UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN

FACULTAD DE MATEMÁTICAS

Elaborado por: Luis Manuel Cabrera Chim

Asesor: M.C. Eddie de Jesús Aparicio Landa

Examen profesional para obtener el título de:

Licenciado en Enseñanza de las Matemáticas

Modalidad: Tesis individual

Mérida, Yucatán, México Diciembre 2006

AGRADECIMIENTOS

Agradezco al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) por la beca que me

otorgaron durante el desarrollo de este trabajo, a través del financiamiento de proyecto de

investigación titulado “Un estudio sobre factores que obstaculizan la permanencia, logro

educativo y eficiencia terminal en las áreas de matemáticas del nivel superior: el caso de la

Facultad de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Yucatán”.

Agradezco a mi asesor, el M.C. Eddie de Jesús Aparicio Landa por su comprensión, apoyo

sincero, constante motivación y valoración de mis ideas, así como por las valiosas

sugerencias y consejos realizados.

Agradezco también a la M.C. María del Pilar Rosado Ocaña y a la L.E. Laura C. Sánchez

Leal por su apoyo y motivación durante los primeros días de la realización de este trabajo.

Quiero extender este agradecimiento a todos mis profesores por la formación recibida, así

como por el compañerismo y amistad que siempre nos mostraron. En especial a: Eddie,

Landy, Lupita, Martha, Pilar y Rocío.

Agradezco a mis amigos de la facultad: Lucero, Isabel, David, Andrés Gregorio, Manuel,

Heyler, Sarai, Eunice, Nery, Rocío, Andrés, Víctor, Alonso, Miguel, Geisler, Luis,

Palomino, Glendy y Cristy por su amistad y palabras de aliento. En especial a Lucero,

Isabel y David que siempre me impulsaron a seguir adelante. También agradezco a todos

mis compañeros de otras generaciones.

DEDICATORIAS

Dedico este trabajo a mis padres: Elvia María Chim

Ciau y José Luis Cabrera Uc. Quienes siempre me han

proporcionado un cariño y apoyo inmenso, así como

una educación llena de valores, y cuyos sacrificios por

sacarnos adelanta a mí y a mis hermanos siempre

agradeceré y valoraré.

Del mismo modo dedico este trabajo a mis

hermanos Wilberth, Lucelly y Angel, por todos

los grandes momentos de felicidad y cariño

que hemos compartido.

A toda mi familia por su apoyo en todo

momento: a mis abuelos, tíos y primos.

A mis amigos: Blanca, Sheila, Luis, Edwin y Jorge.

Así como también a: Lucero, Isabel, David, Andrés,

Manuel y Heyler por su gran amistad.

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN I

Capitulo 1. Descripción del problema y objetivo

1.1 La enseñanza del cálculo………………………….........................................

1.2 Acciones de la Facultad de Matemáticas hacia la atención estudiantil …….

1.3 Planteamiento del problema…………………………………………………

1

2

4

12

Capítulo 2. Antecedentes

2.1 Formación de profesores de matemáticas: formación disciplinar y

formación pedagógica………………………………………………………

2.2 Acciones para la formación de los profesores de matemáticas en el nivel

superior………………………………………………………………………

2.3 La didáctica de las matemáticas. Implicaciones en la formación de los

profesores……………………………………………………………………

2.3.1 Diversos enfoques en la enseñanza del cálculo……………………...

21

22

26

32

39

Capítulo 3. Marcos de referencia

3.1 La práctica docente………………………………………………………….

3.1.1 Principios y problemas de la formación didáctica………………...

3.2 Situaciones didácticas……………………………………………………….

46

47

50

55

3.2.1 Las situaciones didácticas…………………………………………

3.2.2 Las situaciones a-didácticas……………………………………….

3.3 Ingeniería didáctica………………………………………………………….

61

62

64

Capítulo 4. Aspectos metodológicos y diseño del Curso-Taller

4.1 Metodología…………………………………………………………………

4.2 Estructura del Curso-Taller………………………………………………….

4.2.1 Dualidad de los conceptos matemáticos…………………………...

4.2.2 La visualización……………………………………………………

4.2.3 Pensamiento y lenguaje variacional……………………………….

4.2.4 La noción de transferencia………………………………………...

4.3 Desarrollo de la secuencia didáctica………………………………………...

4.3.1 Problemas en el aprendizaje de las funciones……………………..

4.3.2 Desarrollo histórico del concepto función………………………...

4.3.3 Tratamiento en los libros de texto…………………………………

4.3.4 Diseño de la secuencia…………………………………………….

4.3.5 Análisis a priori……………………………………………………

70

70

73

77

81

86

96

100

102

105

111

121

123

Capítulo 5. Resultados y discusión

5.1 Registro de la información…………………………………………………..

5.2 Las creencias de los profesores……………………………………………...

5.3 El profesor ante un cambio en su práctica…………………………………..

125

125

126

129

5.4 Posturas de los profesores ante la Teoría de las Situaciones Didácticas……

5.5 Comentarios de los profesores respecto al curso-taller……………………...

142

146

Capítulo 6. Conclusiones

150

Referencias bibliográficas

158

Anexo A

167

Anexo B

168

Introducción

INTRODUCCIÓN

El cálculo, y en general toda la matemática, se presenta como una disciplina que posee muy

poca relación con el mundo en el que se desenvuelve el estudiante, si acaso se presentan

algunos problemas de aplicación pero que distan de las situaciones conocidas por él. A esto

debemos agregar que se presenta alejada de la tecnología y de las formas de producción de

dichos conocimientos, dependiendo la formación de los estudiantes de la calidad de la

enseñanza.

Un adecuado proceso de enseñanza exige al profesor poseer una adecuada representación

de lo que es la actividad matemática, en especial dentro del salón de clase, de una buena

epistemología y de concepciones didácticas apropiadas. Sin embargo, en el nivel

universitario, por lo general, únicamente se exige una formación disciplinar sólida. Esto

hace que los profesores basen su proceder dentro del salón de clases de acuerdo con

esquemas de referencia producto de su experiencia en la escuela y su experiencia

profesional. Esquemas que van de acuerdo con las ideas que se ha formado respecto el

papel que tanto él como el alumno deben desarrollar dentro del salón. Dicha ideas y

creencias conforman la epistemología del profesor y, en muchos casos, constituyen una

barrera a vencer para lograr un cambio en las prácticas de los profesores. Es así que

entramos a un círculo vicioso, el cual difícilmente se puede superar sino se proporciona a

los profesores una capacitación adecuada.

I

Introducción

Las investigaciones en didáctica de las matemáticas nos proporcionan elementos a través de

los cuales mejorar los métodos de enseñanza, así como también incidir sobre los contenidos

que se enseñan, permitiéndonos incidir de manera benéfica en el desarrollo de condiciones

que favorezcan el adecuado funcionamiento de los sistemas didácticos. Esto nos hace

vislumbrar a la formación didáctica como un medio pertinente para lograr romper con el

círculo anterior.

No obstante los aporte de la didáctica de las matemáticas a los profesores, ellos presenta

cierto recelo hacia una formación de este tipo. Consideran que la didáctica sólo viene a

complicar y entorpecer su labor, al introducir una terminología desconocida por él y

concebir que ella sólo busca el beneficio del alumno, en perjuicio, muchas veces, de la

formación que se le proporciona. Por otra parte, las experiencias no tan positivas de los

profesores en otros cursos de capacitación constituyen otro punto en contra de esta

formación, por lo general, ellos tienen la idea que en dichos cursos se les proporcionarán

conocimientos prácticos de aplicación inmediata en sus clases, expectativa que no lograr

cubrir. A esto hay que agregar que la naturaleza de la matemática favorece en el profesor

una práctica docente centrada en la deducción y con altos niveles de abstracción, esto lleva

al profesor a aceptar sólo aquellos resultados que no contradigan esa concepción. Las ideas

y creencias anteriores constituyen obstáculos a los que se enfrenta toda propuesta de

formación didáctica.

En el presente trabajo reportamos la elaboración de una propuesta de un curso-taller de

formación didáctica para profesores de cálculo del nivel universitario. Se busca contribuir a

la capacitación de los profesor, así como propiciar que éste vislumbre la necesidad de

II

Introducción

modificar y reformular su labor docente, cambiando su énfasis en la enseñaza por un

énfasis en los procesos de aprendizajes. Por otra parte, la puesta en práctica de dicha

propuesta, a un nivel experimental, nos sirvió para observar las actitudes y las posturas que

los profesores toman respecto a cursos de este estilo, información que contribuirá a la

elaboración de un mayor número de cursos de formación didáctica enfocados a los

profesores de ciencias exactas.

Para ello utilizamos la Teoría de las Situaciones Didácticas como un modelo teórico y

práctico de formación del profesorado, para lograr que perciban sus clases como un entorno

semejante al de la comunidad matemática y adquiera elementos que le permitan

desarrollarse bajo esa nueva perspectiva. La Ingeniería Didáctica, por su parte, nos

proporcionó un modelo para la experimentación y análisis de las actividades a ser

realizadas por el profesor dentro del salón de clases, permitiéndole una reflexión de su

actuar y la revisión de aquello que funciona y aquello que debe modificarse, basándose en

los resultados de los análisis que se exigen dentro de la ingeniería.

A continuación damos un breve panorama del contenido de cada uno de los capítulos de

que consta este trabajo.

En el capítulo 1 se describen brevemente diversas problemáticas relacionadas con la

enseñanza del cálculo, así como las problemáticas que se presentan dentro de las clases de

cálculo en la Facultad de Matemáticas, de modo que se tenga una visión de la actuación que

los profesores tienen dentro del salón de clases, y la viabilidad de una formación didáctica

como medio para superar tales dificultades. En este mismo capitulo se describen los

objetivos de este trabajo.

III

Introducción

El capítulo 2 está destinado a los antecedentes. Aquí describimos algunas temáticas y

acciones que se llevan a cabo en la formación de los profesores, así como también se

presentan algunas propuestas de formación del profesorado en el nivel superior y el

impactó que estas han tenido. Para finalizar este capítulo se describe brevemente en que

consiste la didáctica de las matemáticas y las implicaciones que los resultados que se

derivan de ella tienen sobre la formación de los profesores, dedicándose un apartado a la

didáctica del cálculo.

En el capítulo 3 se hace una descripción de los elementos que nos servirán de marco de

referencia para la realización de la propuesta. Se describen algunos aspectos relacionados

con la formación didáctica, así como también con la Teoría de las Situaciones Didácticas y

la Ingeniería Didáctica.

En el capítulo 4 se aborda la metodología empleada para el diseño del curso, así como una

descripción del mismo; se describen las temáticas abordadas y las acciones realizadas para

la conformación del diseño didáctico implementado.

El capítulo 5 está destinado para el análisis y discusión de la información recabada dentro

del curso. Se busca reportar el impacto de los temas abordados en las creencias y

concepciones de los profesores, así como las posturas y actitudes que ellos tomaron ante el

curso.

En el capítulo 6 se describen brevemente algunas reflexiones relacionadas con la actitud de

los profesores ante el modelo docente presentado y el impacto que ella tuvo sobre las

IV

Introducción

creencias de los profesores, así como las posibilidades de incidencia que vislumbramos de

ella en el quehacer didáctico de los profesores.

Por último se presentan las referencias bibliográficas y los anexos en los que se presentan

una actividad y el diseño didáctico que fueron implementados dentro del curso-taller.

V

Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo

Capítulo 1

Descripción de la problemática y objetivo

La enseñanza y aprendizaje de las matemáticas ha resultado ser un problema en las

instituciones de educación. En el caso del nivel superior donde se enseñan las matemáticas

denominadas avanzadas, el cálculo representa una asignatura donde se presentan diversas

dificultades de aprendizaje, lo que se traduce en altos índices de reprobación en la misma

(Cantoral, Resendiz, 2003).

Dentro de la escuela, la enseñanza del cálculo se ha entendido como la presentación de

algoritmos a través de clases magistrales, viéndose reducido su aprendizaje a la adquisición

de competencias en lo que respecta al desarrollo de esos algoritmos y procedimientos

(Artigue, 1995c). Esta forma de llevar a cabo la enseñanza (que puede observarse en

general en toda la matemática) ha demostrado no ser eficiente. No favorece, por ejemplo, la

adquisición de aprendizajes funcionales, creando en los alumnos desinterés por aprender, al

visualizar a las matemáticas como saberes sin sentido e innecesarios. Sin embargo, aún con

los múltiples señalamientos de problemáticas derivadas de la actual enseñanza del cálculo,

ésta parece mantenerse sin cambio.

En este capítulo realizaremos la descripción de las problemáticas que motivaron el

desarrollo de este trabajo, así como los objetivos que se persiguieron.

1

Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo

1.1 La enseñanza del cálculo

La enseñanza y aprendizaje del cálculo infinitesimal, ocupa un lugar privilegiado en la

educación superior dentro del ámbito de las ciencias. Sus relaciones con la matemática

elemental y con la matemática avanzada, así como las relaciones que ésta guarda con las

demás ciencias, lo convierten en un conjunto de saberes con valor teórico y empírico

considerables (Marcolini, Perales, 2005), constituyendo así una herramienta matemática

que nos permite comprender, estudiar y modelar diferentes sucesos que se presentan en el

mundo, los cuales se relacionan con procesos de cambio y variación (Cantoral, Reséndiz,

2003). De ahí, su aplicación en diversas situaciones como en la hidráulica, la mecánica, la

astronomía, la economía y hasta en la medicina, por citar algunos ejemplos.

Sin embargo, en el traslado de los conocimientos teóricos del cálculo a la escuela, son

notorias las dificultades que se presentan tanto a los profesores, para llevar a cabo un

adecuado proceso de enseñaza, como a los alumnos, en lo que se refiere al aprendizaje de

las nociones fundamentales, y es que como menciona Robinet (2001), citado en Cantoral y

Reséndiz (2003), la enseñanza de los principios del cálculo ha resultado siempre una

problemática.

Artigue (1995c) señala que existen grandes dificultades para hacer que los alumnos se

apropien de los principios del cálculo y de sus modos de pensamiento. Por lo general, ellos

aprenden los procesos mecánicos propios de la operatividad de los conceptos pero no

logran darle significado a los mismos; y es que tradicionalmente la enseñanza del cálculo se

ha entendido como la exigencia del desarrollo de habilidades en el manejo de los

2

Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo

procedimientos algorítmicos y algebraicos propios de la materia, provocando que los

conocimientos sean “evaluados” en este sentido (Artigue, 1995c; Cantoral, Reséndiz,

2003). Es decir, el aprendizaje de conceptos como, por ejemplo, la derivada, los límites y la

integral son reducidos al aprendizaje de sus procesos algorítmicos, los cuales deben

realizarse de manera casi automática, perdiéndose de vista las nociones de aproximación y

variación que hay detrás de ellos, nociones que dieron origen a tales conceptos.

Bajo la postura mecanicista, la enseñanza se centra en la resolución de ejercicios o

situaciones “problemáticas”, en donde se exige aplicar los procedimientos mostrados sin

cuestionarse muchas veces el porque de su aplicación. De este modo, los alumnos sólo son

capaces de utilizar el conocimiento que están “aprendiendo” en situaciones similares, en

ocasiones idénticas, a aquellas en las que fueron presentados (Cantoral, Mirón, 2000;

citados en Zúñiga, 2002).

Reséndiz (2004), citada en García (2006b), señala que otra forma de presentar los

contenidos del cálculo, es mediante un enfoque formal y riguroso. Esto puede ser el

resultado de la creencia de que el aprendizaje del cálculo debe estar dirigido a alcanzar

aquellos aspectos formales de la disciplina, marginando de esta manera la intuición y los

aspectos heurísticos que en conjunto posibilitan la construcción de esos contenidos (Tall,

Vinner, 1981, citados en Marcolini, Perales, 2005).

A esto debemos agregar, que sea cual fuere el tipo de enseñanza que se desarrolla, hay algo

que parece coincidir en todas las clases de matemáticas; su desarrollo mediante

exposiciones magistrales donde se presentan de manera formal reglas o procedimientos

matemáticos (Fregona, 1999). Esto favorece la presentación de los saberes como objetos ya

3

Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo

constituidos y terminados. De este modo, los alumnos toman el papel de sujetos pasivos

que sólo deben asimilar ideas mediante el estudio de apuntes de clase y textos escolares

(Marcolini, Perales, 2005). Este desarrollo representa para el docente, una manera

económica de llevar a cabo la enseñanza, permitiéndole presentar gran cantidad de

conocimiento en poco tiempo (Fregona, 1999).

Podemos darnos cuenta que en las formas actuales en las que se desarrolla la enseñanza,

aprendizaje del cálculo, el profesor es el actor principal. Sin embargo, dentro de éstas se

presentan diversas problemáticas que se acrecentan aún más si el profesor posee una

inadecuada preparación. Entenderemos por inadecuada preparación aquella que impide o

dificulta la toma de conciencia y de medidas para evitar los problemas que ésta causa y las

consecuencias que originan.

Lo anterior nos deja ver la necesidad de proporcionar a los profesores una capacitación y

formación continua que propicie un cambio de su punto de vista sobre la enseñanza y el

aprendizaje, cambios que permitan incidir sobre sus creencias y concepciones, buscando

con ello transformar las actuales prácticas de enseñanza en beneficio tanto del alumno

como del mismo profesor.

1.2 Acciones de la Facultad de Matemáticas hacia la atención estudiantil

La Facultad de Matemáticas (FMAT) de la Universidad Autónoma de Yucatán no escapa

de las problemáticas de rezago, reprobación y deserción estudiantil. Se reporta que

únicamente entre el 60% y el 70% de los estudiantes logran el paso del primer al segundo

año, siendo problemas relacionados con la reprobación de las materias de cálculo y álgebra,

4

Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo

una de las principales causas de este hecho. Esto ha motivado la implementación de algunas

estrategias destinadas a combatir esas problemáticas (García, 2006a), entre las cuales

podemos mencionar las siguientes:

♦ Realización de cursos propedéuticos para los alumnos de nuevo ingreso.

♦ Organización de talleres de cálculo.

♦ La conformación, en febrero de 2003, de un comité de tutorías, cuyo objetivo es

elevar la calidad del proceso formativo en el ámbito de la construcción de valores,

actitudes y hábitos positivos, con el fin de abatir el rezago y el fracaso escolar.

♦ En septiembre de 2003, inicia formalmente un programa de desarrollo y de

mejoramiento docente.

♦ El 1 de marzo de 2005, se inicio el proceso de creación del Departamento de

Orientación y Consejo Educativo (DOCE), cuyo objetivo es atender en orden de

prioridad las necesidades escolares y personales de los alumnos.

♦ Taller de hábitos de estudio.

♦ Impartición de cursos o talleres a solicitud de los alumnos.

Podemos observar que muchas de las acciones implementadas tienen el objetivo de incidir

sobre el alumno; sobre sus procesos de estudio, sus conocimientos previos, es decir, sobre

la parte cognitiva. Sin embargo, estas medidas aun no han logrado incidir en las

problemáticas relacionadas con el rezago y la reprobación escolar. No parece hacerse

conciencia respecto a que las dificultades en el proceso de aprendizaje de las matemáticas

no únicamente están relacionadas con factores de orden didáctico o técnico relacionados

con la forma en que se comunican los conocimientos, sino que cobra relevancia

5

Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo

fundamental la manera de seleccionar, articular y organizar el saber matemático con fines

didácticos (Marcolini, Perales, 2005). A este respecto, un punto que llama nuestra atención

es que ninguna de las acciones tomadas dentro la FMAT está orientada hacia la búsqueda e

implementación de nuevos procesos de enseñanza y aprendizaje específicos para las

matemáticas, los cuales incorporen elementos teóricos-metodológicos derivados de la

investigación científica.

Por otra parte, podemos notar que las acciones anteriores tratan de subsanar los problemas

de reprobación y rezago que se presentan, ninguna de ellas está dirigida a la búsqueda de

factores causantes de las tales problemática. Como respuesta a este hecho, se puso en

marcha en la FMAT el proyecto de investigación titulado “Un estudio sobre factores que

obstaculizan la permanencia, logro educativo y eficiencia terminal en las áreas de

matemáticas del nivel superior: el caso de la Facultad de Matemáticas de la Universidad

Autónoma de Yucatán”. La meta de su primera etapa consistió en realizar un diagnóstico

que permitiera identificar factores de tipo académico que posiblemente sean causa de

reprobación, rezago y por ende, deserción escolar en el área de cálculo.

Como parte de las acciones desarrolladas en el marco de la primera etapa del proyecto de

investigación antes mencionado, se realizaron entrevistas a los profesores que impartían

cálculo en la FMAT, ello con la finalidad de hacer un análisis de la organización, usos y

enfoques que ellos realizan de ésta asignatura, así como el análisis de los libros de texto que

se utilizan, entre otras. La información recolectada dejó entre ver que los profesores

cuentan con una amplia formación disciplinar, pero con pocos o nulos estudios de índole

didáctico o pedagógico; sus clases se caracterizan por poseer un enfoque muy teórico;

6

Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo

utilización en los primeros cursos de cálculo de libros de texto que presentan un enfoque

axiomático, el cual puede resultar muy abstracto y de un elevado nivel de complejidad, más

aún si tomamos en cuenta que algunos de los alumnos cursan la materia por primera vez, ya

que en el bachillerato no llevaron las asignaturas optativas de cálculo diferencial e integral;

otro punto a resaltar es que las prácticas de enseñanza se encuentran enmarcadas dentro del

enfoque analítico-formal, menospreciándose otros recursos como los gráficos, visuales, etc.

Otras acciones desarrolladas dentro el mismo proyecto de investigación lo constituyeron los

trabajos de tesis de licenciatura de García (2006a) y García (2006b), en las que se realizan

descripciones sobre la forma en que los profesores de la FMAT desarrollan las clases de

cálculo I y cálculo diferencial respectivamente. La primera de las asignaturas se imparte

para las licenciaturas del área de las matemáticas (licenciaturas en actuaría, enseñaza de las

matemáticas y matemáticas), mientras que la segunda se desarrolla en las licenciaturas del

área de la computación (licenciatura en computación y las ingenierías en sistemas

computacionales y en software)

Algunos puntos comunes o generales a destacar dentro los reportes realizados son los

siguientes:

♦ Los profesores bajo estudio cuentan con una amplia formación disciplinar, pero

poseen poca o ninguna formación pedagógica (y menos aún en didáctica de las

matemáticas).

♦ Los profesores llevan a cabo su práctica docente basados en sus creencias y

concepciones de la forma en que se enseña y aprende matemáticas.

7

Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo

Estas concepciones en ocasiones difieren de la de los alumnos y pueden generar

algunos problemas de aprendizaje. Por ejemplo, en el trabajo de García (2006 b) se

reporta que uno de los profesores participantes en el estudio señaló que durante su

práctica profesional se ha percatado que las clases que el denominó “tradicionales”,

ocasionan que los alumnos se tornen pasivos, tengan dificultades para asimilar

adecuadamente los contenidos y estudien únicamente por la presión de un examen.

También hace mención que durante su experiencia como alumno, se dio cuenta que

ninguno de sus profesores le enseñó realmente. Al respecto reproducimos el extracto

de una entrevista que García (2006b) realizó a dicho profesor:

“…no sólo cálculo, todas las demás materias, en realidad las aprendí yo sólo, y es

por eso que te digo también me puse con este nuevo método, me propuse no dar

clases, por que la verdad ningún maestro me enseño nada, ya que lo piensas mucho

te das cuenta que nadie te enseña nada, …, por mucho que él sepa, por muy bien

que exponga ante la clase, eso no te va ayudar a ti en nada, y yo te lo digo por que

eso me pasó, yo tuve maestros que los recuerdo como maravillosos expositores,

que veías cuanto sabían de su tema, otros que eran lumbreras porque son

reconocidos por los demás matemáticos, pero que no te podían enseñar nada,

porque no sabían enseñarte nada, llegaban y se esforzaban, o escribían muy mal, o

no se les oía o no se les entendía, ni siquiera lo que decían, aunque fueran unos

genios no te podían transmitir nada de esa genealidad,…”

8

Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo

“…, realmente aprender, aprender uno solo, por eso, esa fue mi idea ahora,…, no

preparo clase, no les doy clase, les digo lo que tienen que estudiar y que lo hagan,

las dudas si, las dudas son en lo que yo puedo ayudar…”

Concepciones como las anteriores hacen que el profesor conciba al aprendizaje

como un proceso del cual el alumno es el único responsable; es el propio alumno

quien debe encargarse de leer y comprender los temas.

La concepción anterior fue reflejada en la metodología seguida en las clases; los

alumnos debían leer y comprender los temas del libro de texto seleccionado y en las

clases deberían pasar a explicar la solución de los ejercicios asignados previamente,

el profesor se encargaría de evaluar dichas soluciones.

No obstante, esta forma de desarrollar las clases generó algunas problemáticas como

la sensación de que su presencia no era necesaria, pues el docente no los motiva y

centra su atención únicamente en el alumno expositor, sin considerar al resto del

grupo. El siguiente extracto es de una entrevista que García (2006b) realizó a los

alumnos:

“…, pero el maestro no … pone atención de que nosotros leamos, de que

busquemos la información, pues a nosotros solo nos interesa nuestro problema y a

la hora de clase pues todo es un relajo, porque sólo … pasa uno y ya, nada más

cuando están difíciles las cosas prestan todos atención, pero ya después ni en

cuenta el maestro,…, ya ves que al momento que pasan, el maestro se centra en la

persona, la persona pasa, lo resuelve, y el grupo ni en cuenta,…, el maestro no

9

Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo

pasa lista, y si te habla y estás pasas, pero ese día ni en cuenta si estás o no, yo digo

que es eso, cuando saben que no les va a tocar, pues ni van, se ponen a hacer otras

cosas, a veces hay tarea que hacer,…”

Otro punto a señalar, es que los alumnos sienten que sus ideas no son tomadas en

cuenta, que lo que realmente contaba era lo que decía el profesor. A continuación

presentamos una secuencia de una entrevista a los alumnos:

A’1: yo una vez pasé a hacer un problema a mi manera, y no, no está mal, y me hizo

hacerlo a la suya, y termine haciendo lo mismo!…

A’2: ah es cierto, y hacer siempre las cosas a su modo, es como lo que entendiste

del libro,…

A’1: no espera a ver que termines, o sea para ver, le explico al maestro que hice

esto y esto, no, estás empezando a hacer y te dice, no hagas esto, has mejor esto, y

ya todo lo que habías planeado no lo haces.

A’2: si tu ejercicio salió bien y el maestro está de acuerdo, ya hiciste el día, pero si

de plano, en el momento en que estés empezando, así estés escribiendo, el maestro

te dice, no eso no va allí, y no mejor no, es que hay una manera más fácil, entonces

para que lo hiciste, mejor que lo pase a hacer él y se acabo!

Esto nos muestra la importancia de fundamentar sistematizar y evaluar las acciones

a desarrollar dentro del aula y no basarnos únicamente en la experiencia personal o

creencias.

10

Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo

♦ Se favorece la realización de ejercicios como el medio para asimilar los

conocimientos matemáticos y lograr su aprendizaje, concepción que es compartida

por profesores y alumnos.

♦ Ya sea la clase de tipo deductiva o inductiva, la forma de presentar los contenidos,

en general, se desarrolla conforme el siguiente patrón: teoría – teoremas -

demostración (o comprobación) - ejercicios.

♦ Falta de motivación de los alumnos por aprender. El profesor no los motiva.

♦ Los alumnos presentan un papel pasivo. Se limitan a responder preguntas del

profesor o realizar los ejercicios que le son asignados.

♦ Existen diferencias en cuanto al uso que se les da a las demostraciones. Unos

profesores le dan una importancia relevante, al grado de sólo aceptar en la

resolución de problemas la utilización de aquellos conocimientos que han sido

demostrados o el alumno puede demostrar. Mientras que otros las toman como una

simple verificación que deben realizarse a una proposición o teorema para

comprobar su veracidad, no teniendo el mismo rol central que para los anteriores.

♦ Los profesores perciben a las matemáticas como un conjunto de saberes

estructurados que forman un sistema axiomático; a partir de algunos conceptos se

deducen otros. Concepción que se hace presenta en la forma de desarrollar las

clases.

♦ Los profesores se ostentan como autoridades del conocimiento, las cuales norman

los aprendizajes que se realizan y la forma en que se realizan. Esto conduce a que

los alumnos se limiten a aceptar lo que el profesor les comunica y desarrollar bajo

esas premisas sus acciones.

11

Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo

♦ La interacción entre el profesor y los alumnos, dentro del salón de clases, se da

como resultado de las preguntas que los profesores realizan o que los alumnos

hacen debido a alguna duda que éstos presentan respecto a los contenidos que se

desarrollan.

♦ Poco o nula contextualización de los conceptos matemáticos.

♦ Se percibe una desarticulación entre los aspectos: conceptual, operacionales,

experimentales y formales (teóricos).

En lo que se refiere a aspectos relacionados con el desenvolvimiento del profesor dentro del

salón de clases, se reporta que algunos maestros tienden a dar la espalda a los alumnos

mientras realizan la exposición de los contenidos, centran la atención en los alumnos que

pasan a la pizarra a resolver los ejercicios propuestos, utilizan únicamente la pizarra como

medio didáctico, tienden a contestar las preguntas que ellos mismos formulan, entre otros

resultados.

1.3 Planteamiento del problema

Es innegable la existencia de problemas en la enseñanza y aprendizaje del cálculo, y en

general en toda la matemática. Por ejemplo, problemas que derivan de la complejidad

inherente de los propios conceptos, los cuales han tenido que evolucionar hasta alcanzar el

rigor formal con el que actualmente se presentan y se tratan en el currículo; ocultándose en

esta evolución, ideas fundamentales que dieron origen a tales conceptos. Si a esto

agregamos las problemáticas provenientes de la forma en que se desarrolla su enseñanza,

12

Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo

entonces, los problemas para el aprendizaje del cálculo se tornan aun mucho más

complejos.

El aprendizaje del cálculo (particularmente) implica que el alumno sea capaz de poner en

práctica los conocimientos que vaya adquiriendo en diversas situaciones, el manejo del

lenguaje propio de la disciplina y su utilización para adquirir mayores conocimientos. Pues,

como señala Douady (2005), saber matemáticas involucra dos aspectos: Por un lado, se

refiere a la disponibilidad funcional de algunas nociones y teoremas matemáticos para

resolver problemas e interpretar nuevas situaciones (estatus de herramienta de los

conceptos). Mientras que por el otro, también significa identificar las nociones y los

teoremas como elementos de un cuerpo reconocido social y científicamente (estatus de

objeto de los conceptos).

Sin embargo, las actuales prácticas docentes desarrolladas por los profesores de cálculo, no

favorecen el logro de las acciones anteriores. Ellos se desempeñan como autoridades

“didácticas” que guían todas las actividades que se desarrollan dentro del salón de clases;

presentan los contenidos, establecen ejemplos, solicitan al alumno la realización de

ejercicios, etc. El alumno sólo debe estar atento a lo que el profesor le comunica y cumplir

con las exigencias que le son echas. Más que buscar aprender, éste busca cumplir con esas

reglas intrínsecas que se establecen dentro de las clases. Situación que se reflejada en los

pobres aprendizajes que los alumnos adquieren y su posterior (incluso, pronto) olvido. Sin

embargo, aún cuando se han reconocido estas problemáticas, las prácticas docentes parecen

no modificarse.

13

Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo

Con relación a la inmutabilidad de los métodos de enseñanza, podemos encontrar reportes

como los de Parra (2005), quién señala que los profesores basan su práctica docente en la

experiencia adquirida por su paso en la escuela y las creencias que posean respecto a la

enseñanza y aprendizaje, así como en las acciones que otros maestros han realizado con

buenos resultados. Esto favorece la creación de un círculo vicioso; el profesor desarrolla

esquemas de referencia dentro de los cuales tuvo éxito su aprendizaje, pero que por lo

general, se debe a su capacidad propia para comprender las matemáticas y no tanto a lo

adecuado de dichas esquemas para suscitar aprendizajes. Este círculo es posible observarlo

dentro de la Facultad de Matemáticas, donde muchos de los profesores que actualmente

imparten clases, ¡fueron alumnos de la misma!

Si bien, se ha mencionado hasta el cansancio que no basta con dominar una disciplina para

llevar a cabo una adecuada enseñanza de ella (la misma entrevista de García (a) constata

este hecho), esto parece repercutir únicamente en los niveles básicos de educación. En

dichos niveles, la formación en el ámbito psicopedagógico y didáctico es aceptada como

necesaria. Mientras tanto en el nivel superior, la idea de la suficiencia del conocimiento

disciplinar es considerado como único requerimiento en la formación de los profesores

(Meneguzzi, 2004). Se alega que los alumnos se encuentran en un nivel de madurez tal, que

aún sin profesores ellos mismos están en condiciones de lograr aprendizajes (Campanario,

2003). Este alegato, si bien posee argumentos a su favor, que provienen de la formación

que se espera dar a los alumnos universitarios, no es posible aceptarlo como verdad

universal y mucho menos valerse de él para justificar todo acto de enseñanza en este nivel.

14

Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo

La capacitación única en el ámbito disciplinar que muchos profesores poseen, les impide

tomar conciencia de numerosos factores que inciden sobre los procesos de enseñanza,

aprendizaje. Por ejemplo, en la matemática, como en todas las demás disciplinas, debemos

hacer una distinción entre la matemática como ciencia científica y la matemática como

materia que se enseña dentro del aula de clases, pues aún cuando abordan en esencia los

mismos saberes, éstos presentan grandes diferencias que hacen de sus procesos de

construcción y los significados que se les asignan, no ser los mismos. Esta distinción es

difícil de vislumbrar por aquellos profesores que no posean una adecuada capacitación,

llevando a exigirle al alumno el desarrollo de los procesos formales y estrictos que se

manejan dentro de la matemática científica, constituyendo esto una fuente de problemas,

dado que no todos los alumnos están capacitados para tal exigencia. Por otra parte, al ser la

matemática una disciplina que se caracteriza por presentarse con cierta distancia con

respecto a los alumnos y su mundo, e incluso en cierto sentido alejada de la tecnología, la

formación de los estudiantes depende de la calidad de la enseñanza (Brousseau, 1990b).

Para un profesor, enseñar debe significar la creación de las condiciones que permitirán la

apropiación de conocimientos por parte de los estudiantes. Para un estudiante, aprender

debe significar involucrarse en una actividad intelectual cuya consecuencia final es la

disponibilidad de un conocimiento en su doble estatus de herramienta y objeto. Para que

halla enseñanza y aprendizaje, es esencial que haya aprendizaje y enseñanza, es necesario

que el conocimiento sea un objeto importante, casi esencial, de la interacción entre el

profesor y sus alumnos (Douady, 1995).

15

Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo

Pero la formulación anterior no puede ser impuesta al profesor por medio de una exigencia

o un simple planteamiento en los currículos, para que ella se vea reflejada dentro del salón

de clases, se hace necesario que sean los mismos profesores quienes tomen conciencia de lo

pertinente de esa forma de concebir su trabajo, necesidad que aumenta conforme mayor sea

el tiempo que éstos tengan en ejercicio. Son los profesores los principales agentes de

cambio de las prácticas educativas, pues son los responsables de poner en práctica cualquier

cambio e innovación en el currículo, así como también de la implementación de nuevos

métodos de enseñanza. Sin embargo, debido a que son sus creencias y concepciones las que

se reflejan en las prácticas docentes que desarrollan, el éxito de cualquier cambio en dicha

práctica está determinado en gran parte por la implementación de un cambio en esas

concepciones, pues muchas de ellas se vuelven verdaderos obstáculos para lograr un

cambio en su método de enseñanza (Campanario, 2003).

En la actualidad, existen diversos esfuerzos por proporcionar al profesor universitario una

adecuada preparación para actualizar y mejorar su desempeño profesional. Se reconoce la

necesidad de que el profesorado posea una adecuada y profunda competencia pedagógica y

didáctica, es decir, además de conocer su disciplina, el profesor universitario debe aprender

la profesión docente, la cual Díaz (2000), citado en Vivas, et al, (2003) define como:

“Las capacidades para enseñar una disciplina y atender el desarrollo de la

personalidad del estudiante, así como también la pericia para conducir a todo

el estudiantado hacia el logro de los diversos objetivos de aprendizaje”

Las actividades de los profesores no pueden ser intuitivas, espontáneas, aisladas,

tradicionales o centradas en el aula. Se requiere entonces proporcionarles una adecuada

16

Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo

formación que los ayude a enfrentar las problemáticas que se le presentan. Su saber

profesional debe abarcar conocimientos actualizados de la disciplina que enseña, de la

didáctica universitaria y de la didáctica especial correspondiente (Vivas, et al, 2003). Esto

nos indica que los cursos de formación del profesorado universitario deben considerar el

ámbito en que éstos se desarrollan, de modo que, por ejemplo, un curso de formación

didáctica destinado a un ingeniero no puede ser el mismo que el que se destina a un

matemático, dichas cursos deberán atender diferentes necesidades. En el caso de las

matemáticas, esto tiene gran relevancia, pues ella constituye una disciplina que se exige así

misma grandes niveles de formalidad, situación que el profesor ha experimentado y bajo la

cual trata de desarrollar sus clases. No obstante, esta diferenciación no se ve reflejada en la

mayoría de los cursos de formación de los profesores, los cuales abordan técnicas

didácticas generales.

Tomando en cuenta lo anterior, así como las dificultades propias que se presentan en la

enseñanza, pero sobre todo en el aprendizaje del cálculo, y atendiendo a los reportes

provenientes de los trabajos de García (2006a) y García (2006b) respecto a las

características bajo las cuales se desarrollan las clases de cálculo en la FMAT,

consideramos que es necesario proporcionar al profesor de dicha asignatura, una formación

que le provea, entre otras cosas, de una adecuada representación de lo que es la actividad

matemática, en especial, dentro del salón de clase, de una “buena” epistemología y de

concepciones didácticas “adecuadas”.

Actualmente, la didáctica de las matemáticas ha cobrado un papel importante dentro de la

formación de los profesores, donde actúa como un elemento que aporta conocimientos que

17

Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo

permiten corregir aspectos considerados negativos en el sistema de enseñanza (Fregona,

1999).

Las investigaciones en el ámbito de la didáctica de las matemáticas proporcionan

conocimientos respecto a los procesos de enseñanza y aprendizaje, tales como sus aciertos,

puntos débiles, problemáticas, así como también proporcionan elementos para realizar el

diseño de situaciones que favorezcan el aprendizaje de los alumnos. Esta información nos

permite fundamentar nuevas perspectivas para proporcionar cambios, innovaciones y

renovaciones en el quehacer didáctico de los profesores (Moreno, 2005). En este sentido, la

formación de los profesores de cálculo en didáctica de las matemáticas, y más

específicamente en la didáctica del cálculo, se perfila como un medio óptimo para favorecer

en ellos la incorporación de nuevas perspectivas referentes a los procesos de enseñanza y

aprendizaje del cálculo, así como para proporcionarles elementos teóricos y metodológicos

que permitan incidir en sus actuales prácticas docentes, es decir, lograr la transformación y

adaptación de la educación matemática a las nuevas realidades. Fundamentando todo lo

anterior en conocimientos provenientes de una disciplina científica.

De este modo, consideramos que la formación de los profesores en didáctica de las

matemáticas, contribuiría a subsanar algunas de las problemáticas presentes en las clases de

cálculo, logrando incidir sobre los problemas de reprobación, rezago y deserción escolar

que se presentan.

Sin embargo, los resultados de la investigación en didáctica son aceptados, si al caso, con

muchas reservas y dudas por los profesores del nivel universitario. Campanario (2003),

reporta que una actitud negativa, de los profesores hacia dichos resultados, se deriva del

18

Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo

hecho de considerar que la didáctica constituye una disciplina que busca beneficiar

únicamente al alumno, disminuyendo el nivel de la formación que se le exige; otra causa de

esa actitud lo constituye las expectativas de los profesores, ellos esperan un conocimiento

con aplicación inmediata al desarrollo de sus clases, expectativa que la didáctica no parece

cubrir; otra causa puede ser el hecho de considerar que un buen docente nace, no se hace;

por último, podemos mencionar que los profesores consideran que muchos de los

resultados que se le presentan, ¡son obvios! y producto del sentido común, no requiriéndose

por tanto, una formación para ese ámbito. Estas ideas obstaculizan la incidencia de las

propuestas de formación didáctica en el desempeño docente de los profesores.

La idea de proporcionar al profesor universitario una formación didáctica, centrada en la

matemática, si bien constituye una propuesta adecuada para incidir sobre las problemáticas

de aprendizaje que se presentan, ésta deberá luchar contra los prejuicios que se tiene de la

didáctica. Entonces, se vuelve necesario conocer cómo reacciona el profesor ante los cursos

de formación didáctica, pues esta información nos permitirá tomar las medidas pertinentes

para disminuir esa lucha y favorecer mejores condiciones para el desarrollo de los mismos.

En este sentido, nos proponemos un doble objetivo:

1. El desarrollo de una propuesta de un curso – taller de formación en didáctica de las

matemáticas, enfocándonos de manera especial en el área de cálculo, para

profesores del nivel universitario.

2. Con la implementación del curso-taller, manejada en una fase de experimentación,

obtener información referente al grado de aceptación y el tipo de actitud de los

profesores hacia este tipo de cursos.

19

Capítulo 1: Descripción de la problemática y objetivo

Se pretende acercar a los profesores, los resultados provenientes de la didáctica de la

matemática, a fin de proporcionarles estrategias didácticas y metodológicas pertinentes que

nos permitan incidir de modo benéfico sobre sus actuales prácticas docentes, permitiendo

favorecer de un modo más eficiente el aprendizaje de los alumnos. Buscamos proporcionar

al profesor, algunos aspectos que puedan serles útiles durante la planificación, desarrollo y

evaluación de las clases. Por otra parte, la información derivada del segundo objetivo

creemos, será una adecuada base para la conformación y estructuración de cursos de

formación didáctica dirigidos a un mayor número de profesores universitarios en el área de

ciencias exactas.

20

Capítulo 2: Antecedentes

Capítulo 2

Antecedentes

Frente a los problemas relacionados con la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, las

instituciones educativas realizan diversas acciones tales como: cursos propedéuticos de

nivelación a los estudiantes, revisión y modificación de los contenidos de los planes y

programas de estudio o cursos de formación docente y de actualización a sus profesores

(Mingüer, 2001). En el nivel universitario, son cada vez más frecuentes los debates en torno

a la preparación que los profesores deben poseer, preparación que no sólo abarca su

formación disciplinar, sino también su formación didáctica. Esto ha generado el

surgimiento de numerosas propuestas de formación en los más diversos temas, según el tipo

de necesidades que se quiera cubrir. Uno de tales temas es la didáctica particular de la

disciplina que se enseña, en nuestro caso, la didáctica de las matemáticas.

En este capítulo describiremos brevemente algunos resultados derivados de los estudios

referentes a la formación de los profesores, así como también, se presentarán algunas

acciones que se han tomado a este respecto. Por último, describiremos el papel de la

didáctica de las matemáticas en dicha formación.

21

Capítulo 2: Antecedentes

2.1 Formación de profesores de matemáticas: formación disciplinar y

formación didáctica

El aumento de la población estudiantil en los niveles medio superior y superior, que se ha

venido registrando desde mediados de los años sesenta, ha demandado el incremento del

número de profesores para estos niveles. Para responder a esta demanda, las instituciones

de educación superior tuvieron que hacer uso de sus propios pasantes o recién egresados de

sus aulas para improvisarlos como profesores. En el caso del área de las matemáticas, esto

dio pie a la contratación de profesionistas que tuvieran dentro de su perfil, un dominio

matemático; es así como llegan a las aulas ingenieros, arquitectos, etc., sobre todo en

bachillerato. Ellos poseían conocimiento matemático, sin embargo, carecían de preparación

para desempeñarse como docentes, lo cual en muchas ocasiones se vio reflejado en

problemas de aprendizaje. Esto dio pie al surgimiento de diversos cursos y talleres

destinados a cubrir tal necesidad.

Fregona (1999) señala, que tradicionalmente, la formación de los profesores consiste en

comunicarles una serie de contenidos y saberes tanto teóricos como prácticos, los cuales les

proporcionen los conocimientos necesarios tanto del dominio disciplinar como del dominio

pedagógico; estos últimos son necesarios para la instrucción y el desarrollo de los sujetos.

A los dominios anteriores se agrega un tercero, el relativo a las prácticas de enseñanza; se

busca que el profesor se desempeñe adecuadamente dentro del salón de clases, así como

también, que sea hábil para propiciar las condiciones que favorezcan el aprendizaje del

alumno. Estos tres conforman constituyen el eje central sobre el cual se basa la formación

22

Capítulo 2: Antecedentes

de los profesores, a los cuales se agregan otras temáticas y dominios, dependiendo del nivel

en el que se desempeñarán.

Respecto a la formación de los profesores de matemáticas, D’Amore y Martini (2000)

señalan que podemos distinguir entre:

♦ Preparación profesional (entrenamiento, tutorías, prácticas).

♦ Preparación teórica.

Al primer punto corresponde el desarrollo de habilidades tales como, por ejemplo, aquellas

relacionadas con el adecuado desenvolvimiento dentro del salón de clases, como pueden

ser: la habilidad de comunicación personal y grupal, la forma de dirigirse al grupo, etc. Es

decir, corresponde a la preparación práctica. Con respecto al segundo punto, se hace otra

distinción:

♦ Preparación teórica específica o disciplinar (la preparación en matemáticas).

♦ Preparación no disciplinar.

Aquí hay que hacer una aclaración respecto a lo que significa la preparación teórica

disciplinar, pues ésta abarca otros conocimientos que por lo general no se abordan dentro

de las clases de matemáticas, como pueden ser, su historia y su epistemología,

conocimientos que todos los expertos y responsables del sector parecen, al menos en

principio, aceptar como necesaria para enseñar matemáticas (D’Amore, Martini, 2000). Sin

embargo, estas temáticas no son abordadas dentro de los cursos de formación docente.

23

Capítulo 2: Antecedentes

Dentro de la preparación no disciplinar, son grandes las discusiones que se han dado

respecto a los temas que se deben abordar, e incluso sobre la necesidad de ésta preparación.

Existen personas no interesadas por la didáctica, que consideran inútil una preparación

psicopedagógica, declarando que para ser buenos maestros es necesario y suficiente el

conocimiento disciplinar, pero existen otras que consideran que es necesaria alguna

competencia en el ámbito psicopedagógico; aquí hay varias posturas que van desde quien

considera que no es dañina, quien considera que es útil, hasta quien considera como

necesaria tal preparación. Como ejemplo de la preparación no disciplinar podemos

mencionar a la comunicación y el uso del lenguaje, en especial si se considera a la

matemática como un lenguaje y si tenemos en cuenta que en el acto de la enseñanza la

comunicación es un elemento importante.

D’Amore (2000), señala que la escolarización de los saberes no sólo causa un cambio en

los saberes científicos, sino también en la actitud del estudiante. De este modo, el

aprendizaje de los alumnos se lleva a cabo por exigencias institucionales, es decir, debido a

las relaciones que los alumnos y profesores contraen en el ámbito de la institución en la que

interactúan; su aprendizaje no es para la vida, sino que es un aprendizaje situado, y más

aún, situado en la institución escolar. Entonces, para superar este obstáculo, el profesor

debe ser competente en el “arte de la seducción”, de la comunicación, del modelo

humano…para lograr que alumno se interese por el aprendizaje en sí mismo y no para

cumplir con una relación o compromiso establecido. Esto establece otro ejemplo de la

necesidad de la formación no disciplinar del profesor.

24

Capítulo 2: Antecedentes

Por otra parte, siguiendo con la discusión de la formación que los profesores de

matemáticas deben poseer, podemos mencionar el estudio realizado por Parra (2004), sobre

aquellos contenidos escolares de los que hacen uso los profesores y de la forma en que ellos

hacen uso de éstos. En dicho estudio se reporta que son cuatro los elementos que deben

proporcionarse a los docentes de matemáticas en los procesos de formación: los contenidos

matemáticos, elementos históricos, elementos epistemológicos y los saberes matemáticos

no formales. Esto último se refiere a aquellos conocimientos que no son considerados

relevantes a nivel de la comunidad académica, pero que son utilizados por la gente en

situaciones cotidianas. Se menciona el siguiente ejemplo para clarificar esta última

afirmación: los comerciantes para calcular el cambio que deben dar a sus compradores, por

lo general, no restan a la cantidad de dinero proporcionada por éstos últimos el importe de

la compra, operación aritmética que se exigiría en la escuela como medio para obtener la

respuesta, sino que al valor de la compra van sumando cantidades hasta llegar al monto de

dinero proporcionado por el comprador, siendo la cantidad que permite esta acción el

dinero que se debe devolver al comprador.

Todo lo anterior nos muestra que la formación de los profesores es un tema delicado que

posee muchas vertientes en cuanto a las temáticas que debe incluir dicha formación. No

obstante, nos permiten observar un hecho que ha sido señalado en reiteradas ocasiones: es

insuficiente el conocimiento matemático para el logro de efectivas prácticas de enseñanza.

D’Amore y Martini (2000) señalan que las investigaciones en didáctica, muestran que el

rechazo a la matemática o el no tener éxito en ella, incluso el abandono de la escuela a

causa de las matemáticas, hallan sus raíces en explicaciones erróneas que producen

25

Capítulo 2: Antecedentes

conflictos insuperables, concepciones incorrectas que nunca llegaron a corregirse, con

frecuencia resultado de falacias didácticas que tienen origen en falta de competencia.

Sin embargo, en los niveles universitarios, durante la selección de los profesores de

matemáticas, se sigue privilegiando la exigencia casi única de una formación disciplinar

sólida, mientras que en los niveles inferiores, se favorece una mayor preparación

psicopedagógica, incluso en ocasiones, esta formación merma sobre la disciplinar. Esta

situación genera grandes problemas tanto en un nivel como en el otro (D’Amore, Martini,

2000). Si bien es fundamental el dominio de la matemática, también es fundamental una

adecuada preparación sobre la cual fundamentar las actividades de enseñanza, misma que

debe procurar que el profesor reflexione sobre las acciones que desarrolla para, en caso

necesario, realizar las modificaciones pertinentes. Los profesores no pueden basar sus

acciones de enseñanza en creencias y suposiciones, pues a la larga podrían obtener más

problemas que beneficios.

2.2 Acciones para la formación de los profesores de matemáticas en el

nivel superior

En la actualidad la formación de los profesores en el nivel universitario es un tema que ha

cobrado gran relevancia. Esto se deriva de la mayor atención que en los últimos años se ha

comenzado a prestar a la influencia que el pensamiento del profesor tiene sobre sus

estrategias docentes y su desempeño en clase (Campanario, 2003). A continuación

presentamos tres propuestas distintas destinadas a la formación de los profesores en el nivel

superior.

26

Capítulo 2: Antecedentes

En el Instituto Tecnológico de Oaxaca se han realizado diversos esfuerzos para

proporcionarles a sus catedráticos, una adecuada preparación docente y profesional. Dichos

esfuerzos han estado enmarcados en la propuesta de la didáctica tradicional (enfoque

clásico de la didáctica) la cual ha resultado insuficiente para abordar con éxito las

numerosas problemáticas que se presentan (Mingüer, 2002).

Es por ello que tomando como base la experiencia de un primer encuentro con la propuesta

de formación docente que hace el Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav a

través del diplomado “Introducción a la Matemática Educativa”, el cual fue ofrecido a

profesores de nivel superior de Oaxaca, Mingüer desarrolló un Curso-Taller al que

denominó “Introducción a la Matemática Educativa”, con el cual buscaba hacer extensiva

la experiencia de trabajar con las situaciones didácticas a un mayor número de profesores

de los niveles medio superior y superior. Ella se propuso el desarrollo de un curso de

formación que ofreciera fundamentos teóricos y metodologías para la enseñanza, así como

además permitiera a los profesores la actualización de sus conocimientos disciplinares por

medio de su interacción con situaciones de aprendizaje que le permitan construir

conocimientos. También se buscaba propiciar un cambio en el enfoque didáctico con el que

se aborda la matemática; de una didáctica con enfoque clásico, que no ha permitido

solventar las dificultades que se presentan en la enseñanza y aprendizaje de las

matemáticas, a una didáctica centrada en la matemática.

Las actividades implementadas dentro del curso-taller consistieron en la realización de

lecturas introductorias a la matemática educativa, las cuales estaban relacionadas con la

problemática de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, así como la puesta en

27

Capítulo 2: Antecedentes

escena de tres situaciones didácticas. Estas acciones fueron consideradas valiosos recursos

para la formación docente, contribuyendo al desarrollo de una cultura matemática en los

profesores. Se buscó que éstos en un primer instante conocieran y más tarde llegaran a

utilizar las situaciones didácticas para favorecer que el alumno construya su conocimiento.

Para el desarrollo del curso se recurrió al trabajo grupal e individual, considerando los

intercambios de ideas y la discusión grupal acciones importantes para la construcción del

conocimiento entre los participantes.

Como resultado y experiencias de este taller, se reporta que los profesores lograron

experimentar los aportes de las situaciones didácticas, identificándolas, tanto como

herramienta para su propia formación, como elementos didácticos para ser utilizados con

sus alumnos. Nos parece conveniente citar la opinión de uno de los participantes del curso:

“En general, yo reduciría todo en muy pocas palabras: después de esta

experiencia ya no seguimos siendo los mismos y por lo tanto, nuestro trabajo en

lo sucesivo no podrá seguir siendo igual porque ya conocemos otro tipo de

trabajo, bajo otra óptica.” pp. 35. (Mingüer, 2001)

Esto nos permite vislumbrar que la incorporación de la teoría de las situaciones didácticas a

la formación docente constituye una alternativa adecuada, conformando una cultura

matemática en profesores y alumnos, de forma que poco a poco se logre una sensibilización

al cambio.

Tenemos pues, que la didáctica de las matemáticas ha de ser un elemento importante en la

formación de los profesores, pues ella puede proporcionar nuevas perspectivas teóricas y

metodológicas sobre las cuales fundamentar los cambios y adaptaciones pertinentes a las

28

Capítulo 2: Antecedentes

estrategias de enseñanza de los profesores. Encontrando dentro de ella, resultados que los

profesores encuentran pertinentes para incorporar a su práctica docente.

Por otra parte, en el Instituto Politécnico Nacional se han realizado, durante los últimos 20

años, investigaciones relacionadas con las problemáticas de los procesos de enseñanza y

aprendizaje de las matemáticas que se desarrollan en las carreras de ingeniería, las cuales

han permitido establecer una teoría cimentada en la función específica que tiene la

matemática en el nivel superior en carreras que no tienen por objetivo formar matemáticos;

esto ha dado lugar a una matemática en contexto (Camarena, 2004).

Basándose en la participación de tres elementos centrales en las clases: profesor, alumno y

saber, Camarena (2004) señala que se han abierto cinco fases a ésta teoría: curricular,

didáctica, epistemológica, formación de profesores y cognitiva.

Dentro de la fase didáctica se presenta lo que se denomina la matemática en contexto,

donde se vincula la matemática con otras asignaturas. Se plantean problemas que

pertenecen a diferentes asignaturas, trabajándose allí, los contenidos matemáticos, para

luego presentar dichos contenidos descontextualizados y poder aplicarlos a diversas

situaciones. En lo que respecta a la formación de profesores, se ha propuesto un curso para

este propósito: “curso de especialidad en docencia en ingeniería matemática en

electrónica”. En él, las materias de matemáticas se presentan vinculadas con materias de

electrónica y afines. Por ejemplo, se incluían materias como: introducción al análisis

matemático de una variable real y electrónica básica, y cálculo vectorial y

electromagnetismo. También se incluían materias como: procesos de aprendizaje, historia y

fundamentos de la matemática, y evaluación del aprendizaje.

29

Capítulo 2: Antecedentes

Las acciones anteriores permiten incidir sobre la problemática que señala Moreno (1999),

citado en D’Amore (2000), referente a la contextualización del conocimiento: la cognición

es de naturaleza contextual, pero las matemáticas son abstractas, dado que sus enunciados

no se refieren a nada real. Entonces, el profesor debe promover aprendizaje dentro de un

contexto dado y luego ayudar al alumno a descontextualizar los conocimientos aprendidos

en esa situación, para llevarlos a otros contextos donde pueda servir como instrumentos de

conocimiento. Lo anterior constituye la labor que el docente de matemáticas debe realizar

durante el proceso de enseñanza.

Este trabajo nos permite vislumbrar que los cursos destinados a la formación de los

profesores de matemáticas en el nivel universitario, deben adecuarse al ámbito en el cual se

desarrolla el profesor. En cada ámbito las necesidades y problemáticas que los profesores

experimentan son distintas y específicas, por lo que de entrada, profesores de distintos

ámbitos exigen de éstos cursos conocimientos metodológicas y técnicas distintas.

Por último, mencionaremos el trabajo de Castillo, et al (2005). Consistente en un proyecto

de actualización de profesores de matemáticas del nivel superior en torno al uso didáctico

de la tecnología en el salón de clase, en específico, un sistema de cómputo simbólico que

ellos están desarrollando.

El proyecto asume la actualización de los profesores no como el resultado de un curso más

o menos breve de capacitación, sino como un proceso de reflexión y discusión,

conocimiento de la tecnología, diseño de materiales y mejoramiento gradual de sus

prácticas docentes. Se intenta conjuntar la investigación educativa y la docencia. Para ello

se dispuso el desarrollo del proceso de actualización por medio de etapas asequibles y

30

Capítulo 2: Antecedentes

congruentes con la evolución de las concepciones teóricas de los profesores. Ellos han

desarrollado por muchos años, un modelo de docencia clásico, caracterizado por un método

expositivo, donde el profesor ocupa el papel protagónico, y resulta difícil adaptarlos a un

modelo dinámico y participativo centrado en el alumno.

Dentro de los resultados de la primera etapa del curso, se reporta evidencia interesante

relativa a la modificación de las concepciones y creencias de los profesores en los

siguientes aspectos:

♦ Se delega en el profesor el saber y la responsabilidad de su reproducción y

comunicación, mientras que el alumno es responsable de seguir al profesor para la

resolución de ejercicios y “problemas”.

♦ El papel que pueden jugar los recursos tecnológicos es incierto, pero se les concibe

como facilitadores de ciertas elaboraciones del profesor.

♦ El profesor se concibe como un ejecutador de directrices curriculares y no como un

agente con participación activa en la innovación curricular.

♦ La distinción entre la matemática como asignatura y de la matemática como ciencia

es muy tenue. Se le atribuye a la primera un carácter pragmático orientado hacia su

aplicación a “problemas”.

En los trabajos realizados por los profesores dentro del curso se observan posturas que van

desde las muy cercanas al enfoque clásico expositivo, centrado en el profesor y al cual se

somete el uso de los recursos didácticos, hasta propuestas innovadoras que pretendían

31

Capítulo 2: Antecedentes

centrar la actividad en el alumno y poner a su disposición recursos didácticos para

favorecer su aprendizaje. No obstante, también se reportan posturas intermedias.

Este reporte nos muestra que es posible relacionar la investigación y la práctica docente,

siempre y cuando se les proporcione a los profesores un tiempo razonable para ir adaptando

y modificando sus creencias a los saberes que se le presentan.

2.3 La didáctica de las matemáticas. Implicaciones en la formación de los

profesores

Una concepción ampliamente difundida en lo que respecta a la enseñanza y el aprendizaje

de las matemáticas, es la suposición de una relación causal del primero hacia el segundo, es

decir, se supone una transferencia simple de la enseñanza hacia el aprendizaje. Sin

embargo, tal concepción ha demostrado ser inexacta, pues los alumnos llegan a construir

conocimientos que no se encuentran explícitos en el discurso escolar y que pueden resultar

incorrectos desde el punto de vista matemático (Cantoral, et al, 2003). Tenemos entonces

que es falso suponer que un desarrollo impecable del proceso de enseñanza traerá como

resultado directo un adecuado aprendizaje de los objetos que se comunican. No obstante,

ésta es la concepción que parece prevalecer en muchos profesores quienes sólo se

preocupan por comunicar el conocimiento matemático de la mejor manera posible y no por

el aprendizaje que se desarrolla en el alumno. Esto nos lleva a reflexionar sobre lo siguiente

¿Qué resultados podremos esperar, en lo que respecta al aprendizaje de los alumnos, si

dicho proceso de enseñanza contiene deficiencias? ¿Qué acciones debe llevar a cabo el

docente para favorecer el aprendizaje de las matemáticas? En lo que respecta a esta última

32

Capítulo 2: Antecedentes

pregunta podemos mencionar que son las investigaciones las que nos pueden ayudar a

caracterizar las condiciones requeridas para favorecer los aprendizajes de las nociones

matemáticas en situación escolar (Cantoral, et al, 2003).

La didáctica es concebida como un conjunto de técnicas destinadas a dirigir la enseñanza

mediante principios y procedimientos aplicables a todas las disciplinas, para que el

aprendizaje de las mismas se lleve a cabo con mayor eficiencia (Nérici, 1989). Así como

para desarrollar y adecuar las clases a las capacidades propias del alumno. De este modo, la

didáctica es importante para mejorar la enseñanza. No obstante, aún cuando esta afirmación

es ampliamente aceptada, no así lo es la idea de una capacitación didáctica, pues ésta ha

sido vista desde dos perspectivas distintas: como un arte y como una ciencia. En un primer

momento, la didáctica fue concebida como un arte; la palabra didáctica proviene del

vocablo griego didaktiké que quiere decir “arte de enseñar”. Aquellos que perciben a la

didáctica como un arte consideran que ésta depende de la habilidad del maestro para

enseñar, de su intuición y es sólo la experiencia la que les podrá dar la maestría necesaria,

es decir, no hay mucho que se pueda enseñar. Por otra parte, aquellos que ven a la didáctica

como una ciencia, vislumbran la necesidad de la investigación como medio para encontrar

elementos que favorezcan la enseñanza. Podemos notar que sea cual fuere la perspectiva

desde la cual se aborde la didáctica, ésta persigue los mismos fines.

No obstante, la didáctica tiene la característica de no considerar las necesidades propias de

las disciplinas, es decir, aplica métodos de enseñanza de naturaleza general que no permiten

abordar aspectos específicos ligados a los propios saberes; en nuestro caso los matemáticos

(Fregona, 1999). Esta didáctica no trabaja sobre los conocimientos matemáticos mismos, no

33

Capítulo 2: Antecedentes

evalúa lo pertinente o lo adecuado de la forma de presentarlos, así como tampoco analiza

las problemáticas que se derivan de dicha presentación. Es decir, la didáctica se interesa

más por cómo se va a enseñar y no tanto por lo que se va a enseñar (Nérici, 1989). Sin

embargo, esta corriente ha predominado y ha incidido en la mayoría de los esfuerzos y

propuestas para la formación de los docentes de matemáticas en el nivel superior (Mingüer,

2002), así como también en las estrategias y las metodologías que se desarrollan en las

clases de matemáticas.

Surge entonces la necesidad de una disciplina que se preocupe por la enseñanza y

aprendizaje de la matemática misma, que no únicamente se centre en el estudio de aquellos

aspectos que puedan mejorar la comunicación de los conceptos, sino que además, estudie al

concepto mismo, su historia, su epistemología, lo cual permita seleccionar aquellos

aspectos relevantes que contribuyan a una adecuada enseñanza y el logro de aprendizajes.

Dicha disciplina es la didáctica de las matemáticas. Ella se encarga no sólo de mejorar los

métodos de enseñanza, sino también de mejorar los contenidos que se enseñan y de

desarrollar las condiciones adecuadas para el funcionamiento de los sistemas didácticos,

procurando consolidar en los alumnos, aprendizajes vivos que evolucionen y sean

conferidos de funcionalidad para aplicar a diversas situaciones problemáticas (Cantoral,

Farfán, 2004). Esta didáctica busca reorganizar los saberes matemáticos con la finalidad de

favorecer una enseñanza que produzca aprendizajes significativos (Brousseau, 2000).

El término didáctica abarca la actividad de enseñanza de las matemáticas, el

arte y los conocimientos necesarios para hacerlo, el arte de preparar y de

producir los recursos para esta actividad, el estudio de esta enseñanza y de

34

Capítulo 2: Antecedentes

todo aquello que se manifiesta en ella, tanto proyecto social, hecho socio-

histórico o como fenómeno. Pp. 29 (Brousseau, 2000)

Brousseau (1995), citado en Fregona (1999), define a la didáctica de las matemáticas como

“el estudio de las condiciones de creación, difusión y adquisición provocada de saberes y

conocimientos matemáticos”. Cantoral y Farfán (2004) por su parte, mencionan que la

didáctica de las matemáticas se interesa por el estudio de los procesos mediante los cuales

los alumnos adquieren un conocimiento matemático en situación escolar. Siendo el estudio

de las actividades relacionadas con la comunicación de los conocimientos, las

transformaciones de los participantes en la comunicación, las interacciones entre los

participantes, así como las transformaciones que sufren los conocimientos durante este

proceso para ser internalizados, un objetivo de análisis.

En Francia (Artigue, 1995a), la didáctica en matemáticas se ha desarrollado como un área

de investigación al:

♦ Poner en primer plano la especificidad de las relaciones entre la enseñanza y el

aprendizaje ligadas a la especificidad del contenido a enseñar: las matemáticas.

♦ Imponerse la ambición de comprender el funcionamiento de estas relaciones entre la

enseñanza y el aprendizaje y de poner en evidencia las leyes que las gobiernan,

haciendo explícita, al mismo tiempo, la necesidad de distanciar la voluntad de

acción inmediata sobre el sistema educativo.

Entonces, la didáctica de las matemáticas no se preocupa por la prescripción de métodos o

estrategias que guíen las clases y logren que los alumnos aprendan, mucho menos acciones

35

Capítulo 2: Antecedentes

bajo los cuales se deba someter el profesor. En contraparte, se puede esperar de ella un

estudio disciplinar que proporcione al profesor e investigador información relevante bajo la

cual fundamentar o modificar sus prácticas docentes, permitiéndole interpretar y analizar

situaciones inesperadas que se le pudieran presentar y de este modo, realizar los ajustes

necesarios a dichas prácticas. También se puede esperar conocimientos relativos a su

trabajo:

♦ Acerca de las condiciones que deben crearse para situaciones de enseñanza o de

aprendizaje.

♦ Acerca de las condiciones que deben mantenerse en la gestión o la conducción de la

enseñanza.

♦ Acerca de los alumnos, de sus comportamientos, de sus aprendizajes, de sus

resultados en las condiciones específicas de la enseñanza.

♦ Acerca de los fenómenos de didáctica en los que alumnos y profesores se ven

confrontados con todos los participantes de la comunicación de los saberes.

Podemos observar que entre otras cosas, a la didáctica le interesa el análisis de las

situaciones que son propuestas a los alumnos, los roles que tanto el profesor como el

alumno adoptan en éstas, la segmentación de las nociones que se busca sean aprendidas y

su organización en procesos de aprendizaje (Brousseau, 2000).

Como ya hemos señalado, la didáctica busca saber lo que se produce en el salón de clases y

en este sentido, el profesor juega un papel importante. Él posee concepciones y creencias

sobre el conocimiento matemático y su construcción, conformando esto su epistemología

36

Capítulo 2: Antecedentes

(Cantoral, et al, 2003). Esta epistemología se la hace saber alumno al momento de

establecer la forma en que ellos deben construir sus respuestas, cómo deben expresarlas,

cómo utilizar sus conocimientos previos, cómo aprender, etc., es además, bajo esta

epistemología que los profesores reorganizan los saberes que enseñan, cambian el orden de

presentación y le asignan la importancia relativa a los temas.

El profesor debe tener presente que no puede absorber toda la responsabilidad de la

enseñanza y aprendizaje de los alumnos, así como tampoco puede desatender su papel de

actor dentro de dicho proceso y conferirle toda la responsabilidad al alumno, pues en

cualquiera de los dos casos, se rompe la relación tripartita que forma el triángulo didáctico:

profesor-saber-alumno. Se requiere que la labor del profesor sea:

“…la de guiar el aprendizaje, de proponer actividades que los enfrente (a los

alumnos) a las dificultades inherentes al nuevo concepto y de proporcionarles

las herramientas para superarlas, es decir, incentivar el proceso de

pensamiento en el alumno de tal manera que le permita enfrentarse a

situaciones nuevas y proponer soluciones. Esto es, darle al alumno un papel

más activo en su propio proceso de apropiación de un concepto, confiriéndole

una mayor responsabilidad” (Cantoral, et al, 2003).

No es suficiente que el profesor llegue al salón de clases y enuncie de forma directa los

saberes mediante clases magistrales para lograr que los alumnos aprendan. Se requiere que

los alumnos construyan sus conocimientos, pero para ello se requiere situarlos en un medio

que les permita experimentar la necesidad de un saber, de proponerles una situación donde

puedan dotar al saber de un significado determinado que les ayude a comprenderlo y

37

Capítulo 2: Antecedentes

encontrarle sentido, saber que luego tendrá que ser generalizado. Es necesario, como señala

Fregona (1999), un cambio en el punto de vista del profesor respecto a la matemática: creer

que ésta disciplina es una actividad humana y que el significado se construye como

resultado de tal actividad.

Labor del profesor debe ser actuar en un sentido inverso al del matemático que desarrolla

los conocimientos: en vez de partir de un problema y llegar a un conocimiento matemático,

el profesor parte de un conocimiento matemático ya establecido, y durante el proceso de

enseñanza busca relacionarlo con problemas que le den sentido (recontextualización); en

vez de despersonalizar el conocimiento, es decir, quitarle todo lo anecdótico, su historia y

circunstancias particulares, para dotarlo de una utilidad general, el profesor busca que el

alumno se interese por el problema. Para ello, con frecuencia busca contextos y casos

particulares que puedan motivar al alumno (repersonalización) (Fregona, 1999).

El profesor debe pues, buscar o crear situaciones que le permitan al alumno dar sentido a

los conocimientos que se enseñan. No obstante, estos conocimientos se verán restringidos

por las limitaciones que le confieren haber sido adquiridos en situaciones específicas, es

decir, solo tendrán significado para el alumno en contextos similares a aquellos en los que

se le presentaron. Se requiere que los alumnos, con ayuda del profesor, favorezcan la

redescontextualización y la redespersonalización de sus conocimientos, de manera que

puedan relacionarlos con el saber propio de la comunidad científica.

Los resultados provenientes de la didáctica de las matemáticas, entre los que podemos

mencionar aquellos relacionados con los comportamientos cognitivos de los alumnos, los

tipos de situaciones puestas en acción para enseñarles y los fenómenos a los que da lugar la

38

Capítulo 2: Antecedentes

comunicación del saber, han incidido sobre la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas y

han permitido el desarrollo de teorías diversas como: la teoría de las situaciones didácticas,

la teoría de la transposición didáctica y la teoría de los campos conceptuales. La primera

de ellas, trata de explicar y clasificar las interacciones de los estudiantes con su medio a la

hora de adquirir conocimientos, de modo que estos datos sirvan para establecer condiciones

para reproducir situaciones que favorezcan el aprendizaje de los alumnos. La segunda trata

sobre las modificaciones que sufren los saberes al ser llevadas al ambiente escolar para su

enseñanza. La tercera, explica la forma en que los alumnos pueden adquirir un concepto

matemático, para lo cual se basa en un estudio de las capacidades cognitivas que implica tal

aprendizaje.

2.3.1 Diversos enfoques en la enseñanza del cálculo

En la universidad, el cálculo tiene un papel destacado dentro de la enseñanza de las

ciencias, esta disciplina es una de las más tradicionales que ha preservado su estructura

original. Hoy que nos encontramos con una gran influencia de la tecnología, con la llegada

de las calculadoras, las computadoras, etc., la espina dorsal sobre la cual se cimienta la

enseñanza y su aprendizaje del cálculo es la misma que a finales del siglo XVII (Rodrigues,

Bozola, 1995). Sin duda el reconocimiento casi inmediato de las aplicaciones del cálculo, y

el hecho de que ha desempeñado un papel dominante como lenguaje cuantitativo de la

ciencia en la era moderna, son factores preponderantes de esta realidad tan “conservadora”

(Rodrigues, Bozola, 1995).

El cálculo se puede miara como la ciencia que estudia fenómenos de variación y cambio;

trata de modelar y predecir su comportamiento. Sin embargo, actualmente la enseñanza de

39

Capítulo 2: Antecedentes

esta asignatura se realiza a través del desarrollo de algoritmos y procedimientos algebraicos

o mediante el estudio formal de sus contenidos. Estas formas de llevar a cabo la enseñanza

no permiten visualizar las nociones que existen detrás de él, ni darle significado a los

conocimientos (Marcolini, Perales, 2005; Wenzelburger, 1993), problema presente en la

gran mayoría de los estudiantes de esta asignatura. El estudio del cálculo basado en una

serie de definiciones y teoremas presentados en forma lógica con gran precisión matemática

y sistematización, puede ser una de las razones por la cuales los alumnos presentan una

falta de comprensión de las ideas del cálculo, pudiendo aplicar métodos, definiciones y

reglas de memoria más que de forma significativa. Además, provocan que el estudiante se

quede con la impresión de que el cálculo siempre ha existido como un conjunto de

definiciones y teoremas (Wenzelburger, 1993).

La problemática fundamental de la enseñanza de las matemáticas se encuentra en la

confrontación que existe entre la obra matemática y la matemática escolar: ambas son de

naturaleza y funciones distintas (Cordero, 2001). Esto vuelve compleja la problemática,

pues a priori los profesores no reconocen los mecanismos de construcción de los

conocimientos dentro del aula.

Con el objetivo de superar las dificultades detectadas en el aprendizaje del cálculo se han

propuesto diversas reformas. Estas reformas comparten algunos criterios como son:

cambios en los currículos vigentes, cambios en el desarrollo profesional de la universidad,

en la utilización sistemática de la tecnología y de otros materiales, a la formación didáctica

y científica de los docentes, etc. (Moreno, 2005).

40

Capítulo 2: Antecedentes

Se precisan entonces nuevas estrategias didácticas que permitan abordar los contenidos del

cálculo, en un primer instante, desde una perspectiva menos formal y rígida para favorecer

la comprensión de los conceptos, los cuales posteriormente pueden ser formalizados. En

otras palabras, las nuevas posturas relacionadas con la enseñanza del cálculo no demeritan

la importancia y necesidad de la formalidad de los conceptos matemáticos, lo cual siempre

constituye un punto de ataque de los profesores a dichas posturas, si no que retardan la

aparición de tal formalidad a favor de lograr la comprensión de las nociones y conceptos de

forma significativa y profunda. Comprensión que a la larga permitirá un mejor

entendimiento y significado de las definiciones formales de los conceptos. Marcolini y

Perales (2005), proponen el estudio de la predicción1 como un elemento para favorecer una

enseñanza a partir de las intuiciones que dieron origen a diversos conceptos de cálculo. Por

su parte Wenzelburger (1993), señala que si el alumno tuviera la posibilidad de

experimentar la necesidad de la precisión del cálculo mediante problemas prácticos, podría

comprender a éste, es decir, la introducción debe ser intuitiva, razonable, haciendo

referencia a aplicaciones (no necesariamente con el rigor formal), la necesidad de

formalización debe seguirse como requerimiento para facilitar la solución de más

problemas. Las propuestas significativas para mejorar la enseñanza del cálculo deben ser

centradas en el énfasis, el enfoque y las estrategias (Rodrigues, Bozola, 1995).

En este sentido se debe considerar que el alumno es un ser humano haciendo matemáticas,

en lugar de considerar al alumno como alguien que debe estudiar la producción matemática

hecha por el humano (Cordero, 2001). La primera perspectiva busca que el alumno sea

1 Se refiere al estudio de la cuantificación de las formas variables de la naturaleza. Se indaga el comportamiento del estado vecino sobre la base de datos que aporta el estado de hecho.

41

Capítulo 2: Antecedentes

quien vaya construyendo el saber matemático, de forma similar a como lo hacen las

personas pertenecientes a la comunidad científica.

En Moreno (2005), se reportan tres ejemplos de trabajos de investigación didáctica

relacionados con la enseñanza y aprendizaje del cálculo a nivel universitario (tomados del

trabajo de Harel y Trgalová (1996)), los cuales son ejemplos de los cambios que se realizan

en este sentido:

1. “Proyecto de Cálculo en Contexto”. La idea principal de este proyecto es que el

cálculo es un lenguaje y un conjunto de técnicas útiles. El objetivo del proyecto es

la construcción de los conceptos de cálculo a través de sus aplicaciones y la

comprensión de las relaciones entre todos los elementos que lo configuran. La

enseñanza se organiza de modo que los principios generales emergen de los

problemas y de las situaciones reales tratadas (0’Shel, Senechal, 1992)

2. “Proyecto de debate científico”. El objetivo principal es lograr que los alumnos

trabajen como si fueran matemáticos, esto mediante la introducción de conceptos de

cálculo en el contexto de problemas científicos. Bajo esta idea, los estudiantes

deben formular sus ideas, hacer conjeturas y validarlas, discutir y argumentar los

puntos de vista de sus compañeros. Se busca crear una mini comunidad científica en

el salón de clases. (Legrand, 1992).

3. La ingeniería didáctica. Esta ingeniería es un modelo teórico y de enseñanza el cual

consta de cuatro fases: análisis preliminar, análisis a priori y desarrollo de una

secuencia didáctica, experimentación, y análisis a posteriori y evaluación. (Artigue,

1995b). El proceso de enseñanza se lleva a cabo alrededor de situaciones

42

Capítulo 2: Antecedentes

consideradas claves por los investigadores. Investigaciones muestra la viabilidad de

este modelo, así como el interés que puede generar en los estudiantes a pesar del

aumento de dificultad.

4. Otras investigaciones didácticas son la que se centran en el uso de la computadora

para la enseñanza efectiva de los conceptos de cálculo. Podemos mencionar como

ejemplo los trabajos de Tall; ellos se encuentran en la línea de potenciar la

visualización y las diferentes representaciones de un mismo concepto como

aspectos facilitadores del aprendizaje.

Estos trabajos nos muestran la importancia de un cambio en la forma de mirar la

construcción de los conocimientos de cálculo y de las matemáticas en general, que permitan

la inclusión de enfoques, para la presentación de los saberes, que potencien el aprendizaje.

De este modo es importante la capacitación constante y permanente de los profesores que

imparte cálculo, a fin de auxiliarlos a construir estos enfoques.

El problema de la renovación e innovación no sólo resulta problemático para los

estudiantes, sino que a menudo hasta para los mismos profesores quienes dudan y no se

sienten seguros en las nuevas metodologías de enseñanza. Sin embargo, cada vez son más

profesores los que intentan mostrar el cálculo y las matemáticas en general como un mundo

de exploración y de resolución de problemas (Moreno, 2005). No obstante, asumir estos

cambios en la forma de abordar el cálculo conlleva a una nueva definición del trabajo del

profesor y su papel en el aula.

Podemos notar que se requiere vislumbrar a los salones de clases como pequeñas

comunidades científicas, en las cuales la evidencia y la lógica sean fuentes de verificación

43

Capítulo 2: Antecedentes

de los resultados (y no lo sea exclusivamente el profesor), donde tenga lugar el

razonamiento matemático y se potencien los procesos de conexión entre ideas del cálculo

(y en general de ideas matemáticas), no viéndose éstas como un cuerpo aislado de

conocimientos. Así mismo, se debe promover el carácter experimental de dicha disciplina,

donde la conjetura y la resolución de problemas juegan un papel importante.

En otras palabras, concebimos a la educación matemática en cálculo como un proceso de

articulación entre cinco marcos elementales a saber: sensorial, experimental, operacional

(“computacional”), conceptual y formal (“teoría”). De este modo, vislumbramos el

aprendizaje y enseñanza como el resultado de un proceso relacional entre ellos; ver figura

1:

Marco operacional “computacional”

Marco sensorial

Marco experimental

Marco formal “teoría”

Marco conceptual

Figura 1

44

Capítulo 2: Antecedentes

Por su parte, nosotros vislumbramos la formación de los profesores en didáctica en

matemáticas como un proceso continuo de análisis, de discusión y consensos que sobre la

enseñanza y el aprendizaje realizan en conjuntos, profesores y formadores. Todo sobre una

base de conocimientos empíricos y metodologías específicas.

45

Capítulo 3: Marcos de referencia

Capítulo 3

Marcos de referencia

Los profesores desarrollan sus clases siguiendo, por lo general, una secuencia de pasos que

se repiten de forma más o menos parecida: definición, teoremas, ejemplos y ejercicios. Esta

“secuencia” se desarrolla empleando, en la mayoría de los casos, el método expositivo, esto

nos hace suponer que se concibe a la comunicación de los saberes matemáticos como una

condición suficiente para que los alumnos los asimilen y comprendan de forma correcta.

Otra razón de tal desarrollo, lo representa la economía que dicha secuencia proporciona, al

permitir abordar varios conceptos en un tiempo reducido. Bajo esta forma de desarrollo de

las clases, no se privilegian espacios destinados al análisis comparativo entre lo que se

espera lograr con el proceso de instrucción y lo que en realidad se produce en la mente del

alumno, siendo esto último lo que constituye el verdadero aprendizaje adquirido. Tampoco

se contempla el estudio y evaluación de las características y necesidades de aquellos a los

que se dirige la comunicación de los saberes.

En este capítulo se describen brevemente algunos elementos y teorías que nos servirán de

marcos de referencia para el diseño y constitución de la propuesta de formación didáctica.

Es así que, en primera instancia hacemos una pequeña discusión sobre la práctica docente y

algunos principios y problemáticas relacionadas con la formación didáctica inicial.

Posteriormente hacemos alusión a la teoría de las situaciones didácticas como un modelo

46

Capítulo 3: Marcos de referencia

propuesto para la actividad del alumno y el profesor al interior del aula; un modelo

semejante al trabajo de la comunidad científica. Enseguida hacemos mención de la

ingeniería didáctica como un modelo de experimentación y análisis de las producciones

didácticas del profesor. Se busca que el profesor reflexione continuamente sobre su

quehacer didáctico.

3.1 Modificación de la práctica docente

Los programas de actualización docente son entendidos como programas que proveen de

herramientas y saberes teóricos para mejorar día con día la actuación del profesor dentro

del salón de clases. Así, los profesores esperan que dentro de dichos programas se les

capacite en el empleo de los avances tecnológicos, metodológicos y teóricos que al ponerse

en práctica logren, casi de manera inmediata, que sus alumnos aprendan correctamente los

contenidos que se enseñan. Esta expectativa genera en más de un profesor sentimientos de

frustración al término de estos cursos, al no lograr satisfacer dichas expectativas.

Por otra parte, tal como lo muestran las investigaciones científicas, sobre los programas de

actualización docente, no resulta fácil ni inmediato lograr una modificación real de las

prácticas tradicionales de los profesores, se requiere de un largo proceso (Castillo et. al,

2005). Ellos se han conducido por muchos años bajo un modelo donde el método

expositivo esta fuertemente arraigado y donde ocupan un papel protagónico, resulta difícil

lograr que el profesor acepte desarrollarse bajo un nuevo modelo dinámico y participativo

centrado en el alumno. Más aún, esta situación se complica si los profesores no han sentido

o bien la necesidad de realizar dicho cambio o bien la motivación intrínseca. Las nuevas

47

Capítulo 3: Marcos de referencia

prácticas requieren por parte del profesor un papel más activo como diseñador de las

condiciones y actividades que favorezcan el aprendizaje de los alumnos, actividades que

exigen de él un mayor tiempo y esfuerzo, pero que no garantizan de forma expresa alcanzar

los “resultados” deseados por los profesores en un tiempo similar al que ellos están

“acostumbrados”, sin embargo ellas constituyen mejores formas de favorecer la actividad

mental del alumno y el desarrollo del pensamiento matemático, que tanto contribuye a su

formación matemática.

En lo que respecta al ámbito del nivel universitario, la formación de los profesores y la

didáctica de las matemáticas son temas que actualmente han comenzado a cobrar una

mayor fuerza. Cada vez son más numerosas las investigaciones que tienen su centro de

interés en este nivel, así como también sobre el papel de la didáctica en la enseñanza de las

matemáticas universitarias (Moreno, 2005). Sin embargo, la investigación en didáctica en

dicho nivel no es novedosa, ésta lleva realizándose más de 20 años (Artigue, 2003; citada

en Moreno, 2005). Durante este tiempo, a parte de intentar mejorar la comprensión sobre

las dificultades de los estudiantes y las deficiencias del sistema educativo, también se han

intentado encontrar vías para superar estos problemas. Cobra mayor relevancia el profesor

como centro de interés de los estudios, a fin de compartir al menos, profesor y alumno, el

mismo papel protagónico.

En lo que respecta a la actuación de los profesores dentro del salón de clase, es

indispensable que éstos involucren a los alumnos en una actividad que los haga sentir la

necesidad del desarrollo de nuevas formas de acción y búsqueda de soluciones, de forma

que el conocimiento que se adquiera se forje bajo una motivación intrínseca y no por la

48

Capítulo 3: Marcos de referencia

exigencia, en muchas de las ocasiones sin sentido para el alumno y que son realizadas por

el profesor. Al momento de las clases, el profesor, debería considerar a los conocimientos

que desea sean aprendidos como conocimientos nuevos y útiles, funcionales para la

actividad humana, incluyendo la actividad matemática; entendida como el planteamiento de

buenas “preguntas” y “buenas” respuestas.

Los profesores, en sus acciones cotidianas destinadas a la enseñanza, constantemente están

reorganizando su pensamiento, deben elegir lo que va a ser útil, lo que provocará que el

alumno se interese por aprender, etc., por lo cual se vuelve preciso que tenga una base

didáctica-disciplinar adecuada para desarrollar tal actividad. Pero también se requiere

capacitar al profesor para la búsqueda y desarrollo de actividades que permitan al alumno

involucrase con el saber matemático que se desea sea aprendido, así como en la

reorganización y elección de los saberes que contribuyan a dicho propósito. Estos puntos

constituyen una de las razones fundamentales de la necesidad de la inclusión de la didáctica

de las matemáticas en la formación de los profesores.

Entonces, de acuerdo con todo lo anterior, debemos buscar que nuestras acciones de

formación contribuyan, como señala Castillo (2005), a la actualización didáctica

metodológica de los profesores y particularmente al cambio de paradigma teórico para

explicar y comprender el aprendizaje: de una argumentación empirista basada en la

enseñanza como transmisión de conocimientos, a una explicación teórica basada en la

participación activa, aunque guiada, del estudiante. Para lograr este objetivo consideramos

que la teoría de las situaciones didácticas constituye un modelo teórico adecuado.

49

Capítulo 3: Marcos de referencia

3.1.1 Principios y problemas de la formación didáctica

Antes de discutir un poco sobre la teoría de las situaciones didácticas, consideramos

adecuado comentar algunos principios y problemas de la formación de los profesores en

didáctica. Ello nos permitirá conformar de una mejor manera nuestra propuesta, así como

establecer aquellos puntos que deben enfatizarse dentro ella y aquellos que deben tomarse

con cierta reserva.

Brousseau (1990a) señala que por lo general, la didáctica es utilizada bajo cuatro

direcciones, que resultan de las afectaciones que las instituciones hacen a ésta, según sus

expectativas:

1. La didáctica es vista como una palabra culta para designar la enseñanza. Bajo esta

perspectiva la didáctica se convierte en un proyecto social de hacer apropiar un

saber constituido o en vías de constitución.

2. La didáctica sería la preparación de lo que sirve para enseñar. La didáctica es pues,

el conjunto de técnicas que sirven para tal propósito.

3. La didáctica sería el conocimiento de la enseñanza. La didáctica se vincula con la

descripción y el estudio de la actividad de enseñanza en el marco de una disciplina

de referencia.

Las dos primeras hacen referencia a la didáctica como un conjunto de datos normativos,

prescriptitos y organizados para la decisión y la acción, mientras que la tercera posee una

postura más reflexiva, formándose como un campo de investigación. Estos diversos puntos

50

Capítulo 3: Marcos de referencia

de vista sobre la didáctica son compatibles e incluso hasta cierta forma complementarios.

Sin embargo, existe una cuarta postura que ha aparecido hace una quincena de años.

4. Bajo el nombre de didáctica se ha intentado constituir una ciencia de la

comunicación de los conocimientos y de sus transformaciones; una epistemología

experimental que intenta teorizar la producción y la circulación de los saberes.

Cada una de las posturas anteriores da lugar a la exigencia de diferentes aportes que la

didáctica de las matemáticas puede hacer a la formación de los profesores. No obstante,

uno de los aportes fundamentales al respecto anterior lo constituye el hecho de considerar

que cada conocimiento o saber debe poder ser determinado por una situación, en donde las

relaciones que conforman ésta hagan que ese conocimiento sea necesario para su

realización o mantenimiento (Brousseau, 1990a).

Una de los pedidos a nuestro respecto más comunes de los profesores es, que por lo menos,

la didáctica les proporcione lo esencial de las técnicas específicas de las nociones que hay

que enseñar, las cuales resulten compatibles con sus concepciones educativas. De esta

manera, esperan la presentación de técnicas locales y comunes que le proporcionen

métodos listos para usar, así como de técnicas especiales que les permitan ayudar y guiar a

alumnos con dificultades especiales, pero también técnicas globales que guíen toda un área

de las matemáticas. Esta parte técnica de la didáctica es un fundamento de la

profesionalización de la actividad del profesor, pues constantemente se les exige a éstos la

implementación de actividades que logren incidir sobre los problemas de aprendizaje de los

alumnos, exigencia que se transmite a la didáctica. Sin embargo, dado que los

conocimientos que hay que proporcionar al alumno dentro de una misma asignatura son

51

Capítulo 3: Marcos de referencia

variados, el número de situaciones que habría que presentar al profesor es muy elevado. Por

tanto, la didáctica debe estructurar los elementos de estudio en grupos unificadores y de

este modo enunciar formas de intervención genéricas. Es decir, se busca proporcionar

conocimientos científicos sobre los cuales fundamentar las acciones del profesor, que le

permitirán el análisis de las mismas y la elaboración de sus propias técnicas.

Empero, poseer un catálogo de técnicas o situaciones de enseñanza no proporciona al

profesor capacitación alguna para que la enseñanza se traduzca en aprendizajes por parte de

los alumnos, requiere por tanto, una preparación que le permita la creación de verdaderas

situaciones de aprendizaje. Se necesita que el profesor se interese por el estudio de las

relaciones entre la enseñanza y el aprendizaje ligadas al contenido matemático a enseñar,

así como también por el estudio de las condiciones de creación, difusión y adquisición

provocada de tal contenido. Así, a nuestro entender, éste requiere poseer los conocimientos

teóricos derivados de las investigaciones científicas relacionadas con esas temáticas, los

cuales forman parte de las situaciones de aprendizaje y le dan sustento. De este modo, el

profesor adquirirá elementos que le ayuden al desarrollo de sus clases. No obstante, esos

conocimientos demandan el uso de la terminología adecuada para evitar caer en

contrasentidos, y nos indican que no basta con los conocimientos y condiciones de que

disponen los profesores, como muchos de ellos desean.

Otro punto que los profesores podrían esperar de la didáctica (Brousseau, 1990a) es el

conocimiento sobre su trabajo, es decir, de la enseñanza: los comportamientos de los

alumnos en las condiciones específicas de enseñanza; las condiciones que hay que crear en

52

Capítulo 3: Marcos de referencia

las situaciones a proponer y las que hay que mantener en la gestión de la enseñanza; así

como los fenómenos didácticos que enfrentan los participantes.

Se tiene que tener presente que la enseñanza directa del saber es imposible, pues en caso

contrario deberíamos renunciar a hacerlo funcionar. El uso y la destrucción de los

conocimientos precedentes forman parte, por tanto, del aprendizaje, admitiendo en

consecuencia durante este proceso la reorganización didáctica del saber, así como una

cierta dosis de errores y contrasentidos, tanto por parte del alumno como de la enseñanza.

Esto nos permite vislumbrar que el único medio para el profesor de conocer las

circunstancias de la creación y difusión de los conocimientos, es haber enseñado la noción

a ese alumno, o bien, disponer de un conjunto de referencias, efecto de la tradición o de un

conocimiento profesional. Sólo así se puede pensar en situaciones de aprendizaje no

vividas. Se requiere que el profesor vea su clase como un lugar de experimentación, en

donde puede obtener información pertinente para adecuar y modificar su práctica docente.

Siguiendo en el sentido de los aportes de la didáctica de las matemáticas a la formación de

los profesores, Artigue (1995a) señala que existen restricciones que rigen a esta formación,

así como diversas problemáticas que debe afrontarse. A continuación describiremos

algunas de ellas.

En primer lugar, se debe tener presente que muchos de los profesores a los que se dirige un

curso de formación inicial en didáctica de las matemáticas sólo conocen el ambiente escolar

a través de su experiencia como estudiantes, por tanto, cuando ellos sienten la necesidad de

una formación que les ayude a resolver las problemáticas que se le presentan, solicitan una

ayuda inmediata para mejorar la gestión de sus actividades en el salón de clases.

53

Capítulo 3: Marcos de referencia

Por otra parte, los profesores en práctica, difícilmente reconocen el aporte de la formación

didáctica, pues los saberes que de ella derivan no ofrecen una contribución inmediata a las

problemáticas que enfrentan. La didáctica se vive frecuentemente, en un principio, como

una visión que desestabiliza. Si bien ayuda a comprender el funcionamiento del alumno,

ella favorece más la crítica de la enseñanza tradicional que la oferta de soluciones

inmediatas. Se requiere entonces que dentro de la formación inicial en didáctica se

privilegien aquellos aspectos que se puedan explotar más fácilmente, pero sin descuidar y

socavar ese carácter desestabilizante, a la vez que permita a los profesores sobre llevar

dicho carácter.

Otro punto que confiere un carácter restrictivo a la formación didáctica inicial, es el hecho

de que las estrategias que se promueven exigen frecuentemente mucho conocimiento y

experiencia por parte del profesor, así como también que éste sea capaz, en el momento, de

anticipar y de desarrollar sistemas de recolección de información, de interpretación y de

toma de decisiones. Esto nos hace ver que es importante, en un primer término, que los

profesores aprendan a realizar estas últimas acciones y que no debemos exigirles la

utilización de estrategias de expertos. Dado que la didáctica busca un ambiente satisfactorio

en el seno de la clase, parece adecuado comenzar con el objetivo de lograr que los

profesores sean cada vez más sensibles a las cuestiones relacionadas con la calidad de vida

matemática en la clase.

Por último, mencionaremos que dentro de los cursos de formación didáctica es importante

que los formadores definan su posición y señalen su diferencia respecto al profesor, sobre

todo en la formación de profesores en ejercicio. El formador ha de dar a su discurso al

54

Capítulo 3: Marcos de referencia

menos un carácter de novedad, incluso de revelación y legitimarlo apoyándose en un saber

sabio que el profesor-alumno no posee; el contenido de su didáctica será bien innovación o

bien una lejana especialidad científica. Esto toma una mayor relevancia si la formación se

imparte en la universidad, entonces, la didáctica ha de definirse por sus investigaciones

“científicas” (Brousseau, 1990b).

3.2 Teoría de las situaciones didácticas

Con frecuencia se concibe a la enseñanza de las matemáticas (y a la enseñanza en general)

como la parte de las relaciones entre el sistema educativo y el alumno en lo que respecta a

la transmisión de un saber dado, interpretándose entonces a la relación didáctica como una

comunicación de informaciones (Brousseau, 2000). En consecuencia, se toman como

componentes básicos para el análisis de los procesos de enseñanza y aprendizaje de los

conceptos matemáticos los elementos del siguiente esquema (figura 2).

55

Capítulo 3: Marcos de referencia

Saber

escolar

Sistema

educativo

Alumno

Aprendizaje

Comunicación

Transposición didáctica

Figura 2: Triángulo didáctico

Ahora bien, si tenemos en cuenta que el sujeto que aprende se encuentra situado en un

contexto dentro del cual ha desarrollado numerosas concepciones del mundo que lo rodea,

no es de extrañar que dichas concepciones constituyan un marco de referencia a partir de

las cuales discriminan los conocimientos que se le van proporcionando. Muestra de ello es

la incesante mención que los psicólogos hacen sobre la tendencia natural de los sujetos para

adaptarse a su medio.

Si identificamos los conocimientos que el sujeto desarrolla con el contacto del medio, con

los saberes enseñados, y si identificamos al sujeto que aprende con el alumno, se obtiene el

siguiente esquema (figura 3).

56

Capítulo 3: Marcos de referencia

Conoci-mientos

Sujeto apren-diendo

Sistema

educativo

Alumno

Saber

escolar

Medio Material, social,…

Enseñanza Adaptación

Figura 3: Influencia del medio

Por otra parte, la corriente constructivista del aprendizaje postula que para lograr que los

alumnos adquieran conocimientos significativos, se deben crear las condiciones adecuadas

para promover que sean los propios alumnos quienes construyan los saberes.

La teoría de las situaciones didácticas constituye una corriente de corte constructivista, la

cual postula que el alumno aprende por adaptación al medio en el que se encuentra, al

enfrentar en él, problemáticas, desequilibrios, contradicciones, etc., tal como se producen

en la sociedad: resultando de estas adaptaciones respuestas que dan muestra de un

aprendizaje. De ahí que dicha teoría supone la existencia de al menos una situación donde

los saberes matemáticos puedan ser determinados, caracterizados y diferenciados de otros

57

Capítulo 3: Marcos de referencia

(Brousseau, 2000). Esta teoría postula el estudio de las interacciones que los individuos

llevan a cabo ante una situación particular como una manera para entender y generar el

conocimiento (Aparicio, 2003).

Por “situación” entenderemos como señala el mismo Brousseau (2000), a un modelo de

interacción con el medio que determina un conocimiento dado como el recurso del que

dispone el sujeto para alcanzar o conservar en este medio un estado favorable. Así como

por “medio” al conjunto de objetos que el alumno es capaz de manipular de manera ágil y

segura sin cuestionar su naturaleza, así como todas las actividades de ayuda al estudio; los

objetos matemáticos, las herramientas, los libros, los cursos, etc. Algunas situaciones

requieren del manejo de determinados conocimientos anteriores, pero existen otras que no

requieren alguno.

De este modo la teoría de las situaciones didácticas requieren de una participación activa de

los alumnos, requiriéndose que el profesor conforme la situación a partir de elementos que,

por ejemplo, provoquen rupturas en las concepciones de los alumnos. Rupturas que el

alumno buscará estabilizar dentro de la situación en que se encuentra, produciéndose dentro

de este proceso, el aprendizaje. Importan entonces para el desarrollo de las situaciones, un

estudio detallado de las condiciones en las que se dio la construcción del conocimiento

(estudio epistemológico), los obstáculos que su forma de enseñanza favorecen (estudio

didáctico), así como las nociones y concepciones que los alumno poseen del concepto

(estudio cognitivo) (Aparicio, 2003). Ello nos dará una visión del camino a seguir para

elaborar la situación.

58

Capítulo 3: Marcos de referencia

Entonces, la labor de los profesores es la búsqueda y formulación de aquellas actividades

que conformarán la situación que los alumnos deben enfrentar, es decir, colocarlos en el

centro de situaciones que le permitan hacer las adaptaciones necesarias para llegar al

conocimiento. Los alumnos deben actuar, hablar, interactuar, reflexionar, como producto de

la situación didáctica y el medio propuesto. El profesor es quien propone una situación con

la cual busca producir un conocimiento, pero dentro de ésta, el alumno debe tomar las

riendas y comprometerse con la acción, requiriendo que la motivación de dicho

compromiso provenga de la situación misma. Al término de dicha situación, se requiere que

el profesor le otorgue un estatus cultural a las producciones que los alumnos han realizado,

que las confronte con el saber matemático y establezca la formalización de dicho

conocimiento, hacerlo formar parte de dicho conjunto de saberes; este proceso recibe el

nombre de institucionalización.

Se trata de que los alumnos tenga un desempeño similar al de una comunidad científica,

que entren en contacto con un problema y actúen sobre él (acción), que formulen caminos

de acción y que validen sus realizaciones. Siendo la responsabilidad del profesor la

institucionalización de los conocimientos abordados dentro de la situación.

Tenemos pues, que esta teoría nos propone una manera de conducir el desarrollo de las

clases, distinta a la forma clásica, esta última basada en exposiciones magistrales donde el

profesor es el principal actor y el alumno se limita a ser un receptor pasivo de los

conocimientos. Burdamente diríamos, un contenedor que está esperando pacientemente a

ser llenado. Buscamos a través de esta teoría, mirar y hacer que el profesor mire, el

quehacer didáctico al interior de las aulas como una microcomunidad científica,

59

Capítulo 3: Marcos de referencia

desarrollando un modelo de actividad semejante al de la comunidad matemática. De esta

manera, la teoría de las situaciones didácticas nos proporciona un modelo teórico

experimental y práctico que contribuya a la formación del profesorado, permitiéndonos

incidir sobre sus actuales prácticas docentes, al proporcionarles una nueva forma de

concebir la interacción al interior del salón de clases. Así como elementos que les permitan

reformular el papel que desarrollan dentro del aula; sus acciones deben encaminarse ya no a

la enunciación de saberes, sino al análisis y el desarrollo de aquellas condiciones que

favorezcan la adquisición de conocimientos por parte del alumno, es decir, dejar de

centrarse en el desarrollo de actividades relacionadas con la enseñanza, para empezar a

centrarse en el desarrollo de actividades destinadas a propiciar que el alumno aprenda. De

este modo, poco a poco llevar al profesor a que conciba a su labor como:

“la de guiar el aprendizaje, de proponer actividades que los enfrente (a los

alumnos) a las dificultades inherentes al nuevo concepto y de proporcionarles

las herramientas para superarlas, es decir, incentivar el proceso de

pensamiento en el alumno de tal manera que le permita enfrentarse a

situaciones nuevas y proponer soluciones. Esto es, darle al alumno un papel

más activo en su propio proceso de apropiación de un concepto, confiriéndole

una mayor responsabilidad” (Cantoral, 2003)

Es decir, nuestro interés no es propiamente capacitar al profesor para el diseño de

situaciones didácticas, sino buscamos que a través de dicha teoría el profesor se cuestione

sobre la forma de desarrollar sus clases y a partir de ello incidir sobre dichas prácticas.

60

Capítulo 3: Marcos de referencia

No obstante, creemos conveniente describir algunos otros elementos que conforman la

teoría de las situaciones didácticas: situaciones didácticas y situaciones a-didácticas.

3.2.1 Situaciones didácticas

Una situación didáctica es el conjunto de relaciones en las que se encuentra implicado el

profesor como parte de las interacciones que se establecen entre el alumno y los problemas

planteados por él, dentro los cuales se busca que los alumnos tengan un desempeño lo más

independientemente posible, con el propósito de que éstos construyan o adquieran un

conocimiento matemático. Para ello, el profesor requiere comunicar o abstenerse de

hacerlo, según el caso, preguntas, métodos de aprendizaje, heurísticas, etc.

La teoría de las situaciones distingue tres tipos de interacción del sujeto con su medio:

• El tipo “acción”, que consiste para el actor, fijar un estado del medio o determinar o

limitar las acciones de otros actores.

• El tipo “comunicación”, que consiste en modificar los conocimientos de otro actor

por medio de mensajes portadores de informaciones.

• El tipo “prueba”, que tiende a la justificación o validación cultural de los actos o las

declaraciones.

La noción y la definición de un concepto no pueden ser aprendidas mediante la simple

enunciación y explicación del mismo, es necesario que se pongan en juego en la resolución

de problemas donde la noción funcione de manera más o menos local. De este modo, el

profesor debe evitar hacerle saber al alumno el conocimiento que se espera que adquiera.

61

Capítulo 3: Marcos de referencia

La comprensión de dicha noción o definición adquirirá mayor significado mientras mayor

sea el éxito que se tenga en la solución de problemas mediante su aplicación. Sin embargo,

dicha significación posteriormente tendrá que ser modificada para permitir el aprendizaje

de nuevos conceptos.

Durante la conformación de las actividades que integrarán la situación didáctica, se debe

buscar una participación del alumno lo más autónoma y fecunda posible. De modo que la

situación debe lograr que el alumno acepte la responsabilidad de enfrentarse a ella y

resolverla. No obstante, el profesor debe ejercer una vigilancia constante de las acciones

que se desarrollan.

Hasta aquí, podemos notar la intención explicita del profesor por lograr que los alumnos

aprendan los conocimientos matemáticos, intención que debe caracterizar a toda actividad

didáctica, pero que no vasta, por lo que el profesor debe constantemente buscar devolverle

al alumno la responsabilidad de su aprendizaje (devolución). Cabe señalar el no confundir

responsabilidad con culpabilidad.

3.2.2 Situaciones a-didácticas

A diferencia de una situación didáctica, en la situación a-didáctica desaparece la intención

explícita de enseñar. Éstas surgen de la propia situación didáctica, son situaciones que no

son previstas en la implementación, pero que permiten que el alumno se relacione con el

conocimiento puesto en juego, siendo importante la aparición de dichas situaciones en los

diseños didácticos. Este conocimiento, que entra en juego, está totalmente justificado por la

62

Capítulo 3: Marcos de referencia

lógica interna de la situación y el alumno puede construirlo sin atender a razones didácticas

y sin la intervención del profesor. Podemos distinguir tres tipos de situaciones a-didácticas.

Situación a-didáctica de acción. Esta situación proporciona al alumno un problema cuya

resolución se hará por medio de los aprendizajes que se quieren lograr, o por medio de los

aprendizajes previos que el alumno posee. Para ello, el medio que rodea a tal situación debe

procurar las condiciones que permitan tal suceso. La forma de actuar del alumno, ante el

problema, debe verse retroalimentada de modo tal que éste obtenga información que le

permita evaluar su desempeño, y en caso necesario, reformular sus acciones con el fin de

dar solución al problema. También se habla de la etapa de acción dentro de una situación a-

didáctica, cuando el alumno tiene el primer contacto con el problema, cuando comienza a

estudiarlo para comprenderlo, plantea sus primeras ideas para solucionarlo y realiza sus

primeras acciones. Tales acciones pueden ser entendidas como manipulaciones físicas o

mentales.

Situación a-didáctica de formulación. Para que el alumno vaya concretando las ideas que

ha ido desarrollando, es necesario que las estructure, siendo importante la enunciación de

dichas ideas para poder asignarle un significado. Esta exigencia de la formulación propicia

un intercambio de información entre una o varias personas, o entre la persona y el mismo

medio, intercambio que favorece la adquisición de nuevos resultados entre los actores de la

situación. También se habla de la etapa de formulación dentro de una situación a-didáctica,

cuando el alumno expresa sus ideas, cuando reconoce el límite de lo que sabe, cuando

reconoce una definición, un teorema, etc., así como también cuando da significado a las

expresiones matemáticas. Las nociones que se emplean aquí son de tipo protomatemática.

63

Capítulo 3: Marcos de referencia

Situación a-didáctica de validación. Aquí, el alumno fórmula sus resultados como

aseveraciones, las cuales habrán de someterse ante los demás participantes para su estudio,

y ser aceptados o rechazados previa justificación de tal o cual acción. Es decir, en la medida

de sus posibilidades, el alumno debe mostrar una prueba que permita demostrar la validez

de sus resultados. Esto permitirá consensuar los resultados obtenidos, reformular las

aseveraciones y obtener un consenso sobre la solución optima del problema. Aquí las

nociones que se manejan son las matemáticas. También se habla de una etapa de validación

dentro de una situación a-didáctica, cuando es el mismo alumno quien se cuestiona sobre la

validez de sus acciones, justifica los procedimientos realizados, identifica y corrige sus

errores.

Debemos señalar que las situaciones a-didácticas anteriores no son excluyentes, por lo que

dentro de una de ellas se pueden encontrar las otras dos. Por ejemplo, dentro de la situación

a-didáctica de acción pueden encontrarse las de formulación y validación y así para las

otras dos. Además dentro de las situaciones a-didácticas el orden de presentación de las

etapas de acción, formulación y validación es indistinto.

3.3 Ingeniería didáctica

En el seno de la didáctica de las matemáticas surge, una concepción de investigación en la

cual el trabajo didáctico se realiza en forma similar al de un ingeniero. Por ejemplo, un

ingeniero debe: recolectar datos del lugar en el que se llevará a cabo el trabajo, establecer

las condiciones que predominan en dicho lugar y elaborar con dichos datos el proyecto a

realizar. Estas acciones se realizan de forma previa al desarrollo de la construcción a

64

Capítulo 3: Marcos de referencia

realizar, posteriormente se siguen una cuidadosa supervisión de la obra que permita tomar

las decisiones y modificaciones necesarias en el momento adecuado, todo esto basado en

conocimientos científicos y aceptando someterse a un control de tipo científico, pues de

ellos se sustentarán las decisiones tomadas. De este modo, la ingeniería didáctica se puede

concebirse como un conjunto de secuencias que son estructuradas, organizadas y

articuladas entre sí por el profesor (ingeniero), con el fin de realizar un proyecto de

aprendizaje para una población determinada de alumnos.

En los años ochenta (Artigue, 1995b), dado el desarrollo de la didáctica de la matemática,

esta ingeniería surge como un medio para abordar dos puntos cruciales:

• Las relaciones entre la investigación y la acción en el sistema de enseñanza.

• El papel que conviene hacerle tomar a las “realizaciones didácticas” en clase, dentro

de las metodologías de la investigación didáctica.

Con respecto al primer punto, podemos mencionar que si no se articulan adecuadamente los

dos momentos del proceso científico técnico (investigación y acción) se reduce el

significado de cada uno de ellos: el logro de una “buena acción” es un objetivo que influye

sobre el proceso de investigación; la acción “implementada” se presenta como

“investigación”.

Respecto al segundo punto, se puede decir que la ingeniería didáctica busca romper con las

investigaciones que se basan en el uso de encuestas, test, cuestionarios, etc. posteriormente

al desarrollo de un fenómeno, acción, actividad, etc. Las cuales resultan fuentes de

información que son insuficientes para retratar la complejidad de los procesos que se llevan

65

Capítulo 3: Marcos de referencia

a cabo dentro del salón de clases; la información recabada es un retrato parcial basado en la

memoria de los participantes. Dichas investigaciones se basan en métodos de validación

externa, se llevan a cabo mediante la comparación de dos grupos: el de control y el

experimental. Por su parte, la ingeniería didáctica posee un proceso de validación

esencialmente interno, basado en la confrontación entre el análisis a priori y a posteriori del

diseño didáctico implementado (Artigue, 1995b).

Como metodología de investigación, la ingeniería didáctica se caracteriza como un

esquema experimental basado en las “realizaciones didácticas” en clase, las cuales implican

realizar la planeación, el desarrollo, la observación y el análisis de las mismas (Artigue,

1995b). Para el diseño de las realizaciones didácticas, el profesor-investigador debe decidir

actuar sobre un cierto número de variables de los sistemas didácticos, las cuales determinan

la organización global y local de la ingeniería. Estas variables son fundamentales para la

significación de los conocimientos matemáticos que se espera que el alumno aprenda, pues

afectan la jerarquía de las estrategias de solución que el alumno pone en funcionamiento.

Sin embargo, es importante señalar que la ingeniería didáctica se utiliza en la didáctica de

las matemáticas bajo un doble aspecto; a demás de ser una metodología de investigación, es

un medio para la producción y análisis de situaciones de enseñanza-aprendizaje (Ruiz,

2002). Siendo en nuestro caso, utilizada bajo la segunda acepción.

Dada su estructura interna, la ingeniería didáctica nos provee de un adecuado marco de

referencia que nos permita justificar las acciones que llevamos a cabo dentro del salón de

clases, así como sus posibles modificaciones. El diseño didáctico a desarrollar, dentro del

salón de clases, sigue una estructura similar al diseño de una investigación. En él se

66

Capítulo 3: Marcos de referencia

establecen las acciones que se deberán seguir para alcanzar los objetivos de aprendizaje; los

recursos que se necesitan para el desarrollo de las clases; así como el uso y los tiempos en

que ellos se ocuparán. Durante la puesta en marcha de las “realizaciones didácticas” el

profesor y los alumnos interactúan constantemente, lo que permite al profesor tomar las

decisiones pertinentes que favorezcan la evolución del proyecto de aprendizaje, superar los

obstáculos que se presenten y llevar a buen término las “realizaciones” hechas, así como el

logro de los objetivos. De este modo, la ingeniería didáctica es a la vez un producto,

resultante de un análisis a priori, y un proceso, en el transcurso del cual el profesor ejecuta

el producto adaptándolo, si se presenta el caso, a la dinámica de la clase (Douady, 1996;

citado en Ruiz, 2002).

El profesor en todo momento debe tomar conciencia de los factores que pueden incidir en

las situaciones de enseñanza-aprendizaje, los cuales al ser controlados por él, favorezcan

una adecuada toma de decisiones, realización de elecciones, anticipaciones, etc., que

puedan enriquecer las situaciones, pero que posteriormente su influencia pueda ser

analizada y validada.

En la ingeniería didáctica se distinguen cuatro fases de desarrollo: la fase de análisis

preliminar, la fase de concepción y análisis a priori de las situaciones didácticas de la

ingeniería, la fase de experimentación y finalmente la fase de análisis a posteriori y

evaluación (Artigue, 1995b).

• Análisis preliminar. El sustento sobre el cual se desarrollaran las situaciones

didácticas requiere, además de un encuadre teórico didáctico y de los conocimientos

67

Capítulo 3: Marcos de referencia

que se posean al respecto, una serie de análisis previos que tocan entre otros puntos:

el análisis epistemológico del contenido a abordar, el análisis de la enseñanza

tradicional, el análisis de las concepciones de los estudiantes, todo ello para

identificar los obstáculos y dificultades que determinan su evolución y las

restricciones donde se realizará la situación didáctica. Nos encontramos entonces

ante un análisis de las restricciones epistemológicas, cognitivas y didácticas. Estas

dimensiones se corresponden con la perspectiva sistémica de la didáctica de las

matemáticas que considera el estudio de las interacciones entre el profesor, el saber

y el alumno, con el objeto de analizar los modos de apropiación de un saber por el

sujeto.

• Concepción y análisis a priori de las situaciones didácticas. Se eligen las variables

sobre las cuales actuar, y sobre las cuales se establece un control destinado a incidir

en las posibles formas de actuar de los estudiantes y los significados que se pretende

se adquieran. Este análisis, tanto de tipo descriptivo como predictivo, se centra en

las características que la situación ha querido diseñar.

• Experimentación. En esta fase se pone en funcionamiento la ingeniería desarrollada

en el paso anterior.

• Análisis a posteriori y evaluación. Se conforma el análisis a posteriori a partir del

conjunto de datos recabados durante la experimentación; por medio de las

observaciones realizadas de las secuencias de enseñanza y las producciones de los

alumnos. Este análisis es confrontado con el análisis a priori para validar las

hipótesis de investigación que se hayan formulado.

68

Capítulo 3: Marcos de referencia

Estas fases aplicadas al desarrollo de las clases, permiten un constante monitoreo y análisis

de las implicaciones que los diseños didácticos implementados por el profesor tienen dentro

del salón de clases, dando como resultado la adecuación de dichos diseños. De este modo,

la ingeniería didáctica constituye un adecuado modelo de experimentación que permite al

profesor establecer si las acciones que desarrolla al interior del aula están funcionando, así

como también le permite conformar una base que, en caso necesario, le ayuda a realizar las

modificaciones pertinentes, y que además, dé sustento a éstas.

De este modo, la teoría de las situaciones didácticas y la ingeniería didáctica se conjugan

para proporcionarnos un modelo teórico, práctico y experimental que será el eje central de

nuestra propuesta de formación didáctica.

69

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

Capítulo 4

Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

La formación de los profesores requiere de un largo proceso dentro del cual se encuentran

implicadas diversas acciones. Proponemos aquí el desarrollo de una propuesta teórico-

práctica, de modo que el profesor no sea únicamente un receptor de ideas y saberes, su

actuación dentro del curso lo involucrará de una mejor manera con el, además nos

permitiría observar si existen cambios en sus concepciones más allá del nivel discursivo.

En este apartado describiremos la conformación del curso-taller en didáctica de las

matemáticas que fue presentado a los profesores. Se describe la metodología seguida en su

diseño y aplicación, así como las temáticas que se abordaron y las actividades que se

desarrollaron dentro del mismo.

4. 1 Metodología

Existen numerosas propuestas de formación de los profesores, siendo, del mismo modo,

numerosos los temas que se abordan en ellas. Sin embargo, son pocas las que tienen como

centro de interés al profesor universitario. Esto nos hizo cuestionarnos sobre las acciones

más convenientes a seguir para la formación de los profesores en lo que la didáctica de la

matemática en el nivel universitario se refiere, que es en donde se centra nuestra propuesta.

70

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

Debido a lo anterior, decidimos que un primer paso para el desarrollo de nuestro curso

debería ser la revisión de propuestas de formación de profesores, centrando nuestro interés

en aquellas acciones llevadas a cabo para la formación de profesores de matemática del

nivel universitario, en particular, centrándonos en las propuestas que estuvieran dirigidas a

profesores de cálculo. Paralelamente se procedió a revisar la literatura para conocer

resultados provenientes de la didáctica de la matemática y, en especial de la didáctica del

cálculo, que contribuyeran a dar un panorama general de dicha ciencia, a la vez que

contribuyera a proporcionar a los profesores algunos elementos que pudieran utilizar dentro

sus clases o cursos; ya sean problemáticas, estrategias, sugerencias, etc. Se buscó

incorporar en este curso, temáticas que los profesores pudieran ya haber observado como

necesarias, pues de esta forma, ellas tendrían en los profesores una base sobre la cual

confrontarse, que permitiera conferirles cierta aplicación y utilidad a la luz de sus

concepciones y experiencias. Sin embargo, también se procuró la incorporación de otros

elementos que, aún no siendo tan reconocidos o familiares para los profesores, fuesen

importantes para su capacitación y formación.

Posteriormente, se procedió a la conformación de la propuesta denominada “Curso-Taller

de formación en didáctica de las matemáticas”, la cual tuvo una duración de seis horas,

distribuidas en cuatro sesiones de hora y media cada una. Las sesiones se llevaron a cabo

una vez por semana, fijándose el lunes para este efecto. Estas tuvieron lugar en la sala de

juntas de la dirección de FMAT.

Debido a que nuestro objetivo era tomar parte sobre las creencias y concepciones que los

profesores tienen respecto a la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, y teniendo en

71

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

cuenta, como señala Castillo, et al (2005), que dichas acciones pueden impactar en un doble

nivel: el del discurso y el de la práctica. No siendo el mismo impacto en ambos. Se

propusieron actividades que nos permitieran observar nuestras acciones en cada uno de

ellos. Se consideró entonces adecuado emplear un análisis cualitativo de los datos

obtenidos.

Dentro el curso – taller se pensó en comunicarle al profesor ciertos aspectos teóricos sobre

los cuales generar discusión, tanto entre el instructor – formador como entre los mismos

profesores, pues los cometarios generados de ella nos permitirían conocer el impacto que la

propuesta estaba teniendo sobre las posturas didácticas y metodológicas de los profesores.

En lo que se refiere al aspecto práctico del curso, se enfrentó al profesor con algunas

actividades que le permitieran vislumbrar los aportes que los conocimientos teóricos

comunicados tienen, pero también que alentaran aún más la discusión sobre las temáticas y

lo que ellas pueden aportar. Dentro de esta parte, se incluyó la puesta en escena de un

diseño didáctico elaborado para tal propósito, otra actividad lo constituyó la elaboración

por parte de los mismos profesores de un diseño didáctico, el cual sería discutido dentro el

curso. Cabe señalar que la elaboración de estos diseños buscaba mostrar la profundidad y

solidez de los comentarios expresados por los profesores, es decir, la puesta en práctica de

lo que el profesor menciona en su discurso.

La selección de la población de profesores participantes en el curso se realizó mediante

invitación abierta a los profesores que impartían cálculo en la Facultad de Matemáticas.

Misma que posteriormente se extendió a otros profesores que hubieran impartido o

pensaban impartir cálculo, así como a otros profesores interesados en el tema, y que

72

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

tuvieran relación con la asignatura de cálculo. Es así como se incorporan dos egresados de

la licenciatura en matemáticas de la FMAT que en ese entonces impartían cálculo en la

Facultad de Ingeniería Química de la Universidad Autónoma de Yucatán. Llegándose a

conformar una población de 10 profesores, con una asistencia promedio a la sesiones de 7

profesores, debido a las otras múltiples labores que éstos debían desempeñar.

El registro de información se llevó a cabo mediante la grabación en audio de los diálogos y

discusiones generadas y toma de notas. Éstas nos permitieron llevar un registro de las

posturas que los profesores presentaban ante los saberes que se les comunicaban y de los

cambios o modificaciones que estas sufrían.

4.2 Estructura del Curso-Taller

En el presente trabajo se ha dispuesto la realización de un curso-taller tendiente a

proporcionar a los profesores una primera aproximación a la didáctica de las matemáticas,

donde se discutan algunos resultados producto de las investigaciones en esta materia, así

como algunas estrategias para favorecer el aprendizaje del cálculo. Se establecieron como

objetivos del curso los siguientes puntos:

1. Concientizar al profesor sobre la importancia de los resultados derivados de la

didáctica de las matemáticas para su acción docente.

2. Proporcionar algunos aspectos que puedan serles útiles durante la planificación,

desarrollo y evaluación de sus clases.

73

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

A continuación se hace una descripción de las temáticas abordadas en cada una de las

sesiones del curso:

♦ Sesión 1. La didáctica de las matemáticas

o ¿En qué consiste la didáctica de las matemáticas?

o Situaciones observadas en la FMAT y sus posibles implicaciones

o Reportes de investigación

♦ Sesión 2. Aportes de la didáctica de las matemáticas

o El estatus herramienta-objetos de los conceptos

o La visualización

o Pensamiento y lenguaje variacional

o El problema de la transferencia del conocimiento

♦ Sesión 3. Experimentación

o Teoría de las Situaciones didácticas

o Puesta en escena de una secuencia didáctica

♦ Sesión 4. Discusión y sugerencias

o Discusión de actividades propuestas por los profesores

o Comentarios a cerca de las actividades desarrolladas

La primera sesión estuvo destinada a proporcionar a los profesores un panorama general de

la didáctica de las matemáticas; se describieron algunos de sus objetivos y los aportes de

ésta a los sistemas didácticos. En esta primera sesión se pretendió mostrar la importancia de

esta didáctica para la formación docente y los aportes que ella puede proporcionar al trabajo

que se realiza dentro del salón de clases. Para ello se presentaron algunos resultados

74

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

provenientes de las tesis de García (2006a) y García (2006b) desarrolladas en la misma

Facultad. En ellas se describen las acciones que se llevan al interior del aula en las clases de

cálculo, trabajos que, como ya hemos mencionado, buscaron identificar algunos factores y

elementos que pudieran ser causantes del rezago y reprobación de esta asignatura. Junto

con los reportes anteriores se presentaron algunas problemáticas de aprendizaje que se

derivan de esa manera de proceder. Se buscó lograr que los profesores tomen conciencia de

la necesidad de modificar sus prácticas docentes que actualmente desarrollan; que ellos

conozcan el impacto que algunas de sus acciones pueden provocar en el aprendizaje de los

alumnos, pues como menciona Cooney (2001), citado en Moreno (2005), el cambio en las

creencias de los profesores, las cuales guían sus acciones, no suele producirse a menos que

éstos vean la evidencia de que el cambio es necesario y que produce beneficios. Para

finalizar esta primera sesión, se presentan dos investigaciones relacionadas con la didáctica

del cálculo. Una que nos permitiera mirar las dificultades de aprendizaje que provoca la

actual forma de presentar un determinado concepto, que proponga una forma alternativa

para presentarlo y que reporte los resultados obtenidos de la experimentación de esa nueva

presentación. Otra que nos permitiera mostrar cómo los trabajos en didáctica de las

matemáticas pueden proveer de elementos para la capacitación constante de los profesores.

Dichas investigaciones son el trabajo de tesis de Aparicio (2003): “Sobre la noción de

continuidad puntual: Un estudio de las formas discursivas utilizadas por los estudiantes de

Ingeniería en contextos de geometría dinámica”, y el reporte de investigación de Godino et

al, (2005): “Conflictos epistémicos en un proceso de estudio de la noción de función.

Implicaciones para la formación de profesores”.

75

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

En la segunda sesión se discutió sobre algunas temáticas propias de la didáctica de las

matemáticas, las cuales mostraran al profesor, puntos sobre los cuales poner atención al

momento de planear, desarrollar y evaluar sus clases. Para ello se dispuso de una primera

aproximación al estudio de los cuatro temas arriba mencionados, el primero y el último se

centraron en ampliar las discusiones sobre las dificultades que se presentan en el estudio de

los contenidos de cálculo y el aprendizaje resultante. El segundo y tercer tema pretendierón

proporcionar al profesor algunas herramientas y estrategias para implementar dentro las

clases y en las actividades que se desarrollan en ellas (estas temáticas son descritas

brevemente un poco más adelante). Como parte de esta sesión se presentó al profesor una

actividad relacionada con el tema del pensamiento y lenguaje variacional (ver anexo A).

En la tercera sesión se presentó al profesor la Teoría de las Situaciones Didácticas. La

presentación de esta teoría tuvo la intención de hacer que el profesor vislumbre otra forma

de mirar su quehacer didáctico; como un símil de una comunidad matemática. Se buscó que

los profesores propicien espacios para una actuación más dinámica de los alumnos dentro

del aula, dando a los estudiantes ciertas facilidades para actuar, formular y validar sobre

una situación de aprendizaje. Esto con la finalidad de que sean ellos mismos quienes

busquen apropiarse de ciertas nociones y conceptos que les permitirán sentar las bases

sobre las cuales edificar, fundamentar y dar significado a los conceptos matemáticos. De

este modo, el profesor se concibe como en un orientador e institucionalizador del

conocimiento matemático Dentro de ésta sesión, y con la finalidad de hacer más

comprensibles los elementos que se describen en dicha teoría, se llevó a cabo la puesta en

escena de un diseño didáctico elaborado para tal propósito (ver anexo B). Al finalizar la

sesión, se pedió a los profesores el desarrollo de un diseño didáctico que abordará los

76

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

elementos descritos durante la sesión. Así, se formaron equipos de tres profesores para

realizar la tarea propuesta.

En la cuarta, y última sesión, se realizó la discusión de las secuencias didáctica elaboradas

por los profesores, con la finalidad de aclarar, corregir o detectar aquellos aspectos de esta

teoría que no hallan sido comprendidos o que hallan generado duda a la hora de ponerlos en

práctica. También se pretendió observar con éstos diseños y discusiones, la incidencia e

impacto sobre sus concepciones, ya sea a un nivel práctico, a un nivel del discurso, en

ambos niveles o en ninguno de ellos. Para finalizar esta sesión, y el curso-taller, se pedió a

los profesores que externaran sus comentarios respecto al curso en general y sobre las

dudas que pudieran surgir respecto a algún punto en particular.

4.2.1 La dualidad de los conceptos matemáticos

Antes de comenzar este tema, pensemos en el siguiente ejemplo. Los niños estudian desde

la educación básica las operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Estas

operaciones las realizan con números enteros, decimales y fraccionales. Centremos nuestra

atención en la suma de números fraccionales.

Las operaciones con fracciones constituyen un tema de gran dificultad para muchos

alumnos, por lo general, esto se debe a su enseñanza como algoritmos sin sentido, que se

aprendidos de memoria. Cuando el niño llega al estudio de las fracciones, se le presenta la

notación 28 y se le dice que eso se lee “ocho medios” y que con ocho medios obtiene 4

enteros, afirmación explicada por medio de la división 82 , de modo que ante expresiones

77

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

como 29 el alumno tiende a efectuar la división, obteniendo , mirando así a las

fracciones como una división no realizada. De este modo, cuando se le presenta la siguiente

operación

5.4

29

28+ , ante el desconocimiento de cómo realizar eso, recurre a su visión de las

fracciones, llegando a realizar algoritmos tales como: 5.95.4429

28

=+=+ , es decir,

realiza el proceso de división que tiene en su mente. Si bien su respuesta es correcta, por lo

general, se le exige que realice el siguiente procedimiento 2

172

9829

28

=+

=+ , en donde el

proceso de dividir queda atrás y se requiere ver a la fracción como un nuevo “tipo de

número” sobre el cual se pueden realizar las operaciones básicas, es decir, la fracción que

representa un proceso de división debe verse como un objeto matemático nuevo. Esta forma

de ver a la fracción como un proceso y como un objeto matemático es una característica de

todos los entes matemáticos.

Los conceptos que maneja la matemática son entes abstractos que existen en la mente de las

personas, las cuales pueden tomar, según el caso, un tratamiento como procesos o como

objetos, es decir, presentan un tratamiento dual según la perspectiva desde que se le estudie

y el enfoque bajo el cual se utilice (Cantoral, 1993). Resultando justamente esa dualidad,

una de las razones que explican la complejidad del conocimientos matemático. Por

ejemplo: un estudiante es capaz de realizar la derivada de cualquier función, pero en

ocasiones es incapaz de construir la gráfica de la derivada.

Sfard, (1991), citado en Meel (2003), define los cimientos de la matemática en la

diferenciación entre dos entidades: Concepto y Concepción. Donde un concepto se entiende

78

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

como la idea oficial definida matemáticamente, mientras que la concepción hace referencia

a un grupo de representaciones y vínculos internos del estudiante que son causados por el

concepto. Lo anterior confiere a los conceptos matemáticos una concepción dual, pudiendo

ser visualizados como estáticos, instantáneos e integradores (estructurales) o dinámicos,

secuenciales y detallados (operacionales). El aspecto operacional de los objetos se relaciona

con los procesos algorítmicos que ocurren a un nivel físico y mental. La concepción

estructural es más abstracta, más integrada y menos detallada que una concepción

operacional, se relaciona con las matemáticas avanzadas al ser organizaciones mentales

abstractas. Sfard (1991); citado en Meel (2003), menciona ello de este modo se entra en el

mundo de la visualización, al relacionarse con la capacidad de “ver” las construcciones

matemáticas avanzadas que no son entidades físicas, sino organizaciones mentales

abstractas.

Aún cuando las concepciones operacional y estructural parecen ser excluyentes, pues

observan a un mismo concepto desde dos perspectivas diferentes, estas dos operaciones no

son exclusivas en forma mutua (Meel, 2003). Estas dos visiones son propias de un objeto

matemático y son inseparables dado que el concepto alberga tanto elementos estructurales

como procedimentales.

El conocimiento de dichas concepciones y sobre todo de la concepción que maneja el

estudiante, dan al profesor una base sobre la cual construir actividades de aprendizaje que

sean acordes a dicha concepción y, en caso de requerirlo, lograr que éstos se apropien de la

otra concepción. Uno de los pasos esenciales en el aprendizaje de las matemáticas es el de

construir objetos matemáticos; hacer de un proceso un objeto (Cantoral, et al, 2003).

79

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

Por lo general, el aprendizaje de los conceptos requiere del tránsito por una serie de etapas,

las cuales pueden prolongarse mucho más allá de la duración de un semestre escolar

(Cantoral, et al, 2003). Por ejemplo, se debe iniciar con el desarrollo de un proceso en

términos concretos, poco a poco al irse familiarizándose el alumno con este proceso, será

capaz de desarrollarlo y coordinarlo en su pensamiento (pensamiento operacional).

Posteriormente, este proceso es dotado de significado y de una nueva y única identidad,

convirtiéndose en el pensamiento del estudiante en un objeto. Esto posibilita al estudiante

abordar el tratamiento del concepto desde las dos perspectivas, ya sea en un nivel dinámico,

como proceso, o en un nivel estático, como objeto. Los conceptos matemáticos son

poderosos en tanto que pueden desarrollarse como algoritmos y ser aplicados en diversas

situaciones y contextos, sin embargo, el aprendizaje de dichos conceptos bajo esta forma

sin ninguna base teórica sobre la cual se sustente, propicia un “aprendizaje” pobre y carente

de significado, que en sí no constituyen verdaderos aprendizajes matemáticos.

Meel (2003), menciona que existen razones para suponer que durante el desarrollo de los

conceptos, las concepciones procedimentales preceden a las estructurales. Sin embargo,

esto no implica que siempre se dé esta sucesión, sino que es más bien una vía natural de

desarrollo del concepto. Sfard (1991) citado en Meel (2003) menciona que existen tres

etapas distintas durante el desarrollo de un concepto: la generación de un proceso a partir

de objetos ya familiares (interiorización), el reconocimiento de los procesos como

entidades autónomas (condensación) y la capacidad de concebir la nueva entidad como una

estructura sintetizada similar a un objeto (reificación).

80

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

1. La interiorización. El estudiante se familiariza con los procesos. Comprende

un cambio de concepciones con base en las operaciones físicas hasta hacer

operaciones fundadas en las representaciones mentales de los procesos.

2. Condensación. En lugar de trabajar mediante una secuencia larga de

procesos mentales relacionados pero distintos, la condensación permite al

estudiante concebir una secuencia como un solo proceso y relacionar su

entrada y salida, sin los pasos intermedios.

3. La reificación. Es la responsable del desarrollo de los objetos matemáticos.

En esencia, la reificación es un salto desde la concepción de una nueva

entidad como una conexión estrecha a un proceso, hasta la concepción de la

noción de una entidad como un objeto en el que se puede actuar. Este

cambio permite la capacidad de ver algo familiar desde una perspectiva

totalmente distinta que separa la secuencia condensada de una secuencia de

origen. La estructura que se presenta, a pesar de que esté invariablemente

conectada al proceso que ejemplifica, ya puede observarse como un objeto

estático en el ojo de la mente. Además, la nueva entidad comienza a

presentar su significado a partir de su asociación, no en el terreno de los

procesos, sino como un miembro de una categoría de objetos abstractos que

mejoran el alcance de las aplicaciones.

4.2.2 La visualización

Dentro del estudio de los conceptos del cálculo, la representación gráfica es una

herramienta utilizada por los profesores para realizar las explicaciones y comentarios

81

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

correspondientes. Esto se extiende, en algunos casos, a los teoremas, los ejercicios, etc.,

(Cantoral, Montiel, 2001). Con ello se busca favorecer la comprensión y significado de los

alumnos sobre esos objetos matemáticos. Por otra parte, si recordamos que éstos objetos

son abstracciones que viven en la mente de quien los estudia y que para su comunicación

requieren de representaciones que permitan expresarlos y manipularlos, la “visualización”

toma una gran relevancia. De este modo, podemos afirmar que la “visualización” de las

representaciones geométricas de los conceptos del cálculo, juega un papel destacable dentro

de los actuales procesos de enseñanza, aprendizaje del cálculo. No obstante la importancia

de estos procesos, los argumentos geométricos/visuales, así como los numéricos, son

relegados a un segundo término e incluso en algunos casos son rechazados, sobrevalorando

en contraposición a los de tipo analítico y algorítmico.

Una hipótesis relacionada con el estudio y aprendizaje del cálculo desarrollada en Farfán

(1997), que es citada en Cantoral y Montiel (2001), asume que:

“previo al estudio del cálculo se requiere de la adquisición de un lenguaje

gráfico que posibilite, esencialmente, la transferencia de campos conceptuales

virtualmente ajenos a causa de las enseñanzas tradicionales, estableciendo un

isomorfismo operativo entre el álgebra básica y el estudio de curvas, mejor

aún, entre el lenguaje algebraico y el lenguaje gráfico”.

Esta maestría en el manejo de ambos dominios permitirá al alumno, en un primer momento,

una mejor comprensión de las representaciones geométricas utilizadas en las explicaciones

de los conceptos, al ser capaces de manipular al concepto en dos representaciones distintas.

Por otra parte, en un segundo momento, si esta habilidad se conjunta con un dominio de la

82

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

intuición y de la argumentación, será posible transitar entre diversas representaciones de los

conceptos bajo estudio (Cantoral y Farfán, 1998).

Sin embargo, la visualización en matemáticas no se reduce sólo a lo que a geometría se

refiere, generalmente es entendida como la habilidad para representar, transformar,

generar, comunicar, documentar y reflejar información visual (Cantoral, Montiel, 2001).

Como ejemplo de la visualización podemos mencionar a los aspectos gesticulativos que los

alumnos realizan al momento de explicar un concepto para sí mismo o para los demás, así

como a aquellos que los alumnos realizan al momento de resolver problemas. Procesos

como los anteriores favorecen en el alumno la creación de representaciones mentales sobre

los objetos que son abordados, con lo cual el pensamiento del alumno va forjándose.

Tenemos entonces que la visualización no puede reducirse a la simple representación

externa de una representación interna, es decir, no únicamente se refiere a un proceso de

tipo óptico sino que involucra procesos de codificación y decodificación de información.

En este sentido, como menciona Cantoral (2001) citado en Aparicio (2003), involucra

diversas actividades:

• La habilidad para interpretar información especial que se obtiene directamente por

medio del sentido de la vista pero que se presenta de manera codificada.

• La habilidad para imaginar y anticipar transformaciones espaciales.

• La habilidad para crear e interpretar representaciones visuales de conceptos cuyo

origen no es visual.

83

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

De este modo, como señalan Montiel y Cantoral (2001), la visualización es una herramienta

que al operarse en distintos grados permite el desarrollo del pensamiento matemático en el

alumno. Donde por pensamiento matemático nos referiremos a las formas en que piensan

las personas que se dedican profesionalmente a las matemáticas (Cantoral. et. al., 2003), a

los procesos que utilizan a la hora de enfrentarse a cuestiones que involucran conceptos

matemáticos.

En matemáticas son varios los casos donde es posible observar el uso de la visualización,

por ejemplo, en la teoría de conjuntos donde se presenta la propiedad de inclusión, la cual

se representan con un diagrama como el de la figura 4, en donde se ilustra el caso en el que

el conjunto A queda contenido en el conjunto B.

B A

Figura 4. Inclusión de conjuntos )( BA ⊂

Las gráficas de las funciones son también otro ejemplo en donde la visualización juega un

papel importante, lo cual podemos ver reflejado en el estudio de las propiedades analíticas

de las mismas. Por ejemplo, al tratar la propiedad de la reflexión con respecto a los ejes

o . Además, las gráficas de las funciones constituyen un medio adecuado

para desarrollar las habilidades de visualización. Las gráficas no son objetos solo de

representación sino objetos de tratamiento sensorial, conceptual y operacional.

( )xf− ( xf − )

84

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

De este modo la visualización juega un papel importante dentro del aprendizaje de las

matemáticas, dado su poder como medio para asimilar los conceptos matemático por medio

de representaciones, pero también debido a su poder para facilitar y promover la

comunicación matemática.

Un ejemplo con el que podemos ilustrar la importancia que la representación, ya sea mental

o gráfica, puede tomar por sobre la realización analítica de un ejercicio, o dicho de otra

manera, la importancia que la visualización juega por sobre la simple realización de un

algoritmo aplicado mecánicamente, es el siguiente:

¿Por qué 211

111

1

1

1

1

1

11

1

21

12 −=

−−

−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

==−−

−

−

−

−∫∫ x

xdxxxdx es obviamente incorrecta?

Este ejemplo es tomado del libro “Funciones. Visualización y pensamiento matemático”

(Cantoral, Montiel, 2001), el cual a su vez fue tomado en “Visualization in teaching and

learning mathematics” publicado por W. Zimmermann y S. Cunningham (1991).

Analizando el ejemplo podemos notar que el procedimiento algorítmico no tiene errores

algebraicos, por lo que en un primer instante los alumnos que únicamente basen su

exploración del problema en dicho proceso, podrían argumentar que no existe ningún error

y la respuesta es correcta. Otros que dirijan su estudio a la función que se debe integrar,

podrían argumentar que la función 2

1x

es positiva para todo valor de x, y si se relaciona a

la integral con el área bajo la curva, la respuesta es incorrecta. Por otra parte, si el alumno

es capaz de representar en su mente la imagen de la gráfica de la función o dibujar dicha

85

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

gráfica, podrá darse cuenta que dicha función no es continua en cero y cuestionarse sobre la

validez del método, dándole pie a una rica discusión con sus compañeros y profesor que

puede dar lugar a nuevos conocimientos o, por lo menos, al interés por buscarlos. Para más

detalle sobre lo referido, puede consultarse (Aparicio, Ávila, 2006).

Por último, es importante mencionar que las investigaciones empíricas muestran que

existen en los alumnos, diferentes forma cognitivas de abordar los problemas, hay quienes

requieren un tratamiento más visual, quienes adquieren una mayor comprensión mediante

un tratamiento numérico, otros mediante un abordamiento simbólico, etc. Estos resultados

deben enriquecer la didáctica contemporánea, al permitir que los alumnos desarrollen sus

propios estilos cognitivos y no llevarlos a optar por alguno en especial (Cantoral, 1993).

4.2.3 Pensamiento y lenguaje variacional

En lo referente al proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, existen diversas

teorías que tratan de explicar la forma en que dichos aprendizajes se desarrollan, ya sea

dentro del salón de clases o fuera de estos, otras que buscan establecer los procesos

cognitivos que son desarrollados por los alumnos durante las actividades que se les

proponen para tal fin, aquellas que buscan conocer las diferencias entre el saber que se

enseña en la escuela y el saber sabio o científico, así como también, teorías que intentan

proporcionar elementos para la elaboración de situaciones características que permitan la

apropiación de ciertas nociones o conceptos.

La corriente socioepistemólogica es una aproximación de naturaleza sistémica que trata con

los fenómenos de producción y difusión del conocimiento matemático tomando en cuenta

86

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

cuatro componentes: el epistemológico, el didáctico, el cognitivo y el sociocultural. Siendo

éste último el que proporciona la visión característica con que se aborda el estudio de tales

fenómenos, al tratar el desarrollo y evolución de éstos en el marco de un conjunto de

prácticas sociales dentro de las cuales los conocimientos toman significado y a raíz de las

cuales también es posible su génesis. Tenemos entonces que el aprendizaje y enseñanza de

las matemáticas constituyen una práctica humana pero también social (Cantoral, 2004). Así,

los aprendizajes de los alumnos toman una mayor riqueza de significados al enfrentarlos a

situaciones relacionadas con la vida cotidiana o relacionada con las acciones que se

aproximen a su vida social, dentro de las cuales se propicie interacciones entre los actores

del contexto dentro el cual se desenvuelven.

En marco teórico anterior se desarrolla una línea de investigación que permite tratar la

articulación entre las investigaciones y las prácticas sociales que dan vida a la matemática

de la variación y el cambio en los sistemas didácticos: el pensamiento y lenguaje

variacional (Cantoral, Farfán, 1998). Sin embargo, el lenguaje y pensamiento variacional

también constituye una ruta de desarrollo para abordar el estudio de las distintas nociones

de los conocimientos relacionados con la variación y el cambio:

Este pensamiento y lenguaje variacional estudia los fenómenos de enseñanza,

aprendizaje y comunicación de saberes matemáticos de la variación y el

cambio en el sistema educativo y en el medio social que le da cabida, pone

particular atención en el estudio de los diferentes procesos cognitivos y

culturales con que las personas asignan y comparten sentidos y significados

87

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

utilizando para ello diferentes estructuras y lenguajes variacionales. pp. 1

(Cantoral, 2004).

Si consideramos al cálculo como la disciplina que se encarga del estudio de la variación y

el cambio, el desarrollo de tal capacidad en los alumnos se vuelve una herramienta

poderosa para el estudio y comprensión de las nociones, conceptos, axiomas, teoremas y

resultados propios de esta materia, pero sobre todo y lo más importante, permitirá a los

alumnos la posibilidad de asignarle un mayor significado a los aprendizajes que adquieran,

así como comprender las ideas que le dieron origen a tales conceptos. Por ejemplo: la

derivada es definida en algunos libros de texto, y en ocasiones así enseñada, como la

pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto de su dominio. Esta

definición no permite al alumno apropiarse de la idea de la medición de la variación que

existe detrás de este concepto, al ser observada únicamente como un valor que se le asigna

a un punto de la función. En este sentido, señalamos entonces que las representaciones

(significantes) geométricas de ciertos conceptos, como éste de función derivada, quedan a

un nivel estático, útil sólo para trabajos o tareas de carácter geométrico y no, en un nivel

dinámico, susceptible de articular y activar relaciones.

Centrando al lenguaje y el pensamiento variacional como parte inherente del pensamiento

matemático avanzado, tenemos que dicho enfoque posee una doble orientación: además de

tratar la matemática de la variación y el cambio, también estudia a los procesos complejos

de pensamiento. Los resultados que se desprende de estas orientaciones permiten

enriquecer las situaciones de enseñanza de la escuela contemporánea.

88

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

Para comprender con mayor profundidad a lo que no referimos con el término variacional,

establezcamos la diferenta que existe entre la variación y el cambio, conceptos que en

ocasiones son llegados a manejar como sinónimos: La noción de cambio denota la

modificación de estado, de apariencia, de comportamiento o de condición de un cuerpo, de

un sistema o de un objeto; mientras que la variación, la estamos entendiendo como una

cuantificación del cambio, es decir, estudiar la variación de un sistema o cuerpo significa

ejercer nuestro entendimiento para conocer cómo y cuánto cambia el sistema o cuerpo

dado. Es en este sentido que nos referimos a los argumentos de tipo variacional. Decimos

que una persona utiliza o comunica argumentos y estrategias de tipo variacional cuando

hace uso de maniobras, ideas, técnicas, o explicaciones que de alguna manera reflejan y

expresan el reconocimiento cuantitativo y cualitativo del cambio en el sistema u objeto que

se está estudiando (Cantoral, et. al., 2005).

Una de tales estrategias que, por lo general, utilizan los alumnos cuando abordan el estudio

de cuestiones relativas al cálculo, y otras materias, es el aspecto gestual que éstos

entrelazan con las formas discursivas que utilizan al discutir sobre alguna noción. En lo que

respecta a la continuidad puntual, puede verse el trabajo de Aparicio y Cantoral (2006) en

donde reportan que los alumnos utilizan ambos aspectos (gestual y discursivo) como parte

de sus procesos de apropiación de tal noción, viéndose favorecido el aprendizaje con el

análisis de la dimensión gestual en articulación con lo discursivo.

En seguida, presentaremos una actividad tomada del articulo “Sociepistemología de la

predicción” (Cantoral, et al, 2005), que consideramos pertinente para ejemplificar algunas

estrategias y procesos variacionales.

89

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

A continuación se presentan tres tablas numéricas, la idea es:

a) Determinar cuál de estas tablas corresponde a una ecuación lineal, cuál a una

ecuación cuadrática y cuál a una ecuación cúbica.

b) Una vez determinado a qué tipo de ecuación corresponde cada una de las tablas

numéricas, se pide encontrar la expresión algebraica de cada una de estas ecuaciones.

x y x y x y

-3 -78 -3 -29.25 -3 624

-2 -57.75 -2 96 -2 404.25

-1 -40.5 -1 221.25 -1 243

0 -26.25 0 346.5 0 131.25

1 -15 1 471.75 1 60

2 -6.75 2 597 2 20.25

3 -1.5 3 722.25 3 3

De entre las estrategias utilizadas para dar respuesta a los cuestionamientos anteriores, la

mayoría de los profesores (se reporta que aproximadamente el 80%) utilizaban la

graficación para responder al primer cuestionamiento, sin embargo, la naturaleza de las

gráficas a las que dan lugar las tablas no permite distinguir con facilidad la gráfica de la

ecuación cuadrática y la gráfica de la ecuación cúbica. Mientras que para el segundo inciso,

los profesores procedieron generando sistemas de ecuaciones lineales para dar solución a

los que se les pedía.

90

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

La función lineal si bien es la más fácil de distinguir, debido a la naturaleza de su forma

gráfica, es de importancia central. Ella constituye una de las vías de involucramiento con la

actividad matemática planteada, y su estudio dentro del contexto de la actividad facilita el

surgimiento de las ideas, estrategias y argumentos variacionales.

En el caso de la función lineal, las ideas y técnicas que surgen con mayor frecuencia al

trabajar con la tabla de valores, se relaciona con la pendiente y variación, pues por su

naturaleza, una idea para identificar a la función lineal se basa en el cálculo de las

diferencias para cualquier par de ordenadas consecutivas, esto con la intención de

identificar una variación constante, y así indicar a dicha función. Otro modo de proceder es

mediante el cálculo de la ecuación ( )

ii yy −+1

( iiii

iiii xx

xxyy

yy −−

)−=− +

+

++ 1

1

11 para establecer una

ecuación de la recta que satisfaga los puntos establecidos en la tabla. Esta última forma de

proceder es un medio para dar solución al segundo inciso.

La estrategia anterior, surgida para el caso de las funciones lineales, nos permitirá en un

primer momento mostrar que la idea de variación en el ámbito numérico posibilita

establecer la gráfica que corresponde a un polinomio de segundo grado, al identificar la

tabla en la cual las variaciones son constantes en las segundas diferencias. Análogamente

para el polinomio de tercer grado. En un segundo momento, las ideas anteriores nos

permitirían crear un vínculo entre las ideas de variación y el concepto de derivada, el cual

parece haberse olvidado en el discurso matemático escolar debido a la transposición

didáctica.

91

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

El pensamiento y los argumentos variacionales que son puestos en juego en la forma de

proceder anterior, van creando en la mente de los alumnos estrategias por medio de las

cuales pueden abordar diferentes problemas, tanto dentro como fuera del cálculo,

proporcionándole además una forma de organizar sus esquemas de respuesta de forma más

propicia para el abordaje de conceptos que involucren ideas de cambio y variación. Esto

contribuye al desarrollo del pensamiento matemático en él.

En el ejemplo anterior, podemos darnos cuenta que la adquisición de un lenguaje y

pensamiento variacional requiere de espacios temporalmente prolongados en comparación

con el tiempo didáctico habitual (Cantoral y Farfán, 1998). Sin embargo, los beneficios en

la comprensión de las nociones de cálculo son “muy buenos”.

Veamos otro ejemplo tomado del libro “Desarrollo del pensamiento matemático” (Cantoral,

et al, 2003) referente al pensamiento y lenguaje variacional en el contexto gráfico. A través

de las respuestas a las actividades que se proponen se obtienen indicios sobre las estrategias

variacionales que los participantes utilizan y las formas como argumentan su elección

frente de sus compañeros.

Pregunta 1. Marca sobre la gráfica de la función que aparece enseguida la porción que

consideres que cumple con la condición 0)( >xf .

92

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

-2 -1 1 2

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

Para contestar a esta pregunta los alumno identifican el cuadrante en el que se encuentra

una determinada parte de la gráfica, marcando como positiva aquellas partes que se

localizan en los primeros dos cuadrantes.

Pregunta 2. Marca sobre la gráfica de la función que aparece enseguida la porción que

consideres que cumple con la condición 0)´( >xf .

-2 -1 1 2

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

93

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

Con frecuencia los alumnos confunden el signo de la derivada con el de la función y

utilizan este razonamiento para dar sus respuestas, en otro caso, recuerdan que las

pendientes de las tangentes a la curva determinan el signo de la derivada y utilizan este

hecho. Sin embargo, este cambio de registro utilizado para dar respuestas (de una pregunta

planteada en un contexto simbólico, la respuesta se construye en un contexto visual) es

complicado para el alumno, traduciéndose en un menor numero de respuestas correctas y

justificaciones escasas y muy escuetas.

Pregunta 3. Marca sobre la gráfica de la función que aparece enseguida la porción que

consideres que cumple con la condición 0)``( >xf .

-2 -1 1 2

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

El recurso dominante en las respuestas de los alumnos, resulta ser la memoria. Ellos suelen

recordar que la segunda derivada positiva se corresponde con la concavidad hacia arriba, en

tanto que la concavidad hacia abajo está asociada con la segunda derivada negativa. De esta

forma algunos estudiantes pueden contestar correctamente la pregunta, aún cuando no

dispongan de explicación alguna para confirmar su razonamiento. Los alumnos por lo

94

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

general no cuentan con algún otro argumento que permita enfrentar la situación planteada.

De hecho, es usual entre los alumnos disponer de un método mnemotécnico para establecer

estas correspondencias, "es cóncava hacia arriba entonces retienen mas agua, si lo es hacia

abajo retendrá menos agua, de hecho tirará el agua". Este símil es un recurso memorístico

que no parece implicar estrategias propiamente variacionales.

Pregunta 4. Marca sobre la gráfica de la función que aparece enseguida la porción que

consideres que cumple con la condición 0)( >′′′ xf .

-2 -1 1 2

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

Esta pregunta suele plantear un reto especial, tanto a los estudiantes como a los profesores,

pues aunque entienden efectivamente el enunciado del problema, no pueden construir una

respuesta que les parezca convincente. Se carece de elementos cognitivos y didácticos que

les permitan construir una respuesta adecuada. Es hasta este momento en que ellos se

encuentran en situación de aprendizaje, ya que la serie de tareas anteriores permitían,

aunque fuese sólo con recursos mnemotécnicos, dar una respuesta a las preguntas

planteadas. Empero esta última cuestión plantea una problemática no prevista por ellos, el

95

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

éxito en la pregunta radica en poder descifrar los códigos variacionales y articularlos en

signos variacionales, pues la respuesta habrá de ser construida. En este momento, los

estudiantes y los profesores suelen entrar en una situación de aprendizaje muy rica. Sólo

quienes han dominado algunas de las estrategias del pensamiento y el lenguaje variacional

pueden abordarla eficazmente. Como resultado de esta actividad se concluye que el manejo

simultáneo y coordinado de las derivadas sucesivas parece ser una condición sin la cual la

formación de la idea de derivada, y en consecuencia de la noción de predicción, deviene

inevitablemente frágil.

Para finalizar debemos comentar que el pensamiento y lenguaje variacional, como toda

actividad y estudio, requiere de algunas habilidades previas por parte de los estudiantes,

como por ejemplo, se supone el dominio de la matemática básica y las formas de

pensamiento asociadas, así como el rompimiento con formas de pensamiento prevaracional,

como es el caso del pensamiento algebraico. Además, se precisa del manejo de un universo

de gráficas extenso y rico en significado (Cantoral y Farfán, 1998).

4.2.4 La noción de transferencia

Otro problema con la enseñanza de las matemáticas resulta del hecho de que los

“aprendizajes” logrados por los estudiantes, en la mayoría de los casos, sólo pueden ser

aplicados en situaciones similares a aquellas en las que fueron enseñados y aprendidos. Este

escenario no permite el logro de aprendizajes significativos que ayuden al alumno a

progresar dentro de la misma asignatura o en otras donde ellos son importantes y útiles. Al

alumno sólo se le muestran los algoritmos y procedimientos deben seguir, los cuales se

relacionan con los conceptos que aprenden. No se le muestra las ideas que hay detrás ellos

96

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

o las condiciones que posibilitan su aplicación. Al respecto, Cantoral y Mirrón (2000)

(citados en Zúñiga, 2002) señalan:

“…la enseñanza habitual del análisis matemático logra que los estudiantes

deriven, integren, calculen límites sin que sean capaces de asignar un sentido

más amplio a las nociones involucradas en su comprensión. De modo que aún

siendo capaces de derivar una función no pueden reconocer en un cierto

problema la necesidad de derivación…”.

La transferencia del conocimiento puede entonces ser entendida como la capacidad de los

alumnos de utilizar un conocimiento que han aprendido en un contexto determinado, en

otros que difieren sustancial o parcialmente del inicial. Por ejemplo, tomemos la noción de

función. El alumno además de poder identificar y establecer funciones en el dominio

matemático o en problemas de orden matemático, también debe ser capaz de hacer lo

mismo en otros contextos como pueden ser la química, la medicina, las ciencias sociales,

etc.

Por otra parte, la noción de transferencia del conocimiento no únicamente se aplica en lo

que se refiere a llevar el conocimiento matemático a otros contextos o ciencias, idea muy

arraigada en el pensamiento de los profesores, sino que también implica la aplicación del

aprendizaje previo como ayuda al aprendizaje subsiguiente dentro de la matemática

(Aréchiga, 1998).

Uno de los grandes retos del sistema educativo es lograr que los aprendizajes que los

alumnos adquieren en la escuela puedan ser aplicados a situaciones fuera de ellas, es decir,

97

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

propiciar la transferencia del conocimiento escolar a otros ámbitos. Tal es la importancia

que se le atribuye a éste hecho que, si se atienden los reportes a este respecto, se puede

vislumbrar que a escala mundial existe un consenso referente a la eficiencia de los

aprendizajes escolares en el sentido de que existe un vínculo entre la calidad de la

educación con la cantidad y calidad de la transferencia de los aprendizajes (Gómez, 2003)

De poco sirve un aprendizaje que viva solamente en un contexto determinado o en una

situación particular. El aprendizaje y la creación de nuevo conocimiento en los humanos se

constituye cada día al ir adaptando lo que saben a las nuevas situaciones que se le van

presentando.

González (2003), en su trabajo reporta que los estudiantes de economía de la Escuela de

Economía de la Universidad Central de Venezuela presentan dificultades para transferir los

conocimientos que aprenden en sus cursos de matemáticas, en este caso, de álgebra lineal, a

la resolución de problemas de economía. Ellos no son capaces de plantear

matemáticamente los problemas, pero una vez planteados son capaces de resolverlos sin

grandes problemas. Entre las causas que la autora reporta de tal fenómeno se encuentran:

♦ Enseñanza de la matemática en forma memorística. Durante la enseñanza media

prolifera el aprendizaje memorístico y mecanicista, donde se aplican los saberes

matemáticos en la resolución de “problemas” de forma similar a como se sigue un

recetario de cocina. Esta forma de aprendizaje continua hasta el nivel superior,

donde se observa la tendencia de los alumnos a memorizar contenidos y poca

presencia de razonamiento.

98

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

♦ Proceso de enseñanza centrada en el maestro o profesor. Por una parte se encuentra

la forma en como los profesores imparten sus clases; por medio de exposiciones

donde ellos son los poseedores del conocimiento y quienes monopolizan la

selección de las actividades de enseñanza. Por la otra, la actitud apuntista de los

alumnos hace que descuiden las explicaciones que se dan, además, en muchas

ocasiones esos apuntes son realizados de forma incorrecta o incompleta, y si

agregamos que sólo de ahí se basan para su estudio, esto genera lagunas en el

conocimiento de los alumnos.

♦ Curso con falta de un diseño instruccional sistemático. No existen indicaciones

sobre cómo tratar la materia, lo que genera un tratamiento tradicional de la misma y

que no existan actividades que desarrollen la habilidad del alumno en la resolución

de problemas y la transferencia de conocimiento, así como la creatividad del

estudiante.

En relación a las causas anteriores, la autora establece que la transferencia del conocimiento

matemático a la economía, o cualquier otra rama del saber, exige dominio de los contenidos

y una visión más allá de una rutina de resolución de problemas. Si el profesor es quien

explica los problemas, el alumno no desarrolla capacidad de razonamiento, y al momento

de la evaluación para determinar el contenido matemático a utilizar para abordar alguna

situación, el alumno no tiene esa capacidad desarrollada, por lo cual tampoco la

transferencia de la matemática a otra ciencia.

Esto nos muestra la importancia de cambiar el seguimiento clásico de la clase; teoría-

teoremas-demostración-ejemplos, así como la inclusión de diversos contextos en los que se

99

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

apliquen los conocimientos bajo estudio, para permitir al alumno una visión amplia y

generalizada de la forma que esos conocimientos toman en cada uno de ellos, esto con el

fin de ir desarrollando la habilidad de transferencia del conocimiento.

4.3 Desarrollo de la secuencia didáctica

Las funciones reales de variable real fue el tema elegido para el desarrollo del diseño

didáctico que formó parte del curso-taller.

Es complejo lograr que los alumnos comprendan el concepto de función. La enseñanza de

este concepto pone gran énfasis en su gráfica, en la expresión que se le puede asignar en un

momento dado y/o en sus propiedades, descuidándose la idea de relación entre variables

que constituye al concepto. De ahí que uno de los ejercicios clásicos del tema de funciones

consiste en hallar el valor de una función al evaluar ciertos números, ejercicio con el cual se

espera que los alumnos interioricen correctamente las ideas de relación y dependencia que

en ella se presentan. Considérese como ilustración, lo siguiente:

)2(1

f⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21fSea para todo real 1)( += xxf x . Calcular: , )2(f )2(−f )2(f− , , , ,

, )()(

bfaf),( baf + )()( bfaf + .

Otros profesores creen que es suficiente enunciar la definición del concepto para que éste

sea comprendido, al no existir mayores complicaciones notacionales en dicha definición.

Sin embargo, como señalan Farfán y García (2005), el estudio del concepto de función

100

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

resulta complejo, pues es un objeto muy elaborado que es producto de numerosas

generalizaciones.

Las funciones constituyen uno de los principales elementos sobre los que se fundamenta el

desarrollo actual del cálculo, lo cual puede ser observado durante el estudio de las

diferentes nociones y conceptos propios de esta disciplina. La comprensión y dominio de

este concepto propicia la adquisición de habilidades potenciales para comprender temas

posteriores tales como derivadas, límites, integrales, etc. Por ejemplo, la derivada de una

función en un punto determinado nos permite establecer una relación entre dicho punto y la

derivada, relación que da origen a una nueva función, a partir de la cual puede obtenerse el

valor de la derivada en cualquier punto de la función original, es decir, el estudio de las

variaciones de un fenómeno puede ser reportado por medio de una función que nos permita

predecir y analizar esas variaciones.

El aprendizaje de las funciones se ve favorecido por un tránsito entre las múltiples

representaciones de éste concepto, al permitir una comprensión más rica e integral del

mismo (Gatica, Tauber, 2002). Por lo general, en la escuela, durante las primeras

aproximaciones al concepto de función, este tránsito entre representaciones parece

restringirse a un sólo sentido: del analítico (expresión algebraica) al gráfico, auxiliándose

para lograr dicho traslado en el registro tabular. Esta característica pudiera ser el resultado

de considerar a la representación gráfica como el hecho principal del estudio de una función

(Bagni, 2004). En general, en la práctica didáctica, la representación gráfica de las

funciones tiene un papel destacado, no obstante, esto no excluye la posibilidad y la

101

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

oportunidad de un amplio uso de otros registros (por ejemplo, el uso del registro simbólico,

verbal, gestual).

Las gráficas de las funciones y otras ecuaciones son utilizadas como auxiliares en la

explicación de los conceptos de cálculo; son un medio de significación de objetos

matemáticos como definiciones, teoremas, etc. (Cantoral, Montiel, 2001). Por ejemplo, en

las clases y en los mismos libros, es posible notar gráficas como la de la figura 5 para

ejemplificar a la derivada como la pendiente de la recta tangente que pasa por un punto.

Figura 5

( ))(, hafha ++

))(,( afa

B’ B

y

A

xa

)(af

)( haf +

ha +

4.3.1 Problemas en el aprendizaje de las funciones

El rol central de la representación gráfica de las funciones, ha generado algunos obstáculos

para que los alumnos logren comprender la noción de función (Bagni, 2004). Este papel

protagónico de la representación gráfica fija en la mente de algunos estudiantes la idea de

que una expresión para ser función debe poder ser graficada, pero además, debido al uso de

gráficas continuas como herramientas para la explicación de otros conceptos, se favorece la

102

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

aprehensión de la idea de que las funciones poseen la característica de tener gráficas

“continuas” (Bagni, 2004; Ochoviet, et al, 2006; Aparicio, Cantoral, 2006).

Por otra parte, otra fuente de errores lo constituye la expresión analítica que casi siempre se

asocia a la relación que da lugar a la función. Los alumnos no llegan a considerar como

verdaderas funciones a aquellas definidas a trozos, debido a que no están conformadas por

una única expresión analítica, muchos consideran que ellas representan a varias funciones.

Por otra parte, si ellos no vislumbran variables en la expresión analítica que define a la

función, no la aceptan como tal, por ejemplo, 2)( =xf no es considerada como una

función.

Otro problema derivado de la excesiva valoración que se le da a conexión entre las

funciones y su representación gráfica, es la subvaloración del dominio de la función. Bagni

(2004) menciona que “si el aspecto para definir una función, es la misma presencia de la

curva trazada en el plano cartesiano, la indicación explícita del dominio de tal función

puede parecer absolutamente superflua: la función f “existiría” si y sólo si el gráfico

cartesiano de y = f(x) “puede diseñarse” y eso podría erróneamente sustraer significado a

la indicación del dominio”.

La expresión del dominio de una función es una parte esencial de la definición de función.

Sin embargo, las funciones se indican sólo con una simple fórmula sin referencia a su

dominio. Por ejemplo:

1)(

+=

xxxf Encuentre y para )2( hf + )( hxf +

103

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

Por otra parte, Artigue (1995c) describe algunas otras dificultades relacionadas con el

estudio de las funciones: el propio concepto de función, su flexibilidad proceso-concepto,

el estatus de herramienta y las articulaciones de los registros simbólicos (este último

también observado por Bagni (2004)).

En lo que respecta al concepto de función, se menciona que se han detectado dificultades

para la identificación de lo que en verdad es una función. Dentro del marco de los enfoques

conjuntistas con los que se trata esta noción, se muestran las brechas entre las definiciones

dadas por los estudiantes y los criterios utilizados para reconocer una función (Vinner,

1983, citado en Artigue, 1995c). Por ejemplo: en algunos libros de texto, como el “Calculo

de una variable. Transcendentes tempranas” de Steward (2003), se da la siguiente

definición de función:

A“Una función es una regla que asigna a cada elemento f de un conjunto x

exactamente un elemento, llamando , de un conjunto )(xf B .”

Mientras que se describe una forma de determinar una función en el registro de

representación gráfico como sigue:

“Una curva en el plano xy es la gráfica de una función si y sólo si, ninguna

recta vertical se intersecta con la curva más de una vez”

Esto muestra que los criterios para determinar la existencia de una función giran en torno

no a la definición, sino alrededor de prototipos comunes, en este caso, a la asociación

104

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

función - curva regular. Ello puede ser la causa de que los alumnos no identifiquen como

función a relaciones como para Ν∈xxxg 2)( = .

Respecto a la flexibilidad proceso-objeto, se menciona que existe dificultad para lograr ver

a la función como un “proceso” y como una “entidad conceptual”, ambivalencia requerida

para trabajar en cálculo a partir de un cierto nivel.

También se han encontrado dificultades para considerar a las funciones verdaderas

herramientas, lo cual podemos notar con mayor énfasis al tratar de llevar las funciones a un

problema planteado en otros contextos matemáticos o no matemáticos, y que necesitan tal

traslado para ser resueltos.

Por último, se señalan diversos problemas en lo que respecta a la articulación entre los

diversos registros de representación de la noción de función. Una causa de tales dificultades

lo es la forma de desarrollar la enseñanza, otorgándole un gran predominio al registro

algebraico y darle un papel herramental al registro gráfico.

4.3.2 Desarrollo histórico del concepto

La definición formal del concepto de función ha sido el resultado de un sin número de

ajustes a través de la historia, la cual ha tenido que irse modificando desde sus primeras

definiciones y usos para adaptarse a los avances y estudios que se realizaban de éste y otros

temas. Esto vuelve al concepto mismo y a su definición, un complejo conjunto de

abstracciones, dentro de las cuales se han perdido las concepciones intuitivas y originales

105

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

que los vieron surgir, estructurándose una idea de gran generalidad que le da cabida en un

sin número de situaciones, complejidad que a simple vista no es perceptible.

En las culturas de la antigüedad, como la griega y la babilonia, podemos encontrar el uso de

las funciones de un modo intuitivo. Los babilónicos registraban por medio de tabulaciones

sus observaciones de los fenómenos naturales, dentro las cuales buscaban regularidades con

la intención de realizar predicciones de los mismos, llevándolos a intentos de aritmetizar

tales observaciones (Farfán, García, 2005). De este modo utilizaban a las funciones como

relaciones que permitían comprender y describir el mundo que los rodeaba. También los

mismos babilonios utilizaban tablas en las cuales relacionaban números con sus cuadrados,

números y sus raíces cuadradas, etc., surgiendo también las funciones como relaciones

entre números (Hitt, 1987).

En la antigüedad la idea abstracta de variable no existía, las cantidades se describían

verbalmente o por medio de gráficas (Sastre et al, 2005). Además, al considerar los griegos

al movimiento y el cambio como entidades fuera de las matemáticas, ellos se veían en la

necesidad de hablar en términos de incógnitas e indeterminadas. Lo cual según Ruiz

(1998), citado en Farfán y García (2005), conduce a las proporciones y a las ecuaciones

más que a las funciones. Esto constituye uno de los primeros obstáculos para el desarrollo

de la noción de función.

La Edad Media se caracterizó entre otras cosas, por el intento de dar una explicación a los

fenómenos naturales, desarrollándose las bases para la modelación matemática. Durante los

siglos XV y XVI se realiza la diferenciación entre variable de una función e incógnita de

una ecuación, Ruiz (1998) citado en Farfán y García (2005), lo cual repercutiría de manera

106

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

favorable en la estructuración de la noción de función. Por otra parte, Galileo, siguiendo

con los procesos de modelación matemática contribuye a la evolución de éste concepto. Al

parecer la intención de Galileo era relacionar las causas y efectos de los fenómenos, cuya

necesidad de establecer la concepción de variable independiente y de variable dependiente

parecía ser el paso siguiente. En este período la función se definía mediante una descripción

verbal de sus propiedades específicas o mediante un gráfico (Sastre et. al., 2005).

Es a finales del siglo XVI y durante el siglo XVII, cuando las funciones se comienzan a

representar mediante fórmulas algebraicas, esto favorecido por lo desarrollado por

Descartes y Fermat en la geometría analítica. Este hecho posibilitó que el desarrollo de la

aritmética y el álgebra no siguieran dependiendo enormemente de los resultados y

representaciones geométricas. Youschevitch (1976), citado en Farfán y García (2005),

señala que es aquí donde por primera vez se establece que una ecuación en e yx

representa una dependencia entre dos cantidades. Esto abre el camino para el desarrollo de

la teoría de las funciones.

La noción formal de función se va desarrollando aun más con los trabajos de Newton sobre

las primeras y últimas razones y el método de fluxiones, así como los de Leibnitz sobre el

cálculo de diferenciales. Aunque ellos no hacen uso explícito de las funciones, pues

desarrollaron su cálculo infinitesimal trabajando sobre curvas y variables, el concepto de

función va creciendo en importancia al relacionarlo con el análisis de las relaciones entre

las operaciones sobre la variable x y el comportamiento de una variable dependiente

(Bagni, 2004). La expresión función aparece en una obra de matemática de Leibnitz en

1673, en “métodos tangentium inversa seu de functionibus”. Él utilizaba este término para

y

107

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

referirse a cualquier cantidad que varía de un punto a otro de una curva, como por ejemplo

la longitud de la tangente, la normal y la ordenada, estableciendo por ejemplo que “una

tangente es una función de la curva” (Sastre et. al., 2005).

Por su parte, Leonard Euler rechazó los argumentos geométricos como medio para

fundamentar los resultados de los infinitésimos que establecieron Newton y Leibnitz,

fundando el tema sobre una teoría formal de funciones. En su “Introducition a L’analyse

infinitésimale” él define a una función como:

“Una función de una cantidad variable es una expresión analítica formada

arbitrariamente con esta variable y con números o cantidades constantes”

Donde por “expresión analítica formada arbitrariamente” está aceptando el uso de

operaciones algebraicas y operaciones trascendentes como exponenciales, logarítmicas,

trigonométricas e incluso derivadas e integrales, admite la extensión de éstas al infinito, así

como la posibilidad de que las constantes sean incluso números complejos.

Es Bernoulli el que introduce el símbolo “ ” para representar a las funciones, el cual

evolucionó con Euler a “ ”.

fx

)(xf

Posteriormente este concepto siguió evolucionando, el problema de la cuerda vibrante

representa un parteaguas sobre el de las funciones que se manejan hasta esa época.

Precisamente aquí, Euler se vio en la necesidad de generalizar la definición de función,

tomando en cuenta funciones arbitrarias, especiales, no derivables actualmente (con picos),

a las que él llamó discontinuas o mixtas (Farfán, García, 2005), donde el término

108

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

discontinua lo utilizaba para referirse a funciones que no tienen una ecuación conocida,

incluso aun siendo continuas en el sentido moderno. El mayor efecto que produjo este

problema fue extender el concepto de función, de modo que se aceptará como tal, a

aquellas funciones definidas por expresiones analíticas a trozos, así como a funciones con

gráfico y sin expresión analítica (Sastre et. al., 2005).

Otro problema que contribuyó al desarrollo del concepto de función, lo constituye aquella

afirmación del siglo XVIII que se aceptaba sin demostración: “Si dos expresiones

analíticas coinciden en un intervalo, ellas coinciden en todas partes”. En esta época,

Fourier estableció, sin demostrar, que dada una función, él podía desarrollarla en un

intervalo apropiado mediante una serie trigonométrica. Esto rompió con la idea anterior,

pero permitió ver a la función como correspondencia entre dos conjuntos de números

independientes, pero limitando esto a funciones con gráfica continua.

Dirichlet, en 1829, estableció las condiciones suficientes para que el resultado de Fourier

fuera posible y definió a la función como:

y es una función de la variable x“… , definida en el intervalo , si

para todo valor de la variable

bxa <<

x en ese intervalo, le corresponde un valor

determinado de la variable . Además, es irrelevante como se establece esa

correspondencia” (Sastre et. al., 2005).

y

Y es a partir de sus trabajos que la noción de función se libera del concepto, expresión

analítica. Posteriormente, la Teoría de Conjuntos iniciada por Cantor, provoca una nueva

evolución del concepto función:

109

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

“toda correspondencia arbitraria que satisfaga la condición de unicidad entre

conjuntos numéricos o no numéricos” (Sastre et. al., 2005).

Con los desarrollos en algebra y topología, el grupo Bourbaki (1939), definió al concepto

función, en forma semejante a la dada por Dirichlet (Yousvhkevitch (1976), citado en

Sastre et. al., 2005):

“Sean E y dos conjuntos, que pueden o no ser distintos. Una relación entre

un elemento variable

F

Ex de y un elemento variable de , se llama

relación funcional en y, si para todo x en

y F

E , existe un único en el cual

está en la relación dada con

y F

x . Damos el nombre de función a la operación

que de esta forma asocia cada elemento en E con el elemento yx en que

está en relación con

F

; se dice que y es el valor de la función en el elemento x

x , y se dice que la función está definida por la relación dada. Dos relaciones

funcionales equivalentes determinan la misma función “.

Dado el recorrido histórico anterior, podemos notar que las funciones tienen su origen sobre

fenómenos ligados a la naturaleza, en donde las funciones les servían para estudiar y

realizar predicciones de tales fenómenos, para lo cual debían establecer las dependencias de

los sucesos y los elementos que forman parte de ellos. Idea que con el transcurso y

evolución de las matemáticas tuvo que ir transformándose para adaptarse las funciones a

situaciones más complejas dentro de la propia matemática, hasta llegar a su definición

formal conjuntista.

110

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

El cálculo se ocupa del estudio y tratamiento de fenómenos asociados a la naturaleza, en

este contexto, la nociones de límite y función son pieza importante, sin embargo, al llegar a

la definición actual de función (conjuntista) se pierde la parte vivencial, sensorial-

experimental del cálculo y se busca en su lugar, evitar estos enfoques y amarres en su

enseñanza.

4.3.3 Tratamiento en los libros de texto

En los libros de texto, las funciones por lo general son estudiadas como relaciones entre

conjuntos o pares ordenados. En lo siguiente se analizarán la forma que algunos libros, que

se utilizan en la Facultad de Matemáticas para la enseñanza del cálculo, presentan el tema

de funciones. Se revisarán tres libros: el “Apostol”, el “Spivak” y el “Stewart”.

♦ Apostol, T. Calculus. Cálculo con funciones de una variable, con una

introducción al álgebra lineal. Vol 1. (1982)

En la introducción al tema se habla de la función como una relación entre conjuntos de

objetos. Se mencionan algunas relaciones de forma cuantitativa que pueden observarse en

nuestro entorno; “en los periódicos es posible observar gráficos, tablas, fórmulas, encuestas

de opinión, etc.”. Aquí también se dan algunos ejemplos de relaciones que describen

funciones, entre ellos el siguiente:

Se dice que el volumen de un cubo es función de la longitud de sus aristas. Si las

aristas tienen longitud , el volumen está dado por la fórmula 3xV =x

111

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

De esta forma, se busca que los alumnos visualicen el uso de las funciones en su entorno,

para posteriormente proporcionar una definición de función, que se aclara no es formal y

constituye una primera aproximación al concepto.

Dados dos conjuntos de objetos, el conjunto X y el conjunto Y, una

función es una ley que asocia a cada objeto de X uno y sólo un objeto de

Y. El dominio X se denomina el dominio de la función. Los objetos de

Y, asociados con el objeto en X forman otro conjunto denominado el

recorrido de la función (pp. 62)

Esta definición conjuntista posee un gran nivel de abstracción para ser comprendida. Los

alumnos por lo general no comprenden a que se refieren esos conjuntos X y Y y no logran

asociar una función entre conjuntos de objetos que no sean números, además, la palabra

“ley” está asociada en la mente del alumno a una relación que debe ser aplicada y cumplida

por todos, así como a una regularidad que es conocida, provocando que algunas relaciones

no sean considerados como funciones.

Dentro de los ejemplos, que se proporcionan de funciones, se presenta uno que no posee

gráfica continua y que tampoco cuenta con una expresión algebraica que lo represente. Lo

cual puede contribuir a incidir en cierta medida en algunos de los problemas mencionados

antes (ver el apartado correspondiente).

( )xπLa función número primo. Para cualquier , sea 0>x el número de

números primos menores o iguales a x . El dominio de π es el conjunto de los

números reales positivos. Su recorrido es el conjunto de los enteros no negativos

{0, 1, 2,…}

112

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

Se proporcionan dos representaciones esquemáticas del concepto de función. En la primera

(figura 6) los conjuntos X Y y están formados por puntos, y una flecha indica cómo se

aparea un punto arbitrario Xx de con su imagen de )(xf Y . Otra forma de ilustrar el

concepto función, es como una máquina en la cual los objetos del conjunto X se

transforman para producir objetos del conjunto Y (figura 7). Interpretaciones que no

permiten ver las relaciones que existen entre los elementos de los conjuntos.

f(x)

Y

x

X

f

f(x)

x

f

Figura 6 Figura 7

Posteriormente existe un apartado donde se establece la definición formal del concepto de

función.

Una función f es un conjunto de pares ordenados (x, y) ninguno de los

cuales tiene el mismo primer elemento. (pp. 65)

Se establece que el conjunto de los elementos de x se llama dominio de f. El conjunto de

segundos elementos y se denomina recorrido de f, o conjunto de valores de f. Para esta

nueva definición se establecen ejemplos de funciones continuas y definidas por una sola

expresión algebraica.

113

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

Esta forma de definir a la función resulta difícil de comprender por parte del alumno, pues

carece en su totalidad de indicios que le permitan percatarse de relación alguna entre los

elementos que forman los pares ordenados. Noción que es de vital importancia que el

alumno atienda, pues constituye la idea central sobre la que descansa el concepto de

función.

xComo resultado de esta definición se establece que a cada valor de le corresponde un

único valor de y , constituyendo esto una forma para discriminar entre una función y algo

que no lo es, pues resulta que no puede existir un valor de x con dos valores distintos de

, sin embargo, no se aclara el porque de esto y tampoco la definición del concepto lo

permite. Esto es aceptado por “imposición” o convicción y no por una verdadera

comprensión.

y

♦ Stewart, J. Calculo de una variable. Transcendentes tempranas (2003)

Al iniciar el tema se introduce la idea de relación: “las funciones surgen siempre que una

cantidad depende de otra”. Inmediatamente se presentan una serie de ejemplos en donde es

posible analizar dichas dependencias.

rEl área de un círculo depende del radio del mismo. La regla que relaciona r

con A se expresa con la ecuación . Con cada número positivo 2rA π= r existe

asociado un valor de y decimos que es función de r . A A

El costo para enviar por correo una carta de primera clase depende de su

peso . Aún cuando no existe una fórmula sencilla que relaciona con C , la

oficina de correos tiene una regla para determinar C cuando se conoce .

C

w w

w

114

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

Posteriormente se presenta la definición de función.

Una función es una regla que asigna a cada elemento f x de un

conjunto exactamente un elemento, llamado , de un conjunto A )(xf B .

(pp. 12)

Se establece que el conjunto se llama dominio. El rango de es el conjunto de todos

los valores posibles de , conforme

A f

)(xf x varia en todo el dominio. Los valores del

dominio representan las variables independientes y los valores del rango, las variables

dependientes.

Aún cuando en los ejemplos, el alumno sea capaz de identificar las relaciones y

dependencias que existe entre las variables, es difícil pensar que identifique la presencia de

conjuntos a los que pertenecen los valores que van variando. Lo cual puede en un momento

dado, provocar que no se tengan bases suficientes para significar la definición de la

función.

Al igual que en el libro de Apóstol, también se realizan la representaciones de la función

como una máquina y como un diagrama de flecha (sagital), agregándose aquí una tercera

representación, la gráfica dada por el conjunto de parejas ordenadas ( )( ){ }Axxfx ∈,

(figura 7).

115

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

Figura 7

)2(f)1(f

1 2 xx

)(xf

y

( ))(, xfx

Posteriormente se establece la prueba de la línea vertical como medio para determinar si

una expresión es una función o no.

Una curva en el plano xy es la gráfica de una función de x si y sólo si

ninguna recta vertical se intersecta con la curva más de una vez. (pp. 18)

xDe nuevo, en esta prueba de la línea vertical, las ideas de relación entre los elementos y

y no son expresadas de forma directa, es decir, en la forma de identificar si una función lo

es o no, no se vislumbra la necesidad de la idea central de esta noción “las relaciones”.

Lancemos la siguiente pregunta ¿qué sucede si la línea vertical trazada no corta a la

curva? Cuestionamiento que puede causar problemas en más de un alumno.

En temas posteriores, se estudia a las funciones seccionalmente definidas, considerándose

como funciones especiales, situación que puede alentar a que no sean aceptadas por todos

como verdaderas funciones. Creemos que éstas deben ser presentadas desde un principio

116

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

pues enriquecerán y serán de gran ayuda para lograr que los alumnos presten mayor

atención a las ideas de dependencia y correlación entre las variables.

♦ Spivak, M. Cálculo infinitesimal. (2001)

El concepto de función también es explicado como una relación y es definida

provisionalmente como:

Una función es una regla que asigna a cada uno de ciertos números reales

un número real. (pp.49)

Se proporcionan los siguientes ejemplos:

La regla que asigna a cada número su cuadrado.

La regla que asigna a todo número el número 0 si es irracional y el número

1 si es racional.

a a

17

2ππ36La regla que asigna a 2 el número 5, a 17 el número , a el número 28, a

17

2ππ36

π36 el número 28, y a todo ,2≠y 17, , ó , el número 16 si y es de la

forma con a y b en . Q2ba +

Sin embargo, se menciona que una cosa debe quedar clara con los ejemplos: una función es

una regla cualquiera que hace corresponder a ciertos números otros, no necesariamente

una regla que pueda ser expresada mediante una fórmula algebraica, ni siquiera una

condición uniforme aplicable a todo número; ni es tampoco necesariamente una regla a la

117

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

que sea posible encontrar una aplicación en la práctica. Más aún, la regla puede

prescindir de algunos números y puede incluso no estar del todo claro a qué números se

aplica la función. Esta aclaración nos parece importante dada la forma en que se definió

provisionalmente al concepto de función. Señalaremos dos aspectos que abstraemos de los

ejemplos y la observación que hace el autor sobre ellos. En primer lugar, para alguien (en

este caso un estudiante) que se está iniciando en el estudio del cálculo, ciertamente los

ejemplos muestran variedad, es decir, la posibilidad de tener un conjunto bastante grande y

diverso de funciones (tantas como reglas pueda definir), sin embargo, esta diversidad en sí

misma encierra un mensaje implícito, a saber, lo complejo del concepto y lo difícil que será

para quien lo estudie, lograr dominarlo. En efecto, pues el segundo aspecto que

señalaremos da muestra de ello. El autor se toma la molestia de indicarle al lector tal

complejidad, misma que hemos descrito en el recorrido histórico sobre la evolución del

concepto de función, por ejemplo, que una función no es una fórmula necesariamente, entre

otras. Así, se ha querido evitar que los alumnos o lector pase, sufra o cometa los errores sui

generis sobre tal concepto. Empero, ¿es esto suficiente?

Se muestra la necesidad de contar con una notación para las funciones, estableciendo que si

es la función, entonces, el número que asocia con f f x se designará por , que se lee

valor de en

)(xf

f x .

En el libro se hace una aclaración con respecto a la notación utilizada para representar a la

funciones: si el dominio no se restringe más, se sobreentiende formado por todos aquellos

número para los cuales la definición tiene sentido. Por ejemplo: Una definición tal como

118

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

111)(−

+=xx

xk1,0,1

11)( ≠−

+= xxx

xk ; puede abreviarse poniendo . Pero una

definición como , 3

17 π≤≤− x2)( xxr = , no puede abreviarse. Esto es señalado como

una fuente de falta de significación del dominio de una función, por lo cual debe tomarse en

cuenta.

Conforme se avanza en el estudio de la funciones, se hace ver la necesidad de cambiar la

definición dada en un principio, estableciéndose como adecuado definirla en término de

pares ordenados.

( )1333)( 3 +−++= xxxxfLas expresiones y 3)( xxf = ciertamente son reglas

distintas, si por regla entendemos las instrucciones que se dan para determinar

y que sin embargo queremos que definan la misma función. )(xf

Se menciona que no cualquier colección de pares ordenados puede ser función.

Llegando a la siguiente definición:

Una función es una colección de pares ordenados de números con la

siguiente propiedad: si ( )ba, y ( )ca, pertenecen ambos a la colección,

entonces ; en otras palabras, la colección no debe contener dos

pares distintos con el mismo primer elemento. (pp. 60)

ba =

Para posteriormente establecer la definición formal.

119

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

Si f es una función, el dominio de f es el conjunto de todos los a para los

cuales existe algún b tal que ( )ba, esta en f. Si a ésta en el dominio de f,

se sigue de la definición de función que existe, en efecto, un número b

único tal que esta en f. Éste b único se designa por ( ba,

) ( )af . (pp.60)

Se menciona que ésta definición resulta una abstracción muy difícil de captar, por lo que el

lector puede seguir imaginado una regla. Pero que indistintamente de ver a la función con

su definición intuitiva o con la formal, la mejor manera de representar una función es

haciendo dibujitos. Como resultado se destina un capítulo a la graficación.

Se menciona también la prueba de la recta vertical, la cual se explica de la definición de

función como par ordenado; dos puntos sobre la misma vertical corresponden a pares de la

forma y y, por definición, una función no puede contener ( y si

. Viceversa, si un conjunto de puntos del plano tienen la propiedad de que no hay dos

puntos situados sobre la misma vertical, entonces dicho conjunto es la gráfica de una

función. Se considera que las líneas verticales no necesariamente cortan a la gráfica, pues

su dominio puede no ser todo ℜ . Aunque aquí existe la aclaración de que la línea vertical

no necesariamente debe cortar a la gráfica, aún no se contemplan las ideas de relación y

variabilidad para determinar cuándo algo es función o no.

( ba, ) )),( ca ),( caba,

cb ≠

Este libro si bien parece cubrir algunos aspectos que los otros no y discutir dificultades que

se habían señalado en el apartado anterior. El elevado nivel de abstracción que maneja

resulta, una problemática, que puede causar un mayor número de perjuicios que de

beneficios.

120

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

Aún cuando en un principio los tres libros tratan de abordar a las funciones como

relaciones, dando algunos fenómenos para ejemplificar esto, podemos observar que estas

ideas son prontamente abandonadas para dar paso a la definición formal del concepto de

función y abordar su estudio posterior por medio de ella. Otro aspecto en común que

pudimos observar, es la ejemplificación de relaciones a través de la búsqueda de áreas o

volúmenes, siendo éstos temas que los alumnos ya dominan y por tanto son fácilmente

comprendidos, sin embargo resultan insuficientes para lograr una adecuada significación de

las relaciones que se establecen en las funciones, debido a las grandes diferencias con que

los alumnos han utilizado esos temas anteriormente. Por ejemplo, los alumnos han siempre

realizado el cálculo de área y volúmenes de figura que poseen medidas fijas, estáticas. Por

lo cual, ellos pueden no vislumbrar la variación y dependencia que se establecen

intrínsecamente en los ejemplos que los libros proporcionan.

4.3.4 Diseño de la secuencia didáctica

Para el diseño de la secuencia didáctica pensamos en desarrollar la noción de función

considerando su origen como un medio para plantear, pedir, producir, reproducir

dependencias o conexiones entre variables acontecidas en el mundo físico, mental o social,

y entre ellos (Freudhental, 1983; citado en Bonacina, et al, 2004). Se optó por presentar un

problema dentro del cual se tuviera que establecer relaciones entre cantidades que varían,

esto como medio para solucionar una cuestión específica. Se pensó en un problema

relacionado con planes tarifaros de energía eléctrica, más específicamente, la valoración de

la conveniencia de las tarifas para las personas.

121

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

El diseño didáctico constó de dos actividades. La primera pensada para lograr que el sujeto

desarrollara la idea de relación entre variables. La segunda, que era en cierto sentido una

generalización de la primera, buscaba el desarrollo de las ideas de dominio y rango. En

ambas, se fomentaba un tránsito entre diversas representaciones del concepto: verbal,

tabular, analítica y gráfica.

En la primera actividad se atiende el análisis de la conveniencia del cambio de tarifas para

una persona en particular, se ofrece como información una descripción general de las

características de la nueva tarifa y ejemplos sobre el importe a pagar según determinados

consumos realizados. De ésta manera se buscaba que el o los sujetos identificarán las

variables involucradas dentro el problema y las relaciones que se establecen entre ellas, así

como el reconocimiento del tipo de función a la cual da lugar la representación tabular

proporcionada. En el mejor de los casos se conseguiría una representación simbólica de ella

y se utilizaría para contestar la pregunta plateada.

En la segunda actividad, el cuestionamiento principal era determinar al grupo de personas a

quienes les conviene el cambio en las tarifas. Para ello, se les presentó una gráfica que

relacionaba el consumo realizado y el monto a pagar, para ese cálculo se usó la tarifa

antigua. Es de señalar que la gráfica presentada no era contigua y no se establecía expresión

algebraica alguna que la representara, o algún otro elemento que diera pie a la construcción

de esta expresión. Así, se cuestionaba sobre la interpretación que se le podría dar a dicha

gráfica en términos de una descripción sobre la forma de calcular los costos a pagar por el

consumo de energía. La idea era que se realizara un estudio de la función en el contexto

gráfico, así como observar cierta problemática que ésta presentaba; Por ejemplo, para un

122

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

consumo de 50 Kw. el monto a pagar podía calcularse de dos formas distintas obteniéndose

resultados distintos. Estas acciones deberían favorecer el surgimiento de nociones

relacionadas con el dominio de la función y su importancia, así como la posibilidad de

función. Por su parte, el segundo inciso de esta actividad buscaba que el alumno transitara

entre un registro simbólico y uno gráfico, así como realizar conversiones y

transformaciones en dichos registros, de forma que con ayuda de lo realizado en la primera

actividad se diera solución a este segundo inciso.

El tránsito entre diversos registros de representación del conceptos función, así como la

búsqueda constante de relaciones y la atención centrada sobre la variabilidad de los costos,

consideramos favorecería ideas y concepciones que impactaría fuertemente sobre la

comprensión del objeto matemático función.

4.3.5 Análisis a priori

Dados los problemas que se menciona se presentan en el estudio de las funciones, se espera

que nuestro diseño didáctico movilizará al o los sujetos en:

1. Hacer uso de las funciones como una herramienta que permite dar solución a

problemas; modelando las relaciones entre consumo-costo (variables).

2. El tránsito entre diversas representaciones del concepto de función. En la actividad

1, el sujeto debería poder inferir la idea de relación de un registro tabular y verbal, y

representarlo en uno simbólico. En la actividad 2 se buscaba transitar entre una

representación gráfica a una verbal, pero también en sentido contrario, de un

registro verbal a uno gráfico.

123

Capítulo 4: Aspectos metodológicos y diseño del curso-taller

3. Promover la discusión en equipos de trabajo para generar argumentos relacionados

con las características de las funciones: tales como correspondencia, dominio y

codominio.

4. Vislumbrar la importancia del dominio de las funciones.

5. Dar significado a las funciones dadas en partes, así como la argumentación sobre

por qué dichas funciones son consideradas como tales. Así, se buscaba que el sujeto

rompiera con la posible idea previa de que las gráficas de las funciones son

contiguas que obedecen a funciones continuas en un cierto intervalo o global.

6. Conferir mayor significado a la noción de función. De tal forma que a través de una

experiencia cotidiana, se dé una interpretación a los elementos que conforman a

dicha noción.

124

Capítulo 5: Resultados y discusión

Capítulo 5

Resultados y discusión

En este capítulo presentamos un análisis de las posturas de los profesores frente a los temas

abordados y ante el curso-taller en general. Buscamos determinar el impacto que se tuvo

sobre las creencias y concepciones de los profesores, así como determinar el grado de

aceptación y el tipo de actitud que presentan los profesores hacia cursos-talleres de este

tipo.

5.1 Registro de la información

Debido a que las posturas que externa una persona depende mucho de la situación en la que

se encuentra, consideramos que los comentarios y opiniones de los profesores en lo que

respecta a los cursos de capacitación en didáctica de las matemáticas y que provengan de

encuestas, serían en gran medida de naturaleza distinta de aquellas provenientes de la

experiencia de vivir un curso-taller de este tipo. Siendo más enriquecedoras para nuestros

propósitos, las opiniones provenientes de esta última fuente.

El registro de la información se llevó a cabo mediante la grabación en audio de los diálogos

y discusiones generadas por los profesores participantes durante las cuatro sesiones de que

constó el curso-taller. Éstas nos permitieron analizar el impacto que la propuesta estaba

125

Capítulo 5: Resultados y discusión

teniendo sobre las posturas didácticas y metodológicas de los profesores, así como observar

las posturas y actitudes de los profesores ante la formación didáctica.

En lo siguiente haremos un análisis de la información recabada, análisis que

complementaremos con algunos breves extractos de las grabaciones realizadas a fin de dar

una idea sobre las posturas de los profesores en el curso-taller. Para identificar los extractos

que se presentan emplearemos la siguiente notación: Ek, Sn, Pm. En donde:

E: extracto

k: número del extracto

S: sesión

n: número de la sesión

P: profesor

m: número que le corresponde al profesor dentro del diálogo

En los diálogos presentados se emplearán las siguientes abreviaturas para señalar cortes de

secuencia de los mismos:

{…} Ruido y no distinguible

[…] cortes en el extracto

( ) Pausa de los profesores por mas de 5 segundos

5. 2 Las creencias de los profesores

Como anteriormente habíamos señalado, para hacer realidad el deseo de trasformar y

adaptar la educación matemática a las nuevas necesidades, es preciso que el docente

126

Capítulo 5: Resultados y discusión

modifique la manera de ejercer su profesión; de un método centrado en él, a otro centrado

en el alumno. El logro de ello se encuentra estrechamente relacionado con un cambio en las

creencias de los profesores en torno a la matemática, su enseñanza y el aprendizaje (Blanco,

Barrentes, 2003; Azcárate, 1998, citados en Parra, 2005). Dichas creencias se han forjado a

través de su experiencia profesional y la experiencia de su paso por la escuela, y

constituyen uno de los grandes retos a vencer dentro de los cursos de capacitación y

formación de los profesores, pues muchas de ellas se vuelven verdaderos obstáculos para

lograr un cambio en su método de enseñanza (Campanario, 2003). De esta forma,

consideramos necesario para el éxito de cualquier propuesta de formación, ya sea que tenga

su origen en la investigación o no, el lograr un cambio en las concepciones del profesor.

Creer que ellos al asistir a un curso de actualización dejan todas sus creencias y aceptan

como cierto todo aquello que se les presenta, es tanto como suponer que los alumnos son

mentes en blanco que reciben gustosos y sin queja lo que el profesor les comunica. A

propósito de lo referido, véase los siguientes extractos:

Extracto 1, sesión 1.

P1 …díganme si no es verdad {…}, aprender es un problema doloroso ( ) y eso nadie lo puede evitar, eso creo que debemos quitárnoslo de la mente los que en algún momento vamos a estudiar cálculo, ( ) eso hay que decírselo al estudiante, tienen que entenderlo.

Extracto 2, sesión 1.

P1 (es necesario) que ellos hablen de algo, ponerlos a ellos a explicar algo, no algo súper complicado, sino que él lea, que él tenga dudas, lo importante no es que entienda a la primera, lo importante es que tenga dudas.

Estas creencias sobre los procesos de aprendizaje, o mejor dicho, los mecanismos por

medio de los cuales los profesores conciben el aprendizaje de sus alumnos, dan pauta para

127

Capítulo 5: Resultados y discusión

el desarrollo de actividades dentro del salón de clases. Por ejemplo, el profesor cuyo

comentario es expresado en el extracto 2, comenta que realizó la siguiente actividad.

Extracto 3, sesión 1.

P1 Cuando vimos la derivada por ejemplo de un campo escalar, les dije (a los alumnos), vamos a construir, vamos a inventarnos la definición, y me empezaron a dar unas y pues no puse nada (en la pizarra) pues por que no funciona, y ellos mismos me iban diciendo no funciona por tal cosa…

No obstante, estas creencias en muchos de los casos resultan diferentes de la forma como se

desarrolla el aprendizaje en los alumnos, resultando esto contraproducente para los fines

deseados y para el adecuado logro de los objetivos de las actividades que se desarrollan en

la clase. Continuando con el desarrollo del extracto anterior podemos analizar lo siguiente.

Extracto 4, sesión 1.

P1 …Los nerviosos (alumnos que se ponen nerviosos ante un cambio en la forma de desarrollo de la clase), que pasa con los nerviosos, ya estaban artos, decían -- “ya danos la definición” – “ya nos cansamos de buscarla, ya dánosla”…

De este modo, los alumnos van perdiendo interés en las actividades que se plantean dentro

de las clases y ante esta situación, el profesor se encierra aún más en el método expositivo

como medio para desarrollar las clases.

A lo anterior, debemos agregar ciertas creencias referentes a lo que es posible desarrollar

dentro del aula, es decir, las actitudes y habilidades que son factibles desarrollar en el

estudiante y aquellas que éste debe adquirir por cuenta propia como parte de su aprendizaje

y a través de procesos prolongados de estudio. De modo que ante aquellos resultados que

tratan de incidir sobre esas últimas actitudes y habilidades, el profesor presenta un mayor

grado de incredulidad respecto a su validez y eficacia.

128

Capítulo 5: Resultados y discusión

Extracto 5, sesión 2.

P1 Aquí hay una cosa, en cuánto tiempo lo vamos ha hacer, yo no se ustedes, pero en un momento dado puedo haberme pasado 20 años en tratar de hacer esas cosas {…} yo soy profe de la facultad de matemáticas desde 1985 y eso que me están planteando me ha costado toda mi vida, haber de que estamos hablando, que tengo que decirle a mi estudiante. Sí, yo creo que esto es bien importante aquí sobre todo en términos de la evaluación ¿no?, cómo vamos a evaluar eso que a mí me tomó 20 años de mi vida y todavía hoy tengo que sentarme a hacer las cosas.

Los profesores están acostumbrados a tratar con conocimientos que poseen una validez

universal, dada la naturaleza de la disciplina que abordan; la matemática. En este sentido,

los conocimientos provenientes de la didáctica de las matemáticas aparecen ante sus ojos

como resultados que no poseen la generalidad a la que están acostumbrados, constituyendo

esto un obstáculo para aceptar los conocimientos que se les presentan. Prestemos atención

al siguiente extracto:

Extracto 6, sesión 3.

P1 Solo estoy diciendo, en cuanto a lo que he visto y oído, y situándonos en el ambiente de las ciencias sociales, que es distinto a lo que estamos acostumbrados… de que los resultados son válidos en todos lados, son matemáticas, pero aquí no estamos hablando de matemáticas, sino didáctica de las matemáticas y ese término socioepistemología sí ha traspasado las fronteras es sólo es hacia Latinoamérica donde México tiene gran influencia y no más.

Con relación a lo anterior, Campanario (2003) menciona que los profesores consideran que

los resultados que provienen de la didáctica son opinables. Ello se debe a la diversidad de

resultados que pueden obtenerse en el contexto de la clase cuando se ponen en acción. Por

lo cual el profesor debe modificar dichos resultados para alcanzar en cada caso los

objetivos deseados.

5. 3 El profesor ante un cambio en su práctica

Todo cambio en las actuales prácticas docentes de los profesores resulta muy complejo y,

en general, no suele producirse a menos que el profesor sienta duda y vea la evidencia de

129

Capítulo 5: Resultados y discusión

que el cambio es necesario y el aporte de beneficios. Si no hay motivo para dudar de las

creencias propias, tampoco hay razón para cambiarlas. En este sentido, nos parecen muy

interesantes las reflexiones de Cooney (2001), citado en Moreno (2005), sobre el papel que

juega el elemento de “la duda”, el cual puede sembrarse en el propio profesor o

simplemente surgir espontáneamente, y es el punto central para promover el cambio.

Algunos profesores han tomado conciencia de la necesidad de cambiar sus actuales formas

de acción docente, esto debido a las múltiples problemáticas que se presentan en el

aprendizaje, mismas que han sido vislumbradas dentro las clases. Otros profesores, han

tomado conciencia de esto, en gran parte, por los altos índices de reprobación, rezago y

eficiencia termina que se presentan en la Facultad de Matemáticas de la UADY.

Extracto 7, sesión 3.

P1 …muchas veces nosotros en las clases de matemáticas de la Facultad de Matemáticas desde el primer curso de cálculo queremos ver de forma axiomática los números reales. Terminas el primer curso y ya les pusimos examen, ya reprobaron, muchas cosas ya pasaron y según nosotros ya les enseñamos axiomáticamente los números reales, pero ¿en realidad saben los alumnos lo que nosotros pensamos que les enseñamos? yo creo que esa es la pregunta y a veces es respondida por los mismos alumnos. Nosotros que hemos sido egresados de aquí lo hemos visto claramente, muchos de nosotros decimos lo entendí hasta que llegue a análisis.

Sin embargo, los profesores carecen de elementos que les ayuden a realizar dicho cambio,

así como también carecen de conocimientos adecuados sobre los cuales fundamentar sus

acciones, a la vez que le permitan guiar y dar sentido a tales modificaciones.

Extracto 8, sesión 1.

P1 …una de las cosas que empezamos a hacer hace algún tiempo {…} era que discutíamos, […] el profe venía y decía […] – “tengo un problema” – o – “estoy haciendo esto”-- no llegábamos a cosa muy finas, puntuales muchas veces ¿no?, pero si era importante que en un momento dado entre todos platicarlo […], entonces tu ibas, y ya tu te ibas de aquí con otras herramientas {…}. Sin embargo todavía no hemos llegado a cosas puntuales. Una de las tareas (que se planearon) era que mandemos actividades en el salón de clases, y yo no sé que paso pero nadie mandó actividades durante un mes […] no entendíamos lo que eran las actividades, no entendíamos que era dar las condiciones, no entendíamos eso.

130

Capítulo 5: Resultados y discusión

Esto ha comenzado a despejar el camino para poder incidir en las acciones que los

profesores llevan a cabo al interior del aula, y ha logrado hacer que algunos de ellos estén

dispuestos a escuchar propuestas didácticas bajo las cuales conducirse. Esto provocó que

ante este curso-taller, esos profesores presentaran una actitud “positiva”, lo que se tradujo

en una adecuada participación en las actividades propuestas.

Extracto 9, sesión 3.

P1 En la facultad de matemáticas se ha desarrollado durante muchos años el método tradicional y los resultados no han sido buenos, como para decir que estamos bien {…}, cómo que habría que darle cierta duda que beneficie al método.

P2 Yo diría que mucho más de cierta duda. Aquí en la Facultad de Matemáticas ¿cuántos tronados hay?, ¿cuántos matemáticos ya salieron desde 1975?

P3 Doscientos.

P2 Doscientos, o sea es ridículo. Simplemente yo no me atrevería a decir nada acerca del método tradicional. Vamos a ponernos a pensar, eso es algo de lo que estamos hablando acá. Simplemente que yo diga que algo tiene de bueno lo que hemos hecho se demuestra cuando yo te digo doscientos… no tiene nada de bueno. ( ) Es que los doscientos hubieran salido de todos modos!

Por otro lado, una característica que pudimos detectar en los profesores, es que no todos

poseen un carácter reflexivo sobre su práctica docente. Ellos no poseen elementos y bases

suficientes o adecuadas para evaluar su propio desempeño y el impacto real que las

actividades que desarrollan dentro del salón de clases tienen en los alumnos, ya sea para

traducirse en aprendizajes o para traducirse en motivación para involucrarse en ellas. El

hecho de encontrarse en el nivel universitario no garantiza que los alumnos posean interés

por los temas que se traten dentro de la clase, ni que posean la motivación suficiente para

buscar un desempeño aceptable ante cualquier actividad, y más aún, que dicha motivación

provenga del deseo de aprender.

Extracto 10, sesión 1.

P1 ¿Quién va ha determinar si estoy enseñando bien o no? Ósea, es una pregunta fundamental, ¿Quién lo va a determinar?

131

Capítulo 5: Resultados y discusión

Extracto 11, sesión 1.

P1 …cuánto aprendieron, si aprendieron mis alumnos es que soy buen maestro, sino aprendieron no lo soy!

Esta falta de reflexión puede ser la causa de que el profesor cuestione de forma superficial

la forma expositiva bajo la cual desarrolla sus clases y se conforme con mínimos

“indicadores de efectividad” de la misma; la aprobación de los alumnos de un examen

determinado. Aún cuando esto último no refleja un verdadero aprendizaje de los alumnos,

ni mucho menos es un indicador confiable o adecuado para establecer que un profesor ha

tenido un “buen” o “mal” desempeño. Se requiere hacer que éste vea la reflexión sobre sus

clases como una práctica propia de su quehacer didáctico. Sin embargo, esto sólo puede

lograrse por medio de la práctica constante. De modo que se vuelve oportuno proporcionar,

en cursos como éste, elementos que permitan al profesor desempeñarse como un

investigador dentro de sus clases; la Ingeniería Didáctica, que fue utilizada en el curso-

taller, constituye un adecuado modelo de formación para lograr tal fin. Los profesores

deben realizar un análisis de las condiciones en la que se desarrollará la situación de

aprendizaje, un análisis del saber que se pondrán en juego, así como de los objetivos que

desean alcanzar. Para, con la información anterior, elaborar dicha situación de aprendizaje

y ser llevada a la práctica. Posteriormente el profesor debe hacer un análisis de los

resultados que obtuvo y confrontarlo con los análisis previos, para con ello realizar las

modificaciones pertinentes a tal situación.

Atendiendo al punto anterior, otra forma de favorecer la reflexión sería mediante la

inclusión en el curso-taller de actividades tendientes a buscar que el profesor articule

elementos de su práctica docente actual a las discusiones que se generan dentro de él. Esto

132

Capítulo 5: Resultados y discusión

le permitirá la confrontación personal entre sus acciones y los puntos que se discuten,

logrando ver las diferencias existentes y la viabilidad que pueden tener los puntos

abordados.

Por otra parte, la reflexión puede contribuir a estabilizar las expectativas que se generan en

el profesor en cuanto a la actitud del alumno frente a las propuestas de cambio en su forma

de desarrollar las clases. Pues, aún cuando los profesores consideran necesaria, o al menos

adecuada, cierta capacitación que les ayude a hacer frente a las problemáticas que ellos han

detectado, sus acciones se ven limitadas ante el impacto negativo que se cree pueden tener

en la actitud de los alumnos. Otra limitante lo constituye la experiencia de los profesores

respecto al desempeño del alumno dentro del aula, la cual les permite “asegurar” que éstos

tienden a dar un mínimo esfuerzo dentro de las clases. Esto se convierte en un motivo de

preocupación y de objeción por parte del profesor hacia cambios en la forma de desarrollar

sus clases en donde se confiere a los alumnos una mayor participación autónoma.

Extracto 12, sesión 1.

P1 Sin embargo, el alumno, en un momento dado, ante prácticas diferentes, por que como quiera ya tiene una cierta práctica ¿no?, […] que de repente hay tres o cuatro estudiantes que cuando se quieren hacer las cosas diferentes como que se ponen nerviosos ¿no?, empiezan ha decir “haber, haber”. Por ejemplo la discusión en matemáticas a tres o a cuatro estudiantes no les gusta, yo por ejemplo soy uno de ellos, bueno quizás una de las razones por las que estudie matemáticas es por que ahí no había discusiones […] ahí era lo que tu pudieras demostrar eso es lo que es, entonces era la única carga eso.

Extracto 13, sesión 1.

P1 …mucho depende (de cómo) tú entiendes las cosas, aunque yo me pare de cabeza si mi alumno no hace de su parte, no porque sea “burro”, porque no se le pega la gana, ósea de mi parte no hay mucho que yo pueda hacer y me he parado de cabeza casi, casi ¿no?, […] no tocan su libreta, y les da igual porque así están acostumbrados, porque vienen con esa idea me van a dar todo , un día antes estudian, copian la tarea o sea, y esa mentalidad de la prepa se quita con trabajo.

133

Capítulo 5: Resultados y discusión

Esta forma de ver la actuación de los alumnos dentro del salón de clases se convierte en una

barrera que obstaculiza un cambio en las actuales responsabilidades del profesor y los

alumnos; de clases donde el profesor tiene el papel central, a otras donde el alumno tiene

una participación mas dinámica y el rol central. Los profesores consideran que no es

factible dejar que el alumno se haga cargo de su aprendizaje debido a que no está preparado

para ello. Ante esta aparente “imposibilidad”, el profesor se ve en la necesidad de seguir

haciéndose cargo de presentar los conocimientos y/o sólo exigir al alumno el estudio de los

contenido hasta después de haber presentado él mismo el conocimiento. Esta necesidad de

presentar el conocimiento por parte del profesor puede verse aún en el caso de solicitarse al

alumno un estudio previo de los temas.

Extracto 14, sesión 1.

P1 En la clase se hacen ejercicios, entonces lo que se hace es que después se intercambien las libretas con su compañero de a lado, entonces su compañero de a lado se encarga de evaluar, entonces el fin no es que ponga la calificación y ya, sino el fin es que el estudiante que esta evaluando tiene que entender antes el concepto, antes de poder calificar, o sea no se puede calificar bien o mal a su compañero si no sabe el concepto, el tiene que poner sus comentarios, de manera que se esta forzando al estudiante de manera indirecta a que el aprenda bien el concepto.

Extracto 15, sesión 3.

P1 …muchas veces creemos que para que lo aprendan y lo entiendan, se lo tenemos que explicar nosotros los profesores […].

P2 Más que nada para que sepamos que si lo aprendieron.

Esta situación constituye un elemento que puede afectar de manera negativa al modelo

docente que proponemos, dada la devolución al alumno de la responsabilidad de su

aprendizaje que se propone en él.

Cabe señalar aquí la distinción que los profesores hacen de los alumnos. Por ejemplo,

aquellos que consideran “buenos” y aquellos que no lo son. En este sentido, aún cuando se

134

Capítulo 5: Resultados y discusión

considera que esos alumnos “buenos” pueden aprender independientemente de las

actividades que se desarrollan, se tiende a pensar, por lo general, con mayor énfasis en

ellos a lo hora de diseñar las clases y un poco menos en los “otros” alumnos.

Extracto 16, sesión 1.

P1 Te estoy hablando de que esos tres o cuatro son los buenos, los que se ponen nerviosos ante un cambio son ellos […] ellos independientemente de cómo tu los trates (van a aprender), pero esa instrucción (la discusión en clases) les pone nerviosos, entiendes, yo me pongo nervioso cuando esos tres o cuatro se ponen nerviosos […] porque con los otros (alumnos) no hay problemas… he, o sea con los otros (alumnos) no hay problemas porque … […] con ellos no pasa nada al final de cuentas, en términos digamos de que tu estés controlando la situación como docente […]. No sé a ustedes pero si me pone nervioso que tres o cuatro de los chavos buenos no estén contentos.

Pareciera que los profesores consideran que la búsqueda de un cambio en sus prácticas sólo

se requiere para beneficiar a aquellos alumnos que presentan dificultades para aprender

bajo los métodos actuales, pues lo alumnos “buenos” no tienen tal necesidad. Esto puede

generar en el profesor la idea de que se va a dejar de prestar atención a unos para atender a

otros, cuando al contrario de esta idea, se deben establecer condiciones en las que todos los

alumnos se sientan con libertad de actuar, discutir y expresarse, así como en un ambiente

en el que se tenga la oportunidad de aprender y dentro el cual perciban tal posibilidad. La

creencia anterior constituye una problemática reportada en la literatura en cuanto a la

aceptación de los resultados de la didáctica de las matemáticas, por lo que será importante

pensar en ella en posteriores cursos de formación.

Los profesores muestran cierta aceptación por la corriente constructivista, constituyendo un

marco de referencia sobre el cual basar sus actividades. Sin embargo, esta corriente resulta

ser no muy bien comprendida, llevando a ponerla en práctica con ciertas deficiencias y

basadas en interpretaciones personales y erróneas.

135

Capítulo 5: Resultados y discusión

Extracto 17, sesión 3.

P1 … aquí viene la parte del llamado constructivismo ¿no?, porque aquí la comunicación alumno-profesor sería decirle al estudiante te planteó estas actividades, por ejemplo […] una plática tipo seminario, por decir – fulanito tu vas a explicar este tema, vas a venir a exponerlo aquí a clase – van a hacer preguntas y esa es una forma de actuar. El va a tener que ponerse a investigar, ver que entiende de eso, el puede hacer preguntas, le podemos hacer preguntas, […] con eso vamos a ver si lo que entiende es correcto ¿no?

A este respecto podemos señalar que dado que la Teoría de las Situaciones Didácticas

maneja una postura constructivista, sin las adecuadas aclaraciones sobre el significado del

constructivismo, se puede generar un punto de encuentro durante la formación del profesor

en lo que respecta a la Teoría de las Situaciones Didácticas. Los profesores podrían asignar

de forma directa, las problemáticas que han experimentado dentro de constructivismo a

esta teoría, así como las frustraciones provenientes de la constatación del fracaso a la hora

de implementar dicha corriente, tanto en la práctica del profesor como en la actividad del

alumno.

Dentro de los cursos de capacitación y formación didáctica de profesores, ellos esperan

obtener técnicas o estrategias innovadoras que les ayuden a conducir sus clases, que les

permitan hacer frente de manera adecuada a las problemáticas que se les presentan y que

logren favorecer el aprendizaje en ¡todos! los alumnos. Sin embargo, estas expectativas no

logran ser cubiertas por los cursos de actualización y formación docente, los cuales en la

mayoría de los casos son dirigidos a la enseñanza en general y donde existe poco o ningún

ejemplo concreto en matemáticas, y menos aún para la educación superior. Constituyendo

esto una de las principales quejas de los profesores hacia dichos cursos.

Extracto 18, sesión 4.

P1 En otros cursos de docencia hablan de que nuestro máximo logro debe ser un plan de clases y al menos alguna vez yo lo he hecho, por que en la facultad de ingeniería química he trabajado con […] y el tiene hecho un ahí una historia de sus planes de clase y a veces le pregunto – oye ¿y te sirve de

136

Capítulo 5: Resultados y discusión

algo?— no, pero me lo piden – y a mi eso del plan de clases en matemáticas no le veo mucho sentido ¿no?

Extracto 19, sesión 4.

P1 Una de mis principales quejas (en un curso de docencia tomado con anterioridad) era que no había nada en matemáticas, (y ante esa queja le respondían) – OK. No hay nada, entonces que lo hagan ustedes”. -- cómo que hazlo -- digo – Se supone que vine a que me digas que hacer ¿no?, o que me des un libro nuevo donde digas que voy a hacer.

De esta forma, las experiencias no tan positivas de los profesores respecto a cursos de

capacitación didáctica o especialización docente, se vuelven vivencias que los predisponen

para rechazar otras actividades destinadas a su formación, así como los saberes que en ellas

se presentan. Veamos:

Extracto 20, sesión 4.

P1 Yo he tenido malas experiencias de cursos así como de didáctica de docencia […] desde el primero de ellos oía argumentos más o menos parecidos ¿no? Nos presentaban una nueva forma de dar clases que prometía buenos resultados que el método tradicional […] y lo comparaban con lo peor que existía y decías ha bueno si sirve […], al tratar de aislar lo novedoso me daba cuenta de que no había gran diferencia, sino que es algo que ya existe sólo puesto de otra manera, entonces yo pienso que el método no es lo importante sino como se utilice y en que caso […] y no requerimos de más métodos o técnicas.

Durante el desarrollo del curso salió a discusión algunas acciones que los profesores, por

experiencia, han observado como favorecedoras o perjudiciales para el aprendizaje de los

alumnos de uno o varios temas. Sin embargo, desconocen cómo utilizar a su favor éstas

acciones en otros contextos. Creemos que se debe a que no son concientes de las razones

que sustenta su eficacia, perdiéndose de este modo valiosa información que puede

favorecer la reorganización o modificación de las actividades que se plantean al interior del

aula, esto en beneficio del aprendizaje del alumno de una diversidad de temas. Empero más

aún, no cuentan con la debida formación docente, es más, se carece de ella. En nuestra

opinión, la experiencia de un ejercicio docente no es suficiente para cubrir o suplir una

formación integral (conocimientos empíricos, habilidades y actitudes).

137

Capítulo 5: Resultados y discusión

Extracto 21, sesión 1.

P1 …otra manera, lo visual, hay muchos conceptos que se entienden muy bien con un dibujo, con un movimiento.

Extracto 22, sesión 4.

P1 Sabes que es bueno, un tema abordarlo desde diferentes enfoques, el de límite por ejemplo, una tabla sirve para ver lo que pasa en el límite, incluso en varias variables…

Comentarios como los anteriores nos permiten vislumbrar que la dualidad proceso-objeto

de los saberes matemáticos, la visualización, el uso de la tecnología y el uso de diversos

sistemas de representación, son temáticas cuyos beneficios han sido observados

viviencialmente por los profesores, habiéndose dado con esto, un paso de importancia

fundamental, pues se tendría una mayor posibilidad de que el impacto de ellas sobre las

concepciones y creencias del profesor no sólo queden en el discurso, sino que sean llevadas

a la práctica. Por otra parte, también pudimos darnos de cuenta que La Teoría de las

Situaciones Didácticas constituye un adecuado medio para incidir sobre las prácticas

docentes de los profesores participantes. No como diseñadores de situaciones didácticas,

sino como un modelo con características teóricas, experimentales y prácticas que son

coherentes con su visión, experiencia y forma de explicar o sustentar un cambio en el tipo

de práctica de aula.

En lo que respecta al pensamiento y lenguaje variacional (PyLV), la actividad desarrollada

dentro del curso taller (ver anexo A) nos permitió vislumbrar que los mismos profesores

poseen dificultades para trabajar bajo esta temática. Ellos consideran que las habilidades

que se buscan desarrollar requieren de mucho tiempo de estudio, además de sentir que se

estaría obligando a un alumno a estudiar bajo una concepción que pueden no comprender

¡ni requerir!

138

Capítulo 5: Resultados y discusión

Extracto 23, sesión 2.

P1 Haber si alguien grafica y repinta la gráfica, representaría un tipo de pensamiento distinto al de alguien , como yo, que sólo pinte los intervalos […] entonces me pregunto que significa esto a la hora que yo trate…suponte que vas a tratar con dos tipos así, y lo que vas a decirle a él y lo que me vas a decir, me puede perjudicar a mí, no podríamos pensar en esa situación, o sea lo que yo diga en el salón de clase puede fomentarle a alguien la forma de pensar, pero a otros les puede obstaculizar ¿no puede pasar eso?.

Extracto 24, sesión 2.

P1 Si muestras una cosa gráfica, por ejemplo, a la gente como decía […], aquella gente analítica no lo va a entender de manera gráfica, conviene mas que lo pongas de forma analítica, y estas haciendo a un lado a los geométrico, y por el contrario si atiendes al analítico haces un lado al geométrico.

Analizando las estrategias utilizadas por lo profesores para dar solución a las preguntas

planteadas en la actividad (ver anexo A), pudimos percatarnos que los profesores hacen un

escaso uso de estrategias variacionales. Por ejemplo, un comentario relacionado con la

pregunta dos de dicha actividad es el siguiente:

Extracto 25, sesión 2.

P1 …la parte de la pendiente tal vez se pueda hacer (utilizar la pendiente de las rectas tangentes a la curva), pero también lo de creciente y decreciente (de la curva) es hasta que vez el teorema, yo por eso así lo utilicé (el teorema)…

Por lo general, los profesores poseen un pensamiento analítico, el cual les ha resultado

efectivo para abordar las cuestiones que estudian, mostrándose reacios a utilizar otras

formas de proceder, de pensar.

Extracto 26, sesión 2.

P1 Tengo 47 años y yo lo resuelvo así, con un teorema.

P2 Pero es un pensamiento analítico.

P1 A lo que voy es a eso, hay gente que la única forma que tiene para entender las cosas es de una forma, entonces tenemos que tener cuidado de ello y no podemos discriminar a nadie.

Comentarios como estos generaron discusión entre los profesores, algunos de los cuales

expresaban comentarios a favor de este pensamiento variacional.

139

Capítulo 5: Resultados y discusión

Extracto 27, sesión 2.

P1 Si tú le hablas de movimiento, si tú le dices agarra y pon un punto y empieza a avanzar sobre la curva tienes que ir observando hacia donde va, hacia donde se va moviendo con respecto a las alturas, por ahí como que lo captan mejor.

P2 Si va subiendo llega a un punto máximo de la , es como un objeto que va subiendo y cuando veo que ya empieza a bajar --¡ah!-- aquí ya cambio el comportamiento, cuando deja de subir --¡ah!—aquí empieza a decrecer esta cosa, y es otra forma de verlo.

y

En las primeras dos preguntas de la actividad del PyLV existió una discusión sobre las

distintas formas de abordar el problema, sin embargo, para la pregunta tres, todos los

profesores utilizaron el recurso de la concavidad. En lo que respecta a la pregunta cuatro,

algunos profesores lograron llegar a la respuesta correcta, los cuales afirmaron que

únicamente con un pensamiento analítico es muy difícil llegar a resolver la cuestión. Sin

embargo, surgió el siguiente comentario:

Extracto 28, sesión 2.

P1 O sea la pregunta es ¿no tendría nada de malo que ningún estudiante pueda resolver la cuarta (pregunta)? […] Ahora todos los estudiantes…

P2 Tendrían que hacer las anteriores (preguntas)…

P1 Todos los estudiantes de la facultad deberían hacer la primera y la segunda…creo que estaríamos reflejando que estamos en buen camino si los estudiantes después de cursar el primer y segundo semestre de cálculo pueden contestar uno y dos sin dificultad.

Esto muestra, una vez más, que los profesores se conforman ante hechos que parecen dar

muestras de un aprendizaje, pero los cuales pueden resultar de la memoria y de procesos

mecanicistas. Sin existir un entendimiento de los saberes. Recordando que este grupo de

profesores son catedráticos de una facultad de ciencias exactas (matemáticas) e ingenierías

(computación), a nuestro entender, tales profesores deben vislumbran al aprendizaje como

un proceso sistémico y articulable. Es decir, a nuestro modo de ver, el aprendizaje es más

que una habilidad operacional, una habilidad mental o un entendimiento conceptual de los

objetos matemáticos, tampoco la suma de éstas, sino, una correcta articulación, en el caso

140

Capítulo 5: Resultados y discusión

de cálculo, de un entorno experimental, uno conceptual, uno operacional y uno formal

(disciplinario) de los conceptos. Un aprendizaje es íntegro, sistémico, no fragmentario y

secuencial.

Derivada de la presentación del tema PyLV, se generó una discusión relacionada con el uso

de las gráficas, dentro las clases, como medios para auxiliar la comprensión de los

conceptos. A partir ella pudimos observar la postura de uno de los profesores de presentar

los contenidos por medio de sus definiciones desde el principio, él considera que el uso de

la representación geométrico para tal efecto genera problemas, pues ella no es aplicable a

todos los casos, mientras que las definiciones no poseen esta dificultad.

Extracto 29, sesión 2.

P1 Yo creo que cuando se definen los conceptos, tiene que ser en base a la definición y la cuestión gráfica tiene que ser como pilón, como una segunda forma que en algunos casos sirve y en otros no, no puede ser al revés (discusión entre los profesores) […] yo creo que lo primero que debes… la base es la definición analítica y sobre esa puedes ir viendo otras cosas…

Como podemos notar, los profesores mostraron ciertas reservas con respecto a las ideas

expresadas en el pensamiento y lenguaje variacional. Por una parte, reconocen que es difícil

lograr desarrollar en el alumno habilidades relacionadas con él, y por la otra, consideran

que no todos los alumnos pueden verse beneficiados de la implementación de estrategias

variacionales en las clases, por ejemplo, aquellos con un pensamiento analítico. Sin

embargo, al final de la actividad del PyLV se presentaron algunos comentarios que

consideramos positivos y nos muestra la incidencia del tema en la mente del profesor.

Extracto 30, sesión 2.

P1 Si yo pudiera fomentar un poco el pensamiento geométrico y el analítico, dependiendo de quien sea, pues bueno, va a llegar el momento en que tu mente si es muy analítica… pero tu profesor se ha encargado de facilitarte un pensamiento geométrico, de repente un poco, como que vas incorporando… no te vas a convertir en alguien geométrico, pero como que ya puedes incorporar

141

Capítulo 5: Resultados y discusión

ciertas cosas que de repente van a hacer que sufras menos a la hora de que vayas analizando, y también puede suceder lo mismo al revés.

5. Posturas de los profesores ante la Teoría de las Situaciones Didácticas

La teoría de las situaciones didácticas constituye uno de los puntos centrales de nuestra

propuesta. Se intentó mirar el quehacer didáctico al interior de las aulas, como un modelo

de la actividad científica matemática dando a los estudiantes ciertas facilidades para actuar,

formular y validar sobre una situación de aprendizaje específica, dejando al profesor en un

papel de orientador e institucionalizador del conocimiento matemático. Consideramos

pues, adecuado dedicarle un apartado a la discusión y el análisis del impacto de ella en el

profesor; en sus estrategias didáctica, en su actitud, en sus creencias, etc.

Como antes habíamos señalado, las creencias de los profesores respecto al aprendizaje de

las matemáticas determinan en gran parte su actuar docente. Por lo general, los cursos de

capacitación deben incidir sobre dichas prácticas para lograr un cambio en su forma de

actuar y que no quede todo únicamente a un nivel del discurso del profesor. Sin embargo,

pudimos observar claramente con el tema del pensamiento y lenguaje variacional, que si se

le presentan al profesor temas que rompan bruscamente con sus concepciones y creencias,

él tiende a rechazar eso que se le comunica. La Teoría de la Situaciones Didácticas resultó

ser un medio adecuado para incidir sobre la práctica del profesor, al no contravenir de

manera fuerte sus concepciones respecto a la enseñanza y aprendizaje, más al contrario,

parece complementarse con ellas.

142

Capítulo 5: Resultados y discusión

Extracto 31, sesión 3.

P1 Para mi aprender es algo duro, es un proceso nada lúdico y muchas veces hasta doloroso, […] pero esto (las situaciones didácticas) me parece factible.

Extracto 32, sesión 3.

P1 Yo creo que estos métodos favorecen costumbres, de que tú intentes por ti mismo buscar respuestas, y pues ya no es que simplemente te presenten las cosas y te las dan, yo siento que es mejor proceso mental que tú intentar entender eso que te están diciendo, del modo que te lo están presentando.

Extracto 33, sesión 3.

P1 Tendríamos que recocer el carácter experimental de la matemática. De repente como que no estamos muy acostumbrados a reconocer ese carácter experimental de la matemática ¿no?

P2 ¿Quiénes no lo consideramos? ¿Los profesores?

P1 Y en general los matemáticos, ¿no?, como que no vemos a las matemáticas con el carácter experimental.

P3 Como sería en biología, química, economía…

P1 por ejemplo como que la matemática no la vemos así, la vemos más como axiomática, ya esta hecha, pero como que hasta hace poco tiempo se pensó en ver ese carácter experimental de las matemática ¿no? {…}, deberíamos recuperarlo y eso embonaría muy bien con la acción, formulación y validación, pero de repente no lo hemos reconocido así.

El hecho de que esta teoría sea aceptada por los profesores como concordante con sus

expectativas referentes a la forma en que debe desarrollarse la clase de matemáticas,

establece un gran punto a su favor, pues favorece que los profesores vislumbren como

viable la adopción de dicho modelo como forma de planear, orientar su práctica.

El carácter experimental de las matemáticas, es un punto importante sobre el cual se debe

hacer un mayor énfasis como parte de la reformulación y reelaboración de las actividades

del curso. García (2006b) reporta que los profesores ven a la matemática como una ciencia

axiomática, lo cual asigna a las demostraciones una gran importancia dentro de sus clases,

llegándose a establecer que los conocimientos o resultados que se pueden utilizar en la

resolución de ejercicios, problemas o en la demostración de otros teoremas, deben ser sólo

aquellos que hallan sido previamente demostrados o que puedan demostrarse. Esto deja

entender la importancia de lograr que el profesor acepte el carácter funcional de las

143

Capítulo 5: Resultados y discusión

matemáticas y que perciba como adecuado para el desarrollo de las clases, la

implementación de ese carácter experimental. Pues de lo contrario, podríamos enfrentarnos

a un obstáculo para hacer que el profesor perciba a su salón de clases como una

minicomunidad científica, donde constantemente se desarrollan conocimientos, producto

del enfrentamiento del alumno con situaciones problema. Conocimientos que devienen en

aprendizajes.

Por otra parte, para algunos profesores el trabajo extra que representa la búsqueda o diseño

de situaciones de aprendizaje a las cuales enfrentar al alumno puede llegar a constituir un

problema. Además que no se posee la destreza para conformar verdaderas situaciones de

aprendizaje, algunos profesores esperan que ante un trabajo más complejo se tengan la

garantía de que dicho esfuerzo tendrá éxito.

Extracto 34, sesión 3.

P1 Si fuera el mismo resultado […], pero si el nuevo (la propuesta de la teoría de las situaciones didácticas) me lleva más tiempo y llegó al mismo resultado, entonces para que cambiamos, sino no esta siendo mejor…

Extracto 35, sesión 4.

P1 El método debe garantizar que el alumno aprenda, en todo caso debemos ser un experto en ese tipo de cosas para que funcionen…

Algunos profesores consideran erróneamente que el modelo que propone la teoría se

presenta en el mismo método tradicional pero ordenado de forma distinta. Lo que nos

muestra cierta dependencia de esos profesores con este método. Pues estos tienen énfasis y

estructuras distintas.

144

Capítulo 5: Resultados y discusión

Extracto 36, sesión 4.

P1 La clase pasada se decía --¿y si lo hacemos al revés (el método tradicional)? no pasa lo mismo--, o sea, sólo hay que hacer lo mismo en diferente orden decíamos ¿no se puede hacer así? ¿No se tiene el mismo resultado? Resultaba que la modificación sólo pareciera que era cambiar de orden.

Dentro de la fase de experimentación de la actividad didáctica y durante la discusión de los

diseños didácticos elaborados por lo profesores, pudimos observar que estos tienen una

gran preocupación por institucionalizar los conocimientos bajo estudio. Se sobrepone la

necesidad del profesor de guiar al alumno hacia el conocimiento que se desea, por sobre la

propuesta de acción lo más autónoma posible. De modo que, al finalizar la sesión destinada

para tal fin, tanto el profesor como el alumno puedan “asegurar” que se ha tenido éxito en

el logro del aprendizaje deseado, con la profundidad y formalidad requerida. Entendemos

que el profesor (internamente) busca “justificar” la continuidad,pertinencia de su práctica

tradicional, a través de buscar o establecer relaciones entre una nueva propuesta y la que ya

se tiene.

Extracto 37, sesión 3.

P1 Me daría miedo que empiece a diseñar actividades que distraigan de la institucionalización, quizás este pensando en una institucionalización simplista, pensar que la institucionalización es la definición o el teorema. Me preocupa, si me preocupa que ellos sepan las definiciones y los teoremas.

A los profesores les cuesta trabajo superar la necesidad de participación en el aprendizaje

de los alumno como detonadores de éste. En los diseño didácticos elaborados por ellos, se

podía observar en todo momento, su guía sobre el alumno para asimilar el tema de estudio.

En uno de sus diseños, pudimos observar cómo las actividades que conformaban, buscaban

la aparición en el alumno de ciertas dudas de las cuales el profesor esperaba percatarse y a

partir de ello, entrar en acción; mostrando el conocimiento que se buscaba sea aprendido.

No obstante esto, pudimos observar que los profesores se interesan cada vez más por que

145

Capítulo 5: Resultados y discusión

los alumnos argumenten sobre una situación, aunque sea de forma guiada, y comprueben

esos argumentos, esto nos muestra indicios que apoyan la viabilidad de la teoría de las

situaciones didácticas en la formación de los profesores.

En la discusión de los diseños, también pudimos observar que los profesores realizan

ciertos análisis de las dificultades que los alumnos experimentan en un determinado tema,

lo cual le ayudará a conformar las situaciones de aprendizaje que propondrá al alumno, así

como a realizar el análisis de los resultados obtenidos con la implementación de la

situación.

Una de las primeras acciones a realizar dentro de un curso de formación como éste, es

convencer al profesor de la capacidad del alumno para generar aprendizajes por cuenta

propia, siempre y cuando se le ubique bajo las condiciones adecuadas. Ellos podrían

adquirir conocimientos que no sean los esperados y adecuados, pero que tienen un imparto

real sobre su aprendizaje. Sin embargo, esto es difícil de aceptar por parte de los profesores

e incluso de asimilar.

5. Comentarios de los profesores respecto al curso-taller

A continuación señalamos algunos comentarios realizados por los profesores participantes

respecto al Curso-Taller:

Extracto 38, sesión 4.

P1 Se dijeron varias cosas, institucionalizaste muchas cosas que antes solamente pensábamos.

P2 Me sirvió para aclarar muchos conceptos que estaban en su germen ahí ¿no?, pero que sin embargo no le habíamos dado el peso específico debido. Para mi el estar aquí me sirvió […] pues me surgieron muchas inquietudes que estoy deseoso de poder implementar y haber ¿no?, que resultados pudiera obtener. En particular el punto que yo siento más árido, […] (es) la actitud de los

146

Capítulo 5: Resultados y discusión

estudiantes, para que este modelo chambee yo creo que es fundamental que el alumno se sienta incómodo ante el hecho de no saber, porque cuando creamos la situación y creamos los obstáculos, es factible que el estudiante al haber confrontado lo que ya sabe, digamos su conocimiento matemático, sus experiencias, lo que ya sabe… cuando un problema se le presenta simplemente se eche, que diga -- ¡ah!, no es cierto, lo que yo sabía que funcionaba ya no funciona – siento que ahí es donde cae nuestra responsabilidad ¿no? de cómo levantar al estudiante […] de forma que diga – voy a seguir.

Extracto 39, sesión 3.

P1 He tenido malas experiencias de cursos así como de didáctica de docencia desde hace 20 años ¿no?, desde el primero de ellos oía argumentos muy parecidos, que presentaban una nueva forma de dar clases, que prometía buenos resultados que el método tradicional y ciertamente había cosas que son útiles y otras no, pero el común denominador era que siempre se presentaba como lo novedoso […] nos prometía muchas cosas. A lo largo de ese tiempo he tomado muchos cursos, diplomados y más, y he leído muchos artículos, etc., y ciertamente puedo decir que hay ese común denominador todavía, hay muchas cosas que se prometen como muy buenas, como que van a cambiar, como que vamos a tener buenos resultados si usamos este método que si usamos el anterior y cuando he tratado de aislar lo novedoso que te propone un método me doy cuenta que no hay gran diferencia, sino que es, algo nuevo que ya existe sólo puesto de otra manera, entonces yo pienso que el método no es lo importante sino como se utilice y en que casos […] entonces no requerimos de más métodos o técnicas sino simplemente aprender a usarlos en el momento indicado.

Extracto 40, sesión 3.

P1 No existe una varita mágica que nos resuelva el problema, por lo que es bueno conocer estos métodos, pues, digo, todo son estrategias, pero ahí es donde uno tiene también que ir pensando según el grupo que se tenga.

Extracto 41, sesión 3.

P1 Me parece que ha valido la pena sentarme aquí cuatro lunes, tal vez sea porque no tengo ningún prejuicio ¿no?, por que la verdad nunca he tomado nada de didáctica ni nada de nada, o sea soy chen matemático, lo que si me ha interesado es que lo que yo diga o yo haga con mis alumnos lo entiendan ¿no?, pero no que sólo los que lo pescan al vuelo, a mí me ha preocupado que todos los alumnos entiendan de lo que se trata el asunto […] Es una forma interesante de organizar las ideas la que nos presentaron aquí {…} yo creo que hasta en términos generales se pudiera adaptar este curso a cualquier curso de matemáticas de la Facultad de Matemáticas, pero si estaría chido, por ejemplo, que pudiéramos hacer para este mini curso una invitación general y que los profes que les interese que vengan, pudiera ser cupo limitado para que valga la pena, quizás se puedan dar algunos cursos como este mini curso en lo que seguramente pudiéramos decir otras cosas de tal manera que pudiéramos ofrecerlo a todos los demás.

Extracto 42, sesión 4.

P1 … Estas es la primera vez (en todos los cursos que he tomado) en la que hay la oportunidad de discutir cosas de matemáticas y de nivel licenciatura, y las cosas que hemos hecho acá son de las cosas que yo puedo decir que es útil.

Extracto 43, sesión 4.

P1 Yo he tomado unos cursillos de didáctica y mucho se hablaba de haz tu plan de clases: que introducción, desarrollo… a partir de un cronograma de 5 minutos a 5 minutos siendo muy precisos… realmente eso no funciona en matemáticas, tal vez para otras materias funcione, pero nunca se hablaba del estilo de lo que ahora hablamos {…} aquí hablamos de cómo hacer la estructura de la clase, y tal vez se haga mas lenta la clase {…} pero que los pocos temas que

147

Capítulo 5: Resultados y discusión

abordemos se entiendan, y creo que eso es preferible a cubrir un amplio terreno y nadie entienda nada.[…] lo que he visto acá es muy diferente a lo que he visto en otros cursos. No ha habido cursos específicamente para matemáticas.

Extracto 44, sesión 3.

P1 En otros cursos de docencia hablan de que nuestro máximo logro debe ser un plan de clases y al menos alguna vez yo lo he hecho, por que en la facultad de ingeniería química he trabajado con […] y el tiene hecho un ahí una historia de sus planes de clase y a veces le pregunto – oye ¿y te sirve de algo?— no, pero me lo piden – y a mi eso del plan de clases en matemáticas no le veo mucho sentido ¿no? y lo que me gusto de este curso es que primero no te paraste ahí a hablar y hablar y nosotros te oímos, sino que se armó la discusión por ratos y dimos opiniones y creo que nadie se quedo callado.

Los comentarios anteriores nos muestran que los profesores consideran adecuada la

estructura del curso, señalando al mismo tiempo su necesidad de un mayor número de

cursos de este estilo, es decir, que se centren en una didáctica que tenga como objeto

de estudio y campo de acción a la matemática misma, pero aún más, que se centre en el

nivel universitario en el que ellos se desenvuelven. Esto constituye una exigencia

valida genuina y legítima que todo curso de formación debe atender. Sin embargo, esto

también exige a los profesores ser más reflexivos sobre su práctica docente para que

sean capaces de utilizar nuevos conocimientos en sus clases y realizar por ellos mismos

las adaptaciones necesarias.

Durante el desarrollo del curso pudimos observar, debido a las expresiones de los

profesores, que es apropiado para un primer curso de didáctica de las matemáticas, no

utilizar muchos tecnicismos, pues estos provocan que los profesores se pierdan dentro

esos conceptos y dirijan gran parte de su atención en intentar entenderlos. De este

modo, el no haberles dado a los profesores lecturas para ser discutidas dentro de las

sesiones resultó en cierta medida, adecuado. En lugar de eso la presentación de

temáticas y de resultados provenientes de la didáctica de las matemáticas que incidiera

148

Capítulo 5: Resultados y discusión

de forma directa sobre las creencias de los profesores generó un gran ambiente para la

discusión y el intercambio de experiencias que enriquecieron de forma considerable el

curso.

No obstante, el dominio de los términos propios de la didáctica de las matemáticas se

hace necesario para evitar caer en contrasentidos, por lo cual, conforme el profesor

profundice en su formación didáctica se le debe ir exigiendo el uso y comprensión de

dicho términos.

También pudimos observar que los profesores, al menos en su discurso, consideran

viable la aplicación del modelo de actividad, a realizarse en las clases, que propone la

Teoría de las Secuencias Didácticas, el cual favorece el aprendizaje de los temas de

cálculo. Esto constituye un avance para la formación de los profesores, pues alrededor

de dicho modelo es posible engranar un mayor número de temas que favorezcan la

profundización en la formación en didáctica de las matemáticas.

149

Capítulo 6: Reflexiones finales y conclusiones

Capítulo 6

Reflexiones finales y conclusiones

Una de las exigencias más comunes de los profesores dentro de los cursos de capacitación y

formación docente, es el establecimiento y comunicación de técnicas que dicten su forma

de actuar dentro las clases y/o el establecimiento de actividades prototipo que favorezcan la

generación de aprendizajes. Muchas de las veces, ellos esperan que esas técnicas o

prototipos sirvan para guiar toda su actuación docente. Por lo general, estas ideas están

relacionadas con las creencias que se tienen de dichos cursos; en ellos se establecen

métodos novedosos e innovadores que lograrán incidir sobre los problemas de enseñanza y

aprendizaje y bajo los cuales habrá que desarrollar las futuras clases.

La exigencia anterior se ve presente en los profesores de cálculo de la Facultad de

Matemáticas, quienes, motivados por los resultados negativos en cuanto al

aprovechamiento que los alumnos de esta facultad presentan, han sentido la inquietud de

reformular las actividades que desarrollan dentro de sus clases. Esto ha llevado a algunos a

la búsqueda de herramientas, metodologías o acciones que puedan favorecer el aprendizaje

de los alumnos, obteniendo algunos resultados positivos. Recordemos el comentario de una

profesora:

Extracto 22, sesión 4.

P1 Sabes que es bueno, un tema abordarlo desde diferentes enfoques, el de límite por ejemplo, una tabla sirve para ver lo que pasa en el límite, incluso en varias variables…

150

Capítulo 6: Reflexiones finales y conclusiones

Sin embargo, pudimos notar que la aplicación de tales herramientas se ha llevado a cabo de

forma escueta, viéndose limitados los beneficios que se podrían obtener y, en un momento

dado, generarse problemas que lleven al profesor a experimentar consecuencias nada

favorables, las cuales repercutan en su ímpetu por cambiar sus prácticas.

Lo anterior nos muestra dos puntos importantes a resaltar. El primero es el hecho de que las

diferencias existentes entre lo que el profesor espera de los cursos de formación didáctica y

lo que en ellos se propone, constituyen un punto que puede generar frustración y un

sentimiento negativo hacia dichos cursos. En este sentido, las experiencias no tan positivas

de ellos al respecto, ya sea por el motivo anterior o por que a partir de ellos no han

experimentado mejoras en su desempeño y el de los alumnos, genera sentimientos de

desconfianza hacia lo que se les presenta, siendo esto un obstáculo para su formación.

Situación que preveíamos desde un principio.

Extracto 20, sesión 4.

P1 Yo he tenido malas experiencias de cursos así como de didáctica de docencia […] desde el primero de ellos oía argumentos más o menos parecidos ¿no? Nos presentaban una nueva forma de dar clases que prometía buenos resultados que el método tradicional […] y lo comparaban con lo peor que existía y decías ha bueno si sirve […], al tratar de aislar lo novedoso me daba cuenta de que no había gran diferencia, sino que es algo que ya existe sólo puesto de otra manera, entonces yo pienso que el método no es lo importante sino como se utilice y en que caso […] y no requerimos de más métodos o técnicas.

Tenemos entonces que, en estos cursos, se deben plantear con bastante énfasis y claridad,

los objetivos que se proponen lograr, los saberes que pretenden establecer y las limitaciones

de los mismos. Lo cual, como ya vimos, cobra una gran relevancia en el ámbito de la

didáctica, debido a las falsas concepciones y expectativas que se forjan alrededor de éste.

151

Capítulo 6: Reflexiones finales y conclusiones

Como segundo punto, podemos señalar la necesidad de proveerles a los profesores una

capacitación que les permita dar dirección a las acciones que ellos han comenzado a tomar,

debido a que todas ellas, o al menos su mayoría, podemos decir, están basadas sobre

intuiciones y creencias, las cuales se desprenden de su experiencia como alumnos y su

experiencia profesional, esto debido a que carecen de formación alguna que los oriente y

les de bases para fundamentar dichas acciones. Esto torna difícil el romper con el papel

protagónico que el profesor tiene dentro las clases y lograr así incidir sobre su actuar como

autoridad “didáctica”, el cual norma y guía todas las actividades de enseñanza y de

aprendizaje.

De esta manera, fue importante presentarle al profesor un modelo teórico y práctico que le

de una renovada visión de su quehacer docente al interior del aula. Buscábamos que los

profesores miren al aula de clases como una microcomunidad científica donde es posible

generar conocimientos y aprendizajes, siempre y cuando se procuren las condiciones

adecuadas para ello. Pero también, buscábamos proporcionarle algunas herramientas y

medios a través de los cuales puedan conducir su desempeño y el de sus alumnos bajo una

nueva perspectiva. El profesor debe buscar y permitir que el alumno se sienta en libertad de

actuar, formular y validar sobre una situación específica de aprendizaje, es decir, debe

desarrollar espacios adecuados que permitan al alumno hacerse responsable de construir su

aprendizaje, y dentro los cuales pueda lograrlo. El profesor tendrá la responsabilidad de

institucionalizar los conocimientos. Para complementar al modelo anterior propusimos un

modelo que haga que el profesor vea el aula como un lugar para experimentar, que se mire

y actué como un investigador que analiza las actividades que pone en acción, así como los

resultados que en ellas producen; el estudio de los puntos fuertes y los débiles de dichas

152

Capítulo 6: Reflexiones finales y conclusiones

actividades y acciones. De modo que esto le provea de información pertinente para adecuar

su modelo docente a las nuevas realidades que se le presentan, así como mantener una

actitud abierta a la continua formación.

Durante el curso pudimos dar nos cuenta de lo adecuado de incluir un modelo experimental

al modelo de formación, pues observamos que algunos de los profesores no son reflexivos

sobre su desempeño dentro del salón de clases. Recordemos lo siguiente:

Extracto 10, sesión 1.

P1 ¿Quién va ha determinar si estoy enseñando bien o no? Ósea, es una pregunta fundamental, ¿Quién lo va a determinar?

Sin ésta reflexión el mismo modelo que proviene de la Teoría de las Situaciones Didáctica

resultaría insuficiente para lograr los planteamientos de formación anteriores, apareciendo

solamente como un modelo de acción que a los ojos de los profesores viene a “complicar”

su labor, al requerir de un mayor tiempo y preparación.

Otra cosa de la que pudimos percatarnos, es que la aceptación de parte de algunos

profesores de cualquier propuesta de cambio se ve condicionada por el hecho de que dicho

cambio garantice que se van a producir beneficios, más aún si esa nueva forma de acción

exigirá de ellos un mayor esfuerzo y el profesor ha tenido malas experiencias en otros

cursos de formación. Sin embargo, el mayor punto sobre el cual se debe incidir para lograr

modificar las prácticas del profesor lo constituye su epistemología, donde se encuentran

reflejadas sus creencias de cómo se enseña, cómo se aprende, que es la actividad

matemática y lo que se puede y no desarrollar en el aula. Es esta epistemología, la base

153

Capítulo 6: Reflexiones finales y conclusiones

sobre la cual el profesor discrimina y evalúa lo que se le propone y que determinará si lo

acepta o no.

En este sentido la Teoría de las Situaciones Didácticas se presentó como un modelo de

acción idóneo para nuestros propósitos. Los profesores consideran que dicha teoría es

concordante con sus creencias y concepciones sobre la forma en que se aprende, ya que

notamos que ésta va de acuerdo con ellas o al menos no la contraviene fuertemente ni las

rompe de tajo. Esto provee al modelo de una mayor posibilidad de impacto real sobre las

prácticas y no únicamente sobre el discurso del profesor.

No obstante, existen algunos otros puntos que predisponen al profesor hacia una actitud

renuente a aceptar los resultados provenientes de la didáctica de las matemáticas, así como

a aceptar la validez de los resultados que ella presenta.

En primer lugar, podemos señalar la marcada preocupación que muestran los profesores por

presentar la parte formal de los conocimientos. Ellos requieren presentar las definiciones,

los teoremas y las demostración de los mismos, situación que se desprende de la necesidad

del profesor de asegurar, al menos en parte, de que el alumno ha estudiado los

conocimientos desde la perspectiva formal propia de la matemática, y que les “asegure” que

los alumnos han “aprendido matemáticas”. Esto resulta de un traslado de exigencias; la que

hace la matemática al profesor dentro de las actividades propias de la disciplina y la cual el

profesor vierte sobre su clase.

Otro punto a señalar lo constituye la renuencia que algunos profesores muestran para

aceptar que los alumnos se comprometerán o lograrán alcanzar por ellos mismos o con la

154

Capítulo 6: Reflexiones finales y conclusiones

ayudad de ellos los saberes, pues la experiencia les ha mostrado que no todos los alumnos

responden con el mismo interés. Ellos consideran que los alumno “buenos” si serán capaces

de lograrlo, pero que el resto de los alumnos no, e irremediablemente necesitarán de su

ayuda. Situación con la que no contábamos originalmente pero sobre la cual el modelo

logró incidir. Se requiere pues trabajar sobre las creencias, opiniones o visiones que un

profesor tiene sobre las potencialidades de cada uno de sus alumnos, sensibilizarlo hacia un

trato empático e individual.

Por otra parte, aún cuando los profesores no consideran como obvios los resultados que se

les presentan, ellos parecen consideran que esos conocimientos poseen poca validez, al

tener dichos resultados una aceptación reducida en el ambiente científico y ésta parecer

resultado de la influencia y/o la moda, más que por veracidad. Recordemos lo siguiente:

Extracto 6, sesión 3.

P1 Solo estoy diciendo, en cuanto a lo que he visto y oído, y situándonos en el ambiente de las ciencias sociales, que es distinto a lo que estamos acostumbrados… de que los resultados son válidos en todos lados, son matemáticas, pero aquí no estamos hablando de matemáticas, sino didáctica de las matemáticas, y ese término socioepistemología sí ha traspasado las fronteras es sólo es hacia Latinoamérica donde México tiene gran influencia y no más.

En conclusión, podemos mencionar que no obstante los puntos mencionados antes, y que

representan puntos que todo curso de formación debe tener en cuenta, los profesores

mostraron una actitud positiva hacia el modelo presentado, produciendo comentarios

favorables respecto a la viabilidad de su consideración como modelo orientador y su

contemplación como un modelo que puede reportar beneficios al aprendizaje de los

alumnos. Esto nos permite vislumbrar que es posible engranar un mayor número de

155

Capítulo 6: Reflexiones finales y conclusiones

resultados provenientes de la didáctica de las matemáticas, en la capacitación y formación

del profesor universitario.

Por otra parte, las problemáticas anteriores que se relacionan con los señalamientos

realizados en capítulos previos respecto a la postura de los profesores frente a los resultados

de didáctica, nos llevan a plantear algunas sugerencias para el diseño de nuevos cursos de

formación. Primeramente, podemos sugerir que las temáticas que se aborden en un primer

curso no contradigan fuertemente y de tajo la epistemología del profesor, pues ello puede

hacer surgir en los profesores una actitud de rechazo a lo que se le comunica y objetar la

viabilidad de llevar a cabo lo que se le propone. Se debe buscar una incidencia gradual

sobre ella, lo que reportará mejores resultados. Otra sugerencia es que, además de buscar

mostrarle al profesor las problemáticas que su práctica puede causar, también se les

proporcionen algunos resultados prácticos que puedan aplicar prontamente dentro de sus

clases, e ir mirando los aportes de su formación. También podemos sugerir, hacerle ver al

profesor que un cambio en sus prácticas docentes será beneficioso para todos los alumnos,

tanto para aquellos que consideran “buenos” como para los otros alumnos, pues esto se

vuelve una objeción fuerte por parte del profesor. Finalmente mencionaremos la

importancia de que las temáticas y el modelo a proponer tengan a la propia matemática

como punto de estudio, como objeto a problematizar a la luz de la enseñanza ó como hoy

día se busca el aprendizaje, para que el profesor no vea afectadas las exigencias propias que

esta disciplina hace a sus estudiosos y a sus usuarios, pero sí se logre incidir sobre ellas.

156

Capítulo 6: Reflexiones finales y conclusiones

Todo lo anterior nos permite ver que cualquier curso de formación debe contemplar el

ámbito en el que se desarrolla el profesor, así como también en necesario que contemple

resultados similares a los aquí establecidos, pues de ello dependerá el éxito de los mismos.

Por último, quisiéramos agregar que las temáticas referentes a la dualidad objeto-proceso

de los conceptos matemáticos, el uso de la tecnología como herramienta cognitiva, la

visualización, así como los diferentes registros de representación de los conceptos

matemáticos, constituyen temáticas que los profesores han vislumbrado como útiles durante

su experiencia docente, lo que los lleva a presentar cierto interés en una capacitación en

ellos. Por otra parte, el pensamiento y lenguaje variacional, aún cuando fue un tema de gran

discusión y que motivó cambios en el discurso de los profesores, parece ser tomado con

ciertas reservas, esto por lo aparentemente difícil de desarrollar en ciertos tiempos.

157

Bibliografía

Aparicio, E. (2003). Sobre la noción de continuidad puntual: Un estudio de las formas

discursivas utilizadas por los estudiantes de Ingeniería en contextos de geometría

dinámica. Tesis de maestría, CINVESTAV – IPN, México.

Aparicio, E.; Cantoral, R. (2006). Aspectos discursivos asociados a la noción de

continuidad puntual. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática

Educativa, 9 (1), 1 – 29.

Aparicio, E.; Ávila, E. (2006). Las dificultades que presentan estudiantes universitarios

en el área de cálculo. En memoria electrónica del V Encuentro de Investigación

Educativa. pp. 1 – 11.

Apostol, T. (1982). Calculus. Cálculo con funciones de una variable, con una

introducción al álgebra lineal. Vol 1. España. Editorial Reverté.

Aréchiga, J. (1998). Problema de la transferencia de las matemáticas. Revista

Academia (en línea), 4, http://www.uag.mx/63/a04-04.htm (recuperado el día 8 de

agosto).

Artigue, M. (1995a). El lugar de la didáctica de las matemáticas en la formación de los

profesores. En Artigue, M. (Ed). Ingeniería didáctica en educación Matemática. Un

158

esquema para la investigación y la innovación en la enseñanza y aprendizaje del

cálculo. (7 - 23) Bogotá, Colombia. Editorial Iberoamérica.

Artigue, M. (1995b). Ingeniería didáctica. En Artigue, M. (Ed). Ingeniería didáctica en

educación Matemática. Un esquema para la investigación y la innovación en la

enseñanza y aprendizaje del cálculo. (33 - 59) Bogotá, Colombia. Editorial

Iberoamérica.

Artigue, M. (1995c). La enseñanza de los principios del cálculo: Problemas

epistemológicos, cognitivos y didácticos. En Artigue, M. (Ed). Ingeniería didáctica en

educación Matemática. Un esquema para la investigación y la innovación en la

enseñanza y aprendizaje del cálculo. (96 - 135). Bogotá, Colombia. Editorial

Iberoamérica.

Bagni, G. (2004). Una experiencia didáctica sobre funciones en la escuela secundaria.

Revista Latinoamericana de Matemática Educativa, 7 (1), 5-25.

Bonacina, M., et. al., (2004). Funciones en la resolución de problemas. Acta

latinoamericana de matemática educativa. Volumen 17, pp. 911 – 918.

Bozola, A; Rodrigues, S. (1995). La enseñanza del cálculo – Una cuestión de

involucramiento. Revista Educación Matemática, 7 (1), 100 – 107.

Brousseau, G. (1990a). ¿Qué pueden aportar a los enseñantes los diferentes enfoques de

la didáctica de las matemáticas? Parte 1. Revista enseñanza de las ciencias, 8 (3), 259-

267.

159

Brousseau, G. (1990b). ¿Qué pueden aportar a los enseñantes los diferentes enfoques de

la didáctica de las matemáticas? Parte 2. Revista enseñanza de las ciencias, 9 (1), 10 –

21.

Bruosseau, G. (2000). Educación y didáctica de las matemáticas. Revista Educación

Matemática, 12 (1), 5 - 38.

Castillo, A., et al (2005). Un proceso de actualización integral de profesores de

matemáticas en el uso didáctico de los sistemas de cómputo simbólico: Resultados

preliminares y reflexiones. Acta latinoamericana de matemática educativa. Volumen

18, 711 – 715.

Camarena, P. (2004). La matemática en el contexto de las ciencias. Acta

latinoamericana de matemática educativa. Volumen 17, 57 – 61.

Campanario, M. (2003). Contra algunas concepciones y prejuicios comunes de los

profesores universitarios de ciencias sobre la didáctica de las ciencias, Revista

Enseñanza de las Ciencias. 21 (2), 319 - 328.

Cantoral, R. (1993). Hacia una didáctica del cálculo basada en la cognición,

Publicaciones Centroamericanas. 7, 391 – 410. CINVESTAV, México.

Cantoral R.; Farfán, R. (2000). Pensamiento y lenguaje variacional en la introducción

al análisis. En Cantoral R. (Ed). El futuro del cálculo infinitesimal (69 – 91). México.

Editorial Iberoamérica.

160

Cantoral, R.; Montiel, G. (2001). Funciones: Visualización y pensamiento matemático.

México. Editorial Person Educación.

Cantoral, R., et al., (2003). Desarrollo del pensamiento matemático. México. Editorial

Trillas.

Cantoral, R; Reséndiz, E. (2003). El papel de la variación en las explicaciones de los

profesores, un estudio en situación escolar. Revista Latinoamericana de Investigación

en Matemática Educativa, 6 (2), 133 - 154.

Cantoral, R.; Farfán, R. (2004). La matemática escolar: orígenes y dificultades. En

Cantoral y Farfán (Ed.). Desarrollo conceptual del cálculo (pp. 1 – 15). México:

Editorial Thomson.

Cantoral, R. (2004). Desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional, una mirada

socioepistemológica. Acta latinoamericana de matemática educativa. Volumen 17, 1 –

9.

Cantoral, R., et, al. (2005). Socioepistemología de la predicción. Acta latinoamericana

de matemática educativa. Volumen 18, 463 – 468.

Cordero, F (2001). La formación y distinción de construcciones en la didáctica del

cálculo y del análisis: una visión sociocultural. Acta latinoamericana de matemática

educativa. Volumen 14, 53 – 59.

161

D`Amore, B; Martini, B. (2000). Sobre la preparación teórica de los maestros de

matemáticas. Revista Latinoamericana de Matemática Educativa. 3 (1), 33 - 45.

D`Amore, B. (2000). Escolarización del saber y de las relaciones: efectos sobre el

aprendizaje de las matemáticas. Revista Latinoamericana de Matemática Educativa. 3

(3), 321 - 338.

Douady, R. (1995). La Ingeniería didáctica y la evolución de su relación con el

conocimiento. En Artigue, M. (Ed). Ingeniería didáctica en educación Matemática. Un

esquema para la investigación y la innovación en la enseñanza y aprendizaje del

cálculo (61-96) Bogotá, Colombia. Editorial Iberoamérica.

Farfán, R.; García, M. (2005). Representación y comprensión del concepto de función.

Acta latinoamericana de matemática educativa. Volumen 18, 489-494.

Fregona, D. (1999). La didáctica de la matemática y la formación de profesores de

matemáticas. Revista Educación Matemática, 11 (2), 5 - 15.

García, E. (2006a). Una caracterización de la cultura didáctica al interior del aula de

cálculo. Factor reflexivo del quehacer docente en los estilos de aprendizaje. Tesis de

licenciatura, Universidad Autónoma de Yucatán, Yucatán, México.

García, E. (2006b). Un estudio descriptivo de las interacciones en el aula. Elementos de

análisis en la reprobación y rezago de cálculo. Tesis de licenciatura, Universidad

Autónoma de Yucatán, Yucatán, México.

162

Gatica, N; Tauber, L. (2002). Representación y comprensión del concepto de función.

Acta latinoamericana de matemática educativa. Acta latinoamericana de matemática

educativa, Volumen 15, 1010-1015.

Godino, J., et. al., (2005). Conflictos epistémicos en un proceso de estudio de la noción

de función. Implicaciones para la formación de profesores. Acta latinoamericana de

matemática educativa. Volumen 18, 349 – 355.

Gonzáles, M. (2003). Transferencia de la matemática a la economía: una experiencia

en la red. Recuperado el día 6 de agosto de

http://gte.uib.es/cd_edutec_2003/ponencias/85.doc

Goméz, M. (2003). ¿Cómo contribuir a la transferencia del aprendizaje, mediante la

enseñanza de las funciones cuadráticas? Boletín de la sociedad cubana de matemática y

computación. 1 (3). Recuperado de

http://www.mfc.uclv.edu.cu/scmc/Boletin/N2/textos/Ens.Matem.General/EMG36%20

Mario%20ArmandoUH.doc

Hitt, F. (1987). Obstáculos en el aprendizaje del concepto de función. En Cantoral (Ed)

Memorias de la primera reunión centroamericana y del caribe sobre la formación de

profesores e investigación en matemática educativa. (pp. 243-248). CINVESTAV,

México.

Marcolini, M; Perales, J. (2005). La noción de predicción: Análisis y propuesta

didáctica para la educación universitaria. Revista Latinoamericana de Investigación en

Matemática Educativa, 8 (1), 25 - 68.

163

Meel, D. (2003). Modelos y teorías de la comprensión matemática: Comparación de los

modelos de Pirie y Kieren sobre el crecimiento de la comprensión matemática y la

Teoría APOE. Revista Latinoamericana de Matemática Educativa, 6 (3), 221 – 271.

Meneguzzi, A. (2004). Formación de profesores en la Universidad: Formación

pedagógica y calidad en el desempeño profesional. Recuperado de

http://fgsnet.nova.edu/cread2/pdf/Meneguzzi.pdf, 15 de abril de 2006.

Mingüer, A. (2001). Las situaciones didácticas, una propuesta para la formación de

profesores de matemáticas: La experiencia en un curso-taller. Revista Tiempo de

Educar, 3 (6), 11-38. Estado de México, México.

Mingüer, L. (2002). Estrategias para la actualización docente de los profesores de la

materia de Cálculo en el Nivel Superior de Educación. Acta latinoamericana de

matemática educativa, Volumen 15, 1267-1272.

Moreno, M (2005). El papel de la didáctica en la enseñanza del cálculo: evolución,

estado actual y retos futuros. En Maz, et. al., (Ed) Investigación en Educación

Matemática. Reportes del Noveno Simposio de la Sociedad Española de Educación

Matemática SEIEM. (pp. 81 – 96). Córdoba, España.

Nérici, I. (1989). Didáctica. En Nérici (Ed) Hacia una didáctica general dinámica. (pp.

50 – 70) Colombia: Editorial Kapelusz.

164

Ochoviet, C., et. al., (2006). Concepciones de los estudiantes, acerca de la gráfica de

una función lineal. Acta latinoamericana de matemática educativa. Volumen 19, 485 –

490.

Parra, H. (2004). El contenido matemático escolar en situaciones de aprendizaje en la

formación inicial de profesores. Acta latinoamericana de matemática educativa.

Volumen 17, 280 – 283.

Parra, H. (2005). Creencias matemáticas y la relación entre actores del contexto. Revista

Latinoamericana de Matemática Educativa. 8 (1), 69 - 90.

Ruiz, L. (2001). Ingeniería didáctica. Construcción y análisis de situaciones de

enseñanza-aprendizaje. Acta latinoamericana de matemática educativa. Volumen 14,

122 – 130.

Sastre, P. et al (2006). Evolución histórica de las metáforas en el concepto de función.

Acta latinoamericana de matemática educativa. Volumen 19, pp. 22 – 27.

Spivak, M. (2001). Calculus. Cálculo infinitesimal. España: Editorial Reverterá.

Steward, J. (2003). Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. Bogota,

Colombia. Editorial Thomson Learning Editores.

Vivas, G. et al., (2003). Propuesta para la formación del profesorado universitario.

Revista Acción Pedagógica. 12 (2), 60 - 66.

165

Wenzelburger, E. (1993). Cálculo diferencial. Una guía para maestros y alumnos. (pp.

1 – 4). México: Editorial Iberoamérica.

Zúñiga, L. (2002). Una experiencia en cálculo con aprendizaje basado en problemas.

Acta latinoamericana de matemática educativa. Volumen 15, 1022 – 1027.

166

ANEXO A

Actividad

Dada la siguiente gráfica de una función indique la porción en la que se cumpla lo

siguiente:

-2 -1 1 2

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

1. Marca sobre la gráfica de la función que aparece enseguida la porción que

consideres que cumple con la condición . 0)( >xf

2. Marca sobre la gráfica de la función que aparece enseguida la porción que

consideres que cumple con la condición . 0)´( >xf

3. Marca sobre la gráfica de la función que aparece enseguida la porción que

consideres que cumple con la condición . 0)``( >xf

4. Marca sobre la gráfica de la función que aparece enseguida la porción que

consideres que cumple con la condición 0)( >′′′ xf .

167

ANEXO B

Actividad

Pedro se ha enterado de las nuevas tarifas de energía eléctrica que se desea implementar en

la región en donde vive, esto con el fin de solventar un problema que el cálculo de dichas

tarifas generaba y adecuar los cobros a los gastos en la producción de la energía. Debido a

que en esa región se consumen muchos kilowatts de electricidad, se propone establecer una

tasa preferencial para aquellos usuarios que consuman una cantidad menor o igual a 300

Kw. y cobrar una tasa mayor por cada kilowatt que sobrepase ese margen. En un volante se

propone la siguiente tabla para ejemplificar los nuevos costos.

1º bimestre 2º bimestre 3º bimestre 4º bimestre 5º bimestre.

Costo 125 228.4 310 67.75 158

Consumo 250 398 500 135.5 310

1. Con el antiguo plan tarifario Pedro pagaba $225 pesos por un gasto de 375 Kw., lo

cual constituía su gasto promedio durante todo el año ¿Le conviene el cambio de

tarifas, para pagar menos en su consumo? Justifica tu razonamiento.

168

2. La siguiente gráfica relaciona el consumo de kilowatts realizado con el pago

correspondiente utilizando para ello las antiguas tarifas.

a. ¿Existe una descripción del modo como se calculaban las tarifas antiguas?

Explica.

b. ¿A qué personas les conviene más el cambio de tarifas?

-50 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

-80

-40

40

80

120

160

200

240

280

320

360

400

x

y

169