unidades y errores de medicion
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UNIDAD 1UNIDAD 1Introduccioacuten al estudio de la Fiacutesica Los modelos en el Introduccioacuten al estudio de la Fiacutesica Los modelos en el
estudio de la fiacutesica y otras ciencias Unidades de estudio de la fiacutesica y otras ciencias Unidades de medida y Sistema Internacional de unidades (SI) medida y Sistema Internacional de unidades (SI) Mediciones experimentales Errores Tratamiento Mediciones experimentales Errores Tratamiento
matemaacutetico de datos Cifras significativas Notacioacuten matemaacutetico de datos Cifras significativas Notacioacuten cientiacuteficacientiacutefica
Modelos Modelos En Fiacutesica y otras cienciasEn Fiacutesica y otras ciencias
Modelo es el resultado del proceso de generar una representacioacuten abstracta conceptual graacutefica o visual fiacutesica matemaacutetica de fenoacutemenos sistemas o procesos a fin de analizar describir explicar o simular - en general explorar controlar y predecir- esos fenoacutemenos o procesos Se considera que la creacioacuten de un modelo es una parte esencial de toda
actividad cientiacutefica
Medir Medir
Medir una Medir una cantidadcantidad AA es es CompararlaCompararla con con otra cantidad U de la misma otra cantidad U de la misma magnitud magnitud (unidad)(unidad)
Valor de una Valor de una cantidadcantidad
A = X U A = X U
Magnitudes Magnitudes - - CantidadesCantidades
MagnitudMagnitud Longitud fuerza superficie masa tiempo Longitud fuerza superficie masa tiempo
etchellip(en general)etchellip(en general)
CantidadCantidad Longitud de una mesa masa de un cuerpo Longitud de una mesa masa de un cuerpo
en particularen particular
Unidades de medida ndash Sistema Unidades de medida ndash Sistema InternacionalInternacional
cdcandelaIntensidad luminosa
molmolCantidad de sustancia
KkelvinTemperatura termodinaacutemica
AampereIntensidad de corriente eleacutectrica
ssegundoTiempo
kgkilogramoMasa
mmetroLongitud
SiacutemboloNombreMagnitudUnidades fundamentales
Unidades derivadas
rads2radiaacuten por segundo cuadradoAceleracioacuten angular
radsradiaacuten por segundoVelocidad angular
kgm3kilogramo por metro cuacutebicoMasa en volumen (densidad)
m-1metro a la potencia menos unoNuacutemero de ondas
ms2metro por segundo cuadradoAceleracioacuten
msmetro por segundoVelocidad
m3metro cuacutebicoVolumen
m2metro cuadradoSuperficie
SiacutemboloNombreMagnitud
MEDICIOacuteNMEDICIOacuteN
Objeto Objeto
InstrumentoInstrumento
Unidad Unidad metrometro
Operador y meacutetodo Operador y meacutetodo
Apreciacioacuten del instrumentoApreciacioacuten del instrumentomenor divisioacuten de la escalamenor divisioacuten de la escala
Estimacioacuten de una lecturaEstimacioacuten de una lecturamenor intervalo que un observador menor intervalo que un observador
puede estimar con ayuda de una puede estimar con ayuda de una escalaescala
Procesos de medicioacuten Procesos de medicioacuten dependen en gran medidadependen en gran medida
- del grado de desarrollo de los - del grado de desarrollo de los meacutetodos de medicioacutenmeacutetodos de medicioacuten
- del avance de las teoriacuteas - del avance de las teoriacuteas cientiacuteficas cientiacuteficas
Reglas para expresar una medida y Reglas para expresar una medida y su errorsu error
Toda medida debe ir seguida Toda medida debe ir seguida por la unidad por la unidad obligatoriamente del Sistema obligatoriamente del Sistema Internacional de Unidades de Internacional de Unidades de medidamedida
Cuando un observador Cuando un observador
mide algo debe tener gran mide algo debe tener gran cuidado para no producir cuidado para no producir
una perturbacioacuten en el una perturbacioacuten en el sistema que estaacute bajo sistema que estaacute bajo
observacioacutenobservacioacuten
Tamb
80degC
Asiacute el instrumento de Asiacute el instrumento de medida afecta de alguacuten medida afecta de alguacuten modo a la cantidad que modo a la cantidad que
deseaacutebamos medirdeseaacutebamos medir
Ademaacutes Ademaacutes todas las medidastodas las medidas estaacute estaacutenn afectadas en alguacuten grado por un afectadas en alguacuten grado por un error experimentalerror experimental debido a las debido a las imperfecciones inevitables del imperfecciones inevitables del instrumento de medidainstrumento de medida o las o las
limitaciones impuestas por nuestros limitaciones impuestas por nuestros sentidossentidos que deben de registrar la que deben de registrar la
informacioacuteninformacioacuten
1-Todo1-Todo resultado resultado experimentalexperimental o o medidamedida
hecha en el laboratorio debe hecha en el laboratorio debe ir ir acompantildeadaacompantildeada del del valor valor estimado del errorestimado del error de la de la
medida y a continuacioacuten medida y a continuacioacuten laslas unidades unidades empleadasempleadas
Por ejemplo al medir una Por ejemplo al medir una cierta distancia hemos cierta distancia hemos
obtenidoobtenido ((297plusmn2297plusmn2)) mm mm
((297plusmn2297plusmn2)) mm mmDe este modo entendemos De este modo entendemos
que la medida de dicha que la medida de dicha magnitud estaacute en alguna parte magnitud estaacute en alguna parte
entre 295 mm y 299 mmentre 295 mm y 299 mm
En realidad la expresioacuten En realidad la expresioacuten anterior anterior nono significa que se significa que se estaacuteestaacute seguroseguro de que el valor de que el valor
verdadero esteacute entre los verdadero esteacute entre los liacutemites indicados sino que liacutemites indicados sino que hay ciertahay cierta probabilidadprobabilidad de de
que esteacute ahiacuteque esteacute ahiacute
2- 2- Los errores se deben dar Los errores se deben dar solamente con una uacutenica solamente con una uacutenica
cifra significativacifra significativa
Uacutenicamente en casos Uacutenicamente en casos excepcionales se pueden dar una excepcionales se pueden dar una
cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)
3-3-La uacuteltima cifra significativa en el La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en valor de una magnitud fiacutesica y en
su error expresados en las su error expresados en las mismas unidadesmismas unidades deben de deben de
corresponder al mismo orden de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas decenas magnitud (centenas decenas
unidades deacutecimas centeacutesimas)unidades deacutecimas centeacutesimas)
Expresiones incorrectas por la regla 2Expresiones incorrectas por la regla 2 ((Los errores se deben dar solamente Los errores se deben dar solamente
con una uacutenica cifra significativacon una uacutenica cifra significativa))
((24567plusmn24567plusmn22928928)) m (24567 m (24567 ++ 3000) m 3000) m((23463plusmn023463plusmn0116565))cm (23463 cm (23463 ++ 02) cm 02) cm((34520plusmn334520plusmn31010)) mm (34520 mm (34520 ++ 3) mm 3) mm
Expresiones incorrectas por la Expresiones incorrectas por la regla 3regla 3
((La uacuteltima cifra significativa en el valor de una La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en su error expresados en las magnitud fiacutesica y en su error expresados en las mismas unidades deben de corresponder al mismo mismas unidades deben de corresponder al mismo
orden de magnitudorden de magnitud))
((2424567plusmn3000567plusmn3000)) cm cm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) cm cm
((4343plusmn006plusmn006)) m m (4300(4300++ 006) m 006) m
((3453452plusmn32plusmn3)) m m (345 (345 ++ 3) m 3) m
Expresiones incorrectas Expresiones correctasExpresiones incorrectas Expresiones correctas
((24567plusmn292824567plusmn2928)) mm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) m m
((23463plusmn016523463plusmn0165))cmcm ((235plusmn02235plusmn02)) cm cm
((34520plusmn31034520plusmn310)) mm mm ((345plusmn3345plusmn3)) m m
((43plusmn00643plusmn006)) m m ((4300plusmn0064300plusmn006)) m m
Medidas directasMedidas directas
Un experimentador que haga la misma Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendraacute en medida varias veces no obtendraacute en
general el mismo resultado no soacutelo por general el mismo resultado no soacutelo por causas imponderables como variaciones causas imponderables como variaciones
imprevistas de las condiciones de imprevistas de las condiciones de medida temperatura presioacuten humedad medida temperatura presioacuten humedad
etc sino tambieacuten por la habilidad del etc sino tambieacuten por la habilidad del experimentadorexperimentador
Si al tratar de determinar una Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa magnitud por medida directa realizamos varias medidas realizamos varias medidas
con el fin de corregir los con el fin de corregir los errores aleatorioserrores aleatorios
los resultados obtenidos son los resultados obtenidos son xx11 x x
22 x xnn se adopta como se adopta como
mejor estimacioacuten del valor mejor estimacioacuten del valor verdaderoverdadero
el valor medio el valor medio ltxgtltxgt
que viene dado porque viene dado por
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage442gif
El valor medio se aproximaraacute El valor medio se aproximaraacute tanto maacutes al valor verdadero tanto maacutes al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor de la magnitud cuanto mayor
sea el nuacutemero de medidassea el nuacutemero de medidas
Cuando laCuando la sensibilidad del sensibilidad del meacutetodo o de los aparatos meacutetodo o de los aparatos
utilizados es pequentildea utilizados es pequentildea comparada con la magnitud comparada con la magnitud
de los errores aleatoriosde los errores aleatorios puede ocurrir que la repeticioacuten puede ocurrir que la repeticioacuten
de la medida nos lleve de la medida nos lleve siempre al mismo resultadosiempre al mismo resultado
en este caso estaacute claro que el en este caso estaacute claro que el valor medio coincidiraacute con el valor medio coincidiraacute con el
valor medido en una sola valor medido en una sola medida y no se obtiene nada medida y no se obtiene nada nuevo en la repeticioacuten de la nuevo en la repeticioacuten de la
medida y del caacutelculo del valor medida y del caacutelculo del valor medio por lo quemedio por lo que
solamente seraacute necesario solamente seraacute necesario en este caso hacer una sola en este caso hacer una sola
medidamedida
De acuerdo con la teoriacutea de Gauss De acuerdo con la teoriacutea de Gauss de los errores que supone que estos de los errores que supone que estos se producen por causas aleatorias se producen por causas aleatorias se toma como la mejor estimacioacuten se toma como la mejor estimacioacuten
del errordel error
elel error cuadraacuteticoerror cuadraacutetico
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage95gif
Curva de Gauss de los errores Curva de Gauss de los errores accidentalesaccidentales
σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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Modelos Modelos En Fiacutesica y otras cienciasEn Fiacutesica y otras ciencias
Modelo es el resultado del proceso de generar una representacioacuten abstracta conceptual graacutefica o visual fiacutesica matemaacutetica de fenoacutemenos sistemas o procesos a fin de analizar describir explicar o simular - en general explorar controlar y predecir- esos fenoacutemenos o procesos Se considera que la creacioacuten de un modelo es una parte esencial de toda
actividad cientiacutefica
Medir Medir
Medir una Medir una cantidadcantidad AA es es CompararlaCompararla con con otra cantidad U de la misma otra cantidad U de la misma magnitud magnitud (unidad)(unidad)
Valor de una Valor de una cantidadcantidad
A = X U A = X U
Magnitudes Magnitudes - - CantidadesCantidades
MagnitudMagnitud Longitud fuerza superficie masa tiempo Longitud fuerza superficie masa tiempo
etchellip(en general)etchellip(en general)
CantidadCantidad Longitud de una mesa masa de un cuerpo Longitud de una mesa masa de un cuerpo
en particularen particular
Unidades de medida ndash Sistema Unidades de medida ndash Sistema InternacionalInternacional
cdcandelaIntensidad luminosa
molmolCantidad de sustancia
KkelvinTemperatura termodinaacutemica
AampereIntensidad de corriente eleacutectrica
ssegundoTiempo
kgkilogramoMasa
mmetroLongitud
SiacutemboloNombreMagnitudUnidades fundamentales
Unidades derivadas
rads2radiaacuten por segundo cuadradoAceleracioacuten angular
radsradiaacuten por segundoVelocidad angular
kgm3kilogramo por metro cuacutebicoMasa en volumen (densidad)
m-1metro a la potencia menos unoNuacutemero de ondas
ms2metro por segundo cuadradoAceleracioacuten
msmetro por segundoVelocidad
m3metro cuacutebicoVolumen
m2metro cuadradoSuperficie
SiacutemboloNombreMagnitud
MEDICIOacuteNMEDICIOacuteN
Objeto Objeto
InstrumentoInstrumento
Unidad Unidad metrometro
Operador y meacutetodo Operador y meacutetodo
Apreciacioacuten del instrumentoApreciacioacuten del instrumentomenor divisioacuten de la escalamenor divisioacuten de la escala
Estimacioacuten de una lecturaEstimacioacuten de una lecturamenor intervalo que un observador menor intervalo que un observador
puede estimar con ayuda de una puede estimar con ayuda de una escalaescala
Procesos de medicioacuten Procesos de medicioacuten dependen en gran medidadependen en gran medida
- del grado de desarrollo de los - del grado de desarrollo de los meacutetodos de medicioacutenmeacutetodos de medicioacuten
- del avance de las teoriacuteas - del avance de las teoriacuteas cientiacuteficas cientiacuteficas
Reglas para expresar una medida y Reglas para expresar una medida y su errorsu error
Toda medida debe ir seguida Toda medida debe ir seguida por la unidad por la unidad obligatoriamente del Sistema obligatoriamente del Sistema Internacional de Unidades de Internacional de Unidades de medidamedida
Cuando un observador Cuando un observador
mide algo debe tener gran mide algo debe tener gran cuidado para no producir cuidado para no producir
una perturbacioacuten en el una perturbacioacuten en el sistema que estaacute bajo sistema que estaacute bajo
observacioacutenobservacioacuten
Tamb
80degC
Asiacute el instrumento de Asiacute el instrumento de medida afecta de alguacuten medida afecta de alguacuten modo a la cantidad que modo a la cantidad que
deseaacutebamos medirdeseaacutebamos medir
Ademaacutes Ademaacutes todas las medidastodas las medidas estaacute estaacutenn afectadas en alguacuten grado por un afectadas en alguacuten grado por un error experimentalerror experimental debido a las debido a las imperfecciones inevitables del imperfecciones inevitables del instrumento de medidainstrumento de medida o las o las
limitaciones impuestas por nuestros limitaciones impuestas por nuestros sentidossentidos que deben de registrar la que deben de registrar la
informacioacuteninformacioacuten
1-Todo1-Todo resultado resultado experimentalexperimental o o medidamedida
hecha en el laboratorio debe hecha en el laboratorio debe ir ir acompantildeadaacompantildeada del del valor valor estimado del errorestimado del error de la de la
medida y a continuacioacuten medida y a continuacioacuten laslas unidades unidades empleadasempleadas
Por ejemplo al medir una Por ejemplo al medir una cierta distancia hemos cierta distancia hemos
obtenidoobtenido ((297plusmn2297plusmn2)) mm mm
((297plusmn2297plusmn2)) mm mmDe este modo entendemos De este modo entendemos
que la medida de dicha que la medida de dicha magnitud estaacute en alguna parte magnitud estaacute en alguna parte
entre 295 mm y 299 mmentre 295 mm y 299 mm
En realidad la expresioacuten En realidad la expresioacuten anterior anterior nono significa que se significa que se estaacuteestaacute seguroseguro de que el valor de que el valor
verdadero esteacute entre los verdadero esteacute entre los liacutemites indicados sino que liacutemites indicados sino que hay ciertahay cierta probabilidadprobabilidad de de
que esteacute ahiacuteque esteacute ahiacute
2- 2- Los errores se deben dar Los errores se deben dar solamente con una uacutenica solamente con una uacutenica
cifra significativacifra significativa
Uacutenicamente en casos Uacutenicamente en casos excepcionales se pueden dar una excepcionales se pueden dar una
cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)
3-3-La uacuteltima cifra significativa en el La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en valor de una magnitud fiacutesica y en
su error expresados en las su error expresados en las mismas unidadesmismas unidades deben de deben de
corresponder al mismo orden de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas decenas magnitud (centenas decenas
unidades deacutecimas centeacutesimas)unidades deacutecimas centeacutesimas)
Expresiones incorrectas por la regla 2Expresiones incorrectas por la regla 2 ((Los errores se deben dar solamente Los errores se deben dar solamente
con una uacutenica cifra significativacon una uacutenica cifra significativa))
((24567plusmn24567plusmn22928928)) m (24567 m (24567 ++ 3000) m 3000) m((23463plusmn023463plusmn0116565))cm (23463 cm (23463 ++ 02) cm 02) cm((34520plusmn334520plusmn31010)) mm (34520 mm (34520 ++ 3) mm 3) mm
Expresiones incorrectas por la Expresiones incorrectas por la regla 3regla 3
((La uacuteltima cifra significativa en el valor de una La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en su error expresados en las magnitud fiacutesica y en su error expresados en las mismas unidades deben de corresponder al mismo mismas unidades deben de corresponder al mismo
orden de magnitudorden de magnitud))
((2424567plusmn3000567plusmn3000)) cm cm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) cm cm
((4343plusmn006plusmn006)) m m (4300(4300++ 006) m 006) m
((3453452plusmn32plusmn3)) m m (345 (345 ++ 3) m 3) m
Expresiones incorrectas Expresiones correctasExpresiones incorrectas Expresiones correctas
((24567plusmn292824567plusmn2928)) mm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) m m
((23463plusmn016523463plusmn0165))cmcm ((235plusmn02235plusmn02)) cm cm
((34520plusmn31034520plusmn310)) mm mm ((345plusmn3345plusmn3)) m m
((43plusmn00643plusmn006)) m m ((4300plusmn0064300plusmn006)) m m
Medidas directasMedidas directas
Un experimentador que haga la misma Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendraacute en medida varias veces no obtendraacute en
general el mismo resultado no soacutelo por general el mismo resultado no soacutelo por causas imponderables como variaciones causas imponderables como variaciones
imprevistas de las condiciones de imprevistas de las condiciones de medida temperatura presioacuten humedad medida temperatura presioacuten humedad
etc sino tambieacuten por la habilidad del etc sino tambieacuten por la habilidad del experimentadorexperimentador
Si al tratar de determinar una Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa magnitud por medida directa realizamos varias medidas realizamos varias medidas
con el fin de corregir los con el fin de corregir los errores aleatorioserrores aleatorios
los resultados obtenidos son los resultados obtenidos son xx11 x x
22 x xnn se adopta como se adopta como
mejor estimacioacuten del valor mejor estimacioacuten del valor verdaderoverdadero
el valor medio el valor medio ltxgtltxgt
que viene dado porque viene dado por
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage442gif
El valor medio se aproximaraacute El valor medio se aproximaraacute tanto maacutes al valor verdadero tanto maacutes al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor de la magnitud cuanto mayor
sea el nuacutemero de medidassea el nuacutemero de medidas
Cuando laCuando la sensibilidad del sensibilidad del meacutetodo o de los aparatos meacutetodo o de los aparatos
utilizados es pequentildea utilizados es pequentildea comparada con la magnitud comparada con la magnitud
de los errores aleatoriosde los errores aleatorios puede ocurrir que la repeticioacuten puede ocurrir que la repeticioacuten
de la medida nos lleve de la medida nos lleve siempre al mismo resultadosiempre al mismo resultado
en este caso estaacute claro que el en este caso estaacute claro que el valor medio coincidiraacute con el valor medio coincidiraacute con el
valor medido en una sola valor medido en una sola medida y no se obtiene nada medida y no se obtiene nada nuevo en la repeticioacuten de la nuevo en la repeticioacuten de la
medida y del caacutelculo del valor medida y del caacutelculo del valor medio por lo quemedio por lo que
solamente seraacute necesario solamente seraacute necesario en este caso hacer una sola en este caso hacer una sola
medidamedida
De acuerdo con la teoriacutea de Gauss De acuerdo con la teoriacutea de Gauss de los errores que supone que estos de los errores que supone que estos se producen por causas aleatorias se producen por causas aleatorias se toma como la mejor estimacioacuten se toma como la mejor estimacioacuten
del errordel error
elel error cuadraacuteticoerror cuadraacutetico
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage95gif
Curva de Gauss de los errores Curva de Gauss de los errores accidentalesaccidentales
σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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-
Medir Medir
Medir una Medir una cantidadcantidad AA es es CompararlaCompararla con con otra cantidad U de la misma otra cantidad U de la misma magnitud magnitud (unidad)(unidad)
Valor de una Valor de una cantidadcantidad
A = X U A = X U
Magnitudes Magnitudes - - CantidadesCantidades
MagnitudMagnitud Longitud fuerza superficie masa tiempo Longitud fuerza superficie masa tiempo
etchellip(en general)etchellip(en general)
CantidadCantidad Longitud de una mesa masa de un cuerpo Longitud de una mesa masa de un cuerpo
en particularen particular
Unidades de medida ndash Sistema Unidades de medida ndash Sistema InternacionalInternacional
cdcandelaIntensidad luminosa
molmolCantidad de sustancia
KkelvinTemperatura termodinaacutemica
AampereIntensidad de corriente eleacutectrica
ssegundoTiempo
kgkilogramoMasa
mmetroLongitud
SiacutemboloNombreMagnitudUnidades fundamentales
Unidades derivadas
rads2radiaacuten por segundo cuadradoAceleracioacuten angular
radsradiaacuten por segundoVelocidad angular
kgm3kilogramo por metro cuacutebicoMasa en volumen (densidad)
m-1metro a la potencia menos unoNuacutemero de ondas
ms2metro por segundo cuadradoAceleracioacuten
msmetro por segundoVelocidad
m3metro cuacutebicoVolumen
m2metro cuadradoSuperficie
SiacutemboloNombreMagnitud
MEDICIOacuteNMEDICIOacuteN
Objeto Objeto
InstrumentoInstrumento
Unidad Unidad metrometro
Operador y meacutetodo Operador y meacutetodo
Apreciacioacuten del instrumentoApreciacioacuten del instrumentomenor divisioacuten de la escalamenor divisioacuten de la escala
Estimacioacuten de una lecturaEstimacioacuten de una lecturamenor intervalo que un observador menor intervalo que un observador
puede estimar con ayuda de una puede estimar con ayuda de una escalaescala
Procesos de medicioacuten Procesos de medicioacuten dependen en gran medidadependen en gran medida
- del grado de desarrollo de los - del grado de desarrollo de los meacutetodos de medicioacutenmeacutetodos de medicioacuten
- del avance de las teoriacuteas - del avance de las teoriacuteas cientiacuteficas cientiacuteficas
Reglas para expresar una medida y Reglas para expresar una medida y su errorsu error
Toda medida debe ir seguida Toda medida debe ir seguida por la unidad por la unidad obligatoriamente del Sistema obligatoriamente del Sistema Internacional de Unidades de Internacional de Unidades de medidamedida
Cuando un observador Cuando un observador
mide algo debe tener gran mide algo debe tener gran cuidado para no producir cuidado para no producir
una perturbacioacuten en el una perturbacioacuten en el sistema que estaacute bajo sistema que estaacute bajo
observacioacutenobservacioacuten
Tamb
80degC
Asiacute el instrumento de Asiacute el instrumento de medida afecta de alguacuten medida afecta de alguacuten modo a la cantidad que modo a la cantidad que
deseaacutebamos medirdeseaacutebamos medir
Ademaacutes Ademaacutes todas las medidastodas las medidas estaacute estaacutenn afectadas en alguacuten grado por un afectadas en alguacuten grado por un error experimentalerror experimental debido a las debido a las imperfecciones inevitables del imperfecciones inevitables del instrumento de medidainstrumento de medida o las o las
limitaciones impuestas por nuestros limitaciones impuestas por nuestros sentidossentidos que deben de registrar la que deben de registrar la
informacioacuteninformacioacuten
1-Todo1-Todo resultado resultado experimentalexperimental o o medidamedida
hecha en el laboratorio debe hecha en el laboratorio debe ir ir acompantildeadaacompantildeada del del valor valor estimado del errorestimado del error de la de la
medida y a continuacioacuten medida y a continuacioacuten laslas unidades unidades empleadasempleadas
Por ejemplo al medir una Por ejemplo al medir una cierta distancia hemos cierta distancia hemos
obtenidoobtenido ((297plusmn2297plusmn2)) mm mm
((297plusmn2297plusmn2)) mm mmDe este modo entendemos De este modo entendemos
que la medida de dicha que la medida de dicha magnitud estaacute en alguna parte magnitud estaacute en alguna parte
entre 295 mm y 299 mmentre 295 mm y 299 mm
En realidad la expresioacuten En realidad la expresioacuten anterior anterior nono significa que se significa que se estaacuteestaacute seguroseguro de que el valor de que el valor
verdadero esteacute entre los verdadero esteacute entre los liacutemites indicados sino que liacutemites indicados sino que hay ciertahay cierta probabilidadprobabilidad de de
que esteacute ahiacuteque esteacute ahiacute
2- 2- Los errores se deben dar Los errores se deben dar solamente con una uacutenica solamente con una uacutenica
cifra significativacifra significativa
Uacutenicamente en casos Uacutenicamente en casos excepcionales se pueden dar una excepcionales se pueden dar una
cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)
3-3-La uacuteltima cifra significativa en el La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en valor de una magnitud fiacutesica y en
su error expresados en las su error expresados en las mismas unidadesmismas unidades deben de deben de
corresponder al mismo orden de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas decenas magnitud (centenas decenas
unidades deacutecimas centeacutesimas)unidades deacutecimas centeacutesimas)
Expresiones incorrectas por la regla 2Expresiones incorrectas por la regla 2 ((Los errores se deben dar solamente Los errores se deben dar solamente
con una uacutenica cifra significativacon una uacutenica cifra significativa))
((24567plusmn24567plusmn22928928)) m (24567 m (24567 ++ 3000) m 3000) m((23463plusmn023463plusmn0116565))cm (23463 cm (23463 ++ 02) cm 02) cm((34520plusmn334520plusmn31010)) mm (34520 mm (34520 ++ 3) mm 3) mm
Expresiones incorrectas por la Expresiones incorrectas por la regla 3regla 3
((La uacuteltima cifra significativa en el valor de una La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en su error expresados en las magnitud fiacutesica y en su error expresados en las mismas unidades deben de corresponder al mismo mismas unidades deben de corresponder al mismo
orden de magnitudorden de magnitud))
((2424567plusmn3000567plusmn3000)) cm cm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) cm cm
((4343plusmn006plusmn006)) m m (4300(4300++ 006) m 006) m
((3453452plusmn32plusmn3)) m m (345 (345 ++ 3) m 3) m
Expresiones incorrectas Expresiones correctasExpresiones incorrectas Expresiones correctas
((24567plusmn292824567plusmn2928)) mm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) m m
((23463plusmn016523463plusmn0165))cmcm ((235plusmn02235plusmn02)) cm cm
((34520plusmn31034520plusmn310)) mm mm ((345plusmn3345plusmn3)) m m
((43plusmn00643plusmn006)) m m ((4300plusmn0064300plusmn006)) m m
Medidas directasMedidas directas
Un experimentador que haga la misma Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendraacute en medida varias veces no obtendraacute en
general el mismo resultado no soacutelo por general el mismo resultado no soacutelo por causas imponderables como variaciones causas imponderables como variaciones
imprevistas de las condiciones de imprevistas de las condiciones de medida temperatura presioacuten humedad medida temperatura presioacuten humedad
etc sino tambieacuten por la habilidad del etc sino tambieacuten por la habilidad del experimentadorexperimentador
Si al tratar de determinar una Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa magnitud por medida directa realizamos varias medidas realizamos varias medidas
con el fin de corregir los con el fin de corregir los errores aleatorioserrores aleatorios
los resultados obtenidos son los resultados obtenidos son xx11 x x
22 x xnn se adopta como se adopta como
mejor estimacioacuten del valor mejor estimacioacuten del valor verdaderoverdadero
el valor medio el valor medio ltxgtltxgt
que viene dado porque viene dado por
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage442gif
El valor medio se aproximaraacute El valor medio se aproximaraacute tanto maacutes al valor verdadero tanto maacutes al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor de la magnitud cuanto mayor
sea el nuacutemero de medidassea el nuacutemero de medidas
Cuando laCuando la sensibilidad del sensibilidad del meacutetodo o de los aparatos meacutetodo o de los aparatos
utilizados es pequentildea utilizados es pequentildea comparada con la magnitud comparada con la magnitud
de los errores aleatoriosde los errores aleatorios puede ocurrir que la repeticioacuten puede ocurrir que la repeticioacuten
de la medida nos lleve de la medida nos lleve siempre al mismo resultadosiempre al mismo resultado
en este caso estaacute claro que el en este caso estaacute claro que el valor medio coincidiraacute con el valor medio coincidiraacute con el
valor medido en una sola valor medido en una sola medida y no se obtiene nada medida y no se obtiene nada nuevo en la repeticioacuten de la nuevo en la repeticioacuten de la
medida y del caacutelculo del valor medida y del caacutelculo del valor medio por lo quemedio por lo que
solamente seraacute necesario solamente seraacute necesario en este caso hacer una sola en este caso hacer una sola
medidamedida
De acuerdo con la teoriacutea de Gauss De acuerdo con la teoriacutea de Gauss de los errores que supone que estos de los errores que supone que estos se producen por causas aleatorias se producen por causas aleatorias se toma como la mejor estimacioacuten se toma como la mejor estimacioacuten
del errordel error
elel error cuadraacuteticoerror cuadraacutetico
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage95gif
Curva de Gauss de los errores Curva de Gauss de los errores accidentalesaccidentales
σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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-
Magnitudes Magnitudes - - CantidadesCantidades
MagnitudMagnitud Longitud fuerza superficie masa tiempo Longitud fuerza superficie masa tiempo
etchellip(en general)etchellip(en general)
CantidadCantidad Longitud de una mesa masa de un cuerpo Longitud de una mesa masa de un cuerpo
en particularen particular
Unidades de medida ndash Sistema Unidades de medida ndash Sistema InternacionalInternacional
cdcandelaIntensidad luminosa
molmolCantidad de sustancia
KkelvinTemperatura termodinaacutemica
AampereIntensidad de corriente eleacutectrica
ssegundoTiempo
kgkilogramoMasa
mmetroLongitud
SiacutemboloNombreMagnitudUnidades fundamentales
Unidades derivadas
rads2radiaacuten por segundo cuadradoAceleracioacuten angular
radsradiaacuten por segundoVelocidad angular
kgm3kilogramo por metro cuacutebicoMasa en volumen (densidad)
m-1metro a la potencia menos unoNuacutemero de ondas
ms2metro por segundo cuadradoAceleracioacuten
msmetro por segundoVelocidad
m3metro cuacutebicoVolumen
m2metro cuadradoSuperficie
SiacutemboloNombreMagnitud
MEDICIOacuteNMEDICIOacuteN
Objeto Objeto
InstrumentoInstrumento
Unidad Unidad metrometro
Operador y meacutetodo Operador y meacutetodo
Apreciacioacuten del instrumentoApreciacioacuten del instrumentomenor divisioacuten de la escalamenor divisioacuten de la escala
Estimacioacuten de una lecturaEstimacioacuten de una lecturamenor intervalo que un observador menor intervalo que un observador
puede estimar con ayuda de una puede estimar con ayuda de una escalaescala
Procesos de medicioacuten Procesos de medicioacuten dependen en gran medidadependen en gran medida
- del grado de desarrollo de los - del grado de desarrollo de los meacutetodos de medicioacutenmeacutetodos de medicioacuten
- del avance de las teoriacuteas - del avance de las teoriacuteas cientiacuteficas cientiacuteficas
Reglas para expresar una medida y Reglas para expresar una medida y su errorsu error
Toda medida debe ir seguida Toda medida debe ir seguida por la unidad por la unidad obligatoriamente del Sistema obligatoriamente del Sistema Internacional de Unidades de Internacional de Unidades de medidamedida
Cuando un observador Cuando un observador
mide algo debe tener gran mide algo debe tener gran cuidado para no producir cuidado para no producir
una perturbacioacuten en el una perturbacioacuten en el sistema que estaacute bajo sistema que estaacute bajo
observacioacutenobservacioacuten
Tamb
80degC
Asiacute el instrumento de Asiacute el instrumento de medida afecta de alguacuten medida afecta de alguacuten modo a la cantidad que modo a la cantidad que
deseaacutebamos medirdeseaacutebamos medir
Ademaacutes Ademaacutes todas las medidastodas las medidas estaacute estaacutenn afectadas en alguacuten grado por un afectadas en alguacuten grado por un error experimentalerror experimental debido a las debido a las imperfecciones inevitables del imperfecciones inevitables del instrumento de medidainstrumento de medida o las o las
limitaciones impuestas por nuestros limitaciones impuestas por nuestros sentidossentidos que deben de registrar la que deben de registrar la
informacioacuteninformacioacuten
1-Todo1-Todo resultado resultado experimentalexperimental o o medidamedida
hecha en el laboratorio debe hecha en el laboratorio debe ir ir acompantildeadaacompantildeada del del valor valor estimado del errorestimado del error de la de la
medida y a continuacioacuten medida y a continuacioacuten laslas unidades unidades empleadasempleadas
Por ejemplo al medir una Por ejemplo al medir una cierta distancia hemos cierta distancia hemos
obtenidoobtenido ((297plusmn2297plusmn2)) mm mm
((297plusmn2297plusmn2)) mm mmDe este modo entendemos De este modo entendemos
que la medida de dicha que la medida de dicha magnitud estaacute en alguna parte magnitud estaacute en alguna parte
entre 295 mm y 299 mmentre 295 mm y 299 mm
En realidad la expresioacuten En realidad la expresioacuten anterior anterior nono significa que se significa que se estaacuteestaacute seguroseguro de que el valor de que el valor
verdadero esteacute entre los verdadero esteacute entre los liacutemites indicados sino que liacutemites indicados sino que hay ciertahay cierta probabilidadprobabilidad de de
que esteacute ahiacuteque esteacute ahiacute
2- 2- Los errores se deben dar Los errores se deben dar solamente con una uacutenica solamente con una uacutenica
cifra significativacifra significativa
Uacutenicamente en casos Uacutenicamente en casos excepcionales se pueden dar una excepcionales se pueden dar una
cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)
3-3-La uacuteltima cifra significativa en el La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en valor de una magnitud fiacutesica y en
su error expresados en las su error expresados en las mismas unidadesmismas unidades deben de deben de
corresponder al mismo orden de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas decenas magnitud (centenas decenas
unidades deacutecimas centeacutesimas)unidades deacutecimas centeacutesimas)
Expresiones incorrectas por la regla 2Expresiones incorrectas por la regla 2 ((Los errores se deben dar solamente Los errores se deben dar solamente
con una uacutenica cifra significativacon una uacutenica cifra significativa))
((24567plusmn24567plusmn22928928)) m (24567 m (24567 ++ 3000) m 3000) m((23463plusmn023463plusmn0116565))cm (23463 cm (23463 ++ 02) cm 02) cm((34520plusmn334520plusmn31010)) mm (34520 mm (34520 ++ 3) mm 3) mm
Expresiones incorrectas por la Expresiones incorrectas por la regla 3regla 3
((La uacuteltima cifra significativa en el valor de una La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en su error expresados en las magnitud fiacutesica y en su error expresados en las mismas unidades deben de corresponder al mismo mismas unidades deben de corresponder al mismo
orden de magnitudorden de magnitud))
((2424567plusmn3000567plusmn3000)) cm cm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) cm cm
((4343plusmn006plusmn006)) m m (4300(4300++ 006) m 006) m
((3453452plusmn32plusmn3)) m m (345 (345 ++ 3) m 3) m
Expresiones incorrectas Expresiones correctasExpresiones incorrectas Expresiones correctas
((24567plusmn292824567plusmn2928)) mm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) m m
((23463plusmn016523463plusmn0165))cmcm ((235plusmn02235plusmn02)) cm cm
((34520plusmn31034520plusmn310)) mm mm ((345plusmn3345plusmn3)) m m
((43plusmn00643plusmn006)) m m ((4300plusmn0064300plusmn006)) m m
Medidas directasMedidas directas
Un experimentador que haga la misma Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendraacute en medida varias veces no obtendraacute en
general el mismo resultado no soacutelo por general el mismo resultado no soacutelo por causas imponderables como variaciones causas imponderables como variaciones
imprevistas de las condiciones de imprevistas de las condiciones de medida temperatura presioacuten humedad medida temperatura presioacuten humedad
etc sino tambieacuten por la habilidad del etc sino tambieacuten por la habilidad del experimentadorexperimentador
Si al tratar de determinar una Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa magnitud por medida directa realizamos varias medidas realizamos varias medidas
con el fin de corregir los con el fin de corregir los errores aleatorioserrores aleatorios
los resultados obtenidos son los resultados obtenidos son xx11 x x
22 x xnn se adopta como se adopta como
mejor estimacioacuten del valor mejor estimacioacuten del valor verdaderoverdadero
el valor medio el valor medio ltxgtltxgt
que viene dado porque viene dado por
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage442gif
El valor medio se aproximaraacute El valor medio se aproximaraacute tanto maacutes al valor verdadero tanto maacutes al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor de la magnitud cuanto mayor
sea el nuacutemero de medidassea el nuacutemero de medidas
Cuando laCuando la sensibilidad del sensibilidad del meacutetodo o de los aparatos meacutetodo o de los aparatos
utilizados es pequentildea utilizados es pequentildea comparada con la magnitud comparada con la magnitud
de los errores aleatoriosde los errores aleatorios puede ocurrir que la repeticioacuten puede ocurrir que la repeticioacuten
de la medida nos lleve de la medida nos lleve siempre al mismo resultadosiempre al mismo resultado
en este caso estaacute claro que el en este caso estaacute claro que el valor medio coincidiraacute con el valor medio coincidiraacute con el
valor medido en una sola valor medido en una sola medida y no se obtiene nada medida y no se obtiene nada nuevo en la repeticioacuten de la nuevo en la repeticioacuten de la
medida y del caacutelculo del valor medida y del caacutelculo del valor medio por lo quemedio por lo que
solamente seraacute necesario solamente seraacute necesario en este caso hacer una sola en este caso hacer una sola
medidamedida
De acuerdo con la teoriacutea de Gauss De acuerdo con la teoriacutea de Gauss de los errores que supone que estos de los errores que supone que estos se producen por causas aleatorias se producen por causas aleatorias se toma como la mejor estimacioacuten se toma como la mejor estimacioacuten
del errordel error
elel error cuadraacuteticoerror cuadraacutetico
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage95gif
Curva de Gauss de los errores Curva de Gauss de los errores accidentalesaccidentales
σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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-
Unidades de medida ndash Sistema Unidades de medida ndash Sistema InternacionalInternacional
cdcandelaIntensidad luminosa
molmolCantidad de sustancia
KkelvinTemperatura termodinaacutemica
AampereIntensidad de corriente eleacutectrica
ssegundoTiempo
kgkilogramoMasa
mmetroLongitud
SiacutemboloNombreMagnitudUnidades fundamentales
Unidades derivadas
rads2radiaacuten por segundo cuadradoAceleracioacuten angular
radsradiaacuten por segundoVelocidad angular
kgm3kilogramo por metro cuacutebicoMasa en volumen (densidad)
m-1metro a la potencia menos unoNuacutemero de ondas
ms2metro por segundo cuadradoAceleracioacuten
msmetro por segundoVelocidad
m3metro cuacutebicoVolumen
m2metro cuadradoSuperficie
SiacutemboloNombreMagnitud
MEDICIOacuteNMEDICIOacuteN
Objeto Objeto
InstrumentoInstrumento
Unidad Unidad metrometro
Operador y meacutetodo Operador y meacutetodo
Apreciacioacuten del instrumentoApreciacioacuten del instrumentomenor divisioacuten de la escalamenor divisioacuten de la escala
Estimacioacuten de una lecturaEstimacioacuten de una lecturamenor intervalo que un observador menor intervalo que un observador
puede estimar con ayuda de una puede estimar con ayuda de una escalaescala
Procesos de medicioacuten Procesos de medicioacuten dependen en gran medidadependen en gran medida
- del grado de desarrollo de los - del grado de desarrollo de los meacutetodos de medicioacutenmeacutetodos de medicioacuten
- del avance de las teoriacuteas - del avance de las teoriacuteas cientiacuteficas cientiacuteficas
Reglas para expresar una medida y Reglas para expresar una medida y su errorsu error
Toda medida debe ir seguida Toda medida debe ir seguida por la unidad por la unidad obligatoriamente del Sistema obligatoriamente del Sistema Internacional de Unidades de Internacional de Unidades de medidamedida
Cuando un observador Cuando un observador
mide algo debe tener gran mide algo debe tener gran cuidado para no producir cuidado para no producir
una perturbacioacuten en el una perturbacioacuten en el sistema que estaacute bajo sistema que estaacute bajo
observacioacutenobservacioacuten
Tamb
80degC
Asiacute el instrumento de Asiacute el instrumento de medida afecta de alguacuten medida afecta de alguacuten modo a la cantidad que modo a la cantidad que
deseaacutebamos medirdeseaacutebamos medir
Ademaacutes Ademaacutes todas las medidastodas las medidas estaacute estaacutenn afectadas en alguacuten grado por un afectadas en alguacuten grado por un error experimentalerror experimental debido a las debido a las imperfecciones inevitables del imperfecciones inevitables del instrumento de medidainstrumento de medida o las o las
limitaciones impuestas por nuestros limitaciones impuestas por nuestros sentidossentidos que deben de registrar la que deben de registrar la
informacioacuteninformacioacuten
1-Todo1-Todo resultado resultado experimentalexperimental o o medidamedida
hecha en el laboratorio debe hecha en el laboratorio debe ir ir acompantildeadaacompantildeada del del valor valor estimado del errorestimado del error de la de la
medida y a continuacioacuten medida y a continuacioacuten laslas unidades unidades empleadasempleadas
Por ejemplo al medir una Por ejemplo al medir una cierta distancia hemos cierta distancia hemos
obtenidoobtenido ((297plusmn2297plusmn2)) mm mm
((297plusmn2297plusmn2)) mm mmDe este modo entendemos De este modo entendemos
que la medida de dicha que la medida de dicha magnitud estaacute en alguna parte magnitud estaacute en alguna parte
entre 295 mm y 299 mmentre 295 mm y 299 mm
En realidad la expresioacuten En realidad la expresioacuten anterior anterior nono significa que se significa que se estaacuteestaacute seguroseguro de que el valor de que el valor
verdadero esteacute entre los verdadero esteacute entre los liacutemites indicados sino que liacutemites indicados sino que hay ciertahay cierta probabilidadprobabilidad de de
que esteacute ahiacuteque esteacute ahiacute
2- 2- Los errores se deben dar Los errores se deben dar solamente con una uacutenica solamente con una uacutenica
cifra significativacifra significativa
Uacutenicamente en casos Uacutenicamente en casos excepcionales se pueden dar una excepcionales se pueden dar una
cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)
3-3-La uacuteltima cifra significativa en el La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en valor de una magnitud fiacutesica y en
su error expresados en las su error expresados en las mismas unidadesmismas unidades deben de deben de
corresponder al mismo orden de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas decenas magnitud (centenas decenas
unidades deacutecimas centeacutesimas)unidades deacutecimas centeacutesimas)
Expresiones incorrectas por la regla 2Expresiones incorrectas por la regla 2 ((Los errores se deben dar solamente Los errores se deben dar solamente
con una uacutenica cifra significativacon una uacutenica cifra significativa))
((24567plusmn24567plusmn22928928)) m (24567 m (24567 ++ 3000) m 3000) m((23463plusmn023463plusmn0116565))cm (23463 cm (23463 ++ 02) cm 02) cm((34520plusmn334520plusmn31010)) mm (34520 mm (34520 ++ 3) mm 3) mm
Expresiones incorrectas por la Expresiones incorrectas por la regla 3regla 3
((La uacuteltima cifra significativa en el valor de una La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en su error expresados en las magnitud fiacutesica y en su error expresados en las mismas unidades deben de corresponder al mismo mismas unidades deben de corresponder al mismo
orden de magnitudorden de magnitud))
((2424567plusmn3000567plusmn3000)) cm cm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) cm cm
((4343plusmn006plusmn006)) m m (4300(4300++ 006) m 006) m
((3453452plusmn32plusmn3)) m m (345 (345 ++ 3) m 3) m
Expresiones incorrectas Expresiones correctasExpresiones incorrectas Expresiones correctas
((24567plusmn292824567plusmn2928)) mm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) m m
((23463plusmn016523463plusmn0165))cmcm ((235plusmn02235plusmn02)) cm cm
((34520plusmn31034520plusmn310)) mm mm ((345plusmn3345plusmn3)) m m
((43plusmn00643plusmn006)) m m ((4300plusmn0064300plusmn006)) m m
Medidas directasMedidas directas
Un experimentador que haga la misma Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendraacute en medida varias veces no obtendraacute en
general el mismo resultado no soacutelo por general el mismo resultado no soacutelo por causas imponderables como variaciones causas imponderables como variaciones
imprevistas de las condiciones de imprevistas de las condiciones de medida temperatura presioacuten humedad medida temperatura presioacuten humedad
etc sino tambieacuten por la habilidad del etc sino tambieacuten por la habilidad del experimentadorexperimentador
Si al tratar de determinar una Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa magnitud por medida directa realizamos varias medidas realizamos varias medidas
con el fin de corregir los con el fin de corregir los errores aleatorioserrores aleatorios
los resultados obtenidos son los resultados obtenidos son xx11 x x
22 x xnn se adopta como se adopta como
mejor estimacioacuten del valor mejor estimacioacuten del valor verdaderoverdadero
el valor medio el valor medio ltxgtltxgt
que viene dado porque viene dado por
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage442gif
El valor medio se aproximaraacute El valor medio se aproximaraacute tanto maacutes al valor verdadero tanto maacutes al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor de la magnitud cuanto mayor
sea el nuacutemero de medidassea el nuacutemero de medidas
Cuando laCuando la sensibilidad del sensibilidad del meacutetodo o de los aparatos meacutetodo o de los aparatos
utilizados es pequentildea utilizados es pequentildea comparada con la magnitud comparada con la magnitud
de los errores aleatoriosde los errores aleatorios puede ocurrir que la repeticioacuten puede ocurrir que la repeticioacuten
de la medida nos lleve de la medida nos lleve siempre al mismo resultadosiempre al mismo resultado
en este caso estaacute claro que el en este caso estaacute claro que el valor medio coincidiraacute con el valor medio coincidiraacute con el
valor medido en una sola valor medido en una sola medida y no se obtiene nada medida y no se obtiene nada nuevo en la repeticioacuten de la nuevo en la repeticioacuten de la
medida y del caacutelculo del valor medida y del caacutelculo del valor medio por lo quemedio por lo que
solamente seraacute necesario solamente seraacute necesario en este caso hacer una sola en este caso hacer una sola
medidamedida
De acuerdo con la teoriacutea de Gauss De acuerdo con la teoriacutea de Gauss de los errores que supone que estos de los errores que supone que estos se producen por causas aleatorias se producen por causas aleatorias se toma como la mejor estimacioacuten se toma como la mejor estimacioacuten
del errordel error
elel error cuadraacuteticoerror cuadraacutetico
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage95gif
Curva de Gauss de los errores Curva de Gauss de los errores accidentalesaccidentales
σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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MEDICIOacuteNMEDICIOacuteN
Objeto Objeto
InstrumentoInstrumento
Unidad Unidad metrometro
Operador y meacutetodo Operador y meacutetodo
Apreciacioacuten del instrumentoApreciacioacuten del instrumentomenor divisioacuten de la escalamenor divisioacuten de la escala
Estimacioacuten de una lecturaEstimacioacuten de una lecturamenor intervalo que un observador menor intervalo que un observador
puede estimar con ayuda de una puede estimar con ayuda de una escalaescala
Procesos de medicioacuten Procesos de medicioacuten dependen en gran medidadependen en gran medida
- del grado de desarrollo de los - del grado de desarrollo de los meacutetodos de medicioacutenmeacutetodos de medicioacuten
- del avance de las teoriacuteas - del avance de las teoriacuteas cientiacuteficas cientiacuteficas
Reglas para expresar una medida y Reglas para expresar una medida y su errorsu error
Toda medida debe ir seguida Toda medida debe ir seguida por la unidad por la unidad obligatoriamente del Sistema obligatoriamente del Sistema Internacional de Unidades de Internacional de Unidades de medidamedida
Cuando un observador Cuando un observador
mide algo debe tener gran mide algo debe tener gran cuidado para no producir cuidado para no producir
una perturbacioacuten en el una perturbacioacuten en el sistema que estaacute bajo sistema que estaacute bajo
observacioacutenobservacioacuten
Tamb
80degC
Asiacute el instrumento de Asiacute el instrumento de medida afecta de alguacuten medida afecta de alguacuten modo a la cantidad que modo a la cantidad que
deseaacutebamos medirdeseaacutebamos medir
Ademaacutes Ademaacutes todas las medidastodas las medidas estaacute estaacutenn afectadas en alguacuten grado por un afectadas en alguacuten grado por un error experimentalerror experimental debido a las debido a las imperfecciones inevitables del imperfecciones inevitables del instrumento de medidainstrumento de medida o las o las
limitaciones impuestas por nuestros limitaciones impuestas por nuestros sentidossentidos que deben de registrar la que deben de registrar la
informacioacuteninformacioacuten
1-Todo1-Todo resultado resultado experimentalexperimental o o medidamedida
hecha en el laboratorio debe hecha en el laboratorio debe ir ir acompantildeadaacompantildeada del del valor valor estimado del errorestimado del error de la de la
medida y a continuacioacuten medida y a continuacioacuten laslas unidades unidades empleadasempleadas
Por ejemplo al medir una Por ejemplo al medir una cierta distancia hemos cierta distancia hemos
obtenidoobtenido ((297plusmn2297plusmn2)) mm mm
((297plusmn2297plusmn2)) mm mmDe este modo entendemos De este modo entendemos
que la medida de dicha que la medida de dicha magnitud estaacute en alguna parte magnitud estaacute en alguna parte
entre 295 mm y 299 mmentre 295 mm y 299 mm
En realidad la expresioacuten En realidad la expresioacuten anterior anterior nono significa que se significa que se estaacuteestaacute seguroseguro de que el valor de que el valor
verdadero esteacute entre los verdadero esteacute entre los liacutemites indicados sino que liacutemites indicados sino que hay ciertahay cierta probabilidadprobabilidad de de
que esteacute ahiacuteque esteacute ahiacute
2- 2- Los errores se deben dar Los errores se deben dar solamente con una uacutenica solamente con una uacutenica
cifra significativacifra significativa
Uacutenicamente en casos Uacutenicamente en casos excepcionales se pueden dar una excepcionales se pueden dar una
cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)
3-3-La uacuteltima cifra significativa en el La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en valor de una magnitud fiacutesica y en
su error expresados en las su error expresados en las mismas unidadesmismas unidades deben de deben de
corresponder al mismo orden de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas decenas magnitud (centenas decenas
unidades deacutecimas centeacutesimas)unidades deacutecimas centeacutesimas)
Expresiones incorrectas por la regla 2Expresiones incorrectas por la regla 2 ((Los errores se deben dar solamente Los errores se deben dar solamente
con una uacutenica cifra significativacon una uacutenica cifra significativa))
((24567plusmn24567plusmn22928928)) m (24567 m (24567 ++ 3000) m 3000) m((23463plusmn023463plusmn0116565))cm (23463 cm (23463 ++ 02) cm 02) cm((34520plusmn334520plusmn31010)) mm (34520 mm (34520 ++ 3) mm 3) mm
Expresiones incorrectas por la Expresiones incorrectas por la regla 3regla 3
((La uacuteltima cifra significativa en el valor de una La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en su error expresados en las magnitud fiacutesica y en su error expresados en las mismas unidades deben de corresponder al mismo mismas unidades deben de corresponder al mismo
orden de magnitudorden de magnitud))
((2424567plusmn3000567plusmn3000)) cm cm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) cm cm
((4343plusmn006plusmn006)) m m (4300(4300++ 006) m 006) m
((3453452plusmn32plusmn3)) m m (345 (345 ++ 3) m 3) m
Expresiones incorrectas Expresiones correctasExpresiones incorrectas Expresiones correctas
((24567plusmn292824567plusmn2928)) mm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) m m
((23463plusmn016523463plusmn0165))cmcm ((235plusmn02235plusmn02)) cm cm
((34520plusmn31034520plusmn310)) mm mm ((345plusmn3345plusmn3)) m m
((43plusmn00643plusmn006)) m m ((4300plusmn0064300plusmn006)) m m
Medidas directasMedidas directas
Un experimentador que haga la misma Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendraacute en medida varias veces no obtendraacute en
general el mismo resultado no soacutelo por general el mismo resultado no soacutelo por causas imponderables como variaciones causas imponderables como variaciones
imprevistas de las condiciones de imprevistas de las condiciones de medida temperatura presioacuten humedad medida temperatura presioacuten humedad
etc sino tambieacuten por la habilidad del etc sino tambieacuten por la habilidad del experimentadorexperimentador
Si al tratar de determinar una Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa magnitud por medida directa realizamos varias medidas realizamos varias medidas
con el fin de corregir los con el fin de corregir los errores aleatorioserrores aleatorios
los resultados obtenidos son los resultados obtenidos son xx11 x x
22 x xnn se adopta como se adopta como
mejor estimacioacuten del valor mejor estimacioacuten del valor verdaderoverdadero
el valor medio el valor medio ltxgtltxgt
que viene dado porque viene dado por
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage442gif
El valor medio se aproximaraacute El valor medio se aproximaraacute tanto maacutes al valor verdadero tanto maacutes al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor de la magnitud cuanto mayor
sea el nuacutemero de medidassea el nuacutemero de medidas
Cuando laCuando la sensibilidad del sensibilidad del meacutetodo o de los aparatos meacutetodo o de los aparatos
utilizados es pequentildea utilizados es pequentildea comparada con la magnitud comparada con la magnitud
de los errores aleatoriosde los errores aleatorios puede ocurrir que la repeticioacuten puede ocurrir que la repeticioacuten
de la medida nos lleve de la medida nos lleve siempre al mismo resultadosiempre al mismo resultado
en este caso estaacute claro que el en este caso estaacute claro que el valor medio coincidiraacute con el valor medio coincidiraacute con el
valor medido en una sola valor medido en una sola medida y no se obtiene nada medida y no se obtiene nada nuevo en la repeticioacuten de la nuevo en la repeticioacuten de la
medida y del caacutelculo del valor medida y del caacutelculo del valor medio por lo quemedio por lo que
solamente seraacute necesario solamente seraacute necesario en este caso hacer una sola en este caso hacer una sola
medidamedida
De acuerdo con la teoriacutea de Gauss De acuerdo con la teoriacutea de Gauss de los errores que supone que estos de los errores que supone que estos se producen por causas aleatorias se producen por causas aleatorias se toma como la mejor estimacioacuten se toma como la mejor estimacioacuten
del errordel error
elel error cuadraacuteticoerror cuadraacutetico
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage95gif
Curva de Gauss de los errores Curva de Gauss de los errores accidentalesaccidentales
σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
- Slide 1
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-
Apreciacioacuten del instrumentoApreciacioacuten del instrumentomenor divisioacuten de la escalamenor divisioacuten de la escala
Estimacioacuten de una lecturaEstimacioacuten de una lecturamenor intervalo que un observador menor intervalo que un observador
puede estimar con ayuda de una puede estimar con ayuda de una escalaescala
Procesos de medicioacuten Procesos de medicioacuten dependen en gran medidadependen en gran medida
- del grado de desarrollo de los - del grado de desarrollo de los meacutetodos de medicioacutenmeacutetodos de medicioacuten
- del avance de las teoriacuteas - del avance de las teoriacuteas cientiacuteficas cientiacuteficas
Reglas para expresar una medida y Reglas para expresar una medida y su errorsu error
Toda medida debe ir seguida Toda medida debe ir seguida por la unidad por la unidad obligatoriamente del Sistema obligatoriamente del Sistema Internacional de Unidades de Internacional de Unidades de medidamedida
Cuando un observador Cuando un observador
mide algo debe tener gran mide algo debe tener gran cuidado para no producir cuidado para no producir
una perturbacioacuten en el una perturbacioacuten en el sistema que estaacute bajo sistema que estaacute bajo
observacioacutenobservacioacuten
Tamb
80degC
Asiacute el instrumento de Asiacute el instrumento de medida afecta de alguacuten medida afecta de alguacuten modo a la cantidad que modo a la cantidad que
deseaacutebamos medirdeseaacutebamos medir
Ademaacutes Ademaacutes todas las medidastodas las medidas estaacute estaacutenn afectadas en alguacuten grado por un afectadas en alguacuten grado por un error experimentalerror experimental debido a las debido a las imperfecciones inevitables del imperfecciones inevitables del instrumento de medidainstrumento de medida o las o las
limitaciones impuestas por nuestros limitaciones impuestas por nuestros sentidossentidos que deben de registrar la que deben de registrar la
informacioacuteninformacioacuten
1-Todo1-Todo resultado resultado experimentalexperimental o o medidamedida
hecha en el laboratorio debe hecha en el laboratorio debe ir ir acompantildeadaacompantildeada del del valor valor estimado del errorestimado del error de la de la
medida y a continuacioacuten medida y a continuacioacuten laslas unidades unidades empleadasempleadas
Por ejemplo al medir una Por ejemplo al medir una cierta distancia hemos cierta distancia hemos
obtenidoobtenido ((297plusmn2297plusmn2)) mm mm
((297plusmn2297plusmn2)) mm mmDe este modo entendemos De este modo entendemos
que la medida de dicha que la medida de dicha magnitud estaacute en alguna parte magnitud estaacute en alguna parte
entre 295 mm y 299 mmentre 295 mm y 299 mm
En realidad la expresioacuten En realidad la expresioacuten anterior anterior nono significa que se significa que se estaacuteestaacute seguroseguro de que el valor de que el valor
verdadero esteacute entre los verdadero esteacute entre los liacutemites indicados sino que liacutemites indicados sino que hay ciertahay cierta probabilidadprobabilidad de de
que esteacute ahiacuteque esteacute ahiacute
2- 2- Los errores se deben dar Los errores se deben dar solamente con una uacutenica solamente con una uacutenica
cifra significativacifra significativa
Uacutenicamente en casos Uacutenicamente en casos excepcionales se pueden dar una excepcionales se pueden dar una
cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)
3-3-La uacuteltima cifra significativa en el La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en valor de una magnitud fiacutesica y en
su error expresados en las su error expresados en las mismas unidadesmismas unidades deben de deben de
corresponder al mismo orden de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas decenas magnitud (centenas decenas
unidades deacutecimas centeacutesimas)unidades deacutecimas centeacutesimas)
Expresiones incorrectas por la regla 2Expresiones incorrectas por la regla 2 ((Los errores se deben dar solamente Los errores se deben dar solamente
con una uacutenica cifra significativacon una uacutenica cifra significativa))
((24567plusmn24567plusmn22928928)) m (24567 m (24567 ++ 3000) m 3000) m((23463plusmn023463plusmn0116565))cm (23463 cm (23463 ++ 02) cm 02) cm((34520plusmn334520plusmn31010)) mm (34520 mm (34520 ++ 3) mm 3) mm
Expresiones incorrectas por la Expresiones incorrectas por la regla 3regla 3
((La uacuteltima cifra significativa en el valor de una La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en su error expresados en las magnitud fiacutesica y en su error expresados en las mismas unidades deben de corresponder al mismo mismas unidades deben de corresponder al mismo
orden de magnitudorden de magnitud))
((2424567plusmn3000567plusmn3000)) cm cm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) cm cm
((4343plusmn006plusmn006)) m m (4300(4300++ 006) m 006) m
((3453452plusmn32plusmn3)) m m (345 (345 ++ 3) m 3) m
Expresiones incorrectas Expresiones correctasExpresiones incorrectas Expresiones correctas
((24567plusmn292824567plusmn2928)) mm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) m m
((23463plusmn016523463plusmn0165))cmcm ((235plusmn02235plusmn02)) cm cm
((34520plusmn31034520plusmn310)) mm mm ((345plusmn3345plusmn3)) m m
((43plusmn00643plusmn006)) m m ((4300plusmn0064300plusmn006)) m m
Medidas directasMedidas directas
Un experimentador que haga la misma Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendraacute en medida varias veces no obtendraacute en
general el mismo resultado no soacutelo por general el mismo resultado no soacutelo por causas imponderables como variaciones causas imponderables como variaciones
imprevistas de las condiciones de imprevistas de las condiciones de medida temperatura presioacuten humedad medida temperatura presioacuten humedad
etc sino tambieacuten por la habilidad del etc sino tambieacuten por la habilidad del experimentadorexperimentador
Si al tratar de determinar una Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa magnitud por medida directa realizamos varias medidas realizamos varias medidas
con el fin de corregir los con el fin de corregir los errores aleatorioserrores aleatorios
los resultados obtenidos son los resultados obtenidos son xx11 x x
22 x xnn se adopta como se adopta como
mejor estimacioacuten del valor mejor estimacioacuten del valor verdaderoverdadero
el valor medio el valor medio ltxgtltxgt
que viene dado porque viene dado por
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage442gif
El valor medio se aproximaraacute El valor medio se aproximaraacute tanto maacutes al valor verdadero tanto maacutes al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor de la magnitud cuanto mayor
sea el nuacutemero de medidassea el nuacutemero de medidas
Cuando laCuando la sensibilidad del sensibilidad del meacutetodo o de los aparatos meacutetodo o de los aparatos
utilizados es pequentildea utilizados es pequentildea comparada con la magnitud comparada con la magnitud
de los errores aleatoriosde los errores aleatorios puede ocurrir que la repeticioacuten puede ocurrir que la repeticioacuten
de la medida nos lleve de la medida nos lleve siempre al mismo resultadosiempre al mismo resultado
en este caso estaacute claro que el en este caso estaacute claro que el valor medio coincidiraacute con el valor medio coincidiraacute con el
valor medido en una sola valor medido en una sola medida y no se obtiene nada medida y no se obtiene nada nuevo en la repeticioacuten de la nuevo en la repeticioacuten de la
medida y del caacutelculo del valor medida y del caacutelculo del valor medio por lo quemedio por lo que
solamente seraacute necesario solamente seraacute necesario en este caso hacer una sola en este caso hacer una sola
medidamedida
De acuerdo con la teoriacutea de Gauss De acuerdo con la teoriacutea de Gauss de los errores que supone que estos de los errores que supone que estos se producen por causas aleatorias se producen por causas aleatorias se toma como la mejor estimacioacuten se toma como la mejor estimacioacuten
del errordel error
elel error cuadraacuteticoerror cuadraacutetico
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage95gif
Curva de Gauss de los errores Curva de Gauss de los errores accidentalesaccidentales
σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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-
Procesos de medicioacuten Procesos de medicioacuten dependen en gran medidadependen en gran medida
- del grado de desarrollo de los - del grado de desarrollo de los meacutetodos de medicioacutenmeacutetodos de medicioacuten
- del avance de las teoriacuteas - del avance de las teoriacuteas cientiacuteficas cientiacuteficas
Reglas para expresar una medida y Reglas para expresar una medida y su errorsu error
Toda medida debe ir seguida Toda medida debe ir seguida por la unidad por la unidad obligatoriamente del Sistema obligatoriamente del Sistema Internacional de Unidades de Internacional de Unidades de medidamedida
Cuando un observador Cuando un observador
mide algo debe tener gran mide algo debe tener gran cuidado para no producir cuidado para no producir
una perturbacioacuten en el una perturbacioacuten en el sistema que estaacute bajo sistema que estaacute bajo
observacioacutenobservacioacuten
Tamb
80degC
Asiacute el instrumento de Asiacute el instrumento de medida afecta de alguacuten medida afecta de alguacuten modo a la cantidad que modo a la cantidad que
deseaacutebamos medirdeseaacutebamos medir
Ademaacutes Ademaacutes todas las medidastodas las medidas estaacute estaacutenn afectadas en alguacuten grado por un afectadas en alguacuten grado por un error experimentalerror experimental debido a las debido a las imperfecciones inevitables del imperfecciones inevitables del instrumento de medidainstrumento de medida o las o las
limitaciones impuestas por nuestros limitaciones impuestas por nuestros sentidossentidos que deben de registrar la que deben de registrar la
informacioacuteninformacioacuten
1-Todo1-Todo resultado resultado experimentalexperimental o o medidamedida
hecha en el laboratorio debe hecha en el laboratorio debe ir ir acompantildeadaacompantildeada del del valor valor estimado del errorestimado del error de la de la
medida y a continuacioacuten medida y a continuacioacuten laslas unidades unidades empleadasempleadas
Por ejemplo al medir una Por ejemplo al medir una cierta distancia hemos cierta distancia hemos
obtenidoobtenido ((297plusmn2297plusmn2)) mm mm
((297plusmn2297plusmn2)) mm mmDe este modo entendemos De este modo entendemos
que la medida de dicha que la medida de dicha magnitud estaacute en alguna parte magnitud estaacute en alguna parte
entre 295 mm y 299 mmentre 295 mm y 299 mm
En realidad la expresioacuten En realidad la expresioacuten anterior anterior nono significa que se significa que se estaacuteestaacute seguroseguro de que el valor de que el valor
verdadero esteacute entre los verdadero esteacute entre los liacutemites indicados sino que liacutemites indicados sino que hay ciertahay cierta probabilidadprobabilidad de de
que esteacute ahiacuteque esteacute ahiacute
2- 2- Los errores se deben dar Los errores se deben dar solamente con una uacutenica solamente con una uacutenica
cifra significativacifra significativa
Uacutenicamente en casos Uacutenicamente en casos excepcionales se pueden dar una excepcionales se pueden dar una
cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)
3-3-La uacuteltima cifra significativa en el La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en valor de una magnitud fiacutesica y en
su error expresados en las su error expresados en las mismas unidadesmismas unidades deben de deben de
corresponder al mismo orden de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas decenas magnitud (centenas decenas
unidades deacutecimas centeacutesimas)unidades deacutecimas centeacutesimas)
Expresiones incorrectas por la regla 2Expresiones incorrectas por la regla 2 ((Los errores se deben dar solamente Los errores se deben dar solamente
con una uacutenica cifra significativacon una uacutenica cifra significativa))
((24567plusmn24567plusmn22928928)) m (24567 m (24567 ++ 3000) m 3000) m((23463plusmn023463plusmn0116565))cm (23463 cm (23463 ++ 02) cm 02) cm((34520plusmn334520plusmn31010)) mm (34520 mm (34520 ++ 3) mm 3) mm
Expresiones incorrectas por la Expresiones incorrectas por la regla 3regla 3
((La uacuteltima cifra significativa en el valor de una La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en su error expresados en las magnitud fiacutesica y en su error expresados en las mismas unidades deben de corresponder al mismo mismas unidades deben de corresponder al mismo
orden de magnitudorden de magnitud))
((2424567plusmn3000567plusmn3000)) cm cm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) cm cm
((4343plusmn006plusmn006)) m m (4300(4300++ 006) m 006) m
((3453452plusmn32plusmn3)) m m (345 (345 ++ 3) m 3) m
Expresiones incorrectas Expresiones correctasExpresiones incorrectas Expresiones correctas
((24567plusmn292824567plusmn2928)) mm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) m m
((23463plusmn016523463plusmn0165))cmcm ((235plusmn02235plusmn02)) cm cm
((34520plusmn31034520plusmn310)) mm mm ((345plusmn3345plusmn3)) m m
((43plusmn00643plusmn006)) m m ((4300plusmn0064300plusmn006)) m m
Medidas directasMedidas directas
Un experimentador que haga la misma Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendraacute en medida varias veces no obtendraacute en
general el mismo resultado no soacutelo por general el mismo resultado no soacutelo por causas imponderables como variaciones causas imponderables como variaciones
imprevistas de las condiciones de imprevistas de las condiciones de medida temperatura presioacuten humedad medida temperatura presioacuten humedad
etc sino tambieacuten por la habilidad del etc sino tambieacuten por la habilidad del experimentadorexperimentador
Si al tratar de determinar una Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa magnitud por medida directa realizamos varias medidas realizamos varias medidas
con el fin de corregir los con el fin de corregir los errores aleatorioserrores aleatorios
los resultados obtenidos son los resultados obtenidos son xx11 x x
22 x xnn se adopta como se adopta como
mejor estimacioacuten del valor mejor estimacioacuten del valor verdaderoverdadero
el valor medio el valor medio ltxgtltxgt
que viene dado porque viene dado por
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage442gif
El valor medio se aproximaraacute El valor medio se aproximaraacute tanto maacutes al valor verdadero tanto maacutes al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor de la magnitud cuanto mayor
sea el nuacutemero de medidassea el nuacutemero de medidas
Cuando laCuando la sensibilidad del sensibilidad del meacutetodo o de los aparatos meacutetodo o de los aparatos
utilizados es pequentildea utilizados es pequentildea comparada con la magnitud comparada con la magnitud
de los errores aleatoriosde los errores aleatorios puede ocurrir que la repeticioacuten puede ocurrir que la repeticioacuten
de la medida nos lleve de la medida nos lleve siempre al mismo resultadosiempre al mismo resultado
en este caso estaacute claro que el en este caso estaacute claro que el valor medio coincidiraacute con el valor medio coincidiraacute con el
valor medido en una sola valor medido en una sola medida y no se obtiene nada medida y no se obtiene nada nuevo en la repeticioacuten de la nuevo en la repeticioacuten de la
medida y del caacutelculo del valor medida y del caacutelculo del valor medio por lo quemedio por lo que
solamente seraacute necesario solamente seraacute necesario en este caso hacer una sola en este caso hacer una sola
medidamedida
De acuerdo con la teoriacutea de Gauss De acuerdo con la teoriacutea de Gauss de los errores que supone que estos de los errores que supone que estos se producen por causas aleatorias se producen por causas aleatorias se toma como la mejor estimacioacuten se toma como la mejor estimacioacuten
del errordel error
elel error cuadraacuteticoerror cuadraacutetico
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage95gif
Curva de Gauss de los errores Curva de Gauss de los errores accidentalesaccidentales
σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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Reglas para expresar una medida y Reglas para expresar una medida y su errorsu error
Toda medida debe ir seguida Toda medida debe ir seguida por la unidad por la unidad obligatoriamente del Sistema obligatoriamente del Sistema Internacional de Unidades de Internacional de Unidades de medidamedida
Cuando un observador Cuando un observador
mide algo debe tener gran mide algo debe tener gran cuidado para no producir cuidado para no producir
una perturbacioacuten en el una perturbacioacuten en el sistema que estaacute bajo sistema que estaacute bajo
observacioacutenobservacioacuten
Tamb
80degC
Asiacute el instrumento de Asiacute el instrumento de medida afecta de alguacuten medida afecta de alguacuten modo a la cantidad que modo a la cantidad que
deseaacutebamos medirdeseaacutebamos medir
Ademaacutes Ademaacutes todas las medidastodas las medidas estaacute estaacutenn afectadas en alguacuten grado por un afectadas en alguacuten grado por un error experimentalerror experimental debido a las debido a las imperfecciones inevitables del imperfecciones inevitables del instrumento de medidainstrumento de medida o las o las
limitaciones impuestas por nuestros limitaciones impuestas por nuestros sentidossentidos que deben de registrar la que deben de registrar la
informacioacuteninformacioacuten
1-Todo1-Todo resultado resultado experimentalexperimental o o medidamedida
hecha en el laboratorio debe hecha en el laboratorio debe ir ir acompantildeadaacompantildeada del del valor valor estimado del errorestimado del error de la de la
medida y a continuacioacuten medida y a continuacioacuten laslas unidades unidades empleadasempleadas
Por ejemplo al medir una Por ejemplo al medir una cierta distancia hemos cierta distancia hemos
obtenidoobtenido ((297plusmn2297plusmn2)) mm mm
((297plusmn2297plusmn2)) mm mmDe este modo entendemos De este modo entendemos
que la medida de dicha que la medida de dicha magnitud estaacute en alguna parte magnitud estaacute en alguna parte
entre 295 mm y 299 mmentre 295 mm y 299 mm
En realidad la expresioacuten En realidad la expresioacuten anterior anterior nono significa que se significa que se estaacuteestaacute seguroseguro de que el valor de que el valor
verdadero esteacute entre los verdadero esteacute entre los liacutemites indicados sino que liacutemites indicados sino que hay ciertahay cierta probabilidadprobabilidad de de
que esteacute ahiacuteque esteacute ahiacute
2- 2- Los errores se deben dar Los errores se deben dar solamente con una uacutenica solamente con una uacutenica
cifra significativacifra significativa
Uacutenicamente en casos Uacutenicamente en casos excepcionales se pueden dar una excepcionales se pueden dar una
cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)
3-3-La uacuteltima cifra significativa en el La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en valor de una magnitud fiacutesica y en
su error expresados en las su error expresados en las mismas unidadesmismas unidades deben de deben de
corresponder al mismo orden de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas decenas magnitud (centenas decenas
unidades deacutecimas centeacutesimas)unidades deacutecimas centeacutesimas)
Expresiones incorrectas por la regla 2Expresiones incorrectas por la regla 2 ((Los errores se deben dar solamente Los errores se deben dar solamente
con una uacutenica cifra significativacon una uacutenica cifra significativa))
((24567plusmn24567plusmn22928928)) m (24567 m (24567 ++ 3000) m 3000) m((23463plusmn023463plusmn0116565))cm (23463 cm (23463 ++ 02) cm 02) cm((34520plusmn334520plusmn31010)) mm (34520 mm (34520 ++ 3) mm 3) mm
Expresiones incorrectas por la Expresiones incorrectas por la regla 3regla 3
((La uacuteltima cifra significativa en el valor de una La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en su error expresados en las magnitud fiacutesica y en su error expresados en las mismas unidades deben de corresponder al mismo mismas unidades deben de corresponder al mismo
orden de magnitudorden de magnitud))
((2424567plusmn3000567plusmn3000)) cm cm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) cm cm
((4343plusmn006plusmn006)) m m (4300(4300++ 006) m 006) m
((3453452plusmn32plusmn3)) m m (345 (345 ++ 3) m 3) m
Expresiones incorrectas Expresiones correctasExpresiones incorrectas Expresiones correctas
((24567plusmn292824567plusmn2928)) mm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) m m
((23463plusmn016523463plusmn0165))cmcm ((235plusmn02235plusmn02)) cm cm
((34520plusmn31034520plusmn310)) mm mm ((345plusmn3345plusmn3)) m m
((43plusmn00643plusmn006)) m m ((4300plusmn0064300plusmn006)) m m
Medidas directasMedidas directas
Un experimentador que haga la misma Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendraacute en medida varias veces no obtendraacute en
general el mismo resultado no soacutelo por general el mismo resultado no soacutelo por causas imponderables como variaciones causas imponderables como variaciones
imprevistas de las condiciones de imprevistas de las condiciones de medida temperatura presioacuten humedad medida temperatura presioacuten humedad
etc sino tambieacuten por la habilidad del etc sino tambieacuten por la habilidad del experimentadorexperimentador
Si al tratar de determinar una Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa magnitud por medida directa realizamos varias medidas realizamos varias medidas
con el fin de corregir los con el fin de corregir los errores aleatorioserrores aleatorios
los resultados obtenidos son los resultados obtenidos son xx11 x x
22 x xnn se adopta como se adopta como
mejor estimacioacuten del valor mejor estimacioacuten del valor verdaderoverdadero
el valor medio el valor medio ltxgtltxgt
que viene dado porque viene dado por
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage442gif
El valor medio se aproximaraacute El valor medio se aproximaraacute tanto maacutes al valor verdadero tanto maacutes al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor de la magnitud cuanto mayor
sea el nuacutemero de medidassea el nuacutemero de medidas
Cuando laCuando la sensibilidad del sensibilidad del meacutetodo o de los aparatos meacutetodo o de los aparatos
utilizados es pequentildea utilizados es pequentildea comparada con la magnitud comparada con la magnitud
de los errores aleatoriosde los errores aleatorios puede ocurrir que la repeticioacuten puede ocurrir que la repeticioacuten
de la medida nos lleve de la medida nos lleve siempre al mismo resultadosiempre al mismo resultado
en este caso estaacute claro que el en este caso estaacute claro que el valor medio coincidiraacute con el valor medio coincidiraacute con el
valor medido en una sola valor medido en una sola medida y no se obtiene nada medida y no se obtiene nada nuevo en la repeticioacuten de la nuevo en la repeticioacuten de la
medida y del caacutelculo del valor medida y del caacutelculo del valor medio por lo quemedio por lo que
solamente seraacute necesario solamente seraacute necesario en este caso hacer una sola en este caso hacer una sola
medidamedida
De acuerdo con la teoriacutea de Gauss De acuerdo con la teoriacutea de Gauss de los errores que supone que estos de los errores que supone que estos se producen por causas aleatorias se producen por causas aleatorias se toma como la mejor estimacioacuten se toma como la mejor estimacioacuten
del errordel error
elel error cuadraacuteticoerror cuadraacutetico
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage95gif
Curva de Gauss de los errores Curva de Gauss de los errores accidentalesaccidentales
σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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Cuando un observador Cuando un observador
mide algo debe tener gran mide algo debe tener gran cuidado para no producir cuidado para no producir
una perturbacioacuten en el una perturbacioacuten en el sistema que estaacute bajo sistema que estaacute bajo
observacioacutenobservacioacuten
Tamb
80degC
Asiacute el instrumento de Asiacute el instrumento de medida afecta de alguacuten medida afecta de alguacuten modo a la cantidad que modo a la cantidad que
deseaacutebamos medirdeseaacutebamos medir
Ademaacutes Ademaacutes todas las medidastodas las medidas estaacute estaacutenn afectadas en alguacuten grado por un afectadas en alguacuten grado por un error experimentalerror experimental debido a las debido a las imperfecciones inevitables del imperfecciones inevitables del instrumento de medidainstrumento de medida o las o las
limitaciones impuestas por nuestros limitaciones impuestas por nuestros sentidossentidos que deben de registrar la que deben de registrar la
informacioacuteninformacioacuten
1-Todo1-Todo resultado resultado experimentalexperimental o o medidamedida
hecha en el laboratorio debe hecha en el laboratorio debe ir ir acompantildeadaacompantildeada del del valor valor estimado del errorestimado del error de la de la
medida y a continuacioacuten medida y a continuacioacuten laslas unidades unidades empleadasempleadas
Por ejemplo al medir una Por ejemplo al medir una cierta distancia hemos cierta distancia hemos
obtenidoobtenido ((297plusmn2297plusmn2)) mm mm
((297plusmn2297plusmn2)) mm mmDe este modo entendemos De este modo entendemos
que la medida de dicha que la medida de dicha magnitud estaacute en alguna parte magnitud estaacute en alguna parte
entre 295 mm y 299 mmentre 295 mm y 299 mm
En realidad la expresioacuten En realidad la expresioacuten anterior anterior nono significa que se significa que se estaacuteestaacute seguroseguro de que el valor de que el valor
verdadero esteacute entre los verdadero esteacute entre los liacutemites indicados sino que liacutemites indicados sino que hay ciertahay cierta probabilidadprobabilidad de de
que esteacute ahiacuteque esteacute ahiacute
2- 2- Los errores se deben dar Los errores se deben dar solamente con una uacutenica solamente con una uacutenica
cifra significativacifra significativa
Uacutenicamente en casos Uacutenicamente en casos excepcionales se pueden dar una excepcionales se pueden dar una
cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)
3-3-La uacuteltima cifra significativa en el La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en valor de una magnitud fiacutesica y en
su error expresados en las su error expresados en las mismas unidadesmismas unidades deben de deben de
corresponder al mismo orden de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas decenas magnitud (centenas decenas
unidades deacutecimas centeacutesimas)unidades deacutecimas centeacutesimas)
Expresiones incorrectas por la regla 2Expresiones incorrectas por la regla 2 ((Los errores se deben dar solamente Los errores se deben dar solamente
con una uacutenica cifra significativacon una uacutenica cifra significativa))
((24567plusmn24567plusmn22928928)) m (24567 m (24567 ++ 3000) m 3000) m((23463plusmn023463plusmn0116565))cm (23463 cm (23463 ++ 02) cm 02) cm((34520plusmn334520plusmn31010)) mm (34520 mm (34520 ++ 3) mm 3) mm
Expresiones incorrectas por la Expresiones incorrectas por la regla 3regla 3
((La uacuteltima cifra significativa en el valor de una La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en su error expresados en las magnitud fiacutesica y en su error expresados en las mismas unidades deben de corresponder al mismo mismas unidades deben de corresponder al mismo
orden de magnitudorden de magnitud))
((2424567plusmn3000567plusmn3000)) cm cm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) cm cm
((4343plusmn006plusmn006)) m m (4300(4300++ 006) m 006) m
((3453452plusmn32plusmn3)) m m (345 (345 ++ 3) m 3) m
Expresiones incorrectas Expresiones correctasExpresiones incorrectas Expresiones correctas
((24567plusmn292824567plusmn2928)) mm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) m m
((23463plusmn016523463plusmn0165))cmcm ((235plusmn02235plusmn02)) cm cm
((34520plusmn31034520plusmn310)) mm mm ((345plusmn3345plusmn3)) m m
((43plusmn00643plusmn006)) m m ((4300plusmn0064300plusmn006)) m m
Medidas directasMedidas directas
Un experimentador que haga la misma Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendraacute en medida varias veces no obtendraacute en
general el mismo resultado no soacutelo por general el mismo resultado no soacutelo por causas imponderables como variaciones causas imponderables como variaciones
imprevistas de las condiciones de imprevistas de las condiciones de medida temperatura presioacuten humedad medida temperatura presioacuten humedad
etc sino tambieacuten por la habilidad del etc sino tambieacuten por la habilidad del experimentadorexperimentador
Si al tratar de determinar una Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa magnitud por medida directa realizamos varias medidas realizamos varias medidas
con el fin de corregir los con el fin de corregir los errores aleatorioserrores aleatorios
los resultados obtenidos son los resultados obtenidos son xx11 x x
22 x xnn se adopta como se adopta como
mejor estimacioacuten del valor mejor estimacioacuten del valor verdaderoverdadero
el valor medio el valor medio ltxgtltxgt
que viene dado porque viene dado por
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage442gif
El valor medio se aproximaraacute El valor medio se aproximaraacute tanto maacutes al valor verdadero tanto maacutes al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor de la magnitud cuanto mayor
sea el nuacutemero de medidassea el nuacutemero de medidas
Cuando laCuando la sensibilidad del sensibilidad del meacutetodo o de los aparatos meacutetodo o de los aparatos
utilizados es pequentildea utilizados es pequentildea comparada con la magnitud comparada con la magnitud
de los errores aleatoriosde los errores aleatorios puede ocurrir que la repeticioacuten puede ocurrir que la repeticioacuten
de la medida nos lleve de la medida nos lleve siempre al mismo resultadosiempre al mismo resultado
en este caso estaacute claro que el en este caso estaacute claro que el valor medio coincidiraacute con el valor medio coincidiraacute con el
valor medido en una sola valor medido en una sola medida y no se obtiene nada medida y no se obtiene nada nuevo en la repeticioacuten de la nuevo en la repeticioacuten de la
medida y del caacutelculo del valor medida y del caacutelculo del valor medio por lo quemedio por lo que
solamente seraacute necesario solamente seraacute necesario en este caso hacer una sola en este caso hacer una sola
medidamedida
De acuerdo con la teoriacutea de Gauss De acuerdo con la teoriacutea de Gauss de los errores que supone que estos de los errores que supone que estos se producen por causas aleatorias se producen por causas aleatorias se toma como la mejor estimacioacuten se toma como la mejor estimacioacuten
del errordel error
elel error cuadraacuteticoerror cuadraacutetico
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage95gif
Curva de Gauss de los errores Curva de Gauss de los errores accidentalesaccidentales
σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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-
Tamb
80degC
Asiacute el instrumento de Asiacute el instrumento de medida afecta de alguacuten medida afecta de alguacuten modo a la cantidad que modo a la cantidad que
deseaacutebamos medirdeseaacutebamos medir
Ademaacutes Ademaacutes todas las medidastodas las medidas estaacute estaacutenn afectadas en alguacuten grado por un afectadas en alguacuten grado por un error experimentalerror experimental debido a las debido a las imperfecciones inevitables del imperfecciones inevitables del instrumento de medidainstrumento de medida o las o las
limitaciones impuestas por nuestros limitaciones impuestas por nuestros sentidossentidos que deben de registrar la que deben de registrar la
informacioacuteninformacioacuten
1-Todo1-Todo resultado resultado experimentalexperimental o o medidamedida
hecha en el laboratorio debe hecha en el laboratorio debe ir ir acompantildeadaacompantildeada del del valor valor estimado del errorestimado del error de la de la
medida y a continuacioacuten medida y a continuacioacuten laslas unidades unidades empleadasempleadas
Por ejemplo al medir una Por ejemplo al medir una cierta distancia hemos cierta distancia hemos
obtenidoobtenido ((297plusmn2297plusmn2)) mm mm
((297plusmn2297plusmn2)) mm mmDe este modo entendemos De este modo entendemos
que la medida de dicha que la medida de dicha magnitud estaacute en alguna parte magnitud estaacute en alguna parte
entre 295 mm y 299 mmentre 295 mm y 299 mm
En realidad la expresioacuten En realidad la expresioacuten anterior anterior nono significa que se significa que se estaacuteestaacute seguroseguro de que el valor de que el valor
verdadero esteacute entre los verdadero esteacute entre los liacutemites indicados sino que liacutemites indicados sino que hay ciertahay cierta probabilidadprobabilidad de de
que esteacute ahiacuteque esteacute ahiacute
2- 2- Los errores se deben dar Los errores se deben dar solamente con una uacutenica solamente con una uacutenica
cifra significativacifra significativa
Uacutenicamente en casos Uacutenicamente en casos excepcionales se pueden dar una excepcionales se pueden dar una
cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)
3-3-La uacuteltima cifra significativa en el La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en valor de una magnitud fiacutesica y en
su error expresados en las su error expresados en las mismas unidadesmismas unidades deben de deben de
corresponder al mismo orden de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas decenas magnitud (centenas decenas
unidades deacutecimas centeacutesimas)unidades deacutecimas centeacutesimas)
Expresiones incorrectas por la regla 2Expresiones incorrectas por la regla 2 ((Los errores se deben dar solamente Los errores se deben dar solamente
con una uacutenica cifra significativacon una uacutenica cifra significativa))
((24567plusmn24567plusmn22928928)) m (24567 m (24567 ++ 3000) m 3000) m((23463plusmn023463plusmn0116565))cm (23463 cm (23463 ++ 02) cm 02) cm((34520plusmn334520plusmn31010)) mm (34520 mm (34520 ++ 3) mm 3) mm
Expresiones incorrectas por la Expresiones incorrectas por la regla 3regla 3
((La uacuteltima cifra significativa en el valor de una La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en su error expresados en las magnitud fiacutesica y en su error expresados en las mismas unidades deben de corresponder al mismo mismas unidades deben de corresponder al mismo
orden de magnitudorden de magnitud))
((2424567plusmn3000567plusmn3000)) cm cm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) cm cm
((4343plusmn006plusmn006)) m m (4300(4300++ 006) m 006) m
((3453452plusmn32plusmn3)) m m (345 (345 ++ 3) m 3) m
Expresiones incorrectas Expresiones correctasExpresiones incorrectas Expresiones correctas
((24567plusmn292824567plusmn2928)) mm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) m m
((23463plusmn016523463plusmn0165))cmcm ((235plusmn02235plusmn02)) cm cm
((34520plusmn31034520plusmn310)) mm mm ((345plusmn3345plusmn3)) m m
((43plusmn00643plusmn006)) m m ((4300plusmn0064300plusmn006)) m m
Medidas directasMedidas directas
Un experimentador que haga la misma Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendraacute en medida varias veces no obtendraacute en
general el mismo resultado no soacutelo por general el mismo resultado no soacutelo por causas imponderables como variaciones causas imponderables como variaciones
imprevistas de las condiciones de imprevistas de las condiciones de medida temperatura presioacuten humedad medida temperatura presioacuten humedad
etc sino tambieacuten por la habilidad del etc sino tambieacuten por la habilidad del experimentadorexperimentador
Si al tratar de determinar una Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa magnitud por medida directa realizamos varias medidas realizamos varias medidas
con el fin de corregir los con el fin de corregir los errores aleatorioserrores aleatorios
los resultados obtenidos son los resultados obtenidos son xx11 x x
22 x xnn se adopta como se adopta como
mejor estimacioacuten del valor mejor estimacioacuten del valor verdaderoverdadero
el valor medio el valor medio ltxgtltxgt
que viene dado porque viene dado por
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage442gif
El valor medio se aproximaraacute El valor medio se aproximaraacute tanto maacutes al valor verdadero tanto maacutes al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor de la magnitud cuanto mayor
sea el nuacutemero de medidassea el nuacutemero de medidas
Cuando laCuando la sensibilidad del sensibilidad del meacutetodo o de los aparatos meacutetodo o de los aparatos
utilizados es pequentildea utilizados es pequentildea comparada con la magnitud comparada con la magnitud
de los errores aleatoriosde los errores aleatorios puede ocurrir que la repeticioacuten puede ocurrir que la repeticioacuten
de la medida nos lleve de la medida nos lleve siempre al mismo resultadosiempre al mismo resultado
en este caso estaacute claro que el en este caso estaacute claro que el valor medio coincidiraacute con el valor medio coincidiraacute con el
valor medido en una sola valor medido en una sola medida y no se obtiene nada medida y no se obtiene nada nuevo en la repeticioacuten de la nuevo en la repeticioacuten de la
medida y del caacutelculo del valor medida y del caacutelculo del valor medio por lo quemedio por lo que
solamente seraacute necesario solamente seraacute necesario en este caso hacer una sola en este caso hacer una sola
medidamedida
De acuerdo con la teoriacutea de Gauss De acuerdo con la teoriacutea de Gauss de los errores que supone que estos de los errores que supone que estos se producen por causas aleatorias se producen por causas aleatorias se toma como la mejor estimacioacuten se toma como la mejor estimacioacuten
del errordel error
elel error cuadraacuteticoerror cuadraacutetico
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Curva de Gauss de los errores Curva de Gauss de los errores accidentalesaccidentales
σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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Asiacute el instrumento de Asiacute el instrumento de medida afecta de alguacuten medida afecta de alguacuten modo a la cantidad que modo a la cantidad que
deseaacutebamos medirdeseaacutebamos medir
Ademaacutes Ademaacutes todas las medidastodas las medidas estaacute estaacutenn afectadas en alguacuten grado por un afectadas en alguacuten grado por un error experimentalerror experimental debido a las debido a las imperfecciones inevitables del imperfecciones inevitables del instrumento de medidainstrumento de medida o las o las
limitaciones impuestas por nuestros limitaciones impuestas por nuestros sentidossentidos que deben de registrar la que deben de registrar la
informacioacuteninformacioacuten
1-Todo1-Todo resultado resultado experimentalexperimental o o medidamedida
hecha en el laboratorio debe hecha en el laboratorio debe ir ir acompantildeadaacompantildeada del del valor valor estimado del errorestimado del error de la de la
medida y a continuacioacuten medida y a continuacioacuten laslas unidades unidades empleadasempleadas
Por ejemplo al medir una Por ejemplo al medir una cierta distancia hemos cierta distancia hemos
obtenidoobtenido ((297plusmn2297plusmn2)) mm mm
((297plusmn2297plusmn2)) mm mmDe este modo entendemos De este modo entendemos
que la medida de dicha que la medida de dicha magnitud estaacute en alguna parte magnitud estaacute en alguna parte
entre 295 mm y 299 mmentre 295 mm y 299 mm
En realidad la expresioacuten En realidad la expresioacuten anterior anterior nono significa que se significa que se estaacuteestaacute seguroseguro de que el valor de que el valor
verdadero esteacute entre los verdadero esteacute entre los liacutemites indicados sino que liacutemites indicados sino que hay ciertahay cierta probabilidadprobabilidad de de
que esteacute ahiacuteque esteacute ahiacute
2- 2- Los errores se deben dar Los errores se deben dar solamente con una uacutenica solamente con una uacutenica
cifra significativacifra significativa
Uacutenicamente en casos Uacutenicamente en casos excepcionales se pueden dar una excepcionales se pueden dar una
cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)
3-3-La uacuteltima cifra significativa en el La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en valor de una magnitud fiacutesica y en
su error expresados en las su error expresados en las mismas unidadesmismas unidades deben de deben de
corresponder al mismo orden de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas decenas magnitud (centenas decenas
unidades deacutecimas centeacutesimas)unidades deacutecimas centeacutesimas)
Expresiones incorrectas por la regla 2Expresiones incorrectas por la regla 2 ((Los errores se deben dar solamente Los errores se deben dar solamente
con una uacutenica cifra significativacon una uacutenica cifra significativa))
((24567plusmn24567plusmn22928928)) m (24567 m (24567 ++ 3000) m 3000) m((23463plusmn023463plusmn0116565))cm (23463 cm (23463 ++ 02) cm 02) cm((34520plusmn334520plusmn31010)) mm (34520 mm (34520 ++ 3) mm 3) mm
Expresiones incorrectas por la Expresiones incorrectas por la regla 3regla 3
((La uacuteltima cifra significativa en el valor de una La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en su error expresados en las magnitud fiacutesica y en su error expresados en las mismas unidades deben de corresponder al mismo mismas unidades deben de corresponder al mismo
orden de magnitudorden de magnitud))
((2424567plusmn3000567plusmn3000)) cm cm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) cm cm
((4343plusmn006plusmn006)) m m (4300(4300++ 006) m 006) m
((3453452plusmn32plusmn3)) m m (345 (345 ++ 3) m 3) m
Expresiones incorrectas Expresiones correctasExpresiones incorrectas Expresiones correctas
((24567plusmn292824567plusmn2928)) mm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) m m
((23463plusmn016523463plusmn0165))cmcm ((235plusmn02235plusmn02)) cm cm
((34520plusmn31034520plusmn310)) mm mm ((345plusmn3345plusmn3)) m m
((43plusmn00643plusmn006)) m m ((4300plusmn0064300plusmn006)) m m
Medidas directasMedidas directas
Un experimentador que haga la misma Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendraacute en medida varias veces no obtendraacute en
general el mismo resultado no soacutelo por general el mismo resultado no soacutelo por causas imponderables como variaciones causas imponderables como variaciones
imprevistas de las condiciones de imprevistas de las condiciones de medida temperatura presioacuten humedad medida temperatura presioacuten humedad
etc sino tambieacuten por la habilidad del etc sino tambieacuten por la habilidad del experimentadorexperimentador
Si al tratar de determinar una Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa magnitud por medida directa realizamos varias medidas realizamos varias medidas
con el fin de corregir los con el fin de corregir los errores aleatorioserrores aleatorios
los resultados obtenidos son los resultados obtenidos son xx11 x x
22 x xnn se adopta como se adopta como
mejor estimacioacuten del valor mejor estimacioacuten del valor verdaderoverdadero
el valor medio el valor medio ltxgtltxgt
que viene dado porque viene dado por
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage442gif
El valor medio se aproximaraacute El valor medio se aproximaraacute tanto maacutes al valor verdadero tanto maacutes al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor de la magnitud cuanto mayor
sea el nuacutemero de medidassea el nuacutemero de medidas
Cuando laCuando la sensibilidad del sensibilidad del meacutetodo o de los aparatos meacutetodo o de los aparatos
utilizados es pequentildea utilizados es pequentildea comparada con la magnitud comparada con la magnitud
de los errores aleatoriosde los errores aleatorios puede ocurrir que la repeticioacuten puede ocurrir que la repeticioacuten
de la medida nos lleve de la medida nos lleve siempre al mismo resultadosiempre al mismo resultado
en este caso estaacute claro que el en este caso estaacute claro que el valor medio coincidiraacute con el valor medio coincidiraacute con el
valor medido en una sola valor medido en una sola medida y no se obtiene nada medida y no se obtiene nada nuevo en la repeticioacuten de la nuevo en la repeticioacuten de la
medida y del caacutelculo del valor medida y del caacutelculo del valor medio por lo quemedio por lo que
solamente seraacute necesario solamente seraacute necesario en este caso hacer una sola en este caso hacer una sola
medidamedida
De acuerdo con la teoriacutea de Gauss De acuerdo con la teoriacutea de Gauss de los errores que supone que estos de los errores que supone que estos se producen por causas aleatorias se producen por causas aleatorias se toma como la mejor estimacioacuten se toma como la mejor estimacioacuten
del errordel error
elel error cuadraacuteticoerror cuadraacutetico
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage95gif
Curva de Gauss de los errores Curva de Gauss de los errores accidentalesaccidentales
σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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Ademaacutes Ademaacutes todas las medidastodas las medidas estaacute estaacutenn afectadas en alguacuten grado por un afectadas en alguacuten grado por un error experimentalerror experimental debido a las debido a las imperfecciones inevitables del imperfecciones inevitables del instrumento de medidainstrumento de medida o las o las
limitaciones impuestas por nuestros limitaciones impuestas por nuestros sentidossentidos que deben de registrar la que deben de registrar la
informacioacuteninformacioacuten
1-Todo1-Todo resultado resultado experimentalexperimental o o medidamedida
hecha en el laboratorio debe hecha en el laboratorio debe ir ir acompantildeadaacompantildeada del del valor valor estimado del errorestimado del error de la de la
medida y a continuacioacuten medida y a continuacioacuten laslas unidades unidades empleadasempleadas
Por ejemplo al medir una Por ejemplo al medir una cierta distancia hemos cierta distancia hemos
obtenidoobtenido ((297plusmn2297plusmn2)) mm mm
((297plusmn2297plusmn2)) mm mmDe este modo entendemos De este modo entendemos
que la medida de dicha que la medida de dicha magnitud estaacute en alguna parte magnitud estaacute en alguna parte
entre 295 mm y 299 mmentre 295 mm y 299 mm
En realidad la expresioacuten En realidad la expresioacuten anterior anterior nono significa que se significa que se estaacuteestaacute seguroseguro de que el valor de que el valor
verdadero esteacute entre los verdadero esteacute entre los liacutemites indicados sino que liacutemites indicados sino que hay ciertahay cierta probabilidadprobabilidad de de
que esteacute ahiacuteque esteacute ahiacute
2- 2- Los errores se deben dar Los errores se deben dar solamente con una uacutenica solamente con una uacutenica
cifra significativacifra significativa
Uacutenicamente en casos Uacutenicamente en casos excepcionales se pueden dar una excepcionales se pueden dar una
cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)
3-3-La uacuteltima cifra significativa en el La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en valor de una magnitud fiacutesica y en
su error expresados en las su error expresados en las mismas unidadesmismas unidades deben de deben de
corresponder al mismo orden de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas decenas magnitud (centenas decenas
unidades deacutecimas centeacutesimas)unidades deacutecimas centeacutesimas)
Expresiones incorrectas por la regla 2Expresiones incorrectas por la regla 2 ((Los errores se deben dar solamente Los errores se deben dar solamente
con una uacutenica cifra significativacon una uacutenica cifra significativa))
((24567plusmn24567plusmn22928928)) m (24567 m (24567 ++ 3000) m 3000) m((23463plusmn023463plusmn0116565))cm (23463 cm (23463 ++ 02) cm 02) cm((34520plusmn334520plusmn31010)) mm (34520 mm (34520 ++ 3) mm 3) mm
Expresiones incorrectas por la Expresiones incorrectas por la regla 3regla 3
((La uacuteltima cifra significativa en el valor de una La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en su error expresados en las magnitud fiacutesica y en su error expresados en las mismas unidades deben de corresponder al mismo mismas unidades deben de corresponder al mismo
orden de magnitudorden de magnitud))
((2424567plusmn3000567plusmn3000)) cm cm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) cm cm
((4343plusmn006plusmn006)) m m (4300(4300++ 006) m 006) m
((3453452plusmn32plusmn3)) m m (345 (345 ++ 3) m 3) m
Expresiones incorrectas Expresiones correctasExpresiones incorrectas Expresiones correctas
((24567plusmn292824567plusmn2928)) mm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) m m
((23463plusmn016523463plusmn0165))cmcm ((235plusmn02235plusmn02)) cm cm
((34520plusmn31034520plusmn310)) mm mm ((345plusmn3345plusmn3)) m m
((43plusmn00643plusmn006)) m m ((4300plusmn0064300plusmn006)) m m
Medidas directasMedidas directas
Un experimentador que haga la misma Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendraacute en medida varias veces no obtendraacute en
general el mismo resultado no soacutelo por general el mismo resultado no soacutelo por causas imponderables como variaciones causas imponderables como variaciones
imprevistas de las condiciones de imprevistas de las condiciones de medida temperatura presioacuten humedad medida temperatura presioacuten humedad
etc sino tambieacuten por la habilidad del etc sino tambieacuten por la habilidad del experimentadorexperimentador
Si al tratar de determinar una Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa magnitud por medida directa realizamos varias medidas realizamos varias medidas
con el fin de corregir los con el fin de corregir los errores aleatorioserrores aleatorios
los resultados obtenidos son los resultados obtenidos son xx11 x x
22 x xnn se adopta como se adopta como
mejor estimacioacuten del valor mejor estimacioacuten del valor verdaderoverdadero
el valor medio el valor medio ltxgtltxgt
que viene dado porque viene dado por
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage442gif
El valor medio se aproximaraacute El valor medio se aproximaraacute tanto maacutes al valor verdadero tanto maacutes al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor de la magnitud cuanto mayor
sea el nuacutemero de medidassea el nuacutemero de medidas
Cuando laCuando la sensibilidad del sensibilidad del meacutetodo o de los aparatos meacutetodo o de los aparatos
utilizados es pequentildea utilizados es pequentildea comparada con la magnitud comparada con la magnitud
de los errores aleatoriosde los errores aleatorios puede ocurrir que la repeticioacuten puede ocurrir que la repeticioacuten
de la medida nos lleve de la medida nos lleve siempre al mismo resultadosiempre al mismo resultado
en este caso estaacute claro que el en este caso estaacute claro que el valor medio coincidiraacute con el valor medio coincidiraacute con el
valor medido en una sola valor medido en una sola medida y no se obtiene nada medida y no se obtiene nada nuevo en la repeticioacuten de la nuevo en la repeticioacuten de la
medida y del caacutelculo del valor medida y del caacutelculo del valor medio por lo quemedio por lo que
solamente seraacute necesario solamente seraacute necesario en este caso hacer una sola en este caso hacer una sola
medidamedida
De acuerdo con la teoriacutea de Gauss De acuerdo con la teoriacutea de Gauss de los errores que supone que estos de los errores que supone que estos se producen por causas aleatorias se producen por causas aleatorias se toma como la mejor estimacioacuten se toma como la mejor estimacioacuten
del errordel error
elel error cuadraacuteticoerror cuadraacutetico
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage95gif
Curva de Gauss de los errores Curva de Gauss de los errores accidentalesaccidentales
σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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-
1-Todo1-Todo resultado resultado experimentalexperimental o o medidamedida
hecha en el laboratorio debe hecha en el laboratorio debe ir ir acompantildeadaacompantildeada del del valor valor estimado del errorestimado del error de la de la
medida y a continuacioacuten medida y a continuacioacuten laslas unidades unidades empleadasempleadas
Por ejemplo al medir una Por ejemplo al medir una cierta distancia hemos cierta distancia hemos
obtenidoobtenido ((297plusmn2297plusmn2)) mm mm
((297plusmn2297plusmn2)) mm mmDe este modo entendemos De este modo entendemos
que la medida de dicha que la medida de dicha magnitud estaacute en alguna parte magnitud estaacute en alguna parte
entre 295 mm y 299 mmentre 295 mm y 299 mm
En realidad la expresioacuten En realidad la expresioacuten anterior anterior nono significa que se significa que se estaacuteestaacute seguroseguro de que el valor de que el valor
verdadero esteacute entre los verdadero esteacute entre los liacutemites indicados sino que liacutemites indicados sino que hay ciertahay cierta probabilidadprobabilidad de de
que esteacute ahiacuteque esteacute ahiacute
2- 2- Los errores se deben dar Los errores se deben dar solamente con una uacutenica solamente con una uacutenica
cifra significativacifra significativa
Uacutenicamente en casos Uacutenicamente en casos excepcionales se pueden dar una excepcionales se pueden dar una
cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)
3-3-La uacuteltima cifra significativa en el La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en valor de una magnitud fiacutesica y en
su error expresados en las su error expresados en las mismas unidadesmismas unidades deben de deben de
corresponder al mismo orden de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas decenas magnitud (centenas decenas
unidades deacutecimas centeacutesimas)unidades deacutecimas centeacutesimas)
Expresiones incorrectas por la regla 2Expresiones incorrectas por la regla 2 ((Los errores se deben dar solamente Los errores se deben dar solamente
con una uacutenica cifra significativacon una uacutenica cifra significativa))
((24567plusmn24567plusmn22928928)) m (24567 m (24567 ++ 3000) m 3000) m((23463plusmn023463plusmn0116565))cm (23463 cm (23463 ++ 02) cm 02) cm((34520plusmn334520plusmn31010)) mm (34520 mm (34520 ++ 3) mm 3) mm
Expresiones incorrectas por la Expresiones incorrectas por la regla 3regla 3
((La uacuteltima cifra significativa en el valor de una La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en su error expresados en las magnitud fiacutesica y en su error expresados en las mismas unidades deben de corresponder al mismo mismas unidades deben de corresponder al mismo
orden de magnitudorden de magnitud))
((2424567plusmn3000567plusmn3000)) cm cm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) cm cm
((4343plusmn006plusmn006)) m m (4300(4300++ 006) m 006) m
((3453452plusmn32plusmn3)) m m (345 (345 ++ 3) m 3) m
Expresiones incorrectas Expresiones correctasExpresiones incorrectas Expresiones correctas
((24567plusmn292824567plusmn2928)) mm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) m m
((23463plusmn016523463plusmn0165))cmcm ((235plusmn02235plusmn02)) cm cm
((34520plusmn31034520plusmn310)) mm mm ((345plusmn3345plusmn3)) m m
((43plusmn00643plusmn006)) m m ((4300plusmn0064300plusmn006)) m m
Medidas directasMedidas directas
Un experimentador que haga la misma Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendraacute en medida varias veces no obtendraacute en
general el mismo resultado no soacutelo por general el mismo resultado no soacutelo por causas imponderables como variaciones causas imponderables como variaciones
imprevistas de las condiciones de imprevistas de las condiciones de medida temperatura presioacuten humedad medida temperatura presioacuten humedad
etc sino tambieacuten por la habilidad del etc sino tambieacuten por la habilidad del experimentadorexperimentador
Si al tratar de determinar una Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa magnitud por medida directa realizamos varias medidas realizamos varias medidas
con el fin de corregir los con el fin de corregir los errores aleatorioserrores aleatorios
los resultados obtenidos son los resultados obtenidos son xx11 x x
22 x xnn se adopta como se adopta como
mejor estimacioacuten del valor mejor estimacioacuten del valor verdaderoverdadero
el valor medio el valor medio ltxgtltxgt
que viene dado porque viene dado por
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage442gif
El valor medio se aproximaraacute El valor medio se aproximaraacute tanto maacutes al valor verdadero tanto maacutes al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor de la magnitud cuanto mayor
sea el nuacutemero de medidassea el nuacutemero de medidas
Cuando laCuando la sensibilidad del sensibilidad del meacutetodo o de los aparatos meacutetodo o de los aparatos
utilizados es pequentildea utilizados es pequentildea comparada con la magnitud comparada con la magnitud
de los errores aleatoriosde los errores aleatorios puede ocurrir que la repeticioacuten puede ocurrir que la repeticioacuten
de la medida nos lleve de la medida nos lleve siempre al mismo resultadosiempre al mismo resultado
en este caso estaacute claro que el en este caso estaacute claro que el valor medio coincidiraacute con el valor medio coincidiraacute con el
valor medido en una sola valor medido en una sola medida y no se obtiene nada medida y no se obtiene nada nuevo en la repeticioacuten de la nuevo en la repeticioacuten de la
medida y del caacutelculo del valor medida y del caacutelculo del valor medio por lo quemedio por lo que
solamente seraacute necesario solamente seraacute necesario en este caso hacer una sola en este caso hacer una sola
medidamedida
De acuerdo con la teoriacutea de Gauss De acuerdo con la teoriacutea de Gauss de los errores que supone que estos de los errores que supone que estos se producen por causas aleatorias se producen por causas aleatorias se toma como la mejor estimacioacuten se toma como la mejor estimacioacuten
del errordel error
elel error cuadraacuteticoerror cuadraacutetico
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage95gif
Curva de Gauss de los errores Curva de Gauss de los errores accidentalesaccidentales
σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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Por ejemplo al medir una Por ejemplo al medir una cierta distancia hemos cierta distancia hemos
obtenidoobtenido ((297plusmn2297plusmn2)) mm mm
((297plusmn2297plusmn2)) mm mmDe este modo entendemos De este modo entendemos
que la medida de dicha que la medida de dicha magnitud estaacute en alguna parte magnitud estaacute en alguna parte
entre 295 mm y 299 mmentre 295 mm y 299 mm
En realidad la expresioacuten En realidad la expresioacuten anterior anterior nono significa que se significa que se estaacuteestaacute seguroseguro de que el valor de que el valor
verdadero esteacute entre los verdadero esteacute entre los liacutemites indicados sino que liacutemites indicados sino que hay ciertahay cierta probabilidadprobabilidad de de
que esteacute ahiacuteque esteacute ahiacute
2- 2- Los errores se deben dar Los errores se deben dar solamente con una uacutenica solamente con una uacutenica
cifra significativacifra significativa
Uacutenicamente en casos Uacutenicamente en casos excepcionales se pueden dar una excepcionales se pueden dar una
cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)
3-3-La uacuteltima cifra significativa en el La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en valor de una magnitud fiacutesica y en
su error expresados en las su error expresados en las mismas unidadesmismas unidades deben de deben de
corresponder al mismo orden de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas decenas magnitud (centenas decenas
unidades deacutecimas centeacutesimas)unidades deacutecimas centeacutesimas)
Expresiones incorrectas por la regla 2Expresiones incorrectas por la regla 2 ((Los errores se deben dar solamente Los errores se deben dar solamente
con una uacutenica cifra significativacon una uacutenica cifra significativa))
((24567plusmn24567plusmn22928928)) m (24567 m (24567 ++ 3000) m 3000) m((23463plusmn023463plusmn0116565))cm (23463 cm (23463 ++ 02) cm 02) cm((34520plusmn334520plusmn31010)) mm (34520 mm (34520 ++ 3) mm 3) mm
Expresiones incorrectas por la Expresiones incorrectas por la regla 3regla 3
((La uacuteltima cifra significativa en el valor de una La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en su error expresados en las magnitud fiacutesica y en su error expresados en las mismas unidades deben de corresponder al mismo mismas unidades deben de corresponder al mismo
orden de magnitudorden de magnitud))
((2424567plusmn3000567plusmn3000)) cm cm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) cm cm
((4343plusmn006plusmn006)) m m (4300(4300++ 006) m 006) m
((3453452plusmn32plusmn3)) m m (345 (345 ++ 3) m 3) m
Expresiones incorrectas Expresiones correctasExpresiones incorrectas Expresiones correctas
((24567plusmn292824567plusmn2928)) mm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) m m
((23463plusmn016523463plusmn0165))cmcm ((235plusmn02235plusmn02)) cm cm
((34520plusmn31034520plusmn310)) mm mm ((345plusmn3345plusmn3)) m m
((43plusmn00643plusmn006)) m m ((4300plusmn0064300plusmn006)) m m
Medidas directasMedidas directas
Un experimentador que haga la misma Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendraacute en medida varias veces no obtendraacute en
general el mismo resultado no soacutelo por general el mismo resultado no soacutelo por causas imponderables como variaciones causas imponderables como variaciones
imprevistas de las condiciones de imprevistas de las condiciones de medida temperatura presioacuten humedad medida temperatura presioacuten humedad
etc sino tambieacuten por la habilidad del etc sino tambieacuten por la habilidad del experimentadorexperimentador
Si al tratar de determinar una Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa magnitud por medida directa realizamos varias medidas realizamos varias medidas
con el fin de corregir los con el fin de corregir los errores aleatorioserrores aleatorios
los resultados obtenidos son los resultados obtenidos son xx11 x x
22 x xnn se adopta como se adopta como
mejor estimacioacuten del valor mejor estimacioacuten del valor verdaderoverdadero
el valor medio el valor medio ltxgtltxgt
que viene dado porque viene dado por
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage442gif
El valor medio se aproximaraacute El valor medio se aproximaraacute tanto maacutes al valor verdadero tanto maacutes al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor de la magnitud cuanto mayor
sea el nuacutemero de medidassea el nuacutemero de medidas
Cuando laCuando la sensibilidad del sensibilidad del meacutetodo o de los aparatos meacutetodo o de los aparatos
utilizados es pequentildea utilizados es pequentildea comparada con la magnitud comparada con la magnitud
de los errores aleatoriosde los errores aleatorios puede ocurrir que la repeticioacuten puede ocurrir que la repeticioacuten
de la medida nos lleve de la medida nos lleve siempre al mismo resultadosiempre al mismo resultado
en este caso estaacute claro que el en este caso estaacute claro que el valor medio coincidiraacute con el valor medio coincidiraacute con el
valor medido en una sola valor medido en una sola medida y no se obtiene nada medida y no se obtiene nada nuevo en la repeticioacuten de la nuevo en la repeticioacuten de la
medida y del caacutelculo del valor medida y del caacutelculo del valor medio por lo quemedio por lo que
solamente seraacute necesario solamente seraacute necesario en este caso hacer una sola en este caso hacer una sola
medidamedida
De acuerdo con la teoriacutea de Gauss De acuerdo con la teoriacutea de Gauss de los errores que supone que estos de los errores que supone que estos se producen por causas aleatorias se producen por causas aleatorias se toma como la mejor estimacioacuten se toma como la mejor estimacioacuten
del errordel error
elel error cuadraacuteticoerror cuadraacutetico
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage95gif
Curva de Gauss de los errores Curva de Gauss de los errores accidentalesaccidentales
σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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((297plusmn2297plusmn2)) mm mmDe este modo entendemos De este modo entendemos
que la medida de dicha que la medida de dicha magnitud estaacute en alguna parte magnitud estaacute en alguna parte
entre 295 mm y 299 mmentre 295 mm y 299 mm
En realidad la expresioacuten En realidad la expresioacuten anterior anterior nono significa que se significa que se estaacuteestaacute seguroseguro de que el valor de que el valor
verdadero esteacute entre los verdadero esteacute entre los liacutemites indicados sino que liacutemites indicados sino que hay ciertahay cierta probabilidadprobabilidad de de
que esteacute ahiacuteque esteacute ahiacute
2- 2- Los errores se deben dar Los errores se deben dar solamente con una uacutenica solamente con una uacutenica
cifra significativacifra significativa
Uacutenicamente en casos Uacutenicamente en casos excepcionales se pueden dar una excepcionales se pueden dar una
cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)
3-3-La uacuteltima cifra significativa en el La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en valor de una magnitud fiacutesica y en
su error expresados en las su error expresados en las mismas unidadesmismas unidades deben de deben de
corresponder al mismo orden de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas decenas magnitud (centenas decenas
unidades deacutecimas centeacutesimas)unidades deacutecimas centeacutesimas)
Expresiones incorrectas por la regla 2Expresiones incorrectas por la regla 2 ((Los errores se deben dar solamente Los errores se deben dar solamente
con una uacutenica cifra significativacon una uacutenica cifra significativa))
((24567plusmn24567plusmn22928928)) m (24567 m (24567 ++ 3000) m 3000) m((23463plusmn023463plusmn0116565))cm (23463 cm (23463 ++ 02) cm 02) cm((34520plusmn334520plusmn31010)) mm (34520 mm (34520 ++ 3) mm 3) mm
Expresiones incorrectas por la Expresiones incorrectas por la regla 3regla 3
((La uacuteltima cifra significativa en el valor de una La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en su error expresados en las magnitud fiacutesica y en su error expresados en las mismas unidades deben de corresponder al mismo mismas unidades deben de corresponder al mismo
orden de magnitudorden de magnitud))
((2424567plusmn3000567plusmn3000)) cm cm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) cm cm
((4343plusmn006plusmn006)) m m (4300(4300++ 006) m 006) m
((3453452plusmn32plusmn3)) m m (345 (345 ++ 3) m 3) m
Expresiones incorrectas Expresiones correctasExpresiones incorrectas Expresiones correctas
((24567plusmn292824567plusmn2928)) mm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) m m
((23463plusmn016523463plusmn0165))cmcm ((235plusmn02235plusmn02)) cm cm
((34520plusmn31034520plusmn310)) mm mm ((345plusmn3345plusmn3)) m m
((43plusmn00643plusmn006)) m m ((4300plusmn0064300plusmn006)) m m
Medidas directasMedidas directas
Un experimentador que haga la misma Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendraacute en medida varias veces no obtendraacute en
general el mismo resultado no soacutelo por general el mismo resultado no soacutelo por causas imponderables como variaciones causas imponderables como variaciones
imprevistas de las condiciones de imprevistas de las condiciones de medida temperatura presioacuten humedad medida temperatura presioacuten humedad
etc sino tambieacuten por la habilidad del etc sino tambieacuten por la habilidad del experimentadorexperimentador
Si al tratar de determinar una Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa magnitud por medida directa realizamos varias medidas realizamos varias medidas
con el fin de corregir los con el fin de corregir los errores aleatorioserrores aleatorios
los resultados obtenidos son los resultados obtenidos son xx11 x x
22 x xnn se adopta como se adopta como
mejor estimacioacuten del valor mejor estimacioacuten del valor verdaderoverdadero
el valor medio el valor medio ltxgtltxgt
que viene dado porque viene dado por
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage442gif
El valor medio se aproximaraacute El valor medio se aproximaraacute tanto maacutes al valor verdadero tanto maacutes al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor de la magnitud cuanto mayor
sea el nuacutemero de medidassea el nuacutemero de medidas
Cuando laCuando la sensibilidad del sensibilidad del meacutetodo o de los aparatos meacutetodo o de los aparatos
utilizados es pequentildea utilizados es pequentildea comparada con la magnitud comparada con la magnitud
de los errores aleatoriosde los errores aleatorios puede ocurrir que la repeticioacuten puede ocurrir que la repeticioacuten
de la medida nos lleve de la medida nos lleve siempre al mismo resultadosiempre al mismo resultado
en este caso estaacute claro que el en este caso estaacute claro que el valor medio coincidiraacute con el valor medio coincidiraacute con el
valor medido en una sola valor medido en una sola medida y no se obtiene nada medida y no se obtiene nada nuevo en la repeticioacuten de la nuevo en la repeticioacuten de la
medida y del caacutelculo del valor medida y del caacutelculo del valor medio por lo quemedio por lo que
solamente seraacute necesario solamente seraacute necesario en este caso hacer una sola en este caso hacer una sola
medidamedida
De acuerdo con la teoriacutea de Gauss De acuerdo con la teoriacutea de Gauss de los errores que supone que estos de los errores que supone que estos se producen por causas aleatorias se producen por causas aleatorias se toma como la mejor estimacioacuten se toma como la mejor estimacioacuten
del errordel error
elel error cuadraacuteticoerror cuadraacutetico
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage95gif
Curva de Gauss de los errores Curva de Gauss de los errores accidentalesaccidentales
σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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-
En realidad la expresioacuten En realidad la expresioacuten anterior anterior nono significa que se significa que se estaacuteestaacute seguroseguro de que el valor de que el valor
verdadero esteacute entre los verdadero esteacute entre los liacutemites indicados sino que liacutemites indicados sino que hay ciertahay cierta probabilidadprobabilidad de de
que esteacute ahiacuteque esteacute ahiacute
2- 2- Los errores se deben dar Los errores se deben dar solamente con una uacutenica solamente con una uacutenica
cifra significativacifra significativa
Uacutenicamente en casos Uacutenicamente en casos excepcionales se pueden dar una excepcionales se pueden dar una
cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)
3-3-La uacuteltima cifra significativa en el La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en valor de una magnitud fiacutesica y en
su error expresados en las su error expresados en las mismas unidadesmismas unidades deben de deben de
corresponder al mismo orden de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas decenas magnitud (centenas decenas
unidades deacutecimas centeacutesimas)unidades deacutecimas centeacutesimas)
Expresiones incorrectas por la regla 2Expresiones incorrectas por la regla 2 ((Los errores se deben dar solamente Los errores se deben dar solamente
con una uacutenica cifra significativacon una uacutenica cifra significativa))
((24567plusmn24567plusmn22928928)) m (24567 m (24567 ++ 3000) m 3000) m((23463plusmn023463plusmn0116565))cm (23463 cm (23463 ++ 02) cm 02) cm((34520plusmn334520plusmn31010)) mm (34520 mm (34520 ++ 3) mm 3) mm
Expresiones incorrectas por la Expresiones incorrectas por la regla 3regla 3
((La uacuteltima cifra significativa en el valor de una La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en su error expresados en las magnitud fiacutesica y en su error expresados en las mismas unidades deben de corresponder al mismo mismas unidades deben de corresponder al mismo
orden de magnitudorden de magnitud))
((2424567plusmn3000567plusmn3000)) cm cm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) cm cm
((4343plusmn006plusmn006)) m m (4300(4300++ 006) m 006) m
((3453452plusmn32plusmn3)) m m (345 (345 ++ 3) m 3) m
Expresiones incorrectas Expresiones correctasExpresiones incorrectas Expresiones correctas
((24567plusmn292824567plusmn2928)) mm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) m m
((23463plusmn016523463plusmn0165))cmcm ((235plusmn02235plusmn02)) cm cm
((34520plusmn31034520plusmn310)) mm mm ((345plusmn3345plusmn3)) m m
((43plusmn00643plusmn006)) m m ((4300plusmn0064300plusmn006)) m m
Medidas directasMedidas directas
Un experimentador que haga la misma Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendraacute en medida varias veces no obtendraacute en
general el mismo resultado no soacutelo por general el mismo resultado no soacutelo por causas imponderables como variaciones causas imponderables como variaciones
imprevistas de las condiciones de imprevistas de las condiciones de medida temperatura presioacuten humedad medida temperatura presioacuten humedad
etc sino tambieacuten por la habilidad del etc sino tambieacuten por la habilidad del experimentadorexperimentador
Si al tratar de determinar una Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa magnitud por medida directa realizamos varias medidas realizamos varias medidas
con el fin de corregir los con el fin de corregir los errores aleatorioserrores aleatorios
los resultados obtenidos son los resultados obtenidos son xx11 x x
22 x xnn se adopta como se adopta como
mejor estimacioacuten del valor mejor estimacioacuten del valor verdaderoverdadero
el valor medio el valor medio ltxgtltxgt
que viene dado porque viene dado por
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage442gif
El valor medio se aproximaraacute El valor medio se aproximaraacute tanto maacutes al valor verdadero tanto maacutes al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor de la magnitud cuanto mayor
sea el nuacutemero de medidassea el nuacutemero de medidas
Cuando laCuando la sensibilidad del sensibilidad del meacutetodo o de los aparatos meacutetodo o de los aparatos
utilizados es pequentildea utilizados es pequentildea comparada con la magnitud comparada con la magnitud
de los errores aleatoriosde los errores aleatorios puede ocurrir que la repeticioacuten puede ocurrir que la repeticioacuten
de la medida nos lleve de la medida nos lleve siempre al mismo resultadosiempre al mismo resultado
en este caso estaacute claro que el en este caso estaacute claro que el valor medio coincidiraacute con el valor medio coincidiraacute con el
valor medido en una sola valor medido en una sola medida y no se obtiene nada medida y no se obtiene nada nuevo en la repeticioacuten de la nuevo en la repeticioacuten de la
medida y del caacutelculo del valor medida y del caacutelculo del valor medio por lo quemedio por lo que
solamente seraacute necesario solamente seraacute necesario en este caso hacer una sola en este caso hacer una sola
medidamedida
De acuerdo con la teoriacutea de Gauss De acuerdo con la teoriacutea de Gauss de los errores que supone que estos de los errores que supone que estos se producen por causas aleatorias se producen por causas aleatorias se toma como la mejor estimacioacuten se toma como la mejor estimacioacuten
del errordel error
elel error cuadraacuteticoerror cuadraacutetico
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage95gif
Curva de Gauss de los errores Curva de Gauss de los errores accidentalesaccidentales
σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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2- 2- Los errores se deben dar Los errores se deben dar solamente con una uacutenica solamente con una uacutenica
cifra significativacifra significativa
Uacutenicamente en casos Uacutenicamente en casos excepcionales se pueden dar una excepcionales se pueden dar una
cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)cifra y media (la segunda cifra 5 oacute 0)
3-3-La uacuteltima cifra significativa en el La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en valor de una magnitud fiacutesica y en
su error expresados en las su error expresados en las mismas unidadesmismas unidades deben de deben de
corresponder al mismo orden de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas decenas magnitud (centenas decenas
unidades deacutecimas centeacutesimas)unidades deacutecimas centeacutesimas)
Expresiones incorrectas por la regla 2Expresiones incorrectas por la regla 2 ((Los errores se deben dar solamente Los errores se deben dar solamente
con una uacutenica cifra significativacon una uacutenica cifra significativa))
((24567plusmn24567plusmn22928928)) m (24567 m (24567 ++ 3000) m 3000) m((23463plusmn023463plusmn0116565))cm (23463 cm (23463 ++ 02) cm 02) cm((34520plusmn334520plusmn31010)) mm (34520 mm (34520 ++ 3) mm 3) mm
Expresiones incorrectas por la Expresiones incorrectas por la regla 3regla 3
((La uacuteltima cifra significativa en el valor de una La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en su error expresados en las magnitud fiacutesica y en su error expresados en las mismas unidades deben de corresponder al mismo mismas unidades deben de corresponder al mismo
orden de magnitudorden de magnitud))
((2424567plusmn3000567plusmn3000)) cm cm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) cm cm
((4343plusmn006plusmn006)) m m (4300(4300++ 006) m 006) m
((3453452plusmn32plusmn3)) m m (345 (345 ++ 3) m 3) m
Expresiones incorrectas Expresiones correctasExpresiones incorrectas Expresiones correctas
((24567plusmn292824567plusmn2928)) mm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) m m
((23463plusmn016523463plusmn0165))cmcm ((235plusmn02235plusmn02)) cm cm
((34520plusmn31034520plusmn310)) mm mm ((345plusmn3345plusmn3)) m m
((43plusmn00643plusmn006)) m m ((4300plusmn0064300plusmn006)) m m
Medidas directasMedidas directas
Un experimentador que haga la misma Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendraacute en medida varias veces no obtendraacute en
general el mismo resultado no soacutelo por general el mismo resultado no soacutelo por causas imponderables como variaciones causas imponderables como variaciones
imprevistas de las condiciones de imprevistas de las condiciones de medida temperatura presioacuten humedad medida temperatura presioacuten humedad
etc sino tambieacuten por la habilidad del etc sino tambieacuten por la habilidad del experimentadorexperimentador
Si al tratar de determinar una Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa magnitud por medida directa realizamos varias medidas realizamos varias medidas
con el fin de corregir los con el fin de corregir los errores aleatorioserrores aleatorios
los resultados obtenidos son los resultados obtenidos son xx11 x x
22 x xnn se adopta como se adopta como
mejor estimacioacuten del valor mejor estimacioacuten del valor verdaderoverdadero
el valor medio el valor medio ltxgtltxgt
que viene dado porque viene dado por
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage442gif
El valor medio se aproximaraacute El valor medio se aproximaraacute tanto maacutes al valor verdadero tanto maacutes al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor de la magnitud cuanto mayor
sea el nuacutemero de medidassea el nuacutemero de medidas
Cuando laCuando la sensibilidad del sensibilidad del meacutetodo o de los aparatos meacutetodo o de los aparatos
utilizados es pequentildea utilizados es pequentildea comparada con la magnitud comparada con la magnitud
de los errores aleatoriosde los errores aleatorios puede ocurrir que la repeticioacuten puede ocurrir que la repeticioacuten
de la medida nos lleve de la medida nos lleve siempre al mismo resultadosiempre al mismo resultado
en este caso estaacute claro que el en este caso estaacute claro que el valor medio coincidiraacute con el valor medio coincidiraacute con el
valor medido en una sola valor medido en una sola medida y no se obtiene nada medida y no se obtiene nada nuevo en la repeticioacuten de la nuevo en la repeticioacuten de la
medida y del caacutelculo del valor medida y del caacutelculo del valor medio por lo quemedio por lo que
solamente seraacute necesario solamente seraacute necesario en este caso hacer una sola en este caso hacer una sola
medidamedida
De acuerdo con la teoriacutea de Gauss De acuerdo con la teoriacutea de Gauss de los errores que supone que estos de los errores que supone que estos se producen por causas aleatorias se producen por causas aleatorias se toma como la mejor estimacioacuten se toma como la mejor estimacioacuten
del errordel error
elel error cuadraacuteticoerror cuadraacutetico
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage95gif
Curva de Gauss de los errores Curva de Gauss de los errores accidentalesaccidentales
σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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3-3-La uacuteltima cifra significativa en el La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en valor de una magnitud fiacutesica y en
su error expresados en las su error expresados en las mismas unidadesmismas unidades deben de deben de
corresponder al mismo orden de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas decenas magnitud (centenas decenas
unidades deacutecimas centeacutesimas)unidades deacutecimas centeacutesimas)
Expresiones incorrectas por la regla 2Expresiones incorrectas por la regla 2 ((Los errores se deben dar solamente Los errores se deben dar solamente
con una uacutenica cifra significativacon una uacutenica cifra significativa))
((24567plusmn24567plusmn22928928)) m (24567 m (24567 ++ 3000) m 3000) m((23463plusmn023463plusmn0116565))cm (23463 cm (23463 ++ 02) cm 02) cm((34520plusmn334520plusmn31010)) mm (34520 mm (34520 ++ 3) mm 3) mm
Expresiones incorrectas por la Expresiones incorrectas por la regla 3regla 3
((La uacuteltima cifra significativa en el valor de una La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en su error expresados en las magnitud fiacutesica y en su error expresados en las mismas unidades deben de corresponder al mismo mismas unidades deben de corresponder al mismo
orden de magnitudorden de magnitud))
((2424567plusmn3000567plusmn3000)) cm cm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) cm cm
((4343plusmn006plusmn006)) m m (4300(4300++ 006) m 006) m
((3453452plusmn32plusmn3)) m m (345 (345 ++ 3) m 3) m
Expresiones incorrectas Expresiones correctasExpresiones incorrectas Expresiones correctas
((24567plusmn292824567plusmn2928)) mm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) m m
((23463plusmn016523463plusmn0165))cmcm ((235plusmn02235plusmn02)) cm cm
((34520plusmn31034520plusmn310)) mm mm ((345plusmn3345plusmn3)) m m
((43plusmn00643plusmn006)) m m ((4300plusmn0064300plusmn006)) m m
Medidas directasMedidas directas
Un experimentador que haga la misma Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendraacute en medida varias veces no obtendraacute en
general el mismo resultado no soacutelo por general el mismo resultado no soacutelo por causas imponderables como variaciones causas imponderables como variaciones
imprevistas de las condiciones de imprevistas de las condiciones de medida temperatura presioacuten humedad medida temperatura presioacuten humedad
etc sino tambieacuten por la habilidad del etc sino tambieacuten por la habilidad del experimentadorexperimentador
Si al tratar de determinar una Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa magnitud por medida directa realizamos varias medidas realizamos varias medidas
con el fin de corregir los con el fin de corregir los errores aleatorioserrores aleatorios
los resultados obtenidos son los resultados obtenidos son xx11 x x
22 x xnn se adopta como se adopta como
mejor estimacioacuten del valor mejor estimacioacuten del valor verdaderoverdadero
el valor medio el valor medio ltxgtltxgt
que viene dado porque viene dado por
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage442gif
El valor medio se aproximaraacute El valor medio se aproximaraacute tanto maacutes al valor verdadero tanto maacutes al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor de la magnitud cuanto mayor
sea el nuacutemero de medidassea el nuacutemero de medidas
Cuando laCuando la sensibilidad del sensibilidad del meacutetodo o de los aparatos meacutetodo o de los aparatos
utilizados es pequentildea utilizados es pequentildea comparada con la magnitud comparada con la magnitud
de los errores aleatoriosde los errores aleatorios puede ocurrir que la repeticioacuten puede ocurrir que la repeticioacuten
de la medida nos lleve de la medida nos lleve siempre al mismo resultadosiempre al mismo resultado
en este caso estaacute claro que el en este caso estaacute claro que el valor medio coincidiraacute con el valor medio coincidiraacute con el
valor medido en una sola valor medido en una sola medida y no se obtiene nada medida y no se obtiene nada nuevo en la repeticioacuten de la nuevo en la repeticioacuten de la
medida y del caacutelculo del valor medida y del caacutelculo del valor medio por lo quemedio por lo que
solamente seraacute necesario solamente seraacute necesario en este caso hacer una sola en este caso hacer una sola
medidamedida
De acuerdo con la teoriacutea de Gauss De acuerdo con la teoriacutea de Gauss de los errores que supone que estos de los errores que supone que estos se producen por causas aleatorias se producen por causas aleatorias se toma como la mejor estimacioacuten se toma como la mejor estimacioacuten
del errordel error
elel error cuadraacuteticoerror cuadraacutetico
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage95gif
Curva de Gauss de los errores Curva de Gauss de los errores accidentalesaccidentales
σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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-
Expresiones incorrectas por la regla 2Expresiones incorrectas por la regla 2 ((Los errores se deben dar solamente Los errores se deben dar solamente
con una uacutenica cifra significativacon una uacutenica cifra significativa))
((24567plusmn24567plusmn22928928)) m (24567 m (24567 ++ 3000) m 3000) m((23463plusmn023463plusmn0116565))cm (23463 cm (23463 ++ 02) cm 02) cm((34520plusmn334520plusmn31010)) mm (34520 mm (34520 ++ 3) mm 3) mm
Expresiones incorrectas por la Expresiones incorrectas por la regla 3regla 3
((La uacuteltima cifra significativa en el valor de una La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en su error expresados en las magnitud fiacutesica y en su error expresados en las mismas unidades deben de corresponder al mismo mismas unidades deben de corresponder al mismo
orden de magnitudorden de magnitud))
((2424567plusmn3000567plusmn3000)) cm cm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) cm cm
((4343plusmn006plusmn006)) m m (4300(4300++ 006) m 006) m
((3453452plusmn32plusmn3)) m m (345 (345 ++ 3) m 3) m
Expresiones incorrectas Expresiones correctasExpresiones incorrectas Expresiones correctas
((24567plusmn292824567plusmn2928)) mm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) m m
((23463plusmn016523463plusmn0165))cmcm ((235plusmn02235plusmn02)) cm cm
((34520plusmn31034520plusmn310)) mm mm ((345plusmn3345plusmn3)) m m
((43plusmn00643plusmn006)) m m ((4300plusmn0064300plusmn006)) m m
Medidas directasMedidas directas
Un experimentador que haga la misma Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendraacute en medida varias veces no obtendraacute en
general el mismo resultado no soacutelo por general el mismo resultado no soacutelo por causas imponderables como variaciones causas imponderables como variaciones
imprevistas de las condiciones de imprevistas de las condiciones de medida temperatura presioacuten humedad medida temperatura presioacuten humedad
etc sino tambieacuten por la habilidad del etc sino tambieacuten por la habilidad del experimentadorexperimentador
Si al tratar de determinar una Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa magnitud por medida directa realizamos varias medidas realizamos varias medidas
con el fin de corregir los con el fin de corregir los errores aleatorioserrores aleatorios
los resultados obtenidos son los resultados obtenidos son xx11 x x
22 x xnn se adopta como se adopta como
mejor estimacioacuten del valor mejor estimacioacuten del valor verdaderoverdadero
el valor medio el valor medio ltxgtltxgt
que viene dado porque viene dado por
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage442gif
El valor medio se aproximaraacute El valor medio se aproximaraacute tanto maacutes al valor verdadero tanto maacutes al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor de la magnitud cuanto mayor
sea el nuacutemero de medidassea el nuacutemero de medidas
Cuando laCuando la sensibilidad del sensibilidad del meacutetodo o de los aparatos meacutetodo o de los aparatos
utilizados es pequentildea utilizados es pequentildea comparada con la magnitud comparada con la magnitud
de los errores aleatoriosde los errores aleatorios puede ocurrir que la repeticioacuten puede ocurrir que la repeticioacuten
de la medida nos lleve de la medida nos lleve siempre al mismo resultadosiempre al mismo resultado
en este caso estaacute claro que el en este caso estaacute claro que el valor medio coincidiraacute con el valor medio coincidiraacute con el
valor medido en una sola valor medido en una sola medida y no se obtiene nada medida y no se obtiene nada nuevo en la repeticioacuten de la nuevo en la repeticioacuten de la
medida y del caacutelculo del valor medida y del caacutelculo del valor medio por lo quemedio por lo que
solamente seraacute necesario solamente seraacute necesario en este caso hacer una sola en este caso hacer una sola
medidamedida
De acuerdo con la teoriacutea de Gauss De acuerdo con la teoriacutea de Gauss de los errores que supone que estos de los errores que supone que estos se producen por causas aleatorias se producen por causas aleatorias se toma como la mejor estimacioacuten se toma como la mejor estimacioacuten
del errordel error
elel error cuadraacuteticoerror cuadraacutetico
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Curva de Gauss de los errores Curva de Gauss de los errores accidentalesaccidentales
σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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Expresiones incorrectas por la Expresiones incorrectas por la regla 3regla 3
((La uacuteltima cifra significativa en el valor de una La uacuteltima cifra significativa en el valor de una magnitud fiacutesica y en su error expresados en las magnitud fiacutesica y en su error expresados en las mismas unidades deben de corresponder al mismo mismas unidades deben de corresponder al mismo
orden de magnitudorden de magnitud))
((2424567plusmn3000567plusmn3000)) cm cm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) cm cm
((4343plusmn006plusmn006)) m m (4300(4300++ 006) m 006) m
((3453452plusmn32plusmn3)) m m (345 (345 ++ 3) m 3) m
Expresiones incorrectas Expresiones correctasExpresiones incorrectas Expresiones correctas
((24567plusmn292824567plusmn2928)) mm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) m m
((23463plusmn016523463plusmn0165))cmcm ((235plusmn02235plusmn02)) cm cm
((34520plusmn31034520plusmn310)) mm mm ((345plusmn3345plusmn3)) m m
((43plusmn00643plusmn006)) m m ((4300plusmn0064300plusmn006)) m m
Medidas directasMedidas directas
Un experimentador que haga la misma Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendraacute en medida varias veces no obtendraacute en
general el mismo resultado no soacutelo por general el mismo resultado no soacutelo por causas imponderables como variaciones causas imponderables como variaciones
imprevistas de las condiciones de imprevistas de las condiciones de medida temperatura presioacuten humedad medida temperatura presioacuten humedad
etc sino tambieacuten por la habilidad del etc sino tambieacuten por la habilidad del experimentadorexperimentador
Si al tratar de determinar una Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa magnitud por medida directa realizamos varias medidas realizamos varias medidas
con el fin de corregir los con el fin de corregir los errores aleatorioserrores aleatorios
los resultados obtenidos son los resultados obtenidos son xx11 x x
22 x xnn se adopta como se adopta como
mejor estimacioacuten del valor mejor estimacioacuten del valor verdaderoverdadero
el valor medio el valor medio ltxgtltxgt
que viene dado porque viene dado por
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage442gif
El valor medio se aproximaraacute El valor medio se aproximaraacute tanto maacutes al valor verdadero tanto maacutes al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor de la magnitud cuanto mayor
sea el nuacutemero de medidassea el nuacutemero de medidas
Cuando laCuando la sensibilidad del sensibilidad del meacutetodo o de los aparatos meacutetodo o de los aparatos
utilizados es pequentildea utilizados es pequentildea comparada con la magnitud comparada con la magnitud
de los errores aleatoriosde los errores aleatorios puede ocurrir que la repeticioacuten puede ocurrir que la repeticioacuten
de la medida nos lleve de la medida nos lleve siempre al mismo resultadosiempre al mismo resultado
en este caso estaacute claro que el en este caso estaacute claro que el valor medio coincidiraacute con el valor medio coincidiraacute con el
valor medido en una sola valor medido en una sola medida y no se obtiene nada medida y no se obtiene nada nuevo en la repeticioacuten de la nuevo en la repeticioacuten de la
medida y del caacutelculo del valor medida y del caacutelculo del valor medio por lo quemedio por lo que
solamente seraacute necesario solamente seraacute necesario en este caso hacer una sola en este caso hacer una sola
medidamedida
De acuerdo con la teoriacutea de Gauss De acuerdo con la teoriacutea de Gauss de los errores que supone que estos de los errores que supone que estos se producen por causas aleatorias se producen por causas aleatorias se toma como la mejor estimacioacuten se toma como la mejor estimacioacuten
del errordel error
elel error cuadraacuteticoerror cuadraacutetico
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage95gif
Curva de Gauss de los errores Curva de Gauss de los errores accidentalesaccidentales
σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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Expresiones incorrectas Expresiones correctasExpresiones incorrectas Expresiones correctas
((24567plusmn292824567plusmn2928)) mm ((24000plusmn300024000plusmn3000)) m m
((23463plusmn016523463plusmn0165))cmcm ((235plusmn02235plusmn02)) cm cm
((34520plusmn31034520plusmn310)) mm mm ((345plusmn3345plusmn3)) m m
((43plusmn00643plusmn006)) m m ((4300plusmn0064300plusmn006)) m m
Medidas directasMedidas directas
Un experimentador que haga la misma Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendraacute en medida varias veces no obtendraacute en
general el mismo resultado no soacutelo por general el mismo resultado no soacutelo por causas imponderables como variaciones causas imponderables como variaciones
imprevistas de las condiciones de imprevistas de las condiciones de medida temperatura presioacuten humedad medida temperatura presioacuten humedad
etc sino tambieacuten por la habilidad del etc sino tambieacuten por la habilidad del experimentadorexperimentador
Si al tratar de determinar una Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa magnitud por medida directa realizamos varias medidas realizamos varias medidas
con el fin de corregir los con el fin de corregir los errores aleatorioserrores aleatorios
los resultados obtenidos son los resultados obtenidos son xx11 x x
22 x xnn se adopta como se adopta como
mejor estimacioacuten del valor mejor estimacioacuten del valor verdaderoverdadero
el valor medio el valor medio ltxgtltxgt
que viene dado porque viene dado por
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage442gif
El valor medio se aproximaraacute El valor medio se aproximaraacute tanto maacutes al valor verdadero tanto maacutes al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor de la magnitud cuanto mayor
sea el nuacutemero de medidassea el nuacutemero de medidas
Cuando laCuando la sensibilidad del sensibilidad del meacutetodo o de los aparatos meacutetodo o de los aparatos
utilizados es pequentildea utilizados es pequentildea comparada con la magnitud comparada con la magnitud
de los errores aleatoriosde los errores aleatorios puede ocurrir que la repeticioacuten puede ocurrir que la repeticioacuten
de la medida nos lleve de la medida nos lleve siempre al mismo resultadosiempre al mismo resultado
en este caso estaacute claro que el en este caso estaacute claro que el valor medio coincidiraacute con el valor medio coincidiraacute con el
valor medido en una sola valor medido en una sola medida y no se obtiene nada medida y no se obtiene nada nuevo en la repeticioacuten de la nuevo en la repeticioacuten de la
medida y del caacutelculo del valor medida y del caacutelculo del valor medio por lo quemedio por lo que
solamente seraacute necesario solamente seraacute necesario en este caso hacer una sola en este caso hacer una sola
medidamedida
De acuerdo con la teoriacutea de Gauss De acuerdo con la teoriacutea de Gauss de los errores que supone que estos de los errores que supone que estos se producen por causas aleatorias se producen por causas aleatorias se toma como la mejor estimacioacuten se toma como la mejor estimacioacuten
del errordel error
elel error cuadraacuteticoerror cuadraacutetico
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage95gif
Curva de Gauss de los errores Curva de Gauss de los errores accidentalesaccidentales
σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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Medidas directasMedidas directas
Un experimentador que haga la misma Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendraacute en medida varias veces no obtendraacute en
general el mismo resultado no soacutelo por general el mismo resultado no soacutelo por causas imponderables como variaciones causas imponderables como variaciones
imprevistas de las condiciones de imprevistas de las condiciones de medida temperatura presioacuten humedad medida temperatura presioacuten humedad
etc sino tambieacuten por la habilidad del etc sino tambieacuten por la habilidad del experimentadorexperimentador
Si al tratar de determinar una Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa magnitud por medida directa realizamos varias medidas realizamos varias medidas
con el fin de corregir los con el fin de corregir los errores aleatorioserrores aleatorios
los resultados obtenidos son los resultados obtenidos son xx11 x x
22 x xnn se adopta como se adopta como
mejor estimacioacuten del valor mejor estimacioacuten del valor verdaderoverdadero
el valor medio el valor medio ltxgtltxgt
que viene dado porque viene dado por
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage442gif
El valor medio se aproximaraacute El valor medio se aproximaraacute tanto maacutes al valor verdadero tanto maacutes al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor de la magnitud cuanto mayor
sea el nuacutemero de medidassea el nuacutemero de medidas
Cuando laCuando la sensibilidad del sensibilidad del meacutetodo o de los aparatos meacutetodo o de los aparatos
utilizados es pequentildea utilizados es pequentildea comparada con la magnitud comparada con la magnitud
de los errores aleatoriosde los errores aleatorios puede ocurrir que la repeticioacuten puede ocurrir que la repeticioacuten
de la medida nos lleve de la medida nos lleve siempre al mismo resultadosiempre al mismo resultado
en este caso estaacute claro que el en este caso estaacute claro que el valor medio coincidiraacute con el valor medio coincidiraacute con el
valor medido en una sola valor medido en una sola medida y no se obtiene nada medida y no se obtiene nada nuevo en la repeticioacuten de la nuevo en la repeticioacuten de la
medida y del caacutelculo del valor medida y del caacutelculo del valor medio por lo quemedio por lo que
solamente seraacute necesario solamente seraacute necesario en este caso hacer una sola en este caso hacer una sola
medidamedida
De acuerdo con la teoriacutea de Gauss De acuerdo con la teoriacutea de Gauss de los errores que supone que estos de los errores que supone que estos se producen por causas aleatorias se producen por causas aleatorias se toma como la mejor estimacioacuten se toma como la mejor estimacioacuten
del errordel error
elel error cuadraacuteticoerror cuadraacutetico
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage95gif
Curva de Gauss de los errores Curva de Gauss de los errores accidentalesaccidentales
σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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Si al tratar de determinar una Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa magnitud por medida directa realizamos varias medidas realizamos varias medidas
con el fin de corregir los con el fin de corregir los errores aleatorioserrores aleatorios
los resultados obtenidos son los resultados obtenidos son xx11 x x
22 x xnn se adopta como se adopta como
mejor estimacioacuten del valor mejor estimacioacuten del valor verdaderoverdadero
el valor medio el valor medio ltxgtltxgt
que viene dado porque viene dado por
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El valor medio se aproximaraacute El valor medio se aproximaraacute tanto maacutes al valor verdadero tanto maacutes al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor de la magnitud cuanto mayor
sea el nuacutemero de medidassea el nuacutemero de medidas
Cuando laCuando la sensibilidad del sensibilidad del meacutetodo o de los aparatos meacutetodo o de los aparatos
utilizados es pequentildea utilizados es pequentildea comparada con la magnitud comparada con la magnitud
de los errores aleatoriosde los errores aleatorios puede ocurrir que la repeticioacuten puede ocurrir que la repeticioacuten
de la medida nos lleve de la medida nos lleve siempre al mismo resultadosiempre al mismo resultado
en este caso estaacute claro que el en este caso estaacute claro que el valor medio coincidiraacute con el valor medio coincidiraacute con el
valor medido en una sola valor medido en una sola medida y no se obtiene nada medida y no se obtiene nada nuevo en la repeticioacuten de la nuevo en la repeticioacuten de la
medida y del caacutelculo del valor medida y del caacutelculo del valor medio por lo quemedio por lo que
solamente seraacute necesario solamente seraacute necesario en este caso hacer una sola en este caso hacer una sola
medidamedida
De acuerdo con la teoriacutea de Gauss De acuerdo con la teoriacutea de Gauss de los errores que supone que estos de los errores que supone que estos se producen por causas aleatorias se producen por causas aleatorias se toma como la mejor estimacioacuten se toma como la mejor estimacioacuten
del errordel error
elel error cuadraacuteticoerror cuadraacutetico
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Curva de Gauss de los errores Curva de Gauss de los errores accidentalesaccidentales
σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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los resultados obtenidos son los resultados obtenidos son xx11 x x
22 x xnn se adopta como se adopta como
mejor estimacioacuten del valor mejor estimacioacuten del valor verdaderoverdadero
el valor medio el valor medio ltxgtltxgt
que viene dado porque viene dado por
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage442gif
El valor medio se aproximaraacute El valor medio se aproximaraacute tanto maacutes al valor verdadero tanto maacutes al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor de la magnitud cuanto mayor
sea el nuacutemero de medidassea el nuacutemero de medidas
Cuando laCuando la sensibilidad del sensibilidad del meacutetodo o de los aparatos meacutetodo o de los aparatos
utilizados es pequentildea utilizados es pequentildea comparada con la magnitud comparada con la magnitud
de los errores aleatoriosde los errores aleatorios puede ocurrir que la repeticioacuten puede ocurrir que la repeticioacuten
de la medida nos lleve de la medida nos lleve siempre al mismo resultadosiempre al mismo resultado
en este caso estaacute claro que el en este caso estaacute claro que el valor medio coincidiraacute con el valor medio coincidiraacute con el
valor medido en una sola valor medido en una sola medida y no se obtiene nada medida y no se obtiene nada nuevo en la repeticioacuten de la nuevo en la repeticioacuten de la
medida y del caacutelculo del valor medida y del caacutelculo del valor medio por lo quemedio por lo que
solamente seraacute necesario solamente seraacute necesario en este caso hacer una sola en este caso hacer una sola
medidamedida
De acuerdo con la teoriacutea de Gauss De acuerdo con la teoriacutea de Gauss de los errores que supone que estos de los errores que supone que estos se producen por causas aleatorias se producen por causas aleatorias se toma como la mejor estimacioacuten se toma como la mejor estimacioacuten
del errordel error
elel error cuadraacuteticoerror cuadraacutetico
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage95gif
Curva de Gauss de los errores Curva de Gauss de los errores accidentalesaccidentales
σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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que viene dado porque viene dado por
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage442gif
El valor medio se aproximaraacute El valor medio se aproximaraacute tanto maacutes al valor verdadero tanto maacutes al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor de la magnitud cuanto mayor
sea el nuacutemero de medidassea el nuacutemero de medidas
Cuando laCuando la sensibilidad del sensibilidad del meacutetodo o de los aparatos meacutetodo o de los aparatos
utilizados es pequentildea utilizados es pequentildea comparada con la magnitud comparada con la magnitud
de los errores aleatoriosde los errores aleatorios puede ocurrir que la repeticioacuten puede ocurrir que la repeticioacuten
de la medida nos lleve de la medida nos lleve siempre al mismo resultadosiempre al mismo resultado
en este caso estaacute claro que el en este caso estaacute claro que el valor medio coincidiraacute con el valor medio coincidiraacute con el
valor medido en una sola valor medido en una sola medida y no se obtiene nada medida y no se obtiene nada nuevo en la repeticioacuten de la nuevo en la repeticioacuten de la
medida y del caacutelculo del valor medida y del caacutelculo del valor medio por lo quemedio por lo que
solamente seraacute necesario solamente seraacute necesario en este caso hacer una sola en este caso hacer una sola
medidamedida
De acuerdo con la teoriacutea de Gauss De acuerdo con la teoriacutea de Gauss de los errores que supone que estos de los errores que supone que estos se producen por causas aleatorias se producen por causas aleatorias se toma como la mejor estimacioacuten se toma como la mejor estimacioacuten
del errordel error
elel error cuadraacuteticoerror cuadraacutetico
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Curva de Gauss de los errores Curva de Gauss de los errores accidentalesaccidentales
σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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El valor medio se aproximaraacute El valor medio se aproximaraacute tanto maacutes al valor verdadero tanto maacutes al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor de la magnitud cuanto mayor
sea el nuacutemero de medidassea el nuacutemero de medidas
Cuando laCuando la sensibilidad del sensibilidad del meacutetodo o de los aparatos meacutetodo o de los aparatos
utilizados es pequentildea utilizados es pequentildea comparada con la magnitud comparada con la magnitud
de los errores aleatoriosde los errores aleatorios puede ocurrir que la repeticioacuten puede ocurrir que la repeticioacuten
de la medida nos lleve de la medida nos lleve siempre al mismo resultadosiempre al mismo resultado
en este caso estaacute claro que el en este caso estaacute claro que el valor medio coincidiraacute con el valor medio coincidiraacute con el
valor medido en una sola valor medido en una sola medida y no se obtiene nada medida y no se obtiene nada nuevo en la repeticioacuten de la nuevo en la repeticioacuten de la
medida y del caacutelculo del valor medida y del caacutelculo del valor medio por lo quemedio por lo que
solamente seraacute necesario solamente seraacute necesario en este caso hacer una sola en este caso hacer una sola
medidamedida
De acuerdo con la teoriacutea de Gauss De acuerdo con la teoriacutea de Gauss de los errores que supone que estos de los errores que supone que estos se producen por causas aleatorias se producen por causas aleatorias se toma como la mejor estimacioacuten se toma como la mejor estimacioacuten
del errordel error
elel error cuadraacuteticoerror cuadraacutetico
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage95gif
Curva de Gauss de los errores Curva de Gauss de los errores accidentalesaccidentales
σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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Cuando laCuando la sensibilidad del sensibilidad del meacutetodo o de los aparatos meacutetodo o de los aparatos
utilizados es pequentildea utilizados es pequentildea comparada con la magnitud comparada con la magnitud
de los errores aleatoriosde los errores aleatorios puede ocurrir que la repeticioacuten puede ocurrir que la repeticioacuten
de la medida nos lleve de la medida nos lleve siempre al mismo resultadosiempre al mismo resultado
en este caso estaacute claro que el en este caso estaacute claro que el valor medio coincidiraacute con el valor medio coincidiraacute con el
valor medido en una sola valor medido en una sola medida y no se obtiene nada medida y no se obtiene nada nuevo en la repeticioacuten de la nuevo en la repeticioacuten de la
medida y del caacutelculo del valor medida y del caacutelculo del valor medio por lo quemedio por lo que
solamente seraacute necesario solamente seraacute necesario en este caso hacer una sola en este caso hacer una sola
medidamedida
De acuerdo con la teoriacutea de Gauss De acuerdo con la teoriacutea de Gauss de los errores que supone que estos de los errores que supone que estos se producen por causas aleatorias se producen por causas aleatorias se toma como la mejor estimacioacuten se toma como la mejor estimacioacuten
del errordel error
elel error cuadraacuteticoerror cuadraacutetico
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage95gif
Curva de Gauss de los errores Curva de Gauss de los errores accidentalesaccidentales
σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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en este caso estaacute claro que el en este caso estaacute claro que el valor medio coincidiraacute con el valor medio coincidiraacute con el
valor medido en una sola valor medido en una sola medida y no se obtiene nada medida y no se obtiene nada nuevo en la repeticioacuten de la nuevo en la repeticioacuten de la
medida y del caacutelculo del valor medida y del caacutelculo del valor medio por lo quemedio por lo que
solamente seraacute necesario solamente seraacute necesario en este caso hacer una sola en este caso hacer una sola
medidamedida
De acuerdo con la teoriacutea de Gauss De acuerdo con la teoriacutea de Gauss de los errores que supone que estos de los errores que supone que estos se producen por causas aleatorias se producen por causas aleatorias se toma como la mejor estimacioacuten se toma como la mejor estimacioacuten
del errordel error
elel error cuadraacuteticoerror cuadraacutetico
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage95gif
Curva de Gauss de los errores Curva de Gauss de los errores accidentalesaccidentales
σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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solamente seraacute necesario solamente seraacute necesario en este caso hacer una sola en este caso hacer una sola
medidamedida
De acuerdo con la teoriacutea de Gauss De acuerdo con la teoriacutea de Gauss de los errores que supone que estos de los errores que supone que estos se producen por causas aleatorias se producen por causas aleatorias se toma como la mejor estimacioacuten se toma como la mejor estimacioacuten
del errordel error
elel error cuadraacuteticoerror cuadraacutetico
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage95gif
Curva de Gauss de los errores Curva de Gauss de los errores accidentalesaccidentales
σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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De acuerdo con la teoriacutea de Gauss De acuerdo con la teoriacutea de Gauss de los errores que supone que estos de los errores que supone que estos se producen por causas aleatorias se producen por causas aleatorias se toma como la mejor estimacioacuten se toma como la mejor estimacioacuten
del errordel error
elel error cuadraacuteticoerror cuadraacutetico
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage95gif
Curva de Gauss de los errores Curva de Gauss de los errores accidentalesaccidentales
σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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elel error cuadraacuteticoerror cuadraacutetico
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage95gif
Curva de Gauss de los errores Curva de Gauss de los errores accidentalesaccidentales
σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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Curva de Gauss de los errores Curva de Gauss de los errores accidentalesaccidentales
σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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σσx x ΔΔx Error absolutox Error absoluto
El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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El resultado del experimento El resultado del experimento se expresa como se expresa como
ltxgtplusmnltxgtplusmn∆∆x x y la unidad de mediday la unidad de medida
La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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La identificacioacuten del error de un La identificacioacuten del error de un valor experimental con el error valor experimental con el error
cuadraacutetico obtenido de cuadraacutetico obtenido de nn medidas medidas directas consecutivas solamente directas consecutivas solamente
es vaacutelido en el caso de que el error es vaacutelido en el caso de que el error cuadraacutetico sea mayor que elcuadraacutetico sea mayor que el error error
instrumentalinstrumental
aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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aqueacutel que viene definido por aqueacutel que viene definido por la resolucioacuten del aparato de la resolucioacuten del aparato de
medidamedida
Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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Es evidente por ejemplo Es evidente por ejemplo tomando el caso maacutes tomando el caso maacutes
extremo que si el resultado extremo que si el resultado de las de las nn medidas ha sido el medidas ha sido el
mismo el error cuadraacutetico de mismo el error cuadraacutetico de acuerdo con la formula seraacute acuerdo con la formula seraacute
cerocero
pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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pero eso no quiere decir pero eso no quiere decir que el error de la medida que el error de la medida
sea nulosea nulo
Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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Sino que el error Sino que el error instrumental es tan grande instrumental es tan grande
que no permite observar que no permite observar diferencias entre las diferencias entre las
diferentes medidas y por diferentes medidas y por tanto el error instrumental tanto el error instrumental seraacute el error de la medidaseraacute el error de la medida
EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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EjemploEjemplo
Si al hacer una medida de la intensidad Si al hacer una medida de la intensidad con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra con un amperiacutemetro cuya divisioacuten o cifra significativa maacutes pequentildea es 001 A la significativa maacutes pequentildea es 001 A la lectura es 064 A y esta lectura es lectura es 064 A y esta lectura es constante (no se observan variaciones al constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes)medir en diferentes instantes)
tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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tomaremos 064 A como el tomaremos 064 A como el valor de la medida y 001 A valor de la medida y 001 A
como su errorcomo su error
La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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La medida se expresaraacute asiacute La medida se expresaraacute asiacute ((064plusmn001064plusmn001)) A A
Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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Supongamos que hemos Supongamos que hemos medido un determinado medido un determinado
tiempo tiempo tt cuatro veces y cuatro veces y disponemos de un cronoacutemetro disponemos de un cronoacutemetro que permite conocer hasta las que permite conocer hasta las
deacutecimas de segundodeacutecimas de segundo
Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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Los resultados han sido 63 Los resultados han sido 63 62 64 y 62 s62 64 y 62 s
De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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De acuerdo a lo dicho anteriormente De acuerdo a lo dicho anteriormente tomaremos como valor medido el tomaremos como valor medido el
valor mediovalor medio fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage444gif
El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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El error cuadraacutetico seraacuteEl error cuadraacutetico seraacutefileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage445gif
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
- Slide 1
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-
Este error se expresa con una sola Este error se expresa con una sola cifra significativa (regla 2)cifra significativa (regla 2)
∆∆t=005t=005ss
Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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Pero el error cuadraacutetico es menor Pero el error cuadraacutetico es menor que el error instrumental que es que el error instrumental que es
01s por lo que debemos tomar este 01s por lo que debemos tomar este uacuteltimo como el error de la medida y uacuteltimo como el error de la medida y redondear en consecuencia el valor redondear en consecuencia el valor medio por lo que el resultado final medio por lo que el resultado final
de la medida es de la medida es
t=t=((63plusmn0163plusmn01)) s s
Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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Consideremos un ejemplo Consideremos un ejemplo similar al anterior pero en que similar al anterior pero en que los valores obtenidos para el los valores obtenidos para el tiempo estaacuten maacutes dispersos tiempo estaacuten maacutes dispersos
55 57 62 y 65 s55 57 62 y 65 s
Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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Se encuentra que el valor Se encuentra que el valor medio es 5975s y el error medio es 5975s y el error
cuadraacutetico 02286737scuadraacutetico 02286737s
El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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El error cuadraacutetico es en esta El error cuadraacutetico es en esta caso mayor que el error caso mayor que el error instrumental por lo que instrumental por lo que
debemos tomarlo como el debemos tomarlo como el error de la medidaerror de la medida
--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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--Siguiendo la regla 2 lo Siguiendo la regla 2 lo debemos redondear a 02 debemos redondear a 02
(una sola cifra significativa) (una sola cifra significativa) --Y de acuerdo con la regla 3 Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el (la medida y el error con el
mismo nuacutemero de decimalesmismo nuacutemero de decimales))
expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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expresamos la medida expresamos la medida finalmente como finalmente como
t= t=((60plusmn0260plusmn02)) s s
Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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Error absoluto y error relativoError absoluto y error relativo
Los errores de los que hemos estado Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores hablando hasta ahora son los errores absolutos absolutos
El error relativo se define como el cociente El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medioentre el error absoluto y el valor medio
fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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fileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage446gif
Es decirEs decir
ε
donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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donde donde ltxgtltxgt se toma en valor se toma en valor absoluto de forma que absoluto de forma que εε es es
siempre positivosiempre positivo
El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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El error relativo es un iacutendice El error relativo es un iacutendice de la precisioacuten de la medidade la precisioacuten de la medida
Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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Es normal que la medida Es normal que la medida directa o indirecta de una directa o indirecta de una
magnitud fiacutesica con aparatos magnitud fiacutesica con aparatos convencionales tenga un error convencionales tenga un error relativo del orden del uno por relativo del orden del uno por
ciento o mayorciento o mayor
Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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Medidas indirectasMedidas indirectas
En muchos casos el valor experimental de En muchos casos el valor experimental de una magnitud se obtiene de acuerdo a una magnitud se obtiene de acuerdo a una determinada expresioacuten matemaacutetica a una determinada expresioacuten matemaacutetica a partir de la medida de otras magnitudes partir de la medida de otras magnitudes de las que dependede las que depende
Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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Se trata de conocer el error en Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir la magnitud derivada a partir
de los errores de las de los errores de las magnitudes medidas magnitudes medidas
directamente directamente
Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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Funciones de una sola Funciones de una sola variablevariable
Supongamos que la magnitud Supongamos que la magnitud yy cuyo valor queremos hallar cuyo valor queremos hallar depende solamente de otra depende solamente de otra
magnitud magnitud xx mediante la mediante la relacioacuten funcionalrelacioacuten funcional
y=f(x)y=f(x)
El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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El error de El error de yy cuando se cuando se conoce el error de conoce el error de xx viene viene
dado por la expresioacutendado por la expresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage447gif
EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
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Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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EEjemplo sobre las medidas indirectas jemplo sobre las medidas indirectas
Supongamos que queremos medir el Supongamos que queremos medir el periodo periodo P P de un oscilador es decir el de un oscilador es decir el
tiempo que tarda en efectuar una tiempo que tarda en efectuar una oscilacioacuten completa y disponemos de oscilacioacuten completa y disponemos de
un cronoacutemetro que aprecia las un cronoacutemetro que aprecia las deacutecimas de segundo 01 sdeacutecimas de segundo 01 s
Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
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Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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Medimos el tiempo que tarda Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones por en hacer 10 oscilaciones por ejemplo 46 s dividiendo este ejemplo 46 s dividiendo este
tiempo entre 10 resulta tiempo entre 10 resulta P=P=046 s que es el periodo 046 s que es el periodo
mediomedio
Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
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Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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Obtenemos para el error Obtenemos para el error ∆∆P=P=001s001s Por tanto la Por tanto la
medida la podemos expresar medida la podemos expresar como como
P=P=((046plusmn001046plusmn001)) s s
PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
expresioacutenexpresioacutenfileCDocuments and SettingsDocentesMis documentosDocumentos AnterioresDocumentos del Disco Ccarpeta Mis DocumentosErrores en las medidas_archivosImage449gif
Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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PPodemos aumentar odemos aumentar indefinidamente la resolucioacuten indefinidamente la resolucioacuten
instrumental para medir instrumental para medir PP aumentando el nuacutemero de aumentando el nuacutemero de
periodos que incluimos en la periodos que incluimos en la medida directa de medida directa de tt
El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
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Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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El liacutemite estaacute en nuestra El liacutemite estaacute en nuestra paciencia y la creciente paciencia y la creciente probabilidad de cometer probabilidad de cometer
errores cuando contamos el errores cuando contamos el nuacutemero de oscilacionesnuacutemero de oscilaciones
Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
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Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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Por otra parte el oscilador no Por otra parte el oscilador no se mantiene con la misma se mantiene con la misma
amplitud indefinidamente sino amplitud indefinidamente sino que se para al cabo de un que se para al cabo de un
cierto tiempocierto tiempo
Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
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Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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Funcioacuten de varias variablesFuncioacuten de varias variablesLa magnitud La magnitud yy viene viene
determinada por la medida de determinada por la medida de varias magnitudes varias magnitudes p q rp q r etc etc con la que estaacute ligada por la con la que estaacute ligada por la
funcioacutenfuncioacuten y=f(p q r )y=f(p q r )
El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
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Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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El error de la magnitud El error de la magnitud yy viene viene dado por la siguiente dado por la siguiente
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Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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Casos maacutes frecuentesCasos maacutes frecuentes
z = x + y z = x + y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyyz = x ndash y z = x ndash y ΔΔz = z = ΔΔx + x + ΔΔyy
z = x y z = x y ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)z = xy z = xy ΔΔz = z (z = z (ΔΔxx + xx + ΔΔyy)yy)
La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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La medida de los lados de un La medida de los lados de un rectaacutengulo son rectaacutengulo son αα =(153plusmn006) =(153plusmn006)
cm y cm y ββ = (102plusmn01) cm = (102plusmn01) cm respectivamente Hallar el respectivamente Hallar el
aacuterea del rectaacutengulo y el error aacuterea del rectaacutengulo y el error de la medida indirectade la medida indirecta
El aacuterea es El aacuterea es AA=153cmtimes102cm=15606 =153cmtimes102cm=15606
cmcm22
El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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El error relativo del aacuterea El error relativo del aacuterea ∆∆AAAA se obtiene aplicando la se obtiene aplicando la
foacutermula del producto de dos foacutermula del producto de dos magnitudesmagnitudes
∆∆AA = AA = ∆αα +∆ββ∆αα +∆ββ
El error absoluto con una sola El error absoluto con una sola cifra significativa es 06cifra significativa es 06
De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
comocomo
((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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De acuerdo con la regla 3 la De acuerdo con la regla 3 la medida del aacuterea junto con el medida del aacuterea junto con el error y la unidad se escribiraacute error y la unidad se escribiraacute
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((156plusmn06) cm156plusmn06) cm22
ERROR PORCENTUALERROR PORCENTUAL
Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
εε = = εε 100 100
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Se define como el producto del error Se define como el producto del error relativo por 100 relativo por 100
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