Rectas paralelas y perpendiculares

MATE 3012 – PRESENTACION 2

Diagrama de rectas que pasan por un mismo punto pero que tienen

diferentes pendientes

Ejemplo: rectas horizontales y verticales

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-3, 4) y que es paralela a (a) el eje de x (b)

el eje de y

SOLUCION: (a) Una recta paralela al eje de x es una

recta horizontal. Su pendiente es 0. Su ecuación es y = 4.

(b) Una recta paralela al eje de y es una recta vertical. Su pendiente NO está definida. Su ecuación es x = -3.

Rectas paralelas y perpendiculares

Varias rectas paralelas a

y = 2x

Varias rectas perpendiculares a

y = 2x

Determinar la pendiente de la recta que es a) paralela a 4y – 12x = 8 b) perpendicular a la misma recta.

Solución: En cualquiera de los dos casos, se debe

expresar la ecuación dada en la forma pendiente-

intercepto para determinar su pendiente:

4y – 12x = 8

4y= 12x +8

y = 3x + 2… La pendiente es 3.

a) La pendiente de una recta paralela a y = 3x + 2 tiene

la MISMA pendiente. Por lo tanto, cualquier recta

paralela a y = 3x + 2 tiene pendiente igual a 3.

Determinar la pendiente de la recta que es a) paralela a 4y – 12x = 8 b) perpendicular a la misma recta.

Solución: (continuación)

b) El producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es -1.

O sea una pendiente es el recíproco negativo de la otra.

Si y= 3x + 2 tiene pendiente igual a 3, cualquier recta perpendicular a esta, tendrá pendiente igual a .

3

1

Decidir si las rectas son paralelas o perpendiculares en cada caso.

(a) La recta que pasa por (–1, –2) y (1, 2) y la recta que pasa por (–2, 0) y (0, 4).

Hallar y comparar pendientes:

Pendientes iguales; rectas paralelas.

Decidir si las rectas son paralelas o perpendiculares en cada caso.

(b) La recta que pasa por (0, –4) y (-1, -7) y la recta que pasa por (3, 0) y (-3, 2).

Hallar y comparar pendientes:

Una pendiente es el recíproco negativo de la otra; rectas perpendiculares.

Decidir si las rectas son paralelas o perpendiculares en cada caso.

(c) La recta x + 2y = -2 y la recta 2x = 4y + 3

Convertir cada ecuación a la forma pendiente intercepto:

Pendientes diferentes; no son rectas paralelas;

ni tampoco rectas perpendiculares.

xy

xy

xy

yx

2

11

2

2

22

22

Ejemplo Hallar la ecuación de la recta que pasa por P(0,2) y que es paralela a 12x + 6y = 24.

•Expresar la recta original en la forma pendiente-intercepto.

12 x + 6y = 24

6y = 24 – 12 x

y = 4 – 2 x

•Una recta paralela a y = 4 – 2x tiene la misma pendiente, o sea m = -2.

•El punto que nos han dado es el intercepto en y, por lo tanto la ecuación de la recta paralela es

•y= -2x+2 , lo que también se puede escribir y = 2 – 2x

Ejemplo Hallar la ecuación de la recta que pasa por P(6, -7) y que es perpendicular a 6x + 3y = 4.

Ejemplo (cont.) Hallar la ecuación de la recta que pasa por P(6, -7) y que es perpendicular a 6x + 3y = 4.

Ejemplo (cont.)

Ejemplo Determinar la ecuación de la recta nombrada L2.

• Si L2 es perpendicular a 4y – 3x = 8 entonces una pendiente es el negativo recíproco de la otra.

• Hay que poner 4y – 3x = 8 en forma pendiente-intercepto.

• 4y = 8 + 3x

• 𝑦 =8+3𝑥

4

• y = 2 + ¾ x • m = ¾

• 𝑚2 = −4

3

Ejemplo (cont) Determinar la ecuación de la recta nombrada L2.

• 𝑚2 = −4

3

• Podemos usar la forma Punto-pendiente o la forma pendiente intercepto para determinar la ecuación.

• Un punto cualquiera es (-4, -1) • El intercepto en y es (0,2) • 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1

• 𝑦 − −1 = −4

3𝑥 − −4 y luego

hay que simplificar y despejar • y = mx + b

• 𝑦 = −4

3𝑥 + 2