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Ecuaciones Diferenciales Unidad 1. Ecuaciones de primer orden
Ciencias Exactas, Ingeniera y Tecnologa | Ingeniera en Telemtica
Ingeniera en Telemtica
6 cuatrimestre
Programa de la asignatura:
Ecuaciones diferenciales
Unidad 1. Ecuaciones de primer orden
Clave:
220920624 / 210920624
Universidad Abierta y a Distancia de Mxico
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Ecuaciones Diferenciales Unidad 1. Ecuaciones de primer orden
Ciencias Exactas, Ingeniera y Tecnologa | Ingeniera en Telemtica 1
ndice
Unidad 1. Ecuaciones de primer orden ......................................................................... 2
Presentacin de la unidad ......................................................................................... 2
Propsitos ................................................................................................................. 2
Competencia especfica ............................................................................................ 2
1.1. Identificacin de una ecuacin diferencial .......................................................... 3
1.1.1. Clasificacin de ecuaciones generales (orden y grado) ............................... 3
1.1.2. Ecuaciones Diferenciales lineales y no lineales ........................................... 4
Actividad 1. Relacin de columnas ............................................................................ 5
1.1.3. Solucin de ecuaciones diferenciales (teorema de existencia y unicidad) .... 5
Actividad 2. Ecuaciones diferenciales con solucin nica ....................................... 10
1.1.4. Casos particulares (generalidades) ............................................................ 10
1.2. Clasificacin de ecuaciones diferenciales lineales ............................................ 11
1.2.1. Separacin de variables ............................................................................. 11
1.2.2. Exactas, no exactas, factor integrante ....................................................... 12
Actividad 3. Clasificacin de ecuaciones diferenciales ............................................ 16
1.3. Ecuacin de Bernoulli ....................................................................................... 17
1.3.1. Definicin ................................................................................................... 18
1.3.2. Ejemplos y su representacin grfica ......................................................... 18
Actividad 4. Representacin de un modelo matemtico .......................................... 20
Autoevaluacin ........................................................................................................ 21
Autorreflexin .......................................................................................................... 22
Para saber ms ....................................................................................................... 22
Cierre de la unidad .................................................................................................. 22
Fuentes de consulta ................................................................................................ 22
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Ecuaciones Diferenciales Unidad 1. Ecuaciones de primer orden
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Unidad 1. Ecuaciones de primer orden
Presentacin de la unidad
Muchas de las leyes que rigen la naturaleza, ya sea fsicas, qumicas o astronmicas,
por ejemplo, pueden ser analizadas mediante modelos matemticos. Estos modelos
son, generalmente, funciones matemticas.
Recuerda que si y f x es una funcin, su derivada se puede interpretar como la razn de cambio de y con respecto a x . En cualquier proceso natural, las variables
involucradas y sus razones de cambio estn relacionadas entre s por medio de las
leyes que gobiernan dicho proceso. Por ello, al expresar tal conexin en el lenguaje
matemtico, el resultado con frecuencia es una ecuacin diferencial.
Propsitos
Al finalizar esta unidad, sers capaz de:
Identificar una ecuacin diferencial por medio de su orden, grado y linealidad.
Resolver una ecuacin diferencial por medio del teorema de existencia y unicidad.
Resolver ecuaciones diferenciales en campos de soluciones vectoriales y multivariables.
Resolver una ecuacin exacta, no exacta, factor integrante y separacin de variables.
Competencia especfica
Determinar el mtodo de solucin de una ecuacin diferencial a travs de su orden, grado y linealidad para establecer su resultado o conjunto de resultados.
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1.1. Identificacin de una ecuacin diferencial
Una ecuacin es una igualdad con incgnitas, por ejemplo:
2 3 2 0xx
Es una ecuacin de 2 grado donde las soluciones 1 1x
,2 2x satisfacen la
ecuacin.
En cambio, la siguiente ecuacin tambin es una igualdad pero las incgnitas son
funciones:
2
20
d yy
dx
(1)
En este caso:
es una solucin de la ecuacin diferencial
2
20
d yy
dx
(2)
ya que al sustituir hace que se cumpla la igualdad:
2
2
( )0
d sen xsen x
dx
0sen x sen x
1.1.1. Clasificacin de ecuaciones generales (orden y grado)
Nuestro estudio se centrar en ecuaciones diferenciales ordinarias, es decir, aquellas
ecuaciones donde y es la variable dependiente y x la variable independiente; en
general, se acostumbra expresar una ecuacin diferencial de la siguiente manera:
1 2
( , , , ,... ) 0n
F x y y y y
(3)
El orden de una ecuacin diferencial es igual al de la derivada de orden ms alto. Por
ejemplo:
2
20
d yy
dx
(4)
es una ecuacin diferencial ordinaria de segundo orden:
y sen x
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2
20
d yy
dx
(5)
El grado de una ecuacin diferencial es igual al exponente positivo mayor al que se
eleva la derivada de mayor orden en la ecuacin. Por ejemplo:
32
20
d yy
dx
(6)
es una ecuacin diferencial ordinaria de segundo orden de tercer grado
1.1.2. Ecuaciones Diferenciales lineales y no lineales
Una ecuacin diferencial ordinaria de orden nes lineal si se puede escribir de la forma:
1 11 01 .....n n
n nx y x y x xa a a y a y g x
(7)
donde los coeficientes k xa para 1,2,3,..k n son funciones reales, con
0n xa . Una ecuacin diferencial ordinaria que no se pueda expresar de esta forma es no lineal.
Se dice una ecuacin diferencial (7) es lineal con coeficientes constantes si las
funciones k xa son constantes para cualquier valor de k ; en caso contrario,
decimos que la ecuacin diferencial es de coeficientes variables.
Por otro lado, si la funcin g x es cero, decimos que la ecuacin diferencial
es homognea, y en caso contrario la ecuacin ser no homognea.
Por ejemplo:
2
25 2 0d y
ydx
es una ecuacin diferencial ordinaria lineal de segundo orden, homognea de
coeficientes constantes. En cambio:
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2
25 2 9d y
y xdx
es una ecuacin diferencial ordinaria lineal de segundo orden, no homognea de
coeficientes constantes.
Actividad 1. Relacin de columnas
A travs de este ejercicio podrs analizar una serie de ecuaciones, definir su orden, grado y linealidad y clasificarlas.
1. Lee y analiza la informacin que te har llegar tu Facilitador(a).
2. Observa la tabla que se te presenta.
3. Relaciona cada una de las ecuaciones con su clasificacin, anotando la letra correcta dentro del parntesis.
4. Enva tu documento con la nomenclatura KEDI_U1_A1_XXYZ. Espera la retroalimentacin de tu Facilitador (a).
1.1.3. Solucin de ecuaciones diferenciales (teorema de existencia y
unicidad)
En la mayora de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales estamos interesados
no solamente en la solucin general de una Ecuacin Diferencial, sino en una solucin
particular que satisfaga ciertas condiciones dadas. Esto da origen a los problemas de
valor inicial o de frontera.
Ejemplo 1:
Un mvil se desplaza a lo largo del eje x de manera tal que su aceleracin en
cualquier tiempo 0t est dada por la ecuacin 21 2a t t t . Encuentra la
ecuacin que determine la posicin x t de la partcula en cualquier tiempo, t
suponiendo que inicialmente la partcula est localizada en 1x y est viajando a una
velocidad de 3v
Por el clculo elemental, sabemos que la primera derivada nos da la velocidad y la
segunda derivada la aceleracin. De donde los datos del problema de valor inicial
seran:
21 2a t t t
22
21 2
d xt t
dt
(1)
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0 1x
' 0 3x Integrando la Ecuacin (1) con respecto a x obtenemos la velocidad:
32
13
dx tv t t c
dt
Y usando la condicin ' 0 3x podemos hallar que 1 3c , con lo cual la velocidad en cualquier tiempo t sera:
32 3
3
dx tv t t
dt
Integrando de nuevo, obtenemos el desplazamiento:
2 3 4 21 1 1
32 3 12
x t t t t t c
y usando la condicin
0 1x podemos determinar que 2 1c y obtener la posicin de la partcula en cualquier tiempo t :
2 3 41 1 1
3 12 3 12
x t t t t t
En la figura1 se muestra la grfica del movimiento:
Figura 1. Grfica de la posicin de la partcula versus tiempo. (Grafica obtenida con Derive)
Al considerar un problema de valor inicial es natural hacer las siguientes preguntas:
1. Existencia: Existir una solucin que satisfaga al problema?
2. Unicidad: La solucin, ser nica?
3. Determinacin: En caso de que exista solucin, cmo la determinamos?
Para poder contestar estas preguntas, analizaremos el siguiente ejemplo:
Ejemplo 2:
Dado el problema de valor inicial 1
22dy
xydx
(2)
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0 0y
podemos obtener fcilmente la solucin mediante separacin de variables: 1
22dy
xydx
(3)
1
2
2dy
xdx
y
Integrando ambos lados de la ecuacin obtenemos que:
1
2
2dy
xdx
y
(4)
La solucin general ser: 1
222y x c (5)
Si usamos la condicin inicial:
0 0y
0c
Por lo tanto, una solucin particular de la ecuacin ser: 1
222y x
Elevamos al cuadrado para despejar y: 4
4
xy
(6)
Al observar la ecuacin (4) vemos que no est definida para y=0 (no se puede dividir
entre cero); sin embargo, y=0 tambin es una solucin de la ecuacin diferencial, esta
solucin recibe el nombre de solucin singular porque no se obtiene a partir de la
solucin general (5).
Al sustituir las condiciones iniciales obtenemos distintos valores para la constante,
cada solucin representa una solucin particular. En la figura 2 se muestran algunas
de las soluciones.
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Figura 2. Familia de curvas que representan algunas de las soluciones particulares de la
Ecuacin (5) (Grfica generada con DERIVE)
Ejemplo 3:
La familia de rectas: 22y c cx
representa la solucin general de la ecuacin diferencial:
2
2dy dy
x ydx dx
Sin embargo, la parbola: 2 8x y
representa la solucin singular porque no se obtuvo a partir de la solucin general.
Observa la figura 3:
Figura 3. En la imagen se muestran las soluciones particulares representadas por la familia de
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rectas del ejemplo (3) y la solucin singular representada por la parbola.(Grfica generada
con Derive).
Teorema de existencia y unicidad
Este teorema nos permite saber si existe solucin nica sin necesidad de resolver la
ecuacin diferencial ya que solamente se toman en cuenta las condiciones dadas,
aunque el teorema no garantiza que exista solucin. En caso de no existir solucin, la
nica opcin que tenemos es por aproximaciones (mtodo de Euler):
Sea 2, ,R a b c d R tal que 0 0,x y R . Si ,f x y y f
v
son continuas en
R, entonces existe un intervalo abierto I , que contiene0x en su interior y una funcin
y x definida en I , que satisface el problema de valor inicial:
0 0
,dy
f x ydx
y x y
Ejemplo 4:
Si tenemos la siguiente ecuacin con condiciones iniciales:
1
22dy
xydx
1 4y
al aplicar el teorema tenemos que:
1
2, 2f x y xy
Al determinar la parcial tenemos que:
1
2
f x
vy
Observamos que las funciones ,f x y yf
v
son continuas en 1 4y (porque
1
2 0y ) por lo tanto no necesitamos resolver la ecuacin para concluir que
existe solucin nica. Mientras que para los valores de condiciones iniciales
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0 0y el teorema no garantiza nada, porque las funciones ,f x y y
f
v
no son
continuas en 0 0y . (Porque no se puede dividir entre cero1
2 0y ).
En estos casos puede haber solucin nica, varias soluciones o que la ecuacin no
tenga solucin.
Actividad 2. Ecuaciones diferenciales con solucin nica
Mediante este ejercicio podrs identificar una ecuacin diferencial, analizar su estructura para conocer su categora y, de esta manera, diferenciar entre una ecuacin de una solucin o ms.
1. De la informacin que te har llegar tu Facilitador(a).
2. Observa detenidamente las ecuaciones diferenciales que se te presentan.
3. Determina si se trata de una ecuacin diferencial con solucin nica o no.
4. Selecciona la respuesta correcta anotando dentro del cuadro una .
5. Enva tu documento con la nomenclatura KED1_U1_A2_XXYZ. El peso del
archivo no debe exceder los 4 MB.
1.1.4. Casos particulares (generalidades)
Ecuaciones diferenciales lineales
Ahora analizaremos como obtener la solucin general de una ecuacin diferencial
lineal de primer orden dy
p x y g xdx
.
Podemos obtener la solucin general la mediante la siguiente frmula:
1 p x dx
p x dxy x e g x dx C
e
Ejemplo 5:
Hallar la solucin general de la siguiente ecuacin:
2dy
xy xdx
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En este caso, vemos que:
2p x x
g x x
Sustituyendo obtenemos:
22p x dx xdx xe e e
Sustituyendo en la frmula:
2
2
1 xx
y x e xdx Ce
2
2
1 1
2
x
xy x e C
e
21
2 xC
y xe
Finalmente obtenemos:
21
2
xy x Ce
1.2. Clasificacin de ecuaciones diferenciales lineales
A continuacin estudiaremos los distintos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias
y el mtodo mas adecuado para su solucin.
1.2.1. Separacin de variables
Son ecuaciones diferenciales de primer orden que pueden ser expresadas de la
siguiente forma:
g xdy
dx h y
Reacomodando obtenemos que:
h y dy g x dx
Separadas las variables procederemos a integrar ambos miembros. La solucin, por lo
general, es una funcin implcita es decir la variable y no est despejada.
Ejemplo 6:
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Resuelve la siguiente ecuacin:
2
3
2
3
dy x
dx y
Solucin:
Separando variables:
3 23 2y dy x dx
Integrando ambos miembros de la igualdad:
3 23 2y dy x dx
4 33 2
4 3y x c
4 33 2
4 3y x c
Ejemplo 7:
Resuelve la siguiente ecuacin:
1dy y
dx x
Solucin:
Separando variables:
1
dy dx
y x
Integrando ambos miembros de la igualdad:
1
dy dx
y x
ln( 1) lny x c
1.2.2. Exactas, no exactas, factor integrante
Una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden que se expresa de la forma:
, , 0M x y dx N x y
Se dice que es exacta si se cumple que:
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M N
y x
Ejemplo 8:
Determina si la siguiente ecuacin es exacta:
2
dy y
dx x y x
2( ) 0ydx x y x dy
1M
y
2 1N
xyx
M N
y x
La ecuacin no es exacta, pero si multiplicamos por el trmino2
1:
x
2
2 2
( )0
ydx x y xdy
x x
2
1M
y x
2
1N
x x
M N
y x
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La ecuacin es ahora exacta y el trmino2
1
x recibe el nombre de factor integrante.
El problema radica en poder encontrar una funcin ,x y tal que:
, , , 0x y M x y dx N x y
M N
y x
Si
M N
y x
N
Es continua y depende solamente de x, entonces:
exp
M N
y xx dx
N
Es un factor integrante de la Ecuacin.
Si
N M
x y
M
Es continua y depende solamente de y entonces:
exp
N M
x yy dy
M
Es un factor integrante de la Ecuacin.
Ejemplo 9:
Resuelve la siguiente ecuacin:
2 3
21
dy xy y
dx xy
2 3 2(1 ) 0xy y dx xy dy
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Obtenemos M N
yy x
22 3M
xy yy
2N yx
Determinamos un factor integrante que dependa nicamente de x o de y ; en este
caso probaremos con uno que depende de y .
2 2 2
2 3 2 2 2
2 22 3 2 2 2
N M
y y x y x yy xy y y xyx yy
M xy y y x y y x y y x y y
Con lo cual el factor integrante esta dado por:
2 2
1ln2
2ln ln1 2ln ln1 ln 2
2
1exp
dy
y y yy y
N M
x yy dy e e e e e y
M y
Recordemos que ln 1 0 ln ln lna
y a bb
y al multiplicar la ecuacin diferencial por este factor integrante:
2 2 3 2(1 ) 0y xy y dx xy dy
obtenemos la ecuacin que ahora es exacta:
2( ) 0x y dx y x dy
Por ahora daremos los pasos para resolver una ecuacin exacta:
Paso 1: Se busca una funcin ,f x y c tal que:
2f fx y y y xx y
Paso 2: integramos la primer parcial con respecto a x tomando a y como constante:
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2
2
xf x y dx yx g y
21
,2
f x y x yx g y
Paso 3: Obtenemos la parcial con respecto a y de la segunda expresin y luego se
iguala con ,N x y :
,
'x y
x g xy
2'x g x y x
Paso 4: Despejando 'g x :
2'g x y
Integrando obtenemos que:
2 1g x y dy y
Como 21
,2
f x y x yx g y
Sustituyendo:
2 11
,2
f x y x yx y
Obtenemos finalmente:
2 11
2x yx y c
Actividad 3. Clasificacin de ecuaciones diferenciales
Cmo se pueden clasificar las ecuaciones lineales para poder separar una ecuacin
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diferencial exacta de una no exacta?
Mediante este ejercicio podrs responder la pregunta que se te ha planteado, rara ello:
Compartir con los compaeros la forma en que se categorizan las ecuaciones diferenciales.
Comentar la diferencia encontrada entre una ecuacin diferencial exacta y una no exacta.
Comparar los conocimientos de los compaeros con los propios para reforzar el aprendizaje obtenido. 1. Entra en la seccin del Foro llamado Clasificacin de ecuaciones diferenciales.
2. Lee la pregunta que ah se plantea.
3. Redacta tus conclusiones y sbelas al Foro.
4. Comenta la respuesta de tres de tus compaeros.
Consulta la rbrica general de la participacin en foros, que se encuentra en la seccin Material de apoyo.
1.3. Ecuacin de Bernoulli
Existen algunas ecuaciones diferenciales que no son lineales pero que empleando
artificios matemticos podemos transformarlas en ecuaciones lineales. Un caso muy
importante y que aqu desarrollamos, lo tenemos mediante las Ecuaciones de
Bernoulli, pero tambin, podemos resolver una ecuacin diferencial no lineal a travs
de las ecuaciones de Riccati.
Riccati
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Bernoulli
1.3.1. Definicin
Se dice que una ecuacin es de Bernoulli si se puede expresar de la forma:
ndy
p x y g x ydx
Donde 0,1n
Para encontrar la solucin de este tipo de ecuaciones se siguen los pasos siguientes:
Paso 1: Dividimos la Ecuacin entre ny
Paso 2: Efectuamos un cambio de variable 1 nv y y hallamos dv
dx
Paso 3: Resolvemos la Ecuacin Lineal resultante para obtener el valor de v
Paso 4. Obtenemos el valor de y x despejando del cambio de variable 1 nv y
1.3.2. Ejemplos y su representacin grfica
A continuacin se resolver una Ecuacin de Bernoulli paso por paso.
Ejemplo 10:
Resuelve la siguiente ecuacin:
2 32dy
x xy ydx
Primero veremos si se puede expresar como una Ecuacin de Bernoulli, para esto
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dividiremos toda la ecuacin entre 2x :
23
2 2 2
2 1x dy xyy
x dx x x
Simplificando nos queda una Ecuacin de Bernoulli:
ndy
p x y g x ydx
3
2
2 1dy yy
dx x x donde 12p x x y
2g x x
Paso 1: Dividimos entre 3y :
3
3 3 2 3
1 2 1dy y y
y dx xy x y
Simplificando tenemos que:
2
3 2
1 2 1dy y
y dx x x
Paso 2: Efectuamos el cambio de variable, en este caso 1 3 2v y y
Si derivamos con respecto a x :
32dv dy
ydx dx
Despejando dy
dxobtenemos que:
3
2
dy y dv
dx dx
Sustituyendo dy
dxy 2v y en la ecuacin
2
3 2
1 2 1dy y
y dx x x
tenemos que:
3
3 2
1 2 1
2
y dv v
y dx x x
Simplificando obtenemos:
2
1 2 1
2
dv v
dx x x
Multiplicando por 2 :
24 2dv v
xdx x
Paso 3: Obtenemos el valor de v utilizando el proceso para resolver una ecuacin
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lineal mediante la frmula para ecuaciones lineales dv
p x y g xdx
vista
anteriormente:
1 p x dx
p x dxv x e g x dx C
e
En este caso 24
2p x y g x xx
44
4ln ln 4dx
x xxe e e x
Sustituyendo nos queda:
4 241
2v x x x dx Cx
641
2v x x dx Cx
42
5v x Cx
x
Por ltimo, usamos nuevamente el cambio de variable 2v y :
2 42
5y Cx
x
Actividad 4. Representacin de un modelo matemtico
Al finalizar esta actividad podrs:
Analizar un problema de aplicacin de ecuaciones diferenciales.
Resolver las ecuaciones necesarias para obtener un resultado.
Graficar el resultado obtenido.
1. Lee el planteamiento que te har llegar tu Facilitador(a).
2. Resuelve la ecuacin que se te presenta para obtener el valor de la poblacin en funcin del tiempo.
3. Grafica la solucin correspondiente con un software (puede ser en lnea como el Wolfram Alpha).
*Para ejecutar este software en lnea visita: http://www.wolframalpha.com/. En Material de apoyo de la unidad puedes consultar el archivo Tutorial Wolfram que pretende ser una gua bsica para su uso.
4. Anexa las capturas de pantalla al documento, en caso de requerir grficos o alguna otra especificacin de tu Facilitador(a).
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5. Enva tu documento con la nomenclatura KEDI_U1_A4_XXYZ. Espera la retroalimentacin de tu Facilitador (a).
Autoevaluacin
Muy bien! Haz llegado al final de la unidad.
Para verificar los conocimientos adquiridos en la unidad, debers ingresar a la autoevaluacin y responder las preguntas que ah se te plantean. La calificacin obtenida quedar registrada en el portafolio de evidencias.
Para ingresar a la autoevaluacin: Verifica el enlistado de las actividades y da clic en Autoevaluacin.
Evidencia de aprendizaje. Sistemas algebraicos de computacin (SAC)
Al finalizar sers capaz de:
Identificar algunos tipos de software como herramientas en la solucin de ecuaciones diferenciales.
Manejar el software elegido para la solucin de ecuaciones diferenciales.
Solucionar ecuaciones diferenciales por medio de aplicaciones informticas. Para realizar la actividad:
1. Utiliza el programa recomendado u otro que conozcas. 2. Consulta las instrucciones con que te de tu Facilitador(a). 3. Utiliza el programa elegido para encontrar la solucin al problema propuesto. 4. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura KEDI_U1_EA_XXYZ. 5. Enva tu reporte al portafolio de evidencias, espera la retroalimentacin de tu Facilitador(a), atiende sus comentarios y reenva la nueva versin de tu evidencia. 6. Consulta la Escala de Evaluacin para conocer los criterios con que ser evaluado tu trabajo.
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Autorreflexin
Con el propsito de ayudarte a poner en contexto lo que has aprendido en esta unidad, es conveniente que respondas realices las siguientes actividades: 1. Investiga acerca de las ecuaciones de Ricatti y Bernoulli. 2. Responde las siguientes preguntas:
Es posible convertir una ecuacin de Riccati a una ecuacin de Bernoulli?
Cul es el cambio de variable necesario para realizar dicho cambio?
Para saber ms
Consulta en cualquier texto de los sugeridos en la bibliografa bsica o especfica el
tema Familia de soluciones. Clasificacin de las ecuaciones diferenciales
Familia de soluciones
Cierre de la unidad
En esta unidad se inici el estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden. De
acuerdo al tipo de ecuacin, se implementaron los mtodos ms adecuados para su
solucin; adems, se sentaron las bases necesarias para el estudio de ecuaciones
diferenciales de orden superior. De esta manera, has adquirido los conocimientos
mnimos necesarios para la solucin de problemas en distintas areas, por lo que se te
invita a continuar con tus estudios sin olvidar que la prctica constante te dar el
dominio de un tema tan fascinante como lo son las ecuaciones diferenciales.
Fuentes de consulta
Bosch, C., (2006), Clculo diferencial e integra, Mxico: Publicaciones Cultural.
Larson, R., (2009), Matemticas II Clculo integra,. Mxico: Mc Graw Hill.
Picn, P., (2006), Anlisis conjunto, Mxico: Porra.
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