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TEMA 1 FUNDAMENTOS 1.1 LÓGICA DE PROPOSICIONES

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Apuntes para matemáticas de lógica de proposiciones.

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Page 1: Apuntes Matemticas Logica

TEMA 1 FUNDAMENTOS

1.1 LÓGICA DE PROPOSICIONES

Page 2: Apuntes Matemticas Logica

Proposiciones

Proposición, oración que siempre podemos afirmar que es verdadera o falsa.

Proposición simple, se limita a enunciar una cualidad de un ser o cosa.

Proposición compuesta, se obtiene combinando una o más proposiciones simples.

Page 3: Apuntes Matemticas Logica

Conectores lógicos

Se utilizan para combinar proposiciones simples.

Una tabla de verdad representa todas las posibilidades lógicas que pueden tomar las proposiciones simples, son 2n.

Variables proposicionales: p, q, r…

Constantes proposicionales: V, F.

Page 4: Apuntes Matemticas Logica

Un conector lógico es una partícula que se utiliza para formar las proposiciones compuestas.

Están ordenadas por orden de preferencia.

Las conexiones lógicas son:

Negación p

Conjunción ⋀

(p ⋀

q)

Disyunción ⋁

(p ⋁

q)

Condicional →

(p → q) ≡

(p ⋁

q)

Page 5: Apuntes Matemticas Logica

Cálculo de valores de verdad

p q p pq pq pqV V F V V VV F F F V FF V V F V VF F V F F V

Page 6: Apuntes Matemticas Logica

Razonamientos•

Un razonamiento es una conclusión que resulta ser verdadera y que deducimos de unas premisas.

Un razonamiento es lógicamente válido si siempre que las premisas son verdaderas lo es también la conclusión.

Un razonamiento que no es lógicamente válido se llama falacia.

Page 7: Apuntes Matemticas Logica

Razonamientos•

Las premisas implican lógicamente la conclusión, es decir, un razonamiento será

válido cuando:

p1 ⋀ p2 ⋀

… ⋀

pn → q

Page 8: Apuntes Matemticas Logica

Razonamientos•

Para probar la validez de un razonamiento se forma la tabla de verdad de las premisas y la conclusión y se comprueba que siempre que las premisas toman el valor de verdad V también la conclusión toma el valor de V.

Para mostrar que un razonamiento no es lógicamente válido basta encontrar un caso en el que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa.

Page 9: Apuntes Matemticas Logica

Reglas de inferencia•

Lo que afirma cada regla es que una estructura lógica produce siempre razonamientos válidos, cualesquiera que sean las proposiciones particulares que se sustituyan.

Page 10: Apuntes Matemticas Logica

Modus ponendo ponens

p qp

q

Page 11: Apuntes Matemticas Logica

Modus ponendo ponens

Page 12: Apuntes Matemticas Logica

Modus tollendo tollens

p qq

p

Page 13: Apuntes Matemticas Logica

Modus tollendo tollens

Page 14: Apuntes Matemticas Logica

Modus tollendo ponens

p q

p

q

p qq

p

Page 15: Apuntes Matemticas Logica

Modus tollendo ponens

Page 16: Apuntes Matemticas Logica

Modus tollendo ponens

Page 17: Apuntes Matemticas Logica

Silogismo hipotético

p qq r

p r

Page 18: Apuntes Matemticas Logica

Silogismo hipotético

Page 19: Apuntes Matemticas Logica

Deducción

Una deducción o demostración es el proceso que partiendo de las premisas nos lleva a la conclusión a través de una serie de proposiciones intermedias obtenidas a partir de las reglas de inferencia.

Page 20: Apuntes Matemticas Logica

TEMA 1 FUNDAMENTOS

1.2 CONJUNTOS

Page 21: Apuntes Matemticas Logica

Conceptos básicos

• Los conjuntos se representan con letras mayúsculas, A, B,C ,…

• Los elementos se representas con minúsculas, a, b, c, x, y, z.

• Relación de pertenencia:– El elemento a pertenece al conjunto X, a ∈ X– El elemento a no pertenece al conjunto Z, a ∉ Z

Page 22: Apuntes Matemticas Logica

Formas de definir un conjunto• Enumeración: enumeramos todos y cada uno de

los elementos.

• Conjunto definidos por enumeración:

– S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}

– V = {a, e, i, o, u}

Page 23: Apuntes Matemticas Logica

Formas de definir un conjunto• Descripción: definimos alguna característica

común a todos los elementos.

• Conjunto definidos por descripción:

– S = {días de la semana}

– V = {vocales del español}

Page 24: Apuntes Matemticas Logica

Formas de definir un conjunto

• Por descripción podemos definir de la siguiente manera los conjuntos:

• V es el conjunto de los elementos x que pertenecen al conjunto de las letras del alfabeto español A, tales que x es una vocal.

es vocalV x A x

Page 25: Apuntes Matemticas Logica

Relación de inclusión• Dados dos conjuntos A y B, se dice que A está

incluido en B y se escribe:

A ⊂

B• cuando todos los elementos de A pertenecen a

B.

• Si A está contenido en B se dice que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B.

• Si A y B son dos conjuntos tales que A⊂B y B⊂A entonces son iguales A = B.

Page 26: Apuntes Matemticas Logica

Relación de inclusión• Propiedades de la inclusión de conjuntos.

– Reflexiva: todo conjunto A está contenido en sí mismo. A⊂A

– Transitiva: Si un conjunto A está contenido en otro B, y B está contenido en otro conjunto C, entonces A está contenido en C.

– Si A⊂B

y , B⊂C

entonces A⊂C.

Page 27: Apuntes Matemticas Logica

Conjunto universal y vacío

• Conjunto universal, es el conjunto que contiene a todos los conjuntos que se analizan en un determinado contexto y se representa por U.

• Conjunto vacío es un conjunto que no tiene elementos, se representa por ∅.

• Cualquiera que sea el conjunto A se cumple ∅⊂A.

Page 28: Apuntes Matemticas Logica

El conjunto de las partes

• El conjunto de las partes de un conjunto A es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. Se representa por P(A).

• Si el conjunto A tiene n elementos, el conjunto de las partes de A tiene 2n elementos.

Page 29: Apuntes Matemticas Logica

DIAGRAMAS DE VENN• Los conjuntos suelen representarse por medio

de unos dibujos denominados diagramas de Venn.

• El conjunto universal lo representamos por un rectángulo y los conjuntos por círculos dentro del conjunto universal.

Page 30: Apuntes Matemticas Logica

OPERACIONES CON CONJUNTOS

• Intersección.• Conjuntos disjuntos.• Unión.• Conjunto complementario.• Diferencia.

Page 31: Apuntes Matemticas Logica

Intersección• La intersección de dos conjuntos A y B es el

conjunto que tiene como elementos los comunes a ambos conjuntos, se representa por A∩B.

U

Page 32: Apuntes Matemticas Logica

Conjuntos disjuntos• Dos conjuntos son disjuntos si no tienen

elementos comunes, A∩B=∅.

U A B

Page 33: Apuntes Matemticas Logica

Unión• La unión de los conjuntos A y B es el conjunto

que tiene como elementos los que pertenecen a alguno de los conjuntos, se representa por A∪B.

U

Page 34: Apuntes Matemticas Logica

Conjunto complementario• El conjunto complementario de A está

formado por los elementos del conjunto universal que no pertenecen a A, se representa por AC.

Page 35: Apuntes Matemticas Logica

Diferencia• La diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto

formado por los elementos de A que no pertenecen a B, se representa por A-B.

• La diferencia de dos conjuntos A y B es igual a la intersección de A con el complementario de B, se representa por A∩BC.

U

Page 36: Apuntes Matemticas Logica

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS

Page 37: Apuntes Matemticas Logica

TEMA 1 FUNDAMENTOS

1.3 APLICACIONES

Page 38: Apuntes Matemticas Logica

Concepto de aplicación

• Una aplicación entre dos conjuntos A y B es una transformación que convierte cada elemento del conjunto A en un único elemento del conjunto B.

• El conjunto A se llama conjunto inicial o dominio de la aplicación.

Page 39: Apuntes Matemticas Logica

Concepto de aplicación

• El conjunto B se llama conjunto final o rango de la aplicación.

• Las aplicaciones suelen designarse por las letras f, g, h y se representan por f:A→B o BA f

Page 40: Apuntes Matemticas Logica

• Si el elemento x ∈

A se transforma en el elemento y ∈

B se escribe y = f(x), se dice que

y es la imagen de x mediante la aplicación f.

Page 41: Apuntes Matemticas Logica

Imagen de un Subconjunto

• Sea f:A→B una aplicación y C ⊂

A. Se denomina imagen del subconjunto C al conjunto de las imágenes de los elementos de C.

• La imagen de C se representa por f(C).• En esta aplicación la imagen del subconjunto C = {1,2,3} ⊂

A es

igual a f(C) = {a,b} ⊂

B.

Page 42: Apuntes Matemticas Logica

Inversa de un Subconjunto

• Sea f:A→B una aplicación y D ⊂

B. Se denomina imagen inversa del subconjunto D al subconjunto formado por las preimagenes de los elementos de D, se representa por f -1(C).

• En esta aplicación la imagen inversa del subconjunto D = {1,3} ⊂

B es igual a f-1(C) = {b,c,d} ⊂

A.

Page 43: Apuntes Matemticas Logica

Tipos de aplicaciónTipos de aplicación• Una aplicación f:A→B es inyectiva si a cada valor del conjunto A le

corresponde un valor distinto en el conjunto B de f. Es decir, a cadacorresponde un valor distinto en el conjunto B de f. Es decir, a cadaelemento del conjunto A le corresponde un solo valor de B tal que,en el conjunto A no puede haber dos o más elementos que tenganla misma imagen.

Page 44: Apuntes Matemticas Logica

Tipos de aplicaciónTipos de aplicación• Una aplicación f:A→B es, sobreyectiva cuando cada elemento de

“B" es la imagen de como mínimo un elemento de “A".g

Page 45: Apuntes Matemticas Logica

Tipos de aplicaciónTipos de aplicación• Una aplicación f:A→B es, biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva

y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto dey y ; , jsalida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cadaelemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento delconjunto de salidaconjunto de salida.

Page 46: Apuntes Matemticas Logica

Composición de aplicaciones• Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la

2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].

Page 47: Apuntes Matemticas Logica

TEMA 1 FUNDAMENTOS

1.4 CARDINAL DE UN CONJUNTO

Page 48: Apuntes Matemticas Logica

1.4.1 Cálculo de cardinales con dos conjuntos

El cardinal de un conjunto A es su número de elementos y se representa por #(A).

Si dos conjuntos A y B son disjuntos, el cardinal de la unión es igual a la suma de los cardinales.

Si A⋂B=∅, entonces #(A⋃B) = #(A) + #(B).

Page 49: Apuntes Matemticas Logica

1.4.1 Cálculo de cardinales con dos conjuntos

Si A y B son dos conjuntos, siempre se cumple que el cardinal de su unión #(A⋃B) es igual al cardinal de A más el cardinal de B menos el cardinal de la intersección #(A⋂B).

#(A⋃B) = #(A) + #(B) -

#(A⋂B).

Page 50: Apuntes Matemticas Logica

Podemos razonar la fórmula de otra manera:

#(A⋃B) = #(A -

B) + #(B -

A) + #(A⋂B).

Tenemos que A= (A -

B) ⋃ (A⋂B), siendo (A -

B) y (A⋂B) disjuntos, por lo tanto:

#(A) = #(A -

B) + #(A⋂B).•

#(B) = #(B -

A) + #(A⋂B).

Page 51: Apuntes Matemticas Logica

#(A)=7 #(B)=5

#(A⋃B) =10 #(A⋂B) = 2•

#(A-B) =5

#(B-A) = 3

#(A⋃B) = #(A) + #(B) -

#(A⋂B) → 10 = 7 + 5 -

2•

#(A⋃B) = #(A -

B) + #(B -

A) + #(A⋂B) → 10 = 5 + 3 + 2

#(A) = #(A -

B) + #(A⋂B) → 7 = 5 + 2•

#(B) = #(B -

A) + #(A⋂B) → 5 = 3 + 2

UA B

X X X

X X

X X

X

X

X

Page 52: Apuntes Matemticas Logica

TEMA 2 ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

2.1 NÚMEROS NATURALES

Page 53: Apuntes Matemticas Logica

Concepto de número natural

1,2,3,4,...

Page 54: Apuntes Matemticas Logica

Operaciones con números naturales

• Suma.• Resta.• Multiplicación.• División.

Page 55: Apuntes Matemticas Logica

Sistemas de numeración• En los sistemas posicionales el valor de un

símbolo depende de su posición respecto de los demás.

• En la potencia 103, el 10 es la base y el 3 es el exponente y es igual a 10x10x10=1000.

• Cualquier número natural b puede ser base de un sistema de numeración.

• Un sistema de numeración de base b necesita de b símbolos que hagan el papel de cifras del sistema.

Page 56: Apuntes Matemticas Logica

Cambio de base• Cambio de base: calcular la expresión de un

número en un sistema de numeración a partir de su expresión en otro sistema.

• A base decimal

• De base decimal a otra.

2 1 02

101 1 2 0 2 1 2 5

Page 57: Apuntes Matemticas Logica

Divisbilidad • Un número natural c es divisible por otro

a cuando la división es exacta.• El cociente es otro número natural y el

resto de la división es cero.

• a divide a c• a es un divisor de c• c es múltiplo a

Page 58: Apuntes Matemticas Logica

Di isbilidadDivisbilidad • Factorización, sean a, b, c números

naturales si c = a b se denominanaturales si c = a b se denominafactorización en factores de c.

• Un número primo es un número naturalmayor que 1 que tiene únicamente dosmayor que 1, que tiene únicamente dosdivisores distintos: él mismo y el 1

• Un número compuesto tiene uno o másdi i di ti t 1 í idivisores distintos a 1 y a sí mismo.

Page 59: Apuntes Matemticas Logica

Criterios de divisibilidad

• Un número es divisible por 2, si termina en cero o cifra par.

• Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 3.

• Un número es divisible por 5, si termina en cero o cinco.

Page 60: Apuntes Matemticas Logica

Descomposición en factores primos

• Los números compuestos, se pueden expresar como productos de potencias de números primos, a dicha expresión se le llama descomposición de un número en factores primos.

• La descomposición de un número es muy útil pues ayuda a poder calcular el máximo común divisor o mínimo común múltiplo de varios números.

Page 61: Apuntes Matemticas Logica

Máximo común divisor• El máximo común divisor (mcd) de dos o más

números es el mayor número que los divide sin dejar resto.

• mcd (20,10)=10

Page 62: Apuntes Matemticas Logica

Mínimo común múltiplo• El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números

naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos.

• Seleccionamos los factores comunes y no comunes al mayor exponente.

Page 63: Apuntes Matemticas Logica

Fórmulas

, ,a b mcm a b mcd a b

,

,a bmcm a b

mcd a b

Page 64: Apuntes Matemticas Logica

TEMA 2 ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

2.2 NÚMEROS ENTEROS

Page 65: Apuntes Matemticas Logica

Concepto de número entero

Page 66: Apuntes Matemticas Logica

Opuesto y valor absoluto

• El opuesto de un número entero es el número que hay que añadir para que la suma sea 0.

• el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-).

Page 67: Apuntes Matemticas Logica

Operaciones con números enteros

Page 68: Apuntes Matemticas Logica

Los Signos

• Iguales +

• Desiguales –

Page 69: Apuntes Matemticas Logica

Propiedad distributiva del producto respecto de la suma

Page 70: Apuntes Matemticas Logica

Expresiones

2 2 2 2a b a b ab

2 2 2 2a b a b ab

Page 71: Apuntes Matemticas Logica

TEMA 2 ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

2.3 NÚMEROS RACIONALES

Page 72: Apuntes Matemticas Logica

Concepto de número racional

1 1 1, , ,...2 3 4

Page 73: Apuntes Matemticas Logica

Fracción

ab

numeradordenominador

Page 74: Apuntes Matemticas Logica

Fracciones equivalentes

Page 75: Apuntes Matemticas Logica

Operaciones fracciones

Page 76: Apuntes Matemticas Logica

Operaciones fracciones

Page 77: Apuntes Matemticas Logica

Fracción inversa

Page 78: Apuntes Matemticas Logica

Expresión decimal de números racionales

• Forma de representar un número decimal

68 60 8 6 8 0,6 0,08 0,68100 100 100 10 100

Page 79: Apuntes Matemticas Logica

Paso expresión fracción a decimal

• Utilizamos el algoritmo de la división.

Page 80: Apuntes Matemticas Logica

Fracción periódica

• Fracción con parte decimal que se repite indefinidamente.

• Periodo: parte decimal que se repite.–Pura: –Mixta:

9,5

9, 435

Page 81: Apuntes Matemticas Logica

Paso de decimal a fracción

569756,97100

Page 82: Apuntes Matemticas Logica

Expresión decimal periódica

Page 83: Apuntes Matemticas Logica

Expresión decimal periódica

Page 84: Apuntes Matemticas Logica

Porcentajes

• El porcentaje c% equivale a la fracción: c / 100.

• Para expresar la fracción a/b como porcentaje, se halla la expresión decimal de la fracción y se multiplica por cien

%100

cc

Page 85: Apuntes Matemticas Logica

Porcentajes• Porcentaje de variación:

• El signo de la diferencia: medida actual – medida anterior da el sentido de la variación.– Si la diferencia es positiva el porcentaje será de aumento.– Si la diferencia es negativa el porcentaje será de disminución.

% 100

medida actual medida anteriorvariaciónmedida anterior

Page 86: Apuntes Matemticas Logica

Números fraccionarios definidos por expresiones literales

Page 87: Apuntes Matemticas Logica

Ordenación de números racionales

Page 88: Apuntes Matemticas Logica

TEMA 2 ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

2.4 NÚMEROS REALES

Page 89: Apuntes Matemticas Logica

Concepto de número Real

Page 90: Apuntes Matemticas Logica
Page 91: Apuntes Matemticas Logica

Operaciones con números reales

• Suma.• Resta.• Multiplicación.• División.

Page 92: Apuntes Matemticas Logica

Ordenación de números reales

Page 93: Apuntes Matemticas Logica

Potencias

• Si a es un número real y n es un número natural no nulo el producto

se representa por an y se denomina potencia de base a y exponente n, o a elevado a n.

• Si n = 0 entonces a0 = 1.

....n veces

a a a a

Page 94: Apuntes Matemticas Logica

Operaciones con potencias

Page 95: Apuntes Matemticas Logica

Raíces• Dado un número natural n no nulo y un

número real positivo a, siempre que existe un número real positivo b tal que bn = a

• Se dice que b es la raíz n-esima de a y se

escribe onb a

1nb a

Page 96: Apuntes Matemticas Logica

Raíces• Potencia con exponente fraccionado.

1 1mm

mn n na a a

Page 97: Apuntes Matemticas Logica

TEMA 2 ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

2.5 ECUACIONES

Page 98: Apuntes Matemticas Logica

La idea de ecuación

• Ecuación, es toda igualdad que relaciona números con letras. Las letras se denominan incógnitas y son las que debemos hallar.

• Plantear, traducir las condiciones literales a símbolos matemáticos.

• Resolver, halar el valor de las incógnitas.

Page 99: Apuntes Matemticas Logica

Clasificación:

• Número de incógnitas. Una, dos, etc…

• Mayor exponente, es el que determina el grado.

• Número de ecuaciones.

Page 100: Apuntes Matemticas Logica

Soluciones de una ecuación

• Ecuaciones de una incógnita. – Tenemos que hallar números tales que al reemplazar

las incógnitas se cumple la igualdad de los dos miembros.

• Ecuaciones con más de una incógnita.– La solución son tantos números como incógnitas.

• Sistemas de ecuaciones.– La solución del sistema son números que son

solución de todas las ecuaciones

Page 101: Apuntes Matemticas Logica

Reglas generales para resolver ecuaciones

• Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

• Si sumamos o restamos a ambos miembros de una ecuación un mismo número se obtiene una equivalente.

• Si multiplicamos o dividimos a ambos miembros de una ecuación un mismo número distinto de cero se obtiene una equivalente.

• Podemos pasar cualquier término de una ecuación de un miembro a otro sin más que cambiarle el signo.

Page 102: Apuntes Matemticas Logica

Ecuaciones lineales con una incógnita

Page 103: Apuntes Matemticas Logica

Sistemas de ecuaciones lineales

• Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.– Método de sustitución.

• Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.– Método de eliminación.

Page 104: Apuntes Matemticas Logica

TEMA 3 GEOMETRÍA

3.1 GEOMETRÍA ANALÍTICA

Page 105: Apuntes Matemticas Logica

3.1.1 Teorema de Pitágoras

h2 = b2 + c2

Page 106: Apuntes Matemticas Logica
Page 107: Apuntes Matemticas Logica

3.1.2 Sistemas de referencia y coordenadas

• Un sistema de referencia cartesiano tiene los siguientes elementos:– Origen.– Ejes de coordenadas.– Dos puntos:

• Eje de abscisas, x.• Eje de ordenadas, y.

Page 108: Apuntes Matemticas Logica
Page 109: Apuntes Matemticas Logica

Distancia entre dos puntos (x,y) y (x´,y´)

2 2h x x y y

Page 110: Apuntes Matemticas Logica

TEMA 3 GEOMETRÍA

3.2 RECTAS EN EL PLANO

Page 111: Apuntes Matemticas Logica

• Ecuación general de la recta :

Ax+By+C = 0• Recta paralela al eje de ordenadas. Si B = 0

tenemos que

• Recta paralela al eje de abscisas. Si A = 0 tenemos que

CxA

ByA

Page 112: Apuntes Matemticas Logica

• Ecuación explicita de la recta: y = ax + b

• Pendiente: a, indica la inclinación.

• Ordenada en el origen: b, nivel de la recta donde corta al eje de ordenadas.

Page 113: Apuntes Matemticas Logica

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

• Si dos puntos tienen abscisas distintas x1 … x2 la ecuación de la recta que pasa por dos puntos (x1 ,y1 ) y (x2 ,y2 ) es :

• Si dos puntos tienen abscisas iguales x1 =x2 la ecuación es x=x1

2 11 1

2 1

y yy x x yx x

Page 114: Apuntes Matemticas Logica

Condición de alineación de tres puntos

• Tres puntos (x1 ,y1 ), (x2 ,y2 ) y (x3 ,y3 ), están alineados si:

• o bien x1 =x2 =x3 .

3 1 2 1

3 1 2 1

y y y yx x x x

Page 115: Apuntes Matemticas Logica

Posición relativa de dos rectas

• El punto de intersección de dos rectas es la solución del sistema de ecuaciones.

• Rectas paralelas.–Las rectas de ecuaciones:y = ax + by = a´x + b´

• son paralelas si a = a´

Page 116: Apuntes Matemticas Logica

Posición relativa de dos rectas

• La ecuación de la recta paralela a la recta y = ax+b por el punto (x0 , y0 ) es

• En el caso de una recta vertical x=k, la paralela por (x0 , y0 ) es la vertical x= x0 .

0 0y a x x y

Page 117: Apuntes Matemticas Logica

Posición relativa de dos rectas• Rectas perpendiculares.

• La ecuación de la perpendicular a la recta y = ax + b por el punto (x0 ,y0 ), es

0 01y x ya

x

Page 118: Apuntes Matemticas Logica

Posición relativa de dos rectas• Si a = 0 la recta es paralela al eje de

abscisas y su perpendicular por el punto (x0 ,y0 ) es la paralela al eje de ordenadas x = x0 .

• Simétricamente la perpendicular a la recta vertical x = k por (x0 ,y0 ) es la paralela al eje de abscisas y = y0 .

Page 119: Apuntes Matemticas Logica

TEMA 3 GEOMETRÍA

3.3 FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS

Page 120: Apuntes Matemticas Logica

3.3.1 Polígonos

• Perímetro, es la longitud total de su contorno.

• Área de un rectángulo. – Es el producto de sus lados, A=a·b.

• Área de un paralelogramo. – Es el producto de su base por su altura, A=b·h.

• Área de un triángulo. – Mitad del producto de su base por su altura,

2b hA

Page 121: Apuntes Matemticas Logica

3.3.2 La circunferencia

• Ecuación de la circunferencia:

2 2 20 0x x y y r

Page 122: Apuntes Matemticas Logica

Centro y radio de una circunferencia

• La ecuación de la forma

• representa una circunferencia con:

• Centro:

• Radio:

2 2 0x y ax by c

: ,2 2a bc

2 21 4

2r a b c

Page 123: Apuntes Matemticas Logica

Círculo

• Dada la circunferencia de centro (x0

,y0

)

su círculo es:

• Longitud de la circunferencia: L=2πr.

• Área del círculo: A=πr2.

2 2 20 0x x y y r

Page 124: Apuntes Matemticas Logica

TEMA 4 ANÁLISIS

4.1 FUNCIONES

Page 125: Apuntes Matemticas Logica

4.1.1 Concepto de función• En matemáticas, una función (f) es una relación entre un conjunto

inicial dado X y otro conjunto final de elementos Y de forma que a cada elemento x del conjunto inicial le corresponde un único elemento f(x) del conjunto final.

• Rango de variación de una magnitud numérica.

• Intervalo cerrado [a,b] al conjunto de los números reales x, a≤

x ≤

b.• Intervalo semiabierto [a,b) al conjunto de los números reales x, a ≤

x < b.

• Intervalo semiabierto (a,b] al conjunto de los números reales x, a < x ≤

b.• Intervalo abierto (a,b) al conjunto de los números reales x, a < x < b.

Page 126: Apuntes Matemticas Logica

Rango de variación de una magnitud numérica

a ≤

x ≤

b

a ≤

x < b

a < x ≤

b

a <

x < b

[a,b]

[a,b)

(a,b]

(a,b)

Page 127: Apuntes Matemticas Logica

4.1.2 Representación gráfica de una función

• La gráfica de una determinada función f, definida en un intervalo I, es el conjunto de puntos del plano cuya abscisa es un valor x ∈ I y ordenada f(x).

Page 128: Apuntes Matemticas Logica

4.1.3 Características de las funciones

• Función creciente.

• Función decreciente.

• Máximo relativo.

• Mínimo relativo.

Page 129: Apuntes Matemticas Logica

• Asíntotas verticales, se presentan en aquellos puntos que anulan el denominador.

• Asíntotas horizontales, se presentan en las funciones cuando el numerador tiene grado menor o igual al denominador.

• Asíntotas oblicuas, se presentan cuando el grado del numerador excede en una unidad del grado del denominador, son incompatibles con las asíntotas horizontales, son rectas del tipo y = ax+ b.

limx

f x

( )lim

lim( ( ) )x

x

f xax

b f x ax

Page 130: Apuntes Matemticas Logica

TEMA 4 ANÁLISIS

4.2 LÍMITES Y CONTINUIDAD

Page 131: Apuntes Matemticas Logica

Límite de una función en un punto

• La función f, definida en el intervalo I, tiene límite l cuando x tiende a , si al tomar x suficientemente próximo a x0 , aunque diferente de x0 , puede hacerse el valor de f(x) tan próximo a l como se desee.

• Se indica así:

• El límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, etc.

0

limx x

f x l

Page 132: Apuntes Matemticas Logica

Límites elementales

Page 133: Apuntes Matemticas Logica

Funciones continuas

• Una función f es continua en el punto x0 si se verifica

• Tanto si el límite no existe como si no coincide con f(x0 ) la función f es discontinua o tiene una discontinuidad en x0 .

0

0limx x

f x f x

Page 134: Apuntes Matemticas Logica

TEMA 4 ANÁLISIS

4.3 CÁLCULO DIFERENCIAL

Page 135: Apuntes Matemticas Logica

4.3.1 Concepto de derivada

Si f

es una función definida en un intervalo I y x0 ∈ I , la derivada de f

en

x0 es:

suponiendo que el límite exista.

0

00

0

limx x

f x f xf x

x x

Page 136: Apuntes Matemticas Logica

Una función f

se denomina derivable en el punto x0 si la derivada f´(x0

) existe y es finita.

Toda función derivable en un punto x0 es continua en x0 .

La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.

Page 137: Apuntes Matemticas Logica

Tangente a una curva

La derivada f´(x0

) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f

en el punto (x0, ( f (x0

))).•

La ecuación de dicha recta tangente es: y = f´(x0

)·(x

- x0

)

+ f (x0

)

y además pasa

por el punto (x0, ( f (x0

))).

Page 138: Apuntes Matemticas Logica

4.3.3 Cálculo de derivadas

Page 139: Apuntes Matemticas Logica

4.3.4 Aplicaciones de las derivadas

Si f es una función definida y derivable en un intervalo I:

Los intervalos de crecimiento coinciden con los intervalos en que f´

0.

Los intervalos de decrecimiento coinciden con los intervalos en que f´

0.

Page 140: Apuntes Matemticas Logica

Si f es una función derivable

en x0

y tiene en x0

un máximo o mínimo relativo tiene que ser f´(x0

)=0.

Para una función f derivable

en todos los puntos de un intervalo (a,b), la resolución de la ecuación f´(x0

)=0

con x∈(a,b) proporciona todas las abscisas candidatas a ser máximos o mínimos relativos de f en (a,b).

Page 141: Apuntes Matemticas Logica

Sea f derivable

en todos los puntos de un intervalo alrededor de x0

y f ́ la función

derivada de f, la derivada de f ́ en x0

, si existe, se denomina derivada segunda de f y se representa por f´´

Page 142: Apuntes Matemticas Logica

Si f tiene derivada que es derivable

en x0

, se cumple f´(x0

)=0

y:

– f´´>0, entonces f tiene un mínimo relativo en x0

.

– f´´<0, entonces f tiene un máximo relativo en x0

.

Page 143: Apuntes Matemticas Logica

La función se denomina:

Convexa en aquellos intervalos en que la pendiente de la tangente, f´(x) crece.

Cóncava cuando la pendiente de la tangente f´(x) decrece.

Los puntos en los que pasa de ser cóncava a ser convexa o viceversa se llaman puntos de inflexión.

Page 144: Apuntes Matemticas Logica

TEMA 5 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

5.1 AZAR Y PROBABILIDAD

Page 145: Apuntes Matemticas Logica

5.1.1 Azar y necesidad

• Un fenómeno aleatorio es aquel que bajo el mismo conjunto aparente de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes, es decir, no se puede predecir el resultado exacto de cada experiencia particular.

Page 146: Apuntes Matemticas Logica

5.1.2 Certeza y probabilidad

• La probabilidad de un acontecimiento posible es un número entre 0 y 1.

Page 147: Apuntes Matemticas Logica

TEMA 5 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

5.2 MODELO MATEMÁTICO DE LOS FENOMENOS

ALEATORIOS

Page 148: Apuntes Matemticas Logica

5.2.1 Modelo matemático de los sucesos

• Un suceso es un fenómeno aleatorio que podemos decir si ha ocurrido o no.

• Un espacio de posibilidades es el conjunto de los resultados posibles de un experimento aleatorio y se designa por .

• Los sucesos relativos a un fenómeno aleatorio se identifican con los subconjuntos de su espacio de posibilidades.

Page 149: Apuntes Matemticas Logica

• Los subconjuntos con un único elemento se denominan sucesos simples.

• Los subconjuntos que tienen varios elementos se denominan sucesos compuestos y son agregados de sucesos simples.

• El espacio de posibilidades es un suceso compuesto que contiene como elementos a todos los resultados posibles del experimento y recibe el nombre de suceso seguro.

• El subconjunto vacío ∅

representa el suceso imposible. No es simple ni compuesto.

Page 150: Apuntes Matemticas Logica

5.2.2 Operaciones con sucesos• Inclusión A⊂B,

– Siempre que ocurre A ocurre B.

• Intersección A⋂B,– Ocurre siempre que el resultado pertenezca a A y B

• Unión A⋃B,– Ocurre siempre que el resultado pertenezca a A o B o los dos.

• Complementación AC,– Sucede siempre cuando el resultado no pertenece a A.

Page 151: Apuntes Matemticas Logica

5.2.3 Modelo matemático de la probabilidad

• Una probabilidad sobre un espacio de posibilidades

es una función que a cada

subconjunto A de

le asocia un número P(A), esta función cumple las cuatro condiciones siguientes:

1. 0P(A)12. P()=13. Si A, B⊂, son dos sucesos con intersección

vacía, entonces P(A⋃B)=P(A)+P(B).4. Si A es un suceso, la probabilidad del sucesos

contrario es igual a P(AC)=1- P(A).

Page 152: Apuntes Matemticas Logica

5.2.4 Asignación de probabilidades en un espacio finito

• Para definir una probabilidad en un espacio que tenga un número finito de resultados posibles:

– Asignamos una probabilidad a cada suceso simple.– Deben ser entre 0 y 1.– La suma tiene que ser 1.

• La probabilidad de los restantes sucesos se calculan sumando las probabilidades de los sucesos simples que los componen.

Page 153: Apuntes Matemticas Logica

5.2.5 Asignación de probabilidad en los modelos uniformes finitos

• Regla de Laplace.

número de casos favorables a AP Anúmero de casos posibles

Page 154: Apuntes Matemticas Logica

TEMA 5 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

5.3 PROBABILIDADES CONDICIONADAS

Page 155: Apuntes Matemticas Logica

Probabilidad condicionada

• La probabilidad de que ocurra el suceso B cuando sabemos que A ha ocurrido se denomina probabilidad de B condicionada por A y se designa por el símbolo

P A BP B A

P A

P B A

Page 156: Apuntes Matemticas Logica

5.3.1 Cálculo con probabilidades condicionadas

• Si A y B son dos sucesos, la probabilidad de que ocurran ambos sucesos es igual a la probabilidad de que ocurra primero A, por la probabilidad de que ocurra B si ya ha ocurrido A.

P A B P A P B A

Page 157: Apuntes Matemticas Logica

5.3.2 Fórmula de la probabilidad total

1 1 2 2 ... n nP A P B P A B P B P A B P B P A B

Page 158: Apuntes Matemticas Logica

5.3.3 Regla de Bayes

• Si A y B son dos sucesos, la probabilidad de que A haya ocurrido, suponiendo que B ha ocurrido, se puede calcular mediante la regla de Bayes.

P B AP A B P A

P B

Page 159: Apuntes Matemticas Logica

5.3.4 Independencia de sucesos

• En un fenómeno aleatorio determinado diremos que el suceso B es independiente del suceso A si se cumple

• Dos sucesos A y B son independientes si se cumple

P B A P B

P A B P A P B

Page 160: Apuntes Matemticas Logica

5.3.5 Series independientes de fenómenos aleatorios

• La probabilidad de que ocurran simultáneamente todos estos sucesos es igual al producto de sus probabilidades.

1 2 1 2... ...n nP A A A P A P A P A

Page 161: Apuntes Matemticas Logica

TEMA 5 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

5.4 VARIABLES DE LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Page 162: Apuntes Matemticas Logica

5.4.1 Conceptos básicos en estadística

• Población, conjunto de seres u objetos acerca de los que se desea obtener información.

• Individuo, cada uno de los elementos de los miembros de la población.

• La estadística es la ciencia que estudia mediante métodos cuantitativos, características de las poblaciones obtenidas como síntesis de la observación de unidades estadísticas.

• Censo, consiste en anotar determinadas características de todos los individuos de una población.

Page 163: Apuntes Matemticas Logica

5.4.1 Conceptos básicos en estadística

• La estadística descriptiva es la parte de la estadística que estudia las ideas, métodos y técnicas para la descripción gráfica y numérica de los conjuntos numerosos.

• Muestra, subconjunto de individuos que son observados para obtener información sobre el total de la población a que pertenecen.

• Inferencia estadística, parte de la estadística que estudia los métodos para establecer conclusiones sobre una población a partir de una muestra de la misma.

Page 164: Apuntes Matemticas Logica

5.4.2 Variables y observaciones

• Los atributos o magnitudes que se observan en los individuos de la población se denominan variables estadísticas.– De los atributos presentan modalidades.– De las magnitudes toman valores.

• El conjunto de modalidades o valores de cada variable medidos en un individuo constituye una observación.

Page 165: Apuntes Matemticas Logica

5.4.3 Clasificación de las variables• Variable Cualitativa mide atributos y sus

modalidades no son numéricas sino simples etiquetas.

• Variable Cuantitativa cuando los valores que toma son numérico.

• Discretas, si toman valores discretos como 0, 1, 2,…

• Continuas, si es razonable suponer que puede tomar cualquier valor intermedio.

• Variables nominales son las que representan atributos cuyas modalidades no pueden ser ordenadas ni operadas conforme a las reglas aritméticas.

Page 166: Apuntes Matemticas Logica

5.4.3 Clasificación de las variables

• Variables ordinales son las que tienen modalidades que pueden ser ordenadas de mayor a menor.

• Variables medidas en escala de intervalos son las que valoran alguna cualidad cuantificable de los individuos en la que el 0 de la escala de medida tiene un carácter relativo.

• Variables medidas en escala de razón son las que valoran una cualidad de modo que el 0 tiene un sentido absoluto. Tomar el valor 0 significa ausencia absoluta de la cualidad.

Page 167: Apuntes Matemticas Logica

5.4.4 Distribución de frecuencias de una variable

• La frecuencia absoluta de una modalidad o valor de la variable es el número de observaciones que presentan esa modalidad o valor.

• La suma de frecuencias absolutas F1 +F2 +…+Fk =N.

Page 168: Apuntes Matemticas Logica

• La frecuencia relativa de la modalidad o valor xi es la proporción de observaciones que presentan el valor xi , se representa por

• La suma de las frecuencias relativas de todas las modalidades o valores es igual a 1.

• El porcentaje de una modalidad o valor xi es igual a multiplicar por 100 su frecuencia relativa, se representa por pi =100·fi .

ii

FfN

Page 169: Apuntes Matemticas Logica

• La frecuencia absoluta acumulada del valor xj es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores menores o igual que xj , se representa por Nj =F1 +F2 +…+Fj .

• La frecuencia relativa acumulada del valor xj es la suma de las frecuencias relativas de todos los valores menores o igual que xj , se representa por nj =f1 +f2 +…+fj .

Page 170: Apuntes Matemticas Logica

TEMA 5 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

5.5 DESCRIPCIÓN GRÁFICA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE

FRECUENCIAS

Page 171: Apuntes Matemticas Logica

5.5.1 Variables cualitativas

• Diagramas de sectores.• Diagramas de barras.• Pictogramas.

Page 172: Apuntes Matemticas Logica

5.5.1 Variables cuantitativas

• Histogramas.

Page 173: Apuntes Matemticas Logica

TEMA 5 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

5.6 DESCRIPCIÓN NUMÉRICA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE

FRECUENCIAS

Page 174: Apuntes Matemticas Logica

5.6.1 Medidas de centralización

• La media aritmética es igual a la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos.

• La media aritmética de una distribución de frecuencias absolutas.

• La media aritmética de una distribución de frecuencias relativas.

1 2

1

...1 nn

ii

x x xx xn n

1 1 2 2 1

1 2

......

n

i in n i

n

x Fx F x F x Fx

F F F N

1 1 2 21

...n

n n i ii

x x f x f x f x f

Page 175: Apuntes Matemticas Logica

5.6.2 Medidas de dispersión• El rango o recorrido de una variable es la diferencia entre

los valores máximo y mínimo de la variable, se representa por:

• La varianza es la media aritmética de los cuadrados de sus desviaciones respecto de la media, se representa por:

max minR x x

2 2 2

21 22

1

... 1 nn

ii

x x x x x xs x x

n n

Page 176: Apuntes Matemticas Logica

• La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza, se reprenda por:

• Varianza de una distribución de frecuencias absolutas:

• Varianza de una distribución de frecuencias relativas:

2 2 2

21 22

1

... 1 nn

ii

x x x x x xs x x

n n

2 2 2

21 1 2 22

11 2

... 1...

nn n

i iin

x x F x x F x x Fs x x F

F F F N

2 2 2 221 1 2 2

1...

n

n n i ii

s x x f x x f x x f x x f

Page 177: Apuntes Matemticas Logica

• La varianza es igual a la media de los cuadrados de los datos menos el cuadrado de la media, se representa por:

• Coeficiente de variación al cociente entre la desviación típica y la media, suele expresarse en forma de porcentaje.

2 2 22 2 2 21 2

1

... 1 nn

ii

x x xs x x xn n

CVx