UNIDAD I. ÁNGULOS, TRIÁNGILOS,

POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA

Tema. Ángulos

ÁNGULOS

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS FUNDAMENTALES

entro de la geometría plana, existen conceptos fundamentales cuya definición

es un tanto complicada. Algunas veces tenemos la idea muy bien hecha pero

sólo en nuestro cerebro; y cuando queremos trasladar de manera escrita esa

idea surgen ciertas dificultades. De manera introductoria daremos algunas definiciones ya

preestablecidas de algunos entes geométricos.

Desde la antigüedad, han existido hombres de ciencia preocupados por establecer

definiciones correctas de figuras geométricas y que de alguna forma lograron sentar las

bases de la geometría plana. Entre los hombres que contribuyeron a dar estas bases

podemos mencionar a personajes como Tales de Mileto, Euclides, Arquímedes, Pitágoras,

etc.

Por ejemplo, Euclides recopilo muchos de los resultados geométricos conocidos en su

época y los reunió en su obra “Los elementos”, primer tratado formal de Geometría plana y

que en nuestros días se le conoce comúnmente como Geometría Euclidiana.

A continuación enlistaremos algunas definiciones importantes de ciertos entes geométricos

que nos serán de gran utilidad previos a un estudio de geometría plana:

Punto: se concibe como algo que carece de longitud, anchura, altura y que solamente

puede señalar una posición en el espacio. Un punto es la figura geométrica más simple del

espacio.

Línea recta: se define como una sucesión infinita consecutiva de puntos que se extienden

con una misma dirección.

Cuando tomemos solamente una porción de línea recta limitada por un solo punto,

estaremos hablando de una semirrecta. Ejemplo:

Pero si tomamos una porción de línea recta limitada por dos puntos, entonces estaremos

considerando un segmento de línea recta.

D

A

A B

Plano: se puede definir como una figura geométrica que cuenta con longitud y anchura, pero que

no tiene altura. Las paredes de nuestra casa, los cristales de las ventanas y una hoja de papel; no

siendo tan estrictos, nos dan la idea de un plano.

CONCEPTO DE ÁNGULO

Si miramos a nuestro alrededor, se refleja la idea de ángulo. Así observamos sillas,

ventanas, casas, calles, árboles, etc., donde de alguna manera se encuentra muy bien

dibujada y plasmada la imagen de un ángulo.

Incluso este concepto es fundamental en la realización de ciertas actividades en la vida

diaria, especialmente cuando se practican actividades deportivas dentro de una

competencia. Por ejemplo, para un competidor en lanzamiento de jabalina es importante

elegir un buen ángulo de lanzamiento para llevarse el triunfo. En el juego de billar, es

necesario escoger un buen ángulo de golpeo para realizar una buena jugada. Para un

clavadista es fundamental caer con un ángulo totalmente perpendicular sobre la superficie

del agua para que su clavado sea muy bien calificado. Si el columpio de un niño, hace un

mayor ángulo de oscilación, este le proporciona mayor satisfacción al niño.

Como podemos darnos cuenta la idea de ángulo está presente por todos lados. A

continuación damos una definición de este concepto.

Angulo: es la abertura que se origina por dos

semirrectas que parten de un mismo punto, a este punto

se le llama vértice del ángulo.

A las semirrectas que forman la abertura, regularmente se les llaman lados

del ángulo. A pesar de que hay otras formas de denotar un ángulo,

optaremos por elegir la más práctica. Para designar un ángulo utilizaremos

una letra griega minúscula, una letra minúscula de nuestro alfabeto o en

dado caso números; los cuales escribiremos dentro de la abertura. Entre las

letras griegas más comunes para denotar ángulos se encuentran: (alfa),

(beta), (gamma), (teta), (delta), etc.

MEDICIÓN DE LOS ÁNGULOS EN EL PLANO

Dentro de los sistemas de medidas más importantes y usuales, se pueden mencionar dos:

el sistema sexagesimal y el sistema circular.

Sistema sexagesimal: Este sistema tiene sus orígenes con los babilónicos y es el más

utilizado hoy en día. Consiste en dividir a la circunferencia en partes iguales (esta

decisión gracias a que los babilónicos manejaban un calendario de días); cada una de

estas partes corresponde a un grado. A su vez un grado se divide en partes iguales

para que cada una de estas conforme los minutos y un minuto se vuelve a dividir en

partes iguales las cuales conformaran los segundos.

En resumen:

a) Un grado equivale a una de las trescientas

sesenta partes iguales en que se divide la

circunferencia.

Nota: la notación de un ángulo se hace mediante el

símbolo que se coloca después del número en la parte

superior.

b) Un minuto es una de las sesenta partes iguales en las que se divide un grado. Para

denotar los minutos se usa el símbolo ´ que se coloca después del número en la parte

superior. Esto es:

c) Un segundo es una de las sesenta partes iguales en las que se divide un minuto.

Para denotar los segundos se utiliza el símbolo ´´ que se coloca después del número en la

parte superior. Es decir:

Sistema circular: En este sistema se usa como unidad de

medida al radian. Un radian es un ángulo construido dentro de

una circunferencia, de tal manera que su vértice es el centro

de esta y sus lados son dos radios que delimitan una porción

de arco igual a la medida de estos. (Ver figura)

Después de haber definido cada uno de estos sistemas de medida se puede establecer

una correspondencia entre grados y radianes de la siguiente manera:

Consideremos cualquier circunferencia de radio , entonces su longitud equivale a

(Perímetro). Por definición de radian, la longitud de arco es , por lo tanto, el número de

arcos de longitud que caben en nuestra circunferencia es:

De esta manera, se deduce que una circunferencia tiene radianes, pero por otro lado

sabemos que una circunferencia tiene (sistema sexagesimal). Así tenemos que:

De aquí,

O bien,

OPERACIONES MÁS COMUNES CON ÁNGULOS

Suma de Ángulos: Para sumar ángulos se suman segundos con segundos, minutos con

minutos y grados con grados. Sólo que si en la suma los segundos o minutos son números

mayores o iguales a , entonces habrá la necesidad de hacer algunas conversiones.

Por ejemplo:

a) Sumar con

Solución:

__________

En este caso, los segundos y los minutos son números menores que , por lo tanto, ese es el resultado final.

b) Sumar con

Solución:

___________

Aquí como los segundos y minutos son mayores a 60, convertiremos segundos a minutos y minutos a grados de la siguiente forma:

con residuo 28

_________

Observe que los segundos se dividen entre y el cociente se le suma a los minutos y el residuo equivale a los segundos finales. Por último,

con residuo 31

__________

Finalmente, los minutos se dividen entre y el cociente se le suma a los grados y el residuo equivale a los minutos finales. Por lo tanto, el resultado final de la suma debe ser

. Resta de Ángulos: Para restar dos ángulos, se restan segundos con segundos, minutos con minutos y grados con grados, sólo que bajo ciertas restricciones. Por ejemplo, si los segundos o minutos del minuendo son menores que los del sustraendo, entonces en el minuendo se le restan un grado a los grados y se le suma ese grado en minutos a los minutos o bien se le puede restar un minuto a los minutos y sumar ese minuto en segundos a los segundos. Ejemplos: a) Restar a Solución: Convirtiendo un minuto ___________ a segundos ____________

b) A restar Solución:

_ _ Convirtiendo un grado a ___________ minutos y un minuto a segundos _____________

Algunas veces es necesario expresar los ángulos señalando sus grados, minutos y segundos. Por lo regular, se acostumbra hacer esto, con aquellos ángulos expresados en grados pero cuyo valor no es un número entero, es decir, cuenta con una parte decimal.

Ejemplo: Expresar a grados, minutos y segundos.

Solución: La parte entera se queda como los grados finales, en este caso , luego la parte decimal se multiplica por , esto es, , la parte entera de este resultado serán los minutos y la parte decimal se vuelve a multiplicar por , o sea: que serán los segundos. Así:

CONVERSIÓN DE GRADOS A RADIANES Y VICEVERSA

Para convertir de grados a radianes o viceversa, se deben tener bien presentes las equivalencias obtenidas en la sección 1.3, que son:

Ejemplos: a) Convertir a radianes Solución: Expresemos en forma decimal. Para ello, dividimos los entre y el resultado se lo sumamos a (tomar dos o tres dígitos a partir del punto decimal), así:

Para convertir a radianes se multiplica este nuevo valor por (ver equivalencias), de lo que se tiene: Por lo tanto, b) Convertir a grados

Solución: Para convertir a grados se multiplican los por (ver equivalencias), esto es: Luego de la sección anterior,

Para convertir a minutos Y

Para convertir a segundos

Por lo tanto,

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS

Clasificación de los ángulos de acuerdo a la medida que tienen:

Clasificación de los ángulos de acuerdo a la posición de sus lados

Ángulos opuestos por el vértice: son aquellos

ángulos que se forman por la intersección de

dos líneas rectas. En este caso, el vértice de los

ángulos es el punto de intersección de las

líneas. Los ángulos opuestos por el vértice son

iguales.

Ángulo Agudo: es aquel ángulo que mide

menos de .

Ángulo Recto: es el ángulo que mide

exactamente . Comúnmente se le

conoce como ángulo recto.

Ángulo Obtuso: es el ángulo que

mide más de y menos de .

Ángulo Plano, Llano o Colineal: este

ángulo se caracteriza por medir

exactamente .

Ángulo Cóncavo o Entrante: es

un ángulo cuya medida es mayor

a los pero menor a los .

Ángulo Perigonal: es aquel ángulo

que mide exactamente .

Clasificación de los ángulos de acuerdo a la suma de sus medidas

Ángulos consecutivos: son los

ángulos que se forman compartiendo un

lado y utilizando un mismo vértice.

Ángulos adyacentes: estos ángulos son un

caso particular de ángulos consecutivos. Están

formados de tal manera que uno de sus lados

es común y los otros dos lados son originados

por una sola línea recta. (Ver figura)

Ángulos complementarios: son los

ángulos cuya suma de sus medidas es

igual a .

Ángulos suplementarios: para estos ángulos

la suma de sus medidas es igual a .

Ángulos conjugados: la suma de

sus medidas es igual a .

Definición: Diremos que dos o más rectas

son concurrentes, si se cortan en un mismo

punto del espacio.

Definición: Dos rectas serán perpendiculares si son concurrentes

formando ángulos de .

En base a las clasificaciones hechas anteriormente, se pueden resolver problemas como

los siguientes:

Ejemplos: En cada uno de los siguientes esquemas halle el valor de las incógnitas involucradas en

las medidas de los ángulos.

a) b)

c)

d)

Puesto que los ángulos y son

suplementarios, se tiene que:

Como los ángulos señalados son opuestos

por el vértice, estos son iguales, así:

Observe que los ángulos y

son consecutivos, y que la suma de ellos

es , por lo que:

Los ángulos opuestos por el vértice son iguales,

así:

Por otro lado, los ángulos y son

suplementarios, de aquí:

ÀNGULOS FORMADOS POR UNA SECANTE Y DOS RECTAS PARALELAS

Definición: Dos líneas rectas serán paralelas en un plano si no

tienen ningún punto en común; esto es, no se cortan en ninguno de

sus puntos.

Una de las características de dos líneas paralelas es que siempre

guardan la misma distancia entre ellas, así se puedan extender

demasiado ellas nunca se cortaran. (Ver figura)

Consideremos dos líneas paralelas en el plano, una

línea secante o transversal a dichas paralelas, es

aquella que corta a cada una de estas.

Cuando trazamos dos líneas paralelas y las cortamos por una transversal no perpendicular

a ellas, se forman una serie de ángulos que guardan ciertas relaciones entre sí.

Ángulos originados por una secante que cruza a dos líneas paralelas

Ángulos Internos: son los ángulos que

están ubicados dentro de las paralelas.

Esto es, los marcados con las letras d, c, e

y f.

Ángulos externos: son los ángulos que

quedan fuera de las paralelas. En este

caso, los marcados con letras a, b, h y g.

Ángulos alternos internos: son los

ángulos internos no adyacentes que se

encuentran a distintos lados de la transversal. Los ángulos alternos internos son los pares

de ángulos señalados con las letras e y c, f y d.

Ángulos alternos externos: son los ángulos externos no adyacentes que se encuentran a

distintos lados de la transversal. Los ángulos alternos externos son los pares: h y b, g y a.

Ángulos correspondientes: es un ángulo interno y un ángulo externo no adyacentes

situados a mismo lado de la transversal. Los pares de ángulos correspondientes son: e y a,

f y b, h y d, g y c.

Ángulos colaterales: son dos ángulos internos, o dos externos, situados del mismo lado

de la transversal. Los ángulos colaterales son: e y d, f y c, h y a, g y b.

Definidos y ubicados los ángulos, podemos establecer ciertas relaciones entre ellos:

1. Los ángulos alternos internos son iguales, esto es, e c y f d

2. Los ángulos alternos externos son iguales, es decir, h b y g a

3. Los ángulos correspondientes también son iguales, o sea, e a, f b, h d y g c.

4. Los ángulos colaterales son suplementarios, así,

e d

c f

a h

b g

5. Los ángulos adyacentes son suplementarios.

A continuación, aplicaremos estas propiedades a la solución de problemas de ángulos generados por dos paralelas y una secante.

Ejemplo 1. Calcule la medida del ángulo en la siguiente figura.

Solución: Observemos que los ángulos señalados son colaterales, luego son suplementarios, o sea que,

Ejemplo 2. Calcula el valor de la incógnita involucrada en la medida de los ángulos

marcados en la siguiente figura.

Solución: Como los ángulos señalados son alternos

externos, se tiene que son iguales, por lo tanto,

Ejemplo 3. Calcule el valor de y en los siguientes ángulos.

Solución: Puesto que los ángulos y son

correspondientes, entonces son iguales, así:

Por otro lado, los ángulos y son adyacentes, son suplementarios, luego: