RESUMEN PSU MATEMÁTICAS Ayuda para el estudiante Compendio de los conocimientos mínimos obligatorios necesarios para rendir la Prueba de Selección Universitaria 2012, Chile. Este manual no incluye todas las unidades temáticas, aunque si la gran parte. Contacto: ageoftides@gmail.com

Aviso pedagógico

Este documento no pretende ser más que una guía de apoyo y su mera memorización no logrará buenos resultados. La única manera de aprender matemáticas es mediante la resolución de problemas y la aplicación personal de los contenidos mediante el ejercicio continuo. Edison Muñoz 2012

Cap

ítu

lo:

I. P

RO

DU

CTO

S N

OTA

BLE

S

1

I. PRODUCTOS NOTABLES ................................................................................................................................. 2

II. CODIFICACIÓN .............................................................................................................................................. 3

III. ECUACIONES ................................................................................................................................................ 4

IV. LOGARITMOS ............................................................................................................................................... 5

V. FUNCIONES ................................................................................................................................................... 6

VI. SUCESIONES ................................................................................................................................................ 9

VII. ÁNGULOS .................................................................................................................................................... 9

VIII. TRIÁNGULOS ............................................................................................................................................ 10

IX. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS ................................................................................................................ 14

X. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS ...................................................................................................................... 14

XI. CUADRILÁTEROS ........................................................................................................................................ 15

XII. POLÍGONOS .............................................................................................................................................. 20

XIII. CIRCUNFERENCIA ..................................................................................................................................... 21

XIV. CÍRCULO .................................................................................................................................................. 23

XV. CUERPOS POLIEDROS ............................................................................................................................... 24

XVI. CUERPOS REDONDOS .............................................................................................................................. 26

XVII. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA ............................................................................... 27

XVIII. TRIGONOMETRÍA ................................................................................................................................... 28

XIX. PROBABILIDADES ..................................................................................................................................... 30

Falta ................................................................................................................................................................ 31

Cap

ítu

lo:

I. P

RO

DU

CTO

S N

OTA

BLE

S

2

I. PRODUCTOS NOTABLES

· Cuadrado de binomio:

–

· Suma por su diferencia:

· Producto de binomios:

· Cubo de binomio:

–

· Cuadrado de trinomio:

· Suma de cubos:

· Diferencia de cubos:

Cap

ítu

lo:

II. C

OD

IFIC

AC

IÓN

3

II. CODIFICACIÓN

· N.° natural cualquiera:

· El antecesor de un n.°:

· El sucesor de un n.°:

· N.° natural par:

· N.° natural impar:

· El cuadrado del sucesor de un n.°:

· El sucesor del cuadrado de un n.°:

· El cuadrado del sucesor del antecesor de un n.°:

· Dos n.os naturales impares consecutivos: ,

· El inverso aditivo u opuesto de un n.°: –

· El inverso multiplicativo o recíproco de un n.°:

· El triple de un n.°:

· Un n.° de dos cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u y la cifra de las decenas es d:

· Un n.° de tres cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u, la cifra de las decenas es d y la

cifra de las centenas es c:

· La razón o cociente entre p y q:

· El valor absoluto de un n.°:

· p es directamente proporcional a q:

k: constante

· p es inversamente proporcional a q:

Cap

ítu

lo:

III.

EC

UA

CIO

NES

4

III. ECUACIONES

A. ECUACIÓN LINEAL

· Ecuación principal de la recta:

m: pendiente, n: coeficiente de posición

· Ecuación general de la recta:

· Pendiente:

· Rectas paralelas:

· Rectas perpendiculares: –

· Distancia entre dos puntos:

· Coordenadas del punto medio:

B. ECUACIÓN CUADRÁTICA

· Ecuación cuadrática:

· Fórmula cuadrática:

· N.° de soluciones y cortes en el eje x:

∆: discriminante –

Dos raíces reales y distintas. Dos cortes en el eje x.

Dos raíces reales e iguales. Un corte en el eje x.

No tiene raíces reales. La función no corta al eje x.

· Propiedades de las raíces:

Cap

ítu

lo:

IV. L

OG

AR

ITM

OS

5

IV. LOGARITMOS

·

·

·

·

·

·

·

·

Cap

ítu

lo:

V. F

UN

CIO

NES

6

V. FUNCIONES

A. FUNCIÓN DE PRIMER GRADO

·

B. FUNCIÓN LINEAL

· Función de primer grado , con :

· La recta pasa por el origen.

C. FUNCIÓN IDENTIDAD

· Función lineal , con :

· La recta pasa por el origen.

· Existe una proporcionalidad directa entre x e y.

y

x

y

x

y

x

y

x

Cap

ítu

lo:

V. F

UN

CIO

NES

7

D. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

· Asigna a cada número real x, un número no negativo:

E. FUNCIÓN CONSTANTE

· Función de grado cero.

· Su gráfico es una recta horizontal.

F. FUNCIÓN CUADRÁTICA

· Función de segundo grado:

· Se grafica una curva llamada parábola.

G. FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

· Su dominio es .

y

x

–

y

x

y

x

3

y

x

Cap

ítu

lo:

V. F

UN

CIO

NES

8

y

x

y

x

H. FUNCIÓN EXPONENCIAL

· Función del tipo , con

· Existen dos casos: y

· La curva es asintótica (se acerca sin tocar) al eje x (1° y 4° cuadrante).

PRIMER CASO SEGUNDO CASO

· La función es creciente. · La función es decreciente

I. FUNCIÓN LOGARÍTMICA

· Inversa a la función exponencial.

· De tipo , con .

· Existen dos casos: y .

· La curva es asintótica al eje y (1° y 2° cuadrante).

PRIMER CASO SEGUNDO CASO

· La función es creciente. · La función es decreciente.

y

x

y

x

Cap

ítu

lo:

VI.

SU

CES

ION

ES

9

1 2

4 3

5 6 5 6

L1

L3

L2

L1 L2

8 7

VI. SUCESIONES

A. SUCESIÓN ARITMÉTICA

· Término general o:

· Diferencia entre dos términos consecutivos:

· Suma de los n primeros números:

B. SUCESIÓN GEOMÉTRICA

· Término enésimo:

· Razón entre 2 términos:

· Suma de los n primeros números:

VII. ÁNGULOS

· Medición:

· Complemento de

· Suplemento de

· Ángulos correspondientes:

(1 y 5), (2 y 6), (3 y 7), (4 y 8)

· Ángulos alternos internos: (3 y 5), (4 y 6)

· Ángulos alternos externos: (1 y 7), (2 y 8)

Cap

ítu

lo:

VII

I. TR

IÁN

GU

LOS

10

α

α’

β β'

γ γ'

A

B

C

h

VIII. TRIÁNGULOS

A. PROPIEDADES

·

·

·

·

· ; ;

· Cada lado es menor que la suma de los otros dos lados.

· Cada lado es mayor que la diferencia entre los otros dos lados.

· Al lado de mayor medida se le opone el ángulo mayor.

· Al lado de menor medida se le opone el ángulo menor.

B. CLASIFICACIÓN

Clasificación según ángulos:

Rectángulo: un ángulo recto (90°).

Acutángulo: tres ángulos agudos (menores que 90°).

Obtusángulo: un ángulo obtuso (mayor que 90°).

Clasificación según lados:

Equilátero: tres lados iguales.

Isósceles: dos lados iguales.

Escaleno: tres lados distintos.

Cap

ítu

lo:

VII

I. TR

IÁN

GU

LOS

11

A

L M

C

B N

G

C. TRANSVERSAL DE GRAVEDAD

· Trazo que une el vértice con el punto

medio del lado opuesto.

; ;

· Las tres transversales de gravedad se

intersectan en un mismo punto llamado

centro de gravedad (G) y el triángulo

queda dividido en seis triángulos

equivalentes (de igual área).

D. ALTURA

· Recta que pasa por un vértice y es

perpendicular al lado opuesto o a su

prolongación.

· Un triángulo tiene tres alturas.

· La intersección de las alturas se llama

ortocentro (H).

E. BISECTRIZ

· Recta que pasa por un vértice y divide

el ángulo en dos ángulos congruentes.

· La intersección de las bisectrices se

llama incestro (I).

A

C

B

L M

N

H

G

A

C

B

L M

N

I

I

Cap

ítu

lo:

VII

I. TR

IÁN

GU

LOS

12

F. SIMETRAL

· Recta perpendicular construida sobre

el punto medio de cada lado del

triángulo.

· La intersección de las simetrales se

llama circuncentro (O).

G. MEDIANA

· Segmento que une cualquier par de

puntos medios de los lados del

triángulo.

· Es paralela al lado opuesto

; ;

· Mide la mitad del lado al cual es

paralela.

;

;

H. TRIÁNGULO EQUILÁTERO

· Los tres lados miden lo mismo:

· Los ángulos interiores miden 60°:

·

·

A

C

B

L

N

O

O

A

C

B

L M

N

a b

c

C

B A α β

γ

h

Cap

ítu

lo:

VII

I. TR

IÁN

GU

LOS

13

I. TRIÁNGULO ISÓSCELES

· Dos lados congruentes ( ) y una

base (c)

· Los ángulos basales son iguales ( )

L. TRIÁNGULO RECTÁNGULO

· Posee un ángulo recto.

· Teorema de Pitágoras:

· Teorema de Euclides:

· Números pitagóricos:

a b c

3 4 5

5 12 13

8 15 17

7 24 25

20 21 29

12 35 37

a b

c

C

B A

α β

γ

h

A

a

b

c

C

B

h

p q

a y b: catetos

c: hipotenusa

Cap

ítu

lo:

IX. C

ON

GR

UEN

CIA

DE

TRIÁ

NG

ULO

S

14

IX. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

· Dos triángulos son congruentes -de igual medida y forma- si tiene los tres lados correspondientes

congruentes y los tres ángulos correspondientes congruentes.

· Criterios:

LLL: los tres lados correspondientes de igual medida.

LAL: dos lados correspondientes iguales y el ángulo entre ellos igual.

ALA: dos ángulos y el lado entre ellos iguales.

LLA>: dos lados de igual medida y congruente el ángulo opuesto al mayor de los dos lados.

X. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

· Dos triángulos son semejantes –de igual forma- si tiene los lados correspondientes son proporcionales y los

ángulos correspondientes son congruentes.

· Criterios:

LLL: los tres lados correspondientes proporcionales.

LAL: dos lados correspondientes proporcionales y ángulo entre ellos igual.

AA: dos ángulos correspondientes iguales.

Cap

ítu

lo:

XI.

CU

AD

RIL

ÁTE

RO

S

15

XI. CUADRILÁTEROS

· Los ángulos interiores suman 360°.

· Los ángulos exteriores suman 360°.

· Clasificación según par de lados opuestos paralelos:

Paralelogramos: dos pares.

Trapecios: un par.

Trapezoides: ningún par.

A. PARALELÓGRAMOS

· Tienen dos pares de lados opuestos paralelos.

Se clasifican en:

Cuadrado

Rectángulo

Rombo

Romboide

1. CUADRADO

· Cuatro ángulos interiores rectos.

· Cuatro lados congruentes.

· Lados opuestos paralelos.

· Las diagonales son iguales y son perpendiculares.

· Las diagonales se bisecan.

· Las diagonales bisecan los ángulos.

· Se puede inscribir una circunferencia.

· Se puede circunscribir una circunferencia.

·

·

·

A B

D C

a

d1

d2

a

a

a

a

Cap

ítu

lo:

XI.

CU

AD

RIL

ÁTE

RO

S

16

2. RECTÁNGULO

· Los cuatro ángulos interiores rectos.

· Lados opuestos de igual medida.

· Lados opuestos paralelos.

· Las diagonales son congruentes y se bisecan.

· Se puede circunscribir una circunferencia.

·

·

3. ROMBO

· Los cuatro lados de igual medida.

· Lados opuestos paralelos.

· Ángulos opuestos congruentes.

· Ángulos contiguos suplementarios.

· Las diagonales son perpendiculares.

· Las diagonales se bisecan y bisecan los ángulos.

· Se puede inscribir una circunferencia.

·

· /

4. ROMBOIDE

· Lados opuestos de igual medida.

· Lados opuestos paralelos.

· Ángulos opuestos congruentes.

· Ángulos contiguos suplementarios.

· Las diagonales se bisecan.

·

·

A B

D C

a

d1

d2 h b

a

b

A B

D C

a

d2 d1

f

h

a

a a

D

A B

C

a

b

d1

d2

a

b

Cap

ítu

lo:

XI.

CU

AD

RIL

ÁTE

RO

S

17

B. TRAPECIO

· Tienen un par de lados opuestos paralelos llamados basales.

· Trapecio Escaleno – Trapecio Isósceles – Trapecio Rectángulo

1. TRAPECIO ESCALENO

· Lados no paralelos no son congruentes.

·

·

·

·

· /

2. TRAPECIO ISÓSCELES

· Lados no paralelos son congruentes:

·

· Las diagonales son congruentes.

· Ángulos contiguos suplementarios.

·

·

·

· /

A B

D C

a

h

d c

b

N M

α

α

β

γ δ d1

d2

A B

D C

a

h

d c

b

N

M

α β

γ

D

c

M

A

h

a

β

B

N

δ

Cap

ítu

lo:

XI.

CU

AD

RIL

ÁTE

RO

S

18

3. TRAPECIO RECTÁNGULO

· Uno de sus lados no paralelos es perpendicular a las bases.

·

·

·

·

· Ángulos en A y D son rectos.

·

·

· /

4. MEDIANA DE UN TRAPECIO

· Segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos.

· Es paralela a las bases: ;

·

C. TRAPEZOIDES

· No tienen lados opuestos paralelos.

A B

D C

N M

b

a

A B

D C

a

d

b

N M

h c

β

γ

A B

D

a

d

c

b

α

α

β

γ

δ

C

Cap

ítu

lo:

XI.

CU

AD

RIL

ÁTE

RO

S

19

D. PROPIEDADES DE OTROS CUADRILATEROS

· En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos

opuestos son suplementarios:

· En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, las sumas

de cada par de lados opuestos son iguales entre sí:

A B

D

α β

γ δ C

A B

D

a

d

c

b

C

Cap

ítu

lo:

XII

. PO

LÍG

ON

OS

20

XII. POLÍGONOS

· Figura plana limitada por lados rectos.

· De acuerdo al n.° de lados se clasifican en:

3 lados: triángulo. 9 lados: nonágono o eneágono.

4 lados: cuadrilátero. 10 lados: decágono.

5 lados: pentágono. 11 lados: undecágono o endecágono.

6 lados: hexágono. 12 lados: dodecágono.

7 lados: heptágono. 15 lados: pentadecágono.

8 lados: octágono u octógono. 20 lados: icoságono o isodecágono.

· La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es:

(n = número de lados del polígono)

· La suma de los ángulos exteriores es .

· N.° de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un polígono de n lados: –

· N.° total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados:

A. POLÍGONOS REGULARES

· Tienen todos sus lados y sus ángulos internos iguales.

· Cada ángulo interior de un polígono de n lados mide:

· Cada ángulo exterior de un polígono de n lados mide:

· Se les puede inscribir y circunscribir una circunferencia.

Cap

ítu

lo:

XII

I. C

IRC

UN

FER

ENC

IA

21

XIII. CIRCUNFERENCIA

·

·

A. ÁNGULO DEL CENTRO

· El ángulo del centro mide lo mismo que el arco correspondiente.

· Si , entonces

B. ÁNGULO INSCRITO

· El ángulo inscrito mide la mitad del arco correspondiente.

C. ÁNGULO INTERIOR

D. ÁNGULO EXTERIOR

B

A C

D

C B

A

P x

D

C

B

A

O

P x

B

O A

Cap

ítu

lo:

XII

I. C

IRC

UN

FER

ENC

IA

22

E. ÁGULO SEMINCRITO

· Ángulo cuyo vértice está en la circunferencia y sus lados son una

tangente y una cuerda.

F. TEOREMA DE LAS CUERDAS

G. TEOREMA DE LAS SECANTES

H. TEOREMA DE LA TANGENTE Y SECANTE

A

O

P

Q

x

C

B D

P

A

C

B

D

P

A

A

B

P

T

Cap

ítu

lo:

XIV

. CÍR

CU

LO

23

XIV. CÍRCULO

A. SECTOR CIRCULAR

Área del sector =

B. SEGMENTO CIRCULAR

Área segmento circular =

Área sector circular AOB – Área ΔAOB

Área segmento circular =

– Área

C. CORONA O ANILLO CIRCULAR

Área del anillo = –

R = radio círculo mayor

r = radio círculo menor

A

B

O

A B

O

Cap

ítu

lo:

XV

. CU

ERP

OS

PO

LIED

RO

S

24

XV. CUERPOS POLIEDROS

· Están limitados por superficies planas y de contorno poligonal.

· Se clasifican en:

Regulares

Irregulares

A. POLIEDROS REGULARES

· Sus caras son polígonos regulares congruentes entre sí.

· Son cinco:

· Para calcular su área se debe multiplicar el área de una de sus caras por el

número total de caras del poliedro.

a. Tetraedro:

tiene 4 caras (triángulos

equiláteros), 4

vértices, 6 aristas.

b. Octaedro:

tiene 8 caras (triángulos equiláteros), 6 vértices, 12 aristas. Son

dos pirámides unidas por su base común.

c. Icosaedro:

tiene 20 caras (triángulos

equiláteros), 12 vértices, 30

aristas.

d. Hexaedro o cubo:

tiene 6 caras (cuadrados),

8 vértices, 12 aristas, 4

diagonales congruentes. e. Dodecaedro: tiene

12 caras (pentágonos

regulares), 20 vértices,

30 aristas.

Cap

ítu

lo:

XV

. CU

ERP

OS

PO

LIED

RO

S

25

B. POLIEDROS IRREGULARES

· No tienen todas sus caras congruentes.

· Se clasifican en:

Prismas

Pirámides

1. PRISMA

· Tiene dos polígonos iguales de base y varios paralelogramos como caras

laterales.

·

·

·

2. PIRÁMIDE

· Tiene una base que es un polígono y las caras laterales son triángulos que

tienen un vértice en común también llamado cúspide.

·

·

ab

h ap

Cap

ítu

lo:

XV

I. C

UER

PO

S R

EDO

ND

OS

26

XVI. CUERPOS REDONDOS

· Están limitados por superficies curvas o superficies curvas y planas.

· Los principales son:

Cilindro

Cono

Esfera

A. CILINDRO

· Se forma al hacer girar un rectángulo en torno a un eje que puede ser cualquiera de

sus lados.

·

·

B. CONO

· Se forma al hacer girar un triángulo rectángulo en torno a un eje situado sobre

uno de sus catetos.

·

·

C. ESFERA

· Se forma al hacer girar una semicircunferencia en torno a su diámetro.

·

·

h

r

h

r

r

g

Cap

ítu

lo:

XV

II. D

IVIS

IÓN

DE

UN

SEG

MEN

TO E

N U

NA

RA

ZÓN

DA

DA

27

XVII. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

A. DIVISIÓN INTERIOR

· Dividir interiormente el segmento en la razón , significa

encontrar en el interior del trazo un punto P tal que:

B. DIVISIÓN EXTERIOR

· Dividir exteriormente el segmento en la razón , significa encontrar en el exterior del trazo (en

su prolongación) un punto

Q tal que:

C. DIVISIÓN

ARMÓNICA

· Dividir armónicamente el trazo

en la razón , significa

dividirlo interiormente (punto P)

y exteriormente (punto Q) en

una misma razón dada, tal que:

D. SECCIÓN ÁUREA

· Dividir un segmento en sección áurea o divina,

o en media y extrema razón, consiste en dividirlo

interiormente en dos partes tal que:

A B P

m n

A B P

n

m

m’ n’

Q B A A Q’ B

m

n

m

n

A B P Q

m n

m’

n’

Cap

ítu

lo:

XV

III.

TR

IGO

NO

MET

RÍA

28

XVIII. TRIGONOMETRÍA

A. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

·

·

·

·

·

·

B. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

a b

c

C

B A α

Cap

ítu

lo:

XV

III.

TR

IGO

NO

MET

RÍA

29

C. VALORES EXACTOS PARA ALGUNAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Función 0° 30° 45° 60° 90°

sen α

cos α

tg α

Indefinida

cosec α Indefinida

sec α

Indefinida

cot α Indefinida

D. TEOREMA DEL SENO

· En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

E. TEOREMA DEL COSENO

· En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos

el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo que forman.

Cap

ítu

lo:

XIX

. PR

OB

AB

ILID

AD

ES

30

XIX. PROBABILIDADES

A. PROBABILIDAD CLÁSICA

· Cuando la ocurrencia de un suceso (A) es igualmente posible que la ocurrencia de los demás:

B. PROPIEDADES

· Cuando dos sucesos (A y B) se excluyen mutuamente. Puede ocurrir A o B, pero nunca ambos.

· Cuando dos sucesos (A y B) no se excluyen mutuamente. Puede ocurrir A o B, o ambos.

· Cuando son eventos independientes (A y B). La ocurrencia de uno no influye en la ocurrencia del otro.

C. DIAGRAMA DEL ÁRBOL

· Representa de manera gráfica todos los resultados posibles.

Ej: calcular la probabilidad de obtener dos veces cara y una vez sello al lanzar tres veces seguidas una

moneda.

Resultados posibles: 8

CCC – CCS – CSC – CSS

SCC – SCS – SSC – SSS

Casos favorables: 3

CCS – CSC – SCC

Probabilidad del evento =

C

S

C

C

S

S

C

C

S

S

C

C

S

S

C C S

C S C

C S S

S C C

S C S

S S C

S S S

C C C

Cap

ítu

lo:

Falt

a

31

D. TRIÁNGULO DE PASCAL

· Triangulo que representa una regularidad

numérica.

· Se construye agregando un uno al inicio y

término de cada fila y sumando los números

adyacentes para dar origen al número

inferior comprendido entre ellos.

EJ.: calcular la probabilidad de obtener dos

veces cara y una vez sello al lanzar cuatro

veces seguidas una moneda.

Por potencias del binomio :

( C + S ) 1 = 1C + 1S

( C + S ) 2 = 1 C 2 + 2 C S + 1 S 2

( C + S ) 3 = 1 C 3 + 3 C 2 S + 3 C S 2 + 1S 3

( C + S ) 4 = 1C 4 + 4 C 3 S + 6 C 2 S 2 + 4 C S 3 + 1S 4

En el desarrollo de , el término representa 4 casos favorables para el resultado de tres

veces cara (C3) y una vez sello (S) sin importar su orden de aparición.

FALTA

Teorema de Tales

Transformaciones Isométricas

Profundizar ecuaciones y funciones