universidad autÓnoma san frnacisco lic. sujey herrera ramos

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA SAN FRNACISCO

LIC. SUJEY HERRERA RAMOS

Matrices

Corolario Rango por columnas = rango por filas

Teorema (espacios renglón iguales). Sea A1 y A2 matrices de tamaño r*q y s*q respectivamente. El espacio renglón de A1 es igual al espacio rengloón de A2 ssi los renglones no cero de las matrices de Gauss coinciden.

El maldito Kernel otra vez

Definición: Sea f:XY una función de X a Y. Con f se asocia una relación de equivalencia llamada equivalencia kernel de f y se denota por Ker f y está definida como sigue:

x1,x2X, x1~x2 ssi f(x1)=f(x2)

(mostrar que sí es una relación de equivalencia y por tanto particiona a X)

Por qué se le llama equivalencia kernel Sucede que en el caso de homomorfismos

si f(x1)=f(x2) f(x1)-f(x2)=0 f(x1-x2)=0, i.e. x1-x2 está en el kernel de f.

Claramente una matriz A puede ser considereda como una función (y aún más, un homomerfismo, chequen en clase esto y verán que si la hace). Entonces el kernel que definimos de A es consistente con el kernel en homomerfismos y sucede que:

Por qué se le llama equivalencia kernel El kernel de A es un subespacio La imagen de A es un subespacio Ya qué no saben qué, A/ker A es un

espacio y se le llama espacio cociente.

Entendamos bien esto, que está demasiado fácil, salvo la primera vez Encontrar Kernel, imagen (range, no

rank), A/Ker A de la siguiente matriz A.

1 -1

-1 1

Sistemas Lineales III:

Control Geométrico-1.8

Sean X y Y dos conjuntos cualesquiera. Sea A:XY una función cualquiera. Entonces se puede definir la relación Ker A de la siguiente forma:

x1~x2 ssi A(x1)=A(x2)

Note que la relación Ker A es una relación de equivalencia.

Como es una relación de equivalencia, entonces diremos que x1x2 (mod Ker A) –x1 es equivalente a x2 módulo Ker A- -También se dice que x1 es congruente a x2 vía Ker A o que la relación Ker A es una congruencia-

Significado geométrico de esta relación

x2

x1

x4

x3

x6

x5y4

y3

y2

y1

Observe que hay tantos clusters como imágenes de A

clustersX Y

Podemos hacer el conjunto de los clusters

Imagen de A


(A menudo yo le llamo conjunto de clustercillos)

clusters

c1={x1, x2, x3}

c2={x4}

c3={x5, x6}

A este conjunto lo llamaremos X/Ker A, o conjunto cociente X/Ker A

Significado geométrico de esta relaciónX/Ker A

c1={x1, x2, x3}

c2={x4}

c3={x5, x6}

Noten que la relación Ker A está dando una medida de la inyectividad de A. Si el número de clusters es igual al número de elementos en X, entonces A es inyectiva.

A los clusters se les llama coconjuntos (cosets) y son justamente los subconjuntos de X sobre los cuales A tiene diferente valor. También se les suele llamar las “fibras” de A.

c1=[0 4 8]

c2=[1 5 9]

c3=[2 6]c4=[3 7]

0 4 81 5 9

2 6

3 7

X

01

2

3

YX/Ker A

Aquí está A

Ejem. A(x)=x módulo 4 -es el residuo de la división, no la congruencia

Como X/Ker A y la imagen de A tienen la misma cantidad de elementos, entoces hay un isomorfismo entre X/Ker A y Im(A) [X/Ker AIm(A)]


c1=[0 4 8]

c2=[1 5 9]

c3=[2 6]c4=[3 7]

0 4 81 5 9

2 6

3 7

X

01

2

3

YX/Ker A

Aquí está A

Significado geométrico de esta relaciónProposición. Sea A:XY y sea PA:XX/Ker A su proyección canónica, entonces g:X/ker Aim(A) tal que A=gPA, donde g es un isomorfismo.

PA

Demostración Definir g(z)=A(x) ssi z=PA(x). Se afirma que g(z) es

función Cubre todo X. Como A es función, entonces a cubre todo

X, y por la definición anterior, g también cubrirá todo X Un valor de X/Ker A no está asociado a dos valores de Y.

Suponer que si es así, (z,y1), (z,y2)g. Entonces y1y2. Por la definición de g se tiene: z= PA(x1), y1=A(x1) y además z= PA(x2), y2=A(x2) Como PA(x1),= PA(x2) implica que A(x1)= A(x2) Entonces y1=y2, una contradicción, entonces Un valor de X/Ker A no está asociado a dos valores de Y

Por tanto g(z) si es función.

Demostración Ahora veremos que g es un isomorfismo.

g es inyectiva. Suponer que no es así, i.e. (z,y),(z’,y)g Entonces zz’ Entonces z=PA(x) y z’=PA(x’) Además A(x)=A(x’)=y. Como tienen la misma y, entonces PA(x)=PA(x’), una

contradicción. Por tanto es inyectiva. g es sobre. Como g:X/Ker AIm(A), sólo abarca las

imágenes de A. Por definición de g, cualquier imagen de A tiene una preimagen en X/Ker A. Por lo tanto g es sobre.

Como es inyectiva y sobre, es un isomorfismo.

Demostración Por definición A=goPA

Significado geométrico de esta relaciónEstamos en los límites...

Si los conjuntos tienen estructura matemática, p.e. X, Y son espacios vectoriales y la función A resulta ser un operador lineal.

Ax1=Ax2 es la relación Ker A. Un caso particular es para la imagen cero.

En este caso todos los x, tales que Ax=0 formarán una clase de equivalencia. Las demás clases de equivalencia las obtendremos al estudiar las otras imágenes de A.

Sin embargo, este proceso puede resultar muy lento, sobre todo porque Y tiene un número infinito de elementos. Una forma más adecuada es estudiarlos a través de la clase de equivalencia del 0 [0].

Significado geométrico de esta relaciónEstamos en los límites...Por ejemplo, si queremos estudiar el caso para la imagen y, entonces debemos encontrar todos los x tales que Ax=y.

x1, x2 [x], Ax1=Ax2=y, entonces A(x1-x2)=0. Entonces si x1[x], se tiene que x2[x] ssi (x1-x2)[0].

Como la clase [0] es un subespacio de X

De hecho si Ax=0 y Ay=0, entonces A(x+y)=0 y por tanto es un subespacio

entonces (x1-x2) span[0], o (x1-x2) = 1e1+2e2+...+nen

Si x1 está fijo, entonces x2= x1-1e1-2e2-...-nen.............................(1)

Como con la clase de equivalencia [0] se generan todas las demás, a está clase la llamaremos genéricamente Kernel de A.


Como se observa, la ecuación (1) es un método para calcular todas las clases de equivalencia [x2].

Se puede ver que es un un espacio vectorial (el del Kernel) desplazado por x1 (cualquier vector de la clase).

A esta clase de equivalencia, y sólo cuando hablamos de operadores lineales en espacios vectoriales, le llamaremos una variedad lineal. No es un espacio, ya que en general, el cero no está incluído en dicha variedad, pero si será un espacio vectorial vía módulo algún vector de la clase.

Ejemplos


A:22 tal que A([x y]T)=[x–y y-x]T. Claramente A es un operador lineal y un vector de la forma [k k]T está en la clase de equivalencia [0] o Kernel de A.

El vector [2 1]T no está en la clase [0], pero si está en la clase [[2 1]T]. Los vectores que pertenecen a esta clase, de acuerdo a la ecuación (1) son:

X=[2 1]T-[1 1]T


Clase [0]

Clase [2 1]T


En realidad, cada clase forma una línea paralela al Kernel de A.


Si tenemos un operador lineal A:VW, entonces el Kernel de A será un subespacio de V, y cada una de las clases de equivalencia será una variedad lineal paralela al Kernel de A.

Más aún, el conjunto de las clases de equivalencia se denotará en la forma común V/Ker A y será llamado el espacio cociente V/Ker A.

Proposición. Sea un operador lineal A:VW, entonces el conjunto V/Ker A es un espacio vectorial.

Demo. En este espacio, el vector nulo es la clase [0]. De hecho se tiene


[v1]=[v1]+[0] para cualquier v1V. De la ecuación (1) x2= v1-1e1-2e2-...-nen se observa que esto es cierto, ya que x2[v1].

Los escalares, son los del campo definido en V.

La suma de vectores [v1]+[v2]=[v3] se define como x1[v1], x2[v2] y x1+x2[v3]. Note que está bien definida ya que cualquier x1[v1] y x2[v2] sirven. De hecho v1- 1[0]+v2- 2[0]=v1+v2- [0]=[v3]

Todas las propiedades se pueden demostrar y resulta un espacio vectorial

Significado geométrico de esta relación,... Pero hay más cosas

Claramente, Im(A)V/Ker A. Vimos que esto se cumple aún en el caso que no sean espacios vectoriales.

Ahora volvamos a los conjuntos.

Vimos que si A:XY, entonces Ker A es una relación de equivalencia.

Por la definición, cualquier función deja una relación de equivalencia en su dominio. Pero, además, nosotros sabemos que una relación de equivalencia sobre un conjunto X es equivalente a una partición de X

Espacios vectoriales con producto interno

Espacios vectoriales con producto interno

5.1 Producto interno 5.2 Desigualdad de Cauchy-Schwarz 5.3 Ortogonalidad 5.4 Procedimiento de Gram-Schmidt 5.5 Espacios normados

Norma

Definición.- Una norma (o norma vectorial) en (V,F) es una funcional que asigna a cada vector v un número real no negativo, llamado norma del vector v, y es denotado por ||v|| y satisface: ||v||>0 para v0, y ||0||=0 ||v||=|| ||v|| escalar y v vector ||u+v||||u||+||v||

Norma

Definición.- Para vectores x=[x1 x2 ... xp]T, las normas ||||1, ||||2, |||| son llamadas norma 1, norma 2 y norma infinito respectivamente y se definen como: ||||1=|x1|+|x2|+...+|xp| ||||2=(|x1|2+|x2|2+...+|xp|2)1/2

||||=max{|x1|, |x2|, ...,|xp|}

Norma

Definición.- Sea |||| una norma en (V,F). Una secuencia de vectores vi se dice que converje al vector v ssi la secuencia de número reales ||vi-v|| Para vectores x=[x1 x2 ... xp]T, las normas ||||1, ||||2, |||| son llamadas norma 1, norma 2 y norma infinito respectivamente y se definen como: ||||1=|x1|+|x2|+...+|xp| ||||2=(|x1|2+|x2|2+...+|xp|2)1/2

||||=max{|x1|, |x2|, ...,|xp|}

Norma

Teorema: Sean x, y dos vectores. Entonces |xTy|||x||2||y||2

Demostración. sabemos 0||x+y||=(x+y)T(x+y)=||x||2

2+ 2 ||y||

22+2 |xTy|

si =-||x||22/xTy, entonces

0-||x||22+(||x||2

4||y||22/xTy|2)

Despejando se llega a la desigualdad

Producto interno

Definición. El producto interno en (V,F) sobre un par de vectores (u,v) que satisface: (u,v)=(v,u) (u+v,w)= (u,w)+ (v,w) (w,u+v)= (w,u)+ (w,v) (u,u)>0, y es igual a cero si u es cero.

Producto interno

El producto interno (u,v)1/2 induce una norma en el espacio vectorial.

Definición. Sean el producto interno (,) u, v son ortogonales ssi (u,v)=0 Un conjunto de vectores son ortogonales ssi cada par de

vectores (u,v) son ortogonales Si un vector u es usado para producir u/||u|| tal que ||v||=1,

entonces u se dice ser normalizado para producir el vector normalizado v

Un conjunto de vectores se dice ortonormal ssi es ortogonal y ||v||=1 para todo vector v

Producto interno

Diferentes productos internos (u,v)=uTv si f y g son funciones real valuadas continuas en

0t1, entonces (f,g)=0 )()( dttgtf

Proyecciones ortogonales

Teorema. Sea (V,F) un espacio vectorial. Sea (V0,F) un subespacio generado por los vectores ortogonales S={v1,...,vq}. Defínase la proyección ortogonal como sigue. Para cualquier vector v

P0v=1v1+...+qvq, donde i=(vi,v)/(vi,vi)

entonces v-P0v es ortogonal a todo vector v en (V0,F) P0(u+v)=P0u+P0v P0(v)= P0v


Demostración (vi,v-P0v)=(vi,v)-1(vi,v1)-...-q(vi,vq)=(vi,v)-

i(vi,vi)=0 Los otros puntos salen de la definición de los

coeficientes .

vi

v

P0v= vi

v-P0v


Teorema. Sea (V,F) un espacio vectorial con producto interno y con su norma inducida por el producto interno ||||. Sea (V0,F) un subespacio generado por los vectores ortogonales S={v1,...,vq}. Entonces para cualquier v, P0v es el único punto más cercano en (V0,F) a v, y ||v-P0v|| es la distancia de v a (V0,F) ||v-P0v||<||v-v0|| para todo v0 diferente de P0v en (V0,F)


Demostración. ||v-v0||2=(v-v0,v-v0)=(v-P0v+P0v-v0, v-P0v+P0v-v0)= (v-P0v,

v-P0v )+(v-P0v, P0v-v0)+(P0v-v0,v- P0v)+(P0v-v0, P0v-v0)

Sabemos que v- P0v es ortogonal a los vectores en (V0,F), entonces se obtiene que:

||v-v0||=||v- P0v||+|| P0v-v0||

entonces ||v-v0||>||v- P0v|| a menos que v0= ||v-v0||=||v- P0v||+||


Sea S={v1,...,vq} un conjunto de vectores ortogonales, entonces estos vectores son linealmente independientes.

si se toma el vector 0=c1v1+...+cqvq, tenemos que saber el valor de cada ci.

0=(vi,0)=(vi,c1v1+...+cqvq)=ci(vi,vi) como (vi,vi)>0 ci=0 y son L.I.


Se sigue que si el vector proyectado v está en el espacio (V0,F), entonces P0v será el mismo v y los valores de las i será la representación del vector en la base seleccionada S.


Teorema. Sea B={v1,...vq} una base ortogonal. La representación del vector v se calcula como v=1v1+...+qvq, donde

i=(vi,v)/(vi,vi)

Note que si la base es ortonormal, entonces los i se calculan fácilmente


Si tenemos S={v1,...,vq} un conjunto de vetores que genera (V,F) Tomar u1=v1,

desde 2 hasta q, ui=vi-Pi-1vi

Transformaciones lineales


6.1 Definición 6.2 Propiedades 6.3 Kernel e imagen de una transformación lineal 6.4 Representación matricial de una

transformación lineal 6.5 Isomorfismos 6.6 Operaciones con transformaciones lineales 6.7 Algebra de transformaciones lineales


Definición. Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales. Una transformación lineal T de (V,F) a (W,G) es una correspondencia que asigna a cada vector v en V un vector w en W tal que:

T(v1+v2)=T(v1)+T(v2) T(v)= T(v)

Se sigue que T(0)=0, ya que T(v)=T(v+0)=T(v)+T(0) lo que implica que T(0) debe ser el cero de W.


El espacio imagen Todos los vectores w en (W,G) tal que w=T(v) Solución. Si w es fijo, entonces existe v en (V,F) tal

que T(v)=w ssi w está en la imagen de T.

Se aplica Sobre

Claramente el problema Solución tiene solución si T es onto.


Otro problema es si la solución es única. T(v1)=T(v2)=w

Se aplica Inyectividad

Claramente la solución es única si w esta en la imagen de T y T es inyectiva.

T(v1)=T(v2) T(v1)-T(v2)=0 T(v1-v2)=0

También T tiene kernel.


Más propiedades de las transformaciones lineales T(u-v)=T[u+(-1)v]=T(u)+T[(-1)v]=T(u)+(-1)T(v)=T(u)-T(v) T(1v1+...+nvn)= 1v1+...+nvn Esto se puede ver por asociatividad e inducción

Teorema. Sea (V,F) un espacio vectorial de dimensión finita con base B={v1,...vn} y T1, T2 dos transformaciones lineales. Si T1(vi)=T2(vi) para todo vi en B, entonces T1(v)=T2(v) para v en (V,F).

Demo, como cualquier vector de (V,F) se escribe como v= 1v1+...+nvn, entonces T1(v)=T1(1v1+...+nvn)= T1(1v1)+...+T1(nvn)=T2(1v1)+...+T2(nvn)=T2(v)


Teorema. Sea (V,F) un espacio vectorial de dimensión finita con base B={v1,...vn} y (W,G) un espacio vectorial que contiene a los vectores w1,...,wn, entonces existe una única transformación lineal tal que T(vi)=wi, para vi en B.

Demo. Como cualquier vector de (V,F) se escribe como v= 1v1+...+nvn, entonces T se define como T(v)=1w1+...+nwn

T será una transformación lineal T(u+v)=T[(1v1+...+nvn)+(1v1+...+ nvn)]=

=T[(1+1) v1+...+( n+n) vn] Por la definición de T, = (1+1) w1+...+( n+n) wn=T(u)+T(v)


De igual forma T(u)=T[(1v1+...+ nvn)] Por la definición de T, 1w1+...+ nwn= T(u) Por teorema anterior se tiene la unicidad

Tarea: Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales y T:(V,F)(W,G) una transformación lineal. Demsotrar que el kernel de T es un subespacio de (V,F) y que la imagen de T es un subespacio de (W,G).


Definición. Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales y T:(V,F)(W,G) una transformación lineal. Nulidad de T = (T) =dim (Ker (T)) rango de T = (T) = dim (Im (T))

Teorema. Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales y T:(V,F)(W,G) una transformación lineal. (T)+ (T) = dim (V,F)

Demo. Suponer que (T)=r y que {v1,...vr} es una base para el kernel; además (T)=k y {w1,...wk} es una base para la imagen de T.

Entonces hay que demostrar que B={v1,...,vr,u1,...,uk}


Sea un v que pertenece a (V,F). Como T(v)= 1w1+...+kwK Al Vector v lo podemos escribir como v= 1u1+...+kuK-v’ v´= 1u1+...+kuK-v T(v’)=T(1u1+...+kuK-v)= 1T(u1)+...+kT(uk)-T(v) = 1w1+...+kwK-T(v)=0 v’ está en el kernel de T

Como {v1,...vr} es una base de Kernel de T, existen escalares 1 ,.., r tal que v’= 1v1+ ... +rvr=1u1+...+kuK-v

Por tanto v= 1u1+...+kuK- 1v1- ... -rvr y {u1,...,uk, v1,..., vr} genera (V,F) Ahora hay que ver que sean L.I.


Sea un vector 1u1+...+ kuK+ 1v1+ ... + rvr=0 Entonces T(1u1+...+ kuK+ 1v1+ ... + rvr)=0 Como los vi están en el kernel 0= 1w1+...+ kwK, como los wi son una base de la

magen, entonces son L.I. y la única solución es i=0 Entonces el vector se reescribe como 1v1+ ... + rvr=0 , como los vi son una base para el

kernel son L.I., entonces la única solución i=0 y los vectores son L.I.

y por lo tanto es una base y la dimensión de (V,F) es (T)+ (T) = dim (V,F)


Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales y T:(V,F)(W,G) , entonces existe una única matriz A (dim(v), dim(W)) tal que T(x)=Ax

A est la matriz de transformación correspondiente a T.

Demo sea B={e1,...,en} la base canónica en (V,F) T(ei)=wi Se puede formar la matriz A=[w1 wn] entonces Aei=wi (T(ei)=wi) En general T(x)=T(1e1+ ... +nen)= 1w1+ ... +nwn

También Ax=A[1e1+ ... +nen]= 1w1+ ... +nwn =T(x)


Suponer que T(x)=Ax=Bx (A-B)x=0, para x=ei (A-B)ei=0 que la i-ésima columna de

(A-B) es cero, por lo que las matrices son iguales y A es única.

Teorema Sea A la matriz de transformación correspondiente a T, entonces

i) Im T Im A, pero isomorfo ii)(T)=(A) iii)Ker TKer A, pero isomorfo iv)(T)=(A)


Teorema. Sean (V,F), (W,G) dos espacios vectoriales de dimensiones n y m respectivamente. Sea T(V,F)(W,G) una transformación lineal. Sean B1={v1,...,vn} y B2={w1,...,wm} las bases de los espacios respectivamente. Entonces existe una única matriz A (m,n) tal que: [T(x)]B2=A(xB1)

[T(x)]B2la representación de T(x) en B2 T(x)= 1w1+ ... +mwm [T(x)]B2=[1 ... m]T xB1 es la representación del vector en B1

La matriz A se conoce como la matriz de transformación correspondiente a T con respecto a las bases B1 y B2


Considere los vectores T(v1, ...,T(vn), escríbase A=[[T(v1)]B2 ... [T(vn)]B2] Como AviB1=Aei= [T(vi)]B2 y xB1 es la representación del vector en B1, i.e. [1 ... n]T

entonces A xB1=[[T(v1)]B2 ... [T(vn)]B2] xB1= 1[T(v1)]B2+...+[T(vn)]B2]n Por otro lado T(xB1)=T(1v1+...+nvn)= 1T(v1)+...+nT(vn) Al poner cada uno de estos vectores en la representación de la base B2 se obtiene que: A xB1= T(xB1) La unicidad es similar al teorema anterior


Teorema.- Sea A (m,n) la matriz de transformación correspondiente a T:(V,F)(W,G) con respecto a las bases B1={v1,...,vn} y B2={w1,...,wm} respectivamente.

Suponga que hay otras bases B1’={v1’,...,vn’} y B2’={w1’,...,wm’} de los espacios respectivos.

Entonces la matriz A’ correspondiente a la misma transformación T con respecto a las bases B1’ y B2’ está dada por: A’=P-1AQ

P es la matriz de transición (de paso) de la base B2’ en B2

Q es la matriz de transición (de paso) de la base B1’ en B1


Demo. Sabemos que [T(x)]B2=AxB1 Ahora, xB1=QxB1’ y [T(x)]B2=P[T(x)]B2’ Por tanto P[T(x)]B2’=A QxB1’ [T(x)]B2’=P-1A QxB1’ A’=P-1AQ es la matriz de transformación


En especial, si (V,F) y (W,G) son los mismos, entonces

A’=P-1AP Definición. Se dice que dos matrices cuadradas A y

B son similares si existe una matriz P no singular (determinante diferente de cero) tal que

B=P-1AP


Transformaciones T Inyectiva Kernel T = {0} Sobre

Teorema. T:VW una transformación lineal y dim v=n y dim w=m

i) si n>m, T no es inyectiva ii) si m>n T no es sobre

Demo. Tarea.


Definición. Una T.L es un Isomorfismos ssi es inyectiva y sobre.

La matriz de un isomorfismo es invertible. Definición. Se dice que (V,F) y (W,G) son isomorfos ssi existe

un isomorfismo entre ambos Teorema. Sean (V,F) y (W,G) dos espacios vectoriales de

dimensión finita. Entonces (V,F) y (W,G) son isomorfos si dim (V,F)=dim (W,G)

Demo. Obtener bases para cada uno. Entonces quedan representados en (Rn,R). Como son bases en el mismo espacio, existe una matriz de cambio de base A. por teoremas anteriores existe una T.L. asociada a A que es un isomorfismo.

Si existe el isomorfismo entre las representaciones, lo existe entre los espacios.


Corolario. Cualquier espacio de dimensión n es isomorfo a (Rn,R)

Teorema. Si T:(V,F)(W,G) es un isomorfismo i) Si {v1,...vn} genera (V,F), entonces {T(v1),...,T(vn)} genera

(W,G) ii) Si {v1,...vn} son L.I., entonces {T(v1),...,T(vn)} son L.I. iii) si {v1,...vn} es una base, entonces {T(v1),...,T(vn)} es una

base. Demo.

i) v=1v1+ ... +nvn T(v)=w=1T(v1)+ ... +nT(vn) {T(v1),...,T(vn)} genera (W,G)

iii) Suponga que 0=T(v)=w=1T(v1)+ ... +nT(vn) , entonces T(1v1+ ... +nvn)=0, como T es isomorfismo T(0)=0 es el único. Entonces 1v1+ ... +nvn=0, pero como son L.I. i=0 y por tanto {T(v1),...,T(vn)} son L.I.

iii) se sigue de anteriores.


Prop. Si T:(V,F)(W,G) es un isomorfismo, entonces para todo vector wW existe un único vector v V tal que

T-1(w)=v, donde T-1:(W,G)(V,F) es conocida como la transformación inversa de T.

Demo. 2 partes T-1 es T.L. y T-1(w)=v único T(v1)=w1; T-1(w1)=v1; T(v2)=w2 T-1(w2)=v2 T(v1+v2)=T(v1)+T(v2)=w1+w2 T-1(w1+w2)=v1+v2 T(v1)= T(v1)= w1 T-1(w1)= v1 Como T es isomorfiso, la definición de T-1 hace que

exista un único valor de regreso. Nota. T es T.L. A es su operador T-1 es la inversa de T, entonces A-1 es el operador

de T-1


Operaciones con transformaciones lineales Sean (V,F) y (W,F) dos espacios vectoriales sobre

el mismo campo F. Hom(V,W) es el conjutno de todas las transformaciones lineales entre (V,F) y (W,F).

Sean T1 y T2 dos T.L. entre (V,F) y (W,F) Se define la suma T1+T2 como T1+T2:VW (T1+T2)(v)=T1(v)+T2(v) para todo F, T1 es (T1)(v)=T1(v)


El conjunto Hom(V,W) definido anteriormente es un espacio vectorial sobre el campo F.

Demo. Tarea.

Algebra de Transformaciones lineales

Definición. Un álgebra A sobre un campo F es un espacio vectorial sobre F en el que se tiene definida una operación producto que satisface para todos los elementos T1, T2, T3 A y F:

T1(T2+T3)=T1T2+T1T3 (T2+T3)T1=T2T1+T3T1 (T1T2)=(T1)T2=T1(T2) Si además se cumple que (T1T2)T3=T1(T2T3) entonces A es un álgebra asociativa

Algebra de Transformaciones lineales

Definición. Sean V, U y W espacios vectoriales sobre el mismo campo F. Sean T1:VU y T2:UW dos transformaciones lineales.

Se define la composición de T2 seguida de T1 T2T1 como la función de V a W (T2T1) :VW tal que (T2T1)(v)=T2(T1(v))

Proposición. Si T1 y T2 son TL, entonces T2T1 también lo es.

Demo. Sean u,v V y , F, entonces (T2T1)(v+u)=T2(T1(v+u))=T2(T1(v)+T1(u)) = (T2T1)(v)+ (T2T1)(u) (T2T1) es T.L.

Puede verse que Hom(V,V) con la composición es un álgebra asociativa.

Adicional de Transformaciones lineales

Sean A, B dos matrices de qxn y nxp con coeficientes en el mismo campo.

Entonces (A)+(B)-n (AB) min((A), (B)) Demo

(B)(A)

R(B)

R(A) R(AB)

n(B)n(A)

p nd

Adicional de Transformaciones lineales

De la figura (AB)min((A), (B)). También (AB)= (B)-d (la intersección de R(B) y

n(A). La dimensión de n(A)=n- (A) d n+ (A) y se sigue que (AB) (A)-n+ (B)

Si B es no singular (A)+(B)-n = (A) (AB) min((A),n) = (A)

(B)(A)

R(B)

R(A) R(AB)

n(B)n(A)

p nd

4. Valores y vectores propios

Valores y vectores propios

Definición y propiedades Teorema de Cayley-Hamilton Diagonalización de matrices


Definición. Sea V un espacio vectorial y T:VV una transformación lineal del espacio en sí mismo. Sea vV un vector diferente de cero pa el cual existe un escalar tal que T(v)=v,

entonces se dice que es un valor propio de T y que v es un vector propio de T asociado a .


Cuando V es un espacio de dimensión finita, la transformación T la podemos representar como una matriz A de n,n. Entonces podemos redefir los valores y vectores propios de la siguiente forma.

Definición. Sea A una matriz de n,n. El escalar se denomina valor propio de A si existe un vector x diferente del nulo, tal que Ax= x

nuevamente x es el vector propio asociado a .


Teorema. Sea A una matriz de n,n. Entonces es un valor propio de A ssi det(I-A)=0

Demo. Sólo si. Suponga que es un valor propio de

A; entonces existe un vector x diferente de cero tal que Ax= x

(I-A)x=0, como x diferente de cero (I-A) es singular det(I-A)=0


(si). Si det( I-A)=0 ( I-A) es singular

( I-A)x=0 tiene soluciones diferentes de cero, entonces existe x diferente de cero tal que Ax= x.


Definición. La ecuación det(I-A)=0 se conoce como ecuación característica de A, y el polinomio p()=det(I-A)

Observe que p()=(det(I-A)=a0+a1+...+an por el teorema fundamental del álgebra, cualquier

polinomio de grado n tiene n raíces (contando multiplicidades).

p()=(det(I-A)=a0+a1+...+an= (- 1)r1...(- m)rm

Los número ri son la multiplicidad algebraica de los valores propios de 1,..., m.


Teorema. Sea un valor propio de A y E={x|Ax= x}. Entonces E es un subespacio vectorial de Cn

Nótese que E son las soluciones de (I-A)x=0, es decir el kernel de un operador lineal es un subespacio vectorial.


Definición. Sean un valor propio de A. Entonces E se denomina espacio propio de A correspondiente a .

Definición. Sea E el espacio propio de A debido a . A la dimensión de E se le conoce como multiplicidad geométrica de .

Multiplicidad geométrica de =dim E=dim{Ker (I-A)}


Ejemplos y procedimientos de cálculo.

4 -2

1 1

2 -1

-4 2

1 -1

2 -1


Teorema. Sea un valor propio de A. Entonces se cumple que la multiplicidad geométrica de multiplicidad algebraica de

Valores y vectores propios Teorema. Sean 1, 2, ..., m valores propios

diferentes de A (n,n), donde mn y sean x1, x2,..., xm sus vectores propios correspondientes. Entonces x1, x2, ..., xm son linealmente independientes.

Demostración. Suponga que {x1,...,xm} son L.D. y que xs es el

primer vector L.D. de los previos xs=1x1+2x2+...+s-1xs-1

Multiplicando por A Axs= 1Ax1+2Ax2+...+s-1Axs-1

Valores y vectores propios sxs= 1 1 x1+2 2 x2+...+s-1 s-1 xs-1 Restando ecuaciones y multiplicando por s se

tiene 0=1(1-s)x1+2 (2-s) x2+...+s-1 (s-1-s)xs-1 Como xs es el primer vector L.D. entonces 1(1-s)=2 (2-s)=...=s-1 (s-1-s)=0 como is i=0 xs=0, lo cual contradice la

suposición las vectores son L.I.


Teorema. La matriz A (n,n) tiene n vectores propios L.I. ssi la multiplicidad geométrica de cada valor propio es igual a su multiplicidad algebraica.

Tarea (Grossman, pag 545)

Valores y vectores propios Definición. Sea F(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn un

polinomio y A una matriz cuadrada Se define el polinomio f(x) en la matriz A como: F(A)=a0I+a1A+a2A2+...+anAn

Sy f(A) es igual a la matriz cero, entonces se dice que A es raíz (o cero) del polinomio f(x).

Sea F() (n,n) una matriz polinomial en la variable , i.e.

F()=F0+F1+...+Fmm= F()=F0+F1+...+mFm

donde F0, F1,...,Fm son matrices cuadradas reales.

Valores y vectores propios Se dice que F() es de orden n; y si Fm0, entonces

F() es de grado m. Además F() se dice regular si det(Fm)0

Definicion. Sean F() y G() matrices polinomiales de orden n., y G() es regular. Las matrices polinomiales Q() y R() se conocen como cociente derecho y residuo derecho respectivamente de F() dicidida por G() si

F()= Q() G() + R() y si el grado de R() es menor que el grado de G()

[R() puede ser cero]


De manera similar se pueden definir el cociente izquierdo y residuo izquierdo

Sea A (n,n) y denota F(A) la evaluación por la derecha de A en la matriz polinomial F() , esto es, si

F()=F0+F1+...+Fmm=

F()= F0+F1A+...+FmAm

Valores y vectores propios Teorema. Si la matriz polimial F() es dividida

por la derecha por la matriz (I-A) entonces el residuo es F(A), y si es dividida por la izquierda por (I-A) entonces el resiudo es F’(A) (por la izquierdA).

Demostración. Tarea. (teorema generalizado de Bezout,

Grantmatcher, pag 81)

Valores y vectores propios Corolario. La matriz polinomial F() es divisible

por la derecha por la matriz (I-A) sin residuo (R()=0) ssi F(A)=0

(De manera similar se puede hacer por la izquierda)

Teorema (Cayley-Hamilton). Toda matriz A (n,n) es raíz de su polinomio característico.

Demostración. P()=det(I-A)=a0+a1+...+n

Hay que mostrar que P(A)=0

Valores y vectores propios de teoremas previos (I-A)adj(I-A)=det(I-A)I=[adj(I-A)](I-A) Lo cual puede verse como P()=(I-A)Q()=Q()(I-A) donde Q()=adj(I-A) es una matriz polinomial en y P()=det(I-A)I=a0I+a1I+...+nI como P() es divisible por la derecha y por la

izquierda por (I-A) sin residuos, entonces P(A)=a0I+a1AI+...+AnI


Definición. Se dice que el polinomio F() es un polinomio aniquilador de la matriz A (n,n) si F(A)=0

(p.e. el polinomio característico de A) Definición. Al polinomio aniquilador

mónico Q() de A de menor grado se le conoce como polinomio mínimo de A.

Diagonalización de matrices Definición. Se dice que A (n,n) es

diagonalizable (bajo similaridad) si existe una matriz no singular P tal que P-1AP es diagonal

Diagonalización de matrices Teorema. La matriz A (n,n) es diagonalizable

ssi tiene n vectores propios linealmente independientes

Si 1, 2, ..., n son los valores propios de A y los vectores propios x1, x2, ..., xn correspondientes a estos valores propios son linealmente independientes, entonces P-

1AP=diag{1, 2, ..., n}, donde P=[x1 x2 ... Xn]

Diagonalización de matrices Demostración. (si) Suponga que A tiene n vectores propios L.I. x1 x2 ...

xn correspondientes a los valores propios 1, 2, ..., n (algunos pueden ser repetidos).

Sea P la matriz [x1 x2 ... xn], entonces AP= [Ax1 Ax2 ... Axn]= [1x1 2x2 ... nxn] = [x1 x2 ... xn]diag{1, 2, ..., n} =Pdiag{1, 2, ..., n} Como P es no singular tiene inversa P-1AP=diag{1, 2, ..., n}

Diagonalización de matrices Demostración. (sólo si) Suponga que existe una matriz no

singular P tal que P-1AP=diag{1, 2, ..., n} AP=Pdiag{1, 2, ..., n} Para cada xi de P se tiene que: Axi= ix xi es vector propio de A i es valor propio de A P es no singular A tiene n vectores propios L.I.

Diagonalización de matrices Corolario. La matriz A (n,n) es

diagonalizable ssi la multiplicidad geométrica de cada valor propio es igual a su multiplicidad algebraica. En particular A es diagonalizable si todos sus valores propios son distintos

Diagonalización de matrices Teorema. Si A y B son similares,

entonces tienen el mismo polinomio característico, y por consiguiente los mismos valores propios.

Demo. det(I-B)=det(I-P-1AP)=det(P-

1P-P-1AP)=det(P-1(I-A)P)=det(P-

1)det(I-A)det(P)=det(I-A)

Diagonalización de matrices Teorema. Si A y B son similares, i.e.

existe una matriz no singular tal que B=P-1AP. Entonces:

i) Bk=P-1AkP ii)Si f(x)=a0+a1x+...+anxn es un

polinomio cualquiera, entonces f(B)=P-1f(A)P

Diagonalización de matrices

Demo Bk=(P-1AP)k= =(P-1AP)(P-1AP)...(P-1AP)= P-1AkP ii)Si f(B)=a0I+a1(P-1AP)+...+an(P-1AnP)=

=P-1(a0+a1A+...+anAn)P=P-1f(A)P


1 1 2

0 1 3

0 0 2


Tiene dos propio valores 1=1, 2=2 con multiplicidades algebraicas 2 y 1 y geométricas 1 y 1 respectivamente no es posible diagonalizar A, pero ¿es posible encontrar una bse donde A sea casi diagonal?


Definición.- Un vector v es llamado un vector propio generalizado de rango k de A asociado con iff (A- I)kv=0 (A- I)k-1v0

Note que si k=1 coincide con vector propio


Definición.- vk=v vector propio generalizado

vk-1=(A-I)v=(A-I)vk

vk-2=(A-I)2v=(A-I)vk-1

... v1=(A-I)k-1v=(A-I)v2


... vk-2=(A-I)2v=(A-I)vk-1

... Entonces para 1ik vi es un vector

propio generalizado de rango i, por ejemplo

(A-I)k-2vk-2=(A-I)k-2(A-I)2v=(A-I)kv=0 (A- I)k-1vk-2=(A-I)k-1v0


Definición.- Lleamaremos a los vectores {v1, v2,...,vk} una cadena de vectores propios generalizados si vk es un vector propio generalizado que dio origen a todos los demás vectores


Teorema. El conjunto de vectores propios generalizados v1, v2, ..., vk definidos anteriormente es L.I.

Demostración.- Suponer que v1, v2, ..., vk son L.D., entonces

existen soluciones diferentes de la trivial a: 1v1+2v2+...+kvk=0

Multiplicando por (A-I)k-1 y observando que vi=vk-(k-i)=(A-I)k-iv por definición


entonces (A-I)k-1vi=(A-I)2k-(i+1)v=0 para i=1,2,...,k-1 k(A-I)k-1vk=0 y sabiendo de la def. de vector propio generalizado

que (A-I)k-1vk0, k=0 Aplicando ahora (A-I)k-2 se demuestra que k-1=0 Siguiendo esto se tiene que i=0, lo que contradice

la suposición. son L.I.


Teorema: Los vectores propios generalizados de A asociados con diferentes propio valores son L.I.

Demostración. Sea v vector propio generalizado 1

vi=(A-1I)vi+1=(A-1I)k-iv Sea u vector propio generalizado 2

ui=(A-2I)ui+1=(A-2I)l-iu

Del teorema anterior los vi son L.I. y los ui son L.I, falta ver que {ui}, {vi} son L.I.


Suponer que vi es L.D. en {u1,...,ul} vi=1u1+2u2+...+lul

Aplicando (A-1I)i 0= (A-1I)i [1u1+2u2+...+lul ] Ahora aplicando (A-2I)l-1 y observando que (A-2I)l-1 (A-1I)i = (A-1I)i (A-2I)l-1

y el hecho de que (A-2I)l-1 uj=0, j=1,2,..., l-1 0=l(A-1I)i(A-2I)l-1ul=l(A-1I)iu1

Como (A-2I)u1=0 o Au1=2u1, la ecuación anterior se reduce a l(2-1)iu1=0


se reduce a l(2-1)iu1=0

lo cual implica que l=0. Un procedimiento similar llega a la

conclusión de que todos los i=0, lo que contradice la suposición y los vectores son L.I.


Teorema. Sean u y v propio vectores de rango o y l respectivamente, asociados con el mismo valor propio .

vi=(A-I)vi+1=(A-1I)k-iv

ui=(A-I)ui+1=(A-2I)l-iu

Si u1 y v1 son L.I. las cadenas son L.I.


El tratar de construir la forma casi diagonal (diagonal por bloques o forma de Jordan) se convierte en un proceso iterativo.

1.- se calculan propio valores y propio vectores de la forma tradicional.

2.- Si la multiplicidad algebraica es mayor que la geométrica tratar de encontrar una cadena lo suficientemente larga de vectores generalizados para construir los vectores L.I. independientes faltantes, de lo contrario construir cadenas más pequeñas hasta completarlos

Matrices unitarias Si P es no singular B=P-1AP transformación

de similaridad Sirven para cambio de bases Más conveniente si las bases son ortogonales

y ortonormales Si {x1,...,xp} es un conjunto ortonormal

xiTxi=1 y xi

Txj=0

Si hacemos que P=[x1,...,xp] PTP=I o PT=P-1

Matrices unitarias Definición. Una matriz P (de reales) para la cual

PT=P-1 tal que PTP=I, se dice ser unitaria. Teorema. a) P unitaria el conjunto de vectores columna

es ortonormal b) P unitiaria |det(P)|=1 c) P unitaria <PX,Py>=<x,y> d) P unitaria si valor propio de P ||=1 Demo. Clara

Matrices unitarias Teorema. Si B=P-1AP donde P es unitaria (se dice

transformación de similaridad unitaria) todo lo que se vió de propiedades de similaridad sigue valiendo.

Matrices unitarias Teorema. Si A es una matriz de pxp. a) A es similar unitaria a una matriz triangular superior

T; T=P-1AP con P unitaria y con los propiovalores de A en su diagonal principal. T es llamada la forma de Shur de A y la descomposición A=PTP-1= PTPT es la descomposición Shur de A.

Demo. Si p=1 ya terminamos. Suponer que para p=k es cierto Para p=k+1 tenemos.

Matrices unitarias 1 es el propio valor asociado a x1, podemos

normalizar este vector para que ||x1||2=1 Entonces x1 entra a la base que ya teníamos de

propiovectores ortonormalizados {w1,...,wk} si no es otronormal a esta base, aplicamos Gram-Schmidt y tenemos la nueva base {x1,w1,...,wk}

U= [x1,w1,...,wk]=[x1,W]

A’=UTAU=[x1,W]TA[x1,W]=[x1,W]T[Ax1 AW]=

1 x1TAW

0 WTAW

1 bT

0 C=

Matrices unitarias Definición. Una matriz A de pxp es

normal si ATA=AAT

Teorema. A normal D=PTAP, D es diagonal, y P es unitaria.

Por tanto los propio vectores de A son p linealmente independientes

Matrices unitarias Veamos ahora el caso en que A=UVT,

con U y V unitarias de pxp y qxq, es pxq casi cero, excepto en la diagonal que vale ii=i que es un real no negativo.2 0 0

0 0 03 0 0

0 2 0

4 0

0 6

0 0

Así son

Matrices unitarias Claramente se tendría AV=U Avi=iui para

1imin(p,q), dende los ui, vi son las columnas de U y V respectivamente.

Además ATA= (UVT)T (UVT)=VTUTUVT=V(T)VT

donde T=D=VTATAV es diagonal de qxq que los propio vectores de ATA sirven para

construir V y D tiene los valores propios D=T Similarmente para el caso AAT=U(T)UT en este caso D= T

Matrices unitarias

Definición. A la descomposición que hemos venido manejando, A=UVT, se le conoce como descomposición en valores singulares de A.

Viendo lo que hicimos para la descomposición de Schur, podemos ver que la descomposición en valores singulares siempre existe.

Los valores singulares de A son los i, y el número de valores no cero es el rango de A. Los ui son los vetores singulares izquierdos y los vi los vectores singulares derechos relacionados con i.

1 1

2 2

2 2

9 9

9 9A=

ATA

propiovalores 18 y 0. 1=18(1/2) y 2=0Un par de vectores propios de ATA normalizados son

v1=[1.71/2 1.71/2]T y v2=[1.71/2 -1.71/2]T

Entonces V=[V1 v2]

1 1

2 2

2 2

A=AAT=

propiovalores 18 y 0. 1=18 y 2=0Vectores propios de AAT normalizados son

u1=[1/3 2/3 2/3]T u2=[(-2)51/2/5 51/2/5 0]T u3 =[(2)51/2/15 (4)51/2/15 (-1)51/2/3 ]T Entonces U=[u1 u2 u3]

2 4 4

4 8 8

4 8 8

1 1

2 2

2 2

A=AAT=

2 4 4

4 8 8

4 8 8

3(2)1/2 0

0 0

0 0

Mínimos cuadrados

Suponer que A=UVT, es la descomposición en valores singulares, donde A es de rango k. El problema es minimizar ||Ax-b||2 con respecto a x.

||Ax-b||2=||UVTx-b||2=||y-UTb||2

y=VTx ||Ax-b||2 es mínimo cra x ssi ||y-UTb||2 es mínimo cra y. ||y-b’||2

2=|1y1-b1’|2+...+|kyk-bk’|2+|bk+1’|2+...+|bp’|2

b’=UTb Es minimizado si yi=bi’/i

Mínimos cuadrados

Entonces para ||Ax-b||2 con respecto a x. Encontrar A=UVT

Calcular b’=UTb Calcular yi=bi’/i para 1ik, yi=0 otro caso x0=Vy y=VTx ||Ax-b||2 es mínimo cra x ssi ||y-UTb||2 es mínimo cra y. ||y-b’||2

2=|1y1-b1’|2+...+|kyk-bk’|2+|bk+1’|2+...+|bp’|2

b’=UTb Es minimizado si yi=bi’/i

universidad autÓnoma san frnacisco lic. sujey herrera ramos

Documents