rectas perpendiculares y paralelas actualizado

Rectas perpendiculares y paralelas

RECTAS PERPENDICULARES Y PARALELAS TEOREMA: Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y solamente una recta perpendicular a la recta dada. HIPOTESIS: P TESIS: 1) Existencia: Existe 2) Unicidad: es unica

TEOREMA Por un punto dado de una recta puede pasar una y solamente una recta perpendicular a la recta dada. HIPOTESIS: R TESIS: 1) Existencia: Existe 2) Unicidad: es unica

TEOREMA Un tringulo no puede tener dos ngulos rectos.

PARALELISMO El paralelismo es una relacin de equivalencia, o sea que cumple las propiedades: 1. Propiedad reflexiva: AB AB 2. Propiedad simtrica: Si AB CD entonces CD AB 1


3. Propiedad transitiva: Si AB CD y CD EF , entonces: AB EF POSTULADO DE LAS PARALELAS Se conoce como el quinto postulado de Euclides: Por un punto exterior a una recta pasa una y solo una recta paralela a la recta dada. TEOREMA Si dos recta cortadas por una transversal forman ngulos alternos internos congruentes, entonces son paralelas. HIPOTESIS:

y son alternos internos, t

es una transversal que corta a l y a m en A y B respectivamente.

TESIS: l mSe demuestra por el mtodo indirecto. 1. l no es paralela a m 2. l y m se cortan en un punto P

1. Negacin de la tesis 2. De 1. Porque no son paralelas.

3. m ( ) > m ( ) 4. m ( ) = m ( ) 5. CONTRADICCION

Por lo tanto l m

3. Por ser un ngulo exterior del 4. De hiptesis. 5. De 3 y 4. Ley de la tricotomia.

ABP

TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR) Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces forman ngulos alternos internos congruentes. HIPOTESIS: ; es una transversal que corta a las rectas l y m en P y Q respectivamente. y son alternos internos TESIS:

2


Se demuestra por reduccin al absurdo. (Mtodo indirecto) 1. Negacin de la tesis 1. m( ) m( ) 2. De 1. Ley de la tricotomia 2. m( ) < m( ) o m( ) > m( ) 3. De 2. Suposicin. 3. m( ) < m( ) 4. Postulado de construccin de ngulos 4. Por Q pasa una recta r, tal que congruentes 5. De 4. Por formar ngulos alternos 5. l r internos congruentes al ser cortadas por una transversal. 6. De hiptesis. 6. l m 7. CONTRADICCION! 7. De 5 y 6. Por Q se trazaron dos rectas paralelas a l, lo que contradice el postulado de Euclides.

Falta la otra suposicin m( ) > m( ). Contine con la demostracin. TEOREMA Si dos rectas son cortadas por una transversal y forman ngulos correspondientes congruentes, entonces son paralelas. HIPOTESIS: y son correspondientes TESIS:

1. 2. 3. 4.

y son alternos internos

1. Por ser opuestos por el vrtice. 2. De hiptesis 3. De 1 y 2. Propiedad transitiva 4. Definicin de ngulos alternos internos. 5. De 3 y 4. Por formar ngulos alternos internos congruentes al ser cortadas por una transversal.

5. l m

TEOREMA Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ngulos correspondientes son congruentes. HIPOTESIS: ; es una transversal; son correspondientes. TESIS: y

3


La demostracin se deja como tarea. TEOREMA Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, los ngulos consecutivos interiores son suplementarios. HIPOTESIS: es una transversal. y son consecutivos interiores TESIS: m m 180

1. 1. De hiptesis. Por ser alternos internos entre paralelas 2. m ( ) + m ( ) = 180 2. Por formar un par lineal. 3. m ( ) + m ( ) = 180 3. Sustitucin de 1 en 2. TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR) Si dos rectas son cortadas por una transversal, determinan ngulos consecutivos interiores suplementarios, las rectas son paralelas. La demostracin se deja como tarea. EJERCICIOS RESUELTOS 1) DATOS: HALLAR: m( ) ; m( ) 130

1. 2. 3. 4. 5. 2)

m ( m ( m ( m ( m (

) + m ( ) = 180 ) = m ( ) ) + m ( ) = 180 ) + 130 = 180 ) = 50

1. Por ser consecutivos interiores entre paralelas 2. Por ser alternos internos entre paralelas 3. Sustitucin de 2 en 1 4. Dato 5. De 4.AB AC

HIPOTESIS:

DE AB

TESIS: DE DC

4


1. C

B

2. B CED 3. C CED 4. DE DC

1. De hiptesis. En un triangulo a lados congruentes se oponen ngulos congruentes 2. De hiptesis. Por ser ngulos correspondientes entre paralelas. 3. De 1 y 2. Propiedad transitiva. 4. De 3. En un triangulo a ngulos congruentes se oponen lados s.

TEOREMA La medida de un ngulo exterior de un triangulo es igual a la suma de las medidas de los interiores no adyacentes a l. HIPOTESIS: CBD es exterior del triangulo ABC ABD TESIS: m(CBD)m(A) m(C )

1. Se traza BE AC 2. m( C) = m ( CBE) 3. m ( DBE) = m( A) 4. m ( CBD) = m ( CBE)+m( DBE) 5. m ( CBD) = m( C) + m( A)

1. Por un punto exterior a una recta se puede trazar paralela a ella. 2. De 1. Por ser alternos internos entre paralelas. 3. De1. Por ser ngulos correspondientes entre paralelas. 4. Adicin de ngulos. 5. Sustitucin de 2 y 3 en 4

TEOREMA La suma de los ngulos interiores de un tringulo es 180. HIPOTESIS: Triangulo ABC cualquiera. D C E TESIS: m(ACB) m(B) m(C ) 180

1. Por C se traza DE AB 2. m ( DCA) = m( A) y m( ECB) = m( B) 3. m ( DCA) + m ( ACB) + m ( ECB) = 180 4. m ( A) + m( ACB) + m( B) = 180

1. Por un punto exterior a una recta se puede trazar una paralela 2. De 1. Por ser alternos internos entre paralelas. 3. De 1. Por formar un par lineal. 4. Sustitucin de 2 en 3

COROLARIO 1. En un triangulo no puede haber ms de un ngulo interior que mida 90 o ms de 90 COROLARIO 2 Si un triangulo tiene dos de sus ngulos respectivamente congruentes a dos ngulos de otro triangulo, entonces el tercer ngulo del primero es congruente al tercer ngulo del segundo.

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COROLARIO 3 Los ngulos agudos de un triangulo rectngulo son complementarios. TEOREMA. (30 60 90) Si un triangulo rectngulo tiene un ngulo agudo de 30, entonces el cateo opuesto a este ngulo mide la mitad de la hipotenusa. HIPOTESIS: Triangulo ABC es rectngulo en A TESIS: AB

CB 21. Construccin 2. Dos puntos determinan un segmento 3. De hiptesis 4. De 3. Definicin de altura 5. De 1. A es punto medio de DB 6. De 5 y 4. Por ser issceles una altura es mediana. 7. En un triangulo issceles los ngulos de la base son congruentes. 8. De hiptesis. Los ngulos agudos de un triangulo rectngulo son complementarios. 9. Sustitucin de 8 en 7 10. De 8 y 9. Los ngulos interiores del triangulo DBC suman 180 11. De 8, 9 y 10. Un triangulo equiltero es equingulo. 12 De 11. En un triangulo equiltero los lados son congruentes. 13. De 1. Definicin de punto medio 14. Sustitucin de 12 en 13 15. De 14. Aritmtica.

1. En BA existe un punto D, tal que

DA

AB

2. Trazamos CD 3. m( A) = 90 4. CA es altura en

DCB 5. CA es mediana en DCB 6. DCB es issceles7. m( D) = m( B) 8. m( B) = 60 9. m ( D) = 60 10. m( DCB) = 60 11. El triangulo DCB es equiltero. 12. CB

DB

13. DB = 2AB 14. CB = 2AB 15. AB

CB 2

6


TEOREMA En un plano, si dos ngulos tienen sus lados respectivamente perpendiculares, entonces son congruentes. HIPOTESIS:

TESIS: A D

1.

AGE es rectngulo

2. AEG es el complemento de A 3.

EFD es rectngulo

4. AEG es el complemento de D 5. A D

1. De hiptesis. Definicin de triangulo rectngulo 2. De 1. Los ngulos agudos de un triangulo rectngulo son complementarios 3. De hiptesis. Definicin de triangulo rectngulo 4. La misma razn de 2 5. De 2 y 4. Por tener el mismo complemento.

DEFINICION: La distancia de un punto a una recta, es la longitud del segmento perpendicular trazado del punto a la recta. LUGAR GEOMETRICO: Es el conjunto de puntos de un plano que cumplen una o varias condiciones. TEOREMA La bisectriz de un ngulo es el lugar geomtrico de puntos que equidistan de los lados del ngulo. HIPOTESIS: es bisectriz del angulo BAC PQ ABPR AC

TESIS: PQ 1. AQP es rectngulo, rectngulo ARP es

PR

1. De hiptesis. Definicin de triangulo rectngulo 2. Propiedad reflexiva 3. De hiptesis. Definicin de bisectriz 4. De 1, 2, 3. Por ser tringulos rectngulos con la hipotenusa y un ngulo agudo congruentes 5. De 4. Lados correspondientes en tringulos congruentes.

2. AP AP 3. PAR PAQ 4. Tringulo AQP Tringulo ARP 5. PQ

PR

7


EJERCICIOS RESUELTOS 1) HIPOTESIS: M es punto medio de AB

MD AC; ME MD ME TESIS: ABC es issceles.1. AM MB 2. MD ME ADM y BEM son rectngulos 3. 4. ADM BEM 5. A 6. 2)B

BC

ABC es issceles.

1. De hiptesis. Definicin de punto medio. 2. De hiptesis. 3. De hiptesis. Def. de triangulo rectngulo 4. De 1,2, 3. Por tener la hipotenusa y un cateto respectivamente congruentes. 5. De 4. Por ser ngulos correspondientes en tringulos congruentes. 6. De 5. Un triangulo que tenga dos ngulos congruentes, es issceles.

HIPOTESIS: Triangulo ABC es rectngulo en A BD es bisectriz del ngulo CBA C CB TESIS: AB 2 1. m( ABC)+ m( C) = 90 2. 3. 4. 5. 6. 7. m( )+m( )+m( C) = 90 m( ) = m( ) m( C) = m( ) m( C)+ m( C)+ m( C) = 90 m( C) = 30 AB = CB/2 2(AB) = CB 1. De hiptesis. Los ngulos agudos de un triangulo rectngulo son complementarios. 2. De 1. Adicin de ngulos. 3. De hiptesis. Definicin de bisectriz 4. De hiptesis. 5. Sustitucin de 3 y 4 en 2. 6. De 5. Algebra. 7. De hiptesis. Y de 6. Teorema 30 60 90

8


3) HIPOTESIS: CD es bisectriz de ACB CAB es rectngulo en A. ADB TESIS: DB

AD

1. Se traza DE 2. 1 2 3. DA = DE 4.

CB , C E B

1. Construccin 2. De hiptesis. Definicin de bisectriz 3. De hiptesis. Un punto de la bisectriz equidista de los lados del ngulo. 4. De 1 y 3. Por ser tringulos rectngulos con cateto y ngulo agudo congruente. 5. En un triangulo rectngulo la hipotenusa es mayor que cualquier cateto. 6. Sustitucin de 3 en 5

CAD

CEDDE

5. En 6. DB 4)

DEB, DB

DA

HIPOTESIS: Triangulo ABC rectngulo en C BF BE ; AD AE TESIS: Hallar m( )

1. m( A) + m( B) = 90 2. m( 1) = m( 2) 3. m( 3) = m( 4) 4. m( A)+m( 1)+m( 2) = 180 5. m( A)+m( 2)+m( 2) = 180

1. Los ngulos agudos de un triangulo rectngulo son complementarios. 2. De hiptesis. En el DAE a lados congruentes se oponen ngulos congruentes 3. De hiptesis. En el FEB a lados congruentes se oponen ngulos congruentes. 4. Los ngulos interiores de un triangulo suman 180 5. Sustitucin de 2 en 4 6. Los ngulos interiores de un triangulo suman 180 7. Sustitucin de 3 en 6. 8. Suma de 5 y 7 9. De 1 y 8 10. De 9

m A

2m 2

180

6. m( B)+m( 3)+m( 4) = 180 7. m( B)+m( 3)+m( 3) = 180

m B

2m 3

180

8. m( A)+2m( 2)+m( B)+2m( 3) = 360 9. 90+2 m( 2)+m( 3) = 360 10. 2 m( 2)+m( 3) = 270 m 2 m 3 9

135


11. m( 2)+m( )+m( 3) = 180 12. m( ) + 135 = 180

m

45

11. Por formar un ngulo llano 12. Sustitucin de 10 en 11

5) Las bisectrices de los ngulos B y C del triangulo ABC se cortan en P. Desde P se trazan

PH

AB; PK

AC . Si X es la medida del ngulo A, demostrar que:x 2

1. m BPC

90

2. P pertenece a la bisectriz de BAC 3. AB BH AC CK

1.

x m AHP x 90 902.

m AKP m HPK m(HPK ) 360180 x

360

1. La suma de los ngulos interiores de un cuadrilteros es 360 2. De 1 y de hiptesis, algebra 3. La suma de los ngulos interiores del triangulo ABC suman 180 4. De hiptesis. Definicin de bisectriz 5. Sustitucin de 4 en 3 6. De 5. Algebra

m HPK

3. m 1 4. m 1

m 2

m 3

m 4

x 180

m 2 ; m 3 m 4 5. 2m 1 2m 4 x 180 x 90 6. m 1 m 4 2 7. m 1 90 m 5 ; m 4 90m 5 909.

m 6

908.

90 m 5

m 6 m 6

x 2

90

7. En un triangulo rectngulo los ngulos agudos son complementarios. 8. Sustitucin de 7 en 6 y algebra.

x 2

m 510. 90

m 6 m HPK m BPC 360 x m HPK m BPC 360 2

9. Los ngulos alrededor de un punto suman 360 10. Sustitucin de 8 en 9.

10


9011.

x 180 2 m BPC

x m BPC 90 x 2

360

11. Sustitucin de 2 en 10 y algebra.

12. P es el incentro 13. AP es bisectriz de BAC 14. HAP

PAK

15. AP AP 16. AHP AKP 17. AH = AK

12. De hiptesis. P es el punto donde se cortan dos bisectrices 13. Las bisectrices de los ngulos interiores de un triangulo se cortan en un punto llamado el incentro. 14. De 13. Definicin de bisectriz 15. Propiedad reflexiva 16. De 14 y 15. Por ser tringulos rectngulos con hipotenusa y ngulo agudo congruente. 17. De 16. Por ser lados correspondientes en tringulos congruentes. 18. De 17. Resta de segmentos.

18. AB

BH

AC CK

Profesor: Jos Manuel Montoya Misas

11


EJERCICIOS SOBRE RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES. 1. HIPOTESIS: LM TESIS: TN LM

TN ; LT

NM

2. HIPOTESIS: A D B E BC EF ; AD BE ; AC TESIS: BC EFDF

3. HIPOTESIS: CA

CB, CD CE

TESIS: DE AB SUGERENCIA: Utilizar el teorema de la suma de los ngulos interiores de un triangulo.

4.

HIPOTESIS: EF biseca a DC y AB

A B; AD BC TESIS: DC AB5. Demostrar que si dos ngulos tienen sus lados respectivamente paralelos entonces los ngulos son congruentes. 6.

HIPOTESIS: CB AD O es el punto medio de AB TESIS: O es el punto medio de CD

12


7.

HIPOPTESIS: BA DC; m BCunto mide el ngulo PDC?

40 ; m BPD

70

8. Demostrar que una recta trazada paralela a la base de un triangulo issceles y que pasa por su vrtice, es bisectriz del ngulo externo en el vrtice. 9. HIPOTESIS: AD

BC; AD

AB; BC

AB

TESIS: 10. HIPOTESIS: LM TESIS: LN

1) DC

AB

2) DC AB

MN

NT

TL

TM

11.

AB CD; m(BAE ) 50 HIPOTESIS: m(DCE ) 40HALLAR m(1) m(2)

12. HIPOTESIS: AD es bisectriz de CAB y BD es bisectriz de CBA m(D) 130 HALLAR m(C )

13


13. HIPOTESIS: AC TESIS: CAD

CB; CDBCD

AB

14. Demostrar que si dos ngulos de un triangulo son congruentes, los lados opuestos a ellos son congruentes. (Sugerencia: trazar la altura sobre el lado desigual.) 15. Demostrar que si la bisectriz de uno de los ngulos exteriores de un triangulo es paralela al lado opuesto, el triangulo es issceles. 16. HIPOTESIS: m(C ) 110 m(CBD) 155 HALLAR m(A) 17. Se da el triangulo ABC, BO y CO son bisectrices. Se traza por O, DOE BC . Demostrar que DE = BD + CE

18. Se da un punto P sobre la base BC de un triangulo issceles ABC. De los puntos medios M y N de BP y PC se trazan perpendiculares a BC , esas perpendiculares cortan a AB en E y AC en F. Demostrar que EPF 19. HIPOTESIS: m(ABD)2m(D)

A

AH es altura BE BH AFD TESIS: FHD FDH

20. Demostrar que en un triangulo rectngulo que tiene un ngulo de 30, la mediana y la altura relativas a la hipotenusa, dividen el ngulo recto en tres ngulos congruentes.

14


21. Sobre el lado OX de un ngulo XOY, se toma un punto A; de A se traza la perpendicular AH a OY, despus se traza la bisectriz del ngulo HAO que corta a OY en C, por ltimo se traza por C una perpendicular a OY que corta a OX en B. Demostrar que el triangulo ABC es issceles. 22. Se da un triangulo issceles ABC con BC como base. Se prolonga la base BC una BC longitud CD = AB. Se traza el segmento AD . AB se prolonga una longitud BE . Se 2 traza la recta EHF, siendo H el punto medio de BC y F situado sobre AD . Demostrar: 1) ABC 2) EA HD . 3) FD FH 4) Calcular los valores de los ngulos AFH ADB 2 y ADB si m ( BAC) = 58.

23. Sobre los lados OX y OY de un ngulo recto XOY, se toman dos puntos A y B. Se trazan por A y B dos rectas AM y BN que hacen con los lados del ngulo recto dos ngulos de 30 (M sobre OY y N sobre OX ), esas rectas se cortan en D. Demostrar que los tringulos AND y BMD son issceles. 24. En la figura AB y CD se bisecan en E. Demostrar que AD es paralelo a CB .

25. HIPOTESIS: H es el punto medio de AB ; G es el punto medio de DC

AD BC A B

1)GHTESIS: 2)GH

DC AB

3) AB DCSUGERENCIA: Trazar HD y HC

15


26. HIPOTESIS: MX es bisectriz de PMN NX es bisectriz de PNM QR MN QXR TESIS: Los tringulos MQX y NRX son issceles.

27. HIPOTESIS: DB es bisectriz de ADC DB EA TESIS: Tringulo ADE es issceles.

28. HIPOTESIS:

CA CB CD CE

TESIS: DF

AB

29. Dado el triangulo rectngulo con C recto y m ( CAB) = 60. CD es la altura trazada AD 1 sobre la hipotenusa. Demostrar que DB 3 30. Dado un triangulo equiltero ABC. En la semirrecta opuesta a BA , tomar un punto D, tal que BD 31.

AC . Demostrar que m( BCD ) = 30 DATOS: AD AE . Las bisectrices de los ngulos DCB y CBE se cortan en P. Hallar m P

16


32. Se da el triangulo issceles ELN, con EL

EN . Por cualquier punto A entre N y E, se traza una perpendicular a LN y la corta en B y a LE en C. Demostrar que el triangulodel ngulo B en K. Otra recta que pasa por K es paralela a BC y corta a AB en M. Demostrar que M es el punto medio de AB .

CEA es issceles. 33. En un triangulo cualquiera ABC, una recta que pasa por A es perpendicular a la bisectriz

34. HIPOTESIS: Triangulo ABC es equiltero.

CH es altura HD CB

HE CA TESIS: HD HE CHAYUDA: La altura en tringulo equiltero tambin es bisectriz, utilizar el teorema 30 60 90 en un triangulo rectngulo.

35. Las bisectrices exteriores de los ngulos B y C del triangulo ABC se cortan en P. Desde P se trazan PH perpendicular a la prolongacin de

AB y PK perpendicular a la prolongacin de AC . Si x es la medida del ngulo A,demostrar que: 1. La mitad del ngulo BPC es igual a

90

x 2

2. P pertenece a la bisectriz de BAC 3. AB BH AC CK (SUGERENCIA: Trazar HK y demostrar que el issceles.)

AHK es

Ejercicios tomados de los siguientes textos: Geometra Euclidiana de Nelson Londoo Geometra Euclidiana de Hemmerling Curso de Geometra. Reunin de profesores Geometra de Clemens y otros, de la serie Awli Geometra de Edwin E. Moise Recopilados por: Jos Manuel Montoya Misas. 17


SOLUCION DE ALGUNOS EJERCICIOS DE RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES HIPOTESIS: A D B E BC EF

AD

BE

AC DF TESIS: BC // EF

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

AB=AD+DB DE=DB+BE AD BE DE=DB+AD AB = DE BC EF y AC DF ABC DEF 1 2

9. BC // EF

1. Suma de segmentos 2. Adicin de segmentos 3. De hiptesis 4. Sustitucin de 3 en 2 5. De 1 y 4. Propiedad transitiva 6. De hiptesis. 7. De 5 y 6. L L L 8. De 7. Por ser ngulos correspondientes en tringulos congruentes. 9. De 8 por tener un par de ngulos correspondientes congruentes

HIPOTESIS: EF biseca a DC y AB A B AD BC TESIS: DC AB

1. 2. 3. 4. 5. 6.

E es punto medio de AB AE EB AD BC A B ADE BCE ED EC

7. DEC es issceles 8. EF es mediana 9. EF es altura 10. m( DFE) = 90 11. EF es bisectriz 12. 2 3 13. 1 4 18

1. De hiptesis. 2. De 1. Definicin de punto medio 3. De hiptesis 4. De hiptesis 5. De 2, 3, 4. L A L 6. De 5. Por ser lados correspondientes en tringulos congruentes. 7. De 6. Definicin de triangulo issceles. 8. De hiptesis. 9. De 7 y 8. En un triangulo issceles la mediana sobre la base tambin es altura. 10. De 9. Definicin de altura. 11. De 7 y 8. En un triangulo issceles la mediana sobre la base es tambin bisectriz. 12. De 11. Definicin de bisectriz. 13. De 5. Por ser ngulos


14. m( 1) + m( 2) + m( 3) + m( 4) = 180 15. 2m( 3) + 2m( 4) = 180 16. m(3) + m(4) = 90 17. m( DEF) = 90 18. DC AB

correspondientes en tringulos congruentes. 14. Por formar un ngulo llano. 15. Sustitucin de 12 y 13 en 14 16. De 15. Algebra 17. De 16. Suma de ngulos. 18. De 17 y 10. Por formar ngulos alternos internos congruentes.

HIPOTESIS: LM TESIS: LN TM

MN

NT

TL

1. LTN es issceles 2. 1 2 3. LMN es issceles 4. 4 3 5. 6. 7. 8.LM MN NT TL LN LN LTN LMN 2 3

9. TNM es issceles. 10. NP es bisectriz 11. NP es altura 12. NP TM

1. De hiptesis. Definicin de triangulo issceles 2. De 1.Los ngulos de la base de un triangulo issceles son congruentes. 3. De hiptesis. Definicin de triangulo issceles 4. De 1.Los ngulos de la base de un triangulo issceles son congruentes. 5. De hiptesis 6. Propiedad reflexiva 7. De 5 y 6. L L L 8. De 7. Por ser ngulos correspondientes en tringulos congruentes 9. De 5. Definicin de triangulo issceles 10. De 8. Definicin de bisectriz 11. De 9 y 10. En un triangulo issceles la bisectriz del vrtice tambin es altura 12. De 11. Definicin de altura HIPOTESIS: m( ABD) = 2 m( D) BE BH AFD TESIS: 1 D

1. 1 2 2. EBH es issceles

1. Por ser opuestos por el vrtice 2. De hiptesis. Definicin de triangulo issceles

19


3. 3

2

4. 3 1 5. m( ABD) = m( 3) + m( 2) 6. m( ABD) = 2 m( 3) 7. m( ABD) = 2 m( 1) 8. m( ABD) = 2 m( D) 9. 2 m( 1) = 2 m( D) 10. m( 1) = m( D)

3. Los ngulos de la base de un triangulo issceles son congruentes 4. Sustitucin de 1 en 3. 5. Por ser ABD un ngulo exterior del triangulo EBH 6. Sustitucin de 3 en 5. 7. Sustitucin de 4 en 6 8. De hiptesis 9. De 7 y 8. Propiedad transitiva 10. De 9. Algebra.

HIPOTESIS: ABC es issceles con AB AC CD AB AC H es el punto medio de BC BE BH m( 1) = 2 m( D) BHCD TESIS: 1. m(1) m( D) 2 2. EA 3. FD FH 4. Si m( 3) = 58, hallar la medida de 2 y D 1. ABC es issceles 2. 1 4 3. 4. 5. 6. 7. ACD es issceles D 5 m( 4) = m( D) + m( 5) m( 4) = 2 m( D) m( 1) = 2 m( D) m(1) m(D) 8. 2 9. EA = BE + AB 10.HD = HC + CD 11. HC = BH 12. BH = BE 13. HC = BE 14. HD = BE + AB 15. EA = HD 1. De hiptesis. Definicin de triangulo issceles 2. De 1. Los ngulos de la base de un triangulo issceles son congruentes. 3. De hiptesis. Definicin de triangulo issceles 4. De 3. Por ser ngulos de la base de un triangulo issceles 5. Por ser 4 un ngulo exterior en ACD 6. Sustitucin de 4 en 5. 7. Sustitucin de 2 en 6. 8. De 7. Algebra. 9. Adicin de segmentos 10. Adicin de segmentos. 11. De hiptesis, H es punto medio. 12. De hiptesis. 14. Sustitucin de 11 en 12. 14. Sustitucin de 13 y de hiptesis en 10. 15. De 14 y 9. Propiedad transitiva 20HD


16. EBH es issceles 17. m( E) = m( 2) 18. m( 1) = m( E) + m( 2) 19. m( 1) = 2 m( 2) 20. m( 1) = 2 m( D) 21. 2 m( 2) = 2 m( D) 22. m( 2) = m( D) 23. m( 2) = m( 6) 24. m( D) = m( 6) 25. HFD es issceles 26. FH FD 27. m(3) = 58 28. m( 1) + m( 4) + 58 = 180 29. m( 1) + m( 4) = 122 30. 2 m( 1) = 122 31. m( 1) = 61 32. m( D) = m( 2) m(1) 30.5 2

16. De hiptesis. Definicin de triangulo issceles. 17. De 16. Por ser ngulos de la base de un triangulo issceles. 18. Por ser 1 un ngulo exterior en el triangulo EBH 19. Sustitucin de 17 en 18. 20. De hiptesis. 21. De 19 y 20. Propiedad transitiva. 22. De 21. Algebra 23. Por ser opuestos por el vrtice. 24. de 22 y 23. Propiedad transitiva 25. De 24. Por tener dos angulos congruentes. 26. De 25. Definicin de triangulo issceles. 27. Dato que se da 28. La suma de los ngulos interiores de todo triangulo es 180 29. 30. 31. 32. De 28. Algebra Sustitucin de 2 en 29. De 30. Algebra. De 8, 22, 31.

Sobre los lados OX y OY de un ngulo recto XOY, se toman dos puntos A y B. Se trazan por Q y B dos rectas AM y BN que hacen con los lados del ngulo recto dos ngulos de 30 (M sobre OY y N sobre OX) esas rectas se cortan en D. Demostrar que los tringulos AND y BMD son issceles.

OX

OY

HIPOTESIS: m(OBN ) 30 m(OAM ) 30 TESIS:AND y DMB son isosceles

1. BON es rectngulo 2. m( 1) = 60 3. 4. 5. 6. m( 1) = m( 2) + 30 60 = m( 2) + 30 m( 2) = 30 m( OAM) = 30

1. De hiptesis. Definicin de triangulo rectngulo 2. De hiptesis y de 1. Los ngulos agudos de un tringulo rectngulo son complementarios. 3. Por ser 1 un ngulo exterior en el triangulo NAD. 4. Sustitucin de 2 en 3 5. De 4. Algebra 6. De Hiptesis 21


7. AND es issceles 8. m( 3) = m( 2) = 30 9. m( OBN) = 30 10. MDB es issceles

7. De 6. Por tener dos ngulos congruentes. 8. Por ser opuestos por el vrtice. 9. De hiptesis 10. De 8 y 9. Por tener dos ngulos congruentes.

Dado el triangulo rectngulo con C recto y m( CAB) = 60. CD es la altura trazada AD 1 sobre la hipotenusa. Demostrar que DB 3 HIPOTESIS: ACB es recto m( CAB) = 60 CD es altura AD 1 TESIS: DB 3

1. En 2. AD

ADC: m( 1) = 30

AC 2

3. En ABC: m( B) = 30 4. En ABC: AC

AB 2

5. AB 2 AC 6.

1. De hiptesis, en un triangulo rectngulo los ngulos agudos son complementarios. 2. De hiptesis y de 1. En un triangulo rectngulo, el cateto opuesto al ngulo de 30 mide la mitad de la hipotenusa. 3. De hiptesis, en un triangulo rectngulo los ngulos agudos son complementarios. 4. De hiptesis y de 3. En un triangulo rectngulo, el cateto opuesto al ngulo de 30 mide la mitad de la hipotenusa. 5. De 4. Algebra. 6. De 5. Suma de segmentos.

AD DB

2 AC

AD DB 2

AC7. De 2 8. Sustitucin de 7 en 6 y algebra.

7. AC = 2AD 8. AD DB 2 AD 23 AD DB

4 AD AD DB 1 3

AD DB

En un triangulo cualquiera ABC, una recta que pasa por A es perpendicular a la bisectriz del ngulo B en K. otra recta que pasa por K es paralela a BC y corta a AB en M. Demostrar que M es el punto medio de AB .

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HIPOTESIS: ABC cualquieraAK KB BK es bisectriz de CBA KM CB A M B TESIS: M es el punto medio de AB

1. 1 2 2. KM CB 3. 1 3 4. 2 3 5. KMB es issceles 6. KM MB 7. En BKA: m( 2) + m( KAB) = 90 8. m( 3) + m( AKM) = 90 9. m( 2)+m( AKM) = 90 10. m( 2) + m( KAB) = m( 2) + m( AKM) 11. m( KAB) = m( AKM) 12. KAM es isosceles. 13. AM KM 14. AM MB 15. M es punto medio de AB

1. De hiptesis. Definicin de bisectriz 2. De hiptesis 3. De 2. Por ser alternos internos entre paralelas 4. De 1 y 3. Propiedad transitiva 5. De 4. Por tener dos ngulos congruentes 6. De 5. Definicin de triangulo issceles 7. De hiptesis. Los ngulos agudos de un triangulo rectngulo son complementarios. 8. De hiptesis: AK KB 9. Sustitucin de 4 en 8 10. De 7 y 9. Propiedad transitiva 11. De 10. Ley cancelativa. 12. De 11, por tener dos ngulos congruentes. 13. De 12. Definicin de triangulo issceles. 14. Sustitucin de 6 en 13. 15. De 14. Definicin de punto medio.

ABC es equilateroHIPOTESIS:

CH es altura HD CB

HE CA TESIS: HD + HE = CH

1. CH es altura 2. CH es bisectriz 3. m( ACB) = 60

1. De hiptesis. 2. De hiptesis y 1. En un triangulo equiltero una altura es tambin bisectriz. 3. De hiptesis. Cada uno de los ngulos interiores de un triangulo equiltero mide 60 23


4. m( 1) = m( 2) = 30 CH CH 5. HD ; HE 2 2 CH CH 6. HD HE 2 2 7. HD HE CH

4. De 2 y 3. Definicin de bisectriz 5. De 4. En un triangulo rectngulo el cateto opuesto a un ngulo de 30 mide la mitad de la hipotenusa. 6. De 5. Suma de igualdades. 7. De 6. Aritmtica.

Las bisectrices exteriores de los ngulos B y C de un triangulo ABC se cortan en P. Desde P se trazan PH perpendicular a la prolongacin de AB y PK perpendicular a la prolongacin de AC. Si x es la medida del ngulo A, demostrar que: 1. La mitad del ngulo BPC es igual a 90 2. P pertenece a la bisectriz del ngulo BAC 3. AB BH AC CK

x 2

m(1) m( 2); m(3)

m( 4)

m(ABC ) 180 m(ACB) 180

2m( 2) 2m(3) 2 m( 2) m(3)

m(ABC ) m(ACB) 360

Los ngulos interiores de un triangulo suman 180, por lo tanto de la igualdad anterior se tiene:

180 180

x 360 x 360

2 180 360 x 2

m(BPC ) 2m(BPC )

m(BPC ) 90

2) P est en la bisectriz de HBC ( de hiptesis), por lo tanto equidista de los lados de

PD . P pertenece a la bisectriz de KCB, por lo tanto equidista de los lados de ese ngulo: PD PK y se concluye que PH PK lo que significa que P equidista de AH y AK que son los lados del ngulo A, y por consiguiente P est en laese ngulo: PH bisectriz del ngulo A, porque equidista de sus lados.

AHK AKH 3) Se traza HK . El triangulo HPK es issceles porque PH PK por tener el mismo complemento lo que significa que el triangulo AHK es issceles y por definicin de triangulo issceles AH = AK AB BH AC CKProfesor: Jos Manuel Montoya Misas.

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rectas perpendiculares y paralelas actualizado

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