

con numerador y denominador con

denominador.

1. 3

5 . (

−7

6) = −

1 .7

5 .2= −

7

10

2. 4

7 .

5

3=

4 . 5

7 .3=

20

21

División

Ejemplos

En la división al igual que en la

multiplicación se considera:

Ley de los signos.

Transformamos en multiplicación

invirtiendo la segunda fracción

Resolvemos mediante el método de

multiplicación

1. 3

7÷ (−

4

21) =

3

7(−

21

4) = −

9

4

2. 5

11 ÷

7

13=

5

11(13

7) =

65

77

1

2

1

3

18


Aplicación en la práctica:

1. Juan ha comprado un pastel y lo reparte a 3 personas de la

siguiente manera: a Carlos 𝟏

𝟑, a Diana

𝟑

𝟓, y a Marcelo el resto.

¿Qué cantidad de pastel recibió Marcelo?

Solución:

Sumamos cada pedazo: 1

3+

3

5=

5+9

15=

14

15

Como se dispone de un pastel, entonces: 1−14

15=

15−14

15=

1

15

Por lo tanto a Marcelo le corresponde 1

15 de pastel

2. Cuatro personas deciden emprender un negocio. Si la primera ofrece aportar la

mitad del capital; la segunda 𝟏

𝟖 y la tercera

𝟏

𝟔 , ¿qué parte del capital aporta la cuarta

persona?

Solución:

Sumamos cada uno de los aportes: 1

2+

1

8+

1

6=

12+3+4

24=

19

24

Como se dispone de un capital, nos resulta: 1−19

24=

24−19

24=

5

24

Conclusión: La cuarta persona aporta 5

24 del capital.

3. Juan bebió 𝟏

𝟕 de medio litro de helado. ¿Qué fracción de litro de helado se bebió

Juan?

Solución:

Juan ha bebido 1

7 de medio litro →

1

7 .1

2=

1

14

Calculamos la fracción de litro: 1

14 . 1 =

1

14

Conclusión: Juan ha bebido 1

14 de litro

19

4. Diego sale de su casa con $ 40. En diversas compras se gasta las cuatro quintas

partes de esta cantidad. ¿Cuántos dólares se ha gastado? ¿Cuántos le quedan?

Solución:

Dinero gastado: 4

5 de 40 →

4

5 . 40 = 32 dinero sobrante: 40 − 32 = 8

Conclusión: Se ha gastado 32 dólares y le sobra 8 dólares.


1. Realiza en tu cuaderno los siguientes ejercicios:

a. −3

4+

2

5 d.

−5

8−

1

2+

2

7 g.

5

12 . (−

24

15) j.

−2

7 ÷

3

14

b. 5

6−

−2

3 e.

4

5+

7

8−

3

5 h.

−2

5 .

7

12 k.

11

13 ÷ (−

33

26)

c. 4

5+

7

8−

3

5 f.

−2

5 .

7

12 i. (−

17

32) . (−

16

34) l. −

35

23 ÷ (−

15

46)

20

2.2.Operaciones combinadas:

Para resolver operaciones combinadas con fracciones se procede como lo explica el siguiente

diagrama:


1. Calcula:

a. −𝟑

𝟒−

𝟑

𝟔.𝟐

𝟕+

𝟏

𝟐

Solución:

Resolvemos primero las multiplicaciones

Resolvemos primero paréntesis y

corchetes

Luego resolvemos multiplicaciones

y divisiones en el orden en que

aparecen

Posteriormente sumas y restas

PASOS PARA RESOLVER

OPERACIONES COMBINADAS CON

FRACCIONES

Solución

3

−3

4−

3

6 . 2

7 +

1

2=−3

4−1

7+1

2

1 1

3 1

21

Luego sumas y restas

b. 𝟑

𝟓−

𝟒

𝟕 .𝟏𝟒

𝟑+

𝟏

𝟐÷

𝟑

𝟒−

𝟓

𝟖

Solución:

Resolvemos primero multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen

Luego sumas y restas

2. Resuelve estas operaciones combinadas:

a.

Solución:

Resolvemos primero el paréntesis:

Resolvemos los corchetes

−3

4−1

7+1

2=−21 − 4 + 14

28=−11

28= −

11

28

72 − 320 + 80 − 75

120=−243

120= −

81

40

3

5−4

7 . 14

3+1

2÷3

4−5

8=3

5−8

3+2

3−5

8

𝟏

𝟓− [

𝟑

𝟒+ (

𝟓

𝟔 . 𝟏

𝟐−𝟕

𝟖) .

𝟐

𝟑] +

𝟒

𝟓

= 1

5− [

3

4+ (

5

12−7

8) .

2

3] +

4

5

1

5− [

3

4+ (

5

6 . 1

2−7

8) .

2

3] +

4

5

= 1

5− [

3

4+ (

10 − 21

24) .

2

3] +

4

5 =

1

5− [

3

4+ (

−11

24) .

2

3] +

4

5

= 1

5− [

3

4+ (

−11

24) .

2

3] +

4

5 =

1

5− [

3

4−11

36] +

4

5 =

1

5− [

27 − 11

36] +

4

5

= 1

5− [

16

36] +

4

5 =

1

5−4

9+4

5

1

2

1 2

22

Finalmente sumas y restas

b.

Solución:

3. Entre tres hermanos deben repartirse 120 dólares. El primero se lleva 𝟕

𝟏𝟓 del total, el

segundo 𝟓

𝟏𝟐 del total y el tercero, el resto. ¿Cuánto dinero se ha llevado cada uno?

Solución:

Calculamos la cantidad de dinero que se lleva cada uno:

El primero 7

15 de 120 =

7

15 . 120 = 56

El segundo 5

12 de 120 =

5

12 . 120 = 50

Sumamos las dos cantidades 56 + 50 = 106

El tercero recibirá la diferencia del total con lo que corresponde a la suma de los dos

hermanos 120 – 106 = 14

Es decir el tercer hermano recibirá 14 dólares.

1

5−4

9+4

5 =

9 − 20 + 36

45 =

25

45 =

5

9

𝟐 − 𝟑 . 𝟏 +

𝟓𝟕

𝟑𝟖

−𝟒

𝟗

2 − 3 . 1 +

57

38

−4

9 = 2 − 3 .

7 + 5738

−4

9

= 2 − 3 .

12738

−4

9

= 2 − 3 . 32

7−4

9

= 2 −96

7−4

9 =

126 − 864 − 28

63 =

−766

63 = −

766

63

23


1. Efectúa las siguientes operaciones combinadas:

a. b.

2. Resuelve;

3. Desarrolla en tu cuaderno:

4. Marcelo leyó en una semana la tercera parte de un libro de 180 páginas y la semana

siguiente, la cuarta parte. Si tarda 4 minutos en leer una página, ¿cuánto tardará en

acabar de leerlo?

5. Tres hermanos disponen de 240 dólares y deciden repartirse de la siguiente manera, 𝟓

𝟖 para el primero y

𝟑

𝟏𝟐 al segundo. ¿Qué cantidad de dinero le corresponde al

tercero?

−3

4−3

6.2

7+1

2−5

8÷15

14+1

3

6

5+1

2−13

15÷26

5−10

9 . 6

5+3

4

−2

3− [

4

5+ (

5

6 ÷

1

2+2

5) .

1

3] +

2

7 a.

1

5−2

3[1

2− (

5

6 . 1

2+8

5) ÷

2

3] +

4

5 c.

1

7+ [

3

4+ (

4

3+2

5) (

5

6 . 1

2−7

8) ] +

4

5 b.

6

7+ [

3

4(4

3+2

5) (

1

2−7

8) ] −

3

2 d

3 +

314 +

27

38 −

12

−4

9 a. 3

2+

315

+25

56

−

15−34

67 +

321

b.

24

Unidad 3

25

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

3.1. Potencia de números fraccionarios:

La potencia es el producto de factores iguales.

Sus elementos son:

En la potenciación se pueden observar las siguientes reglas de los signos:

Si el exponente es negativo, se convierte

en positivo invirtiendo la fracción. (3

4)−2

= (4

3)2

(−3

4)−2

= (−4

3)2

Si la base es positiva, el resultado

siempre será positivo (

1

5)3

=1

125 (

1

5)4

=1

625

Si el exponente es un número impar, el

resultado llevará el signo de la base (−

2

3)3

= −8

27 (

2

3)3

=8

27

Si el exponente es un número par, el

resultado siempre será positivo (−

3

5)4

=81

625 (

3

5)4

=81

625

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

(𝑎

𝑏)𝑛

= 𝑐

𝑑 base

exponente

potencia

26

En la potenciación se cumplen las siguientes propiedades:

Multiplicación de potencias de la

misma base

Potencia de una potencia

En la multiplicación de dos o más

potencias de la misma base, se escribe

la base y se suman los exponentes.

(𝑎

𝑏)𝑚

. (𝑎

𝑏)𝑛

= (𝑎

𝑏)𝑚+𝑛

En la potencia de una potencia se escribe la

base y se multiplican sus exponentes.

[(𝑎

𝑏)𝑚

]𝑛

= (𝑎

𝑏)𝑚.𝑛

División de potencias de la misma

base

Potencia de exponente 1

Para dividir dos potencias de la misma

base, se escribe la base y se restan sus

exponentes.

(𝑎

𝑏)𝑚

÷ (𝑎

𝑏)𝑛

= (𝑎

𝑏)𝑚−𝑛

Todo número cuyo exponente es uno, es

igual al mismo número.

(𝑎

𝑏)1

=𝑎

𝑏

Potencia de un producto

Potencia de exponente 0

En la potencia de un producto se

distribuye el exponente a cada uno de

los factores.

(𝑎

𝑏.𝑐

𝑑)𝑚

= (𝑎

𝑏)𝑚

. (𝑐

𝑑)𝑚

Todo número cuyo exponente es cero, es

igual a uno

(𝑎

𝑏)0

= 1 con a ≠ 0 y b ≠ 0

27


1. Escribe sin resolver el signo de las siguientes potencias:

a. (−4

5)−3

= − d. (8

11)−5

= +

b. (−24

27)2

= + e. (−8

13)7

= −

c. (15

17)−2

= + f. (14

21)6

= +

2. Efectúa:

a. (2

3)−2

= (3

2)2

=9

4 c. (−

5

6)−2

= (−6

5)2

=36

25

b. (−2

3)−3

= (−3

2)3

= −27

8 d. (

5

7)3

=125

343

3. Escribe las siguientes operaciones como una sola potencia:

a. (3

5)2

÷ (3

5)5

= (3

5)2−5

= (3

5)−3

= (5

3)3

b. (5

6)5

. (5

6)8

= (5

6)5+8

= (5

6)13

c. (7−5

3)2

÷ (2

5−2)5

= (2

3)2

÷ (2

3)5

= (2

3)2−5

= (2

3)−3

= (3

2)3

28


1. Completa el siguiente cuadro:

(𝑎

𝑏)0

(𝑎

𝑏)1

(𝑎

𝑏)2

(𝑎

𝑏)3

(𝑎

𝑏)−2

(𝑎

𝑏)−3

1

5

2

3

6

7

8

9

2. Escribe sin resolver el signo de las siguientes potencias:

a. (4

53)−2

= d. (−12

11)−5

=

b. (−25

21)3

= e. (23

31)7

=

c. (−16

17)−2

= f. (−14

21)6

=

3. Completa cada uno de los cuadros con la fracción correspondiente:

a. (1

8)5

x (1

8)4

= d. (9

8)2

÷ (9

8)5

=

29

b. e. {[(3

2)−1

]2

}

3

=

c. (5

6)7

÷ = (5

6)3

f. [(2

10)3

÷ (2

10)4

]−1

=

4. Expresa como una sola potencia las siguientes operaciones:

a. (7

3)2

÷ (7

3)5

= d. [(5

7)5

÷ (5

7)8

]−2

=

b. (6−4

5)2

x (2

8−3)5

= e. [(1

2)3. (

1

2)4]2

[(1

2)5÷ (

1

2)7]−1 =

c. (5

6)−3

÷ (5

6)4

= f. [(3

4)4

. (3

4)−3

]4

=

5. Explica con tus propias palabras la regla de los signos en la potenciación y

escribe un ejemplo para cada una de ellas.

X (2

7)3

= (2

7)2

30

3.2. Raíz cuadrada de una fracción

Se puede considerar los siguientes valores para el radical

RADICACIÓN es la operación inversa de la POTENCIACIÓN, en la que dado

dos números, uno llamado RADICANDO y otro ÍNDICE se halla un tercero

llamado RAÍZ.

En general y para el conjunto ℚ.

La raíz n-sima de un número racional 𝑎

𝑏, es aquel número

𝑐

𝑑, cuya n-sima potencia

(𝑐

𝑑)𝑛

es igual al número dado 𝑎

𝑏.

Los elementos de una raíz son:

√𝑎

𝑏

𝑛=

𝑐

𝑑 ↔ (

𝑐

𝑑)𝑛=

𝑎

𝑏 índice

radicando

radical

raíz

Si el índice es impar, la raíz llevará el

signo del radicando. √−

216

343

3= −

6

7 √

216

343

3=

6

7

Si el índice es par y el radicando

positivo, se tendrán dos raíces √

64

15625

6= +

2

5 y −

2

5

Si el índice es par y el radicando

negativo, no existe la raíz en los ℚ √−

81

16

4 = No existe en el conjunto ℚ

31


1. Halla las raíces de las siguientes cantidades:

a. √−8

27

3 c. √

361

676 e. √

512

125

3

b. √9

121 d. √−

32

3125

5 f. √−

16

81

2. Determina el valor de cada una de las letras para que la igualdad se cumpla:

a. √𝑥

𝑧

3=

2

11 c. √

𝑦

𝑧=

17

21 e. √

𝑛

𝑥

5= −

2

5

b. √𝑦

𝑧=

31

44 d. √

𝑥

𝑦

4=

2

9 f. √

𝑥

𝑧=

4

5

3.3. Operaciones combinadas

Para resolver ejercicios combinados con las seis operaciones fundamentales, se

recomienda el siguiente proceso:

1° Las operaciones agrupadas en

signos de agrupación

3° Multiplicaciones y divisiones

4° Sumas y restas

5° Escribimos el resultado

2° Potencias y raíces

32


2.


Resuelve en tu cuaderno cada una de las siguientes expresiones:

1. (𝟏

𝟖+

𝟑

𝟒−

𝟓

𝟏𝟔) ÷ (

𝟕

𝟏𝟎+

𝟑

𝟓−

𝟗

𝟐𝟎)

2.

√𝟏

𝟒𝐱𝟗

𝟏𝟔𝐱𝟐𝟓

𝟑𝟔+(

𝟏𝟐+𝟏𝟑

𝟐𝟑−

𝟏𝟒

)

−𝟐

√−𝟏

𝟐𝟕

𝟑−𝟏

𝟑

+ 𝟓

3. √𝟏𝟔

𝟐𝟕÷𝟑

𝟒−𝟏

(𝟐

𝟑+𝟏)

𝟑√

𝟗

𝟐𝟓

+(𝟏𝟓

𝟒𝐱𝟐

𝟓𝐱𝟏

𝟑)−𝟏

(𝟏−𝟐

𝟓)−𝟐

𝟏. 𝟓 +

𝟏𝟒 −

𝟏𝟓𝟏𝟐

√𝟏𝟐𝟓𝟐𝟏𝟔

𝟑÷𝟑𝟐

𝟏𝟓

=

5+1

4−

15

12

√125

216

3÷

32

15 =

5+1

4−15

125

6

÷32

15=

60+3−15

125

6

÷32

15=

48

125

6

÷32

15=

24

5÷

32

15=

9

4

=1

100 −

1

40+

3

200+1

6

1− 9

2

=6−15+9+100

6002−9

2

=100

600−7

2

=1

6−7

2

= −1

21

2.

𝟏𝟎−𝟐− 𝟏

𝟐𝟎√𝟑

𝟒−𝟏

𝟐+𝟏𝟓(

𝟏

𝟏𝟎)𝟑+√ 𝟏𝟏𝟔

𝒙𝟐𝟓

𝟔𝟓𝒙𝟏𝟐

𝟓

𝟐√𝟏

𝟓−

𝟏𝟕

𝟏𝟐𝟓

𝟑

−𝟐

− (𝟐𝟑)−𝟐

(𝟐𝟑)𝟐√𝟒𝟗

𝟑−𝟑(𝟏𝟐)−𝟐

= (1

10)2−

1

20√3−2

4+15(

1

1000)+

14𝑥25

65𝑥12

5

2 √

25−17

125

3

−2

− (23)−2

(23)2(23)

(13)3(2)2

=

1

100 −

1

20√1

4+15(

1

1000)+

11035

5

2 √

8

125

3

−2

−

23

(127

)(4)

=1

100−

1

20(1

2)+

3

200+1

6

(5

2 . 2

5)−2−

23

(427

)

33

4.

𝟔−𝟐𝟓

−𝟔𝟐

𝟑−𝟓

𝟑𝐱𝟒

𝟏𝟓

+𝟏

𝟐√

𝟐

𝟑−𝟕

𝟓+𝟏

𝟐

𝟑+𝟏

5.

√𝟑

𝟒+𝟏

𝟑

𝟔

+[ √𝟖

𝟓−𝟐

𝟑

−𝟑

]

−𝟏

−(−𝟐)−𝟐+𝟑

𝟒

(−𝟏

𝟐)−𝟐(−𝟐)−𝟑(−𝟑)𝟐+(−𝟐)÷

𝟒

𝟑−(−𝟏)−𝟐−(𝟏+

𝟏

𝟐)−𝟏

6. √−𝟏+

𝟓

𝟐÷𝟐

𝟔

𝟑

+√(−𝟏

𝟒)÷(−

𝟐

𝟕)−(−

𝟏

𝟐+𝟒)

𝟐÷𝟐+𝟏

[(−𝟑

𝟒+

𝟓

𝟐𝟒)÷√(𝟏𝟐𝟐+𝟓𝟐)÷𝟐𝟐+𝟏−

𝟏

𝟒]

−𝟏

7. √[𝟐

𝟑+(

𝟑

𝟐)−𝟐] √−𝟏+

𝟕

𝟖

𝟑

(𝟏

𝟏𝟎)−𝟏[(𝟑

𝟓)−𝟏+(−𝟏+

𝟓

𝟔)]

𝟑

𝐱 √

𝟏

𝟓÷(−

𝟏

𝟏𝟎𝟎)

[−(−𝟏

𝟑)𝟐−𝟏]

−𝟏

8. −𝟏

𝟐+𝟑

𝟒𝟏

𝟏𝟎−

𝟑

𝟖𝟎

+𝟑

𝟖−

𝟏

𝟏𝟔𝟐

𝟓+

𝟕

𝟐𝟎

−−

𝟓

𝟑𝟐+

𝟓

𝟔𝟒𝟐

𝟓−𝟏

𝟐

+𝟓

𝟒−𝟑

𝟐

−𝟕

𝟏𝟎−

𝟏

𝟐𝟎

−𝟗𝟓

𝟑𝟐

9. √𝟓

𝟐−𝟐

𝟑−𝟓

𝟒+𝟓𝟗𝟑

𝟏𝟐𝟏

𝟔+𝟏

𝟖−𝟏

𝟐+𝟓𝟑

𝟐𝟒

+ 𝟑

𝟒 + √

𝟔𝟒

𝟏𝟐𝟓

𝟑÷ (−

𝟒

𝟓) −

𝟏𝟗

𝟒

10. 𝟏 −𝟏+𝟐𝟐

𝟕÷ [

𝟐

𝟗 .

𝟑

𝟏𝟒(−

𝟏

𝟐)] − √

𝟐

𝟑𝐱

𝟏

𝟐𝟒− √−𝟑 −

𝟑

𝟖

𝟑

34

UNIDAD 4

35

RELACIÓN ENTRE LAS FRACCIONES Y LOS DECIMALES

4.1. Expresión decimal de una fracción:

Si se divide el numerador para el denominador de cualquier fracción, nos

encontramos con diferentes casos de números decimales:

Número decimal limitado: Es el que al calcular su cociente resulta un número

decimal exacto.

Número decimal periódico: Es aquel que al calcular su cociente, resulta una cifra

o un grupo de cifras que se repiten indefinidamente y en un mismo orden. El

periodo corresponde a los dígitos que se repiten sucesivamente y se identifica con

una barra o un arco encima de este.

Número decimal periódico puro: Es la fracción que al calcular su cociente, el

periodo se genera de inmediato

3

4= 3 ÷ 4 = 0,75

2

5= 2 ÷ 5 = 0,4

7

11= 7 ÷ 11 = 0,636363…. = 0,63

7

9= 7 ÷ 9 = 0,77777…. = 0,7

8

11= 8 ÷ 11 = 0,727272… .= 0,72

137

333= 137 ÷ 333 = 0,411411411… .= 0,411

RELACIÓN ENTRE LAS FRACCIONES Y

LOS DECIMALES

36

Número decimal periódico mixto: Es la que, al calcular su cociente, el período

aparece luego de 1, 2 o varias cifras decimales.


4.2. Fracción generatriz de un número decimal:

En el siguiente cuadro se puede observar la forma de calcular la fracción generatriz

correspondiente a un determinado número decimal, ya sea limitado, ilimitado periódico puro

o ilimitado periódico mixto

13

55= 13 ÷ 55 = 0,2363636… = 0,236

17

36= 17 ÷ 36 = 0,47222… = 0,472

623

2475= 623 ÷ 2475 = 0,25171717… = 0,2517

1. Calcula la expresión decimal de las siguientes fracciones

13

15 ,

11

13 ,

−7

15 ,

8

−9 ,

9

11 ,

−5

56

2. Clasifica los siguientes decimales en limitados, ilimitados periódicos puros

e ilimitados periódicos mixtos.

2,242424…; 0,75̂ ; 3,435 ; 8,251̂ ; -2,89 ; 0,5̂ ; 2,13444…

Es la fracción irreducible de la que procede un número decimal

(exacto, periódico puro o periódico mixto)

37

Si el número es un decimal limitado

Ejemplo: 3, 25

Colocamos en el numerador dicho número

sin tomar en cuenta la coma y en el

denominador el uno acompañado de

tantos ceros como indica la parte decimal.

325

100=13

4

Si el número es un decimal ilimitado

periódico puro

Ejemplo: 3,25̂


sin tomar en cuenta la coma y restamos la

parte no periódica, en el denominador

tantos nueves como cifras tiene la parte

periódica

325 − 3

99=322

99

Si el número es un decimal ilimitado

periódico mixto

Ejemplo: 2,325̂


sin tomar en cuenta la coma y restamos la

parte no periódica, en el denominador

tantos nueves como cifras tiene la parte

periódica acompañado de tantos ceros

como cifras tiene la parte decimal no

periódica

2325 − 23

990=2302

990=1151

495


1. Calcula la fracción generatriz de los siguientes números decimales

5,4 ; 2,04 ; 1,235 ; −0,08̂ ; 3,15̂ ; 4,2142̂

2. Efectúa las siguientes operaciones, previamente calcula la fracción

generatriz:

a. 2,5 . 3,25̂ b. (2,8 + 0,25̂) ÷ 3,7̂

38

BIBLIOGRAFÍA:

TORRES, Humberto. (2005). Aciertos-Matemática, Noveno año de educación básica,

Quito, Ecuador, Ediciones Holguín S.A,

MINISTERIO DE EDUCACIÓN DEL ECUADOR. (2008). Texto para estudiantes,

Matemática 9, Quito, Ecuador, Editorial Don Bosco.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN DEL ECUADOR. (2010). Actualización y

Fortalecimiento Curricular de la Educación General Básica, Área de Matemática,

Coordinación Editorial Martha Alicia Guitarra Santacruz.

SANTILLANA, (Ed.), (2000), Matemáticas, Quito, Ecuador, Editorial Doris Arroba.

RODRIGUEZ, Paulina, (ed.), (2004), Matemática Interactiva 9, Quito, Ecuador, Editorial

Radmandí.

ZAPATA, Nirma, (2004), Matemática Fácil 9, Riobamba, Ecuador, Editorial Edipcentro.

NETGRAFÍA:

http://es.slideshare.net/BibliotecasUNAB/sistema-bibliotecas-unab-citas-y-referencias-

bibliogrficas-segn-normas-apa-actualizacin-2014.

http://normasapa.net/normas-apa-2016/

http://www.matematicatuya.com/NIVELACION/NumerosReales/FracCompl.html

http://www.vitutor.com/di/r/problemas_fracciones.html

https://www.youtube.com/watch?v=n_

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